专训2 “化斜为直”构造直角三角形的方法
解直角三角形的方法与技巧
解直角三角形常用解题方法与技巧 解直角三角形所涉及的知识面较广，题目灵活性、综合性较强，因而学习起来可能会有一定的困难，为帮助大家理解并掌握其中的解题方法与解题技巧，现结合实例归纳总结如下： 一、巧妙应变，走出解题陷阱 例1 如图①，在Rt △ABC 中，AB =c ，AC =b ，BC =a ，∠A =90°，⑴、若a =15，b =12，求c ；⑵、若b =8，c=15，求a ．简析 由∠A =90°知，本题a 才是斜边，故应运用勾股定理222b c a +=求解．解 ⑴、∵∠A =90°，AB =c ，AC =b ，BC =a ，∴222b c a +=，又∵c ＞0，∴222215129c a b =-=-=．⑵、由⑴知222b c a +=，∴222281517a b c =+=+=．评注 解直角三角形问题，审题很重要，有时候稍一疏忽就有可能导致错解或者漏解的产生．本例在求解时正是注意到了斜边这一特殊边长的变化从而避免了解题错误的发生．二、巧设参数，化繁难为简易例2 如图②，在△ABC 中，∠C =90°，sin A =45，求tan B 的值． 简析 要算tan B ，必须先求出直角边AC 、BC 的长，注意到题中只有“sin A =35”而没有给出相应线段的长，故考虑采用设参数的办法进行解决．解 设BC =4k ，则AB =5k （k ＞0）．∵在△ABC 中，∠C =90°，∴AC =2222(5)(4)3AB BC k k k -=-=，∴tan AC B BC ==3344k k =． 评注 对于已知特殊角而求三角函数值（或线段比值）的解直角三角形问题，有时候适当引入参数可以帮助我们在解题过程中少走不少弯路．三、巧建模型，以不变应万变例3 如图③所示，某小岛周围40海里内布满暗礁，一艘船由西向东航行，起初在A 处测得小岛在北偏东60°方向，航行30海里后在B 处又测得小岛在东北方向，如果该船不改变航行方向而继续向前航行，那么它会有触礁危险吗？简析 过O 作OH ⊥AB 于H ，将实际问题转化为解直角三角形问题．不妨设OH =x ，则由AH －BH =AB 可得方程cot30°x －cot45°x =30，从中解出x 的值，接下去只需将OH 的值与40进行比较即可得解．解 过点O 作OH ⊥AB 于H ，设OH =x ，由题意可知∠OAH =30°，∠OBH =45°，AB =30．在Rt △OAH 与Rt △OBH 中，∵cot ∠OAH =AH OH ，cot ∠OBH =BH OH∴AB =AH －BH = OH (cot30°－cot45°)，即(cot30°－cot45°)x =30，解之得x =15＋153≈40.98＞40．所以如果不改变航向，该船不会有触礁的危险．例4 如图④所示，为了求河的宽度，在河对岸岸边任意取一点A ，再在河这边沿河边取两点B 、C ，使得∠ABC =60°，∠ACB =45°，现量得BC =30m ，求河的宽度．简析 河的宽度即为△ABC 中BC 边上的高，为此，过点A 作AD ⊥BC于D ，则本实际问题也转化成了解直角三角形问题．和前例一样，通过设AD =x 然后建立方程即可求得AD 的长．解 过A 作AD ⊥BC 于D ，并设AD =x ．在Rt △ABD 与Rt △ACD 中，∵cot cot 60BD ABC AD =∠=︒，cot cot 45CD ACB AD=∠=︒， ∴BC =BD ＋CD =AD (cot60°＋cot45°)，即(cot60°＋cot45°)x =30，解之得x =45－153， ∴所求河的宽度为(45－153)m ．评注 在解有双方位角或双视角类实际问题时，如果图形中没有直角三角形，则应通过添加辅助线的方法将原图形转化为两个具有公共边特征的直角三角形，然后再建立方程进行求解．为方便同类题型求解，以上两例还可归结为如下的数学模型——⑴如图⑤a ，已知AB ⊥CD 于B ，点C 、D 在AB 的同侧，若测得∠ACB =α，∠ADB =β，且α＜β，则有AB (cot α－cot β)=CD ，BC · tan α=BD · tan β；⑵如图⑤b ，已知AB ⊥CD 于B ，点C 、D 在AB 的两侧，若测得∠ACB =α，∠ADB =β，则有AB (cot α＋cot β)=CD ，BC · tan α=BD · tan β．。
化斜为直题型
化斜为直题型
化斜为直题型是数学中一种常见的题型，主要涉及到直线和斜率的概念。
在解决这类问题时，通常需要将一个斜线段转化为一条水平的直线段，以便更容易地找到问题的解决方案。
化斜为直题型通常涉及到以下步骤：
1. 确定斜线段的起点和终点。
2. 找到斜线段的中点。
3. 将斜线段的中点和起点连接起来，形成一条水平的直线段。
4. 利用中点和起点之间的距离和斜率，计算出直线段的长度。
5. 根据需要，可以使用其他数学工具或方法来进一步处理直线段。
化斜为直题型的应用非常广泛，可以用于解决各种不同的问题，例如几何问题、物理问题、工程问题等。
通过将斜线段转化为直线段，可以更容易地找到问题的解决方案，简化计算过程，提高解题效率。
