结构的强迫振动响应分析
建筑结构振动分析与控制研究
建筑结构振动分析与控制研究1. 引言建筑结构的振动是指结构在受到外界力的作用下发生的运动。
振动问题一直以来都是建筑工程中的一个重要课题，对于保证建筑结构的安全性、舒适性和耐久性至关重要。
本文将探讨建筑结构振动的分析和控制方法，以及相关研究进展。
2. 建筑结构振动分析2.1 建筑结构振动的分类建筑结构的振动可分为自由振动和强迫振动。
自由振动是指建筑结构在没有外界力作用下的自身振动，如地震、风荷载等；而强迫振动是指建筑结构受到外界力作用的振动，如机械设备运转等。
2.2 振动模态分析振动模态分析是一种常用的建筑结构振动分析方法。
它通过求解结构的固有振动频率和模态形状，得到结构的振动特性。
通常采用有限元法作为振动模态分析的数值计算方法，这种方法具有计算精度高、适用范围广等优点。
3. 建筑结构振动控制3.1 主动控制方法主动控制方法是指通过引入外界控制力来改变建筑结构的振动特性。
常见的主动控制方法包括质量和刚度变化法、控制杆法以及智能材料控制等。
这些方法能够实时调节建筑结构的振动特性，从而减小结构的振动响应。
3.2 被动控制方法被动控制方法是指通过在结构上添加附加物用以吸收或耗散振动能量，从而减小结构的振动响应。
常见的被动控制方法包括隔震、摆锤、液体阻尼器等。
这些方法通过改变结构的动力特性，降低结构与外界激励的耦合效应，从而减小结构的振动响应。
4. 建筑结构振动控制研究进展4.1 结构振动控制理论研究近年来，随着计算机技术和控制理论的不断发展，建筑结构振动控制研究取得了重要进展。
研究人员通过建立结构动力模型和振动控制模型，提出了一系列高效的振动控制算法和方法。
4.2 智能材料在振动控制中的应用智能材料在振动控制中具有重要的应用潜力。
形状记忆合金和压电材料等智能材料可以根据外界激励的变化自动调节其力学性能，从而减小建筑结构的振动响应。
研究人员通过开展智能材料在建筑结构振动控制中的应用研究，为解决建筑结构振动问题提供了新的思路和方法。
振动分析
振动分析振动分析是计算机辅助工程学中的一个重要技术。
它主要是通过对系统所发生的振动进行分析和计算，得出相应的特征参数，并在此基础上提出有效的控制方法，以达到科学、合理地设计、维护和控制各种工程设备的目的。
本文将从振动分析的原理、分类、应用及其在各个领域的研究与探索等方面进行详细的解读。
一、振动分析的基本原理1.振动的概念振动是物体围绕着平衡位置做规则周期性的运动，同时这个运动方式又使得它们之间施加相应的作用力，进而导致物体发出声音、震动等现象。
换句话说，物体在空间中不断地发生快速反复的运动，这种运动方式被称之为振动。
2.振动的种类振动分为自由振动和强迫振动两种类型，其中自由振动是指的物体自身发生的无外力作用的振动；而强迫振动是指作用在物体上的外力作用下所产生的振动。
这里我们主要讲述的是自由振动，因为强迫振动需要采用不同的计算方法。
3.振动的分类根据振动的形式和性质特征，振动可以分成多种类型，如：（1）简谐振动：物体在周期内运动速度、加速度大小及方向都是相同的。
（2）非简谐振动：物体在周期内运动速度、加速度大小及方向都会变化。
（3）阻尼振动：物体进行振动时受到来自周围环境的阻力作用。
（4）无阻尼振动：物体进行振动时不受任何阻力作用。
（5）共振：外力频率与机构本身固有振动频率一致，便容易引起共振现象。
二、振动分析的分类根据振动分析的对象和方法不同，可将其分为以下几种类型：1.结构振动分析：主要研究结构物在外部激励下的应力响应及其变形等信息。
其主要应用于大型工程的设计、优化、调试等过程中，以判断各组件间的相互影响，并找出问题所在，进而提高整个结构系统的安全性、稳定性和耐久性等方面的指标。
2.机械振动分析：主要研究与机械有关的各种振动问题。
在制造和运行机械设备时，借助于振动分析手段可以有效地寻找故障出现的原因，并及时采取相应的维修措施，以确保机械的正常运转。
3.流体振动分析：主要研究流体中所发生的各种形式的振动问题。
钢结构的振动与减震设计
钢结构的振动与减震设计钢结构是一种广泛应用于大型建筑和桥梁中的结构体系，具有高强度、轻质化和可塑性好的特点。
然而，当钢结构面临自然环境的振动荷载时，如地震、风载等，振动问题成为了需要解决的重要课题。
本文将讨论钢结构的振动问题以及减震设计的方法。
一、钢结构的振动问题分析钢结构在自然环境的振动荷载下会发生振动现象，这对于结构的安全性和舒适性都会产生不良影响。
主要的振动问题可分为以下几种：1. 自由振动自由振动是指当钢结构被外力激励后，不受外力干扰的情况下，结构自身以一定频率和振型振动。
自由振动的频率由结构的质量、刚度以及边界条件等因素决定。
2. 强迫振动强迫振动是指钢结构受到外界激励力作用，产生与激励力具有相同频率的振动。
这种振动会对结构和使用者产生很大的影响，甚至可能引起结构破坏。
3. 随机振动随机振动是指钢结构在自然环境的随机激励下产生的振动。
例如，地震和风载会引起结构的随机振动，这种振动对结构疲劳寿命和安全性具有重要影响。
二、钢结构的减震设计方法钢结构的减震设计旨在减小结构受到的振动荷载，提高结构的稳定性和抗震性能。
常用的减震设计方法包括以下几种：1. 增加结构的阻尼通过增加钢结构的阻尼，可以有效地吸收振动能量，减小结构的振动幅值。
常用的阻尼措施有采用粘性阻尼器和摩擦阻尼器等。
2. 利用减振器减振器是一种能够通过调节结构的自然振动频率和振型来减小结构振动的装置。
常见的减振器有质量阻尼器、液体阻尼器和摩擦阻尼器等。
3. 考虑地震偏心在设计钢结构时，可以合理地配置结构的偏心，以减小地震力对结构产生的影响。
通过结构的多级抵消和重力偏心设计，可以有效地降低地震时引起的振动响应。
4. 结构控制装置结构控制装置是一种能够通过控制结构的刚度和阻尼来实现结构振动控制的装置。
常见的控制装置包括液态阻尼器、电液缓冲器和阻尼墙等。
三、典型案例分析以下是一些典型钢结构振动与减震设计的案例分析：1. 北京国家大剧院北京国家大剧院是一座标志性的剧院建筑，采用了大跨度的钢结构拱顶。
工程力学中的自由振动和强迫振动的特性
工程力学中的自由振动和强迫振动的特性在工程力学中，振动是一个重要的研究领域。
振动被广泛应用于各种工程中，包括建筑结构、机械系统以及电子设备等。
振动可以分为自由振动和强迫振动两种类型。
本文将讨论自由振动和强迫振动的特性以及它们在工程中的应用。
一、自由振动的特性自由振动是指在没有外界干扰的情况下，结构或系统在其固有频率下进行的振动。
