2-6 一维无限深方势阱

通常把正交性和归一性合并为


ψn x ψm x dx 0
(29)

称本征函数组 ψ n x , n 1, 2, (4) 本征函数组
n


ψn x ψm x dx nm
(30)

是正交归一的。
ψ x , n 1, 2, 是完备的。也就是说，任何在势阱内的连续函数
a 而不是 2a 。不过，这两种情况和这里的能量本征函数无关。
(6) 仍然回到 a ~ a 范围的势阱的讨论。将能量本征函数添上时间因子 e 态波函数（仅写出阱内部分）
i En t
，可得定
n x, t ψn x e
i Ent
nπ nπ A sin x e 2 2a
平面波(8)在 k 0 的特殊情形。 (2) 以上基于物理上的考虑， 假设 E 0 。 从求解方程的角度来看， E 0 有没有意义？ 此时，我们令
2mE
，注意 0 ，此时方程(4)化为
d2 ψ x 2 ψ x 0 2 dx
这个方程的两个线性无关解为 e 和 e
ψ a A sin ka B cos ka 0
由此可得
(16) (17)
A sin ka 0 B cos ka 0
(18)
首先，A, B 不能同时取非零值。 其次， 如果 A, B 同时为零， 则波函数在势阱内外处处为零，
2-6 一维无限深方势阱
~4~
这是薛定谔方程在任何情况下都有的平庸解。 它是一个非平方可积的函数， 而且也不像平面 波那样在数学上很重要，因此今后我们不再提这个无用的平庸解。因此，我们得到了两组解
1 nπ sin x , ψn x a 2a 0,
势阱宽度仍为 2a ，可以做参数替换 a 为
0 x 2a x 0, x 2a
(33)
a 将势阱宽度变为 a ，此时能级和能量本征函数变 2
En
π2 2n2 2ma 2
(34)
(10)
其中选择了合适的归一化系数。对 p x, 0 进行傅里叶变换，得
c p, 0
1 2π



p x, 0 e
i px
dx
1 2π


i

e
p p x
dx p p
(11)
注意 函数是个偶函数，因此 p p p p 。 函数形式的动量分布，正是动量 具有确定值的体现。
当 n 为偶数时，取第二组解
(23)
ψn x A sin
x a
(24)
n 0 时，依然得到平庸解。 n 取负整数也会满足条件(19)或(20)，但得到的波函数最多与相 应正整数标记的波函数相差一个负号， 和后者描述同一个量子态， 因此我们限制 n 为正整数。 两种情况的波函数可以合并为一个表达式
其动量大小为 p k 。 讨论 (1) 我们还漏掉一种情况，即 E 0 。此时，方程 (4) 变成了ψ x 0 ，其通解为
ψ x Ax B 。由于线性项 Ax 是发散的，必须排除，因此让 A 0 。由于 E 0 ，时间
因子 e
i Et
1 ，因此 x, t B 。这当然也是不能归一化的，我们可以选择 B 1 ，它是
x
x
(9)
。它们分别在 x 和 x 时发散，因此不
是模平方可积的，从而不代表物理上有意义的状态。由此可知，在量子力学中，自由粒子的 能量是非负的，这和经典力学情形一样。 通过傅里叶变换，可以得到平面波的动量分布。设粒子的动量 p p ，得到
i px E t 1 p 2 p x, t e ，其中 E 2m 2π
i
Ent
, x a
(36)
利用欧拉公式，可以将其改写为指数形式
n x, t C1 exp x Ent C2 exp x Ent , x a (37) 2a 2a
ψ a ψ a 0
x a
(14)
由于波函数是连续的，因此在势阱两端，必须满足如下条件 (15)
注意，并非对于任何 k 值或 E ，波函数都能满足条件(15)，能够满足需要的 E 值就是能量本 征值。利用条件(15)，可得
ψ a A sin ka B cos ka 0
虽然参数 k 仍由(5)式定义，但由于波函数限制在势阱内，因而不具有确定的波数和动量（见 后面讨论） 。因此，这里 k 只是一个与能量 E 有关的参数，其含义见后面讨论。对于束缚在 势阱内的粒子，取三角函数的解计算会更方便。因此，方程的通解在势阱内的部分可写为
ψ x A sin kx B cos kx,
0 ~ a 上的连续函数，都可以用正弦函数(35)来展开。
从细节上讲， 傅里叶级数是对周期函数进行展开， 所用的三角函数也是定义在无穷区间 上的周期函数。 比如， 已知函数 f x 在 0 ~ a 上的定义， 先将 f x 作奇延拓， 即在 a ~ 0 上，定义 f x f x ，然后将函数以 2a 为周期延拓到整个实轴上。因为是奇函数， 所以傅里叶级数中只出现正弦，基波周期为 2a 。这里我们只关注势阱内部分，将 f x 用 本征函数组(35)展开。当然，也可以对 f x 作偶延拓，再作周期性延拓，这样会得到余弦 级数；或者直接以 a 为周期作周期性延拓，得到标准形式的傅里叶级数，此时基波的周期为
(1)
分离变量后，得到定态薛定谔方程 (2)
对于自由粒子， V x 0 ，薛定谔方程(1)变为
2 d2 i x, t x, t t 2m dx 2
(3)
而定态薛定谔方程(2)变为

