函数的最值与导数导学案

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导数与函数的极值、最值(经典导学案及练习答案详解)

§3.3导数与函数的极值、最值学习目标1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值．知识梳理1．函数的极值(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．2．函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．常用结论对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值．(×)(2)函数的极小值一定是函数的最小值．(×)(3)函数的极小值一定不是函数的最大值．(√)(4)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．(×)教材改编题1．如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析由题意知只有在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正．2．函数f (x )＝x 3－ax 2＋2x －1有极值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－6]∪[6，＋∞)B ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)C ．(－6，6)D ．[－6，6]答案 B解析 f ′(x )＝3x 2－2ax ＋2，由题意知f ′(x )有变号零点，∴Δ＝(－2a )2－4×3×2>0，解得a >6或a <－ 6.3．若函数f (x )＝13x 3－4x ＋m 在[0,3]上的最大值为4，则m ＝________. 答案 4解析 f ′(x )＝x 2－4，x ∈[0,3]，当x ∈[0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2,3]时，f ′(x )>0，所以f (x )在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增．又f (0)＝m ，f (3)＝－3＋m .所以在[0,3]上，f (x )max ＝f (0)＝4，所以m ＝4.题型一利用导数求函数的极值问题命题点1 根据函数图象判断极值例1 (2022·广州模拟)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(x －1)f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )A ．函数f (x )有极大值f (－3)和f (3)B ．函数f (x )有极小值f (－3)和f (3)C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)D．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)答案 D解析由题图知，当x∈(－∞，－3)时，y>0，x－1<0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－3,1)时，y<0，x－1<0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1,3)时，y>0，x－1>0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(3，＋∞)时，y<0，x－1>0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减．所以函数有极小值f(－3)和极大值f(3)．命题点2求已知函数的极值例2已知函数f(x)＝x－1＋ae x(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值．解(1)因为f(x)＝x－1＋ae x，所以f′(x)＝1－ae x，又因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝0，即1－ae1＝0，所以a＝e.(2)由(1)知f′(x)＝1－ae x，当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，因此f(x)无极大值与极小值；当a>0时，令f′(x)>0，则x>ln a，所以f(x)在(ln a，＋∞)上单调递增，令f′(x)<0，则x<ln a，所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，故f(x)在x＝ln a处取得极小值，且f(ln a)＝ln a，但是无极大值，综上，当a≤0时，f(x)无极大值与极小值；当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，但是无极大值．命题点3已知极值(点)求参数例3(1)(2022·大庆模拟)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＋b等于()A ．－7B ．0C ．－7或0D ．－15或6答案 A 解析由题意知，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，可得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f (x )在x ＝1处取得极值10，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3，检验知，当a ＝－3，b ＝3时，可得f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，此时函数f (x )单调递增，函数无极值点，不符合题意；当a ＝4，b ＝－11时，可得f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)，当x <－113或x >1时， f ′(x )>0，f (x )单调递增；当－113<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ＝1时，函数f (x )取得极小值，符合题意．所以a ＋b ＝－7.(2)(2022·南京模拟)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )在区间(0，＋∞)上有两个极值，则实数a 的取值范围为( )A ．(0，e)B.⎝⎛⎭⎫0，1eC.⎝⎛⎭⎫0，12 D.⎝⎛⎭⎫0，13 答案 C解析 f ′(x )＝ln x －ax ＋x ⎝⎛⎭⎫1x －a＝ln x ＋1－2ax ，由题意知ln x ＋1－2ax ＝0在(0，＋∞)上有两个不相等的实根，2a ＝ln x ＋1x，设g (x )＝ln x ＋1x，则g ′(x )＝1－(ln x ＋1)x 2＝－ln x x 2.当0<x <1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，所以g (x )的极大值为g (1)＝1，又当x >1时，g (x )>0，当x →＋∞时，g (x )→0，当x →0时，g (x )→－∞，所以0<2a <1，即0<a <12. 教师备选 1．(2022·榆林模拟)设函数f (x )＝x cos x 的一个极值点为m ，则tan ⎝⎛⎭⎫m ＋π4等于( ) A.m －1m ＋1B.m ＋1m －1C.1－m m ＋1D.m ＋11－m 答案 B解析由f ′(x )＝cos x －x sin x ＝0，得tan x ＝1x ，所以tan m ＝1m，故tan ⎝⎛⎭⎫m ＋π4＝1＋tan m 1－tan m ＝m ＋1m －1. 2．已知a ，b ∈R ，若x ＝a 不是函数f (x )＝(x －a )2(x －b )·(e x －1－1)的极小值点，则下列选项符合的是( )A ．1≤b <aB ．b <a ≤1C ．a <1≤bD ．a <b ≤1 答案 B解析令f (x )＝(x －a )2(x －b )(e x －1－1)＝0，得x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝1.下面利用数轴标根法画出f (x )的草图，借助图象对选项A ，B ，C ，D 逐一分析．对选项A ，若1≤b <a ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意；对选项B ，若b <a ≤1，由图可知x ＝a 不是f (x )的极小值点，符合题意；对选项C ，若a <1≤b ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意；对选项D ，若a <b ≤1，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意．思维升华根据函数的极值(点)求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)验证：求解后验证根的合理性．跟踪训练1 (1)(2022·长沙模拟)若x ＝1是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，则f (x )的极大值为( )A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．1 答案 C解析因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，故可得f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝e x －1[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]，因为x ＝1是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，故可得f ′(1)＝0，即2a ＋2＝0，解得a ＝－1.此时f ′(x )＝e x －1(x 2＋x －2)＝e x －1(x ＋2)(x －1)．令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝1，由f ′(x )>0可得x <－2或x >1；由f ′(x )<0可得－2<x <1，所以f (x )在区间(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故f (x )的极大值点为x ＝－2.则f (x )的极大值为f (－2)＝(4＋2－1)e －3＝5e －3.(2)(2022·芜湖模拟)函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)在⎣⎡⎦⎤12，3上有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫52，103B.⎣⎡⎭⎫52，103C.⎝⎛⎦⎤52，103D.⎣⎡⎦⎤2，103 答案 B解析 ∵f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)， ∴f ′(x )＝1x＋x －a ， ∵函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)在⎣⎡⎦⎤12，3上有且仅有一个极值点， ∴y ＝f ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，3上只有一个变号零点．令f ′(x )＝1x ＋x －a ＝0，得a ＝1x＋x . 设g (x )＝1x ＋x ，则g (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，在[1,3]上单调递增，∴g (x )min ＝g (1)＝2，又g ⎝⎛⎭⎫12＝52，g (3)＝103， ∴当52≤a <103时，y ＝f ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，3上只有一个变号零点． ∴实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫52，103.题型二利用导数求函数最值例4 已知函数g (x )＝a ln x ＋x 2－(a ＋2)x (a ∈R )．(1)若a ＝1，求g (x )在区间[1，e]上的最大值；(2)求g (x )在区间[1，e]上的最小值h (a )．解 (1)∵a ＝1，∴g (x )＝ln x ＋x 2－3x ，∴g ′(x )＝1x ＋2x －3＝(2x －1)(x －1)x， ∵x ∈[1，e]，∴g ′(x )≥0，∴g (x )在[1，e]上单调递增，∴g (x )max ＝g (e)＝e 2－3e ＋1.(2)g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝a x ＋2x －(a ＋2)＝2x 2－(a ＋2)x ＋a x＝(2x －a )(x －1)x. ①当a 2≤1，即a ≤2时，g (x )在[1，e]上单调递增，h (a )＝g (1)＝－a －1； ②当1<a 2<e ，即2<a <2e 时，g (x )在⎣⎡⎭⎫1，a 2上单调递减，在⎝⎛⎦⎤a 2，e 上单调递增，h (a )＝g ⎝⎛⎭⎫a 2＝a ln a 2－14a 2－a ； ③当a 2≥e ，即a ≥2e 时，g (x )在[1，e]上单调递减，h (a )＝g (e)＝(1－e)a ＋e 2－2e. 综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －a －1，a ≤2，a ln a 2－14a 2－a ，2<a <2e ，(1－e )a ＋e 2－2e ，a ≥2e.教师备选已知函数f (x )＝ln x －ax －2(a ≠0)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )有最大值M ，且M >a －4，求实数a 的取值范围．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f (x )＝ln x －ax －2(a ≠0)可得f ′(x )＝1x－a ，当a <0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时， f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，综上所述，当a <0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当a <0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无最大值，当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减，所以当x ＝1a时，f (x )取得最大值，即f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a －a ×1a－2 ＝ln 1a－3＝－ln a －3，因此有－ln a －3>a －4，得ln a ＋a －1<0，设g (a )＝ln a ＋a －1，则g ′(a )＝1a＋1>0，所以g (a )在(0，＋∞)上单调递增，又g (1)＝0，所以g (a )<g (1)，得0<a <1，故实数a 的取值范围是(0,1)．思维升华 (1)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值．(2)若所给的闭区间[a ，b ]含参数，则需对函数f (x )求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f (x )的最值．跟踪训练2 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)，设该蓄水池的底面半径为r米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大.解 (1)∵蓄水池的侧面的总成本为100×2πrh ＝200πrh (元)，底面的总成本为160πr 2元，∴蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．由题意得200πrh ＋160πr 2＝12 000π，∴h ＝15r (300－4r 2)．从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．由h >0，且r >0，可得0<r <5 3.故函数V (r )的定义域为(0,53)．(2)由(1)知V (r )＝π5(300r －4r 3)，故V ′(r )＝π5(300－12r 2)，令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(舍)．当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上单调递增；当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上单调递减．