数学归纳法的应用习题
数列与数学归纳法练习题
数列与数学归纳法练习题数学归纳法是数学中常用的一种证明方法，尤其在数列问题中被广泛应用。
通过数学归纳法，我们能够证明某个命题对所有自然数都成立，而不需要逐个验证。
本文将为大家提供数列与数学归纳法的练习题，帮助大家更好地掌握这一方法。
1. 练习题一证明下列命题对所有正整数n成立：(1) 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n^2(2) 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6解答：(1) 首先在n=1的情况下，命题显然成立，因为左右两边都等于1。
假设当n=k时，命题成立，即1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) = k^2。
下面证明当n=k+1时，命题也成立。
当n=k+1时，左边的求和式为：1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) + (2(k+1)-1) = k^2 + (2k+1)。
根据假设，我们知道前面的求和式等于k^2，因此我们只需要证明(2k+1) = (k+1)^2即可。
展开(k+1)^2，得到k^2 + 2k + 1，与2k+1相比较，左右两边相等。
因此，由数学归纳法可知，命题对所有正整数n成立。
(2) 同样，在n=1的情况下，命题显然成立。
假设当n=k时，命题成立，即1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 = k(k+1)(2k+1)/6。
下面证明当n=k+1时，命题也成立。
当n=k+1时，左边的求和式为：1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2。
将右边的分数相加，得到(k^3 + 3k^2 + 2k)/6 + (k^2 + 2k + 1)。
化简并合并同类项，得到(k^3 + 3k^2 + 2k + k^2 + 2k + 1)/6 = (k^3 +4k^2 + 5k + 1)/6。
因此，我们只需要证明(k^3 + 4k^2 + 5k + 1) = (k+1)(k+2)(2k+3)即可。
数学归纳法及其应用举例1
数学归纳法及其应用举例【本章学习目标】人们在研究数量的变化时，常常会遇到有确定变化趋势的无限变化过程，这种无限变化过程就是极限的概念与思想，极限是人们研究许多问题的工具。
以刘微的“割圆术”为例，圆内接正n 边形的边数无限增加时，正n 边形的周长P n 无限趋近于圆周长2πR 。
这里的是个有限多项的数列，人们可以从这个有限多项的数列来探索无穷数列的变化趋势。
不论n 取多么大的整数，n P 都是相应的圆周长的近似值，但是我们可以从这些近似值的精确度的无限提高中（限n 无限增大）找出圆周长的精确值2πR 。
随着n 的增加，n P 在变化，这可以认为是量变（即只要n 是有限数，n P 都是圆内接正多边形的周长）；但是我们可以从这些量变中来发现圆周长。
一旦得出2πR ，就是质的变化（即不再是正多边形的周长）。
这种从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的思想就是极限的思想。
本章重点内容是： （1）数学归纳法及其应用。
（2）研究性课题：杨辉三角。
（3）数列的极限。
（4）函数的极限。
（5）极限的四则运算。
（6）函数的连续性。
本章难点内容是：（1）数学归纳法的原理及其应用。
（2）极限的概念。
【基础知识导引】1．了解数学推理中的常用方法——数学归纳法。
2．理解数学归纳法的科学性及用数学归纳法来证明与正整数有关命题的步骤。
3．掌握数学归纳法的一些简单应用。
【教材内容全解】 1．归纳法前面我们在学习等差数列时，通过等差数列的前几项满足的关系式归纳出等差数列的通项公式。
再如根据三角形、四边形、五边形、六边形等的内角和归纳出凸n 边形内角和公式。
像这样由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，叫做归纳法。
对于归纳法我们可以从以下两个方面来理解。
（1）归纳法可以帮助我们从具体事列中发现事物的一般规律。
（2）根据考察的对象是全部还是部分，归纳法又分完全归纳法与不完全归纳法。
显然等差数列通项公式，凸n 边形内角和公式都是通过不完全归纳法得出的，这些结论是正确的。
数学归纳法及应用举例
数学归纳法及应用举例重点难点分析：（1）第一步递推基础，第二步是递推依据，密切相关缺一不可。
（2）归纳思想充分体现了特殊与一般的思想，数学归纳法体现了有限与无限的辩证关系与转化思想。
（3）归纳—猜想—证明是经常运用的数学方法，观察是解决问题的前提条件，需要进行合理的试验和归纳，提出合理猜想，从而达到解决问题的目的。
（4）数学归纳法的应用通常与数学的其它方法联系在一起，如比较、放缩、配凑、分析和综合法等。
典型例题：例1．证明：=-n(n+1)(4n+3)。
证明：①当n=1时，左，右=-1(1+1)(4+3)=-14，等式成立。
②假设n=k时等式成立，即=-k(k+1)(4k+3)。
n=k+1时，+[(2k+1)(2k+2)2-(2k+2)(2k+3)2] =-k(k+1)(4k+3)-2(k+1)(4k2+12k+9-4k2-6k-2) =-(k+1)[4k2+3k+2(6k+7)]=-(k+1)(4k2+15k+14)=-(k+1)(k+2)(4k+7)=-(k+1)[(k+1)+1][4(k+1)+3]，等式成立。
由①②知，当n∈N′时等式成立例2．试证S n=n3+(n+1)3+(n+2)3能被9整除。
证明：①n=1时，S1=4×9，能9整除。
②假设，n=k时，S k能被9整除，则S k+1=(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3=S k+(k+3)3-k3=S k+9(k3+3k+3)由归纳假设知S k+1能被9整除，也就是说n=k+1时命题也成立。
综上所述：命题成立。
点评：用数学归纳法证明整除问题时，关键是把n=k+1时的式子分成两部分，其中一部分应用归纳假设，另一部分经过变形处理，确定其能被某数（某式）整除。
例3．通过一点有n个平面，其中没有任何3个平面交于同一条直线，用数学归纳法证明这些平面把空间分成(n2-n+2)个部分。
证明：设适合条件的n个平面把空间分成p n个部分，∴p n=n2-n+2①当n=1时，p1=1-1+2=2，显然符合条件，故命题成立。
07数学归纳法应用举例
找准起点 奠基要稳
数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。 其格式主要有两个步骤、一个结论: （1）验证当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确； 验证初始条件 （2）假设n=k时结论正确，在假设之下，证明n=k+1时结论也 正确； 用上假设 假设推理 递推才真 （3）由（1）、（2）得出结论. 点题
2
k 1
2 2 2 k ≥ k 5 k k 2 k 1 ( k 1)
k 2
2 2
2
这就是说，当n=k+1时，命题也是正确的. 由（1）和（2）可以断定，这个命题对 于所有大于或等于5的正整数n都正确。
例4．求证：凸n边形的对角线的条数为
f (n) n ( n 3) 2 , (n ≥ 4)
f (n) 1
1 2
2
1 3
1 n
, 求证
:
1
f (2 )
n
n 2 2
( n 1).
证:(1)当n=2时, f ( 2 ) f ( 4 ) 1 2 3 4 2 12 不等式成立. (2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即 则当n=k+1时, 1 有: 1 1
1
2
13
2
2
35
n
2
( 2 n 1)( 2 n 1)
n n
2
4n 2
( n N ).
*
(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.
