高考数学二轮复习极坐标与参数方程学案(含解析)

高考数学二轮复习极坐标与参数方程学案（含解析）

考向一：极坐标方程

极坐标

一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 极坐标与直角坐标的互化

设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：

⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝□01ρcos θ，y ＝□

02ρsin θ；⎩

⎪⎨

⎪⎧

ρ2＝□

03x 2＋y 2，tan θ＝□04y x x ≠0.

1、［2016•全国Ⅱ，23］在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2

＝25.

(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； (2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨

⎪

⎧

x ＝t cos α，y ＝t sin α

(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，

求l 的斜率．

解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2

＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．

设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2

＋12ρcos α＋11＝0.

于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.

|AB |＝|ρ1－ρ2|＝

ρ1＋ρ2

2

－4ρ1ρ2

＝144cos 2

α－44.

由|AB |＝10得cos 2

α＝38，tan α＝±153.

所以l 的斜率为

153或－153

. 解法二：将l 的参数方程代入C 的方程得

于是t 1＋t 2＝－12cos α，t 1t 2＝11. |AB |＝|t 1－t 2|＝144cos 2

α－44

由|AB |＝10得cos 2

α＝38，tan α＝±153

.

所以l 的斜率为

153或－153

. 条件探究：若直线l 的极坐标方程为θ＝π

4(ρ∈R )，l 与C 交于M ，N 两点，求△CMN 的

面积．

设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2

＋ρ

＋11＝0.

于是ρ1＋ρ2＝－，ρ1ρ2＝11.

|AB |＝|ρ1－ρ2|＝

ρ1＋ρ2

2

－4ρ1ρ2＝

圆C 的半径为5，△CMN 的面积为

.

2、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，(2,)4B π

，

(2,)4

C 3π，(2,)

D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2

π

，(1,)π，曲线1M 是弧

AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．

（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；

（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||3OP =

，求P 的极坐标．

【答案】（1）1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛

⎫

=≤≤

⎪⎝

⎭

，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤

⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫

=-≤≤

⎪⎝⎭

． （2）π3,

6⎛

⎫ ⎪⎝

⎭或π3,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或2π3,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或5π3,6⎛⎫

⎪⎝

⎭． 【解析】（1）由题设可得，弧,,AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，

2sin ρθ=，2cos ρθ=-．

所以的极坐标方程为，的极坐标方程为

（21）知

综上，P 3、［2017•全国Ⅱ，22］在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建

立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.

(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；

(2)设点A 的极坐标为⎝

⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．

解 (1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4

cos θ

.

由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)．

因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2

＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．

由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积

S ＝12|OA |·ρB ·sin∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪

⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3.

当α＝－π

12时，S 取得最大值2＋ 3.

所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.

4、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O

l P ．