人教版八年级数学上册-专训-三角形三边关系的巧用
八年级数学上册第14章14.11直角三角形三边的关系第2课时的验证及简单应用导学课件9
14.1 勾股定理
[注意] 利用拼图方法验证勾股定理的正确性,一般用同一图 形面积的不同求法进行说明.
14.1 勾股定理
反思
在 Rt△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别是 a,b,c.若∠B =90°,a=6,b=8,求 c 的长.
解:在 Rt△ABC 中,a=6,b=8, 根据勾股定理,得 c= a2+b2= 62+82=10. (1)错因分析: (2)纠错:
第14章 勾股定理
14. 1 勾股定理 1.直角三角形三边的关系
第14章 勾股定理
第2课时 勾股定理的验 证及简单应用
知识目标 目标突破 总结反思
14.1 勾股定理
知识目标
1.经过对图形观察、操作、讨论、发现,理解并掌握勾股定理的 证明方法. 2.通过对较为简单问题的分析,能应用勾股定理解决这些问题.
14.1 勾股定理
【归纳总结】勾股定理在三角形及四边形中的应用: 1.勾股定理在三角形中的应用: (1)添线应用. 应用勾股定理的前提条件是在直角三角形中,当题目中没有直角 三角形时,可以通过作高等方式,把非直角三角形的问题转化为 直角三角形的问题,应用勾股定理求解.
14.1 勾股定理
(2)借助方程应用. 题目中虽然有直角三角形,但是已知线段的长不完全是直角三角 形的边长,可以设出直角三角形的边长,通过建立方程,解答这 类计算问题.
14.1 勾股定理
【反思】(1)此题中将 c 误认为是斜边而错用 a2+b2=c2.题干中是∠B=90°, 故三边关系为 b2=a2+c2.
(2)在 Rt△ABC 中,a=6,b=8, 根据勾股定理,得 c= b2-a2= 82-62= 28.
八年级数学下册(BS)
初中数学人教版八年级上册三角形的三边关系知识点专项训练习题
三角形的三边关系知识点专项训练习题一.选择题(共4小题)1.三角形的两边分别为6,10,则第三边的长可能等于()A.3B.11C.16D.172.给出下列长度的三条线段,能组成三角形的是()A.3cm,4cm,5cm B.8cm,7cm,15cm C.13cm,12cm,25 cm D.5cm,5cm,11cm 3.已知n是正整数,若一个三角形的三边长分别是n+2,n+6,3n,则满足条件的n值有()A.4个B.5个C.6个D.7个4.已知△ABC的三边长分别为a、b、c,且M=(a+b+c)(a+b﹣c)(a﹣b﹣c),那么()A.M>0B.M≥0C.M=0D.M<0二.填空题(共6小题)5.若三角形有两边长分别为2和5,第三边为a,则a的取值范围是.6.△ABC三边的长a、b、c均为整数,a>b>c,a=8,则满足条件的三角形共有个.7.已知三角形三边长为整数,其中两边的差为5,且周长为奇数,则第三边长的最小值为.8.等腰三角形的一边等于3,一边等于6,则它的周长等于.9.a,b,c为△ABC的三边,化简|a﹣b﹣c|﹣|a+b﹣c|+2a结果是.10.若△ABC的三边的长AB=5,BC=2a+1,AC=3a﹣1,则a的取值范围为.三.解答题(共7小题)11.已知a,b,c分别为△ABC的三边,且满足a+b=3c﹣2,a﹣b=2c﹣6.(1)求c的取值范围;(2)若△ABC的周长为12,求c的值.12.在△ABC中,AB=9,BC=2,AC=x.(1)求x的取值范围;(2)若△ABC的周长为偶数,则△ABC的周长为多少?13.已知三角形的两边长为4和6,第三条边长x最小.(1)求x的取值范围;(2)当x为何值时,组成三角形周长最大?最大值是多少?14.已知a,b,c是三角形的三边长.(1)化简:|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|;(2)在(1)的条件下,若a=10,b=8,c=6,求这个式子.15.已知△ABC中,三边长a、b、c,且满足a=b+2,b=c+1(1)试说明b一定大于3;(2)若这个三角形周长为22,求a、b、c.16.“五一”黄金周,小梦一家计划从家B出发,到景点C旅游,由于BC之间是条湖,无法通过,如图所示只有B﹣A﹣C和B﹣P﹣C两条路线,哪一条比较近?为什么?(提示:延长BP交AC于点D)17.如图,△ABC中,点D在AC上,点P在BD上,求证:AB+AC>BP+CP.参考答案一.选择题(共4小题)1.解:设第三边的长为x,根据三角形的三边关系得:10﹣6<x<10+6,即4<x<16,则第三边的长可能等于:11.故选:B.2.解:根据三角形任意两边的和大于第三边,得A中,3+4=7>5,能组成三角形;B中,8+7=15,不能组成三角形;C中,13+12=25,不能够组成三角形;D中,5+5=10<11,不能组成三角形.故选:A.3.解:①若n+2<n+6≤3n,则,解得:3≤n<8,∴正整数n有5个:3,4,5,6,7;②若n+2≤3n≤n+6,则,解得:<n≤3,∴正整数n有2个:2和3;综上所述,满足条件的n的值有6个,故选:C.4.解:∵△ABC的三边长分别为a、b、c,且M=(a+b+c)(a+b﹣c)(a﹣b﹣c),∴a+b+c>0,a+b﹣c>0,a﹣b﹣c<0,∴M<0.故选:D.二.填空题(共6小题)5.解:5﹣2<a<5+2,∴3<a<7.故答案为:3<a<7.6.解:根据已知条件和三角形的三边关系,得当a=8,b=7时,则c=6或5或4或3或2;当a=8,b=6时,则c=5或4或3;当a=8,b=5时,则c=4.则满足条件的三角形共有9个.故答案为:9.7.解:∵三角形三边中某两条边长之差为5,∴设其中一边为x,则另一边为x+5,第三边为y,∴此三角形的周长为:x+x+5+y=2x+y+5,∵三角形周长为奇数,∴y是偶数,∵5<y<x+x+5,∴y的最小值为6.故答案为:6.8.解:当3为腰,6为底时,3+3=6,不能构成等腰三角形;当6为腰,3为底时,3+6>6,能构成等腰三角形,周长为3+6+6=15.故答案为:15.9.解:∵a,b,c为△ABC的三边,∴a+b>c,b+c>a,∴原式=c+b﹣a﹣(a+b﹣c)+2a=c+b﹣a﹣a﹣b+c+2a=2c.故答案为:2c.10.解:∵△ABC的三边的长AB=5,BC=2a+1,AC=3a﹣1,∴①,解得1<a<7;②,解得a>1,则2a+1<3a﹣1.∴1<a<7.故答案为:1<a<7.三.解答题(共7小题)11.解:(1)∵a,b,c分别为△ABC的三边,a+b=3c﹣2,a﹣b=2c﹣6,∴,解得:2<c<6.故c的取值范围为2<c<6;(2)∵△ABC的周长为12,a+b=3c﹣2,∴a+b+c=4c﹣2=12,解得c=3.5.故c的值是3.5.12.解:(1)由题意知,9﹣2<x<9+2,即7<x<11;(2)∵7<x<11,∴x的值是8或9或10,∴△ABC的周长为:9+2+8=19(舍去).或9+2+9=20或9+2+10=21(舍去)即该三角形的周长是20.13.解:(1)由三角形的构造条件,得2<x<10,∵x为最小,∴x的取值范围是2<x≤4.(2)当x=4时,三角形的周长最大,且最大值是4+6+4=14.14.解:(1)∵a,b,c是三角形的三边长,∴b+c>a,c+a>b,a+b>c,∴a﹣b﹣c<0,b﹣c﹣a<0,c﹣a﹣b<0,|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|=b+c﹣a+c+a﹣b+a+b﹣c=a+b+c,(2)把a=10,b=8,c=6,代入a+b+c=10+8+6=24.15.解:(1)∵a=b+2,b=c+1,∴b=a﹣2,b=c+1,∴a﹣2=c+1,a﹣c=3,∴b一定大于3;(2)∵b=c+1,∴c=b﹣1,∴b+2+b+b﹣1=22,解得b=7,∴a=b+2=9,c=b﹣1=6.16.解:如图,延长BP交AC于点D.∵△ABD中,AB+AD>BD=BP+PD,△CDP中,PD+CD>CP,∴AB+AD+PD+CD>BP+PD+CP,即AB+AD+CD>BP+CP,∴AB+AC>BP+CP,∴B﹣P﹣C路线较近.17.证明:在△ABD中,AB+AD>BD,在△PDC中,CD+PD>PC,∴AB+AD+CD+PD>BD+PC∴AB+AC>BP+CP.1234。
数学人教版八年级上册三角形三边关系
11.1 与三角形有关的线段(2)----三角形三边关系教学目标:理解三角形三边之间的关系,并能用于解决相关的问题;提高自主探究的能力,增强学好数学的信心.重点:三边之间的关系的探究与归纳,发展推理能力及表达能力.难点:三角形三边关系的应用.教学过程课堂引入有人说,自己步子大,一步能走3米多,你相信吗?说说你的理由!小组活动准备5根纸棒长分别为3cm,4cm,5cm,6cm,9cm,任意取出3根首尾相接搭三角形,并填表:小组探究:①是不是任意三条线段都能够组成三角形②三条线段满足什么条件才能组成一个三角形进一步探究:③上述判断的依据是什么④从而得出三角形三边有什么关系再进一步探究:⑤三角形两边之差与第三边的关系结论:三角形三边的关系:当堂检测:1、课本P4练一练第2 题2、下面分别是三根小木棒的长度,用它们能摆成三角形吗?(1)5cm,8cm,2cm □能□不能(2)5cm,8cm,13cm □能□不能(3)3㎝, 3㎝, 3㎝□能□不能(4)3.5㎝, 7.5㎝, 4.5㎝□能□不能3、①等腰三角形中有两边分别为5cm、8cm,则这个等腰三角形的周长为:②等腰三角形中有两边分别为5cm、10cm,则这个等腰三角形的周长为:4、已知三角形两边长分别为4、7,求第三边取值范围教师释疑练习巩固:1、三条线段的长度分别为:(1)3、8、10;(2)5、2、7 ;(3)5、5、11 ;(4)13、12、20。
能组成三角形的有()组。
2.三角形ABC的三边a、b、c中,a=2,b=9,(1)c的取值范围是 ;(2)若c为奇数,则c= ;(3)若三角形ABC周长为奇数,则c= ;(4)若三角形ABC是等腰三角形,则c= 。
3、有3、5、7、10的四根彩色线形木条,要摆出一个三角形,有哪几种摆法。
4.在等腰三角形中(1)两边长分别为3、5,则这个三角形的周长为;(2)两边长分别为2、5,则这个三角形的周长为;(3)周长为26,AB=6 , 则这个三角形的腰长为 .5.等腰三角形ABC的周长为18,(1)腰长是底边的2倍,求三角形各边长;(2)能围出一边为4的等腰三角形吗?自我提升:1.下列条件中,能构成三角形的条件是()A.三条线段分别为3,8,5B.三条线段分别为a,b,c,且a+b>cC.三条线段分别为a+1,a+2,a+3(a>0)D.三条线段比7:8:152.已知a,b,c为三角形的三边,化简│a-b+c│ + │b-c-a│+ │b+c-a│3.如图,线段AB、CD相交于O点,能否确定 AB+CD与AD+BC的大小,并加以说明.课堂小结:1.三角形的三边关系 2.三角形三边关系的运用课后挑战:1.等腰三角形中 (1)若底边长为b,腰a的范围是(用b表示)(2)若腰长为a,底边b的范围是(用a表示)(3)若周长为c,腰a的范围是;底边b的范围是 .(用c表示)2.某等腰三角形的周长为11,三边长均为整数,求这个等腰三角形的三边长.3.如图,点P是△ABC内任意一点,试说明PB+PC<AB+AC.作业布置。
人教版八年级上册数学第11章 三角形 阶段题型专训 三角形内角和及内、外角关系应用的八种常见题型
应用:某零件如图②所示,图纸要求∠A=90°,∠B=32°,∠C=21°,当检验 员量得∠BDC=145°时,就断定这个零件不合格.你能说出其中的道理吗?