(2)假设当n=k时结论正确,即:
1
2
13
2
2
2
35
用数学归纳法证明
用数学归纳法证明用数学归纳法证明1/2+2/2^2+3/2^3+......+n/2^n=2-n+2/2^n.1/2+2/2^2+3/2^3+......+n/2^n=2-(n+2)/2^n.1、当n=1时候，左边=1/2;右边=2-3/2=1/2左边=右边，成立。
2、设n=k时候，有：1/2+2/2^2+3/2^3+......+k/2^k=2-(k+2)/2^k成立，则当n=k+1时候：有：1/2+2/2^2+3/2^3+.....+k/2^k+(k+1)/2^(k+1)=2-(k+2)/2^k+(k+1)/2^(k+1)=2-/2^(k+1)=2-(k+3)/2^(k+1)=2-/2^(k+1)得证。
我觉得不是所有的猜想都非要用数学归纳法.比如a1=2,a(n+1)/an=2,这显然是个等比数列如果我直接猜想an=2^n,代入检验正确,而且对所有的n都成立,这时候干嘛还用数学归纳法啊.可是考试如果直接这样猜想是不得分的,必须要用数学归纳法证明.我觉得如果是数列求和,猜想无法直接验证,需要数学归纳法,这个是可以接受的.但是上面那种情况,谁能告诉我为什么啊.我觉得逻辑已经是严密的了.结果带入递推公式验证是对n属于正整数成立.用数学归纳法,无论n=1,还是n=k的假设,n=k+1都需要带入递推公式验证,不是多此一举吗.我又不是一个一个验证,是对n这个变量进行验证,已经对n属于正整数成立了.怎么说就是错误的.怎么又扯到思维上了,论严密性我比谁都在意,虽然是猜出来的,毕竟猜想需要,我的问题是--------这样的验证方式严不严密,在没有其他直接证明方法的情况下,是不是一定要用数学归纳法-------,并没有说这样就是对待数学的态度,没有猜想数学怎么发展.这说明你一眼能看出答案，是个本领。
然而，考试是要有过程的，这个本领属于你自己，不属于其他人，比如你是股票牛人，直接看出哪支会涨哪支会跌，但是不说出为什么，恐怕也不会令人信服。
高二数学归纳法练习题
高二数学归纳法练习题一、选择题从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案。
1. 使用归纳法证明命题“对任意正整数n，当n为偶数时，2n一定是偶数”，需要进行的推理基础是：A. 列举B. 逆否命题C. 数学归纳法D. 反证法2. 已知正整数序列An满足An = An-1 + n，若A1 = 3，则A3的值为：A. 6B. 8C. 9D. 113. 使用归纳法证明命题“对任意自然数n，2^n + 1能被3整除”，需要证明的基础命题是：A. 2^1 + 1能被3整除B. 2^n能被3整除C. 2^2 + 1能被3整除D. 2^n + 1能被3整除4. 已知定义在非负整数上的函数f(n)满足f(0) = 0，且对任意非负整数n，f(n+1) = f(n) + 2n + 1。
则f(3)的值为：A. 6B. 8C. 9D. 115. 使用数学归纳法证明命题“对任意正整数n，2^n - 1能被7整除”，需要进行的推理基础是：A. 2^1 - 1能被7整除B. 2^n能被7整除C. 2^2 - 1能被7整除D. 2^n - 1能被7整除二、解答题请根据所给条件，使用归纳法完成下列问题的证明。
1. 对任意正整数n，证明下列命题成立：1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2。
2. 已知正整数序列Bn满足Bn = Bn-1 + 2n - 1，且B1 = 1，证明Bn = n^2。
3. 对任意正整数n，证明下列命题成立：1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3= ((n(n+1))/2)^2。
4. 已知定义在非负整数上的函数g(n)满足g(0) = 1，且对任意非负整数n，g(n+1) = g(n) + 3n + 1。
证明g(n) = (n+1)^2。
5. 对任意正整数n，证明下列命题成立：1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2= (n(n+1)(2n+1))/6。
三、应用题根据所给条件，使用归纳法解决下列问题。
数学归纳法的应用
数学归纳法的应用数学归纳法的应用：具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等.上述过程主要体现在数学归纳法的过程及注意事项，主要是证明恒等式的一些例子，下面我们看看数学归纳法应用的其他类型.（1）证明恒等式（略）（2）证明不等式. 例题：记()11111,23n S n n N n =+++⋅⋅⋅+>∈，求证：()212,2n n S n n N >+≥∈. 证明：（1）当2n =时，2211125211234122S =+++=>+，∴当2n =时，命题成立. （2）设n k =时，命题成立，即2111112322k k k S =+++⋅⋅⋅+>+，则当1n k =+时，121111111123221222k k k k k S ++=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++ 11121111112212222222222k k k k k k k k k k k +>++++⋅⋅⋅+>++=++=+++++ 故当1n k =+时，命题也成立.由（1），（2）可知，对n N ∈，2n ≥，212n n S >+. 注意：利用数学归纳法证不等式，经常要用到“放缩”的技巧.（3）证明数或式的整除性例题：求证：()()2111n n a a n N -+++∈能被21a a ++整除证明：（1）当1n =时，()21111211aa a a ⨯-+++=++，命题显然成立. （2）设n k =时，()2111k k a a ⨯-+++能被21a a ++整除.则当1n k =+时，()()()2122121111k k k k a a a a a a +-++++=⋅+++()()()()212212111111k k k k a a a a a a a ---+⎡⎤=+++++-+⎣⎦ ()()()212112111k k k a a a a a a --+⎡⎤=++++++⎣⎦由归纳假设，以上两项均能被21a a ++整除，故1n k =+时，命题成立.由（1），（2）可知，对n N ∈，命题成立注意：利用数学归纳法证明整除性，经常要用到“凑”的技巧.（4）证明数列的通项公式例题：已知数列{}n a 满足1a a =，112n n a a +=- （1）求：2a ，3a ，4a（2）推测通项n a 的表达式，并用数学归纳法加以证明.【答案】（1）由112n n a a +=-，可得212a a =-，31213222a a a a-==---，4132243232a a a a a-==---- （3）推测()()()121n n n a a n n a---=--，证明如下： ①当1n =时，左边1a a ==，右边()()()1112111a a a ---==--，结论成立 ②设n k =时，有()()()121k k k a a k k a---=-- 则当1n k =+时 ()()()()()()()1112122211221k k k k a a k k a a k k a k k a k k a+--===----------⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦--- ()()11k k a k ka --=+-. 故当1n k =+时，结论成立.由①，②可知，对n N ∈，都有()()()121n n n a a n n a---=-- （5）证明几何命题例：平面内有n 个圆，其中每两个圆都交于两点，且无任何三个圆交于一点，求证：这n 个圆将平面分成22n n -+个部分.略证：设n k =时，k 个圆将平面分成22k k -+个部分，则当1n k =+时，第1k +个圆1k C +交前面k 个圆于2k 个点，这2k 个点将圆1k C +分成2k 段，每段将各自所在区域一分为二，因此增加了2k 个区域，于是这1k +个圆将平面分成222k k k -++个部分，即()()2112k k +-++个部分.。
232数学归纳法应用举例
2
由⑴⑵可知命题对任何大于1的正整数都成立。
练习 3：平面上有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，
并且每三个圆都不相交于同一点，
求证：这n个圆把平面分成 f ?n?? n2 ? n ? 2 部分
思 考：用数学归纳法证明：
?n ? 1?n?? 2?? 2n ? 2n ? 1? 3? 5? ? ? ?2n ? 1?
