一道直线与椭圆综合问题研究
直线与椭圆相结合问题-高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品
高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第五篇解析几何专题03直线与椭圆相结合问题【典例1】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3，直线l 和椭圆C 交于A ，B 两点，当直线l 过椭圆C 的焦点，且与x 轴垂直时，23AB =.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过点(1,0)且倾斜角为钝角，P 为弦AB 的中点，当OPB ∠最大时，求直线l 的方程.【典例2】已知点)F是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的一个焦点,点12M ⎫⎪⎭在椭圆 C 上.（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）若直线l 与椭圆 C 交于不同的,A B 两点,且12OA OB k k +=-( O 为坐标原点),求直线l 斜率的取值范围.【典例3】已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>经过点6(1,2,左、右焦点分别1F 、2F ，椭圆的四个顶点围成的菱形面积为(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设Q 是椭圆C 上不在x 轴上的一个动点,O 为坐标原点,过点2F 作OQ 的平行线交椭圆于M 、N 两点，求2MN OQ的值.【典例4】已知椭圆()2222x y C 1a b 0a b+=：＞＞的右焦点为)F0，过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设A ，B 为椭圆C 上的两动点，M 为线段AB 的中点，直线AB ，OM （O 为坐标原点）的斜率都存在且分别记为k 1，k 2，试问k 1k 2的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【典例5】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，焦距为（1）求C 的方程；（2）若斜率为12-的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P ，Q 均在第一象限），O 为坐标原点，证明：直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列．1.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，且经过点1)2M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）与x 轴不垂直的直线l 经过N ，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若坐标原点O 在以AB 为直径的圆内，求直线l 斜率的取值范围．2.设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，已知直线AB 的斜率为12，AB =（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线:1l x my =-与椭圆C 交于不同的两点M 、N ，且点O 在以MN 为直径的圆外（其中O 为坐标原点），求m 的取值范围.3.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的短轴长为2，且椭圆的一个焦点在圆()()222318x y -+-=上.（1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆的焦距小于4，过椭圆的左焦点F 的直线l 与椭圆相交于,A B 两点，若3AF FB =，求.AB 4.设椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，若椭圆E 的离心率为12，2ABF 的周长为16．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设不经过椭圆的中心而平行于弦AB 的直线交椭圆E 于点,C D ，设弦,AB CD 的中点分别为,M N .证明：,,O M N 三点共线.5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点F 到直线30x y -+=的距离为P ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，,A B 是1l 与椭圆C 的两个交点，,C D 是2l 与椭圆C 的两个交点，,M N 分别是线段,AB CD 的中点试，判断直线MN 是否过定点？若过定点求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.参考答案【典例1】【详解】（1）由题意：2222223119c ac a bc a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩，∴29a =，21b =，∴椭圆C 的标准方程为：2219x y +=；（2）设()1,0M ，直线l 的方程为：1(0)x my m =+<，联立方程22991x y x my ⎧+=⎨=+⎩可得：()229280m y my ++-=，∴229,99m P m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，取OP 的方向向量为()9,m OP m λ==- ，取MP 的方向向量为(),1n MP m μ==，∴,m n cos OPB cos m n m n⋅∠====-45≥-，当且仅当2281m m =，即：3m =-时取等号，此时OPB ∠最大，直线l 的方程为：310x y +-=.【典例2】【详解】（1）由题可知，椭圆的另一个焦点为()，所以点M142+=.所以2a =.又因为c =，所以1b =，则椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）当直线l 的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，0OA OB k k +=，不符合题意.故设l 直线的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()()222418410k x kmx m +++-=.所以()12221228,4141,41km x x k m x x k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩而()()()()212211212221212128222141OA OBkx m x kx m x m x x y y km kk k k k x x x x x x m m ++++--+=+==+=+=--，由12OA OB k k +=-，可得241m k =+.所以14k ≥-，又因为()2216410k m -+>，所以2440k k ->.综上，()1,01,4k ⎡⎫∈-⋃+∞⎪⎢⎣⎭.【典例3】【详解】(Ⅰ)由题意可知2221312ab ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩,解得2,a b ==,故椭圆C 的标准方程为22142x y +=.(Ⅱ)设()()()112233,,,,,M x y N x y Q x y ,直线:OQ x my =,则直线:MN x my =+,由22142x my x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得222224242m x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,所以22322324242mx m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,所以()22222332224144||222m m OQ x y m m m +=+=+=+++,由22142x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()22121222222220,,22m y y y y y m m ++-=+=-=-++.所以21MN y =-=()22412m m +==+,所以()()2222241||21||412m MN m OQ m m ++==++,即21||MN OQ =.【典例4】【详解】()1由题意得222222c ba abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为：221,42x y +=()2设,A B 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，点M 的坐标为()00,x y ，即02112120120210,,2,2.y y y k k x x x y y y x x x -==+=+=-由已知，222211221,1,4242x y x y +=+=所以，()()()()121212120,42x x x x y y y y +-+-+=即()()0120120.2x x x y y y -+-=则()()02102112y y y x x x -=--，于是1212k k =-.所以12k k 为定值，此定值为1.2-【典例5【详解】（1）由题意可得322c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得2{a c ==，又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2214x y +=.（2）证明：设直线l 的方程为12y x m =-+，()11,P x y ，()22,Q x y ,由221214y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，得()222210x mx m -+-=则()()222481420m m m∆=--=->，且1220x xm +=>，()212210x x m =->故()22121212121111122422m y y x m x m x x m x x m -⎛⎫⎛⎫=-+-+=-++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭()212122121212111424OP OQPQ x x m x x m y y k k k x x x x -++====即直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列.1.【思路引导】（I ）根据椭圆的离心率和椭圆上一点的坐标，结合222a b c =+列方程组，解方程组求得,a b 的值，进而求得椭圆方程.（II ）设直线l的方程为y kx =+代入椭圆方程，写出判别式和韦达定理，由坐标原点O 在以AB 为直径的圆内得0OA OB⋅<，利用向量的坐标运算代入化简，由此解得k 的取值范围.解：（Ⅰ）由题意可得22222311432a b a b c c a ⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得2a =，1b =，∴椭圆C 的方程为2214x y +=．（Ⅱ）设直线l的方程为y kx =2214x y +=整理可得得()221440k x +++=，()()2216140k ∆=-+>，解得12k >或12k <-，设()11,A x y ，()22,B x y ，又1228214x x k+=-+，122414x x k ⋅=+，∴()21212122y y k x x x x =+++，∵坐标原点O 在以AB 为直径的圆内，∴0OA OB⋅<，∴()()21212121212x x y y kx xx x +=+++()2224821201414kk k ⎛⎫=++-+< ⎪ ⎪++⎝⎭，解得62k <-或62k >.故直线l 斜率的取值范围为66,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2.【详解】（1）由已知得：(),0A a -，()0,B b ，结合已知有12b a ⎧=⎪=，可得24a =，21b =，则椭圆的方程为2214x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，由22114x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()224230my my +--=.故12224m y y m +=+，12234y y m -=+，()()222212416480m m m ∆=++=+>.由题意得MON ∠为锐角0OM ON ⇔⋅>，∴12120OM ON x x y y ⋅=+>，又()()()212121212111x x my my m y y m y y =--=-++()()21212121211x x y y m y y m y y +=+-++()2222223214110444m m m m m m --+⋅-+=>+++∴214m <，解得1122m -<<.∴m 的取值范围为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.3.【思路引导】（1）由题意可知：b ＝1，由焦点在圆上，可求得c ，进而求得a ，即可求得椭圆方程；（2设出直线l 的方程，代入椭圆，得到A 、B 的纵坐标的关系，利用向量转化的纵坐标的关系，求得直线方程，利用弦长公式可得所求．【详解】（1）因为椭圆的短轴长为2，所以22b =，则1b =.圆()()222318x y -+-=与x 轴的交点为()1,0-，()5,0，故1c =或5，从而2222a b c =+=或26，故椭圆的方程为2212x y +=或22126x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由3AF FB=，得123y y =-.因为椭圆的焦距小于4，所以椭圆的方程为2212x y +=，当直线l 的斜率为0时，1-1+,不满足题意，所以将l 的方程设为1x my =-，代入椭圆方程，消去x ，得()222210m y my +--=，所以12222m y y m +=+，12212y y m =-+，将123y y =-代入，得21m =.故AB =3==.4.【思路引导】（Ⅰ）由已知椭圆E 的离心率为12，2ABF 的周长为16，解得a ，b 的值，可得椭圆E 的方程；（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，，00M x y （，）．利用点差法，可得34OM k k =-，34ON k k=-，由此可得O ，M ，N 三点共线．【详解】（Ⅰ）解：由题意知，416a =，4a =．又12e = ，2c ∴=，b =，∴椭圆E 的方程为2211612x y +=；（Ⅱ）证明：当直线AB 、CD 的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M ，N 在x 轴上，O ，M ，N 三点共线；当直线AB ，CD 的斜率存在时，设其斜率为k ，且设()11A x y ，，()22B x y ，，00M x y （，）．则221111612xy+=，222211612xy+=，相减得22221212--=-1612x xy y，1212121234yyy y x x x x -+∴⋅=--+，即01212034y y y x x x -⋅=--，即34OM k k ⋅=-，34OM k k ∴=-；同理可得34ON k k =-，OM ON k k ∴=，所以O ，M ，N 三点共线．5．【思路引导】（1）由题意得221413a b =⎪+=⎪⎩，求出,a b ，即可求出椭圆方程；（2）设直线1l 的方程为1x my =+，①当0m ≠时，联立方程组221132x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简可得122122432432m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩，进而求出2232,3232m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理可得22232,3232m m N m m ⎛⎫ ++⎝⎭，进而求出()2531MN m k m =-，求出直线MN 的方程，求出必过的定点3,05⎛⎫ ⎪⎝⎭；②当0m =时，易知直线MN 过定点3,05⎛⎫ ⎪⎝⎭；综上即可求出结果.解：（1）由题意得221413a b =⎪+=⎪⎩，∴a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴椭圆C 的方程为22132x y +=；（2）由（1）得()10F ，，设直线1l 的方程为1x my =+，点,A B 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，①当0m ≠时，由221132x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2232440m y my ++-=，∴122122432432m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪÷=-⎪+⎩，∴2232,3232m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭同理，由2211132x y m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得22232,3232m m N m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭()222222225323233313232MN m m m m m k m m m m +++==--++∴直线MN 的方程为()253531m y x m ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，过定点3,05⎛⎫ ⎪⎝⎭；②当0m =时，则直线1l 的方程为()()11,00,0x M N =,,，∴直线MN 过定点3,05⎛⎫⎪⎝⎭综上，直线MN 过定点3,05⎛⎫⎪⎝⎭。
一道直线与椭圆题的解法展示及拓展探究
= kx + 1,
4A：2 )兌2 + 8愿-8=0. 由韦达定理可知%! + %2 -
3 +4^' 1 2 - 3 + 4k2' - 1 -幻 + 2'龟-
J2 x2 _
2，且
刃 =2力.即 胃 = 2他，• • 兀i+2 x2 - 2 (光1+2尸
4y^ 7— ①.又在椭圆 (兀2 - 2)
上,Ti =寻(4 - Xi) ,yl =寻(4 - %；)②
图1,过点c（o,i）且斜率大 y
于1的直线2与椭圆交于*丨
两点，记直线AM的斜率为
图1
局，直线的斜率为他，若饥
=2他，求直线2斜率的值.（原题第（1）问略）
二、解法展示
解法一：由椭圆的对称性可知直线MN的斜率
—定存在，设其方程为y = kx + 1.设,y））,
N（%2』2）・
2
2
=+ 匚=1
联列方程组4 3 -'消去y可得(3 +
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中学数学研究
2019年第9期
将②代入①可得扌于=4"U，即3%悠
+ 10（%! +%2）+12 = 0. 12斥-20A： +3 = 0.解得 k = * 或 k = *. 又 T A： > 1k = *.