自由振动的特性主要包括振幅、周期、频率和阻尼等。
1. 振幅振幅是指振动的最大偏离量。
在自由振动中，振幅受到初始条件的影响，振幅越大，振动的能量也就越大。
2. 周期周期是指振动完成一个完整循环所需的时间。
自由振动的周期与结构的固有频率有关，固有频率越高，周期越短。
3. 频率频率是指振动单位时间内完成的循环次数。
频率是周期的倒数，用赫兹（Hz）表示。
自由振动的频率与周期相反，固有频率越高，频率越大。
4. 阻尼阻尼是指振动过程中能量的消耗。
在自由振动中，存在三种类型的阻尼：无阻尼、过阻尼和欠阻尼。
无阻尼振动指没有能量损耗的理想振动；过阻尼振动是指能量损耗过大，振动停止得很慢；欠阻尼振动是指振动的能量损耗较小，但是在振动停止时存在振荡。
二、强迫振动的特性强迫振动是指受到外界周期性力作用下的振动。
外界力的频率通常不等于结构的固有频率，因此会引发结构的共振。
强迫振动的特性主要包括固有频率、共振和受迫振动等。
1. 固有频率固有频率指的是结构或系统在自由振动状态下的固有频率。
在强迫振动中，结构的固有频率决定了其对外界激励的响应。
2. 共振共振是指外界力的频率与结构的固有频率相等或接近，导致结构振幅迅速增大的现象。
共振现象对于某些结构来说是有害的，因为会导致结构破坏或崩溃。
3. 受迫振动受迫振动是指在强迫振动中，结构受到外界激励而发生的振动。
外界激励可以是周期性的力或者者是其他形式的周期性变量。
三、自由振动和强迫振动在工程中的应用自由振动和强迫振动在工程中有着广泛的应用。
1. 自由振动的应用自由振动的研究可以用于建立结构的固有频率，通过调节结构的初始条件和强度来影响振动的特性。
桥梁结构动力特性分析
桥梁结构动力特性分析桥梁结构是城市交通建设中必不可少的重要组成部分。
为了确保桥梁的安全性和可靠性，在设计和施工过程中，必须对桥梁的动力特性进行充分的分析。
本文将对桥梁结构的动力特性进行详细讨论，包括桥梁结构的固有频率、自由振动、强迫振动以及可能引起的共振现象等。
一、固有频率固有频率是指桥梁结构在没有外力作用的情况下，自身固有特性所具有的振动频率。
桥梁结构的固有频率是通过结构的质量、刚度和几何尺寸来确定的。
一般来说，桥梁的固有频率越高，结构的刚度越大，相应地，结构的稳定性和抗风、抗震能力也会更高。
二、自由振动自由振动是指桥梁结构在受到外力激励之前的自由振动行为。
当桥梁结构受到外力干扰后，会出现固有频率下的自由振动。
自由振动是桥梁在没有外力干扰下的自然振动，也是研究桥梁动力特性的重要基础。
三、强迫振动强迫振动是指桥梁结构在受到外力激励时的振动行为。
在桥梁的正常使用过程中，会受到行车荷载、风力、地震等各种外力的作用，从而引起结构的强迫振动。
通过对桥梁结构的强迫振动进行分析，可以评估结构的动力响应和力学性能。
四、共振现象共振是指外力激励频率与桥梁结构的固有频率非常接近，从而导致结构发生巨大振幅的现象。
共振是桥梁结构动力特性中非常重要和危险的现象，因为共振会导致结构的破坏和失效。
因此，在桥梁设计和施工过程中，必须避免共振的发生。
五、动力特性分析方法为了分析桥梁结构的动力特性，工程师们可以采用多种分析方法。
常见的方法包括模态分析、频率响应分析和时程分析等。
模态分析是通过计算桥梁结构的固有振型和固有频率来进行分析，可以预测结构在不同固有频率下的振动情况。
频率响应分析是通过施加频率变化的外力激励，来分析桥梁结构的响应情况。
时程分析是通过实测或模拟不同的时间历程，来研究桥梁结构在动力加载下的响应和变形情况。
六、桥梁结构动力特性在实际工程中的应用在实际桥梁工程中，准确分析桥梁结构的动力特性对于设计和施工至关重要。
首先，通过分析桥梁的固有频率和自由振动，可以确定结构的稳定性和抗风、抗震能力。
震动现象实验与分析
震动现象实验与分析震动现象是指物体受到外力或内部扰动而出现振动的现象。
在科学研究和工程实践中，准确分析和理解震动现象的特性对于设计和优化结构、机器和设备至关重要。
本文将探讨震动现象的实验与分析方法，以及其在不同领域中的应用。
一、实验方法震动现象的实验常常需要使用震动台或振动传感器等设备。
以下是常用的震动实验方法：1. 自由振动实验：在无外力干扰的情况下，观察物体在初始位移或初始速度条件下的振动现象。
该实验常用于测量和分析结构的固有频率、振型和阻尼比等特性。
2. 强迫振动实验：通过施加外力或扰动来引起物体的振动。
该实验常用于研究物体的频率响应和传递函数，以及结构在不同激励频率和幅值下的振动响应。
3. 随机振动实验：模拟真实环境中的随机振动激励，以测试和评估物体的抗震性能。
该实验常用于评估车辆、建筑物和航空器等在不同地面激励下的振动响应。
二、分析方法在震动现象的分析中，常用的方法包括频域分析、时域分析和模态分析等。
以下是这些方法的简要介绍：1. 频域分析：将信号从时域转换到频域，以获取信号的频谱信息。
常用的频域分析方法包括傅里叶变换、功率谱密度和频谱图等。
频域分析可以用于分析物体的频率特性、主要频率成分和共振现象。
2. 时域分析：通过对信号进行时间上的观察和分析，以了解信号的振动特性。
常用的时域分析方法包括波形图、自相关函数和互相关函数等。
时域分析可用于分析物体的振幅、波形、周期性变化和非线性特性。
3. 模态分析：研究物体的固有振动模态，包括固有频率、振型和阻尼比等特性。
常用的模态分析方法包括模态测试和模态识别。
模态分析可用于评估结构的稳定性、识别潜在问题和优化设计。
三、应用领域震动现象的实验与分析广泛应用于工程、科学和其他领域。
以下是一些典型的应用领域：1. 结构工程：在建筑、桥梁和航空航天等领域中，震动现象的实验与分析可用于评估结构的抗震性能、振动响应和疲劳寿命等。
2. 汽车工程：在汽车设计和制造中，震动现象的实验与分析可用于评估车辆的悬挂系统、减震器和底盘的振动性能以及乘坐舒适性。
结构振动理论-定常强迫振动的复数解法与频率响应函数
bn
2 T
T /2
T / 2
f (t) sin ntdt
2 T
0
T / 2
Asin ntdt
2 T
T
0
/
2
A
sin
ntdt
2 ( A cosnt 0 ) 2 ( A cosnt T / 2 )
T n
T / 2 T n
0
2 2A (1 cos n ) 2A (1 cos n )
T n
n
bn
4A
如图所示基础激励振动系统： mx k(x y) c(x y)
整理后得到： mx cx kx ky cy
