数学分析3.4两个重要的极限
数学分析3-4两个重要的极限
1
1
x
e
.
x x
当 x 0时, 设 x y , y 0, 则
1
1 x
x
1
1 y y
1
1 y . y 1
因为当 x 时，y , 所以
lim 1 x
1 x
x
lim
y
1
1 y11 y 1
1 y 1
e
.
这就证明了
lim 1 x
1 x
x
e
.
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1 n2
e.
n 1
再由迫敛性,
求得 lim 1 n
1 n
1 n2
n
e.
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例7 (复利息问题)设银行将数量为A0的款贷出,每期利
率为 r.若一期结算一次,则t 期后连本带利可收回
t 1, 本利和： t 2, 本利和： t 3, 本利和：
A0 A0r A0 1 r
来值是复利问题:
At A0e rt
与此相反，若已知未来值At求现在值A0，则称贴 现问题。这时利率r称为贴现率。
由复利公式，容易推得离散的贴现公式为:
A0 At (1 r)t
A0
At (1
r )mt m
连续的贴现公式为：
A0 At e rt
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例8 设年利率为6.5％，按连续复利计算，现投资 多少元，16年之末可得1200元？
求
lim
n
1
1 n
1 n2
n
.
解
因为
1
1 n
1 n2
n
1
1 n
n
对两个重要极限的重要性的认识
对两个重要极限的重要性的认识之青柳念文创作摘要：通过对两个重要极限重要性的懂得和认识, 总结有关两个重要极限的论文成果，指出两个重要极限在微积分的计算过程中起到了重要的桥梁纽带作用，主张学习数学知识不但局限于讲义，要培养提高探究问题的才能，系统全面的对待问题，深刻细致的体会微积分思想的严谨性.关键词：重要极限；重要性；证明；应用1.绪论两个重要极限在微积分的计算和整个微积分思想中起着无足轻重的作用，今朝，关于这方面的分析已经很成熟，有关于它们的来历，证明，应用和深入扩大，本文系统的总结了部分具有代表性的成果，从而可以直观全面的认识和体会两个重要极限的重要性，对刚接触极限实际，没有深入认识两个重要极限的学生来讲，具有指导意义.《数学分析》课程在讲述关于两个重要极限和时，着重强调了它在整个极限计算中有重要地位.它能将许多复杂的极限计算迅速简化, 应用非常矫捷.因此，这两个重要的极限可以说是全部微积分学计算的基础, 其重要性就不难懂得了.试想, 若没有它们, 那末只要遇见微积分相关的计算题, 必须用最基本的方法，有些还纷歧定求得出来，更不必说由它们推广出的更复杂的应用了.2.两个重要极限的证明两个重要极限是极限实际的重要内容, 也是处理极限问题的一种有效方法, 在学生的学习中, 起着重要作用，懂得它们的证明方法对充分懂得和认识它们是十分需要的，它的证明过程也是对双方夹定理及单调有界数列必有极限这一准则的恰当应用.2.1第一个重要极限：1sinlim=→xxx1sinlim=→xxxexxx=+∞→)11(lim证明：作单位圆，如图1：图1设x为圆心角AOB∠，并设20π<<x 见图不难发现：AO DAO B AO B S S S ∆∆<<扇形，即：x x x tan 2121sin 21<<，即x x x tan sin <<，（因为20π<<x ，所以上不等式不改变方向）当x 改变符号时，xxx sin ,cos 及1的值均不变，故对知足20π<<x 的一切x ，有1sin cos <<x xx .又因为21421)2(sin 21)cos 1(1cos 222x x x x x -=⋅->-=--=，所以1cos lim 1cos 2102=⇒<<-→x x x x而1sin lim11lim cos lim 00=⇒==→→→x xx x x x ，证毕.第二个重要极限：ex x x =+∞→)11(lim先思索x 取正整数时的情形：nn n )11(lim +∞→对于0>>a b ，有不等式：nn n b n a b a b )1(11+<--++，即：)()1(11a b b n a b nn n -+<-++， 即：])1[(1nb a n b a n n -+>+ （i ）现令nb n a 11,111+=++=，显然0>>a b ，因为1)1(11)1(=+-++=-+n n nb a n 将其代入，所以n n n n )11()111(1+>+++，所以})11{(n n +为单调数列，记作{n x }.