评析:此解法为参考答案提供的解法，学生中很
少用到此种解法.此解法中将局=2k2平方之后，利 用点在椭圆上通过化简得到关于衍严2的关系式，最
评析：此法是学生容易想到的处理方式利用点 在直线上转化，但是需要解一个无理方程.学生如果 有信心往下写的话，发现此方程可以因式分解降次 处理便迎刃而解.其实这种处理无理方程在江苏高 考中一直有所考察,2012年江苏高考试题19题第一 问中官方提供的参考答案便是这种处理方法.在高 三的复习中要加强对学生运算信心的训练.
直线与椭圆
x1
x2 x2
4
5 1
5
弦长问题 例1：已知直线 y x 1与椭圆x2+4y2=2.
2 (1)判断它们的位置关系.(2) 相交所得弦AB的弦长是多少？
解：联立方程组
y
x
1 2
消去y
x2 4 y 2 2
5x2 4x 1 0 （１）
(4)2 45 (1) 36 0
y x1
由
x2 2
y2
1
消去
3x2 4x 0
y 并化简整理得
∴ x1 x2
4 3
,
x1 x2
0
∴ AB
( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
2( x1 x2 )2
2
( x1
x2 )2
4 x1 x2
=
4 3
2
解 例焦:2∵:点已椭，圆知过点x2F2 F21作y、2倾F斜21分的角别两为个是4焦椭的点圆直坐2x线标2 ， F11y求(21△, 01F)的1, AF左2B(1的 、, 0面 右) 积. ∴直线 AB 的方程为 y x 1 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )
A(x1, y1), B(x2, y2) ,则它的弦长
AB
1k2 x1 x2
(1k2) (x1 x2)2 4x1x2
1两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标
设而不求的技巧而已(因为 y1 y2 k(x1 x2 ) ，运用韦达定理来进行
计算. 当直线斜率不存在是,则 AB y1 y2 .
例
2:已知点 F1
、F2
分别是椭圆
x 2
2
y2 1
1
的左、右
第3讲 直线与椭圆的综合问题
第3讲 直线与椭圆的综合问题一、知识要点(1)直线与椭圆位置关系的判断．将直线的方程和椭圆的方程联立，通过讨论此方程组的实数解的组数来确定，即用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判断式Δ的符号来确定：当Δ＞0时，直线和椭圆相交；当Δ＝0时，直线和椭圆相切；当Δ＜0时，直线和椭圆相离．(2)直线和椭圆相交的弦长公式：AB 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，直线AB 的倾斜角为α，则①弦长l ＝1＋k 2||x 1－x 2＝1＋1k2|y 1－y 2|； ②直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.③α2222sin 2c b ab AB +=．(3)直线与椭圆相交时的常见处理方法．当直线与椭圆相交时，涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”，设而不求计算弦长；涉及到求平行弦中点的轨迹、求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“差分法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．二、典例剖析1、既设又求例1 1．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直；直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .2．已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围．变式题 1．设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与线段AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．若ED →＝6DF →，则k 的值为________．2．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M (0,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM →＝2MB →，求直线l 的方程．2、弦长公式例2 1．已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1.过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值．2．设椭圆C ：x 24＋y 23＝1，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，过椭圆右焦点F 2的直线l与椭圆C 交于M ，N 两点．(1)是否存在直线l ，使得OM →·ON →＝－2，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由；(2)若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，且MN ∥AB ，求证：|AB |2|MN |为定值．变式题 已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．3、设而不求例3 1．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 1：x ＋my ＝3恒过椭圆C 的右焦点F 2且与椭圆交于P ，Q 两点，已知△F 1PQ 的周长为8，点O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋t 与椭圆C 相交于M ，N 两点，以线段OM ，ON 为邻边作平行四边形OMGN ，其中点G 在椭圆C 上，当12≤|t |≤1时，求|OG |的取值范围．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为12，且经过点⎝⎛⎭⎫1，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)动直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆C 相切，点M ，N 是直线l 上的两点，且F 1M ⊥l ，F 2N ⊥l . 求四边形F 1MNF 2的面积；(3)过椭圆C 内一点T (t ，0)作两条直线分别交椭圆C 于点A ，C 和B ，D ，设直线AC 与BD 的斜率分别为k 1、k 2，若|AT |·|TC |＝|BT |·|TD |，试问k 1＋k 2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.变式题 1．如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.2．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T .(1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；(2)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得|PT |2＝λ|P A |·|PB |，并求λ的值．4、分类讨论（直线斜率存在性）例4 1．[2017·浙江重点中学联考]椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1过点A (1，32)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1，F 2.过点F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点. (1)求椭圆C 的方程；(2)当△F 2AB 的面积为1227时，求l 的方程.2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1，F 1、F 2为椭圆的左、右焦点，A 、B 为椭圆的左、右顶点，点P 为椭圆上异于A 、B 的动点，且直线P A 、PB 的斜率之积为－12.(1)求椭圆C 的方程；(2)若动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，试问：在x 轴上是否存在两个定点，使得这两个定点到直线l 的距离之积为4？若存在，求出两个定点的坐标；若不存在，请说明理由.变式题 1．已知椭圆Γ：（0>>b a ）的一个顶点为)0,2(A ，且焦距为2，直线l 交椭圆Γ于E 、F 两点（点E 、F 与点A 不重合），且满足AF AE ⊥．(1)求椭圆的标准方程；(2)O 为坐标原点，若点P 满足OF OE OP +=2，求直线AP 的斜率的取值范围．2．设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1，0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．精品练习1．设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a ，0)，点B的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．2．一种作图工具如图所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ＝ON ＝1，MN ＝3.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周(D 不动时，N 也不动)，M 处的笔尖画出的曲线记为C .以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图1-7所示的平面直角坐标系．(1)求曲线C的方程．(2)设动直线l与两定直线l1：x－2y＝0和l2：x＋2y＝0分别交于P，Q两点．若直线l 总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC＝2AB，求直线AB的方程．4．已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．(2)若l 过点⎝⎛⎭⎫m 3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点P (0，1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线P A 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ，问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 坐标；若不存在，说明理由．6．已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.(1)求C 2的方程．(2)过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向． (i)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率；(ii)设C 1在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．7．平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程．(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点．过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .(i)求|OQ ||OP |的值； (ii)求△ABQ 面积的最大值．8．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c ，0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．9．如图所示，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，过点P (0，1)的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点．当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为2 2.(1)求椭圆E 的方程．(2)在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得|QA ||QB |＝|P A ||PB |恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c ，0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．11．如图所示，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2， 求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .12．已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．13．平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率是32，抛物线E：x2＝2y的焦点F是C的一个顶点．(1)求椭圆C的方程；(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.①求证：点M在定直线上；②直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求S1S2的最大值及取得最大值时点P的坐标．圆锥曲线第3讲答案答案例1 (1)1 2.(2)设直线MN 与y 轴的交点为D ，由题意，得原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |.设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.2．解：(1)14449.(2)由题意得，t >3，k >0，A (－t ，0)，将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2得x 1＝t （3－tk 2）3＋tk 2，故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t （1＋k 2）3＋tk 2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k(x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t （1＋k 2）3k 2＋t .由2|AM |＝|AN |得23＋tk 2＝k3k 2＋t ，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)． 当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k （2k －1）k 3－2.t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝（k －2）（k 2＋1）k 3－2<0，即k －2k 3－2<0. 由此得⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，k 3－2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2.因此k 的取值范围是(32，2)．变式题 1．【解析】 依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0)．如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2，则x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k 2.由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2.由D 在直线AB 上知，x 0＋2kx 0＝2，x 0＝21＋2k ，所以21＋2k ＝1071＋4k 2，化简得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38.【答案】 23或38[解] (1) x 24＋y 23＝1.(2)由题意得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，且Δ＞0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由AM →＝2MB →得x 1＝－2x 2. 又⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8k3＋4k 2，x 1·x 2＝－83＋4k2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝－8k3＋4k 2－2x 22＝－83＋4k2，消去x 2，得⎝⎛⎭⎫8k3＋4k 22＝43＋4k 2.解得k 2＝14，k ＝±12.所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋1，即x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.例2解 (1) e ＝c a ＝32.(2)由题意知，|m |≥1.