实数例题及习题
实数知识点及典型例题
实数知识点及典型例题一、实数知识点。
（一）实数的分类。
1. 有理数。
- 整数：正整数、0、负整数统称为整数。
例如：5，0，-3。
- 分数：正分数、负分数统称为分数。
分数都可以表示为有限小数或无限循环小数。
例如：(1)/(2)=0.5，(1)/(3)=0.333·s。
- 有理数：整数和分数统称为有理数。
2. 无理数。
- 无理数是无限不循环小数。
例如：√(2)，π，0.1010010001·s（每两个1之间依次多一个0）。
3. 实数。
- 有理数和无理数统称为实数。
（二）实数的相关概念。
1. 数轴。
- 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
- 实数与数轴上的点是一一对应的关系。
2. 相反数。
- 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
a的相反数是-a，0的相反数是0。
例如：3与-3互为相反数。
- 若a、b互为相反数，则a + b=0。
3. 绝对值。
- 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作| a|。
- 当a≥slant0时，| a|=a；当a < 0时，| a|=-a。
例如：| 5| = 5，| -3|=3。
4. 倒数。
- 乘积为1的两个数互为倒数。
a(a≠0)的倒数是(1)/(a)。
例如：2的倒数是(1)/(2)。
（三）实数的运算。
1. 运算法则。
- 加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数。
- 减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
- 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘都得0。
- 除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数（除数不为0）。
2. 运算律。
- 加法交换律：a + b=b + a。
- 加法结合律：(a + b)+c=a+(b + c)。
- 乘法交换律：ab = ba。
初一数学下册知识点《实数的定义》经典例题与解析
实数的定义一、选择题（本大题共80 小题，共 240.0 分）1.实数 a， b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（）A. -2a+bB. 2a-bC. -bD. b【答案】 A【解析】解：由图可知：a＜ 0， a-b＜ 0，则|a|+=-a-（ a-b）=-2 a+b．故选： A．直接利用数轴上 a，b 的位置，进而得出 a＜ 0， a-b＜ 0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．此题主要考查了二次根式的性质以及实数与数轴，正确得出各项符号是解题关键．2. 实数 a，b， c，d 在数轴上对应的点的位置如图所示，这四个数中最大的是（）A. aB. bC. cD. d【答案】 D【解析】解：由数轴可得：a＜ b＜ c＜ d，故选： D．根据实数的大小比较解答即可．此题利用数轴比较大小，在数轴上右边的点表示的数总是大于左边的点表示的数．3.关于的叙述正确的是（）A. 在数轴上不存在表示的点C.=±2【答案】 D B.D.=+与最接近的整数是 3【解析】解： A、在数轴上存在表示的点，故选项错误；B、≠+，故选项错误；C、=2，故选项错误；D 、与最接近的整数是3，故选项正确．故选： D．根据数轴上的点与实数是一一对应的关系，实数的加法法则，算术平方根的计算法则计算即可求解．考查了实数与数轴，实数的加法，算术平方根，关键是熟练掌握计算法则计算即可求解．4.下列各数中是有理数的是（）A. πB. 0C.D.【答案】 B【解析】解： A、π是无限不循环小数，属于无理数，故本选项错误；B、 0 是有理数，故本选项正确；C、是无理数，故本选项错误；D 、无理数，故本选项错误；故选： B．根据有理数是有限小数或无限循环小，可得答案．本题考查了有理数，有限小数或无限循环小数是有理数．5. 已知实数a，b 在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A.a ＞bB.|a|＜|b|C.ab＞D.＞-a b【答案】 D【解析】解：由数轴可得，-2＜ a＜ -1＜ 0＜b＜ 1，∴a＜ b，故选项A 错误，|a|＞ |b|，故选项 B 错误，ab＜ 0，故选项 C 错误，-a＞ b，故选项 D 正确，故选： D．根据数轴可以判断 a、 b 的正负，从而可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．本题考查实数与数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．6.关于的叙述不正确的是（）A.=2B. 面积是8的正方形的边长是C. 是有理数D. 在数轴上可以找到表示的点【答案】 C【解析】解： A、=2，所以此选项叙述正确；B、面积是8 的正方形的边长是，所以此选项叙述正确；C、=2，它是无理数，所以此选项叙述不正确；D 、数轴既可以表示有理数，也可以表示无理数，所以在数轴上可以找到表示的点；所以此选项叙述正确；本题选择叙述不正确的，故选： C．=2 ，是无理数，可以在数轴上表示，还可以表示面积是8 的正方形的边长，由此作判断．本题考查了实数的定义、二次根式的化简、数轴，熟练掌握实数的有关定义是关键．7.下列实数中，属于有理数的是（）A. B. C. π D.【答案】 D【解析】解： A、-是无理数，故 A 错误；B、是无理数，故 B 错误；C、π是无理数，故C 错误；D 、是有理数，故 D 正确；故选： D．根据有理数是有限小数或无限循环小数，可得答案．本题考查了实数，有限小数或无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数．8. 如图，已知数轴上的点A、 B、 C、 D 分别表示数 -2、 1、2、 3，则表示数3-的点P 应落在线段（）A.AO上B.OB上C.BC上D.CD上【答案】 B【解析】解：∵2＜＜3，∴0＜ 3-＜1，故表示数3-的点P应落在线段OB 上．故选： B．根据估计无理数的方法得出0＜ 3-＜1，进而得出答案．此题主要考查了估算无理数的大小，得出的取值范围是解题关键．9. -的相反数是（）A. B. - C. - D. -2【答案】 A【解析】解： -的相反数是．故选： A．根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．本题考查了实数的性质，熟记相反数的定义是解题的关键．10.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简-+b 的结果是（）A. 1B. b+1C. 2aD. 1-2a【答案】 A【解析】解：由数轴可得：a-1＜ 0， a-b＜ 0，则原式 =1-a+a-b+b=1 ．故选 A．利用数轴得出a-1＜ 0， a-b＜ 0，进而利用二次根式的性质化简求出即可．此题主要考查了二次根式的性质与化简，得出各项的符号是解题关键．11.下列说法错误的是（）A. B.正整数和正分数统称正有理数两个无理数相乘的结果可能等于零C. 正整数，0，负整数统称为整数D. 3.1415926是小数，也是分数【答案】 B【解析】解： A、正整数和正分数统称为正有理数，正确；B、两个无理数相乘的结果不可能为零，错误；C、正整数， 0 负整数统称为整数，正确；D 、3.1415926 是小数，也是分数，正确，故选 B利用有理数，整数，无理数，以及分数的定义判断即可．此题考查了实数，涉及的知识有：有理数，无理数，整数与分数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．12.有下列说法：①任何无理数都是无限小数；②有理数与数轴上的点一一对应；③在 1 和 3 之间的无理数有且只有这4个；④ 是分数，它是有理数．⑤近似数 7.30 所表示的准确数 a 的范围是： 7.295 ≤a＜ 7.305．其中正确的个数是（）A. 1B.2C. 3D. 4【答案】 B【解析】解：①任何无理数都是无限小数，故说法正确；②实数与数轴上的点一一对应，故说法错误；③在 1 和 3 之间的无理数有无数个，故说法错误；④ 不是分数，它不是有理数，故说法错误．⑤近似数 7.30 所表示的准确数 a 的范围是： 7.295 ≤a＜ 7.305，故说法正确．故选 B．①根据无理数就是无限不循环小数即可判定；②根据有理数与数轴上的点的对应关系即可的；③根据无理数的定义及开平方运算的法则即可判定；④根据无理数、有理数的定义即可判定；⑤根据近似数的精确度即可判定．此题主要考查了实数的定义及其分类．注意分数能表示成的形式，其中A、 B 都是整数．因而像不是分数，而是无理数．13.下列说法中正确的是（）A. 实数-a2是负数B.C. |-a|一定是正数D. 实数-a的绝对值是a【答案】 B【解析】【分析】本题考查的是实数的分类及二次根式、绝对值的性质，解答此题时要注意 0 既不是正数，也不是负数．分别根据平方运算的特点，平方根的性质和绝对值的性质进行逐一分析即可.【解答】解： A、实数 -a2是负数， a=0 时不成立，故选项错误；B、，符合二次根式的意义，故选项正确，C、 |-a|不一定是正数，a=0 时不成立，故选项错误；D 、实数 -a 的绝对值不一定是a， a 为负数时不成立，故选项错误．故选 B．14. 在，， 0，，， 227，，相邻两个6之间 1的个数逐次加中，有理数的个数为( )A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】 C【解析】【分析】本题考查的是有理数问题，关键是根据实数的分类及无理数、有理数的定义分析.分别根据实数的分类及有理数、无理数的概念进行解答.【解答】在－ 3，，0，-3.5，﹣10%，227，π，0.61611611 6⋯（相邻两个 6 之间 1 的个数逐次加 1）中，有理数为：-3，，0，-3.5，10%，227，共有6个.故选 C.15.下列说法正确的是（）A.无限小数都是无理数B.9 的立方根是 3C.平方根等于本身的数是 0D.