自然界之美罗马花椰菜斐波纳契数列黄金螺旋共88页文档
有趣的斐波那契数列
有趣的斐波那契数列有趣的斐波那契数列谈起斐波那契数列，我想很多⼈会想到《达芬奇密码》中的故事：午夜,卢浮宫博物馆年迈的馆长被⼈杀害在⼤陈列馆的镶⽊地板上.在⼈⽣的最后时刻,馆长脱光了⾐服,明⽩⽆误的⽤⾃⼰的⾝体摆成了达.芬奇名画维特鲁维⼈的样⼦,还在⼫体旁边留下了⼀个令⼈难以捉摸的密码.符号学专家罗伯特.兰登与密码破译天才索菲.奈夫,在对⼀⼤堆怪异的密码进⾏整理的过程当中,发现⼀连串的线索竟然隐藏在达.芬奇的艺术作品当中。
⽽这串密码就是斐波那契数列：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...然⽽它们到底是怎样的⼀串数字呢？今天就让我们⼀起来认识⼀下吧！斐波那契数列，⼜称黄⾦分割数列，指的是这样⼀个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的⽅法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）递推公式斐波那契数列：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, (1)如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式：[1]显然这是⼀个线性递推数列。
[1]通项公式(如上，⼜称为“⽐内公式”，是⽤⽆理数表⽰有理数的⼀个范例。
)注：此时a1=1，a2=1，an=a(n-1)+a(n-2)（n>=3,n∈N*）待定系数法构造等⽐数列2（初等代数解法）已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3），求数列{an}的通项公式。
解：设an-αa(n-1)=β（a(n-1)-αa(n-2））。
得α+β=1。
αβ=-1。
构造⽅程x^2-x-1=0，解得α=(1-√5)/2，β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2，β=(1-√5)/2。
所以。
an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^ (n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1。
自然界中的斐波那契数列
自然界中的斐波那契数列
斐波那契数列是一种非常有趣的数学序列，它的前两项是1，后续每一项都是前两项的和。
这个数列的前几项是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，…
这个数列不仅在数学中有着广泛的应用，它还出现在了自然界中。
其中最著名的例子就是斐波那契兔子问题。
假设有一对刚出生的兔子，它们一年后可以生下一对小兔子。
而每对小兔子在出生后第二年就可以生下一对小兔子。
那么，如果一对兔子从出生开始，每个月都生下一对新的小兔子，那么，n个月后，一共会有多少对兔子呢？
答案就是斐波那契数列中的第n项。
这个问题的答案之所以是斐波那契数列，是因为每个月的小兔子数量，都是由前两个月的小兔子数量相加得到的。
除此之外，斐波那契数列还出现在了许多其他自然现象中。
例如，一些植物的花瓣数量，往往是斐波那契数列中的某个数。
一只蜜蜂修建蜂巢时，会将六边形的蜜蜂巢连接起来，这些六边形的数量也是斐波那契数列中的某个数。
总之，斐波那契数列在自然界中的存在，充分展示了数学与自然之间紧密的联系。
- 1 -。
斐波那契螺旋(黄金分割)
斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出的数论学家。
我们对他的生平知道得很少。
他出生在意大利那个后来因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有他的一座雕像。
他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。
在他最重要的著作《算盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包括0）及其演算法则。
数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要贡献。
坐落在意大利比萨的斐波那契雕像数学中有一个以他的名字命名的著名数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。
这个数列是斐波那契在他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。
在问题中他假设如果一对兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始，一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的兔子数就是斐波那契数列的第n项。
斐波那契数列和黄金分割数有很密切的联系。
斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。
