微积分第一类换元法

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《微积分》第二节不定积分的第一类换元积分法

(sin2 x 2sin4 x sin6 x)d(sin x)
1 sin3 x 2 sin5 x 1 sin7 x C .
3
5
7
说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.
例17 . 求
解: cos4 x (cos2 x)2 (1 cos 2x)2
2
1 4
(1
2
例4. 求解:
d x
a
1
(
x a
)2
d(
x a
)
1
(
x a
)
2
想到
du 1u2
arcsin u
C
f [ ( x)] ( x)dx f ( (x))d (x)
(直接配元)
例5. 求解:
sin cos
xdx x
dcos x cos x
类似地,
cos x dx sin x
d sin x sin x
2a xa
例7. 求
解: 原式 =
1
dln x 2 ln
x
1 2
d(1 2 ln x 1 2 ln x
)
例8. 求
e3
x
dx.
x
解: 原式 = 2 e3 x d x 2 e3 x d(3 x) 3
2 e3 x C
3
例9 求
(1
1 x2
x 1
)e xdx.
解
x
1 x
1
1 x2
解
(1
x x
)3
dx
x 1 (1 x)
31dx
[ (1
1 x)2
(1
1 x)3
]d (1

换元积分法 (一)1

例
求 xe x2 dx
解
设 u x2 则
du 2xdx
1 du xdx 2
Байду номын сангаас
xe x2 dx
1 u x2
e udu
2
1 eu C 2
1 ex2 C 2
例
求 x 1 x2 dx
解
x 1 x2 dx 1 1 x2 (1 x2 )dx 2
1
1
x2
d (1
x2
u1 x2
微积分II
Calculus II
第六章不定积分
§6.1 不定积分的概念和性质
§6.2 积分基本公式 §6.3 换元积分法 §6.4 分部积分法
6.3 换元积分法（一）
一第一类换元法(凑微分法)
1 定理三
设函数 f (u) 有原函数F (u)，且函数u ( x ) 可导，则 F ( ( x )) 是 f ( ( x )) '( x ) 的一个原函数，且有换元积
2
f
(
x )d
x
(4) f (e x )e xdx f (e x )dex
其他常见形式见教材。
)
1
udu
2
2
1
3
u2
C
1
(1
x2
3
)2
C
3
3
由此例题可知，第一换元法的变量代换可以不写出来，
而直接通过凑微分求出原函数.
用凑微分求不定积分时,下列凑微分形式是常用的
(1) f (ax b)dx 1a f (ax b)d (ax b)
(2)
x
dx
1
dx 1
1
(3) f (

微积分的公式大全

微积分的公式大全一、极限公式1.无穷小量定义：若当x→0时，Δx是x的函数之一，且满足Δx/x→0，则称Δx为x的一个无穷小量。

2.极限的基本性质：-函数f(x)的极限即为f(x)的左极限和右极限存在且相等的值。

-函数的极限与函数的值在有限点无关，只与趋向于该点的方式有关。

-函数有界，且极限存在，则函数必定有极大值和极小值。

3.基本极限：-极限的四则运算规则：设x→x0时有f(x)→A，g(x)→B，则f(x)±g(x)→A±B，f(x)g(x)→AB，f(x)/g(x)→A/B。

- 幂函数极限：若m是正整数，则lim(x→a) (x^m) = a^m。

- e 的指数函数极限：lim(x→∞) (1+1/x)^x = e。

- 自然对数函数极限：lim(x→0) (ln(1+x)/x) = 1-三角函数极限：- lim(x→0) (sinx/x) = 1- lim(x→0) (cosx-1)/x = 0。

四、导数公式1. 基本定义：函数 y=f(x) 在 x0 处可导，当且仅当函数在 x0 处存在极限lim(x→x0) (f(x)-f(x0))/(x-x0)，即导数 f'(x0) 存在。