这就是说，当n=k+1时等式也成立
由⑴⑵可知等式对任何 n ? N *都成立
练习1 求证
12 ? 22 ??? n2 ? n?n?1?2?n?1?
6
例3：证明 21 ?7 n ? 6 能被9整除
? ? 证明：⑴当n=1时，21?71 ? 6 ? 9 ? 17 命题成立
⑵假设n=k时，命题成立， 即 21?7k ? 6 能被9整除
数学归纳法证明步骤：
⑴ 证明当n取第一个值 n 0 时结论正确
⑵ 假设当 n ? k (k ? N * , k ? n0 ) 时结论正确， 证明当 n=k+1 时结论正确
在完成了这两个步骤以后，就可以断定
命题对于从 n0 开始的所有正整数都成立
证明过程中的注意事项：
⑴第一步中，这个第一个允许的值可以不是 1 ⑵由 n=k 到n=k+1 ，左边不一定只增添一项，注意观察 ⑶n=k+1 时的等式是有待证明的，推证过程必须 应用归纳假设，除此之外，较多运用了整式变形知识
当n=k+1时
? ? 21 ?7 k ?1 ? 6 ? 21 ?7 n ?7 ? 6 ? 21 ?7 n ? 6 ?7 ? 36
由归纳假设得，上式能被9整除 由⑴⑵可知，命题对任何大于1的正整数都成立。
练习 2：用数学归纳法证明：
数学归纳法及应用举例2
(2).假设n=k时命题成立 即
1 1 1 k 1 2 2 3 k (k 1) k 1
那么n=k+1时, 1 1 1 1 1 左边 (1 2 ) ( 2 3 ) ( k 1 k 2 )
1 k 1 =右边, k 2 ( k 1) 1
2.1 数学归纳法及其应用举例
新授课 1．在等差数列 {a n } 中，已知首项为 a1，公差为 d ， a1 a1 0 d , a2 a1 1 d , a3 a1 2 d , a4 a1 3 d , a n ? 归纳
a n a1 ( n 1)d
2
2 2
推理变形为1+3+5十….十(2k-1)十(2k+1)=(k+1)
2.1 数学归纳法及其应用举例
例题讲解
2 例1 用数学归纳法证： （1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立．
（2）假设当 n k 时，等式成立，就是 1 3 5 ( 2k 1) k 2 . 那么 1 3 5 ( 2k 1) [2( k 1) 1]
2.1 数学归纳法及其应用举例
新授课
如果{a n } 是等差数列，已知首项为 a1，公差为 d ，那么 a n a1 ( n 1)d 对一切n N 都成立．
左边 a1 , 右边 a1 0 d a1 , 证明：（1）当n=1时， 等式是成立的． （2）假设当n=k时等式成立，就是a k a1 ( k 1)d , 那么 a k 1 a k d
[a1 (k 1)d ] d a1 [(k 1) 1]d
这就是说，当n=k+1时，等式也成立
2.3 数学归纳法(3)
例7、平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何 平面内有n条直线，其中任何两条不平行， 三条不过同一点，求证交点个数是f(n)= 2 n(n三条不过同一点，求证交点个数是f(n)= 1 n(n-1).
证明： 证明：1）n=2时：两条直线交点个数为1, n=2时 两条直线交点个数为1, (2∴命题成立 命题成立。 而f(2)= 1 ×2×(2-1)=1, ∴命题成立。
3
时公式仍成立。 ∴ 当n=k+1时公式仍成立。 时公式仍成立
3
由1）、 2）可知，对一切 ∈N ，均有 S n ）、 ）可知，对一切n∈N
n ( 2 n 2 + 1) = 3
。
￭ 数学归纳法在整除问题、几何问题、归纳猜想问题 数学归纳法在整除问题、几何问题、 及不等式问题中的应用。 及不等式问题中的应用。
练习6.用数学归纳法证明：对任意自然数 ， 练习 用数学归纳法证明：对任意自然数n，数11n+2+122n+1是 用数学归纳法证明 133的倍数 的倍数 证明： 当 证明：(1)当n=1时，11n+2+122n+1=113+123=23×133 时 × 能被133整除 整除， ∴23×133能被 整除，即n=1时命题成立 × 能被 时命题成立 (2)假设 假设n=k时，11k+2+122k+1能被 能被133整除 假设 时 整除 那么11 那么 (k+1)+2+122(k+1)+1=11⋅11k+2+122⋅122k+1 ⋅ =11⋅(11k+2+122k+1)−11×122k+1+122⋅122k+1 ⋅ − × =11⋅(11k+2+122k+1)+ 122k+1(144−11) ⋅ − = 11⋅(11k+2+122k+1)+ 122k+1⋅133 ⋅ 由归纳假设知11 都能被133整除 由归纳假设知 k+2+122k+1及122k+1⋅133都能被 整除 都能被 能被133整除，即n=k+1时命题也成立 整除， 整除 时命题也成立 ∴11(k+1)+2+122(k+1)+1能被 由(1)、(2)，可知命题对一切自然数 都成立 、 ，可知命题对一切自然数n都成立
课件2-数学归纳法应用-
胎儿性别检查 [单选,A1型题]下列哪项不是黄连的主治病证（）A.肺热咳嗽B.血热吐血C.胃热呕吐D.湿热泻痢E.痈疽疮毒 胎儿性别检查 [单选]国家对音像制品的零售，实行（）。A.保证金制度B.追惩制度C.备案制度D.许可制度 胎儿性别检查 [单选]风湿性心脏瓣膜病主动脉瓣关闭不全和主动脉瓣狭窄不具有以下哪项表现（）.A.左心室大B.左心室负荷量增加C.S1亢进D.心绞痛E.A2减弱 胎儿性别检查 [单选,A2型题]生后7天足月正常产新生儿，地段保健医师进行家庭巡视时发现其全身皮肤黄染，但反应正常，此时最佳处理方法是（）A.该新生儿需要立即去医院接受检查治疗B.无须特殊处理C.停止母乳喂养，改牛乳喂养D.注意保温，多饮水E.口服抗生素 胎儿性别检查 [单选]仲裁案件当事人甲公司与乙公司在案件审理过程中通过协商，就已经提交仲裁的争议达成和解协议。随后申请人甲公司撤回了仲裁申请。后甲公司反悔，此时甲、乙两公司的纠纷应如何解决？（）A.甲公司只能另外通过诉讼解决纠纷B.甲公司只能与乙公司重新达成仲裁协议 胎儿性别检查 [判断题]涡轮的阻力包括ATF油的摩擦阻力、与涡轮相联系的各元件的运动阻力等。（）A.正确B.错误 胎儿性别检查 [单选]削痂主要用于（）A.Ⅰ度烧伤B.浅Ⅱ度烧伤C.Ⅲ度烧伤D.深Ⅱ度烧伤E.轻度烧伤 胎儿性别检查 [判断题]在金融机构开立个人存款账户的，金融机构应当要求其出示本人身份证件，进行核对，并登记其身份证件上的姓名和号码。（）A.正确B.错误 胎儿性别检查 [单选]校对人员通读的主要任务是（）。A.校是非B.校异同C.对片D.誊样 胎儿性别检查 [单选]保留给自环测试的IP地址是（）A.164.0.0.0B.130.0.0.0C.200.0.0.0D.127.0.0.0 胎儿性别检查 [单选]某大型项目施工期间，项目经理刘某因个人原因辞职去另一家施工企业担任负责人，但该项目发包人不同意承包人变更项目负责人的请求，则在此情况下，（）。A．注册管理机关应当为刘某办理变更注册B．注册管理机关应当为刘某办理增项注册C．在项目竣工交接前，刘某 胎儿性别检查 [问答题]在公共场所怎样避震？ 