2018年高等数学定积分复习攻略

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高等数学定积分及重积分的方法与技巧

高等数学定积分及重积分的方法与技巧第一部分定积分的计算一、定积分的计算例1 用定积分定义求极限. )0(21lim 1>++++∞→a nn a a a a n . 解原式=∫∑=⋅=∞→1011lim a ani n x n n i dx =aa x a +=++11111. 例2 求极限 ∫+∞→121lim xx n n dx .解法1 由10≤≤x ，知nn x x x ≤+≤210，于是∫+≤1210x x n ∫≤1n x dx dx .而∫10nx ()∞→→+=+=+n n n x dx n 0111101，由夹逼准则得∫+∞→1021lim xx n n dx =0. 解法2 利用广义积分中值定理()()x g x f ba ∫()()∫=b ax g f dx x dx （其中()x g 在区间[]b a ,上不变号）， ().1011112102≤≤+=+∫∫n n nn dx x dx xx x x由于11102≤+≤nx，即211nx+有界，()∞→→+=∫n n dx x n01110，故∫+∞→1021lim x x n n dx =0. 注（1）当被积函数为()22,x a x R +或()22,a x x R −型可作相应变换.如对积分()∫++3122112xxdx，可设t x tan =；对积分()02202>−∫a dx x ax x a，由于()2222a x a x ax −−=−，可设t a a x sin =−.对积分dx e x ∫−−2ln 021，可设.sin t e x =−（2）()0,cos sin cos sin 2≠++=∫d c dt td t c tb t a I π的积分一般方法如下：将被积函数的分子拆项，[分子]=A[分母]+B[分母]′，可求出22dc bdac A ++=，22dc adbc B +−=. 则积分 ()220cos sin ln 2cos sin cos sin πππtd t c B A dt td t c t d t c B A I ++=+′++=∫.ln2dc B A +=π例3 求定积分()dx x x x ∫−1211arcsin分析以上积分的被积函数中都含有根式，这是求原函数的障碍.可作适当变换，去掉根式. 解法1 ()dxx x x ∫−1211arcsin 2tx x t ==12121211212arcsin arcsin arcsin 21arcsin 2tt d t dt tt ==−∫∫.1632π=解法2 ()dx x x x∫−1211arcsin .163cos sin cos sin 2sin 2242242πππππ==⋅=∫u du u u uu u u x 小结（定积分的换元法）定积分与不定积分的换元原则是类似的，但在作定积分换元()t x ϕ=时还应注意：（1）()t x ϕ=应为区间[]βα,上的单值且有连续导数的函数；（2）换限要伴随换元同时进行；（3）求出新的被尽函数的原函数后，无需再回代成原来变量，只要把相应的积分限代入计算即可.例4 计算下列定积分（1）∫+=2031cos sin sin πx x xdx I ， dx xx xI ∫+=2032cos sin cos π；（2）.1cos 226dx e xx ∫−−+ππ解（1）∫+=2031cos sin sin πxx xdx I)(sin cos cos 2023du u u uu x −+−=∫ππ=.sin cos cos 223∫=+πI dx xx x故dx xx xx I I ∫++==203321cos sin cos sin 21π=()41cos cos sin sin 212022−=+−∫ππdx x x x x . （2）=I .1cos 226dx e x x ∫−−+ππ()dxe xdu e uu x x u ∫∫−−+=−+−=2262261cos 1cos ππππ+++=∫∫−−2222661cos 1cos 21ππππdx e x dx e x e I x x x.3252214365cos cos 21206226πππππ=×××===∫∫−xdxxdx这里用到了偶函数在对称取间上的积分公式以及公式：dx xdx n n∫∫=2020cos sin ππ()()()()()()=⋅×−×−−=×−×−−=偶数奇数n n n n n n n n n n ,22421331,1322431π小结（1）常利用线性变换把原积分化为可抵消或可合并的易于积分的形式。

定积分学习要点

定积分一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1．理解定积分的概念及其性质． 2．了解定积分的几何意义．3．了解变上限的定积分的性质，熟练掌握牛顿莱布尼茨公式． 4．掌握定积分的换元法和分部积分法．5．了解无穷区间上的广义定积分的几何意义，牛顿–莱布尼茨公式，定各分的换元法和分部积分法．重点定积分的概念及定积分的几何意义，牛顿–莱布尼茨公式，定积分的换元法和分部积分法．难点变上限的定积分，定积分的换元法和分部积分法．（二）内容提要 1．曲边梯形所谓曲边梯形是指由曲线、直线和数轴所围成的平面图形． 2．定积分的概念与定积分的几何意义（1）定积分的概念设函数)(x f y =在区间],[b a 上有定义，任取分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210Λ，把区间],[b a 分成n 个小区间),2,1]([,1n i x x i i Λ=-，记为{}i ni i i i x n i x x x ∆==-=∆≤≤-11max ),,,2,1(λΛ，再在每个小区间],[1i i x x -上，任取一点i ξ，取乘积i i x f ∆)(ξ的和式，即ini ix f ∆∑=1)(ξ．如果0→λ时上述极限存在（即这个极限值与],[b a 的分割及点i ξ的取法均无关），则称函数)(x f 在闭区间],[b a 上可积，并且称此极限值为函数)(x f 在],[b a 上的定积分，记做⎰bax x f d )(，即⎰∑=→λ∆ξ=b ani i i x f x x f 1)(lim d )(，其中)(x f 称为被积函数，x x f d )(称为被积表达式，x 称为积分变量，],[b a 称为积分区间，a 与b 分别称为积分下限与积分上限，符号⎰bax x f d )(读做函数)(x f 从a 到b 的定积分．关于定积分定义的说明：①定积分是特定和式的极限，它表示一个数．它只取决于被积函数与积分下限、积分上限，而与积分变量采用什么字母无关，例如⎰⎰=2/π02/π0d sin d sin t t x x ，一般地有⎰bax x f d )(=⎰bat t f d )(．②定积分的存在定理：如果)(x f 在闭区间],[b a 上连续或只有有限个第一类间断点，则)(x f 在],[b a 上可积．（2）定积分的几何意义设)(x f 在],[b a 上的定积分为⎰bax x f d )(，其积分值等于曲线)(x f y =、直线b x a x ==,和0=y 所围成的在x 轴上方部分与下方部分面积的代数和．3．定积分的性质（1）积分对函数的可加性，即⎰⎰⎰±=±bab abax x g x x f x x g x f d )(d )(]d )()([,可推广到有限项的情况，即⎰⎰⎰±±=±±±bab aban n x x f x x f x x f x fx f d )(d )(d )]()()([121ΛΛ．（2）积分对函数的齐次性，即⎰⎰=babak x x f k x x kf )( d )(d )(为常数．（3）如果在区间],[b a 上1)(≡x f ，则⎰-=b aa b x d 1．（4）（积分对区间的可加性）如果b c a <<，则⎰⎰⎰+=bac abcx x f x x f x x f d )(d )(d )(．注意：对于c b a ,,三点的任何其他相对位置，上述性质仍成立，仍有⎰⎰⎰+=bac abcx x f x x f x x f d )(d )(d )(．（5）（积分的比较性质）如果在区间],[b a 上有)()(x g x f ≤，则⎰⎰≤b abax x g x x f d )(d )(．（6）（积分的估值性质）设M 与m 分别是函数)(x f 在闭区间],[b a 上的最大值与最小值，则)(d )()(a b M x x f a b m ba-≤≤-⎰．（7）（积分中值定理）如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则在区间],[b a 上至少存在一点ξ，使得⎰-ξ=baa b f x x f ))((d )(．4．变上限的定积分（1）变上限的定积分当x 在],[b a 上变动时，对应于每一个x 值，积分⎰xat t f d )(就有一个确定的值，⎰xat t f d )(因此是变上限的一个函数，记作⎰≤≤=xab x a t t f x )( d )()(Φ，称函数)(x Φ为变上限的定积分．（2）变上限的定积分的导数如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则变上限定积分⎰=xat t f x d )()(Φ在闭区间],[b a 上可导，并且它的导数等于被积函数，即⎰≤≤=='=xa b x a x f t t f xx x )( )(d )(d d )(d d ΦΦ． 5．无穷区间上的广义积分设函数)(x f 在),[+∞a 上连续，任取实数a b >，把极限⎰+∞→bab x x f d )(lim 称为函数)(x f 在无穷区间上的广义积分，记做⎰⎰∞+∞→=baab x x f x x f d )(lim d )(，若极限存在，则称广义积分⎰∞+ax x f d )(收敛；若极限不存在，则称广义积分⎰∞+axx f d )(发散．类似地，可定义函数)(x f 在(]b ,∞-上的广义积分为⎰⎰∞--∞→=baba x x f x x f d )(lim d )(．函数)(x f 在区间),(+∞-∞上的广义积分为⎰⎰⎰∞+∞-∞-∞++=ccx x f x x f x x f d )(d )(d )(，其中c 为任意实数，当右端两个广义积分都收敛时，广义积分⎰∞+∞-x x f d )(才是收敛的；否则广义积分⎰+∞∞-x x f d )(是发散的．6．微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，如果)(x F 是)(x f 的任意一个原函数，则)()()(d )(a F b F x F x x f baba -==⎰，以上公式称为微积分基本定理，又称牛顿–莱布尼茨公式． 7．定积分的计算（1）定积分的换元法设函数)(x f 在],[b a 上连续，令)(t x ϕ=，则有⎰⎰'=b aat t t f t x xx f d )()]([)(d )(βϕϕϕ，其中函数应满足以下三个条件： ①b a ==)(,)(βϕαϕ；②)(t ϕ在],[βα上单值且有连续导数；③当t 在],[βα上变化时，对应)(t x ϕ=值在],[b a 上变化．上述公式称为定积分换元公式．在应用换元)(t x ϕ=公式时要特别注意：用变换把原来的积分变量x 换为新变量t 时，原积分限也要相应换成新变量t 的积分限，也就是说，换元的同时也要换限．原上限对应新上限，原下限对应新下限．（2）定积分的分部积分公式设函数)(),(x v x u 在区间],[b a 上均有连续导数，则⎰⎰-=babab au v uv v u d )(d ．以上公式称为定积分的分部积分公式，其方法与不定积分类似，但结果不同，定积分是一个数值，而不定积分是一类函数．（3）偶函数与奇函数在对称区间上的定积分设函数)(x f 在关于原点对称区间],[a a -上连续，则 ①当)(x f 为偶函数时，⎰⎰-=aa ax x f x x f 0d )(2d )(，②当)(x f 为奇函数时，⎰-=aax x f 0d )(．利用上述结论，对奇、偶函数在关于原点对称区间上的定积分计算带来方便．二、主要解题方法1．变上限的定积分对上限的求导方法例 1 已知 ⎰+=t t x xx F d 1sin )(2 ，求 )(x F '．解 ⎰+=x x t t x F sin 2d 1)(=⎰+c x t t 2d 1+⎰+xct t sin d 1=⎰+-2d 1x ct t ⎰++x ct t sin d 1，)(x F '=)2(12x x +-+x x cos sin 1⋅+=++-212x x x x cos sin 1⋅+．小结如果定积分上限是x 的函数，那么利用复合函数求导公式对上限求导；如果定积分的下限是x 的函数，那么将定积分的下限变为变上限的定积分，利用复合函数求导公式对上限求导；如果复合函数的上限、下限都是x 的函数，那么利用区间可加性将定积分写成两个定积分的和，其中一个定积分的上限是x 的函数，另一个定积分的下限也是x 的函数，都可以化为变上限的定积分来求导．2．利用换元积分法计算定积分的方法例2 计算（1）⎰+-4d 11x xx，（2）⎰4π04d tan sec x x x ．解（1）利用换元积分法，注意在换元时必须同时换限．令 x t =，x 2t = ，t t x d 2d = ，当0=x 时，0=t ，当4=x 时，2=t ，于是⎰+-40d 11x x x=⎰+-20d 211t t t t =⎰+--20d ]1424[t tt [].3ln 44021ln 442-=+--=t t t（2）⎰4π04d tan sec x x x =⎰4π03)(sec d sec x x43411sec 414π04=-==x ．小结用换元积分法计算定积分，如果引入新的变量，那么求得关于新变量的原函数后，不必回代，直接将新的积分上下限代入计算就可以了．如果不引入新的变量，那么也就不需要换积分限，直接计算就可以得出结果．3．利用分部积分法计算定积分的方法分部积分公式为⎰⎰-=baba b au v uv v u d d .例3 计算（1）⎰1d arctan x x ，（2）x x x d ln 2e e1⎰．解（1）⎰1d arctan x x =10arctan x x⎰+-102d 1x x x=102)1ln(214πx +- =2ln 214-π ．（2）由于在[1,e1]上0ln ≤x ；在[2e ,1]上0ln ≥x ，所以x x x d ln 2e e1⎰=x x x d )ln (1e1⎰-+x x x d ln 2e 1⎰=)2(d ln 21e1x x ⎰-+)2d(ln 2e 12x x ⎰=[-x x ln 22+42x ]1e 1+[x x ln 22-42x ]2e 1=41-（412e 1+212e 1）+（4e -414e +41） =21-432e 1+434e ．小结被积函数中出现绝对值时必须去掉绝对值符号，这就要注意正负号，有时需要分段进行积分.4．广义积分的计算方法例4 判别下列广义积分的敛散性，如果收敛计算其值 . (1)⎰∞++022d )1(x x x ， (2)x x d )2(1302⎰- ．解 (1) 因为积分区间为无穷区间，所以原式=+∞→b lim ⎰+bx x x 022d )1(=+∞→b lim ⎰++b x x 0222)1()1(d 21=bb x 02])1(21[lim +-+∞→ =]21)1(21[lim 2++-+∞→b b =21，故所给广义积分收敛，且其值为21． (2) 因为 2→x 时，∞→-2)2(1x ，所以2=x 为间断点．原式=⎰-→-+112020)2(d lim εεx x +⎰+→-+322022)2(d lim εεx x =11200]21[lim εε-→--+x +32022]21[lim εε+→--+x=]211[lim 101-+→εε+]11[lim 202εε+-+→=∞，故广义积分发散．小结由上例可见，对于积分区间是有限的积分，首先要判断是定积分（称常义积分）还是被积函数有无穷间断点的广义积分．否则会出现错误的结果．如上例⎰-302)2(d x x =321--x =211--=23-错误结果．三、学法建议1．本章的重点是定积分的概念及几何意义．牛顿–莱布尼茨公式，定积分的换元积分法与分部积分法．2．学好本章内容，首先要理解定积分的概念，掌握用定积分的思想分析问题解决问题的方法．3．要深刻理解微积分基本定理：牛顿–莱布尼茨公式。