当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A ，B 的坐标分别 为⎝⎛⎭⎫1，32，⎝⎛⎭⎫1，－32，此时|AB |＝3； 当m ＝－1时，同理可得|AB |＝3；当|m |＞1时，设切线l 的方程为y ＝k (x －m )． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －m )x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0. 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km |k 2＋1＝1，即m 2k 2＝k 2＋1. 所以|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)[(x 2＋x 1)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤(64k 4m 2)(1＋4k 2)2－4(4k 2m 2－4)1＋4k 2＝43|m |m 2＋3. 由于当m ＝±1时，|AB |＝3，|m |＞1时，|AB |＝43|m |m 2＋3＝43|m |＋3|m |≤2，当且仅当m ＝±3时，|AB |＝2. 所以|AB |的最大值为2.2．解：(1)由题意知，直线l 与椭圆必相交，①当直线斜率不存在时，M ⎝⎛⎭⎫1，32，N ⎝⎛⎭⎫1，－32，∴OM →·ON →＝⎝⎛⎭⎫1，32·⎝⎛⎭⎫1，－32＝1－94＝－54，不合题意； ②设存在直线l 为y ＝k (x －1)(k ≠0)，且M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －1）得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝4k 2－123＋4k 2＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1 ＝－5k 2－123＋4k 2＝－2，解得k ＝±2，故直线l 的方程为y ＝2(x －1)或y ＝－2(x －1)．(2)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)，由(1)得， |MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝（1＋k 2）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫8k 23＋4k 22－4·4k 2－123＋4k 2＝12（k 2＋1）3＋4k 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx消去y ，并整理得x 2＝123＋4k 2，∴|AB |＝1＋k 2|x 3－x 4|＝43（1＋k 2）3＋4k 2，∴|AB |2|MN |＝48（1＋k 2）3＋4k 212（1＋k 2）3＋4k 2＝4为定值．变式题 解：(1) x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故可设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0，当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1，2＝8k ±24k 2－34k 2＋1，从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线l 的距离d ＝2k 2＋1.所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，满足Δ>0，所以，当△OPQ 的面积最大时，k ＝±72，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2.例3 1．解：(1) x24＋y 2＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 24＋y 2＝1，消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－4＝0， 由Δ＝64k 2t 2－4(1＋4k 2)(4t 2－4)>0，可得4k 2＋1>t 2. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，G (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－8kt1＋4k 2， ∵四边形OMGN 是平行四边形，∴x 0＝x 1＋x 2＝－8kt1＋4k 2，y 0＝y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2t ＝kx 0＋2t ＝2t 1＋4k2，可得G ⎝⎛⎭⎫－8kt 1＋4k 2，2t 1＋4k 2. ∵点G 在椭圆C 上，∴⎝⎛⎭⎫－8kt 1＋4k 224＋⎝⎛⎭⎫2t 1＋4k 22＝1，整理得4t 2(4k 2＋1)＝(4k 2＋1)2，∴4t 2＝4k 2＋1， ∴|OG |2＝x 20＋y 20＝⎝⎛⎭⎫－8kt 1＋4k 22＋⎝⎛⎭⎫2t 1＋4k 22＝4t 2(16k 2＋1)(1＋4k 2)2＝16t 2－34t 2＝4－34t 2， ∵12≤|t |≤1，∴14≤t 2≤1，∴4－34t 2∈[1，134]，∴|OG |的取值范围是⎣⎡⎦⎤1，132. 2．解 (1)x 24＋y 23＝1.(2)将直线的方程y ＝x ＋m 代入椭圆C 的方程3x 2＋4y 2＝12中， 得7x 2＋8mx ＋4m 2－12＝0.由直线与椭圆C 仅有一个公共点知，Δ＝64m 2－28(4m 2－12)＝0， 化简得：m 2＝7.设d 1＝|F 1M |＝|－1＋m |2，d 2＝|F 2N |＝|1＋m |2， 又因为|d 1－d 2|＝|MN |，所以S ＝12|d 1－d 2|(d 1＋d 2)＝⎪⎪⎪⎪d 21－d 222＝|m |＝7，(3)由T (t ，0)，则直线AC 的方程y ＝k 1(x －t )，设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，联立直线与椭圆方程得(3＋4k 21)x 2－8k 21tx ＋4k 21t 2－12＝0， 则x 1＋x 2＝8k 21t3＋4k 21，x 1·x 2＝4k 21t 2－123＋4k 21， 则|AT |＝（x 1－t ）2＋y 21＝1＋k 21|x 1－t |所以|AT |·|TC |＝(1＋k 21)|(x 1－t )(x 2－t )|＝(1＋k 21)|x 1x 2－t (x 1＋x 2)＋t 2|＝(1＋k 21)⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 21t 2－123＋4k 21－8k 21t 23＋4k 21＋t 2 ＝(1＋k 21)·|3t 2－12|3＋4k 21，又T (t ，0)为椭圆C 内一点，所以t 24＜1即t 2＜4， 所以3t 2－12＜0，所以|AT |·|TC |＝（1＋k 21）·（12－3t 2）3＋4k 21；同理|BT |·|TD |＝（1＋k 22）·（12－3t 2）3＋4k 22所以1＋k 213＋4k 21＝1＋k 223＋4k 22，解得k 21＝k 22，又直线AC 与BD 不重合，所以k 1＋k 2＝0为定值. 变式题 1.解：(1) x 22＋y 2＝1.(2)证明：由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0.由已知Δ>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0，则x 1＋x 2＝4k (k －1)1＋2k 2，x 1x 2＝2k (k －2)1＋2k 2. 从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k (k －1)2k (k －2)＝2k －2(k －1)＝2. 2．解：(1)x 26＋y 23＝1.点T 坐标为(2，1)．(2)证明：由已知可设直线l ′的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，y ＝－x ＋3，可得⎩⎨⎧x ＝2－2m3，y ＝1＋2m 3.所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫2－2m 3，1＋2m 3，|PT |2＝89m 2. 设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由方程组⎩⎨⎧x 26＋y 23＝1，y ＝12x ＋m ，可得3x 2＋4mx ＋(4m 2－12)＝0.②方程②的判别式为Δ＝16(9－2m 2)，由Δ>0，解得－322<m <322.由②得x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝4m 2－123.所以|P A |＝⎝⎛⎭⎫2－2m 3－x 12＋⎝⎛⎭⎫1＋2m 3－y 12＝52⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 1，同理|PB |＝52⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 2，所以|P A |·|PB |＝54⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫2－2m 3－x 1⎝⎛⎭⎫2－2m 3－x 2＝54⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫2－2m 32－⎝⎛⎭⎫2－2m 3（x 1＋x 2）＋x 1x 2|＝54⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫2－2m 32－⎝⎛⎭⎫2－2m 3⎝⎛⎭⎫－4m 3＋4m 2－123|＝109m 2. 故存在常数λ＝45，使得|PT |2＝λ|P A |·|PB |.例4 1.解：(1)x 24＋y 23＝1.(2)由(1)得F 1(－1，0)．①当l 的倾斜角是π2时，l 的方程为x ＝－1，则点A －1，32，B －1，－32，此时S △ABF 2＝12|AB |·|F 1F 2|＝12×3×2＝3≠1227，不合题意．②当l 的倾斜角不是π2时，设l 的斜率为k ，则其直线方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x ＋1）消去y 得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，∴S △F 2AB ＝S △F 1F 2B ＋S △F 1F 2A ＝12|F 1F 2|(|y 1|＋|y 2|)＝12×2|y 1－y 2|＝|k (x 1＋1)－k (x 2＋1)|＝|k |（x 1－x 2）2＝|k |（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝|k |－8k 24k 2＋32－4×4k 2－124k 2＋3＝12|k |k 2＋14k 2＋3.又已知S △F 2AB ＝1227，∴12|k |k 2＋14k 2＋3＝1227⇒17k 4＋k 2－18＝0⇒(k 2－1)(17k 2＋18)＝0⇒k 2－1＝0，解得k ＝±1，故直线l 的方程为y ＝±(x ＋1)，即x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.2．解 (1) x 28＋y24＝1.(2)①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋p ，代入椭圆方程得 (1＋2k 2)x 2＋4kpx ＋2p 2－8＝0，因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ＝16k 2p 2－4(1＋ 2k 2)(2p 2－8)＝8(4＋8k 2－p 2)＝0， 即4＋8k 2＝p 2.设x 轴上存在两个定点(s ，0)，(t ，0)，使得这两个定点到直线l 的距离之积为4，则|ks ＋p |k 2＋1·|kt ＋p |k 2＋1＝|k 2st ＋kp （s ＋t ）＋p 2|k 2＋1＝4.即 (st ＋ 4)k ＋p (s ＋t )＝0(*)，或(st ＋ 12)k 2＋(s ＋t )kp ＋8＝0 (**)由(*)恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧st ＋4＝0，s ＋t ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧s ＝2，t ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧s ＝－2，t ＝2(**)不恒成立.②当直线l 的斜率不存在，即直线l 的方程为x ＝±22时， 定点(－2，0)、F 2(2，0)到直线l 的距离之积(22－2)(22＋2)＝4.综上，存在两个定点(2，0)、(－2，0)，使得这两个定点到直线l 的距离之积为定值4.变式题 1.【解析】(Ⅰ)(Ⅱ)当直线l 垂直于x 轴时,由2223412y x x y =-+⎧⎨+=⎩消去y 整理得271640x x -+=, 6分 AE AF ⊥,所以(AE AF x ⋅=-2OP OE OF =+=2．解：(1)因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ，故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC . 所以|EB |＝|ED |，故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4，所以|EA |＋|EB |＝4.由题设得A (－1，0)，B (1，0)，|AB |＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为 x 24＋y 23＝1(y ≠0)． (2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12（k 2＋1）4k 2＋3.过点B (1，0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k (x －1)，A 到m 的距离为2k 2＋1，所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积S ＝12|MN ||PQ |＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12，83)．当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8，四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12，83)．练习题1．解：(1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫23a ，13b .又k OM ＝510，所以b 2a ＝510， 进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x 5b ＋yb＝1，点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为⎝⎛⎭⎫54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB＝－1， 从而有⎩⎪⎨⎪⎧54b ＋x 125b＋－14b ＋74b ＝1，72＋12b x 1－52b＝5，解得b ＝3， 所以a ＝35，故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.2．解：(1)设点D (t ，0)(|t |≤2)，N (x 0，y 0)，M (x ，y )，依题意，MD →＝2DN →，且|DN →|＝|ON →|＝1， 所以(t －x ，－y )＝2(x 0－t ，y 0)，且⎩⎪⎨⎪⎧（x 0－t ）2＋y 20＝1，x 20＋y 20＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧t －x ＝2x 0－2t ，y ＝－2y 0，且t (t －2x 0)＝0. 由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0，于是t ＝2x 0，故x 0＝x 4，y 0＝－y 2，代入x 20＋y 20＝1，可得x 216＋y 24＝1，即所求的曲线C 的方程为x 216＋y 24＝1.(2)(i)当直线l 的斜率不存在时，直线l 为x ＝4或x ＝－4，都有S △OPQ ＝12×4×4＝8.(ii)当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋m ⎝⎛⎭⎫k ≠±12， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝16，消去y ，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ＝64k 2m 2－4(1＋4k 2)(4m 2－16)＝0，即m 2＝16k 2＋4.①又由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x －2y ＝0，可得P ⎝⎛⎭⎫2m 1－2k ，m 1－2k ；同理可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 1＋2k ，m 1＋2k .由原点O 到直线PQ 的距离d ＝|m |1＋k 2和|PQ |＝1＋k 2|x P －x Q |，可得 S △OPQ ＝12|PQ |·d ＝12|m ||x P －x Q |＝12|m |·2m 1－2k ＋2m 1＋2k ＝2m 21－4k 2.