剪切力和扭矩

7.5 等直圆轴扭转时的变形及刚度条件
7.5.1 圆轴扭转时的变形
轴的扭转变形用两横截面的相对扭转角：
d T
dx GIp
d T dx
GIp
当扭矩为常数，且
G
I
也为常量时，
p
相距长度为l的两横截面相对扭转角为
d T dx Tl
l
l GIp
GI p
rad
式中 GIp 称为圆轴扭转刚度， 它表示轴抵抗扭转变形的能力。
第七章 剪切与扭转
7.1 扭转的概念及外力偶矩的计算
扭转的概念 轴是以扭转变形为主要变形的直杆
作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆引起的变形， 称扭转变形。 变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了
一个角度，称为扭转角，用 表示
外力偶矩的计算
已知轴所传递的功率和轴的转速。导出外力偶矩、 功率和转速之间的关系为：
相对扭转角的正负号由扭矩的正负号确定， 即正扭矩产生正扭转角，负扭矩产生负扭转角。 若两横截面之间T有变化，或极惯性矩变化，亦 或材料不同（切变模量G变化），则应通过积分 或分段计算出各段的扭转角，然后代数相加，即：
n
Tili
i1 Gi I pi
对于受扭转圆轴的刚度通常用相对扭转角沿杆
长度的变化率用 表示，称为单位长度扭转角。
1.5106 N mm 295102 mm3
50.8 MPa
3、强度校核
max 50.8 MPa
主传动轴安全
例题7.3 如把上题中的汽车主传动轴改为实心 轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定实 心轴的直径，并比较空心轴和实心轴的重量。
解：1、求实心轴的直径，要求强度相同，即实心 轴的最大切应力也为51 MPa，即
NB 4.5 kW ， NC 3.5 kW
ND 2.0 kW ，试求各段扭矩。
解：1、计算外力偶矩
M eA
9549
NA n
9549 10 kW 300 r min
318.3
Nm
M eB
9549
NB n
9549 4.5 kW 143.2 300 r min
Nm
M eC
9549
NC n
m 9550 N n
式中 m----作用在轴上的外力偶矩，单位为Nm N-----轴传递的功率，单位为KW n------轴的转速，单位为r/min。
7.2 圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图 7.2.1 扭矩 平衡条件
M x 0
T Me
内力偶矩T称为扭矩
扭矩的单位：
N m 或 kN m
扭矩的正负号规定为：自截面的外法线向截面看， 逆时针转向为正，顺时针转向为负
许用单位长度扭转角 0.5 (o) m
切变模量 G 80 GPa 求传动轴所需的直径？
解：1、计算轴的扭矩
T 9549 60 kW 2292 N m 250 r min
2、根据强度条件求所需直径
T Wp
16T πd 3
16T 16 2292103 N mm
d 3 π 3
T3 MeD 63.7 N m
（图e）
T2 ，T3 为负值说明实际方向与假设的相反。
3、作扭矩图
T 175N m max
7.3 等直圆轴扭转时横截面上的切应力
7.3.1 实心圆轴横截面上的应力 1、变形几何关系
⑴ 变形后，圆轴上所有的横截面均保持为平面， 即平面假设；
⑵ 横截面上的半径仍保持为直线； ⑶ 各横截面的间距保持不变。
上式称为圆轴扭转强度条件。
T Wp
max
试验表明，材料扭转许用切应力
塑性材料 0.5 ~ 0.6
脆性材料 0.8 ~ 1.0
例题7.2 汽车的主传动轴，由45号钢的无缝钢管
制成，外径 D 90 mm，壁厚 2.5 mm ， 工作时的最大扭矩 T 1.5 N m ，
即：
d T
dx GIp
7.5.2 圆轴扭转刚度条件
对于建筑工程、精密机械，刚度的刚度条件：
max
在工程中 的单位习惯用（度/米）表示， ，
将上式中的弧度换算为度，得：
max
T GIp
max
180 π
对于等截面圆轴，即为：max