利用复数解法：
y Ye j t
x Xe je j t Xej(t)
m
o
x(t)
k
c
y Y cost
基础激励
单自由度系统的定常强迫振动
(m2 k jc)Xe j (k jc)Y
象的振动位移测试。 单自由度系统的定常强迫振动
加速度计： 令 y Ye j t 则 y 2Ye j t
Z
Y 2
(1 2 )2 (2 )2
|
Z
| |
y|
1 Ω2
1
(1 2 )2 (2 )2
4
0
如果测振仪设计得具有较高的固 3
有频率 ，使 / Ω 1
2
0.1
0.15 0.2
这时，记录下来的
同样，由于存在阻尼，我们只考虑(定常)稳态响应。
单自由度系统的定常强迫振动
设其稳态特解是 xc Xe jt
xc jX e jt xc 2 X e jt
代入原方程，消去
e jt 后，求出
结构动力学分析与优化
结构动力学分析与优化结构动力学是工程结构力学中的分支，主要研究结构在受到动力荷载（如振动、地震等）作用下的响应和稳定性，是建筑、桥梁、风力机、船舶等工程结构设计中必不可少的内容。
而结构动力学分析与优化则是在结构设计中不可或缺的一环，通过对结构的动态响应进行分析，达到优化结构设计、提高结构稳定性和抗震性能的目的。
1. 结构动力学分析结构动力学分析是对结构在受到动力荷载下的响应进行分析，包括了自由振动、强迫振动以及响应谱等分析方法。
自由振动是指结构在无外力作用下的振动，通过计算自然振动频率和振动模态，可以得到结构的基本特性。
强迫振动是指在结构受到外部动力荷载作用下的振动，可以通过计算结构的响应来确定结构在荷载作用下的状态和性能。
响应谱分析则是一种综合考虑外部荷载和结构响应的方法，通过计算结构在一定工况下的响应谱，得到结构受到该工况影响下的响应情况。
结构动力学分析的结果可以为结构设计、施工和维护提供重要的参考依据。
通过对结构的响应进行分析，可以确定结构重点部位、改善结构的响应性能、提高结构的稳定性和减小结构的损伤程度，为结构设计的安全、节能、环保提供技术保障。
2. 结构动力学优化结构动力学优化主要是在结构设计过程中，通过对结构响应进行分析，寻找和确定最优化方案，达到优化结构设计、提高结构稳定性和抗震性能的目的。
结构动力学优化主要包括两个方面，一是优化结构设计，二是优化结构的抗震性能。
优化结构设计是指在设计阶段通过对结构响应进行分析，调整结构的空间布置、结构的构型和减少结构的重量，达到最优化的结构设计方案。
在优化结构设计时，需要结合结构的工作环境、载荷条件和工艺要求等因素综合考虑，尽量减少结构的材料消耗，提高结构的力学性能。
同时，在优化结构设计时也需要考虑结构施工的方便性以及之后的日常维护和使用。
优化结构抗震性能是指在设计和施工过程中，通过对结构响应进行分析和改善，提高结构的抗震性能和防震能力。
在考虑结构抗震性能时，需要综合考虑结构的地质条件、工期、设计带来的经济效益、规范要求等因素，对结构进行合理优化设计。
MATLAB中常见的结构动力学分析技巧
MATLAB中常见的结构动力学分析技巧引言：结构动力学是工程领域中重要的研究分支，它主要涉及结构物在外界作用下的运动和响应。
而在 MATLAB 软件中，我们可以通过各种功能强大的工具和函数来进行结构动力学的分析和模拟。
本文将介绍一些 MATLAB 中常见的结构动力学分析技巧，帮助读者更好地利用 MATLAB 进行结构工程相关研究。
一、模型建立与导入1. 建立结构模型在 MATLAB 中，我们可以使用各种方法建立结构模型，比如使用节点和单元建立有限元模型。
通过确定节点的坐标和连接关系，我们可以使用有限元方法对结构进行分析和计算。
除了有限元法，还有其他建模方法，如刚体或连续参数模型等，可以根据实际需要选择。
2. 导入外部模型如果我们已经在其他软件中建立好了结构模型，并希望在 MATLAB 中进行进一步的分析，可以通过导入外部模型来实现。
在 MATLAB 中，可以使用函数如“importgeometry”或“importFiniteElementModel”等，将已有的模型导入到 MATLAB 中进行后续处理。
二、动力学分析1. 自由振动分析自由振动是指结构在没有外力作用下的振动情况，通过这种分析可以得到结构的固有频率和模态形式。
在 MATLAB 中，我们可以使用函数“eig”或“eigs”来计算结构的特征值和特征向量。
进一步，通过可视化这些特征向量，我们可以观察到结构在不同固有频率下的振动模式。
2. 强迫振动响应分析强迫振动响应分析是指结构在外力作用下的振动情况，可以通过求解结构的动力学方程来获得。
在 MATLAB 中，我们可以使用函数如“ode45”、“ode23”等，通过数值解法求解二阶或高阶动力学方程。
这些函数可以根据结构的特定运动方程和边界条件，计算出结构的响应。
三、频域分析1. 傅里叶变换傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法。
在结构动力学中，我们可以使用傅里叶变换来分析结构的振动特性。
浮基两刚体模型强迫振动动力响应分析
浮基两刚体模型强迫振动动力响应分析王丙;江召兵;陈徐均;黄亚新【摘要】为分析浮基在外力作用下产生的强迫振动对浮基多体系统动力响应影响，将浮基多体系统简化为光滑铰接的两刚体模型，用多体动力学离散时间传递矩阵理论，并编写程序对浮基多体系统动力响应求解。
分别计算浮基在周期横摇角强迫振动与波浪作用下浮基两刚体动力响应，获得浮基两刚体系统运动响应曲线。
数值模拟结果表明，当横摇角强迫振动幅值、频率增加时，起吊重物的摆动更剧烈，绳索长度变化对重物摆动影响不大。
在横向规则波作用下，浮基与重物的摆动幅值随绳索长度、吊臂仰角的增加而增大，随起吊重物质量变化先增大后减小。