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8，即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．课时精练1．若函数f (x )＝x 2＋2xe x 的极大值点与极小值点分别为a ，b ，则a ＋b 等于() A ．－4 B. 2C ．0D ．2答案 C解析 f ′(x )＝2－x 2e x ，当－2<x <2时，f ′(x )>0；当x <－2或x >2时，f ′(x )<0.故f (x )＝x 2＋2x ex 的极大值点与极小值点分别为2，－2，则a ＝2，b ＝－2，所以a ＋b ＝0.2．如图是函数y ＝f (x )的导函数的图象，下列结论中正确的是( )A ．f (x )在[－2，－1]上单调递增B ．当x ＝3时，f (x )取得最小值C ．当x ＝－1时，f (x )取得极大值D ．f (x )在[－1,2]上单调递增，在[2,4]上单调递减答案 D解析根据题图知，当x ∈(－2，－1)，x ∈(2,4)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；当x ∈(－1,2)，x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．所以y ＝f (x )在[－2，－1]上单调递减，在(－1，2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，故选项A 不正确，选项D 正确；故当x ＝－1时，f (x )取得极小值，选项C 不正确；当x ＝3时，f (x )不是取得最小值，选项B 不正确．3．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x 在x ＝2处取得极小值，则f (x )的极大值为( )A ．2B ．－52C ．3＋ln 2D ．－2＋2ln 2 答案 B解析由题意得，f ′(x )＝2x＋2ax －3， ∵f (x )在x ＝2处取得极小值，∴f ′(2)＝4a －2＝0，解得a ＝12， ∴f (x )＝2ln x ＋12x 2－3x ， f ′(x )＝2x ＋x －3＝(x －1)(x －2)x ，∴f (x )在(0,1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，∴f (x )的极大值为f (1)＝12－3＝－52. 4．(2022·重庆联考)函数f (x )＝x ＋2cos x 在[0，π]上的最大值为( )A ．π－2B.π6 C ．2D.π6＋ 3 答案 D解析由题意得，f ′(x )＝1－2sin x ，∴当0≤sin x ≤12，即x 在⎣⎡⎦⎤0，π6和⎣⎡⎦⎤5π6，π上时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增；当12<sin x ≤1，即x 在⎝⎛⎭⎫π6，5π6上时， f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴f (x )有极大值f ⎝⎛⎭⎫π6＝π6＋3，有极小值f ⎝⎛⎭⎫5π6＝5π6－3，而端点值f (0)＝2，f (π)＝π－2，则f ⎝⎛⎭⎫π6>f (0)>f (π)>f ⎝⎛⎭⎫5π6， ∴f (x )在[0，π]上的最大值为π6＋ 3. 5．(多选)已知x ＝1和x ＝3是函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x ＋k (a ，b ∈R )的两个极值点，且函数f (x )有且仅有两个不同零点，则k 值为( )A ．－43B.43 C ．－1D ．0 答案 BD解析 f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，依题意1,3是f ′(x )＝0的两个根，所以⎩⎨⎧ 1＋3＝－2b 3a ，1×3＝－33a，解得a ＝－13，b ＝2. 故f (x )＝－13x 3＋2x 2－3x ＋k . 易求得函数f (x )的极大值为f (3)＝k 和极小值为f (1)＝－43＋k .要使函数f (x )有两个零点，则f (x )极大值k ＝0或f (x )极小值－43＋k ＝0，所以k ＝0或k ＝43. 6．(多选)已知函数f (x )＝x ＋sin x －x cos x 的定义域为[－2π，2π)，则( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )在[0，π)上单调递增C ．f (x )恰有4个极大值点D ．f (x )有且仅有4个极值点答案 BD解析因为f (x )的定义域为[－2π，2π)，所以f (x )是非奇非偶函数，故A 错误；因为f (x )＝x ＋sin x －x cos x ，所以f ′(x )＝1＋cos x －(cos x －x sin x )＝1＋x sin x ，当x ∈[0，π)时，f ′(x )>0，则f (x )在[0，π)上单调递增，故B 正确；显然f ′(0)≠0，令f ′(x )＝0，得sin x ＝－1x，分别作出y ＝sin x ，y ＝－1x在区间[－2π，2π)上的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间[－2π，2π)上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故f (x )在区间[－2π，2π)上的极值点的个数为4，且f (x )只有2个极大值点，故C 错误，D 正确．7．(2022· 潍坊模拟)写出一个存在极值的奇函数f (x )＝________.答案 sin x (答案不唯一)解析正弦函数f (x )＝sin x 为奇函数，且存在极值．8．(2021·新高考全国Ⅰ)函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的最小值为________．答案 1解析函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的定义域为(0，＋∞)．①当x >12时，f (x )＝2x －1－2ln x ，所以f ′(x )＝2－2x ＝2(x －1)x，当12<x <1时，f ′(x )<0，当x >1时，f ′(x )>0，所以f (x )min ＝f (1)＝2－1－2ln 1＝1；②当0<x ≤12时，f (x )＝1－2x －2ln x 在⎝⎛⎦⎤0，12上单调递减，所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－2ln 12＝2ln 2＝ln 4>ln e ＝1.综上，f (x )min ＝1. 9．已知函数f (x )＝ln x －2x －2x ＋1. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝f (x )－4＋a x ＋1＋2(a ∈R )，若x 1，x 2是函数g (x )的两个极值点，求实数a 的取值范围．解 (1)由题知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －2(x ＋1)－2(x －1)(x ＋1)2＝(x －1)2x (x ＋1)2≥0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，当且仅当x ＝1时，f ′(x )＝0，所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间．(2)因为g (x )＝f (x )－4＋a x ＋1＋2＝ln x －a x ＋1，所以g ′(x )＝1x ＋a (x ＋1)2＝x 2＋(2＋a )x ＋1x (x ＋1)2(x >0)．由题意知x 1，x 2是方程g ′(x )＝0在(0，＋∞)内的两个不同的实数解．令h (x )＝x 2＋(2＋a )x ＋1，又h (0)＝1>0，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧－2－a >0，Δ＝(2＋a )2－4>0，解得a <－4，即实数a 的取值范围为(－∞，－4)． 10．(2022·珠海模拟)已知函数f (x )＝ln x －ax ，x ∈(0，e]，其中e 为自然对数的底数．(1)若x ＝1为f (x )的极值点，求f (x )的单调区间和最大值；(2)是否存在实数a ，使得f (x )的最大值是－3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解 (1)∵f (x )＝ln x －ax ，x ∈(0，e]，∴f ′(x )＝1－ax x，由f ′(1)＝0，得a ＝1.∴f ′(x )＝1－x x， ∴x ∈(0,1)，f ′(x )>0，x ∈(1，＋∞)，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]；f (x )的极大值为f (1)＝－1，也即f (x )的最大值为f (1)＝－1.(2)∵f (x )＝ln x －ax ，∴f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x ， ①当a ≤0时，f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )的最大值是f (e)＝1－a e ＝－3，解得a ＝4e >0，舍去；②当a >0时，由f ′(x )＝1x －a ＝1－axx ＝0，得x ＝1a ，当0<1a <e ，即a >1e 时，∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，e 时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，1a ，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫1a ，e ，又f (x )在(0，e]上的最大值为－3，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－1－ln a ＝－3，∴a ＝e 2；当e ≤1a ，即0<a ≤1e 时，f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )max ＝f (e)＝1－a e ＝－3，解得a ＝4e >1e ，舍去．综上，存在a 符合题意，此时a ＝e 2.11．若函数f (x )＝(x 2－a )e x 的两个极值点之积为－3，则f (x )的极大值为() A.6e 3 B ．－2eC ．－2e D.4e 2答案 A解析因为f (x )＝(x 2－a )e x ，所以f ′(x )＝(x 2＋2x －a )e x ，由f′(x)＝(x2＋2x－a)e x＝0，得x2＋2x－a＝0，由函数f(x)＝(x2－a)e x的两个极值点之积为－3，则由根与系数的关系可知，－a＝－3，即a＝3，所以f(x)＝(x2－3)e x，f′(x)＝(x2＋2x－3)e x，当x<－3或x>1时，f′(x)>0；当－3<x<1时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，－3)上单调递增，在(－3,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)的极大值为f(－3)＝6 e3.12．函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在区间[－1,2]上的最大值为3，最小值为－29(a>0)，则a，b的值为()A．a＝2，b＝－29 B．a＝3，b＝2C．a＝2，b＝3 D．以上都不对答案 C解析函数f(x)的导数f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，因为a>0，所以由f′(x)<0，计算得出0<x<4，此时函数单调递减，由f′(x)>0，计算得出x>4或x<0，此时函数单调递增，即函数在[－1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，即函数在x＝0处取得极大值同时也是最大值，则f(0)＝b＝3，则f(x)＝ax3－6ax2＋3，f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3，则f(－1)>f(2)，即函数的最小值为f(2)＝－16a＋3＝－29，计算得出a＝2，b＝3.13．(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则() A．a<b B．a>bC．ab<a2D．ab>a2答案 D解析当a>0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图1所示，观察可知b>a.图1当a <0时，根据题意画出函数f (x )的大致图象，如图2所示，观察可知a >b .图2综上，可知必有ab >a 2成立．14．(2022·河南多校联考)已知函数f (x )＝2ln x ，g (x )＝x ＋2，若f (x 1)＝g (x 2)，则x 1－x 2的最小值为______．答案 4－2ln 2解析设f (x 1)＝g (x 2)＝t ，即2ln x 1＝t ，x 2＋2＝t ，解得x 1＝2e t ，x 2＝t －2，所以x 1－x 2＝2e t －t ＋2，令h (t )＝2e t －t ＋2，则h ′(t )＝21e 2t －1，令h ′(t )＝0，解得t ＝2ln 2，当t <2ln 2时，h ′(t )<0，当t >2ln 2时，h ′(t )>0，所以h (t )在(－∞，2ln 2)上单调递减，在(2ln 2，＋∞)上单调递增，所以h (t )的最小值为h (2ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2＝4－2ln 2，所以x 1－x 2的最小值为4－2ln 2.15．(多选)已知函数f (x )＝x ln x ＋x 2，x 0是函数f (x )的极值点，以下几个结论中正确的是( )A ．0<x 0<1eB ．x 0>1eC ．f (x 0)＋2x 0<0D ．f (x 0)＋2x 0>0答案 AD解析函数f (x )＝x ln x ＋x 2(x >0)，∴f ′(x )＝ln x ＋1＋2x ，∵x 0是函数f (x )的极值点，∴f ′(x 0)＝0，即ln x 0＋1＋2x 0＝0，∴f ′⎝⎛⎭⎫1e ＝2e >0，当x >1e时，f ′(x )>0， ∵当x →0时，f ′(x )→－∞，∴0<x 0<1e，即A 正确，B 不正确； f (x 0)＋2x 0＝x 0ln x 0＋x 20＋2x 0＝x 0(ln x 0＋x 0＋2)＝x 0(1－x 0)>0，即D 正确，C 不正确．16．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a ln x (a >0)．(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，x 1<x 2，不等式f (x 1)≥mx 2恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝2x －2＋a x ＝2x 2－2x ＋a x，x >0，一元二次方程2x 2－2x ＋a ＝0的Δ＝4(1－2a )，①当a ≥12时，f ′(x )≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当0<a <12时，令f ′(x )＝0，得x 1＝1－1－2a 2>0，x 2＝1＋1－2a 2>0，所以当0<x <1－1－2a 2时， f ′(x )>0，f (x )单调递增，当1－1－2a 2<x <1＋1－2a 2时， f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x >1＋1－2a 2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．综上所述，当a ≥12时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，当0<a <12时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－2a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－2a 2，＋∞. (2)由(1)知，0<a <12，x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝a 2，则0<x 1<12<x 2，由f (x 1)≥mx 2恒成立，得x 21－2x 1＋a ln x 1≥mx 2，即(1－x 2)2－2(1－x 2)＋2(1－x 2)x 2ln(1－x 2)≥mx 2，即m ≤x 2－1x 2＋2(1－x 2)ln(1－x 2)，记h (x )＝x －1x＋2(1－x )ln(1－x )， 1>x >12，则h ′(x )＝1x 2－2ln(1－x )－1>0⎝⎛⎭⎫1>x >12，故h (x )在⎝⎛⎭⎫12，1上单调递增，h ⎝⎛⎭⎫12＝－32－ln 2，故m ≤－32－ln 2.。

