高二数学12月月考试题理(1)
四川省绵阳市南山中学2021-2022学年高二上学期12月月考试题 数学(理) Word版含答案
开始3,1,2S n T ===3S S =+2?T S >是否T 输出结束+1n n =+3T T n=2021年12月 绵阳南山中学2021年秋季高2021届12月月考数学试题命题人：吴川满分：100分，考试时间：100分钟一、选择题：本题共12题，每小题4分，共48分，在每小题的四个选项中，只有一个正确答案，把正确答案填涂在机读卡上。
1．已知点A (0,4)，B (4,0)在直线l 上，则l 的方程为( ) A ．x ＋y －4＝0 B ．x －y －4＝0 C ．x ＋y ＋4＝0D ．x －y ＋4＝02. 质点在数轴上的区间[0,2]上运动，假定质点消灭在该区间各点处的概率相等，那么质点落 在区间[0,1]上的概率为( )A.14B.13C.12 D ．以上都不对 3．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =( ) A ．4- B ．6- C ．8- D ．10-4．如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估平均数与中位数分别是( ) A ．12.5、12.5 B ．12.5、13 C ．13、12.5 D ．13、135．一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6，将这个玩具向上抛掷1次，设大事A 表示“向上的一面消灭的点数不小于3”，大事B 表示“向上的一面消灭奇数点”，大事C 表示“向上的一面消灭的点数不超过2”，则( ) A ． A 与B 是互斥而非对立大事 B ． A 与B 是对立大事 C ． A 与C 是互斥而非对立大事 D ． A 与C 是对立大事6．已知圆C ：22()(2)4(0)x a y a -+-=>及直线03:=+-y x l ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a =( )A ．2B ．22-C ．12-D ．12+ 7. 假如方程11222=+++m ym x 表示双曲线，则实数m 的取值范围是( ) A. )1,2(-- B. ),1()2,(+∞---∞ C. )1,1(- D. )2,3(--8．某单位为了制定节能减排的目标，先调查了用电量y （单位：度）与气温x （单位：c ︒）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对比表：x (单位：c ︒)1714 10 1-y (单位：度)2434 3864由表中数据得线性回归方程：a x y +-=∧2.当气温为c ︒20时，猜测用电量约为( ) A. 5 B ．10 C. 16 D. 20 9. 执行如图所示的程序框图，输出的T =( ) A ．29 B ．44 C ．52 D ．62 10.已知抛物线22y px =(0)p >，过其焦点且斜率为-1的直线 交抛物线于,A B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则 该抛物线的准线方程为( )A ．1x =B ．2x =C ．1x =-D ．2x =- 11.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若112(2)m m m a a a m +-⋅=≥，数列{}n a 的前n 项积为n T ， 若21512m T -=，则m 的值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．712.我们把由半椭圆)0(1)0(122222222<=+≥=+x cx b y x b y a x 与半椭圆合成的曲线称作“果圆”（其中0,222>>>+=c b a c b a ）。
上海市高二上学期12月月考数学试题(解析版)
一、填空题1．抛掷两枚硬币，恰好出现一次正面向上的概率是__________. 【答案】##0.512【分析】列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】同时抛掷两枚硬币，可能出现的所有结果有：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）.恰好出现一次正面向上的概率:.21=42P =故答案为：.122．用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图，其中，若原的面积ABC 1B O C O ''''==ABC 为2，则______． A O ''=【答案】1【分析】根据斜二测画法原则可还原,利用面积公式计算即可求解.ABC 【详解】由直观图可还原,如下图所示, ABC其中,又因 1,2OB O B OC O C BC B C ¢¢¢¢¢¢======,2OA BC AO A O ¢¢^=所以 11222222ABC S BC A O A O ¢¢¢¢=´=´´=即得1A O ¢¢=故答案为: .13．已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是_________.2π【答案】1【分析】设出圆锥底面半径和母线长，利用侧面展开后，扇形弧长公式和面积公式进行求解.【详解】设圆锥的底面半径为r ，圆锥的母线长为l ，则，解得：，又21π2π2l =2l =2ππ2πr l ==，解得：.1r =故答案为：14．已知事件A 与事件B 相互独立，若，，则______．()0.3P A =()0.6P B =()P A B ⋂=【答案】0.42## 2150【分析】根据相互独立事件概率乘法公式以及对立事件的概率公式求得正确答案.【详解】.()()()()10.30.60.42P A B P A P B ⋂=⨯=-⨯=故答案为：0.425．在四棱台中的12条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有______条1111ABCD A B C D -1AB 【答案】6【分析】根据异面直线的定义来确定正确答案.【详解】根据异面直线的定义可知，与直线是异面直线的有：1AB ，共条，111111,,,,,A D BC CD DD D C C C 6故答案为：66．为了了解某水库里大概有多少条鱼，先打捞出了1000条鱼，在鱼身上标记一个不会掉落的印记后放回水库，过一段时间后再次捕捞了200条鱼，发现其中5条鱼有印记．则这个水库里大概有______条鱼【答案】40000【分析】利用“捉放捉”原则即可求得这个水库里大概有40000条鱼【详解】设水库里大概有x 条鱼，则，解之得 10005200x =40000x =故答案为：400007．正四面体ABCD 的各棱长均为2，则点A 到平面BCD 的距离为______．【分析】设是底面的中心，则的长是点A 到平面BCD 的距离，由勾股定理计算可O BCD △AO 得．【详解】如图，是底面的中心，则平面，平面，，O BCD △AO ⊥BCD BO ⊂BCD AO BO ⊥正四面体ABCD 的棱长均为2，则， 223BO ==． AO ===8．下列说法中正确的是______．①一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数一样多；②极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量；③平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量．【答案】②③【分析】根据中位数，平均数、众数、极差、方差和标准差的定义即可判断.【详解】对于①，中位数是一组数据按照从小到大的顺序排列，位于中间的那个数据（或中间两个数据的平均数），但是也有一些特殊的，比如：这组数据，中位数是，而比小1,2,3,4,4,5,6,7,844的数据是个，比大的数据却是个，所以一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数不一定344一样多，故①说法错误；对于②，极差反映的是一组数据最大值与最小值的差，方差和标准差反映了数据分散程度的大小，所以说极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量，故②说法正确；对于③，平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，所以说平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量，故③说法正确，故答案为：②③.9．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高4cm ，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为3cm ．若不计容器的厚度，则球的体积为______3cm【答案】## 1256π1256π【分析】过球心作与正方体的前后面平行的截面，如图，截球得大圆，截正方体得正方形，ABCD 水面是过点的虚数，它与圆相切，然后根据圆（球）的性质计算出球半径，从而得体积．E 【详解】过球心作与正方体的前后面平行的截面，如图，截球得大圆，截正方体得正方形，ABCD ，线段是正方体上底面截球所得截面圆直径，虚线表示水面，，设球半径4AB =AB 431EF =-=为，则，， R 1OE R =-122AF AB ==由勾股定理得，即，解得， 222OA AF OF =+2222(1)R R =+-52R =所以球体积为． 33445125()3326V R πππ==⨯=故答案为：． 1256π10．甲、乙两人进行某项比赛，采用三局两胜模式，假定甲每一局比赛赢的概率都为0.6，则甲最终赢得比赛的概率为______．【答案】0.648【分析】分析试验过程，分别求出两局比赛后甲获胜和三局比赛后甲获胜的概率，即可求解.【详解】甲、乙两人进行某项比赛，每局比赛相互独立.两局比赛后甲获胜的概率为：；0.60.60.36⨯=三局比赛后甲获胜的概率为：；20.60.40.60.288⨯⨯⨯=所以甲最终赢得比赛的概率为：.0.360.2880.648+=故答案为：0.64811．从编号分别为1、2、3、4、5的5个大小与质地相同的小球中随机取出3个，则恰有2个小球编号相邻的概率为______． 【答案】##0.6 35【分析】利用列举法写出所有可能的基本事件，并列出所有满足恰好两个小球编号相邻的可能情况，然后利用古典概型求解.【详解】依题意得，取出的三个小球编号的所有可能为，123,124,125,134,135,145,234,235,245,345共种，其中恰好两个小球编号相邻的有，共种，根据古典概型的计算10124,125,134,145,235,2456公式，恰有2个小球编号相邻的概率为：. 63105=故答案为： 3512．已知直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D 侧面BCC 1B 1的交线长为________．.【分析】根据已知条件易得侧面，可得侧面与球面的交线上的点1D E 1D E ⊥11B C CB 11B C CB到与球面的交线是扇形的弧，再根据弧长公式可求得结E 11B C CB EFG FG果.【详解】如图：取的中点为，的中点为，的中点为，11B C E 1BB F 1CC G 因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以BAD ∠=1111ABCD A B C D -111D B C，1D E 111D E B C ⊥又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，1111ABCD A B C D -1BB ⊥1111D C B A 111BB B C ⊥因为，所以侧面，1111BB B C B = 1D E ⊥11B C CB 设为侧面与球面的交线上的点，则，P 11B C CB 1D E EP ⊥，所以1D E =||EP ===所以侧面与球面的交线上的点到，11B C CB E因为与球面的交线是扇形的弧， ||||EF EG ==11B C CB EFG FG因为，所以， 114B EF C EG π∠=∠=2FEG π∠=所以根据弧长公式可得. 2FGπ==. 【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题，考查了扇形中的弧长公式，属于中档题.二、单选题13．平面与平面相交于直线l ，点A 、B 在平面上，点C 在平面上但不在直线l 上，直线αβαβAB 与直线l 相交于点D ．设A 、B 、C 三点确定的平面为，则与的交线是（ ）γβγA ．直线ACB ．直线ABC ．直线CD D ．直线BC【答案】C【分析】根据已知得既在平面上又在平面可得答案.D C 、βγ【详解】因为直线AB 与直线l 相交于点D ，，所以平面，D ∈l D ∈β又点C 在平面上，所以平面，βCD ⊂β因为平面，点在直线AB 上，所以平面，AB ⊂γD D ∈γ又平面，所以平面，C ∈γCD ⊂γ所以与的交线是直线.βγCD 故选：C.14．掷一颗骰子，设事件：落地时向上的点数是奇数，事件：落地时向上的点数是偶数，事件A B ：落地时向上的点数是的倍数，事件：落地时向上的点数是．则下列每对事件中，不是互C 3D 4斥事件的为（ ）A ．与B ．与C ．与D ．与A B B C A D C D 【答案】B【分析】判断选项中的两个事件是否可以同时发生即可.【详解】对于A ，“落地时向上的点数是奇数”与“落地时向上的点数是偶数”不可能同时发生， ∴，事件与事件互斥，故选项A 不正确；A B ⋂=∅A B 对于B ，“落地时向上的点数是偶数”与“落地时向上的点数是的倍数”同时发生即“落地时向上的点3数是”，6∴“落地时向上的点数是”，事件与事件不是互斥事件，故选项B 正确；B C ⋂=6B C 对于C ，“落地时向上的点数是奇数”与“落地时向上的点数是” 不可能同时发生，4∴，事件与事件互斥，故选项C 不正确；A D ⋂=∅A D 对于D ，“落地时向上的点数是的倍数”与“落地时向上的点数是” 不可能同时发生， 34∴，事件与事件互斥，故选项D 不正确.C D ⋂=∅C D 故选：B.15．某地教育行政部门为了解“双减”政策的落实情况，在某校随机抽取了100名学生，调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘制如下频率直方图.根据此频率直方图，下列结论中错误的是（ ）A ．估计该校学生的平均完成作业的时间超过2.7小时B ．所抽取的学生中有25人在2小时至2.5小时之间完成作业C ．该校学生完成作业的时间超过3.5小时的概率估计为20%D ．估计该校有一半以上的学生完成作业的时间在2小时至3小时之间【答案】D【分析】对A ，根据直方图中平均数的公式计算，可判断A;对B ，利用直方图中2小时至小时2.5之间的频率判断B;对C ，计算超过3.5小时的频率可判断C;对D ，计算做作业的时间在2小时至3小时之间的频率，可判断D.【详解】对A ，直方图可计算学生做作业的时间的平均数为：1.250.05 1.750.152.250.25 2.750.203.250.15⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 3.750.104.250.05 4.750.05+⨯+⨯+⨯，所以A 正确；2.75 2.7=>对B ，直方图中2小时至小时之间的频率为，故所抽取的学生中有2.5()2.520.50.25-⨯=25人在2小时至小时之间完成作业，故B 正确；1000.25⨯= 2.5对C ，由直方图得超过3.5小时的频率为,所以C 正确；0.5(0.20.10.1)0.2⨯++=对D ，做作业的时间在2小时至3小时之间的频率为，所以D 错误. 0.5(0.50.4)0.450.5⨯+=<故选：D16．在棱长为2的正方体中，E 为棱BC 的中点，F 是侧面内的动点，若1111ABCD A B C D -11B BCC 平面，则点F 轨迹的长度为（ ）1//A F 1AD EA B C D ．【答案】B【分析】取中点，中点，连接，则易证平面平面，进而得当F 的轨1BB M 11B C N MN 1//A MN 1AD E 迹为线段时，则有平面，再根据勾股定理及三角形的中位线计算即可.MN 1//A F 1AD E 【详解】如图所示：取中点，中点，连接，1BB M 11B C N MN 因为，，//MN 1BC 1//BC 1AD 所以，//MN 1AD 平面，平面，MN ⊄1AD E 1AD ⊂1AD E 所以平面，//MN 1AD E 同理可证明平面，1//A N 1AD E 又因为，平面，1MN A N N = 1,MN A N ⊂1A MN 所以平面平面，1//A MN 1AD E 当F 的轨迹为线段时，此时平面，则有平面，MN 1A F ⊂1A MN 1//A F 1AD E此时. 11122MN BC ==⨯=故选：B.三、解答题17．某校共有在校学生200人，为了了解该校学生的体能情况，对该校所有学生进行体能测试，然后采用分层抽样的方法随机抽取了20名学生的成绩，整理得到如下茎叶图：(1)求该校女学生人数、样本中女生成绩的极差、25百分数；(2)已知全体女生的平均成绩为70，全体男生的平均成绩为72，求该校全体学生的平均成绩．【答案】(1)80，32，62(2)71.2【分析】（1）利用样本与总体的关系即可求得该校女学生人数；依据极差定义即可求得样本中女生成绩的极差；依据百分位数定义即可求得样本中女生成绩的25百分数；（2）利用平均数定义即可求得该校全体学生的平均成绩．【详解】（1）样本中女生有8人，则该校女学生人数为 20880200÷=样本中女生成绩由小到大排列为 5659656873747788，，，，，，，则样本中女生成绩的极差为885632-=由，可得样本中女生成绩的25百分数为 80.252⨯=5965622+=（2）由（1）可得该校女学生人数为，则该校男生人数为120 80又全体女生的平均成绩为70，全体男生的平均成绩为72，则该校全体学生的平均成绩为 80701207271.2200⨯+⨯=18．如图，在圆柱中，底面直径AB 等于母线．1AA(1)若AB ＝2，求圆柱的侧面积；(2)设AB 与CD 是底面互相垂直的两条直径，求异面直线AC 与所成角的大小．1A B 【答案】(1)；4π(2). π3【分析】（1）由已知得到底面半径以及母线的值，代入公式即可求出； r l （2）用向量、、来表示出、，进而求出它们的夹角，即可求出结果.AB DC 1AA AC 1A B u u u r 【详解】（1）由已知可得，底面半径，母线，1r =12l AA ==所以圆柱的侧面积.2π4πS rl ==（2）由已知可得，两两垂直，且相等，1,,AB CD AA设，则，. 2AB =1OA OC ==AC =1A B ==又， ， 1122AC OC OA DC AB =-=+u u u r u u u r u u r u u u r u u u r 11A B AB AA =-u u u r u u u r u u u r 则. ()111122AC A B DC AB AB AA ⎛⎫⋅=+⋅- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 21111112222DC AB DC AA AB AB AA =⋅-⋅+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2122AB ==u u u r所以，11cos ,2AC A B =u u u r u u u r 又，所以， 10,πAC A B ≤≤u u u r u u u r 1π,3AC A B =u u u r u u u r 所以异面直线AC 与所成角的大小为. 1A B π319．如图，已知三棱柱的高为2，底面ABC 是边长为2的正三角形．111ABC A B C -(1)求四棱锥的体积；111A BBCC -(2)若，求证：侧面为矩形．11A B A C =11B BCC 【答案】(2)证明见解析【分析】（1）三棱柱可分割成三棱锥和四棱锥两部分，因此用三111ABC A B C -1A ABC -111A B BCC -棱柱的体积减三棱锥的体积就能得到四棱锥的体积； 111ABC A B C -1A ABC -111A B BCC -（2）由棱柱定义知，四边形为平行四边形，因此只需借助空间中直线、平面的垂直关系，11B BCC 证明其中一个角为直角即可.【详解】（1）三棱柱可分割成三棱锥和四棱锥两部分，111ABC A B C -1A ABC-111A B BCC -三棱柱的体积， 111ABC A B C -1111=22sin 6022ABC A B CABC V S h -=⨯⨯⨯︒⨯= 三棱锥的体积 1A ABC -11=3A ABC ABC VS h -= ∴四棱锥的体积. 111A B BCC -1111111A B BCC ABC A B C A ABC V V V ---=-==（2）取中点，连接，， BC M AM 1A M ∵是等边三角形，是边上的中线，ABC AM BC ∴也是边上的高，即，AM BC AM BC ⊥又∵，∴是等腰三角形，11A B A C =1A BC ∴是边上的中线，也是边上的高，即，1A M BC BC 1A M BC ⊥又∵，平面，平面，1AM A M M ⋂=AM ⊂1AMA 1A M ⊂1AMA ∴平面，BC ⊥1AMA ∵平面，1AA ⊂1AMA ∴，1BC AA ⊥由棱柱定义知，，，111AA BB CC ∥∥111AA BB CC ==∴，四边形为平行四边形，1BC BB ⊥11B BCC ∴侧面四边形为矩形.11B BCC 20．掷黑、白两枚骰子．(1)设事件A 为：两枚骰子的点数和为7，事件B 为：白色骰子的点数是1．判断事件A 和事件B 是否独立，并说明理由；(2)设事件C 为：两枚骰子中至少有一枚的点数是1且两枚骰子点数之和不是7．求事件C 的概率．【答案】(1)是，理由见解析 (2)14【分析】（1）写出所有的基本事件，再求出A ，B 发生的概率，根据概率公式 ()()()·P AB P A P B =来判断A ，B 事件是否独立；（2）根据事件C 包含的基本事件数，按照古典概型概率计算公式可求出事件C 的概率.【详解】（1）投掷黑、白两枚骰子一次的点数记作，所有基本事件如下： (),x y ，()2:1,1 ，()()3:1,2,2,1 ，()()()4:2,2,1,3,3,1 ，()()()()5:1,4,4,1,2,3,3,2 ，()()()()()6:3,3,1,5,5,1,2,4,4,2 ，()()()()()()7:1,6,6,1,2,5,5,2,3,4,4,3 ，()()()()()8:4,4,2,6,6,2,3,5,5,3 ，()()()()9:3,6,6,3,4,5,5,4 ，()()()10:5,5,4,6,6,4 ，()()11:5,6,6,5 ，()12:6,6共36个，事件包含6个基本事件，即，A ()()()()()()1,6,6,1,2,5,5,2,3,4,4,3事件包含6个基本事件，即，B ()()()()()()1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,1事件只包含，C ()6,1所以， ，所以A ，B 是独立事件； ()()()()()61611,,36636636P A P B P AB P A P B ======（2）根据（1）所列出的基本事件，事件包含9个基本事件，即C ，所以，. ()()()()()()()()()1,1,1,2,2,1,1,3,3,1,1,4,4,1,1,5,5,1()91364P C ==综上，A ，B 是独立事件， . ()14P C =21．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，P ABCD -ABCD AD BC ∥AB BC ⊥分别为棱中点．2AB AD BC AB E F ==，，、BC BP 、(1)求证：平面平面；AEF ∥DCP (2)若平面平面，直线与平面所成的角为，且，求二面角PBC ⊥ABCD AP PBC 45 CP PB ⊥的大小．P AB D --【答案】(1)证明见解析 (2)3π【分析】（1）证明平面，平面，即可证明结论；//EF PCD //AE PCD （2）根据面面垂直性质定理得，进而得，再根据题意证明平面可45APB ∠= AB PB =PC ⊥ABP 得为直角三角形，再根据几何关系得，进而根据是二面角的平PBC 60PBC ∠= PBC ∠P AB D --面角求解即可.【详解】（1）证明：因为分别为棱中点，E F 、BC BP 、所以，在中，，PBC //EF PC 因为平面，平面，EF ⊄PCD PC ⊂PCD 所以，平面，//EF PCD 因为，为棱中点．AD BC ∥2BC AB E =，BC 所以，，//,AD CE AD CE =所以，四边形是平行四边形，ADCE 所以，//CD AE 因为平面，平面，AE ⊄PCD DC ⊂PCD 所以，平面，//AE PCD 因为平面，,,AE EF E AE EF ⋂=⊂AEF 所以，平面平面AEF ∥DCP （2）解：因为平面平面，平面平面，，平面PBC ⊥ABCD PBC ⋂ABCD BC =AB BC ⊥AB ⊂，ABCD 所以，平面AB ⊥PBC 所以，是直线与平面所成的角，APB ∠AP PBC 因为，直线与平面所成的角为，AP PBC 45所以，，45APB ∠= 所以，AB PB =因为平面，,PC PB ⊂PBC 所以，，AB PC ⊥AB PB ⊥因为，，平面， CP PB ⊥AB BP B = ,AB BP ⊂ABP 所以平面，PC ⊥ABP 因为平面，PB ⊂ABP 所以，即为直角三角形，PC PB ⊥PBC所以，在中，由可得， PBC 22BC AB PB ==PC所以，， tan PC PBC PB∠==60PBC ∠= 因为，，AB PB ⊥AB BC ⊥所以，是二面角的平面角， PBC ∠P AB D --所以，二面角的大小为.P AB D --60。
江苏省扬州中学2021-2022学年高二上学期12月月考试题 数学 Word版含解析
由题意得抛物线焦点坐标为 ，准线方程为 ．
因为 ，
所以点 是 的重心，故 ，
．
故选：A．
6.已知函数 ，则不等式 的解集为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分析可知函数 为偶函数，且在 上为增函数，由已知可得出 ，解此不等式即可得解.
【详解】函数 的定义域为 ，
【答案】B
【解析】
【分析】求导得到导函数，计算 ，再代入 计算得到答案.
详解】 ，则 ， ， .
， .
故选：B
5.设 为抛物线 的焦点， ， ， 为该抛物线上三点，若 ，则 （）
A. 6B. 4C. 3D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】设 ， ， ．由 ，得 是 的重心，从而求得 ，然后由焦半径公式求得结论．
故选：BCD.
11.已知 是椭圆 上的一动点，离心率为 ，椭圆与 轴的交点分别为 、 ，左、右焦点分别为 、 .下列关于椭圆的四个结论中正确的是（）
A.若 、 的斜率存在且分别为 、 ，则 为一定值
B.若椭圆 上存在点 使 ，则
C.若 的面积最大时， ，则
D.根据光学现象知道：从 发出的光线经过椭圆反射后一定会经过 .若一束光线从 出发经椭圆反射，当光线第 次到达 时，光线通过的总路程为
对于D：圆 圆心 ，半径为 ，圆 圆心 ，半径为 ，若两圆相离，
因为 ，所以 或 ，
所以 或 ，故D错误.
故选：BC
10.已知等比数列 的前 项和为 ，且 ， 是 与 的等差中项，数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，则下列命题正确的是（）
A.数列 的通项公式为 B.