i
d2 ψ x E ψ x 2m dx 2
2
(4)
我们曾经验证过一维平面波 e
将在后面讨论有限深方势阱时证明。 在势阱内（ x a ） ， V x 0 ，粒子满足的定态薛定谔方程为
d2 ψ x E ψ x 2m dx 2
ikx ikx
2
(13)
这和自由粒子满足的薛定谔方程相同，只是限制在势阱内部而已。因此，这一段方程的解和 自由粒子的解相同， 可以取为 e 和 e ， 也可以取为 cos kx 和 sin kx 。 不过应当注意，
f x 都可以用这组函数来展开
f x cn ψn x
n 0
(31)
其中
cn ψn x f x dx


(32)
注意(31)式仅在势阱内成立， 我们并未定义 f x 在势阱外的值， 而等号右端在势阱外为零。 稍后我们将说明这个完备性为什么成立。 (5) 将势阱往右平移 a ，即势阱内部的范围变为 0 ~ 2a ，由此得到不对称势阱。等价的 说法是，把坐标原点选在势阱左端。很明显，坐标原点的重新选择不影响能级。能量本征函 数可以由(28)式做替换 x x a 得到
2. 一维无限深方势阱
设粒子在如下势场中运动
0, V x ,
x a x a
(12)
2-6 一维无限深方势阱
~3~
这种势场称为一维无限深方势阱，势阱宽度为 2a ，如图 1 所示。
图 1 一维无限深方势阱
ψ x 0 。这个结果，我们 在势阱外（ x a ） ， V x ，此时波函数只能为 0，
讨论
(28)
(1) 能量本征函数随着 n 的增加是奇偶交替的： n 是奇数时，ψn x 是偶函数； n 是偶
ψn x 是奇函数。 数时， 以后会知道， 当 V x V x 时， 能量本征态具有确定的对称性。
2-6 一维无限深方势阱
~5~
(2) 势阱内（不包括势阱两端）波函数的零点称为节点。随着能量的增加，波函数的节 点逐次增加 1，基态无节点，ψn x 有 n 1 个节点。 注意， 波函数的节点不可能同时为极值点。 因为极值点意味着波函数的二阶导数大于零 （极小值）或者小于零（极大值） ，而根据定态薛定谔方程(2)，波函数的节点处二阶导数等 于零。因此，节点是波函数与 x 的交点而不是切点。 (3) 容易证明（作为练习题） ，不同的本征函数相互正交1，即当 n m 时
i kx t
，此时 k 是波矢 k 的分量，
2-6 一维无限深方势阱
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和三维自由粒子一样，现在用(8)式的两个平面波的适当线性叠加，也可以得到驻波解
cos kx eit 和 sin kx eit ，它们同样是方程的两个线性无关的解，并且属于能量本征值
E 。对于自由粒子，我们通常选择指数形式的解(8)式进行讨论，它们对应确定的动量值，
A 0, cos ka 0 B 0, sin ka 0
由此可知，满足要求的 k 值为
(19) (20)
ka
相应的能量本征值为
nπ , n 1, 2, 2
(21)
En
当 n 为奇数时，取第一组解
π2 2n2 8ma 2
nπ x, 2a nπ x, 2a x a
(22)
ψn x B cos
2-6 一维无限深方势阱
~1~
2-6 一维无限深方势阱
1. 一维自由粒子
一维情形的薛定谔方程为
i
2 d2 x, t V x x, t 2 t 2m dx 2 d2 ψ x 2m dx 2 V x ψ x E