四川省成都市蓉城名校联盟2021届高三第一次联考试题数学(文)含答案
2021-2022学年四川省成都市蓉城名校联盟高三(上)第一次联考数学试卷(文科)(附详解)
2021-2022学年四川省成都市蓉城名校联盟高三（上）第一次联考数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={y|y =x 12}，B ={y|y =2x }，则下列选项正确的是( )A. A ⊆BB. A =BC. A ∩B =AD. A ∪B =A2. 若命题p 为：函数f(x)=alg(x −1)+1(a ∈R)的图象过定点(2,1)，命题q 为：函数g(x)=tanx 在定义域内为增函数，则下列命题是真命题的是( )A. p ∧qB. p ∨qC. ￢p ∨qD. ￢p ∧q3. 已知定义在R 上的函数f(x)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )A. f(x)有极小值B. f(x)有最大值C. f(x)是奇函数D. f(x)是偶函数4. 已知函数f(x)={(x −1)2+1,x ≥12x−1,x <1，则f(log 319)=( )A. 10B. 2C. 14D. 185. 若向量a ⃗ =(3,√x)，|b ⃗ |=5，a ⃗ ⋅b⃗ =10，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60°，则x =( ) A. 16 B. 4 C. 7 D. √76. 函数f(x)=√mx 2+2x +2的定义域为R 的一个充分不必要条件是( )A. m ≥13B. m ≥14C. m ≥23D. m ≥257. 函数f(x)=−3cos2x +12sinx 的最大值为( )A. 15B. 12C. 9D. 68. 已知角θ的终边过点A(6,a)，且sin(θ−3π)=45，则tan(2θ−π4)=( )A. 1731B. −3117C. 317D. −7319. 第24届冬季奥运会将于2022年2月4日在北京开幕．为迎接冬奥会，某单位决定从156名员工中抽出12人参加奥运知识竞赛．工作人员先把员工随机编为1，2，3，…，156号，再用系统抽样法抽出12个号码．已知98号被抽中了，则被抽中的最小号码是( )A. 9B. 8C. 7D. 610. 把函数f(x)=5sin(x −π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍得到函数g(x)的图象，再把g(x)的图象向左平移π4个单位得到函数ℎ(x)的图象，则函数ℎ(x)图象的一条对称轴为( )A. x =7π4B. x =5π4C. x =3π4D. x =π411. 定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x +3)=f(−x)，当x ∈(3,92]时，f(x)=cosπx 2，则f(8)=( )A. 0B. −1C. 1D. √2212. 关于x 的方程9x −(a +1)3x +a 2−1=0有两个不相等的正根，则实数a 的取值范围是( )A. (−1,53)B. (1+√52,53) C. (1+√52,43) D. (1,53)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f(x)=xsinx +cosx −3x 2的极值点为______． 14. 函数f(x)=log √7(x 2−4x −45)的单调递减区间为______．15. 若函数g(x)=tan(πx3−π4)的最小正周期为a ，则函数f(x)=2sinxcosx −√3(a −1)cos 2x +√a 在[π3,3π4]上的值域为______．16. 已知b >a >1，且log a b −3log b a =2，则be a 的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，从下面条件①与②中任选一个作为已知条件，并完成下列问题： (1)求B ；(2)若AC =4，求△ABC 的周长的最大值． 条件①：bcosC −(2a −c)cosB =0； 条件②：(a +b)(sinA −sinB)=(a −c)sinC ．18.书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间(单位：分钟)进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．(1)求a；(2)根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数x−(单位：分钟)；(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的年轻人中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中至少有1人每天阅读时间位于[80,90)的概率．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，AB=AD=2，BC=CD=2√3，AC=4，PC=PD，且PC⊥PD，点M是PB的中点．(1)证明：PD//平面ACM；(2)求直线PA 与平面ABCD 所成角的正切值．20. 已知椭圆E ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，长轴长与短轴长之比为2，点P 是椭圆E 上的一动点，直线PF 1与椭圆E 的另一交点为Q ，△PQF 2的周长为16．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点T(2,0)的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，与直线x =8交于H 点，若HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AT ⃗⃗⃗⃗⃗ ，HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ2BT ⃗⃗⃗⃗⃗ .证明：λ1+λ2为定值．21. 已知函数f(x)=alnx −1x ，g(x)=x +ax ，其中a ∈R ．(1)若a =1，求曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若g(x)>f(x)对于任意的x ∈[1,e]恒成立，求实数a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为{x =√2sinα+√2cosαy =sinα−cosα(α为参数)，直线l 的参数方程为 {x =√22ty =√22t −1(t 为参数)．(1)求直线l 与曲线C 的普通方程，并说明曲线C 是哪一种曲线；(2)设A ，B 是直线l 与曲线C 的公共点，点P 的坐标为(1,0)，求|1|PA|−1|PB||的值．23. 已知函数f(x)=√4x 2+4mx +m 2+2|x −1|．(1)若m =2，求不等式f(x)≤6的解集；(2)若存在x 0∈R ，不等式f(x 0)≤m 2成立，求实数m 的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合A={y|y=x12}=[0,+∞)，B={y|y=2x}=(0,+∞)，所以B⊊A，所以A∩B=B，A∪B=A．故选：D．求出集合A，B，再由集合间的基本关系判断即可．本题主要考查集合的包含关系的判断与应用，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：由x−1=1，得x=2，y=1，∴函数f(x)=alg(x−1)+1(a∈R)的图象恒过定点(2,1)，故p为真命题，函数f(x)=tanx是其定义域上不连续，不是增函数，即命题q为假命题，故p∧q，￢p∨q，￢p∧q均为假命题，只有p∨q为真命题，故选：B．求出函数f(x)=alg(x−1)+1(a∈R)的图象恒过定点的坐标判断p，根据正切函数的图象和性质，判断命题q的真假，再由复合命题的真假判断逐一判断四个选项得答案．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了对数函数的图象和性质，正切函数的图象和性质，复合命题的真假判断，是基础题．3.【答案】A【解析】解：函数从左到右，先升再降，然后升，则可知函数f(x)有极小值，没有最大值；图象不关于原点对称，不是奇函数，也不是偶函数．故选：A．根据函数的图象即可得到结论．本题考查了函数图象的识别和应用，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：函数f(x)={(x −1)2+1,x ≥12x−1,x <1，则f(log 319)=f(log 33−2)=f(−2)=2−2−1=2−3=18． 故选：D ．利用对数的运算性质将问题转化为求解f(−2)，结合分段函数的解析式求解即可． 本题考查了函数的求值问题，主要考查的是分段函数求值，解题的关键是根据自变量的值确定使用哪一段解析式求解，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：∵a ⃗ =(3,√x)，|b ⃗ |=5，a ⃗ ⋅b ⃗ =10，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60°，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos60°=5√9+x ⋅12=10，解得x =7． 故选：C ．由已知求得|a⃗ |，再由数量积运算公式列式求解x 值． 本题主要考查向量数量积的运算与向量模的求法，是基础题．6.【答案】C【解析】解：若f(x)的定义域是R ， 则mx 2+2x +2≥0在R 恒成立， m =0时，显然不成立，m ≠0时，只需{m >0△=4−8m ≤0，解得：m ≥12，故函数f(x)=√mx 2+2x +2的定义域为R 的充要条件是{m|m ≥12}， 其充分不必要条件可以是：m ≥23， 故选：C ．根据充分必要条件的定义以及函数的定义域判断即可．本题考查了充分必要条件，考查求函数的定义域问题，是基础题．7.【答案】A【解析】解：f(x)=−3cos2x+12sinx=−3(1−2sin2x)+12sinx=6(sinx+1)2−9，∴当sinx=1时，函数f(x)的值最大，最大值为15．故选：A．化简f(x)=−3cos2x+12sinx=−3(1−2sin2x)+12sinx=6(sinx+1)2−9，利用二次函数图象求解．本题考查了三角函数求最值，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：因为sin(θ−3π)=45，所以sin(θ+π)=45，则sinθ=−45，由于角θ的终边过点A(6,a)，A点位于y轴右侧，故由三角函数定义可知，cosθ>0，所以cosθ=35，所以tanθ=−43，所以tan2θ=2tanθ1−tan2θ=2×(−43)1−(−43)2=247，所以tan(2θ−π4)=tan2θ−11+tan2θ=247−11+247=1731，故选：A．利用诱导公式求出sinθ，根据角θ的终边过点A(6,a)可知cosθ为正数，计算cosθ，从而求得tanθ，tan2θ，将所求式子用两角差正切公式展开，代入运算即可．本题考查了诱导公式，二倍角公式，两角和与差正切公式，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：某单位决定从156名员工中抽出12人参加奥运知识竞赛．抽样间隔为f=15612=13，工作人员先把员工随机编为1，2，3，…，156号，再用系统抽样法抽出12个号码．∵98号被抽中了，98=13×7+7，∴第8组抽中的是第7个号码，则被抽中的最小号码是7．故选：C．抽样间隔为f=15612=13，98号被抽中了，98=13×7+7，从而第8组抽中的是第7个号码，由此能求出被抽中的最小号码数．本题考查被抽中的最小号码的求法，考查系统抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】A【解析】解：把函数f(x)=5sin(x−π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍得到函数g(x)的图象，则g(x)=5sin(13x−π6)，又把g(x)的图象向左平移π4个单位得到函数ℎ(x)的图象，则ℎ(x)=5sin[13(x+π4)−π6]=5sin(13x−π12)，令13x−π12=π2+kπ,k∈Z，解得x=7π4+3kπ,k∈Z，所以当k=0时，x=7π4．故选：A．先利用三角函数的图象变换求出ℎ(x)的解析式，然后利用正弦函数的对称轴，列式求解即可．本题考查了三角函数的图象变换的理解与应用，三角函数性质的运用，主要考查了正弦函数对称轴方程的运用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：因为奇函数f(x)满足f(x +3)=f(−x)， 则f(x +3)=−f(x)，所以f(x +6)=−f(x +3)=f(x)， 故函数f(x)的周期为6， 因为当x ∈(3,92]时，f(x)=cosπx 2，所以f(8)=f(−4)=−f(4)=−cos 4π2=−cos2π=−1．故选：B ．先由已知条件判断出函数f(x)的周期性，利用周期和函数的奇偶性，将f(8)转化为−f(4)，然后由已知的解析式求解即可．本题考查了函数性质的综合应用，主要考查了函数周期性、奇偶性的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．12.【答案】B【解析】解：关于x 的方程9x −(a +1)3x +a 2−1=0有两个不相等的正根， 令t =3x ，所以t >1，则问题转化为方程t 2−(a +1)t +a 2−1=0有两个大于1的不等实数根t 1，t 2， 故{Δ=(a +1)2−4(a 2−1)>0t 1+t 2=a +1>2(t 1−1)(t 2−1)=t 1t 2−(t 1+t 2)+1=(a 2−1)−(a +1)+1>0，解得1+√52<a <53，所以实数a 的取值范围是(1+√52,53)．故选：B ．利用换元法，令t =3x ，所以t >1，将问题转化为t 2−(a +1)t +a 2−1=0有两个大于1的不等实数根t 1，t 2，由二次方程根的分布，列式求解即可．本题考查了函数与方程的综合应用，二次方程根的分布问题，换元法的理解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．13.【答案】0【解析】解：依题意，f′(x)=sinx+xcosx−sinx−6x=xcosx−6x，令f′(x)=x(cosx−6)=0，解得x=0，符合题意．∴函数f(x)的极值点为0．故答案为：0．求导，令f′(x)=0即可求得极值点．本题考查利用导数研究函数的极值点，是对基础知识的考查，考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】(−∞,−5)【解析】解：要使函数有意义，则x2−4x−45>0，即x<−5或x>9，设t=x2−4x−45，则当x<−5时，函数t=x2−4x−45单调递减，当x>9时，函数t=x2−4x−45单调递增，因为函数y=log√7t在定义域内为增函数，根据复合函数的单调性之间的关系可知，当x<−5时，函数f(x)单调递减，即f(x)的单调递减区间为(−∞,−5)，故答案为：(−∞,−5)．先求出函数的定义域，然后利用复合函数的单调性确定函数f(x)的单调递减区间．本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”．15.【答案】[−1,2]【解析】解：因为g(x)=tan(πx3−π4)的最小正周期为a，所以ππ3=a，即a=3，所以f(x)=2sinxcosx−√3(a−1)cos2x+√a=2sinxcosx−2√3cos2x+√3=sin2x−2√3×1+cos2x2+√3=sin2x−√3cos2x=2sin(2x−π3)，当x∈[π3,3π4]时，2x−π3∈[π3,7π6]，所以sin(2x−π3)∈[−12,1]，所以2sin(2x−π3)∈[−1,2]，即f(x)的值域为：[−1,2]，故答案为：[−1,2]．由g(x)的最小正周期求得a，代入f(x)化简得f(x)=2sin(2x−π3)，根据x的取值范围求出函数值域．本题考查了三角函数的周期性以及值域问题，属于基础题．16.【答案】27e3【解析】解：设t=log a b，则log b a=1t，因为log a b−3log b a=2，所以t−3t=2，整理得，t2−2t−3=0，所以t=3或−1，因为b>a>1，所以t=log a b>log a a=1，所以t=3，所以3=log a b，即b=a3，所以be a =a3e a，设f(x)=x3e x(x>1)，f′(x)=3x2⋅e x−e x⋅x3(e x)2=3x2−x3e x=x2(3−x)e x，当x>3时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当1<x<3时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)的最大值为f(3)=33e3=27e3，故答案为：27e3．设t=log a b，则log b a=1t，由log a b−3log b a=2，得t2−2t−3=0，解得t，进而可得be a =a3e a，设f(x)=x3e x(x>1)，求导分析导数的正负，f(x)的单调性，最值，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．17.【答案】解：(1)选条件①，∵bcosC−(2a−c)cosB=0，由正弦定理可得：sinBcosC−(2sinA−sinC)cosB=0，则sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，即sin(B+C)=2sinAcosB，∵sinA≠0，∴cosB=12，∵B∈(0,π)，∴B=π3．选条件②，∵(a+b)(sinA−sinB)=(a−c)sinC．由正弦定理可得：(a+b)(a−b)=(a−c)c，即a2+c2−b2=ac，∴cosB=a2+c2−b22ac =12，∵B∈(0,π)，∴B=π3．(2)由余弦定理可得：b2=a2+c2−2accosB，即16=a2+c2−ac=(a+c)2−3ac≥(a+c)2−3×(a+c2)2=14(a+c)2，可得(a+c)2≤64，∴a+c≤8(当且仅当a=c时取等号)，故△ABC的周长的最大值为12．【解析】(1)利用正余弦定理，化简已知即可求得cosB，从而求得B；(2)由余弦定理可得：16=a2+c2−ac=(a+c)2−3ac≥(a+c)2−3×(a+c2)2，求得a+c≤8，即可求解．本题考查了正弦定理和余弦定理、均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)根据频率分布直方图得：(0.005+0.01+2a+0.045)×10=1，解得a=0.020，(2)根据频率分布直方图得：平均数x−=(55×0.01+65×0.02+75×0.045+85×0.02+95×0.005)×10=74，(3)由于[50,60)，[60,70)和[80,90)的频率之比为：1：2：2，故抽取的5人中[50,60)，[60,70)和[80,90)分别为：1人，2人，2人，记[50,60)的1人为a，[60,70)的2人为b，c，[80,90)的2人为A，B，故随机抽取2人共有(a,b)，(a,c)，(a,A)，(a,B)，(b,c)，(b,A)，(b,B)，(c,A)，(c,B)，(A,B)10种结果，其中至少有1人每天阅读时间位于[80,90)的包含7种，．故概率P=710【解析】(1)由所有小长方形面积之和=1，列方程求解a；(2)根据频率分布直方图中平均数计算公式进行运算；(3)列举符合条件的基本事件，用古典概型概率公式进行运算．本题考查由频率直方图中数字特征的计算，以及统计知识下的概率问题，属于基础题．19.【答案】解：(1)证明：连接BD交AC于点N，连接MN，∵AD=AB，CD=BC，∴AC为线段BD的中垂线，即N为BD的中点，∵M是PB的中点，故MN//PD，PD⊄平面AMC，MN⊂平面AMC，∴PD//平面 AMC ；(2)取CD 的中点O ，连接PO ，AO ， ∵PC =PD ，PC ⊥PD ， ∴PO ⊥CD ，PO =12CD =√3，∵平面PCD 平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD =CD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，故∠PAO 为直线PA 与平面ABCD 所成的角， ∵AD =2，CD =2√3，AC =4， ∴AD ⊥CD ，故A O =√7，又PO =√3， ∴tan∠PAO =POAO =√217， 故直线PA 与平面ABCD 所成角的正切值为√217．