C. 的取值范围是 D.数列 的通项公式
高二12月数学月考试题
高二数学十二月份月考试卷时间:120分钟 满分：150分第I 卷（选择题共50分）一．选择题（每小题5分，共50分）1. 在△ABC 中，下列等式总能成立的是……………………………………………………（ ）A. acosC=ccosAB.bsinC=csinAC.absinC=bcsinBD.asinC=csinA2.在△ABC 中，a 2+b 2－c 2+2ab=0,则C 等于…………………………………………（ ）A ．︒30B ．45°C ．︒120D ．︒135 3. 12+与12-两数的等比中项是…………………………………………………………( )A. 1B. 1-C. 1±D. 21 4. ,已知{}n a 是一个等差数列,{}n a 的前n 项和为s n .若s 2=4,s 4=20,则该数列的公差d=( )A.7B.6C.3D.25.不等式x(1－x) ＞0的解集是……………………………………………………………………（ ）A .(－∞，－1)⋃ (0，+∞) B. (－1，0) C. (0，1) D. (－∞，0)⋃ (1，+∞)6.有下列四个命题：①“若x+y=0,则x,y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若q ≤1,则2x +2x+q=0有实数根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题其中是真命题的是………………………………………………………………………………（ ）A ．①② B. ②③ C.①③ D.③④7．当0a ≠时，“1a >”是“11a<”………………………………………………………………( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.若抛物线y=a 2x 的焦点是F(0，2)，则a 的值为 ………………………………………………( ) A. 81 B.-81 C. 8 D. -89. 与椭圆1422=+y x 有相同两焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是…………………………（ ） A. 1422=-y x B. 1222=-y x C. 13322=-y x D. 1222=-y x10. ①(文)设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是………………………………………………………………（ ）A C ．21 ②（理）已知双曲线22163x y -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且1MF x ⊥轴，则1F 到直线2F M 的距离为…………………………………………………………………………………………( )A ．BC ．56D ． 65第Ⅱ卷（非选择题共100分）二．填空题（每小题5分，共20分）11.在等差数列{}n a 中，已知1254=+a a ，那么它的前8项和S 8等于 ___ ;12.设R y x ∈,，且4=+y x ，则 y x 55+的最小值为13.抛物线2x y -=的焦点坐标为 ___ ; 14.若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m+=的离心率为12，则m= ___ ; 三．解答题（共80分，要有必要文字说明和解题过程）15（12分）.在△ABC 中，已知b=2, c=1, B=45°，求边长a,角A,C.16（12分）. 在等差数列{}n a中，a2=－20，a1+a9=－28(1)求{}n a的通项公式；（2）求{}n a的前n项和s n并求其最小值。
绩溪县第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析(1)
绩溪县第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知直线mx ﹣y+1=0交抛物线y=x 2于A 、B 两点，则△AOB （ ）A ．为直角三角形B ．为锐角三角形C ．为钝角三角形D ．前三种形状都有可能2． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A ．64 B ．72 C ．80 D ．112【命题意图】本题考查三视图与空间几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力与运算求解能力. 3． 已知函数()e sin xf x x =，其中x ∈R ，e 2.71828=为自然对数的底数．当[0,]2x π∈时，函数()y f x =的图象不在直线y kx =的下方，则实数k 的取值范围（ ）A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．2(,e )π-∞ D ．2(,e ]π-∞【命题意图】本题考查函数图象与性质、利用导数研究函数的单调性、零点存在性定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，以及构造思想、分类讨论思想的应用． 4． 已知实数x ，y 满足a x ＜a y （0＜a ＜1），则下列关系式恒成立的是（ ）A ．B ．ln （x 2+1）＞ln （y 2+1）C ．x 3＞y 3D ．sinx ＞siny5．设F为双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的右焦点，若OF的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为1||2OF，则双曲线的离心率为（）A．B C．D．3【命题意图】本题考查双曲线方程与几何性质，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、方程思想．6．如图所示是一个几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积是（）A．B．C．+D．++17．江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距（）A．10米B．100米C．30米D．20米8．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B． C．D．9．设集合M={x|x≥﹣1}，N={x|x≤k}，若M∩N≠￠，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）10．根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20﹣80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上，属于醉酒驾车．据《法制晚报》报道，2011年3月15日至3月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如下图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为（）A ．2160B ．2880C ．4320D ．864011．如图可能是下列哪个函数的图象（ ）A ．y=2x ﹣x 2﹣1B ．y= C ．y=（x 2﹣2x ）e xD ．y=12．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（ ）A ．2sin 2cos 2αα-+ B．sin 3αα+C. 3sin 1αα+ D ．2sin cos 1αα-+二、填空题13．已知实数x ，y 满足2330220y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，目标函数3z x y a =++的最大值为4，则a =______．【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力．14．已知函数f（x）=恰有两个零点，则a的取值范围是．15．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均的课外阅读时间为小时．16．在（x2﹣）9的二项展开式中，常数项的值为．17．已知奇函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，且在定义域上单调递减，则满足不等式f（1﹣m）+f（1﹣2m）＜0的实数m的取值范围是．18．已知函数f（x）=（2x+1）e x，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为．三、解答题19．（本小题满分12分）△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知k sin B＝sin A＋sin C（k为正常数），a＝4c.（1）当k＝5时，求cos B；4（2）若△ABC面积为3，B＝60°，求k的值．20．已知函数f（x）=|x﹣5|+|x﹣3|．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值m；（Ⅱ）若正实数a，b足+=，求证：+≥m．21．计算下列各式的值：（1）（2）（lg5）2+2lg2﹣（lg2）2．22．我市某校某数学老师这学期分别用m，n两种不同的教学方式试验高一甲、乙两个班（人数均为60人，入学数学平均分和优秀率都相同，勤奋程度和自觉性都一样）．现随机抽取甲、乙两班各20名的数学期末考试成绩，并作出茎叶图如图所示．（Ⅰ）依茎叶图判断哪个班的平均分高？（Ⅱ）现从甲班所抽数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，用ξ表示抽到成绩为86分的人数，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，作出分类变量成绩与教学方式的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”下面临界值表仅供参考：P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）23．已知向量，满足||=1，||=2，与的夹角为120°．（1）求及|+|；（2）设向量+与﹣的夹角为θ，求cos θ的值．24．已知矩阵A ＝，向量＝.求向量，使得A 2＝.绩溪县第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题1． 【答案】A【解析】解：设A （x 1，x 12），B （x 2，x 22），将直线与抛物线方程联立得， 消去y 得：x 2﹣mx ﹣1=0，根据韦达定理得：x 1x 2=﹣1，由=（x 1，x 12），=（x 2，x 22），得到=x 1x 2+（x 1x 2）2=﹣1+1=0，则⊥，∴△AOB 为直角三角形． 故选A【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有韦达定理，平面向量的数量积运算，以及两向量垂直时满足的条件，曲线与直线的交点问题，常常联立曲线与直线的方程，消去一个变量得到关于另外一个变量的一元二次方程，利用韦达定理来解决问题，本题证明垂直的方法为：根据平面向量的数量积为0，两向量互相垂直．2． 【答案】C. 【解析】3． 【答案】B【解析】由题意设()()e sin xg x f x kx x kx =-=-，且()0g x ≥在[0,]2x π∈时恒成立，而'()e (sin cos )x g x x x k =+-．令()e (sin cos )x h x x x =+，则'()2e c o s 0xh x x =≥，所以()h x 在[0,]2π上递增，所以21()h x e π≤≤．当1k ≤时，'()0g x ≥，()g x 在[0,]2π上递增，()(0)0g x g ≥=，符合题意；当2e k π≥时，'()0g x ≤，()g x 在[0,]2π上递减，()(0)0g x g ≤=，与题意不合；当21e k π<<时，()g x '为一个递增函数，而'(0)10g k =-<，2'()e 02g k ππ=->，由零点存在性定理，必存在一个零点0x ，使得0'()0g x =，当0[0,)x x ∈时，'()0g x ≤，从而()g x 在0[0,)x x ∈上单调递减，从而()(0)0g x g ≤=，与题意不合，综上，故选B．所述：k的取值范围为(,1]4．【答案】C【解析】解：∵实数x、y满足a x＜a y（1＞a＞0），∴y＜x．对于A．取x=1，y=0，不成立，因此不正确；对于B．取y=﹣2，x=﹣1，ln（x2+1）＞ln（y2+1）不成立；对于C．利用y=x3在R上单调递增，可得x3＞y3，正确；对于D．取y=﹣π，x=，但是sinx=，siny=，sinx＞siny不成立，不正确．故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力，属于基础题．5．【答案】B【解析】6．【答案】D【解析】解：由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面PAC⊥面ABC，△PAC是边长为2的正三角形，△ABC是边AC=2，边AC上的高OB=1，PO=为底面上的高．于是此几何体的表面积S=S+S△ABC+2S△PAB=××2+×2×1+2×××=+1+．△PAC故选：D【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．7．【答案】C【解析】解：如图，过炮台顶部A作水平面的垂线，垂足为B，设A处观测小船C的俯角为45°，设A处观测小船D的俯角为30°，连接BC、BDRt△ABC中，∠ACB=45°，可得BC=AB=30米Rt△ABD中，∠ADB=30°，可得BD=AB=30米在△BCD中，BC=30米，BD=30米，∠CBD=30°，由余弦定理可得：CD2=BC2+BD2﹣2BCBDcos30°=900∴CD=30米（负值舍去）故选：C【点评】本题给出实际应用问题，求炮台旁边两条小船距的距离．着重考查了余弦定理、空间线面的位置关系等知识，属于中档题．熟练掌握直线与平面所成角的定义与余弦定理解三角形，是解决本题的关键．8．【答案】C【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵S3=a2+10a1，a5=9，∴，解得．∴．故选C．【点评】熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键．9．【答案】B【解析】解：∵M={x|x≥﹣1}，N={x|x≤k}，若M∩N≠￠，则k≥﹣1．∴k的取值范围是[﹣1，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了集合间的关系，是基础题．10．【答案】C【解析】解：由题意及频率分布直方图的定义可知：属于醉酒驾车的频率为：（0.01+0.005）×10=0.15，又总人数为28800，故属于醉酒驾车的人数约为：28800×0.15=4320．故选C【点评】此题考查了学生的识图及计算能力，还考查了频率分布直方图的定义，并利用定义求解问题．11．【答案】C【解析】解：A中，∵y=2x﹣x2﹣1，当x趋向于﹣∞时，函数y=2x的值趋向于0，y=x2+1的值趋向+∞，∴函数y=2x﹣x2﹣1的值小于0，∴A中的函数不满足条件；B中，∵y=sinx是周期函数，∴函数y=的图象是以x轴为中心的波浪线，∴B中的函数不满足条件；C中，∵函数y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，当x＜0或x＞2时，y＞0，当0＜x＜2时，y＜0；且y=e x＞0恒成立，∴y=（x2﹣2x）e x的图象在x趋向于﹣∞时，y＞0，0＜x＜2时，y＜0，在x趋向于+∞时，y趋向于+∞；∴C中的函数满足条件；D中，y=的定义域是（0，1）∪（1，+∞），且在x∈（0，1）时，lnx＜0，∴y=＜0，∴D 中函数不满足条件．故选：C ．【点评】本题考查了函数的图象和性质的应用问题，解题时要注意分析每个函数的定义域与函数的图象特征，是综合性题目．12．【答案】A 【解析】试题分析：利用余弦定理求出正方形面积()ααcos 22cos 2-11221-=+=S ；利用三角形知识得出四个等腰三角形面积ααsin 2sin 112142=⨯⨯⨯⨯=S ；故八边形面积2cos 2sin 221+-=+=ααS S S .故本题正确答案为A.考点：余弦定理和三角形面积的求解.【方法点晴】本题是一道关于三角函数在几何中的应用的题目，掌握正余弦定理是解题的关键；首先根据三角形面积公式ααsin 21sin 1121=⨯⨯⨯=S 求出个三角形的面积αsin 24=S ；接下来利用余弦定理可求出正方形的边长的平方()αcos 2-1122+，进而得到正方形的面积()ααcos 22cos 2-11221-=+=S ，最后得到答案.二、填空题13．【答案】3-【解析】作出可行域如图所示：作直线0l ：30x y +=，再作一组平行于0l 的直线l ：3x y z a +=-，当直线l 经过点5(,2)3M 时，3z a x y -=+取得最大值，∴max 5()3273z a -=⨯+=，所以max 74z a =+=，故3a =-．14．【答案】 （﹣3，0） ．【解析】解：由题意，a≥0时，x＜0，y=2x3﹣ax2﹣1，y′=6x2﹣2ax＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上至多一个零点；x≥0，函数y=|x﹣3|+a无零点，∴a≥0，不符合题意；﹣3＜a＜0时，函数y=|x﹣3|+a在[0，+∞）上有两个零点，函数y=2x3﹣ax2﹣1在（﹣∞，0）上无零点，符合题意；a=﹣3时，函数y=|x﹣3|+a在[0，+∞）上有两个零点，函数y=2x3﹣ax2﹣1在（﹣∞，0）上有零点﹣1，不符合题意；a＜﹣3时，函数y=|x﹣3|+a在[0，+∞）上有两个零点，函数y=2x3﹣ax2﹣1在（﹣∞，0）上有两个零点，不符合题意；综上所述，a的取值范围是（﹣3，0）．故答案为（﹣3，0）．15．【答案】0.9【解析】解：由题意，=0.9，故答案为：0.916．【答案】84．【解析】解：（x2﹣）9的二项展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x18﹣3r，令18﹣3r=0，求得r=6，可得常数项的值为T7===84，故答案为：84．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．17．【答案】[﹣，]．【解析】解：∵函数奇函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，且在定义域上单调递减，∴不等式f（1﹣m）+f（1﹣2m）＜0等价为f（1﹣m）＜﹣f（1﹣2m）=f（2m﹣1），即，即，得﹣≤m ≤，故答案为：[﹣，]【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性将不等式进行转化是解决本题的关键．注意定义域的限制．18．【答案】 3 ．【解析】解：∵f （x ）=（2x+1）e x，∴f ′（x ）=2e x +（2x+1）e x， ∴f ′（0）=2e 0+（2×0+1）e 0=2+1=3．故答案为：3．三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）∵54sin B ＝sin A ＋sin C ，由正弦定理得54b ＝a ＋c ，又a ＝4c ，∴54b ＝5c ，即b ＝4c ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝（4c ）2＋c 2－（4c ）22×4c ·c ＝18.（2）∵S △ABC ＝3，B ＝60°.∴12ac sin B ＝ 3.即ac ＝4. 又a ＝4c ，∴a ＝4，c ＝1.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝42＋12－2×4×1×12＝13.∴b ＝13，∵k sin B ＝sin A ＋sin C ，由正弦定理得k ＝a ＋c b ＝513＝51313，即k 的值为51313.20．【答案】【解析】（Ⅰ）解：∵f（x）=|x﹣5|+|x﹣3|≥|x﹣5+3﹣x|=2，…（2分）当且仅当x∈[3，5]时取最小值2，…（3分）∴m=2．…（4分）（Ⅱ）证明：∵（+）[]≥（）2=3，∴（+）×≥（）2，∴+≥2．…（7分）【点评】本题主要考查绝对值不等式和均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．21．【答案】【解析】解：（1）=…==5…（2）（lg5）2+2lg2﹣（lg2）2=（lg5+lg2）（lg5﹣lg2）+2lg2…=．…22．【答案】【解析】【专题】综合题；概率与统计．【分析】（Ⅰ）依据茎叶图，确定甲、乙班数学成绩集中的范围，即可得到结论；（Ⅱ）由茎叶图知成绩为86分的同学有2人，其余不低于80分的同学为4人，ξ=0，1，2，求出概率，可得ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据成绩不低于85分的为优秀，可得2×2列联表，计算K2，从而与临界值比较，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图知甲班数学成绩集中于60﹣9之间，而乙班数学成绩集中于80﹣100分之间，所以乙班的平均分高┉┉┉┉┉┉（Ⅱ）由茎叶图知成绩为86分的同学有2人，其余不低于80分的同学为4人，ξ=0，1，2P （ξ=0）==，P （ξ=1）==，P （ξ=2）==┉┉┉┉┉┉则随机变量ξ的分布列为ξ 0 1 2P数学期望E ξ=0×+1×+2×=人﹣┉┉┉┉┉┉┉┉（Ⅲ）2×2列联表为甲班 乙班 合计 优秀 3 10 13 不优秀1710 27 合计20 2040┉┉┉┉┉K 2=≈5.584＞5.024因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关．┉┉【点评】本题考查概率的计算，考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，属于中档题．23．【答案】【解析】解：（1）=；∴=；∴；（2）同理可求得；；∴=．【点评】考查向量数量积的运算及其计算公式，根据求的方法，以及向量夹角余弦的计算公式．24．【答案】＝【解析】A 2＝.设＝.由A2＝，得，从而解得x＝-1，y＝2，所以＝。
山西省太原五中2013-2014学年高二数学12月月考试题 理
太 原 五 中2013—2014学年度第一学期月考(12月)高 二 数学（理）一．选择题(本题共10个小题，每小题4分，共40分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的)1．已知方程11222=-+-k y k x 的图象是双曲线，那么k 的取值范围是（ ）Ａ．k ＜１ Ｂ．k＞２ Ｃ．k ＜１或k ＞２ Ｄ．１＜k ＜２2、已知21,F F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，AB 是过1F 的弦，则2ABF ∆的周长是 ( )A.a 2B.a 4C.a 8D.b a 22+ 3、一动圆与圆221x y +=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，则动圆 的圆心在（ ）A. 一个椭圆上B.一条抛物线上C.双曲线的一支上D. 一个圆上 4、抛物线y 2=4px （p ＞0）上一点M 到焦点的距离为a ，则M 到y 轴距离为 ( ) A.a - p B.a + p C.a －2pD.a+2p 5. 设椭圆12622=+y x 和双曲线1322=-y x 的公共焦点为21,F F ，P 是两曲线的一个公共点，则cos 21PF F ∠的值等于（ ）A.41 B.31 C.91 D.536. 设F 1、F 2为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上满足∠F 1PF 2=90°，那么△F 1PF 2的面积是（ ）A ． 1 B.25C. 2D. 5 7. 椭圆()222210x y a a b+=＞b ＞的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是( )A. （0（0，121，1） D. [12，1）8. 已知抛物线y 2=2px （p>0）与双曲线 x 2a - y 2b =1（a>0,b>0）有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，AF ⊥x 轴,若直线L 是双曲线的一条渐近线，则直线L 的倾斜角所在的区间可能为( )A. (0, π6 )B. ( π6 ,π4 )C. ( π4 ,π3 )D. ( π3 ,π2 )9. 抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线mx y +=对称，且2121-=⋅x x ，则m 等于（ ）A ．23 B ．2 C ．25D ．310. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =( )二．填空题（本题5个小题，共4⨯5=20分）11.已知抛物线y 2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+ y 2= 16相切，则p 的值为 . 12.已知圆C:(x+1)2+ y 2=16及点A （1，0），Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线交C Q 于M则点M 的轨迹方程为 .13. 双曲线116922=-y x 的两个焦点为Ｆ１、Ｆ２，点P 在双曲线上，若ＰＦ１⊥ＰＦ２，则点P 到ｘ轴的距离为 ___________14. 已知椭圆C:x 22 + y 2 =1的两焦点为12,F F , 点00(,)P x y 满足2200012x y <+<,则|1PF |+ 2PF |的取值范围为____ ___ .15. 过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于______.三.解答题（本题4个小题，共4⨯10=40分）16. (10分) 在直角坐标系中，o 为坐标原点，如果一个椭圆经过点P(3, 2 ),且以点F(2,0)为它的一个焦点.（1）求此椭圆的标准方程；（2）在（1）中求过点F(2,0)的弦AB 的中点M 的轨迹方程. 17．已知抛物线y 2= - x 与直线y=k(x+1)交于A 、B 两点. (1) 求证：OA ⊥OB ；（2）当∆AOB 的面积等于10 时，求k 的值.18．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>3x =,(1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在以双曲线C 的实轴长为直径的圆上，求m 的值.19．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A （-1,1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-.（1）求动点P 的轨迹方程；（2）设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M,N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.太 原 五 中2013—2014学年度第一学期月考(12月)高二数学参考答案一．选择题CBAAB ADDAB二．填空题（本题5个小题，共4⨯5=20分）11. 2 ； 12. x 24 + y 23 =1 ；13. 165 ； 14. [ 2, 2 2 )；15. 2三.解答题（本题4个小题，共4⨯10=40分） 解：(1)设所求椭圆方程为：x 2a 2 + y2b2 =1,则有：22224921a b ab ìï=+ïïíï+=ïïî 解得：22128a b ìï=ïíï=ïî ， 故所求椭圆方程为：x 212 + y28 = 1----------5分；（2）设A(x 1,y 1)、B(x 2，y 2), M(x,y)则有：221222211281128x yx y ìïï+=ïïïíïïï+=ïïî当x 1≠x 2时， y 1-y 2x 1-x 2 = - 8(x 1+x 2)12(y 1+y 2) = - 23 ⋅ 2x 2y = - 23 ⋅ xy ;又因为k AB = k MF = y-0x-2 , 所以: - 23 ⋅ x y = y-0x-2 ,整理得：2x 2+3y 2-4x=0 ；当x 1=x 2时，中点M(2,0)满足条件总上可知：所求轨迹方程为：2x 2+3y 2-4x=0 -------10分 17.解：(1)由方程组2(1)y x y k x ìï=-ïíï=+ïî得：ky 2+y-k=0 ,令A （x 1,y 1）, B （x 2,y 2）, 由韦达定理得：y 1+ y 2 = - 1k , y 1y 2 = -1∴ OA OB = x 1x 2+ y 1y 2 = (-y 12)( -y 22)+ y 1y 2 = 1-1 = 0 ∴ OA ⊥OB , 即：OA ⊥OB ；--------------4分 （2）设直线与x 轴交于N 点，则N(-1,0) S ∆AOB = S ∆OAN + S ∆OBN = 12 ⎢ON ⎢y 1 + 12 ⎢ON ⎢y 2= 12⎢ON ⎢ y 1- y 2⎢ ∴ S ∆AOB = 12 ⨯1⨯(y 1+y 2)2-4y 1y 2 = 12(- 1k)2+4 = 10∴ k = ± 16 --------------------------------------------1018．解：(1) x 2- y22=1 ---------4分（2）以双曲线实轴长为直径的圆方程为：x 2+y 2= 1, 把y=x+m 代入双曲线方程得： x 2-2mx-m 2-2 = 0, 令A(x 1,y 1), B(x 2,y 2) ,AB 的中点M(x 0,y 0) 则有：221221244(2)022m m x x mx x m ìïD =--->ïïï+=íïïï=--ïî, x 0= x 1+x 22 = m , y 0= y 1+y 22 = x 1+x 22 + m = 2m , 代入圆方程x 2+y 2 = 1中得：m 2= 15 , 所以： m = ± 55.19．（1）解：因为点B 与A (1,1)-关于原点O 对称，所以点B 得坐标为(1,1)-. 设点P 的坐标为(,)x y 由题意得111113y y x x -+=-+- ，化简得：2234(1)x y x +=≠±.故动点P 的轨迹方程为：2234(1)x y x +=≠±-------------4分（2）解法一：设点P 的坐标为00(,)x y ，点M ，N 得坐标分别为(3,)M y ,(3,)N y .则直线AP 的方程为0011(1)1y y x x --=++，直线BP 的方程为0011(1)1y y x x ++=-- 令3x =得000431M y x y x +-=+，000231N y x y x -+=-.于是∆PMN 的面积，2000020||(3)1||(3)2|1|PMNM N x y x Sy y x x +-=--=- 又直线AB 的方程为0x y +=，||AB = 点P 到直线AB的距离d =.于是∆PAB 的面积 001||||2PABS AB d x y ==+ 当PABPMN SS =时，得20000020||(3)|||1|x y x x y x +-+=- 又00||0x y +≠，所以20(3)x -=20|1|x -，解得05|3x =. 因为220034x y +=，所以09y =±故存在点P 使得∆PAB 与∆PMN 的面积相等，此时点P的坐标为5(,3.---10分 解法二：若存在点P 使得PAB 与PMN 的面积相等，设点P 的坐标为00(,)x y则11||||sin ||||sin 22PA PB APB PM PN MPN ∠=∠. 因为sin sin APB MPN ∠=∠, 所以||||||||PA PN PM PB =，所以000|1||3||3||1|x x x x +-=-- 即 2200(3)|1|x x -=-，解得0x 53= 因为220034x y +=，所以0y =故存在点P S 使得PAB 与PMN 的面积相等，此时点P 的坐标为5(,3.。