Tmax GIp
180 π
许用扭转角的数值，根据轴的使用精密度、 生产要求和工作条件等因素确定。
若材料的许用切应力 60 MPa ，
试校核该轴的强度。
解：1、计算抗扭截面系数 主传动轴的内外径之比
d 90 2 2.5 0.944
D
90
抗扭截面系数为
Wp
D3
16
(1
4)
(90)3 16
(1
0.9444 )
mm3
295
102 mm3
2、计算轴的最大切应力
max
T
Wp
l GIp
(2TAB
TBC )
Ip
πd 4 32
π (50)4 32
mm4
61.36104
mm4
AD
80 103
500 61.36104
(2 2106 1106 )
0.051 rad
例题7.5 主传动钢轴，传递功率P 60 kW，转速
n 250 r min，传动轴的许用切应力 40 MPa
9549 3.5 kW 111.4 300 r min
Nm
M eD
9549
ND n
9549 2.0 kW 63.7 300 r min
Nm
2、分段计算扭矩，分别为
T1 M eB 143.2 N m （图c） T2 MeB MeA 143.2 N m-318.3 N m -175 N m （图d）
π 40MPa
66.3 mm
3、根据圆轴扭转的刚度条件，求直径
T 180
GIp π
d
4
32T
Gπ
4
80 103
32 2292 103 N mm MPa 0.5 (o) 103mm
π
76 mm π
180
故应按刚度条件确定传动轴直径，取 d 76 mm
对一般传动轴
0.5 (o) m ~ 1.0 (o) m
对于精密机器的轴
0.15 (o) m ~ 0.30 (o) m
例题7.4 图示轴的直径 d 50 mm，切变模量
G 80 GPa试计算该轴两端面之间的扭转角。
解：两端面之间扭转为角：
AD
TABl GIp
ຫໍສະໝຸດ Baidu
TBC l GI p
TCDl GI p
扭矩图
常用与轴线平行的x坐标表示横截面的位置，以与 之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩，把计算结果 按比例绘在图上，正值扭矩画在x轴上方， 负值扭矩画在x轴下方。这种图形称为扭矩图。
例题7.1 图示传动轴，转速 n 300 r min ，A轮为
主动轮，输入功率 NA 10 kW，B、C、D为从动 轮，输出功率分别为
d
dx
2、物理关系
G
G
G
d
dx
3、静力学关系
A dA T
G d 2dA T dx A
A 2dA Ip 称截面的极惯性矩
d T
dx GIp
T
Ip
得到圆轴扭转横截面上 任意点切应力公式
当 R 时，表示圆截面边缘处的切应力最大
max
T Ip
T Wp
R
式中 Wp 称为抗扭截面系数。
T
Wp
1.5106 N mm
πD13
51MPa
16
161.5106 N mm
D1 3
π 51 MPa
53.1 mm
2、在两轴长度相等、材料相同的情况下， 两轴重量之比等于两轴横截面面积之比，即：
A空 A实
π (D2 d 2) 4
π 4
D12
902 852 53.12
0.31
讨论：由此题结果表明，在其它条件相同的情况 下，空心轴的重量只是实心轴重量的31%，其节 省材料是非常明显的。
D
空心圆的抗扭截面系数
WP
IP D/2
D3
16
(1 4 )
极惯性矩的量纲是长度的四次方， 常用的单位为mm4 抗扭截面系数的量纲是长度的三次方， 常用单位为mm3
7.4 等直圆轴扭转时的强度计算
7.4.1 圆轴扭转强度条件 工程上要求圆轴扭转时的最大切应力不得超过
材料的许用切应力 ，即
max
它是与截面形状和尺寸有关的量。
7.3.2 极惯性矩和抗扭截面系数
实心圆截面的极惯性矩：
IP
A2dA 2
A
D 2
3d
D4
0
32
抗扭截面系数为：
WP
IP D/2
D4
32 D
2
D3
16
空心圆极惯性矩轴：
IP
A2dA 2
A
D
2 d
2
3d
32
(D4
d
4)
D4
32
(1
4)
式中 d 为空心圆轴内外径之比。