解直角三角形的方法和技巧
解直角三角形的方法和技巧直角三角形是三角形中最为基础和重要的一类三角形，因为它具有很多特殊的性质和应用。
解直角三角形的方法和技巧在数学的学习过程中非常重要，本文将为大家介绍10条关于解直角三角形的方法和技巧，并展开详细描述。
一、勾股定理勾股定理是解直角三角形最基本的定理，也是解直角三角形的最快捷的方法。
勾股定理的公式为：a² + b² = c²。
a和b表示直角边，c表示斜边。
当已知a和b的长度时，可以通过计算c的长度来确定直角三角形的大小和形状。
勾股定理非常广泛地应用于工程、科学和数学等领域，可以帮助我们计算物体的大小、距离和位置等。
二、正弦定理正弦定理也是解直角三角形的一种基本方法，它是一个三角形中的三角函数，公式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
a、b、c分别表示三角形任意两边和斜边，A、B、C表示这些边对应的角度。
如果已知了两个长度和一个角度，则可以通过正弦定理计算第三个长度。
正弦定理的应用十分广泛，可以帮助我们计算三角形的任意边的长度。
三、余弦定理余弦定理也是解直角三角形的一种基本方法，它也是一个三角形中的三角函数，公式为：c² = a² + b² - 2abcosC。
a、b表示三角形中两个边的长度，c表示斜边的长度，C表示斜边对应的角度。
如果已知了两个长度和一个角度，则可以通过余弦定理计算第三个长度。
余弦定理也是应用广泛的一个数学公式，可以帮助我们计算三角形的任意边的长度。
四、正切定理正切定理也是解直角三角形的一种基本方法，它是一个三角形中的三角函数，公式为：tanA = a/b或tanB = b/a。
a、b分别表示三角形中的两个直角边，A、B是它们对应的角度。
通过正切定理可以求得角度的大小或两直角边的比例。
五、特殊直角三角形的知识特殊直角三角形是指那些具有特殊边长和角度的直角三角形。
其中最为常见的是边长为3、4、5的特殊直角三角形。
直角三角形的性质与计算方法总结
直角三角形的性质与计算方法总结直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度，即直角。
在这篇文章中，我们将总结直角三角形的性质，以及计算直角三角形的方法。
一、直角三角形的性质1. 斜边：直角三角形中最长的一边被称为斜边。
它是直角三角形的斜边和另外两边之间的关系：斜边的平方等于另外两个直角边的平方和。
我们可以用勾股定理来表示：c² = a² + b²，其中c表示斜边，a和b表示直角边。
2. 直角边：直角三角形中与直角相邻的两条边被称为直角边。
两个直角边的长度可以通过勾股定理计算出来。
3. 角度：直角三角形中，除了直角外，还有两个锐角。
锐角的大小可以通过三角函数来计算，比如正弦、余弦和正切等。
二、计算直角三角形的方法1. 已知两条边求第三边：如果已知直角三角形的一条直角边和斜边（或者另一条直角边），可以使用勾股定理求解。
根据 c² = a² + b²，可以计算出第三条边的长度。
2. 已知一条边和一个角度求其他边：如果已知直角三角形的一条直角边和一个角度（不包括直角），可以使用三角函数来计算其他边的长度。
比如，已知直角三角形的斜边和一个锐角，可以使用正弦或余弦函数来求解。
3. 已知两个角度求第三个角度：直角三角形中，两个锐角的和为90度。
如果已知两个锐角中的一个，可以通过将其与90度相减得出第三个角的度数。
三、直角三角形的应用1. 地理测量：直角三角形的性质和计算方法在地理测量中具有广泛的应用。
通过测量两个已知距离之间的夹角和一个已知距离，我们可以计算出其他未知距离。
2. 建筑设计：在建筑设计中，直角三角形的性质和计算方法可以帮助我们确定建筑物的大小和比例，以及计算出斜坡的坡度和长度。
3. 导航和航海：通过使用直角三角形的性质和计算方法，我们可以在导航和航海中确定我们的位置、航向和航速。
总结：直角三角形是一种重要的三角形，具有独特的性质和计算方法。
新人教部编版初中九年级数学解题技巧专题：构造直角三角形解题
即 sin18°＝
5－1 4.
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在
Rt△ADH
中，sin∠ADH＝AAHD＝
5 5.
∴∠ADC
的正弦值为
5 5.
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3．如图，在△ABC 中，AB＝BC＝5，tan∠ ABC＝34.
(1)求边 AC 的长；
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2．如图，AD 是△ABC 的中线，tanB＝51，cosC ＝ 22，AC＝ 2.求：
(1)BC 的长；
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解：(1)如图，作 AH⊥BC 于点 H. 在 Rt△ACH 中，cosC＝ 22＝CAHC，AC＝ 2， ∴CH＝1. ∴AH＝ AC2－CH2＝1.