2.基本导数：- 常数函数的导数为 0：d/dx(c) = 0。

- 幂函数的导数：d/dx(x^n) = nx^(n-1)。

- 指数函数的导数：d/dx(e^x) = e^x。

- 对数函数的导数：d/dx(loga(x)) = 1/(xln(a))。

-三角函数的导数：- d/dx(sin(x)) = cos(x)。

- d/dx(cos(x)) = -sin(x)。

- d/dx(tan(x)) = sec^2(x)。

-反三角函数的导数：- d/dx(arcsin(x)) = 1/√(1-x^2)。

- d/dx(arccos(x)) = -1/√(1-x^2)。

- d/dx(arctan(x)) = 1/(1+x^2)。

第一类积分换元法

第一类积分换元法第一类积分换元法是求解不定积分中常用的一种方法。

通过巧妙地引入新的变量，可以将原来的积分问题转化为更易求解的形式。

以下将详细介绍第一类积分换元法的原理、步骤和应用。

首先，让我们来了解第一类积分换元法的原理。

在使用这种方法时，关键是要找到合适的替代变量。

设原函数为F(x)，要求的不定积分为∫f(x)dx。

我们通过引入新的变量u，将x表示为u的函数，即x=g(u)。

然后，我们对F'(x)进行变量替换，得到F'(x)dx=∫f(x)dx。

接下来，我们对F(u)进行求导，得到F'(u)du=∫f(g(u))g'(u)du。

此时，我们可以发现，如果选取u作为新的积分变量，那么f(g(u))g'(u)du就是我们要求的不定积分。

接下来，我们来具体讨论第一类积分换元法的步骤。

首先，选择适当的变换u=g(x)，使得f(x)dx可以表示为g(u)du。

其次，对u进行求导得到du/dx=g'(x)，可以解出dx=du/g'(x)。

然后，将原不定积分∫f(x)dx转化为新变量u的积分∫g(u)du。

最后，将得到的积分结果F(u)表示为关于原变量x的形式F(x)，即可求得所要的不定积分。

第一类积分换元法具有广泛的应用。

例如，在求解含有根式的积分时，通过引入新的变量可以将其转化为更简单的形式。

另外，对于一些复杂的三角函数积分，也常常可以通过合理的选择变量进行简化。

此外，在解决一些带有参数的积分问题时，第一类积分换元法也能够发挥重要的作用。

然而，需要注意的是，在实际应用中，选择合适的变量往往是比较困难的。

这要求我们对函数的性质有深入的了解，并能够灵活运用数学方法。

因此，在使用第一类积分换元法时，需要经过大量的练习和实践，才能熟练运用并解决相应的积分问题。

综上所述，第一类积分换元法是求解不定积分中常用且有指导意义的方法。

通过巧妙地引入新的变量，可以将原积分问题转化为更易求解的形式。

[微积分常用公式]学好微积分的技巧换元公式如何运用

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相关资料一: 学好微积分的技巧换元公式如何运用学好微积分的技巧换元公式如何运用第一类换元法，也称为凑微分法，顾名思义，就是把f[g(x)]g’(x)dx转化为f[g(x)d(g(x))的形式，所以用好这一方法的关键就是把给定的积分里的被积分式写成f[g(x)]g’(x)dx。

要求对基本初等函数的导数，基本初等函数与其导数的关系很清楚（比如有些函数求导后，函数的形式不变，像露幂函数，指数函数）。

除此，多项式的因式分解，三角函数恒等式等等都会用到。

学习的方法就是多做题，多看典型的例题，并做好总结。

第二类换元法，模式是把f(x)dx经过代换x＝g(t)转化为f[g(t)]g’(t)dt，求出原函数后再回代x＝g(t)的反函数t＝h(x)。

常用的代换是根式代换，三角代换，倒代换。

适用于含有简单的根式，根式下是一次函数，如1/（√x+1）的积分，就可以考虑把√x代换；或被积函数里有√（a±x），√（x－a）；还有些题目可以适用到代换，把1/x代换一下，如1/（x√（1+x））的积分。