胎儿性别检查 [单选]慢性胃炎伴哪项改变属癌前病变()A．浅表性胃炎伴肠腺化生B．浅表性胃炎伴脐状突起C．萎缩性胃炎伴肠腺化生D．萎缩性胃炎伴假性幽门腺化生E．萎缩性胃炎伴重度不典型增生 胎儿性别检查 [单选]下列对骨质疏松描述错误的是（）A.骨质疏松症可分为原发性、继发性两类B.雌激素可抑制骨吸收，雌激素水平不足是病因之一C.多数患者为原发性骨质疏松症D.女性绝经期后发病率升高E.骨折是本病最为严重的后果 胎儿性别检查 [单选]在建设项目招投标的交易方式下，通常由()作为招标人，通过发布招标公告或者向一定数量的特定承包人发出招标邀请等方式发出招标信息。A.业主B.工程承包人C.公证人D.工程发包人 胎儿性别检查 [问答题,简答题]营养物质大部分在哪一器官吸收？ 胎儿性别检查 [填空题]（）是所有人际合作交往的基础。 胎儿性别检查 [单选,B型题]根据内容划分，冲突可以分为（）A.目标冲突、认知冲突、感情冲突、程序冲突B.建设性冲突、破坏性冲突C.个人冲突、人际冲突、群体冲突D.人际冲突、群体冲突、组织间冲突E.积极性冲突、消极性冲突 胎儿性别检查 [单选]光面爆破时，应尽可能减少周边眼间的起爆时差，相邻光面炮眼的起爆间隔时问不应大于（）。A．200msB．150msC．100ms 胎儿性别检查 [单选]下列关于类风湿关节炎药物治疗正确的是（）。A.早期应用快作用抗风湿病药B.大部分患者用一种慢作用药就可以阻止关节破坏C.可以常规应用糖皮质激素D.非甾体抗炎药是改善关节症状的一线药物E.不能使用中枢性镇痛药 胎儿性别检查 [单选,A2型题,A1/A2型题]在性成熟期，中医认为：乳房属（）A.肝B.脾C.胃D.胆E.肾 胎儿性别检查 [单选]在对市场经济进行规制的法律体系中，（）处于基本法的地位。A.民商法B.婚姻法C.刑法D.民事诉讼法 胎儿性别检查 [填空题]拆组件时要注意把（）的（）和（）的（）分开放到盆子内，并放到指定位置。 胎儿性别检查 [单选]具备条件的快件运营人可以通过（）申请办理报检。A.电子邮件的方式B.电子数据交换的方式C.传真的方式D.电话的方式 胎儿性别检查 [单选]下列各项中，会导致企业资产负债率下降的是()。A.收回应收款项B.计提资产减值准备C.盈余公积转增资本D.接受股东追加投资 胎儿性别检查 [单选]铁路平面无线调车A型号电台，在调车作业中，连结员或制动员按下绿键时，辅助语音提示为（）。A.起动B.推进C.紧急停车（×号×号）D.×号解锁 胎儿性别检查 [单选]雪情通告的标志是（）.A.NOTAMSB.SNOTAMC.SNOWTAM 胎儿性别检查 [单选]某产妇，产后2天，自述下腹阵发性疼痛，无恶心、呕吐，查子宫底在脐下3指，可能的诊断为（）。A.阑尾炎B.腹膜炎C.产后宫缩痛D.胰腺炎E.卵巢囊肿 胎儿性别检查 [单选,A2型题,A1/A2型题]抗酒石酸酸性磷酸酶染色阳性的是（）A.慢性淋巴细胞白血病B.淋巴肉瘤C.多毛细胞白血病D.尼曼-匹克病E.B淋巴细胞 胎儿性别检查 [单选,A2型题,A1/A2型题]脑性瘫痪肌张力测定不包括（）A.头背屈角B.臂弹回试验C.围巾征D.内收肌角E.WeeFIMSM 胎儿性别检查 [单选]以下跳汰机是按矸石的运动方向加以区分的（）。A、单槽跳汰机B、正排矸跳汰机C、块煤跳汰机D、三段跳汰机 胎儿性别检查 [多选]关于航空运输市场的含义下列说法正确的是()A.航空运输市场是一种特定的市场B.是航空运输产品和服务交易的场所C.是指航空运输产品供求关系的总和D.是在一定时空条件下对航空运输产品和服务需求的总和E.供求关系的无法测量的市场 胎儿性别检查 [单选]国产指示仪表准确度等级分为：0.1，0.2，0.5，1.5，2.5，5.0七级数字表示意义是什么？（）A.数字越大表示准确度越高B.数字越小表示准确度越高C.数字越小表示仪表准确度越低 胎儿性别检查 [单选,A型题]下列是片剂的特点的叙述，不包括（）A、体积较小，其运输、贮存及携带、应用都比较方便B、片剂生产的机械化、自动化程度较高C、产品的性状稳定，剂量准确，成本及售价都较低D、可以制成不同释药速度的片剂而满足临床医疗或预防的不同需要E、具有靶向作用 胎儿性别检查 [单选]（）是一种由此及彼，由已知到未知或未来的研究方法。通过它可以对事物获得新的认识。A、比较B、分析与综合法C、推理D、数据整合方法 胎儿性别检查 [单选]不属于煮炉加药前的准备工作的是（）。A.操作人员要配备工作服、胶皮手套、胶鞋、防护镜等劳保用品以及救护药品，操作地点附近要有清水B.准备好加药桶和其他工具C.不得将固体药品注入锅筒内，更不得使药液进入过滤器内D.将煮炉用药品先调成20%浓度的水溶液，搅 胎儿性别检查 [配伍题,B1型题]患者体内含有抗-A、抗-B，按照同型输注原则可接受（）</br>患者体内含有抗-B，按照同型输注原则可接受（）A型血B.O型血C.B型血D.O型血或B型血E.O型血或A型血 胎儿性别检查 [单选]胃癌最好发的部位是（）A.幽门管B.胃窦大弯侧C.胃体大弯侧D.胃窦小弯侧E.贲门小弯侧 胎儿性别检查 [单选]对固定资产采用加速折旧法，体现了会计核算的（）要求。A.重要性B.谨慎性C.可比性D.实质重于形式 胎儿性别检查 [单选,A2型题,A1/A2型题]中枢神经系统白血病多见于（）A.儿童急性粒细胞白血病B.急性淋巴细胞白血病治疗缓解后C.慢性粒细胞白血病急变期D.慢性淋巴细胞白血病E.以上都不正确
4-5.4.1数学归纳法及其应用举例(1)
证明：(i)当n＝1时，34×1+2＋52×1+1＝754＝14×16， ∴当n＝1时，34n+2＋52n+1能被14整除． (ii)设n＝k(k≥1，k∈N*)时，34k+2＋52k+1能被14整除． 那么当n＝k＋1时
34(k+1)+2＋52(k+1)+1＝34k+2· 34＋52k+1· 52 ＝81· 34k+2＋25· 52k+1 ＝(25＋56)· 34k+2＋25· 52k+1
1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2
3）当n=k+1时，命题的形式是
1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1) +(k+1)[3(k+1)+1] =(k+1)[(k+1)+1]2
4）此时，左边增加的项是
(k+1)[3(k+1)+1]
5)从左到右如何变形？
证明： （1）当n=1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，等式成立。 （2）假设 n= k时 命题成立，即 1× 4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2 当n=k+1时 左边=1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)
k k 1 k 1 k 1
5(5 2 3 1) 4(3 1) 5 Ak 4(3 1) 因为 Ak 是 8 的倍数,3k-1 +1 是偶数即 4(3k-1 +1)也是 8 的倍数,所以 Ak+1 也是 8 的倍数 ,即当 n=k +1 时,命题成立. 由(1)、(2)知对一切正整数 n, An 能被 8 整除.
