矩阵分析第三章精讲课件2
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Schur 引理与正规矩阵
定义：设，若存在使得
,()n n
n n
A B C
R
××∈或n n
U U
×∈()n n
×或E 1
1
()
H
T
U AU U AU B U AU U AU B −−====或则称酉相似或正交相似于.
A B ()定理任何一个酉相似A (Schur 引理)：任何个阶复矩阵于一个上(下)三角矩阵。
n
证明1A A A 1k −证明：用数学归纳法。的阶数为1 时定理显然成立。现设的阶数为时定理成立，考虑时的情况
取阶矩阵的一个特征值，对应的单位特征构造以k A 1λk 的阶数为时的情况。向量为，构造以为第一列的阶酉矩阵，
k 1α1α]
112[,,,k U ααα="]"112112[,,,[,,,]
k k AU A A A A A αααλααα=="因为构成的一个标准正交基，
12,,,k ααα"k
C
令
1k k
U U ×⎡⎤=∈⎦
那么
2W ⎢⎥
⎣b b λ⎡12110
k H H U ⎤⎢⎥21121
U U AU R ⎢⎥=
⎢⎥#0
⎢⎥⎣⎦
[] is upper Hessenberg if 0 for 1.
ij ij A a a i j ==−>
H H
AA A A
=那么称矩阵为一个正规矩阵.A 那称矩阵为个规矩阵n n
A R
×∈A 设, 如果同样满足T T
AA A A
=H
H
AA A A
=即
,
A 那么称矩阵为一个实正规矩阵.
11−⎡⎤⎢⎥例: (1) 为实正规矩阵。
1
1⎣⎦
a b c
d ⎡⎤(2)
b a
d c ⎢⎥−−c d a b ⎢⎥
−−⎢⎥
d c
b a ⎢⎥
−−⎣
⎦
,,,a b c d 其中是不全为零的实数, 容易验证这是个一个实正规矩阵.
43462i
i i +−−⎡⎤(3)
443261i i i ⎢⎥−−−−⎢⎥6226i i +−−⎢⎥⎣⎦
是一个正规矩阵.
(4) H-阵, 反H-阵, 正交矩阵, 酉矩阵, 对角矩
阵都是正规矩阵.
正规矩阵的性质与结构定理
引理 1 :设是一个正规矩阵, 则与酉相似的矩阵一定是正规矩阵.
A A A 引理2 :设是一个正规矩阵, 且又是三角矩阵, A 则必为对角矩阵.
定由上述引理可以得到正规矩阵的结构定理
定理: 设, 则是正规矩阵的充要条件是存在一个酉矩阵使得n n
A C ×∈A U
说明可对角化的矩阵不一定可酉对角化举例说明：可对角化的矩阵不一定可酉对角化.设X , Y 是两个线性无关但是不正交的向量，比如⎡⎤
⎡取P =[X Y ]=10,21⎢⎥1001D ⎤
=⎢⎥−⎦
，⎣⎦⎣10⎡⎤⎥10⎡⎤10⎡⎤
则1A PDP −==21⎢⎣⎦01⎢⎥−⎣⎦21⎢⎥−⎣⎦
⎡1041⎤
=⎢⎥−⎣⎦可对角化，但不能酉对角化
推论 2 :正规矩阵属于不同特征值的特征向量彼此正交.
324
⎡⎤
例1 :设
=
202
A⎢⎥
⎢⎥
423
⎢⎥
⎣⎦
Q1
Q−
求正交矩阵为对角矩阵.
使得AQ
解: 先计算矩阵的特征值
即为所求正交矩阵且有
Q 则矩阵1−⎡11Q AQ −⎤⎢⎥=−⎢⎥8⎢⎥⎣⎦
2:例 2 :设434624i i i +−−⎡⎤4326A i
i i ⎢⎥=−−−−⎢⎥−−62261i i ⎢⎥+⎣
⎦使得为对角矩阵Q H AQ 求酉矩阵.
Q
⎡9H i −⎤
99Q AQ i
⎢⎥=⎢⎥
⎥⎢⎣⎦
例3
证明:
(1)H ;H (1) H-矩阵的特征值为实数; H-矩阵属于不同
特征值的特征向量是正交的.(2)H (2) 反H-矩阵的特征值为零或纯虚数.(3) 酉矩阵的特征值模长为1.A 是正规矩阵A 定理:
设, 则
(1)H 的特征值为实数A (1) 是H-阵的充要条件是.
(2) 是反H-阵的充要条件是的特征值的实部为零.
A A (3)
是U-阵的充要条件是的特征值的模长为1 .A A 注意:正规矩阵绝不仅此三类. 比如：(1)(1)
A 是酉矩阵，2A 也是正规矩阵；(2)
B 是反H-阵，
也是正规矩阵.2
,I B B B ++例4: 设是一个反H-阵, 证明:
A U 1
()()
W A I A I −=+−是U-阵.
A 证明: 因为是反H-阵，特征值为零或纯虚数, 所以
()()A I A I +−可与都是逆矩阵。
10(),i A λ±≠从而U-11H H H
A I A I A I A I −−=+−−+根据U 阵的定义
()()[()]()
W W H-, 这样A H
A I A I +=−+1
1
[()]()
H A I A I −−−=−+是反阵
,样
()