%In order to analyze the influence of forced vibration on dynamic responses of a multi-body system with floating base,the system was simplified into a two rigid-body model connected by smooth joint.The dynamic responses ofthe system were solved by using the transfer matrix theory of multi-body dynamics.The time histories of motion of the system were obtained under the condition of the floating base acted by forced periodic rolling motionor waves.The results of numerical simulation show that the swing of the lifted weight becomes severe with the increase of amplitude and frequency of the forced vibration,but is not influenced by the length variation of the rope.The oscillation amplitudes of the floating base and the lifted weight under the action of transverse regular wave increase with the increase of the rope length and arm elevation.【期刊名称】《振动与冲击》【年(卷),期】2014(000)002【总页数】6页(P168-172,177)【关键词】浮基两刚体系统;传递矩阵;强迫振动;动力响应【作者】王丙;江召兵;陈徐均;黄亚新【作者单位】解放军理工大学野战工程学院，南京 210007;解放军理工大学野战工程学院，南京 210007; 上海交通大学船舶海洋与建筑工程学院，上海 200240;解放军理工大学野战工程学院，南京 210007;解放军理工大学野战工程学院，南京 210007【正文语种】中文【中图分类】U661.3浮基两刚体系统为最简单的浮基多体系统。
结构振动理论-定常强迫振动的复数解法与频率响应函数
0.3
1
0.5
Z Y 2 Y2 / Ω2 则y 2 Z e j t 0
1.0
2.0
0.7
即与Yω2成比例，比例常数是 1/ Ω2
1
2
3
频率比 γ
可见这种测振仪记录下来的 Z 是和被测试物体的加速度幅值成比。
这种具有较高固有频率(弹簧刚度大，质量块很小)的测振仪就叫做
“加速度计”，它要求被测频率低于传感器的自身固有频率。在测振仪
m
Z
2
1
Y (1 2 )2 (2 )2 (1/ 2 1)2 (2 / )2
绘出
Z
~
及 ~ 的曲线族(取不同阻尼率ζ)，即相对位移
放大率和Y 相位角变化曲线。
单自由度系统的定常强迫振动
|Z|/Y
3.0
ζ=0
相角
180
90
2.0
ζ=0.25 ζ=0.5
0 1.0
3.0
5.0
频率比γ
1.0
3 5 7
图3.5.2 激励频谱
对线性系统，按傅里叶展开式，求出各阶谐和分量激励 的谐和响应。将这些响应求和(叠加)，就是该周期力激励 下的强迫响应。
单自由度系统的定常强迫振动
假设有一无阻尼质量－弹簧系统，受周期矩形波激励，扰
力基频 n / 6 。
外激励f(t)的傅里叶展式为
f (t) 4 A
mxc cxc kxc F0e jt
令 xc X e jt
可得到
X
k
F0
m 2
jc
按定义，xc/F是位移频响函数
H d ()
k
1 m2
jc
单自由度系统的定常强迫振动
强迫响应和全响应振动力学
强迫响应和全响应振动力学
强迫响应和全响应是振动力学中的两个重要概念。
强迫响应是指在外界施加一个强迫力或强迫位移时，系统产生的振动响应。
全响应是指系统在外界没有施加任何外力或外界力非常小的情况下自发地振动的响应。
在强迫响应中，外界施加的强迫力或位移可以是周期性的，也可以是非周期性的。
例如，一个受到周期性外力驱动的弹簧振子，其强迫响应将以与外力频率一致的频率振动。
在全响应中，系统没有外界施加的强迫力或位移，而是通过初始条件引起的自由振动。
例如，一个被拉开并释放的弹簧振子将产生自由振动，以自身的固有频率振动。
在振动力学中，我们通常会研究强迫响应和全响应的特点和性质，例如振幅的大小、相位的变化等。
这些性质可以通过分析系统的动力学方程得到，通常使用微分方程解答的方法。
强迫响应和全响应在实际应用领域中具有广泛的应用。
例如，在工程领域中，我们常常要求系统对外界激励做出特定的响应，这就是通过分析强迫响应来实现的。
另一方面，在地震工程等领域中，我们需要了解结构物的全响应特性，以便评估其抗震能力等。
工程结构分析的方法
工程结构分析的方法工程结构分析是研究和评估工程结构在负载作用下的力学特性和稳定性的过程。
它涉及工程结构的设计、建造和维护，并对结构的安全性和可靠性提出要求。
在工程实践中，有许多不同的方法可以用于进行结构分析。
下面将介绍常用的几种工程结构分析方法。
一、静力分析静力分析是最基本的结构分析方法之一。
它基于牛顿第二定律和力平衡原理，假设结构在负载作用下保持静止。
通过计算结构中各个部位的受力情况，可以评估结构的强度、刚度和稳定性。
静力分析方法可以使用解析方法或数值方法进行计算，常见的解析方法有力法、位移法和弹性法，数值方法有有限元法和有限差分法。
静力分析的主要优点是计算简单、直观，并且可以在设计和施工过程中提供快速的结果。
然而，它的缺点是忽略了结构的动态效应和材料的非线性行为。
二、动力分析动力分析是一种考虑结构在振动或冲击负载作用下的分析方法。
它适用于对结构的动态响应进行评估，从而确定结构是否具有足够的刚度和稳定性来抵抗动力负载。
动力分析方法可以分为自由振动分析和强迫振动分析。
在自由振动分析中，结构受到一个初始扰动后开始自由振动，通过求解结构的振动模态和固有频率，可以得到结构的固有振动特性。
在强迫振动分析中，结构受到外部激励力的作用，通过求解结构的强迫响应和频率响应函数，可以评估结构在动力负载下的振动状况。
动力分析的优点是能够考虑结构的动态特性，对于受到动力负载的结构具有更准确的评估。
然而，动力分析的计算复杂度较高，通常需要使用数值方法进行求解。
三、塑性分析塑性分析是一种考虑结构的塑性变形和屈服破坏的分析方法。
它适用于对材料塑性变形和结构破坏的问题进行评估。
塑性分析方法可以分为弹塑性分析和完全塑性分析。
在弹塑性分析中，结构中的材料被假定为在一定范围内具有线性弹性行为，超过该范围时为塑性行为。
通过计算结构在负载作用下的延性变形和塑性区域的分布，可以评估结构在塑性变形作用下的安全性和可靠性。
在完全塑性分析中，结构中的材料被假定为完全塑性，在达到材料的屈服强度后，将继续产生塑性变形。