高中数学数学归纳法的应用检测试题(附答案)
高中数学数学归纳法的应用检测试题（附答案）试卷分析题目高中数学复习专题讲座数学归纳法的解题应用高考要求数学归纳法是高考考查的重点内容之一类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法重难点归纳(1)数学归纳法的基本形式设P(n)是关于自然数n的命题，若1P(n0)成立(奠基)2假设P(k)成立(kn0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立(2)数学归纳法的应用具体常用数学归纳法证明恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等典型题例示范讲解例1试证明不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,nN_且a、b、c互不相等时，均有an+cn＞2bn命题意图本题主要考查数学归纳法证明不等式知识依托等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤错解分析应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况技巧与方法本题中使用到结论 (ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c为正数)，从而ak+1+ck+1＞akc+cka证明 (1)设a、b、c为等比数列，a= ,c=bq(q＞0且q1)an+cn= +bnqn=bn( +qn)＞2bn(2)设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想＞( )n(n2且nN_)下面用数学归纳法证明①当n=2时，由2(a2+c2)＞(a+c)2，②设n=k时成立，即则当n=k+1时， (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)＞ (ak+1+ck+1+akc+cka)= (ak+ck)(a+c)＞( )k( )=( )k+1也就是说，等式对n=k+1也成立由①②知，an+cn＞2bn对一切自然数n均成立例2在数列{an}中，a1=1，当n2时，an,Sn,Sn－成等比数列(1)求a2,a3,a4，并推出an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论；(3)求数列{an}所有项的和命题意图本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识知识依托等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤采用的方法是归纳、猜想、证明错解分析 (2)中，Sk=－应舍去，这一点往往容易被忽视技巧与方法求通项可证明{ }是以{ }为首项，为公差的等差数列，进而求得通项公式解∵an,Sn,Sn－成等比数列，Sn2=an(Sn－ )(n (_)(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(_)式得:a2=－由a1=1，a2=－ ,S3= +a3代入(_)式得a3=－同理可得a4=－ ,由此可推出an=(2)①当n=1,2,3,4时，由(_)知猜想成立②假设n=k(k2)时，ak=－成立故Sk2=－ (Sk－ )(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0Sk= (舍)由Sk+12=ak+1(Sk+1－ ),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－ )由①②知，an= 对一切nN成立(3)由(2)得数列前n项和Sn= ,S= Sn=0例3是否存在a、b、c使得等式122+232+…+n(n+1)2= (an2+bn+c)解假设存在a、b、c使题设的等式成立，这时令n=1,2,3,有于是，对n=1,2,3下面等式成立122+232+…+n(n+1)2=记Sn=122+232+…+n(n+1)2设n=k时上式成立，即Sk= (3k2+11k+10)那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2= (k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2= (3k2+5k+12k+24)= ［3(k+1)2+11(k+1)+10］也就是说，等式对n=k+1也成立综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立学生巩固练习1已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然数m,使得对任意nN,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )A30 B26 C36 D62用数学归纳法证明3k3,nN)第一步应验证( )An=1 Bn=2 C n=3 Dn=43观察下列式子…则可归纳出________4已知a1= ,an+1= ,则a2,a3,a4,a5的值分别为________，由此猜想an=________ 5用数学归纳法证明4 +3n+2能被13整除，其中nN_6若n为大于1的自然数，求证7已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145(1)求数列{bn}的通项公式bn;(2)设数列{an}的通项an=loga(1+ )(其中a＞0且a1)记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与 logabn+1的大小，并证明你的结论8设实数q满足|q|＜1,数列{an}满足a1=2,a20,anan+1=－qn,求an表达式，又如果 S2n＜3,求q的取值范围参考答案1解析∵f(1)=36,f(2)=108=336,f(3)=360=1036f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除证明n=1,2时，由上得证，设n=k(k2)时，f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除，则n=k+1时，f(k+1)－f(k)=(2k+9)3k+1?－(2k+7)3k=(6k+27)3k－(2k+7)3k=(4k+20)3k=36(k+5)3k－2?(k2)f(k+1)能被36整除∵f(1)不能被大于36的数整除，所求最大的m值等于36答案C2解析由题意知n3，应验证n=3答案C3解析(nN_)(nN_)、、、5证明 (1)当n=1时，421+1+31+2=91能被13整除(2)假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时，42(k+1)+1+3k+3=42k+142+3k+23－42k+13+42k+13=42k+113+3(42k+1+3k+2?)∵42k+113能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除当n=k+1时也成立由①②知，当nN_时，42n+1+3n+2能被13整除6证明 (1)当n=2时，(2)假设当n=k时成立，即7 (1)解设数列{bn}的公差为d,由题意得 ,bn=3n－2(2)证明由bn=3n－2知Sn=loga(1+1)+loga(1+ )+…+loga(1+ )=loga［(1+1)(1+ )…(1+ )］而 logabn+1=loga ,于是，比较Sn与 logabn+1?的大小比较(1+1)(1+ )…(1+ )与的大小取n=1，有(1+1)=取n=2，有(1+1)(1+推测(1+1)(1+ )…(1+ )＞ (_)①当n=1时，已验证(_)式成立②假设n=k(k1)时(_)式成立，即(1+1)(1+ )…(1+ )＞则当n=k+1时，,即当n=k+1时，(_)式成立由①②知，(_)式对任意正整数n都成立于是，当a＞1时，Sn＞ logabn+1?,当 0＜a＜1时，Sn＜ logabn+1?8 解∵a1a2=－q,a1=2,a20,q0,a2=－ ,∵anan+1=－qn,an+1an+2=－qn+1?两式相除，得 ,即an+2=qan于是，a1=2,a3=2q,a5=2qn…猜想a2n+1=－qn(n=1,2,3,…)综合①②，猜想通项公式为an=下证(1)当n=1,2时猜想成立(2)设n=2k－1时，a2k－1=2qk－1则n=2k+1时，由于a2k+1=qa2k－1? a2k+1=2qk即n=2k－1成立可推知n=2k+1也成立设n=2k时，a2k=－ qk,则n=2k+2时，由于a2k+2=qa2k?,所以a2k+2=－ qk+1,这说明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立综上所述，对一切自然数n,猜想都成立这样所求通项公式为an=S2n=(a1+a3…+a2n－1)+(a2+a4+…+a2n)=2(1+q+q2+…+qn-1?)－(q+q2+…+qn)由于|q|＜1, =依题意知＜3,并注意1－q＞0,|q|＜1解得－1＜q＜0或0＜q＜。