高三复习-定积分计算详细步骤

定积分计算详细步骤首先分析积分区间是否关于原点对称，其次考虑被积函数是否具有周期性，再次考察被积函数是否可以转换为“反对幂指三”五类基本函数中两个类型函数的乘积，或者是否包含有正整数n参数，或者包含有抽象函数的导数乘项等。

定积分的计算一般思路与步骤Step1：分析积分区间是否关于原点对称，即为[-a,a]，如果是，则考虑被积函数的整体或者经过加减拆项后的部分是否具有奇偶性，如果有，则考虑使用“偶倍奇零”性质简化定积分计算。

Step2：考虑被积函数是否具有周期性，如果是周期函数，考虑积分区间的长度是否为周期的整数倍，如果是，则利用周期函数的定积分在任一周期长度的区间上的定积分相等的结论简化积分计算。

Step3：考察被积函数是否可以转换为“反对幂指三”五类基本函数中两个类型函数的乘积，或者是否包含有正整数n参数，或者包含有抽象函数的导数乘项，如果是，可考虑使用定积分的分部积分法计算定积分。

Step4：考察被积函数是否包含有特定结构的函数，比如根号下有平方和、或者平方差（或者可以转换为两项的平和或差的结构），是否有一次根式，对于有理式是否分母次数比分子次数高2次以上；是否包含有指数函数或对数函数，对于具有这样结构的积分，考虑使用三角代换、根式代换、倒代换或指数、对数代换等；换元的函数一般选取严格单调函数；与不定积分不同的是，在变量换元后，定积分的上下限必须转换为新的积分变量的范围，依据为：上限对上限、下限对下限；并且换元后直接计算出关于新变量的定积分即为最终结果，不再需要逆变换换元！计算方法定积分定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的极限。

这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而不存在不定积分。

定积分的计算方法与技巧

定积分的计算方法与技巧定积分是高等数学中重要的一部分，它在数学、物理学、工程学等领域都有广泛应用。

本文将介绍定积分的基本概念和计算方法，以及一些常用的技巧。

一、定积分的基本概念定积分是对连续函数在一定区间上的面积进行求解的方法。

设f(x) 在区间 [a,b] 上连续，则它在该区间上的定积分为：∫(b,a) f(x) dx其中，∫是积分符号，f(x) 是被积函数，dx 表示积分变量。

二、定积分的计算方法1. 基本积分公式对于一些常见的函数，有一些基本积分公式可供使用。

比如：∫x^n dx = x^(n+1) / (n+1) + C (n≠-1)∫e^x dx = e^x + C∫sinx dx = -cosx + C∫cosx dx = sinx + C等等，使用这些基本积分公式可以简化复杂的计算过程。

2. 函数的分段积分对于一些在区间上不连续的函数，可以尝试将区间划分成几个子区间，然后在每个子区间上分别进行积分计算。

这个方法被称为分段积分。

3. 反常积分对于某些函数，其在一定区间上可能无法被积分，这时需要使用反常积分的方法进行计算。

反常积分分为两种情况：无穷积分和间断积分。

无穷积分是对于某些函数在无穷区间上的积分。

间断积分是对于某些函数在一定区间上存在间断点的积分。

三、定积分的技巧1. 积分中的代换对于一些复杂的积分式，可以使用代换的方法将其转化成一些已知的积分式，从而简化计算。

例如，对于∫cos(x^2)dx ，可以使用代换 y=x^2 ，将积分式转化成∫cos(y)dy 。

2. 微积分基本定理微积分基本定理指出，对于连续函数 f(x) ，其在区间 [a,b] 上的定积分可以表示成其原函数 F(x) 在区间 [a,b] 上的值之差，即：∫(b,a) f(x) dx = F(b) - F(a)这个定理可以用来简化一些定积分的计算。

3. 奇偶对称性对于一些奇偶对称的函数，其在区间 [a,b] 上的定积分可以简化为：∫(b,a) f(x) dx = 2∫(b,a/2) f(x) dx （偶函数）∫(b,a) f(x) dx = 0 （奇函数）例如，对于 f(x) = sin(x) ，其在区间 [0,π] 上的定积分可以简化为：∫(π,0) sin(x) dx = 2∫(π/2,0) sin(x) dx = 24. 积分中的分数分解对于一些积分式中含有分数的情况，可以使用分数分解的方法将其拆分成一些已知的积分式。

18年高考数学常见题型解法归纳反馈训练第18讲求定积分的方法

第18讲求定积分的方法【知识要点】一、曲边梯形的定义我们把由直线,,0x a x b y ===和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形. 二、曲边梯形的面积的求法分割→近似代替（以直代曲）→求和→取极限三、定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b ax n-D =），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n x =L ，作和式：11()()nnn ii i i b aS f x x f n ξ==-=∆=∑∑如果x D 无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分.记为：()baS f x dx =⎰，其中⎰是积分号，b 是积分上限，a 是积分下限，()f x 是被积函数，x 是积分变量，[,]a b 是积分区间，()f x dx是被积式.说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，可以是正数，也可以是负数，也可以是零，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）记为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b af n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ 四、定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1()()()bba akf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数（定积分的线性性质）；性质21212[()()]()()bb baaaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰（定积分的线性性质）；性质3()()()()bc baacf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性）五、定积分的几何意义（1）从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积.（2）从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≤，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积的相反数.（3）从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续，且函数()y f x =的图像有一部分在x 轴上方，有一部分在x 轴下方，那么定积分()baf x dx ⎰表示x 轴上方的曲边梯形的面积减去下方的曲边梯形的面积.（4）图中阴影部分的面积S=12[()()]baf x f x dx -⎰六、微积分基本定理一般地，如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()()()baf x dx F b F a =-⎰，这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼茨公式.为了方便，我们常把()()F b F a -记成()baF x ，即()()()()bb a af x dx F x F b F a ==-⎰.计算定积分的关键是找到满足()()F x f x '=的函数()F x . 七、公式（1） 1()cx c = （2）1(sin )cos x x = （3）1(cos )sin x x -=( 4)11()(1)1n n m x mx n n +=≠-+ (5)(ln )a a x x '=； (6) x x e e =')(（7）1(sin 2)cos 22x x ¢= （8）1(ln(x 1))1x ¢+=+八、求定积分的方法(1)代数法：利用微积分基本原理求；（2）几何法：数形结合利用面积求.【方法讲评】【例1】定积分11(||1)x dx --ò的值为____________.【点评】本题要先利用定积分的性质化简，再利用微积分基本原理求解. 【反馈检测1】220sin 2x dx π=⎰ ．【反馈检测2】若)(x f 在R 上可导,3)2('2)(2++=x f x x f ,则3()f x dx =⎰( )A ．16B ．18-C ．24-D ．54【例2】计算10(1dx +⎰的结果为（）.A ．1B ．4π C ．14π+ D ．12π+【解析】先利用定积分的几何意义求dx x ⎰-121：令)10(12≤≤-=x x y ，即)0,10(122≥≤≤=+y x y x 表示单位圆的41（如图），dx x ⎰-1021即是41圆面积，即4π；所以 1(1dx +⎰=4111121π+=-+⎰⎰dx x dx .【点评】（1）本题中函数1y =所以先利用定积分的性质化简原式，再利用数形结合分析解答.（2）利用数形结合分析解答时，主要变量的范围，不要扩大了变量的范围，导致扩大了平面区域.)10(12≤≤-=x x y ，即)0,10(122≥≤≤=+y x y x 表示单位圆的41（如图），不是右半圆或整个圆.(3)等价转化是数学里的重要数学思想，它要求我们在每一步的变形和推理时，都必须注意等价变换.【反馈检测3】313)___________dx =⎰高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第18讲：求定积分的方法参考答案【反馈检测1答案】142π-【反馈检测1详细解析】⎰⎰⎰⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2020202022cos 212cos 212sin ππππdx x dx dx x dx x 2140214|sin 21|22020-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=ππππx x 【反馈检测2答案】18-【反馈检测3答案】263π 【反馈检测3详细解析】由于313)dx =ò1⎰+313dx ⎰．其中1⎰值相当于（2，0）为圆心，以2为半径的圆在x 从1到3部分与x 轴所围成的图形的面积的大小，即图中阴影部分的面积．故其值是S △ACQ +S 扇形ABQ +S △BDQ =211121212623ππ⨯⨯⨯+⨯=+又313dx ⎰=6，∴313)dx =ò263π+ ．故答案为：263π．。