利用导数研究函数的极值最值。我的公开课导学案

(2)将第一步中求得的极值与f(a),f(b)比较,得到函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值.
1. (选修2 2P319练习1改编)函数y=x2-4x+3在R上有极值,该值的大小为.
2. (选修1 1P80习题8改编)函数y=x3-3x+9的极小值是.
3. (选修1 1P76习题2改编)函数f(x)=x3+3x2+4x-a的极值点有个.
(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)若|a|>1,求f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值.
课
堂
小
结
检
测
反
馈
1.函数f(x)=x3-3x+1,x∈[0,2]的最大值为.
2.已知函数f(x)的导函数为f'(x)=x2-x,则使得函数f(x)取得极大值的x=.
3.设函数f(x)= +ln x,则函数f(x)的极小值点为x=.
课
题
第19课时利用导数研究函数的极值、最值
主备人
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学
习
目
标
1.理解极值、最值的定义，理解极值与最值之间的关系。
2.利用导数求函数极值、最值的一般步骤。
学习
重点
1.理解极值、最值的定义，理解极值与最值之间的关系。
2.利用导数求函数极值、最值的一般步骤。
学习
难点
利用导数求函数极值、最值的一般步骤。
学习
(2)若函数f(x)有极大值28,求函数f(x)在[-3,3]上的最小值.
练习巩固
1.函数y=x3-3x2+5,x∈[-2,3]的值域为.
2.已知函数f(x)= x2+lnx,则f(x)在区间[1,e]上的最大值是.

高中数学《函数极值,最值与导数》导学案

数学选修2-2导学案
二、认识新知（一）、导数与极值
问题：如图表示跳水运动员，高度h 随时间t 变化的函
数
的图象
结论：
由图象我们知道，)(t h 在a t =处有极大值，此时：
函数)(t h 在a 处0)(='a h ，在a t =的附近当 0>t 时,函数h(t)单调递增，0)(>'t h ; 当 0<t 时,函数h(t)单调递减, 0)(<'t h 。

2
() 4.9 6.510h t t t =-++
思考：
【问题】：对于任意的一般函数)(x f ，如果在某一点处有极值，在该点处，导数有什么规律？请大家观察下列图象回答一下问题：
问题1：函数)(x f y =在点b a ,的函数值与这些点附近的点的函数值有什么关系？
问题2：函数)(x f y =在点b a ,处的导数是多少？问题3：在点b a ,处函数)(x f y =的导数有什么规律？
结论：
1、在点a 处函数)(x f y =有极小值，此时： ①:点a 附近的点的函数值都大于)(a f ②：0)(='a f
③：在a 点的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f。

3《函数的最值与导数》(教案)

3.3.3《函数的最值与导数》（教案）[学习目标]（设计意图：使学生明确本节课要达到的目标）1．能够区分函数的极值与最值；2．会求闭区间上函数的最大（小）值(其中多项式函数一般不超过三次)．[使用说明与学法指导]1.上课前一天用20分钟阅读课本P96-P97，牢记基础知识，掌握基本题型，独立完成学案.2.上课前收回学案检查预习情况.A 类学生要求完成全部内容，B 类学生完成[温故知新]、[合作探究]、[方法总结]，C 类学生要求完成[温故知新]、[合作探究].自学时要求学生列出问题的思路、要点，明确自己的疑问，以备小组合作讨论解决.3. 合作探究要求:人人参与，热烈讨论，大声表达自己的思想;组长控制好节奏，先一对一分层讨论，再小组内集中讨论;没解决的问题组长记录好，准备质疑．4.展示要求：口头展示，声音洪亮清楚；书面展示要分层次、要点化，书写认真规范；非展示同学巩固基础知识、整理落实学案，做好记录；不浪费一分钟，组长做好安排和检查.5.点评要求：先点评对错，再点评思路方法，应该注意的问题，力争进行必要的变形拓展；其他同学认真倾听、积极思考、记好笔记、大胆质疑．[温故知新] （设计意图：巩固导数的应用，为探讨新问题做铺垫）1.函数单调性与导数的关系设函数y=f (x )在其定义域的某个子区间D 内可导，； .2.极值的判定(1) 0'()f x 由正变负,那么0x 是 (2) 0'()f x 由负变正,那么0x 是 .3.求函数 f (x ) 的极值点和极值的步骤：4.预习作业：求函数31()443f x x x =-+，的极值，并画函数的大致图象. （设计意图：复习极值的求法，同时也为探讨新知中例题做铺垫）[背景引入] “西气东输”工程是我国距离最长、口径最大的输气管道，西起塔里木盆地的轮南，东至上海.实现了将新疆塔里木油田、吐哈油田丰富的油气资源输送到能源紧缺的华东华南地区，对于促进我国能源结构和产业结构调整，改善人民生活水平，推动和加快新疆及西部地区经济发展具有重大的战略意义. 问题：位于哈密地区伊吾县境内的全国大型煤化工及煤制天然气产业基地广汇新能源公司扩建工程需要一批天然气球形罐.已知半径为r 米的高压球形罐制造成本是212r π元，存储1立方高压天然气利润为2元，如何设计可以盈利？半径多大时可以使利润最大？（最大半径为10米）（设计意图：提高学生实际问题意识，形成“数学是有用的”这一课改理念，培养学生爱祖国爱新疆的情感，也为探究新知提供案例）(2)()0f x '<⇒(1)()0f x '>⇒“西气东输”工程示意图哈密郑州[合作探究] 1. 观察右边一个定义在区间[a ,b ]上的函数y =f (x )的图象：发现图中__________是极小值，______是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______.探究1: 函数在闭区间上的最大（小）值在哪些地方产生呢?探究2: 如果没有给出函数图象，怎样才能判断出最小值和最大值呢？（设计意图：与前面求极值的例题相互对应，便于区分极值和最值的概念）[方法总结]设函数f (x )在[a ,b ]上连续，求f (x )在[a ,b ]上的最大值与最小值的步骤如下：(1) ；(2) .总结：一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值[自主探究] （设计意图：鼓励学生自己独立思考区分极值和最值）探究1：函数的极值和最值有什么区别和联系？探究2：函数f (x )在开区间(a ,b )内有最值吗？若f (x )在(a ,b )内有唯一的极值,则此极值与最值有什么关系？“最值”与“极值”的区别和联系⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性． ⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一，也可能没有⑶若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．结论：1.一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．2.函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（可以不给学生讲）[分层作业] 1.必做作业：课本P98练习2,4，P99第5题（写作业本上）2. (2013大纲版.文)已知函数(1)求当a =,讨论函数f (x )的单调性;(2)当2a =-时，对于任意的，都有成立，求m 的取值范围.（设计意图：针对不同层次的学生布置不同作业，照顾学生个体差异，使有明显差异的各类学生都能在各自原有基础上得到实实在在的进步与提高） 31()443f x x x 2.求函数在[0,3]上的最大值与最小值.=-+32()331f x x ax x =+++[0,)x ∈+∞()f x m ≤[小组评价] 请根据评价标准公正地投票选出今天表现优秀的小组和同学.1.优秀小组：优秀个人：2.存在的问题：（1）（2）（3）（设计意图：采用激励机制，提升学生个人能力，增强学生集体荣誉感，实现共同进步）[习题设计]（1）已知]1,31[,126)(3-∈+-=x x x x f ，则函数的最大值为______，最小值为______. （2）已知]3,4[,27)(3-∈-=x x x x f ，则函数的最大值为______，最小值为______. 例2．已知函数a x x x f +-=2362)(在[－2，2]上有最小值－37，（1）求实数a 的值；（2）求)(x f 在[－2，2]上的最大值.由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．总结：一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值[课堂练习]1. 下列说法正确的是( ) （知识点1、2，易）A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2. 函数)(x f y =在区间],[b a 上的最大值是M ,最小值是m ,若m M =,则)('x f ( )A.等于0B.大于0C.小于0D.以上都有可能（知识点3，易）3. 函数()cos ,[0,]2f x x x x π=+∈的最大值为（） A.0 B.6π C.3π D.2π （知识点3，中）4. 在边长为60cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如右图），做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时？箱子容积最大？最大容积是多少？（知识点3，中）（为下节做铺垫）5. 设a 为实数，函数3()3,[2,3]f x x x a x =-++∈-（知识点4，难）（1）求()f x 的极值；（2）当a 在什么范围内取值时，曲线()y f x =与x 轴总有交点.[课后反思]本节课我的设计想突出三个特点：信息化特色、学生主体特色、问题背景化特色.所以引入、例题设计、图像演示都相应的做了精心的准备，取得了一些效果.不足之处是由于对学生不是很了解（不是自己的学生），学生程度也参差不齐，上课有些内容没有展开讲.以后要注意多了解学情，与学生积极沟通，精心设计每个环节，争取更完美.。