数学归纳法及其应用
数学归纳法及其应用赵小云 蒋亦东(杭州师院数学系,浙江 310036)中图分类号:O12-45 文献标识码:E 文章编号:0488-7395(2000)10-0044-04收稿日期:2000-02-151 基本原理数学归纳法是一种重要的数学证明方法,在与自然数有关的命题研究中,我们常用数学归纳法进行推理和证明.下面的问题是大家十分熟悉的.例1 证明:13+23+…+n 3=[n (n +1)2]2.(1) 分析:要证明上面的等式对所有的自然数n 成立,只要证明1)它对n =1成立(起步);2)设它对n =k 成立可以推出它对n =k +1也成立(递推).事实上,n =1时,13=[1・(1+1)2]2,等式成立,假设当n =k 时等式成立,即13+23…+k 3=[k (k +1)2]2,上式两端同时加上(k +1)3,得13+23+…+k 3+(k +1)3=[k (k +1)2]2+(k +1)3,于是有13+23+…+k 3+(k +1)3=[(k +1)(k +2)2]2,这恰好是将n =k +1代入(1)式后得到的形式,所以等式对n =k +1也成立.例1给出了数学归纳法基本原理的几乎全部内容,因此理解这一原理是并不困难的,但是,由于可以用数学归纳法证明的问题非常广泛,当问题并不是用一个简单的等式表达时,命题错综复杂的逻辑关系会造成困境,使你对基本原理的理解模糊、动摇,以致迷失前进的方向.这也是数学竞赛问题中运用数学归纳法失败的重要原因.因此,理解数学归纳法原理并不等于掌握了它的技巧.下面我们针对数学问题的一些具体形式,分析应用数学归纳法原理的基本技巧,以便应用数学归纳法原理时能抓住关键步骤,达到单刀直入的证题效果.2 应用技巧例2 实验室里有容积相同的量杯盛着各种不同的液体,此外还有一只容积相同的空杯.证明:可以通过有限次混合手续,使它们成为成份相同的溶液,此外还余一个空量杯.分析:表面上看本题与数学归纳法没有联系,但若我们引入一个整数参数n (原有溶液的杯数),我们就可以考虑应用数学归纳法.事实上,不妨设有n 杯各种不同的溶液,显然n =1时命题成立.假设n =k 时命题成立,即k 杯溶液可以通过有限次混合手续,使它们成为成份相同的溶液,此外还有一个空杯,于是当再增加一杯时,我们只需把k杯已混合好的溶液各倒1k +1杯到空杯中,最后拿增加的那杯溶液去把上述k +1杯液体加满,这样我们便得到k +1杯成份相同的液体,此外还有一个空杯,也就是说n =k +1时命题也成立.上面的分析告诉我们,很多与自然数n有关的问题都可采用数学归纳法,而一个具体的问题能否用数学归纳法,以及取什么做n,则取决于能否递推.只要有递推的希望,就不妨一试.例3 在正项数列{a n}中,a2n≤a n-a n+1,证明:a n<1 n .证 当n=1时,由a21≤a1-a2得a2≤a1(1-a1),又a1>0,a2>0,故有1-a1>0即a1<1,这就是说n=1时命题正确.假设当n=k时不等式成立:a k<1k.当n=k+1时,由于a2k≤a k-a k-1,即有a k+1≤a k(1-a k).显然0<1-a k<1,从而有a k+1<a k,因此,若有1)a k<1k+1,则a k+1<a k<1k+1,于是我们只需考虑2)1k+1≤a k<1k即可.事实上,此时a k+1≤a k(1-a k)<1k(1-1k+1)=1k+1.由1),2)我们证明了a k+1<1k+1,即n =k+1时命题也成立.所以,对一切自然数n,有a n<1n.在这里,我们分a k<1k+1和a k≥1k+1两种情形来完成由n=k到n=k+1的递推,用意十分明显:因为我们欲从a k+1< a k(1-a k)中得到关于a k+1的上界估计,不仅需要“a k小于多少”的信息,而且还需要“a k大于多少”的信息,而这类信息有时无法从已知条件或归纳假设中直接得到,于是要求我们根据递推的需要加以补充,类似于例3的这种手法在数学归纳法中是极为常见的,当请读者注意.例4 (1984年高中数学联赛试题)设x1,x2,…,x n都是正数,证明:x21 x2+x22x3+…+x2n-1x n+x2nx1≥x1+x2+…+x n.分析:显然n≥2.而当n=2时欲证不等式即为x21x2+x22x1≥x1+x2.由于x21x2+x22x1-x1-x2=x21(1x2-1x1)+ x22(1x1-1x2)=(x21-x22)(1x2-1x1)≥0.故当n=2时命题正确,下面我们进行递推.为方便记,不妨令f(x1,x2,…,x n)= x21x2+x22x3+…+x2n-1x n+x2nx1-x1-x2-…-x n.于是,我们需要由f(x1,x2,…,x k-1)≥0(1)推出f(x1,x2,…,x k-1,x k)≥0(2)为寻求(1)式与(2)式之间的关系,我们作如下变形f(x1,x2,…,x k)=f(x1,x2,…x k-1) +x2k-1x k+x2kx1-x2k-1x1-x k=f(x1,x2,…, x k-1)+(x2k-1-x2k)(1x k-1x1).于是,若有(x2k-1-x2k)(1x k-1x1)≥0,我们便可完成递推.这需要有x k≥max{x k-1,x1}或x k≤min{x k-1,,x1},因此必须添加假设.x k=max1≤i≤kx i,或x k=min1≤i≤kx i.事实上,由于f(x1,x2,…,x k)是轮换对称式,如果不是x k最大(或最小),则f(x i+1,x i+2,…,x k,x1,x2,…,x i)=f(x1, x2,…,x k),而f(x i+1,x i+2,…,x k,x1,…,x i-1)≥0,仍然是归纳假设,因此上述假设是可以的,我们可以用“不妨假设x k=max1≤i≤kx i”来概括上述理由.例5 (1988年全国高中数学联赛试题)已知a,b>0,且1a+1b=1.证明:对一切n ∈N,有(a+b)n-a n-b n≥22n-2n+1.证 显然,n=1时命题成立.2)若n=k时,不等式成立,即(a+b)k -a k-b k≥2k-2k+1.则当n=k+1时,(a+b)k+1-a k+1-b k+1=(a+b)[(a+b)k-a k-b k]+a k b+ ab k.另一方面,由于1a +1b=1,故ab=a+b≥2ab,∴ab≥2,即有ab=a+b≥4.于是(a+b)[(a+b)k-a k-b k]+a k b+ab k≥4(22k-2k+1)+2(ab)k+1≥22k+2 -4・2k+1+2・2k+1=22k+2-2k+2.即n=k+1时命题成立,从而对一切n ∈N,命题均成立.例5中,为了递推的需要,一方面我们将(a+b)k+1-a k+1-b k+1变形为(a+b)[(a +b)k-a k-b k]+a k b+ab k,另一方面我们利用题设条件“1a +1b=1”进行(等量或不等量的)转化,使其与2的方幂建立联系,正是这种分析的结果与归纳假设的综合运用帮助我们顺利地实现了递推过渡.例6 (1990年全国高中数学联赛试题)已知a,b均为自然数,且a>b,sinθ=2ab a2+b2(0<θ<π2),A n=(a2+b2)n sin nθ.证明:对一切自然数n,A n均为整数.证 由sinθ=2aba2+b2得cosθ=1-sin2θ=a 2-b2a2+b2.设B n=(a2+b2)n cos nθ,我们证明A n, B n均为整数.