定积分应用方法总结(经典题型归纳)

定积分复习重点定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等． 1.定积分的运算性质1212(1)()()().(2)[()()]()().(3)()()()().bbaab bb aaab c baackf x dx k f x dx k f x f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx =±=±=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰为常数其中a<c<b2．微积分基本定理如果()f x 是区间[a ，b]上的连续函数，并且'()()F x f x =，那么()()()baf x dx F b F a =-⎰，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式。

3.求定积分的方法（1）利用微积分基本定理就定积分 ①对被积分函数,先简化,再求定积分.例如：230(1-2sin)2d πθθ⎰注：322()3x x '=，(-cos )sin x x '=②分段函数,分段求定积分,再求和.（被积函数中带有绝对值符号时，计算的基本思路就是用分段函数表示被积函数，以去掉绝对值符号，然后应用定积分对积分区间的可加性，分段进行计算）1．计算积分⎰---322|32|dx x x解1. 由于在积分区间]3,2[-上，被积函数可表示为⎩⎨⎧≤<-----≤≤---=--.31,)32(,12,32|32|222x x x x x x x x 所以⎰---322|32|dx x x 13)32()32(312122=-----=⎰⎰---dx x x dx x x .（2）利用定积分的几何意义求定积分如定积分12014x dx π-=⎰，其几何意义就是单位圆面积的14。

（课本P60 B 组第一题） (3)利用被积函数的奇偶性a. 若()f x 为奇函数，则()0aa f x dx -=⎰；b. 若()f x 为偶函数，则0()()a aa f x dx f x dx-=⎰⎰2；其中0a >。

2018届高三数学一轮复习：定积分与微积分的基本定理知识点归纳总结

1．定积分(1)定积分的相关概念在∫b a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式．(2)定积分的几何意义①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．②一般情况下，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．(3)定积分的基本性质①∫b a kf(x)d x＝k∫b a f(x)d x.②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x＝∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x.③∫b a f(x)d x＝∫c a f(x)d x＋∫b c f(x)d x.[探究] 1.若积分变量为t，则∫b a f(x)d x与∫b a f(t)d t是否相等？提示：相等．2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算．3．定积分∫b a[f(x)－g(x)]d x(f(x)>g(x))的几何意义是什么？提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积．2．微积分基本定理如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么∫b a f(x)d x＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)|b a，即∫baf(x)d x＝F(x)|b a＝F(b)－F(a)．[自测·牛刀小试]1.∫421x d x等于()A．2ln 2B．－2ln 2 C．－ln 2 D．ln 2解析：选D ∫421xd x ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2. 2．(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V (t )＝t 2－t ＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为( )A.176B.143C.136D.116解析：选A S ＝∫21(t 2－t ＋2)d t ＝⎝⎛⎪⎪⎭⎫13t 3－12t 2＋2t 21＝176. 3．(教材习题改编)直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积为________．解析：∫20x 2d x ＝13x 3 |20＝83. 答案：834．(教材改编题)∫101－x 2d x ＝________.解析：由定积分的几何意义可知，∫101－x 2d x 表示单位圆x 2＋y 2＝1在第一象限内部分的面积，所以∫101－x 2d x ＝14π. 答案：14π5．由曲线y ＝1x ，直线y ＝－x ＋52所围成的封闭图形的面积为________．解析：作出图象如图所示．解方程组可得交点为A ⎝⎛⎭⎫12，2，B ⎝⎛⎭⎫2，12，所以阴影部分的面积， 212⎰⎝⎛ －x ＋52－⎭⎫1x d x ＝⎝⎛⎭⎫－12x 2＋52x －ln x 212＝158－2ln 2. 答案：158－2ln 2[例1] 利用微积分基本定理求下列定积分：(1)∫21(x 2＋2x ＋1)d x ；(2)∫π0(sin x －cos x )d x ；(3)∫20x (x ＋1)d x ；(4)∫21⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ； (5)20π⎰sin 2x 2d x .[自主解答](1)∫21(x 2＋2x ＋1)d x ＝∫21x 2d x ＋∫212x d x ＋∫211d x ＝x 33|21＋x 2 |21＋x |21＝193. (2)∫π0(sin x －cos x )d x＝∫π0sin x d x －∫π0cos x d x ＝(－cos x ) |π0－sin x |π0＝2. (3)∫20x (x ＋1)d x ＝∫20(x 2＋x )d x＝∫20x 2d x ＋∫2x d x ＝13x 3 |20＋12x 2 |20 ＝⎝⎛⎭⎫13×23－0＋⎝⎛⎭⎫12×22－0＝143. (4)∫21⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ＝∫21e 2x d x ＋∫211x d x ＝12e 2x |21＋ln x |21＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1 ＝12e 4－12e 2＋ln 2. (5)20π⎰ sin 2x 2d x ＝20π⎰⎝⎛⎭⎫12－12cos x d x ＝20π⎰12d x －1220π⎰cos x d x ＝12x 20π－12sin x 20π＝π4－12＝π－24. ———————————————————求定积分的一般步骤计算一些简单的定积分，解题的步骤是：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差； (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数； (4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值； (5)计算原始定积分的值．1．求下列定积分： (1)∫20|x －1|d x ； (2)20π⎰1－sin 2x d x .解：(1)|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ， x ∈[0，1)x －1， x ∈[1，2]故∫20|x －1|d x ＝∫10(1－x )d x ＋∫21(x －1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －x 22 |10＋⎝⎛⎭⎫x 22－x |21＝12＋12＝1.(2) 20π⎰1－sin 2x d x＝20π⎰|sin x －cos x |d x ＝40π⎰(cos x －sin x )d x ＋24ππ⎰(sin x －cos x )d x＝(sin x ＋cos x )40π＋(－cos x －sin x ) 24ππ＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.[例2] ∫10－x 2＋2x d x ＝________.[自主解答] ∫10－x 2＋2x d x 表示y ＝－x 2＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形的面积．由y ＝－x 2＋2x 得(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，又∵0≤x ≤1，∴y ＝－x 2＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形为14个圆，其面积为π4.∴∫10－x 2＋2x d x ＝π4.在本例中，改变积分上限，求∫20－x 2＋2x d x 的值．解：∫20－x 2＋2x d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝1在第一象限内部分的面积，即半圆的面积，所以∫20－x 2＋2x d x ＝π2.———————————————————利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分． (2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小．2．(2013·福建模拟)已知函数f (x )＝∫x 0(cos t －sin t )d t (x >0)，则f (x )的最大值为________．解析：因为f (x )＝∫x 02sin ⎝⎛⎭⎫π4－t d t ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－t |x 0＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－x －2cos π4 ＝sin x ＋cos x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－1≤2－1，当且仅当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1时，等号成立．[例3] (2012·山东高考)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.103 B ．4 C.163D ．6[自主解答] 由y ＝x 及y ＝x －2可得，x ＝4，即两曲线交于点(4,2)．由定积分的几何意义可知，由y ＝x 及y ＝x －2及y 轴所围成的封闭图形面积为∫40(x －x ＋2)d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32－12x 2＋2x |40＝163. [答案] C若将“y ＝x －2”改为“y ＝－x ＋2”，将“y 轴”改为“x 轴”，如何求解？解：如图所示，由y ＝x 及y ＝－x ＋2可得x ＝1.由定积分的几何意义可知，由y ＝x ，y ＝－x ＋2及x 轴所围成的封闭图形的面积为∫20f (x )d x ＝∫1x d x ＋∫21(－x ＋2)d x ＝23x32 |10＋⎝⎛⎭⎫2x －x 22 |21 ＝76.———————————————————利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图．(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限． (3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差． (4)计算定积分，写出答案．3．(2013·郑州模拟)如图，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝14所围成的图形(阴影部分)的面积为( )A.23 B.13 C.12D.14解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14，y ＝x 2⇒x ＝12或x ＝－12(舍)，所以阴影部分面积S ＝120⎰⎝⎛⎭⎫14－x 2d x ＋112⎰⎝⎛⎭⎫x 2－14d x＝⎝⎛⎭⎫14x －13x 3120＋⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 112＝14.[例4] 列车以72 km/h 的速度行驶，当制动时列车获得加速度a ＝－0.4 m/s 2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？[自主解答] a ＝－0.4 m/s 2，v 0＝72 km/h ＝20 m/s. 设t s 后的速度为v ，则v ＝20－0.4t . 令v ＝0，即20－0.4 t ＝0得t ＝50 (s)．设列车由开始制动到停止所走过的路程为s ，则s ＝∫500v d t ＝∫500(20－0.4t )d t＝(20t －0.2t 2) |500＝20×50－0.2×502＝500(m)，即列车应在进站前50 s 和进站前500 m 处开始制动． ———————————————————1．变速直线运动问题如果做变速直线运动的物体的速度v 关于时间t 的函数是v ＝v (t )(v (t )≥0)，那么物体从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程为∫b a v (t )d t ；如果做变速直线运动的物体的速度v 关于时间t 的函数是v ＝v (t )(v (t )≤0)，那么物体从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程为－∫b a v (t )d t .2．变力做功问题物体在变力F (x )的作用下，沿与力F (x )相同方向从x ＝a 到x ＝b 所做的功为∫b a F (x )d x .4．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10 (0≤x ≤2)3x ＋4 (x >2)(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J解析：选B 力F (x )做功为∫2010d x ＋∫42(3x ＋4)d x＝10x |20＋⎝⎛⎪⎪⎭⎫32x 2＋4x 42＝20＋26＝46.1个定理——微积分基本定理由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算． 3条性质——定积分的性质 (1)常数可提到积分号外； (2)和差的积分等于积分的和差； (3)积分可分段进行．3个注意——定积分的计算应注意的问题(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须分清谁是积分变量； (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限； (3)面积非负，而定积分的结果可以为负.易误警示——利用定积分求平面图形的面积的易错点[典例] (2012·上海高考)已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[解析] 由题意可得f (x )＝⎩⎨⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎨⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1，与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰(10x －10x 2)d x ＝103x 3120＋⎝⎛⎭⎫5x 2－103x 3112＝54. [答案] 54[易误辨析]1．本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．2．本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错． 3．解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题： (1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形； (2)准确确定被积函数和积分变量． [变式训练]1．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( )A.112 B.14 C.13D.712解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 3，得x ＝0或x ＝1，由图易知封闭图形的面积＝∫10(x 2－x 3)d x ＝13－14＝112.2．(2012·山东高考)设a >0.若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.解析：由题意∫a 0x d x ＝a 2.又⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32′＝x ，即23x 32 |a 0＝a 2，即23a 32＝a 2.所以a ＝49. 答案：49一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1.∫e 11＋ln x x d x ＝( ) A ．ln x ＋12ln 2xB.2e －1 C.32 D.12解析：选C∫e 11＋ln x xd x ＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋ln 2x 2e 1＝32. 2．(2012·湖北高考)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A.2π5 B.43 C.32D.π2解析：选B 由题中图象易知f (x )＝－x 2＋1，则所求面积为2∫10(－x 2＋1)d x ＝2⎝⎛⎭⎫－x 33＋x 1＝43.3．设函数f (x )＝ax 2＋b (a ≠0)，若∫30f (x )d x ＝3f (x 0)，则x 0等于( ) A ．±1 B. 2 C ．±3D ．2解析：选C ∫30f (x )d x ＝∫30(ax 2＋b )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋bx 30＝9a ＋3b ，则9a ＋3b ＝3(ax 20＋b )，即x 20＝3，x 0＝±3.4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ∈[0，1]，2－x ， x ∈(1，2]，则∫20f (x )d x ＝( )A.34 B.45 C.56D ．不存在解析：选C 如图．∫20f (x )d x ＝∫10x 2d x ＋∫21(2－x )d x＝13x 3 |10＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 2 |21 ＝13＋⎝⎛⎭⎫4－2－2＋12 ＝56. 5．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( ) A.1603 m B.803 mC.403 m D.203m 解析：选A v ＝40－10t 2＝0，t ＝2，∫20(40－10t 2)d t＝⎝⎛⎭⎫40t －103t 3 |20＝40×2－103×8＝1603(m)． 6．(2013·青岛模拟)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1 C.32D. 3解析：选D 结合函数图象可得所求的面积是定积分33ππ-⎰cos x d x ＝sin x33ππ-＝32－⎝⎛⎭⎫－32＝ 3. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．设a ＝∫π0sin x d x ，则曲线y ＝f (x )＝xa x ＋ax －2在点(1，f (1))处的切线的斜率为________．解析：∵a ＝∫π0sin x d x ＝(－cos x ) |π0＝2，∴y ＝x ·2x ＋2x －2. ∴y ′＝2x ＋x ·2x ln 2＋2.∴曲线在点(1，f (1))处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝4＋2ln 2. 答案：4＋2ln 28．在等比数列{a n }中，首项a 1＝23，a 4＝∫41(1＋2x )d x ，则该数列的前5项之和S 5等于________．解析：a 4＝∫41(1＋2x )d x ＝(x ＋x 2) |41＝18，因为数列{a n }是等比数列，故18＝23q 3，解得q ＝3，所以S 5＝23(1－35)1－3＝2423. 答案：24239．(2013·孝感模拟)已知a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则当∫a 0(cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________. 解析：∫a 0(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x ) |a＝sin a ＋cos a －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫a ＋π4－1， ∵a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴当a ＝π4时，2sin ⎝⎛⎭⎫a ＋π4－1取最大值．答案：π4三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．计算下列定积分： (1)20π⎰sin 2x d x ；(2)∫32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ； (3)120⎰e 2x d x .解：(1)20π⎰sin 2x d x ＝20π⎰1－cos 2x2d x ＝⎝⎛⎭⎫12x －14sin 2x 20π＝⎝⎛⎭⎫π4－14sin π－0＝π4. (2)∫32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝∫32⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋2d x＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋2x ＋ln x |32＝⎝⎛⎭⎫92＋6＋ln 3－(2＋4＋ln 2)＝92＋ln 3－ln 2＝92＋ln 32. (3) 120⎰e 2x d x ＝12e 2x 120＝12e －12. 11．如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解：抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝∫10(x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 22－13x 3 |10＝16. 又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，由此可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以，S 2＝∫1－k 0(x －x 2－kx )d x ＝⎝⎛⎭⎫1－k 2x 2－13x 3 |1－k 0＝16(1－k )3. 又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－ 312＝1－342. 12．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动，直线OP 与曲线y ＝x 2围成图形的面积为S 1，直线OP 与曲线y ＝x 2及直线x ＝2围成图形的面积为S 2，若S 1＝S 2，求点P 的坐标．解：设直线OP 的方程为y ＝kx ，点P 的坐标为(x ，y )，则∫x 0(kx －x 2)d x ＝∫2x (x 2－kx )d x ，即⎝⎛⎭⎫12kx 2－13x 3 |x 0＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12kx 2 |2x，解得12kx 2－13x 3＝83－2k －⎝⎛⎭⎫13x 3－12kx 2，解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝43x ，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，169. 1．一物体做变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6 s 间的运动路程为________．解析：由题图可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2t (0≤t ≤1)，2 (1≤t ≤3)，13t ＋1 (3≤t ≤6)，因此该物体在12s ～6 s 间运动的路程为 s ＝612⎰v (t )d t ＝112⎰2t d t ＋∫312d t ＋∫63⎝⎛⎭⎫13t ＋1d t ＝t 2112＋2t |31＋⎝⎛⎭⎫16t 2＋t |63＝494(m)．答案：494m 2．计算下列定积分：(1)31-⎰ (3x 2－2x ＋1)d x ；(2)∫e 1⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋1x 2d x . 解：(1) 31-⎰ (3x 2－2x ＋1)d x ＝(x 3－x 2＋x ) 31-＝24.(2)∫e 1⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋1x 2d x ＝∫e 1x d x ＋∫e 11x d x ＋∫e 11x 2d x ＝12x 2 |e 1＋ln x |e 1－1x|e 1 ＝12(e 2－1)＋(ln e －ln 1)－⎝⎛⎭⎫1e －11 ＝12e 2－1e ＋32. 3．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解：由⎩⎨⎧ y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝∫10⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋∫31⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 2 |10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2 |31 ＝23＋16＋43＝136. 4．某技术监督局对一家颗粒输送仪生产厂进行产品质量检测时，得到了下面的资料：这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪，其运动规律属于变速直线运动，且速度v (单位：m/s)与时间t (单位：s)满足函数关系式v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2 (0≤t ≤10)，4t ＋60 (10<t ≤20)，140 (20<t ≤60).某公司拟购买一台颗粒输送仪，要求1 min 行驶的路程超过7 673 m ，问这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪能否被列入拟挑选的对象之一？解：由变速直线运动的路程公式，可得s ＝∫100t 2d t ＋∫2010(4t ＋60)d t ＋∫6020140d t＝13t 3 |100＋(2t 2＋60t ) |2010＋140t |6020 ＝7 133 13(m)<7 676(m)． ∴这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪不能被列入拟挑选的对象之一．。