② 将①代入②得，S △OPQ ＝2m 21－4k 2＝84k 2＋14k 2－1.当k 2>14时，S △OPQ ＝8·4k 2＋14k 2－1＝8⎝⎛⎭⎫1＋24k 2－1>8；当0≤k 2<14时，S △OPQ ＝8·4k 2＋11－4k2＝8⎝⎛⎭⎫－1＋21－4k 2. 因0≤k 2<14，则0<1－4k 2≤1，21－4k 2≥2，所以S △OPQ ＝8⎝⎛⎭⎫－1＋21－4k 2≥8，当且仅当k ＝0时取等号．所以当k ＝0时，S △OPQ 的最小值为8.综合(i)(ii)可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8.3．解：(1)由题意，得c a ＝22，且c ＋a 2c ＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线AB 的方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，则x 1，2＝2k 2±2（1＋k 2）1＋2k 2，C点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）（x 2－x 1）2＝ 22（1＋k 2）1＋2k 2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意，从而k ≠0，故直线PC 的方程为y ＋k 1＋2k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －2k 21＋2k 2，则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k （1＋2k 2），从而PC ＝2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）.因为PC ＝2AB ，所以2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）＝42（1＋k 2）1＋2k 2，解得k ＝±1，此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.4．解：(1)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )． 将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2， 得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－9k，即k OM ·k ＝－9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． (2)四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点⎝⎛⎭⎫m3，m ，所以l 不过原点且与椭圆C 有两个交点的充要条件是k >0，k ≠3.由(1)得直线OM 的方程为y ＝－9k x .设点P 的横坐标为x P ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2，得x 2P ＝k 2m 29k 2＋81，即x P ＝±km3k 2＋9.将点⎝⎛⎭⎫m 3，m 的坐标代入(1)中l 的方程得b ＝m （3－k ）3，因此x M ＝k （k －3）m 3（k 2＋9）. 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M ， 于是±km 3k 2＋9＝2×k （k －3）m 3（k 2＋9），解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7.因为k >0，k ≠3，所以当l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形．5．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1，设M (x M ，0)．因为m ≠0，所以－1<n <1. 直线P A 的方程为y －1＝n －1m x ，所以x M ＝m 1－n ，即M ⎝⎛⎭⎫m 1－n ，0. (2)因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B (m ，－n )， 设N (x N ，0)，则x N ＝m1＋n.“存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |.因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1，所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2. 所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ，点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2)． 6．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ， 由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.②联立①②，得a 2＝9，b 2＝8， 故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图所示，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．(i)因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y得x 2－4kx －4＝0，而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0. 而x 3，x 4是这个方程的两根，所以 x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2.⑤ 将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2（9＋8k 2）2＋4×649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝162×9（k 2＋1）（9＋8k 2）2，所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.(ii)证明：由x 2＝4y 得y ′＝x 2，所以C 1在点A 处的切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 1x2－x 214. 令y ＝0，得x ＝x 12，即M x 12，0，所以FM →＝x 12，－1.而F A →＝(x 1，y 1－1)，于是F A →·FM →＝x 212－y 1＋1＝x 214＋1>0，因此∠AFM 是锐角，从而∠MFD ＝180°－∠AFM 是钝角． 故直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形． 7．解：(1)由题意知2a ＝4，则a ＝2， 又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2，可得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1，(i)设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知Q (－λx 0，－λy 0)．因为x 204＋y 20＝1，且（－λx 0）216＋（－λy 0）24＝1，即λ24⎝⎛⎭⎫x 204＋y 20＝1， 所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2.(ii)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0， 由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2，①则有x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2，所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k 2.因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )， 所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2（16k 2＋4－m 2）m 21＋4k 2＝2⎝⎛⎭⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k 2＝t . 将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.② 由①②可知0<t ≤1，因此S ＝2（4－t ）t ＝2－t 2＋4t . 故S ≤23，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时，S 取得最大值23， 由(i)知，△ABQ 的面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6 3.8．解：(1)过点(c ，0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c2＝bca ，由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32.(2)方法一：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2，1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得 (1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k （2k ＋1）1＋4k 2，x 1x 2＝4（2k ＋1）2－4b 21＋4k 2.由x 1＋x 2＝－4，得－8k （2k ＋1）1＋4k 2＝－4，解得k ＝12. 从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋122|x 1－x 2|＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2）. 由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.方法二：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.② 依题意，点A ，B 关于圆心M (－2，1)对称，且|AB |＝10. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得 －4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0.易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2， 所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12. 因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0，所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋122|x 1－x 2|＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2）. 由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.9．解：(1)由已知得，点(2，1)在椭圆E 上，因此⎩⎨⎧2a 2＋1b 2＝1，a 2－b 2＝c 2，c a ＝22，解得a ＝2，b ＝2，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C ，D 两点． 如果存在定点Q 满足条件，则有|QC ||QD |＝|PC ||PD |＝1，即|QC |＝|QD |，所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为(0，y 0)．当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M ，N 两点， 则M ，N 的坐标分别为(0，2)，(0，－2)．由|QM ||QN |＝|PM ||PN |，得|y 0－2||y 0＋2|＝2－12＋1， 解得y 0＝1或y 0＝2，所以若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点坐标只可能为(0，2)． 下面证明：对任意直线l ，均有|QA ||QB |＝|P A ||PB |.当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立．当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0.其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)>0， 所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1，因此1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝2k .易知点B 关于y 轴对称的点B ′的坐标为(－x 2，y 2)． 又k QA ＝y 1－2x 1＝kx 1－1x 1＝k －1x 1，k QB ′＝y 2－2－x 2＝kx 2－1－x 2＝－k ＋1x 2＝k －1x 1，所以k QA ＝k QB ′，即Q ，A ，B ′三点共线， 所以|QA ||QB |＝|QA ||QB ′|＝|x 1||x 2|＝|P A ||PB |.故存在与P 不同的定点Q (0，2)，使得|QA ||QB |＝|P A ||PB |恒成立．10．解：(1)由已知有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k >0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有kc k 2＋12＋c 22＝b 22，解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c 或x ＝c .因为点M 在第一象限，所以M 的坐标为c ，233c .由|FM |＝（c ＋c ）2＋233c －02＝433，解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，则t ＝yx ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t （x ＋1），x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6.又由已知，得t ＝6－2x 23（x ＋1）2>2，解得－32<x <－1或－1<x <0. 设直线OP 的斜率为m ，则m ＝y x ，即y ＝mx (x ≠0)．与椭圆方程联立，整理可得m 2＝2x 2－23. ①当x ∈－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)<0，因此m >0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈23，233. ②当x ∈(－1，0)时，有y ＝t (x ＋1)>0，因此m <0，于是m ＝－2x 2－23，得m ∈－∞，－233.综上，直线OP 的斜率的取值范围是－∞，－233∪23，233.11．解：(1)由椭圆的定义，得2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，得2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝（2＋2）2＋（2－2）2＝23， 即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1.故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)方法一：如图，设点P (x 0，y 0)，由点P 在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，得 x 20a 2＋y 20b2＝1，x 20＋y 20＝c 2， 求得x 0＝±a c a 2－2b 2，y 0＝±b 2c .由|PF 1|＝|PQ |>|PF 2|得x 0>0，从而 |PF 1|2＝a a 2－2b 2c ＋c 2＋b 4c2＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，得|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此(2＋2)|PF 1|＝4a ，即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ，于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4，解得e ＝12×1＋42＋2－12＝6－ 3.方法二：如图，由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，得|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|，得|PF 1|＝2(2－2)a ，从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a .