数轴上的每一个点都对应一个有理数【答案】 C【解析】解： A、无限不循环小数都是无理数，故 A 错误；B、 9 的立方根是，故B错误；C、平方根等于本身的数是0，故 C 正确；D 、数轴上的每一个点都对应一个实数，故 D 错误；故选： C．根据实数的分类、平方根和立方根的定义进行选择即可．本题考查了实数、单项式以及多项式，掌握实数的分类、平方根和立方根的定义是解题的关键．16.关于的叙述，错误的是（）A.是有理数B. 面积为12的正方形边长是C.=2D. 在数轴上可以找到表示的点【答案】 A【解析】解： A、是无理数，原来的说法错误，符合题意；B、面积为12 的正方形边长是，原来的说法正确，不符合题意；C、=2，原来的说法正确，不符合题意；D 、在数轴上可以找到表示的点，原来的说法正确，不符合题意．故选： A．根据无理数的定义：无理数是开方开不尽的实数或者无限不循环小数或π；由此即可判定选择项．本题主要考查了实数，有理数，无理数的定义，要求掌握实数，有理数，无理数的范围以及分类方法．17.下列语句中正确的是（）A.正整数和负整数统称为整数B.有理数和无理数统称为实数C. D.开方开不尽的数和π统称为无理数正数、 0、负数统称为有理数【答案】 B【解析】解： A、正整数和负整数，还有零统称为整数，故 A 错误；B、有理数和无理数统称为实数，故 B 正确；C、开方开不尽的数和π都是无理数，故 C 错误；D 、整数、分数统称为有理数，故 D 错误；故选 B．根据实数的分类进行选择即可．本题考查了实数，掌握实数的分类是解题的关键．18. 下列说法：；数轴上的点与有理数成一一对应关系；是的平方根；任何实数不是有理数就是无理数；两个无理数的和还是无理数；无理数都是无限小数，正确的个数有A. 2个B. 3个C.4个D.5个【答案】 B【解析】【分析】此题主要考查了有理数、无理数、实数的定义及其关系．有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数，如，等，也有π这样的数．①根据算术平方根的性质即可判定；②根据实数与数轴上的点的对应关系即可判定；③根据平方根的定义即可判定；④根据实数的分类即可判定；⑤根据无理数的性质即可判定；⑥根据无理数的定义即可判断．【解答】解：①，故说法错误；②数轴上的点与实数成一一对应关系，故说法错误；③-2 是的平方根，故说法正确；④任何实数不是有理数就是无理数，故说法正确；⑤两个无理数的和还是无理数，如与的和是0，是有理数，故说法错误；⑥无理数都是无限小数，故说法正确．故正确的是③④⑥共 3 个．故选 B．19. 在实数范围内，下列判断正确的是（）A. 若|m|=|n|，则m=nB. 若a2＞b2，则a＞bC. 若=（）2，则 a=bD. 若= ，则 a=b【答案】 D【解析】解： A、根据绝对值的性质可知：两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，故选项错误；B、平方大的，即这个数的绝对值大，不一定这个数大，如两个负数，故说法错误；C、两个数可能互为相反数，如 a=-3， b=3，故选项错误；D、根据立方根的定义，显然这两个数相等，故选项正确．故选： D．解答此题的关键是熟知以下概念：（ 1）一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是0．（ 2）如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作 a 的平方根．20. 对于-3. 7，下列说法不正确的是（）A. 是负数B. 是分数C. 是有理数D. 是无理数【答案】 D【解析】解： -3. 7 是无限循环小数，是负数，是分数，是有理数，不是无理数故选： D．根据有理数的定义可得．本题主要考查实数，熟练掌握有理数的定义是解题的关键．21. 在数-2，，，，+3，中，属于整数的个数为（）π 0 2.6A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】 B【解析】解：在数 -2，π， 0， 2.6， +3，中，整数有 -2， 0， +3，属于整数的个数， 3．故选： B．整数包括正整数、负整数和0，依此即可求解．本题考查了实数的分类．实数分为有理数和无理数；整数和分数统称有理数；整数包括正整数、负整数和 0．22. 下列数轴上的点 A 都表示实数a，其中，一定满足|a|＞2 的是（）A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④【答案】 B【解析】【分析】本题考查了有理数比较大小，根据绝对值的大小解题是关键．根据绝对值是数轴上的点到原点的距离，图示表示的数，可得答案．【解答】解：一定满足|a|＞ 2 的， A 在 -2 的左边，或A 在 2 的右边，故选： B．23. 下列说法正确的是（）①0 是绝对值最小的实数②相反数大于本身的数是负数③数轴上原点两侧的数互为相反数④带根号的数是无理数A. ①②③④B. ①②③C. ①③D. ①②【答案】 D【解析】解：① 0 是绝对值最小的实数，故①正确；②相反数大于本身的数是负数，故②正确；③数轴上原点两侧且到原点距离相等的数互为相反数，故③错误；④带根号的数不一定是无理数，故④错误．故选： D．依据绝对值、相反数、无理数的概念进行判断即可．本题主要考查的是实数的相关概念，熟练掌握相关知识是解题的关键．24. 如图，半径为1的圆从表示 3 的点开始沿着数轴向左滚动一周，圆上的点 A 与表示3的点重合，滚动一周后到达点B，点 B 表示的数是（）A. ﹣B. ﹣C. ﹣﹣D. ﹣2π 3 2π 3 2π3+2π【答案】 B【解析】解：由题意得：AB=2πr =2π，点 A 到原点的距离为3，则点 B 到原点的距离为2π-3，∵点 B 在原点的左侧，∴点 B 所表示的数为 -（2π-3） =3- 2π，故选： B．线段 AB=2πr =2π，点 A 到原点的距离为3，则点 B 到原点的距离为2π-3，点 B 在原点的左侧，因此点 B 所表示的数为 -（ 2π-3） =3- 2π，于是得出答案．考查实数的意义，数轴等知识，理解符号和绝对值是确定一个数在数轴上位置的两个必要条件．25. 下列说法，正确的有（）个①m 是一个实数， m2的算术平方根是 m；② m 是一个实数，则 -m 没有平方根；③带根号的数是无理数；④无理数是无限小数．A.0B.1C.2D.3【答案】 B【解析】解：①如果 m 是一个实数， m2的算术平方根是 |m|，当 m 是非负数时， m2的算术平方根是 m；所以此说法不正确；②如果 m 是一个正数，则-m 没有平方根；所以此选项不正确；③带根号的数不一定是无理数，如=2，是有理数；所以此选项说法不正确；④无理数是无限不循环小数，所以无理数是无限小数，所以此选项说法正确；所以本题说法正确的有 1 个：④，故选 B．①根据算术平方根的定义进行判断；②根据平方根的定义进行判断；③带根号的数不一定是无理数，开方开不尽的数是无理数；④根据无理数的定义进行判断．此题主要考查了实数的定义、平方根及算术平方根的定义、无理数的定义．属于基础知识，熟练掌握这些基本概念是解题的关键．26.已知实数 a 在数轴上的位置如图，则化简 |1-a|+ 的结果为（）A. 1B. -1C. 1-2aD. 2a-1【答案】 C【解析】解：由数轴可得：-1＜ a＜ 0，则|1-a|+ =1-a-a=1-2a．故选： C．直接利用二次根式的性质化简得出答案．此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．27. 下列说法错误的是（）A.的平方根是±2C.是有理数【答案】 D B.D.是无理数是分数【解析】【分析】本题主要考查了实数的有关概念及其分类，其中开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数 .A.根据算术平方根、平方根的定义即可判定； B.根据无理数的定义即可判定；C.根据无理数和立方根的定义即可判定；D.根据开平方和有理数、无理数和分数的定义即可判定 .【解答】解：，，故A正确；是无理数，故 B 正确；是有理数，故 C 正确；不是分数，它是无理数，故 D 选项错误 .故选 D.28. 有以下说法：其中正确的说法有（）（1）开方开不尽的数是无理数；（2）无理数是无限循环小数（3）无理数包括正无理数和负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示；（5）循环小数都是有理数A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】 D【解析】解：（ 1）开方开不尽的数是无理数，该说法正确；（2）无理数是无限不循环小数，原说法错误；（3）无理数包括正无理数和负无理数，该说法正确；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示，该说法正确；（5）循环小数都是有理数，该说法正确．正确的有 4 个．故选： D．根据无理数的三种形式求解．本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．29. 如图，数轴上点P 表示的数可能是（）A. B. C. D.【答案】 B【解析】解：由被开方数越大算术平方根越大，得＜＜＜＜＜，即＜2＜＜3＜＜，故选： B．根据被开方数越大算术平方根越大，可得答案．本题考查了实数与数轴，利用被开方数越大算术平方根越大得出＜＜＜＜＜是解题关键．30. 如图，数轴上，AB=AC，A，B两点对应的实数分别是和-1，则点C所对应的实数是（）A. 1+B. 2+C.2 -1D. 2+1【答案】 D【解析】解： AC=AB= +1，C 点坐标 A 点坐标加 AC 的长，即 C 点坐标为+ +1=2 +1，故选： D．根据线段中点的性质，可得答案．本题考查了实数与数轴，利用线段中点的性质得出AC 的长是解题关键．31. 下列各数中，属于有理数的是（）A.B.C.πD.3.1313313331 ⋯⋯（两个“ 1”之间依次多一个 3）【答案】 A【解析】解： A、是有理数，故此选项正确；B、是无理数，故此选项错误；C、π是无理数，故此选项错误；D 、3.1313313331 ⋯⋯（两个“1”之间依次多一个3）是无理数，故此选项错误；故选： A．直接利用有理数以及无理数的定义分别分析得出答案．此题主要考查了实数，正确掌握相关定义是解题关键．32. 下列各组数中互为相反数的是（）A. -3与B.C.5与D.-（ -2）与 -|-2| -2 与【答案】 B【解析】解： A、-3 与不符合相反数的定义，故选项错误；B、 -（ -2） =2， -|-2|=-2 只有符号相反，故是相反数，故选项正确．