（ii ）又令1=a ，21)21(1)1(,211=+-+=-+⇒+=n n nb a n nb所以nn nn )211(221)211(1+>⇒⋅+>nn 2)211(4+>⇒， 即对4,2<∀n x n ， 又对4)2211()1211(2212<++<++∀++n n n n所以{nn )11(+}是有界的.由单调有界定理知 nx n )11(lim +∞→存在，并使用e 来暗示，即 590457182818284.2)11(lim ==+∞→e n n x在函数的学习中，我们熟悉的基本初等函数有以下五类：○1幂函数y x α=(R α∈),○2指数函数(0,1)xy a a a =>≠， ○3对数函数log a y x =(0,1a a >≠)，○4三角函数y=sin x, y=cos x ，y=tan x, y=cot x, ○5反三角函数y=arc sinx, y=arc cosx, y=arc tanx, y=arc cotx.由基本初等函数颠末有限次四则混合运算与符合运算所得到的函数，统称为初等函数，微积分中我们常常需要计算初等函数的导数，微分学的基本概念——导数是建立在极限概念基础上的.即求一个函数f (x )在点x 处的导数 ，就是计算极限 （3.1）当这一极限存在时，其值就是 .但这仅仅是停留在导数定义上的，如果求函数的导数都要计算极限 3.1的话，显然是非常复杂和繁琐的，势必限制导数的广泛应用.事实上，在求函数的导数时，其实不都需要计算极限3.1，而只需根据基本初等函数的求导公式及求导法则便可以很方便地求得任何一个初等函数的导数.因此，两个重要极限对于以上六类基本初等函数的求导起到了至关重要的作用. 关于基本初等函数的求导，我们可以大致分为三类函数：第一类是幂函数，第二类是三角函数和反三角函数，第三类是指数函数和对数函数.对于第一类函数的求导，要操纵二项式定理和导数定义便求得.对于第二类函数的求导，需要操纵到 这个重要极限.对于第三类函数的求导，需要操纵到这个极限. 下面来看一看基本求导公式是如何得来的.3.1 重要极限在三角函数求导过程中的作用 以正弦函数sin x其中应用了第一个重要极限0sin lim 1x xx =→，即00sinsin 2lim lim 12x t xt x t ∆∆==∆→→（令2xt ∆=）.求得(sin x )’=x cos 后，其余的三角函数和反三角函数xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0)('x f )('x f e x x x =+∞→)11(lim 0sin lim 1x xx →=e xxx =+∞→)11(lim 0sin lim 1x x x=→的导数公式便可以操纵多个求导法则得到了.3.2 重要极限在指数函数和幂函数求导过程中的作用 其次，再看看对数函数log a x 的求导公式的推导过程.由导数定义其中应用了第二个重要极限1lim(1)x x ex ∞+=→，即01lim log (1)lim(1)x u x a x u x e x u ∆∆∞∆+=+=→→（令/x x u ∆=）.求得了(log )'a x 以后，指数函数和幂函数的求导公式就容易得出了.可见，两个重要极限在导出基本初等函数的求导公式的过程中，特别是涉及三角函数的过程中起到了关键性的作用，没有这两个重要极限，两类函数的求导公式就不成能得出.两个重要极限在初等函数求导过程中起到了重要的纽带作用，因为推倒正弦函数和指数函数的导数公式的过程中要用到这两个极限，而所有的初等函数都可以从这两类函数以及它们的反函数出发，颠末有限的四则运算复合得到.因此，从这两类函数的导数出发，操纵函数的四则运算、复合和反函数求导法则，就可以求得全部初等函数的导数.再由于积分是微分的逆运算，可以得到基本积分表，依靠他们能算出大量初等函数的积分.可以说，两个重要极限可以说是全部微分积分学的基础，在微积分的计算过程中起到了重要的桥梁纽带作用，所以这两个重要极限极其重要.第一个重要极限实际上是两个无穷小之比的极限.若分子分母分别求极限便得 这一不定的成果，因此称这一类型的极限为 型未定式.