但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。
不过在这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏大自然的造化。
在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。
本期封面上是起绒草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。
很容易想像，如果从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向的，还有些是逆时针方向的。
斐波那契螺旋(黄金分割)
斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出的数论学家。
我们对他的生平知道得很少。
他出生在意大利那个后来因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有他的一座雕像。
他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。
在他最重要的著作《算盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包括0）及其演算法则。
数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要贡献。
坐落在意大利比萨的斐波那契雕像数学中有一个以他的名字命名的著名数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。
这个数列是斐波那契在他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。
在问题中他假设如果一对兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始，一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的兔子数就是斐波那契数列的第n项。
斐波那契数列和黄金分割数有很密切的联系。
斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。
但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。
不过在这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏大自然的造化。
在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。
本期封面上是起绒草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。
很容易想像，如果从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向的，还有些是逆时针方向的。
斐波那契螺旋线 ppt课件
我们把斐波那契数列中相邻的两个数相 除，得到的结果都近似等于Φ，当取斐波那契 数列中数值越大，则它们的比值越接近Φ，当 取值接近无穷大时，其比值就等于Φ。所以斐 波那契数与黄金数是密切联系在一起的。下 面我们把斐波那契数列画成图形会怎么样？ 一起来试试。绘制你的第一条斐波那契螺旋 线。
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最佳猫眼
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漩涡
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如何甩出最佳水花
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ห้องสมุดไป่ตู้
走上去如弹钢琴般的楼梯
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最佳摄影位置
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最佳摄影位置
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最佳摄像位置
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大家准备好一些白纸和一只铅笔、圆规等作 图工具:
第一步：拿出一张白纸和一只铅笔，画出 两条长度为至少13个单元格的平行线。一条线在 另一条线的上面，它们分别是长方形的上下两条 边。
第二步：然后连接两条边的左端点，再连 接两条边的右端点，一个长方形就出来了。
第三步：接着请作出一个边长为8个单元格 的正方 形，如下图。
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有电脑作图技巧同学可以设计更加漂亮的 螺旋线。