解:如图,连接BC. 由上述结论得: 合格零件中∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD=143°, 又∵检验员量得∠BDC=145°≠143°,∴这个零件不合格.
2.如图,在△ABC中,点P是∠ABC,∠ACB的平分线的交点. (1)若∠A=80°,求∠BPC的度数.
解:∵BP,CP 分别为∠ABC,∠ACB 的平分线, ∴∠PBC+∠PCB=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°-∠A)=12×(180° -80°)=50°. ∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-50°=130°.
(2)求∠D的度数.
解:∵D 是外角∠ACH 与内角∠ABC 平分线的交点, ∴∠DCH=12∠ACH,∠DBC=12∠ABC, ∴∠D=∠DCH-∠DBC=12(∠ACH-∠ABC)=12∠A=30°.
8.如图,求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数.
【点拨】连接CG,利用转化思想,将求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的 和转化为求多边形DCGFE的内角和.
解:如图,连接CG. 在△COG和△AOB中,∠COG=∠AOB, ∴∠6+∠7=∠OCG+∠OGC. 在五边形CDEFG中,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠OCG+∠OGC=540°, ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°.
人教版八年级数学上册 三角形三边关系的六种常见类型
b-2=0
7.已知a,b,c为△ABC的三边长,b,c满足(b-2)2+
|c-3|=0,且a为方程|x-4|=2的解.
求△ABC的周长.
人教版 八年级上
第十一章 三角形的边
阶段核心归类专训
三角形三边关系的六种常见类型
1.(中考•长沙)下列长度的三条线段,能组成三角形的是
(B) A.4 cm,5 cm,9 cm
两边之和大于第三边
B.8 cm,8 cm,15 cm
C.5 cm,5 cm,10 cm
D.6 cm,7 cm,14 cm
2.在△ABC中,AB=AC,AC边上的中线BD把△ABC的 周长分成12 cm和15 cm两部分,求△ABC各边的长.
cm,即x+
1 2
x=15,则x=10.所以AB
=AC=10 cm,DC=5 cm,故BC=12-5=
7(cm).显然此时三角形存在,所以三角形的三边长
分别为10 cm,10 cm,7 cm.
综上所述,△ABC的三边长分别为8 cm,8 cm,11 cm或
10 cm,10 cm,7 cm.
3.【中考•常德】已知三角形两边的长分别是3和7,则
解:设AB=AC=x cm,则AD=DC=12 x cm.
(1)若AB+AD=12
cm,即x+
1 2
x=12,则x=8.所以
AB=AC=8 cm,DC=4 cm,故BC=15-4=
11(cm),此时AB+AC>BC,三角形存在.所以三
角形的三边长分别为8 cm,8 cm,11 cm.
三角形三边关系定理在初中数学中的应用
三角形三边关系定理在初中数学中的应用三角形是最简单的多边形,是研究和学习几何的基础,而三角形三边关系定理是研究三角形的基础,可见三角形三边关系定理的重要之处,笔者针对三角形三边关系定理在初中数学中的应用做一一的总结,希望能够给学习这个定理的人有一定的帮助。
一、定理及其推论定理:三角形任意..两边之差小于第三边。
定理..两边之和大于第三边;推论:三角形任意分析:无论是定理还是推论都有“任意”二字,所以定理和推论都包含三项内容,用a,b,c表示三角形的三边,则定理可以表示为:a+b>c,a+c>b,b+c>a;推论则表示为:a-b<c,b-c<a,c-a<b.而我们在实际应用时往往不需要考虑那么多,只需将定理和推论简化为:a-b<c<a+b(假设a>b),应用时只需抓住两条边来验证第三边即可。
具体的应用参考下面的例题。
三:定理的应用1、判断三条线段是否可以构成三角形例题1 下列几组线段中,不能构成三角形的是:()A.3,4,5B.2,4,6C.5,6,8D.7,10,15解法分析:下面我们以A选项为列来详细说明定理的使用,首先我们任意的取出两条线段,不妨我们取3和4.然后根据定理我们做出4-3<c<3+4,结果为1<c<7,最后我们来验证第三条边是否在c的范围内,如果在则能构成三角形,如果不在范围内则不能构成三角形,此题显然1<5<7,因此可以构成三角形。
答案为B。
例题2 以4cm,8cm,10cm,12cm四根木条中的三根组成三角形,可以构成的三角形的个数是:()A.1 B. 2 C. 3 D. 4解法分析:四根木条选3根有四种情况:4cm,8cm,10cm;4cm,8cm,12cm;4cm,10cm,12cm;8cm,10cm,12cm.由三角形三边关系定理知以12cm,8cm,4cm不能构成三角形,其它三种情况均符合题意,因此能构成三个三角形,故选择C。
人教版数学八年级上册1三角形三边的关系课件(共14张)
AB + BC >AC. ③
归纳:三角形两边的和大于第三边
AC + BC >AB ② AB + BC >AC ③
思考 由不等式②③移项可得 BC >AB -AC, BC >AC -AB.由此你能得出什么结论?
归纳:三角形两边的差小于第三边
ABBC<AC BCAC<AB
在△ABC中,若b =3,a=7,则第 三边c的取值范围是 4 < c < 10。 既要考虑“两边之和大于第三边”, 又要考虑“两边之差小于第三边”
解:如果4 cm长的边为底边,设腰长为x cm,则 4 + 2x = 18 解得 x = 7
此时三边分别为4cm,7cm,7cm 如果4 cm长的边为腰,设底边长为x cm, 则4+4 + x = 18. 解得 x = 10
此时三边分别为4cm,4cm,10cm
因为4 + 4<10,
不符合三角形两边的和大于第三边,
a-b<c<a+b
变式:在△ABC中,若b=3,a=7,则其周长l的 取值范围是 14 < l< 2。0
例. 下列长度的三条线段能否组成三角形?为什么?
(1)3,4,5;(2)5,6,11;(3)5,6,10。 解:(1)能.因为3 + 4>5,
符合三角形两边的和大于第三边。 (2)不能.因为5 + 6 =11,
人教版 数学 八年级 上册
三角形的三边之间有什么关系? 如何根据三边关系判断三条线段能否组成三角形?
探究:任意画一个∆ABC,从点B出发,沿三角形的边到点C,有
几条线路可以选择?走那条线路 路径最短?为什么?
两条。
八年级上阶段方法技巧训练课件:三角形三边关系的巧用(智能版推荐)
解: 如图,将DE向两边延长分别交AB,AC于 点M,N,在△AMN中,AM+AN>MD +DE+NE;① 在△BDM中,MB+MD>BD;② 在△CEN中,CN+NE>CE;③ ①+②+③,得AM+AN+MB+MD+ CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE,所 以AB+AC>BD+DE+CE.