近似地，第二个重要极限是属于1∞型未定式.综上所述，可以得出这样的结论，凡是含有三角函数的型未定式和1∞型未定式，我们都可无妨用两个重要极限来试试，看可否求出它的成果，以下举例来讲明如何应用这两个重要极限于极限运算中的.例1 求20cos 1limx xx -→．解:20cos 1lim x xx -→=2122sin22sin 21lim )2(22sin lim 2sin 2lim0220220=⋅⋅==→→→x xx x x x x x x x x ．例2求30sin tan limx xx x -→．解:30sin tan lim x x x x -→=3030cos cos 1sin lim sin cos sin lim x x xx x x x x x x -⋅=-→→=21cos 1lim cos 1lim sin lim2000=-⋅⋅→→→x x x x x x x x ． 例3 求xx x )21(lim -∞→． 解: 令－x2=t ，则x =－t2．当x时t0，于是x x x )21(lim -∞→=21020])1(lim [)1(lim -→-→+=+t t t t t t =e –2．例4求xx x x )23(lim --∞→．解: 令xx --23=1+u ，则x =2－u1．当x时u0，于是x x x x )23(lim --∞→=])1()1[(lim )1(lim 210120u u u u u u u +⋅+=+-→-→=])1(lim [])1(lim [2011u u u uu +⋅+→-→=e -1． 例5求xx x cot 0)tan 1(lim +→．解: 设t =tan x ，则t 1＝cot x ．当x 0时t0， 于是xx x cot 0)tan 1(lim +→=tt t 10)1(lim +→=e ．1sin lim0=→x xx 的应用极限1),(),(sin lim0),(=→y x u y x u y x u 是一元函数第一个重要极限的推广，其中，）（）（00,,y x y x →时，0),(→y x u ，把),(y x u 看做新变量t ，思索极限过程0→t .例1 求极限2233)0,0(),()sin(lim y x y x y x ++→解：2233)0,0(),()sin(lim y x y x y x ++→极限运算过程中第一个等号是一个恒等变形. 我们设2233)sin(),(y x y x y x f ++=，定义域是})0,0(),(),({D ≠=y x y x .再设223333331)sin(),(y x y x y x y x y x f ++++=定义域(){},)0,0(),(,D 1x y y x y x ≠≠=且显然有D D 1∈. 可以看到，从函数),(y x f 到),(1y x f 定义域变小了，但),(y x f ，),(1y x f 分别在各自的定义域D 与1D 内，当)0,0(,→）（y x 时，可以证明极限都是存在的，证明如下：22333333)0,0(),()sin(lim y x y x y x y x y x ++⋅++=→（1）以下是对2233)sin(),(y x y x y x f ++=在定义域})0,0(),(),({D ≠=y x y x 内极限的证明.因为当)0,0(,≠）（y x 时，有： 所以由夹逼准则得2233)0,0(),()sin(lim y x y x y x ++→ =0 (2)对223333331)sin(),(y x y x y x y x y x f ++++=在定义域(){},)0,0(),(,D 1x y y x y x ≠≠=且内极限的存在性，由极限的四则运算法则容易知道，而且其值易算得为0. 既然2233)sin(),(y x y x y x f ++=在定义域})0,0(),(),({D ≠=y x y x 内极限存在，那末极限必唯一.我们可以在D 内任找)0,0(,→）（y x 的方式来计算出极限值.由D 与1D 的关系（D D 1∈），知道在11D =D D 中两函数相等，所以在求极限找)0,0(,→）（y x 的方式时，我们可以在1D ）（D D 1⊂中找，显然，两函数的极限是相等的.2233)sin(),(y x y x y x f ++=≠223333331)sin(),(y x y x y x y x y x f ++++=，2233)0,0(),()sin(lim y x y x y x ++→但是，=),(lim10,0),(y x f y x ）（→是成立的.