熟能生巧！！相关资料二: 微积分常用公式及运算法则(下册)同济二版微积分(下)微积分公式等价无穷小：当x→0时,x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx ～ln(1+x)～ex1;21?cosx～x2;(1+x)a?1～ax(a≠0);ax?1～xlna(a>0,a≠1).基本积分表∫kdx=kx+C(k=1时,∫dx=x+C)∫xμdx=xμ+1μ+1+C∫1xdx=ln|x|+C∫11+x2dx=arctanx+Cx=arcsinx+C∫cosxdx=sinx+C∫sinxdx=?cosx+C∫1sec2cos2xdx=∫xdx=tanx+C∫1sin2xdx=∫csc2xdx=?cotx+C∫secxtanxdx=secx+C∫cscxcotxdx=?cscx+C ∫exdx=ex+C∫xdx=axalna+C(a>0,a≠1)∫sinhxdx=coshx+C∫coshxdx=sinhx+C不定积分线性运算法则∫[αu(x)+βv(x)]dx=α∫u(x)dx+β∫v(x)dx不定积分的换元法∫f[?(x)]?′(x)dx=??∫f(u)du?u=(x)∫f(x)dx=[f[υ(t)]υ′(t)dt]t=υ?1(x)积分公式∫dx1xa2+x2=aarctana+C=arcsinxa+C=1barcsinbxa+C(a>0,b>0)∫dxx2?a2=12alnx?ax+a+C∫secxdx=ln|secx+tanx|+C∫cscxdx=ln|cscx?cotx|+C=ln(x++C(a>0)=ln|x+C不定积分的分部积分法∫uv′dx=uv?∫u′vdx或∫udv=uv?∫vdu定积分的换元法设函数f∈C[a,b].如果函数x=?(x)满足：(1)?(α)=a,?(β)=b,且?([α,β])?[a,b]或?([β,α])?[a,b];(2)?′∈C[α,β](或?′∈C[β,α])那么：∫baαf[?(t)]?′(t)dt1微积分常用公式微积分常用公式及运算法则(下册) 同济二版微积分(下)若f∈C[?a,a],并且为偶函数，则∫aaf(x)dx=2∫af(x)dx;若f∈C[?a,a],并且为奇函数，则∫a?af(x)dx=0∫ππ20f(sinx)dx=∫20f(cosx)dx∫ππxf(sinx)dx=π∫20∫ππ2nsi nxdx=∫20cosnxdx定积分的分部积分法∫buv′dx=[uv]bbaa?∫avu′dx∫baudv=[uv]bba∫avdum=1,2,3,?第五章向量代数与空间解析几何向量的运算1??．向量的加法a??+??b(a+??=b+b)+??ac=??a+(b??+??c)2．向量与数的乘法（数乘）λ(μ??a)=(λμ)??a(λ+μ)??a=λ??a+μ??a λ(??a+??b)=λ??a+λ??b3．不等式||??a|?|??b||≤|??a±b??|≤|??a|+|??b|4．单位向量eaa=|a|空间两点间的距离公式|PP12|=向量的坐标表示以点M1(x1,y1,z1)为起点,M2(x2,y2,z2)为终点的坐标M??1M??ab=|??a||??b|cosθ a0=??0???a=0 ab=|??a|Prj??=|b??|Prj??abba即:Prja???ab=??|a|=ea?bab=(ax,ay,az)?(bx,by,bz)=axa??bx+ayby+azbz a=|??2a? b??a|??a?(??=b???a(λ??b+c)a)?(μ??=a?b+a?cb)=λμ(??ab)向量??a与??b的夹角满足公式cosθ=a?|b(其中0≤θ≤π)若??a||b|a=(a?? x,ay,az),b=(bx,by,bz),则cosθ=ab+ab+ab2微积分常用公式微积分常用公式及运算法则(下册)同济二版微积分(下)若??a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),则a⊥b??的充要条件是a+a xbxyby+azbz=0向量的向量积设??a和b??是两个向量,规定??a 与???a??b??的充要条件是??a×??b=??0=(a?aybz?azby)i+(azbxxbz)j+(axby?aybx)k=ayaz??ax??bbi+azj+axay??b??y??zbxbxbkyijzk=axayazbxbybz两向量的向量积的几何意义(i)??a×b??由于|??的模a×??:b|=|??a||b??|sinθ=|所以|??a|h(h=|b|sinθ),a×??b|表示以??a和b??为邻边的平行四边形的面积.(??ii)??a×??b的方向:a×b??与一切既平行于??a又平行于?? b的平面垂直.向量的混合积(a×b)?c=ayazbcazaxx+cxayy+aybzbzbxbxbczyaxayaz=bxbybzcxcycz[abc]=[bca]=[cab三向量??a,b??,?? ]c共面的充要条件是axayazbxbybz=0cxcycz平面的方程1．点法式方程过点My??0(x0,0,z0)且以n=(A,B,C)为法向量的平面Π的方程为A(x?x0)+B(y?y0)+C(z?z0)=02．一般方程三元一次方程Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不同时为零)的图形是平面,其中x,y,z的系数A,B,C 是平面的法向量的坐标即n??,=(A,B,C)是平面的法向量.