由PF 1⊥PF 2，知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2，因此e ＝c a ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a＝ （2－2）2＋（2－1）2＝9－62＝6－ 3.12．解：(1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1m x ＋b . 由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1mx ＋b ， 消去y ，得⎝⎛⎭⎫12＋1m 2x 2－2b mx ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点， 所以Δ＝－2b 2＋2＋4m2>0.① 将AB 的中点M ⎝⎛⎭⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2的坐标代入直线方程 y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2.② 由①②得，m <－63或m >63. (2)令t ＝1m ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎫0，62，则 |AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12， 且O 到直线AB 的距离d ＝t 2＋12t 2＋1. 设△AOB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AB |·d ＝12 －2⎝⎛⎭⎫t 2－122＋2≤22， 当且仅当t 2＝12时，等号成立． 故△AOB 面积的最大值为22. 13．解：(1)x 2＋4y 2＝1.(2)①证明：设P ⎝⎛⎭⎫m ，m 22(m ＞0)．由x 2＝2y ，可得y ′＝x ，所以直线l 的斜率为m .因此直线l 方程为y －m 22＝m (x －m )，即y ＝mx －m 22. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝1，y ＝mx －m 22，得(4m 2＋1)x 2－4m 3x ＋m 4－1＝0. 由Δ＞0，得0＜m ＜2＋5(或0＜m 2＜2＋5)．(*)且x 1＋x 2＝4m 34m 2＋1，因此x 0＝2m 34m 2＋1.将其代入y ＝mx －m 22，得y 0＝－m 22（4m 2＋1）， 因为y 0x 0＝－14m ，所以直线OD 方程为y ＝－14mx . 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14m x ，x ＝m ，得点M 的纵坐标y M ＝－14，所以点M 在定直线y ＝－14上． ②由①知，直线l 方程为y ＝mx －m 22. 令x ＝0，得y ＝－m 22，所以G ⎝⎛⎭⎫0，－m 22. 又P ⎝⎛⎭⎫m ，m 22，F ⎝⎛⎭⎫0，12， D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 34m 2＋1，－m 22（4m 2＋1），所以S 1＝12·|GF |·m ＝（m 2＋1）m 4， S 2＝12·|PM |·|m －x 0|＝12×2m 2＋14×2m 3＋m 4m 2＋1＝m （2m 2＋1）28（4m 2＋1）. 所以S 1S 2＝2（4m 2＋1）（m 2＋1）（2m 2＋1）2. 设t ＝2m 2＋1.则S 1S 2＝（2t －1）（t ＋1）t 2＝2t 2＋t －1t 2＝－1t 2＋1t＋2，当1t ＝12，即t ＝2时，S 1S 2取到最大值94，此时m ＝22，满足(*)式， 所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫22，14. 因此S 1S 2的最大值为94，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫22，14.。
直线与椭圆相结合问题
直线与椭圆相结合问题【典例1】【2021·江苏常州市·高三一模】已知O 为坐标系原点，椭圆2214x C y +=：的右焦点为点F ，右准线为直线n .（1）过点(4,0)的直线交椭圆C 于,D E 两个不同点，且以线段DE 为直径的圆经过原点O ，求该直线的方程；（2）已知直线l 上有且只有一个点到F 的距离与到直线n 的距离之比为2直线l 与直线n 交于点N ，过F 作x 轴的垂线，交直线l 于点M .求证：||||FM FN 为定值.【思路引导】（1）设过点(4,0)的直线为(4)y k x =-交于椭圆()()1122,,D x y E x y ，联立直线和椭圆的方程得到韦达定理，求出直线的斜率k 即得解；（2）分析得到直线l 与椭圆相切，设直线l 的方程为y kx m =+，联立直线和椭圆方程得到2241m k =+，求出||,||FM FN ,再把2241m k =+代入化简即得解.【典例2】【2021·扬州大学附属中学高三月考】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆内一点P （0，t ），斜率为k 的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，设直线OM ，ON （O 为坐标原点）的斜率分别为k 1，k 2，若对任意k ，存在实数λ，使得12k k k λ+=，求实数λ的取值范围．【思路引导】（1）由题意可知c =再将x c =代入椭圆可得222ba=，进而可得2b a =，根据222a b c =+即可求解.（2）设直线l 的方程为y kx t =+，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理可得1221211422k k k k t x x t ⎛⎫-+=++= ⎪-⎝⎭，结合12k k k λ+=可得242t λ=-，又202t ≤<即可求解.【典例3】【2021·湖南郴州市·高三月考】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 是椭圆E 上的一动点，且1PF 的最小值是1，当1PF 垂直长轴时，132PF =． （1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在斜率为﹣1的直线l 与以线段12F F 为直径的圆相交于,A B 两点，与椭圆E 相交于 C D 、两点，且||||CD AB ⋅=若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【思路引导】（1）由1PF 的最小值为1，得1a c -=，由当1PF垂直长轴时，由132PF =，得232b a =，结合222a bc =+，求出,a b ，即可求出椭圆E 的方程． （2）假设存在斜率为﹣1的直线l ，设为y x m =-+，以线段12F F 为直径的圆为221x y +=，圆心(0,0)到直线l 的距离1d <，再结合||7CD AB =∣，解得m ，进而得到l 的方程．【典例4】【2021·海原县第一中学高三期末】设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点()0,4，离心率为35（1）求C 的方程；（2）求过点()3,1M 且以M 点为中点的弦的方程． 【思路引导】（1）利用待定系数法求出b =4，再根据35c e a ==，代入即可求解. （2）利用点差法可求得直线的斜率，根据点斜式方程即可得出结果.【典例5】【2021·陕西汉中市·高三二模】已知椭圆E ：()22221,0x y a b a b+=>>的短轴长为2A ． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若不与x 轴平行的直线l 交椭圆E 于,P Q 两点，试问：在x 轴上是否存在定点M ，当直线l 过点M 时，恒有AP AQ ⊥，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【思路引导】（1）根据椭圆的简单几何性质以及题意可得，22,c b e a ===，再由222a b c =+即可解出,a b ，得到椭圆E 的标准方程；（2）方法一：假设存在x 轴上的点(),0M t ()()2,2t ∈-满足题意，由特殊情况l 斜率不存在时求得点M 的坐标为6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭，当l 斜率存在时，设直线6:5l x my =-，证得AP AQ ⊥，即可判断出在x 轴上存在定点6,05M -⎛⎫⎪⎝⎭，当直线l 过点M 时，恒有AP AQ ⊥．方法二：假设存在点(),0M t 满足条件，由题可设直线:l x my t =+，联立直线方程和椭圆方程，由0AP AQ ⋅=即可解出t ，从而判断出在x 轴上存在定点6,05M -⎛⎫⎪⎝⎭，当直线l 过点M 时，恒有AP AQ ⊥．【针对训练】1. 【2021·云南昆明一中高三模拟】已知点F 为抛物线D ；()220x py p =>的焦点，点A 是该抛物线的对称轴与准线的交点，记以A ，F 为焦点的椭圆为椭圆C ． （1）若椭圆C 与抛物线D 在第一象限的交点为M ，且2MA =，求椭圆C 的离心率；（2）若2p =，点B 为抛物线D 上一点，点()0,4P ，以BP 为直径的圆Q 与直线3y =交于G ，H ，试探究弦GH 的长是否为定值，若为定值，求该值的大小，若不为定值，请说明理由．【思路引导】（1）根据等式2MA =求出M 的坐标，再结合椭圆的定义、离心率公式进行求解即可；（2）根据圆的垂径定理，利用勾股定理进行求解即可.2. 【2021·云南昆明市·昆明一中高三月考】已知A ，B 是椭圆C ：2213x y +=上的两点.（1）若直线AB 的斜率为1，求AB 的最大值；（2）线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点(),0N t ，求t 的取值范围.【思路引导】(1)先将直线AB 的方程设为y x m =+，再联立韦达定理求得弦长AB =0m =（满足0∆>）时，AB； (2) 首先分析直线AB 的斜率一定是存在的，否则AB 的中垂线和x 轴没有交点。
直线与椭圆相交问题
xx年xx月xx日
contents
目录
• 问题概述 • 直线与椭圆的位置关系 • 直线与椭圆相交的判定方法 • 直线与椭圆相交的求解方法 • 直线与椭圆相交问题的扩展 • 结论与展望
01
问题概述
直线与椭圆的基本定义
直线
直线是最简单的几何图形，表示为两点之间的最短距离。
椭圆
利用参数方程法求解
参数方程法基本思想
将直线与椭圆的方程联立，利用参数方程求解。
具体步骤
将直线与椭圆的方程联立，利用参数方程将x和y表示成参数的函数，再利用 参数的取值范围求解交点坐标。
05
直线与椭圆相交问题的扩展
直线与椭圆相交的公共点问题
直线与椭圆相交的公共点个数问题
研究直线与椭圆相交时，交点的个数及位置关系。
方程求解
对于直线$l:ax+by+c=0$和椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$，联立方程后，得到一个二元 一次方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式 $\bigtriangleup = 0$，即$b^{2} - 4ac = 0$。
06
结论与展望
研究结论总结
直线与椭圆相交的解 的数量和性质
通过使用代数和几何方法，我们得到 直线与椭圆相交的解的数量和性质， 包括实数解和复数解的情况。
方程的解法
我们推导出了直线与椭圆方程的解法 ，并使用数值模拟来验证我们的方法 的有效性和准确性。
算法的复杂度和实现
我们分析了所提出算法的复杂度和实 现，证明了算法的时间复杂度和空间 复杂度都是可接受的。
我们期望加强所提出理论依据的健壮性和鲁 棒性，以更好地应对不同应用场景和实际需 求。
直线与椭圆的综合运用(教案)
教学过程一、知识讲解考点/易错点1 直线与椭圆的位置关系提问学生：回忆点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系引出点与椭圆的位置关系 1.点与椭圆的位置关系设点),(00y x P ，椭圆标准方程为)0(12222>>=+b a by a x若点),(00y x P 椭圆上，则122220=+b y a x ；若点),(00y x P 在椭圆内，则122220<+b y a x ；若点),(00y x P 在椭圆外，则1220220>+by a x ；2.直线与椭圆的位置关系（1）通过直线运动与椭圆形成的交点个数说明直线与椭圆的三种位置关系： 相离：直线与椭圆没有交点； 相切：直线与椭圆有唯一交点；相交：直线与椭圆两个交点； （2）判断直线与椭圆的位置关系设直线:,l y kx m =+椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>，联立直线与椭圆方程消去y 得22222222()2()0a k b x a kmx a m b +++-=记该一元二次方程的判别式为∆，则①当0∆>时，直线与椭圆相交，有两个交点； ②当0∆=时，直线与椭圆相切，此时有一个交点； ③当0∆<时，直线与椭圆相离，没有交点. （3）弦长公式的推导设1122(,),(,)A x y B x y 为椭圆上的两点， AB 叫做椭圆的弦长. 回忆两点间的距离公式，通过距离公式化简整理，得出弦长公式.11AB x x y y =-=-k 为直线AB 的斜率）. 二、例题精析【例题1】【题干】已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x M 的离心率为23，右顶点到左焦点的距离为32+（1）求椭圆M 的方程.（2）若直线20x y m +-=与椭圆M ：①相交，②相切，③相离，求实数m 的取值范围； （3）设直线t x y l +=:与椭圆M 相交于不同的B A ,两点，令)(t f AB =，求)(t f .【答案】（1）2214x y +=（2）①相交：m <<，②相切： m =，③相离： m m <<或（3）()(f t t =∈【解析】（1）依据题意，则2c a a c ⎧=⎪⎨⎪+=+⎩解方程组得2,a c ==所以椭圆方程为2214x y += （2）联立222014x y m x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消掉y 得225161640x mx m -+-=222(16)45(164)16(54)m m m ∆=-⨯-=-①若直线与椭圆相交，则216(54)0m ∆=->，解得22m -<<②若直线与椭圆相切，则216(54)0m ∆=-=，解得m =③若直线与椭圆相离，则216(54)0m ∆=-<m m <<或（3）联立2214y x tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消掉y 得2258440x tx m ++-= 因为直线与椭圆有两个交点，则226420(44)0t t ∆=-->，解得t <设1122(,)(,)A x y B x y ，由韦达定理，则1285tx x +=-，2124(1)5t x x -=由弦长公式，则AB ===所以()(f t t =∈ 【例题2】【题干】已知椭圆22:12x M y +=， （1）求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程； （2）过1()22Q 的直线与椭圆M 相交于,A B 两点，且,A B 关于点Q 对称，求直线AB 的方程；（3）过点(2,1)的直线l 与椭圆M 相交，求直线l 被椭圆截得的弦中点的轨迹方程. 【答案】（1）40x y +=，（2220y +-=，（3）222220x y x y +--=【解析】(1) 设平行弦中点坐标为00(,)x y ，弦与椭圆对应的两个交点为11(,)x y ，22(,)x y221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得12121212()()()()02x x x x y y y y +-++-= 化简整理得1212121222()y y x xx x y y -+=-=-+又因为1201202,2x x x y y y +=+=，代入上式，得0040x y +=.所以平行弦中点的轨迹方程为40x y += (在椭圆22:12x M y +=内的部分). （2）设33(,)A x y ，44(,)B x y ，则223322441212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得34343434()()()()02x x x x y y y y +-++-=曲线的范围 化简整理得121212122()y y x xx x y y -+=--+又因为,A B关于点1()22Q对称，则34121x x y y +=+=所以121212122()2AB y y x x k x x y y -+==-=--+故直线AB220y +-=（3）由点(2,1)的位置结合椭圆方程可知直线l 的斜率必然存在， 设弦中点坐标为(,)x y ''，则12l y k x '-='-………………………()i 设直线与椭圆的两交点分别为5566(,),(,)x y x y ，则56562,2x x x y y y ''+=+=又225522661212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得56565656()()()()02x x x x y y y y +-++-= 化简整理得565656562()2l y y x x x k x x y y y '-+==-=-'-+……………()ii 由()i ()ii 联立化简得， 222220x y x y ''''+--=. 所以弦中点的轨迹为：222220x y x y +--=.三、课堂运用【基础】1.