【解析】(1)连接BD 交AC 于点 N ，连接MN ，可证得MN//PD ，利用线面平行的判断定理即可证得；(2)取CD 的中点O ，连接PO ，AO ，可证得∠PAO 为直线PA 与平面ABCD 所成的角，再在△PAO 中求得tan∠PAO ．本题考查直线与平面所成的角，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题．20.【答案】(1)解：由题意可知，ab =2且4a =16，所以a =4，b =2， 故椭圆E 的方程为x 216+y 24=1；(2)证明：当直线l 为x 轴时，则λ1=2，λ2=−2，所以λ1+λ2=0； 当直线l 不为x 轴时，设直线l 的方程为x =ty +2，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立方程组{x =ty +2x 2+4y 2=16，可得(t 2+4)y 2+4ty −12=0， 所以y 1+y 2=−4tt 2+4,y 1y 2=−12t 2+4，(∗) 在直线l 中，令x =8，求得y =6t ， 所以H(8,6t )，因为HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−8,y 1−6t)，AT ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x 1,−y 1)，HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AT ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故{x 1−8=λ1(2−x 1)y 1−6t=−λ1y 1，则1−6ty 1=−λ1，因为HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−8,y 2−6t ),BT ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x 2,−y 2)，HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ2BT ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故{x 2−8=λ2(2−x 2)y 2−6t=−λ2y 2，则1−6ty 1=−λ2，所以−λ1−λ2=1−6ty 2+1−6ty 1=2−6(y 1+y 2)ty 1y 2，将(∗)代入上式，化简可得，−λ1−λ2=0， 所以λ1+λ2=0．综上所述，λ1+λ2为定值0．【解析】(1)由题意列出关于a ，b 的方程组，求出a ，b ，即可得到椭圆的方程； (2)先求出直线l 为x 轴时，λ1+λ2=0，当直线l 不为x 轴时，设直线l 的方程，与椭圆方程联立，得到韦达定理，然后求出点H ，由向量相等的坐标表示得到1−6ty 1=−λ1，1−6ty 1=−λ2，结合韦达定理计算λ1+λ2，即可证明结论．本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．21.【答案】解：(1)由题意知，f(x)=lnx −1x ，f(1)=−1，即切点为(1,−1)，f′(x)=1x +1x 2，f′(1)=2，故切线方程为y +1=2(x −1)，即2x −y −3=0；(2)由题意知，不等式x +ax >alnx −1x 对任意的x ∈[1,e]恒成立， 即x −alnx +a+1x>0对任意的x ∈[1,e]恒成立，设ℎ(x)=x −alnx +a+1x，x ∈[1,e]，ℎ′(x)=(x+1)(x−a−1)x 2，x ∈[1,e]，①当a +1≤1，即a ≤0时，ℎ′(x)≥0，ℎ(x)为增函数，∴ℎ(x)min =ℎ(1)=2+a >0，即a >−2，此时−2<a ≤0满足； ②当a +1≥e ，即a ≥e −1时，ℎ′(x)≤0，ℎ(x)为减函数， ∴ℎ(x)min =ℎ(e)=e −a +a+1e>0，即a <e 2+1e−1，此时e −1≤a <e 2+1e−1满足；③当1<a +1<e ，即0<a <e −1时，当x ∈[1,a +1]时，ℎ′(x)≤0，当x ∈(a +1,e]时，ℎ′(x)≥0， ∴只需ℎ(x)min =ℎ(a +1)=a +2−aln(a +1)>0， 即ℎ(x)min =a[2a −ln(a +1)+1]>0．设F(a)=2a −ln(a +1)+1，其中0<a <e −1，F(a)=2a −ln(a +1)+1在(0,e −1)上为单调递减函数，F(a)>F(e −1)=2e−1>0． ∴F(a)=2a −ln(a +1)+1>0，故0<a <e −1，ℎ(x)min =ℎ(a +1)=a +2−aln(a +1)>0． 综上所述，−2<a <e 2+1e−1．【解析】(1)把a =1代入函数解析式，求出原函数的导函数，得到函数在x =1处的导数，再求出f(1)的值，利用直线方程的点斜式得答案； (2)问题转化为x −alnx +a+1x>0对任意x ∈[1,e]恒成立，设ℎ(x)=x −alnx +a+1x，x ∈[1,e]，可得ℎ′(x)=(x+1)(x−a−1)x 2，x ∈[1,e]，然后分a +1≤1；a +1≥e ；1<a +1<e 三类求解使ℎ(x)>0成立的实数a 的取值范围．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求函数的最值，考查分类讨论思想，考查逻辑思维能力及运算求解能力，综合性强，难度大．22.【答案】解：(1)已知曲线C 的参数方程为{x =√2sinα+√2cosαy =sinα−cosα(α为参数)，转换为直角坐标方程为x 24+y 22=1．所以该曲线为以原点为中心，长轴为4，短轴为2√2的椭圆； (2)点P(1,0)直线l 的参数方程转换为：{x =1+√22t y =√22t(t 为参数)，代入x 24+y 22=1，得到32t 2+√2t −3=0， 所以t 1+t 2=−2√33，t 1t 2=−2，所以|1|PA|−1|PB||=|t 1+t 2||t 1t 2|=√23．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．23.【答案】解：(1)当m=2时，f(x)=|2x+2|+|2x−2|={−4x,x≤−1 4,−1<x<1 4x,x≥1，当x≤−1时，−4x≤6，解得−32≤x≤−1；当−1<x<1时，4≤6恒成立，解得−1<x<1；当x≥1时，4x≤6，解得1≤x≤32．综上所述，不等式的解集为{x|−32≤x≤32}；(2)因为函数f(x)=√4x2+4mx+m2+2|x−1|，所以f(x)=|2x+m|+|2x+2|，因为存在x0∈R，不等式f(x0)≤m2成立，只需要f(x)min≤m2，因为|2x+m|+|2x+2|≥|(2x+m)−(2x−2)|=|m+2|，等号成立的条件为(2x+m)(2x−2)≤0，则f(x)min=|m+2|，所以m2≥|m+2|，当m≥−2时，m2≥m+2，即(m−2)(m+1)≥0，解得m≥2或−2≤m≤−1；当m<−2时，m2≥−(m+2)，即m2+m+2≥0，解得m<−2．综上所述，实数m的取值范围为(−∞,−1]∪[2,+∞)．【解析】(1)利用绝对值得定义去掉绝对值，将函数转化为分段函数，然后分x≤−1，−1<x<1，x≥1三种情况，分别求解不等式即可；(2)先将函数f(x)进行化简变形，然后将问题转化为f(x)min≤m2，利用绝对值不等式的结论求出f(x)min，得到m2≥|m+2|，求解不等式即可．本题考查了含有绝对值函数的应用，不等式恒成立问题的求解，对于含有绝对值的函数，常见的解法是利用绝对值的定义去掉绝对值，将函数转化为分段函数进行求解，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．。
2021届四川省成都市蓉城名校联盟高三第一次联考试题 数学(文)
2021届四川省成都市蓉城名校联盟高三第一次联考试题 数学（文）注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡，上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”。
2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集为实数集R ，集合A ＝{x|0≤x ≤4}，B ＝{x|x 2－8x ＋15>0}，则A ∩(UB)＝A.[4，5]B.[0，3]C.[3，4]D.(3，4) 2.已知复数z ＝21i-，则|z|＝ A.1 B.2 C.3 D.23.命题p ：“∀x ∈(0，2π)，sinx<tanx ”的否定⌝p 为 A.∀x ∈(0，2π)，sinx ≥tanx B.∀x ∈(0，2π)，sinx>tanxC.∃x 0∈(0，2π)，sinx 0≥tanx 0D.∃x 0∉(0，2π)，sinx 0≥tanx 0"4.由于美国对华为实施禁令，华为手机的销售受到影响，现统计出今年x 月份(x ∈{6，7，8，9，10})的销售量y(单位：万台)的一组相关数据如下表若变量x ，y 具有线性相关性，x ，y 之间的线性回归方程为y ＝－20x ＋a ，则预计今年11月份的销量为( )万台。
A.580B.570C.560D.5505.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3，a 7是方程x 2－8x －13＝0的两根，则S 9＝ A.80 B.72 C.40 D.366.已知tan(a ＋2π)＝－12，则2sin cos cos sin αααα+-＝A.－4B.4C.5D.－57.已知x ，y 满足|x|＋|y|≤1，则事件“x 2＋y 2≤12”的概率为 A.8π B.4π C.1－8π D.1－4π 8.“m ∈(0，13)”是“函数f(x)＝()3m 1x 4m x 1mx x l-+<⎧⎪⎨-≥⎪⎩，，是定义在R 上的减函数”的 A.既不充分也不必要条件 B.充分必要条件 C.充分不必要条件 D.必要不充分条件 9.已知lga ＋lgb ＝0且a<b ，则不等式log a x ＋log b (2x －1)>0的解集为 A.(1，＋∞) B.(0，1) C.(12，＋∞) D.(12，1) 10.已知三棱锥P －ABC ，PA ⊥平面ABC ，且|PAABC 中，|AC|＝1，|BC|＝2，且满足sin2A ＝sin2B ，则三棱锥P －ABC 外接球的体积为A.3 B.323πC.3D.83π 11.已知函数f(x)＝x ＋cosx ，x ∈R ，设a ＝f(0.3－1)，b ＝f(2－0.3)，c ＝f(log 20.2)，则A.b<c<aB.c<a<bC.b<a<cD.c<b<a12.已知函数f(x)的定义域为R ，且对任意x ∈R 都满足f(1＋x)＝f(1－x)，当x ≤1时，f(x)＝xlnx 0x 1e x 0<≤⎧⎨≤⎩，，(其中e 为自然对数的底数)，若函数g(x)＝m|x|－2与y ＝f(x)的图像恰有两个交点，则实数m 的取值范围是 A.m ≤0或m ＝e B.0<m ≤32 C.32<m<e D.m>e 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021-2022学年四川省成都市蓉城名校联盟高一下期期末联考文科数学试题
蓉城名校联盟2021~2022学年度下期高中2021级期末联考文科数学考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若1tan 2α=，则tan 2α=（）A.43B.43-C.4D.－42.若等比数列{}n a 满足410a =，则26lg a a =（）A.1B.2C.3D.1lg 2+3.已知α，β是空间中两个不重合的平面，a ，b 是空间中两条不同的直线，则下列结论正确的是（）A.a b ∥，b α⊂⇒a α∥B.αβ∥，a α⊂⇒a β∥C.a α∥，b α⊂⇒a b∥ D.a α∥，a β⊂⇒αβ∥4.已知某圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的表面积为（）A.2πB.3πC.4πD.5π5.若数列{}n a 满足11a =-，且111n na a +=-，则2022a =（）A.－1B.2C.12D.16.如图，在三角形OAB 中，若向量2BP PA = ，则向量OP =（）A.1433OA OB-+B.3122OA OB -C.1233OA OB +D.2133OA OB +7.设2sin 7cos7a =︒︒，sin 45cos32cos 45sin 32b =︒︒-︒︒，cos75c =︒，则（）A.a b c<< B.b c a<< C.b a c<< D.c a b<<8.函数()cos sin 6f x x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭在区间[]0,π上的最小值为（）A.1B.－1C.12D.12-9.在菱形ABCD 中，若3AB AD += ，则AC AB ⋅= （）A.92B.32C.3D.910.某几何体是由若干个棱长为1的正方体组合而成，其正视图与侧视图如图所示，则该几何体的体积不可能为（）A.3B.4C.5D.611.若各项均为整数的递增数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ≥，则满足50n S =的最大n 值为（）A.6B.7C.8D.912.已知ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin sin 2A Bb c B +=，AC 边上的高等于AC ，则b a =（）A.2B.12C.2D.233二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量a 与b的夹角为60°，2a = ，3b =r ，则a b ⋅= ______.14.已知θ是第一象限角，若4cos 5θ=，则cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.15.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则12231222n n a a a a a a ++++ 的最小值为______.16.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点E ，F ，G ，H ，I 分别为线段11A D ，11A B ，1B B ，BC ，11B D 的中点，连接1CD ，11B D ，1B C ，DE ，BF ，CI ，则下列正确结论的序号是______.①点E ，F ，G ，H 在同一个平面上；②平面11//CB D 平面EFD ；③直线DE ，BF ，CI 交于同一点；④直线BF 与直线1B C 所成角的余弦值为105.三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量()2,1a =r ，()1,3b =-- ，()2,c λ=r.（1）若()a b c -∥，求λ的值；（2）若()a b c +⊥ ，求b 与c的夹角.18.已知一次函数()12f x kx =-，数列{}n a 满足()()*n a f n n =∈N .（1）若()()24f n f n +-=，求n a ；（2）若232a =，求数列{}n a 的前n 项和n S .19.如图，在三棱锥P －ABC 中，点D 为PA 的中点，若点E 为PB 的中点.（1）求证：//AB 平面DCE ；（2）求三棱锥P －DCE 与多面体DECBA 的体积之比.20.在△ABC 中，若AC =6A π=，再从下列①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求BC 边上的中线长.条件①：BC ＝2；条件②：ABC S = ；条件③：△ABC 的周长为6.21.某地为迎接大学生运动会，拟在如图所示的扇形平地OAB 上规划呈平行四边形的区域OMPN 修建体育展览中心，已知扇形半径OA ＝60m ，圆心角3AOB π∠=，点P 为扇形弧上一动点，点M ，N 分别为线段OA ，OB 上的点，设POM α∠=.（1）请用α表示OM 的长度；（2）求平行四边形OMPN 面积的最大值.22.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13a =，{}n n S a +为常数列，且n T 为数列(){}11n n a +-的前n 项和.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若存在正整数i 、j （其中02j i <-≤），满足32022i j T T -<，求i j +的最小值.蓉城名校联盟2021~2022学年度下期高中2021级期末联考文科数学考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】D【9题答案】【答案】A【10题答案】【答案】D【11题答案】【答案】B【12题答案】【答案】A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【13题答案】【答案】3【14题答案】【答案】210【15题答案】【答案】23【16题答案】【答案】①③④三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【17题答案】【答案】（1）83；（2）34π【18题答案】【答案】（1）()*122n a n n =-∈N ；（2）22n 【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）1:3【20题答案】【答案】答案见解析.【21题答案】【答案】（1）3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）【22题答案】【答案】（1）1132n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭（2）22。
高考模拟练习—四川省成都市蓉城名校联盟2021-2022学年高三联考文科数学试题(含答案解析)