特殊的平面：A=0,平行于x轴的平面；B=0,平行于y轴的平面；C=0,平行于z轴的平面；D=0,过原点的平面；A=B=0,垂直于z轴的平面；B=C=0,垂直于x轴的平面；C=A=0,垂直于y轴的平面.平面的夹角cosθ=n??1?n2|nn=1||2|3微积分常用公式微积分常用公式及运算法则(下册)同济二版微积分(下)平面Π1和Π2相互垂直的充要条件是:A1A2+B1B2+C1C2=0 相互平行的充要条件是:A1B1CA=B=122C2点到平面的距离点P0(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为:d=直线的方程1．参数方程过M,y??0(x00,z0)且以s=(m,n,p)为方向向量的直线L的方程为x=x0+tm?y=y0+tn.??z=z0+tp2．对称式方程（点向式方程）过M(x,z??00,y00)且以s=(m,n,p)为方向向量的直线L的方程为x?x0y?y0z?z0m=n=p.3．一般方程直线L可以看作两个平面Π1:A1x+B1y+C1z+D1=0与Π2:A2x+B2y+C2z+D2=0的交线.空间一点M(x,y,z)在直线L上,当且仅当它的坐标x,y,z同时满足Π1与Π2的方程,的下面的直线方程:??A1x+B1y+C1z+D1=0,?A2x+B2y+C2z+D2=0.其中A1=B1=C1AB不成立.22C2两直线的夹角直线??L1与L2的方向向量分别是s??1=(m1,n1,p1),s2=(m2,n2,p2),则夹角公式为:cos?=s1?s2|s=1||s2|直线L1和L2相互垂直的充要条件是:m1m2+n1n2+p1p2=0相互平行的充要条件是:m1n1p1m==2n2p2直线与平面的夹角直线??L与平面Π法线的方向向量分别是s=(m,n,p),n?? =(A,B,Csin?=|n??),则夹角公式为:s||n||s|=直线L和平面Π相互垂直的充要条件是:ABCm=n=p;相互平行的充要条件是:Am+Bn+Cp=0.旋转曲面若在曲线C的方程f(y,z)=0中z保持不变而将y改写成±就得到曲线C绕z轴旋转而成的曲面的方程f(z)=0;若在f(y,z)=0中y保持不变而将z改写成就得到曲线C绕y轴旋转而成的曲面的方程f(y,=0.二次曲面图形及方程1．椭球面4微积分常用公式微积分常用公式及运算法则(下册)同济二版微积分(下)x2y2z2a2+b2+c2=1??x=asinθcos??y=bsinθsinz=ccosθ其中θ∈[0,π],?∈[0,2π]2．抛物面（1）椭圆抛物面x2y2a2+b2=±z??x=avcosu?y=bvsinuz=v2其中u∈[0,2π],v∈[0,+∞)（2）双曲抛物面x2y2a2?b2=±z??x=a(u+v)?y=b(u?v)??z=4uvx=或?auy=bvz=u2v2u,v∈R3．双曲面（1）单叶双曲面x2y2z2a2+b2?c2=1??x=acoshucosv?y=bcoshusinv ??z=csinhuu∈R,v∈[0,2π]（2）双叶双曲面x2a2+y2b2?z2c2=?1??x=v??y=vz=cuu∈(?∞,?1]∪[1,+∞),v∈[0,2π] 4．椭圆锥面x2y2z2a2+b2=c2??x=avcosu?y=bvsinuz=cvu∈[0,2π],v∈R第六章多元函数微分学偏导数的几何意义偏导数fx(x0,y0)在几何上表示曲线??z=f(x,y),?y=y在点M(x0,y0,f(x0,y))处的0,切线对x轴的斜率;偏导数fy(x0,y0)在几何上表示曲线??z=f(x,y),?y=y在点M(x0,y0,f(x0,y))处的0,切线对y轴的斜率.全微分若函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处都可微,则f(x,y)在每点处连续且可偏导,其全微分为:dz=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy,或dz=zxdx+zydy复合函数的求导法则1．复合函数的中间变量均为一元函数5微积分常用公式微积分常用公式及运算法则(下册)同济二版微积分(下)如果函数u=?(t),v=υ(t)都在点t可导,函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数z=f[?(t),υ(t)]在点t可导,且有:dz?zdu?zdv=?+?dt?udt?vdt设三元函数F(x,y,z)在区域?内是C(1)类函数,点(x0,y0,z0)∈?且满足F(x0,y0,z0)=0,Fz(x0,y0,z0)≠0,则方程F(x,y,z)=0,在点(x0,y0,z0)的某领域内唯一确定了一个C(1)类的二元函数z=z(x,y),它满足条件z0=z(x0,y0),FyFx?z?z且有=?,=?.xFzyFz3．2．复合函数的中间变量均为多元函数如果函数u=?(x,y),v=υ(x,y)都在点(x,y)可微,函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数z=f[?(x,y),υ(x,y)]在点(x,y)可微,且有:?z?z?u?z?v=?+?,?x?u?x?v?x?z?z?u?z?v=?+??y?u?y?v?y 3．复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数。

