高三数学排列组合与二项式定理PPT优秀课件
合集下载
排列、组合、二项式定理精选教学PPT课件
当我们爱自己的孩子的时候，可曾想过，我们把爱孩子的十分之一去爱母亲，她就足矣，往往这一点也做不到，说句心里话，我们欠母亲的无法补偿，更无法用语言表达。 我有这两位母亲，虽然我的人生很不幸，但我有她们给我的无私的爱，我永远是幸福的，她们对我的爱我永存心里。在美国西雅图的一所著名教堂里，有一位德高望重的牧师――戴尔·泰勒。有一天，他向教会学校一个班的学生们先讲了下面这个故事。 那年冬天，猎人带着猎狗去打猎。猎人一枪击中了一只兔子的后腿，受伤的兔子拼命地逃生，猎狗在其后穷追不舍。可是追了一阵子，兔子跑得越来越远了。猎狗知道实在是追不上了，只好悻悻地回到猎人身边。猎人气急败坏地说：“你真没用，连一只受伤的兔子都追不
数有多少？
5×5=25
练习2
1.某段铁路上有12个车站，共需准备多少种普通客票？
P122
2.某段铁路上有12个车站，问有多少种不同的票价？
C122
3.用3，5，7，9四个数字，一共可组成多少个没有重 复数字的正整数
P41 P42 P43 P44
练习3
1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为 C150 ；
名称
排列
组合
一个~ ~~数
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
所有排列的个数
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
所有组合的个数
符号
种数 公式 关系
性质
Pnm
C
m n
Pnm
Pnm
n(n 1) (n m
n! (n m)! Pnn n!
1)
0!
1
排列、组合、二项式定理
知识结构网络图：
排列与组合
二项式定理
数有多少？
5×5=25
练习2
1.某段铁路上有12个车站，共需准备多少种普通客票？
P122
2.某段铁路上有12个车站，问有多少种不同的票价？
C122
3.用3，5，7，9四个数字，一共可组成多少个没有重 复数字的正整数
P41 P42 P43 P44
练习3
1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为 C150 ；
名称
排列
组合
一个~ ~~数
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
所有排列的个数
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
所有组合的个数
符号
种数 公式 关系
性质
Pnm
C
m n
Pnm
Pnm
n(n 1) (n m
n! (n m)! Pnn n!
1)
0!
1
排列、组合、二项式定理
知识结构网络图：
排列与组合
二项式定理
第1部分 第5讲排列、组合、二项式定理-2021届高三高考数学二轮复习课件
● 考向1 带附加条件的排列、组合问题
●
1 ． ( 2 0 2 0 ·辽 宁 省 沈 阳 市 实 验 中 学 月 考 ) 将 6 枚 硬 币 放 入 如 图 所 示 的 9 个 方 格 中 ， 要 求 每 个 方
格中至多放一枚硬币，并且每行每列都有2枚硬币，则放置硬币的方法共有几种
()
● A．6
● B．12
题号 6、15、21
未考 4 15 8 5
考查角度 排列组合
二项式定理 排列组合的应用 排列组合在古典概型应用
二项式定理
分值 10
5 5 5 5
第1部分 第5讲排列、组合、二项式定理-202 1届高 三高考 数学二 轮复习 课件
第1部分 第5讲排列、组合、二项式定理-202 1届高 三高考 数学二 轮复习 课件
令n－25r＝0，则 n＝5r，因为 n∈N*，所以 r＝1 时，n 取最小值 5．故
选 C．
式
(n－m＋1)＝n－n！m！ ＝m！nn！－m！
性
质
Ann＝n！，0！＝1
C0n＝1，Cmn ＝Cnn－m， Cmn ＋Cmn －1＝Cmn＋1
第1部分 第5讲排列、组合、二项式定理-202 1届高 三高考 数学二 轮复习 课件
第1部分 第5讲排列、组合、二项式定理-202 1届高 三高考 数学二 轮复习 课件
A
● C．18
● D．36
第1部分 第5讲排列、组合、二项式定理-202 1届高 三高考 数学二 轮复习 课件
第1部分 第5讲排列、组合、二项式定理-202 1届高 三高考 数学二 轮复习 课件
●
【解析】 先在第一列里任意选一格不放硬币，有3种选法；再在第二列选一格(不能选与
排列、组合与二项式定理(理)
二项式定理不仅具有理论价值，还有广泛的应用 价值，特别是在统计学、计算机科学和物理学等 领域。
二项式定理的未来发展方向
理论完善