在我的印象里,他一直努力而自知,每天从食堂吃饭后,他总是习惯性地回到办公室看厚厚的专业书不断提升和充实自己,他的身上有九零后少见的沉稳。同事们恭喜他,大多看 到了他的前程似锦,却很少有人懂得他曾经付出过什么。就像说的:“如果这世上真有奇迹,那只是努力的另一个名字,生命中最难的阶段,不是没有人懂你,而是你不懂自已。” 而他的奇迹,是努力给了挑选的机会。伊索寓言中,饥饿的狐狸想找一些可口的食物,但只找到了一个酸柠檬,它说,这只柠檬是甜的,正是我想吃的。这种只能得到柠檬,就说 柠檬是甜的自我安慰现象被称为:“甜柠檬效应”。一如很多人不甘平庸,却又大多安于现状,大多原因是不知该如何改变。看时,每个人都能从角色中看到自已。高冷孤独的安 迪,独立纠结的樊胜美,乐观自强的邱莹莹,文静内敛的关睢尔,古怪精灵的曲筱绡。她们努力地在城市里打拼,拥有幸或不幸。但她依然保持学习的习惯,这样无论什么事她都 有最准确的判断和认知;樊胜美虽然虚荣自私,但她努力做一个好HR,换了新工作后也是拼命争取业绩;小蚯蚓虽没有高学历,却为了多卖几包咖啡绞尽脑汁;关睢尔每一次出镜 几乎都是在房间里戴着耳机听课,处理文件;就连那个嬉皮的曲筱潇也会在新年之际为了一单生意飞到境外……其实她们有很多路可以走:嫁人,啃老,安于现状。但每个人都像 个负重的蜗牛一样缓缓前行,为了心中那丁点儿理想拼命努力。今天的努力或许不能决定明天的未来,但至少可以为明天积累,否则哪来那么多的厚积薄发和大器晚成?身边经常 有人抱怨生活不幸福,上司太刁,同事太蛮,公司格局又不大,但却不想改变。还说:“改变干嘛?这个年龄了谁还能再看书考试,混一天是一天吧。”一个“混”字就解释了他 的生活态度。前几天我联系一位朋友,质问为什么好久不联系我?她说自已每天累的像一条狗,我问她为什么那么拼?她笑:“如果不努力我就活得像一条狗了。”恩,新换的上 司,海归,虽然她有了磨合几任领导的经验,但这个给她带来了压力。她的英语不好,有时批阅文件全是大段大段的英文,她心里很怄火,埋怨好好的中国人,出了几天国门弄得 自己像个洋鬼子似的。上司也不舒服,流露出了嫌弃她的意思,甚至在一次交待完工作后建议她是否要调一个合适的部门?她的脸红到了脖子,想着自己怎么也算是老员工,由她 羞辱?两个人很不愉快。但她有一股子倔劲,不服输,将近40岁的人了,开始拿出发狠的学习态度,报了个英语培训班。回家后捧着英文书死啃,每天要求上中学的女儿和自己英 语对话,连看电影也是英文版的。功夫不负有心人,当听力渐渐能跟得上上司的语速,并流利回复,又拿出漂亮的英文版方案,新上司看她的眼光也从挑剔变柔和,某天悄悄放了 几本英文书在她桌上,心里突然发现上司并没那么讨厌。心态好了,她才发现新上司的优秀,自从她来了后,部门业绩翻了又翻,奖金也拿到手软,自己也感觉痛快。她说:这个 社会很功利,但也很公平。别人的傲慢一定有理由,如果想和平共处,需要同等的段位,而这个段位,自己可能需要更多精力,但唯有不断付出,才有可能和优秀的人比肩而立。 人为什么要努力?一位长者告诉我:“适者生存。”这个社会讲究适者生存,优胜劣汰。虽然也有潜规则,有套路和看不见的沟沟坎坎,但一直努力的人总会守得云开见月明。有 些人明明很成功了,但还是很拼。比如剧中的安迪,她光环笼罩,商场大鳄是她的男闺蜜,不离左右,富二代待她小心呵护,视若明珠,加上她走路带风,职场攻势凌历,优秀得 让身边人仰视。这样优秀的人,不管多忙,每天都要抽出两个小时来学习。她的学习不是目的,而是能量,能让未来的自己比过去更好一些。现实生活中,努力真的重要,它能改 变一个人的成长轨迹,甚至决定人生成败。有一句鸡汤:不着急,你想要的,岁月都会给你。其实,岁月只能给你风尘满面,而希望,唯有努力才能得到!9、懂得如何避开问题的 人,胜过知道怎样解决问题的人。在这个世界上,不知道怎么办的时候,就选择学习,也许是最佳选择。胜出者往往不是能力而是观念!在家里看到的永远是家,走出去看到的才 是世界。把钱放在眼前,看到的永远是钱,把钱放在有用的地方,看到的是金钱的世界。给人金钱是下策,给人能力是中策,给人观念是上策。财富买不来好观念,好观念能换来 亿万财富。世界上最大的市场,是在人的脑海里!要用行动控制情绪,不要让情绪控制行动;要让心灵启迪智慧,不能让耳朵支配心灵。人与人之间的差别,主要差在两耳之间的 那块地方!人无远虑,必有近忧。人好的时候要找一条备胎,人不好的时候要找一条退路;人得意的时候要找一条退路,人失意的时候要找一条出路!孩子贫穷是与父母的有一定 的关系,因为他小的时候,父母没给他足够正确的人生观。家长的观念是孩子人生的起跑线!有什么信念,就选择什么态度;有什么态度,就会有什么行为;有什么行为,就产生 什么结果。要想结果变得好,必须选择好的信念。播下一个行动,收获一种习惯;播下一种习惯,收获一种性格;播下一种性格,收获一种命运。思想会变成语言,语言会变成行
人教版八年级数学上册第11章11.1.1三角形的三边关系教学设计
在这一环节,我会设计一系列具有代表性的练习题,让学生独立完成。这些题目将涵盖三角形三边关系的基础知识和拓展应用,包括判断三条线段是否能构成三角形、计算三角形中未知边的长度等。
在学生解题过程中,我会巡回指导,及时解答他们的疑问。对于普遍存在的问题,我会进行集中讲解,确保学生掌握解题方法和技巧。此外,我还会鼓励学生分享自己的解题心得,以便他们相互启发、共同提高。
7.教学评价,关注个体
采取多元化的教学评价方式,关注学生的个体差异,及时发现和解决问题。注重过程性评价,鼓励学生积极参与课堂活动,提高学习积极性。
四、教学内容与过程
(一)导入新课
在这一环节,我将利用生活中的实例来引导学生进入三角形的学习。首先,我会向学生展示一些包含三角形的日常物品图片,如自行车三角架、屋顶尖、三角尺等,并提出问题:“你们在生活中还见到过哪些三角形?它们有什么共同的特点?”通过这个问题,让学生意识到三角形无处不在,并激发他们对三角形性质的好奇心。
3.拓展题:
(1)结合教材第11章11.1节内容,思考三角形三边关系在桥梁建筑、房屋结构等方面的应用。
(2)尝试解决以下问题:已知一个三角形的两边长度,如何确定第三边的可能长度范围?
作业要求:
1.认真完成必做题,确保掌握基础知识。
2.选做题根据自己的实际情况和能力进行选择,可向同学或老师请教。
3.拓展题鼓励学生积极思考,培养创新意识和几何思维能力。
接着,我会引导学生回顾之前学过的几何图形知识,如线段、角的性质等,为新课的学习做好铺垫。然后,我会提出一个关键问题:“如何判断三条线段能否构成一个三角形?”从而引出本节课的主题——三角形的三边关系。
(二)讲授新知
在这一环节,我将系统地讲授三角形的基本概念和三边关系。首先,我会给出三角形的定义,并强调三角形是由三条线段首尾相连所围成的图形。然后,我会引导学生观察三角形的三个内角,回顾角度和的性质。
人教版数学八年级初二上册 第十一章 三角形的三边关系 名师教学教案 教学设计反思
教师姓名汪晓平单位名称阿克苏市第三中学填写时间2020.7.28 学科数学年级/册八年级上册教材版本人教版课题名称第十一章三角形的三边关系难点名称1.对三角形有关概念的了解,能用符号语言表示三角形.2.能从图中找出三角形.理解三角形三边间的不等关系.难点分析从知识角度分析为什么难1.会按三边的关系对三角形进行分类.2.了解三角形三边关系的定理及推论,并会初步应用它们来解决问题. 从学生角度分析为什么难培养方程、分类讨论的思想,渗透逻辑推理的训练.难点敎學方法在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,逐步养成数学推理的习惯。
敎學环节敎學过程导入一、回顾旧知识:(1)什么叫三角形?(2)用图片展示,让学生体会三角形的特点。
三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形,叫做三角形。
三角形的边:AB、BC、CA 三角形的顶点:点A、点B、点C 三角形的内角(角):∠ A、∠B、∠ C上图的三角形记作:△ABC (或△BCA或△CBA 等)三角形的分类(1)把三角形按角的大小分类可分为、和(2)三角形按边的相等关系可分为三类:三边都相等的三角形叫做;有两条边相等的三角形叫做;三边都不相等的三角形叫做不等边三角形.1:填空(1):图中有 个三角形,它们分别表示为(2):一个三角形有两边长相等,周长为20cm,三角形的一边长为6cm,则其它的两边长为 (3):等腰三角形一边长等于5,一边长等于6,则它的周长为 (4):等腰三角形一边长等于4,一边长等于9,则它的周长为 (5):已知在 ABC 中,AB,BC 的长分别是6cm 和9cm,则边AC 的取值范围是 2:选择:(1) 如图:为估计池塘岸边A 、B 的距离,小方在池塘的一侧选取一点O,测得OA=15mOB=10m。
则A、B的距离不可能是()(A ) 20米 (B ) 15米 (C ) 10米 (D ) 5米 (2)以下各组线段为边,能组成三角形的是( ) (A )1cm 2cm 4cm (B ) 8cm 6cm 4cm (C )12cm 5cm 6cm (D ) 2cm 3cm 6cm(3)现有2cm,4cm,5cm,8cm 长的4根木棒,任意选取三根组成一个三角形,那么可组成的三角形的个数为( )(A ) 1个 (B ) 2个 (C ) 3个 (D )4个3:如图中的规律摆放三角形:则第(4)堆的三角形的个数为 ;第(n )堆的三角形的个数为EDCBA(3)(2)(1)三、课堂小结:。
三角形(压轴必刷30题5种题型专项训练)—2023-2024学年八年级数学上册(人教版)(解析版)
三角形(压轴必刷30题5种题型专项训练)一.三角形的角平分线、中线和高(共1小题)1.(2022秋•瑞金市校级月考)如图,△ABC的周长是21cm,AB=AC,中线BD分△ABC为两个三角形,且△ABD的周长比△BCD的周长大6cm,求AB,BC.【分析】由BD是中线,可得AD=CD,又由△ABD的周长比△BCD的周长大6cm,△ABC的周长是21cm,AB=AC,可得AB﹣BC=6cm,2AB+BC=21cm,继而求得答案.【解答】解:∵BD是中线,∴AD=CD=AC,∵△ABD的周长比△BCD的周长大6cm,∴(AB+AD+BD)﹣(BD+CD+BC)=AB﹣BC=6cm①,∵△ABC的周长是21cm,AB=AC,∴2AB+BC=21cm②,联立①②得:AB=9cm,BC=3cm.【点评】此题考查了三角形面积与三角形的中线.注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.二.三角形三边关系(共1小题)2.(2022春•徐汇区校级期末)周长为30,各边互不相等且都是整数的三角形共有个.【分析】不妨设三角形三边为a、b、c,且a<b<c,由三角形三边关系定理及题设条件可确定c的取值范围,以此作为解题的突破口.【解答】解:设三角形三边为a、b、c,且a<b<c.∵a+b+c=30,a+b>c∴10<c<15∵c为整数∴c为11,12,13,14∵①当c为14时,有5个三角形,分别是:14,13,3;14,12,4;14,11,5;14,10,6;14,9,7;②当c为13时,有4个三角形,分别是:13,12,5;13,11,6;13,10,7;13,9,8;③当c为12时,有2个三角形,分别是:12,11,7;12,10,8;④当c为11时,有1个三角形,分别是:11,10,9;故答案为:12个.【点评】此题主要考查学生对三角形三边关系的理解及运用能力.三.三角形内角和定理(共12小题)3.(2021秋•新罗区校级月考)在△ABC中,∠A=36°,当∠C=,△ABC为等腰三角形.【分析】分三种情形分别讨论,运用三角形内角和定理即可解决问题【解答】解:①当AB=AC时,∵∠A=36°,∴∠C=∠B=72°.②当CA=CB时,∵∠A=∠B=36°,∴∠C=108°.③当BA=BC时,∴∠C=∠A=36°,综上所述,∠C的值为72°或108°或36°,故答案为:72°,36°,108°.【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理的运用,解题的关键是用分类讨论的思想思考问题.4.(2022秋•潍坊期末)如图,AB和CD相交于点O,∠C=∠COA,∠BDC=∠BOD,AP,DP分别平分∠CAO和∠BDC,若∠C+∠P+∠B=165°,则∠C的度数是.【分析】设∠C=∠AOC=∠BOD=∠BDO=x,∠CAP=∠PAB=y,∠P=z,则∠B=2y,构建方程组解决问题即可.【解答】解:∵∠C=∠COA,∠BDC=∠BOD,∠AOC=∠BOD,∴∠C=∠AOC=∠BOD=∠BDO,∴∠B=∠CAO,设∠C=∠AOC=∠BOD=∠BDO=x,∠CAP=∠PAB=y,∠P=z,则∠B=2y,则有,解得,∴∠C=70°,故答案为70°.【点评】本题考查三角形内角和定理,三角形的外角的性质等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题.5.