微积分换元法公式

微积分换元法公式
微积分中的换元法是一种常用的求解定积分的方法，也被称为变量代换法。

它的基本思想是通过引入一个新的变量，使被积函数的形式更容易积分。

换元法有多种形式，下面我来介绍一些常见的换元法公式。

1.第一类换元法（代入法）：
假设有一个定积分$\intf(g(x))g'(x)dx$，我们进行代换$u=g(x)$，则有$du=g'(x)dx$。

将$du$和$g'(x)dx$代入原积分中，可得到新的积分$\intf(u)du$。

这样就完成了变量代换，可以将原积分转化为更容易求解的形式。

2.第二类换元法（参数化法）：
当被积函数的形式较为复杂时，我们可以通过采用参数化的方法来进行换元。

具体步骤如下：
假设有一个定积分$\intf(x,y)dx$，其中$y=g(x)$是一个函数关系。

我们将$x$用$t$表示，并假设存在一个函数$x=h(t)$，使得$x$和$y$之间存在函数关系。

将$x=h(t)$和$y=g(x)$代入原积分中，得到新的积分
$\intf(h(t),g(h(t))h'(t))dt$。

这样就完成了变量代换，可以将原积分转化为更容易求解的形式。

除了上述两种常见的换元法，还有一些特殊的换元法，如三角换元法、指数换元法等，这些方法都是根据具体的问题来选择合适的变量代换方式，以便将原积分转化为更简单的形式。

需要注意的是，在进行换元法时，需要注意对边界条件的处理，以及确定新的积分变量的取值范围，以保证换元后的积分的正确性。

第一类换元法

x f ( x2 )dx
x2 u 1 2
f (u) du.
完
例3
求不定积分
x(1
1 2 ln
x)
dx.
解
x(1
1 2
ln
x
)
dx
1
1 2 ln
x
d
(ln
x)
1 2
1
1 2 ln
x
d
(1
2
ln
x)
12lnxu 1 1 du 1 ln u C
换元 2 u 2
u 12ln x 1 ln 1 2 ln x C . 回代 2
dx
a
sec2tdt
,
t
2
,
2
1 dx 1 a sec2tdt
x2 a2
a sec t
sectdt
ln sec t tan t C1
x
t a
ln
x a
x2 a2
a
C1
ln x x2 a2 C .
完
例 15 求不定积分
1 dx (a 0). x2 a2
解令 x asect, 则
(cos x)2 C.
注: 一般情形:
f (sin x)cos xdx f (sin x)d(sin x);
f (cos x)sin xdx f (cos x)d(cos x). 完
例 8 求下列不定积分
(1) sin3 x dx ;
(2) sin2 x cos5 x dx .
解 (1) sin3 x dx sin2 x sin xdx
进行变换化为倍角的三角函数降幂后再积分
12.
f
(arctan

微积分知识点总结(期末考研笔记)

微积分知识点总结（期末考研笔记）一、第一章：极限与连续第一节：函数1.什么是函数？未知变量x通过某种固定的对应关系确定唯一变量y，称y是x的函数2.什么是复合函数？内层变量导出中间函数的值域，中间函数的值域满足外层函数的定义域，则外层变量是内层变量的复合函数。

3.什么是反函数？能“反”的函数，正函数能由x确定唯一的y与之对应，反函数则要求由y能确定唯一的x与之对应！4.什么是基本初等函数？幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数通过四则运算把基本初等函数组合构成初等函数5.特殊函数特殊定义的函数：高斯函数，符号函数，狄利克雷函数第二节：极限1.极限定义是什么？●数列极限定义(ε--N)，函数极限定义(ε--δ)、(ε--X)\large \epsilon：任意小的正数，可以是是函数值与极限值之差；也可以是数列项与极限值之差。

\large δ：是邻域半径。

2.极限的性质是什么？●唯一性极限存在必唯一。

从左从右逼近相同值。

●保号性极限两侧正负相同●有界性数列极限收敛，必有界，反之不成立；连续函数闭区间有界。

●列与子列同极限数列有极限，子列也存在相同极限；反之不成立。

●极限运算性质1、满足四则运算。

2、满足复合函数嵌套极限。

3、极限存在则左右极限相等。

●极限存在性质迫(夹)敛(逼)定理。

●两个重要极限x\to0 时，\frac{sinx}{x}=1；(1+x)^{1/x} 的1/x次方极限为e●几个特殊关系式●[0,\frac {\pi}{2} ] 时，sinx <x <tanx●x>0 时，\frac{x}{(x+1)} <ln(1+x) <x3.无穷小●什么是无穷小1、定义：自变量趋向某个边界时，f(x)\to 02、无穷小是函数变化极限值，而非确定具体值，即要多小，有多小，但不是0! 3、高阶、同阶、等价无穷小●常用的等价无穷小第三节：连续与间隔1.连续的定义1、该点有定义，且该点极限值等于函数值，则该处连续2、闭区间连续，左边界函数值等于右极限，区间内各点连续，右边界函数值等于左极限2.间断定义第一类间断点：可去间断点，跳跃间断点。