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上有一动点P ,F 为椭圆的右焦点，若max min 33PF PF ==，则椭圆的方程为（ ）A ．22194x y +=B ．22154x y +=或22195x y += Ｃ．22195x y += Ｄ．22154x y +=或22194x y += 【答案】Ｃ.【解析】依据题意易得33a c a c +=-=3,a c ==所以椭圆方程为：22195x y += 2.已知直线1l 过椭圆14:22=+y x C 的左焦点1F 且与椭圆相交于B A ,两点，椭圆C 的右焦点为2F ，则2ABF ∆的周长为（ ） Ａ．6 Ｂ． 7 Ｃ．8 Ｄ．9【答案】Ｃ．【解析】如图,因为B A ,在椭圆上，由椭圆的定义，则a AF AF a BF BF 2,22121=+=+所以2ABF ∆的周长842222==+=++=a a a AF BF AB C所以选.C3. 椭圆1649422=+y x 的焦点分别为21,F F ,点M 在椭圆上，若31=PF ,则=2PF ,=∠21PF F .【答案】4；2π. 【解析】由椭圆的定义7221==+a PF PF ，则437712=-=-=PF PF , 又因为5222221=-==b a c F F ，故21PF F ∆为直角三角形，所以221π=∠PF F .4.已知)0,2(),0,2(B A -,动点),(y x P 满足6=+PB PA ,则点),(y x P 的轨迹方程为 .【答案】15922=+y x【解析】因为64<=AB ,所以点),(y x P 的轨迹为椭圆62=a ，则3=a ，2=c522=-=c a b ，故椭圆方程为15922=+y x . 5.若直线2y mx =+与椭圆22142x y +=有且只有一个交点，求实数m 的值.【答案】2m =±【解析】联立22224y mx x y =+⎧⎨+=⎩消y 得22(21)840m x mx +++= 因为直线与椭圆只有一个交点，则22644(21)40m m ∆=-⨯+⨯=解得m =. 【巩固】1. 已知两定点)1,1(),1,1(--B A ，动点P 满足22x =⋅，则点P 的轨迹是（ ）Ａ．圆 Ｂ．椭圆 Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线【答案】Ｂ．【解析】设),(y x P ，)1,1(),1,1(y x PB y x PA ----=--=，则22222x y x =-+=⋅，整理得12422=+y x ，所以是椭圆，选B .2.直线y x a =+与椭圆2212x y +=相交于,A B 两点，若AB =，求a 的值. 【答案】1【解析】联立2222y x a x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得2234220x ax a ++-= 21643(22)0a a ∆=-⨯->恒成立，则a R ∈设1122(,),(,)A x y B x y ，由韦达定理，则1243ax x +=-，212223a x x -=由弦长公式AB ===解得1a =.【拔高】1.过原点的直线l 与曲线C:1322=+y x 相交,若直线l 被曲线C 所截得的线段长不大于6,则直线l 的倾斜角α的取值范围是 ( ).A 656παπ≤≤ .B 326παπ<< .C 323παπ≤≤ .D 434παπ≤≤【答案】Ｄ．【解析】因为截得的线段长不大于6，故直线不可能与x 轴重合，可设直线方程为x my = 联立⎩⎨⎧=+=3322y x myx 消去x 得，03)3(22=-+y m ，设直线与椭圆相交于B A ,两点，则63)3(121222≤+++=m m mAB ，整理得63)1(1222≤++m m ，解得11≤≤-m所以]1,1[1tan -∈==m k α，又),0[πα∈，解得434παπ≤≤.选.D 2. 已知椭圆221169x y +=，12,l l 是过点(0,)P m 且相互垂直的两条直线，问实数m 为何值时，12,l l 与椭圆都有公共点.【答案】[5,5]m ∈-【解析】由题知点(0,)P m 在y 轴上运动，分两种情形讨论（1）当12,l l 中有一条与x 轴平行时，则必有一条是y 轴，此时[3,3]m ∈-； （2）当12,l l 中都不与x 轴平行时，设1:l y kx m =+，则21:l y x m k=-+. 1l 与椭圆有公共点，即22()1169x kx m ++=有实数根，整理得 222(169)32161440k x kmx m +++-=222(32)4(169)(16144)0km k m ∴∆=-+-≥解得22916m k -≥. 2l 与椭圆有公共点，同理可得2219()16m k -≥当3m >时，229()1516m m -≤⇒≤；又5m >时，229259()11616m -->=； 而221,k k必有一个小于等于1，此时12,l l 与椭圆不可能都有公共点. 综上所述5m ≤时，12,l l 与椭圆都有公共点.即[5,5]m ∈-.课程小结本讲主要学习了下面的内容： 直线与椭圆的位置关系课后作业【基础】1.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（ ）.A 2211612x y += .B 221128x y += .C 22184x y += .D 221124x y +=【答案】C【解析】依题可设椭圆方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，则2,42==c c ，8,422=-=-=a c a x ，所以4222=-=c a b ，椭圆方程为22184x y +=，故选.C 2.已知直线m x y +=与椭圆1422=+y x 相交，则实数m 的取值范围为（ ）.A ]5,5[- .B )5,0( .C )0,5(- )5,5.(-D 【答案】Ｄ．【解析】把直线方程m x y +=代入椭圆1422=+y x 得0448522=-++m mx x ，因为相交，所以0)44(206422>--=∆m m ，解得)5,5(-∈m .故选.D3.直线12+=x y 与椭圆15922=+y x 相交于MN 两点，则弦=MN （ ）.A 411060 .B 41106 .C 361041 .D 41102【答案】Ａ．【解析】：联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=1591222y x x y 消去y 得03636412=-+x x ，设),(),,(2211y x N y x M 则a acb ky y x x MN 41)()(22221221-+=-+-=41106041364143652=⨯⨯+⋅=.选.A4.直线l 方程)1(-=x m y ，椭圆134:22=+y x M ，则直线l 与椭圆M 的位置关系为（ ）.A 相交 .B 相离 .C 相切 .D 无法判断 【答案】.A【解析】已知直线)1(-=x m y 过定点)0,1(，定点代入椭圆则1304122<+，过直线过椭圆内部的点，所以直线l 与椭圆M 相交，选.A 【巩固】1.已知直线:2l y x m =+，椭圆22:142x y M +=，试问：当m 取何值时，直线l 与椭圆： ①相交；②相切；③相离.【答案】2323<<-m ；23±=m ；2323>-<m m 或【解析】将m x y +=2代入椭圆消去y 得0428922=-++m mx x ，28144m -=∆①当081442>-=∆m ，即2323<<-m 时，直线与椭圆相切；②当081442=-=∆m ，即23±=m 时，直线与椭圆相切；③当081442<-=∆m ，即2323>-<m m 或时，直线与椭圆相离.2.B A ,是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的短轴端点，点M 是椭圆上异于B A ,的任意一点，直线MA ，MB 与x 轴交点的横坐标分别为21,x x ，求证：21x x ⋅是定值. 【答案】答案见解析【解析】证明：如图)5(C ，),0(),,0(b B b A -，设),(00y x M ，则 直线MA 的方程为：00y by b x x --=……………① 直线MB 的方程为：00y by b x x ++=……………② 由①解得,001b y bx x --=由②解得by bx x +=002，则 2222001222000()()b x b x x x y b y b b y -⋅==-+-……………③ 又因为),(00y x M 在椭圆上，则2200221x y a b+=……………④由④解得)(202222y b a x b -=代入③式，得2222022********)(a y b y b a y b x b x x =--=-=⋅. 所以21x x ⋅是定值.3.过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程.【答案】042=-+y x【解析】法一：设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ）,则2,42121=+=+y y x x14162121=+y x ① 14162222=+y x ② ①-②得04))((16))((21212121=+-++-y y y y x x x x ，整理得21421212121-=++⋅-=--y y x x x x y y所以21-=AB k ，故直线方程为042=-+y x . 法二：设所求直线方程为)2(1-=-x k y ，代入椭圆方程并整理得：016)12(4)2(8)14(2222=--+--+k x k k x k又设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），则21,x x 是方程的两个根，于是14)2(82221+-=+k k k x x ， 又M 为AB 的中点，所以214)2(422221=+-=+k k k x x ， 解得21-=k ， 故所求直线方程为042=-+y x . 【拔高】1.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x M 的离心率为23，右顶点到左焦点的距离为32+（1）求椭圆M 的方程.（2）设直线t x y l +=:与椭圆M 相交于B A ,两点，令)(t f AB =，求)(t f .【答案】（１）1422=+y x （２）52104)(2t t f -=)55(<<-t【解析】（1） 23122=-==a b a c e ①，右顶点到左焦点的距离为32+，则23+=+c a ②，联立①②解得1,3,2===b c a ，椭圆方程为1422=+y x .（2）联立⎩⎨⎧=++=4422y x tx y 消去y 得0448522=-++t tx x ，因为直线与椭圆有两个交点，所以0)44(206422>--=∆t t 解得55<<-t 设),(),,(2211y x B y x A ，则aacb ky y x x AB 41)()(22221221-+=-+-=代入数据得5210451680222t t AB -=-⋅=)55(<<-t所以52104)(2t t f -=)55(<<-t2.已知直线3:=+y x l ，点P 为椭圆12:22=+y x M 上的一动点，则P 到直线l 的距离的最大值和最小值分别为（ ） .A 0,233+ .B 233,233-+ .C 13,13-+ .D 0,13+ 【答案】Ｂ．【解析】设点)sin ,cos 2(θθP ，则23)sin(323sin cos 2-+=-+=ϕθθθd当1)sin(-=+ϕθ时，233max +=d ；当1)sin(=+ϕθ时，233min -=d ，选.B3. M 是椭圆22194x y +=不在坐标轴上的点，12,F F 是它的两个焦点，I 是12MF F ∆的内心，MI 的延长线交12F F 于N ，则MI NI= .【解析】法一：如图,过M 作x 轴的垂线，垂足为G ,过I 作x 轴的垂线，垂足为H ，在21F MF ∆中 I F F I MF I MF F MF S S S S 212121∆∆∆∆++=则)(221212121F F MF MF IH MG F F ++=代入数据得IH c a MG c )(+= 所以11MGIH e =+，又MNG INH ∆≅∆,则111MG MN MI IN MI IH IN IN IN e+===+=+所以1MI NIe ==. 法二：解法二：因为I 是12MF F ∆的内心，所以2IF 平分N MF 2∠,MN 平分21MF F ∠,由角平分线定理，则==IN MI N F M F 22N F MF N F MF 1122=,又由等比定理，则531222121===++=e c a N F N F MF MF IN MI . 4. P 为椭圆22221x y b a+=上一点，B 为椭圆的上顶点，O 为坐标原点，若0OP BP ⋅=uu u r uu r ,则椭圆离心率的取值范围为 .【答案】2e ∈ 【解析】依据题意0OP BP ⋅=uu u r uu r，则90OPB ∠=︒，如图则P 点的轨迹是以OB a =为直径，(0,)2a 为圆心的圆222()()22a ax y +-= (1)又因为P 点在椭圆上，则22221x y b a +=……………………（2） 联立（1）（2）消掉x 得22220c y ay b a-+=222240c a b a ∆=-⋅⋅>，且(0,1)e ∈，解得(2e ∈5.已知P 是椭圆19422=+y x 上的一点（非顶点），过点P 作圆122=+y x 的两条切线，切点分别为B A ,，直线AB 分别与x 轴，y 轴交于N M ,两点. （1）证明：B A O P ,,,四点共圆.（其中O 为坐标原点） （2）求MN 的最小值.【答案】（１）答案见解析（２）56【解析】如图)6(C .(1)证明：因为PB PA ,都与圆122=+y x 相切，B A ,是切点，则OB PB OA PA ⊥⊥,,即︒=∠=∠90PBO PAO ,所以B A O P ,,,四点共圆.（2）B A O P ,,,四点共圆，直径为PO ，设),(00y x P ，则圆心为)2,2(0y x ，圆的方程为22220000()()224x y x y x y +-+-=……………………①221x y +=……………………②①-②整理得100=+y y x x ，直线AB 的方程为100=+y y x x 因为直线AB 与y 轴交点分别为N M ,，则01y y M =，01x x N =MN ==，又),(00y x P 在椭圆上，则2200149x y += 3625623613943613)94)(11(1)11(20202020202020202020=+≥++=++=⋅+x y y x y x y x y x 653625112020=≥+=y x MN ，所以65min=MN . 6. 已知，椭圆C 以过点A （1，32），两个焦点为（－1，0）（1，0）.（1）求椭圆C 的方程；（2）E,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值.【答案】（1）22143x y +=（2）12【解析】（1）由题意，c ＝1,可设椭圆方程为2222114x y b b+=+. 因为A 在椭圆上，所以2219114b b +=+，解得2b ＝3，2b ＝34-（舍去）. 所以椭圆方程为 22143x y +=．（2）设直线ＡＥ方程：得3(1)2y k x =-+，代入22143x y +=得22233+4+4(32)4()1202k x k k x k -+--=（）设Ｅ（E x ，E y ），Ｆ（F x ，F y ）．因为点Ａ（1，32）在椭圆上，所以2234()12234E k x k --=+，32E E y kx k =+-. 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以k -代k ，可得2234()12234F k x k+-=+， 32F F y kx k =-++. 所以直线EF 的斜率()212F E F E EF F E F E y y k x x k k x x x x --++===--.即直线EF 的斜率为定值，其值为12.。
专题三直线与椭圆综合讲解