所以在)0,0(,→）（y x 时，两函数的极限是相等的.同理可以计算下面例子. 例2 求极限y xyy x sin lim)0,0(),(→22333333)0,0(),()sin(lim y x y x y x y x y x ++⋅++=→解：001lim sin lim sin lim sin lim)0,0(),(0)0,0(),()0,0(),(=⋅===→→→→x xy xyx xy xy y xy y x xy y x y x .在一元函数中由第一个重要极限可以得到几个常常使用的等价无穷小，推广到二元函数中得到：同一元函数一样，等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用.例3 求极限)tan(sin lim )0,0(),(y x xy y x +++→解：)tan(sin lim )0,0(),(y x xy y x +++→=yx xy y x +++→），（00),(lim =0例4 求极限222222)0,0(),()()cos(1limy x y x y x y x ++-→解：222222)0,0(),()()cos(1limy x y x y x y x ++-→=21)()(21lim 2222222)0,0(),(=++→y x y x y x y x 4.2.2 重要极限ex x x =+∞→)11(lim极限e y x u y x u y x u =+∞→),(),()),(11(lim 是一元函数中第二个重要极限的推广.下面举例说明它的应用. 例5 求极限yx x y x x+∞→+2)11(lim )1,(),(解：yx x y x x+∞→+2)11(lim )1,(),(=xy x x x y x x 1)1,(),(2)11(lim +∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡+[]),(~1);,(~),(tan );,(~),(1ln );,(21~),(cos 1);,(~),(sin ),(2y x u e y x u y x u y x u y x u y x u y x u y x u y x u y x u -+-=eexyxxxyxyx==⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∞→∞→1lim)1,(),()1,(),()11(lim对于二元函数极限的运算方法除了操纵两个重要极限以外，还有多种方法，比方操纵不等式，使用夹逼准则；操纵初等函数的持续性及极限的运算法则；同时还可以用途径的方法断定极限不存在，但是在使用这些方法时往往不是孤立使用的，通常会多种方法综合使用，来处理二元函数的极限问题.本文通过举例主要讨论了两个重要极限在二元函数极限中的应用，并给出了二元函数极限运算中几个罕见的无穷小的等价代换公式及其应用，更加深了对两个重要极限在二元函数极限运算中作用的懂得，以便更好的处理二元函数的极限问题.5.总结关于两个重要极限的公式自己十分简单，但由它们上面却引出许多的话题. 关于它的证明方法还有很多，本文选取了最能体现数学思想的证法，还谈及了它们的一些应用，这些话题都反映一个共同思想: 在研究函数在一点的无穷小范畴内的变更性态时, 用某个与自变量增量成比例的量( 即微分) , 替代函数的增量, 常常是简化并处理问题的法子. 这就是微分学的基本思想, 对于微积分, 只有深入懂得和掌握了这一思想, 才会深刻懂得和学习.著名日本迷信家米山国藏指出: 作为知识的数学, 出校门不到年能够就忘了, 唯有深深铭刻在头脑中的数学的精华、数学的思想研究方法和着眼点等, 这些都随时随地发生作用,使人们终身受益.这句话揭露了数学的精华不在于知识自己,而在于数学知识中所蕴含的数学思想方法，因此，我们在平时的学习中要注意知识间的思维关系，从而更好的掌握知识.。
浅谈两个重要极限解题技巧
浅谈两个重要极限解题技巧【摘要】本文将讨论两个重要的极限解题技巧：利用夹逼准则和使用换元法。
首先解释了这两种技巧的基本原理和应用方法，然后进一步讨论了如何在实际问题中灵活运用这两种技巧。