○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………四川省成都市蓉城名校联盟2021-2022学年高三联考文科数学试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号 一 二 三 总分 得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人 得分一、单选题 1．已知集合{1,0,1}A =-，{|3lg 10}x B x =≥，则A B =（ ） A ．{0} B ．{0,1} C ．{0,1}-D ．{1,0,1}-2．如图，某几何体的正视图和俯视图是两个全等的矩形，则该几何体不可能是（ ）A ．三棱柱B ．四棱柱C ．五棱柱D ．圆柱3．已知复数34i z =-，则在复平面内复数||z z +对应的点到虚轴的距离为（ ） A ．8B ．4C ．5D ．64．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A ．()8f x x=-B ．()5tan f x x =C ．()323f x x x =+D ．()f x x x =5．第24届冬季奥运会于2022年2月4日至20日在北京举行，中国代表团取得了9枚金牌，4枚银牌，2枚铜牌的历史最好成绩．2月8日，在自由式滑雪女子大跳台坡面障碍技巧比赛中，中国运动员谷爱凌在最后一跳中完美地完成了超高难度动作1620，得分反超对手，获得了金牌．已知六个裁判为谷爱凌这一跳的打分分别为95，95，95，93，94，94，评分规则为去掉六个原始分中的一个最高分和一个最低分，剩下四个有效分的平均数即为该选手的本轮得分．设这六个原始分的中位数为a ，方差为2S ；四个有效分的中位数为1a ，方差为21S ．则下列结论正确的是（ ） A ．1a a ≠，221S S < B ．1a a ≠，221S S < C ．1a a =，221S S <D ．1a a =，221S S <6．若等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d <”是“n S 有最大值”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知0ab >>0，，直线xy ba+=在x 轴上的截距为1，则9ab +的最小值为（ ） A ．3B ．6C ．9D ．108．已知双曲线22221(0,0)x y M a b a b-=>>：的一条渐近线与抛物线2N y x =：的一个交点为A ，且点A 到抛物线N 的焦点的距离为52，则双曲线M 的离心率为（ ） A B C D 9．2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，6时56分，飞船与天宫空间站完成交会对接．下图是飞船从发射到与空间站完成对接的飞行轨迹示意图，最里面和最外面的两个同心圆分别表示地球和空间站的运行轨道，夹在中间的4个椭圆从内到外表示飞船的初始轨道、转移轨道1、转移轨道2、转移轨道3，它们都以地球球心为一个焦点，且相邻两个椭圆的公共点为里面椭圆的远地点和外面椭圆的近地点．飞船从地面沿箭头方向发射后在近地点进入初始轨道，沿顺时针方向匀速飞行若干圈后在两个椭圆的公共点处变速变轨进入转移轨道1，如此依次进入转移轨道2、转移轨道3，最后沿箭头方向进入空间站所在轨道与空间站完成对接．根据以上信息，从火箭发射到飞船进入空间站轨道的过程中，飞船与地球表面的距离（高度）随时间变化的函数图象大致为下面四个图中的（ ）○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A ．B ．C ．D ．10．已知数列{}n a 满足122()3n n n a a n a *+-=∈=N ，，则8a =（ ）A ．511B ．502C ．256D ．25511．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，//AB DC ，AD AB ⊥，2DC =，1AD AB ==，直线PA 与平面ABCD 成45︒角．则四面体PBCD 外接球的体积为（ ）A 53B 203C 55D 20512．若过点1(,0)2的直线与函数()e x f x x =的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为（ ） A ．e 1+B ．12-C ．1D ．12第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明13．若x y ，满足约束条件12360230x x y x y ⎧⎪--⎨⎪+-⎩，，，则75z x y =-的最小值为_______．14．2022年3月成都市连续5天的日平均气温如下表所示：由表中数据得这5天的日平均气温y 关于日期x 的线性回归方程为ˆˆ0.45yx a =+，据此预测3月15日成都市的平均气温为_______℃．15．已知正ABC 的中心为O ，1AB =，点P 为ABC 的内切圆上的动点，则OA OP ⋅的取值范围为_______．16．已知函数()f x =，则下列结论正确的有_______． ①()f x 是周期函数，且最小正周期为2π； ②()f x 的值域为2]；③()f x 在区间π[π,π]()2k k k -∈Z 上为减函数； ④()f x 的图象的对称轴为π()x k k =∈Z ．三、解答题 17．某电商销售平台为了解“电商消费者的性别对购买生鲜食品是否有影响”，随机调查了400名购买生鲜食品的消费者以了解情况，得到如下信息：(1)400名消费者中男性购买生鲜食品、女性购买生鲜食品的频率分别是多少？ (2)能否有97.5%的把握认为“电商消费者购买生鲜食品与性别有关”，并说明理由．附：22()n ad bc K -=，n a b c d =+++．○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2()P K k0.050 0.025 0.010 0.005 k 3.8415.0246.6357.87918．在ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知2π23A b c ∠==，． (1)求tanB ； (2)求πsin(2+)6C ．19．如图，在五面体ABCDE 中，ABC 是边长为2的等边三角形，四边形BCDE 为直角梯形，DE ∥BC ，90BCD ∠=︒，1CD DE ==，5AD =．(1)若平面ADE 平面=ABC l ，求证：DE l ∥； (2)F 为线段BE 上一点，若三棱锥F ACD -3F 的位置，并说明理由．20．已知椭圆1C ：22221(0)x y a b a b +=>>2(2)-是椭圆1C 上的点．(1)求椭圆1C 的方程；(2)已知点P 为椭圆1C 上的任意一点，过点P 作1C 的切线与圆2C ：2212x y +=交于A ，B 两点，设OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k ⋅为定值，并求该定值． 21．已知函数ln ()11xf x x =--. (1)求()f x 的单调区间；(2)若()ln f x a x -对任意(1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩，（ϕ为参数）．以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为π2sin()34ρθ+=．(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的极坐标方程；A B ，○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※值．23．已知函数()|1||21|f x x x =++-．(1)画出函数()f x 的图象；(2)设函数()f x 的最小值为m ，正实数a b c ，，满足23a b c m ++=，证明：13ab bc ac ++≤．参考答案：1．B 【解析】 【分析】由对数的运算性质，并解指数不等式可得31{|log }2B x x =≥，再由集合的交运算求A B . 【详解】由31{|log }2B x x =≥，而311log 02-<<， 所以{0,1}A B =. 故选：B 2．C 【解析】 【分析】由简单几何体的三视图判断． 【详解】正三棱柱的三视图可以是两个全等矩形和一个三角形，本题几何体可能是A ， 正四棱柱的三视图可以是两个全等矩形和一个正方形，本题几何体可能是B ，五棱柱的三视图可以是两个矩形和一个五边形，五棱柱有五条侧棱，三视图中不可能只是矩形，矩形中还有其他棱的投影线，本题几何体不可能是C ，圆柱的三视图可以是两个全等矩形和一个圆，本题几何体可能是D ． 故选：C ． 3．A 【解析】 【分析】首先求出z 、z ，即可化简||z z +，再根据复数的几何意义写出||z z +再复平面内所对应的点的坐标，即可判断； 【详解】解：因为34i z =-，所以5z =，i 34z =+，所以||534i 84i z z +=++=+，则||z z +在复平面内所对应的点的坐标为()8,4，点()8,4到虚轴的距离为8； 故选：A 4．C 【解析】 【分析】利用基本初等函数的奇偶性与单调性逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，函数()8f x x=-为奇函数，但该函数在定义域内不单调，A 选项不满足条件； 对于B 选项，函数()5tan f x x =为奇函数，但该函数在定义域内不单调，B 选项不满足条件；对于C 选项，函数()323f x x x =+的定义域为R ，且()()()332323f x x x x x f x -=⋅--=--=-，所以，函数()323f x x x =+为奇函数，因为函数32y x =、3y x =均为R 上的增函数，故函数()323f x x x =+在R 上为增函数，C 选项满足条件；对于D 选项，函数()f x x =[)0,∞+，该函数为非奇非偶函数，D 选项不满足条件. 故选：C. 5．D 【解析】 【分析】由中位数求法分别求出a 、1a ，再根据方差公式求2S 、21S ，比较它们的大小即可得答案.【详解】由题设，评分从小到大为93,94,94,95,95,95，去掉一个最高、低分为94,94,95,95，所以1949594.52a a +===，平均数94.3x ≈，194.5x =， 所以62211()0.5576i i S x x ==-≈>∑4221111()0.254i i S x x ==-=∑.故选：D 6．A 【解析】【分析】根据等差数列前n 项和的函数性质及0d =的等差数列，判断题设条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即可知答案. 【详解】由等差数列前n 项和：21()22n d dS n a n =⋅+-⋅， 当0d <时，由n S 对应的二次函数性质：开口向下，即n S 有最大值； 若等差数列{}n a 是各项为0的常数列，n S 最大值也为0，此时0d =； 所以“0d <”是“n S 有最大值”的充分不必要条件. 故选：A 7．B 【解析】 【分析】由题意可得1ab =，然后利用基本不等式可求得9a b +的最小值 【详解】因为直线x y b a+=在x 轴上的截距为1， 所以10b a+=，即1ab =， 因为0a b >>0，，所以96a b +≥，当且仅当9a b =，即13,3a b ==时取等号，所以9a b +的最小值为6， 故选：B 8．C 【解析】 【分析】由题意，根据抛物线的定义可求出A 点坐标，可得双曲线渐近线的斜率，即可求出双曲线的离心率. 【详解】设00(,)A x y ，由抛物线方程2yx 知，焦点1(0,)4F ，准线方程为14y =-，由015||()42AF y =--=，解得094y =，所以032x =±，不妨取032x =，即39(,)24A ，所以双曲线一条渐近线的斜率934322OA bk a===，所以222222229131144c a b b e a a a +===+=+=，即e = 故选：C 9．B 【解析】 【分析】根据轨道运行描述及椭圆轨道的特点，判断与空间站完成对接时轨道变化情况排除A 、D ，同轨道上离地表高度的特点排除C ，即可得答案. 【详解】由图知：从轨道1的近地点进入轨道；轨道1进入轨道2的点为轨道1的远地点，轨道2的近地点； 轨道2进入轨道3的点为轨道2的远地点，轨道3的近地点； 轨道3进入轨道4的点为轨道3的远地点，轨道4的近地点；轨道4与空间站完成对接，轨道距离地表高度相对于轨道4远地点增大，排除A 、D ； 而在任一椭圆轨道上运行时，轨道距离地表高度不可能出现小于刚进入该轨道时的高度，排除C. 故选：B 10．D 【解析】 【分析】用累加法即可求解. 【详解】因为122()3n n n a a n a *+-=∈=N ，，所以232343787222a a a a a a -=-=-= 累加得：272378222222225212a a -⋅-=+++==-， 所以82252255a a =+=.故选：D11．C【解析】【分析】根据题中线面位置关系，可以确定四面体P BCD -的外接球球心为线段PC 的中点，再根据题中的数据求解出外接球的半径，最后根据球的体积公式计算体积，即可求解.【详解】由题意，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，可得PAD ∠即为直线PA 与平面ABCD 所成的角，所以45PAD ∠=︒，所以PAD △为等腰直角三角形，故1PD AD ==，在ABD △中，可得BD =又由//AB DC ，AD AB ⊥，2DC =，1AD AB ==，可得BC所以222BDBC DC +=，可得BD BC ⊥，取PC 的中点O ，可得12OP OD OC OB PC =====即外接球的半径为R = 所以四面体PBCD 外接球的体积为334433V R ππ==⨯=. 故选：C.12．D【解析】【分析】由已知，设出切点，写出切线方程，然后把点1(,0)2代入方程，解出切点坐标即可完成求解. 【详解】因为函数()e x f x x =，所以()(1)e x f x x =+'，设切点为000(,e )x x x ，则切线方程为：00000e (+1)e ()x x y x x x x -=-， 将点1(,0)2代入得000001e (+1)e ()2x x x x x -=-， 即0001(+1)()2x x x -=-，解得012x =-或01x =， 所以切点横坐标之和为11122-+= 故选：D.13．2【解析】【分析】画出该不等式组表示的平面区域，由几何意义得出最值.【详解】该不等式组对应的平面区域如下图所示：75z x y =-可化为755z y x =-，要使得z 最小，则直线755z y x =-的纵截距最大 由图可知，当直线755z y x =-过点()1,1A 时，z 最小，最小为752z =-= 故答案为：214．23.85【解析】【分析】求出样本中心点，代入回归直线方程，求得ˆa，继而可求得答案. 【详解】由题意得：89101112105x ++++== ，20.521.5 1.52222.521.65y ++++== ， 故ˆˆ21.60.4510,17.1aa =⨯+=， 则3月15日成都市的平均气温为ˆ0.451517.123.85y =⨯+=（℃），故答案为：23.8515．11[,]66- 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，得到133,0,cos ,sin 266A P αα⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用数量积运算求解. 【详解】 解：建立如图所示平面直角坐标系：则1333,,2A P αα⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以1333,,cos sin 266OA OP αα⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则311cos sin sin 1263OA OP πααα⎛⎫⋅=--=-+ ⎪⎝⎭， 所以OA OP ⋅的取值范围为11[,]66-，故答案为：11[,]66- 16．②③【解析】【分析】现将函数()f x 的解析式进行化简变形，利用三角函数的周期性即可判断①；利用正弦函数的有界性可判断②；利用正弦函数的单调性可判断③；利用正弦函数的对称轴可判断④.【详解】()22222sin f x x ⎡⎤==+=+⎣⎦， ()0f x ≥，()f x ∴易知()f x 的最小正周期为π，故①错误；[]sin 0,1x ∈，[]22sin 2,4x +∈，⎤⎦，②正确；当[π,0]x ∈-时，()f x =单调递减区间为π[,0]2-，再由周期为π，故③正确；直线ππ()2x k k Z =+∈也是()f x 图象的对称轴，故④错误． 故答案为：②③17．(1)男性34，女性14(2)有，理由见解析【解析】【分析】（1）直接进行数据分析，即可求出对应的频率；（2）套公式求出2K ，对照参数下结论.(1)由题意知：400名消费者中男性购买生鲜食品的人数是300人，∴频率为34． 400名消费者中女性购买生鲜食品的人数是100人，∴频率为14． (2)由题意得：()2240024010609030010033070K ⨯-⨯=⨯⨯⨯ 40077= 5.195≈ . 5.195 5.024>，∴有97.5%的把握认为“电商消费者中购买生鲜食品与性别有关”．18．(1)tan B (2)1314【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角，利用3C B π=-代入，可求得B 角正切值；（2）由同角间的三角函数关系求得sin ,sin B C ，由二倍角公式求得sin 2,cos 2C C ，再由两角和的正弦公式计算． (1) 2π3A ∠=，2b c =，πABC ++=， 由正弦定理得sin 2sin B C =，πsin 2sin 3B B ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭．化简得2sin B B ，即tan B (2)由tan B B ∠是锐角，sin B ∴=．sin 2sin B C =，sin C ∴=又C ∠是锐角，cos C ∴．sin2C ∴=11cos214C =．∴11113sin(2)sin 2cos cos 2sin 66614214C C C πππ+=+=⨯=． 19．(1)证明见解析(2)F 是线段BE 的中点，理由见解析【解析】【分析】（1）由DE ∥BC 结合线面平行的判定可得DE ∥平面ABC ，再由线面平行的性质可证得结论，（2）取BC 的中点O ，连接AO ，EO ，可得EO ⊥平面ABC ，从而可得AO ⊥平面BCDE ，然后利用等体积法可求得点F 到直线CD 的距离，再由直角梯形的性质可得点F 到直线CD 的距离，从而可得F 是线段BE 的中点(1)证明：DE ∥BC ，而DE ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，DE ∴∥平面ABC ，又∵平面ADE 平面=ABC l ，DE ⊂平面ADE ，DE ∴∥l ．(2)F 是线段BE 的中点． 理由如下：取BC 的中点O ，连接AO ，EO ．222CD CA AD +=，CD AC ⊥，又CD BC ⊥，AC BC C =， CD 平面ABC ． CO ∥DE CO DE =，∴四边形COED 是平行四边形．EO ∴∥CD ，EO ∴⊥平面ABC ．EO AO ∴⊥．又AO BC ⊥，BC EO O =，AO ∴⊥平面BCDE ，F ACD A FCD V V --==113334A FCD DCF DCF V S AO S -=⋅=⋅=，34DCF S ∴=． 设点F 到直线CD 的距离为h ，1324DCF S DC h =⋅=，32h ∴=． 在直角梯形BCDE 中，1DE =，2BC =，32h =， 故F 是线段BE 的中点．20．(1)22184x y +=；(2)证明见解析，定值为12-. 【解析】【分析】 （1）由离心率、点在椭圆上及椭圆参数关系求椭圆参数，即可得椭圆方程.（2）讨论AB 斜率，并设直线方程联立椭圆方程，应用韦达定理及斜率两点式得到12k k ⋅关于参数的表达式，进而化简即可证结论.(1)由题设，e =c a =222a c =，而222b a c =-，则22b c =，设椭圆1C 的方程为222212x y c c+=，又点(-在椭圆1C 上， 所以224212c c +=，可得：24c =，故椭圆1C 的方程为22184x y +=. (2)①当直线AB 斜率不存在时，直线AB 的方程为x =x =-若x =A ，2)B -，则1k =，2k =1212k k ⋅=-．若x =-(A -，(2)B --，则1k =2k =1212k k ⋅=-． ②当直线AB 斜率存在时，设直线AB ：y kx m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线与椭圆联立2228y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(12)4280k x kmx m +++-=，由直线与椭圆相切，则∆=2222164(12)(28)0k m k m -+-=，化简得：2248m k =+．直线与圆联立：2212y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得：()22212120k x kmx m +++-=， 12221km x x k -+=+，2122121m x x k -=+，(*)，而OA ，OB 的斜率分别为111y k x =，222y k x =， 所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++⋅===， 将(*)式代入：222222221222(12)2(1)121212k m k m m k k m k k m m --++-+⋅==--， 将2248m k =+代入：2122441882k k k k -+⋅==--． 综上：12k k ⋅为定值，该定值为12-． 21．(1)单调递减区间是()()0,1,1,+∞，无单调递增区间. (2)1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】【分析】（1）求出导函数211ln ()(1)x x f x x ---'=． 定义1()1ln g x x x =--，利用导数判断出()0g x ，得到()0f x '<，即可求得()f x 的单调区间；（2）把不等式()ln f x a x -对(1,)x ∞∈+恒成立转化为当(1,)x ∞∈+时，只需()1ln 10ax a x x -+-+≥.