2018年高考数学一轮复习热点难点精讲精析：2.12定积分

2018年高考一轮复习热点难点精讲精析：2.12定积分一、定积分的概念与微积分基本定理（一）定积分的计算（利用定义） 1、相关链接（1）由定积分定义求定积分的步骤为 ①分割； ②近似代替； ③求和； ④取极限。

（2）关于定积分的概念应注意的问题①积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关，即()()()bb baaaf x dx f t dt f u du ==⎰⎰⎰②定义中区间的分法和i ξ的取法都是任意的。

③在定积分的定义中，()baf x dx ⎰限定下限小于上限，即a<b,为了方便计算，人们把定积分的概念扩大，使下限不一定小于上限，并规定：()baf x dx ⎰=()a bf x dx -⎰，()aaf x dx ⎰=0。

2、例题解析〖例1〗用定积分的定义计算定积分21badx x⎰的值。

分析： n 等分区间[a,b]→近似代替→求和→取极限解答：将区间[a,b]等分，设分点分别为a=x 0<x 1<x 2<…<x i+1<x i <…<x n =b,取ξi=0,1,2,,1)i n =- ,显然1[,]i i i x x ξ+∈，作和式111001111111()(),n n n i i i i i i ii S x x x x x x a b --+==++=-=-=-∑∑于是11lim n n S a b →∞=-，即2111b a x a b=-⎰〖例2〗用定积分的定义求直线x=1,x=2,y=0和曲线y=x 3围成的图形的面积解析：（1）分割用分点12(1),,n n n n n n n+++-将区间[1，2]等分成个n 小区间，如图所示1121(1)[1,],[,],,[,],,[,2]n n n n i n i n n n n n n n n ++++-++- ，每个区间的长度为 Δx=11n i n i n n n ++--=,过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形ABCD 分割成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作12,,,.n s s s ∆∆∆（2）近似代替取各小区间的左端点记为i ξ，用以点i ξ的纵坐标3i ξ为一边，以小区间长1x n∆=为其邻边的小矩形面积代替第i 个小曲边梯形的面积，可近似地表示为3311(1,2,,).i i n i S x i n n nξ+-⎛⎫∆≈∆== ⎪⎝⎭（3）求和因为每个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n 个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD 面积S 的近似值，即311111()n n ni i i i i n i S S x n nξ===+-=∆≈∆=∑∑∑ …………………………① （4）取极限当分点数目越多，即Δx 越小，和式①的值就越接近于曲边梯形ABCD 的面积S ，当n →∞，即Δx →0时，和式①的极限就是所求的曲边梯形ABCD 的面积。

高数定积分知识点总结

高数定积分知识点总结一、定积分的定义定积分是微积分中的一个重要概念，它是对一个函数在一个区间上的积分结果进行计算的过程。

在数学上，定积分是用来计算曲线下面的面积或者函数在某一区间上的平均值的方法。

定积分可以写成以下形式：\[ \int_{a}^{b} f(x)dx \]其中，\( f(x) \)是被积函数，\( a \)和\( b \)是积分区间的端点。

定积分的计算过程就是求解被积函数在给定区间上的曲线下面的面积。

定积分在物理学、工程学和经济学等领域都有着广泛的应用，是微积分中不可或缺的重要工具。

二、定积分的性质1. 定积分的可加性如果函数\( f(x) \)在区间\([a, b]\)上是可积的，那么对于任意的\( c \)满足\( a \leq c \leq b \)，都有：\[ \int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{c} f(x)dx + \int_{c}^{b} f(x)dx \]这个性质表明了定积分的可加性，即在一个区间上进行积分的结果可以根据任意划分点\( c \)进行分割。

2. 定积分的线性性对于任意的实数\( \alpha, \beta \)和函数\( f(x), g(x) \)，如果\( f(x), g(x) \)在区间\([a, b]\)上是可积的，那么有：\[ \int_{a}^{b} (\alpha f(x) + \beta g(x))dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x)dx + \beta \int_{a}^{b} g(x)dx \]这个性质表明了定积分的线性性，即在一个区间上进行线性组合的函数的积分等于线性组合的函数的积分的线性组合。

3. 定积分的保号性如果在区间\([a, b]\)上有\( f(x) \geq 0 \)，那么有：\[ \int_{a}^{b} f(x)dx \geq 0 \]这个性质表明了定积分的保号性，即当被积函数在一个区间上非负时，其积分结果也是非负的。

学习高数定积分计算常用技巧

学习高数定积分计算常用技巧
学习高数定积分计算常用技巧
定积分应用广泛且复杂,一般有求立体的体积(柱体、棱柱体、楔形体、旋转体、壳体积等)、平面曲线的长度、旋转曲面的表面积、力作的功、物体的质心、解简单的微分方程、求指数增长与衰减等，。