2022-2023学年山东省菏泽第一中学高二上学期12月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年山东省菏泽第一中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．抛物线22y x =的焦点坐标是（ ）A ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】先把抛物线化为标准方程，直接写出焦点坐标．【详解】抛物线22y x =的方程为212x y =，所以焦点在y 轴 由122p =， 所以焦点坐标为10,8⎛⎫⎪⎝⎭．故选：D ．2．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知311a =，1060S =，则5a =（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】A【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意建立方程，即可求出1a ，d ，再根据等差数列的通项公式，即可求出结果．【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可知11211?104560a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得115a =，2d =-，所以5141587a a d =+=-=． 故选：A3．设点B 是(2,3,5)A 关于坐标平面xOy 的对称点，则||=AB （ ） A ．10 BC ．38D【答案】A【分析】根据空间直角坐标系的坐标特点得点B 坐标，根据空间中两点间的距离公式计算即可得||AB .【详解】解：因为点B 是(2,3,5)A 关于坐标平面xOy 的对称点，所以(2,3,5)B -所以10AB AB ==.故选：A.4．已知向量()()1,1,0,1,0,=-=a b m ，且ka b +与2a b -互相平行，则k =（ ） A ．114-B ．15C ．35D ．12-【答案】D【分析】由空间向量平行的条件求解.【详解】由已知(1,,)ka b k k m +=-，2(3,1,2)a b m -=--， 因为ka b +与2a b -平行， 若0m =，则131k k -=-，12k =-， 若0m ≠，则1312k k mm-==--，k 无解． 综上，12k =-，故选：D ．5．设向量OA ，OB ，OC 不共面，空间一点P 满足OP xOA yOB zOC =++，则A ，B ，C ，P 四点共面的一组数对(,,)x y z 是（ ）A ．111(,,)432B ．131(,,)442-C ．(1,2,3)-D ．121(,,)332-【答案】B【分析】由题设条件可知，A ，B ，C ，P 四点共面等价于1x y z ++=，由此对选项逐一检验即可. 【详解】因为向量OA ，OB ，OC 不共面，OP xOA yOB zOC =++， 所以当且仅当1x y z ++=时，A ，B ，C ，P 四点共面， 对于A ，1111432++≠，故A 错误；对于B ，1311442-++=，故B 正确；对于C ，1231-+≠，故C 错误；对于D ，1211332-++≠，故D 错误.故选：B.6．已知数列{}n a 中，11a =且()133nn n a a n a *+=∈+N ，则16a 为（ ）A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】A【分析】采用倒数法可证得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，根据等差数列通项公式可推导得到n a ，代入16n =即可.【详解】由133n n n a a a +=+得：1311133n n n n a a a a ++==+，又111a ，∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，13为公差的等差数列，()1121133n n n a +∴=+-=，32n a n ∴=+，1616a ∴=. 故选：A.7．已知三个数1，a ，9成等比数列，则圆锥曲线2212x ya +=的离心率为（ ）A 3B 5C 510D 310 【答案】D【详解】椭圆、双曲线的方程简单性质，等比数列的性质，分类讨论，由已知求得a 值，然后分类讨论求得圆锥曲线2212x y a +=的离心率解决即可． 【解答】因为三个数1，a ，9成等比数列， 所以29a =，则3a =±．当3a =时，曲线方程为22132x y +=，表示椭圆， 31， 3 当3a =-时，曲线方程为22123y x -=，表示双曲线，255102． 故选：D8．若数列{}n a 是等差数列，首项10a >，公差()2020201920200,0d a a a <+<，则使数列{}n a 的前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（ ）A ．4039B ．4038C ．4037D ．4036【答案】B【分析】根据等差数列的单调性，结合等差数列前n 项和公式进行求解即可. 【详解】因为0d <，所以等差数列{}n a 是递减数列， 因为()2020201920200a a a +<，所以201920200,0a a ><，且20192020a a >，201920200a a +>， ()1403920192020403920204038201920204039()40390,403820190,22a a a a S a S a a ++===⨯=+所以使数列{}n a 的前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是4038． 故选：B二、多选题9．下列结论错误的是（ ）A ．过点()1,3A ，()3,1B -的直线的倾斜角为30︒B ．若直线2360x y -+=与直线20ax y ++=平行，则23a =-C ．直线240x y +-=与直线2410x y ++=D ．已知()2,3A ，()1,1B -，点P 在x 轴上，则PA PB +的最小值是5 【答案】AC【分析】对于A ，tan AB k α=即可解决；对于B ，由题意得231a -=即可解决；对于C ，平行线间距离公式解决即可；对于D ，数形结合即可. 【详解】对于A ，131tan 312AB k α-===--，即30α≠︒，故A 错误； 对于B ，直线2360x y -+=与直线20ax y ++=平行，所以123a =-，解得23a =-，故B 正确；对于C ，直线240x y +-=与直线2410x y ++=（即1202x y ++=）之间的距离为d =故C 错误；对于D ，已知()2,3A ，()1,1B -，点P 在x 轴上，如图取()1,1B -关于x 轴的对称点()1,1B '--，连接AB '交x 轴于点P ，此时22(21)(31)5PA PB PA PB AB ''+=+≥=+++，所以PA PB +的最小值是5，故D 正确； 故选：AC.10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，25n S n n =-，则下列说法不正确．．．的是（ ） A ．{}n a 为等差数列 B ．0n a >C ．n S 最小值为254- D ．{}n a 为单调递增数列【答案】BC【分析】根据n S 求出n a ，并确定{}n a 为等差数列，进而可结合等差数列的性质以及前n 项和分析求解.【详解】对于A ，当2n ≥时，()()221515126n n n a S S n n n n n -⎡⎤==-----=-⎣⎦-， 1n =时114a S ==-满足上式，所以26,N n a n n *=-∈,所以()()1216262n n a a n n +-=+---=， 所以{}n a 为等差数列，故A 正确；对于B ，由上述过程可知26,N n a n n *=-∈，12340,20,0a a a =-<=-<=，故B 错误；对于C ，因为25n S n n =-，对称轴为52.52=， 又因为N n *∈，所以当2n =或3时，n S 最小值为6-，故C 错误； 对于D ，由上述过程可知{}n a 的公差等于2， 所以{}n a 为单调递增数列，故D 正确. 故选:BC.11．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为BC ，11CC BB ，的中点，则下列结论中正确的是（ ）A ．1D D AF ⊥B ．点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2倍 C ．1//A G 平面AEFD ．异面直线1A G 与EF 5【答案】BC【分析】对于选项A ：由11//DD CC 以及1CC 与AF 不垂直，可知A 错误；对于选项B ：利用等体积法,A GEF G AEF A CEF C AEF V V V V ----==，可求得结果，进而判断选项B 正确；对于选项C ：取11B C 的中点M ，根据面面平行的性质即可得出1//A G 平面AEF ，可知选项C 正确； 对于选项D ：根据线面垂直的判定定理和性质，结合二面角的定义可知D 错误；【详解】对于选项A ：因为1AC AC ≠，所以1ACC △不是等腰三角形，所以1CC 与AF 不垂直，因为11//DD CC ，所以1DD 与AF 不垂直，故选项A 错误；对于选项B ：设正方体的棱长为2，设点G 到平面AEF 的距离与点C 到平面AEF 的距离分别为12,h h ，则11133A GEF GEFG AEF AEFV AB S V h S--=⋅==⋅，21133A CEF CEFC AEF AEFV AB S V h S--=⋅==⋅，所以12121221112GEFCEFS h h S ⨯⨯===⨯⨯△△，故选项B 正确； 对于选项C ：取11B C 的中点M ，连接11,,GM A M BC ，由题意可知：1//GM BC ，因为1//BC EF ，所以//GM EF ，GM ⊄平面AEF ， EF ⊂平面AEF ，所以//GM 平面AEF ，因为1A M AE ∥，1A M 平面AEF ， AE ⊂平面AEF ，所以1//A M 平面AEF ，因为11,,A MGM M A M GM =⊂平面1AGM ，所以平面AEF //平面1AGM ， 因为1AG ⊂平面1AGM ，所以1//A G 平面AEF ，故选项C 正确； 对于选项D ：因为111//,//AD EF AG D F ，所以异面直线1A G 与EF 所成的角为1AD F ∠（或其补角），设正方体的棱长为2，则22112253AD D F AF AC CF ===+=，，， 在1AD F △中，由余弦定理可得：2221111110cos 22225AD D F AF AD F AD D F +-∠===⋅⨯⨯D 错误，故选：BC .12．下列命题中，正确的命题有（ ） A ．a b a b +=-是a ，b 共线的充要条件 B ．若//a b ，则存在唯一的实数λ，使得a b λ=C ．对空间中任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若243OP OA OB OC =-+，则P ，A ，B ，C 四点共面D ．若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},2,3a b b c c a +++构成空间的另一个基底 【答案】CD【分析】对A ，向量a 、b 同向时a b a b +=-不成立； 对B ， b 为零向量时不成立； 对C ，根据空间向量共面的条件判定； 对D ，根据能成为基底的条件判定.【详解】对A ，向量a 、b 同向时，a b a b +≠-，∴只满足充分性，不满足必要性，∴A 错误； 对B ，b 应该为非零向量，故B 错误； 对C ，由于243OP OA OB OC =-+得，1324PB PA PC =+， 若,PA PC 共线，则,,PA PC PB 三向量共线，故A ，B ，C 三点共线，与已知矛盾，故,PA PC 不共线，由向量共面的充要条件知,PB PA PC ,共面，而,PB PA PC ,过同一点P ，所以P ，A ，B ，C 四点共面，故C 正确；对D ，若{},,a b c 为空间的一个基底，则a ，b ，c 不共面， 假设a b +，2b c +，3c a +共面，设()()23a b x b c y c a +=+++，所以13102yxx y =⎧⎪=⎨⎪=+⎩ ，无解，故a b +，2b c +，3c a +不共面， 则{},2,3a b b c c a +++构成空间的另一个基底，故D 正确． 故选： CD ．三、填空题13．等比数列{}n a 中，39a =-，114a =-，则7a =______． 【答案】6-【分析】由等比数列的性质计算．【详解】因为{}n a 是等比数列，所以2731136a a a ==，又{}n a 的所有奇数项同号，所以76a =-．故答案为：6-．14．直线230x y +-=被圆()()22214x y-++=截得的弦长____________【分析】首先求出圆心坐标与半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，最后利用勾股定理与垂径定理计算可得；【详解】圆()()22214x y -++=的圆心为2,1，半径2r =， 圆心2,1到直线的距离d ==所以直线被圆截得弦长为22223525522255r d ⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 故答案为：2555. 15．已知数列{}n a .的前n 项和为n S ，且()*2120N n n n a a a n +++-=∈.若11151912a a a ++=，则29S =______.【答案】116【分析】先判断出数列是等差数列，然后运用等差数列的性质可得答案.【详解】(){}*211220N ,2,n n n n n n n a a a n a a a a +++++-=∈∴=+∴为等差数列，111912915111519152,12,4,a a a a a a a a a ∴+=+=++=∴=129291529292941162a a S a +∴=⨯==⨯=. 故答案为：116.四、双空题16．如图，在棱长为1的正方体ABCD A B C D -''''中，M 为BC 的中点，则AM 与D B ''所成角的余弦值为___________；C 到平面DA C ''的距离为___________.【答案】103【分析】第一空根据向量法即可求得异面直线之间的夹角. 第二空利用等体积法即可求得.【详解】由已知连接BD ，如图所示建立空间直角坐标系,则()0,0,1A ，1,1,12M ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1,0B '，()1,0,0D '1,1,02AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭()1,1,0D B ''=-10cos ,10AM D B AM D B AM D B ''''==''⋅ AM 与D B ''所成角的余弦值为1010如图所示设C 到平面DA C ''的距离为d 因为C A DC A DCC V V '''--=1111322sin 601113232d d ⨯⋅=⨯⨯⨯⨯⇒=103五、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11221,1,2a b a b =-=+=. （1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S .【答案】（1）12n n b -=；（2）当5q =-时，321S =.当4q =时，36S =-.【分析】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，（1）由条件可得3d q +=和226d q +=，解方程得12d q =⎧⎨=⎩，进而可得通项公式； （2）由条件得2200q q +-=，解得5,4q q =-=，分类讨论即可得解.【详解】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则1(1)n a n d =-+-，1n n b q -=.由222a b +=得3d q +=.①（1）由335a b +=得226d q +=②联立①和②解得30d q =⎧⎨=⎩（舍去），12d q =⎧⎨=⎩ 因此{}n b 的通项公式为12n n b -=.（2）由131,21b T ==得2200q q +-=.解得5,4q q =-=.当5q =-时，由①得8d =，则321S =.当4q =时，由①得1d =-，则36S =-.【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的基本量运算，属于基础题.18．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且1160C CB C CD BCD ∠=∠=∠=︒，12CD CC ．(1)求1AC 的长；(2)求异面直线1CA 与1DC 所成的角．【答案】(1)122AC =(2)90°．【分析】(1)因为1,,CD CB CC 三组不共线，则可以作为一组基底，用基底表示向量1AC ，平方即求得模长.(2) 求出两条直线1CA 与1DC 的方向向量，用向量夹角余弦公式即可.【详解】（1）设CD a =，CB b =，1CC c =，{},,a b c 构成空间的一个基底．因为()11()AC CC CD CB c a b =-+=-+， 所以()22211AC AC c a b ⎡⎤==-+⎣⎦ 222222c a b a c b c a b =++-⋅-⋅+⋅ 12222cos608=-⨯⨯⨯︒=，所以1AC =（2）又1CA a b c =++，1DC c a =-，所以()()11CA DC a b c c a ⋅=++⋅- 220c a b c a b =-+⋅-⋅=∴11CA DC ⊥∴异面直线1CA 与1DC 所成的角为90°．19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为258,224,100n S a a S +==.(1)求{an }的通项公式；(2)若+11n n n b a a =，求数列{n b }的前n 项和Tn . 【答案】(1)31n a n =-(2)2(32)n n T n =+【分析】（1）由等差数列的通项公式以及等差数列的前n 项和公式展开可求得结果；（2）由裂项相消求和可得结果.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意知，1112()4248(81)81002a d a d a d +++=⎧⎪⎨⨯-+=⎪⎩ 解得：123a d =⎧⎨=⎩ ∴1(1)23(1)31n a a n d n n =+-=+-=-.故{}n a 的通项公式为31n a n =-.（2）∵1111()(31)(32)33132n b n n n n ==--+-+ 111111111111()()()()325358381133132111111111 ()325588113132111 =()3232=2(32)n T n n n n n n n =⨯-+⨯-+⨯-++--+=⨯-+-+-++--+⨯-++ 即：{}n b 的前n 项和2(32)n n T n =+. 20．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，2AB AC ==，14AA =，AB AC ⊥，1BE AB ⊥交1AA 于点E ，D 为1CC 的中点.(1)求证：BE ⊥平面1AB C ；(2)求直线1B D 与平面1AB C 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；15【分析】（1）先证明1AA AC ⊥，从而可得AC ⊥平面11AA B B ，进而可得AC BE ⊥，再由线面垂直的判定定理即得；（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法即得.【详解】（1）因为三棱柱111ABC A B C 为直三棱柱，所以1AA ⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，所以1AA AC ⊥,又AC AB ⊥，1AB AA A ⋂=，AB ⊂平面11AA B B ，1AA ⊂平面11AA B B ，所以AC ⊥平面11AA B B ，因为BE ⊂平面11AA B B ，所以AC BE ⊥，又因为1BE AB ⊥， 1AC AB A ⋂=，AC ⊂平面1AB C ，1AB ⊂平面1AB C ，所以BE ⊥平面1AB C ；（2）由（1）知AB ，AC ，1AA 两两垂直，如图建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()12,0,4B ，()0,2,0C ，()2,0,0B ，()0,2,2D ，设()0,0,E a ，()12,0,4AB =，()2,0,BE a =-，()0,2,0AC =，因为1AB BE ⊥，所以440a -=，即1a =，则()2,0,1BE =-，由（1）平面1AB C 的一个法向量为()2,0,1BE =-，又()12,2,2B D =--，设直线1B D 与平面1AB C 所成角的大小为π20θθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，则 11115sin cos ,512BE B D BE B D BE B D θ⋅====⋅⋅， 因此，直线1B D 与平面1AB C 1521．已知数列{}1221,2,5,43.++===-n n n n a a a a a a(1)令1n n n b a a +=-，求证：数列{}n b 是等比数列；(2)若n n c nb =，求数列{}n c 的前n 项和n S ．【答案】(1)见解析 (2)11133244n n S n +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据递推公式证明2113n n n na a a a +++--为定值即可； （2）利用错位相减法求解即可.【详解】（1）证明：因为2143n n n a a a ++=-，所以()2113n n n n a a a a +++-=-，即13n n b b +=， 又1213b a a -==，所以数列{}n b 是以3为首项，3为公比的等比数列；（2）解：由（1）得11333n n n n a a +--=⋅=， 3n n n c nb n =⋅=，则23323333n n S n =+⨯+⨯++⋅，23413323333n n S n +=+⨯+⨯++⋅，两式相减得()2311131313233333331322n n n n n n S n n n +++-⎛⎫-=++++-⋅=-⋅=-- ⎪-⎝⎭， 所以11133244n n S n +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 22．如图，在多面体ABCDEF 中，梯形ADEF 与平行四边形ABCD 所在平面互相垂直，1//122AF DE DE AD AD BE AF AD DE AB ⊥⊥====，，，，.(1)求证：BF ∥平面CDE ；(2)求二面角B EF D --的余弦值；(3)判断线段BE 上是否存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ？若存在，求出BQ BE 的值，若不存在，说明理由.【答案】(1)详见解析 (2)63(3)存在点Q ；17BQ BE =【分析】（1）根据线面平行的判断定理，作辅助线，转化为证明线线平行；（2）证得DA ，DB ，DE 两两垂直，从而建立以D 点为原点的空间直角坐标系，求得平面DEF 和平面BEF 的一个法向量，根据法向量的夹角求得二面角的余弦值；（3）设()[]()0,,20,1BQ BE λλλλ==-∈，求得平面CDQ 的法向量为u ，若平面CDQ ⊥平面BEF ，则0m u =⋅，从而解得λ的值，找到Q 点的位置.【详解】（1）取DE 的中点M ，连结MF ，MC ，因为12AF DE =，所以AF DM =，且AF DM =， 所以四边形ADMF 是平行四边形，所以//MF AD ，且MF AD =,又因为//AD BD ,且AD BC =，所以//MF BC ,MF BC =,所以四边形BCMF 是平行四边形，所以//BF CM ,因为BF ⊄平面CDE ,CM ⊂平面CDE ，所以//BF 平面CDE ；（2）因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD =，DE AD ⊥， 所以DE ⊥平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ，则DE DB ⊥，故DA ，DB ，DE 两两垂直，所以以DA ，DB ，DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()0,1,0B ，()1,1,0C -，()0,0,2E ，()1,0,1F ，所以()0,1,2BE =-，()1,0,1EF =-，()0,1,0n =为平面DEF 的一个法向量. 设平面BEF 的一个法向量为(),,m x y z =，由0m BE ⋅=，0m EF ⋅=，得200y z x z -+=⎧⎨-=⎩， 令1z =，得()1,2,1m →=. 所以26cos ,36m n m n m n →→→→→→⋅===. 如图可得二面角B EF D --为锐角，所以二面角B EF D --的余弦值为63. （3）结论：线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF . 证明如下：设()[]()0,,20,1BQ BE λλλλ==-∈，所以(0,1,2)DQ DB BQ λλ=+=-.设平面CDQ 的法向量为(),,u a b c =，又因为()1,1,0DC =-， 所以0u DQ ⋅=，0u DC ⋅=，即(1)200b c a b λλ-+=⎧⎨-+=⎩， 若平面CDQ ⊥平面BEF ，则0m u =⋅，即20a b c ++=， 解得[]10,17λ=∈.所以线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ， 且此时17BQ BE =.。