专题三 直线与椭圆综合1．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b b a +=>>椭圆C 的长轴长为4． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线:l y kx =C 交于A ，B 两点，是否存在实数k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．2．（本小题满分14分） 已知椭圆G 的离心率为，其短轴的两个端点分别为A （0,1）,B（0,-1）．（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）若,C D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点，直线,AC BD 与x 轴分别交于点,M N ．判断以MN 为直径的圆是否过点A ，并说明理由．3．（本小题满分12分）已知直线l ： 323-=x y 过椭圆C ：2221x a b2y ＋＝（a ＞b＞0）的右焦点，且椭圆的离心率为3（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点D （0，1）的直线与椭圆C 交于点A ，B ，求△AOB 的面积的最大值．4．已知椭圆2222:1x y C a b+=（a>b>0）的两个焦点分别为12,F F ，离心率为12，过1F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且2MNF ∆的周长为8．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点O 的两条互相垂直的射线与椭圆C 分别交于A,B 两点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值，并求出这个定值．5．已知椭圆的中心为原点，焦点在x 轴上，离心率为，且经过点(4,1)M ，直线:l y x m =+交椭圆于异于M 的不同两点,A B ．直线MA MB x 、与轴分别交于点E F 、．（1）求椭圆标准方程；（2）求m 的取值范围；（3）证明MEF ∆是等腰三角形．6．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为12，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）若过点(0,)P m 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B ，且3AP PB =，求实数m 的取值范围．7．（本小题满分13分）已知点P （一1，32）是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>上一点F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，O 是坐标原点，PF 1⊥x 轴．（1）求椭圆E 的方程；（2）设A ，B 是椭圆E 上两个动点，满足：(04,2)PA PB PO λλλ+=<<≠且，求直线AB 的斜率8．已知椭圆E ：()22221 0, 0x ya b a b +=>>的离心率 e =，并且经过定点1)2P （1）求椭圆 E 的方程；（2）问是否存在直线y=-x+m ，使直线与椭圆交于 A, B 两点，满足OA OB ⊥,若存在求 m 值，若不存在说明理由．9．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3(1,)2A ，离心率为12，左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）当2F AB ∆的面积为7时，求直线的方程.10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(2, 1)A ，离心率为2，过点(3, 0)B 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）求BM BN ⋅的取值范围.11．（满分14分）如图在平面直角坐标系xoy 中，12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点，顶点B 的坐标是(0,)b ，连接2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接1FC .（1）若点C 的坐标为41(,)33，且2BF =，求椭圆的方程； （2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值. 12．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 过点)3,2(A ，且离心率21=e ． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在过点)4,0(-B 的直线l 交椭圆于不同的两点M 、N ，且满足167OM ON ⋅=（其中点O 为坐标原点），若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．13．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为e =12）， （1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0,0)l y kx m k m =+≠>与椭圆交于P ，Q 两点，且以PQ 为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：△OPQ 面积的最大值及此时直线的方程.参考答案1．（1）2214y x +=；（2）存在实数2k =±使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ．【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，利用椭圆的离心率和长轴长列出方程，解出a 和c 的值，再利用222a b c =+计算b 的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，将直线与椭圆联立，消参，利用韦达定理，得到12x x +、12x x ，由于以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ，所以0OA OB ∙=，即12120x x y y +=，代入12x x 和12y y ，解出k 的值．试题解析：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得22a c a=⎧⎪⎨=⎪⎩解得2a c =⎧⎪⎨=⎪⎩222431b a c =-=-=， 故所求椭圆C 的方程为2214y x +=． （2）存在实数k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ．理由如下：设点11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则⎪⎩⎪⎨⎧=++=14322x y kx y并整理，得22(4)10k x ++-=．（*）则12x x +=，12214x x k =-+． 因为以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ，所以0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=．又2121212()3y y k x x x x =++，()()033121212=++++∴x x k x x k 于是2222163044k k k k +--+=++，解得k = 经检验知：此时（*）式的Δ＞0，符合题意．所以当2k =±时，以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ． 考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系．2．（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）以MN 为直径的圆不过A 点． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知条件设椭圆G 的方程为：()22211y x a a +＝，＞由c a =可得222,1a b ==由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）设11C x y （，），且10x ≠，则11D x y -（，），由已知条件推导出202011x AM AN y -=+-⋅，()220021x y -＝，由此能求出以线段MN 为直径的圆不过点A ．试题解析：（Ⅰ）设椭圆G 的方程为：()22211y x a a +＝，＞,所以,1b =，2c a =，222a c =，∴21c =，∴222,1a b ==， ∴椭圆方程为2212x y += （Ⅱ）设00(,)C x y ，则00(,)D x y -，001AC y k x -=，001BD y k x +=-, 000011:1,:1,y y AC y x BD y x x x -+=+=-- 令0y =，则0000,,11M N x x x x y y -==-+ ∴0000(,1),(,1)11x x AM AN y y =-=---+，∴2001(1)(1)xAM ANy y-⋅=+-+=2200211x yy--+-∵2212xy+=∴22012xy-=，∴22212xAM ANx-⋅==-，∴AM与AN不垂直，∴以MN为直径的圆不过A点．考点：椭圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系3．（Ⅰ）221 62x y+=;【解析】试题分析：（Ⅰ）通过分析可知直线l与x轴的交点为(2,0)，得2c=，又cea==，得a=2222b a c=-=，可得,22=b即可求得椭圆方程为22162x y+=；（Ⅱ）可设直线AB方程为1y kx=+，设1122(,),(,)A x yB x y，故1112AOB AOD BODS S S OD x x∆∆∆=+=-=，为此可联立221162y kxx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22(31)630k x kx++-=，利用韦达定理，求出12122263,3131kx x x xk k-+==++，可得AOBS∆==令21,31tk=+则AOBS∆==1=t，即0k=时，AOBS∆试题解析：（Ⅰ）∵a b>，∴椭圆的焦点为直线l与x轴的交点，∵直线l与x轴的交点为(2,0)，∴椭圆的焦点为(2,0)，∴2c=， 1分又∵3c e a ==，∴a =2222b a c =-= 3分 ∴椭圆方程为22162x y +=． 4分 （Ⅱ） 直线AB 的斜率显然存在，设直线AB 方程为1y kx =+设1122(,),(,)A x y B x y ，由221162y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(31)630k x kx ++-=， 显然0∆>，12122263,3131k x x x x k k-+==++ 6分 1212AOB AOD BODS S S OD x x∆∆∆=+=-=分====分令2,31t k =+则(]0,1t∈， AOB S ∆==1t ∴=，即0k =时，AOB S ∆分考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与曲线相交问题.4．（Ⅰ）22143x y +=；. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由2MNF ∆的周长为8，得4a=8，由12e =得222222314a c e ab a --＝＝＝，从而可求得b ；（Ⅱ）分情况进行讨论：由题意，当直线AB 的斜率不存在，此时可设0000A x x B x x -（，），（，），再由A 、B 在椭圆上可求0x ，此时易求点O 到直线AB 的距离；当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y=kx+m ，代入椭圆方程消掉y 得x 的二次方程，知0∆＞，由OA ⊥OB ，得12120x x y y +=，即12120x x kx m kx m +++=（）（），整理后代入韦达定理即可得m ，k 关系式，由点到直线的距离公式可求得点O 到直线AB 的距离，综合两种情况可得结论，注意检验0∆＞．试题解析：（Ⅰ）由题意知，4a=8，所以a=2，因为12e =，所以222222314a c e ab a --＝＝＝，23b ∴=．所以椭圆C 的方程22143x y +=； （Ⅱ）由题意，当直线AB 的斜率不存在，此时可设0000A x x B x x -（，），（，）．又A ，B 两点在椭圆C 上，222000121437x x x ∴+＝，＝所以点O 到直线AB的距离7d ＝ 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y=kx+m ．22143x y kx m y ⎧⎪⎨+=⎩+⎪＝，消去y 得2223484120k x kmx m +++-=（）． 由已知0∆＞，设1122A x y B x y （，），（，）．212122284343412km m x x x x k k -+-++＝，＝， ()()221212121212120010OA OB x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⊥∴+=∴+++=∴++++，．（）（），＝．()22222222284123431071142m k k k m k m m k -∴+++-+∴=+＝．（），满足0∆＞．所以点O 到直线AB的距离7d ＝为定值. 考点：椭圆标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系5．（1）221205x y +=；（2）(5,3)(3,5)---；（3）详见解析． 【解析】 试题分析：（1，得224a b = ，由经过点(4,1)M ，得221611a b +=，联立求,a b 即可；（2）本题考查直线和椭圆位置关系，要注意判别式的隐含条件，联立椭圆方程和直线方程，利用0∆>和直线不经过点(4,1)M ，得关于m 的不等式，解不等式得m 的取值范围；（3）由数形结合可知，要证明MEF ∆是等腰三角形，只需证明120k k +=，表示两条直线的斜率，利用韦达定理设而不求，可证明120k k +=．试题解析：（1）设椭圆的方程为22221,x y a b+=因为e =，所以224a b =， 又因为椭圆过点(4,1)M ，所以221611a b+=，解得225,20b a ==，故椭圆标准方程为 221205x y += 4分 （2）将y x m =+代入221205x y +=并整理得22584200,x mx m ++-= 令 2(8)m ∆=220(420)0m -->，解得 55m -<<．又由题设知直线不过M （4,1），所以41m +≠，3m ≠-，所以m 的取值范围是(5,3)(3,5)---． 8分（3）设直线,MA MB 的斜率分别为1k 和2k ，要证明MEF ∆是等腰三角形，只要证明120k k +=即可．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由（2）知1285m x x +=-，2124205m x x -=．则1212121144y y k k x x --+=+-- 122112(1)(4)(1)(4)(4)(4)y x y x x x --+--=--．1221(1)(4)(1)(4)y x y x --+-- 1221(1)(4)(1)(4)x m x x m x =+--++--=122x x +12(5)()8(1)m x x m -+--22(420)8(5)8(1)55m m m m --=--- =0， 120k k ∴+=， 所以MEF ∆是等腰三角形． 14分考点：1、椭圆标准方程；2、直线和椭圆位置关系；3、韦达定理.6．（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）3([,3)． 【解析】试题分析：（Ⅰ）椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3a c +=，且离心率为12，结合222a b c =+，求得,a b 的值，进而求椭圆方程；（Ⅱ）直线和圆锥曲线位置关系问题，往往会将直线方程和圆锥曲线方程联立，根据其位置关系注意判别式符号的隐含条件，同时要善于利用韦达定理对交点设而不求。
直线与椭圆相交问题
当直线与椭圆相离时，联立方程组后得到的是二元一次方程 组，此时需要使用消元法或者代入法求解得到交点坐标。
04
CATALOGUE
直线与椭圆相交的应用
在几何中的应用
01 02
直线与椭圆相交的判定
通过判断直线与椭圆的交点个数，可以确定直线与椭圆的位置关系。当 直线与椭圆有两个交点时，直线与椭圆相交；当只有一个交点或没有交 点时，直线与椭圆相切或相离。
行星椭圆轨道的确定
利用开普勒定律和牛顿万有引力定律，可以计算出行星在椭圆轨 道上的运动轨迹。
焦点位置的确定
根据椭圆的定义，可以确定椭圆轨道的两个焦点位置。
行星位置的预测
根据行星在椭圆轨道上的位置和速度，可以预测行星未来的运动轨 迹。
实例二：卫星轨道的计算
卫星椭圆轨道的确定
01
利用开普勒定律和牛顿万有引力定律，可以计算出卫星在椭圆
在工程中的应用
直线与椭圆在机械工程中 的应用
在机械工程中，直线与椭圆相交的情况可以 描述一些机械零件的形状和尺寸。例如，凸 轮机构的轮廓曲线可以用椭圆方程来表示， 而凸轮轴的直线部分则可以看作是与椭圆相 交的直线。通过研究直线与椭圆的相交，可 以设计出符合要求的机械零件形状和尺寸。
直线与椭圆在建筑设计中 的应用
直线与椭圆相交 问题
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目录
• 直线与椭圆的基本概念 • 直线与椭圆相交的判定 • 直线与椭圆相交的解法 • 直线与椭圆相交的应用 • 直线与椭圆相交的实例分析
01
CATALOGUE
直线与椭圆的基本概念
直线的定义和性质
定义
直线是两点之间最短的距离，可 以看作是无数个点的集合。
直线与椭圆综合问题江西省乐平中学高中数学戴婧_OK
＝
1(a>b>0)
的
一
个顶点为 B(0,4)，离心率 e＝ 55，
思维启迪 解析 思维升华 ∴kMN＝xy11－－yx22＝－45·xy11＋ ＋xy22
直线 l 交椭圆于 M，N 两点．
＝－45×－64＝65，
(1)若直线 l 的方程为 y＝x－4，求 弦 MN 的长． (2)如果△BMN 的重心恰好为椭
直线与椭圆的位置关系
已
知
椭
圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝
1(a>b>0)
的
一
个
顶点为 B(0,4)，离心率 e＝ 55，直
思维启迪
解析
思维升华
线 l 交椭圆于 M，N 两点．
(1)若直线 l 的方程为 y＝x－4，求
弦 MN 的长．
(2)如果△BMN 的重心恰好为椭
圆的右焦点 F，求直线 l 方程的一
般式．
已知椭圆 G：xa22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为 36，右焦点为(2 2，
0)．斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A，B 两点，以 AB 为底边作
等腰三角形，顶点为 P(－3,2)．
(1)求椭圆 G 的方程；
(2)求△PAB 的面积．
解 (1)由已知得 c＝2 2，ac＝ 36，解得 a＝2 3.
因为 AB 是等腰△PAB 的底边，所以 PE⊥AB，
所以 PE 的斜率 k＝－23－＋m434m＝－1，解得 m＝2.