设()()1ln 1H x ax a x x =-+-+，(1,)x ∞∈+,二次求导得到()()211a x H x x +-''=，(1,)x ∞∈+． 对a 分类讨论：①当0a 时，②当102a <<时，③当12a ≥时三种情况分别求解，即可求出实数a 的取值范围.(1)函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)∞⋃+，211ln ()(1)x x f x x ---'=． 设1()1ln g x x x=--，则21()x g x x -'=， 当()()(0,1)0,,x g x g x >∈'为增函数；当(1,)()0()x g x g x ∞∈'+<，，为减函数.()g x ∴有最大值(1)0g =，()0g x ∴，()0f x '∴<，()f x ∴的单调递减区间是()()0,1,1,+∞，无单调递增区间．(2)不等式()ln f x a x -对(1,)x ∞∈+恒成立， 则(1)ln 101ax a x x x -+-+-． 当(1,)x ∞∈+时，只需()1ln 10ax a x x -+-+≥设()()1ln 1H x ax a x x =-+-+，(1,)x ∞∈+,则()10H =.()1ln 1a H x a x a x -'=++-，()10H '=， ()()211a x H x x+-''=，(1,)x ∞∈+． ①当0a 时，()0H x ''<'()0H x '<，()H x '递减，则()()10H x H ''<=，故()H x 递减， 所以()()10H x H <=，故0a 不满足．②当102a <<时，111a ->，故当11,1x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0H x ''<，则()H x '递减，则()()10H x H ''<=，，故当11,1x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()H x 递减， 所以()()10H x H <=，故102a <<不满足．③当12a ≥时，(1,)x ∞∈+，()0H x ''>则()H x '递增，()()10H x H ''>=，故()H x 递增，所以()()10H x H >=，满足题意．综上：不等式()ln f x a x -对任意(1,)x ∞∈+恒成立时，12a ≥． 所以实数a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．22．(1)30x y +-=，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=；【解析】【分析】（1）先将曲线C 的参数方程化为普通方程，然后转化为极坐标方程；利用极坐标方程和直角坐标方程转化公式，求得直线l 的直角坐标方程.（2）先求得AB ，然后根据圆的几何性质求得P 到直线AB 的距离的最大值，由此求得三角形PAB 面积的最大值.(1)由2cos 22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩，（ϕ为参数），得直角坐标方程为：22(2)4x y +-=． 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入得：4sin ρθ=．故曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=；直线l πsin()34θ+=3θθ⎫=⎪⎪⎝⎭， 所以sin cos 3ρθρθ+=，化为直角坐标方程为：30x y +-=．(2)曲线C 的直角坐标方程为：22(2)4x y +-=，圆心为(0,2)，2r =，圆心距d ==所以弦长为AB = 根据圆的几何性质可知P 到直线AB 的距离的最大值为2d r += ，PAB ∴的最大面积为11()22S AB r d =+==PAB ∴ 23．(1)作图见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）讨论x 的取值范围，脱掉绝对值符号，得到()f x 解析式，由此作出其图象； （2）由（1）可求得32m =，可得1a b c ++=，平方后结合 2222222,2,2a b ab b c bc a c ac +≥+≥+≥，即可证明结论.(1)由题意得：()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪>⎪⎩， 函数图象如图示：(2)证明：由（1）知：当12x =时，()f x 的最小值为32，32m ∴=， 1a b c ∴++=，2()1a b c ∴++=，即2222221a b c ab bc ac +++++= ，2222222,2,2a b ab b c bc a c ac +≥+≥+≥ ，当且仅当13a b c ===时取等号， 故222)22()(a b c ab bc ac ≥++++，即222a b c ab bc ac ++≥++，故22212223()a b c ab bc ac ab bc ac =+++++≥++，即13ab bc ac ++≤.。
成都市2021届高三联考一诊模拟数学(文)试题及答案
绝密★启用前文科数学注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题共60分）一、 选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ⋂= 问A ．B ．1(4，0)C ．D ．4.已知0.2log 2a =，，，则A.c a b <<B.a c b <<C.a b c <<D.b c a <<5、已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若,,αγβγ⊥⊥则//αβ C ．若//,//,m m αβ则//αβD ．若,,m n αα⊥⊥则//m n6.在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩按[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[)90,100分成六组，其频率分布直方图如图所示，则下列说法中错误的是（）. A ．成绩在[)70,80内的考生人数最多B ．不及格（60分以下）的考生人数约为1000人C ．考生竞赛成绩平均分的估计值为70.5分D ．考生竞赛成绩中位数的估计值为75分7.设函数()()321f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为 A ．41y x =-B ．24y x =-C ．42y x =-D ．26y x =-8.已知函数sin()y x ωϕ=+0,||2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭，且此函数的图像如图所示，则此函数的解析式可以是 A ．1sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．sin 28y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．1sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 9.下列命题中的真命题有A ．已知,a b 是实数，则“1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“33log log a b >”的充分而不必要条件B ．已知命题:0p x ∀>，总有(1)1xx e +>，则0:0p x ⌝∃≤，使得()011x x e +≤C ．设,αβ是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂.“//m β”是“//αβ”的充要条件D ．“”的否定为“2,2xx R x ∀∈≤”10．如图为某几何体的三视图，已知正视图为一正方形和其内切圆组成，圆半径为1，则该几何体表面积为 A ．162π-B ．16π+C ．16π-D ．162π+11.自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了．造化钟神秀，阴阳割昏晓．荡胸生层云，决毗入归鸟．会当凌绝顶，一览众山小．”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再人们出行的阻碍，伟大领袖毛主席曾作词：“桥飞架南北，天堑变通途”．在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等．如图为某工程队将A 到D 修建条隧道，测量员测得些数据如图所示（A ，B ，C ，D 在同一水平面内），则A ，D 间的距离为 A.651213-km B.65123-km C ．35123-kmD ．351213-km 12、已知双曲线,O 为坐标原点，P,Q 为双曲线上两动点，且,则面积的最小值为（）A ．20B ．15C ．30D ．25第II 卷（非选择题共90分）二、 填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
多面体的内切球外接球问题求解策略(原卷版)
专题32 多面体的“内切球”、“外接球”问题求解策略【高考地位】球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点，基本属于必考题目．而且球相关的特殊距离，即球面距离是一个备考的重点，要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，更应特别加以关注的．题目一般属于中档难度，往往单独成题，或者在解答题中以小问的形式出现．类型一球的内切问题万能模板内容使用场景有关球的内切问题解题模板第一步首先画出球及它的内切圆柱、圆锥等几何体，它们公共的轴截面；第二步然后寻找几何体与几何体之间元素的关系第三步得出结论.例1．如图1所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．图1【变式演练1】阿基米德是古希腊伟大的数学家、物理学家、天文学家，是静态力学和流体静力学的奠基人，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他在不知道球体积公式的情况下得出了圆柱容球定理，即圆柱内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积等于圆柱体积的三分之二．那么，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为（ ）A ．12B ．13C ．23D ．34【来源】2021年秋季高三数学开学摸底考试卷03（江苏专用）【变式演练2】正三棱锥的高为1，底面边长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．【变式演练3】【江西省乐平市第一中学2021届高三上学期联考理科】已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为54，6AB =，记三棱柱111ABC A B C -的外接球和内切球分别为球1O ，球2O ，则球1O 上的点到球2O 上的点的距离的最大值为（ ）A ．BC D【变式演练4】【湖南省衡阳市第八中学2020-2021学年高三上学期10月月考】攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖.也有单檐和重檐之分.多见于亭阁式建筑，园林建筑.以八中校园腾龙阁为例，它属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的3倍，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为（ ）A ．3B ．4C ．2 D类型二 球的外接问题例2. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323π，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（ ）A ．3πB ．4πC ．9πD ．12π 【来源】2021年天津高考数学试题例3、已知点M 是边长为3的等边三角形ABC 的边AC 上靠近点C 的三等分点，BC 的中点为F ．现将ABF沿AF 翻折，使得点B 到达B '的位置，且平面AB F '⊥平面ACF ，则四面体AB FM '的外接球的表面积为（ ）A B C ．372π D ．374π 【来源】2021年高考最后一卷理科数学（第八模拟）【变式演练5】【江西省部分省级示范性重点中学教科研协作体2021届高三统一联合考试】四面体A BCD -中，AB ⊥底面BCD ，AB BD ==1CB CD ==，则四面体A BCD -的外接球表面积为（ ） A ．3π B ．4π C ．6π D ．12π【变式演练6】【湖南省衡阳市第八中学2020-2021学年高三上学期11月第三次月考】在三棱锥A SBC -中，10AB ，4ASC BSC π∠=∠=，AC AS =，BC BS =，若该三棱锥的体积为3，则三棱锥S ABC -外接球的表面积为（ ）A ．3πB ．12πC ．48πD ．36π【变式演练6】【福建师范大学附属中学2021届高三上学期期中考试】在四面体ABCD 中，BD AC ==2AB BC AD ===，AD BC ⊥，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【高考再现】1．（2021·全国高考真题（理））已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ⊥==，则三棱锥O ABC -的体积为（ ）A ．12B ．12C ．4D ．42．【2020年高考全国Ⅰ卷文数12理数10】已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC ∆的外接圆．若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π3．【2020年高考天津卷5】若棱长为 ） A ．12π B ．24π C ．36π D ．144π4．（2019•新课标⊙，理12）已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC ∆是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为( )A ．B ．C ． D5．（2018•新课标⊙，理10文12）设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且面积为D ABC -体积的最大值为( )A ．B ．C ．D ．6．【2020年高考全国Ⅲ卷文数16理数15】已知圆维的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ．7.【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．【反馈练习】1．【浙江省台州市第一中学2020-2021学年高三上学期期中】设ABC 为等腰三角形，2AB AC ==，2π3A ∠=，AD 为BC 边上的高，将ADC 沿AD 翻折成ADC '，若四面体ABC D '，则线段BC '的长度为（ ）A ．BC D2．【河南省九师联盟2021届高三第一学期11月质量检测理科】已知三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在球O 的表面上，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面111A B C △是正三角形，1AB 与底面111A B C 所成的角是45°.若正三棱柱111ABC A B C -的体积是O 的表面积是（ ）A ．28π3B ．14π3C ．56π3D ．7π 33．【陕西省安康市2020-2021学年高三上学期10月联考文科】四棱锥P ABCD -的顶点都在球O 的球面上，ABCD 是边长为P ABCD -体积的最大值为54，则球O 的表面积为（ ） A ．36π B ．64π C ．100π D ．144π4．【广东省湛江市2021届高三上学期高中毕业班调研】鳖臑（biē nào ）是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．已知三棱锥A -BCD 是一个鳖臑，其中AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，BC ⊥CD ，且AB ＝6，BC ＝3，DC ＝2，则三棱锥A -BCD 的外接球的体积是（ ）A ．493πB ．3432πC ．49πD ．3436π 5．【湖北省鄂州高中2020-2021学年高三上学期10月质量检测】张衡(78年~139年)是中国东汉时期伟大的天文学家､文学家､数学家.他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A ，B ，若线段AB 1，利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为（ ）A ．30B ．C ．D ．366．【四川省成都市蓉城名校联盟2021届高三第一次联考文科】已知三棱锥P ABC -，PA ⊥平面ABC ，且PA =，在ABC 中，1AC =，2BC =，且满足sin 2sin 2A B =，则三棱锥P ABC -外接球的体积为（ ）A ．3B ．323πCD ．83π 7．球O 的两个相互垂直的截面圆1O 与2O 的公共弦AB 的长度为2，若1O AB △是直角三角形，2O AB △是等边三角形，则球O 的表面积为（ ）A ．9πB ．12πC ．16πD ．20π【来源】辽宁省丹东市2021届高三二模数学试题8．【河南省洛阳市汝阳县2020-2021学年高三上学期联考数学（文）】我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱111ABC A B C -为一个“堑堵”，底面ABC 是以AB 为斜边的直角三角形且5AB =，3AC =，点P 在棱1BB 上，且1PC PC ⊥，当1APC 的面积取最小值时，三棱锥P ABC -的外接球表面积为（ ）A ．45π2B ．2C ．30πD ．45π9．【湖南师大附中2021届高三（上）月考】四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，侧面PAD ⊥平面ABCD ，120APD ︒∠=，AB PA ==2PD =，则该四棱锥P ABCD -外接球的体积为（ ）A ．323πB ．3C ．D ．36π10．【内蒙古赤峰市中原金科2020-2021学年高三大联考】据《九章算术》记载，“鳖臑(biēnào)”为四个面都是直角三角形的三棱锥.如图所示，现有一个“鳖臑”，PA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，且2PA AB BC ===，三棱锥外接球表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π11．【内蒙古赤峰市松山区2020-2021学年高三第一次统一模拟考试文科】已知三棱锥P ABC -中，1PA =，3PB =，AB =CA CB ==PAB ⊥面ABC ，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．143π B ．283π C ．11π D ．12π12．如图，已知球O 是棱长为1 的正方体1111ABCD A B C D -的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为（ ）A ．3πB ．8πC ．6πD ．4π 13．（多选）【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（三）】已知球O 是正三棱锥(底面为正三角形，点在底面的射影为底面中心)A BCD -的外接球，3BC =，AB =E 在线段BD 上，且6BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆的面积可能是（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π14．