2022-2023学年青海省西宁市城西区青海湟川中学高二上学期12月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年青海省西宁市城西区青海湟川中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【分析】先求出共轭复数再判断结果.【详解】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ． 【点睛】本题考点为共轭复数，为基础题目．2．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1C 1的中点，若BE =1xAA +y AB +z AD ，则（ ）．A ．x ＝1，12y ＝，12z ＝－B ．x ＝1，12y ＝－，12z ＝C ．12x ＝，y ＝1，12z =-D ．12x ＝－，y ＝1，12z ＝【答案】B【分析】利用空间向量的加减及数乘运算法则进行计算，解决空间向量基本定理问题. 【详解】由题意得：()11111111112BE BB B A A E AA AB A B A D =++=-++ 1111112222AA AB AB AD AA AB AD =-++=-+， 所以111,,22x y z ==-=故选：B3．设非零向量a ，b 满足a b a b +=-，则 A ．a ⊥bB ．=a bC ．a ∥bD ．a b >【答案】A【详解】由a b a b +=-平方得222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，即0a b ⋅=，则a b ⊥，故选A. 【点睛】本题主要考查了向量垂直的数量积表示，属于基础题.4．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为． A ．1415B ．115C ．29D ．【答案】A【分析】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A ，可以求()P A ,运用公式()1()P A P A =-，求出()P A .【详解】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A ，所以232101()=15C P A C =，因此114()1()=11515P A P A =--=,故本题选 A.【点睛】本题考查了求对立事件的概率问题，考查了运算能力. 5．已知向量()0,1,0a =，()3,0,2b =，()2,1,3c =-，则有（ ）． A ．23a cb =-B ．a b c +=C ．()b ac ⊥- D ．a b b c c a ⋅=⋅=⋅【答案】C【分析】对于A ，利用向量的线性运算的坐标表示即可求解； 对于B ，利用向量的摸的坐标表示即可求解；对于C ，利用向量的线性运算的坐标表示及向量垂直的坐标表示即可求解； 对于D ，利用向量的数量积的坐标运算即可求解.【详解】对于A ，因为()0,1,0a =，()3,0,2b =，()2,1,3c =-，所以242,0,33b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2140,1,33c b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以23a c b ≠-，故A 不正确；对于B ，因为()0,1,0a =，()3,0,2b =，()2,1,3c =-，所以2011,a =+230b =+，221c =+=，所以a b c +≠，故B 不正确；对于C ，因为()0,1,0a =，()2,1,3c =-，所以()2,0,3a c -=-，又()3,0,2b =， 所以()()3200320b a c ⋅-=⨯-+⨯+⨯=，即()b ac ⊥-，故C 正确. 对于D ，因为()0,1,0a =，()3,0,2b =，()2,1,3c =-，所以0310020a b ⋅=⨯+⨯+⨯=，()3201230b c ⋅=⨯+⨯+⨯-=，()2011301c a ⋅=⨯+⨯+-⨯=，所以a b b c c a ⋅=⋅≠⋅，故D 不正确. 故选：C.6．已知sin cos αα-=α∈(0, π)，则tan α=A ．-1B ．C ．2D ．1【答案】A【详解】sin cos αα-=()0,απ∈，12sin cos 2αα∴-=，即sin 21α=-，故34πα=1tan α∴=- 故选A 7．曲线2122y x =+在点51,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线的倾斜角为（ ）A ．34πB ．4π C ．23π D ．3π 【答案】A【分析】根据导数的几何意义得到点51,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处切线的斜率，再根据斜率求倾斜角即可.【详解】=y x '，所以在点51,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线的斜率为-1，倾斜角为34π. 故选：A.8．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++=【答案】A【详解】与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=，故选A9．四面体OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在线段OC 上，且2OM MC =，N 为BA 中点，则MN 为（ ） A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++C ．112223a b c +-D ．221332a b c ++【答案】C【分析】利用空间向量的线性运算及空间向量基本定理，结合图像即可得解. 【详解】解：根据题意可得，()2111232223MN MO ON OC OA OB a b c =+=-++=+-.故选：C.10．椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其左焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）A ．2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．26⎡⎢⎣⎦ C ．6⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ D ．23⎡⎢⎣⎦【答案】B【分析】确定四边形1AFBF 为矩形，得到1π24e α=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，根据三角函数的性质得到离心率范围.【详解】设椭圆右焦点为1F ，连接1AF ，1BF ，AF BF ⊥，则四边形1AFBF 为矩形， 则12sin 2cos 2AF AF AF BF c c a αα+=+=+=， 故11πsin cos 2sin 4e ααα==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，ππ124α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,，则ππ32π,4α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，π3sin ,142α⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，26,23e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选：B.11．已知a<0，若直线1:210l ax y +-=与直线()2:140l x a y +++=平行，则它们之间的距离为（ ） A 72B 52C 5D 572【答案】A【分析】根据平行关系确定参数，结合平行线之间的距离公式即可得出． 【详解】解：直线1:210l ax y +-=与直线()2:140l x a y +++=平行，()120a a ∴+-=，解得2a =-或1a =，又a<0，所以2a =-，当2a =-时，直线1:2210l x y -+=与直线2:2280l x y -+=距离为7244==+故选：A12．若圆221x y +=上总存在两个点到点(,1)a 的距离为2，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(22,0)2)-⋃ B ．(2,22)- C ．(1,0)(0,1)- D ．(1,1)-【答案】A【分析】将问题转化为圆22()(1)4x a y -+-=与221x y +=相交，从而可得2221121a -<+<+，进而可求出实数a 的取值范围.【详解】到点(,1)a 的距离为2的点在圆22()(1)4x a y -+-=上，所以问题等价于圆22()(1)4x a y -+-=上总存在两个点也在圆221x y +=上，即两圆相交，故2121-+，解得0a -<<或0a <<所以实数a的取值范围为(-⋃， 故选：A ．二、填空题13．已知椭圆2214x y +=，过11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭点作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且点P 是AB 的中点，则直线l 的方程是__________. 【答案】220x y +-=【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，利用“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出． 【详解】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则221144x y +=，222244x y +=，12121212((4)0)))((x x x x y y y y ∴+-++-=．1(1,)2P 恰为线段AB 的中点，即有122x x +=，121y y +=，1212()2()0x x y y ∴-+-=，∴直线AB 的斜率为121212y y k x x -==--， ∴直线AB 的方程为11(1)22y x -=--， 即220x y +-=．由于P 在椭圆内，故成立． 故答案为：220x y +-=．14．过点()1,2且与圆221x y +=相切的直线的方程是______． 【答案】1x =或3450x y -+=【分析】当直线斜率不存在时，可得直线:1l x =，分析可得直线与圆相切，满足题意，当直线斜率存在时，设斜率为k ，可得直线l的方程，由题意可得圆心到直线的距离1d r ===，即可求得k 值，综合即可得答案.【详解】当直线l 的斜率不存在时，因为过点()1,2， 所以直线:1l x =，此时圆心(0,0)到直线1x =的距离为1=r ， 此时直线:1l x =与圆221x y +=相切，满足题意； 当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ， 所以:l 2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=， 因为直线l 与圆相切，所以圆心到直线的距离1d r ==，解得34k =， 所以直线l 的方程为3450x y -+=. 综上：直线的方程为1x =或3450x y -+= 故答案为：1x =或3450x y -+=15．已知椭圆2211612x y +=的左、右焦点分别为12,,F F AB 是椭圆过焦点1F 的弦，则2ABF △的周长是___.【答案】16【解析】根据椭圆的定义求解．【详解】由椭圆的定义知12122,2,BF BF a AF AF a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩所以22||416AB AF BF a ++==.故答案为：16．16．已知P 为圆22(1)1x y ++=上任意一点，A ，B 为直线3470x y +-=上的两个动点，且||2AB =，则PAB 面积的最大值是___________． 【答案】3【分析】直接利用直线和圆的位置关系，利用点到直线的距离公式和三角形的面积公式的应用求出结果．【详解】解：根据圆的方程，圆心(1,0)-到直线3470x y +-=的距离2d ==，所以圆上的点P 到直线的最大距离213max d =+=，此时最大面积13232PAB S =⨯⨯=△．故答案为：3．三、解答题17．已知直线12:310,:(2)0l ax y l x a y a ++=+-+=． （1）若12l l ⊥，求实数a 的值；（2）当12l l //时，求直线1l 与2l 之间的距离． 【答案】（1）32a =；（2）423． 【分析】（1）由垂直可得两直线系数关系，即可得关于实数a 的方程.（2）由平行可得两直线系数关系，即可得关于实数a 的方程，进而可求出两直线的方程，结合直线的距离公式即可求出直线1l 与2l 之间的距离. 【详解】（1）由12l l ⊥知3(2)0a a +-=，解得32a =． （2）当12l l //时，有(2)303(2)0a a a a --=⎧⎨--≠⎩，解得3a =．此时12:3310,:30l x y l x y ++=++=，即233:90x y l ++=， 则直线1l 与2l 之间的距离22|91|42333d -==+． 【点睛】本题考查了由两直线平行求参数，考查了由两直线垂直求参数的值，属于基础题. 18．在△ABC 中，内角A,B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bsinA=3acosB ． （1）求角B 的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA ，求a ，c 的值 【答案】（1）B =60°（2）3,23a c == 【详解】（1)由正弦定理得【考点定位】本题主要考察三角形中的三角函数，由正余弦定理化简求值是真理 19．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2， E 、F 分别为1AD 、1CD 中点.(1)求证：EF BD ⊥;(2)求两异面直线BD 与1CD 所成角的大小. 【答案】(1)见解析 (2)3π【分析】（1）利用向量乘积为0证明即可； （2）利用向量法求异面直线所成的角.【详解】（1）如图,建立空间直角坐标系D xyz - 则(0,0,0),(2,2,0),(1,0,1),(0,1,1)D B E F (1,1,0),(2,2,0)EF BD =-=--因为2200EF BD ⋅=-+= 所以EF BD ⊥,即EF BD ⊥（2）11(0,2,0),(0,0,2),(0,2,2)C D CD =- 1111cos ,22222||BD CD BD CD BD CD ⋅===⨯设异面直线BD 与1CD 所成角为θ,则0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦所以3πθ=,即异面直线BD 与1CD 所成角的大小为3π20．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2BC ＝2CC 1＝2，点E 是DC 的中点．(1)求点D 到平面AD 1E 的距离； (2)求证：平面AD 1E ⊥平面EBB 1． 【答案】(1)33; (2)证明过程见解析.【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面1D AE 的法向量，利用点到平面距离公式求出答案； （2）利用空间向量的数量积为0证明出1,EA EB EA BB ⊥⊥，从而证明出线面垂直，进而证明出面面垂直.【详解】（1）以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()()110,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,2,0,1,2,1D A E D B B ， 设平面1D AE 的法向量为(),,m x y z =， 则()()()()1,,1,0,10,,1,1,00m D A x y z x z m EA x y z x y ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⋅=⋅-=-=⎪⎩，令1x =得：1,1y z ==，所以()1,1,1m =，则点D 到平面AD 1E 的距离为()()1,0,01,1,133111DA m d m ⋅⋅===++；（2）()()11,1,0,0,0,1EB BB ==，所以()()1,1,01,1,0110EA EB ⋅=-⋅=-=，()()11,1,00,0,10EA BB ⋅=-⋅=，所以1,EA EB EA BB ⊥⊥，因为1EB BB B =，1,EB BB ⊂平面1EBB ， 所以EA ⊥平面1EBB ，因为EA ⊂平面1D AE ，所以平面1D AE ⊥平面1EBB .21．某企业为了了解职工对某部门的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示）：(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分的中位数与平均值；(3)从评分在[)40,60 的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[)40,50的概率.【答案】(1)0.006a =；(2)中位数为5357，均值为76.2； (3)110【分析】（1）根据频率和为1可求频率分布直方图中a 的值;（2）根据组中值可求平均值，根据前3组、前4组的频率和可求中位数.（3）利用古典概型的概率计算公式可求概率.【详解】（1）由直方图可得(0.0040.0180.02220.028)101a +++⨯+⨯=，故0.006a =.（2）由直方图可得平均数为(0.004450.006550.018950.022650.022850.02875)1076.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.前3组的频率和为0.0040.0060.022)100.32++⨯=，前3组的频率和为0.0040.0060.0220.028)100.6+++⨯=，故中位数在[)70,80，设中位数为x ，则700.320.280.510x -+⨯=，故5357x =.故中位数为5357.（3）评分在[)40,60 的受访职工的人数为()0.0040.00610505+⨯⨯=，其中评分在[)40,50的受访职工的人数为2，记为,a b在[)50,60的受访职工人数为3，记为,,A B C ，从5人任取2人，所有的基本事件如下：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a A a B a C b A b B b C A B A C B C ，基本事件的总数为10，而2人评分都在[)40,50的基本事件为{},a b ，故2人评分都在[)40,50的概率为110.22．如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别是,A B ，且经过点31,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 直线:1l x ty =-恒过定点F 且交椭圆于,D E 两点，F 为OA 的中点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)记BDE △的面积为S ，求S 的最大值.【答案】(1)2214x y +=33【分析】（1）由直线过定点坐标求得a ，再由椭圆所过点的坐标求得b 得椭圆方程；（2）设()()1122,,,E x y D x y ，直线l 方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得12122223,44t y y y y t t +==-++， 计算弦长DE ，再求得B 到直线l 的距离，从而求得三角形面积，由函数的性质求得最大值．【详解】（1）由题意可得，直线:1l x ty =-恒过定点(1,0)F -，因为F 为OA 的中点， 所以||2OA =， 即2a =.因为椭圆C 经过点1,⎛ ⎝⎭，所以2222112b ⎛ ⎝⎭+=， 解得1b =， 所以椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）设()()1122,,,E x y D x y .由22441x y x ty ⎧+=⎨=-⎩得 ()224230,0t y ty +--=∆>恒成立， 则12122223,44t y y y y t t +==-++，则||ED = 又因为点B 到直线l 的距离d =，所以11||22S ED d =⨯⨯==令33m =，26611m m m m ==++， 因为1y m m=+，m ≥2110y m'=->，1y m m =+在)m ∈+∞上单调递增，所以当mmin 1m m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭max S =. 即S的最大值为 【点睛】方法点睛：本题求椭圆的标准方程，直线与椭圆相交中三角形面积问题，计算量较大，属于难题．解题方法一般是设出交点坐标，由（设出）直线方程与椭圆方程联立方程组消元后应用韦达定理，然后由弦长公式求得弦长，再求得三角形的另一顶点到此直线的距离，从而求得三角形的面积，最后利用函数的性质，基本不等式等求得最值．。
辽宁省大连市第八中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题
辽宁省大连市第八中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．1x =，12y =，12z =-C ．12x =，1y =，12z =-4．已知抛物线2:C y x =的焦点为为B ，1BF =，则BAF ∠=（A ．30°B ．45°5．美术绘图中常采用“三庭五眼鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为中提供的直线AB 近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（A ．524C ．9246．已知双曲线221(0)x y m m-=>曲线的渐近线方程为（）A ．2y x=±B ．y =±7．已知直线20kx y k -+=与直线二、多选题9．4名男生和3名女生排队（排成一排）照相，下列说法正确的是（）A ．若女生必须站在一起，那么一共有5335A A 种排法B ．若女生互不相邻，那么一共有3434A A 种排法C ．若甲不站最中间，那么一共有1666C A 种排法A ．无论λ取何值，三棱锥B ．若24λ=，则EG ⋅ C ．点1D 到平面EFG 的距离为D ．若异面直线EF 与AG 12．法国数学家加斯帕·蒙日被称为相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，圆的蒙日圆.若椭圆Γ：22x a 动点M 作Γ的两条切线，分别与A ．2a b=B ．MPQ 面积的最大值为C ．M 到Γ的左焦点的距离的最小值为D ．若动点D 在Γ上，将直线三、填空题四、解答题(1)求1AC 的长；(2)求异面直线1CA 与1DC 所成角的余弦值．18．已知圆C 过点(02)M -，，(1)求圆C 的标准方程．(2)设直线10ax y -+=与圆C 的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数19．已知圆22:22M x y x ++（1）求曲线E 的方程；（2）点A 是曲线E 与y 轴正半轴的交点，过点,AB AC 的斜率分别是12,k k ，试探索12k k ⋅是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，ABC ∠=∠二面角P AD B --为直二面角．(1)求证：PA BD ⊥；(2)若直线PB 与平面PAD 弦值．21．已知双曲线C ：22x a -A(1)求双曲线C 的方程(2)动直线12y x t =+交双曲线22．抛物线1C ：24x y =，双曲线一点3,4M m ⎛⎫⎪⎝⎭作1C 的切线，其斜率为(1)求2C 的标准方程；。
高二12月月考(数学)试题含答案
高二12月月考（数学）（考试总分：150 分）一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1.（5分）1．直线x﹣y+1＝0的斜率为（）A．B．﹣C．D．﹣2.（5分）2．已知向量＝（2，3，1），＝（1，2，0），则|+|等于（）A．B．3C．D．93.（5分）3．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝，＝，＝，则下列向量与相等的是（）A．﹣﹣+B．+﹣C．﹣++D．++4.（5分）4．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列．若冬至、大寒、雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（）A．6.5尺B．13.5尺C．14.5尺D．15.5尺5.（5分）5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为棱A1B1和BB1的中点，那么异面直线AM和CN所成角的余弦值是（）A．B．C．D．﹣6.（5分）6．历时23天嫦娥五号成功携带月球样品返回地球，标志着中国航天向前迈出一大步．其中2020年11月28日晚，嫦娥五号成功进行首次近月制动，进入一个大椭圆轨道．该椭圆形轨道以月球球心为一个焦点F1，若其近月点A（离月球表面最近的点）与月球表面距离为r1公里，远月点B（离月球表面最远的点）与月球表面距离为r2公里，并且F1，A，B在同一直线上已知月球的半径为R公里，则该椭圆形轨道的离心率为（）A．B．C．D．7.（5分）7．已知动点P在直线l1：3x﹣4y+1＝0上运动，动点Q在直线l2：6x+my+4＝0上运动，且l1∥l2，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．8.（5分）8．若等差数列{a n}的前n项和为S n，首项a1＞0，a2020+a2021＞0，a2020•a2021＜0，则满足S n＞0成立的最大正整数n是（）A．4039B．4040C．4041D．4042二、多选题（本题共计4小题，总分20分）9.（5分）9．关于双曲线C1：＝1与双曲线C2：＝1，下列说法正确的是（）A．它们的实轴长相等B．它们的渐近线相同C．它们的离心率相等D．它们的焦距相等10.（5分）10．已知圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣4x＝0的公共点为A，B，则（）A．|C1C2|＝2B．直线AB的方程是x＝C．AC1⊥AC2D．|AB|＝11.（5分）11．若数列{a n}满足a1＝1，a2＝1，a n＝a n﹣1+a n﹣2（n≥3，n∈N+），则称数列{a n}为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用则下列结论成立的是（）A．a7＝13B．a1+a3+a5+……+a2019＝a2020C．S7＝54D．a2+a4+a6+……+a2020＝a202112.（5分）12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E，F在平面A1B1C1D1内，若|AE|＝，AC⊥DF，则（）A．点E的轨迹是一个圆B．点F的轨迹是一个圆C．|EF|的最小值为﹣1D．AE与平面A1BD所成角的正弦值的最大值为三、填空题（本题共计3小题，总分15分）13.（5分）13．若直线x﹣y+1＝0与直线mx+3y﹣1＝0互相垂直，则实数m的值为．14.（5分）14．若双曲线的渐近线为，则双曲线C的离心率为．15.（5分）16．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点（，0）的直线l与圆C：x2+y2﹣4x+8＝0交于A，B两点，则四边形OACB面积的最大值为．四、解答题（本题共计7小题，总分75分）16.（5分）15．已知四面体ABCD的顶点分别为A（2，3，1），B（1，0，2），C（4，3，﹣1），D（0，3，﹣3），则点D到平面ABC的距离．17.（10分）17．在：①圆C与y轴相切，且与x轴正半轴相交所得弦长为2；②圆C经过点A（4，1）和B（2，3）；③圆C与直线x﹣2y﹣1＝0相切，且与圆Q：x2+（y﹣2）2＝1相外切。