C、无意义，故选项错误；D 、 -2=-2 ，=-2 相等，不符合相反数的定义，故选项错误．故选： B．首先根据绝对值的定义化简，然后根据相反数的定义即可解答．此题主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数，0 的相反数是其本身．33. 下列说法正确的是（）A.1 的平方根是它本身B.是分数C.负数没有立方根D. 如果实数x、y满足条件y=，那么x和y都是非负实数【答案】 D【解析】解： A、1 的平方根是±1，错误；B、是无理数，错误；C、负数有立方根，错误；D 、如果实数x、 y 满足条件 y=，那么x和y都是非负实数，正确；故选： D．根据平方根、分数、立方根和实数的概念解答即可．此题考查实数问题，关键是根据平方根、分数、立方根和实数的概念解答．34. 下列说法中，正确的是（）①；②一定是正数；③无理数一定是无限小数；④ 16.8万精确到十分位；⑤（ -4）2的算术平方根是4．A. ①②③B. ④⑤C. ②④D. ③⑤【答案】 D【解析】解： - ＜ - ，故①错误；当 m=0 时，是0，不是正数，故②错误；无理数一定是无限小数，故③正确；16.8 万精确到千位，故④错误；（-4）2的算术平方根是 4．故⑤正确；即正确的有③⑤，故选： D．根据实数的大小比较，算术平方根的定义，无理数的定义，精确度逐个判断即可．本题考查了实数的大小比较，算术平方根的定义，无理数的定义，精确度等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．35.下列说法正确的是（）A.立方根等于它本身的实数只有0 和 1B.平方根等于它本身的实数是0C.1 的算术平方根是D.绝对值等于它本身的实数是正数【答案】 B【解析】【分析】此题考查了立方根，平方根，算术平方根，绝对值，掌握这些概念是关键，逐项分析即可得到答案 .【解答】解： A.立方根等于它本身的数是0，-1， 1，故 A 错误；B.平方根等于它本身的实数是0，故 B 正确；C.1 的算术平方根是1，故 C 错误；D .绝对值等于它本身的实数是正数，0，故 C 错误；故选 B.a b36. 已知实数，在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（）A. -a＜-bB. a+b＜0C. |a|＜|b|D. a-b＞0【答案】 C【解析】解：根据点a、 b 在数轴上的位置可知-1＜ a＜ 0， 1＜b＜ 2，则-a＞ -b， a+b＞0， |a|＜ |b|， a-b＜ 0．故选： C．根据点 a、b 在数轴上的位置可判断出a、 b 的取值范围，即可作出判断．本题主要考查的是数轴的认识、有理数的加法、减法、绝对值性质的应用，掌握法则是解题的关键．37.设面积为 6 的正方形的边长为 a．下列关于 a 的四种说法：① a 是有理数；② a 是无理数；③ a 可以用数轴上的一个点来表示；④2＜ a＜3．其中说法正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】 C【解析】解：∵面积为 3 的正方形的边长为a，∴a=，故① a 是有理数，错误；② a 是无理数，正确；③a 可以用数轴上的一个点来表示，正确；④ 2＜ a＜3，正确，则说法正确的是：②③④共 3 个．故选： C．直接利用得出正方形的边长，再利用实数的性质分析得出答案．此题主要考查了实数的性质以及无理数的估算，正确掌握实数有关性质是解题关键．38.实数 a， b， c 在数轴上的位置如图所示，则化简|b|+|c-a|-|a+b|的结果为（）A. 2a+2 b-cB. -cC. c-2aD. a-b-c【答案】 B【解析】解：从数轴上a、 b、 c 的位置关系可知：c＜ a＜ 0， b＞ 0 且 |b|＞ |a|，故 a+b＞ 0， c-a＜ 0，即有 |b|+|c-a|-|a+b|=b-（ c-a） -（ a+b） =b-c+a-a-b=-c．故选： B．首先从数轴上 a、 b、 c 的位置关系可知： c＜ a＜ 0， b＞ 0 且 |b|＞ |a|，接着可得 a+b＞ 0，c-a＜ 0，然后即可化简 |b|+|c-a|-|a+b|．此题主要考查了利用数轴比较两个的大小和化简绝对值．数轴的特点：从原点向右为正数，向左为负数，及实数与数轴上的点的对应关系．39. 我们知道有一些整数的算术平方根是有理数，如，，，⋯已知n=1，2，3，⋯，99，100，易知中共有10个有理数，那么中的有理数的个数是（）A.20B.14C.13D.7【答案】 D【解析】解：∵是有理数，∴2n 是完全平方数，∵n=1， 2， 3，⋯， 99， 100，∴2n=2， 4，6，⋯， 198， 200，∴在 2， 4，6，⋯， 198， 200 的这组数据中，完全平方数有2， 8， 18， 36， 64， 100，144， 196，∴中的有理数的个数是 7，故选： D．在2， 4，6，⋯， 198， 200 的这组数据中，找出完全平方数即可．本题考查了实数，完全平方数，正确的找出完全平方数是解题的关键．40. 将四个数-，，，表示在数轴上，被如图所示的墨迹覆盖的数是（）A.-B.C.D.【答案】 D【解析】解：，，，，因为盖住的数大于2小于 3，故选： D．盖住的数大于 2 小于 3，估计，，的值可确定答案．本题考查无理数值的大小估计．确定无理数在哪两个整数之间是解答的关键．41. 正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点D、A 对应的数分别为0 和 1，若正方形ABCD 绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转 1 次后，点 B 所对应的数为 2；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2019 所对应的点是（）A.点AB.点BC.点CD.点D【答案】 C【解析】解：当正方形在转动第一周的过程中， 1 所对应的点是A， 2 所对应的点是B，3 所对应的点是C， 4 所对应的点是 D ，∴四次一循环，∵2019 ÷4=504⋯ 3，∴2019 所对应的点是C．故选： C．由题意可知转一周后， A、B、 C、 D 分别对应的点为 1、 2、 3、 4，可知其四次一循环，由次可确定出 2019 所对应的点．本题主要考查实数与数轴以及正方形的性质，确定出点的变化规律是解题的关键．42. 下列格式中，化简结果与的倒数相同是（）A. B. C. D.【答案】 A【解析】解：的倒数是．A、原式 = ，故本选项正确．B、原式 = ，故本选项错误．C、原式 =- ，故本选项错误．D 、原式 = ，故本选项错误．故选： A．的倒数是，根据实数的性质、绝对值的计算方法解答．考查了实数的性质，倒数的定义以及绝对值，属于基础题，熟记计算法则即可解题．43. 实数a．b在数轴上的位置如图所示，下列各式中不成立的是（）A. -a＞bB.C. a-b＜a+bD.【答案】 D a+6 ＜ 0|a|+|b|＜ |a+b|【解析】解：选项 A 正确：找出表示数 a 的点关于原点的对称点- a，与 b 相比较可得出-a＞ b．选项 B 正确： a+b＜0；选项 C 正确： a-b＜a+b；选项 D 正确的是 |a|+|b|＞ |a+b|，故这个选项不成立．故选： D．根据一对相反数在数轴上的位置特点，先找出与点 a 相对应的 -a，然后与 b 相比较，即可排除选项求解．本题考查了实数与数轴的关系．用字母表示数，具有抽象性．由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成．因为是选择题，也可以采用特值法，如：取a=-2 ， b=1 ，代入四个选项，逐一检验，就可以得出正确答案．这样做具体且直观．44. 关于下列说法中不正确的是（）A.是无理数B.的平方是 2C.2 的平方根是D.面积为 2 的正方形的边长可表示为【答案】 C【解析】解：A、是无理数，正确，故本选项不符合题意；B、的平方是 2，正确，故本选项不符合题意；C、 2 的平方根是，错误，故本选项符合题意；D 、面积为 2 的正方形的边长为，正确，故本选项不符合题意；故选： C．根据无理数、实数的乘方、平方根的定义、算术平方根的定义逐个判断即可．本题考查了实数及分类、无理数、实数的乘方、平方根的定义、算术平方根的定义，能熟记知识点的内容是解此题的关键，注意：实数包括无理数和有理数，无理数是指无限不循环小数．45. 下列结论正确的是（）A.无限不循环小数叫做无理数B.有理数包括正数和负数C.0 是最小的整数D.两个有理数的和一定大于每一个加数【答案】 A【解析】解：A、无限不循环小数叫做无理数，正确，故本选项符合题意；B、有理数包括正有理数、0 和负有理数，不正确，故本选项不符合题意；C、0 不是最小的整数，没有最小的整数，不正确，故本选项不符合题意；D 、一个数同 0 相加仍得这个数，所以两个有理数的和不一定大于每一个加数，不正确，故本选项不符合题意．故选： A．根据有理数、无理数、整数及有理数的加法法则判断即可．本题考查了有理数、无理数、整数及有理数的加法法则，属于基础知识，需牢固掌握．46. ①倒数等于本身的数为1；②若a b互为相反数，那么a b1、、的商必定等于﹣；③对于任意实数x，|x|+x 一定是非负数；④一个数前面带有“﹣”号，则这个数是负数；⑤整数和小数统称为有理数；⑥数轴上的点都表示有理数；⑦绝对值等于自身的数为 0和 1；⑧平方等于自身的数为0 和 1；其中正确的个数是（）A. 0个B. 1个C.2个D. 3个【答案】C【解析】【分析】本题考查了相反数，绝对值，非负数的性质：绝对值，倒数，掌握相反数，绝对值，非负数的性质：绝对值，倒数的定义是解决问题的关键 .直接利用倒数以及绝对值和相反数的性质分别分析得出答案。
初二(下)实数的知识点与练习题