高二数学函数最大(小)值与导数导学案

课题1．函数的最大(小)值与导数（理科）课型：新讲课编号08姓名等级时间 2015-3-09主备人：二年级数学组备课组长段长署名使用说明及方法指导：1、课前达成预习教案，掌握基此题型；2、仔细限时规范书写，课上小组合作商讨，答疑解惑。

3、 A、 B 层所有掌握， C 层选做。

学习目标：1.理解最值的观点，认识函数的最值与极值的差别和联系．2．会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值．学习重、难点：1.相关函数的最值问题． (要点 )2.最值常与函数的极值以及函数的值域等联合考察．3.最值与函数的极值． (易混点 )使用说明及方法指导：1、预习课本 P29—31,联合函数极值弄清两则的差别与联系2、把课本记好此后在做本教案，不理解的部分做好标志温故夯基. 求函数f(x)的极值第一解方程f′ (x)＝ 0.当 f′ (x0)＝ 0 时，(1) 假如在 x0邻近的左边 ____________ ，右边 ___________，那么 f( x0)是函数的 _________；(2) 假如在x0邻近的左边 ____________ ，右边 __________ ，那么f( x0)是函数的 _________知新益能函数 f (x)在闭区间 [a， b]上的最值假如在区间 [a， b]上函数 y＝ f(x)的图象是一条连续不停的曲线，则该函数在[a ， b] 上一定能够取得 _________ 和 _________ ，并且函数的最值必在_________或 _______处获得．问题研究在区间 [ a， b]上，函数y＝ f(x)的图象是一条连续不停的曲线，在[a， b]上一定存在最值和极值吗？合作研究：研究一：求已知函数的最值求函数 y＝ f(x)在 [a， b]上的最值的步骤以下：(1)求函数 y＝ f(x)在 (a， b)内的极值；(2)将函数y＝ f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)， f(b)比较，此中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．例 1、求以下函数在给定区间上的最值：(1)f(x)＝ 2x3－ 3x2－ 12x＋ 5， x∈ [－ 2,3]；ππ(2)f(x)＝ sin2x－ x， x∈ [－2，2]．. 【思路点拨】要求区间[a，b]上函数的最值，只需求出函数在(a，b)内的极值，最后与端点处函数值比较大小即可．【解】(1)f′ (x)＝ 6x2－ 6x－ 12，令 f′ (x)＝ 0，则 6x2－ 6x－ 12＝ 0，即 x2－ x－ 2＝ 0，解得 x1＝－ 1， x2＝ 2.∵f(－ 1)＝ 12， f(2)＝－ 15， f(－ 2)＝ 1， f(3)＝－ 4，∴函数 f(x)＝ 2x3－ 3x2－ 12x＋ 5在 x∈ [－ 2,3]上的最大值为12，最小值为－ 15.2)f′ (x)＝ 2cos2x－ 1，令 f′ ( x)＝0，π πππ3ππ3π又 x∈ [－，]，得 x＝±，∵ f()＝－， f(－)＝－＋，226626626ππππππ又 f( )＝－， f (－ )＝，∴ [f(x)] max＝， [ f(x)]min＝－ .222222【思想总结】求解函数在固定区间上的最值，在娴熟掌握求解步骤的基础上，还须注意以下几点：(1)对函数进行正确求导；(2)研究函数的单一性，正确确立极值和端点函数值；(3)比较极值与端点函数值大小时，有时需要利用作差或作商，甚至要分类议论．变式训练1求以下各函数的最值．(1)f(x)＝－ x4＋ 2x2＋ 3， x∈ [－ 3,2]；－x x(2)f(x)＝ e－e，x∈ [0，a]，a为正常数．研究二、已知函数的最值求参数已知函数的最大值或最小值，也可利用导数，采纳待定系数法，列出字母系数的方程或方程组，解出字母系数，从而求出函数的分析式，从而能够研究函数的其余性质．例 2、 f(x)＝ ax3－ 6ax2＋ b(a>0) ， x∈ [ － 1,2]的最大值为 3，最小值是－ 29，求 a、 b 的值．【思路点拨】可先对 f(x)求导，确立 f(x)在 [－1,2]上的单一性及最值，再成立方程从而求得a， b 的值．【解】f′ (x)＝ 3ax2－ 12ax＝ 3a(x2－ 4x)．令 f ′ (x)＝ 0，得 x＝ 0， x＝ 4，∵ x∈ [－ 1,2]，∴ x＝ 0.∵a>0，∴ f(x)， f′ (x)随 x 变化状况以下表：x(－ 1,0)0(0,2)f′ (x)＋0－f(x)↗最大值 3↘∴当 x＝ 0时， f(x)取最大值，∴ b＝ 3.又 f (2)＝ 8a－ 24a＋ 3＝－ 16a＋ 3，f(－ 1)＝－ 7a＋ 3>f(2) ，∴当 x＝ 2 时，f(x)取最小值，－ 16a＋ 3＝－ 29，∴a＝ 2，∴ a＝ 2， b＝ 3.【思想总结】此题属于逆向研究题型．解这类问题的基本方法是待定系数法．从逆向思想出发，实现由已知向未知的转变，最后落脚在比较极值与端点值大小上，从而解决问题．变式训练2设2<a<1，函数 f(x)＝ x3－3ax2＋ b(－ 1≤ x≤ 1)32的最大值为1，最小值为－6，求常数 a， b. 2研究 3、与最值相关的恒成立问题不等式恒成即刻求参数的取值范围问题是一种常有的题型，这类题型的解法有多种，此中最常用的方法就是分别参数，而后转变为求函数的最值问题，在求函数最值时，能够借助导数求解．（ C ）例 3、已知 f(x)＝ x 3－ 1x 2－ 2x ＋ 5，当 x ∈ [－ 1,2]时， f(x)<m 恒成2立，务实数 m 的取值范围．【思路点拨】把 m>f(x)恒成立，转变为求f(x)在 [－ 1,2]上的最大值，只需m 大于此最大值即可．【解】∵ f(x)＝ x 3－ 1 x 2－ 2x ＋ 5，∴ f ′ (x)＝ 3x 2－ x － 2.2令 f ′ (x)＝ 0，即 3x 2－ x －2＝ 0，∴ x ＝1，或 x ＝－ 2. 3x－ 22 (－2， 1) 1(1,2)21(－ 1，－ 3)－ 3 3f ′ (x)＋ 0 －0 ＋ f(x)11 ↗157 ↘ 7 ↗72272∴当 x ＝－2时， f(x)获得极大值 f － 2 ＝522；3 3 27当 x ＝ 17 ＝ 11 ＝ 7.时， f(x)获得极小值 f(1) ＝ .又 f( －1) ， f(2)2 2∴ f(x)在 x ∈ [－ 1,2]上的最大值为 f (2)＝ 7， ∴要使 f(x)<m 恒成立，需 f(x)max <m ，即 m>7. ∴所务实数 m 的取值范围是 (7，＋∞ )．【思想总结】相关恒成立问题，一般是转变为求函数的最值问题．求解时要确立这个函数，看哪一个变量的范围已知，即函数是以已知范围的变量为自变量的函数．一般地， λ≥ f(x)恒成立 ? λ≥ [f(x)]max ； λ≤ f(x)恒成立 ? λ≤ [f(x)] min .变式训练 3、已知函数 f(x)＝ ax 4ln x ＋ bx 4 －c( x>0) 在 x ＝ 1 处获得极值－ 3－ c ，此中 a ， b ， c 为常数．若对随意 x>0，不等式 f(x) ≥－ 2c 2 恒成立，求 c 的取值范围．当堂检测：1．函数 f(x)＝ x 3－3x ＋ 3，当 x ∈ － 3， 5 时，函数 f( x)的最小值是 ()2 233B ．－ 5C ． 1D.89A. 882．函数 f(x)＝ 1x 3－ 2x 2 在 [－ 1,5] 上()332A ．有最大值 0，无最小值B ．有最大值 0，最小值－ 332D ．既无最大值也无最小值C ．有最小值－ 3 ，无最大值你3．若函数 f(x) ＝－ x 3＋ 3x 2＋ 9x ＋ a 在区间 [ － 2，－ 1]上的最大值为 2，则它在该区间上的最小值为()A ．－ 5B ． 7C ． 10D ．－194．已知函数 f(x)、g(x)均为 [a ，b] 上的可导函数，在[a ，b]上连续且 f ′ (x)<g ′ (x)，则 f(x)－g(x)的最大值为 ( )A ． f(a)－ g(a)B ． f(b)－ g(b)C ．f(a)－ g(b)D ．f(b)－ g(a)5．设函数f(x)＝ ax 3－ 3x ＋ 1(x ∈ R )，若关于随意的 x ∈ (0,1] 都有f(x) ≥ 0 成立，则实数 a 的取值范围为 ________．6．设 a ∈ R ，函数 f(x)＝ ax 3－ 3x 2，若函数 g(x)＝f(x)＋ f ′ (x) ，x∈ [0,2] 在 x ＝ 0 处获得最大值，则 a 的取值范围是 ________．（ B ）7．若方程 3x 4－ 4mx 3＋ 1＝ 0 没有实数根，务实数 m 的取值范围．（ C ） 8．已知函数 f(x)＝1＋ln x1x ，若函数在区间a ， a ＋2 (此中a>0)上存在最大值，务实数a 的取值范围．你曾落的泪，最都会成阳光，照亮脚下的路。