定积分第一类换元法和第二类换元法

定积分是微积分中的重要概念，通过定积分我们可以求解曲线与坐标轴之间的面积、体积以及质心等问题。

在求解定积分时，换元法是一种常用且有效的方法。

换元法分为第一类换元法和第二类换元法，它们在不同类型的积分计算中发挥着重要作用。

下面我们将分别介绍这两种换元法的原理和应用。

一、第一类换元法1.1 换元法简介第一类换元法，又称代换法或变量代换法，是对定积分中被积函数中的变量进行替换，将原来的积分变为更容易求解的积分。

其基本思想是通过引入适当的新变量，将被积函数中的复杂部分转化为简单的形式，从而便于积分计算。

1.2 换元法的步骤（1）寻找合适的变量替换：根据被积函数的形式和特点，选择适当的新变量代替原来的变量。

（2）计算新变量的微分：对新变量进行微分，求出新变量的微分表达式。

（3）将被积函数用新变量表示：将原来的积分中的被积函数用新变量表示出来，得到新的积分形式。

（4）进行积分计算：对新的积分形式进行计算，得出最终结果。

1.3 换元法的应用第一类换元法常用于代换型积分，如含有根式、三角函数等形式的积分。

通过合适的变量替换，可以将原积分化为简单的形式，从而便于求解。

二、第二类换元法2.1 换元法简介第二类换元法，又称参数代换法或极坐标代换法，是通过引入参数来替换被积函数中的自变量，从而实现对原积分的简化。

这种换元法常用于解决平面曲线和曲面的面积、弧长以及质心等问题。

2.2 换元法的步骤（1）引入参数：选择适当的参数替换自变量，通常选择直角坐标系下的参数形式或极坐标系下的参数形式。

（2）表达被积函数：将原来的被积函数用参数表示出来，并求出新的被积函数。

（3）进行积分计算：对新的被积函数进行积分计算，得出最终结果。

2.3 换元法的应用第二类换元法常用于参数型积分，如平面曲线、曲面以及柱面体的面积、弧长和质心的计算。

通过引入参数替换自变量，可以将原积分化为简单的形式，从而便于求解。

三、第一类换元法和第二类换元法的比较3.1 适用范围（1）第一类换元法适用于一般的代换型积分，如含有根式、三角函数等形式的积分；（2）第二类换元法适用于参数型积分，如平面曲线、曲面以及柱面体的面积、弧长和质心的计算。

微积分5-2

1 1 a x a 2 x 2 dx 2a ln a x C
微
积
分
说明：
从以上例子可以看出，使用第一换元积分法的关键是
' g ( x ) dx 凑成 f ( ( x )) ( x)dx的形式设法把被积表达式以便选取变换 u ( x),化成易于积分的 f (u )du.最后
微
积
分
解法 2 解法2
(sec x tan x)
sec x tan x d (sec x tan x) sec 2 x sec x tan x dx sec x tan x sec x tan x
1 1 sin x ln C 2 1 sin x
同样可证或
1 1 C 2 1 x 2(1 x )
1 1 C. 2 1 x 2(1 x )
微
积
分
例： cos 3x cos 2 xdx.
积化和差公式： (1) (2) (3) (3) 1 sin sin =- [cos( ) cos( )] 2 1 cos cos [cos( ) cos( )] 2 1 sin cos [sin( ) sin( )] 2 1 cos sin [sin( ) sin( )] 2
微
积
分
1 dx . 例6 求 2 2 a x
解
1 1 1 1 d x dx a2 x2 2a a x a x 1 1 1 d a x d a x a x 2a a x 1 1 a x ln a x ln a x c ln C. 2a 2a a x

常用的第一换元法

常用的第一换元法第一换元法是微积分中常用的一种方法，用于求解一些特定的积分。

它的基本思想是通过引入一个新的自变量替代原来的自变量，从而将原来的积分转化为更容易求解的形式。

本文将详细介绍第一换元法的原理和应用，并通过一些具体的例子来说明其使用方法和技巧。

我们来看一下第一换元法的原理。

设函数f(x)在区间[a,b]上连续可微，且存在反函数x=g(y)，其中g'(y)存在且连续。

若函数h(y)=f(g(y))g'(y)在区间[c,d]上连续，则有如下等式成立：∫[a,b]f(x)dx = ∫[c,d]h(y)dy其中，x=g(y)是函数f(x)的反函数。