强迫震荡技术原理_概述说明以及解释
强迫震荡技术原理概述说明以及解释1. 引言1.1 概述强迫震荡技术是一种广泛应用于科学研究和工程领域的实验技术。
它利用外界施加的激励力量来驱动被测系统产生周期性振动，并通过测量反馈信号来获取对系统响应的信息。
该技术在物理学、材料科学、工程学以及生物医学等多个领域具有重要意义。
1.2 文章结构本文将从以下几个方面对强迫震荡技术进行详细介绍和分析。
首先，我们将给出强迫震荡技术的定义，并解释其原理。
然后，我们将概述该技术的发展历史，并介绍其工作原理以及设备组成。
接下来，我们会探讨实验方法和测量技术，以及这些方法在强迫震荡实验中的应用。
最后，我们将阐述该技术在不同领域中的应用举例，并总结本文内容。
1.3 目的本文旨在深入了解强迫震荡技术的原理和应用，并提供一个全面而清晰的概述。
通过阐明该技术在材料科学与工程、生物医学以及其他领域中的应用案例，读者将能够更好地理解该技术的实际意义和潜在发展前景。
此外，文章还将探讨该技术未来可能的发展方向，并提出相关建议，以促进其在科学研究和工程实践中的进一步应用。
2. 强迫震荡技术原理2.1 强迫震荡的定义强迫震荡是一种控制或改变系统状态的技术，通过加入外部激励源来实现。
它被广泛用于各个领域，包括物理学、工程学等多个科学和工程领域。
2.2 原理解释强迫震荡技术基于振动原理，通过在系统中引入外部激励信号来驱动系统进行周期性振动。
这种周期性激励能够使系统产生特定频率和幅度的响应，并且可以控制和调节系统的振动参数。
具体来说，强迫震荡技术通常涉及以下几个要素：（1）外部激励源：强迫震荡需要一个外部的激励源，比如电磁场、声波、机械力等，用以向系统施加周期性的力或信号。
（2）共振频率：系统具有一定的固有频率，在该频率下对外界激励非常敏感并会产生共振现象。
强迫震荡通常选择与系统共振频率相近的激励信号，并通过调整频率来控制系统的响应。
（3）非线性反馈：强迫震荡技术还需要考虑系统内部的非线性反馈机制。
浮基两刚体模型强迫振动动力响应分析
Ｆｏ ｒ ｃ ｅ ｄ ｖ ｉ ｂｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｒ ｅ ｓ ｐ ｏ ｎｓ ｅ ｓ ｏ ｆ ａ ｔ ｗｏ ｒ ｉ ｇ ｉ ｄ－ ｂ ｏ ｄｙ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｗｉ ｔ ｈ ｌｏ ｆ ａ ｔ ｉ ｎ ｇ ｂ ａ ｓ ｅ
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｉ ｎ ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｔ ｏ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｚ ｅ ｔ ｈｅ ｉ ｎ ｌｕ ｆ ｅ ｎ ｃ ｅ ｏ ｆ ｆ ｏ ｒ ｃ ｅ ｄ ｖ ｉ ｂ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｎ ｄ ｙ ｎ ａ ｍｉ ｃ ｒ ｅ ｓ ｐ ｏ ｎ ｓ ｅ ｓ ｏ ｆ ａ ｍｕ ｌ ｔ ｉ － ｂ ｏ ｄ ｙ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｗｉ ｔ ｈ
ｔ ｈ ｅ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｗｅ ｒ ｅ ｓ ｏ ｌ ｖ ｅ ｄ ｂ ｙ ｕ ｓ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｆ ｅ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｒ ｘ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｙ ｏ ｆ ｍｕ ｌ ｔ ｉ — ｂ ｏ ｄ ｙ ｄ ｙ ｎ ａ ｍｉ ｃ ｓ ．Ｔ ｈ ｅ ｔ ｉ ｍｅ ｈ ｉ ｓ ｔ ｏ ｒ ｉ ｅ ｓ ｏ ｆ ｍｏ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｗｅ ｒ ｅ ｏ ｂ ｔ ａ ｉ ｎ ｅ ｄ ｕ ｎ ｄ ｅ ｒ ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｌ ｆ ｏ ａ ｔ ｉ ｎ ｇ ｂ ａ ｓ ｅ ａ ｃ ｔ ｅ ｄ ｂ ｙ ｆ ｏ ｒ ｃ ｅ ｄ ｐ ｅ ｉ ｒ ｏ ｄ ｉ ｃ ｒ ｏ ｌ ｌ ｉ ｎ ｇ ｍｏ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｒ ｗ ａ ｖ ｅ ｓ ．Ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ｏ ｆ ｎ ｕ ｍｅ ｒ ｉ ｃ ａ ｌ ｓ ｉ ｍｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｈ ｏ ｗ ｔ ｈ ａ ｔ ｔ ｈ ｅ ｓ ｗ ｉ ｎ ｇ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｌ ｉ ｔ ｆ ｅ ｄ ｗｅ ｉ ｇ ｈ ｔ ｂ ｅ ｃ ｏ ｍｅ ｓ ｓ ｅ ｖ ｅ ｒ ｅ ｗｉ ｔ ｈ ｔ ｈ ｅ ｉ ｎ ｃ ｒ ｅ ａ ｓ ｅ ｏ ｆ ａ ｍｐ ｌ ｉ ｔ ｕ ｄ ｅ ａ ｎ ｄ ｒ ｆ ｅ ｑ ｕ ｅ ｎ ｃ ｙ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｆ ｏ ｒ ｃ ｅ ｄ ｖ ｉ ｂ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ，ｂ ｕ ｔ ｉ ｓ ｎ ｏ ｔ ｉ ｎ ｌ ｆ ｕ ｅ ｎ ｃ ｅ ｄ ｂ ｙ ｔ ｈ ｅ ｌ ｅ ｎ ｇ ｔ ｈ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｒ ｏ ｐ ｅ ．Ｔ ｈ ｅ ｏ ｓ ｃ ｉ ｌ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｍｐ ｌ ｉ ｔ ｕ ｄ ｅ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｌ ｆ ｏ ａ ｔ ｉ ｎ ｇ ｂ ａ ｓ ｅ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｌ ｉ ｔ ｆ ｅ ｄ ｗ ｅ ｉ ｇ ｈ ｔ ｕ ｎ ｄ ｅ ｒ ｔ ｈ ｅ ａ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｖ ｅ ｒ ｓ ｅ ｒ ｅ ｇ ｕ ｌ ａ ｒ ｗａ ｖ ｅ ｉ ｎ ｃ ｒ ｅ ａ ｓ ｅ ｗｉ ｔ ｈ ｔ ｈ ｅ ｉ ｎ ｃ ｒ ｅ ａ ｓ ｅ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｒ ｏ ｐ ｅ