（多选）设一空心球是在一个大球(称为外球)的内部挖去一个有相同球心的小球(称为内球)，已知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1，若某正方体的所有顶点均在外球面上､所有面均与内球相切，则（ ）A ．该正方体的核长为2B ．该正方体的体对角线长为3C 1D ．空心球的外球表面积为(12π+ 【来源】重庆市2021届高三高考数学第三次联合诊断检测试题15．【江苏省泰州市2020-2021学年高三上学期期中】已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝1，AC ，侧棱AA 1＝2，则该三棱柱外接球的体积为_______．16．【江西省南昌市第十中学2021届高三上学期期中考试】如图，已知四棱锥S ABCD -的底面为等腰梯形，//AB CD ，1AD DC BC ===，2AB SA ==，且SA ⊥平面ABCD ，则四棱锥S ABCD -外接球的体积为______.17．【福建省莆田第一中学2021届高三上学期期中考试】在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB CC ==1BC =，点M 为正方形11CDD C 对角线的交点，则三棱锥11M ACC -的外接球表面积为______．18．在一个棱长为3+方体和大球之间的空隙自由滑动，则小球的表面积最大值是___________.【来源】2021届高三数学临考冲刺原创卷（一）19．阿基米德在他的著作《论圆和圆柱》中，证明了数学史上著名的圆柱容球定理：圆柱的内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积与圆柱的体积之比等于它们的表面积之比．可证明该定理推广到圆锥容球也正确，即圆锥的内切球（与圆锥的底面及侧面都相切的球）的体积与圆锥体积之比等于它们的表面积之比，则该比值的最大值为________．【来源】福建省厦门第一中学2021届高三高考模拟考试数学试题20．在一次综合实践活动中，某手工制作小组利用硬纸板做了一个如图所示的几何模型，底面ABCD 为边长是4的正方形，半圆面APD ⊥底面ABCD ．经研究发现，当点P 在半圆弧AD 上（不含A ，D 点）运动时，三棱锥P ABD -的外接球始终保持不变，则该外接球的表面积为______．【来源】山东省烟台市2021届高三二模数学试题21．一个封闭的正方体容器内盛有一半的水，以正方体的一个顶点为支撑点，将该正方体在水平桌面上任意旋转，当容器内的水面与桌面间距离最大时，水面截正方体各面所形成的图形周长为外接球的表面积为___________.【来源】湘豫联考2021届高三5月联考文数试题22．以三棱柱上底所在平面某一点为对称中心，将上底图形旋转180°后，再将上､下底顶点连接形成空间几何体称为“扭反三棱柱”.如图所示的“扭反三棱柱”上､下底为全等的等腰三角形，且顶点A ，B ，C ，A 1，B 1，C 1均在球O 的球面上，AB =AC =A 1B 1=A 1C 1=m ，截面BCB 1C 1是矩形，BC =2，B 1C =4.则该几何体的外接球表面积为__________，当该几何体体积最大时m =__________.【来源】重庆市第八中学2021届高三下学期适应性月考卷（七）数学试题23．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家，享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯、牛顿并列为世界三大数学家.公元前212年，古罗马军队入侵叙拉古，阿基米德被罗马士兵杀死，终年七十五岁.阿基米德的遗体葬在西西里岛，墓碑上刻着一个圆柱内切球（一个球与圆柱上下底面相切且与侧面相切）的图形，以纪念他在几何学上的卓越贡献，这个图形中的内切球的体积与圆柱体积之比为________，内切球的表面积与圆柱的表面积之比为_______.【来源】湖南省衡阳市第八中学2021届高三下学期考前预测（二）数学试题24．将三个边长为6的正方形分别沿相邻两边中点裁剪而成(1､2)部分，与正六边形组合后图形如图所示，将此图形折成封闭的空间几何体，则这个几何体的体积是___________，外接球表面积为___________.【来源】全国新高考2021届高三数学方向卷试题（B）25．天津滨海文化中心地天津滨海新区开发区，是天津乃至京津冀地区的标志性文化工程.其中滨海图书馆建筑独具特色，被称为“滨海之眼”，如图所示，中心球状建筑引起了小明的注意，为了测量球的半径，小明设计了两个方案，方案甲，构造正三棱柱侧面均与球相切如图所示，底面边长约为30米，估计此时球的完整表面积为 ________平方米；方案乙，测量球被地面截得的圆的周长约为16π米，地面到球顶部高度约为16米，估计此时球的完整体积为__________立方米，你认为哪种方案好呢？【来源】天津市河东区2021届高三下学期一模数学试题26．2020年底，中国科学家成功构建了76个光子的量子计算机“九章”，推动全球量子计算的前沿研究达到一个新高度.该量子计算机取名“九章”，是为了纪念中国古代著名的数学专著《九章算术》.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱111ABC A B C -为一“堑堵”，P 是1BB 的中点，12AA AC BC ===，则在过点P 且与1AC 平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积等于___________，该“堑堵”的外接球的表面积为___________.【来源】全国100所名校2021年高考冲刺试卷（样卷一）文科数学试题。
四川省成都市蓉城名校联盟高三上期入学联考文科数学多维细目表
1
5
0.9
√
3.33%
极坐标系与参数方程
极坐标与直角坐标的互化
参数方程的性质
解答题
22
10
√
6.67%
不等式选讲
解含绝对值的不等式
求含绝对值的恒成立问题
解答题
23
10
√
合计
49
62
39
100%
√
双曲线的性质与渐近线
填空题
14
5
0.8
√
椭圆的基本性质
直线与椭圆的综合问题
解答题
21
12
0.4
√
计数原理与概率统计
样本数字特征估计总体数字特征
选择题
5
5
0.8
√
14.67%
数学应用背景下的几何概型问题
填空题
15
5
0.5
√
样本数字特征与抽样
古典概型与独立性检验
解答题
19
12
√
复数
复数的定义与四则运算
根据数列性质求数列前n项和
解答题
17
12
0.7
√
8%
空间向量与立体几何
求空间几何体的外接球表面积
选择题
3
5
√
14.67%
中国数学文化与几何体的表面积
选择题
10
5
5
√
点、线、面的垂直2
0.8
√
平面解析几何
直线与圆的位置关系
选择题
8
5
√
18%
抛物线的定义的综合应用
选择题
12
5
选择题
9
5
四川省成都市蓉城名校联盟2021-2022学年高一上学期期末联考数学试题
蓉城名校联盟2021~202学年度上期高中2021级期末联考数学考试时间120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”.2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.3．考试结束后由监考老师将答题卡收回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}260A x x x =∈+-≤R ，{}21B x x =∈-≤<Z ，则A B = （）A ．[)2,1-B ．[]3,2-C ．{}2,1,0--D ．{}2,1,0,1--2．下列函数表示同一函数的是（）A ．1y x =+与21xy x=+B ．3y x =与()31y x =-C ．y x =与2y =D ．0y x =与01y x =3．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若()2,P y 是角θ终边上的一点，且sin 5θ=，则y 的值为（）A ．±1B ．1-C ．2±D ．2-4．设函数()1221,1,1log , 1.2x x f x x x -⎧+≤⎪=⎨⎛⎫+> ⎪⎪⎝⎭⎩则()()0f f 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知某扇形的圆心角为3π，面积为6π，则该扇形的弧长为（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π6．函数()223x f x x =-+的零点所在的区间可以是（）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,27．已知函数()2cos 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的单调递减区间是（）A ．()2,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z B ．(),36k k k ππππ⎡⎤---+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()5,1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z D ．()511,1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 8．函数[]5sin ,2,2x x xy x e eππ-=∈-+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．9．已知海面上的大气压强是760mmHg ，大气压强P （单位：mmHg ）和高度h （单位：m ）之间的关系为760e hk P -=（e 为自然对数的底数，k 是常数），根据实验知500m 高空处的大气压强是700mmHg ，则当歼20战机巡航高度为1000m ，歼16D 战机的巡航高度为1500m 时，歼20战机所受的大气压强是歼16D 战机所受的大气压强的（）倍（精确度为0.01）.A ．0.67B ．0.92C ．1.09D ．1.2610．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递增，则（）A ．()2355232log 355f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥->> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦B ．()3255223log 355f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥->> ⎪ ⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦C ．()2355232log 355f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥>-> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦D ．()3255223log 355f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥>>- ⎪ ⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦11．已知函数()4sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且()()1216f x f x =，则12x x +的最小值为（）A ．3πB ．23πC ．43πD ．5π312．若ln ln ln ln 2525a b b a --+≥+，则（）A ．a b ≤B ．a b ≥C ．1≥ab D ．1ab ≤二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知tan 2α=，则22tan cos sin ααα⋅-=______.14．已知幂函数()()1af x k x =-⋅的图象过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则k a +=______.15．定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x ，2x ∈R ，都有()()()12120f x f x x x -⋅->⎡⎤⎣⎦恒成立，且对于任意x ，y ∈R 都有()()()f x y f x f y +=⋅，同时()13f =，则不等式()29f x x -<的解集为______.16．已知函数()21log 1x f x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，1515,1717x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()23sin 2g x m m x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，对任意11515,1717x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，总存在2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()21g x f x =成立，则实数m 的取值范围为______.三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．计算求值：(1)()1303202138⎛⎫+ ⎪⎝⎭．(2)4log 9231lg 22log 27log 4lg5++⋅-．18．已知()()()log 3log 3a a f x x x =+--，其中0a >且1a ≠．(1)判断()f x 的奇偶性并证明；(2)解不等式：()0f x ≥．19．集合{}2230A x x x =+-<，611B xx ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，{}23,C x a x a a =≤≤+∈R ．(1)求()A B R ð；(2)请从①B C C = ，②B C =∅ ，③C B 这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a 的取值范围．20．已知()()()()23sin cos tan 22sin tan 3f ππααπααπααπ⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+⋅-+．(1)化简()f α；(2)若()14f α=，且04πα<<，求sin cos αα-的值；(3)若1860α=-︒，求()f α的值．21．已知二次函数()f x 同时满足以下条件：①()()22f x f x +=-，②()01f =，③()23f =-．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若()()()4h x f x m x =++，[]1,2x ∈-，求：①()h x 的最小值()m ϕ；②讨论关于m 的方程()m k ϕ=的解的个数．22．已知函数()2x f x =，()245h x x x m =-+，()x ϕ与()f x 互为反函数．(1)求()x ϕ的解析式；(2)若函数()()y h x ϕ=在区间()32,2m m -+内有最小值，求实数m 的取值范围；(3)若函数()()401x g x x x ϕ⎛⎫=> ⎪+⎝⎭，关于方程()()230g x a g x a ⎡⎤+++=⎣⎦有三个不同的实数解，求实数a 的取值范围．1．C 【分析】先求出集合,A B ，再求出A B 即可.【详解】由集合{}{}2|6023A x x x x x =--≤=-≤≤，集合{}{}212,1,0B x x =∈-≤<=--Z ，得{}2,1,0A B =-- .故选：C.2．D 【分析】对于A 选项，两个函数定义域不同，故两个函数不是同一函数；对于B 选项，两者的对应法则不同，故不是同一函数；对于C 选项，两个函数定义域不同，故两者不是同一函数；对于D 选项，01y x ==定义域为{}|0x x ≠，函数011y x==定义域为{}|0x x ≠，对应法则也相同，故两个函数是同一函数；【详解】对于A 选项，1y x =+定义域为R ，21xy x=+定义域为{}|0x x ≠，故两个函数不是同一函数；对于B 选项3y x =与()31y x =-两者的对应法则不同，故不是同一函数；对于C 选项，函数y x =的定义域为R ，函数2y =定义域为[)0,∞+，故两者不是同一函数；对于D 选项，01y x ==定义域为{}|0x x ≠，函数011y x==定义域为{}|0x x ≠，对应法则相同，故两个函数是同一函数；故选：D.3．B 【分析】根据三角函数的定义得到sin 1y θ==⇒=-.【详解】根据三角函数的定义得到，0y <，sin 1y θ===-，故选：B.4．A 【分析】根据函数解析式得到()130212f -=+=，()()302f f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，代入解析式求解即可.【详解】()130212f -=+=，()()23310log 1222f f f ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭故选：A.5．B 【分析】由扇形的面积公式求得扇形的半径，进而由弧长公式计算可得.【详解】设扇形的弧长为l ，半径为r ，根据已知的扇形的圆心角3πα=，面积6S π=，由扇形的面积公式212S r α=,得216π23r π=⨯⨯，解得6r =，由弧长公式623l r παπ==⨯=，故选：B 6．A 【分析】设()12x f x =,()223f x x =-,则()()()12f x f x f x =-.分析可得在区间(],0-∞上函数()f x 单调递增，利用零点存在定理可以判定零点所在区间，在(0,2]上，函数()()()12f x f x f x =-的单调性不确定，分别考察()1f x 和()2f x 的取值范围，可知()11f x >和()21f x ≤，从而可知()0f x >恒成立，即得在区间(0,2]上没有零点.【详解】设()12x f x =,()223f x x =-,则()()()12f x f x f x =-.在区间(],0-∞上，()1f x 单调递增，()2f x 单调递减，则()f x 单调递增，由于()222430f --=-+<,()112130f --=-+>,∴有唯一零点且零点在区间()2,1--内；在区间(0,2]上，()01221x f x =>=,()222 3231f x x =-≤-=,故在区间(]0,2函数()1f x 与()2f x 的图象没有交点，从而函数()f x 没有零点，综上可知，A 正确，BCD 错误，故选：A.【点睛】此题关键点在于分区间研究函数的单调性，在区间(0,2]上函数单调性不易确定或者不单调时，分解为零个具有单调性的函数的差，利用其取值范围判定没有零点.7．A 【分析】由3cos 2=3cos 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令2223k x k ππππ≤-≤+，k Z ∈，求出x 的取值范围，可得答案.【详解】解：由3cos 2=3cos 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令2223k x k ππππ≤-≤+，k Z ∈，解得：263k x k ππππ+≤≤+，故函数的单调递减区间是2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故选：A.8．A 【分析】根据奇偶性判断CD ，取特殊值判断AB.【详解】令[]5sin (),2,2x x x f x x e e ππ-=∈-+，5sin ()()x xxf x f x e e---==-+，即函数()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故CD 错误；3333222235sin 35202f ee e e ππππππ---⎛⎫==< ⎪⎝⎭++，故B 错误；故选：A 9．C 【分析】根据给定信息，求出500e k ，再列式求解作答.