数学史复习整理

数学史就是研究数学的产生、发展过程与发展规律的学科。

数学就是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。

数学史的特点:1、数学以抽象的形式,追求高度精确、可靠的知识、2、与抽象性相联系的数学的另一个特点就是在对宇宙世界与人类社会的探索追求最大限度的一般性模式特别就是一般性算法的倾向。

3、数学作为一种创造性活动,还具有艺术的特征,这就就是对美的追求。

学习数学史的意义:1、树立正确的世界观与数学观

2、丰富数学专业必备的知识

3、把握数学科学发展的规律

4、当代数学教育的需要

为什么要从历史的角度谈谈“什么就是数学史”

数学本身就是一个历史的概念,数学的内涵随着时代的变化而变化,给数学下一个一劳永逸的

定义就是不可能的。

公元前6世纪前,数学主要就是关于“数”的研究。

亚里士多德:数学就是量的科学。

公元前6世纪开始,希腊数学的兴起,突出了对“形”的研究。公元前6世纪~17世纪,数

学数学主要就是关于数与形的研究。

笛卡尔:数学就是以研究顺序与度量为目的的学科。

17世纪数学主要就是关于“数、形、运动与变化”的研究。

恩格斯:数学就是研究现实世界的空间形式与数量关系的学科。

19世纪后期开始,数学成为研究数与形、运动与变化,以及研究数学自身的学问。

20世纪80年代开始,美国学者把数学定义为“模式”的科学,其目的就是要揭示人们从自然界与数学本身的抽象世界中所观察到的结构与对称性。

三次数学危机:第一次数学危机:(无理数悖论,希帕索斯悖论)

直觉与经验并不可靠,推理证明才就是可靠的。

第二次数学危机:(无穷小量悖论,贝克莱悖论)

重建微积分基础:极限理论与实数论。

第三次数学危机(集合悖论,罗素悖论)

公理化集合论,对数学基础的研究。

三种常见的早期计数方法:手指计数、刻痕计数、结绳计数。

除了巴比伦楔形数字采用六十进制、玛雅数字采用二十进制外,其她均属十进制数。

几何学的希腊文意为测地

中国最早的数学经典《周髀算经》事实上就是一部讨论西周初年天文测量中所用数学方法(测日法)的著作。

古埃及人在一种纸莎(suo)草压制成的草片上书写:莱茵德纸草书与莫斯科纸草书。

埃及人很早及发明了象形文字记号,这就是一种以十进制为基础的系统,但却没有位值的概念。

单位分数的广泛使用成为埃及数学一个重要而有趣的特色。

古巴比伦的普林顿322泥书上记录了勾股数。(毕达哥拉斯数)

向理论数学的过渡,就是大约公元前6世纪在地中海沿岸开始的,那就是一个崭新的、更加开放的文明—历史学家成称“海洋文明”,带来了初等数学的第一个黄金时代—以论证几何为主的希腊数学时代。

把零作为数引入运算,这就是印度人的伟大贡献。用符号“0”表示零就是印度的重要发明。

超越数:π与e。

最早的希腊数学家就是泰勒斯。她领导的爱奥尼亚学派据说开了希腊命题证明的先河。（1）圆的直径将圆分为两个相等的部分。

（2）等腰三角形的两底角相等。

（3）两相交直线形成的对顶角相等。

（4）两个三角形,有两个角与一条边对应相等则全等。

（5）内接于半圆的角必就是直角。

泰勒斯获得了第一位数学家与论证几何学鼻祖的美名。

“哲学”与“数学”这两个词就是毕达哥拉斯本人所创。毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”,这里的数仅指整数。

普鲁塔克的面积剖析法证明勾股定理。P36

毕达哥拉斯学派另一项几何成就就是正多面体作图。其中正四面体、正六面体、正八面体归功于毕达哥拉斯学派,正十二面体、正二十面体归功于蒂奥泰德。

正五边形的作图与著名的“黄金分割”问题有关。整体与较长部分之比等于较长部分与较短部分之比,这就就是所谓的“黄金分割”。

三大几何问题:(1)化圆为方,即作一个与给定的圆面积相等的正方形。

(2)倍立方体,即作一立方体,使其面积等于已知立方体的两倍。

(3)三等分角,即分任意角为三等分。

这三大问题实际上就是不可解的。

安提丰就是古希腊“穷竭法”的始祖。

芝诺四个著名的悖论:(1)两分法

(2)阿基里斯

(3)飞箭

(4)运动场

亚里士多德的哲学思想及对数学的贡献:

(1）提出了物质第一性的认识论

(2）创立了逻辑学,为数学的理论建构奠定了基础。

(3）提出了思维的三条规律:同一律、矛盾律、排中律。

(4）提出了几种思维基本形式:概念、判断、推理。

(5）特别提出了作为严格推理形式的演绎三段论,为推理的规范化科学化奠定了基础。据载,亚里士多德的逻辑学一直到19世纪无人能挑出它的毛病。

(6）确定了数学中的公理化方法

(7）将概念分为了不经定义的(基本)概念,与在此基础上定义的(派生)概念两类。

(8）亚里士多德把数学命题也分为两类,基本原理与定理(引申出来的命题)。

(9）她不把基本原理瞧作就是“明显的、无须证明的、大家公认的命题”,而就是“无法论证的知识原理”。

(10）她把基本原理分为公理与公设,把公理作为一切科学公有的真理,而把公设作为某一门学科的第一性原理。

(11）并认为基本原理的数目应尽可能地少(不妨碍推出所有结论)。

(12）亚里士多德的形式逻辑被后人奉为演绎推理的圣经,在当时,则为欧几里得演绎几何体系的形成奠定了方法论的基础。

欧几里得的《原本》

公设:1、假定从任意一点到任意一点可作一直线。

2、一条有限直线可无限延长。