桥梁结构的振动分析
桥梁结构的振动分析桥梁作为重要的交通工程设施，承担着道路、铁路等交通运输的重要任务。
然而，在桥梁使用过程中，会遇到各种自然、人为因素引起的振动问题。
因此，对桥梁结构的振动进行准确分析和评估，对于确保桥梁的安全性和稳定性具有重要意义。
一、振动类型及特点桥梁结构的振动类型可以分为自然振动和强迫振动两种。
自然振动是指桥梁在受到外力作用下所产生的固有频率振动。
桥梁结构具有多个振动模态，每种模态都对应着不同的固有频率。
通过对桥梁结构进行模态分析，可以确定不同频率下的振动模态及其振型，并对其进行评估。
强迫振动是指桥梁在外力作用下发生的非自由振动。
外力包括风、交通荷载、地震等。
这些外力作用于桥梁结构时，会引起桥梁结构的振动响应。
通过对桥梁结构的响应分析，可以评估桥梁在不同条件下的振动响应情况，从而判断桥梁是否满足振动性能要求。
二、振动分析方法在桥梁结构振动分析中，常用的方法包括模态分析、频率响应分析和时程分析。
1. 模态分析模态分析是通过求解桥梁结构的固有振动特性，得到桥梁的振动模态及其固有频率。
通过模态分析可以判断桥梁的固有振动特性，了解桥梁的振动模态及其影响因素，为后续的响应分析提供基础数据。
2. 频率响应分析频率响应分析是利用桥梁结构的模态参数，分析桥梁在外力作用下的振动响应。
通过频率响应分析，可以评估桥梁在不同荷载条件下的振动响应情况，确定振动幅值、位移响应等参数，判断桥梁的安全性。
3. 时程分析时程分析是采用实测的交通荷载、地震波等真实载荷数据，分析桥梁在时变载荷作用下的振动响应。
时程分析可以更为真实地反映桥梁在实际使用条件下的振动响应情况，对于振动响应较为敏感的桥梁结构尤为重要。
三、振动分析的影响因素桥梁结构的振动响应受到多种因素的影响，包括桥梁的几何形状、材料特性、边界约束条件等。
1. 桥梁的几何形状桥梁的几何形状会影响桥梁结构的振动特性。
比如，跨度大的桥梁通常具有更低的固有频率，而拱桥则具有较低的纵向振动频率。
第五章 结的强迫振动响应分析
第五章 结构的强迫振动响应分析§5.1 概述如果结构已经用有限元方法进行了离散化，当一个结构系统受到外激励作用时，其响应就是一个多自由度系统的强迫振动问题的解。
求解多自由度系统强迫振动响应的方法之一就是直接积分法。
考虑到实际结构的高维数（自由度数很大）而给求解带来的困难，往往在实际求解中采用模态叠加法。
直接积分法和模态叠加法这两种方法都可以得到具有相当精度的振动响应解，并且各有其特点。
§5.2 求解强迫振动响应的直接积分法对动力学基本方程)}({}]{[}]{[}]{[t P U K U C U M =++&&& （5－1）进行直接积分，其含义是指在对方程进行积分之前，不对其进行任何形式的变换，在积分中，实际上是按时间步长逐步积分的。
这样做的实质是基于如下考虑：（1） 只在相隔t ∆的一些离散时间区间上、而不是在整个时间区间上的任一个时刻t 上满足方程，即平衡是在求解区间上的一些离散时刻上获得的。
（2） 假定位移、速度、加速度在每一个时间区间t ∆内按一定规律变化，也正是采用不同的变化形式，决定了各种直接积分解的精度、稳定性和求解速度。
首先，设}{}{}{000U U U &&&表示初始时刻（0=t ）的位移、速度和加速度为已知向量，要求出从0=t 到T t =的解，则把时间段T 均分为n 个间隔n T t /=∆，所用的积分是在T t t Λ,2,∆∆上求方程的近似解。
即要在t t t Λ,2,∆∆的解已知的情况下，求解t t ∆+时刻的解。
【中心差分法】若基本方程式的平衡关系作为一个常系数微分方程组，则可以用任一种差分格式通过位移来表示速度和加速度。
通常采用中心差分格式，这是一个行之有效的求解微分方程的格式。
}){}({21}{}){}{2}({1}{2t t t t tt t t t t t U U t U U U U t U ∆∆∆∆∆∆-++--=+-=&&& （5－2）假定}{t U 及前一时刻的位移}{t t U ∆-已经求得，则将}{t U &&}{t U &代入方程（5－1）得到：}]){[21][1(}]){[2]([}{}]){[21][1(222t t t t t t U C tM t U M t K P U C t M t ∆∆∆∆∆∆∆-+----=+ （5－3）由此式求出}{t t U ∆+上述格式是一个显式格式。
3-单自由度强迫振动解析
前面已经得出方程
x
的全解为：
2wnx
x
wn2 x
F0 m
sin wt
x
exwnt
x0
xwn wd
x0
sin wd t
x0
cos wd t
X
exwnt
0
xwn
sin
wd
w
cos
sin
wd t
sin
cos
wd t
X0 sin(w t )
第3章 单自由度系统强迫振动
3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动
Rmax＝
2x
1
1x2
而r＝1时
R＝ 1
2x
由此看出：当r＝1，x很小时的R和Rmax相 差很小，所以在工程中仍认为当w＝wn 时发
生共振。
第3章 单自由度系统强迫振动
3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动
28
3. 相频特性曲线（P37）
以x为参 数,画出f－ r 曲线即 f
相频特性曲 线,表明了阻 尼和激振频 率对相位差 的影响。
1 r2
分别取 z*式的实部和虚部就是对应于
余弦和正弦激励的稳态响应。
第3章 单自由度系统强迫振动
3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动
