一道直线与椭圆综合问题研究

一道直线与椭圆综合问题研究

已知椭圆C 的方程是22

221(0)x y a b a b

+=>>，椭圆上的点到两焦点的距离之和为6，以坐标原点为圆心，b

为半径的圆和直线0x y +=相切。

（1）求椭圆的离心率；

（2）若直线l 和椭圆C 交于,M N 两点，以MN 为直径的圆过点(3,0)A ，求A M N ∆面积的最大值。

解：（1）263a a =⇒=

，由相切，得1b ==，

所以3e === （2）由（1），椭圆方程为2

219

x y +=， 当直线斜率为0时，设为y m =，将y m =代入2

219

x y +=

，得x =±

所以221(1)3233222m m S x m +-=⨯⋅==⨯=。 当直线斜率不为0时，

设:l x ty λ=+，1122(,),(,)M x y N x y ，由2219

x ty x y λ=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(9)290t y t y λλ+++-=， 由0∆>得，229t λ<+， 所以212122229,99

t y y y y t t λλ--+==++，1212()2x x t y y λ+=++， 2212121212()()()x x ty ty t y y t y y λλλλ=++=+++。

因为以MN 为直径的圆过点(3,0)A ，所以0AM AN ⋅=u u u r u u u r ，

所以1122(3,)(3,)0x y x y -⋅-=，所以1212123()90x x x x y y -+++=， 所以22

1212(1)(3)()690t y y t y y λλλ++-++-+=， 所以222222(1)(9)2(3)69099

t t t t λλλλλ+---+-+=++，

所以2222222(1)(9)2(3)(9)69(9)09

t t t t t λλλλλ+---++-++=+， 所以2527360λλ-+=，解得125

λ=或3. 依题意，3λ≠，否则点,,A M N 不构成三角形。 所以12.5λ= 所以1212222481,5(9)25(9)

t y y y y t t -+==-++，

所以12MN y y =-=， 又点A 到直线l

的距离为3

d =

所以19225S MN d =⋅=

令9)γγ=≥，则2281

25t γ-=，所以29993144144248

S γγγγ

==≤=++， 当且仅当12γ=时等号成立。

综上，AMN ∆面积的最大值为3.2