通过具体例题的分析演示了这两个技巧在解决极限问题中的重要性和有效性。
同时提醒读者在使用这些技巧时需要注意的问题，避免在解题过程中出现错误或误解。
通过本文的介绍和讨论，读者将能够更好地掌握和运用这些重要的极限解题技巧，提高解题效率和准确性。
【关键词】极限解题技巧、夹逼准则、换元法、实例分析、注意事项、引言、结论1. 引言1.1 引言极限是高等数学中重要的概念之一，它在微积分、数学分析等领域中都有着广泛的应用。
在求解极限时，常常需要运用一些技巧和方法来辅助计算，提高求解的效率和准确性。
本文将重点讨论两个重要的极限解题技巧：利用夹逼准则和使用换元法。
在学习极限的过程中，我们经常会遇到一些难以直接计算的极限表达式，这时可以考虑利用夹逼准则来近似求解。
夹逼准则是一种常用的极限方法，通过构造一个夹在待求极限函数和已知函数之间的函数序列，来逼近待求极限的值。
这种方法常常可以简化复杂的极限计算，提高求解的效率。
使用换元法也是解决极限问题的重要技巧之一。
当遇到形式复杂的极限表达式时，可以尝试通过换元的方式将问题转化为更简单的形式，从而更容易求解。
换元法可以帮助我们找到一些隐含的规律和关联，为极限计算提供新的思路和方法。
通过深入学习和实践这两种极限解题技巧，我们可以更加灵活地处理各种复杂的极限计算问题，并提高解题的效率和准确性。
接下来，我们将详细讨论如何应用这两个技巧来解决不同类型的极限问题，并通过实例分析和具体例题演示技巧的运用。
我们也将介绍在使用这些技巧时需要注意的问题和注意事项。
希望本文能够帮助读者更好地理解和掌握极限解题的方法和技巧，提升数学分析的能力和水平。
2. 正文2.1 技巧一：利用夹逼准则夹逼准则是解决极限问题时非常重要且常用的一种技巧。
极限存在准则两个重要极限教案
极限存在准则两个重要极限教案一、教学目标1. 理解极限存在的概念，掌握极限的定义。
2. 学习两个重要极限：e和π的极限。
3. 学会运用极限存在准则判断极限的存在性。
二、教学重点与难点1. 教学重点：极限存在的概念，两个重要极限的推导及应用。
2. 教学难点：极限存在准则的证明及运用。
三、教学准备1. 教学材料：教材、教案、PPT、黑板。
2. 教学工具：投影仪、计算机。
四、教学过程1. 导入：回顾极限的基本概念，引导学生思考极限存在的意义。
2. 讲解极限存在的概念：介绍极限的定义，解释极限存在的意义。
3. 推导两个重要极限：a. 推导e的极限：x→0时，(1+x)^(1/x)的极限。
b. 推导π的极限：x→0时，(1+x)^2/2 x^2的极限。
4. 讲解极限存在准则：a. 单调有界定理：判断函数在区间上单调有界，即可得出极限存在。
b. 夹逼定理：利用两个单调有界的函数夹逼目标函数，得出极限存在。
5. 例题讲解：运用极限存在准则判断给定函数极限的存在性。
6. 课堂练习：让学生独立判断一些函数极限的存在性，巩固所学知识。
7. 总结：回顾本节课所学内容，强调极限存在准则的重要性。
五、课后作业1. 复习本节课所学内容，巩固极限存在准则。
2. 完成课后练习题，提高判断极限存在性的能力。
3. 预习下一节课内容，了解极限的性质和运算。
六、教学拓展1. 引入极限存在定理：讨论函数在区间上的连续性，结合极限存在定理，加深对极限存在性的理解。
2. 探讨极限的存在性与函数性质之间的关系：分析单调性、有界性与极限存在性的联系。
七、案例分析1. 分析实际问题中的极限存在性：例如，在物理学中，研究物体运动速度趋于某一值的情况。
2. 引导学生运用极限存在性解决问题，培养学生的实际应用能力。
八、教学互动1. 组织小组讨论：让学生分组讨论极限存在性准则的应用，分享解题心得。
2. 开展课堂提问：鼓励学生主动提问，解答疑难问题。
九、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，总结极限存在准则及其应用。
微积分 两个重要极限 第二个公式的变形,应用,技巧
微积分两个重要极限第二个公式的变形,应用,技巧微积分中的两个重要极限是极限的无穷大的概念，即当一个连续函数的值不断接近无穷时，每个值与其前一个值的差也越来越小，甚至接近零。
极限可以用符号来表示，符号为“lim”，其后加上函数表达式，表示极限。
极限可以用来分析函数的行为，比如求得函数的极限值、求函数在某一点处的导数等。
