微积分第一类换元法

解 令u 5x, 则du 5dx,从而dx 1 du,
5
e5xdx 1 eudu 5 1 eu C 5 1 e5x C. 5
例1 求 e5xdx
解 Q e5x 1 e5x (5x) 5
e5xdx 1 e5x (5x)dx 5
1 e5xd (5x) 5 1 e5x C.
解
原式
1 2a
Байду номын сангаас
(
x
1
a
x
1
a
)dx
1 ln x a C. 2a x a
令：u (x) x2 a2可以吗？
a2
1
x2
dx
?
例11 求 tan xdx
解
tan
xdx
sin cos
x dx x
1 cos
d (cos x
x)
ln
cos
x
C.
类似可证: cot xdx ln sin x C.
b).
1. (1 x)100dx
3. 2xex2 dx
x
2. 1 x2 dx
4.
e
x
x
dx
5. xsin(3x2 5)dx
6. esin2 x sin 2xdx
常见类型:
1. f ( xn1 )xndx; 3. f (ln x) dx;
x 5. f (sin x)cos xdx;
2. f ( x ) dx; x
C;
解（二） sin 2xdx 2 sin xcos xdx 2 sin x(sin x)dx
2 sin xd(sin x) sin x2 C;
解（三） sin 2xdx 2 sin x cos xdx
2 cos x(cos x)dx 2 cos xd(cos x)
cos x2 C.
1 2x 2 1 2x
原式 1 1 d (1 2x) 2 12x
1 ln 1 2x C. 2
例4 求 x cos(x2 )dx
解 令u x2 , 则du 2xdx,从而dx 1 du,
2x
原式 1 cos udu 2 1 sin u C 2
1 sin(x2 ) C. 2
1 2
(3
2
x)3
d
(3
2x)
1 (3 2x)4 C.
8
例3 求
1 dx 1 2x
解 令u 1 2x,则du 2dx,从而dx 1 du,
2
原式
1 2
1du u
1 ln u C 2
1 ln 1 2x C. 2
例3 求
1 dx 1 2x
解 Q 1 1 1 (1 2x)
例12 求 csc xdx.
解（一） csc xdx
1 sin
x
dx
2sin
1 x cos
x
dx
tan
x 2
1 cos
x 2
2
d
x 2
1 tan
x
d
2 tan
x 2
2
2
ln
tan
x 2
tan x sin
例4 求 x cos(x2 )dx
解 Q x cos(x2 ) 1 cos(x2 ) (x2 ) 2
原式 1 cos(x2 ) (x2 ) ' dx 2 1 cos(x2 )d (x2 ) 2 1 sin(x2 ) C. 2
例5 求
sin x dx x
解 Q sin x 2sin x ( x), x
4.2 基本积分法
• 一、换元积分法 • 1、第一类换元积分法(凑微分法) • 2、第二类换元积分法 • 二、分部积分法
一、换元积分法
1. 第一类换元积分法(凑微分法)
问题: cos2xdx sin 2x C,
解决方法: 利用复合函数，设置中间变量.
过程: 令u 2x du 2dx dx 1 du,
例8 求
1 dx(a 0) a2 x2
解
a
1 dx 1 ( x )2
a
1
x
d( ) 1 ( x )2 a
a
arcsin x C. a
例9 求
a2
1
x 2 dx .
解
1 a2
1
1
x a2
2dx
1 a
1
1
x a
2d
x a
1 arctan x C.
a
a
例10
求
1 x2 a2 dx.
1
1
x2
dx
d (
), x
exdx d (ex ),
cosxdx d(sin x),
1 sin 2
x
dx
d
(cot
x),
1 cos2x dx d (tan x).
例7 求 sin 2xdx.
解（一）
sin
1 2
2 xdx
sin 2
xd
1 2
(2
sin 2x(2x)dx
x) 1 cos 2x 2
cos
2
xdx
1 2
2
cosudu 1 sin u C 1 sin 2x C.
2
2
在一般情况下：
设 F (u) f (u), 则 f (u)du F (u) C.
如果 u ( x)（可微） dF[ ( x)] f [ ( x)] ( x)dx
f [ ( x)]( x)dx F[( x)] C [ f (u)du]u ( x) 由此可得换元法定理
f (1)
4.
x x2
dx;
6. f (a x )a xdx;
7. f (tan x) sec2 xdx;
f (arctan x) 8. 1 x2 dx;
dx 1 d(ax b), a
1 dx d(ln x), x
1 dx 2d ( x), x
sin xdx d(cos x),
xdx 1 d (x2 ), 2
定理1 设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u)du]u ( x)
第一类换元公式（凑微分法） 说明: 使用此公式的关键在于将
g( x)dx 化为 f [(x)](x)dx f [(x)]d[(x)].
例1 求 e5xdx
5
例2 求 (3 2x)3dx
解 令u 3 2x, 则du 2dx,从而dx 1 du,
2
原式
1 2
u3du
1u4 C
8
1 (3 2x)4 C.
8
例2 求 (3 2x)3dx
解 Q (3 2x)3 1 (3 2x)3 (3 2x) 2
原式 1 (3 2x)3 (3 2x)dx 2
原式 2 sin xd( x)
2 cos x C.
1
例6 求
dx. 3 2 3x
解
1
1
(2
1
3x) 3
(2
3x),
3 2 3x 3
原式 1
1
(2 3x) 3d(2 3x)
3
1
3
(2
2
3x)3
C
1
(2
2
3x) 3
C.
32
2
一般地
f (ax b)dx
1 a
f
(ax
b)d(ax