随着数学的发展，二项式定理的理论体系将不断完善，新的证明方 法和技巧将不断涌现。
应用拓展
随着各学科的发展，二项式定理的应用领域将不断拓展，特别是在 大数据处理、人工智能和量子计算等领域。
排列数的计算
01
二项式定理也可以用来计算排列数，特别是当排列数的上标和
下标较大时，使用二项式定理可以简化计算过程。
排列数的性质
02
通过二项式定理，我们可以推导出排列数的性质，如排列数的
增减性等。
排列数的递推关系
03
利用二项式定理，我们可以得到排列数的递推关系，从而更方
便地计算排列数。
利用二项式定理解决实际问题
互异性
有序性
排列中的元素顺序是确定的，不能随 意调换。
排列中的元素没有重复出现的情况。
组合的定义与性质
组合的定义
从n个不同元素中取出m个元素 （0<m≤n），不考虑顺序，称为 从n个不同元素中取出m个元素的
一个组合。
互异性
组合中的元素没有重复出现的情况。
无序性
组合中的元素顺序不影响其组合结 果。
排列与组合的关系
利用组合数的性质，通过数学推导推导出二项式定理的展开式。
利用多项式乘法推导
将$(a+b)^n$展开成多项式，然后利用多项式乘法的性质推导出二 项式定理的展开式。
利用幂的性质推导
利用幂的性质，将$(a+b)^n$展开成幂的形式，然后通过数学推导 推导出二项式定理的展开式。
04 二项式定理的应用举例
利用二项式定理计算组合数
二项式定理的未来发展方向
理论完善
随着数学的发展，二项式定理的理论体系将不断完善，新的证明方 法和技巧将不断涌现。
应用拓展
随着各学科的发展，二项式定理的应用领域将不断拓展，特别是在 大数据处理、人工智能和量子计算等领域。
排列数的计算
01
二项式定理也可以用来计算排列数，特别是当排列数的上标和
下标较大时，使用二项式定理可以简化计算过程。
排列数的性质
02
通过二项式定理，我们可以推导出排列数的性质，如排列数的
增减性等。
排列数的递推关系
03
利用二项式定理，我们可以得到排列数的递推关系，从而更方
便地计算排列数。
利用二项式定理解决实际问题
互异性
有序性
排列中的元素顺序是确定的，不能随 意调换。
排列中的元素没有重复出现的情况。
组合的定义与性质
组合的定义
从n个不同元素中取出m个元素 （0<m≤n），不考虑顺序，称为 从n个不同元素中取出m个元素的
一个组合。
互异性
组合中的元素没有重复出现的情况。
无序性
组合中的元素顺序不影响其组合结 果。
排列与组合的关系
利用组合数的性质，通过数学推导推导出二项式定理的展开式。
利用多项式乘法推导
将$(a+b)^n$展开成多项式，然后利用多项式乘法的性质推导出二 项式定理的展开式。
利用幂的性质推导
利用幂的性质，将$(a+b)^n$展开成幂的形式，然后通过数学推导 推导出二项式定理的展开式。
04 二项式定理的应用举例
利用二项式定理计算组合数
高三数学第二轮复习课件：排列组合二项式定理概率统计共28页文档
高三数学第二轮复习课件：排列组合二项 式定理概率统计
•
46、寓形宇内复几时，曷不委心任去 留。
•
47、采菊东篱下，悠然见南山。
•
48、啸傲东轩下，聊复得此生。
•
49、勤学如春起之苗，不见其增，日 有所长 。
•
50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结 ，箪瓢 屡空， 晏如也 。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
高中数学 排列、组合、二项式定理 二项式定理 (初始课件)
引出定理，总结特征
(a b) C a C a
n 0 n n 1 n
n 1
bC a
2 n r
n 2
b
2 n
C a
r n
n r
b C b
n n
二项展开式定理:
一般地，对于nN*，有：
(a b) C a C a
n 0 n n 1 n
n 1
bC a
系数
C4
0
C4
1
C4
2
C4
3
C4
4
(a+b)4 ＝ C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b4
将(a+b)n展开的结果又是怎样呢？ 发现规律： 对于（a+b）n=
(a b)(a b) (a b)
n个
的展开式中an-rbr的系数是在n个括号中，恰有r个 r 括号中取b(其余括号中取a)的组合数 C n .那么， 我们能不能写出(a+b)n的展开式？
r 1 n
二项展开式定理: n 0 n 1 n 1 r n r r n n (a b) Cn a Cn a b Cn a b Cn b
1.项数规律： 展开式共有n+1个项 2.二项式系数规律：
(n N )
C 、C 、C 、 、C
0 n 1 n 2 n
n n
3.指数规律：
（1）各项的次数和均为n； （2）二项和的第一项a的次数由n逐次降到0， 第二项b的次数由0逐次升到n.