这样，我们就通过引入新的自变量y，将原来的积分转化为了更容易求解的形式。

这就是第一换元法的基本原理。

接下来，我们来看一下第一换元法的具体应用。

首先，我们需要选择合适的替代变量y。

一般来说，我们会选择原函数f(x)的复合函数中的内函数作为替代变量。

然后，我们通过求解dy/dx=1/g'(y)，得到dy和dx之间的关系式。

最后，我们将原函数f(x)用新的自变量y来表示，并将积分的上下限用新的变量表示，从而得到新的积分表达式。

下面，我们通过一些具体的例子来进一步说明第一换元法的使用方法和技巧。

例1：计算积分∫(x^2+1)dx解：首先，我们选择替代变量y=x^2+1，那么原函数f(x)可以表示为f(y)=y。

然后，求解dy/dx=1/2x，得到dy=1/2xdx。

接下来，将原函数f(x)用新的自变量y表示，积分的上下限也用新的变量表示，即∫(x^2+1)dx = ∫ydy。

最后，我们将积分的上下限代入新的积分表达式中，得到∫(x^2+1)dx = ∫ydy = y^2/2 + C。

例2：计算积分∫(2x+3)^4dx解：首先，我们选择替代变量y=2x+3，那么原函数f(x)可以表示为f(y)=y^4。

然后，求解dy/dx=2，得到dy=2dx。

第一类积分换元法和第二类积分换元法的区别

第一类积分换元法和第二类积分换元法的
区别
积分换元法是微积分中求解不定积分的一种方法。

它主要有两种类型，分别是第一类积分换元法和第二类积分换元法。

第一类积分换元法：第一类积分换元法也称为代换法，它主要是通过将一个变量替换为另一个变量，使得原来较为复杂的积分问题变得简单。

这种方法通常需要选择一个适当的代换函数来实现变量的替换。

例如，设u = g(x) 为代换函数，那么dx = g'(x) du，从而原积分问题转化为u 的积分问题。

第一类积分换元法适用于积分函数中包含某个函数及其导数的情形。

第二类积分换元法：第二类积分换元法也称为分部积分法，它主要用于处理两个函数的乘积形式的积分。

这种方法基于微积分中的分部积分公式，即：对于两个可导函数u(x) 和v(x)，有∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx。

通过适当选择u(x) 和v'(x)，可以将原积分问题简化为一个更容易处理的积分问题。

第二类积分换元法适用于积分函数是两个函数乘积的形式，且其中一个函数的积分或导数容易求得。

总之，第一类积分换元法和第二类积分换元法都是积分
问题中的重要方法，它们分别适用于不同类型的积分问题。

选择合适的方法可以帮助我们更高效地求解积分。

微积分课“不定积分第一类换元法”分类总结

微积分课“不定积分第一类换元法”分类总结作者：王闪闪来源：《新校园·中旬刊》2014年第04期摘要：本文分类总结了不定积分第一类换元积分法的常见类型，并给出典型的例题讲解。

关键词：不定积分；第一类换元积分法；分类第一类换元积分法是求不定积分重要的、基础的方法，本文将第一类换元积分法（凑微分法）常见的类型进行分类总结。

定理：设（1）■f(u)du=F(u)+C，（2）函数u=?渍(x)可微，则成立第一类换元积分方法：■f[?渍(x)]?渍′(x)dx=■f[?渍(x)]d?渍(x)=■f(u)du■=[F(u)+C]u=?渍(x)=F[?渍(x)]+C类型Ⅰ■f(ax+b)dx=■■f(ax+b)d(ax+b)(a≠0)例1■■=■■(3x-1)■d(3x-1)=■■+C例2①■■②■■分析：①中被积函数分母x2+2x+5的△0，通过对分母因式分解，做变换■■=■■。

解：①■■dx=■■dx=■■d(x+1)=■arctan■+C②■■=■■=ln■+C类型Ⅱ■x?琢-1f(x?琢+b)dx=■■f(x?琢+b)d(x?琢+b)(?琢≠0)例3■x■dx=■■(x2-3)■d(x2-3)=■·■(x2-3)■+C=■(x2-3)■+C例4■■sec2■dx=-■sec2■d(■)=-tan■+C类型Ⅲ■■f(lnx)dx=■f(lnx)d(lnx)或■■f(ln|x|)dx=■f(ln|x|)d(ln|x|)例5■■=■■=■(1+lnx)-2d(1+lnx)=-■+C类型Ⅳ■exf(ex)dx=■f(ex)d(ex)或■f(ex)dx=■■d(ex)例6■■dx=■■dex=■arcan■+C类型Ⅴ关于被积函数中含有sinx和cosx的不定积分ⅰ■cosxf(sinx)dx=■f(sinx)d(sinx)和■sinxf(cosx)dx=-■f(cosc)d(cosx)例7■esinxcosxdx=■esinxd(sinx)=esinx+Cⅱ对于形如■sinmxcosnxdx，■sinmxsinnxdx和■cosmxcosnxdx的积分(m,n∈N)，可首先利用积化和差公式对被积函数进行变形。