【详解】依题意，500700760e k -=，即500760e700k=，则歼20战机所受的大气压强100020760e kP -=，歼16D 战机所受的大气压强150016760ekP -=，100050020150016760e 760e 1.09760e 700k kk P P --===≈，所以歼20战机所受的大气压强是歼16D 战机所受的大气压强的1.09倍.故选：C 10．A 【分析】利用幂指对函数的单调性可以判定2355232log 3055⎛⎫⎛⎫>>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而结合函数的单调性和偶函数的性质可以得到答案.【详解】由对数函数的性质得22log 3log 21>=，由幂函数25y x =在(0,+∞)上单调递增，和指数函数25xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在实数集R 上单调递减，且32055>>可知：2235553322105555⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=>>>> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴2355232log 3055⎛⎫⎛⎫>>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又∵()f x 在()0,∞+单调递增，∴()2355232log 355f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥>> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，又∵()f x 是定义域为R 的偶函数，∴()()22log 3log 3f f -=，∴()2355232log 355f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥->> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选：A.11．B 【分析】根据()f x 的最大值和最小值，判断()()12,f x f x 都是最大值或都是最小值，由此求得12x x +的最小值.【详解】解：函数()4sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最大值为4，最小值为4-，结合()()1216f x f x =可知()()12,f x f x 都是最大值或都是最小值.令π2π62x k π-=+,解得2π2π,Z 3x k k =+∈，取1k =-和0k =得到()f x 在y 轴左右两侧邻近的最大值点的横坐标分别为42,33ππ-,令π2kπ62x π-=-,解得2,Z 3x k k ππ=-∈，取0k =和1k =在y 轴左右两侧的邻近的最小值点的横坐标为5,33ππ-,要使12x x +取得最小值，则需12,x x 都是一正一负的最大值或都是一正一负的最小值对应的横坐标，∵4π2π2π333-+=π5π4333π<-+=,故12x x +的最小值为2π3.故选B.12．B 【分析】构造函数()25x xf x -=-，利用其单调性比较()()ln ,ln f a f b 的大小，即可得出答案.【详解】ln ln ln ln ln ln ln ln 25252525a b b a a a b b ----+≥+⇒-≥-，设()25x xf x -=-，则原式等价于()()ln ln f a f b ≥，而()25x x f x -=-显然是单调递增的函数，则ln ln 0a b a b ≥⇒≥>．故选：B13．25-##0.4-【分析】根据商数关系可化为2222tan tan tan cos sin tan 1αααααα-⋅-=+求解.【详解】因为tan 2α=，所以22222222tan cos sin tan tan 242tan cos sin sin cos tan 1415ααααααααααα⋅---⋅-====-+++.故答案为：25-.14．1【分析】根据幂函数的定义，求得k 的值，将已知点的坐标代入函数解析式，解方程求得a 的值，进而得解.【详解】∵()()1af x k x =-⋅为幂函数，∴11k -=，∴2k =；∵其图象过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴122a=，∴1a =-，∴211k a +=-=，故答案为：115．()1,2-##{}12x x -<<【分析】由()()()12120f x f x x x -⋅->⎡⎤⎣⎦分析得到函数的单调性，由()()()f x y f x f y +=⋅，同时()13f =，得到()29f =，原不等式转化为()2(2)f x x f -<，进而结合单调性转化求解.【详解】不妨设1x <2x ∈R ，由()()()12120f x f x x x -⋅->⎡⎤⎣⎦恒成立，得()()12f x f x <恒成立，可知函数()f x 在在R 上单调递增，()()()f x y f x f y +=⋅，同时()13f =，可知()()()2119f f f ==,∴不等式()29f x x -<即为()2(2)f x x f -<，等价于22x x -<，解得12x -<<，∴所求不等式的解集为()1,2-，故答案为：()1,2-.16．(]),43⎡-∞-⋃+∞⎣【分析】分别求出函数的值域()[]4,4f x ∈-，()223,32m g x m m m ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，对任意11515,1717x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总存在2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()21g x f x =成立，则[]224,43,32m m m m ⎡⎤-⊆-+⎢⎥⎣⎦，列式求解即可.【详解】当1515,1717x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()221log log 1121x f x x x -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪+⎝⎭⎝+⎭-211,16116x ⎡⎤-∈⎢⎥+⎣⎦，()[]4,4f x ∈-，当,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()223,32m g x m m m ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，对任意11515,1717x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总存在2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()21g x f x =成立，则[]224,43,32m m m m ⎡⎤-⊆-+⎢⎥⎣⎦，∴2243,3 4.2m m m m ⎧≤+⎪⎨-≤-⎪⎩∴3m ≥4m ≤-．故答案为：(]),43⎡-∞-⋃+∞⎣.17．(1)132π-(2)10【分析】根据指数幂的运算公式，对数运算公式依次进行运算即可.(1)原式3131422ππ=+-+=-(2)原式3223lg 2lg 53log 3log 213610=+++⋅=++=．18．(1)奇函数，证明见解析(2)当01a <<时，解集为(]3,0-；当1a >时，解集为[)0,3【分析】（1）利用对数函数的定义求得函数()f x 的定义域，根据奇函数的定义判定函数为奇函数；（2）利用对数函数的单调性，对底数进行分类讨论，转化求解不等式.(1)()f x 为奇函数．证明如下：要使函数有意义，则有303330x x x +>⎧⇒-<<⎨->⎩，∴()f x 的定义域为()3,3-，（注：不求定义域扣2分）∵()()()()log 3log 3a a f x x x f x -=-+-+=-，∴()f x 为奇函数．(2)()0f x ≥，即()()log 3log 3a a x x +≥-，当01a <<时，033x x <+≤-，即30x -<≤，当1a >时，330x x +≥->，即03x ≤<，综上：当01a <<时，解集为(]3,0-；当1a >时，解集为[)0,3．19．(1)(){}15R A B x x ⋂=≤<ð(2)()1,23,2a ⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）分别解二次不等式和分式不等式，求得集合,A B ,进而求得；（2）根据选取的不同的条件，利用集合交集的运算性质或者集合的真子集的意义，得到关于a 的不等式（组）求解即得.(1)()()2230130x x x x +-<⇔-+<，解得：()3,1x ∈-，∴{}31A x x =-<<651011x x x ->⇒>++，解得：()1,5x ∈-，∴{}15B x x =-<<，∴(){}15R A B x x ⋂=≤<ð．(2)选①：∵B C C = ，∴C B⊆当C =∅，即233a a a >+⇒>时，满足题意；当C ≠∅，即233a a a ≤+⇒≤时，2112352a a a >-⎧⇒-<<⎨+<⎩；满足3a ≤，∴综上：()1,23,2a ⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪⎝⎭．选②：当C =∅，即233a a a >+⇒>时，满足题意；当C ≠∅，即233a a a ≤+⇒≤时，31a +≤-或25a ≥，解得4a ≤-或52a ≥．所以：4a ≤-或532a ≤≤，综上：(]5,4,2a ⎡⎫∈-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭．选③：由题知：C B ，当C =∅，即233a a a >+⇒>时，满足题意；当C ≠∅，即233a a a ≤+⇒≤时，2112352a a a >-⎧⇒-<<⎨+<⎩；满足3a ≤，∴综上：()1,23,2a ⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪⎝⎭．20．(1)()sin cos f ααα=(2)sin cos αα-=-(3)()f α=【分析】（1）利用诱导公式化简即可；（2）由（1）可得1sin cos 4αα⋅=，再利用同角三角函数的基本关系：将式子平方即可求解；（3）由（1）利用诱导公式化简即可求解.(1)由题意得，()()()2cos sin tan sin cos sin tan f αααααααα⋅⋅==--．(2)由()1sin cos 4f ααα==可知，()2221sin cos sin 2sin cos cos 12sin cos 2αααααααα-=-+=-=，又∵04πα<<，∴cos sin αα>，则sin cos 2αα-=-．(3)∵1860536060α=-︒=-⨯︒-︒，∴()sin cos 333f f πππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21．(1)()241f x x x =-+(2)①()252,4,1,42,42, 2.m m m m m m m ϕ+≤-⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩；②答案见解析【分析】（1）由()()22f x f x +=-得，对称轴为2x =，然后设()()22f x a x b =-+，利用另外两个条件列出方程组求解即得；（2）①根据二次函数的对称轴与区间的关系分类讨论研究最小值；②根据①中求得的函数()m ϕ的解析式，分析各段上的函数值的正负，从而得到函数()y m ϕ=的解析式，画出函数()y m ϕ=的图象，利用数形结合方法讨论方程()m k ϕ=的实数根的个数.(1)（1）由()()22f x f x +=-得，对称轴为2x =，设()()22f x a x b =-+，∴()()04123f a b f b ⎧=+=⎪⎨==-⎪⎩，得13a b =⎧⎨=-⎩，∴()()222341f x x x x =--=-+．(2)（2）①()()()241h x f x m x x mx =++=++，[]1,2x ∈-，对称轴2m x =-，ⅰ当12m -≤-即2m ≥时，()h x 在[]1,2-单调递增，()()min 12h x h m =-=-，ⅱ122m -<-<即42m -<<时，()h x 在1,2m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，在,22m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，∴()2min124m m h x h ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，ⅲ当22m -≥即4m ≤-时，()h x 在[]1,2-单调递减，()()min 252h x h m ==+，综上：()()2min 52,4,1,42,42, 2.m m m h x m m m m ϕ+≤-⎧⎪⎪==--<<⎨⎪-≥⎪⎩②画出函数()y m ϕ=的图象图下图所示：利用图象的翻转变换得到函数()y m ϕ=的图象如图所示：方程()m k ϕ=的根的个数为函数()y m ϕ=的图象与直线y k =的交点个数，由图象可知：当0k <时，方程()m k ϕ=无解；当01k <<时，方程()m k ϕ=有4个解；当0k =或1k >时，方程()m k ϕ=有2个解；当1k =时，方程()m k ϕ=有3个解.22．(1)()()2log 0x x x ϕ=>(2)44,53m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(3)73,3⎛⎤-- ⎥⎝⎦【分析】（1）根据指数函数的反函数为同底数的对数函数，即得；（2）根据题意，利用对数函数和二次函数的性质及复合函数的单调性即可得到函数关于m 的不等式组，求解即得；（3）先利用对数函数和分式函数的单调性知识，结合复合函数的单调性得到函数g (x )的单调性和零点及图象，进而得到()y g x =的图象，将方程()()230g x a g x a ⎡⎤+++=⎣⎦有三个不同的实数解，转化为则230t at a +++=有两个根，且一个在()0,2上，一个根为0；或230t at a +++=有两个根，且一个在()0,2上，一个在[)2,+∞上.进而利用二次方程根的分布思想分析讨论确定实数a 的取值范围．（1）指数函数()2x f x =的反函数为同底数的对数函数，∴()()2log 0x x x ϕ=>.（2）函数()()()22log 45y h x x x m ϕ==-+在区间()32,2m m -+内有最小值，∴()245h x x x m =-+在()32,2m m -+内先减后增，且()min 0h x >，∴4032223(2)54045m m m h m m ⎧<<⎪-<<+⎧⎪⇒⎨⎨-=->⎩⎪>⎪⎩，∴44,53m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（3）∵0x >，∴()4440,411x x x =-∈++，∴()2g x <，∵g (x )2441log x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭在0x >时单调递增，且g 13⎛⎫ ⎪⎝⎭=0,∴()y g x =的图象如下：因为()()230g x a g x a +++=有三个不同的实数解，设()g x t =，由()y g x =的图象可得当0t =或2t ≥时对于一个确定的t 的值，对应一个x 的值，对于02t <<的每一个确定的t 的值，对应两个不同的实数根x .则230t at a +++=有两个根，且一个在()0,2上，一个根为0；或230t at a +++=有两个根，且一个在()0,2上，一个在[)2,+∞上.①230t at a +++=有两个根，且一个在()0,2上，一个根为0，∴一个根为0，解得3a =-，此时22330t at a t t +++=-=，另一根()30,2t =∉，舍去；②230t at a +++=有两个根，且一个在()0,2上，一个在[)2,+∞上，令()23k t t at a =+++，（ⅰ）当一个根在()0,2上，一个在()2,+∞上，则()()00,20.k k ⎧>⎪⎨<⎪⎩∴3,7,3a a >-⎧⎪⎨<-⎪⎩∴733a -<<-.（ⅱ）当一个根在()0,2上，一个根为2，则()20k =，解得73a =-．此时272033t t -+=的两根为()110,23t =∈，22t =，满足题意．综上，a 的取值范围为73,3⎛⎤-- ⎥⎝⎦．【点睛】本题关键难点在于（3）中，结合()y g x =的图象，将已知方程有三个实数根的条件转化为二次方程的根的分布问题（利用数形结合思想求解），易错点是230t at a +++=有两个根，且一个在()0,2上，一个在[)2,+∞上的情况，要注意分两种情况讨论.。
2024-2025学年四川省成都市蓉城名校联考高三(上)入学数学试卷(含答案)
2024-2025学年四川省成都市蓉城名校联考高三（上）入学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|2x−5<1}，B={−1,0,1,2,3,4}，则A∩B=( )A. {−1,0,1}B. {−1,0,1,2}C. {1,2}D. {−1,0,1,3}2.设命题p：∀x∈Z，x≤3x2+1，则p的否定为( )A. ∀x∈Z，x>3x2+1B. ∃x∉Z，x>3x2+1C. ∀x∉Z，x>3x2+1D. ∃x∈Z，x>3x2+1≤0”的( )3.已知x∈R，则“−1≤x≤2”是“x−2x+1A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.某旅游旺地出租车的费用按下列规则制定： ①行程在3km以内的(含3km)，车费10元; ②行程在3km以上且不超过10km的，前3km车费10元，以后每增加1km车费增加2元(不足1km的按1km 计算); ③行程超过10km，则超过的部分每公里车费3元(不足1km的按1km计算)．小明某天乘坐该地的出租车，共花费39元，那么他的行程大约为( )A. 13kmB. 14kmC. 15kmD. 16km5.某电影公司为了解某部电影宣传对票房的影响，在某市内随机抽取了5个大型电影院，得到其宣传费用x(单位：十万元)和销售额y(单位：十万元)的数据如下：x(十万元)56789y(十万元)5560707580由统计数据知y与x满足线性回归方程y=bx+a，其中b=6.5，当宣传费用x=10时，销售额y的估计值为( )A. 85.5B. 86.5C. 87.5D. 88.5+1,b=e x,c=sinx+1，则a，b，c的大小关系为( )6.设0<x<1，已知a=x+1xA. c>b>aB. b>c>aC. a>b>cD. a>c>b7.某高中运动会设有8个项目，甲、乙两名学生每人随机选取3个项目，则至少选中2个相同项目的报名情况有( )A. 420种B. 840种C. 476种D. 896种8.已知1≤x ≤2，不等式e x−ln a ≥ln ax 恒成立，则a 的最大值为( )A. eB. 1C. e −1D. e 2二、多选题：本题共3小题，共15分。
蓉城名校联盟2021～2022学年度上期高三期中联考(文科)数学试题
3 2
直线 l 的方程为 y 1 3 (x 1) 即 3x 2 y 4 0
22
故直线 l 的方程为 3x 2 y 4 0
……2 分 ……4 分 ……6 分
……8 分 ……10 分 ……12 分
1
1)
得
(4k 2
3) x 2
4k(2k
1) x
(2k
1)2
（2）若直线 l 与椭圆交于 A ，B 两点，且线段 AB 的中点为 P(1, 1) ，求直线 l 的方程． 2
19．（12 分） 已知圆 C 的圆心在直线 x y 2 0 上，且经过点 A(4, 0) ，B(2, 2) ． （1）求圆 C 的方程； （2）若直线 l 过点 P(4,3) 且与圆 C 相切，求直线 l 的方程．
22．（12 分）
已知椭圆 x2 y2 a2 b2
1(a b 0) 的离心率为
3． 2
（1）点 P 是椭圆上异于左右顶点的任意一点，A1(a, 0) ，A2 (a, 0) ，证明点 P 与 A1 ，A2
连线的斜率的乘积为定值，并求出该定值；
（2）若椭圆的短轴长为 2 ，直线 l 与椭圆交于 A ，B 两点，且坐标原点 O 在以 AB 为
18．（12 分）
解:（1）|
MF1
|
|
MF2
|
5 2
3 2
4
2a
a 2 ，又 c 1 ，b2 a2 c2 3
椭圆的标准方程为 x2 y2 1 .