(2021秋•武昌区期末)如图,在△ABC中,∠ACB=2α,CD平分∠ACB,∠CAD=30°﹣α,∠BAD=30°,则∠BDC=.(用含α的式子表示)【分析】延长CB到E,使CE=CA,连接DE,EA,利用SAS证明△ADC≌△EDC,得AD=ED,∠ADC=∠EDC,再证明△EDA为等边三角形,得出AB是∠EAD的角平分线,再通过导角得出答案.【解答】解:如图,延长CB到E,使CE=CA,连接DE,EA,∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD=,在△ADC与△EDC中,,∴△ADC≌△EDC(SAS),∴AD=ED,∠ADC=∠EDC,∵∠CAD=30°﹣α,∠ACD=α,∴∠ADC=180°﹣(30°﹣α)﹣α=150°,∴∠EDC=∠ADC=150°,∴∠EDA=360°﹣150°﹣150°=60°,∵ED=AD,∴△EDA为等边三角形,∴∠EAD=∠AED=60°,∵∠BAD=30°,∴∠EAB=60°﹣30°=30°,∴AB是∠EAD的角平分线,∵AB是ED的垂直平分线,∴BD=BE,∴∠BED=∠BDE,∵∠ACB=2α,∠EAC=∠EAD+∠DAC=60°+30°﹣α=90°﹣α,∴∠AEC=180°﹣2α﹣(90°﹣α)=90°﹣α,∴∠EDB=∠AEC﹣∠AED=90°﹣α﹣60°=30°﹣α,∴∠EDB=∠BED=30°﹣α,∴∠DBC=∠BDE+∠BED=(30°﹣α)×2=60°﹣2α,∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠DCB=180°﹣(60°﹣2α)﹣α=120°+α,故答案为:120°+α.【点评】本题主要考查了三角形内角和定理,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质等知识,作辅助线构造全等三角形是解题的关键.6.(2020秋•杏花岭区校级月考)如图,在第1个△ABA1中,∠B=40°,∠BAA1=∠BA1A,在A1B上取一点C,延长AA1到A2,使得在第2个△A1CA2中,∠A1CA2=∠A1A2C;在A2C上取一点D,延长A1A2到A3,使得在第3个△A2DA3中,∠A2DA3=∠A2A3D;…,按此做法进行下去,第3个三角形中以A3为顶点的内角的度数为;第n个三角形中以A n为顶点的底角的度数为.【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数,再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1,∠DA3A2及∠EA4A3的度数,找出规律即可得出第n个三角形的以An为顶点的底角的度数.【解答】解:∵在△ABA1中,∠B=40°,AB=A1B,∴∠BA1A=(180°﹣∠B)=(180°﹣40°)=70°,∵A1A2=A1C,∠BA1A是△A1A2C的外角,∴∠CA2A1=∠BA1A=×70°=35°;同理可得,∠DA3A2=×70°=17.5°,∠EA4A3=×70°,以此类推,第n个三角形的以An为顶点的底角的度数=.故答案为:17.5°,.【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质,根据题意得出∠CA2A1,∠DA3A2及∠EA4A3的度数,进而找出规律是解答此题的关键.7.(2022春•台江区校级期末)如图,在△ABC中,BD、BE分别是高和角平分线,点F在CA的延长线上,∠BAC>∠C,FH⊥BE交BD于G,交BC于H,下列结论:①∠DBE=∠F;②2∠BEF=∠BAF+∠C;③∠F=(∠BAC﹣∠C);④∠BGH=∠ABE+∠C.其中正确的是.【分析】①根据BD⊥FD,FH⊥BE和∠FJD=∠BJH,证明结论正确;②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确;③证明∠DBE=∠BAC﹣∠C,根据①的结论,证明结论正确;④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确.【解答】解:设BE交FH于点J.①∵BD⊥FD,∴∠FGD+∠F=90°∵FH⊥BE,∴∠BGJ+∠DBE=90°,∵∠FGD=∠BGJ,∴∠DBE=∠F,①正确;②∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE,∠BEF=∠CBE+∠C,∴2∠BEF=∠ABC+2∠C,∠BAF=∠ABC+∠C,∴2∠BEF=∠BAF+∠C,②正确;③∠ABD=90°﹣∠BAC,∠DBE=∠ABE﹣∠ABD=∠ABE﹣90°+∠BAC=∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC,∵∠CBD=90°﹣∠C,∴∠DBE=∠BAC﹣∠C﹣∠DBE,由①得,∠DBE=∠F,∴∠F=∠BAC﹣∠C﹣∠DBE,∴∠F=(∠BAC﹣∠C);③正确;④∵∠AEB=∠EBC+∠C,∵∠ABE=∠CBE,∴∠AEB=∠ABE+∠C,∵BD⊥FC,FH⊥BE,∴∠FGD=∠BGH=∠FEB,∴∠BGH=∠ABE+∠C,④正确,故答案为:①②③④.【点评】本题考查的是三角形内角和定理,正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键.8.(2021秋•雷州市月考)如图,D是△ABC的BC边上的一点,∠B=∠BAD,∠ADC=80°,∠BAC=70°.(1)求∠B的度数.(2)求∠C的度数.【分析】(1)先由三角形外角的性质得出∠ADC=∠B+∠BAD,再由∠ADC=80°,∠B=∠BAD即可得出∠B的度数;(2)直接根据三角形的内角和定理得出∠C的度数.【解答】解:(1)∵∠ADC是△ABD的一个外角,∴∠ADC=∠B+∠BAD,又∵∠ADC=80°,∠B=∠BAD,∴∠B=∠ADC=×80°=40°;(2)在△ABC 中,∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣40°﹣70°=70°.【点评】本题考查的是三角形内角和定理及外角的性质,熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键.9.(2021春•东台市月考)如图,AD平分∠BAC,∠EAD=∠EDA.(1)∠EAC与∠B相等吗?为什么?(2)若∠B=50°,∠CAD:∠E=1:3,求∠E的度数.【分析】(1)由于AD平分∠BAC,根据角平分线的概念可得∠BAD=∠CAD,再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和,结合已知条件可得∠EAC与∠B相等;(2)若设∠CAD=x°,则∠E=3x°.根据(1)中的结论以及三角形的内角和定理及其推论列方程进行求解即可.【解答】解:(1)相等.理由如下:∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.又∠EAD=∠EDA,∴∠EAC=∠EAD﹣∠CAD=∠EDA﹣∠BAD=∠B;(2)设∠CAD=x°,则∠E=3x°,由(1)知:∠EAC=∠B=50°,∴∠EAD=∠EDA=(x+50)°在△EAD中,∵∠E+∠EAD+∠EDA=180°,∴3x+2(x+50)=180,解得:x=16.∴∠E=48°.【点评】(1)建立要证明的两个角和已知角之间的关系,根据已知的相等的角,即可证明;(2)注意应用(1)中的结论,主要是根据三角形的内角和定理及其推论用同一个未知数表示相关的角,再列方程求解.10.(2021秋•新建区校级月考)如图,∠B=50°,点P在∠ABC内部,∠P的两边分别交AB,BC于点E,F.(1)若PE⊥AB,PF⊥BC.①如图1,则∠P=°;②如图2,EQ平分∠BEP,FQ平分∠BFP,求∠Q的度数.(2)若∠BEP与∠BFP两角的平分线交于ABC内一点Q,请写出∠Q与∠P的数量关系,并说明理由.【分析】(1)①由∠BEP=∠BFP=90°,∠ABC=50°,解可得∠EPF=130°;②根据EQ平分∠BEP,FQ平分∠BFP,得∠QEP=45°,∠QFP=45°,即可得∠Q=140°;(2)分两种情况:①四边形BEPF为凸四边形时,由∠B+2∠2+2∠4+∠P=360°,∠2+∠4=360°﹣∠P﹣∠Q,消去∠2、∠4即可得∠Q+∠P=200°;②四边形BEPF为凹四边形时,可得2∠Q﹣∠P=40°.【解答】解:(1)①∵PE⊥AB,PF⊥BC,∴∠BEP=∠BFP=90°,∵∠ABC=50°,∴∠EPF=360°﹣∠BEP﹣∠BFP﹣∠ABC=130°,故答案为:130;②∵EQ平分∠BEP,FQ平分∠BFP,∴∠QEP=∠BEP=45°,∠QFP=∠BFP=45°,∴∠Q=360°﹣∠QEP﹣∠QFP﹣∠EPF=140°;(2)①四边形BEPF为凸四边形时,如图:∵EQ平分∠BEP,FQ平分∠BFP,∴∠BEP=2∠2,∠BFP=2∠4,∵∠B+∠BEP+∠BFP+∠P=360°,∴∠B+2∠2+2∠4+∠P=360°,而∠B=50°,∴2∠2+2∠4=310°﹣∠P,即∠2+∠4=155°﹣∠P①,又∠2+∠4=360°﹣∠P﹣∠Q②,由①②可得:155°﹣∠P=360°﹣∠P﹣∠Q,整理得:∠Q+∠P=205°.②四边形BEPF为凹四边形时,如图:∵EQ平分∠BEP,FQ平分∠BFP,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∵∠B=50°,∴2(∠2+∠3)+∠PEF+∠PFE=130°(Ⅰ),又∠Q+(∠2+∠3)+∠PEF+∠PFE=180°(Ⅱ),(Ⅱ)×2﹣(Ⅰ)得:2∠Q+∠PEF+∠PFE=230°(Ⅲ),而∠P+∠PEF+∠PFE=180°(Ⅳ),(Ⅲ)﹣(Ⅳ)得:2∠Q﹣∠P=50°;同理当四边形BEPF、四边形BEQF均为凸四边形时,2∠Q﹣∠P=310°,综上所述,∠Q与∠P的数量关系为∠Q+∠P=205°或2∠Q﹣∠P=50°或2∠Q﹣∠P=310°.【点评】本题考查多边形内角和,涉及角平分线、角的和差等知识,解题的关键是掌握四边形的内角和是360°.11.(2022秋•东港区校级月考)已知:如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是∠BAC平分线,∠B=30°,∠DAE=15°,(1)求∠BAE的度数;(2)求∠C的度数.【分析】(1)由AD是BC边上的高可得出∠ADE=90°,在△ADE中利用三角形内角和可求出∠AED的度数,再利用三角形外角的性质即可求出∠BAE的度数;(2)根据角平分线的定义可得出∠BAC的度数,在△ABC中利用三角形内角和可求出∠C的度数.【解答】解:(1)∵AD是BC边上的高,∴∠ADE=90°.∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°,∴∠AED=180°﹣∠ADE﹣∠DAE=180°﹣90°﹣15°=75°.∵∠B+∠BAE=∠AED,∴∠BAE=∠AED﹣∠B=75°﹣30°=45°.(2)∵AE是∠BAC平分线,∴∠BAC=2∠BAE=2×45°=90°.∵∠B+∠BAC+∠C=180°,∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣90°﹣30°=60°.【点评】本题考查了三角形内角和定理以及三角形外角的性质,解题的关键是:(1)在△ADE中利用三角形内角和求出∠AED的度数;(2)利用角平分线的定义求出∠BAC的度数.12.(2022秋•香洲区校级月考)△ABC中,∠C=80°,点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点,点P是一动点,令∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α.(1)若点P在边AB上,且∠α=50°,如图1,则∠1+∠2=;(2)若点P在边AB上运动,如图2所示,则∠α、∠1、∠2之间的关系为.(3)若点P运动到边AB的延长线上,如图3,则∠α、∠1、∠2之间有何关系?猜想并说明理由【分析】(1)连接CP,根据三角形外角性质,即可得到∠1=∠DCP+∠DPC,∠2=∠ECP+∠EPC,再根据∠1+∠2=∠ACB+∠DPE进行计算即可;(2)连接CP,根据三角形外角性质,即可得到∠1=∠DCP+∠DPC,∠2=∠ECP+∠EPC,再根据∠1+∠2=∠ACB+∠DPE进行计算即可得到∠α、∠1、∠2之间的关系;(3)根据三角形外角性质,即可得到∠1=∠C+∠CMD,∠CMD=∠2+∠α,进而得到∠1=∠C+∠2+∠α,据此可得∠α、∠1、∠2之间的关系.