高等数学定积分应该怎么去学习最简单?接下来，小编话你知：先学好不定积分,然后在定积分的应用方面多做题。

优质解答：
广义来说,定积分的用处就是计算广义的面积，
决定定积分结果的因素：
1、被积分函数(integrand)的形式,也就是被积函数,是否能够积得出来;
2、在积分区间内是否有奇点(singular point),或者说有没有竖直渐近线(vertical asymptote).
如果有竖直渐近性,这时的定积分就变成广义积分(improper integration)
定积分的几何意义：
1、纯粹几何图形而言,定积分的意义是由曲线、x轴,区间起点的垂直线x=a、区间终点的垂直线x=b,所围成的'面积.
2、也可以广义而言,定积分的几何意义就是“抽象的面积”，但是在具体应用题中,要看具体物理过程而定,例如：
A、如果横轴是体积,纵轴是压强,“抽象面积”的意义是热力学系统对外做功;
B、如果横轴是时间,纵轴是电流,“抽象面积”的意义是电源对外放出的电量;。

2018考研数学必看重点：定积分证明三大解题思路_毙考题

2018考研数学必看重点：定积分证明三大解题思路
在考研数学中，定积分及其应用这部分知识点考察形式多样，是每年考察的重点，而定积分证明就是常见形式之一，大家需要加以重视，下面一起来看看这类题目的解题思路吧。

2、定积分中值定理命题的证明。

一般利用连续函数的介值定理、微分中值定理、积分中值定理等来证明，其关键是构造辅助函数。

3、定积分不等式的证明。

一般有三种方法。

①利用被积函数的单调性、定积分的保序性和估值定理证明。

②将定积分的上(下)限改为变量，从而将定积分不等式化为函数不等式，再用微分学方法证明。

③利用微分中值定理、积分中值定理(适用于已知条件中有连续性和一阶可导性)与泰勒公式(适用于题设中有二阶以上可导性)。

如何快速解决高考数学中的定积分

如何快速解决高考数学中的定积分高考是让许多学生感到畏惧的重大事件，而高考数学中的定积分更是让学生们感到棘手的难题。

对于那些不擅长数学的学生来说，搞定定积分是一项重大的成就。

因此，本文旨在介绍如何快速解决高考中的定积分。

1. 学会基础概念在快速解决高考中的定积分之前，我们必须先掌握基础概念。

定积分，简而言之，就是求一个函数在某个区间内的面积。

如果在高中阶段你已经掌握了基本概念，那么现在你应该拥有足够的知识储备。

如果你还不熟悉这些术语，那么建议重新学习一下。

2. 了解不同种类的定积分在高中的数学教学中，我们通常只学习了定积分的一些基础概念，例如定积分的定义、洛必达法则等等。

但实际上，高中生应该了解不同种类的定积分。

这些种类包括：反常定积分、广义定积分、定积分及其应用、定积分的计算等等。

如果你想快速解决高考中的定积分，你需要熟悉这些不同种类的定积分，并学会如何应用这些概念。

3. 从前往后逐步解决题目一个常见的错误是，许多学生发现题目很难后，就会立刻放弃，或者不愿意继续考虑。

这是一种不可取的行为。

如果你试图通过快速解决问题来提高你的定积分水平，我们建议从前往后，逐步解决每个问题。

通过这种方法，你可以为自己提供足够的思考时间，也可以逐步理解和掌握概念。

4. 给自己足够的时间解决数学问题需要足够的时间和注意力。

如果你在解决数学问题的时候缺乏专注力，你可能会错过某些非常重要的细节。

这是一种很常见的错误。

给自己足够的时间，同时保持专注，这样才能够快速高效地解决问题。

5. 参加补习班或者找到一个良师益友如果你确实想快速解决高考数学中的定积分，在这个过程中你需要全面地学习，甚至需要参加一些补习班，找一个良师益友。

如果你能找到一个优秀的老师或者同学帮助你理解这些概念，你会快速进步。

实际上，这种异质式学习方法可能是快速掌握数学概念的最佳方式。

总之，高考数学中的定积分对于学生来说是一项很具挑战性的任务。

如果你能够熟练掌握基础概念，了解不同种类的定积分，从前往后逐步解决问题，并给自己足够的时间，你将会在这方面真正的取得进步。

2018年高等数学定积分复习攻略

2018年高等数学定积分复习攻略我们可以看到：在学习定积分之前，我们首先学习了不定积分。

很多同学把不定积分与定积分搞混淆。

其实不定积分是导数的逆运算，本质还是导数的延伸。

而真正的积分部分是定积分。

在临考前提供如下学习建议：1.复习知识体系在讲定积分的时候，我又回归到原来的讲法：从知识体系讲起。

因为定积分这章非常重要，考试考查的内容多而广。

这章包括：定积分的定义，性质;微积分基本定理;反常积分;定积分的应用。

这四个部分各有侧重点。

其中定积分的定义是重点;要理解微积分基本定理;要掌握定积分在几何和物理上面的应用。

至于反常积分大家了解就行了。

2.深刻回顾知识点在掌握了知识体系之后，自然就需要明确具体的重点知识点了。

首先是定积分的定义及性质。

大家需要深刻理解定积分的定义。

我觉得同学们不仅要会用自己的话来表述定义，而且要一步一步的写出精髓。

比如说从定义中体现的思想：微元法。

同学们要理解分割，近似，求和，取极限这四个步骤。

同时要知道其几何意义及定义中需要注意的方面。

对定积分定义的考察在每年考研中是必考内容。

所以希望引起大家的足够重视。

至于性质，大家关键也在于理解。

特别是区间可加性;比较定理;积分中值定理。

对这三个性质大家一定要知道是怎么来的。

考研中有关积分的证明题多多少少会用到这三个性质。

所以大家只有理解了才懂得在什么时候用。

然后是微积分基本定理。

这个知识点非常重要。

因为它定义了一种新的函数：积分上限函数。

而且在一定的条件下，它的导数就是f(x)。

所以我们扩展了函数类型。

那么导数应用中的切线与法线;单调性;极值;凹凸性等应用就可以与积分上限函数联系了。

同时提出了牛顿-莱布尼茨公式，使得我们可以用不定积分来计算定积分。

希望同学们要掌握牛顿-莱布尼茨公式的证明过程。

补充说一点：求定积分常用的方法是基本积分公式;换元积分法(凑微分法和换元积分法);分部积分法。

其中换元积分法和分部积分法是重点。

大家要理解换元积分法的思想。

定积分计算中的若干技巧

定积分计算中的若干技巧一、引言定积分是微积分学中的重要概念，它涉及到函数的积分、面积、体积、长度等众多物理量的计算。

在实际应用中，我们需要掌握一些有效的计算技巧，以便更高效地解决问题。

本文将介绍一些在定积分计算中常用的技巧，并通过实例进行详细解释。

二、基本积分公式首先，熟练掌握基本积分公式是解决定积分问题的关键。

常见的基本积分公式包括幂函数、三角函数、指数函数、对数函数等。

通过熟练掌握这些公式，我们可以快速求解一些简单的定积分问题。

三、变量替换法变量替换法是解决定积分问题的一种有效方法。

通过合适的变量替换，我们可以将复杂的定积分问题转化为简单的形式。

在选择替换变量时，需要注意替换后的积分区间和原积分区间的一致性，以及替换后积分的可解性。

四、分部积分法分部积分法是解决定积分问题的另一种常用方法。

它适用于被积函数是两个函数的乘积的情况。

通过将被积函数拆分为两个函数的乘积，并应用分部积分公式，我们可以将复杂的定积分问题转化为简单的形式。

需要注意的是，在选择u和dv时，需要遵循“反对幂指三”的原则，以便更有效地解决问题。

五、利用对称性简化计算在解决定积分问题时，我们可以利用函数的对称性来简化计算。

如果被积函数在某个区间上关于原点对称，那么我们可以只计算该区间上的一半，并将结果乘以2。

同样地，如果被积函数在某个区间上关于某点对称，那么我们可以利用该点的对称性来简化计算。

六、数值积分法对于一些无法用解析方法求解的定积分问题，我们可以采用数值积分法进行近似计算。

常见的数值积分法包括梯形法、辛普森法等。

这些方法的基本思想是将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上应用相应的公式进行近似计算。

需要注意的是，数值积分法的精度取决于小区间的划分方式和数量。

七、结论本文介绍了一些在定积分计算中常用的技巧，包括基本积分公式、变量替换法、分部积分法、利用对称性简化计算和数值积分法等。

这些技巧可以帮助我们更有效地解决定积分问题，提高计算效率。

高等数学定积分重点难点复习大纲例题讲解

第五章定积分一、基本要求：1.理解定积分的概念、几何意义、物理意义及定积分的性质.2.理解积分上限的函数，并掌握其求导法则.3.掌握牛顿——莱布尼兹公式.4.掌握定积分的换元法和分布积分法.5.理解反常积分(广义积分)的概念，会计算反常积分，了解反常积分的审敛法.6.了解定积分的近似计算方法.二、主要内容Ⅰ.定积分概念：1. 定积分定义：设()f x 在区间[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点0121n n a x x x x x b -=<<<<<=.把[,]a b 分成n 个小区间1[,],(1,2,,)i i x x i n -=，小区间的长度记为1,(1,2,,)i i i x x x i n -∆=-=，在1[,]i i x x -上任意取一点i ξ，作1()ni i i f x ξ=∆∑，若01lim ()ni i i f x λξ→=⋅∆∑ 1(max{})i i nx λ≤≤=∆存在. 就称该极限为()f x 在[,]a b 上的定积分.记为1()lim ()nbi i ai f x dx f x λξ→==⋅∆∑⎰当上述极限存在时，称()f x 在[,]a b 上可积. 2. 若()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积。