事实上,n=1时,A1=2ab,B1=a2-b2均为整数.若n=k时,A k,B k均为整数,则n=k +1时,由于sin(k+1)θ=sin kθcosθ+cos kθsinθ=A k B1+A1B k (a2+b2)k+1, 故有 A k+1=A k B1+A1B k.类似地,B k+1=B k B1-A k A1. 于是A k+1,B k+1均为整数,即A n,B n对n∈N均为整数.这里,我们通过证明一个更强的命题(即A n,B n均为整数)来实施归纳过渡.因为强的命题其归纳假设也更强,所以有时可能更易证,这使数学归纳法的技巧更具灵活性,同时也极大地增强了数学归纳法的威力.综合前面几个例子的解题经验,我们可以看到,数学归纳法有两个基本特点:一个是“死”,一个是“活”,所谓“死”,就是我们必须牢牢遵守两个基本步骤,缺一不可;所谓“活”,就是它在每一步的处理方法上,却显得十分灵活.事实上,为了利用好归纳假设和题设条件,我们常常需要对它们作一番细致的剖析,有时还需要添加一些补充假设(如例4),甚至通过加强命题的手法来完成归纳过渡等等.习 题1 若P是凸多边形,且包含于多边形Q之内,证明:P的周长小于Q的周长.2 证明:1+3+…+2n-1≥2n-13・2n-1,n∈N.3 设0<x<1,且x1=1+x,x n+1=1x n+x (n=1,2,…).证明:x n>1(n∈N).4 如果非负数x1,x2,…,x n满足不等式x1 +x2+…+x n≤12.证明:(1-x1)(1-x2)…(1-x n)≥12.5 (1998年第九届希望杯全国数学邀请赛试题)数列{a n}的前n项和为S n,若a1=1,且S n=n2a n,试求数列的通项公式并加以证明.6 设a i≥0(i=1,2,…,n),且a1+a2+…+a n=4(n≥3).证明:a31a2+a32a3+…+a3n-1a n+a3n a1≤27.习题答案与提示1 设P中不完全与Q的边重合的边数为n,然后用数学归纳法证明.2 由n=k向n=k+1递推时,只须证明13(2k-1)2k-1+2k+1≥13(2k+1)2k+1.3 将命题加强为证明1<x n<1+x.注意教材中的“约定”田宪生(湖北省制药工业学校,湖北 430064)中图分类号:G 634-42 文献标识码:C 文章编号:0488-7395(2000)10-0047-01收稿日期:2000-03-01作者简介:田宪生(1954—),女,湖北武汉市人,湖北省制药工业学校高级讲师,学士. 教材中的“约定”大致分四种情况,往往不引起同学们的注意,导致解题的繁琐或错误.本文举例说明.1 用附注给出的《立体几何》必修本P 9页末有一段文字:本书中没有特别说明的“两条直线(平面)”,均指不重合的两条直线(平面).不妨看一看复习参考题一(P 48)第1题:下面的说法正确吗?为什么?1)两条直线确定一平面;2)如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合.也许是受命题2)中“平面重合”的暗示,不少同学对题1)的解答是:两直线重合时就不确定一平面,故命题1)不正确.如何评析这种解答,我们把它留给读者.2 用括号说明的“复数的有关概念”(《代数》下册P 180)的第一行,括号中有一个说明:以后说复数a +bi 时,都有a ,b ∈R.但不少同学无视这一约定,在解复习参考题八(P 222)第13题(设a +bi ,c +di ∈C ,下列命题成立的充要条件是什么?题略.)时,对a ,b ,c ,d 进行了所谓的“全面讨论”———不仅考虑它们是实数的情况,还考虑它们是虚数的情况,一个用来理解复数概念的题,就这样被复杂化了.3 用定义规范的《解析几何》中两直线“夹角”的定义,就规定了这个角是“不大于直角的角”(P 34).但一些同学在解此类题时,却经常得到诸如“60°或120°”的结果.同样,直线的倾角、两异面直线所成的角,复数的幅角的主值等都有明确的范围.4 用形式表示的二项式(a +b )n的展开式,隐含着一个约定:a ,b 有先后之别,即a 按降幂同时b 按升幂排列.由于展开式具有对称性,人们便容易忽视其规定性,一旦涉及“项的次序”,就会出错.还有一些约定,需要我们注意把握,如极坐标方程中约定在一般情况下,极径都是取正值,但是在某些必要的情况下,也允许取负值.又比如复数开方中的附注:有的书上用nZ 表示Z 的n 次方根,采用这个记号时,一定要记住n Z 表示n 个复数,等等.数学中的约定,是我们进行数学交流的共同语言,不能不引起我们的注意.4 由n =k 向n =k +1递推时,令x ′k =x k +x k +1.5 a n =2n (n +1).6 不妨设a 1=max 1≤i ≤na i ,即a 1为最大者,可以验证n =3时命题成立.若n =k (k ≥3)时不等式成立,则当n =k +1时,左式≤a 31a 2+a 31a 3+(a 2+ a 3)3a 4+…+a 3k +1a 1=a 31(a 2+a 3)+(a 2+a 3)3a 4+…+a 3k +1a 1.而k 个变量a 1,a 2+a 3,a 4,…,a k +1的和为4,于是可得a 31(a 2+a 3)+(a 2+a 3)3a 4+…+a 3k +1a 1≤27,即n =k +1时命题也真.。
数学归纳法
数学归纳法一、步骤：二、易错点：三、应用：四、举例：1、已知230123(1)(1)(1)(1)(1)n n n x a a x a x a x a x +=+-+-+-++- ,(其中n N *∈) ⑴求0a 及123n n S a a a a =++++ ;⑵试比较n S 与2(2)22n n n -+的大小,并说明理由2、用数学归纳法证明：)N (98322*+∈--n n n 能被64整除．五、练习：1、已知,则等于:______________2、用数学归纳法证明3)12(12)1()1(2122222222+=+++-++-+++n n n n n 时， 由k n =的假设到证明1+=k n 时，等式左边应添加的式子是:______________3、若命题P(n)对一切的n=2成立，且由P(k)成立可以推证P(k+2)也成立，则一定有（ ）A 、P(n)对所有正整数都成立B 、P(n)对所有大于等于2的正整数都成立C 、P(n)对所有正偶数都成立D 、P(n)对所有正奇数都成立4、已知,则f(k+1)等于:______________5、用数学归纳法证明命题时，此命题左式为111123421n ++++- ，则n=k+1与n=k 时相比，左边应添加:_____________________6、若f (n )=1+1213121++⋅⋅⋅++n (n ∈N*),则当n =1时，f (n )为:______________ 7、凸n 边形有)(n f 条对角线，则凸1+n 边形的对角线的条数)1(+n f 为:______________131...2111)(++++++=n n n n f )1(+k f 131...2111)(++++++=n n n n f8、设正数数列{}n a 前n 项和为n S ,对所有正整数n 都有222n n a S +=,则通过归纳猜测可得到n a =___________ 9、用数学归纳法证明1＋2＋22＋23＋……＋25n-1(n ∈N)是31的倍数时，从“n=k →n=k ＋1”需添的项是___________10、已知数列{}n a 满足01=a ,)(31*1N n a a a n n n ∈-+=+ (1)计算432,,a a a 的值;(2)由(1)的结果猜想{}n a 的通项公式,并证明你的结论｡11、若n 为大于1的自然数,求证: 12、在数列}{n a 中，611=a ，)2(4321≥++++=-n nS a n n 其中n S 表示数列的前n 项和。
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第2课时数学归纳法的应用双基达标(限时20分钟)
1．利用数学归纳法证明1
n＋
1
n＋1
＋
1
n＋2
＋…＋
1
2n<1(n∈N
*，且n≥2)时，第二步
由k到k＋1时不等式左端的变化是
()．
A．增加了
1
2k＋1
这一项
B．增加了
1
2k＋1
和
1
2k＋2
两项
C．增加了
1
2k＋1
和
1
2k＋2
两项，同时减少了
1
k这一项
D．以上都不对