第一类换元和第二类换元

第一类换元和第二类换元【导读】在高等数学中，换元法是解决复杂问题的一种常用方法。

第一类换元和第二类换元都是换元法的两种常见形式。

本文将深入探讨这两种换元方法，并通过实例加深理解，帮助读者掌握这两种重要的数学技巧。

【正文】一、第一类换元第一类换元是指以“新变量=旧变量”为基础的换元法。

其基本思想是通过引入一个新的自变量，使得被积函数在新的自变量下形式简化，从而更容易进行积分运算。

首先，我们需要确定合适的换元变量，使得被积函数的形式更加简单。

然后，通过求导和代换等操作，将原函数转化为新自变量的函数。

最后，根据新的函数形式进行积分计算，得到最终结果。

下面通过一个实例来说明第一类换元的具体过程。

例1：计算定积分∫(x^2+1)/(x+1)dx。

首先，我们观察到被积函数中的分子(x^2+1)和分母(x+1)的次数相同。

因此，我们可以尝试以x+1为新的自变量。

令x+1=t，即x=t-1。

然后，对x求导，得到dx=dt。

将变量代换回原函数，得到∫((t-1)^2+1)/t dt。

简化后的被积函数为∫(t^2-2t+2)/t dt。

通过分解为部分分式，我们得到∫(t-2+2/t)dt。

接下来，我们可以分别对三个部分进行积分，然后将结果合并。

∫t dt=t^2/2；∫-2dt=-2t；∫2/t dt=2ln|t|。

将三个积分结果相加，得到∫(t-2+2/t)dt=t^2/2-2t+2ln|t|+C。

最后，将t代换回x+1，即得到原函数的积分结果。

第二类换元第二类换元是指以“新变量=函数”为基础的换元法。

其基本思想是通过引入一个新的函数，将原函数转化为新函数的形式，从而简化积分运算。

首先，我们需要选取合适的换元函数，使得原函数可以转化为换元函数的复合形式。

然后，通过求导和代换等操作，将原函数转化为新函数的形式。

最后，根据新函数的形式进行积分计算，得到最终结果。

下面通过一个实例来说明第二类换元的具体过程。

例2：计算定积分∫x^2√(1+x^3)dx。

第一类换元法求不定积分的一些题目

第一类换元法求不定积分的一些题目在初学微积分的过程中，我们经常会遇到需要求解不定积分的情况。

其中，使用第一类换元法来求不定积分是常见且重要的方法之一。

在本文中，我们将深入探讨第一类换元法在求不定积分中的应用，并通过一些具体的题目来加深理解。

1. 基本概念回顾让我们简要回顾一下第一类换元法的基本概念。

当我们遇到形如∫f(g(x))g'(x)dx的不定积分时，可以通过引入新的变量u=g(x)，然后求出du=g'(x)dx，将原不定积分转化为∫f(u)du的形式。

通过这样的转换，我们就可以更容易地求出原不定积分的解。

2. 具体题目分析现在，让我们通过一些具体的题目来加深对第一类换元法的理解。

题目1：求∫2x(x^2+1)^5dx解析：我们可以令u=x^2+1，求出du=2xdx。

将原不定积分转化为∫u^5du的形式，再通过求解∫u^5du来得到最终的结果。

题目2：求∫x^2*exp(x^3)dx解析：同样地，我们可以令u=x^3，求出du=3x^2dx。

将原不定积分转化为∫1/3*exp(u)du的形式，再通过求解∫1/3*exp(u)du来得到最终的结果。

通过以上的两个具体题目分析，我们可以看到，在使用第一类换元法求不定积分时，选择合适的变量u是非常重要的。

通过巧妙选择u，我们可以将原不定积分转化为更容易求解的形式，从而简化计算过程并得到最终的结果。

3. 个人观点和理解对于第一类换元法，我个人认为在初学阶段可能会感到有些抽象和困难，但通过反复练习和实际运用中逐渐熟悉和掌握。

在求解不定积分时，掌握好第一类换元法可以大大提高计算效率，也有助于理解和把握微积分的核心思想。

总结通过本文的讨论，我们对第一类换元法在求不定积分中的应用有了更深入的理解。

通过具体题目的分析，我们学会了如何灵活运用第一类换元法来化简不定积分的计算过程。

我相信，通过不断练习和思考，在未来的学习和工作中，我们都能灵活地运用第一类换元法来解决实际问题。

微积分换元积分法5

u ( x) f (u)du u ( x) 第一类换元公式（凑微分法）
f
(ax
b)dx
1 a
f
(ax
b)d(ax
b)
(a
0)
小结
f (axm1 b)xmdx
常见旳凑微分类型有
1
f (axm1 b)d(axm1 b)
a(m 1)
f
1 dx (x) x2
f ( 1 )d( 1 ) xx
1
2 cos xd(cos x) u cos x 2 udu
u2 C cos x2 C
注同一种积分用不同旳措施计算,可能得到表面上不一致旳成果,但是实际上都表达同一族函数.
第二换元积分法
1
1
x
dx
困难有根式
处理措施消去根式,令t x , 即 x t 2(t 0) 则 dx 2tdt
一般规律如下：当被积函数中具有
(1) a2 x2 可令 x a sin t;
(2) a2 x2 可令 x a tan t;
(3) x2 a2 可令 x a sec t.
例 5.11 求下列积分 (1) a2 x2 dx (a 0)
解令 x a sin t dx a cos tdt t ,
f (cot x)csc2 xdx f (cot x)dcot x
f (arcsin x)
1 dx 1 x2
f (arcsin x)darcsin x
f
(arctan
x
)
1
1 x
2dx
f
(arctan x)darctan x
f ( x)dx f (x)
df ( x) ln f ( x) C f (x)