3. 若()f x 在[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在[,]a b 上可积. Ⅱ.定积分的几何意义定积分()ba f x dx ⎰在几何上表示：由曲线()y f x =，直线x a =和xb =以及x 轴所围图形面积的代数和 (x 轴上方的面积取正，x 轴下方的面积取负)Ⅲ.定积分的性质1. 补充规定：(1)当a b =时，()0ba f x dx =⎰(2)当a b >时,()()baabf x dx f x dx =-⎰⎰2. 性质： (1) [()()]()()bb ba aaf xg x dx f x dx g x dx --+=+⎰⎰⎰(2) ()(),()bba akf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数(3)()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰(4)ba dxb a =-⎰(5) 若在[,]a b 上，()0f x ≥，则()0,()ba f x dx ab ≥<⎰推论1：若在[,]a b 上，()()f x g x ≤，则()(),()b ba a f x dx g x dx ab ≤<⎰⎰. 推论2：()(),()b ba a f x dx f x dx ab ≤<⎰⎰.(6 ) 若在[,]a b 上，()m f x M ≤≤,则()()(),()ba mb a f x dx M b a a b -≤≤-<⎰ (7) (定积分中值定理)：若()f x 在[,]a b 上连续，则在[,]a b 上至少存在ξ，使()()(),()ba f x dx fb a a b ξξ=-≤≤⎰. 3. 连续函数()f x 在[,]a b 上的平均值，1()ba y f x dxb a-=-⎰ Ⅳ. 积分上限函数及其导数1. 若对任意[,]x a b ∈，()xa f t dt ⎰存在，则称()()xa x f t dt Φ=⎰为积分上限的函数.2. 若()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上有界. 且积分上限函数()()xa x f t dt Φ=⎰在[,]ab 上连续.3. 设()f x 在[,]a b 上连续，则()()xa x f t dt Φ=⎰在[,]ab 上可导，且'()()(),()xa d x f t dt f x a xb dxΦ==≤≤⎰.4. 设()f x 连续，()x φ可导，则()''()()[()]()x a d x f t dt f x x dxφφφΦ==⎰.5. 设()f x 连续，()x φ，()x ϕ可导，则 ()'''()()()[()]()[()]()x x d x f t dt f x x f x x dxφϕφφϕϕΦ==-⎰. Ⅴ. 牛顿——莱布尼兹公式.(微积分基本定理)设()f x 在[,]a b 上连续，()F x 为()f x 在[,]a b 上的一个原函数，则()()()baf x dx F b F a =-⎰.Ⅵ. 定积分的换元法设()f x 在[,]a b 上连续，()x t φ=满足： (1) (),()a b φαφβ==.(2)()t φ在[,]αβ(或[,]βα)上具有连续导数，且()x t φ=的值域不越出[,]a b 的范围，则有'()[()]()ba f x dx f t t dt βαφφ=⎰⎰.注：当()t φ的值域[,]R A B φ=越出[,]a b 的范围，但满足其余条件时，只要()f x 在[,]A B 上连续，则换元法的结论仍然成立. Ⅶ. 定积分的分部积分法设()u x 与()v x 在[,]a b 上具有连续导数，则有()()()()()()bbba aau x dv x u x v x v x du x =-⎰⎰Ⅷ. 几类特殊的积分公式1. 设()f x 在[,]a a -上连续，则有0()[()()]aaa f x dx f x f x dx -=+-⎰⎰.2()()[,]()()[,]a aaf x dxf x a a f x dx f x a a -⎧-⎪=⎨⎪-⎩⎰⎰当为上连续的偶函数时0当为上连续的奇函数时2. 设()f x 是以l 为周期的连续函数，则对任意实数a ，有0()()a lla f x dx f x dx +=⎰⎰. 3. 设()f x 在[0,1]上连续，则220(sin )(cos )f x dx f x dx ππ=⎰⎰(sin )(sin )2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰20(sin )2(sin )f x dx f x dx ππ=⎰⎰4.2200123134221242sin cos 13531n n n n n n n n n xdx xdx n n n n πππ--⎧⎪-⎪--⎪==⎨-⎪=⎪⎪⎩⎰⎰为正偶数为大于1的正奇整数1 Ⅸ. 反常积分(广义积分) 1. 无穷限的反常积分 (1) 设()f x 在[,)a +∞上连续, ()lim()ba ab f x dx f x dx ∞→+∞=⎰⎰(2) 设()f x 在(,]b -∞上连续,()lim()bbaa f x dx f x dx -∞→-∞=⎰⎰(3) 设()f x 在(,)-∞+∞上连续,()()()lim()lim()baa b f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx ∞∞-∞-∞→-∞→+∞=+=+⎰⎰⎰⎰⎰若上述各式右端的极限存在，则对应的反常积分收敛，否则称该反常积分发散.注：(3)的右端是两个独立的极限，只有当两个极限都存在使，才有()f x dx ∞-∞⎰收敛. 只要有一个极限不存在，()f x dx ∞-∞⎰就发散. 2. 无界函数的反常积分(1) 设()f x 在(,]a b 上连续，点a 为()f x 的瑕点，()lim ()bbatt af x dx f x dx +→=⎰⎰(2) 设()f x 在[,)a b 上连续，点b 为()f x 的瑕点，()lim ()b taat bf x dx f x dx -→=⎰⎰(3) 设()f x 在[,]a b 上除点c ()a c b <<外连续，点c 为()f x 的瑕点，()()()lim ()lim ()bc b t baacatt ct cf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx -+→→=+=+⎰⎰⎰⎰⎰若上述各式右端的极限存在，则对应的反常积分收敛，否则称该反常积分发散.注：(3)的右端是两个独立的极限，只有当两个极限都存在使，才有()ba f x dx ⎰收敛. 只要有一个极限不存在，()ba f x dx ⎰就发散. 3. 反常积分的审敛法(1)(比较审敛法1)设()f x 在[,)(0)a a +∞>上连续，且()0f x ≥. 若存在常数0M >及1p >，使得()pMf x x ≤()a x ≤<+∞，则反常积分()af x dx +∞⎰收敛；若存在常数0N >，使得()Nf x x≥ ()a x ≤<+∞，则反常积分()a f x dx +∞⎰发散.(2)(极限审敛法1) 设()f x 在[,)a +∞上连续，且()0f x ≥. 若存在常数1p >，使得lim()p x x f x →∞存在，则反常积分()a f x dx +∞⎰收敛；若lim ()0x xf x d →∞=>，(或lim ()x xf x →∞=+∞)则反常积分()a f x dx +∞⎰发散. (3) (比较审敛法2)设()f x 在(,]a b 上连续，且()0f x ≥. x a =为()f x 的瑕点.若存在常数0M >及1q <，使得()()()qMf x a x b x a ≤<≤-，则反常积分()ba f x dx ⎰收敛；若存在常数0N >，使得()Nf x x a≥- ()a x b <≤，则反常积分()ba f x dx ⎰发散.(4)(极限审敛法2) 设()f x 在(,]a b 上连续，且()0f x ≥. x a =为()f x 的瑕点. 若存在常数01q <<，使得lim()()q x a x a f x +→-存在，则反常积分()ba f x dx ⎰收敛；若lim()()0x a x a f x d +→-=>，(或lim()()x a x a f x +→-=+∞)则反常积分()ba f x dx ⎰发散. 三、重点与难点1. 积分上限的函数及其导数.2. 牛顿——莱布尼兹公式.3. 定积分的换元法和分部积分法. 四、例题 1. 求2222212lim()12n nn n n n →∞++++++ 分析：由定积分定义知01()()lim()nbiia i n f x dx f x λξ→=→∞=⋅∆∑⎰，可见求右端的极限也可通过求左端的定积分值而得到. 解决此类问题的关键是把和式归结为某个函数在某区间上的积分和式.解：原式22221111lim lim lim 11()n n ni i n n n i i i iii n x i n i nnξξ→∞→∞→∞======∆+++∑∑∑ 11122220001111(1)ln(1)ln 212122x dx d x x x x ==+=+=++⎰⎰2. 下列解法是否正确 (1).220sec 02tan x dx x ππ==+⎰(2).111122211111111x tdxdt dx x t x =----⇒=-+++⎰⎰⎰令，即11221112011dx dx x x --⇒=++⎰⎰解：这两题的解法都不正确. (1) 被积函数220sec ()2tan x f x dx x π=+⎰在积分区间[0,]π内2x π=处不满足“牛顿——莱布尼兹”公式的条件，故不能直接应用公式. (2) 代换1x t=在[1,1]-上不连续，故在[1,1]-上不可导，不符合换元法的条件.3. 求下列定积分(1)0π⎰ (2)221min{,}x x dx -⎰(3)2-⎰(4)21⎰解：000x dx πππ==⎰⎰⎰22xdx xdx ππ-=-⎰33222222sin sin 33x x πππ=-224333=+=注：带绝对值符号的函数的积分，需先脱掉绝对值符号，如在积分区间上脱掉绝对值符号后为分段函数，则转化为分段函数的积分.(2) 2211min{,}12x x x x xx ⎧-≤≤=⎨<≤⎩2122211113min{,}6x x dx x dx xdx --=+=⎰⎰⎰(3)2221d---==⎰⎰⎰21arcsin 4612x πππ-==-+=-(4)2211=⎰⎰令1sin ,x t -=则cos dx tdt =原式222222000(sin 1)cos cos cos cos t tdt td t tdt πππ=+=-+⎰⎰⎰23111cos 32234t πππ=-+=+ 4. 设()f x 连续，0()()xg x x f t dt =⎰，求''(0)g解：'0()()()xg x xf x f t dt =+⎰ (1)'(0)0g =''''00()()()(0)(0)lim lim xx x xf x f t dt g x g g x x→→+-==⎰()()lim ()(0)lim2(0)1xx x f t dt f x f x f f x→→=+=+=⎰ 注：此题没有()f x 可导的条件，故“对(1)式两边在对x 求导. 得'''''()()()()2()()(0)2(0)g x f x xf x f x f x xf x g f =++=+⇒=“这种解法是错误的. 5. 计算下列极限 (1)20sin 0ln(1)lim sin 2xxx t dt tdt→+⎰⎰(2)2030[()]lim xttxx te f u du dtx e →⎰⎰解：(1)20sin 0000ln(1)ln(12)24lim limlim sin(2sin )cos sin 2sin 2xxx x x t dt x xx x xtdt→→→++⋅==⎰⎰(2)22232323[()]()()lim limlim(3)3xx txtx xxx x x te f u du dtxef u duf u dux ex x ex x →→→-==++⎰⎰⎰⎰20()2(0)0lim0323x f x x f x →-⋅-⋅===+6.设()f x 为连续函数，且221(2)()arctan 2xx x t f t dt x -=⎰，(1)1f =，求21()f x dx ⎰.解：22212()()arctan 2xxx x x f t dt tf t dt x -=⎰⎰ 两边对x 求导，得242()2[2(2)()][4(2)()]1xx xf t dt x f x f x xf x xf x x+---=+⎰ 整理后，有241()[()]21xx xf t dt xf x x=++⎰ 令1x =，即得21113()[(1)]224f x dx f =+=⎰7.设()f x 在(,)-∞+∞内连续，且0()()()2x xF x t f t dt =-⎰证明：(1)若()f x 为偶函数，则()F x 也是偶函数.(2)若()f x 为单减函数，则()F x 也是单增函数 .. 证明：(1)00()()()()()()22x x x xF x t f t dt u f u du t u --=--=--+-=-⎰⎰ 0()()()2x xu f u du F x =-=⎰即()F x 为偶函数(2) 00()()()2xx x F x f t dt tf t dt =-⎰⎰ '0011()()()()[()()]222x x x F x f t dt f x xf x f t dt xf x =+-=-⎰⎰00011[()()][()()]22x x xf t dt f x dt f t f x dt =-=-⎰⎰⎰由()f x 单减，当0t x <<时，()()0f t f x -> '01()[()()]0(0)2xF x f t f x dt x ⇒=->>⎰时当0x t <<时，()()0f t f x -<. 0'011()[()()]0[()()]22x x F x f t f x dt f t f x dt ⇒=->=-⎰⎰(0)x <时即在(,)-∞+∞上，()F x 为单增函数. 8.计算下列各题：(1)52222(sin )cos x x xdx ππ-+⎰ (2)2ln(1)(0)ax a x e dxa -+>⎰(1) 解：52cos x x 为奇函数，22sin cos x x 为偶函数.原式522222222222cos sin cos sin cos x xdx x xdx x xdx ππππππ---=+=⎰⎰⎰22242220002sin (1sin )2sin sin x x dx xdx xdx πππ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰=1312()224228πππ⨯-⨯= (2)分析：此题的积分区间是对称区间，而对称区间上的定积分有公式⎰⎰-+=-aaa dx x f x f dx x f 0)]()([)(，若)()(x f x f -+在],0[a 上容易积分，该公式就可利用了.解：⎰⎰--+-+=+ax x aa x dx e x e x dx e x 0222])1ln()1ln([)1ln(⎰⎰++=++=-a x x x ax x dx e e e x dx e e x 001)1(ln 211ln 2 303232322a x dx x aa===⎰ 9.计算⎰-πk dx x 02sin 1 (k 为正整数)解：原式⎰⎰-=-=ππk k dx x x dx x x 002cos sin )cos (sin⎰⎰⎰--++-+-=πππππk k dx x x dx x x dx x x )1(20cos sin cos sin cos sin⎰-=π0cos sin dx x x k])cos (sin )sin (cos [440⎰⎰-+-=πππdx x x dx x x k])sin (cos )cos (sin [440πππx x x x k +-+=k 22=注：x x cos sin - 是周期为π的周期函数. 10.求dx x x ⎰++121)1ln( 解：令t x tan =，原式dt t tdt tt ⎰⎰+=+=402402)tan 1ln(sec sec )tan 1ln(ππ设dt t ⎰+=I 40)tan 1ln(πdt t dt t t dt tt⎰⎰⎰-+=+=I 404040cos ln )sin ln(cos )cos sin 1ln(πππ dt t dt t ⎰⎰--=4040cos ln )4cos(2ln πππ(1)而du u du u dt t ⎰⎰⎰=-=-40044)cos 2ln )cos 2ln()4cos(2ln ππππ)4(t u -=πdu u du ⎰⎰+=4040cos ln 2ln ππ 代入(1)式得 dt t du u du ⎰⎰⎰-+=I 404040cos ln cos ln 2ln πππ2ln 82ln 40ππ==⎰du所以2ln 81)1ln(102π=++⎰dx x x11.