2022-2023学年上海市南洋模范中学高二上学期12月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年上海市南洋模范中学高二上学期12月月考数学试题一、填空题1．在空间直角坐标系中，点(1,2,3)A -关于xOz 平面对称的点的坐标是______. 【答案】()1,2,3--【分析】根据空间对称的知识求得正确答案.【详解】点关于xOz 平面对称点，横坐标和竖坐标不变，纵坐标相反， 所以点(1,2,3)A -关于xOz 平面对称的点的坐标是()1,2,3--. 故答案为：()1,2,3--2．为了解某校高三年级男生的体重，从该校高三年级男生中抽取17名，测得他们的体重数据如下（按从小到大的顾序排列，单位：kg ）56 56 57 58 59 59 61 63 64 65 66 68 69 70 73 74 83 据此估计该校高三年级男生体重的第75百分位数为______kg 【答案】69【分析】根据百分位数的求法求得正确答案. 【详解】170.7512.75⨯=， 数据从小到大第13个数是69， 所以第75百分位数为69kg 故答案为：693．第14届国际数学教有大会（ICME-14）于2021年7月12日至18日在上海举办，已知张老师和李老师都在7天中随机选择了连续的3天参会，则两位老师所选的日期恰好都不相同的概率为______. 【答案】625##0.24 【分析】先确定随机试验张老师和李老师各在7天中随机选择了连续的3天参会的基本事件数，再确定事件两位老师所选的日期恰好都不相同所包含的基本事件数，由古典概型概率公式求事件两位老师所选的日期恰好都不相同的概率.【详解】因为张老师在7天中随机选择连续的3天参会共有5种选法，即()12,13,14，()13,14,15，()14,15,16，()15,16,17，()16,17,18，所以随机试验张老师和李老师各在7天中随机选择连续的3天参会的基本事件数为25，其中两位老师所选的日期恰好都不相同选法有：张老师选()12,13,14，李老师选()15,16,17或()16,17,18，张老师选()13,14,15，李老师选()16,17,18，张老师选()15,16,17，李老师选()12,13,14，张老师选()16,17,18，李老师选()12,13,14或()13,14,15，即事件两位老师所选的日期恰好都不相同包含6个基本事件，所以事件两位老师所选的日期恰好都不相同的概率625P =. 故答案为：625. 4．设等差数列{}n a 的公差为d ，若1234576,,,,,,a a a a a a a 的方差为1，则d =________．【答案】12±【详解】由题意得2222222411[(3)(2)()0()(2)(3)]47x a d d d d d d d =∴=-+-+-++++= ，因此12d =±5．某学校随机抽取100名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[]0,100，样本数据分组为[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100．则该校学生上学所需时间的均值估计为______________．（精确到1分钟）.【答案】34.【详解】由直方图可得0.0250.00650.0032201x +++⨯⨯=（）． 所以0.0125x =，该校学生上学所需时间的均值估计为：10200.012530200.02550200.006570200.00390200.00333.6⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=分钟，故该校新生上学所需时间的平均值为34分，故答案346．由8个整数形成的样本数据中，至少有六个互不相同的整数，若平均数、中位数、唯一的众数和全距（即样本中最大数与最小数之差）都是8，则可能成为样本数据中的最大整数是________． 【答案】12【分析】根据平均数、中位数、唯一的众数和全距求得最大整数的值.【详解】依题意，平均数=中位数=众数=8，所以偏态系数为0，数据分布对称， 因为存在众数且众数唯一，所以可设这8个整数为123456,,,8,8,,,x x x x x x ， 且12345688x x x x x x <<<=<<<， 所以6116882x x x x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得612x =.故答案为：127．如图：已知矩形ABCD 中，2AB =，BC t =，若PA ⊥平面ABCD ，在BC 边上取点E ，使PE DE ⊥，则满足条件的E 点有两个时，t 的取值范围是________．【答案】4t >【分析】由题意可证得DE AE ⊥，转化为以AD 为直径的圆与矩形另一边有2个交点，根据圆心到直线的距离小于半径求解即可. 【详解】连接AE ，如图，因为PA ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，所以PA DE ⊥，又PE DE ⊥，PA PE P =，,PA PE ⊂平面PAE ，所以DE ⊥平面PAE ， 因为AE ⊂平面PAE ，所以DE AE ⊥． 即E 点为以AD 为直径的圆与BC 的交点．因为2AB =，BC t =，满足条件的E 点有2个，即圆心也就是AD 中点到BC 的距离小于半径即可，即平行线间的距离22tAB =<，解得4t >． 故答案为：4t >8．某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为__________元. 【答案】8800【详解】要使得这8位员工月工资的中位数最大值，即月工资数据不清楚的两个人的工资分别为比8200小，比9500大，即中位数为9100850088002+=. 9．已知正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为棱AB ，1BB 的中点，过1D ，M ，N 三点作该正方体的截面，若截面为一个多边形Γ，则Γ在顶点1D 处的内角的余弦值为________．【答案】413【分析】建立空间直角坐标系，根据1//D P QN →→，1//D Q PM →→求出,P Q 坐标，利用向量的夹角公式求解即可.【详解】设正方体棱长为2，多边形Γ与棱11,B C AD 相交于,Q P ，以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，则1(2,1,0),(2,2,1),(0,0,2)M N D ，设(,0,0)P a ，(,2,2)Q b ，则11(,0,2),(2,1,0),(,2,0),(2,0,1)D P a PM a D Q b QN b →→→→=-=-==--，由正方体左右侧面平行，与截面多边形Γ分别交于1D P QN ，，所以1//D P QN ， 同理，可得1//D Q PM 故1//D P QN →→，1//D Q PM →→，所以2(2)2(2)a b b a =-⎧⎨=-⎩，解得43a b ==，所以14(,0,2)3D P →=-，14(,2,0)3D Q →=，则111111161649cos ,16163613||||49D P D Q D P D Q D P D Q →→→→→→⋅<>====++， 所以Γ在顶点1D 处的内角的余弦值为413． 故答案为：413. 10．已知A 、B 、C 是半径为1的球面上的三点，若1AB AC ==，则BC 的最大值为______. 【答案】3【分析】设ABC 的外接圆半径为r ，2BC x =，由条件列关系式确定,x r 的关系，由此可求x 的最大值，由此确定BC 的最大值.【详解】因为A 、B 、C 是半径为1的球面上的三点，过点A 、B 、C 作球的截面，设截面圆的圆心为1O ，半径为r ，设BC 的中点为D ，则1O D BC ⊥，因为1AB AC ==，所以AD BC ⊥，设2BC x =，则21AD x =-，211O D r x =--，又22211BD O D O B +=，所以()22221r x r x =+--，所以22114x r =-，因为球的半径为1，所以1r ≤，所以当1r =时，2x取最大值，最大值为34，所以BC 的最大值为3， 故答案为：3.11．在直三棱柱111ABC A B C 中，11AB AC AA ===，{}1Ω,01,02,03P AP AB AC AA λμηλμη==++≤≤≤≤≤≤，若Ω中所有的点构成的几何体的体积为3，则AB 与AC 夹角的大小为________．【答案】π6或5π6【分析】由条件确定区域Ω与三棱柱111ABC A B C 的体积关系，结合柱体体积公式列方程可求AB 与AC 夹角的正弦值，由此可得夹角大小.【详解】因为{}1Ω,01,02,03P AP AB AC AA λμηλμη==++≤≤≤≤≤≤， 所以Ω中所有的点构成的几何体的体积是直三棱柱111ABC A B C 体积的236⨯=倍， 则16sin ,3AB AC AB AC AA ⨯⨯=，又11AB AC AA ===，所以1sin ,2AB AC =，因为[],0,πAB AC ∈，所以π,6AB AC =或5π6， 所以AB 与AC 夹角的大小为π6或5π6．故答案为：π6或5π6.12．在一个112⨯⨯的长方体内部，有一半径为12的小球自由运动，则当小球在长方体内滚动时，长方体内没有被小球滚到的部分其体积为________． 【答案】5212π-【分析】根据条件，画直观图，直接计算即可.【详解】由题意，小球在长方体内活动如图中虚线所示，是由上下两个半球和中间的圆柱构成， 所以小球不能达到的空间体积为2314151121223212πππ⎛⎫⎛⎫⨯⨯-⨯⨯-⨯=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 故答案为：5212π-.二、单选题13．如图是6株圣女果植株挂果个数（两位数）的茎叶图，则6株圣女果植株挂果个数的中位数为（ ）A ．21B ．21.5C ．22D ．22.5【答案】B【分析】根据中位数的知识求得正确答案. 【详解】6个数据为16,18,21,22,22,31， 所以中位数为212221.52+=. 故选：B14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()e ,0,1a =-与()20232023,π,b a S =垂直，则{}n a 不可能是（ ）A ．公差大于0的等差数列B ．公差小于0的等差数列C ．公比大于0的等比数列D ．公比小于0的等比数列【答案】C【分析】根据空间向量互相垂直的性质、空间向量数量积的运算性质，结合等差数列和等比数列的性质逐一判断即可.【详解】因为()e ,0,1a =-与()20232023,π,b a S =垂直，所以2023202300a b a S ⋅=⇒-=，则20232023S a =，若20232023S a =，则2022202320230S S a =-=，所以保证20220S =即可， 若{}n a 为等差数列，取前2022项分别为2021,,3,1,1,3,,2021---即可，反之，取2021,,3,1,1,3,,2021---也可，故A 、B 均可能，若{}n a 为等比数列，取(1)nn a =-即可，故D 有可能，若公比大于0，则()2022120221S a q ==或()()202212022111a q S q q-=≠-均不为0，故C 不可能； 故选C ．15．设a ,b ,c ,x ,y ,z 是正数，且2a +2b +2c =10, 2x +2y +2z =40, ax +by +cz =20,则a b cx y z++++=A ．14B ．13C ．12D ．34【答案】C【详解】由柯西不等式得()2222222111111444222a b c x y z ax by cz ⎛⎫⎛⎫++++≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当111222a b c x y z ==时等号成立， 2222221040a b c x y z ++=++=，,20ax by cz ++=∴等号成立111222a b c x y z ∴== 12a b c x y z ++∴=++故答案选C16．已知a ，b 是异面直线，若直线m 上任意一点到a ，b 的距离都相等，则这样的直线m （ ） A ．存在且只有一条 B ．存在且只有两条 C ．存在无数条 D ．不存在【答案】B【分析】分别过a ，b 作与它们都平行的平面，再作一个他们正中间的平面，将两条异面直线投影到中间平面上，投影直线构成的四个角的角平分线即为所求.【详解】分别过a ，做平面α，使得b α，过b 作平面β，使得a β∥，然后在这两个平行平面中间作一个平面γ，使得平面γ到平面α、平面β的距离相等，则直线,a b 在平面γ内的投影分别为,a b ''，则//,//a a b b ''，则在平面γ内两条直线,a b ''构成的四个角的角平分线即为所求直线（共两条）, 故选：B .三、解答题17．某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者．假设携带病毒的人占5%，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次． (1)求按照专家提出的这种化验方法需要化验的次数并说明是否能减少化验次数； (2)若携带病毒的人只占2%，按照k 个人一组，试问k 取多少时化验次数最少？ 【答案】(1)平均需要化验4262次，能减少化验次数. (2)k 取8时化验次数最少【分析】（1）设每个人需要的化验次数为X ，结合独立重复试验概率计算公式、对立事件概率计算公式求得()E X ，从而确定正确答案.（2）假设k 个人一组，设每个人需要的化验次数为Y ，结合独立重复试验概率计算公式、对立事件概率计算公式求得()E Y ，从而确定正确答案. 【详解】（1）设每个人需要的化验次数为X ，若混合血样呈阳性，则15X =；若混合血样呈阴性，则65X =；因此，X 的分布列为510.955P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭，5610.955P X ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()551()0.95610.950.42625E X ⎡⎤=+⨯-≈⎣⎦， 说明每5个人一组，平功每个人需要化验0.4262次；100000.4262426210000⨯=<，所以能减少化验次数.（2）假设k 个人一组，设每个人需要的化验次数为Y ，若混合血样呈阳性，则1Y k =；若混合血样呈阴性，则11Y k =+； 因此，Y 的分布列为10.98k P X k ⎛⎫== ⎪⎝⎭，1110.98kP X k ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，()()()11()0.98110.9810.98k kk E Y k k k ⎡⎤=++⨯-=+-⎣⎦， 利用计算器，对k 取1,2,3,，逐一计算110.98kk+-，发现当k 取8时，()E Y 取到最小值0.2742， 此时，10000个人大约需要化验2742次．18．现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设传接球无失误，设第n 次传球后，甲接到球的概率为n P ． (1)求0P ，1P ，2P 的值；(2)试用1n P -表示()*n P n N ∈，并求数列{}n P 的通项公式．【答案】(1)01P =，10P =，212P =(2)()1112n n P P -=-，1111332n n P -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭【分析】（1）直接由题意求值即可.（2）由（1）得10P =，根据*n ∈N ，2n ≥时，第n 次传给甲的事件是第n 1-次传球后，球不在甲手上并且第n 次必传给甲的事件，进而有()1112n n P P -=-，然后变形借助等比数列的定义即可求出数列{}n P 的通项公式.【详解】（1）第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，则01P =，10P =， 接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，则212P =. 故：01P =，10P =，212P =. （2）第一次传球后，球落在乙或丙手中，则10P =，*n ∈N ，2n ≥时，第n 次传给甲的事件是第n 1-次传球后，球不在甲手上并且第n 次必传给甲的事件， 于是有()1112n n P P -=-，即1111323n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 数列13n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为11133P -=-，公比为12-的等比数列， 则1111332n n P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以1111332n n P -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．故：1111332n n P -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.19．高二A 班计划在学校即将举办的夏季游园会上为同学们提供单球冰激凌的销售服务.已知购买一圆柱形桶装冰激凌需要1300元，此桶装冰激凌桶内底面直径为25厘米，冰激凌净高20厘米.单球冰激凌的平均直径约为5厘米，一副一次性杯勺的成本约1元(其他成本忽略不计).根据前期调查，冰激凌球能全部售完.高二A 班打算将每个单球冰激凌定价为15元，你认为这样的定价是否合理？请作出必要的计算，结合计算结果阐述你的理由. 【答案】合理，理由见解析【分析】根据条件先求圆柱和单球冰激凌的体积，再计算每个单球冰激凌的成本，最后比较.【详解】2212.5203125V R h πππ==⋅⋅=圆柱，33441252.5336V r πππ==⋅=球， 每个单球冰激凌的成本价为125296130019.6731253ππ⋅+=≈(元)，定价为15元，利润率约为55%，较为合理.【点睛】本题考查几何体的实际应用问题，重点考查读题能力，抽象概括能力，属于基础题型. 20．如图，等高的正三棱锥P-ABC 与圆锥SO 的底面都在平面M 上，且圆O 过点A ，又圆O 的直径AD ⊥BC ，垂足为E ，设圆锥SO 的底面半径为1，圆锥体积为33π．(1)求圆锥的侧面积；(2)求异面直线AB 与SD 所成角的大小；(3)若平行于平面M 的一个平面N 3P A 与底面ABC 所成角的大小．【答案】(1)2π；(2)3(3)3arctan 2 【分析】（1）利用圆锥体积可求得圆锥的高，进而得到母线长，根据圆锥侧面积公式可求得结果；（2）作//DF AB 交圆锥底面圆于点F ，则SDF ∠即为异面直线AB 与SD 所成角，在SDF ∆中，求解出三边长，利用余弦定理可求得cos SDF ∠，从而得到结果；（3）根据截面面积之比可得底面积之比，求得ABC S ∆，进而求得等边三角形的边长，利用正棱锥的特点可知若Q 为ABC ∆的中心，则PAQ ∠即为侧棱PA 与底面ABC 所成角，在Rt PAQ ∆中利用正切值求得结果.【详解】（1）设圆锥高为h ，母线长为l由圆锥体积得：21313h π⨯⨯= 3h ∴=132l ∴=+= ∴圆锥的侧面积：2S π=（2）作//DF AB 交圆锥底面圆于点F ，连接AF ，SF则SDF ∠即为异面直线AB 与SD 所成角 由题意知：126ADF EAB CAB π∠=∠=∠=，AF DF ⊥ 33DF AD ∴==2SD SF == 2222323cos 232SDF +-∴∠==⨯⨯ 3SDF ∴∠= 即异面直线AB 与SD 所成角为：3（3）平行于平面M 的一个平面N 33ABC O S S ∆∴=3ABC S ∆∴=又21sin 323ABC S AB π∆=⨯=AB 2∴=，即ABC ∆为边长为2的等边三角形 设Q 为ABC ∆的中心，连接PQ ，则22234133AQ AE ==-三棱锥-P ABC 为正三棱锥 PQ ∴⊥平面ABCPAQ ∴∠即为侧棱PA 与底面ABC 所成角33tan 223PQ PAQ AQ ∴∠=== 3arctan 2PAQ ∴∠= 即侧棱PA 与底面ABC 所成角为：3arctan 2【点睛】本题考查圆锥侧面积的求解、异面直线所成角的求解、直线与平面所成角的求解.解决立体几何中的角度问题的关键是能够通过平移找到异面直线所成角、通过找到直线在平面内的投影，得到线面角.21．同底的两个正三棱锥内接于半径为R 的球，它们的侧面与底面所成的角分别为12,.αα求：（1）侧面积的比；（2）体积的比；（3）角12αα+的最大值．【答案】（1）21cos :cos αα（2）12tan :tan αα（3）4arctan 3π- 【分析】分别计算出其侧面积，再计算比值．分别计算出其侧体积，再计算比值．根据tan x 在(0,)2π 单调递增，通过计算12tan()αα+的最大值，求出角12αα+的最大值． 【详解】解：（1）设O 为球心，1O 为正三棱锥底面ABC 所在圆的圆心，两个三棱锥的顶点分别为P ,Q ,取BC 的中点D ,则,,PD BC AD BC ⊥⊥∴∠1PDO 是侧面与底面所成二面角的平面角， ∴∠1PDO 1α=，同理1QDO ∠=2α．11,cos DO PD α∴=12cos DO QD α=， 11133.22cos P ABC DO S BC PD BC α-∴=⋅⋅=⋅侧 1213322cos Q ABC DO S BC QD BC α-=⋅⋅=⋅侧． P ABC S -∴侧:Q ABC S -侧=21cos :cos αα．(2)111112tan ,tan PO DO QO DO αα=⋅=⋅,这两个三棱锥的底都是三角形ABC ∆，1112::tan :tan .P ABC Q ABC V V PO QO αα--∴==（3）设ABC ∆边长为a ,1OO h =,则1111tan ,PO R h DO DO α-== 1211tan ,QO R h DO DO α+==而111,33DO AD ===12.3AO AD ==222211,3R h AO a -== ()121122221212112tan tan 2tan 1tan tan 13RDO R R h a DO DO DO αααααα+∴+===----0.=< 12,2πααπ∴<+<当平面ABC 通过球心O 时，aR 时，12tan()αα+取最大值43-，这时12αα+也最大，最大值为4arctan 3π-. 【点睛】用已知数量表示所求量，再求比值．求角的最大值，可以根据单调性通过求其三角函数值的最值来求．。
天津市百华实验中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题
D． 2 6
2．一条直线过点 A (1，0)和 B (−2，3) ，则该直线的倾斜角为
A．30°
B．45°
C．135°
D．150°
3．若抛物线 y ax2 的焦点坐标为 (0, 2) ，则 a 的值为
1 A． 8
1 B． 4
C．8
D．4
4．已知点
P
为椭圆
x2 4
y2 2
1上的一点，F1 ，F2 为该椭圆的两个焦点，若
36 9
A． x 2 y 0
B． x 2 y 4 0
C． 2x 3y 12 0 D． x 2 y 8 0
9．已知抛物线 y2 2 px p 0 上一点 M 1,mm 0 到其焦点的距离为 5，双曲线的
试卷第 1页，共 3页
x2 y2 1左顶点为 A，若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行，则实数 n 的值是（ ） n
(1)求证： AF // 平面 PCE ； 试卷第 2页，共 3页
(2)求点 F 到平面 PCE 的距离；
(3)求直线 FC 与平面 PCE 所成角的正弦值.
18．已知椭圆
E
:
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)的离心率为
3 2
，点
1,
3 2
在
E
上.
（1）求 E 的方程；
（2）设直线
l
:
为．
15．已知双曲线
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b 0) 的右顶点为 A ，左、右焦点分别为 F1 ，F2 ，以 F1F2
为直径的圆与 C 的渐近线在第一象限的交点为 M ，且 MF1 2 | MA | ，则该双曲线的离
高二数学上学期12月月考试题_1
官渡区第二中学高二年级第三次月考数学试卷一、选择题：(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的4个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.)1. 设定点F 1〔－2，0〕、F 2〔2，0〕，椭圆上点P 到两焦点的间隔 之和为6，那么椭圆方程是〔 〕A ．29x+24y=1 B ．29x+25y=1 C ．25x+29y=1 D ．25x+24y=12．“x>y 且m>n 〞是“x+m>y+n 〞成立的〔 〕 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.不充分不必要条件3. 抛物线216y x =的焦点坐标是( ) A ．()0,4B ．()4,0C ．)0,641(D ．)641,0( 4．假设直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于 〔 〕A ．1B ．2-C ．23-D ．13-5．1366422=-y x 上一点P 到它的右焦点的间隔 是8，那么P 到它的右准线间隔 是：〔 〕 A ．10 B ．7732 C ．72 D ．5326．双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，那么m = 〔 〕A ．14-B ．4-C ．4D ．147．以椭圆32x +42y =1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是( )A ．32x -y 2=1B ．y 2-32x =1C ．32x -42y =1D ．32y -42x =18．假设直线220(,0)ax by a b +-=>始终平分圆224280x y x y +---=的周长，那么12a b+ 的最小值为 〔 〕A ．1B ．5C．D．3+9．假如实数x y 、满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为〔 〕A ． 1B ．2C ．2-D ．3-10．双曲线)0(1222>=-a y ax 的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，那么该双曲线的离心率为〔 〕A ．23 B ．23 C ．26 D ．332 11．抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=间隔 的最小值是 〔 〕A ．43B ．75C ．85D ．312．{(,)|0}M x y y y ==≠，{(,)|}N x y y x b ==+，假设MN ≠∅，那么b ∈〔 〕A．[- B．(-C．(- D．[-二、填空题(本大题一一共5小题，每一小题5分，一共20分，把答案填在题中的横线上)13．长轴长为8，短轴长为6的双曲线HY 方程为14．直线方程为(21)(3)(8)0m x m y m --+--=，那么直线必过定点15．双曲线22148x y -=的两条渐近线夹角的正切值为 16．方程1||2-m x +my -22=1表示焦点在y 轴上的椭圆，那么m 的取值范围是三、解答题：(本大题一一共6小题，一共70分. 解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤)17.(理科做)〔本小题满分是10分〕椭圆的焦点为)1,0(1-F 和)1,0(2F ，直线4=y 是椭圆的一条准线.〔1〕求椭圆的HY 方程；〔2〕又设P 在此椭圆上，且1||||21=-PF PF ，求12F PF ∆的面积.17.(文科做)〔本小题满分是10分〕双曲线221169x y -=, 求:(1)实轴长、虚轴长、焦距长；〔2〕准线方程，渐进线方程；〔3〕离心率e .18．〔本小题满分是12分〕解关于x 的不等式(2)(2)0x ax --≤ (0)a >19． 〔本小题满分是12分〕椭圆22:14x C y +=，A 〔1，0〕〔1〕求2v x y =-的最小值:(2) 假设M 是椭圆上任意一点，求MA 的最大值及最小值.20．〔本小题满分是12分〕某村方案建造一个室内面积为8002m 的矩形蔬菜温室。
贵州省2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题
A．若秒针 OC 指向了钟上数字 5，如图 2，则 OA BC
B．若秒针 OC 指向了钟上数字 5，如图 2，则 NA // 平面 OBC C．若秒针 OC 指向了钟上数字 4，如图 3，则 BC 与 AM 所成角的余弦值为 14
7 D．若秒针 OC 指向了钟上数字 4，如图 3，则四面体 OABC 的外接球的表面积为 103
(1)证明：不论 m 为何值，直线 l 过定点 M . (2)过（1）中点 M ，且与直线 l 垂直的直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积 最小时，求直线 l 的方程.
五、证明题 21．如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为矩形，平面 ADE 平面 ABCD ，且 AB 4 ，正三角形 ADE 的边长为 2.
贵州省 2023-2024 学年高二上学期 12 月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．直线 ax 3y 2 0 与直线 2x a 1 y a 0 平行，则 a （ ）
A． 2
B．3
C． 2 或 3
(1)证明： BC OP .
(2)若 BM 2MC ，求二面角 M AP C 的余弦值.
试卷第 5页，共 5页
(1)证明： EF / / 平面 ABCD . (2)若 EF AB ，且直线 AE 与平面 BCF 所成角的正弦值为 21 ，求 EF 的值.
7 22．如图，在三棱锥 P ABC 中， AB BC 3 2, PA PB PC AC 6,O 为 AC 的中 点.