5．如图，在△ABC 中，D 为 BC 边上的一点， 若∠B＝36°，AB＝AC＝BD＝2.
(1)求 CD 的长；
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解：(1)∵AB＝AC，∠ABC＝36°， ∴∠C＝∠ABC＝36°. ∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝108°. ∵AB＝BD，∠ABC＝36°，
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∵AB＝AC＝BD＝2， ∴C2D＝2＋2CD. 解得 CD＝ 5－1(负值舍去)．
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(2)利用此图求 sin18°的值． (2)如图，延长 CB 到 E，使 BE＝AB＝2，连接 AE，则∠E＝∠BAE＝18°.
28.2.2“化斜为直”构造直 角三角形的四种常用方法
解：如图，延长BC，AD交于点E. ∵∠A＝60°，∠B＝90°， ∴∠E＝30°.
在Rt△ABE中，BE＝
AB tan E
2 tan 30
＝2
解：如图，过点A作AE⊥BC于点E.
∵AB＝AC＝5，
∴BE＝
1 2
BC＝
1 2
×8＝4，
1 ∠ ∵B∠ABEP＝C＝2 ∠12 ∠BABCA.C， ∴∠BPC＝∠BAE.
在Rt△BAE中，由勾股定理得：
AE＝ AB2 BE2 52 42 ＝3，
∴tan
∠BPC＝tan
∠BAE＝
BE AE
4 3
3，
在Rt△CDE中，EC＝2CD＝2，
∴DE＝EC·cos 30°＝2× 3 3 . 2
∴S四边形ABCD＝SRt△ABE－SRt△ECD＝
1 AB·BE－ 1 CD·ED＝
2
2
12×2×2
3
－
1 2
×1×
33 3 2
.
返回
方法 3 有三角函数值不能直接利用时作垂线
3．如图，在△ABC中，点D为AB的中点，DC⊥AC，
在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，
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∴∠CAD＝90°－∠C＝45°.
∴∠C＝∠CAD.∴CD＝AD＝ 3 x.
∵BC＝1＋ 3 ，∴ 3 x＋x＝1＋ 3 ，
解得x＝1，即BD＝1.
在Rt△ABD中，∵cos ∴AB＝ BD 1
B＝ ＝2.
BD AB
解直角三角形的方法,步骤与应用
解直角三角形的方法,步骤与应用
几何学中最常见的形状之一是直角三角形，它的特点是一个锐角90度，三
条边均不等的三角形。
学习有关直角三角形的方法有助于理解和应用几何学。
一、如何确定一个三角形是直角三角形？
若要确定一个三角形是否为直角三角形，可以使用斜边-直角定理：如果一个
三角形的斜边的平方等于另外两边相加的平方，则此三角形正是直角三角形。
另外，我们可以使用勾股定理快速判断一个三角形是否为直角三角形，即两个直角边的平方等于对角边的平方。
二、如何确定一个直角三角形的高度？
要计算直角三角形的高度，可以使用直角三角形高度公式：高度=斜边×正弦
度数，其中斜边是三角形斜边的长度；正弦度数是三角形斜边相对应的角度，也就是直角相对应的角度。
三、直角三角形的应用
直角三角形在工程学、护理学、机械学、建筑学等领域都有广泛应用。
在工程学中，直角三角形可以用来计算坡度，从而实现控制俯仰角；在护理学中，直角三角形可以帮助计算肌肉拉伸时的牵力；在机械学中，直角三角形的绘制可以帮助机械工程师确定轴的夹角；在建筑学中，直角三角形可以帮助建筑师设计建筑物的外形和内部空间结构。
综上所述，学习有关直角三角形的方法有助于我们更好地理解几何学知识，并将其应用于各个领域。
浅谈变“斜”为“直”的应用
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Ａ Ｂ ￣ ２ ， Ｄ ＝ Ａ Ｂｓ ｎ６ 一 √ ｘ Ａ ｉ ０。
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个 特殊 角 ， 形 成两 个 直 角 三 角形 ， 而 为 运 并 从
【 明】 斜 三角 形 问题 通 过 作 高 巧 妙地 说 将
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转 化 为直 角三 角形 ， 用 勾 股 定 理 解 决 有 关 利 边 的 计 算 问 题 是 常 用 办 法 之 一 ．由 此 例 可 以
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ＥＤ Ｃ ＝ ４５ ， Ｅ ＝ ＥＣ． 。Ｄ
维普资讯
★方 法技 巧
浅谈变“ ’ 直’ 斜’ 为“ ’ 的应 用
浙 江绍 兴县 实验 中学（ １００ 樊 玲芝 ３ ２０ ）
转 化 思 想 在 数 学 中 应 用 十 分 广 泛 ．我 们 在 解 数 学 题 时 ， 到 陌 生 的 问 题 常 设 法 把 它 碰 转 化成 熟 悉 的 问题 ， 到 复 杂 的 问题 常 设 法 碰 把 它转 化 成 简 单 的 问题 ， 而 使 问题 获 得 解 从