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斐波那契螺旋线，是根据斐波那契数列画出 来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契 螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金 比例。斐波那契螺旋线，以斐波那契数为边 的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面 画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波 那契螺旋线。一起来看看：
花朵中的斐波那契数列（组图）
花朵中的斐波那契数列（组图）花朵中的斐波那契数列作者：西蒙妮.普罗伊斯拍摄人：Mack Hall1、图中的是紫色金光菊(又称紫锥花)自然界鬼斧神工：随意的几朵白云，溪水水中浑圆的鹅卵石，或海中白色的浪花等等。
多数情况下，看似毫无规律而言-好比野地里花花草草一样杂乱无章-但有些特却如花头按序排列的种子一样有序可循。
自然界和数学的完美结合，让我们惊叹之余不得不感慨自然界布局竟然完全符合数学领域严格的要求。
在此探讨的是自然界中的斐波纳契数列，借助一些花朵图片开始研究之旅。
这些看似平淡无奇的花朵如何一转眼成为令人叹为观止的艺术品。
拍摄人: Daaynos2、瓢虫毫不关心尖尖的紫锥花头。
而是被排列如此整齐的景象深深吸引。
中世纪数学家比萨的莱昂纳多(公元1170-1250年)发现了斐波纳契数列(拼写构成为fib-on-arch-ee)。
“斐波纳契”是拉丁语“弗立维.波纳切”的缩写，含义是“Bonaccio之子”，其父亲名为Guglielmo Bonaccio。
拍摄人：Daaynos3、令人想起斐波那契数列的花自于意大利比萨市的莱昂纳多，其父Guglielmo是一名海关官员，工作地点就是今天阿尔及利亚的贝贾亚省。
北非留学期间，常常与地中海附近的商旅打交道，莱昂纳多青年时就熟知算数及阿拉伯数字系统。
他发现阿拉伯数字0-9远比常用的罗马数字(I, V, X等等)更高级、更好用。
拍摄人：Rohit Sood4、业余植物学家眼中普普通通的绿芯雏菊斐波纳契如此喜爱数字系统，于是开始在整个欧洲推广数字系统，并著书立说，1202年，他的著作公开出版。
其著作《算盘书》(或者叫《计算之书》)被当时的欧洲同行和后辈数学家称作是推进”新的“十进制系统的开山之作。
拍摄人: Solidskorpion5、像牙齿一样洁白的白菊花花瓣这些历史和这些美轮美奂的花朵图片有什么联系呢？请耐心一点！马上，就给您揭晓答案。
《算盘书》第12章，斐波纳契记录了一组另后人十分着迷的数字序列。
fibonacci数列在自然界中的
fibonacci数列在自然界中的
"自然界中的Fibonacci数列：从花瓣的数量到种子的排列，把一切
用数学的规律表示出来。
"
Fibonacci数列在自然界中具有重要意义。
它是以0、1开头，后续
元素由其前两位之和而来，这种现象就出现在自然界中。
1.生物界: 在动物和植物的发展过程中，都可以看到Fibonacci数列的踪迹。
比如花瓣的设计，往往是3，5，8，13等等Fibonacci数；而在昆
虫的触角中，也可以看到Fibonacci数的精彩表现。
2.自然界: 在天文界，有很多基于Fibonacci数的十足惊喜，比如类似MILKYWAY银河系的行星环绕木星的轨迹，其轨道半径都接近的Fibonacci的比例；而在地质界，我们可以找到很多Fibonacci数的痕迹，比如在咖啡壳里，有精妙的纤维螺旋，其实就是Fibonacci数列。
3.数学界: Fibonacci数列在数学界有很多用处，比如可以求解各种衍生函数，解决求最大公约数，最小公倍数等问题；而且在金融界，有大
量的金融模型都依赖于Fibonacci数列，比如股票定价，投资等。
总之，Fibonacci数列在自然界中带给我们许多惊喜，虽然它看似极其简单，但是却拥有强大的生命力，值得人们越来越深入地去研究它。
人教版小学数学六年级下册《斐波那契数列》课件.doc
人教版小学数学六年级下册《斐波那契数列》课件假设: : 一对刚出生的兔子一个月后就能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔子，并且此后每个月都会生一对小兔子，一年内没有死亡，那么，12 个月后会有多少对兔子呢？1 123 5 8 6 月 5 月4 月 3 月 2 月 1 月1 123 5 8 6 月 5 月4 月 3 月 2 月 1 月斐波那契斐波那契（（1170 1250 ）意大利杰出的数论学家。
1202 年著作《算盘书》。
