专训2 “化斜为直”构造直角三角形的方法

方法
2
有直角、无直角的图形延长某些边
2．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝ 60°，∠D＝∠B＝90°，求四边形ABCD的面积． 解： 如图，延长BC，AD交于点E.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∵∠A＝60°，∠B＝90°，∴∠E＝30°. AB 2 = = 2 3， 在Rt△ABE中，BE＝ o tan E tan 30
习题课 阶段方法技巧训练（二）
专训2
“化斜为直”构造
直角三角形的方法
锐角三角函数是在直角三角形中定义的，解直 角三角形的前提是在直角三角形中进行，对于非直 角三角形问题，要注意观察图形特点，恰当作辅助
线，将其转化为直角三角形来解．
方法
1
无直角、无等角的三角形作高
1．如图，在△ABC中，已知BC＝1＋ 3 ，∠B＝ 60°，∠C＝45°，求AB的长． 解： 如图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D.
在Rt△CDE中，EC＝2CD＝2， 3 ∴DE＝EC· cos 30°＝2× ＝ 3. 2
∴S四边形ABCD＝SRt△ABE－SRt△ECD
1 1 ＝ AB· BE－ CD· ED 2 2 1 1 3 3 ＝ ×2×2 3 － ×1× 3 ＝ . 2 2 2
本题看似是四边形问题，但注意到∠B＝90°， ∠A＝60°，不难想到延长BC，AD交于点E，
关系是解题的关键．
方法
4
求非直角三角形中角的三角函数值时构造直角三角形24
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝ 1 ∠BAC，求tan ∠BPC的值． 2 如图，过点A作AE⊥BC于点E，∵AB＝AC＝5， 解： 1 1 1 ∴BE＝ BC＝ ×8＝4，∠BAE＝ ∠BAC. 2 2 2 1 ∵∠BPC＝ ∠BAC，∴∠BPC＝∠BAE. 2 在Rt△BAE中，由勾股定理得AE＝
AB2 - BE 2 = 52 - 42 ＝3， BE 4 = . ∴tan ∠BPC＝tan ∠BAE＝ AE 3
构造出直角三角形，将所求问题转化为直角三
角形问题来解决．
方法
3
有三角函数值不能直接利用时作垂线
3．如图，在△ABC中，点D为AB的中点，DC⊥AC，
1 sin ∠BCD＝ ，求tan A的值． 3
解：如图，过点B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E.
∵点D是AB的中点，∴AD＝DB. 又∵∠ACD＝∠BED＝90°，∠ADC＝∠BDE，
∴△ACD≌△BED，∴CD＝DE，AC＝BE. BE 1 = ，∴BC＝3BE. 在Rt△CBE中，sin ∠BCE＝ BC 3 ∴CE＝ BC 2 - BE 2 = 2 2 BE，
1 ∴CD＝ CE＝ 2 BE＝ 2 AC. 2 CD 2 AC = = 2. ∴tan A＝ AC AC
构造直角三角形，把所要求的量与已知量建立
设BD＝x，
在Rt△ABD中，AD＝BD· tan B＝x· tan 60°＝ 3 x.
在Rt△ACD中，∵∠C＝45°， ∴∠CAD＝90°－∠C＝45°， ∴∠C＝∠CAD，∴CD＝AD＝ 3 x.
∵BC＝1＋ 3 ，∴ 3 x＋x＝1＋ 3 ，
解得x＝1，即BD＝1.
BD 在Rt△ABD中，∵cos B＝ ， AB BD 1 = ∴AB＝ ＝2. cos B cos 60o