试卷第 4页，共 5页
A． 179 4
B． 178 4
C． 179 8
2022-2023学年湖北省襄阳市谷城县第一中学高二上学期12月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年湖北省襄阳市谷城县第一中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．抛物线22y x =的准线方程是（ ）A ．18y =-B ．14y =-C ．12y =-D ．1y =-【答案】A【分析】将抛物线方程化为标准方程，即可的准线的方程.【详解】由22y x =，得212x y =，所以其准线方程是18y =-. 故选: A2．如图，正四棱锥P ABCD -的侧面PAB 为正三角形，E 为PC 中点，则异面直线BE 和PA 所成角的余弦值为（ ）A 3B 3C 2D ．12【答案】A【分析】通过中位线作出异面直线BE 和PA 所成角,解三角形求得其余弦值.【详解】连接,AC BD ，相交于O ，连接,OE OP .由于E 是PC 中点，O 是AC 中点，所以OE 是三角形PAC 的中位线，所以//AP OE ，所以EOB ∠是异面直线BE 和PA 所成角.由于几何体是正四棱锥，所以PO ⊥平面ABCD ，所以OP OB ⊥,而OB OC ⊥,所以OB ⊥平面PAC ，所以OB OE ⊥.由于三角形PAB 是等边三角形，而四边形ABCD 是正方形.设AB PB a ==，则22123,,22a OE PA OB BE OE OB ====+=.所以3cos OE EOB BE ∠==. 故选：A.【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查正四棱锥的几何性质，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题. 3．已知数列{}n a 满足: 12a =，111n na a +=-，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2017S =（ ） A ．1007 B ．1008 C ．1009.5 D ．1010【答案】D【分析】根据题设条件，可得数列{}n a 是以3为周期的数列，且3132122S =+-=，从而求得2017S 的值，得到答案.【详解】由题意，数列{}n a 满足: 12a =，111n na a +=-， 可得234111,121,1(1)2,22a a a =-==-=-=--=，可得数列{}n a 是以3为周期的数列，且3132122S =+-=所以20173672210102S =⨯+=.故选：D.【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，其中解答中得出数列{}n a 是以3为周期的数列，是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.4．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A ，B 两点，||43AB =C 的实轴长为（ ）A ．2B ．22C ．4D ．8【答案】C【分析】设出双曲线方程，求出抛物线的准线方程，利用||3AB =. 【详解】解：设等轴双曲线C 的方程为22x y λ-=， 抛物线216y x =，216p =，则8p =，∴42p=， ∴抛物线的准线方程为4x =-，设等轴双曲线与抛物线的准线4x =-的两个交点(4,)A y -，(4,)(0)B y y -->， 则|||(|3)24AB y y y =--==， 23∴=y .将4x =-，23y =代入22x y λ-=，得22(4)(23)λ--=，4λ∴=，∴等轴双曲线C 的方程为224x y -=，即22144x y -=，C ∴的实轴长为4.故选：C.5．已知A 、B 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>上的两点，且A 、B 关于坐标原点对称，F 是椭圆的一个焦点，若ABF ∆面积的最大值恰为2，则椭圆E 的长轴长的最小值为 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】本题首先可以根据题意画出椭圆的图像，然后设出A 、B 两点的坐标并写出ABF S ∆的面积公式，再然后根据ABF ∆面积的最大值为2得出2cb ，最后根据基本不等式的相关性质以及222a b c =+即可得出结果．【详解】根据题意可画出图像，如图所示， 因为A 、B 关于坐标原点对称， 所以设()11,A x y 、()11,B x y --，因为(),0F c ，所以()11112ABF S c y y cy ∆=⋅⋅+=，因为ABF ∆面积的最大值为2，[]10,y b ∈， 所以当1y b =时ABF ∆面积取最大值，2cb ，22224a b c bc =+≥=，当且仅当b c ==“=”号成立，此时2a =，24a =，故选D ．【点睛】本题考查椭圆的相关性质，主要考查椭圆的定义以及椭圆焦点的运用，考查基本不等式的使用以及三角形面积的相关性质，考查计算能力与推理能力，体现了综合性，是中档题． 6．两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且523n n S n T n +=+，则220715a a b b ++等于（ ）A ．10724B ．724C ．14912D ．1493【答案】A【分析】根据给定条件，利用等差数列前n 项和公式结合等差数列性质计算作答. 【详解】两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且523n n S n T n +=+， 所以1212201212112171512121215212107221324212a a a a a a S b b b b b b T +⨯++⨯+=====++++⨯. 故选：A7．若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线被曲线22420x y x +-+=所截得的弦长为2．则双曲线C 的离心率为 ABCD【答案】B【分析】先求出双曲线的渐近线方程，再根据弦长求出2213b a =，再求双曲线C 的离心率得解.【详解】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，由对称性，不妨取by x a=，即0bx ay -=．又曲线22420x y x +-+=化为()2222x y -+=， 则其圆心的坐标为()2,0由题得，圆心到直线的距离1d =，1d ==．解得2213b a=，所以e == 故选B ．【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查直线和圆的位置关系和弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.8．已知抛物线2:4C y x =，点P 为抛物线上任意一点，过点P 向圆22:680D x y x +-+=作切线，切点分别为,A B ，则四边形PADB 的面积的最小值为（ ） A ．3 B ．22 C ．7 D ．5【答案】C【分析】由Rt 2PAD PADB S S PA ==四边形△21PD =-，当PD 最小时求解.【详解】解：如图所示：设00(,)P x y ，2004y x =，连接PD ，圆D 为：()2231x y -+=，则222220000000(3)(3)429(1)8PD x y x x x x x -+-+=-+-+则Rt 2PAD PADB S S PA r PA ==⋅=四边形△2201(1)7PD x =-=-+当点01x =时，PD 的最小值为2 所以()2min min17PADB S PD =-=四边形故选：C二、多选题9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==，则下列结论正确的是（ ） A ．230a a += B ．25n a n =- C ．()4n S n n =- D ．2d =-【答案】ABC【分析】根据等差数列的性质判断A ，利用等差数列的前n 项和及通项公式列方程组，运算可判断BD ，由前n 项和公式判断D. 【详解】S 4＝()1442a a +＝0，∴a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝0，A 正确； a 5＝a 1＋4d ＝5， (*)，a 1＋a 4＝a 1＋a 1＋3d ＝0， (**)，联立(*)(**)解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴an ＝－3＋(n －1)×2＝2n －5，B 正确，D 错误； 2(1)324(4)2n n n S n n n n n -=-+⨯=-=-，C 正确． 故答案为：ABC10．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别为BC 、1CC 、1BB 的中点，则下列选项正确的是（ ）A ．若点M 在平面AEF 内，则必存在实数x ，y 使得MA xME yMF =+B ．直线1A G 与EF 10C ．点1A 到直线EF 34D ．存在实数λ、μ使得1λμ=+AG AF AE 【答案】BCD【分析】根据空间向量共面定理，异面直线夹角和点到直线距离的求解方法，以及线面平行的判定定理，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：若,,M E F 三点共线，则不存在实数x ，y 使得MA xME yMF =+，故A 错误； 对B ：取11B C 的中点为H ，连接11,,A H GH BC ，如下所示：在三角形1CBC 中，,E F 分别为1,BC CC 的中点，故可得EF //1BC ， 在三角形11B BC 中，,G H 分别为111,BB B C 的中点，故可得GH //1BC ， 则EF //GH ，故直线1,EF A G 所成的角即为1AGH ∠或其补角； 在三角形1A GH 中，2211111415AG A B B G A H =+=+==， 22112HG B H B G =+=，由余弦定理可得：222111110cos 210AG GH A H AGH AG GH +-∠==⨯， 即直线1A G 与EF 所成角的余弦值为1010，故B 正确； 对C ：连接1111,,A F A E AC 如下图所示：在三角形1A EF 中，2211453A E A A AE =++=，221111813A F AC C F =++=，2EF =故点1A 到直线EF 的距离即为三角形1A EF 中EF 边上的高，设其为h ， 则2211922EF h A E ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭34.故C 正确； 对D ：记11B C 的中点为H ，连接1,A H GH ，如下所示：由B 选项所证，GH //EF ，又EF ⊂面,AEF GH ⊄面AEF ，故GH //面AEF ； 易知1A H //AE ，又AE ⊂面1,AEF A H ⊄面AEF ，故1A H //面AEF ， 又1,GH A H ⊂面11,A HG GH A H H ⋂=，故平面1A HG //面AEF ， 又1AG ⊂面1A GH ，故可得1A G //面AEF ， 故存在实数λ、μ使得1λμ=+AG AF AE ，D 正确. 故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中四点共面、线面平行、线线角，以及点到直线距离的求解，处理问题的关键是准确把握本题中向量的表达形式，属综合基础题.11．设等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，已知140S >，150S <，则下列选项正确的有（ ） A ．10a >，0d <B ．780a a +>C ．6S 与7S 均为n S 的最大值D ．80a <【答案】ABD【分析】根据140S >，150S <，利用等差数列前n 项和公式得到780a a +>，80a <，再逐项判断. 【详解】因为140S >，150S <， 所以114141147814()7()7()02a a S a a a a ⨯+==+=+>， 即780a a +>， 因为11515815()1502a a S a ⨯+==<， 所以80a <， 所以70a >，所以等差数列{}n a 的前7项为正数，从第8项开始为负数，则10a >，0d <，7S 为n S 的最大值． 故选：ABD ．12．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>左、右焦点分别为12,F F ，左、右顶点分别为12,A A ，下列命题正确的是（ ）A ．双曲线C 上存在点P ，使得122PF PF a +=B ．双曲线2222:1y x C b a-=的焦点在以12F F 为直径的圆上C ．双曲线C 上有且仅有4个点P ，使得12PF F △是直角三角形D ．若P 在双曲线上，1222PA PA b k k a= 【答案】BD【分析】A.根据双曲线的定义即可判断；B,求出两个曲线的焦点，以及圆的方程，即可判断；C.确定圆222x y c +=与双曲线的交点的个数，以及分别过点12,F F ，且垂直于x 轴的直线与双曲线的交点个数，即可判断；D.利用斜率公式以及双曲线方程，即可判断选项.【详解】A.根据双曲线的定义可知，122PF PF a -=，不妨设122PF PF a -=，与 122PF PF a +=联立，解出12PF a =，20PF =，所以不存在点P ，使得122PF PF a +=，故A 错误；B. 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，()1,0F c -，()1,0F c ，以122F F c =为直径的圆222x y c +=，双曲线2222:1y x C b a-=的焦点()0,c ±，很显然，()0,c ±在圆222x y c +=上，故B 正确；C.以122F F c =为直径的圆222x y c +=与双曲线有4个交点，过点1F 且垂直于x 的直线与双曲线有2个交点，过点2F 且垂直于x 的直线与双曲线也有2个交点，所以双曲线C 上有且仅有8个点P ，使得12PF F △是直角三角形，故C 错误；D.设()00,P x y ，其中0x a ≠±，()1,0A a -，()2,0A a ，100PA y k x a =+，200PA y k x a=-， 所以12220222022222001PA PA x b a y b k k x a x a a⎛⎫- ⎪⎝⎭===--，故D 正确.故选：BD.三、填空题13．已知双曲线的焦距为6，且焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的标准方程为______. 【答案】22154x y -=或22154y x -=【分析】根据双曲线的性质和点到直线距离公式即可求解.【详解】若双曲线的焦点在x 轴上，设方程为22221x ya b-=，双曲线的焦距为6，所以3c =，焦点(,0)c 到渐近线0bx ay ±=的距离为2，2bcb c===，所以a 22154x y -=.若双曲线的焦点在y 轴上，设方程为22221y xab-=，双曲线的焦距为6，所以3c =，焦点(0,)c 到渐近线0ax by ±=的距离为2，2bcb c===，所以a 22154y x -=.14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1010S =，3080S =，则20S =______. 【答案】1103【分析】待定系数法求出111,46a d ==后，可计算出答案.【详解】设等差数列()11n a a n d +-=， 则101104510S a d =+=，3013043580S a d =+=， 解得111,46a d ==，201110201903S a d =+=， 故答案为：1103. 15．已知直线220kx y -+=与椭圆221(0)9x y m m+=>恒有公共点，则实数m 的取值范围为___________.【答案】[)()4,99,∞⋃+【分析】首先求出直线过定点坐标，依题意定点在椭圆上或椭圆内，即可求出参数的取值范围，再由椭圆方程得到9m ≠，即可得解.【详解】解：直线220kx y -+=，令2020x y =⎧⎨-+=⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩，所以直线220kx y -+=恒过定点()0,2P ，∴直线220kx y -+=与椭圆221(0)9x y m m+=>恒有公共点， 即点()0,2P 在椭圆内或椭圆上，0419m∴+≤，即4m ≥， 又9m ≠，否则2219x y m+=是圆而非椭圆， 49m ∴≤<或9m >，即实数m 的取值范围是[)()4,99,∞⋃+.故答案为：[)()4,99,∞⋃+16．直线l 交椭圆22:14x C y +=于A ，B 两点，线段AB 的中点为()1,M t ，直线m 是线段AB 的垂直平分线，则直线m 经过的定点坐标是______. 【答案】3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】利用点差法得到14AB OM k k ⋅=-，求出直线AB 的斜率，根据垂直关系求出直线m 的斜率，并用点斜式求得方程，进而分析出定点坐标.【详解】解：设1122(,),(,)A x y B x y ， 则221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得2222121204-+-=x x y y 整理得12121212+1+4y y y y x x x x -⋅=--，即14AB OM k k ⋅=-， 已知()1,M t ，则OM k t =，所以14AB k t=-， 因为直线m 是线段AB 的垂直平分线，所以1144AB m m m k k k k t t⋅=-⋅=-⇒=， 直线m 的方程为：()41y t t x -=-，整理得344y t x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以直线m 过定点3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为：3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭四、解答题17．已知圆C ：（x-2）2＋（y-3）2＝4外有一点P （4，－1），过点P 作直线l .(1)当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程；(2)当直线l 的倾斜角为135°时，求直线l 被圆C 所截得的弦长．【答案】(1)x ＝4或3x ＋4y-8＝0.(2)【分析】（1）对斜率存在和斜率不存在两种情况分类讨论，由点到直线的距离为半径即可求得直线方程；（2）由倾斜角可写出直线方程，求出点到直线的距离，再由勾股定理即可求出弦长.【详解】（1）由题意知，圆C 的圆心为（2，3），半径r ＝2当斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝4，此时圆C 与直线l 相切；当斜率存在时，设直线l 的方程为y ＋1＝k （x －4），即kx －y －4k －1＝0，则圆心到直线的距离为d r =2=，解得34k =-， 所以此时直线l 的方程为3x ＋4y-8＝0.综上，直线l 的方程为x ＝4或3x ＋4y-8＝0.（2）当直线l 的倾斜角为135°时，直线l 的方程为x ＋y-3＝0，圆心到直线l 的距离d ==故所求弦长为：=18．已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2465a a =，1518a a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)是否存在常数k ，使得数列为等差数列？若存在，求出常数k ；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)43n a n =-(2)存在，理由见解析【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，且0d >，根据2465a a =，1518a a +=解得1,a d 可得答案；（2）由（1）求出n S ，假设存在常数k使得数列为等差数列，则由数列的前3项成等差数列求出k，再验证数列为等差数列即可. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，且0d >，由2465a a =，1518a a +=得()()24111513652418a a a d a d a a a d ⎧=++=⎨+=+=⎩，解得114a d =⎧⎨=⎩， 所以()14143n a n n =+-=-；（2）由（1）()143212+-==-n n n n n S ， 假设存在常数k，使得数列为等差数列，所以=1k =，，当2n ≥)1-n所以数列为等差数列， 故存在常数1k =，使得数列为等差数列. 19．已知双曲线C ：2222x y -=与点()1,2P ．（1）是否存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点，证明：A 、B 、C 、D 四点共圆．【答案】（1）存在；（2）证明见解析.【分析】（1）利用点差法求解；（2）利用点差法和弦长公式求出相关线段的长度，再利用距离公式证明线段相等，可求证得四点共圆.【详解】解：（1）双曲线的标准方程为2212y x -=，21a ∴=，22b =． 设存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ，设()11,A x y ，()22,B x y ，221112-=y x ，222212-=y x两式相减得2121221212y y y y b x x x x a -+⋅=-+，即2221AB b k a⋅=得：22k ⋅=，1k ∴=． ∴存在这样的弦．这时直线l 的方程为1y x =+．（2）设CD 直线方程为0x y m ++=，则点()1,2P 在直线CD 上．则3m =-，直线CD 的方程为30x y +-=，设()33,C x y ，()44,D x y ，CD 的中点为()00,Q x y ，223312y x -=，224412y x -= 两式相减得2020CD y b k x a⋅=，则0012y x -⋅=，则002y x =- 又因为()00,Q x y 在直线CD 上有0030x y +-=，解得()3,6Q -，221022x y x y -+=⎧⎨-=⎩，解得()1,0A -，()3,4B ， 223022x y x y +-=⎧⎨-=⎩，整理得26110x x +-=，则3434611x x x x +=-⎧⎨⋅=-⎩则34CD x -=由距离公式得QA QB QC QD ====所以A 、B 、C 、D 四点共圆．20．n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知20,24 3.n n n n a a a S >+=+(1)求{}n a 的通项公式：(2)设112n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和 【答案】(1)n a =21n (2)1181122n -+【分析】（1）先用数列第n 项与前n 项和的关系求出数列{}n a 的递推公式，再由等差数列的定义写出数列{}n a 的通项公式；（2）根据（1）数列{}n b 的通项公式，再由裂项相消求和法求其前n 项和．【详解】（1）当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3，当2n ≥时，221122n n n n a a a a --+--=14343n n S S -+--=4n a即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以12n n a a --=，所以数列{n a }是首项为3，公差为2的等差数列，所以n a =21n ；（2）由（1）知，n b =1111()2(21)(23)42123n n n n =-++++， 所以数列{n b }前n 项和为12n b b b +++=1111111435572123n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1182121n =-+． 21．平面上两个等腰直角PAC △和ABC ，AC 既是PAC △的斜边又是ABC 的直角边，沿AC 边折叠使得平面PAC ⊥平面ABC ，M 为斜边AB 的中点.(1)求证：AC PM ⊥.(2)求PC 与平面PAB 所成角的正弦值.(3)在线段PB 上是否存在点N ，使得平面CNM ⊥平面PAB ？若存在，求出PN PB的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)63； (3)存在，13PN PB =. 【分析】（1）取AC 中点D ，连接,MD PD ，可由线面垂直证明线线垂直得证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角；（3）求出平面CNM 的一个法向量，根据平面垂直可得法向量数量积为0求解即可.【详解】（1）取AC 中点D ，连接,MD PD ，如图，又M 为AB 的中点，//MD BC ∴，由AC BC ⊥，则MD AC ⊥，又PAC △为等腰直角三角形，PA PC ⊥，PA PC =,PD AC ∴⊥，又MD PD D ⋂=，,MD PD ⊂平面PMD ，AC ∴⊥平面PMD ，又PM ⊂平面PMD ，.M AC P ∴⊥（2）由（1）知，PD AC ⊥，又平面PAC ⊥平面ABC ，AC 是交线，PD ⊂平面PAC ， 所以PD ⊥平面ABC ，即,,PD AC DM 两两互相垂直，故以D 为原点，,,DA DM DP 为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系，如图，设2AC =，则(1,0,0),(1,2,0),(1,0,0),(0,0,1)P A B C --，(1,0,1)CP ∴=，(1,0,1)AP =-，(1,2,1)BP =-，设(,,)n x y z =为平面PAB 的一个法向量，则020AP n x z BP n x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1z =，即(1,1,1)n =， 设PC 与平面PAB 所成角为θ， 26sin cos ,23CP nCP n CP n θ⋅∴====⨯ 即PC 与平面PAB 6. （3）若存在N 使得平面CNM ⊥平面PAB ，且PN PB λ=，01λ≤≤， 则(1,2,1)PN PB λλ→→==--，解得 (,2,1)N λλλ--，又(0,1,0)M ，则(1,2,1)CN λλλ=--，(1,1,0)CM =，设(,,)m a b c =是平面CNM 的一个法向量，则(1)2(1)00CN m a b c CM m a b λλλ⎧⋅=-++-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令b =l ，则13(1,1,)1m λλ-=--， 131101m n λλ-∴⋅=-++=-，解得13λ=，故存在N 使得平面CNM ⊥平面PAB ，此时13PN PB =. 22．在直角坐标系xOy 中，已知点(2,2)A -，(2,2)B ，直线AD ，BD 交于D ，且它们的斜率满足：2AD BD k k -=-．(1)求点D 的轨迹C 的方程；(2)设过点(0,2)的直线l 交曲线C 于P ，Q 两点，直线OP 与OQ 分别交直线1y =- 于点M ，N ，是否存在常数λ，使O N OPQ M S S λ=，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)22x y =()2x ≠±；(2)存在，λ的值为4.【分析】(1)设出点D 的坐标，根据给定条件列式、化简整理即可作答.(2)设出直线l 的方程，与轨迹C 的方程联立，借助韦达定理计算三角形面积即可判断作答.【详解】（1）设(,)D x y ，而点(2,2)A -，(2,2)B ，则22AD y k x -=+，22BD y k x -=-， 又2AD BD k k -=-，于是得22222y y x x ---=-+-，化简整理得：22x y =()2x ≠±， 所以点D 的轨迹C 的方程是：22x y =()2x ≠±.（2）存在常数4λ=，使O N OPQ M SS λ=，如图，依题意，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l ：2y kx =+，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由222y kx x y=+⎧⎨=⎩消去y 得：2240x kx --=，则122x x k +=，124x x =-， ()222121212||44164x x x x x x k k -=+-+=+则1212||2OPQ Sx x =⨯⨯-= 直线OP ：11y y x x =，取1y =-，得点M 横坐标11M x x y =-，同理得点N 的横坐标22N x x y =-， 则2121122112211212|(2)(2)||||||(2)(2)|||M N x x x y x y x kx x kx x x y y y y kx kx -+-+-=-==++2121212|2()||2()4|x x k x x k x x -==⋅+++因此有11||2OMN M N S x x =⨯⨯-= 于是得4OPQ OMN S S =△△，所以存在常数4λ=，使O N OPQ M SS λ=.。