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Ｂ Ｅ — Ｂ Ｃ— ＥＣ
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需 多少 钱 ？
一
普￣ 是 ／ ． ２
化“斜”为“直”
化“斜”为“直”转化思想在数学中应用十分的广泛，我们在解决数学问题时，常将陌生的问题转化为熟悉的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，从而使问题获得解决，在解直角三角形时，许多问题中并不见直角三角形，而是通过构造直角三角形，即化“斜”为“直”的方法，将问题转化. 下面举例予以说明.例1 如图1，在四边形ABCD中，DC⊥BC，若AB=100，∠A=45°，∠ABD=75°，∠CBD=30°，求BC的长.【分析】此题含有两个三角形，其中一个不是直角三角形，可通过添加适当的辅助线（一般不破坏已知的特殊角），即过点B作BE⊥AD，垂足为E，从而化“斜”为“直”，将条件集中到Rt△ABE中来解决.解：过点B作BE⊥AD，垂足为E，在Rt△ABE中，∠A=45°，AB=100，sin45°=，所以BE=100×sin45°=50，∠ABE=45°，∵∠ABD=75°，∴∠DBE=∠CBD=30°，又BD=BD，∴△BCD ≌△BED，∴BC=BE=50.例2 如图2，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是AC 上的一点，且CD=3AD，求tan∠DBC的值.【分析】要求的∠DBC在斜三角形中，而tan∠DBC的值不能从给定的直角三角形中得到，故需将其转化到直角三角形中，作辅助线DE⊥BC，构造Rt△DBE来求tan∠DBC的值.在条件中没有给出有关线段的长度，于是将已知条件中的CD=3AD中的AD用参数k来表示，并对其“设而不求”，这是一种常用的方法，这样让字母来参与运算，应用方便.解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，并设AD=k，DC=3k，则AB=AC=4k，因为∠A=90°，所以BC=AC=4k，又因为∠C=45°，所以∠EDC=45°，DE=EC，在Rt△DEC中，sin45°=，所以DE=3k×sin45°=k，所以EC=DE=k，所以BE=BC-EC=4k-k=k，所以在Rt△DBE中，tan∠DBC==.例3 已知，如图3，某班数学兴趣小组为了测量河两岸建筑物AB和建筑物CD的水平距离AC，他们首先在A点处测得建筑物CD的顶部D点的仰角为25°，然后爬到建筑物AB的顶部B处测得建筑物CD的顶部D点的俯角为15°30′. 已知建筑物AB的高度为30米，求两建筑物的水平距离AC. （精确到0.1米）【分析】解题的关键是依据题意，通过作垂线构造两个直角三角形，利用三角函数将有关数据有机地联系起来.解：如图，过点D作DH⊥AB，垂足为H，设AC=x，在Rt△ACD中，∠ACD=90°，∠DAC=25°，所以CD=AC tan∠DAC=xtan25°，在Rt△BDH中，∠BHD=90°.∠BDH=15°30′，所以BH=DHtan15°30′=AC tan15°30′=xtan15°30′，又因CD=AH，AH+HB=AB，所以x（tan25°+tan15°30′）=30.所以x=≈40.3（米）.答：两建筑物的水平距离AC为40.3米.说明：解直角三角形的实际问题要注意两个转化：一是将实际问题转化为数学问题，二是将数学问题转化为解直角三角形问题. 此外掌握仰角、俯角的概念和一些特殊角的三角函数值也是解题的关键.小试身手要在宽为28 m的海堤公路的路边安装路灯. 路灯的灯臂长为3 m，且与灯柱成120°的角（如图4所示），路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线与灯臂垂直. 当灯罩的轴线通过公路路面的中线时，照明效果最理想. 问：应设计多高的灯柱，才能取得最理想的照明效果？（精确到0. 01 m，≈1.732）（作者单位：江苏省泗洪县第一实验学校）。
专题5 化“斜”为“直”
∵∠DEB+∠FEC=90°,∠DEB+∠BDE=90°,∴∠BDE=∠FEC,
又∵DE=EF,∴Rt△BDE≌Rt△CEF,∴BD=EC.∵AB=4,AD=1,∴BD=3,BE=1,
∴DE=
10,∴△DEF
的面积为1
2
×
10 ×
10=5.
专题五
化“斜”为“直”
命题者说
典例精析
针对训练
-15-
6.如图,已知点O是矩形ABCD的对称中心,另一与矩形ABCD全等的矩形EFGO的一个顶 点与点O重合,从图1位置开始绕点O逆时针旋转(旋转角0°<α<180°).两矩形的边的 两个交点为M,N,已知AB=2BC=20 cm,当两个矩形的重叠部分△OMN为等腰三角形时, 则AM的长为 5或15 cm.
A.(11-2 2)米 B.(11 3-2 2)米
C.(11-2 3)米 D.(11 3-4)米
专题五
化“斜”为“直”
命题者说
典例精析
针对训练
-10-
【解析】过点 D 作 DE⊥AB 交 AB 于点 E,过点 C 作 CF⊥DE 交 DE 于点 F.