11
题型分类·深度剖析
已知椭圆 G：xa22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为 36，右焦点为(2 2，0)．斜 率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A，B 两点，以 AB 为底边作等腰三 角形，顶点为 P(－3,2)． (1)求椭圆 G 的方程； (2)求△PAB 的面积． 此时方程①为 4x2＋12x＝0，解得 x1＝－3，x2＝0，
直线与椭圆的综合应用
直线与椭圆的综合应用直线0=++C By Ax 与椭圆12222=+by a x 联立得：0)(2)(2222222222=-+++B b C a ACx a x B b A a 所以我们有，结论一：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+22222222212222221)(2B b A a B b C a x x B b A a AC a x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+22222222212222221)(2B b A a A a C b y y B b A a BC b y y 22222212212B b A a AB b a y x y x +=+ 结论二：22222222222))((2||B b A a C B b A a B A ab AB +-++= 结论三：0022222>-+⇒>∆C B b A a焦距为2.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)已知直线x-y+m=0与椭圆C 交于不同两点A,B,且线段AB 的中点M 不在圆椭圆的右顶点C,证明这样的直线l恒过定点,并求出该点坐标.8.已知椭圆C 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,F 1、F 2分别为其左、右焦点,P 在椭圆上任意一点,且P F P F 21⋅的最大值为1,最小值为-2.(1)求椭圆C 的方程;(2)设A 为椭圆C 的右顶点,直线l 是与椭圆交于M 、N 两点的任意一条直线,若AN AM ⊥,证明直线l 过定点.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)若直线l:y=kx+m 与椭圆C 相交于A,B 两点(A,B 不是左右顶点),椭圆的右顶点为D,且满足0=⋅DB DA ,试判断直线l 是否过定点,若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.课后习题1.已知椭圆的焦点在x 轴上，短轴长为4 （1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l 过该椭圆的左焦点，交椭圆于M 、N 两点，且MN =l 的方程.2.过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B 两点,O 为坐标原点,求△OAB 的面积.3.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为√22,直线y=k(x-1)与椭圆C 交于不同的两点M,N.(1)求椭圆C 的方程. (2)当△AMN 的面积为√103时,求k 的值.4.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)过点P(2,1),且离心率e=√32. (1)求椭圆C 的方程.(2)直线l 的斜率为12,直线l 与椭圆C 交于A,B 两点.求△PAB 面积的最大值.6．(12分)已知椭圆的中心在原点，焦点为F 1(0，－22)，F 2(0,22)，且离心率e ＝223. (1)求椭圆的方程；(2)直线l (与坐标轴不平行)与椭圆交于不同的两点A 、B ，且线段AB 中点的横坐标为－12，求直线l 斜率的取值范围．7.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为√22,其中左焦点为F(-2,0).(1)求椭圆C 的方程.(2)若直线y=x+m 与椭圆C 交于不同的两点A,B,且线段AB 的中点M 在圆x 2+y 2=1上,求m 的值.8.设椭圆C ：+=1(a>b>0)过点(0，4)，离心率为.(1)求C 的方程. (2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C 所截线段的中点坐标.9.已知点P 坐标为（4，2），椭圆方程为193622=+y x ，问：是否存在过点P 的直线，使得直线与椭圆相交的交点的中点恰为P 点？10.设椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)过M(2,√2),N(√6,1)两点,O 为坐标原点.(1)求椭圆E 的方程.(2)若直线y=kx+4(k>0)与圆x 2+y 2=83相切,并且与椭圆E 相交于A,B 两点,求证:OA →⊥OB →.11.(2016·烟台高二检测)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为√33,过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为4√33. (1)求椭圆的方程.(2)设A,B 分别为椭圆的左、右顶点,过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C,D 两点.若AC →·DB →+AD →·CB →=8,求k 的值.。
直线与椭圆的综合问题共33页
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
直线与椭圆的综合问题 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
直线与椭圆综合应用(含答案)
1、（北京文科19）已知△ABC 的顶点A ，B 在椭圆2234x y +=上，C 在直线l ：y=x+2上， 且AB ∥l ．（Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及△ABC 的面积；（Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．解：（Ⅰ）因为AB ∥l ，且AB 边通过点（0，0），所以AB 所在直线的方程为y=x.设A ，B 两点坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2).由2234,x y y x ⎧+=⎨=⎩得1,x =±所以12AB x -=又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离， 所以12.2ABCh SAB h === （Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y=x+m. 由2234,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得2246340.x mx m ++-= 因为A ，B 在椭圆上， 所以212640.m ∆=-+＞设A ，B 两点坐标分别为（x 1,y 1），（x 2,y 2）.则21212334,,24m m x x x x -+=-=所以12AB x =-=又因为BC 的长等于点（0,m ）到直线l 的距离，即BC =所以22222210(1)11.AC AB BC m m m =+=--+=-++所以当m=-1时，AC 边最长.（这时12640=-+＞）此时AB 所在直线的方程为y=x-1.2、（福建厦门理工学院附中·2010届高三12月考（文））已知椭圆E 的焦点在x 轴上，长轴长为4．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知点(0,1)A 和直线l ：y x m =+，线段AB 是椭圆E 的一条弦且直线l 垂直平分弦AB ，求点B 的坐标和实数m 的值． 解：（Ⅰ）由2a ＝4，得a ＝2离心率为a c ，c ＝3………………………2分222c a b -=＝13、且过点(2,1)A（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:10l x y --=与椭圆C 交于不同的两点,M N ，的值.【解析】本试题主要是考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。
对直线与椭圆综合问题的探究
中学数学教学参考（下旬）2021年第2期思想方法1线与_椭圆综合问题的探究李燕祥，叶朝伦（云南省玉溪市民族中学）摘要：直线与椭圆的综合问题是近年来高考中的高频考点，主要考查学生的数学运算能力和直观想象能 力，求解时需要灵活利用数形结合思想，同时还需要联系解三角形、平面向量、三角恒等变换等知识。
关键词：直线；椭圆；高中数学文章编号：1002-2171 (2021)2-0056-02好题采撷题目：（2019年西安高级中学模考题）如图1，设P 为椭圆C :a2食\U >b >〇)上的动点，为楠圆C 的左、右焦点，7为的内心，则直线和直线/F 2的斜 率之积为（）。
b 2A .C .(a + c)2 c2(r +6)2y ,.pK f , oF^J x图IB .D .b 2(a +b )2c 2(a +b )22思路探究思路1:由于单选题答案唯一，所以可考虑巧取特殊点进行分析。
解法1:假设点P 为椭圆C 短轴上的端点，则易知的内心J 在:v 轴的正半轴上.如 图2,于是可设点/的坐标为 (0，m )(0<m <6)。
又直线 PF2乂pw 7, ^F j J x图2的方程为f + f = 1，即&x +〇/— &=0，所以根据内心的特性可得]cm —be |t ，化简分析：由^/^(工）一/(x )〉0的 除法的构造结构。
-”猜想，应该是4结束语解：令g (:c )=^，则g (:r )为偶函数，尽（1)=g ( —1)/(-I )-10。
又逆>0,贝I J g U )在区间(0，+〇〇)内单调递增，同时由偶函数可知g C x )在区 间（一〇〇,0)内单调递减。
由/U )>0有|工〉〇，i ^(x )>0或|x <0，1 尺(x X O ,则1>1或一 l <x <0。
所以使得函数/(1)>0成立的I 取值范围为(—1 »〇) U (1 >+°°) 〇求解抽象函数不等式问题时，往往需要综合应用函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性、定义域、值域 等解题。
直线与椭圆专题讲评
课堂引申 (3) 若N点坐标为(4，0)，求证：E、F、N三点共线．
过椭圆上一点的 直线与椭圆相交——求交点
N 的坐标(4k22－k2＋4k－1 2，－22k2k－2＋41k＋1)．
第一步：联立、消元
第二步：检验
第三步：韦达定理求x 第四步：代入直线方程，求y
A
B
C
（过椭圆上一点的）直线与椭圆相交——求 E
A
O
M F Bx
二
（过原点的）直线与椭圆相交——求交点
（过椭圆上一点的）直线与椭圆相交——求交点
检验——提高正确率！
韦达定理——用“乘法”
解：2c＝2 6，c＝ 6，
设椭圆方程为b2x＋2 6＋by22＝1，代入点(2，1)，
则b2＋4 6＋b12＝1，解得 b2＝2，
因此椭圆标准方程为x82＋y22＝1． 设直线 l 为 y－1＝k(x－2)，即 y＝kx－2k＋1，
过椭圆上一点的 直线与椭圆相交——求交点
N：yx＝ 2＋k4xy＋2－(18－＝20k． )， 整理得：(1＋4k2)x2＋(8k－16k2)x＋16k2－16k－4＝0．
第一步：联立、消元
检验：x＝2 时， 4＋16k2＋16k－32k2＋16k2－16k－4＝0 成立．
第二步：检验
x1x2＝16k21－＋146kk2－4，且 x1＝2，所以 xN＝8k21－＋84kk－2 2， 第三步：韦达定理求x
yN＝k(xN－2)＋1＝k·－18＋k－k2 4＋1＝－4k12＋－44kk2＋1，
第四步：代入直线方程，求y
因此点 N 坐标为(8k21－＋84kk－2 2，－4k12＋－44kk2＋1)．
巩固练习 已知椭圆x62＋y32＝1，过椭圆上一点 M(2，1)， 且斜率为 k 的直线与椭圆交于点 N，则点 N 的坐标为______________．
直线与椭圆的综合问题
所以符合题意的直线 l 不存在. 考点一 考点二
考点三
考点四
-21-
-22-
解法二:(1)依题意,可设椭圆
C
的方程为������������22
+
������2 ������2
=1(a>b>0),
且有
4 ������2
+
9 ������2
=
1,解得
b2=12
或
b2=-3(舍去).从而
a2=16.
法二 A，B 两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)， 由O→B＝2O→A及(1)知，O，A，B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上，因此可设直线 AB 的方程为 y＝kx. 将 y＝kx 代入x42＋y2＝1 中，得(1＋4k2)x2＝4， 所以 x2A＝1＋44k2.
由O→B＝2O→A，得 x2B＝1＋164k2，y2B＝11＋6k42k2. 将 x2B，y2B代入1y62 ＋x42＝1 中，得14＋＋4kk22＝1，即 4＋k2＝1 ＋4k2， 解得 k＝±1.故直线 AB 的方程为 y＝x 或 y＝－x.
故
x
1＋x2＝－k
22＋k 4，x
1x
2＝－k
3 2＋4.
8分
若O→A⊥O→B，则 x1x2＋y1y2＝0.
而 y1y2＝k2x课1x2堂＋互k(x动1＋讲x2)练＋1，9 分
于是 x1x2＋y1y2＝－k2＋3 4－k32＋k24－k22＋k24＋1
＝－k42k＋2＋4 1＝0，
化简得－4k2＋1＝0，所以 k＝±1. 2
化州市第一中学 张海玲
一、直线与椭圆的位置关系的判断
将直线方程与椭圆方程联立，消去一个变量得到关于 x(或 y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或 ay2＋by＋c＝0)．
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一道直线与椭圆综合问题研究
已知椭圆C 的方程是22
221(0)x y a b a b
+=>>，椭圆上的点到两焦点的距离之和为6，以坐标原点为圆心，b
为半径的圆和直线0x y +=相切。
（1）求椭圆的离心率；
（2）若直线l 和椭圆C 交于,M N 两点，以MN 为直径的圆过点(3,0)A ，求A M N ∆面积的最大值。
解：（1）263a a =⇒=
，由相切，得1b ==，
所以3e === （2）由（1），椭圆方程为2
219
x y +=， 当直线斜率为0时，设为y m =，将y m =代入2
219
x y +=
，得x =±
所以221(1)3233222m m S x m +-=⨯⋅==⨯=。
当直线斜率不为0时，
设:l x ty λ=+，1122(,),(,)M x y N x y ，由2219
x ty x y λ=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(9)290t y t y λλ+++-=， 由0∆>得，229t λ<+， 所以212122229,99
t y y y y t t λλ--+==++，1212()2x x t y y λ+=++， 2212121212()()()x x ty ty t y y t y y λλλλ=++=+++。
因为以MN 为直径的圆过点(3,0)A ，所以0AM AN ⋅=u u u r u u u r ，
所以1122(3,)(3,)0x y x y -⋅-=，所以1212123()90x x x x y y -+++=， 所以22
1212(1)(3)()690t y y t y y λλλ++-++-+=， 所以222222(1)(9)2(3)69099
t t t t λλλλλ+---+-+=++，
所以2222222(1)(9)2(3)(9)69(9)09
t t t t t λλλλλ+---++-++=+， 所以2527360λλ-+=，解得125
λ=或3. 依题意，3λ≠，否则点,,A M N 不构成三角形。
所以12.5λ= 所以1212222481,5(9)25(9)
t y y y y t t -+==-++，
所以12MN y y =-=， 又点A 到直线l
的距离为3
d =
所以19225S MN d =⋅=
令9)γγ=≥，则2281
25t γ-=，所以29993144144248
S γγγγ
==≤=++， 当且仅当12γ=时等号成立。
综上，AMN ∆面积的最大值为3.2。