求⎰+20cos sin sin πdx ee e xx x解：⎰⎰⎰+=+-=+=I 20sin cos cos 02sin cos cos 20cos sin sin πππdx e e edx e ee dx e e e x x xt t t x x x于是 22220sin cos cos sin πππ===++=I ⎰⎰dx dx ee e e xx xx420cos sin sin ππ=+=I ⇒⎰dx e e e xx x12.求⎰⎰-101][22dx dt e x x t .解：⎰-221x t dt e 为x 的函数，令⎰-=221)(x t dt e x f 原式⎰⎰⎰-===10'2121210)(2)(22)()(dx x f x x f xx d x f dx x xf ⎰⎰---=102112]2[22422dx x e x dt ex x x t⎰⎰-=-=--104103)(4144x d e dx e x x x )1(411-=-e 13. 设函数⎰=Φxdt t x 0sin )((1) 当n 为正整数，且ππ)1(+<≤n x n 时，证明)1(2)(2+<Φ≤n x n (2) 求xx x )(limΦ+∞→解：(1)由0sin ≥t ,且ππ)1(+<≤n x n⎰⎰+<Φ≤⇒ππ)1(0sin )(sin n n dt t x dt t有由t sin 是周期为π的周期函数.n tdt n dt t n dt t n 2sin sin sin 0==≤⎰⎰⎰πππ同理)1(2sin )1(0+=⎰+n dt t n π因此，当ππ)1(+<≤n x n 时，有)1(2)(2+<Φ≤n x n(2)由(1)知当ππ)1(+<≤n x n 即ππn x n 11)1(1≤<+ 有ππn n x x n n )1(2)()1(2+≤Φ<+，令∞→x ，有∞→n . 而ππ2)1(2lim=+∞→n n n ，ππ2)1(2lim =+∞→n n n π2)(lim=Φ⇒+∞→x x x 14.设)(x f 在]1,0[上连续，且单调递减，证明对)1,0(∈∀α,有⎰⎰≥1)()(dx x f dx x f αα证法一：⎰⎰⎰+=1010)()()(ααdx x f dx x f dx x f于是⎰⎰-100)()(dx x f dx x f αα=])()([)(100⎰⎰⎰+-ααααdx x f dx x f dx x f =⎰⎰--10)()()1(ααααdx x f dx x f由积分中值定理 )()(10ξααf dx x f =⎰ αξ≤≤10)()1()(21ξααf dx x f -=⎰ 12≤≤ξα因此⎰⎰-100)()(dx x f dx x f αα=)()1()()1(21ξααξααf f ---=)]()([)1(21ξξααf f -- (1021≤≤≤≤ξαξ)因)(x f 单减，则有)()(21ξξf f ≥，即⎰⎰≥10)()(dx x f dx x f αα.证法二：设⎰⎰-=1)()(1)(dx x f dx x f F ααα (10≤<α)2201)()()()()(αξααααααααf f dxx f f F -=-=⎰ αξ≤≤0 0)()(≤-=αξαf f即)(αF 在]1,0(上单调不增，即0)1()(=≥F F α，即有⎰⎰≥100)()(dx x f dx x f αα. 注：此题还可以用积分换元法加以证明.15.设)(x f 在]1,0[上连续，)1,0(内可导，且满足⎰=2102)(2)1(dx x f x f . 证明在)1,0(内至少有一点ξ使)(2)('ξξξf f -=.证：设)()(2x f x x F =，由积分中值定理，21)()()(1212102⋅==⎰⎰ξF dx x F dx x f x (2101≤≤ξ)即⎰=21021)(2)(dx x f x F ξ，而dx x f x f F ⎰==21022)(2)1(1)1(即)1()(1F F =ξ，由罗尔定理，存在)1,0()1,(1⊂∈ξξ，使0)('=ξF 而)()(2)('2'x f x x xf x F +=，即有0)()(2)('2'=+=ξξξξξf f F 也即0)()(2'=+ξξξf f ，)(2)('ξξξf f -=.16.计算下列反常积分. (1)⎰+∞-22ln 1dx x x (2) ⎰+∞+0232)1(arctan dx x x (3)⎰-10211ln dx x解：(1) ⎰+∞-22ln 1dx xx =⎰+∞--21)ln 1(x d x =⎰∞++∞---2221ln 1dx x xx=+∞+-2122ln 1x=22ln -. (2)令x x tan =，⎰+∞+0232)1(arctan dx x x dt t tt ⎰=223sec sec π=dt t t ⎰20cos π=t d t sin 20⎰π=⎰-2020sin sin ππtdt t t =20cos 2ππt +=12-π.(3) ∞=--→2111lnlim xx , 1=x 为被积函数的瑕点.⎰-10211lndx x=⎰-+-→t t dx x x 01)1)(1(1ln lim =⎰-++--→tt dx x x 01)]1ln()1[ln(lim=t t x x x x x 01)]1ln()1(2)1ln()1([lim --++++--→=)]1ln()1(2)1ln()1([lim 1t t t t t t --++++--→=)2ln 1(2-17.已知π=⎰+∞∞--dx e x 2，12=⎰+∞∞-+-dx ce x x .求c 的值. 解：=⎰+∞∞-+-dx cexx 2)21(41)21(2-⎰∞+∞---x d e ec xt x =-21令 dt e e c t ⎰∞+∞--412dt e ce t ⎰∞+∞--=241π41ce=即ππ414111ec ce=⇒=.18.设⎩⎨⎧<<=其它10)(x xx f ，⎩⎨⎧<≥=-0)(x x e x g x，求函数dx x t g x f t h ⎰+∞∞--=)()()(的表达式.解：因为)(x f 在)1,0(上为x x f =)(，在)1,0(之外都为零.故dx x t g x f t h ⎰+∞∞--=)()()(⎰-=10)(dx x t xg而⎩⎨⎧≥-=---其它0)()(x t e x t g x t当0<t 时，由于积分变量]1,0[∈x ，故总有t x > 从而0)(=-x t g ，0)()(10=-=⎰dx x t xg t h .当10≤≤t 时，⎰⎰⎰-+-=-=1010)()()()(t tdx x t xg dx x t xg dx x t xg t h 当积分变量x 在]1,[t 上变化时，0≤-x t ，0)(=-x t g ，所以0)(1=-⎰t dx x t xg从而⎰⎰⎰--==-=txtttx tdx xeedx xe dx x t xg t h 000)()(t t t t t x x t e t e te e e xe e ---+-=+-=-=1)1(][0 当1>t 时，t x t t x e dx xe e dx xe dx x t xg t h ---===-=⎰⎰⎰101010)()(.综上 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-+<=--时当时当时当110100)(t e x t e t t h t t 注：本题是含参变量的反常积分，这是一类重要的积分，它在概率统计以及积分变换中都会用到.定积分自测题(A)一. 选择题(每小题3分，共15分).1.=⎰dt e dxd b x t 2( ) (A)2x e (B)2x e - (C)22x b e e - (D)22x xe - 2.dx x x I ⎰-=3021,则( )(A)化为)1()1(21230212x d x I ---=⎰后计算(B)进行代换t x sin =后计算(C)进行代换t x =-21，dt t I ⎰--=30212121后计算 (D) 进行代换t x cos =后计算3.设)(x f 连续且2)0(=f ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰00)()(2x cx x dtt tf x F x ，若)(x F 在0=x 处连续，则=c ( )(A)0=c (B) 1=c (C)c 不存在 (D) 1-=c4.设)(x f 在[a a ,-]上连续，则⎰-aa dx x f )(等于( ) (A)⎰adx x f 0)(2 (B)0 (C) ⎰-+adx x f x f 0)]()([ (D)⎰--adx x f x f 0)]()([ 5.设)(x f 是连续的奇函数，则)(x f 的任一原函数( )(A)是偶函数 (B)是奇函数 (C)可能是奇函数，也可能是偶函数 (D)非奇非偶函数二.(7分)求]4121141[lim 22222nn n n -+++-∞→ . 三.计算下列各题(每题6分，共12分). 1.202200)()(lim22dt edt e xt xt x ⎰⎰-→2.设dt t x f xx ⎰-+=sin 2)1arctan()(，求)0('f . 四.计算下列定积分(每题8分，共56分). 1.⎰+21ln 11e dx xx 2.dx x x ⎰-20cos sin π3.⎰-+43412)1(1dx x x x 4.⎰+x e dx 1 5.dx x ⎰+π4302cos 1 6.dx x x ⎰--112247.dx xx ⎰+∞22ln 1五.(10分) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=-001)(2x ex xx f x，求dx x f ⎰-31)2(.定积分自测题(B)一. 选择题(每小题3分，共15分).1.设0)(=⎰dx x f ba ，且)(x f 在],[b a 连续，则( )(A)在],[b a 上，0)(≡x f (B)必存在],[b a ∈ξ，使0)(=ξf (C)存在唯一的],[b a ∈ξ，使0)(=ξf (D)不一定存在],[b a ∈ξ，使0)(=ξf 2.设dt t I x e ⎰=ln 1，dt t I xe ⎰=22)(ln ，(0>x )，则( )(A)对一切e x ≠，有21I I < (B)仅当e x >时，有21I I < (C)对一切e x ≠，有21I I ≥ (D)仅当e x <时，有21I I < 3.当0→x 时，⎰-=102)sin()(x e dt t x f 与43)(x x x g +=比较，是( ) (A)高阶无穷小 (B)低阶无穷小 (C)同阶但非等价无穷小 (D)等价无穷小4.函数dt t t tx x⎰+-=0213)(ϕ在区间]1,0[上的最小值为( ) (A)21 (B)31 (C)41(D)05.=-+⎰→xdtt xx cos 1)1ln(lim2sin 0( )(A)8 (B)4 (C)2 (D)1 二.填空题(每小题3分，共15分). 1. 设)(x f 为连续函数，则=--⎰-aa dx x f x f x )]()([2.2. =+++++∞→)212111(lim nn n n . 3. 若dx x f dx x xf a⎰⎰=0202)(21)(，则=a .4. 设⎩⎨⎧≤<≤≤=21110)(2x x x x f ，而⎰=x dt t f x F 1)()( )20(≤≤x ，则=)(x F .5. =-⎰dx x 201.三.计算下列各题(每题8分，共56分).1.⎰-+10x x ee dx2.⎰+214)1(x x dx3.θθθθππd ⎰-+22234sin )sin (cos 4.dx x x⎰+202sin 3sin π5.⎰--2ln 021dx e x6.⎰+∞++02)1()1ln(dx x x 7.已知5)2(,3)2(,1)0('===f f f ，求⎰10'')(dx x xf . 四.(8分) 设⎰+=x dt t t x f 111ln )( )0(>x ,试求)1()(xf x f +. 五.(6分) 设)(x f 在]1,0[上连续，)1,0(内可导，且)0()(3132f dx x f =⎰.证明：在)1,0(内至少存在一点ξ，使0)('=ξf .定积分自测题(C)一. 选择题(每小题3分，共18分).1.设)(x f 为连续函数，那么函数⎰=xdt t tf x F 02)()(为( ) (A)奇函数 (B)偶函数 (C)非奇非偶函数 (D)单调增加函数 2.⎰=xa dt t f )2('( )(A))]()([2a f x f - (B))2()2(a f x f - (C))]2()2([2a f x f - (D))]2()2([21a f x f - 3.函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续是定积分dx x f ba ⎰)(存在的( ) (A)必要条件 (B)充分条件 (C)充要条件 (D)无关条件 4.设⎰--+=114121sin dx e x x I x ，⎰--++=1142)1sin (2dx e x x I x ，⎰---+=1143)1sin (2dx e xx I x ，则( )(A)321I I I << (B)231I I I <<(A)213I I I << (A)123I I I << 5.设)(x f 连续，则⎰=-x dt t x tf dxd 022)(( ) (A))(2x xf (B))(2x xf - (C))(22x xf (D))(22x xf - 6.广义积分收敛的是( ) (A)⎰+∞e dx x x ln (B)⎰+∞e dx x x ln 1(C)⎰+∞ex x dx 2)(ln (D)⎰+∞e xx dxln 二.填空题(每小题3分，共12分). 1.=+⎰))1ln((22x xtdt t e dx d .2.设)(x f 在]4,0[上连续，且3)(212-=⎰-x dt t f x ，则=)2(f . 3.设)(x f 为连续函数，且dx x f x x f e⎰-=1)(ln )(，则=⎰dx x f e1)(.4.=-+⎰-dx x x 1122)1(.三.计算下列各题(每题8分，共40分).1.⎰+402cos 1πdx x x 2.⎰+++203)1(1x x dx3. ⎰+edx xx 1ln 1 4.⎰+10222)1(dx x x 5.⎰+-5ln 031dx e e e xx x 四.(10分) 已知dt te ax a x a t xx ⎰∞-+∞→=-+2)(lim，试求a 的值. 五.(10分) 已知⎰=+-→x x dt ta t x bx 0201sin 1lim，求b a ,的值. 六.(10分) 设)('x f 在],0[a 上连续，且0)0(=f .证明：2)(2Ma dx x f a≤⎰，其中)(max '0x f M a x ≤≤=.定积分自测题答案自测题(A)一. 1.D 2.A 3.B 4.C 5.A 二. 6π.三. 1.1 2.2π四. 1.)13(2- 2.)12(2- 3.3831ln 4-4.ee+12ln 5.122- 6.2332-π7.2ln 1 五. e137-自测题(B)一.1.B 2.B 3.C 4.D 5.B 二. 1.0 2.2ln 3.4=a4.⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤-=21110)1(31)(3x x x x x F 5.1三. 1.e arctan 2.1732ln413.16π4.31ln 41- 5.)32ln(23+- 6.1 7.2 四.2)(ln 21x五.提示：利用积分中值定理及罗尔定理.自测题(C)一. 1.B 2.D 3.B 4.C 5.A 6.C二. 1.)1ln(2)1ln(422x xe x e x x +-+ 2.41)2(=f 3.e1 4.2 三. 1.)22ln4(21+π 2.6π3.234.82-π 5.4-π四. 25=a五. 1,4==b a六. ],0(a x ∈∀，由拉格朗日中值定理，x f f x f )()0()('ξ=-，),0(x ∈ξ.又因0)0(=f ，故x f x f )()('ξ=，],0[a x ∈，于是2'0'02)()()(a M dx x M dx x f dx x f dx x f aa aa=≤≤=⎰⎰⎰⎰ξξ.。