第十三章 实数知识要点一： 1．实数的性质（1）实数范围内仍然适用在有理数范围内定义的一些概念（如倒数，相反数）；（2）两实数的大小关系：正数大于0，0大于负数；两个正实数，绝对值大的实数大；两个负实数，绝对值大的实数反而小；（3）在实数范围内，加、减、乘、除（除数不为零）、乘方五种运算是畅通无阻的，但是开方运算要注意，正实数和零总能进行开方运算，而负实数只能开奇次方，不能开偶次方；（4）有理数范围内的运算律和运算顺序在实数范围内仍然相同． 2．实数与数轴的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系．3．实数的分类（1）按实数的定义分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 （2）按实数的正负分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负分数负整数负有理数负实数负数）零（既不是正数也不是正无理数正分数正整数正有理数正实数实数4．实数的大小比较两实数的大小关系如下：正实数都大于0，负实数都小于0，正数大于一切负数；两个正实数，绝对值大的实数较大；两个负实数，绝对值大的实数反而小．实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个实数，右边的数总大于左边的数．【典型例题】2-1C B A 例1若a 为实数,下列代数式中,一定是负数的是( ) A. －a 2 B. －( a +1)2 C.－2a D.－(a -+1)分析：本题主要考查负数和非负数的概念,同时涉及考查字母表示数这个知识点.由于a 为实数, a 2、( a +1)2、2a 均为非负数，∴－a 2≤0，－( a +1)2≤0，－2a ≤0．而0既不是正数也不是负数，是介于正数与负数之间的中性数．因此，A 、B 、C 不一定是负数．又依据绝对值的概念及性质知－(a -+1)﹤0．故选D例2 实数a 在数轴上的位置如图所示, 化简:2)2(1-+-a a =分析：这里考查了数形结合的数学思想,要去掉绝对值符号,必须清楚绝对值符号内的数是正还是负.由数轴可知:1﹤a ﹤2,于是,22)2(,112a a a a a -=-=--=-所以, 2)2(1-+-a a =a －1+2－a =1.例3 如图所示,数轴上A 、B 两点分别表示实数1，5，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的实数为（ ） A. 5－2 B. 2－5 C.5－3 D.3－5分析：这道题也考查了数形结合的数学思想,同时又考查了对称的性质．B 、C 两点关于点A 对称，因而B 、C 两点到点A 的距离是相同的，点B 到点A 的距离是5－1，所以点C 到点A 的距离也是5－1，设点C 到点O 的距离为a ，所以a +1=5－1，即a =5－2．又因为点C 所表示的实数为负数，所以点C 所表示的实数为2－5．例4 已知a 、b 是有理数，且满足（a －2）2+3-b =0，则a b 的值为分析：因为（a －2）2+3-b =0，所以a －2=0，b －3=0。
实数知识点及例题
实数习题集【知识要点】1．实数分类：2．相反数：b a ,互为相反数 0=+b a4．倒数：b a ,互为倒数0;1=ab 没有倒数.5．平方根，立方根：==x ，a x a x 记作的平方根叫做数则数若,2±a . 若a x ，a x a x 33,==记作的立方根叫做数则数6．数轴的概念与画法.实数与数轴上的点一一对应；利用数形结合的思想及数轴比较实数大小的方法.实数易错题分类汇总典型例题一：计算1.计算()2010200902211-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-的结果是【答案】-1 2． ()()212321-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--π的值为【答案】13.下列计算中，正确的是（ ）A ．020= B ．2a a a =+C3=±D ．623)(a a =【答案】D4.下列运算正确的是（ ）A ．1331-÷＝ Ba = C ．3.14 3.14ππ-=- D ．326211()24a b a b =典型例题二：估算 1．82cm 接近于（ ）实数有理数无理数 整数（包括正整数，零，负整数） 分数（包括正分数，负整数）正无理数 负无理数)0(>a 3．绝对值： =aa 0 a -)0(=a )0(<aA ．珠穆朗玛峰的高度B ．三层楼的高度C ．姚明的身高D ．一张纸的厚度 【答案】C2.如图，数轴上A 、B 两点分别对应实数a 、b ，则下列结论正确的是( )A ．0>abB ．0>-b aC ．0>+b aD ．0||||>-b a【答案】D典型例题三：应用题1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中，平均一个人传染的人数为（ ） A ．8人 B ．9人 C ．10人 D ．11人【答案】B.2.一种商品原来的销售利润率是47%．现在由于进价提高了5%，而售价没变，所以该商品的销售利润率变成了 【注：销售利润率=（售价—进价）÷进价】 【答案】40%典型例题四：信息与推断题1.观察下列算式，用你所发现的规律得出20102的末位数字是（ ）21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，… A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【答案】B 2.观察下列算式：,65613,21873,7293,2433,813,273,93,1387654321========，通过观察，用你所发现的规律确定20023的个位数字是（ ）A.3B.9C.7D.1 【答案】B 3．观察下列各式：()1121230123⨯=⨯⨯-⨯⨯ ()1232341233⨯=⨯⨯-⨯⨯ ()1343452343⨯=⨯⨯-⨯⨯……计算：3×(1×2+2×3+3×4+…+99×100)=（ ）A ．97×98×99B ．98×99×100C ．99×100×101D ．100×101×102 【答案】C4．已知：3212323=⨯⨯=C ，1032134535=⨯⨯⨯⨯=C ，154321345646=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=C ，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算=610C ． 【答案】210典型例题五：比较大小10 -1 a b B A1. 31.0与1.02.331与213. 215--与－2 4. 2003－2002与2002－2001作业：设2的整数部分为a ，小数部分为b ,则1＋2a b －2b =第三讲 平移、旋转与对称专题例题精讲1. 正方形ABCD 在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D 点顺时针方向旋转90后，B 点的坐标为（ ）A ．(22)-，B ．(41)，C ．(31)， D ．(40)，随堂练习1下列四张扑克牌图案，属于中心对称的是（ ）．2.观察下列银行标志，从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例题精讲2将图(六)的正方形色纸沿其中一条对角线对折后，再沿原正方形的另 一条对角线对折，如图(七)所示。
《第6章实数》知识清单含例题+期末专题复习试卷(含答案).doc
2018年七年级数学下册实数知识清单+经典例题+专题复习试卷1、 定义：如果一个正数X 的平方等于a,即工=。
那么，这正数x 叫做a 的算术平方根。
记作氐 读作“根号屮。
a 叫做被开 算术平方根*方数，规定0的算术平方根还是0o2、 性质:双重非员性(a h 0,需X 0 )。
负数没有算术平方根。
'3、J 产=\a\ (a是任意数力(7^)2 =a (B 是非员数)。
1、定义：如果一个数X 的平方等于4即乂2 =4。
那么，这个X叫做a 的平方根。
记作土需，读作“正、员根号屮。
a 叫做被幵 方数。
规定0的算术平方根还是0o2、 性质：(1)正数有两个平方根，它们互为相反数。
(2) 0的平方根是0。
员数没有平方根。
3、 未知数次数是两次的方程，结果一般都有两个值。
72^1.414, 73^1.732,少恐2.236, J7俎26461、走义：如果一个数x 的立方等于匕 即x 3 =a o 那么，这个x 叫做a 的立方根。
记作砺，读作“三次根号护。
a 叫做被开方数。
2、性质：(1)正数的立方根是正数，员数的立方根是员数，0的立方根是0。
(2)1卜a 取任意数(3) (佝=° J分数(有理数和分数是相同的概念)rI 无限循环小数'1、开方开不尽的方根无理数无限不循环小数彳2、圆周率兀以及含有兀、3、具有特定结构的数(0.010010001……)有理数』r 正整数员整数(可以看成分母是1的分数)正实数o员实数有限小数平方根立方根【经典例题1】1、下列说法错误的是（）4、若 a 2=4, b 2=9,且 ab<0,B. ±55、 设边长为3的正方形的对角线长为a.下列关于a 的四种说法： ®a 是无理数； ②a 可以用数轴上的一个点來表示；③3<a<4； ④a 是18的算术平方根.其中，所有正确说法的序号是 （ ）A.①④B.②③C.①②④D.①③④ 6、 已知实数x 、y 满足心- l+|y+3|=0,则x+y 的值为（ ） A. -2B. 2C.4D. -4【经典例题3】7、 一个自然数的算术平方根为a,则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ）A. a+1B. a 2+lC.寸/+1Va+1f x 二 2f inx+ny=88、 已知■是二元一次方程组｛、的解，则加・n 的算术平方根为（ ）\ y=l[nx - iny^lA. ±2B. V2C. 2D. 49、 有一个数值转换器，原理如下：A. 5是25的算术平方根 C. （-4）2的平方根是一4 2、下列各式中，正确的是（）B. 1是1的一个平方根 D. 0的平方根与算术平方根都是0B.-佇二 _ 3C.寸(±3严二 ±3D.佇二 ±33、716的平方根是（A. ±2【经典例题2】B. 2C. — 2D. 16C. 5A. 2B. 8当输入的x=64时，输出的y 等于（）【经典例题4】10、平方等于16的数是________ ;立方等于本身的数是_______________________ •11、一个数的立方根是4,这个数的平方根是______________ ,12、若一2x ra_n y2与3x7^是同类项，则m-3n的立方根是_____________ .