【解答】解:(1)如图1,连接CP,∵∠1是△CDP的外角,∴∠1=∠DCP+∠DPC,同理可得,∠2=∠ECP+∠EPC,∴∠1+∠2=∠ACB+∠DPE=80°+50°=130°,故答案为:130°;(2)如图,连接CP,∵∠1是△CDP的外角,∴∠1=∠DCP+∠DPC,同理可得,∠2=∠ECP+∠EPC,∴∠1+∠2=∠ACB+∠DPE=80°+∠α,故答案为:∠1+∠2=80°+∠α;(3)∠1=80°+∠2+∠α,理由如下:如图3,∵在△CDM中,∠1=∠C+∠CMD,在△EMP中,∠CMD=∠2+∠α,∴∠1=∠C+∠2+∠α,即∠1=80°+∠2+∠α.【点评】本题主要考查了三角形外角性质以及三角形内角和定理的运用,解题时注意:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.13.(2021秋•仙桃校级月考)如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,AE平分∠DAC,∠BAC=80°,∠B=60°,求∠AEC的度数.【分析】根据三角形的内角和定理求出∠C,再根据直角三角形两锐角互余求出∠DAC,然后根据角平分线的定义求出∠DAE,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.【解答】解:∵∠BAC=80°,∠B=60°,∴∠C=180°﹣∠BAC﹣∠B=180°﹣80°﹣60°=40°,∵AD⊥BC,∴∠DAC=90°﹣∠C=90°﹣40°=50°,∵AE平分∠DAC,∴∠DAE=∠DAC=×50°=25°,∴∠AEC=∠DAE+∠ADE=25°+90°=115°.【点评】本题考查了三角形的内角和定理,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,三角形的角平分线和高线的定义,解题的关键是学会用分类的思想思考问题,属于中考常考题型.14.(2020秋•官渡区校级月考)如图,AD是△ABC的BC边上的高,AE是△ABC的一条角平分线,若∠B=42°,∠C=70°,求∠AEC和∠DAE的度数.【分析】由三角形内角和定理可求得∠BAC的度数,在Rt△ADC中,可求得∠DAC的度数,AE是角平分线,有∠EAC=∠BAC,故∠EAD=∠EAC﹣∠DAC.【解答】解:∵∠B=42°,∠C=70°,∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=68°,∵AE是角平分线,∴∠EAC=∠BAC=34°.∵AD是高,∠C=70°,∴∠DAC=90°﹣∠C=20°,∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=34°﹣20°=14°,∠AEC=90°﹣14°=76°.【点评】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质,高线的性质,解答的关键是熟练掌握三角形的内角和定理.四.三角形的外角性质(共10小题)15.(2022春•云龙区校级月考)如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC,内角∠ABC,外角∠ACF,以下结论:①AD∥BC;②∠ACB=∠ADB;③∠ADC+∠ABD=90°;④,其中正确的结论有.【分析】根据角平分线定义得出∠ABC=2∠ABD=2∠DBC,∠EAC=2∠EAD,∠ACF=2∠DCF,根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,根据三角形外角性质得出∠ACF=∠ABC+∠BAC,∠EAC=∠ABC+∠ACB,根据已知结论逐步推理,即可判断各项.【解答】解:①∵AD平分∠EAC,∴∠EAC=2∠EAD,∵∠ABC=∠ACB,∴∠EAD=∠ABC,∴AD∥BC,故①正确;②∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC,∵BD平分∠ABC,∠ABC=∠ACB,∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC,∴∠ACB=2∠ADB,故②错误;③在△ADC中,∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°,∵CD平分△ABC的外角∠ACF,∴∠ACD=∠DCF,∵AD∥BC,∴∠ADC=∠DCF,∠ADB=∠DBC,∠CAD=∠ACB∴∠ACD=∠ADC,∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD,∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°,∴∠ADC+∠ABD=90°,故③正确;④∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC,∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC,∠DCF=∠ADC,∵∠ADC+∠ABD=90°,∵∠DCF=90°﹣∠ABC=∠DBC+∠BDC,∴∠BDC=90°﹣2∠DBC,∴∠ADB=∠DBC=45°﹣∠BDC,故④正确;故答案为:①③④.【点评】此题考查了三角形外角性质,平行线的判定与性质,主要考查学生的推理能力,有一定的难度.16.(2022秋•游仙区校级月考)如图,D是△ABC内一点,连接AD、BD、CD,P是∠BDC的角平分线的反向延长线上的一点,连接BP,∠ABP=2∠PBD,△ABC和△ACD的外角平分线相交于点Q,若∠Q =45°,∠BDC=4∠ABD,则∠P的度数为°.【分析】设∠PBD=α,表示出∠BDE=6α,于是∠P=5α,由∠Q=45°可推出∠BAC+∠ACD=90°,根据∠BDC=∠ABD+∠BAC+∠ACD求得α的值,进一步得出结果.【解答】解:如图,设PD的延长线交BC于E,设∠PBD=α,则∠ABP=2α,∴∠ABD=∠ABP+∠PBD=3α,∴∠BDC=4∠ABD=12α,∵DE平分∠BDC,∴∠BDE==6α,∴∠P=∠BDE﹣∠PBD=6α﹣α=5α,在△ACQ中,∠QAC+∠ACQ=180°﹣∠Q=135°,∵AQ平分∠FAC,CQ平分∠ACG,∴∠FAC=2∠QAC,∠ACG=2∠ACQ,∴∠FAC+∠ACG=2(∠QAC+∠ACQ)=270°,∴∠BAC+∠ACD=180°﹣∠FAC+180°﹣∠ACG=90°,∵∠BDC=∠ABD+∠BAC+∠ACD,∴12α=3α+90°,∴α=10°,∴∠P=5α=50°,故答案为:50.【点评】本题考查了角平分线的性质,三角形内角和定理及其推论等知识,解决问题的关键是设未知数,寻找角之间的数量关系.17.(2021•惠济区校级开学)认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段,完成所提出的问题.探究1:如图1,在△ABC中,O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点,通过分析发现∠BOC=90°+,理由如下:∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线∴∴又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A∴∴∠BOC=180°﹣(∠1+∠2)=180°﹣(90°﹣∠A)=探究2:如图2中,O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点,试分析∠BOC与∠A有怎样的关系?请说明理由.探究3:如图3中,O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点,则∠BOC与∠A有怎样的关系?(只写结论,不需证明)结论:.【分析】(1)根据提供的信息,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,用∠A与∠1表示出∠2,再利用∠O与∠1表示出∠2,然后整理即可得到∠BOC与∠A的关系;(2)根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB,然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解.【解答】解:(1)探究2结论:∠BOC=∠A,理由如下:∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线,∴∠1=∠ABC,∠2=∠ACD,又∵∠ACD是△ABC的一外角,∴∠ACD=∠A+∠ABC,∴∠2=(∠A+∠ABC)=∠A+∠1,∵∠2是△BOC的一外角,∴∠BOC=∠2﹣∠1=∠A+∠1﹣∠1=∠A;(2)探究3:∠OBC=(∠A+∠ACB),∠OCB=(∠A+∠ABC),∠BOC=180°﹣∠0BC﹣∠OCB,=180°﹣(∠A+∠ACB)﹣(∠A+∠ABC),=180°﹣∠A﹣(∠A+∠ABC+∠ACB),结论∠BOC=90°﹣∠A.【点评】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理,熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键,读懂题目提供的信息,然后利用提供信息的思路也很重要.18.(2021秋•回民区校级月考)如图,在△ABC中,∠B=40°,∠C=70°,AD是△ABC的角平分线,点E在BD上,点F在CA的延长线上,EF∥AD.(1)求∠BAF的度数.(2)求∠F的度数.【分析】(1)根据外角的性质即可得到结论;(2)根据角平分线的定义得到∠DAC=BAC=35°,根据平行线的性质即可得到结论.【解答】解:(1)∵∠BAF=∠B+∠C,∵∠B=40°,∠C=70°,∴∠BAF=110°;(2)∵∠BAF=110°,∴∠BAC=70°,∵AD是△ABC的角平分线,∴∠DAC=BAC=35°,∵EF∥AD,∴∠F=∠DAC=35°.【点评】本题考查了三角形外角的性质,平行线的性质,三角形的内角和,角平分线的定义,熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键.19.(2020秋•顺昌县月考)如图,已知:点P是△ABC内一点.(1)求证:∠BPC>∠A;(2)若PB平分∠ABC,PC平分∠ACB,∠A=40°,求∠P的度数.【分析】(1)延长BP交AC于D,根据△PDC外角的性质知∠BPC>∠1;根据△ABD外角的性质知∠1>∠A,所以易证∠BPC>∠A.(2)由三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=140°,由角平分线和三角形内角和定理即可得出结果.【解答】(1)证明:延长BP交AC于D,如图所示:∵∠BPC是△CDP的一个外角,∠1是△ABD的一个外角,∴∠BPC>∠1,∠1>∠A,∴∠BPC>∠A;(2)在△ABC中,∵∠A=40°,∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣40°=140°,∵PB平分∠ABC,PC平分∠ACB,∴∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB,在△ABC中,∠P=180°﹣(∠PBC+∠PCB)=180°﹣(∠ABC+∠ACB)=180°﹣(∠ABC+∠ACB)=180°﹣×140°=110°.【点评】此题主要考查了三角形的外角性质、三角形内角和定理、三角形的角平分线定义;熟练掌握三角形的外角性质和三角形内角和定理是解决问题的关键.20.(2022秋•威县校级月考)综合与探究:【情境引入】(1)如图1,BD,CD分别是△ABC的内角∠ABC,∠ACB的平分线,说明∠D=90°+∠A的理由.【深入探究】(2)①如图2,BD,CD分别是△ABC的两个外角∠EBC,∠FCB的平分线,∠D与∠A之间的等量关系是;②如图3,BD,CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线,BD,CD交于点D,探究∠D与∠A之间的等量关系,并说明理由.【拓展应用】(3)请用以上结论解决下列问题:如图4,在△ABC中,BD,CD分别平分∠ABC,∠ACB,M,N,Q 分别在DB,DC,BC的延长线上,BE,CE分别平分∠MBC,∠BCN,BF,CF分别平分∠EBC,∠ECQ.若∠A=80°,则∠F的度数是.