单三步
小结
• 二项式定理是初中多项式乘法的延伸，又 是后继学习概率的基础，要理解和掌握好 展开式的规律，利用它对二项式展开，进 行相应的计算与证明。
《二项式定理》(共17张)-完整版PPT课件全文
展开式的第3项是240x
例1.(2)求(2 x 1 )6的展开式 x
对于例1（2）中，请思考： ①展开式中的第3项的系数为多少？ ②展开式中的第3项的二项式系数为多少？ ③你能直接求展开式的第3项吗？
④你能直接求展开式中 x 2的系数吗？
解：④ Tk1 C6k (2
x)6k ( 1 )k x
(1)k 26k C6k x3k
N*)
①项数： 展开式共有n＋1项.
②次数： 各项的次数均为n
字母a的次数按降幂排列，由n递减到0 , 字母b的次数按升幂排列，由0递增到n .
③二项式系数: Cnk (k 0,1,2,, n)
④二项展开式的通项: Tk1 Cnk ankbk
典例剖析
例1.(1)求(1 1 )4的展开式； x
(2)求(2 x 1 )6的展开式. x
N
*
)
(1)二项式系数： Cnk (k 0,1,2,, n)
(2)二项展开式的通项：Tk1 Cnk ankbk
思想方法：
(1) 从特殊到一般的数学思维方式.
(2) 类比、等价转换的思想.
巩固型作业： 课本36页习题1.3A组第2，4题
思维拓展型作业
二项式系数Cn0 , Cn1,, Cnk ,, Cnn有何性质?
1) x
C62 (2
x )4 (
1 x
)2
C63
(2
x )3 (
1 x
)3
C64
(2
x )2 (
1 )4 x
C65 (2
x )(
1 x
)5
C66
(
1 )6 x
64x3
192x2
240x
排列组合与二项式定理PPT课件
(1)C0n＋Cn1
＋
…＋
Crn＋…
＋
Cnn＝ 2n；
C0n＋
Cn2
＋
…＝
Cn1
＋
C
3 n
＋…＝2n－1.
(2) 应 用 “ 赋 值 法 ” 可 求 得 二 项 展 开 式 中 各项 系 数 和 为
f(1)．“奇数(偶次)项”系数和为12[f(1)＋f(－1)]，“偶数(奇次)
项”系数和为12[f(1)－f(－1)]．
第18讲 │ 要点热点探究
要点热点探究
► 探究点一 计数原理及其应用
例1(1)在任意两个正整数m和n间定义某种运算，用⊗表 示运算符号，并规定，当m和n都为奇数或都为偶数时，m⊗n ＝m＋n；当m和n中有一个为奇数，另一个为偶数时，m⊗n ＝mn，设集合M＝{(a，b)|a⊗b＝36，a、b∈N＋}，则集合M 中共有________个元素；
第18讲 │ 要点热点探究
41 【解析】 一类：当 m、n 都为奇数时，由 m＋n＝36， 可知 m＝1,3,5，…，35，相应的 n 随之确定，共有 18 个不同 数对(a，b)；
二类：当 m 和 n 都为偶数时，由 m＋n＝36，可知 m＝ 2,4,6，…，34，相应的 n 随之确定，共有 17与D”看成一个整体，故有2A
3 4
＝
48种涂法．
故不同的涂法共有24＋48＝72种，选A.