43
c2 a2 b2 1
另解
1：由
9
1 a2
4 b2
1
得
a2 b2
4 3
另解
2：由
c2 b2 a
高三试卷数学(文)-四川容城名校联盟2024届高三第一次联考数学(文)试卷及参考答案
2024届高三第一次联考文科数学考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号和考籍号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”.2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2230A x x x =-->，{}3log B x y x ==，全集U =R ，则()UB A ⋂=ð（）A .[]1,3- B.()3,+∞C.(]0,3 D.()(),10,-∞-⋃+∞2.已知幂函数()f x x α=的图象过点()3,9P ，则α=（）A.12B.1C.2D.33.已知i 为复数单位，3i2i 1ia +=+-，则1i z a =+的模为（）A.B.1C.2D.44.在ABC 中，“cos 0A >”是“ABC 为锐角三角形”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.在等比数列{}n a 中，2a ，6a 是方程280x x m -+=两根，若3543a a a =，则m 的值为（）A.3B.9C.9- D.3-6.已知()1,2a m =- ，(),1b n = ，0m >，0n >，若存在非零实数λ使得a b λ= ，则12m n+的最小值为（）A .8B.9C.10D.127.已知函数()2e exx xf x -=-，则函数()f x 的图象的能是（）A.B.C.D.8.已知平行四边形ABCD ，若点M 是边BC 的三等分点（靠近点B 处），点N 是边AB 的中点，直线BD 与MN 相交于点H ，则BHBD=（）A.23B.25C.15D.149.已知()0,πα∈，若2sin2cos 1αα+=，则3sin cos sin cos αααα+=-（）A.17B.57C.7- D.710.已知函数()()22ln 4ln 2y x a a x =--++，若[]0,2x ∈时，0y ≥恒成立，则实数a 的取值范围为（）A.(]0,e B.[)e,+∞ C.(]0,1 D.[)1,+∞11.若143a -=，1332b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，122log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c>> B.b c a>> C.c a b>> D.c b a>>12.已知函数()2e ,1,2,1,x x x f x x x a x ⎧<=⎨-++≥⎩若()510f x +=有3个实数解，则实数a 的取值范围为（）A.1,e ⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭B.6,5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C.e 1e ,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.1,e 1e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数()πtan 1,0321,02xx x f x x ⎧⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，则()3f f -=⎡⎤⎣⎦______.14.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24n S n n =-，则45a a +=______．15.设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()e xf x =，则不等式()()22f x f x ≥-的解集为______.16.已知函数()1ln 1f t m t t ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，当(]1,2t ∈时，()2f t ≤恒成立，则实数m 的最大值为______.三、解答题：共70分.解答应㝍出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.某地区运动会上，有甲、乙两位田径运动员进入了男子100m 决赛，某同学决定运用高中所学的知识对该次决赛的情况进行预测，为此，他收集了这两位运动员近几年的大赛100m 成绩（单位：秒），若比赛成绩小于10秒则称为“破十”.甲：10.54，10.49，10.31，10.37，9.97，10.25，10.11，10.04，9.97，10.03；乙：10.32，10.06，9.99，9.83，9.91；（1）求甲成绩的中位数与平均数（平均数的结果保留3位小数）；（2）从乙的5次成绩中任选3次，求恰有2次成绩“破十”的概率.18.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()()()c c a b a b a -=-+.（1）求角B ；（2）若边AC 上的中线BD 长为2，求ABC 面积的最大值.19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是以AC 为底边的等腰直角三角形，12AA =，AC =（1）求证：平面1A BC ⊥平面11ABB A ；（2）求点A 到平面1A BC 的距离.20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，短半轴b 长为1，点P 在椭圆E 上运动，且12PF F △（1）求椭圆E 的方程；（2）当点P 为椭圆E 的上顶点时，设过点()1,1H --的直线l 交椭圆E 于M ，N 两点，直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +为定值.21.已知函数()2ln ln 2m f x x x x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，()32333242m g x x m x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭.（1）当0m =时，求()f x 在()()1,1f 处的切线方程；（2）当2m =时，设函数()()()23F x g x f x =+，求证：()0F x <有解.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交弦的中点坐标为()1,1-，求直线l 的极坐标方程.选修4-5：不等式选讲23.已知定义域为R 的函数()1f x x a x =-+-.（1）若3a =，求函数()f x 的最小值；（2）若0a >，不等式()2f x ≥恒成立，求实数a 的最小值.2024届高三第一次联考文科数学考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号和考籍号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”.2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2230A x x x =-->，{}3log B x y x ==，全集U =R ，则()UB A ⋂=ð（）A.[]1,3- B.()3,+∞C.(]0,3 D.()(),10,-∞-⋃+∞【答案】C 【解析】【分析】求出集合A 、B ，利用补集和交集的定义可求得集合()U A B ⋂ð.【详解】因为{}{22301A x x x x x =-->=<-或}3x >，全集U =R ，则[]1,3U A =-ð，又因为集合{}()3log 0,B x y x ∞===+，因此，()(]0,3U B A = ð.故选：C.2.已知幂函数()f x x α=的图象过点()3,9P ，则α=（）A.12B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】根据题意可得39α=，求解即可.【详解】因为幂函数()f x x α=的图象过点()3,9P ，所以39α=，解得2α=.故选：C.3.已知i 为复数单位，3i2i 1ia +=+-，则1i z a =+的模为（）A.B.1C.2D.4【答案】A 【解析】【分析】根据复数运算的乘除法则，结合复数相等的定义可求得1a =-，进而可求得1i z =-，再结合模长公式即可求解.【详解】由3i2i 1ia +=+-可得()()3i 2i 1i 3i a +=+-=-，所以1a =-，所以1i z =-，则z =.故选：A.4.在ABC 中，“cos 0A >”是“ABC 为锐角三角形”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】在ABC 中，找出cos 0A >的等价条件，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】因为0πA <<，则cos 0A A >⇔为锐角，所以，“cos 0A >”⇒“ABC 为锐角三角形”，“cos 0A >”⇐“ABC 为锐角三角形”，所以，“cos 0A >”是“ABC 为锐角三角形”必要不充分条件.故选：B.5.在等比数列{}n a 中，2a ，6a 是方程280x x m -+=两根，若3543a a a =，则m 的值为（）A.3B.9C.9- D.3-【答案】B 【解析】【分析】根据韦达定理可得26a a m =，结合等比数列的性质即可求解.【详解】因为2a ，6a 是方程280x x m -+=两根，所以26268,,6440a a a a m m +==∆=->，即16m <，在等比数列{}n a 中，226354a a a a a ==，又3543a a a =，所以4243a a =，因为40a ≠，所以43a =，所以249m a ==.故选：B.6.已知()1,2a m =- ，(),1b n = ，0m >，0n >，若存在非零实数λ使得a b λ= ，则12m n+的最小值为（）A.8B.9C.10D.12【答案】B 【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示可得21m n +=，再结合基本不等式中的巧用“1”即可求解.【详解】若存在非零实数λ使得a b λ= ，即//a b r r，又()1,2a m =- ，(),1b n = ，所以12m n -=，即21m n +=，所以()2225591212n m n m m n n m m n ⎛⎫+=+ +=++≥+⎪⎝⎭=，当且仅当22n m m n=，即13m n ==时，等号成立.所以12m n+的最小值为9.故选：B7.已知函数()2e exx xf x -=-，则函数()f x 的图象的能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分析函数()f x 的定义域、奇偶性及其在0x >时，()f x 的符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对于函数()2e exx xf x -=-，有e e 0x x --≠，解得0x ≠，所以，函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，因为()()22e e e e x xx x x xf x f x ----==-=---，即函数()f x 为奇函数，排除BD 选项，当0x >时，e e x x ->，则()20e exx xf x -=>-，排除C 选项.故选：A.8.已知平行四边形ABCD ，若点M 是边BC 的三等分点（靠近点B 处），点N 是边AB 的中点，直线BD 与MN 相交于点H ，则BHBD=（）A.23B.25C.15D.14【答案】C 【解析】【分析】设,BM a BN b == ，设BH BD λ= ，MH MN μ= ，利用向量的基本定理可得312λμλμ=-⎧⎨=⎩，求得15λ=，从而问题可解.【详解】设,BM a BN b == ，则32BD a b =+ ，MN b a =- ，设BH BD λ= ，MH MN μ=，则32BH a b λλ=+ ，MH b a μμ=- ，因为()1BH BM MH a b a a b μμμμ=+=+-=-+，所以312λμλμ=-⎧⎨=⎩，解得15λ=，所以15BH BD = ，即5||1||BH BH BD BD ==.故选：C.9.已知()0,πα∈，若2sin2cos 1αα+=，则3sin cos sin cos αααα+=-（）A.17B.57C.7- D.7【答案】D 【解析】【分析】利用二倍角的正弦公式可求得tan α的值，然后利用弦化切可得出所求代数式的值.【详解】因为()0,πα∈，则sin 0α>，且2sin2cos 1αα+=，则222sin cos 1cos sin αααα=-=，所以，sin 2cos 0αα=>，则tan 2α=，因此，3sin cos 3tan 13217sin cos tan 121αααααα++⨯+===---.故选：D.10.已知函数()()22ln 4ln 2y x a a x =--++，若[]0,2x ∈时，0y ≥恒成立，则实数a 的取值范围为（）A.(]0,e B.[)e,+∞ C.(]0,1 D.[)1,+∞【答案】A 【解析】【分析】当0x =时，222(ln )4ln 22(ln 1)0y a a a =-+=-≥，所以问题转化为4ln 40a -+≥，求解即可.【详解】由()()22ln 4ln 2y x a a x =--++可得()()221ln 2ln 4ln 2y a x a a ⎡⎤=-+-+⎣⎦，当e a =时，0y =符合题意；当e a ≠时，y 是关于x 的一次函数，此时只需区间端点的函数值不小于0即可，又当0x =时，222(ln )4ln 22(ln 1)0y a a a =-+=-≥，当2x =时，4ln 4y a =-+，所以4ln 40a -+≥，即ln 1a ≤，解得0e a <<，综上，0e a <≤.故选；A.11.若143a -=，1332b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，122log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c >>B.b c a >>C.c a b>> D.c b a>>【答案】D 【解析】【分析】先根据指对函数的单调性可得01a <<，01b <<，1c >，再作商比较,a b 的大小，从而可求解.【详解】因为1043103a -=<<=，103330122b -⎛⎫⎛⎫<== ⎪⎪⎝⎝⎭<⎭，令1111114433312133323232a b -----==⨯=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭，而121212111143312123323232116---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯=⨯=⨯=< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即11312321-⨯<，所以a b <，又因为1111222245121log log log log 152010c ==>>=，所以c b a >>.故选：D12.已知函数()2e ,1,2,1,x x x f x x x a x ⎧<=⎨-++≥⎩若()510f x +=有3个实数解，则实数a 的取值范围为（）A.1,e ⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭ B.6,5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C.e 1e ,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.1,e 1e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】1x <时，()e xf x x =，利用导数求函数单调区间，可证得此时()510f x +=有2个实数解，则1x ≥时，()22f x x x a =-++，()510f x +=在定义区间内有1个实数解，利用函数单调性和最值列不等式求实数a 的取值范围.【详解】1x <时，()e xf x x =，()()e 1x f x x '=+，()0f x '<解得1x <-，()0f x ¢>解得11x -<<，()f x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,1-上单调递增，()3313e 5f -=->-，()111e 5f -=-<-，()1005f =>-，所以方程()510f x +=在()3,1--和()1,0-上各有1个实数解，1x ≥时，()22f x x x a =-++，函数在[)1,+∞上单调递减，依题意，()510f x +=在[)1,+∞上有1个实数解，则()11125f a =-++≥-，解得65a ≥-.实数a 的取值范围为6,5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.故选：B 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数()πtan 1,0321,02x x x f x x ⎧⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，则()3f f -=⎡⎤⎣⎦______.【答案】0【解析】【分析】先计算()3f -，从而可求解.【详解】()31382f -⎛⎫-== ⎪⎝⎭，所以()()038πtan 14f f f -==⎣⎦-⎡=⎤.故答案为：014.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24n S n n =-，则45a a +=______．【答案】8【解析】【分析】根据题意，求得125n n n a S S n -=-=-，进而求得45a a +的值，即可求解.【详解】由题意，数列{}n a 满足24n S n n =-，当2n ≥时，()()221414125n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-，所以45358a a +=+=.故答案为：8.15.设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()e xf x =，则不等式()()22f x f x ≥-的解集为______.【答案】2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据偶函数的性质可得()()22f x f x ≥-，再根据单调性可得22x x ≥-，求解即可.【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()22f x f x ≥-等价于()()22fx f x ≥-，又()e xf x =在[)0,∞+上单调递增，所以22x x ≥-，即()2222x x ≥-，解得223x ≤≤.故答案为：2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.已知函数()1ln 1f t m t t ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，当(]1,2t ∈时，()2f t ≤恒成立，则实数m 的最大值为______.【答案】21ln 2-【解析】【分析】参变分离后，令(]21(),1,2ln 1g t t t t =-∈-，求导后，借助ln 1t t ≤-放缩判断()g t 在(1,2]上单调递减，从而可求解.