∵∠DCB=120°,CB⊥AB,OD⊥CD,
∴∠DOB=360°-∠DCB-∠CBO-∠ODC=360°-120°-90°-90°=60°,∠DCF=30°,
专题五
化“斜”为“直”
命题者说
典例精析
针对训练
-12-
3.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边AD,CD上,AF,BE相交于点G,若AE=3ED,
DF=CF,则
������������ ������������
的值是(
C
高来帮你化斜为直
“高对于含有特殊角的斜三角形(锐角三角形和钝角三角形)的计算问题,直接求解往往比较困难,这时我们可以通过作高,将原三角形分割成含有特殊角的直角三角形,“化斜为直”后,即可轻松获解.例1（2010云南玉溪）在玉溪州大河旁边的路灯杆顶上有一个物体，它的抽象几何图形如图1，若60ABC10,AC4,AB=∠==, 求B、C两点间的距离.分析:△ABC是一个普通三角形，由于∠ABC=60°，考虑构造以∠ABC为内角的直角三角形，过A点作AD⊥BC于点D，BC被分成BD、CD两部分，分别解相应的三角形即可。
解：过A点作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，∵∠ABC=60°，∴∠BAD=30°.∵AB=4,∴BD=2, ∴AD=23.在Rt△ADC中，AC=10，∴CD=22ADAC-=12100-=222 .∴BC=2+222 . 答：B、C两点间的距离为2+222.点评:作AD⊥BC于点D，将△ABC分成两个Rt△ABD和Rt△ADC是解本题的关键.例2（2010广西柳州）如图2，从热气球P上测得两建筑物A B、的底部的俯角分别为45°和30°，如果A B、两建筑物的距离为90m，P点在地面上的正投影恰好落在线段AB上，求热气球P的高度．（结果精确到0.01m1.7321.414）分析:过点P作PC⊥AB,PC即为所求，本题可以用方程思想，设PC=x,分别在直角三角形△APC和△BPC中，表示出AC=x,BC=x,即可列出方程：x=90,求出x．解：过点P作PC⊥AB设PC=x，在Rt △APC中，∠A=45°，所以，AC=PC= x在Rt △BPC中，∠B=30°，所以，tanB=tan30°=3，所以，BC=x∵AB=90∴C图2 45°30°解得：-45≈32.94答：热气球P 的高度约为32.94m.点评:在直角三角形中，选用恰当的三角函数求出有关的量或用含有未知数的式子表示有关的量进行求解。
初中数学单元教学案例：“化斜为直”思想在中考解题中的应用
案例:“化斜为直”思想在中考解题中的应用教学目标:体会“化斜为直”思想，能利用“化斜为直”思想解决数学问题。
教学重点和难点:“化斜为直”思想的理解及应用。
一、“化斜为直”思想的产生及内涵例1 如图5-4-1，△AOB中，A，B两点的坐标分别为（2，4），（6，2），求△AOB的面积。
解题思路分析:思路一:如图5-4-2，要求解三角形的面积，首先联想到三角形的面积公式S∆=12×底边×高，但是对于七年级的学生来说，还无法在求出△AOB面积之前求出高AM的长度;同样地，其他边也是如此。
思路二:如图5-4-3，先求四边形CODE、△AOC、△BOD和△AEB的面积，然后再将四边形CODE的面积减去△AOC、△BOD和△AEB的面积即得到△AOB的面积。
思路三:如图5-4-4，过点A作AF//y轴，交OB于N，交OD于F，这时S∆AOB=S∆AON+S∆ABN，因此S∆AOB=12AN×(OF+DF)=12AN×OD，我们称AN为“铅锤高”，称OD为“水平宽”，这样，得到三角形的面积公式，S∆=12×水平宽×铅锤高，我们称这种方法叫作铅锤法。
问题解决反思:在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系。
点A（x1，y1）和B（x2，y2）如果满足AB //x轴（y1=y2）.则A、B两点间的距离公式由AB=√(x1−x2)2+(y1−y2)2变为AB=|x1−x2|,而点C（x3，y3）（不在直线AB上）到直线AB的距离为d=|y1−y3|；同样地如果AB//y轴，也有类似的结论。
结论: 在解决以平面直角坐标系为背景的问题中，我们往往可以通过“竖直方向”或者“水平方向”的线段关系解析倾斜的线段关系。
我们称这种解决思想为“化斜为直”思想。
在前面的案例中，思路一无法达成是因为在初中学段缺乏直接研究倾斜直线（线段）的利器，而思路二和思路三能顺利达成就是因为它们不去求各条倾斜的边长，把问题转化为求各条水平方向、竖直方向的线段的长度。
化斜为直，解斜三角形
2013-08方法交流ABCD 45°60°解有关三角形问题时，常常把斜三角形化为直角三角形来解决，现举例如下.一、化斜为直求线段长度例1.如图1，一艘巡逻艇航行至海面B 处时，得知正北方向上距B 处20海里的C 处有一渔船发生故障，就立即指挥港口A 处的救援艇前往C 处营救.已知C 处位于A 处的北偏东45°的方向上，港口A 位于B 的北偏西30°的方向上.求A 、C 之间的距离.（结果精确到0.1海里，参考数据2√≈1.41，3√≈1.73）解：作AD ⊥BC ，垂足为D ，由题意得，∠ACD =45°，∠ABD =30°，设CD=x ，在Rt△ACD 中，可得AD=x ，在Rt△ABD 中，可得BD =3√x ，又∵BC =20，即x +3√x =20，解得：x =10（3√-1）∴AC =2√x ≈10.3.答：A 、C 之间的距离为10.3海里.例2.如图2是某货站传送货物的平面示意图.