【分析】(1)利用角平分线的定义得出∠1+∠2=(∠ABC+∠ACB),再利用三角形内角和定理即可求解;(2)①利用三角形内角和定理可得∠DBC+∠DCB+∠D=180°,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,利用角平分线的定义可得∠EBD=∠DBC,∠BCD=∠DCF,从而得到∠A﹣2(180°﹣∠D)=﹣180°,化简即可求解;②利用三角形的外角性质可得∠DCE=∠DBC+∠D,∠A+2∠DBC=2∠DCE,从而得到∠A+2∠DBC=2∠DBC+2∠D,化简即可求解;(3)由(1)知:∠D=90°+∠A,即可求出∠A,利用三角形内角和定理可得∠MBC+∠NCB,再利用角平分线的性质可得∠CBE+∠BCE,利用三角形内角和定理可得∠E,再由(2)②可知∠F=∠E,求解即可.【解答】解:(1)∵BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线,∴∠1=∠ABC,∠2=∠ACB,∴∠1+∠2=(∠ABC+∠ACB),∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠1+∠2+∠D=180°,∴∠D=180°﹣∠1﹣∠2=180°﹣(∠ABC+∠ACB),∴∠D=90°+∠A;(2)①∠D与∠A之间的等量关系是:∠D=90°﹣∠A,理由如下:∵BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线,∴∠EBD=∠DBC,∠BCD=∠DCF,∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠ABC=180°﹣2∠DBC,∠ACB=180°﹣2∠DCB,∴∠A+180°﹣2∠DBC+180°﹣2∠DCB=180°,∠DBC+∠DCB=180°﹣∠D,∴∠A﹣2(∠DBC+∠DCB)=﹣180°,∴∠A﹣2(180°﹣∠D)=﹣180°,∴∠A+2∠D=180°,∴∠D=90°﹣∠A,故答案为:∠D=90°﹣∠A;②∠D与∠A之间的等量关系是:∠D=∠A,理由如下:∵BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线,∵∠DCE=∠DBC+∠D,∠A+2∠DBC=2∠DCE,∴∠A+2∠DBC=2∠DBC+2∠D,∴∠A=2∠D,∴∠D=∠A;(3)由(1)知:∠D=90°+∠A,∵∠A=80°,∴∠D=130°,∴∠DBC+∠DCB=50°,∴∠MBC+∠NCB=360°﹣50°=310°,∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN,∴∠CBE+∠BCE=(∠MBC+∠NCB)=155°,∴∠E=180°﹣155°=25°.由(2)②知:∠F=∠E,∴∠F=∠E=12.5°,故答案为:12.5°.【点评】本题考查三角形的外角性质,三角形的内角和定理,角平分线的定义,解题的关键是熟记三角形外角性质,内角和定理,角平分线的定义.21.(2021秋•信丰县校级月考)如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.【分析】要求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数,只要求出∠D+∠1+∠2的度数,利用三角形外角性质得,∠1=∠A+∠E,∠2=∠B+∠C;在△DOF中,∠D+∠1+∠2=180°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠D+∠1+∠2=180°.【解答】解:∵∠1是△AEF的外角,∴∠1=∠A+∠E.∵∠2是△BOC的外角,∴∠2=∠B+∠C.在△DOF中,∠D+∠1+∠2=180°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠D+∠1+∠2=180°.【点评】考查三角形外角性质与内角和定理.将∠A+∠B+∠C+∠D+∠E拼凑在一个三角形中是解题的关键.22.(2020秋•兴义市校级月考)(1)如图1,这是一个五角星ABCDE,你能计算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数吗?为什么?(必须写推理过程)(2)如图2,如果点B向右移动到AC上,那么还能求出∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E的大小吗?若能结果是多少?(可不写推理过程)(3)如图,当点B向右移动到AC的另一侧时,上面的结论还成立吗?(4)如图4,当点B、E移动到∠CAD的内部时,结论又如何?根据图3或图4,说明你计算的理由.【分析】(1)根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠C=∠1,∠B+∠D=∠2,然后利用三角形的内角和定理列式即可得解;(2)根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠D=∠1,在△BCE中,利用三角形的内角和列式计算即可得解;(3)根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠C=∠1,∠B+∠D=∠2,然后利用三角形的内角和定理列式即可得解;(4)延长CE与AD相交,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠C=∠1,∠B+∠E=∠2,然后利用三角形的内角和定理列式即可得解.【解答】解:(1)如图,由三角形的外角性质,∠A+∠C=∠1,∠B+∠D=∠2,∵∠1+∠2+∠E=180°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°;(2)如图,由三角形的外角性质,∠A+∠D=∠1,∵∠1+∠DBE+∠C+∠E=180°,∴∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E=180°;(3)如图,由三角形的外角性质,∠A+∠C=∠1,∠B+∠D=∠2,∵∠1+∠2+∠E=180°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°;(4)如图,延长CE与AD相交,由三角形的外角性质,∠A+∠C=∠1,∠B+∠E=∠2,∵∠1+∠2+∠D=180°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,三角形内角和定理,比较简单,关键在于准确识图,理清图中各角度之间的联系与转化.23.(2022秋•冷水滩区校级月考)认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段,完成所提出的问题.探究1:如图1,在△ABC中,O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点,通过分析发现∠BOC=90°+∠A,理由如下:∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,∴∠1=∠ABC,∠2=∠ACB,∴∠1+∠2=(∠ABC+∠ACB)=(180°﹣∠A)=90°﹣∠A,∴∠BOC=180°﹣(∠1+∠2)=180°﹣(90°﹣∠A)=90°+∠A.(1)探究2:如图2中,O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点,试分析∠BOC与∠A有怎样的关系?请说明理由.(2)探究3:如图3中,O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点,则∠BOC与∠A有怎样的关系?(直接写出结论)(3)拓展:如图4,在四边形ABCD中,O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点,则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系?(直接写出结论)【分析】(1)根据角平分线的定义表示出∠OBC,∠OCD,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ACD和∠OCD,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理即可得解;(2)根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠DBC和∠BCE,再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB,然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解;(3)根据四边形内角和等于360°求出∠ABC+∠BCD,再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB,然后利用三角形内角和定理列式整理即可得解.【解答】解:(1)探究2结论:∠BOC=∠A.理由如下:∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线,∴∠OBC=∠ABC,∠OCD=∠ACD,又∵∠ACD是△ABC的一个外角,∴∠ACD=∠A+∠ABC,∴∠OCD=(∠A+∠ABC)=∠A+∠ABC=∠A+∠OBC,又∵∠OCD是△BOC的一个外角,∴∠BOC=∠OCD﹣∠OBC=∠A+∠OBC﹣∠OBC=∠A;(2)探究3:结论∠BOC=90°﹣∠A.根据三角形的外角性质,∠DBC=∠A+∠ACB,∠BCE=∠A+∠ABC,∵O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点,∴∠OBC=∠DBC,∠OCB=∠BCE,∴∠OBC+∠OCB=(∠DBC+∠BCE)=(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC),∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°,∴∠OBC+∠OCB=90°+∠A,在△OBC中,∠BOC=180°﹣(∠OBC+∠OCB)=180°﹣(90°+∠A)=90°﹣∠A;(3)拓展:结论∠BOC=(∠A+∠D).在四边形ABCD中,∠ABC+∠BCD=(360°﹣∠A﹣∠D),∵O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点,∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠BCD,∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠BCD)=(360°﹣∠A﹣∠D),在△OBC中,∠BOC=180°﹣(∠OBC+∠OCB)=180°﹣(360°﹣∠A﹣∠D)=(∠A+∠D),即∠BOC=(∠A+∠D).【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,三角形的内角和定理,角平分线的定义,整体思想的利用是解题的关键.24.(2023•东兴区校级二模)如图①,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P.(1)如果∠A=80°,求∠BPC的度数;(2)如图②,作△ABC外角∠MBC,∠NCB的角平分线交于点Q,试探索∠Q、∠A之间的数量关系.(3)如图③,延长线段BP、QC交于点E,△BQE中,存在一个内角等于另一个内角的2倍,求∠A的度数.【分析】(1)运用三角形的内角和定理及角平分线的定义,首先求出∠PBC+∠PCB,进而求出∠BPC即可解决问题;(2)根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN,再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ,最后根据三角形内角和定理即可求解;(3)在△BQE中,由于∠Q=90°﹣∠A,求出∠E=∠A,∠EBQ=90°,所以如果△BQE中,存在一个内角等于另一个内角的2倍,那么分四种情况进行讨论:①∠EBQ=2∠E=90°;②∠EBQ=2∠Q=90°;③∠Q=2∠E;④∠E=2∠Q;分别列出方程,求解即可.【解答】(1)解:∵∠A=80°.