数学教案导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用

数学教案-导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用教案章节：一、函数的极值概念与判定1. 学习目标：理解函数极值的概念，掌握函数极值的判定方法。

2. 教学内容：介绍函数极值的定义，分析函数极值的判定条件，举例说明函数极值的判定方法。

3. 教学过程：(1) 引入函数极值的概念，解释函数在某一点取得最大值或最小值的意义。

(2) 讲解函数极值的判定条件，如导数为零或不存在，以及函数在该点附近的单调性变化。

(3) 举例说明函数极值的判定方法，如通过导数的正负变化来判断函数的增减性。

二、函数的最值问题1. 学习目标：理解函数最值的概念，掌握函数最值的求解方法。

2. 教学内容：介绍函数最值的概念，分析函数最值的求解方法，举例说明函数最值的求解过程。

3. 教学过程：(1) 引入函数最值的概念，解释函数在整个定义域内取得最大值或最小值的意义。

(2) 讲解函数最值的求解方法，如通过导数的研究来确定函数的极值点，进而求得最值。

(3) 举例说明函数最值的求解过程，如给定一个函数，求其在定义域内的最大值和最小值。

三、导数的综合运用1. 学习目标：掌握导数的综合运用方法，能够运用导数解决实际问题。

2. 教学内容：介绍导数的综合运用方法，分析导数在实际问题中的应用，举例说明导数的综合运用过程。

3. 教学过程：(1) 讲解导数的综合运用方法，如通过导数研究函数的单调性、极值、最值等。

(2) 分析导数在实际问题中的应用，如优化问题、速度与加速度的关系等。

(3) 举例说明导数的综合运用过程，如给定一个实际问题，运用导数来解决问题。

四、实例分析与练习1. 学习目标：通过实例分析与练习，巩固函数极值与最值的求解方法，提高导数的综合运用能力。

2. 教学内容：分析实例问题，运用函数极值与最值的求解方法，进行导数的综合运用练习。

3. 教学过程：(1) 分析实例问题，引导学生运用函数极值与最值的求解方法来解决问题。

(2) 进行导数的综合运用练习，让学生通过实际问题来运用导数，巩固所学知识。

《函数的最大(小)值与导数》参考教案

《函数的最大(小)值与导数》参考教案章节一：函数的导数与最大值1. 教学目标：让学生理解导数的定义和性质。

让学生学会使用导数来求函数的最大值。

2. 教学内容：导数的定义和性质。

利用导数求函数的最大值。

3. 教学步骤：引入导数的定义和性质，进行讲解和示例。

介绍利用导数求函数的最大值的方法，并进行讲解和示例。

章节二：函数的导数与最小值1. 教学目标：让学生理解导数的定义和性质。

让学生学会使用导数来求函数的最小值。

2. 教学内容：导数的定义和性质。

利用导数求函数的最小值。

3. 教学步骤：引入导数的定义和性质，进行讲解和示例。

介绍利用导数求函数的最小值的方法，并进行讲解和示例。

章节三：函数的单调性与最大值1. 教学目标：让学生理解函数的单调性。

让学生学会利用函数的单调性来求函数的最大值。

2. 教学内容：函数的单调性。

利用函数的单调性来求函数的最大值。

3. 教学步骤：引入函数的单调性，进行讲解和示例。

介绍利用函数的单调性来求函数的最大值的方法，并进行讲解和示例。

章节四：函数的单调性与最小值1. 教学目标：让学生理解函数的单调性。

让学生学会利用函数的单调性来求函数的最小值。

2. 教学内容：函数的单调性。

利用函数的单调性来求函数的最小值。

3. 教学步骤：引入函数的单调性，进行讲解和示例。

介绍利用函数的单调性来求函数的最小值的方法，并进行讲解和示例。

章节五：实际问题中的最大(小)值问题1. 教学目标：让学生学会将实际问题转化为函数的最大(小)值问题。

让学生学会利用导数和函数的单调性来解决实际问题中的最大(小)值问题。

2. 教学内容：实际问题转化为函数的最大(小)值问题的方法。

利用导数和函数的单调性来解决实际问题中的最大(小)值问题。

3. 教学步骤：介绍实际问题转化为函数的最大(小)值问题的方法，并进行讲解和示例。

介绍利用导数和函数的单调性来解决实际问题中的最大(小)值问题的方法，并进行讲解和示例。

章节六：利用导数求函数的最大值和最小值1. 教学目标：让学生能够熟练运用导数求解函数的最大值和最小值。

函数的单调性极值最值与导数导学案

学习好资料欢迎下载高二数学复习学案二导数与函数的单调性一目标定位 1、了解函数的单调性与导数的关系；2、能利用导数研究函数的单调性；3、会求函数的单调区间。

二、知识总结：1、函数的单调性与其导数正负的关系：在某个区间(),a b 内，如果，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；在某个区间(),a b 内，如果，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减；若恒有，则函数()y f x =在这个区间内是常用数函数。

2、利用导数判断函数值的增减快慢：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值，那么函数在这个范围内变化的快，这时函数的图象比较“陡峭”（向上或向下）；反之，若函数在这范围内导数的绝对值，那么函数在这个范围内变化的慢，这时函数的图象比较“平缓”。

三、考题类型：例1、（1）判断函数()31y ax a R =-∈在(),-∞+∞上的单调性。

（2）讨论函数()x xf x a a -=+（0a >且1a ≠）的单调性。

例2、求下列函数的单调区间：（1）()232ln f x x x =-；（2）()()21ln ,0f x x a x a x =-+->；（3）()22f x x x =-。

课后练习 1、若()()320f x ax bx cx d a =+++>为增函数，则（） A 240b ac -> B 、0,0b c >> C 、0,0b c => D 、230b ac -<2、函数()3229121f x x x x =-++的单调递减区间是（） A 、()1,2 B 、()2,+∞ C 、(),1-∞ D 、()()1,1,2,-+∞3、函数()32f x x ax =+-在区间()1,+∞内是增函数，则a ∈（）A 、[)3,+∞B 、[)3,-+∞C 、()3,-+∞D 、(),3-∞-4、函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间上是增函数（） A 、3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B 、(),2ππ C 、3,322ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、()2,3ππ5、已知对任意实数x 有()()f x f x -=-，()()g x g x -=，且0x >时，()()0,0f x g x ''>>，则0x <时（）A 、()()0,0f x g x ''>>B 、()()0,0f x g x ''><C 、()()0,0f x g x ''<>D 、()()0,0f x g x ''<<6、设()(),f x g x 在[],a b 上可导，且()()f x g x ''>，则当a x b <<时，有（） A 、()()f x g x > B 、()()f x g x < C 、()()()()f x g a g x f a +>+ D 、()()()()f x g b g x f b +>+7、函数()321363f x x x x =-+++的单调减区间是；单调增区间是。

3. 导数与极值最值导学案⑵——教案

3. 利用导数研究函数的极值与最值⑵教学目标⑴能规范严谨地利用导数求函数的极大值、极小值,会求闭区间上连续函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次)；⑵通过在区间函数单调递增（或递减）问题、恒成立问题及图象交点问题的探究，挖掘问题的本质——函数的最值（极值）问题，提高化归与转化能力，培养数形结合的意识．教学重点重点：利用导数解决函数的极值与最值问题难点：挖掘问题的本质，将在区间函数单调递增（或递减）问题、恒成立问题及图象交点问题转化为最值（极值）问题教学资源学案，实物投影教学过程㈠课前热身1. 函数()xf x xe =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程是 .20ex y e --=2.函数2()32ln 2x f x x x =-+的单调增区间是_______.(0,1),(2,)+∞ 3.设函数()ln f x x x =，则当x =________时函数有最小值．1e设计意图：通过三个问题回顾检测前面所复习知识的掌握情况，强化每个知识点所要注意的问题，为例题的思考方向做铺垫。