1 12 13 24 35 56 87 138 21 9 34 10 55 11 89 12 144 【第1 年】 13 233 14 377 15 610 16 987 17 1597 18 2584 19 418120 6765 21 10946 22 17711 23 28657 24 46368 25 75025 26 121393 27 196418 28 317811 29 51422930 832040 31 1346269 32 2178309 33 3524578 345702887 35 9227465 36 14930352 37 24157817 38 39088169 39 63245986 40 102334155 41 165580141 42 267914296 43 433494437 44 701408733 45 1134903170 46 1836311903 47 2971215073 48 4807526976 斐波那契数列与数学4807526976 【第2 年】【第3 年】【第4 年】1 123 5 8 斐波那契螺旋黄金螺旋黄金矩形大自然中的斐波那契数列鹦鹉螺大自然中的斐波那契数列种子的排列（松果）大自然中的斐波那契数列种子的排列（松果）大自然中的斐波那契数列 8种子的排列（松果）大自然中的斐波那契数列 13大自然中的斐波那契数列有13 条逆时针螺旋和21 条顺时针螺旋有13 条顺时针螺旋和21 条逆时针螺旋蓟大自然中的斐波那契数列大自然中的斐波那契数列 21 条和34条条最多可达89 条和144条条 34 条和55 条 55 条和89条条台风旋转云图台风旋转云图水流漩涡水流漩涡星云星云1 123 5 8斐波那契数列。
上帝的指纹奇妙的斐波那契螺旋线
上帝的指纹奇妙的斐波那契螺旋线斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数、黄金矩形、黄金分割、等角螺线等。
现在，木匠保罗·塞勒斯（Paul Sellers）要和我们展示下，他是怎么通过一把凿子，自己创造美丽的斐波那契木雕花：视频：斐波那契数列的秘密斐波那契数列斐波那契数列和斐波那契螺旋线斐波那契数列(Fibonacci sequence),又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契(Leonardoda Fibonacci)以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”。
斐波那契数列指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=Fn-1+Fn-2（n>=2，n∈N*），用文字来说，就是斐波那契数列列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数列的项就由之前的两数相加。
依次类推下去，你会发现，它后一个数等于前面两个数的和。
在这个数列中的数，就被称为斐波那契数。
2是第3个斐波那契数。
这个级数（数列也叫级数）与大自然植物的关系极为密切。
几乎所有花朵的花瓣数都来自这个级数中的一项数字：菠萝表皮方块形鳞苞形成两组旋向相反的螺线，它们的条数必须是这个级数中紧邻的两个数字（如左旋8行，右旋13行）；还有向日葵花盘……倘若两组螺线条数完全相同，岂不更加严格对称？可大自然偏不！直到最近的1993年，人们才对这个古老而重要的级数给出真正满意的解释：此级数中任何相邻的两个数，次第相除，其比率都最为接近0.618034……这个值，它的极限就是所谓的'黄金分割数'。
特别指出：0不是第一项，而是第零项。
在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊，专门刊载这方面的研究成果。
大自然里的裴波那契数列螺旋
大自然里的裴波那契数列螺旋作者：来源：《大众科学》2015年第10期向日葵花盘与银河系、飓风有着相似的旋转方式，其实，在大自然里，很多事物都在依循着一个规律——裴波那契数列——黄金螺旋佛语有云“一花一世界，一叶一菩提。
”——从一朵花里就可以看出整个世界，用一片叶子就能代表整棵菩提。
那么，一朵花真的能看出一个世界吗？其实，大自然里，很多事物都在依循着一个规律——裴波那契数列——黄金螺旋。
向日葵花盘与银河系、飓风有着相似的螺旋方式。
一花真的可以看见一世界。
什么是斐波那契数列？中世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契（LeonardoFibonacci，1170～1240）发现了这一数列，它是这样一组数列：1、1、2、3、5、8、13……即后一数字为前面两个数字之和。
这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的（a[n+2]=a[n+1]+a[n]）。
而且当n趋向于无穷大时，后一项与前一项的比值越来越逼近黄金分割1.618，或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近黄金分割0.618。
这样映射出的斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，那么，这一数列螺旋和自然界有什么关联呢？请耐心点，答案马上为你揭晓！自然界中，一些植物的花瓣、萼片、果实的数目以及排列的方式上，都是非常符合斐波那契数列的。
细致观察可以发现，向日葵的花盘中有两组螺旋线，一组顺时针方向盘绕，另一组则逆时针方向盘绕，并且彼此相嵌。
虽然不同的向日葵品种中，这些顺逆螺旋的数目并不固定，但往往不会超出34和55、55和89或者89和144这三组数字，这每组数字都是斐波那契数列中相邻的2个数，很有趣吧！这样排列的目的，是为了让植物最充分地利用阳光和空气，繁育更多的后代。
在大自然里还有许多斐波那契数列。
例如，树木的生长。
由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间供自身生长，而后才能萌发新枝。
