高三数学排列组合与二项式定理PPT优秀课件

元
素
的
组
合
数
，
用
符
号
C
m n
表
示
．
3组合数公式：
C
m n
Anm Amm
nn 1n 2…n m 1 m！
n！ m！n m
！.
4
组
合
数
性
质
：
①
C
m n
Cnm n
(m
n
)；
②
C
m n 1
C
m n
C m1 n
(m
n
)；
③
规
定
：
C
0 n
0.
4．二项式定理
1二项展开式： abn C0nan C1nan1bCknankbk
A． 150种 B． 180种 C． 200种 D． 280种
分 析 ： 首 先 根 据 题 意 须 将 5名 志 愿 者 分 成 三 组 ， 再 分 配 到 三 个 不 同 国 家 展 览 馆 去 ， 而 分 组 有 1 ,1 ,3与 2,2,1两 种 ．
解析：将5名志愿者的人数按1,1,3与2,2,1分成三组
当第一个括号中取2x2时，则第二个括号必取 1 x2
项，由通项易知当r 5时，取得常数215 C85
112，所以展开式中常数项为 112 70 42.
【思维启迪】本题主要考查二项式定理的通项 公式及分类讨论的思想方法．解答两个因式 积的展开式问题主要有两种途径：
1通过变形转化为一个二项式的形式求解； 2利用组合的知识，寻求产生指定项的各种
可能的情况，然后求它们的和，即为所求．
变 式 题 ： 若 (x1)n展 开 式 的 二 项 式 系 数 之 和 为 64， x
则 展 开 式 的 常 数 项 为 ( )
A． 10
B． 20
C． 30
D． 120
解析：由条件知2n 64，则n6，
而在(x1)6展开式的通项为 x
Tr1
C6rx6r
Cnnbn，通项为Tk1 Cnkankbk(nN*)．
2二项式系数的性质
①对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离” 的两项的二项式系数相等，即Crn Cnnr(nN*)．
②增减性与最大值：当k＜n1(nN*)时，二项式系 2
数逐渐增大，后半部分逐渐减小，二项式系数最大的 项在中间．如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的 二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间 两项的二项式系数最大且相等． ③各二项式系数的和：C0n C1n Cnn 2n，且奇数 项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和相等， 均为2n1，即C0n C2n C1n C3n C5n 2n1(nN*)．
专题三
排列、组合、二项式 定理、概率与统计
1．计数原理 分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办 法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同 的方法，，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么 完成这件事共有N m1 m2 mn种不同的方法．
分步计数原理：完成一件事，需要n个步骤，做 第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法， ，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N m1 m2 mn种不同的方法．
【 思 维 启 迪 】 本 题 解 答 实 际 上 是 利 用 “ 特 殊 元 素 (位 置 )特 殊 处 理 ” 的 原 理 处 理 的 ， 其 “ A ， B ， C ” 就 是 特 殊 元 素 ．
变试题：某班学生参加植树节活动，苗圃中有 甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别 种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能 相邻，且第1个树坑和第5个树坑只能种甲种树 苗的种法共有( ) A． 15种 B． 12种 C． 9种 D． 6种
解析：根据第2个树坑和第4个树坑为特殊元素，
可将问题分两类： 1第2个树坑和第4个树坑种 相同的树苗，有2C12种； 2第2个树坑和第4个
树坑种不同的树苗，有A22种，则共有 A222C12 6种，故选D.
考点2 二项式定理的应用
例 2 .1 2 x2(x1 )8 的 展 开 式 中 常 数 项 为 _ _ _ _ _ ． x (用 数 字 表 示 )
2．排列
1排列的定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m
n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个
不同元素中取出m个元素的一个排列．
2排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m n)个
元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的排列数，用符号Amn 表示．
3排列数公式：Amn
nn 1
n
m
1，A
m n
n
n! ，规定：0！ m!
Leabharlann Baidu
1；A0n
无意义．
3．组合
1 组 合 的 定 义 ： 一 般 地 ， 从 n个 不 同 元 素 中 ， 任 意 取
出m(m n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中任
取m个元素的一个组合．
2组合数的定义：从n个不同元素取出m(m n)个元
素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个
分析： 以第一个括号的两项为准，分别考虑第二 个括号中如何取项才是常数项，而第二个括号产 生的项可用二项展开式的通项公式来处理．
解析：第二个括号的通项为Tr 1
C8r x8r (
1)r x
1r C8r x82r，则当第一个括号中取1时，则第二
个括号必取常数项，由通项易知当r 4时，取
得常数114 C84 70；
(1)r x
C6rx62r.
令62r0，得r3，故展开式的常数项为C36 20.
备 选 例 题 : 5名 志 愿 者 分 别 到 三 个 不 同 国 家 展 览 馆 进 行 世 博 会 知 识 宣 传 ， 每 个 地 方 至 少 去 一
名 志 愿 者 ， 则 不 同 的 分 派 方 法 共 有
的分法有C35
C52C32 A22
种，
将每组分配到三个不同国家展览馆的分法有A33种，
根据分类计算原理知不同的分派方法共有(C35
考点1 排列与组合的应用
例1.将A、B、C、D、E排成一列，要求A、B、C
在排列中顺序为“A、B、C”或“C、B、A” (可以
不相邻)，这样的排列数有( )
A． 12 种
B． 20种
C． 40种
D． 60种
分析：分两步完成，即首先排A，B，C三个字母， 然后排余下的两个字母D，E
解析：五个字母排成一列，①先从中选三个位置 给A、B、C且A、B、C有两种排法，即C352，② 然后让D、E排在剩余两个位置上，有A22种排法； 由分步乘法计数原理所求排列数为C352A22 40， 故选C.