㈡例题讲解例1已知函数32()3f x x ax x =--.⑴若13x =-是()f x 的极值点，求()f x 在［1,a ］上的最大值； ⑵若()f x 在区间[1,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；⑶在⑴的条件下，是否存在实数b ，使得函数()g x bx =（()g x b =）的图象与函数()f x 的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b 的取值范围；若不存在，试说明理由. 设计意图：问题⑴是直接去求函数的最值，训练学生规范格式答题；问题⑵是在区间上函数的单调性问题，通过分析转化为不等式恒成立问题进而转化为函数的最值问题，并试图让学生多种方法解决问题；问题⑶是两个函数图象的交点问题，学生可能碰到的问题是直接去画两个函数的图象，但发现无法准确画出三次多项式函数的图象，从而无法精确求解，通过观察讨论发掘方程的结构特点进行由繁到简的转化，实现问题本质的挖掘。

函数的最值与导数的教学设计

函数的最值与导数的教学设计教学设计：函数的最值与导数一、教学目标：1.理解函数的最值的概念和意义；2.掌握求解函数最值的方法；3.理解导数的概念和意义；4.掌握使用导数求解函数极值的方法。

二、教学准备：1.教师准备：教材、黑板、彩色粉笔、示意图；2.学生准备：课本、笔、纸。

三、教学过程：1.引入（10分钟）教师先在黑板上画一个函数的图像，然后进行以下提问：（1）你知道什么是函数的最值吗？可以举一个例子吗？（2）如何求解函数的最大值和最小值呢？引导学生回忆起求解函数极值时的方法。

2.探究函数的最值（15分钟）教师通过示意图和具体例子引导学生进行研究，步骤如下：（1）首先，给定一个函数的图像，让学生思考如何确定函数的最值。

（2）引导学生观察函数图像的上升和下降趋势，从而找到最大值和最小值对应的点。

（3）让学生根据所给示意图中的函数图像进行练习，求解函数的最值。

3.总结求解函数最值的方法（10分钟）让学生自己总结求解函数最值的方法，教师进行点评和补充，强调以下几点：（1）函数最值是指函数图像中的最高点和最低点沿y轴的坐标；（2）找到函数图像上升和下降的趋势，根据趋势确定最值对应的点；（3）通过观察函数图像的凹凸性，判断最值的位置。

4.引入导数的概念（15分钟）（1）教师先在黑板上写出函数的定义：y=f(x)。

（2）然后，引导学生思考如果函数在特定点处的斜率可以表示函数在该点的特性。

（3）通过几个具体例子，教师解释导数的概念和含义：导数描述了函数图像在特定点处的斜率或变化率。

5.导数与函数的极值（15分钟）（1）引导学生思考是否可以通过求导数的方法来确定函数的极值。

（2）教师给出一组函数的图像，并让学生通过观察导数的变化情况来确定函数的极值点。

（3）通过几个具体例子，教师讲解使用导数求解函数极值的方法：a.求导，找到导函数的零点，即函数的驻点；b.比较函数的驻点和定义域的端点，确定函数的最值。

6.总结导数求解函数极值的方法（10分钟）让学生自己总结导数求解函数极值的方法，教师进行点评和补充，强调以下几点：（1）导数可以用来判断函数在特定点的增减性，从而确定极值点；（2）导数为0的点称为驻点，驻点可能是函数的极值点；（3）比较驻点和定义域的端点，确定最值位置。

高中数学《函数的最值与导数(1)》导学案

第一章导数及其应用 1.3.3函数的最值与导数（第1课时）一、学习目标1.理解函数最大值和最小值的概念.2.掌握求在闭区间[a ,b ]上连续函数f (x )的最大值和最小值的思想方法和步骤.3.掌握函数极值与最值的区别与联系.【重点、难点】求在闭区间[a ,b ]上连续函数f (x )的最大值和最小值的思想方法和步骤；二、学习过程【情景创设】观察下面函数()y f x =在区间[],a b 上的图象, 回答:(1) 在哪一点处函数()y f x =有极大值和极小值?(2) 函数()y f x = 在[],a b 上有最大值和最小值吗?如果有, 最大值和最小值分别是什么?【导入新课】问题1:函数的最值函数的最值分为函数的最大值与最小值,函数的最大值和最小值是一个整体性概念, 最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大者, 最小值必须是整个区间上的所有函数值中的最小者.问题2:函数的最值与极值的区别(1)函数的最大值、最小值是比较整个定义域内的函数值得出的,极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的;(2)函数的极值可以有多个,但最值只能有一个;(3)极值只能在区间内取得,最值可以在端点处取得;(4)有极值未必有最值,有最值也未必有极值;(5)极值有可能成为最值,最值只要不在端点处取得,那么最值必定是极值 .问题3:求函数f (x )在[a ,b ]上的最值的步骤:(1)求f (x )在开区间(a ,b )内所有使 f'(x )=0 的点.(2)计算函数f (x )在区间内使f'(x )=0的所有点及端点的函数值,其中最大的一个为最大值 ,最小的一个为最小值 .【典例分析】例1．求下列函数的最值：（1）26)(2++=x x x f （2）3126)(x x x f +-=]3,2[-∈x例2．求函数1431)(3+-=x x x f 在[0,3]上的最大值与最小值。

数学教案导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用

数学教案-导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用一、教学目标：1. 理解函数的极值与最值的概念，掌握求解函数极值与最值的方法。

2. 熟练运用导数性质，解决实际问题中的最值问题。

3. 提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的逻辑思维和数学素养。

二、教学内容：1. 函数的极值与最值概念。

2. 求解函数极值与最值的方法。

3. 导数在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：函数的极值与最值的概念，求解方法及实际应用。

2. 教学难点：导数在实际问题中的综合运用。

四、教学方法与手段：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究函数极值与最值的问题。

2. 利用多媒体课件，展示函数图像，直观地引导学生理解极值与最值的概念。

3. 结合实际问题，运用导数求解最值问题，培养学生的应用能力。

五、教学过程：1. 导入新课：复习函数的极值与最值概念，引导学生回顾求解方法。

2. 知识讲解：讲解求解函数极值与最值的方法，结合实例进行分析。

3. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

4. 案例分析：结合实际问题，运用导数求解最值问题，培养学生的应用能力。

6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识，提高学生的自主学习能力。

教案将继续编写后续章节，敬请期待。

六、教学评估：1. 课堂练习环节，通过学生解答练习题的情况，评估学生对函数极值与最值概念的理解以及求解方法的掌握程度。

2. 案例分析环节，通过学生分析实际问题、运用导数求解最值问题的过程，评估学生的应用能力和逻辑思维。

3. 课后作业的完成情况，评估学生对课堂所学知识的巩固程度和自主学习能力。

七、教学反思：1. 根据教学评估的结果，反思教学过程中是否存在不足，如有需要，调整教学方法，以提高教学效果。

2. 针对学生的掌握情况，针对性地进行辅导，解决学生在学习过程中遇到的问题。

3. 结合学生的反馈，优化教学内容，使之更符合学生的学习需求。

八、课后作业：1. 复习本节课所学的函数极值与最值的概念及求解方法。

高中数学 3.3.3函数的最值与导数精品导学案新人教A版选修1-1

湖南省邵阳市隆回县第二中学高中数学 3.3.3函数的最值与导数导学案新人教A 版选修1-1【学习目标】理解函数的最大值、最小值的概念；了解函数的极值与最值的区别与联系；会用导数求在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.【自主学习】1.观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．在[]b a ,上找出谁是极小值，谁是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是多少？最小值是多少?2.函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系是什么？能列表的应采用列表的方法.3.利用导数求函数的最大值和最小值的方法是什么？4.利用导数求函数的最值步骤是什么？5.不等式恒成立问题，常常转化为求函数的最值，f(x)≥c 对x ∈R 恒成立，常怎么转化？ f(x)≤c 对x ∈R 恒成立，常怎么转化？【自主检测】1．下列说法正确的是 ( )A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2．函数y=f(x)在区间［a,b ］上的最大值是M ，最小值是m,若M=m,则f ′(x) ( )A.等于0B.大于0C.小于0D.以上都有可能例1(1)求()31443f x x x =-+在[]0,3的最大值与最小值; (2)求函数5224+-=x x y 在区间[]2,2-上的最大值与最小值;(3)求函数x x x y -+=23在闭区间]1,2[-上的最大值与最小值．x 3x 2x 1b a x O y例2.已知函数f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值 (1)求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间; (2)若对x ∈[]12－，，不等式f （x ）<c 2恒成立，求c 的取值范围.【课堂检测】1. 设()326f x ax ax b =+－在区间12［－，］上的最大值为3，最小值为29-，且a>b,则 ( )A ．2,29a b =-=-B ．2,3a b ==C ．3,2a b ==D ．2,3a b =-=- 2. 已知f(x)=2x 3－6x 2+m(m 为常数)在［－2，2］上有最大值3，求此函数在［－2，2］上的最小值__________________.4．求函数23422x x x y --=在区间[]2,2-上的最大值与最小值，并画出函数的图像．【总结提升】1．函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

精品导学案：函数的最值与导数

精品导学案：3. 3.3函数的最值与导数课前预习学案一、预习目标1．借助函数图像，直观地理解函数的最大值和最小值概念。

2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数)(x f 必有最大值和最小值的充分条件。

3．掌握求在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 的最大值和最小值的思想方法和步骤。

二、预习内容1.最大值和最小值概念2.函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系3.连续函数在闭区间上求最值的步骤三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标1．借助函数图像，直观地理解函数的最大值和最小值概念。