∴∠ABC+∠ACB=100°,∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点,∴∠P=180°﹣(∠ABC+∠ACB)=180°﹣×100°=130°,(2)∵外角∠MBC,∠NCB的角平分线交于点Q,∴∠QBC+∠QCB=(∠MBC+∠NCB)=(360°﹣∠ABC﹣∠ACB)=(180°+∠A)=90°+∠A∴∠Q=180°﹣(90°+∠A)=90°﹣∠A;(3)延长BC至F,∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线,∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线,∴∠ACF=2∠ECF,∵BE平分∠ABC,∴∠ABC=2∠EBC,∵∠ECF=∠EBC+∠E,∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E,即∠ACF=∠ABC+2∠E,又∵∠ACF=∠ABC+∠A,∴∠A=2∠E,即∠E=∠A;∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ=∠ABC+∠MBC=(∠ABC+∠A+∠ACB)=90°.如果△BQE中,存在一个内角等于另一个内角的2倍,那么分四种情况:①∠EBQ=2∠E=90°,则∠E=45°,∠A=2∠E=90°;②∠EBQ=2∠Q=90°,则∠Q=45°,∠E=45°,∠A=2∠E=90°;③∠Q=2∠E,则90°﹣∠A=∠A,解得∠A=60°;④∠E=2∠Q,则∠A=2(90°﹣∠A),解得∠A=120°.综上所述,∠A的度数是90°或60°或120°.【点评】本题是三角形综合题,考查了三角形内角和定理、外角的性质,角平分线定义等知识;灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键.五.多边形内角与外角(共6小题)25.(2021秋•盖州市校级月考)如果一个多边形的内角和等于1800°,则这个多边形是边形;如果一个n边形每一个内角都是135°,则n=;如果一个n边形每一个外角都是36°,则n =.【分析】n边形的内角和可以表示成(n﹣2)•180°,设这个正多边形的边数是n,就得到方程,从而求出边数.【解答】解:这个多边形的边数是n,则(n﹣2)•180°=1800°,解得:n=12,则这个多边形是12.如果一个n边形每一个内角都是135°,∴每一个外角=45°,则n==8,如果一个n边形每一个外角都是36°,则n==10,故答案为:十二,8,10.【点评】此题考查了多边形的内角和定理.注意多边形的内角和为:(n﹣2)×180°.26.(2021秋•河东区校级期末)如图,AD,CE是△ABC的两条高,它们相交于点P,已知∠BAC的度数为α,∠BCA的度数为β,则∠APC的度数是.【分析】利用三角形的内角和定理和三角形的外角性质解决问题即可.【解答】解:∠B=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=180°﹣(α+β),∵AD⊥BC,CE⊥AB,∴∠AEC=∠ADB=90°,∴∠BAD=90°﹣[180°﹣(α+β)]=α+β﹣90°,∴∠APC=∠AEC+∠BAD=α+β故填α+β.【点评】主要考查了三角形的内角和是180度.求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件,同时考查了四边形内角和定理.垂直和直角总是联系在一起.27.(2021秋•仙桃校级月考)如图,在五边形ABCDE中,AP平分∠EAB,BP平分∠ABC.(1)五边形ABCDE的内角和为度;(2)若∠C=100°,∠D=75°,∠E=135°,求∠P的度数.【分析】(1)根据多边形内角和公式求出即可;(2)求出∠EAB+∠ABC,根据角平分线定义求出∠PAB+∠PBA,即可求出答案.【解答】解:(1)五边形ABCDE的内角和为(5﹣2)×180°=540°,故答案为:540;(2)∵在五边形ABCDE中,∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°,∠C=100°,∠D=75°,∠E=135°,∴∠EAB+∠ABC=230°,∵AP平分∠EAB,BP平分∠ABC,∴∠PAB=∠EAB,∠PBA=∠ABC,∴∠PAB+∠PBA=115°,∴∠P=180°﹣(∠PAB+∠PBA)=65°.【点评】本题考查了多边形的内角和外角,能熟记多边形的内角和定理是解此题的关键.28.(2022秋•礼县月考)小明计算一个多边形的内角和时误把一个外角加进去了,得其和为2620°.(1)求这个多加的外角的度数;(2)求这个多边形的边数.【分析】根据多边形的内角和公式(n﹣2)•180°可知,多边形的内角和是180°的倍数,然后求出多边形的边数以及多加的外角的度数即可得解.【解答】解:设多边形的边数为n,多加的外角度数为α,则(n﹣2)•180°=2620°﹣α,∵2620°=14×180°+100°,内角和应是180°的倍数,∴小明多加的一个外角为100°,∴这是14+2=16边形的内角和.故这个多加的外角的度数为100°,这个多边形的边数是16.【点评】本题考查了多边形的内角和公式,根据多边形的内角和公式判断出多边形的内角和公式是180°的倍数是解题的关键.29.(2020秋•夏津县校级月考)如图,AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线.(1)判断∠AOB与∠COD有怎样的数量关系,为什么?(2)若∠AOD=∠BOC,AB、CD有怎样的位置关系,为什么?【分析】(1)根据角平分线的定义得到∠1=DAB,∠2=ABC,∠3=ADC,∠4=BCD,根据四边形的内角和即可得到结论;(2)由(1)证得∠AOB+∠COD=180°,得到∠AOD+∠BOC=180°,根据角平分线的定义得到∠BAD+∠ADC=180°,由平行线的判定定理即可得到结论.【解答】解:(1)∠AOB+∠COD=180°,理由:∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线,∴∠1=DAB,∠2=ABC,∠3=ADC,∠4=BCD,∴∠1+∠2+∠3+∠4=(∠DAB+∠ABC+∠ADC+∠BCD)==180°,∴∠AOB+∠COD=360°﹣∠1﹣∠2﹣∠3﹣∠4=180°;(2)AB∥CD;理由:由(1)证得∠AOB+∠COD=180°,∴∠AOD+∠BOC=180°,∵∠AOD=∠BOC,∴∠AOD=90°,∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线,∴∠OAD+∠ADO=(∠BAD+∠ADC)=90°,∴∠BAD+∠ADC=180°,∴AB∥CD.【点评】本题考查了多边形的内角和外角,平行线的判定,角平分线的定义,正确的识别图形是解题的关键.30.(2019秋•广丰区校级月考)请你参与下面探究过程,完成所提出的问题.(1)探究1:如图1,P是△ABC的内角∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点,若∠A=70°,则∠BPC=度;(2)探究2:如图2,P是△ABC的外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BP和CP的交点,求∠BPC与∠A的数量关系?并说明理由.(3)拓展:如图3,P是四边形ABCD的外角∠EBC与∠BCF的平分线BP和CP的交点,设∠A+∠D =α.①直接写出∠BPC与α的数量关系;②根据α的值的情况,判断△BPC的形状(按角分类).。
人教版八年级上册数学第11章 三角形 阶段题型专训 三角形三边关系应用的六种常见题型
7.已知 a,b,c 为一个三角形的三边长,化简:|b+c-a|+ |b-c-a|-|c-a-b|-|a-b+c|. 解:∵a,b,c 为一个三角形的三边长, ∴b+c>a,a+c>b,a+b>c. ∴b+c-a>0,b-c-a<0,c-a-b<0,a-b+c>0. ∴|b+c-a|+|b-c-a|-|c-a-b|-|a-b+c|=(b+c-a)- (b-c-a)+(c-a-b)-(a-b+c)=b+c-a-b+c+a+c-a- b-a+b-c=2c-2a.
解:设第三根木棒长xm, 由三角形的三边关系可得5-3<x<5+3,即2<x<8. 故规格为3m,4m,5m,6m的四种木棒可供小明的爷爷选择.
(2)在能做成三角形支架的情况下,选择哪一种规格的木棒最省钱?
解:选择规格为3m长的木棒最省钱.
4.(2018·宿迁)若实数 m,n 满足等式|m-2|+ n-4=0,且 m,
3.某木材市场上木棒规格与价格如下表: 规格 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m
价格/(元/根) 10 15 20 25 30 35 小明的爷爷要做一个三角形的支架养鱼用,现有两根长度为 3 m 和 5 m 的木棒,还需要到该木材市场上购买一根.
(1)有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择?
n 恰好是等腰三角形 ABC 的两条边的长,则△ABC 的周长
是( )
A.12
B.10
C.8
D.6
【点拨】∵|m-2|+ n-4=0, ∴m-2=0,n-4=0,解得 m=2,n=4. 当腰长为 2 时,三边长为 2,2,4,不符合三角形的三边关系; 当腰长为 4 时,三边长为 2,4,4,符合三角形的三边关系,周 长为 2+4+4=10.
人教版八年级上册第12章利用三边判定三角形全等(教案)
同学们,今天我们将要学习的是《利用三边判定三角形全等》这一章节。在开始之前,我想先问大家一个问题:“你们在日常生活中是否遇到过需要判断两个三角形是否完全相同的情况?”比如,在制作家具或搭建模型时,我们需要确保两个三角形的尺寸完全一样。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题,我希望能够引起大家的兴趣和好奇心,让我们一同探索三角形全等的奥秘。
人教版八年级上册第12章利用三边判定三角形全等(教案)
一、教学内容
人教版八年级上册第12章《利用三边判定三角形全等》主要内容包括:
1.三角形全等的定义及判定条件;
2.三角形全等的基本方法:SSS(Side-Side-Side)判定法则;
3.利用SSS判定法则判定两个三角形全等;
4.实际问题中的应用:利用三边判定三角形全等解决生活中的问题。
此外,我还发现部分学生在解决实际问题时,不能将所学知识灵活运用。针对这一问题,我打算在后续的教学中,增加一些与生活密切相关的例题,让学生在解题过程中学会如何将理论知识应用于实际。
举例:针对难点,教师可以设计以下教学活动:
-通过动态演示或实物模型,帮助学生理解对应边的概念;
-提供具有挑战性的图形,指导学生如何从复杂信息中筛选出关键的三个边;
-分步骤示ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ证明过程,强调每一步的逻辑关系;
-创设情境,如模拟测量学校操场的三角形区域,让学生将SSS法则应用于实际问题的解决中。
四、教学流程
3.成果展示:每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
(四)学生小组讨论(用时10分钟)
1.讨论主题:学生将围绕“三角形全等在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法,并与其他小组成员进行交流。
数学人教版八年级上册12.2.1 利用三边判定三角形全等
12.2 全等三角形的判定
第1课时 利用三边判定 三角形全等
1 课堂讲解 判定两三角形全等的基本事实:“边边边”
全等三角形判定“边边边”的简单应用
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
回顾旧知
1、 什么叫全等三角形? 能够完全重合的两个三角形叫 全等三角形.
2、 全等三角形有什么性质? 对应边相等, 对应角相等.
然不全等, 我们可以利用等式的性质将它转化为
证∠BAD=∠CAE; 由已知的三组相等线段可证
明△ABD≌△ACE, 根据全等三角形的性质可得
∠BAD=∠CAE.
(来自《点拨》)
证明: 在△ABD和△ACE中,
AB=AC,
AD=AE,
BD=CE,
∴△ABD≌△ACE(SSS),
∴∠BAD=∠CAE.
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,
即∠BAC=∠DAE.
知2-讲
总结
知2-讲
综合法: 利用某些已经证明过的结论和性质及已知条件, 推导出所要证明的结论成立的方法叫综合法.其思维特点是: 由因索果, 即从已知条件出发, 利用已知的数学定理、性质和 公式, 推出结论.本书的证明基本上都是用综合法.