【经典例题5】13、求x 的值：25(X+1)2=16；14、求y 的值：(2y-3) 2 - 64=0；15、计算:^4-23-|-2|X(-7+5) 16、计算：舗一血+ 乂-3)' -磁-2【经典例题6】17、已知实数a, b在数轴上的位置如图所示，化简：寸(fl) 4-1)并|a・b|. -------- ------- 1---------------- 1 ----- >・ 1^0 b 118、阅读理解7 >^<75 <79* 即2<V5<3» A1<V5-1<2-・••厉_1的整数部分为1,小数部分为厉_2・解决问题：己知a是JI7-3的整数部分，D是的小数部分，求(-a)"+(b + 4)2的平方根.参考答案1、c；2、B3、A4、B5、C6、A7、B8、C9、D10、±4, 0, ±111、&-812、213、x = -0. 2, x=-l. 8；14、y=5. 5 或y= - 2. 5；15、10 ；16、-2；17、解：由数轴上点的位置关系，得-l<a<0<b<l.原式二a+1+2 - 2b - b+a=2a - 3b+3.18、由题意，得幺=1，i = T17-4 所以（一幺尸 + 0+4）2 = （-1尸 + （何_4+4）2 = 16 即+ @ + 4）2的平方根为±牛2018年 七年级数学下册 实数 期末复习试卷一、选择题:1、下列语句中正确的是（C. 9的算术平方根是±3D. 9的算术平方根是3设边长为3的正方形的对角线长为a.下列关于a 的I 川种说法: ①a 是无理数; ②a 可以用数轴上的一个点來表示; @3<a<4；④a 是18的算术平方根.其中，所有正确说法的序号是（) A.①④B.②③C.①②④ D.①③④7、负的算术平方根是（ ）A. ±6B. 6C. ±A /6D. V68、下列各数中,3. 14159,-饭,0.3131131113- （2016春•潮州期末）下列各式表示正确的是9、己知实数x 、y 满足Jx=l+1 y+31二0,则x+y 的值为（）10、若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ ）A.・9的平方根是・3B. 9的平方根是3 2、下列结论正确的是（A- -{(-6)2二-6 B.(~{5)2二9 C. 7(~16) 2=± 16 D.-(2,16 ^25A- 4、 下列关于祈的说法中，错误的是（ 灵是8的算术平方根 B. 2＜品＜3 下列各组数中互为相反数的一组是（)C. 78= ±2^2D.灵是无理数A. ■⑵与寻PB.・4与・{(-4)2C.D. P 与法5^如果际〒二2. 872, ^3700 =28.72,则勺0・023厂（A. 0. 2872B. 28. 72C. 2. 872D. 0.02872 6、 B. ±725=5A. - 2B. 2C. 4（ ）lk •估计— 1在（）A. 0〜1之间•B. 1〜2之间C. 2〜3之间D. 3〜4之间12、实数纸b在数轴上对应点的位置如图，则|a-b| -肯的结果是（）•••Aa b0A. 2a - bB. b - 2aC. bD. - b二、填空题：13、（-9）2的算术平方根是_.14、如图，在数轴上点A和点B之间的整数是_________ .15^ 己知（x - 1） 2二3,则x= _ .16、如杲丽二1.732, A/30 =5.477,那么0. 0003的平方根是________ .17、若3、b互为相反数，c、d互为负倒数，则石匸尹+畅= _______________ •18、已知a, b为两个连续的整数，且a<V8<b,则a+b二____________ .三、解答题：19、求x 的值：9（3x - 2尸二64. 20、求x 的值：（5- 3x?=—4921、计算：7132-12222、计算：（亦尸+旷爾一加2一炉.23、已知x・1的平方根为±2, 3x+y・1的平方根为±4,求3x+5y的算术平方根.24、已知2a-l的平方根是±3, 3a+b_9的立方根是2, c是妬的整数部分，求a + 2D+f的值•25、阅读下面的文字，解答问题：大家知道迈是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此迈的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用屁-1来表示典的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为近的整数部分是1,将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.又例如：・・・2'<7<3,即2<听<3,・••听的整数部分为2,小数部分为听・2.请解答：(1)Vio的整数部分是__________ ,小数部分是 _________ .(2)如果衍的小数部分为a, 荷的整数部分为b,求a+br/^的值；(3)己知：x是3+^5的整数部分，y是其小数部分，请直接写出X- y的值的相反数.26、若实数a, b, c 在数轴上所对应点分别为A, B, C, a 为2的算术平方根，b 二3, C 点是A 点关 于B点的对称点，（1） 求数轴上AB 两点之间的距离； （2） 求c 点对应的数；27、已知字母a 、b 满足亦二+的_21 1 1 1~ab @ + 1)@ + 1)@+2)@ + 2)… @ + 2011)@ + 2001)第X 页共1（）页（3） 3的整数部分为x, c 的小数部分为y,求2x^+2》的值（结果保留带根号的形式）的值.1、 D2、 A3、 C4、 C5、 A6、 C7、 D8、 C9、 A 10、 11、 12、 C 13、 9.14、 答案为：2. 15、 答案为：土近+1. 16、 ±0.01732. 17、 -118、 答案为：5.149 19、 开平方得：3 (3x-2)二±8 解得：Xi=—, x 2= - -T .9920、§或兰7 2116 T -10； 23、5 24、a=5, b 二2, c 二7, a + 2&+u 二 16・(2) V4<5<9,・・・2<任<3,即沪旋 ・2, V36<37<49, A6<V37<7,即 b 二6,贝lj a+b ・ 丽二4；(3) 根据题意得：x=5, y=3+{^ - 5二- 2,・；x - y=7 - 其相反数是A /5 - 7.26、(1) 3; (2) 6；72 ⑶尸2—屈.21、参考答案21、22、25、 解: (1) V10的整数部分是3,小数部分是V10- 3；故答案为：3； V10- 3；•解;、「7/o,丑-1~ o且-f 二o'弋鳥解得伫°b十@H"賊斗3化X昭十• • •十莎丽莎和 -丄丄亠」一-2 +A3十3*卩十・・・十二卜亍+土一土+》* +・・•十二 /_ Zo/27。
实数典型例题
（1） 4 ；（2） 4
；（3） 32
；（4）
1 10 2
．
解：（1）无意义； （2）有意义； （3）有意义； （4）有意义．
下列各式是否有意义，为什么？
（1）
√
3 （2）
×
3
（3）
√
(8)2 （4）
√
1 92
下列各式中，x为何值时有意义？
（1） x
（2） x2 1
解:∵-x≥0 ∴x≤0
解: ∵x2+1≥0恒成立 ∴x为任何数
120
∴ x 0.09 0.3（米）. 答：每块地砖的边长是0.3米.
若 a2 a 则a的取值(范围)为 ( C )
A. 正数
B. 非负数
C. 1,0
D. 0
有一列数按如下规律排列：
- 2 ，- 3 ，1 ，- 5 ，- 6 ， 7 ，...... 2 4 4 16 32 64
则第2016个数是 ( C )
实数典型例题
一.求一个数的算术平方根
求下列各数的算术平方根：
（1）100 ；
（2）49 ； 64
（3）0.0001．
解：（1）因为 102=100 ，
所以100的算术平方根是10 ．
即
．
100 =10
（2） 49 ； 64
解：（2）因为 （7）2 49 ， 8 64
所以 的算术平方根是 ．
49
解：(1) 依次按键 显示：56．
3136 =
∴
．
3136 56
(2) 依次按键
2=
显示：1.414213562．
∴
．
2 1.414
小明房间的面积为10.8平方米，房间地面恰由120块相同的正 方形地砖铺成，问每块地砖的边长是多少？
实数典型例题和解析
实数典型例题和解析
实数是数学中非常重要的概念，涉及到实数的典型例题和解析
有很多种，我会从不同的角度给出一些例题和解析。
1. 实数的基本性质：
例题，证明实数a和b满足交换律，即a + b = b + a。
解析，根据实数加法的定义，a + b = b + a恒成立。
因为实
数加法满足交换律，所以这个命题成立。
2. 实数的大小比较：
例题，已知a = 3和b = 5，求证a < b。
解析，根据实数大小比较的定义，当a和b是实数且a < b时，必有b a > 0。
所以，5 3 = 2 > 0，因此a < b成立。
3. 实数的运算性质：
例题，计算(√2 + 3)(√2 3)的值。
解析，利用实数的乘法分配律，展开式子得到(√2 + 3)(√2 3) = (√2)^2 3^2 = 2 9 = -7。
4. 实数的绝对值：
例题，求实数-5的绝对值。
解析，实数-5的绝对值记作|-5|，根据绝对值的定义，当x <
0时，|x| = -x。
所以|-5| = -(-5) = 5。
5. 实数的分段函数：
例题，设f(x) = |x 2|，求f(x)的图像。
解析，根据绝对值函数的图像特点，当x < 2时，f(x) = -(x 2)，当x ≥ 2时，f(x) = x 2。
因此，f(x)的图像在x = 2处有转
折点。
以上是一些关于实数的典型例题和解析，涉及到实数的基本性
质、大小比较、运算性质、绝对值和分段函数等方面。
希望这些例题和解析能够帮助你更好地理解实数的概念和性质。
实数典型例题(含答案)
1 的根号外的 a 移入根号内得( ) a A、 a B、 a C、 a D、 a
（2）已知 a<b,化简二次根式 A、 a ab
a
3
b 正确的结果是（
C、 a ab
）
B、 a ab
D、 a ab
8、已知实数 、 、 在数轴上的位置如图所示：
化简 答案： 9、已知： 答案：a=7, b=21 10、判断下列说法是否正确 （1 ） =0，求实数 a, b 的值。
（1+
2 ）2．善于思考的小明进行了以下探索：设 a+b 2 =(m+n 2 )2（其中 a、b、m、n 均为整数），则有
a+b 2 =
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
m
2
2 n 2mn 2 。∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似 a+b 2 的式子化为平方式的方法．
（2）把下列无限循环小数化成分数：① 答案：解：由
的整数部分 a=5,
（2）解：(1) 设 x=
①
则
②
②-①得 9x=6
∴
.