2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数)(x f 必有最大值和最小值的充分条件。

3．掌握求在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 的最大值和最小值的思想方法和步骤。

学习重难点：导数与函数单调性的关系。

二、学习过程 (一)知识回顾：1．极大值、极小值的概念：2．求函数极值的方法：（二）探究一：例1．求函数1431)(3+-=x x x f 在[0,3]上的最大值与最小值。

你能总结一下，连续函数在闭区间上求最值的步骤吗？变式：1 求下列函数的最值：（1）已知]1,31[,126)(3-∈+-=x x x x f ，则函数的最大值为______，最小值为______。

（2）已知]2,1[,26)(2∈--=x x x x f ，则函数的最大值为______，最小值为______。

（3）已知]3,3[,27)(3-∈-=x x x x f ，则函数的最大值为______，最小值为______。

（4）]2,1[,3)(3∈-=x x x x f 则函数的最大值为______，最小值为______。

变式：2 求下列函数的最值：（1）26)(2++=x x x f （2）3126)(x x x f +-=探究二：例2．已知函数a x x x f +-=2362)(在[－2，2]上有最小值－37，（1）求实数a 的值；（2）求)(x f 在[－2，2]上的最大值。

函数的最值与导数教案

函数的最值与导数教案导数是微积分中非常重要的概念，它在函数的最值问题中有着重要的应用。

在教授函数的最值与导数的过程中，我们可以通过引入实际问题、图形分析和计算等多种方法来帮助学生理解和掌握这一知识点。

一、引入实际问题为了让学生更好地理解函数的最值与导数的概念，可以通过引入一些实际问题来展开教学。

例如，我们可以以汽车行驶问题为例，假设一个汽车在一段时间内的行驶路程与时间的关系可以用函数来表示。

我们可以让学生思考，如何通过这个函数来确定汽车在这段时间内的行驶距离的最大值或最小值。

这样，学生就可以通过思考这个问题来认识到函数的最值与导数之间的关系。

二、图形分析三、导数的定义在图形分析之后，我们可以引入导数的定义，并通过具体的例子来讲解导数的计算方法和意义。

我们可以以函数的最大值和最小值为例，讲解如何通过导数来确定函数的最值点。

我们可以让学生计算函数在极值点的导数，然后通过导数的正负来判断极值点是最大值还是最小值。

同时，我们还可以让学生通过对导数的计算，来确定函数的最大值或最小值的具体数值。

四、练习题与解答在讲解完导数的定义之后，我们可以通过一些练习题来帮助学生巩固所学内容。

我们可以选择一些经典的函数最值问题，并通过计算导数来解答这些问题。

例如，我们可以让学生计算一个函数的导数，并通过导数的计算结果来确定其最大值或最小值。

同时，我们还可以给出一些函数最值问题，然后让学生自行计算函数的导数，并通过导数的计算结果来求解这些问题。

通过引入实际问题、图形分析和计算练习等多种教学方法，可以帮助学生更好地理解和掌握函数的最值与导数的概念。

同时，我们还可以通过丰富的例子和练习题，来增加学生对函数最值与导数的应用能力。

通过灵活运用这些教学方法，相信学生会对函数的最值与导数有一个更加深入的理解。

函数的最值与导数教学设计

函数的最值与导数教学设计导数是微积分中的一个重要概念，对于理解和研究函数的性质和变化规律起着至关重要的作用。

而函数的最值是函数在定义域内取得的最大值和最小值，求解函数的最值是微积分中一个重要的应用问题。

本篇教学设计将围绕函数的最值与导数展开，通过理论知识的讲解、实际问题的解决和问题讨论的形式，让学生深刻理解函数的最值与导数的概念和性质。

一、教学目标1.理解函数的最值概念，能够准确判定函数的最值存在与求解函数最值的方法。

2.理解导数的概念，能够准确计算函数的导数。

3.理解导数与函数最值之间的关系，能够应用导数理论解决函数最值问题。

4.培养学生的分析问题能力和解决问题的能力。

二、教学过程1.引入引导学生回忆最值的概念，提出一个实际问题，如：研究市场上一种产品的价格随时间变化的规律，要确定什么时候是最佳购买时间？引导学生讨论这个问题的解决思路。

2.理论讲解2.1函数的最值讲解函数的最大值和最小值的概念，并给出定义。

引导学生思考是否函数一定存在最大值和最小值，这个问题可以通过绘制函数图像进行讨论。

2.2导数的概念引入导数的概念，给出导数的定义。

通过图像展示和实例计算，解释导数对应于函数的变化率和切线的斜率。

2.3导数与函数的最值讲解导数与函数的最值之间的关系。

引导学生思考为什么在函数取得最值的点，导数等于零（可能是极大值或极小值）。

3.计算实例给出一些具体函数，引导学生计算函数的导数并分析函数的最值。

例题1：求函数f(x)=2x^3-3x^2的最大值和最小值。

例题2：设函数g(x)=x^3-3x+1，求g(x)在[-2,2]上的最大值和最小值。

4.分组讨论把学生分成小组，组内讨论以下问题：（1）在什么条件下，函数的最值可以通过导数求解？（2）函数导数为零时，函数一定存在最值吗？（3）函数存在最值时，导数一定等于零吗？5.综合练习提供一系列函数，让学生综合应用函数最值与导数的知识，解决一些复杂的函数最值问题。