解析不等式左端共有n＋1项，且分母是首项为n，公差为1，末项为2n
的等差数列，当n＝k时，左端为1
k＋
1
k＋1
＋
1
k＋2
＋…＋
1
2k；当n＝k＋1时，
左端为
1
k＋1
＋
1
k＋2
＋
1
k＋3
＋…＋
1
2k＋
1
2k＋1
＋
1
2k＋2
，对比两式，可得结论．
答案 C
2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”的第二步是
()．A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确
B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确
C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确
D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N*)
解析因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第(k＋1)个正奇数即n＝2k＋1正确．
答案 B
3．已知平面内有n条直线(n∈N*)，设这n条直线最多将平面分割成f(n)个部分，则f(n＋1)等于
()．A．f(n)＋n－1 B．f(n)＋n
C．f(n)＋n＋1 D．f(n)＋n＋2
解析要使这n条直线将平面所分割成的部分最多，则这n条直线中任何两条不平行，任何三条不共点．因为第n＋1条直线被原n条直线分成n＋1条线段或射线，这n＋1条线段或射线将它们所经过的平面区域都一分为二，故f(n＋1)比f(n)多了n＋1部分．
答案 C
4．已知S n＝1
1·3＋
1
3·5＋
1
5·7＋…＋
1
(2n－1)(2n＋1)
，则S1＝________，S2＝________，
S3＝________，S4＝________，猜想S n＝________.
解析分别将1,2,3,4代入观察猜想S n＝n
2n＋1
.
答案1
3
2
5
3
7
4
9
n
2n＋1
5．用数学归纳法证明“当n为正偶数时x n－y n能被x＋y整除”第一步应验证n ＝________时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成________________．解析因为n为正偶数，故第一个值n＝2，第二步假设n取第k个正偶数成立，即n＝2k，故应假设成x2k－y2k能被x＋y整除．
答案2x2k－y2k能被x＋y整除
6．用数学归纳法证明：
1＋1
22＋
1
32＋…＋
1
n2＜2－
1
n(n≥2)．
证明：(1)当n＝2时，1＋1
22＝
5
4＜2－
1
2＝
3
2，命题成立．
(2)假设当n＝k时命题成立，即1＋1
22＋
1
32＋…＋
1
k2＜2－
1
k，当n＝k＋1时，
1＋1
22＋
1
32＋…＋
1
k2＋
1
(k＋1)2
＜2－
1
k＋
1
(k＋1)2
＜2－
1
k＋
1
k(k＋1)
＝2－
1
k＋
1
k－
1 k＋1＝2－
1
k＋1
，命题成立．
由(1)、(2)知原不等式在n≥2时均成立．
综合提高(限时25分钟)
7．用数学归纳法证明不等式
1n ＋1＋1n ＋2
＋…＋12n >1124(n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时，下列说法正确的是
( )．
A ．增加了一项1
2(k ＋1)
B ．增加了两项
12k ＋1和12(k ＋1)
C ．增加了B 中的两项，但又减少了一项
1k ＋1 D ．增加了A 中的一项，但又减少了一项1k ＋1
解析 当n ＝k 时，不等式左边为1k ＋1＋1k ＋2
＋…＋12k ， 当n ＝k ＋1时，不等式左边为1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2
. 答案 C
8．命题P (n )满足：若n ＝k (k ∈N *)成立，则n ＝k ＋1成立，下面说法正确的是( )． A ．P (6)成立则P (5)成立 B ．P (6)成立则P (4)成立 C ．P (4)成立则P (6)成立 D ．对所有正整数n ，P (n )都成立
解析 由题意知，P (4)成立，则P (5)成立，若P (5)成立，则P (6)成立．所以P (4)成立，则P (6)成立． 答案 C
9．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，则a 、b 、c 的值为________．
解析 ∵等式对一切n ∈N *均成立，∴n ＝1,2,3时等式成立，即：⎩⎨⎧
1＝3(a －b )＋
c ，
1＋2×3＝32(2a －b )＋c ，
1＋2×3＋3×32＝33(3a －b )＋c ，
整理得⎩⎨⎧
3a －3b ＋c ＝1，
18a －9b ＋c ＝7，
81a －27b ＋c ＝34，
解得a ＝12，b ＝c ＝1
4.
答案 a ＝12，b ＝c ＝1
4
10．数列{a n }中，已知a 1＝2，a n ＋1＝a n
3a n ＋1(n ∈N *)，依次计算出a 2，a 3，a 4后，
归纳、猜测得出a n 的表达式为________． 解析 a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝2
19，猜测a n ＝2
6n －5
. 答案 a n ＝2
6n －5
11．求证：1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤1
2＋n .
证明 (1)当n ＝1时，f (1)＝1＋1
2，原不等式成立； (2)设n ＝k (k ∈N *)时，原不等式成立 即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤1
2＋k 成立， 当n ＝k ＋1时， f (k ＋1)＝f (k )＋
12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1≥1＋k 2＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋1
2k ＋1
>1＋
k 2＋
＝1＋k 2＋1
2＝1＋k ＋12， f (k ＋1)＝f (k )＋
12k
＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1≤12＋k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12
k ＋1<12＋k ＋
∴f (k ＋1)<1
2＋(k ＋1)即n ＝k ＋1时，命题成立． 综合(1)、(2)可得：原命题对n ∈N *恒成立．
12．(创新拓展)数列{a n }满足S n ＝2n －a n ，n ∈N *，先计算前4项后猜想a n ，并用数学归纳法证明．
证明 当n ＝1时，S 1＝2－a 1，∴a 1＝1， n ＝2时，S 2＝a 1＋a 2＝4－a 2，∴a 2＝3
2， n ＝3时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝6－a 3，∴a 3＝7
4， n ＝4时，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝8－a 4，∴a 4＝15
8. ∴猜想a n ＝2n －1
2
n －1.
用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝1，猜想成立， ②假设n ＝k 时猜想成立，即a k ＝2k －1
2
k －1成立．
那么，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝2(k ＋1)－a k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝2k －a k ＋a k ＋1，∴2a k ＋1＝2＋a k ＝2＋2k －12k －1＝2k ＋1－1
2
k －1，
∴a k ＋1＝2k ＋1－1
2k ，即n ＝k ＋1时猜想成立． 由①②可知，对n ∈N *猜想均成立．。