(2) 设
① (3) 设
则
②
②-①，得 99x=23∴ ② ②-①，得 999x=107，∴
. .①Βιβλιοθήκη 则12、细心观察图表，认真分析各式，然后解答问题。
1 ； 2 2 （ 2 ）2+1=3， S2= ； 2 3 （ 3 ）2+1=4， S3= ； …… 2
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2
（1）当 a、b、m、n 均为正整数时，若 a b 3 b=_______；
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人教版初一数学第六章实数典型例题及答题技巧
人教版初一数学第六章实数典型例题及答题技巧单选题1、下列实数为无理数的是（）A．-5B．7C．0D．π2答案：D解析：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．A、﹣5是整数，是有理数，选项错误；是分数，是有理数，选项错误；B、72C、0是整数，是有理数，选项错误；D、π是无理数，选项正确.故选D．小提示：此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2、下列四个数中，最大的有理数是（）A．-1B．-2019C．√3D．0答案：D解析：根据有理数大小比较判断即可；已知选项中有理数大小为0＞−1＞−2019，故答案选D．小提示：本题主要考查了有理数比大小，准确判断是解题的关键．3、如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：①当输出值y为√3时，输入值x为3或9；②当输入值x为16时，输出值y为√2；③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是（）A．①②B．②④C．①④D．①③答案：D解析：根据运算规则即可求解．解：①x的值不唯一．x=3或x=9或81等，故①说法错误；②输入值x为16时，√16=4，,√4=2，y=√2，故②说法正确；③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入π2，故③说法错误；④当x=1时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确．其中错误的是①③．故选：D．小提示：此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．4、下面四位数学家里有三位对π进行了深入的研究，其中有一位研究方向在其他方面，这位数学家是( ) A．祖冲之B．张衡C．刘徽D．杨辉答案：D解析：根据中国古代数学家对圆周率的研究逐项判断即可.A、祖冲之，他在刘徽开创的探索圆周率的精确方法的基础上，首次将“圆周率π”精算到小数第七位，他提出的“祖率”对数学的研究有重大贡献B、张衡，他研究过球的外切立方体积和内接立方体积，研究过球的体积，其中还定圆周率值为10的开方，这个值比较粗略，但却是中国第一个理论求得π的值C、刘徽，首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法D、杨辉，他的数学研究重点在于改进筹算乘除计算技术，总结各种乘除捷算法故选：D.小提示：本题考查了关于圆周率的史实，掌握相关史实是解题关键.5、25的平方根是（）A．5B．-5C．±5D．±√5答案：C解析：如果一个数x的平方等于a，那么x是a是平方根，根据此定义即可解题．解：∵（±5）2＝25∴25的平方根±5．故选C．小提示：本题主要考查了平方根定义，关键是注意一个正数有两个平方根．6、√3﹣2的绝对值是（）A．2−√3B．√3−2C．√3D．1答案：A解析：根据差的绝对值是大数减小数，可得答案．解：√3﹣2的绝对值是2﹣√3．故选：A．小提示：本题主要考查了绝对值化简，准确分析计算是解题的关键．7、4的算术平方根是（）A．-2B．2C．±2D．√2答案：B解析：4的算术平方根是2．故选B ．小提示：本题考查求一个数的算术平方根．掌握算术平方根的定义是解题关键．8、下列四个实数中，是无理数的为（ ）A ．0B ．27C ．−2D ．√3 答案：D解析：根据无理数的定义“也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比”即可．由无理数的定义得：四个实数中，只有√3是无理数故选：D ．小提示：本题考查了无理数的定义，熟记定义是解题关键．填空题9、若√x 3+√y 3=0，则x 与y 关系是______．答案：x+y=0解析：先移项，然后两边同时进行三次方运算，继而可得答案.∵√x 3+√y 3=0，∴√x3=−√y3，∴（√x3）3=（−√y3）3，∴x=-y，∴x+y=0，故答案为x+y=0.小提示：3)=a是解题的关键.本题考查了立方根，明确(√a10、数学家发明了一个魔术盒，当任意“数对” (a,b)进入其中时，会得到一个新的数：a2−b+1，例如把(3,−2)放入其中，就会得到32−(−2)+1=12，现将“数对”(−3,−2)放入其中后，得到的数是__________．答案：12解析：根据题中“数对”的新定义，求出所求即可．解：根据题中的新定义得：（-3）2+2+1=9+2+1=12，所以答案是：12．小提示：此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．11、一个正数的两个平方根的和是__________，商是__________．答案： 0 -1解析：根据平方根的性质可知一个正数的两个平方根互为相反数，由此即可求出它们的和及商．∵一个正数有两个平方根，它们互为相反数，∴一个正数的两个平方根的和是0，商是-1．故答案为0，-1．小提示：本题考查了平方根的定义．注意：①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根．④1或0平方等于它的本身．12、将实数√5，π，0，﹣6由小到大用“＜”号连起来，可表示为_____．答案：﹣6<0<√5<π解析：正数大于0和负数，0大于负数，所以-6＜0＜√5＜π，故答案为-6＜0＜√5＜π.13、观察下列各式：√1+112+122=1+11×2，√1+122+132=1+12×3，√1+132+142=1+13×4，……请利用你所发现的规律，计算√1+112+122+√1+122+132+√1+132+142+…+√1+192+1102，其结果为_______．答案：9910解析：直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案．由题意可得：√1+112+122+√1+122+132+√1+132+142+...+√1+192+1102 =1+11×2+1+12×3+1+13×4+ (1)19×10 =9+（1﹣12+12﹣13+13﹣14+…+19﹣110） =9+910=9910．故答案为9910． 小提示：：此题主要考查了数字变化规律，正确将原式变形是解题关键．解答题14、计算：(−3)2−√16+|−2|．答案：7解析：先算平方、绝对值、二次根式化简，再计算加减法即可求解．解：原式=9-4+2=7．小提示：本题考查了实数的运算，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握平方、二次根式、绝对值等知识点的运算．15、如果一个正数m的两个平方根分别是2a－3和a－9，求2m－2的值．答案：48解析：根据一个正数的两个平方根互为相反数求出a的值，利用平方根和平方的关系求出m，再求出2m-2的值．解：∵一个正数的两个平方根分别是2a－3和a－9，∴(2a－3)+(a－9)=0，解得a= 4，∴这个正数为(2a－3) 2=52=25，∴2m－2=2×25－2= 48；故答案为48.小提示：本题考查平方根.。
实数知识点(含例题)
1．无理数（1）无限不循环小数叫做__________，π，0.1225486…等．（2）判断方法：①定义是判断一个数是不是无理数的重要依据；②有理数都可以写成分数的形式，而无理数则不能写成分数的形式（两个整数的商）．（3）常见的无理数：等；②含有π一类数，如5π，3+π等；③以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如0.2020020002…（相邻两个2之间0的个数逐渐加1）．2．实数的概念和分类（1）概念：有理数与无理数统称为__________．（2）实数按定义分类：按正负分类：3．实数与数轴（1）实数与数轴上的点的对应关系：实数与数轴上的点是__________的．即每个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．（2）在数轴上的两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数__________．4．相反数与绝对值相反数：数a的相反数是-a．绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即||=00，，，a aa aa a⎧>⎪=⎨⎪-<⎩．5．实数的运算实数运算的顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．如果遇到括号，则先进行括号里的运算．K知识参考答案：1．（1）无理数2．（1）实数3．（1）一一对应（2）大4．一、无理数的判断1．判断一个数是不是无理数，必须看它是否同时满足两个条件：无限小数和不循环小数这两者缺一不可．2．带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数．【例1】0；3π227；1.1010010001…，无理数的个数是A．5 B．4 C．3D．2 【答案】C【解析】因为0；227；3π；1.1010010001…是无限不循环小数，所以无理数有3个，故选C．二、实数的概念和分类1．实数的分类有不同的方法，但要按同一标准，做到不重不漏．2．对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类．【例2】在5π13140123，，，.，----中，其中__________是整数，__________是无理数，__________是有理数.【答案】，1-；π513140132，；，，.，----【例3】将这些数按要求填入下列集合中：0.01001001…，4，122-，3.2，0，-1，-（-5），-|-5|π负数集合｛…｝；分数集合｛…｝；非负整数集合｛…｝；无理数集合｛…｝．【解析】负数集合｛122-，-1，-|-5| 分数集合｛122-，3.2…｝； 非负整数集合｛4，0，-（-5）…｝； 无理数集合｛0.01001001…， 三、实数与数轴两个实数比较大小：1．数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大； 2．正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比较，绝对值大的反而小．【例4】如图，数轴上点P 表示的数可能是A B．C．–3.2 D．【答案】B≈2.65 3.16，设点P表示的实数为x，由数轴可知，–3<x<–2，∴符合题意的数为．故选B．【例5】和数轴上的点成一一对应关系的数是A．自然数B．有理数C．无理数D．实数【答案】D【解析】数轴上的点不仅表示有理数，还表示所有的无理数，即实数与数轴上得点是一一对应的，故选D．【例6】已知实数m、n在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断错误的是A．m<0 B．n＞0 C．n＞m D．n<m【答案】D【解析】由数轴上的点，得m<0<n，所以m<0，n＞0，n＞m都正确，即选项A，B，C判断正确，选项D判断错误．故选D．【例7】已知数轴上A、B两点表示的数分别为–3和，则A、B间的距离为__________．【答案】+3【解析】A、B两点表示的数分别为–3和，则A、B间的距离为–（–3）= +3，故答案为：+3．【例8】如图，点A、B、C在数轴上，O为原点，且BO：OC：CA=2：1：5．（1）如果点C表示的数是x，请直接写出点A、B表示的数；（2）如果点A表示的数比点C表示的数两倍还大4，求线段AB的长．【解析】（1）∵BO：OC：CA=2：1：5，点C表示的数是x，∴点A、B表示的数分别为：6x，–2x；（2）设点C表示的数是y，则点A表示的数为6y，由题意得，6y=2y+4，解得：y=1，∴点C表示的数是1，点A表示的数是6，点B表示的数是–2，∴AB=8．四、相反数与绝对值求一个有理数的相反数和绝对值与求一个实数的相反数和绝对值的意义是一样的，实数a的相反数是-a，一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．【例9的相反数是A．B C．D【答案】A的相反数是，故选A．【例10】3-π的绝对值是A．3-πB．π-3 C．3 D．π【答案】B【解析】∵3−π<0，∴|3−π|=π−3，故选B．【例11】A．相反数B．倒数C．绝对值D．算术平方根【答案】A【解析】只是符号不同，所以它们是一对相反数，故选A．五、实数的运算1．在进行实数的运算时，有理数的运算法则、运算性质、运算顺序、运算律等同样适用．2．在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算．【例12】计算下列各式：-．（1）--；（21【解析】（1=-．（2）原式=-+211=-．【名师点睛】此题考查了二次根式的加减混合运算，关键是熟练掌握绝对值的化简及同类二次根式的合并．。
