数学归纳法的应用习题

第2课时数学归纳法的应用双基达标(限时20分钟)

1．利用数学归纳法证明1

n＋

1

n＋1

＋

1

n＋2

＋…＋

1

2n<1(n∈N

*，且n≥2)时，第二步

由k到k＋1时不等式左端的变化是

()．

A．增加了

1

2k＋1

这一项

B．增加了

1

2k＋1

和

1

2k＋2

两项

C．增加了

1

2k＋1

和

1

2k＋2

两项，同时减少了

1

k这一项

D．以上都不对

解析不等式左端共有n＋1项，且分母是首项为n，公差为1，末项为2n

的等差数列，当n＝k时，左端为1

k＋

1

k＋1

＋

1

k＋2

＋…＋

1

2k；当n＝k＋1时，

左端为

1

k＋1

＋

1

k＋2

＋

1

k＋3

＋…＋

1

2k＋

1

2k＋1

＋

1

2k＋2

，对比两式，可得结论．

答案 C

2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”的第二步是

()．A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确

B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确

C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确

D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N*)

解析因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第(k＋1)个正奇数即n＝2k＋1正确．

答案 B

3．已知平面内有n条直线(n∈N*)，设这n条直线最多将平面分割成f(n)个部分，则f(n＋1)等于

()．A．f(n)＋n－1 B．f(n)＋n

C．f(n)＋n＋1 D．f(n)＋n＋2

解析要使这n条直线将平面所分割成的部分最多，则这n条直线中任何两条不平行，任何三条不共点．因为第n＋1条直线被原n条直线分成n＋1条线段或射线，这n＋1条线段或射线将它们所经过的平面区域都一分为二，故f(n＋1)比f(n)多了n＋1部分．

答案 C

4．已知S n＝1

1·3＋

1

3·5＋

1

5·7＋…＋

1

(2n－1)(2n＋1)

，则S1＝________，S2＝________，

S3＝________，S4＝________，猜想S n＝________.

解析分别将1,2,3,4代入观察猜想S n＝n

2n＋1

.

答案1

3

2

5

3

7

4

9

n

2n＋1

5．用数学归纳法证明“当n为正偶数时x n－y n能被x＋y整除”第一步应验证n ＝________时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成________________．解析因为n为正偶数，故第一个值n＝2，第二步假设n取第k个正偶数成立，即n＝2k，故应假设成x2k－y2k能被x＋y整除．

答案2x2k－y2k能被x＋y整除

6．用数学归纳法证明：

1＋1

22＋

1

32＋…＋

1

n2＜2－

1

n(n≥2)．

证明：(1)当n＝2时，1＋1

22＝

5

4＜2－

1

2＝

3

2，命题成立．

(2)假设当n＝k时命题成立，即1＋1

22＋

1

32＋…＋

1

k2＜2－

1

k，当n＝k＋1时，

1＋1

22＋

1

32＋…＋

1

k2＋

1

(k＋1)2

＜2－

1

k＋

1

(k＋1)2

＜2－

1

k＋

1

k(k＋1)

＝2－

1

k＋

1

k－

1 k＋1＝2－

1

k＋1

，命题成立．

由(1)、(2)知原不等式在n≥2时均成立．

综合提高(限时25分钟)

7．用数学归纳法证明不等式

1n ＋1＋1n ＋2

＋…＋12n >1124(n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时，下列说法正确的是

( )．

A ．增加了一项1

2(k ＋1)

B ．增加了两项

12k ＋1和12(k ＋1)

C ．增加了B 中的两项，但又减少了一项

1k ＋1 D ．增加了A 中的一项，但又减少了一项1k ＋1

解析 当n ＝k 时，不等式左边为1k ＋1＋1k ＋2

＋…＋12k ， 当n ＝k ＋1时，不等式左边为1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2

. 答案 C

8．命题P (n )满足：若n ＝k (k ∈N *)成立，则n ＝k ＋1成立，下面说法正确的是( )． A ．P (6)成立则P (5)成立 B ．P (6)成立则P (4)成立 C ．P (4)成立则P (6)成立 D ．对所有正整数n ，P (n )都成立

解析 由题意知，P (4)成立，则P (5)成立，若P (5)成立，则P (6)成立．所以P (4)成立，则P (6)成立． 答案 C

9．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，则a 、b 、c 的值为________．

解析 ∵等式对一切n ∈N *均成立，∴n ＝1,2,3时等式成立，即：⎩⎨⎧

1＝3(a －b )＋

c ，

1＋2×3＝32(2a －b )＋c ，

1＋2×3＋3×32＝33(3a －b )＋c ，