为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°.已知原传送带AB 长为4米.（1）求新传送带AC 的长度；（2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道，试判断距离B 点4米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由.（说明：（1）（2）的计算结果精确到0.1米，参考数据：2√≈1.41，3√≈1.73，5√≈2.24，6√≈2.45）解：（1）如图，作AD ⊥BC 于点D ，在Rt△ABD 中，AD =ABsin45°=4×2√2=22√在Rt△ACD 中，∵∠ACD =30°∴AC =2AD =42√≈5.6即新传送带AC 的长度约为5.6米.（2）结论：货物MNQP 应挪走.解：在Rt△ABD 中，BD =AB cos45°=4×2√2=22√在Rt△ACD 中，CD=AC cos30°=42√×3√2=26√∴CB=CD-BD =26√-22√=2（6√-2√）≈2.1∵PC=PB-CB ≈4-2.1=1.9<2∴货物MNQP 应挪走.二、化斜为直求建筑物高度例3.如图3所示，小明在自家楼顶上的点A 处测量建在与小明家楼房同一水平线上邻居的电梯的高度，测得电梯楼顶部B 处的仰角为45°，底部C 处的俯角为26°，已知小明家楼房的高度AD =15米，求电梯楼的高度BC.（结果精确到0.1米，参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49）解：过点A 作AE ⊥BC 于E ，∵AD ⊥CD ，BC ⊥CD ，∴四边形ADCE 是矩形，∴CE=AD =15，在Rt△ACE 中，AE =CE tan26°=150.49≈30.6，在Rt△ABE 中，BE=AE ·tan45°=30.6，∴BC=CE+BE =15+30.6=45.6.答：电梯楼的高度BC 为45.6米.例4.如图4，小山岗的斜坡AC 的坡度是tanα=34，在与山脚C 距离200米的D 处，测得山顶A 的仰角为26.6°，求小山岗的高AB.（结果取整数：参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）解：∵在Rt△ABC 中，AB BC =tanα=34，∴BC =4AB3∵在Rt△ADB 中，∴AB BD=tan26.6°=0.50即：BD =2AB ∵BD -BC=CD =200∴2AB -43AB =200解得：AB =300，答：小山岗的高度为300米.三、化斜为直巧判断例5.如图5，一艘货轮在A 处发现其北偏东45°方向有一海盗船，立即向位于正东方向B 处的海警舰发出求救信号，并向海警舰靠拢，海警舰立即沿正西方向对货轮实施救援，此时距货轮200海里，并测得海盗船位于海警舰北偏西60°方向的C 处.（1）求海盗船所在C 处距货轮航线AB 的距离.（2）若货轮以45海里/时的速度由A 处沿正东方向海警舰靠拢，海盗以50海里/时的速度由C 处沿正南方向对货轮进行拦截，问海警舰的速度应为多少时才能抢在海盗之前去救货轮？（结果保留根号）解：（1）作CD ⊥AB 于点D ，在Rt△ADC 中，∵∠CAD=45°，∴AD=CD .在Rt △CDB 中，∵∠CBD =30°，∴DC BD=tan30°，∴BD=3√DC .∵AB=AD+BD=CD +3√CD =200，化斜为直，解斜三角形文/范艳伟北北C DA BACDB Q N MP A DC B45°26°ABCD 26.6°200米α图1图2图3图4图. All Rights Reserved.2013-08方法交流∴CD =100（3√-1）；（2）∵海盗以50海里/时的速度由C 处沿正南方向对货轮进行拦截，∴海盗到达D 处用的时间为100（3√-1）÷50=2（3√-1），∴警舰的速度应为［200-100（3√-1）］÷2（3√-1）=503√千米/时.例6.如图，海中有一小岛B ，它的周围15海里内有暗礁.有一货轮以30海里/时的速度向正北航行半小时后到达C 处，发现B 岛在它的东北方向.问货轮继续向北航行有无触礁的危险？（参考数据：3√≈1.7，2√≈1.4）解：作BD ⊥AC 于点D 设BD=x 海里，则在Rt△ABD 中，tan30°=x AD ，∴AD =3√x .在Rt△CBD 中，tan45°=x CD，∴CD=x .∴AC=AD-CD =3√x-x ∵AC =30×12=15，∴3√x-x =15∴x ≈21.4>15.∴无危险.（作者单位山东省德州市第九中学）改革开放以来，我国的英语教育规模不断扩大，但在实际教学中却出现了各种各样的问题，值得我们教师去反思、去解决。
中考数学一轮复习第二部分热点专题突破专题5化“斜”为“直”课件4.ppt
A.43
B.54
C.65
D.76
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
【解析】如图,作FN∥AD,交AB于点N,交B∥CD,
∵FN∥AD,∴四边形ANFD是平行四边形,
∵∠D=90°,∴四边形ANFD是矩形,
∵AE=3DE,设DE=a,
则AE=3a,AD=AB=CD=FN=4a,AN=DF=2a,
【解析】我们可以认为这里的正方形ABCD是“斜放”在一组平行线中,正因为“斜放”才
给我们带来难度,我们通过“过点A作AF⊥l3分别交l2,l3于点E,F,过点C作CH⊥l2分别交 l2,l3于点H,G”即可实现“化直”的目的.