2022-2023学年上海市建平中学高二上学期12月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年上海市建平中学高二上学期12月月考数学试题一、填空题1．命题“空间中任意3点确定一个平面”是___________命题.（填“真”，“假”） 【答案】假【分析】当三点共线时，可以知命题不成立，即可得正确答案. 【详解】因为过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面， 当三点共线时可以确定无数个平面， 故答案为：假.2．边长2和4的矩形直观图面积为______.【答案】【分析】. 【详解】由题知，直观图面积为24⨯=3．若圆锥的侧面积为2π，母线长为2，则此圆锥的体积为______.【分析】由侧面积公式解得1r =，进而求出圆锥的高，即可由体积公式求得体积【详解】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，因为圆锥的母线长2l =，其侧面积为2rl ππ=，所以1r =，所以h 2211133V r h ππ==⨯.4．正四棱柱的底面积为4，高为3，则它的侧面积为______. 【答案】24【分析】先求出底面四边形的边长，再利用柱体的侧面积公式进行求解. 【详解】因为正四棱柱的底面是正方形，且面积为4， 所以底面的边长为2，又因为棱柱的高为3， 所以侧面积为42324⨯⨯=. 故答案为：24.5．在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB BC AA ===，则1BC 与平面11BB D D 所成角的大小为______.【答案】15arccos5【分析】首先连接11A C 交于点O ，连接BO ，然后证明1OC ⊥面11BB D D ，根据线面角的定义得到1C BO ∠为1BC 与平面11BB D D 所成角，在1Rt BOC 中求解1C BO ∠的余弦值即可求出1BC 与平面11BB D D 所成角. 【详解】连接11A C 交于点O ，连接BO ，由2AB BC ==，得1111D C B A 为正方形，即111OC B D ⊥， 由长方体的性质得1BB ⊥面11111,A B C D OC ⊂面1111D C B A ， 所以11OC BB ⊥，且1111BB B D B ⋂=，所以1OC ⊥面11BB D D ， 则1C BO ∠为1BC 与平面11BB D D 所成角， 在1Rt BOC 中，112,5,3OC BC OB ===， 所以11315cos 55OB OBC BC ∠===， 即1BC 与平面11BB D D 所成角为15arccos 5. 故答案为：15arccos56．如图，边长为2的两个等边三角形,ABC DBC ，若点A 到平面BCD 的距离为1，则二面角A BC D --的大小为______.【答案】3【分析】先判断得二面角A BC D --的平面角为AEF ∠，再利用线面垂直的判定定理证得AF ⊥平面BCD ，从而得到1AF =，进而求得sin AEF ∠，由此得解.【详解】取BC 中点E ，连接,AE EF ，过A 作AF DE ⊥于F ， 因为,ABC DBC △△是正三角形，所以,AE BC DE BC ⊥⊥， 所以二面角A BC D --的平面角为AEF ∠， 又AEDE E =，,AE DE ⊂面AEF ，所以BC ⊥面AEF ，又AF ⊂面AEF ，所以BC AF ⊥， 因为AF DE ⊥，,,DEBC E DE BC =⊂平面BCD ，所以AF ⊥平面BCD ，则点A 到平面BCD 的距离为AF ，即1AF =， 又在边长为2的ABC 中，22132AE AB BC ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以13sin 33AF AEF AE ∠===，AEF ∠是锐角， 则二面角A BC D --的大小为3arcsin 3. 故答案为：3arcsin3.7．如图，在正四面体A BCD -中，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是_____【答案】23【分析】连接BM 取其中点P ，连接,PN PA ，则NAP ∠即为所求角或其补角，再利用余弦定理解三角形即可.【详解】如图，连接BM 取其中点P ，连接,PN PA ，∵N 是BC 中点，∴//PN CM ，∴异面直线AN ，CM 所成的角就是NAP ∠（或其补角）， 设正四面体的棱长为1，则32AN CM ==，1324NP CM ==，在ABP ∆中1324BP BM ==， 222223372cos 1()21cos304416AP BA BP BA BP ABM =+-⋅∠=+-⨯⨯︒=， 在APN ∆中，22222337()()22416cos 2333224AN NP APANP AN NP+-+-∠===⋅⨯⨯.异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值为23. 故答案为：23.【点睛】本题考查异面直线夹角的求解，属中档题题.8．圆柱形容器内部盛有高度为2cm 的水，若放入一个球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没球（如图所示），则球的半径是________cm .【答案】3【分析】根据水的体积与球的体积之和为一个高为2R 的圆柱的体积即可求解. 【详解】设球的半径为R ，根据题意，水的体积与球的体积之和等于高为2R 的圆柱的体积， 所以2234223R R R R πππ⋅=⋅+，解得3R =. 故答案为：39．三棱柱111ABC A B C 的各条棱长均为112,60A AB A AC BAC ∠∠∠===，则该三棱柱的侧面积为______.【答案】4##4+【分析】根据题意知1A A 在平面ABC 内的射影是BAC ∠的角平分线.如图过点1A 作1A H ⊥平面ABC ，垂足为H ，延长AH 交BC 于D ，则AD BC ⊥，利用线面垂直的判定定理和性质可证四边形11BCC B 为矩形，结合矩形和平行四边形的面积公式计算即可. 【详解】由题意知，在三棱柱111ABC A B C 中，1160A AB A AC BAC ︒∠=∠=∠=，所以1A A 在平面ABC 内的射影是BAC ∠的角平分线.如图，过点1A 作1A H ⊥平面ABC ，垂足为H ，延长AH 交BC 于D ， 则AD 是BAC ∠的角平分线，所以AD BC ⊥， 又BC ⊂平面ABC ，所以1A H ⊥BC ， 由11,ADA H H AD A H =⊂、平面1A AH ，得BC ⊥平面1A AH ，又1AA ⊂平面1A AH ，所以1BC AA ⊥，因为11//AA BB ，所以1BC BB ⊥，故四边形11BCC B 为矩形，所以11224BCC B S =⨯=矩形，又111122sin 60ABB A ACC A S S ︒==⨯=平行四边形平行四边形所以三棱柱的侧面积为4.故答案为：4.10．我国古代数学名著《九章算术》中，定义了三个特别重要而基本的多面体，它们是：（1）“堑堵”：两个底面为直角三角形的直棱柱；（2）“阳马”：底面为长方形，且有一棱与底面垂直的棱锥；（3）“鳖臑（biēnào ）”：每个面都为直角三角形的四面体.魏晋时期的大数学家刘徽进一步研究发现：任何一个“堑堵”都可以分割成一个“阳马”和一个“鳖臑”且“阳马”和“鳖臑”的体积比为定值.则此定值为______. 【答案】2:1【分析】画出图形，在图形中分别表示出“阳马”和“鳖臑”的体积即可求解. 【详解】如图所示，图为底面为直角三角形的直三棱柱“崭堵”，90ABC ∠=， 若以111A B C △作为“鳖臑”的底面，则可选点A 或点C 作为顶点， 我们选取点C 为例，连接11,B C A C ，则四面体111C A B C -满足条件， 且棱锥11C AA B B -也满足“阳马”的条件，BC ⊥面11AA B B 且四边形11AA B B 为长方形，设1,,,AB c BC a AC b BB h ====，则“堑堵”的体积为1122ac h ach ⋅=，“鳖臑”的体积为111236ac h ach ⋅⨯=，所以“阳马”的体积为111263ach ach ach -=，所以“阳马”和“鳖臑”的体积比为2：1.故答案为:2:1.11．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是______. 【答案】抛物线【分析】点P 到直线11C D 的距离即1PC ，根据抛物线的定义判断轨迹图形. 【详解】由题意得直线11C D ⊥平面11BB C C ，则111C D PC ⊥， 即1PC 就是点P 到直线11C D 的距离，所以点P 到直线BC 的距离等于它到点1C 的距离，所以点P 的轨迹是抛物线. 故答案为：抛物线.12．一个“皇冠”状的空间图形（如图）由一个正方形和四个正三角形组成，并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为θ.如果把两个这样的“皇冠”倒扣在一起，可以围成一个十面体，则cos θ的值为______.【答案】363- 【分析】根据题意可知，该几何体的侧面是全等的正三角形，只需利用三垂线定理做出二面角的平面角再结合勾股定理即可求出余弦值的大小.【详解】一个“皇冠”状的空间图形由一个正方形和四个正三角形组成， 并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为θ过点A 作底面的垂线，垂足为B O O '，、分別为上下底面正方形的中心， 连接AO BO BO '、，交CD 于F ，连接AF ，如图所示，由题意得,AF CD OF CD ⊥⊥，所以AFO ∠即为正方形与正三角形所成的二面角的平面角，且为钝角； 所以AFO θ∠=，所以sin sin AFB θ∠=，由三角形都为正三角形得,AO BO AF '==，设正方形边长为2a ，则,BO FO a ==，所以,BF a AF =-=，所以cos BF AF θ=-==二、单选题13．三个平面不可能将空间分成（ ）个部分 A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】A【分析】分三个平面互相平行，三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，三个平面交于一条直线，三个平面两两相交且三条交线平行，三个平面两两相交且三条交线交于一点，六种情况讨论即可.【详解】若三个平面互相平行，则可将空间分为4个部分；若三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，则可将空间分为6个部分； 若三个平面交于一条直线，则可将空间分为6个部分； 若三个平面两两相交且三条交线平行，则可将空间分为7部分； 若三个平面两两相交且三条交线交于一点，则可将空间分为8部分 故n 的取值为4，6，7，8，所以n 不可能是5. 故选：A.14．已知直线m 、n ，平面α、β，满足n αβ=且αβ⊥，则“m β⊥”是“m n ⊥”的（ ）条件A ．充分非必要B ．必要非充分条C ．充要D ．既非充分又非必要【答案】A【分析】利用空间中的垂直关系和充分条件、必要条件的定义进行判定. 【详解】因为n αβ=，所以n β⊂，又因为m β⊥，所以m n ⊥， 即“m β⊥”是“m n ⊥”的充分条件；如图，在长方体中，设面ABCD 为面α、面BCEF 为面β， 则m n ⊥，且m 与面β不垂直， 即“m β⊥”不是“m n ⊥”的必要条件； 所以“m β⊥”是“m n ⊥”的充分不必要条件. 故选：A.15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ ） A ．三角形 B ．长方形C ．对角线不相等的菱形D ．六边形【答案】A【分析】根据截面经过几个面得到的截面就是几边形判断即可．【详解】过正方体中心的平面截正方体所得的截面，至少与正方体的四个面相交，所以不可能是三角形． 故选：A ．16．如图为正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，动点M 从B 1点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到B 1的运动过程中，点M 与平面A 1DC 1的距离保持不变，运动的路程x 与l ＝MA 1+MC 1+MD 之间满足函数关系l ＝f （x ），则此函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】可知点M 沿着1ACB 运动，设点P 为B 1C 的中点，分析当M 从B 1到P 时，在平面A 1B 1CD 内，作点A 1关于B 1B 的对称点A ′，由MA 1+MD ＝MA ′+MD ，MC 1221PC PM =+，分析排除即得解 【详解】由于点M 与平面A 1DC 1的距离保持不变，且从B 1点出发，因此点M 沿着1ACB 运动.设点P 为B 1C 的中点，当M 从B 1到P 时，如图所示在平面A 1B 1CD 内，作点A 1关于B 1B 的对称点A ′， 则MA 1+MD ＝MA ′+MD ，由图象可知，当M 从B 1到P 时，MA 1+MD 是减小的，MC 1是由大变小的， 所以当M 从B 1到P 时，l ＝MA 1+MC 1+MD 是逐渐减小的，故排除B ，D ；因为PC 1是定值，MC 1221PC PM =+，函数是减函数，类似双曲线形式，所以C 正确； 故选：C三、解答题17．己知正四棱锥P ABCD -中，1,2AB PA ==.(1)求侧棱与底面所成角；(2)求正四棱锥P ABCD -的侧面积.【答案】(1)14arcsin 4 (2)15【分析】（1）先由正四棱锥的定义得到侧棱与底面所成角为PAO ∠，再求得PO 的长度，从而得到sin PAO ∠，由此得解；（2）结合（1）中结论，求出斜高PE ，从而即可求得正四棱锥P ABCD -的侧面积.【详解】（1）连接AC ､BD ，设ACBD O =，连接PO ，因为棱锥P ABCD -为正四棱锥，所以PO ⊥底面,ABCD O 为底面正方形ABCD 的中心，则侧棱与底面所成角为PAO ∠， 因为1,2AB PA ==，所以222AC AB BC =+=，2222214222PO PA AO ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 所以14sin 4PO PAO AP ∠==，即侧棱与底面所成角为14arcsin 4. .（2）过P 作PE BC ⊥于E ，连接OE ，因为PB PC =，PE BC ⊥，所以E 是BC 的中点，又O 是AC 的中点，所以1122OE AB ==， 又在Rt POE 中，14PO =2215PE PO OE =+=， 所以四棱锥P ABCD -的侧面积为1154421152PBC S S PE BC ==⨯⋅==18．如图，AB 是圆柱OO '的一条母线，BC 过底面圆心O ，D 是圆O 上一点.已知5AB BC ==，3CD =.(1)求二面角A DC B --的大小；(2)将四面体ABCD 绕母线AB 所在的直线旋转一周，求ACD 的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积.【答案】(1)5arctan 4； (2)15π.【分析】（1）由已知可推得，二向角A DC B --的平面角为ADB ∠，在Rt △ABD 中，求解即可得到结果；（2）ACD 绕AB 旋转一周而成的封闭几何体的体积为两个圆锥的体积之差，结合圆锥体积公式求解即可.【详解】（1）由题意得BD CD ⊥，所以224BD BC CD -=，AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以AB CD ⊥，又BD AB B ⋂=，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，所以CD ⊥平面ABD ,又AD ⊂平面ABD ,所以CD AD ⊥，即二向角A DC B --的平面角为ADB ∠，在Rt △ABD 中，4t n 5a AB ADB BD ∠==，所以5arctan 4ADB ∠=， 所以二面角A DC B --的大小为5arctan4. （2）由线段AC 绕AB 旋转一周所得几何体为以BC 为底面半径，以AB 为高的圆锥，体积22111125ππ55π333V BC AB =⋅⋅=⨯⨯=， 线段AD 绕AB 旋转一周所得的几何体为BD 为底面半径，以AB 为高的圆锥，体积2221180ππ45π333V BD AB =⋅⋅=⨯⨯=， 所以以ACD 绕AB 旋转一周而成的封闭几何体的体积为：1215πV V V =-=.19．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的直径是6cm ，圆柱筒长2cm ．(1)这种“浮球”的体积是多少3cm （结果精确到0.1)？(2)要在这样10000个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？【答案】(1)169.6（cm 3）(2)4800π（克）.【分析】（1）分别求出两个半球的体积1V ，和圆柱体的体积2V ，即可求出“浮球”的体积；（2）先求出一个“浮球”的表面积，再求出10000个的面积，即可求解.【详解】（1）因为该“浮球”的圆柱筒直径d =6cm,所以半球的直径也是6cm,可得半径r =3cm,所以两个半球的体积之和为3314433633V r πππ==⨯=（cm 3）. 圆柱的体积22·9218V r h πππ==⨯⨯=（cm 3）. 所以该“浮球”的体积是21613654169.8V V V πππ=+=≈=+（cm 3）.（2）根据题意,上下两个半球的表面积是2144936S r πππ==⨯⨯=（cm 2）.而“浮球”的圆柱筒侧面积为2223212S r h πππ=⋅=⨯⨯⨯=（cm 2）.1个“浮球”的表面积为12361248S S S πππ=+=+=（cm 2） 即为4810000S π=（m 2）. 所以要在这样10000个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶4810000100480010000ππ⨯⨯=（克）. 20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，,,1AD AB DC AB PA ⊥=∥，2,2AB PD BC ===(1)求证：平面PAD ⊥平面PCD ；(2)试在棱PB 上确定一点E ，使截面AEC 把该几何体分成的两部分PDCEA 与EACB 的体积比为2:1；(3)在(2)的条件下，求二面角E AC P --的余弦值．【答案】(1)见解析；(2)E 为PB 的中点；(3)33. 【分析】(1)证明CD ⊥平面P AD 即可；(2)过E 作EF ⊥AB 于F ，则EF 为E －ABC 的高，分别求出P －ABCD 和E －ABC 的体积，再求出PDCEA 部分体积，由体积比即可得EF 与P A 的关系，即可知E 点的位置；(3)连接FC 、FD ，FD 与AC 交于点O ，连接OE ，二面角E AC P --的平面角与∠EOF 互余，故解三角形EOF 即可.【详解】(1)∵,AD AB DC AB ⊥∥，∴DC AD ⊥．∵PA ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴DC PA ⊥．∵AD PA A ⋂=，∴DC ⊥平面PAD ．∵DC ⊂平面PCD ，∴平面PAD ⊥平面PCD ．(2)作EF AB ⊥于F 点，∵在ABP 中，PA AB ⊥，∴EF PA ∥，∴EF ⊥平面ABCD ．设221,1,12ABC EF h AD PD PA S AB AD ==-=⋅=△， 则1133E ABC ABC V S h h -=⋅=△． ()12111113322P ABCD ABCD V S PA -+⨯=⋅=⨯⨯=． 由:2:1PDCEA EACB V V =，得111:2:1233h h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得12h =，即12EF PA =，故E 为PB 的中点； (3)连接FC 、FD ，FD 与AC 交于点O ，连接OE ，由(2)可知EF ⊥平面ABCD ，∴EF AC ⊥．易知ADCF 为正方形，∴FO AC ⊥．∵FO EF F ⋂=，∴AC ⊥平面EFO ，故EO AC ⊥．∴EOF ∠是二面角E AC B --的平面角．由PA ⊥平面ABCD ，可知平面PAC ⊥平面ABCD ．∴二面角E AC B --与平面角E AC P --互余．设二面角E AC P --的平面角为θ，则cos sin EOF θ=∠，在Rt EOF △中，123,,222EF FO EO ===， 3cos sin 3EOF θ=∠=， ∴二面角E AC P --的余弦值为33． 21．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆；(1)求圆锥的母线与底面所成的角；(2)过底面中心1O 且平行于母线AB 的截平面，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p 的抛物线，求圆锥的底面半径；(3)过底面点C 作垂直且于母线AB 的截面，若截面与圆锥侧面的交线是长轴为2a 的椭圆，求椭圆的短轴长.【答案】(1)3π (2)2r p =(3)263a 【分析】（1）根据侧面展开图的特征列方程得出底面半径和母线的关系，从而得出母线与底面所成的角；（2）根据抛物线的一条弦为圆锥底面直径得出底面半径和p 的关系，从而可得圆锥的底面半径；（3）利用三角形相似和圆锥的特点得出椭圆的长轴，短轴和底面半径的关系，从而可得长短轴的关系，得出答案.【详解】（1）设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则圆锥侧面展开图的半径为l ，弧长为2r π， 因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，所以r l 2π=π，所以2l r =所以圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的母线与底面所成的角为3π. （2）设抛物线的顶点M ，则M 为AC 的中点以点M 为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系（DE 是圆锥底面的直径）设抛物线方程为22y px =，设(),D x r ，把y r =代入抛物线方程得22r x p =， 所以212r O M p =，于是母线212r l AB O M p===， 由（1）得2l r =，即22r r p=，所以2r p =. （3）设AB 的中点为N ，则N 和C 为椭圆的长轴顶点，取CN 的中点P ，则P 为椭圆的中心，连接AP 并延长，交BC 于Q ，过Q 作QR BC ⊥，交圆锥底面圆周于R ， 则23CN a r ==，即3r = 过N 作NS BC ∥交AQ 于S ，由NPS CPR ~得QC NS =，又12NS BQ =，所以Q 为BC 靠近C 的三等分点， 22277r r r QR AQ AP === 过点P 作PG QR ∥，交AR 于G因为平面ABC 与底面垂直，QR BC ⊥，QR 在底面中且平面ABC 与底面的交线为BC ，所以由面面垂直的性质可知，QR ⊥平面ABC ，所以PG ⊥平面ABC ，所以PG 为该椭圆的短半轴，即PG b =，因为APG AQR ~△△，所以,b AP QR AQ =所以22b r =，即63b a =， 所以椭圆的短轴长为2623b a =.【点睛】思路点睛：对于圆锥，我们利用不同的平面去截其表面可得不同的圆锥曲线，在计算圆锥曲线的基本量的时候，注意利用空间中的位置关系去构建基本量的关系.。
贵州省铜仁市松桃苗族自治县第三高级中学2024-2025学年高二上学期第二次月考(12月)数学试卷
贵州省铜仁市松桃苗族自治县第三高级中学2024-2025学年高二上学期第二次月考（12月）数学试卷一、单选题1．3i =A ．-1B ．i-C ．1D ．i2．直线10x y ++=的倾斜角为（）A ．30oB ．45C ．135D ．1503．已知集合1}{0|A x x -≥=，{0,1,2}B =，则A B = A ．{0}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}4．以椭圆22184x y +=的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（）A ．22144x y -=B ．22184x y -=C ．22124x y -=D ．22122x y -=5．圆221:(1)1C x y -+=，圆222:20C x y y +-=，则圆1C 与2C （）A ．外离B ．有3条公切线C ．关于直线10x y ++=对称D ．公共弦所在直线方程为0x y -=6．在平面直角坐标系xOy 中，已知点−2,0，()2,0B ，P 是一个动点，则下列说法正确的是（）A ．若4PA PB +=，则点P 的轨迹为椭圆B ．若PA PB PA PB +=- ，则点P 的轨迹为圆C ．若2PA PB -=，则点P 的轨迹为双曲线D ．若22||4PA PB -=，则点P 的轨迹为一条线段7．若双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的一条渐近线被圆()22416x y -+=所截得的弦长为4，则C 的离心率为（）ABC D ．28．若椭圆22221x y a b+=的焦点在x 轴上，过点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭作圆221x y +=的切线，切点分别为A 、B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是（）A ．22194x y +=B ．22145x y +=C ．22154x y +=D ．22195x y +=二、多选题9．已知圆22:4630C x y x y +--+=，直线():24100l mx y m m +--=∈R ，则（）A ．圆C 半径r =B ．圆C 的一条切线方程是310x y +-=C ．直线l 过定点()45，D ．当l 被圆C 截得的弦长最短时，2m =三、单选题10．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>左、右焦点分别为()10F c -，，()20F c ，，M 是椭圆上一动点，则（）A ．122MF MF a-=B ．12MF F △面积的最大值为2a C ．若1120MF F F ⋅= ，则21b MF a=D ．若椭圆上存在点M ，使得12120F MF ∠=︒，则椭圆离心率的取值范围是⎤⎥⎣⎦四、多选题11．已知左、右焦点分别是1F ，2F 的双曲线2214x y -=上有一点(,)P m n （m ，0n >），且1215cos 16F PF ∠=，则（）A ．12sin F PF ∠B ．1216PF PF =C ．12PF F 的面积为31D ．12PF F 的周长为12+五、填空题12．若函数()()3R f x x a x =+∈是奇函数，则实数a =.13．过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为．14．若F 是双曲线22145x y -=的左焦点，(A ，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA+的最小值为.六、解答题15．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin2C C =.(1)求角C 的大小；(2)若8b =，且ABC V 的面积为，求ABC V 的周长.16．当m 为何值时，方程22171x ym m +=--表示下列曲线：(1)圆；(2)椭圆；(3)双曲线.17．已知双曲线22:169144C x y -=(1)求双曲线C 的虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程；(2)过点()1,8P 的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点且点P 恰好为线段A 的中点，求直线l 的方程18．如图，在四棱锥P —ABCD 中，已知PC ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2，AD ＝CD ＝1，E 是PB 上一点．(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ；(2)若E 是PB 的中点，且二面角P —AC —E ，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．19．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>，短轴的一个端点到右焦点的距离为3，半焦距c=(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为2，求AOBV面积的最大值.。
湖北省武汉市武钢2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题含答案
武钢高二数学12月月考试题（2023/12/14）（答案在最后）一、单选题（本大题共8小题，共40分）1.抛物线22y x =的焦点到准线的距离为（）A.18B.12C.14D.4【答案】C 【解析】【分析】由22y x =可得抛物线标准方程为：212x y =，由焦点和准线方程即可得解.【详解】由22y x =可得抛物线标准方程为：212x y =，所以抛物线的焦点为10,8⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为18y =-，所以焦点到准线的距离为14.故选：C.2.阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C 的中心为原点，焦点1F 、2F 在x 轴上，椭圆C的面积为，且离心率为12，则C 的标准方程为（）A.22143x y += B.22112x y +=C.22134x y += D.221163x y +=【答案】A 【解析】【分析】由题意得πab =，然后列出方程组222π12ab c e a a b c ⎧=⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，从而求解.【详解】由题意得：πab =，离心率：12c e a ==，从而可得方程组：222π12ab c e a a b c⎧=⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得：21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩.故椭圆C 的标准方程为：22143x y +=，故A 项正确.故选：A.3.与曲线2211636x y +=共焦点，且与双曲线22146x y -=共渐近线的双曲线的方程为（）A.221128y x -= B.221812y x -= C.221128x y -= D.221812x y -=【答案】A 【解析】【分析】先由与椭圆共焦点得到220c =，且焦点在y 轴上，从而巧设所求双曲线为()22046x yλλ-=<，利用222c a b =+即可得解.【详解】因为曲线2211636x y +=为椭圆，焦点在y 轴上，且2361620c =-=，又因为所求双曲线与双曲线22146x y -=共渐近线，所以设所求双曲线为()22046x y λλ-=<，即22164y x λλ-=--，则26420c λλ=--=，解得2λ=-，所以所求双曲线为221128y x -=.故选：A.4.已经点M 在抛物线24y x =上运动，过点M 引圆22:(4)1C x y -+=的切线，切点为N ，则MN 的最小值为（）A.3B.4C.1-D.【答案】D【解析】【分析】先利用距离公式及二次函数性质求出2MC 的最小值，然后利用切线长公式求得最值即可.【详解】由圆22:(4)1C x y -+=，可得圆心为(4,0)C ，半径为1r =，设()00,Mxy ，则2222220000000(4)(4)4416(2)12MC x y x x x x x =-+=-+=-+=-+，当02x =时，2MC 取得最小值，最小值为12，在直角MNC 中，可得MN ==所以minMN ==.故选：D5.已知F 是双曲线221412y x -=的下焦点，(4,1)A 是双曲线外一点，P 是双曲线上支上的动点，则PF PA +的最小值为（）A.9B.8C.7D.6【答案】A 【解析】【分析】求出上焦点1F F1的坐标，由双曲线的定义可得1122PF PA a PF PA a AF +=++≥+，从而求得12a AF +的值，推出结果．【详解】解：∵F 是双曲线221412y x -=的下焦点，∴2,a b ==，c ＝4，F （0，−4），上焦点为1F （0，4），由双曲线的定义可得112249PF PA a PF PA a AF +=++≥+=+=，当A ，P ，H 三点共线时，PF PA +取得最小值9．故选：A ．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．6.在欧几里得生活的时期，人们就发现了椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另焦点我有一椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，从一个焦点1F 发出的一条光线经椭圆C 内壁上一点P 反射后经过另一个焦点2F ，若1260F PF ∠=︒，且132PF a =，则椭圆C 的离心率为（）A.12B.32C.34 D.74【答案】D 【解析】【分析】根据椭圆的定义得212PF a =，132PF a =，进而结合余弦定理得22716c a =，再求离心率即可.【详解】解：由椭圆的定义得：122PF PF a +=，因为132PF a =，所以212PF a =．所以，在12PF F △中，由余弦定理得2221212122cos60F F PF PF PF PF =+-︒，所以22229131742442224a a c a a a =+-⨯⨯⨯=，整理得22716c a =，所以74c a =，74e =．故选：D7.已知抛物线2:4C y x =，焦点为F ，点M 是抛物线C 上的动点，过点F 作直线()1210a x y a -+-+=的垂线，垂足为P ，则MF MP +的最小值为（） A.522B.322C.5D.3【答案】A 【解析】【分析】由条件确定点P 的轨迹，结合抛物线的定义，圆的性质求MF MP +的最小值.【详解】∵抛物线C 的方程为24y x =，∴(1,0)F ，抛物线C 的准线方程为=1x -，∵方程()1210a x y a -+-+=可化为()1(1)2y a x -=--，∴()1210a x y a -+-+=过定点(2,1)B ，设(,)P x y ，设,F B 的中点为A ，则31,22A ⎛⎫⎪⎝⎭，因为FP BP ⊥，P 为垂足，∴122PA FB ==，所以22311222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即点P 的轨迹为以A 为圆心，半径为2的圆，过点M 作准线=1x -的垂线，垂足为1M ，则1MM MF =,∴1=MF MP MM MP ++,，又2MP MA ≥-，当且仅当,,M P A 三点共线且P 在,M A 之间时等号成立，∴12MF MP MM MA +≥+-，过点A 作准线=1x -的垂线，垂足为1A ，则115=2MM MA AA +≥,当且仅当1,,A M A 三点共线时等号成立，∴52MF MP +≥，当且仅当1,,,A M P A 四点共线且P 在,M A 之间时等号成立，所以MF MP +的最小值为522-，故选：A.8.已知直线0)20(x y n n -+=≠与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别相交于A ，B 两点，点P 的坐标为(),0n ，若PA PB =，则该双曲线的离心率是()A.B.C.3 D.2【答案】C 【解析】【分析】联立直线20x y n -+=与双曲线的渐近线22220x ya b-=的方程组，求出线段AB 中点Q 坐标，由PQ ⊥AB 列式求解而得.