B.DE=BD
C.BF=DB
D.以上都不对
知1-练
(来自《典中点》)
3 如图, C 是AB 的中点, AD=CE, CD=BE。 求证△ACD ≌△ CBE.
知1-练
(来自教材)
证明: ∵ C是AB的中点, ∴ A C=CB. 在△ACD和△CBE中 AC=C B, AD=CE , CD= BE , ∴ △ACD≌△CBE(SSS).
新人教版数学八年级上册 小专题(一) 巧用三角形的三边关系
小专题( 一)巧用三角形的三边关系“三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”是常考的重要知识点之一.解题时注意方程思想和分类讨论思想的应用,注意根据题意列方程( 组)或不等式( 组)进行求解,解题时容易忽视检验所得的三角形是否存在,巧用三角形的三边关系往往能化难为易,起到事半功倍的解题效果.类型1判断三条线段是否能组成三角形判断三条线段能否组成三角形,就是判断三条线段的长是否满足三角形的三边关系.若三角形三边长分别为a,b,c,且a<b<c,直接比较“a+b”与“c”的大小即可.1.判断下列所给的三条线段能否围成三角形.( 1 )5,5,a( 0<a<10 );( 2 )a+1,a+2,a+3;( 3 )三条线段的长度之比为2∶3∶5.解:( 1 )∵0<a<10,∴5+5>a,因而能组成三角形.( 2 )当a=0时,a+1+a+2=2a+3=3,因而不能组成三角形.( 3 )设三条线段的长度为2k,3k,5k,∵2k+3k=5k,∴不能组成三角形.类型2确定三角形的个数确定三角形的个数时,要关注两点:( 1 )三条线段排列组合时,要做到所有情况“不重不漏”;( 2 )在所列举的情况中,必须要满足三角形的三边关系.2.以长度为5 cm,7 cm,9 cm,13 cm的线段中的三条为边,能组成三角形的情况有( B)A.2种B.3种C.4种D.5种3.边长为整数并且最大边长是5的三角形共有8个.类型3确定三角形第三边的长度确定三角形第三边的长度,一般可以转化为解一元一次不等式或一元一次不等式组来解决问题.4.小茗准备用一段长为30 m的篱笆围成一个三角形形状的场地,用于饲养长毛兔,已知第一条边长为a m,由于受地势限制,第二条边长只能是第一条边长的2倍多2 m.( 1 )请用a表示第三条边长.( 2 )问第一条边长可以为7 m吗?请说明理由.解:( 1 )第三条边长为30-a-( 2a+2 )=( 28-3a)m.( 2 )第一条边长不可以为7 m.理由:当a=7时,三边长分别为7,16,7,∵7+7<16,∴不能构成三角形,即第一条边长不可以为7 m.5.已知a,b,c是△ABC的三边长,a=6,b=8,设三角形的周长是x.( 1 )直接写出c及x的取值范围;( 2 )若x是小于24的偶数,求c的值,并判断△ABC的形状.解:( 1 )2<c<14;16<x<28.( 2 )因为周长为小于24的偶数,所以x=18或20或22.当x=18时,c=4;当x=20时,c=6;当x=22时,c=8.综上,c的值为4或6或8.当c=6时,a=c,△ABC为等腰三角形;当c=8时,b=c,△ABC为等腰三角形;当c=4时,△ABC为不等边三角形.类型4确定等腰三角形的边长解决这类题的核心策略是“分类讨论法”,分类讨论之后再检验是否满足三角形的三边关系,这类题型属于易错题,解题的时候要切记:分类必检验.6.( 改编)一个三角形的两条边相等,周长为18 cm,若三角形一边长为4 cm,则另外两边长分别为7 cm,7 cm.7.在△ABC中,AB=AC,边AC上的中线BD把三角形的周长分为10 cm和18 cm两部分,求△ABC各边的长.解:设等腰三角形的腰长AB=AC=2x cm,BC=y cm,∵BD是腰上的中线,∴AD=DC=x cm.若AB+AD=10 cm,则解得x=,y=,此时三边不能组成三角形,应舍去.若AB+AD=18 cm,则解得∴AB=AC=12 cm,BC=4 cm,即△ABC各边的长分别为12 cm,12 cm和4 cm.类型5在代数中的应用8.已知a,b,c是△ABC的三边,a,b满足|a-4|+( b-2 )2=0,c为奇数,求△ABC的周长.解:∵|a-4|+( b-2 )2=0,∴a-4=0且b-2=0,∴a=4,b=2,∴2<c<6.∵c为奇数,∴c=3或5,∴△ABC的周长为4+2+3=9或4+2+5=11.9.已知a,b,c为△ABC的三边,化简:|a+b-c|+|b-c-a|-|c-a+b|.解:∵a,b,c为△ABC的三边长,∴a+b-c>0,b-c-a<0,c-a+b>0,∴原式=a+b-c-b+c+a-c+a-b=3a-b-c.10.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,若a=5,b=4,c=3,试化简并求出下列式子的值:|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|-|a-b+c|.解:∵a,b,c是三角形的三边长,∴b+c-a>0,b-c-a<0,c-a-b<0,a-b+c>0,∴原式=b+c-a-b+c+a-c+a+b-a+b-c=2b=2×4=8.类型6证明线段之间的不等关系11.如图,在△ABC中,点D在AB上,点O在CD上,求证:AB+AC>OB+OC.证明:∵在△BOD中,BD+OD>OB,∴BD+OD+OC>OB+OC,即BD+CD>OB+OC.又∵在△ACD中,AD+AC>CD,∴AD+AC+BD>CD+BD,即AB+AC>CD+BD,∴AB+AC>CD+BD>OB+OC.12.如图,P为△ABC中任意一点.证明:AB+BC+CA>PA+PB+PC>( AB+BC+CA).证明:延长BP交AC于点D.∵在△ABD中,AB+AD>PB+PD,在△DPC中,DP+DC>PC,∴AB+AD+DP+DC>PB+PD+PC,∴AB+CA>PB+PC.同理AC+BC>PA+PB,AB+BC>PA+PC,∴2AB+2AC+2BC>2PA+2PB+2PC,即AB+BC+CA>PA+PB+PC.又∵PA+PB>AB,PB+PC>BC,PC+PA>CA,∴2( PA+PB+PC)>AB+BC+CA,∴PA+PB+PC>( AB+BC+CA),∴AB+BC+CA>PA+PB+PC>( AB+BC+CA).。
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类型 5 利用三角形的三边关系说明线段的不等关系
11.如图,已知D,E为△ABC内两点,试说明: AB+AC>BD+DE+CE.
如图,将DE向两边延长分别交AB,AC于 点M,N,在△AMN中,AM+AN>MD +DE+NE;① 在△BDM中,MB+MD>BD;② 在△CEN中,CN+NE>CE;③ ①+②+③,得AM+AN+MB+MD+ CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE,所 以AB+AC>BD+DE+CE.
习题课 阶段方法技巧训练(一)
专训1 三角形三边关 系的巧用
三角形的三边关系应用广泛,利用三边关系可 以判断三条线段能否组成三角形、已知两边长求第 三边的长或取值范围、证明线段不等关系、化简绝 对值、求解等腰三角形的边长及周长等问题.
类型 1 判断三条线段能否组成三角形
1. 【西宁】下列每组数分别是三根木棒的 长度,能用它们摆成三角形的是( ) A.3 cm,4 cm,8 cm B.8 cm,7 cm,15 cm C.5 cm,5 cm,11 cm D.13 cm,12 cm,20 cm
且满足 |a-4| + b 2 =0,则c的值可以
为( )
A.5
B.6
C.7
D.8
b2
同类变式
5.如果三角形的两边长分别为3和5,则周长l的取值范
围是( )
A.6<l<15
B.6<l<16
C.11<l<13
D.10<l<16
6.一个三角形的两边长分别为5 cm和3 cm,第三边的
长是整数,且周长是偶数,则第三边的长是( )
A.2 cm或4 cm
B.4 cm或6 cm
C.4 cm
D.2 cm或6 cm
类型 3 解答等腰三角形相关问题
7.【宿迁】若等腰三角形中有两边长分别为
2和5,则这个三角形的周长为( )
A.9
B.12
C.7或9
D.9或12
同类变式
8.【衡阳】已知等腰三角形的两边长分别为5和
6,则这个等腰三角形的周长为( )
------------------------- 赠予 ------------------------
【幸遇•书屋】
你来,或者不来 我都在这里,等你、盼你 等你婉转而至 盼你邂逅而遇
你想,或者不想 我都在这里,忆你、惜你 忆你来时莞尔 惜你别时依依
你忘,或者不忘 我都在这里,念你、羡你 念你袅娜身姿 羡你悠然书气
A.11
B.16
C.17
D.16或17
同类变式
9.已知在△ABC中,AB=5,BC=2,且AC的长为 奇数. (1)求△ABC的周长; (2)判断△ABC的形状.
(1)因为AB=5,BC=2, 所以3<AC<7. 又因为AC的长为奇数,所以AC=5. 所以△ABC的周长为5+5+2=12.
(2)△ABC是等腰三角形.
和其中的一字一句 幸遇只因这一次
被你拥抱过,览了 被你默诵过,懂了 被你翻开又合起 被你动了奶酪和心思
不舍你的过往 和过往的你 记挂你的现今 和现今的你 遐想你的将来 和将来的你 难了难了 相思可以这一世
类型 4 三角形的三边关系在代数中的应用
10.已知a,b,c是△ABC的三边长,b,c满足 (b-2)2+|c-3|=0,且a为方程|x-4|=2的解, 求△ABC的周长.
解:
由a为方程|x-4|=2的解,可知a-4=2或 a-4=-2,即a=6或a=2. 当a=6时,有2+3<6,不能组成三角形, 故舍去; 当a=2时,有2+2>3,符合三角形的三 边关系. 所以a=2,b=2,c=3. 所以△ABC的周长为2+2+3=7.
人生若只如初见 任你方便时来
随你心性而去
却为何,有人 为一眼而愁肠百转 为一见而不远千里
晨起凭栏眺 但见云卷云舒 风月乍起 春寒已淡忘 如今秋凉甚好 几度眼迷离
感谢喧嚣 把你高高卷起 砸向这一处静逸 惊翻了我的万卷
------------------- 谢谢喜欢 ---------------------
同类变式
2.【河池】下列长度的三条线段不能组成
三角形的是( )
A.5,5,10
B.4,5,6
C.4,4,4
的长度比,则能组成
三角形的是( )
A.1∶2∶3
B.1∶1∶2
C.1∶3∶4
D.2∶3∶4
类型 2 求三角形第三边的长或取值范围
4.【盐城】若 a,b,c 为 △ABC的三边长,