类型1
类型2
类型3
【答案】 过点A作AF⊥l3分别交l2,l3于点E,F,过点C作CH⊥l2分别交l2,l3于点H,G.
( 1 )求b,c的值; ( 2 )点P为二次函数y=-x2+bx+c的图象在第一象限部分上的一动点,其横坐标为 x( 0<x<3 ),写出四边形OAPB的面积S关于点P的横坐标x的函数关系式,并求S的最大 值. 【解析】( 1 )用待定系数法求解;( 2 )过点P作PC⊥x轴于点C,过点P作PD⊥y轴于点 D,四边形AOBP转化为矩形CPDO和Rt△BDP,Rt△APC.用关于x的式子表示出这三个 图形的面积,即可求出四边形OAPB的面积S关于x的函数关系式,从而求出S的最大值.
类型3
【名师点拨】 解答本题的关键是过点A作AF⊥BC于点F,从而把关于斜△ABE的问题 转化为两个直角三角形( Rt△ABF和Rt△AEF )的问题.其实这种通过作垂线或平行线 把斜三角形化成直角三角形的方法在解直角三角形问题中极为常见,注意学习体会.
构造一个直角三角形已知直角边的长度为cm
构造一个直角三角形已知直角边的长度为cm 直角三角形是一种特殊的三角形，其中包含一个直角（90度）和两条相互垂直的边。
所以，如果已知直角边的长度，我们可以通过几何构造的方法来画出这个直角三角形。
下面我将为你详细介绍如何构造一个直角三角形，假设已知直角边的长度为cm。
步骤一：准备工作首先，在纸上用铅笔画一条水平线作为基准线，假设它代表地面或水平平面。
然后，在画布上选择一个点作为顶点，并将它标记为顶点A。
步骤二：构造直角边1. 以顶点A为中心，以已知长度cm为半径，画一个圆弧。
2. 在圆弧交点上标记为B。
步骤三：构造斜边1. 以B为中心，以任意长度为半径，画一个圆弧。
2. 在圆弧交点上标记为C。
步骤四：连接线段1. 使用直尺将顶点A与顶点C相连，连接线段AC。
2. 使用直尺将顶点B与顶点C相连，连接线段BC。
此时，你已经完成了一个直角三角形的构造。
其中，直角边的长度为cm，斜边的长度为AC，BC是另一条直角边。
请注意，构造中的每个步骤都需要准确地使用直尺和圆规，并小心地画出线段和圆弧。
此外，在构造过程中要保持手的稳定性，以确保线条的准确性和美观性。
总结：在已知直角边的长度为cm的情况下，我们可以通过几何构造的方法画出一个直角三角形。
通过准备工作，构造直角边和斜边，并连接线段，我们成功完成了构造过程。
这个构造过程可以帮助我们加深对直角三角形的理解，并提供了一种方法来构造其他已知条件的直角三角形。
它也展示了几何学在解决实际问题中的应用价值。
通过这个构造实践，我们可以进一步探索三角形的性质和几何学的基本原理。
同时，我们也可以培养我们的几何思维和空间想象能力。
希望这篇文章能对你有所帮助！。
2020北师大版数学九年级下册第一章：专项2 “化斜为直”构造直角三角形的两种方法
方法1 遇三角形，作垂线1．如图所示，某市在“旧城改造”中计划在市内一块三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要( C )A ．450a 元B ．225a 元C ．150a 元D ．300a 元第1题图 第2题图 2．(2019·浙江杭州拱墅区模拟)如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，D 是BC 上一点，若tan ∠DAB ＝15，则AD 的长为( C )A ．2 2 B.13 C ．213 D ．83．(2019·河北石家庄新华区期末)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，BF 平分∠ABC ，交CD 于点E ，交AC 于点F .若AB ＝10，BC ＝6，则CE 的长为( A )A ．3B ．4C ．5D ．64．如图所示，在△ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝5，BC ＝3，求sin A 和AB .解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D .在Rt △BDC 中，∵∠B ＝45°，∴BD ＝CD ＝BC ·sin 45°＝3×22＝322， ∴sin A ＝CD AC ＝3210.由勾股定理得AD ＝822.∴AB ＝BD ＋AD ＝32＋822. 5．(2019·上海金山区二模)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是边AB 的中点，CE ＝CB ，CD ＝5，sin ∠ABC ＝35.(1)求BC 的长；(2)求tan E 的值．解：(1)在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是边AB 的中点，∴CD ＝12AB .∵CD ＝5，∴AB ＝10.∵sin ∠ABC ＝AC AB ＝35，∴AC ＝6.∴BC ＝AB 2－AC 2＝102－62＝8.(2)如图，过点E 作EH ⊥BC 于点H ，则∠EHC ＝∠EHB ＝90°.∵D 是边AB 的中点，∴BD ＝CD ＝12AB ，∠DCB ＝∠ABC .