所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。
神奇的植物与数学------斐波那契数列
神奇的植物与数学------斐波那契数列自古以来，人类就从植物中看到了数学特征：花瓣对称地排列在花托边缘，整个花朵几乎完美无缺地呈现出辐射对称形状，叶子沿着植物茎秆相互叠起，有些植物的种子是圆的，有些呈刺状，有些则是轻巧的伞状……所有这一切向我们展示了许多美丽的数学模式。
科学家发现，植物的花瓣、萼片、果实的数目以及其他方面的特征，都非常吻合于一个奇特的数列——著名的斐波那契数列：1、2、3、5、8、13、21、34、55、89……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）它广泛存于在现代物理、准晶体结构、化学等领域，列昂纳多·斐波那契（1170---1250）是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他也是斐波那契数列的发明者，一个不平凡的意大利数学家。
美国数学会从1963起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载斐波纳契数列方面的研究成果。
你看，向日葵种子的排列方式，就是一种典型的数学模式。
仔细观察向日葵花盘，你会发现两组螺旋线，一组顺时针方向盘绕，另一组则逆时针方向盘绕，并且彼此镶嵌。
虽然不同的向日葵品种中，种子顺、逆时针方向和螺旋线的数量有所不同，但往往不会超出34和55、55和89或者89和144这三组数字，这每组数字就是斐波那契数列中相邻的两个数。
前一个数字是顺时针盘绕的线数，后一个数字是逆时针盘绕的线数。
还有，雏菊的花盘也有类似的数学模式，只不过数字略小一些，菠萝果实上的菱形鳞片，一行行排列起来，8行向左倾斜，13行向右倾斜。
挪威云杉的球果在一个方向上有3行鳞片，在另一个方向上有5行鳞片。
常见的落叶松是一种针叶树，其松果上的鳞片在两个方向上各排成5行和8行，美国松的松果鳞片则在两个方向上各排成3行和5行……如果是遗传决定了花朵的花瓣数和松果的鳞片数，那么为什么斐波那契数列会与此如此的巧合?这也是植物在大自然中长期适应和进化的结果。
罗马花椰菜
罗马花椰菜这种花椰菜的变种是最重要的不规则碎片形蔬菜。
它的图案是斐波纳契数列，或称黄金螺旋型(一种对数螺旋，小花以花球中心为对称轴，螺旋排列)的天然代表。
不规则碎片形的数学之美，是利用相对简单的等式形成无限复杂的图案。
它通过多次重复不规则碎片形生成等式，形成美丽的图案。
我们已经在我们的地球上搜集到一些这方的天然实例，下面就让我看一看。
斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多•斐波那契(LeonardoFibonacci ),生于公元1170年，卒于1240年，1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abacci) 一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8 13、21、34这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和斐波那契数列通项公式与黄金分割的关系有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。
而且当n趋向于无穷大时，后一项与前一项的比值越来越逼近黄金分割1.618.（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近黄金分割0.618、前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618 ）1 十1=1, 2- 1=2, 3-2=1.5 , 5-3=1.666... , 8-5=1.6 , ........ ,越到后面，这些比值越接近黄金比.奇妙的属性斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前一一比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数（典型的有向日葵花瓣），从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积少1, 每个偶数项的平方都比前后两项之⑴积多1。
如：第二项1的平方比它的前一项1和它的后一项2的积2少1,第三项2的平方比它的前一项1和它的后一项3的积3多1。
D a已口屯令香口口比隐藏斐波那契数列将杨辉三角依次下降，成如图所示排列，将同一行的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、公式表示如下：f ⑴=C(0,0)=1。
斐波那契数列
斐波那契数列作者：antares
来源：《科学Fans》2019年第02期
葵花盘上面藏着两组螺线：顺时针一组，逆时针一组。
如果数一下，就会发现这两组螺线的条数分别是13和21（为了不毒害大家的眼睛，我们就不在图中画出这些线了，有兴趣的同学可以自己连一连）。