21
稳态响应分析(P34-39)
1. 稳态响应xp=X0sin(wt－f)的性质（P34）
（1）在谐和激振条件下，响应也是谐和的， 其频率与激振频率相同； （2）谐和激励强迫振动的振幅X0和相位角φ 决定于系统本身的物理性质和激振力的大小 和频率，与初始条件无关；
• r →∞时,f→p,系统平稳运行。
第3章 单自由度系统强迫振动
简谐激励下强迫振动的响应特性
k o Fk
Δ
x
c
F Fc
m
mg
Solution
The equation of motion: 5 x 2 0 0 0 x 1 0 s in 2 0 t
n
2000 20 rad/s 5
简谐激励下强迫振动的响应特性
例 （1）
Particular solution:
x 2 t tc 1 c2 o t c 0 2 s s2 itn 0
2
Φarctan
1
2
1
12 2 22
X0 k
F0
12 222
简谐激励下强迫振动的响应特性
简谐激励下强迫振动的响应特性
振幅达到最大值时的频率
'
12
1
2 22
212 282
2
12
2
22
3
0
12 22 0
2 12 2
122 1
d 12 122 n
max1122214212221 12
简谐激励下强迫振动的响应特性
例 （2）
问题描述
k
c
Fk
如 右 图 所 示 的 单 自 由 度 系 统 : m=5kg, o Δ
c=20 Ns/m, and k=2000 N/m.
x
F Fc
m
•（1）当外激励 F(t)=10sin(10t)(N), 求系统的稳态响 mg
应x2(t)=?
•（2）当 F(t)=10sin(10t)(N),而所有的初值条件为零， 即 x(0)=dx(0)/dt=0,求瞬态解及总响应 x(t)?
简谐激励下强迫振动的响应特性
例 （2）
问题 2，总响应的最终形式
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第五章 结构的强迫振动响应分析§5.1 概述如果结构已经用有限元方法进行了离散化，当一个结构系统受到外激励作用时，其响应就是一个多自由度系统的强迫振动问题的解。
求解多自由度系统强迫振动响应的方法之一就是直接积分法。
考虑到实际结构的高维数（自由度数很大）而给求解带来的困难，往往在实际求解中采用模态叠加法。
直接积分法和模态叠加法这两种方法都可以得到具有相当精度的振动响应解，并且各有其特点。
§5.2 求解强迫振动响应的直接积分法对动力学基本方程)}({}]{[}]{[}]{[t P U K U C U M =++ （5－1）进行直接积分，其含义是指在对方程进行积分之前，不对其进行任何形式的变换，在积分中，实际上是按时间步长逐步积分的。
这样做的实质是基于如下考虑：（1） 只在相隔t ∆的一些离散时间区间上、而不是在整个时间区间上的任一个时刻t 上满足方程，即平衡是在求解区间上的一些离散时刻上获得的。
（2） 假定位移、速度、加速度在每一个时间区间t ∆内按一定规律变化，也正是采用不同的变化形式，决定了各种直接积分解的精度、稳定性和求解速度。
首先，设}{}{}{000U U U 表示初始时刻（0=t ）的位移、速度和加速度为已知向量，要求出从0=t 到T t =的解，则把时间段T 均分为n 个间隔n T t /=∆，所用的积分是在T t t ,2,∆∆上求方程的近似解。
即要在t t t ,2,∆∆的解已知的情况下，求解t t ∆+时刻的解。
【中心差分法】若基本方程式的平衡关系作为一个常系数微分方程组，则可以用任一种差分格式通过位移来表示速度和加速度。
通常采用中心差分格式，这是一个行之有效的求解微分方程的格式。
}){}({21}{}){}{2}({1}{2t t t t tt t t t t tU U t U U U U t U ∆∆∆∆∆∆-++--=+-= （5－2）假定}{t U 及前一时刻的位移}{t t U ∆-已经求得，则将}{t U }{t U 代入方程（5－1）得到：}]){[21][1(}]){[2]([}{}]){[21][1(222t t t t t t U C tM t U M t K P U C t M t ∆∆∆∆∆∆∆-+----=+ （5－3）由此式求出}{t t U ∆+上述格式是一个显式格式。
具体计算时，还有一个步进递推格式启动的问题，即}{}{}{000U U U 已知时，}{t U ∆-的求解问题。
由}{t U }{tU 的差分表达式，可求出： }{2}{}{}{0200U t U t U U t ∆∆∆+-=- （5－4） 中心差分法的具体步骤为：1． 用有限元素法形成结构的刚度矩阵][K 、质量矩阵][M 、阻尼矩阵][C2． 计算初始值}{}{}{000U U U 3． 选择步长t ∆，并计算积分常数23021201,2,21,1a a a a t a t a ====∆∆ （5－5） 4． 计算}{}{}{}{0300U a U t U U t +-=-∆∆ （5－6） 5． 形成][][]ˆ[10C a M a M += （5－7） 6． 分解T L D L M]][][[]ˆ[= （5－8） 对每一步长，进行如下计算： 1． 求t 时刻的有效载荷}]){[][(}]){[]([}{}ˆ{102t t t t t U C a M a U M a K P P ∆-----= （5－9）2． 求解在时刻t t ∆+的位移}ˆ{}{]][][[tt t T P U L D L =+∆ （5－10） 3． 如果需要，计算t 时刻的加速度和速度：}){}{(}{}){}{2}({}{10tt tt ttt t t t t U U a U U U U a U ∆∆∆∆+-+-+-=+-= （5－11）中心差分格式使用中，一个重要的问题是步长必须小于临界步长nT t ncr =∆，以保证步进递推的数值稳定性，这里，n 为系统的阶数，n T 为系统最小自然周期，即：nT t t ncr =≤∆∆ （5－12） 因此，中心差分格式是条件稳定的。
中心差分法作为显式算法的优点是，当质量阵为对角阵，阻尼阵也可以对角化时，可以避免矩阵求逆运算，而矩阵的分解运算非常简单，特别在进行非线性系统的响应分析时，由于需要在每个时间增量步修改刚度矩阵，采用中心差分法可以避免每一增量步对刚度矩阵的分解。
【Houbolt 方法】Houbolt 方法也是一种差分方法，它是基于拉格朗日插值公式的步进方法，该方法利用向后差分，由位移导出速度和加速度的多步隐式公式。