【详解】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为：22220x y a b-=，由222222222220(4)400x y n b a y b ny b n b x a y -+=⎧⇒--+=⎨-=⎩，设点A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，线段AB 中点Q (x 0,y 0)，2122244b ny y b a+=-，2212000222222244y y b n a ny x y n b a b a +===-=--，因PA PB =，则PQ ⊥AB ，所以直线PQ 斜率为-2，即：222222022022224223234b ny b b a b a a n x n a nb a -=-⇒=-⇒=⇒=---，双曲线的离心率e 有222251511333b e e a =+=+=⇒=.故选：C【点睛】利用所给条件建立a ，b ，c 的关系等式是求双曲线的离心率的关键.二、多选题（本大题共4小题，共20分）9.对于方程2214x y m m+=-，下列说法中正确的是（）A.当04m <<时，方程表示椭圆B.当24m <<时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆C.存在实数m ，使该方程表示双曲线D.存在实数m ，使该方程表示圆【答案】BCD 【解析】【分析】由m 与4m -之间的关系，以及圆、椭圆、双曲线标准方程的特征，逐个进行判断.【详解】方程2214x ym m +=-，当0404m m m m>⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，即24m <<或02m <<时表示椭圆，故A 不正确；当24m <<时，40m m >->，则方程表示焦点在x 轴上的椭圆，故B 正确；当()40m m -<，即4m >或0m <时，方程表示双曲线，故C 正确；当4m m =-，即2m =时，方程为222x y +=，表示圆，故D 正确.故选:BCD10.已知直线l 过抛物线2:2(0)C y px p =->的焦点，且与该抛物线交于M ，N 两点，若线段MN 的长是16，MN 的中点到y 轴的距离是6，O 是坐标原点，则（）．A.抛物线C 的方程是28y x =-B.抛物线的准线方程是2y =C.直线l 的方程是20x y -+=D.MON △的面积是【答案】AD 【解析】【分析】根据已知可得,M N 横坐标和，再由焦半径公式，求出p ，判断选项A ；求出抛物线的准线方程，判断选项B ；设直线方程为2px my =+，与抛物线方程联立，设()()1122,,,M x y N x y 得到12,y y 关系，进而求出12x x +的值，建立m 的方程求解，可判断选项C ；利用121||2MON S OF y y =⋅-△利用12,y y 关系，即可求解，判断选项D.【详解】设()11,M x y ，()22,N x y ，根据抛物线的定义可知()12||16MN x x p =-++=，又MN 的中点到y 轴的距离为6，∴1262x x +-=，∴1212x x +=-，∴4p =．∴所求抛物线的方程为28y x =-．故A 项正确；抛物线C 的准线方程是2x =，故B 项错误；设直线l 的方程是2x my =-，联立282y xx my ⎧=-⎨=-⎩，消去x 得28160y my +-=，则1212816y y my y +=-⎧⎨⋅=-⎩，所以2128412x x m +=--=-，解得1m =±，故直线l 的方程是20x y -+=或20x y ++=．故C 项错误；1211||22MON S OF y y =⋅-=⨯△2==．故D 项正确．故选：AD ．【点睛】本题考查抛物线方程和性质、直线与抛物线的位置关系，注意根与系数关系设而不求的方法求解相交弦问题，考查数学计算、逻辑推理能力，属于中档题.11.在平面直角坐标系xOy 中，12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为M，若2MF =，则（）A.OM a=B.12MF F △的面积为ab C.直线1F M 与圆222x y a +=相交D.C的离心率e =【答案】ABD 【解析】【分析】先计算出1MF b =，再计算OM 即可判断A ，C ；由1212MF F F MO S S = 可判断B ；在12MF F △中，由余弦定理可得,,a b c 的齐次式，计算可得C 的离心率e .【详解】设C 的半焦距为(0)c c >，则()1,0F c -，222c a b =+，不妨设双曲线C 的一条渐近线为by x a =，即0bx ay -=，由点到直线的距离公式，得1bcMF b c===，在Rt 1OMF △中，OM a ==，所以1F M 与圆222x y a +=相切，则A 正确，C 错误；因为O 为12F F 的中点，所以12111222MF F F MO S S OM F M ab ==⨯⋅= ，则B 正确；在Rt 1OF M △中，111cos MF b OF M OF c∠==，在12MF F △中，由余弦定理，得222211211212cos MF MF F F MF F F OF M ∠=+-⋅，即2223422bb bc b c c=+-⋅⋅，化简得2223c b =，又222c a b =+，所以223c a =，解得e =D 正确.故选：ABD .12.已知抛物线28x y =的焦点为,F P 为抛物线上一动点，直线l 交抛物线于,A B 两点，点()2,4M ，则下列说法正确的是（）A.存在直线l ，使得,A B 两点关于20x y +-=对称B.PM PF +的最小值为6C.当直线l 过焦点F 时，以AF 为直径的圆与x 轴相切D.若分别以,A B 为切点的抛物线的两条切线的交点在准线上，则,A B 两点的纵坐标之和的最小值为4【答案】BCD 【解析】【分析】由于抛物线28x y =的焦点(0,2)F ，对于A ，假设存在直线l ，使得A ，B 两点关于直线20x y +-=对称，设直线l 的方程为0x y m -+=，联立抛物线的方程，由△0>得2m >-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，求出线段AB 的中点为Q 坐标，再代入直线20x y +-=上，解得m ，即可判断A 是否正确；对于B ：设l '为抛物线的准线，则准线l '的方程为=2y -，过点P 作PN l ⊥'于点N ，6PM PF PM PN +=+≥，当且仅当P ，M ，N 三点共线时等号成立，即可判断B 是否正确；对于C ：当直线l 过焦点时，设1(A x ，1)y ，由抛物线的定义可得||AF 为点A 到准线的距离，即1||2AF y =+，求出以AF 为直径的圆心为AF 的中点坐标，进而可得圆心到x 轴的距离，即可判断C 是否正确；对于D ：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，求导得4xy '=，写出切线AT 的方程，BT 的方程，联立解得交点T 的坐标，又点T 在准线=2y -上，得1228x x =-，再计算12y y +，即可判断D 是否正确．【详解】解：由于抛物线28x y =的焦点(0,2)F ，对于A ，假设存在直线l ，使得A ，B 两点关于直线20x y +-=对称，则设直线l 的方程为0x y m -+=，联立280x yx y m ⎧=⎨-+=⎩，所以2880x x m --=，所以△2(8)41(8)64320m m =--⨯⨯-=+>，即2m >-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，线段AB 的中点为Q ，所以128x x +=，所以1242Q x x x +==，4Q Q y x m m =+=+，因为点Q 在直线20x y +-=上，所以4420m ++-=，解得6m =-，与2m >-矛盾，故A 不正确；对于B ：设l '为抛物线的准线，则准线l '的方程为=2y -，过点P 作PN l ⊥'于点N，则6PM PF PM PN +=+≥，当且仅当P ，M ，N 三点共线时等号成立，所以||||PM PN +的最小值为6，故B 正确；对于C ：当直线l 过焦点时，设1(A x ，1)y ，则以AF为直径的圆心为AF的中点，1(2x ，12)2y +，所以圆心到x 轴的距离为122y d +=，由抛物线的定义可得||AF 为点A 到准线的距离，即1||2AF y =+，所以||2AF d =，所以当直线l 过焦点F 时，以AF 为直径的圆与x 轴相切，故C 正确；对于D ：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由28x y =，即28x y =，所以4x y '=，则切线AT 的方程为111()4x y y x x -=-，即21148x x y x =-，同理切线BT 的方程为22248x x y x =-，联立2112224848x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得122x x x +=，128x x y =，由题意，点T 在准线=2y -上，则1228x x =-，所以1216x x =-，所以22222121212121212121111()[()2]()()488848x x y y x x x x x x x x x x +=+=+-=+-=++，所以当120x x +=时，12y y +取得最小值4，故D 正确；故选：BCD ．三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知点F 为抛物线24y x =的焦点，点P 在抛物线上，O 为坐标原点，若OFP △的面积为2，则O 到直线PF 的距离为______.【答案】45##0.8【解析】【分析】根据三角形面积公式，即可求出点()4,4P ，然后抛物线定义，求出PF 长度，根据等面积法即可求出.【详解】()1,0F ，设()24,4P t t ，因为1422OFP S OF t =⋅= ，所以1t =，不妨取()4,4P ，则5PF =,122OFPS PF h =⋅= ,则45h =，故O 到PF 距离为45.故答案为：4514.已知1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，B 为椭圆的上顶点，若12BF F △内切圆半径为2c ，则椭圆的离心率为__________．【答案】17【解析】【分析】利用椭圆的定义求出三角形的周长，结合三角形内切圆的性质可得答案.【详解】由题意可知12BF F △的周长为22a c +，12BF F △的面积为()11222222c b a c c ⨯⋅=+⨯，解得()32b ac =+，平方可得()222324b a ac c =++，由222b a c =-，整理可得()()70a c a c -+=，解得7a c =，即17c e a ==.故答案为：17.15.已知双曲线22148x y -=的左右焦点分别为12,,F F 过2F 的直线与双曲线右支交于A ，B 两点，且1,3F AB π∠=则12F AF 的面积为_____.【答案】【解析】【分析】设12,AF m AF n ==，由余弦定理得出,m n 的一个关系式，然后由双曲线的定义又得一个，两者结合可求得mn ，从而得三角形面积．【详解】由已知224,8a b ==，所以c ==，即12(F F -，设12,AF m AF n ==，∵1,3F AB π∠=所以22222122cos 483F F m n mn m n mn π=+-=+-=，而24m n a -==，所以2()48m n mn -+=，248432mn =-=，1211sin 322322AF F S mn π==⨯⨯=△故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的几何性质，由于涉及到焦点三角形问题，可设焦半径为,m n ，利用余弦定理，双曲线的定义可求得,m n （只要求得mn ），然后由面积公式计算出面积．16.已知椭圆229x y t +=，点()0,1P ，设椭圆上不同的两点A B 、满足3BP PA = ，则实数t 的取值范围是______.【答案】(]1,4【解析】【分析】当直线AB 的斜率不存在时，通过向量坐标运算求得4t =，当直线AB 的斜率存在时，设直线方程，与椭圆联立，韦达定理，结合向量坐标运算得23419t k =-+，利用不等式性质求范围即可.【详解】当直线AB 的斜率不存在时，()0,1P ，(A ，(0,B ，因为3BP PA =(1113-=，解得4t =；当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 为1y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立椭圆2299x y t +=，得()221918990kxkx t +++-=，()()()22Δ18419990k k t =-+->，则1221819k x x k -+=+，1229919t x x k -=+，又3BP PA = ，所以123x x =-，所以()2121243x x x x +=-，所以()222281331919k t k k -=-++，所以23419t k =-+，因为20k >，所以230319k <<+，所以()2341,419t k=-∈+，又点()0,1P 在椭圆229x y t +=内部，所以22019t +<，即1t >，所以()1,4t ∈，综上可得，(]1,4t ∈.故答案为：(]1,4四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知双曲线()222:1012x y C a a -=>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，焦距为8，M 是双曲线上的一点．（1）求C 的离心率和渐近线方程；（2）若15MF =，求2MF ．【答案】（1）2e =，y =（2）29MF =【解析】【分析】（1）由已知直接求a 、b 、c ，再求离心率和渐近线方程；（2）根据双曲线定义直接求解，注意双曲线上的点到焦点的最小距离为c a -.【小问1详解】由题知：b =4c =所以2a ==所以双曲线C 的离心率2e =，渐近线方程为y =.【小问2详解】由双曲线定义知：1224MF MF a -==15MF = 29MF ∴=，或21MF =又12c a <-=，故21MF =不满足29MF ∴=.18.已知圆C 的圆心在直线220x y --=上，且与直线l ：34280x y +-=相切于点()4,4P .（1）求圆C 的方程；（2）求过点()6,15Q -与圆C 相切的直线方程.【答案】（1）()22125x y -+=；（2）6x =或43210x y ++=.【解析】【分析】（1）先得到过点()4,4P 且与直线l ：34280x y +-=垂直的直线方程，与220x y --=联立求得圆心即可；（2）若过点()6,15Q -的直线斜率不存在，即直线是6x =判断，若过点()6,15Q -的直线斜率存在，设直线方程为()156y k x +=-，再根据直线与圆相切求解.【详解】（1）过点()4,4P 与直线l ：34280x y +-=垂直的直线m 的斜率为43k =，所以直线m 的方程为()4443y x -=-，即4340x y --=.由4340220x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得()1,0C .所以5r =.故圆C 的方程为：()22125x y -+=.（2）①若过点()6,15Q -的直线斜率不存在，即直线是6x =，与圆相切，符合题意；②若过点()6,15Q -的直线斜率存在，设直线方程为()156y k x +=-，即6150kx y k ---=，若直线与圆C 5=，解得43k =-.此时直线的方程为4703x y ---=，即43210x y ++=.综上，切线的方程为6x =或43210x y ++=.19.已知平面内一动点()(),0P x y x ≥到点()1,0F 的距离比到y 轴的距离大1.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点()2,0Q 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在点M 使得AMQ BMQ ∠=∠？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()240y x x =≥（2）存在，()2,0M -【解析】【分析】（1）由动点P 到点()1,0F 的距离比到y 轴的距离大1，可得点P 到F 的距离等于P 到直线=1x -的距离，从而可得点P 的轨迹为以()1,0F 为焦点的抛物线，即可求得轨迹C 的方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，(),0M t ，直线:2l x my =+，代入24y x =可得2480y my --=，由根与系数的关系可得124y y m +=，128y y =-，由AMQ BMQ ∠=∠，可得AM BM k k =，计算可求得t 的值，即可得结论．【小问1详解】动点()(),0Px y x ≥到定点()1,0F 的距离比到y 轴的距离大1，又0x ≥ ，P 到F 的距离等于P 到直线=1x -的距离，∴动点P 的轨迹为以()1,0F 为焦点的抛物线，∴轨迹C 的方程()240y x x =≥；【小问2详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，(),0M t ，直线l 过点()2,0Q，∴设直线l 方程：2x my =+，代入24y x =，可得2480y my --=，显然216320m ∆=+>，则124y y m +=，128y y =-，AMQ BMQ∠=∠∴AM BMk k =∴()()21120y x t y x t -+-=∴()()2112220y my t y my t +-++-=得()()1212220my y t y y +-+=又 124y y m +=，128y y =-()()28240m t m ∴-+-⨯= 得()20m t --=2t ∴=-，即()2,0M -.故在x 轴上存在点()2,0M -使得AMQ BMQ∠=∠20.已知双曲线C 和椭圆22141x y +=．（1）求双曲线C 的方程．（2）经过点M （2，1）作直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l 的方程并求弦长．【答案】（1）x 222y -=1（2）y ＝4x ﹣7，弦长7【解析】【分析】（1）求出双曲线的焦点坐标，结合离心率，联立求解a ,b ,c 得到双曲线的方程；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）代入椭圆方程，用点差法求出直线斜率，弦长公式求弦长即可.【详解】（1）由题意得椭圆22141x y +=的焦点为F 1（，0），F 2（0），设双曲线方程为222x y a b-=1，a ＞0，b ＞0，则c 2＝a 2+b 2＝3，∵e ca ==∴c =，解得a 2＝1，b 2＝2，∴双曲线方程为x 222y -=1．（2）把A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）分别代入双曲线x 1212-y 12＝1，x 2212-y 22＝1，两式相减，得（x 1﹣x 2）（x 1+x 2）12-（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）＝0，把x 1+x 2＝4，y 1+y 2＝2代入，得4（x 1﹣x 2）﹣（y 1﹣y 2）＝0，∴k AB 1212y y x x -==-4，∴直线L 的方程为y ＝4x ﹣7，把y ＝4x ﹣7代入x 222y -=1，消去y 得14x 2﹣56x +51＝0，∴x 1+x 2＝4，x 1x 2＝5114，k ＝4，∴|AB|==7=．【点睛】本题考查了直线和椭圆的中点弦和弦长问题，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.21.试问是否能找到一条斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆2213x y +=交于两个不同的点,M N ，且使,M N到点()0,1A 的距离相等?若存在，试求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】存在，()()1,00,1k ∈-⋃【解析】【分析】设直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出MN 中点P 坐标，欲满足条件则AP MN ⊥，利用斜率关系结合判别式列不等式求解即可.【详解】设直线l 为y kx m =+，联立椭圆2233x y +=，得()222136330kxkmx m +++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则122613km x x k -+=+，21223313m x x k -=+，设P 为线段MN 的中点，若满足条件，则AP MN ⊥，故1223213P x x km x k +-==+，213P P my kx m k =+=+，所以213103P AP P y k m k x mk --+==-，由AP MN ⊥得1AP k k ⋅=-，所以()231103k m k mk k -+=-≠，所以2312k m +=-由()()2222Δ36413330k m km=-+->得22310k m -+>，所以()222313104k k +-+>，所以2314k +<，即21k <，所以11k -<<，又0k ≠，所以10k -<<或01k <<.所以当()()1,00,1k ∈-⋃时，存在满足条件的直线l.22.已知抛物线2(:0)y ax a >Γ=的焦点为F ，若过F 且倾斜角为4π的直线交Γ于M ，N 两点，满足||4MN =.（1）求抛物线Γ的方程；（2）若P 为Γ上动点，B ，C 在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ，求PBC 面积的最小值.【答案】（1）22y x =（2）8【解析】【分析】（1）求出抛物线的焦点，设出直线MN 的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义，可得2a =，进而得到抛物线方程；（2）设()00,P x y ，()0,B b ，()0,C c ，不妨设b c >，直线PB 的方程为00y by b x x --=，由直线与圆相切的条件：d r =，化简整理，结合韦达定理以及三角形的面积公式，运用基本不等式即可求得最小值.【详解】（1）抛物线2(:0)y ax a >Γ=的焦点为,04a F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则过点F 且斜率为1的直线方程为4ay x =-，联立抛物线方程2y ax =，消去y 得：2230216a ax x -+=，设()()1122,,,M x y N x y ，则1232a x x +=，由抛物线的定义可得12||242aMN x x a =++==，解得2a =，所以抛物线的方程为2:2y xΓ=（2）设()00,P x y ，()0,B b ，()0,C c ，不妨设b c >，00:PB y bl y b x x --=化简得：()0000y b x x y x b --+=，圆心()1,0到直线PB 的距离为1，1=，即()()()222220000002y b x y b x b y b x b -+=-+-+，不难发现02x >，上式又可化为()2000220x b y b x -+-=，同理有()2000220x c y c x -+-=，所以,b c 可以看做关于t 的一元二次方程()2000220x t y t x -+-=的两个实数根，0022y b c x -⇒+=-，()()220002020042()22x y x x bc b c x x +--=⇒-=--，由条件：2002y x =()22020042()22x x b c b c x x ⇒-=⇒-=--()()20000014()248222PBCx S b c x x x x ∆=-==-++≥--，当且仅当04x =时取等号.∴PBC 面积的最小值为8.。
2022-2023学年四川省成都外国语学校高二上学期12月月考数学(理)试题 (解析版)
A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B.甲的成绩的中位数小于乙的成绩的中位数
C.甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差
D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
【答案】D
【解析】
【分析】根据条形统计图可分别计算出甲、乙的平均数、中位数、极差，从而判断出 的正误；根据成绩的分散程度可判断 的正误.
【详解】同时掷3枚硬币，至少有1枚正面包括有一正两反，两正一反，三正三种情况，
最多有1枚正面包括一正两反，三反，两种情况，故A不正确，
最多有1枚正面包括一正两反，三反与恰有2枚正面是互斥的但不是对立事件，故B不正确，
至多1枚正面一正两反，三反，至少有2枚正面包括2正和三正，故C正确，
至少有2枚正面包括2正和三正，与恰有1枚正面是互斥事件，故D不正确，
成都外国语学校高2024届2022-2023学年度12月月考
理科数学
一､单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.命题“ ， ”的否定为（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】含有一个量词的命题的否定步骤为：改量词，否结论.
甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差，故 不正确．
本题正确选项：
【点睛】本题考查根据条形统计图判断平均数、中位数、极差和方差的问题，属于基础题.
5.已知 的三个顶点分别为 ， ， ，则 边上的中线长为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求得 的中点坐标，利用两点间的距离公式即可求得答案.
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辽宁省凤城一中2017-2018学年高二数学12月月考试题 理
1抛物线2
y ax =的准线方程是1y =-，则的值为 （ ）
A. B.
14 C. D.12
2
．已知命题00:,sin p x x ∃∈=R x ，y∈R，若x+y≠2017，则x≠1000或y≠1017”，则下列结论正确的是（ ）
A ．命题p q ∨是假命题
B ．命题p q ∧是真命题
C ．命题()()p q ⌝∨⌝是真命题
D ．命题()()p q ⌝∧⌝是真命题
3、若1>a ,则1
1-+
a a 的最小值是( ) A ．2
B ．
C ．3
D. 1
2
-a a 4.如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===.点 在上，且2OM MA =，点为BC 的中点，则MN 等（ ）
A.
121232a b c -+ B.211322a b c -++ C.111222a b c +- D.221332
a b c +- 5、已知点12F F ，为椭圆22
1925
x y +=的两个焦点,过的直线交椭圆于
A B ，两点,且8AB =,则22AF BF +=（ ）
A ．20
B ．18
C ．12
D ．10
6、若直线l 被圆x 2
+y 2
=4所截得的弦长为32,则l 与曲线1y 3
x 22
=+的公共点个数为 A.1个 B.2个 C.1个或2个 D.1个或0个 7、设n S 是数列
{}n a ()n N
+
∈的前项和，2n ≥时点1(,2)n n a a -在直线21y x =+上，且
{}n a 的首项是二次函数2
23y x
x =-+的最小值，则9S 的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8、已知方程1322
2
2=--+n
m y n m x 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4, 则n 的取值范围是
A.(-1,3)
B.(-1,)
C.(0,3)
D.(0,)
9、设等比数列{}n a 的公比为，其前项之积为，并且满足条件：11a >，201620171a a >，
201620171
01
a a -<-，给出下列结论：（1）01q <<；（2）2016201810a a ->；（3）2016T 是数列{}
n T 中的最大项；（4）使1n T >成立的最大自然数等于4031，其中正确的结论为（ ）
A ．（2）（3）
B ．（1）（3）
C ．（1）（4）
D ．（2）（4）
10、已知关于x 的不等式)0(0342
2
<<+-a a ax x 的解集为),(21x x ，则2
121x x a
x x ++的最大值为（ ） A.
36 B.332 C.3
3
4 D.334-
11、已知F 为抛物线y 2
＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )
A.2
B.3
C.172
8
D.10
12、已知点是抛物线2
4x y =的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，
在抛物线上且满足PA m PB =，当取最大值时，点恰好在以,A B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为 （
） 1
1 C.
1
2
13.已知函数f (x )＝x 2
＋mx ＋1，若命题“∃x 0>0，f (x 0)<0”为真，则m 的取值范围是________ 14.若()()7,4,3,0,1,2-=-=且
()⊥+λ，则的值是__________________
15.若直线ax －y ＋1＝0经过抛物线＝4x 的焦点，则实数a ＝________. 16.已知数列{}n a 满足()111,2n n n a a a n N a *+==
∈+，若()(
)
11121,n n b n n N b a λλ*
+⎛⎫=-+∈=- ⎪⎝⎭
，
且数列{}n b 是单调递增数列，則实数的取值范围是_____________ 17.(本题满分10分）
给定两个命题, ：对任意实数都有012
>++ax ax 恒成立；：方程
13
2
2=-+a y a x 表示双曲线.如果∨为真命题，∧为假命题，求实数的取值范围．
18.(本题满分12分）
已知曲线方程为: x 2+y 2
-2x-4y+m=0 . （Ⅰ）.若此曲线是圆,求m 的取值范围；
（Ⅱ） 若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M ,N 两点,且OM ⊥ON (O 为坐标原点),
求m 的值.
19.(本题满分12分）
已知动圆P （P 为圆心）经过点)0,3(N ，并且与圆16)3(:2
2=++y x M 相切．
（Ⅰ）求点P 的轨迹的方程；
（Ⅱ）经过点)0,2(A 的直线与曲线相交于点，，并且3
5
AC AD =
，求直线的方程．
20.(本题满分12分）
如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形．
平面ABC⊥平面AA 1C 1C ，AB=3，BC=5． （Ⅰ）求证：AA 1⊥平面ABC ；（Ⅱ）求异面直线AC 与BC 1所成的角的大小；
（Ⅲ）在线段BC 1上是否存在点D ，使得AD⊥A 1B ，
若存在，求出并求 1
BC BD
的值;若不存在 ，说明理由.
21.(本题满分12分）
已知数列{}n a 的前项和为，若11a =，且1
2
n n S ta =-，其中*n N ∈． (Ⅰ).求实数的值和数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ).若数列{}n b 满足32log n n b a =，求数列1
1
{}n n b b +的前项和．
22.（本小题满分12分）
已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2
＝1(a >b >0)的离心率为63，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三
角形的面积为52
3.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)已知动直线y ＝k (x ＋1)与椭圆C 相交于A ，B 两点．
①若线段 AB 中点的横坐标为－1
2，求斜率k 的值； ②已知点 M )0,3
7(
，求证：MA →·MB →为定值．。