这正好是斐波那契数列里面的两项;而螺线的发散角137.5°，则是360°乘以黄金分割比例的结果。
类似的螺线也出现在其他植物上，有的是8和13，有的是21和34——所有这些，都显示出斐波那契数列的存在感。
这不是偶然一或者說，这不可能是偶然，它背后有着更简单的规律。
植物长出新芽的顺赙是由内而外，而每次长出来时都会尽量避开已经长出来的其他芽。
在此规律的指导下，生出的芽就会每次旋转约137.5°，即黄金分割角。
更进一步说，斐波那契数列的出现也并非偶然。
葵花盘上的螺线并不完全是天然的，而是人眼看出的模式。
斐波那契数列相邻两项之间的比例正好是最为接近黄金分割比0.618…的有理数列，因此，如果每个芽转动137.5°，则第3，5，8，13，…个芽正好是最接近于转满整数圈的数字。
对向日葵来说，人眼就会把前13个芽分成13组，并由此为起点看出13条顺时针的螺线，而逆时针则是21条。
这之中，有着三种不同层次的美：向日葵的螺线展现出的是自然之美;从中看出斐波那契数列，体会到的是无所不在的数字之美;找到更底层的规律，并一层一层向上论证出数字之美和自然之美为什么存在，就能体会到真正的数学之美。
斐波那契数列
斐波那契数列在数学的奇妙世界里，有一个充满魅力和神秘色彩的数列，那就是斐波那契数列。
这个数列看似简单，却蕴含着无尽的奥秘和广泛的应用。
斐波那契数列的定义非常简洁明了。
它从 0 和 1 开始，后续的每一项都是前两项的和。
也就是说，数列的前几项是 0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89…… 以此类推。
那么，斐波那契数列到底有什么特别之处呢？首先，它在自然界中有着惊人的呈现。
比如，一些植物的花瓣数量常常符合斐波那契数列。
像百合花有 3 片花瓣，梅花有 5 片花瓣，向日葵的花盘上种子排列也呈现出斐波那契数列的规律。
这似乎揭示了大自然在某种程度上遵循着这个数学模式来构建生命的形态。
在金融领域，斐波那契数列也发挥着重要的作用。
股票市场的价格波动、期货交易中的趋势分析，都有人运用斐波那契数列来寻找潜在的规律和支撑阻力位。
投资者们试图通过这些规律来预测市场的走向，做出更明智的投资决策。
不仅如此，斐波那契数列还与黄金分割比例有着密切的关系。
黄金分割比例约为 1618，而斐波那契数列相邻两项的比值在数列往后延伸时，会逐渐趋近于黄金分割比例。
这种比例在美学上被广泛认为具有极高的审美价值。
许多著名的建筑和艺术作品都遵循了黄金分割比例，从而展现出令人赏心悦目的美感。
从数学角度来看，斐波那契数列具有许多有趣的性质。
比如，它的通项公式虽然复杂，但却精确地描述了每一项的数值。
而且，通过对数列进行数学运算和推导，可以发现更多隐藏在其中的规律和定理。
在计算机科学中，斐波那契数列也是一个经典的算法问题。
编写程序来生成斐波那契数列，不仅可以锻炼编程能力，还能帮助我们理解递归算法和循环算法的应用。
对于普通人来说，了解斐波那契数列也能给我们带来一些启发。
它让我们看到了数学与生活的紧密联系，感受到了数学在解释和描述世界中的强大力量。
它告诉我们，看似随机和复杂的现象背后，可能隐藏着简单而优美的数学规律。
总之，斐波那契数列不仅仅是一串数字的排列，它是连接数学与自然、艺术、金融等多个领域的桥梁。
自然界之美罗马花椰菜斐波纳契数列黄金螺旋
将每一件公文制作得标准、规范、美观， 甚至像一件“艺术品”。这是公文处理人员 应当追求的最高境界。
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第二部分：机关公文的种类
公文种类变化概述:
国务院《关于公文名称和体式的意见》（1956）：12种 国务院《国家行政机关公文处理办法》（1981）: 15种 国办《国家行政机关公文处理办法》 （1987）：15种 国办《国家行政机关公文处理办法》 （1993）：12种 中办《中国共产党机关公文处理条例》（2019）：14种 国务院《国家行政机关公文处理办法》（2000）：13种
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公文处理工作：
“规则”特征更为突出，更要 强调和体现“规则”、“格式” 的规范要求。
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规则之美
——浅学《党政机关公文 处理工作条例》
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学习的主要内容
第一部分：机关公文的内涵 第二部分：机关公文的种类 第三部分：机关公文的格式 第四部分：公文的行文规则
一、决议：用于会议讨论通过的重大决策事项。
主要特点：
★程序上的规范性：必须经集体讨论和表决后形成。
★内容上的针对性：主要对某一重要工作或重大事项。 ★效力上的权威性：一经发布，应坚决执行。 ★对象上的普遍性：所属组织、团体、个人均不得例外。 ★时效上的长期性：决议的效用一般时限较长。
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机关公文的作用：
◆指导工作，传达意图（通知、意见） ◆联系工作，交流情况（函） ◆请示工作，答复问题（请示、批复） ◆总结工作，推广经验（通知、决定） ◆ 记载工作，积累史料 (各类文种）