【详解】当(]1,2t ∈时，ln 0t >，则由()2f t ≤可得21ln 1m t t ≤--，令(]21(),1,2ln 1g t t t t =-∈-，则2221()(ln )(1)g t t t t '=-+-，令()ln (1)(0)h t t t t =-->，则()111t h t t t -'=-=，所以当01t <<时，()()0,h t h t '>单调递增，当1t >时，()()0,h t h t '<单调递减，所以当0t >时，()()10h t h ≤=，即ln 1t t ≤-，当且仅当1t =时，等号成立，所以当(]1,2t ∈时，2222221212()0(ln )(1)(1)(1)(1)t g t t t t t t t t t -'=-+<-+=≤----，所以()g t 在(1,2]上单调递减，所以2(2)1ln 2m g ≤=-.所以m 的最大值为21ln 2-.故答案为：21ln 2-【点睛】关键点睛：本题关键是能够借助ln 1t t ≤-放缩判断()g t 在(1,2]上单调递减，从而使问题顺利求解.三、解答题：共70分.解答应㝍出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.某地区运动会上，有甲、乙两位田径运动员进入了男子100m 决赛，某同学决定运用高中所学的知识对该次决赛的情况进行预测，为此，他收集了这两位运动员近几年的大赛100m 成绩（单位：秒），若比赛成绩小于10秒则称为“破十”.甲：10.54，10.49，10.31，10.37，9.97，10.25，10.11，10.04，9.97，10.03；乙：10.32，10.06，9.99，9.83，9.91；（1）求甲成绩的中位数与平均数（平均数的结果保留3位小数）；（2）从乙的5次成绩中任选3次，求恰有2次成绩“破十”的概率.【答案】（1）中位数为10.18，平均数为10.208（2）35【解析】【分析】（1）根据中位数和平均数的计算公式即可求解；（2）列举法求解即可.【小问1详解】甲成绩从小到大排列如下:9.97,9.97,10.03,10.04,10.11,10.25,10.31,10.37,10.49,10.54，∴甲成绩的中位数为10.1110.2510.182+=，平均数为1(9.979.9710.0310.0410⨯+++10.1110.2510.3110.3710.4910.54)10.208++++++=；【小问2详解】乙的5次成绩有3次“破十”，记为,,a b c ，有2次没“破十”，记为,d e ，记恰有2次成绩“破十”为事件A ，则从乙的5次成绩中任选3次的结果有：,,,,,,,,,abc abd abe acd ace ade bcd bce bde cde 共10种，其中满足事件A 的结果有,,,,,abd abe acd ace bcd bce 共6种，63()105P A ∴==，即恰有2次成绩“破十”的概率为35.18.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()()()c c a b a b a -=-+.（1）求角B ；（2）若边AC 上的中线BD 长为2，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）π3B =（2）433【解析】【分析】（1）先化简()()()c c a b a b a -=-+，再结合余弦定理即可求解；（2）利用中线向量公式，结合数量积的运算可得2216ac a c -=+，结合基本不等式与三角形的面积公式即可求解.【小问1详解】因为()()()c c a b a b a -=-+，所以222c ca b a -=-，即222c a b ca +-=，根据余弦定理可得2221cos 222c a b ca B ca ca +-===，又因为0πB <<，所以π3B =；【小问2详解】BD Q 是AC 上的中线，1()2BD BC BA ∴=+ ，即221()4BD BC BA =+ ，()222214,1624a ac c ac a c ac ∴=++∴-=+≥，即163ac ≤，当且仅当433a c ==时，等号成立，1343sin 243ABC S ac B ∴==≤ ，即ABC 面积的最大值为433.19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是以AC 为底边的等腰直角三角形，12AA =，AC =（1）求证：平面1A BC ⊥平面11ABB A ；（2）求点A 到平面1A BC 的距离.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）先证明BC ⊥平面11ABB A ，再利用面面垂直的判定定理即可证明；（2）利用等体积法即可求解.【小问1详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，BC ⊂ 平面1,ABC AA BC ∴⊥，又11,,,BC AB AB AA A AB AA ⊂⊥⋂= 平面11ABB A ，BC ∴⊥平面11ABB A ，BC ⊂ 平面1A BC ，∴平面1A BC ⊥平面11ABB A ；【小问2详解】由（1）可知BC ⊥平面11ABB A ，又1A B ⊂平面111,ABB A BC A B ∴⊥，由题意可知，12,2AB BC AA ===，1A B ∴==，111222222A BC ABC S S ∴=⨯==⨯⨯= ，设点A 到平面1A BC 的距离为h ，由11A ABC A A BC V V --=可得，111133ABC A BC S AA S h ⋅=⋅△△，即112233h ⨯⨯=⨯，解得h =所以点A 到平面1A BC.20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，短半轴b 长为1，点P 在椭圆E 上运动，且12PF F △（1）求椭圆E 的方程；（2）当点P 为椭圆E 的上顶点时，设过点()1,1H --的直线l 交椭圆E 于M ，N 两点，直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +为定值.【答案】（1）2214x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意可得2221122b c b a b c =⎧⎪⎪⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎩，求解即可；（2）分直线斜率存在和不存在两种情况，结合韦达定理即可证明.【小问1详解】设椭圆E 的半焦距为c ，由题意可知，当P 为椭圆E 的上顶点或下顶点时，12PF F △.所以2221122b c b a b c=⎧⎪⎪⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎩，所以2a =，c =故椭圆E 的标准方程为2214x y +=；【小问2详解】由题意可知()0,1P ，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为=1x -，则不妨令1,,1,22M N ⎛⎫⎛--- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，1233112220101k k -+∴+=+=++；当直线l 的斜率存在时，设直线的方程为1(1)y k x +=+，记()()1122,,,M x y N x y ，由221(1)14y k x x y +=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()()22221488480k x k k x k k ++-+-=，此时16(32)0k k ∆=+>，即23k <-或0k >，221212228848,1414k k k k x x x x k k--∴+=-=++，()()()()12211221112112122212121111k x x k x x y x y x y y k k x x x x x x ⎡⎤⎡⎤+-++--+---⎣⎦⎣⎦∴+=+==()()()22212122212248(2)882(2)81624848k k k k k k kx x k x x k k x x k k k k----+-+-====--.综上所述，122k k +=，即12k k +为定值.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21.已知函数()2ln ln 2m f x x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，()32333242m g x x m x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭.（1）当0m =时，求()f x 在()()1,1f 处的切线方程；（2）当2m =时，设函数()()()23F x g x f x =+，求证：()0F x <有解.【答案】（1）220x y --=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）当0m =时，求出()1f 、()1f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）化简得出函数()F x 的解析式，利用()10F <可证得结论成立.【小问1详解】解：当0m =时，()2ln ln f x x x x x =+，则()10f =，()2ln ln 1f x x x x x '=+++，则()12f '=，故当0m =时，()f x 在()()1,1f 处的切线方程为()21y x =-，即220x y --=.【小问2详解】证明：当2m =时，()2ln ln f x x x x x x =++，()33g x x x =-，()()()32322222ln ln ln ln 333F x g x f x x x x x x x x x x x x x x =+=-+++=-++，因为()21103F =-<，故不等式()0F x <有解.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交弦的中点坐标为()1,1-，求直线l 的极坐标方程.【答案】（1）:sin cos sin cos 0l x y αααα---=，22:149x y C +=（2）9cos 4sin 130ρθρθ--=【解析】【分析】（1）在直线l 与曲线C 中消去参数，可得出直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）利用点差法可求出直线l 的普通方程，再化为极坐标方程即可.【小问1详解】解：在直线l 的参数方程中消去参数t 可得sin cos sin cos 0x y αααα---=，在曲线C 的参数方程中消去参数θ可得2222cos sin 123x y θθ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，直线l 的直角坐标方程为sin cos sin cos 0x y αααα---=，曲线C 的直角坐标方程为22149x y +=.【小问2详解】解：设直线l 交曲线C 于点()11,A x y 、()22,B x y ，则122x x +=，122y y +=-，若直线l x ⊥轴，则线段AB 的中点在x 轴上，不合乎题意，所以，直线l 的斜率存在，由已知可得22112222149149x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两个等式作差可得22221212049x x y y --+=，即()()()()12121212049x x x x y y y y -+-++=，即()()121222049x x y y ---=，整理可得121294AB y y k x x -==-，所以，直线l 的方程为()9114y x +=-，即94130x y --=，所以，直线l 的极坐标方程为9cos 4sin 130ρθρθ--=.选修4-5：不等式选讲23.已知定义域为R 的函数()1f x x a x =-+-.（1）若3a =，求函数()f x 的最小值；（2）若0a >，不等式()2f x ≥恒成立，求实数a 的最小值.【答案】（1）2（2）3【解析】【分析】（1）当3a =时，利用绝对值三角不等式可求得函数()f x 的最小值；（2）利用绝对值三角不等式可得出关于实数a 的不等式，结合0a >，可解出a 的取值范围，即可得解.【小问1详解】解：当3a =时，()()()31312f x x x x x =-+-≥---=，当且仅当13x ≤≤时，等号成立，故函数()f x 的最小值为2.【小问2详解】解：若0a >，由绝对值三角不等式可得()()()111f x x a x x a x a =-+-≥---=-，当且仅当{}{}min ,1max ,1a x a ≤≤时，等号成立，因为不等式()2f x ≥恒成立，则12a -≥，即12a -≤-或12a -≥，解得1a ≤-或3a ≥，因为0a >，则3a ≥，故正实数a 的最小值为3.。
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蓉城名校联盟2018级高三第一次联考
文科数学
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡，上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”。
2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集为实数集R ，集合A ＝{x|0≤x ≤4}，B ＝{x|x 2－8x ＋15>0}，则A ∩(U
B)＝
A.[4，5]
B.[0，3]
C.[3，4]
D.(3，4)
2.已知复数z ＝2
1i -，则|z|＝
A.1
B.2
C.3
D.2
3.命题p ：“∀x ∈(0，2π
)，sinx<tanx ”的否定⌝p 为
A.∀x ∈(0，2π)，sinx ≥tanx
B.∀x ∈(0，2π
)，sinx>tanx C.∃x 0∈(0，2π)，sinx 0≥tanx 0 D.∃x 0∉(0，2π
)，sinx 0≥tanx 0"
4.由于美国对华为实施禁令，华为手机的销售受到影响，现统计出今年x 月份(x ∈{6，7，8，9，10})的销售量y(单位：万台)的一组相关数据如下表
若变量x ，y 具有线性相关性，x ，y 之间的线性回归方程为y ＝－20x ＋a ，则预计今年11月份的销量为( )万台。
A.580
B.570
C.560
D.550
5.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3，a 7是方程x 2－8x －13＝0的两根，则S 9＝ A.80 B.72 C.40 D.36
6.已知tan(a ＋2π
)＝－12，则2sin cos cos sin αααα+-＝
A.－4
B.4
C.5
D.－5
7.已知x ，y 满足|x|＋|y|≤1，则事件“x 2＋y 2≤1
2”的概率为
A.8π
B.4π
C.1－8π
D.1－4π
8.“m ∈(0，13)”是“函数f(x)＝()3m 1x 4m x 1mx x l -+<⎧⎪⎨
-≥⎪⎩，，是定义在R 上的减函数”的
A.既不充分也不必要条件
B.充分必要条件
C.充分不必要条件
D.必要不充分条件 9.已知lga ＋lgb ＝0且a<b ，则不等式log a x ＋log b (2x －1)>0的解集为
A.(1，＋∞)
B.(0，1)
C.(12，＋∞)
D.(1
2，1)
10.已知三棱锥P －ABC ，PA ⊥平面ABC ，且|PA
ABC 中，|AC|＝1，|BC|＝2，且满足sin2A ＝sin2B ，则三棱锥P －ABC 外接球的体积为
A.3
B.323π
C.3
D.8
3π
11.已知函数f(x)＝x ＋cosx ，x ∈R ，设a ＝f(0.3－
1)，b ＝f(2－0.3
)，c ＝f(log 20.2)，则
A.b<c<a
B.c<a<b
C.b<a<c
D.c<b<a
12.已知函数f(x)的定义域为R ，且对任意x ∈R 都满足f(1＋x)＝f(1－x)，当x ≤1时，f(x)＝
x
lnx 0x 1e x 0<≤⎧⎨≤⎩，，(其中e 为自然对数的底数)，若函数g(x)＝m|x|－2与y ＝f(x)的图像恰有两个交
点，则实数m 的取值范围是
A.m ≤0或m ＝e
B.0<m ≤32
C.3
2<m<e D.m>e
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知角α终边上一点P(3，4)，则sin2α＝ 。
14.已知非零向量a与b的夹角为2
3
π
，|b|＝2，若a⊥(a＋b)，则|a|＝。
15.已知数列{a n}对任意m，n∈N*都满足a m＋n＝a m＋a n，且a1＝1，若命题“∀n∈N*，λa n≤a n2＋12”为真，则实数λ的最大值为。
16.对于定义在区间D上的函数f(x)，若满足对∀x1，x2∈D且x1≠x2时都有(x1－x2)(f(x1)－f(x2))≥0，则称函数f(x)为区间D上的“非减函数”，若f(x)为区间[0，2]上的“非减函数”且f(2)
＝2，f(x)＋f(2－x)＝2，又当x∈[3
2，2]，f(x)≤2(x－1)恒成立，有下列命题
①f(1)＝1 ②f(3
2)＝
3
2
③∀x∈[3
2，2]，f(x)≥1 ④
192527
()()()()
14161814
f f f f
+++
＝4
其中正确的所有命题的序号为。
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分。
17.(12分)
已知f(x)
＋sin2x。
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)若b＝4，△ABC的周长为12，且f(B)＝3
2，求△ABC的面积。
18.(12分)
随着新冠疫情防控进入常态化，生产生活逐步步入正轨，为拉动消费，成都市先后发行了三批(每批2亿元)消费券。
我们随机抽取了50人，对这种拉动消费的方式是否赞同进行调查，结果如下表，其中年龄低于45岁的总人数与不低于45岁的总人数之比为3：2。
(1)求m ，n 的值；
(2)若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“赞同”的态度与人的年龄有关：
(3)若从年龄在[55，65)的被调查人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人不赞同的概率。
参考数据：
2
2
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 。
19.(12分)
如图(1)，AD 是△BCD 中BC 边上的高线，且AB ＝2AD ＝2AC ＝2，将△BCD 沿AD 翻折，使得平面ACD ⊥平面ABD ，如图(2)。
(1)求证：AB ⊥CD ；
(2)图(2)中，E 是BD 上一点，连接AE 、CE ，当AE 与底面ABC 所成角的正切值为1
2时，求
四面体A －CDE 的体积。
20.(12分)
已知椭圆C ：22
221x y a b +=的左、右顶点分别为A 1，A 2，上下顶点分别为B 1，B 2，且|AB|＝
离心率e
＝2。
(1)求椭圆方程；
(2)点P 是圆C 2：(x －2)2＋(y －3)2＝1上一点，射线OP 与椭圆C 1交于点M ，直线A 1M ，A 2M ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，求k 1·k 2·k 3的取值范围。
21.(12分)
已知函数f(x)＝x 2＋2alnx ，其中a ∈R 。
(1)当a ＝－1时，求f(x)的单调区间；
(2)若在[1，e]上存在一点x ，使得关于x 的不等式f(x)>x 2＋()2a 1x +＋2x 成立，求实数a 的取
值范围。
(二)选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy 中，直线C
的方程为：1212x y ⎧=-+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩(t 为参数)。
以坐标原点为极点，x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0。
(1)求C 2的直角坐标方程；
(2)设C 1，C 2的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积。
23.[选修4－5：不等式选讲](10分)
已知m>n>0，函数f(x)＝|x ＋
()
1
n m n -|。
(1)若m ＝3，n ＝1，求不等式f(x)>2的解集； (2)求证：f(x)≥4－|x －m 2|。