实数典型例题(含答案)
实数典型例题1、如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（）．A ．－1B ．1－C ．2－D ．－2答案：C2、已知一个数的平方根为a+3与2a-15，则这个数是多少？答案：49或4413、已知355y +-+-=x x ，求x+y 的值。
4、若m 满足关系式y x y x m y x m y x --+-=-++--+199.19932253，试求m 的值。
答案：m=2015、比较大小：设a=1112-,b=10-11,则a 、b 的大小关系是_______。
答案：b a 〈6、已知n -12是正整数，则实数n 的最大值为_____。
答案:117、（1）将a a 1-的根号外的a 移入根号内得( )A 、a --B 、a -C 、a -D 、a（2）已知a<b,化简二次根式b a 3-正确的结果是（ ）A 、ab a --B 、ab a -C 、ab aD 、ab a -8、已知实数、、在数轴上的位置如图所示：化简答案：9、已知：=0，求实数a, b的值。
答案：a=7, b=2110、判断下列说法是否正确（1）的算术平方根是-3；（2）的平方根是±15.（3）当x=0或2时，（4）是分数答案：解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故（2）表示225的算术平方根，即=15.实际上，本题是求15的平方根，故的平方根是.。
（3）注意到，当x=0时，=，显然此式无意义，发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”，故x≠0，所以当x=2时，x=0. （4）错在对实数的概念理解不清. 形如分数，但不是分数，它是无理数.。
11、（1）已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2-b2的值. （2）把下列无限循环小数化成分数：①②③答案：解：由得的整数部分a=5, 的小数部分，∴（2）解：(1) 设x=①则②②-①得9x=6 ∴.(2) 设①则②②-①，得99x=23∴.(3) 设①则②②-①，得999x=107，∴.12、细心观察图表，认真分析各式，然后解答问题。
实数经典例题及习题
第二章 实数综合练习题一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数 零 整数、有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。
2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。
（|a|≥0）。
零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
5、估算三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。
特别地，0的算术平方根是0。
表示方法：记作“a ”，读作根号a 。
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。
表示方法：正数a 的平方根记做“a ±”，读作“正、负根号a ”。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
初中奥数实数
三、练习1． 分解因式：①x 4+x 2y 2+y 4 ②x 4+4 ③x 4－23x 2y 2+y 42. 分解因式： ①x 3+4x 2－9 ②x 3－41x+30③x 3+5x 2－18 ④x 3－39x －703. 分解因式：①x 3+3x 2y+3xy 2+2y 3 ②x 3－3x 2+3x+7③x 3－9ax 2+27a 2x －26a 3 ④x 3+6x 2+11x+6⑤a 3+b 3+3(a 2+b 2)+3(a+b)+24. 分解因式：①3x 3－7x+10 ②x 3－11x 2+31x －21③x 4－4x+3 ④2x 3－5x 2+15. 分解因式：①2x 2－xy －3y 2－6x+14y －8 ②（x 2－3x －3）（x 2+3x+4）－8③（x+1）(x+2)(x+3)(x+4)－48 ④（2x －7）(2x+5)(x 2－9)－916．分解因式： ①x 2y 2+1－x 2－y 2+4xy ②x 2－y 2+2x －4y －3③x 4+x 2－2ax －a+1 ④（x+y ）4+x 4+y 4⑤（a+b+c ）3－（a 3+b 3+c 3）7. 己知：n 是大于1的自然数 求证：4n 2+1是合数8．己知：f(x)=x 2+bx+c, g(x)=x 4+6x 2+25, p(x)=3x 4+4x 2+28x+5且知f(x)是g(x)的因式，也是p(x)的因式求：当x=1时，f(x)的值练习题参考答案1. 添项，配成完全平方式(仿例3)2.拆中项，仿例13. 拆项，配成两数和的立方①原式=(x+y)3+y 3……③原式=(x-3a)3+a 3⑤ 原式=(a+1)3+(b+1)34. 用因式定理，待定系数法，仿例5，6④x=21时，原式=0，有因式2x －1 5. 看着是某代数式的二次三项式，仿例7④原式=（2x-7）(x+3)(2x-5)(x-3)-91=(2x 2-x-8)(2x 2-x-28)=……6. 分组配方③原式=(x 2+1)2-(x+a)2…… ④把原式用乘法展开，合并，再分解⑤以a=－b 代入原式＝0，故有因式a+b7. 可分解为两个非1的正整数的积8. 提示g(x),p(x)的和，差，倍仍有f(x)的因式，3g(x)-p(x)=14(x 2-2x-5)与f(x)比较系数……，f(1)=4一、内容提要1． 定义：如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式，并且余式是零，则称这个整式被另一个整式整除。
七年级数学上册实数经典大题例题
(每日一练)七年级数学上册实数经典大题例题单选题1、下列计算正确的是（）A．√0.09=±0.3B．√414=2√12C．√−273=−3D．−√|−25|=5答案：C解析：根据平方根的性质、立方根的性质以及绝对值的性质即可求出答案．A、原式＝0.3，故A不符合题意．B、原式＝√174＝√172，故B不符合题意．C、原式＝﹣3，故C符合题意．D、原式＝﹣5，故D不符合题意．故选：C．小提示：本题考查了平方根的性质、立方根的性质以及绝对值的性质，正确进行平方根与立方根的计算是关键，要注意平方根与算术平方根的区别．2、下列四个实数中，是无理数的为（）A．0B．√3C．﹣1D．13答案：B解析：因为0，﹣1，1是有限小数或无限循环小数，√3是无限不循环小数，所以√3是无理3数，故选B.3、下列实数中，最大的数是（）A．﹣1B．0C．√3D．13答案：C解析：根据实数的大小比较，负数总是小于零，正数总是大于零，同负绝对值大的反而小，同为正可以进行估算比较大小．，解：∵√3≈1.732>13∴﹣1＜0＜1＜√3，3∴最大的数是√3．故选：C．本题主要考查实数的大小比较，可以根据负数总是小于零，正数总是大于零，同负绝对值大的反而小进行判断．填空题4、若一个数的立方根等于这个数的算术平方根，则这个数是_____．答案：0或1解析：设这个数为a，由立方根等于这个数的算术平方根可以列出方程，解方程即可求出a．解：设这个数为a，由题意知，3=√a（a≥0），√a解得：a=1或0，所以答案是：1或0小提示：本题主要考查算术平方根和立方根等知识点，基础题需要重点掌握，同学们很容易忽略a≥0．5、规定运算：(a*b)=｜a－b｜，其中a、b为实数，则（√7*3）+√7=________.解析：根据题意得（√7*3）+√7=｜√7－3｜+√7=3-√7+√7=3，所以答案是：3.解答题6、阅读下面的文字,解答问题.大家知道√2是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此√2的小数部分我们不可能全部地写出来,于是小明用√2-1来表示√2的小数部分,你同意小明的表示方法吗?事实上,小明的表示方法是有道理的,因为√2的整数部分是1,•将这个数减去其整数部分,差就是小数部分.请解答:已知:10+√3=x+y,其中x是整数,且0<y<1,求x-y的相反数.答案：√3-12解析：本题主要考查了无理数的公式能力，解题关键是估算无理数的整数部分和小数部分. 根据题意的方法，估计√3的大小，易得10+√3的范围，进而可得xy的值；再由相反数的求法，易得答案．解：∵1＜√3＜2，∴1+10＜10+√3＜2+10，∴11＜10+√3＜12，∴x=11，y=10+√3-11=√3-1，x-y=11-（√3-1）=12-√3，∴x-y的相反数√3-12．。
《实数》典型例题