Houbolt 方法得到的计算结果比较光滑。
其差分的格式为：}){2}{9}{18}{11(61}{}){}{4}{5}{2(1}{222t t t t t t t tt t t t t t t tU U U U t U U U U U tU ∆∆∆∆∆∆∆∆--+--+-+-=-+-= （5－13）考虑t t ∆+时刻的平衡方程}{}]{[}]{[}]{[t t t t t t t t P U K U C U M ∆∆∆∆++++=++ （5－14）从而有：}]){[31][1})]){[23][4(}]){[3][5(}{}]){[][161][2(22222t t t t t t t t t U C tM t U C tM t U C t M t P U K C tM t ∆-∆-∆+∆+∆+∆+∆+∆-∆+∆+=+∆+∆ （5－15）显然，要求解}{t t U ∆+必须知道}{},{},{2t t t t t U U U ∆∆--在使用Houbolt 方法时，不是用此格式求初始两个时间步上的位移响应}{},{2t t U U ∆∆，而是用其它方法如中心差分法，步长取t ∆的几分之一来求得。
Houbolt 方法是一个隐式差分格式，其步长可以取得比中心差分法大一些，不受cr t ∆的限制，但为了保证计算精度，步长也不能取得太大。
Houbolt 方法的求解步骤总结如下：1．用有限元素法形成结构的刚度矩阵][K 、质量矩阵][M 、阻尼矩阵][C2．计算初始值}{}{}{000U U U 3．取步长t ∆，求9,2,22,3,5,611,237063504322120aa a a a a a a ta t a t a t a ==-=-=====∆∆∆∆ （5－16）4． 求}{}{2t t U U ∆∆（一般用一个特殊的启动格式如，中心差分法） 5．求解][][][]ˆ[10C a M a K K ++= （5－17） 6．矩阵分解T L D L K]][][[]ˆ[= （5－18） 7． 对每一步长，求 （1）}){}{}{]([}{}{}{]([}{}ˆ{27532642t t t t t t t t t t t t t t U a U a U a C U a U a U a M P P ∆∆∆∆∆∆----++++++++= （5－19）（2） }ˆ{}{]][][[t t t t T P U L D L ∆∆++= （5－20） （3） 若需要，求出}{}{}{}{}{26420t t t t t t t t t U a U a U a U a U ∆∆∆∆--++---= （5－21）}{}{}{}{}{27531t t t t t t t t t U a U a U a U a U ∆∆∆∆--++---= （5－22）【Wilson －θ法】Wilson －θ法假定加速度从时刻t 到时刻t t ∆+θ为线性变化，所以，可以认为它是线性加速度法的推广。
在37.1≥θ时，它是无条件稳定的。
通常取4.1=θ。
具体方法为：令τ为时间增量，其中t ∆θτ≤≤0，则在时刻t 到时刻t t ∆θ+的区间，有：}){}({}{}{tt t t t U U tU U -+=++∆θτ∆θτ（5－23） 积分上式： }){}({2}{}{}{2t t t t t t U U tU U U -++=++∆θτ∆θττ （5－24） }){}({61}{21}{}{}{32tt t t t t t U U tU U U U -∆+++=∆++θττθττ （5－25） 当t ∆θτ=}){}({2}{}{tt t t t t U U t U U ++=++∆θ∆θ∆θ （5－26） })2}({6}{}{}{22tt t tt t t U U t U t U U +++=++∆θ∆θ∆θ∆θ （5－27） 由此解出：}2}{6}){}({6}{22t t t t t t t U U t U U t U -∆--∆=∆+∆+θθθθ （5－28） }2}{2}){}({3}{t t t t t t t U t U U U t U ∆---∆=∆+∆+θθθθ （5－29） 在t t ∆θ+时刻的平衡方程为：}{}]{[}]{[}]{[t t t t t t t t P U K U C U M ∆+∆+∆+∆+=++θθθθ （5－30）其中}){(}{}{t t t t t t P P P P -+=∆+∆+θθθ （5－31）为t t ∆θ+时刻的载荷。
Wilson －θ法的具体步骤为：（1） 用有限元素法形成结构的刚度矩阵][K 、质量矩阵][M 、阻尼矩阵][Ct ∆{t U }t t ∆θ+（2） 计算初始值}{}{}{000U U U （3） 取步长t ∆，取4.1=θ，计算：6,2,31,,,2,2,3,)(628762504312120ta t a a a a a a t a a a t a t a ∆∆θθθ∆θ∆θ∆θ==-=-====== （5－32）（4）形成][][][]ˆ[10C a M a K K ++= （5－33） （5）矩阵分解T L D L K]][][[]ˆ[= （5－34） （6） 对每一步长t ∆，计算时刻t t ∆θ+时刻的有效载荷：}){}{2}{]([}){2}{}{]([}){}({}{}ˆ{3120ttttt t t t t t t t U a U U a C U U a U a M P P P P ++++++-+=++∆∆θθ（5－35）（7）求解t t ∆θ+的位移：}ˆ{}{]][][[tt t t T P U L D L ∆θ∆θ++= （5－36） （7） 计算在t t ∆+时刻的加速度、速度、位移：将t t U ∆+θ代入（5-28）解出tt U ∆+θ ，再代入（5-23）式，并令t ∆=τ，得到： }{}{}){}({}{654tt t t t t t U a U a U U a U ++-=∆+∆+θ （5－37） 将（5-23）代入（5-24）、（5-25）式中，令t ∆=τ，得到：}){}({}{}{7t t t t t t U U a U U ++=∆+∆+ （5－38） }){2}({}{}{}{8tt t t t t t U U a U t U U +++=++∆∆∆ （5－39）【Newmark 方法】Newmark 方法也可以认为是线性加速度方法的推广。