高中数学《函数的极值与导数》导学案

3．3.2函数的极值与导数1．函数的极值定义设函数f(x)在点x0及其附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有□01 f(x)≤f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的一个□02极大值，记作y极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有点都有□03f(x)≥f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的一个□04极小值，记作y极＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值．小值2．函数极值的判定当函数f(x)在点x0处连续时，判断f(x0)是否存在极大(小)值的方法是：(1)如果在x0附近的左侧□05f′(x)>0，右侧□06f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧□07f′(x)<0，右侧□08f′(x)>0，那么f(x0)是极小值；(3)如果f′(x)在点x0的左右两侧符号不变，则f(x0)□09不是函数f(x)的极值．3．求可导函数极值的步骤一般情况下，我们可以通过如下步骤求出函数y＝f(x)的极值点：(1)求出导数□10f′(x)；(2)解方程□11f′(x)＝0；(3)对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左、右两侧的符号[即f(x)的单调性]，确定□12极值：①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为□13极大值点；②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为□14极小值点；③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0□15不是极值点．函数极值点的两种情况(1)若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f′(x0)＝0，反过来不一定成立．(2)函数的不可导点也可能是函数的极值点，如：y＝|x|在x＝0处不可导，但x＝0是函数的极小值点，因此，函数取极值点只可能为f′(x)＝0的根或不可导点两种情况．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)＝x3＋ax2－x＋1必有2个极值．()(2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．()(3)函数f(x)＝1x有极值．()答案(1)√(2)√(3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极大值点的个数为________．(2)函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是________．(3)已知函数f(x)＝x2－2ln x，则f(x)的极小值是________．答案(1)2(2)a<0(3)1探究1求已知函数的极值例1求下列函数的极值．(1)f(x)＝3x＋3ln x；(2)f(x)＝x3－3x2－2在(a－1，a＋1)内的极值(a>0)．[解](1)函数f(x)＝3x＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－3x2＋3x＝3(x－1)x2.令f′(x)＝0得x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值3因此当x＝1时，f(x)有极小值，并且f(1)＝3.(2)由f(x)＝x3－3x2－2得f′(x)＝3x(x－2)，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由此可得：当0<a<1时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值；当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值；当1<a<3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值；当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．综上得，当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值；当1<a<3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a＝1或a≥3时，f(x)无极值．[条件探究]若将例1(2)中a＞0改为a＜0，结果会怎样？解由例1(2)中表可得：当－1<a<0时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值．当a≤－1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．综上得，当－1<a<0时，f(x)有极大值－2，无极小值．当a≤－1时，f(x)无极值．拓展提升求函数极值的方法一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法是：解方程f′(x)＝0，设解为x0，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．注：如果在x0附近的两侧f′(x)符号相同，则x0不是函数f(x)的极值点．例如，对于函数f(x)＝x3，我们有f′(x)＝3x2.虽然f′(0)＝0，但由于无论是x>0，还是x <0，恒有f ′(x )>0，即函数f (x )＝x 3是单调递增的，所以x ＝0不是函数f (x )＝x 3的极值点．一般地，函数y ＝f (x )在一点的导数值为0是函数y ＝f (x )在这点取极值的必要条件，而非充分条件．【跟踪训练1】求下列函数的极值． (1)f (x )＝2xx 2＋1－2； (2)f (x )＝x 2e －x .解 (1)函数的定义域为R . f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝－2(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)2.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：由上表可以看出，当x ＝－1时，函数有极小值，且极小值为f (－1)＝－3；当x ＝1时，函数有极大值，且极大值为f (1)＝－1. (2)∵f (x )＝x 2e x ，∴f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2e x ′＝2x ·e x －x 2e x (e x )2＝x (2－x )e x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：由上表可以看出，当x ＝0时，函数有极小值，且f (0)＝0；当x ＝2时，函数有极大值，且f (2)＝4e 2. 探究2 已知函数的极值求参数例2 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值． [解] 因为f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b .所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)．当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数；当x ∈(－∞，－3]和[－1，＋∞)时，f (x )为增函数．所以f (x )在x ＝－1时取得极小值，因此a ＝2，b ＝9. 拓展提升已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点：(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后还须验证根的合理性．【跟踪训练2】已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，f(x)在点x＝0处取得极值，并且在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性．(1)求实数b的值；(2)求实数a的取值范围．解(1)因为f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f(x)在点x＝0处取得极值，所以f′(0)＝0，解得b＝0.(2)令f′(x)＝0，即3x2＋2ax＝0，解得x＝0或x＝－23a.依题意有－23a>0.又函数在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性，所以必有2≤－23a≤4，解得－6≤a≤－3.探究3利用极值判断方程根的个数例3已知曲线f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a与x轴只有一个交点，求实数a的取值范围．[解]f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.列表：所以当x＝－1时，f(x)有极小值f(－1)＝a－5；当x＝3时，f(x)有极大值f(3)＝a＋27.画出大致图象，要使f(x)的图象与x轴只有一个交点，只需极大值小于0(如图1)或极小值大于0(如图2)．所以a－5>0或a＋27<0.解得a>5或a<－27.故实数a的取值范围为a>5或a<－27.拓展提升(1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题．一般地，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标．(2)事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．【跟踪训练3】设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，求实数a的取值范围．解(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝ 2.因为当x>2或x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<2时，f′(x)<0.所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单调减区间为(－2，2)．当x＝－2时，f(x)有极大值5＋42；当x＝2时，f(x)有极小值5－4 2.(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如右图所示，当5－42<a<5＋42时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同交点，即方程f (x )＝a 有三个不同的解．1.在极值的定义中，取得极值的点的横坐标称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值.2.函数的极值是函数的局部性质．可导函数f (x )在点x ＝x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x ＝x 0两侧f ′(x ) 符号相反.3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.1．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为( ) A ．1，－3 B ．1,3 C ．－1,3 D ．－1，－3答案 A解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋b ，∴f ′(1)＝3a ＋b ＝0.① 又当x ＝1时有极值－2，∴a ＋b ＝－2.② 联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3.2．设函数f (x )＝x e x ，则( ) A ．x ＝1为f (x )的极大值点 B ．x ＝1为f (x )的极小值点 C ．x ＝－1为f (x )的极大值点 D ．x ＝－1为f (x )的极小值点答案 D解析求导得f ′(x )＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)，令f ′(x )＝e x (x ＋1)＝0，解得x ＝－1，易知x ＝－1是函数f (x )的极小值点．3．函数f (x )＝x 3－6x 2－15x ＋2的极大值是________，极小值是________．答案 10 －98解析 f ′(x )＝3x 2－12x －15＝3(x －5)(x ＋1)，在(－∞，－1)，(5，＋∞)上f ′(x )>0，在(－1,5)上f ′(x )<0，所以f (x )极大值＝f (－1)＝10，f (x )极小值＝f (5)＝－98.4．函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为________．答案 y ＝－1e解析由题知y ′＝e x ＋x e x ，令y ′＝0，解得x ＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1e ，又极值点处的切线为平行于x 轴的直线，故方程为y＝－1e .5．已知函数f (x )＝x 3－3x ＋a (a 为实数)，若方程f (x )＝0有三个不同实根，求实数a 的取值范围．解令f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1. 当x <－1时，f ′(x )>0；当－1<x <1时，f ′(x )<0；当x >1时，f ′(x )>0.所以当x ＝－1时，f (x )有极大值f (－1)＝2＋a ；当x ＝1时，f (x )有极小值f (1)＝－2＋a . 因为方程f (x )＝0有三个不同实根，所以y ＝f (x )的图象与x 轴有三个交点，如图．所以极大值2＋a ＞0，极小值－2＋a ＜0，解得－2＜a ＜2，故实数a 的取值范围是(－2,2)．A 级：基础巩固练一、选择题1．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c ，其导函数图象如图所示，则函数f (x )的极小值是( )A．a＋b＋cB．8a＋4b＋cC．3a＋2bD．c答案 D解析由图象可以看出，当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(0,2)时，f′(x)>0，函数f(x) 单调递增；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．所以x＝0时，函数取得极小值，f(0)＝c.2．函数f(x)＝x3－3x2－9x(－2<x<2)有()A．极大值为5，极小值为－27B．极大值为5，极小值为－11C．极大值为5，无极小值D．极大值为－27，无极小值答案 C解析f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)．令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3(舍去)．当－2<x<－1时，f′(x)>0；当－1<x<2时，f′(x)<0，故当x＝－1时，f(x)有极大值，f(x)极大值＝f(－1)＝5，无极小值．3．设函数y＝f(x)在R上可导，则f′(x0)＝0是y＝f(x)在x＝x0处取得极值的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析以f(x)＝x3为例，f(x)＝x3在x＝0处导数为0，但不取得极值．故f′(x0)＝0是y＝f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．4．若函数f(x)＝2x3－9x2＋12x－a恰好有两个不同的零点，则a可能的值为()A．4 B．6 C．7 D．8答案 A解析由题意得f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)，由f′(x)>0得x<1或x>2，由f′(x)<0得1<x<2，所以函数f(x)在(－∞，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，从而可知f(x)的极大值和极小值分别为f(1)，f(2)，若欲使函数f(x)恰好有两个不同的零点，则需使f(1)＝0或f(2)＝0，解得a＝5或a＝4，而选项中只给出了4.故选A.5．设a∈R，若函数y＝e x＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则()A．a<－1 B．a>－1C．a<－1e D．a>－1e答案 A解析∵y＝e x＋ax，∴y′＝e x＋a，令y′＝e x＋a＝0，则e x＝－a. 即x＝ln (－a)，又∵x>0，∴－a>1，即a<－1.二、填空题6．函数f(x)＝13x3－x2－3x－1的图象与x轴的交点个数是________．答案 3解析f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)，函数在(－∞，－1)和(3，＋∞)上是增函数，在(－1,3)上是减函数，由f(x)极小值＝f(3)＝－10<0，f(x)极大值＝f(－1)＝23>0知函数f(x)的图象与x轴的交点个数为3.7．函数f(x)＝2x＋ln x的极小值为________．答案1＋ln 2解析由f(x)＝2x＋ln x知，f′(x)＝－2x2＋1x＝x－2x2，令f′(x)＝0，得x＝2.x，f′(x)，f(x)取值情况如下表：f (x )1＋ln 2∴f (x )极小值＝f (2)＝1＋ln 2.8．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－12内单调递增； ②函数y ＝f (x )在区间 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3内单调递减； ③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．其中正确的结论为________．答案 ③解析由导函数的图象知：当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－2,2)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(2,4)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；在x ＝－2时，f (x )取极小值；在x ＝2时，f (x )取极大值；在x ＝4时，f (x )取极小值．所以只有③正确．三、解答题9．已知函数y ＝ax 3＋bx 2，当x ＝1时，有极大值3. (1)求实数a ，b 的值； (2)求函数y 的极小值．解 (1)y ′＝3ax 2＋2bx .由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝3，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3，3a ＋2b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9.(2)由(1)，知y ＝－6x 3＋9x 2.所以y ′＝－18x 2＋18x ＝－18x (x －1)．令y ′＝0，解得x 1＝1，x 2＝0.所以当x <0时，y ′<0；当0<x <1时，y ′>0；当x >1时，y ′<0.所以当x ＝0时，y 有极小值，其极小值为0.10．已知a ∈R ，讨论函数f (x )＝e x (x 2＋ax ＋a ＋1)的极值点的个数．解 f ′(x )＝e x (x 2＋ax ＋a ＋1)＋e x (2x ＋a ) ＝e x [x 2＋(a ＋2)x ＋(2a ＋1)]．令f ′(x )＝0，所以x 2＋(a ＋2)x ＋2a ＋1＝0.※ ①当Δ＝(a ＋2)2－4(2a ＋1)＝a 2－4a >0，即a <0或a >4时，设※有两个不同的根x 1，x 2，不妨设x 1<x 2，所以f ′(x )＝e x (x －x 1)(x －x 2)．即f (x )有两个极值点．②当Δ＝0，即a ＝0或a ＝4时，设※有两个相等实根x 1，所以f ′(x )＝e x (x －x 1)2≥0，所以f (x )无极值．③当Δ<0，即0<a<4时，x2＋(a＋2)x＋2a＋1>0，所以f′(x)>0(x∈R)．故f(x)也无极值．综上所述，当a<0或a>4时，f(x)有两个极值点，当0≤a≤4时f(x)无极值点．B级：能力提升练1．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是()答案 C解析因为f(x)在x＝－2处取得极小值，所以在x＝－2附近的左侧，f(x)单调递减，即f′(x)<0；在x＝－2附近的右侧，f(x)单调递增，即f′(x)>0.故在x＝－2附近的左侧有y＝xf′(x)>0；在x＝－2附近的右侧有y＝xf′(x)<0.所以可排除选项A，B，D，只有选项C满足这一条件．而且当x＝0时，xf′(x)＝0，选项C也满足这一条件．故选C.2．已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－43处取得极值．(1)确定a的值；(2)若g(x)＝f(x)e x，讨论g(x)的单调性．解(1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x，因为f(x)在x＝－43处取得极值，所以f′⎝⎛⎭⎪⎫－43＝0，即3a·169＋2·⎝⎛⎭⎪⎫－43＝16a3－8 3＝0，解得a＝12.(2)由(1)得g(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫12x3＋x2e x，故g′(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫32x2＋2x e x＋⎝⎛⎭⎪⎫12x3＋x2e x＝⎝⎛⎭⎪⎫12x3＋52x2＋2x e x＝12x(x＋1)(x＋4)e x.令g′(x)＝0，解得x＝0，x＝－1或x＝－4.当x<－4时，g′(x)<0，故g(x)为减函数；当－4<x<－1时，g′(x)>0，故g(x)为增函数；当－1<x<0时，g′(x)<0，故g(x)为减函数；当x>0时，g′(x)>0，故g(x)为增函数．综上知g(x)在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数．。

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