【点评】 本题的涂色问题是一类典型应用两个计数原理解决的 计数问题，在高考中多次出现这类问题，解决的基本思路有两条：一 是按照颜色的种类进行分类；二是按区域一个一个地涂色．在具体填 涂的过程中应用计数原理，找到问题的解决方案．
第18讲 │ 要点热点探究
【点评】 分清是分类还是分步，是决定用分类计算原理 还是分步计算原理的必要条件；分类时标准统一，做到不重不 漏．分步时程序清晰，做到独立、完整．如果题目中既要用到 分类计数原理，又要用到分步计数原理，一般应遵循“先分 类，再分步”的原则．
高考数学复习课件：排列组合与二项式定理
∴会A的乘于会B的-（n+（n-1）+……+1）
直接法：在处理有限制条件的排列，优先排 特殊元素，后再排其他元素。
定元定位优先排
间接法：先不考虑特殊元素，而列出所有元 素的全排列数，从中减去不满足特殊元素 要求的排列数。
注意：不重不漏
• 成才后翻P56 T13
• 六个人从左到右排成一行，最左端只能排甲或已，最右端不 能排甲，则不同的排法？
那么 完成这件事共有
种不同的方法.
2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步
骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同
的方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这
件事共有
种不同的方法.
区别1 区别2
分类计数原理
分步计数原理
完成一件事，共有n类办法，关 键词“分类”
完成一件事，共分n个步骤，关 键词“分步”
解：（2）设f（x）=(3x-1)8 分别赋予x=1，-1
a0+a2+a4+a6+a8=[f(1)+f(-1)]/2
一般来说 多项式f（x）各项系数和为f（1） 奇数项系数和为1/2[f(1)-f(-1)] 偶数项系数和为1/2[f(1)+f(-1)]
求值、等式与不等式证明问题
（2）求证：5555+1能被8整除；
解:采用“隔板法” 得: C259 4095
类似练习： 1、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级， 共有多少种不同的分配方法？
2、从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可以一步走 一级，也可以一步走两级，若要求11步走完，则有 多少种不同的走法？
3、方程x+y+z=12的非负整数解的个数为多少？ 正整数解的个数呢？
直接法：在处理有限制条件的排列，优先排 特殊元素，后再排其他元素。
定元定位优先排
间接法：先不考虑特殊元素，而列出所有元 素的全排列数，从中减去不满足特殊元素 要求的排列数。
注意：不重不漏
• 成才后翻P56 T13
• 六个人从左到右排成一行，最左端只能排甲或已，最右端不 能排甲，则不同的排法？
那么 完成这件事共有
种不同的方法.
2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步
骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同
的方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这
件事共有
种不同的方法.
区别1 区别2
分类计数原理
分步计数原理
完成一件事，共有n类办法，关 键词“分类”
完成一件事，共分n个步骤，关 键词“分步”
解：（2）设f（x）=(3x-1)8 分别赋予x=1，-1
a0+a2+a4+a6+a8=[f(1)+f(-1)]/2
一般来说 多项式f（x）各项系数和为f（1） 奇数项系数和为1/2[f(1)-f(-1)] 偶数项系数和为1/2[f(1)+f(-1)]
求值、等式与不等式证明问题
（2）求证：5555+1能被8整除；
解:采用“隔板法” 得: C259 4095
类似练习： 1、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级， 共有多少种不同的分配方法？
2、从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可以一步走 一级，也可以一步走两级，若要求11步走完，则有 多少种不同的走法？
3、方程x+y+z=12的非负整数解的个数为多少？ 正整数解的个数呢？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
的分法有C35
C52C32 A22
种，
将每组分配到三个不同国家展览馆的分法有A33种，
根据分类计算原理知不同的分派方法共有(C35
当第一个括号中取2x2时，则第二个括号必取 1 x2
项，由通项易知当r 5时，取得常数215 C85
112，所以展开式中常数项为 112 70 42.
【思维启迪】本题主要考查二项式定理的通项 公式及分类讨论的思想方法．解答两个因式 积的展开式问题主要有两种途径：
1通过变形转化为一个二项式的形式求解； 2利用组合的知识，寻求产生指定项的各种
解析：根据第2个树坑和第4个树坑为特殊元素，
可将问题分两类： 1第2个树坑和第4个树坑种 相同的树苗，有2C12种； 2第2个树坑和第4个
树坑种不同的树苗，有A22种，则共有 A222C12 6种，故选D.
考点2 二项式定理的应用
例 2 .1 2 x2(x1 )8 的 展 开 式 中 常 数 项 为 _ _ _ _ _ ． x (用 数 字 表 示 )
A． 150种 B． 180种 C． 200种 D． 280种
分 析 ： 首 先 根 据 题 意 须 将 5名 志 愿 者 分 成 三 组 ， 再 分 配 到 三 个 不 同 国 家 展 览 馆 去 ， 而 分 组 有 1 ,1 ,3与 2,2,1两 种 ．
解析：将5名志愿者的人数按1,1,3与2,2,1分成三组
元
素
的
组
合
数
，
用
符
号
C
m n
表
示
．
3组合数公式：
C
m n
Anm Amm
nn 1n 2…n m 1 m！
n！ m！n m
！.