定积分的应用，固定套路，固定方法，固定技巧看完绝对受益

定积分的应用，固定套路，固定方法，固定技巧看完绝对受益
学过高等数学的朋友想必面对定积分简直是不知所云，关于定积分的知识也是有点难以让人接受，但是考试有一定会考定积分这一方面的知识，所以定积分对大家来说简直就像一个噩梦一样。

可是我想告诉大家的是定积分只是有点繁琐而已，只要你进入定积分的世界里面，相信你做关于定积分的题一定会易如反掌。

今天，我就来给大家介绍一种关于定积分的题型，解决这种问题的思路可以用非常简单来形容，希望大家可以掌握，对大家有所益处、
例题献上，供您享用
是不是简直易如反掌，非常简单呢？相信大家学到这一招后，解决关于定积分的应用的题型不会再没有头绪，一定会把这类题型做对，相信你可以。

数学其实就是一个很奇妙的学科，如果你没有进入到它的世界里面，那么你是根本不会领略其中的风采的，更不会发现有美丽神奇的万花筒藏匿其中。

附赠同济六版高等数学关于定积分的应用的讲解知识。

定积分计算技巧

分析由于积分区间关于原点对称因此首先应考虑被积函数的奇偶性.1 2 x 2 + x 7 --- . dx -11 + * 1-x 212 x 2 , x , 2 x 2 j 1---- ^=dx + J 1 --------- ^=dx .由于 ----------- 是偶函数，而 -11 + v1 - x 2 -11 + <1 - x 2 1 + V 1 - x 2xx j 1x n0 < ——< x n1 + x于是可得0 <j 1x ndx < j 1x ndx0 1 + x又由于j 1X n dx =—因此x nlimJ 1dx = 0 .n —8 01 + x3 .利用被积函数的奇偶性求定积分.,2 x 2 +x ,计算J d^=dx-11 + X 1 - x21.定积分的几何意义例 1, j2J2X -x 2dx 0 解法1由定积分的几何意义知，j2 <2x - x 2dx 等于上半圆周(x -1)2 + y 2 = 1( y > 0) 0 与X 轴所围成的图形的面积. 2.利用积分不等式例 1.求 lim j n +p 2nx dx , n —8 n xP , n 为自然数. 解法利用积分不等式因为 sin x , d x< 1 n + p —dx = In ----x n而 limln n -8 n + p 八一-=0,所以 n lim j n +p sin ^dx =0 .n —8 n x例2.求 lim J1 n -8 01 + x解法因为0 < x < 1,故有例1.J1 W dx =411 一^=-11 + 11 - x 2 0 1 + \ 1 - x2dx = 4『1x2^1~~x2) dx = 4。

dx - 4。

\1 - x 2 dx由定积分的几何意义可知「Ml-x2dx =—,故0 4dx = 4『1dx - 4 - — = 4一兀例2.计算解虽然", -r LU]在 6 6上即不是奇函数，也不是偶函数，更不能直接求出原函数，但我们可以利也‘由刈吃三以利用得二J" +干1+g 1 +吕』)sin z sin x1+/ 1+9原式/⑴服=1 / （工）港4 .设f （x ）为周期函数且连续，周期为T,则a…』* 〃力力O ⑴力+ J ； /①春+ \fj 虏事实上'』:/ 也十©出二J R ）出二-J ：/⑺*于是飙H ）]二*⑴西例1.设表示距离x 最近整数的距离，计算次工）且为周期函数，周期为1，于是100■刘公=100J ：飙可奴=100[«I Wx+ Ji xdx H-(1- x 心］=25. 225.利用积分中值定理w..v例 1.求 lim Jnpp snq dx , p , n 为自然数. n —8 n x 解法利用积分中值定理设f (x )= 吧,显然f (x )在［n,n + p ］上连续，由积分中值定理得 xn +… sin x, sinm J p------ dx = ——• p ,g G [ n , n + p ],n x W当n - 8时，自—8 , 而1sin 自|< 1,故lim J 1 x ^dx - 0 n —8 0 1 + x6 .利用适当变量变换求定积分du,lim J n +P n —8 nsin X , dx = lim例 2.求 lim J1^dx .n —8 0 1 十 x解法由积分中值定理J baf (x )g (x )dx = f 仁)J b g (x )dx 可知aJ 1Jx—J 1x n dxlim J 1 x n dx = lim —n —8 n + 111 -0且 < ——< 1 ,2 1+ W ，例1.设f(x)在［0,1］上连续，计算丁(sin x)dx.° /(sm J)+ /(cos x)/(cos x) +/(sin 幻/(sin 工) /(sin x) 十凸s x]/(sin JT )4/(COSZ )dx = f।」o 2w. .vJdl于是21计算, 例2,设函数f(x)在S*)内满足小)=加一力+汕X 且八―［口㈤解法一r J r 2J ^ _ ^ ；丁 r 2s ,^ r 2J _Jjdf + J -力+sin £吊=、+］ _加出 +) sin tdlI T 一 7T+sm 羽王匕[开,2TT ],工一2兀iw[2司3用.于是(x -k+sin xjdx +J ：(x — 2柳x = 7^-2.生力:」⑷成二J1 Q +「，激+[：建业二（解原式7 .利用定积分公式［：x/(sin x)dx = — / (sm ^')dx.公式1：设f(x)在［0,1］上连续，则2fj 炉［sin x)dx^—— - (TT - )/［sin( 7r - i) ］di二 1 j(X - 1)J(sm =dx/(sin 力威- J ；炉(sm 项江炉(sin 玲&x = Jj y(sin x)dx公式2：J a_ JI = J# cos™ xdx = Jj COS S -1 COS xdx = J# cos™-1 Aof sm xJTSJ 谕 siti M xdx = Ji, cos™ 工赤=vK —3邦一2 n —3K — 2[I,当制为偶数.同•|，当总为奇数，=广汽工一笈岫+。

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