《实数》典型例题例1 下列各数哪些是有理数，哪些是无理数？6，－5，39，0，.22,4,32,3,7,4,7233-+-π 解 有理数有：－5，0，4,4,723-． 无理数有：.22,32,3,7,9,633+-π 说明：有理数包括整数与分数，只要是分数就是有理数，而无理数是无限不循环小数，被开方数开不尽方的数都是无理数，在本题中22是无理数，不是分数． 例2 比较下列各组数的大小：（1）3和35， （2）32-和3-， （3）326和11， （4）0和7-． 解 （1）710.15,732.133≈≈ ，而710.1732.1>，∴.533>（2）732.13,260.123-≈--≈- ，而732.1260.1->-，∴.323->-（3）317.311,962.2263≈≈ ，而317.3962.2<，∴11263<．（4）.70->例3 计算：（1）7472+，（2）55156⨯，（3）51125÷⨯，（4）.)13()32(22-+ 解 （1）.767)42(7472=+=+（2）.655165551655156=⨯⨯=⋅⨯=⨯ （3）.3103253455512551125=⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯=÷⨯ （4）.5251312)13()32(22==+=-+说明：有关无理数的计算问题要按运算法则及运算律进行计算．例4 计算（精确到0.1）：（1）652-，（2）322+π，（3）3234-，（4）.5233⨯ 解 （1）.0.245.248.445.224.22652≈-=-⨯≈-（2）.0.546.357.173.12214.3322≈+=⨯+≈+π（3）.7.526.192.626.173.142343≈-=-⨯≈-（4）.3.2324.2273.135233≈⨯⨯⨯≈⨯例5 下面命题中，正确的是（ ）A ．不带根号的数一定是有理数B ．有绝对值最大的数，也有绝对值最小的数C ．任何实数的绝对值都是正数D ．无理数一定是无限小数分析 圆周率π是不带根号的数，但它是无限不循环小数，所以它是无理数，可见命题A 不正确. 实际上，可以写出很多不带根号的无理数，如0.101001000100001……就是一个无理数；不存在最大的正数（对任何正数a ，都不如1+a 大），导致不存在绝对值最大的数，所以B 是假命题；实数0的绝对值不是正数，可见命题C 也不正确.解答 D说明 考查实数的意义.例6 下列说法中正确的是（ ）A ．无理数是开方开不尽的数B ．无限小数不能化成分数C ．无限不循环小数是无理数D ．一个负数的立方根是无理数分析 实数可分为无理数和有理数. 有限小数和无限循环小数统称为有理数，无限不循环小数称为无理数. 开方开不尽的数一定是无理数，但无理数还包含了其他数，如π，任何有理数都能化成分数形成. 所以A 、B 、D 都是错的. C 正确.解答 C说明 考查实数的分类及定义无理数主要有3种表现形式：①开方开不尽的数；②一些常数，如π、e 等；③无限不循环小数，如0.1010010001…例7 实数2-，16，π，3.1416，2)27(，931，0.2020020002……（每两个2之间多一个零）中，无理数的个数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个分析 其中无理数有：2-，π，0.202002…解答 B说明 考查无理数的定义π及π有关的数都是无理数.。
实数知识要点及参考例题
八、知识要点及参考例题（1）平方根知识要点：1.定义（1）如果2(0)x a a =≥，那么x 叫做a 的平方根。
记作：x a =±，其中a +叫做a 的正的平方根，a -叫做a 的负的平方根。
0的平方根是0.（2）我们把平方根中正的平方根，叫做a 的算术平方根，通常表示为a . 0的平方根也叫做0的算术平方根。
因此0的算术平方根是0，即0=0。
（3）平方根的性质○1一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身； 负数没有平方根。
○2 2()(0).a a a ±=≥ 参考例题：例1 求下列各数的算术平方根：（1）900 ； （2）1 ； （3）;6449 （4）14 . 例2 求下列各数的平方根：（1）64 ； （2）;12149 （3）0.0004 ; （4）();252- （5）11。
例3 ()()?12149?64122等于多少等于多少⎪⎪⎭⎫⎝⎛()()?2.722等于多少 ()()?,32等于多少对于正数a a例4 求满足下列条件的未知数x ： （1）x 2=49 （2）x 2=8125 例5 （易错题）25的算术平方根是 ；25的平方根是 ；例6 比较大小（1）14与15； （2）4与15； （3）3与115-； 例7 已知13的整数部分为a ，小数部分为b ，求代数式a 2－a －b 的值。
（*）例8 判断下列各式中字母x 的取值范围：①x -；②x 32-；③2)3(-x ；④631-x ； ⑤34-+x x ；⑥||21x x --；⑦x x -+-44。
拓展练习 1、（1）求下列各式的值24 （2）2)4(- （3）2)8.0(（2）对于任意数a ，2a 一定等于a 吗？2、 求下列x 的值：（1）2042=x （2）049162=-x （3）25)1(2=-x3、已知数M 的平方根为a+3及2a －15，求M （2） 立方根知识要点：1. 如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根。
实数例题
27、已知a是 的平方根，b= ,c是-8的立方根，求a1、已知 （a-2b+1)+ =0, =4,q求 的值
30、若 =3, = -3，求 的值。
6、已知5+ 的小数部分是a，5- 的小数部分是b，求(a+b)2014的值
7、已知 + =0，求a2012+b2013的值
8、已知 +3|y-6|+（z-3)2=0,求x、y、z的值.
9、若y= + =2x,求xy的值
10、已知b=4 +2 +2，求 ＋ 的算数平方根
11、计算
12、若 ＋(x-3)=0时，则x的取值范围是
13实数ab在数轴上的位置如图所示：
化简： － ＋
13、已知在数轴上对应的位置如图所示，化简：
| a |－|a+b|+ +|b-c|
14、当 值为最小值时，则a=
15、求下列各数的平方根
(1) (-3)2(2)1 (3）0（4) 1 (5) a2
16、计算
（1） （2）± （3) (4) - (5)±
(6)－ + (7) － －
17、求下列格式中x的值
（1）x2=361 (2） 81x2-49=0 （3） 49(x2=1）=50 (4)（3x-1)2=(-5)2
18、 的平方根是 平方根等于它本身的数是
19、（1）一个数的平方根根是2a-1和a-5,求这个数？
（2）已知2a-1和-a+2是m的平方根，求m的值
20、求下列个数的立方根。
125-0.064 -5
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实数例题及习题 Document number：BGCG-0857-BTDO-0089-2022
经典例题
类型一．有关概念的识别
1．下面几个数：，…，，3π，，，其中，无理数的个数有（）
A、1
B、2
C、3
D、4
解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，…，3π，是无理数故选C
举一反三：
【变式1】下列说法中正确的是（）
A、的平方根是±3
B、1的立方根是±1
C、=±1
D、是5的平方根的相反数
【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，
∵=9，9的平方根是±3，∴A正确．
∵1的立方根是1，=1，是5的平方根，∴B、C、D都不正确．
【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（）
A、1
B、
C、
D、
【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系．∵正方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知|AO|=，∴A表示数为，故选C．
【变式3】
【答案】∵π= …，∴9＜3π＜10
因此3π-9＞0，3π-10＜0
∴
类型二．计算类型题
2．设，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.
解析：（估算）因为，所以选B
举一反三：
【变式1】1）的算术平方根是__________；平方根是） -27立方根是
__________. 3）___________，___________，___________.
【答案】1）；.2）-3. 3），，
【变式2】求下列各式中的
（1）（2）（3）
【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4
类型三．数形结合
3. 点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B 两点的距离为______
解析：在数轴上找到A、B两点，
举一反三：
【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（）．
A．－1 B．1－ C．2－ D．－2
【答案】选C
[变式2]已知实数、、在数轴上的位置如图所示：
化简
【答案】：
类型四．实数绝对值的应用
4．化简下列各式：
(1) || (2) |π|
(3) |-| (4) |x-|x-3|| (x≤3)
(5) |x2+6x+10|
分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。
解：(1) ∵=…＜
∴||=
(2) ∵π=…＜
∴|π|=π
(3) ∵＜, ∴|-|=-
(4) ∵x≤3, ∴x-3≤0,
∴|x-|x-3||=|x-(3-x)|
=|2x-3| =
说明：这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法，我们对这个绝对值的基本概念要有清楚的认识，并能灵活运用。
(5) |x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1|
∵(x+3)2≥0, ∴(x+3)2+1＞0
∴|x2+6x+10|= x2+6x+10
举一反三：
【变式1】化简：
【答案】=+-=
类型五．实数非负性的应用
5．已知：=0，求实数a, b的值。
分析：已知等式左边分母不能为0，只能有＞0，则要求a+7＞0，分子+|a2-49|=0，由非负数的和的性质知：3a-b=0且a2-49=0，由此得不等式组
从而求出a, b的值。
解：由题意得
由(2)得 a2=49 ∴a=±7
由(3)得 a>-7，∴a=-7不合题意舍去。
∴只取a=7
把a=7代入(1)得b=3a=21
∴a=7, b=21为所求。
举一反三：
【变式1】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。
解：∵(x-6)2++|y+2z|=0
且(x-6)2≥0, ≥0, |y+2z|≥0,
几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0。
∴解这个方程组得
∴(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65
【变式2】已知那么a+b-c的值为___________
【答案】初中阶段的三个非负数：，
a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-2
类型六．实数应用题
6．有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。
解：设新正方形边长为xcm，
根据题意得 x2=112+13×8
∴x2=225
∴x=±15
∵边长为正，∴x=-15不合题意舍去，
∴只取x=15(cm)
答：新的正方形边长应取15cm。
类型七．易错题
7．判断下列说法是否正确
（1）的算术平方根是-3；（2）的平方根是±15.
（3）当x=0或2时，（4）是分数
解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故
（2）表示225的算术平方根，即=15.实际上，本题是求15的平方根，
故的平方根是.
（3）注意到，当x=0时，=，显然此式无意义，
发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”，故x≠0，所以当
x=2时，x=0.
（4）错在对实数的概念理解不清. 形如分数，但不是分数，它是无理数.
类型八．引申提高
8．（1）已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2-b2的值.
（2）把下列无限循环小数化成分数：①②③（1）分析：确定算术平方根的整数部分与小数部分，首先判断这个算术平方根在哪两个整数之间，那么较小的整数即为算术平方根的整数部分，算术平方根减去整数部分的差即为小数部分．
解：由得
的整数部分a=5, 的小数部分，
∴
（2）解：(1) 设x=①
则②
②-①得
9x=6
∴.
(2) 设①
则②
②-①，得
99x=23
∴. (3) 设①
则②
②-①，得
999x=107，
∴.。