4
组
合
数
性
质
：
①
C
m n
Cnm n
(m
n
)；
②
C
m n 1
C
m n
C m1 n
(m
n
)；
③
规
定
：
C
0 n
0.
4．二项式定理
1二项展开式： abn C0nan C1nan1bCknankbk
专题三
排列、组合、二项式 定理、概率与统计
1．计数原理 分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办 法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同 的方法，，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么 完成这件事共有N m1 m2 mn种不同的方法．
分步计数原理：完成一件事，需要n个步骤，做 第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法， ，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N m1 m2 mn种不同的方法．
可能的情况，然后求它们的和，即为所求．
变 式 题 ： 若 (x1)n展 开 式 的 二 项 式 系 数 之 和 为 64， x
则 展 开 式 的 常 数 项 为 ( )
A． 10
B． 20
C． 30
D． 120
解析：由条件知2n 64，则n6，
而在(x1)6展开式的通项为 x
Tr1
C6rx6r
【 思 维 启 迪 】 本 题 解 答 实 际 上 是 利 用 “ 特 殊 元 素 (位 置 )特 殊 处 理 ” 的 原 理 处 理 的 ， 其 “ A ， B ， C ” 就 是 特 殊 元 素 ．
变试题：某班学生参加植树节活动，苗圃中有 甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别 种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能 相邻，且第1个树坑和第5个树坑只能种甲种树 苗的种法共有( ) A． 15种 B． 12种 C． 9种 D． 6种
2．排列
1排列的定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m
n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个
不同元素中取出m个元素的一个排列．
2排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m n)个
元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的排列数，用符号Amn 表示．
3排列数公式：Amn
nn 1
Cnnbn，通项为Tk1 Cnkankbk(nN*)．
2二项式系数的性质
①对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离” 的两项的二项式系数相等，即Crn Cnnr(nN*)．
②增减性与最大值：当k＜n1(nN*)时，二项式系 2
数逐渐增大，后半部分逐渐减小，二项式系数最大的 项在中间．如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的 二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间 两项的二项式系数最大且相等． ③各二项式系数的和：C0n C1n Cnn 2n，且奇数 项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和相等， 均为2n1，即C0n C2n C1n C3n C5n 2n1(nN*)．
分析： 以第一个括号的两项为准，分别考虑第二 个括号中如何取项才是常数项，而第二个括号产 生的项可用二项展开式的通项公式来处理．
解析：第二个括号的通项为Tr 1
C8r x8r (
1)r x
1r C8r x82r，则当第一个括号中取1时，则第二
个括号必取常数项，由通项易知当r 4时，取
得常数114 C84 70；
n
m
1，A
m n
n
n! ，规定：0！ m!
1；A0n
无意义．
3．组合
1 组 合 的 定 义 ： 一 般 地 ， 从 n个 不 同 元 素 中 ， 任 意 取
出m(m n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中任
取m个元素的一个组合．
2组合数的定义：从n个不同元素取出m(m n)个元
素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个
(1)r x
C6rx62r.
令62r0，得r3，故展开式的常数项为C36 20.
备 选 例 题 : 5名 志 愿 者 分 别 到 三 个 不 同 国 家 展 览 馆 进 行 世 博 会 知 识 宣 传 ， 每 个 地 方 至 少 去 一
名 志 愿 者 ， 则 不 同 的 分 派 方 法 共 有
考点1 排列与组合的应用
例1.将A、B、C、D、E排成一列，要求A、B、C
在排列中顺序为“A、B、C”或“C、B、A” (可以
不相邻)，这样的排列数有( )
A． 12 种
Hale Waihona Puke B． 20种C． 40种
D． 60种
分析：分两步完成，即首先排A，B，C三个字母， 然后排余下的两个字母D，E
解析：五个字母排成一列，①先从中选三个位置 给A、B、C且A、B、C有两种排法，即C352，② 然后让D、E排在剩余两个位置上，有A22种排法； 由分步乘法计数原理所求排列数为C352A22 40， 故选C.