∵∠ACB ＝90°，∴∠EHC ＝∠ACB ，∴△EHC ∽△ACB ，∴EH AC ＝CH BC ＝EC AB .由BC ＝8，CE ＝CB ，得CE ＝8，∠CBE ＝∠CEB ，∴EH 6＝CH 8＝810，解得EH ＝245，CH ＝325，∴BH ＝BC －CH ＝8－325＝85.∴tan ∠CBE ＝EH BH ＝3，即tan E ＝3.方法2 遇多边形，延长或连接某些边6．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝2，CD ＝1，∠A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，则四边形ABCD 的面积是27．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝2，CD ＝1，AD ＝7，∠B ＝90°.(1)判断∠D 是否是直角，并说明理由．(2)求四边形ABCD 的面积．解：(1)如图，连接AC .∵∠B ＝90°，∴AC 2＝BA 2＋BC 2＝4＋4＝8. ∵DA 2＋CD 2＝(7)2＋12＝8，∴AC 2＝DA 2＋CD 2，∴△ADC 是直角三角形，即∠D 是直角．(2)S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝12AB ·BC ＋12AD ·CD ＝12×2×2＋12×7×1＝2＋72.。
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方法
2
有直角、无直角的图形延长某些边
2．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝ 60°，∠D＝∠B＝90°，求四边形ABCD的面积． 解： 如图，延长BC，AD交于点E.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∵∠A＝60°，∠B＝90°，∴∠E＝30°. AB 2 = = 2 3， 在Rt△ABE中，BE＝ o tan E tan 30
习题课 阶段方法技巧训练（二）
专训2
“化斜为直”构造
直角三角形的方法
锐角三角函数是在直角三角形中定义的，解直 角三角形的前提是在直角三角形中进行，对于非直 角三角形问题，要注意观察图形特点，恰当作辅助
线，将其转化为直角三角形来解．
方法
1
无直角、无等角的三角形作高
1．如图，在△ABC中，已知BC＝1＋ 3 ，∠B＝ 60°，∠C＝45°，求AB的长． 解： 如图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D.
在Rt△CDE中，EC＝2CD＝2， 3 ∴DE＝EC· cos 30°＝2× ＝ 3. 2
∴S四边形ABCD＝SRt△ABE－SRt△ECD
1 1 ＝ AB· BE－ CD· ED 2 2 1 1 3 3 ＝ ×2×2 3 － ×1× 3 ＝ . 2 2 2
本题看似是四边形问题，但注意到∠B＝90°， ∠A＝60°，不难想到延长BC，AD交于点E，
关系是解题的关键．
方法
4
求非直角三角形中角的三角函数值时构造直角三角形24
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝ 1 ∠BAC，求tan ∠BPC的值． 2 如图，过点A作AE⊥BC于点E，∵AB＝AC＝5， 解： 1 1 1 ∴BE＝ BC＝ ×8＝4，∠BAE＝ ∠BAC. 2 2 2 1 ∵∠BPC＝ ∠BAC，∴∠BPC＝∠BAE. 2 在Rt△BAE中，由勾股定理得AE＝
AB2 - BE 2 = 52 - 42 ＝3， BE 4 = . ∴tan ∠BPC＝tan ∠BAE＝ AE 3
构造出直角三角形，将所求问题转化为直角三
角形问题来解决．
方法
3
有三角函数值不能直接利用时作垂线
3．如图，在△ABC中，点D为AB的中点，DC⊥AC，
1 sin ∠BCD＝ ，求tan A的值． 3
解：如图，过点B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E.
∵点D是AB的中点，∴AD＝DB. 又∵∠ACD＝∠BED＝90°，∠ADC＝∠BDE，
∴△ACD≌△BED，∴CD＝DE，AC＝BE. BE 1 = ，∴BC＝3BE. 在Rt△CBE中，sin ∠BCE＝ BC 3 ∴CE＝ BC 2 - BE 2 = 2 2 BE，
1 ∴CD＝ CE＝ 2 BE＝ 2 AC. 2 CD 2 AC = = 2. ∴tan A＝ AC AC
构造直角三角形，把所要求的量与已知量建立
设BD＝x，
在Rt△ABD中，AD＝BD· tan B＝x· tan 60°＝ 3 x.
在Rt△ACD中，∵∠C＝45°， ∴∠CAD＝90°－∠C＝45°， ∴∠C＝∠CAD，∴CD＝AD＝ 3 x.
∵BC＝1＋ 3 ，∴ 3 x＋x＝1＋ 3 ，
解得x＝1，即BD＝1.
BD 在Rt△ABD中，∵cos B＝ ， AB BD 1 = ∴AB＝ ＝2. cos B cos 60o