两个重要极限，即表示函数极限的第二个公式，由拉格朗日来推导，并由它对函数的分析和应用构成了极限的基本理论。
以第二个公式的形式来表示，它可以用Symbol表示，即：lim[f(x)/(x-a)] = f′(a)即当x趋近于a时，f(x)/(x-a)的极限值等于f′(a)，其中f′(a)表示函数f在点a处的导数值。
又如：一元函数y=f(x)，当x趋近于某个常数a时，函数y=f(x)的值也趋近于某个常数L，则可以称L为函数y=f(x)在x=a时的极限，记为：lim[f(x)]=L由此可见，求函数在某一点处的极限值，可以用上述公式推导出极限值L。
若要求出函数在某一点处的导数值，则可以用上述第二个公式推导出函数在该点处的导数值。
极限的理论可以用来分析函数的行为，此外，由极限的理论可以推出许多应用，比如，解决积分和微分方面的问题，比如积分和微分是两个重要的应用，而积分和微分的最基本原理却是极限。
此外，在数学分析中，极限还可以用来求函数的单调性、最值、极点等，以及判断函数的连续性等。
极限的技巧有很多，比如用比值法求极限，即：当函数不能直接求出极限值时，可以把函数分成多个分母分子的比值，比如：lim[f(x)].lim[g(x)]/lim[h(x)]，然后再用极限技巧分别求出比值中每一项的极限值，最后把求出的每一项极限值相乘，即可求出函数的总体极限值。
另外，还可以用变量技巧求极限，即：当极限值不能用比值法求出时，可以用变量技巧把函数变形成一个容易求出极限的形式，以达到求出极限的目的，比如将函数xx改写成(x-a)f(x)/(x-a)的形式，然后再用第二个公式推导出x=a时的极限。
用两个重要极限导数公式推导
用两个重要极限导数公式推导为了满足您的需求，我将推导两个重要的极限和导数公式，分别是：1.极限：极限是函数中的一个重要概念，是数学分析的基础之一、一个函数在其中一点的极限表示函数在该点附近的变化趋势。
在这里，我将推导极限的定义以及常见的导数计算公式。
极限的定义：对于一个函数f(x)，当x在无穷逼近于其中一值a时，若函数f(x)的值越来越接近于L，则称函数f(x)在x趋近于a时的极限为L，记作：lim(x->a) f(x) = L导数的定义：导数是描述函数局部变化率的概念，表示函数在其中一点上的切线斜率。
对于一个函数 f(x)，其在 x=a 处的导数表示为 f'(a) 或者 dy/dx，_(x=a)，可由极限表示：f'(a) = lim(h->0) [f(a+h) - f(a)] / h常见的导数计算公式：在这里，我将介绍一些常见的导函数计算规则：- 常数函数导数：如果函数 f(x) = c，其中 c 是常数，则它的导数为 0：(d/dx) c = 0。
- 幂函数导数：如果函数 f(x) = x^n，其中 n 是正整数，则它的导数为：(d/dx) x^n = n*x^(n-1)。
- 指数函数导数：如果函数 f(x) = a^x，其中 a > 0 且a ≠ 1，则它的导数为：(d/dx) a^x = ln(a) * a^x。
- 对数函数导数：如果函数 f(x) = log_a(x)，其中 a > 0 且a ≠ 1，则它的导数为：(d/dx) log_a(x) = 1 / (x * ln(a))。
- 三角函数导数：例如正弦函数和余弦函数的导数分别为：(d/dx) sin(x) = cos(x) 和 (d/dx) cos(x) = -sin(x)。
- 反三角函数导数：例如反正弦函数和反余弦函数的导数分别为：(d/dx) arcsin(x) = 1 / sqrt(1 - x^2) 和 (d/dx) arccos(x) = -1 / sqrt(1 - x^2)。
数学分析中求极限的方法总结
数学分析中求极限的方法总结1 利用极限的四则运算法则和简单技巧极限的四则运算法则叙述如下：定理1.1（1（2（3）若B ≠0（4（5）[]0lim ()lim ()nnn x x x x f x f x →→⎡⎤==A ⎢⎥⎣⎦（n 为自然数）i由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。
例1. 求225lim3x x x →+- 解：由定理中的第三式可以知道()()22222lim 55lim 3lim 3x x x x x x x →→→++=--22222lim lim5lim lim3x x x x x x →→→→+=+225923+==--例2. 求3x →33x x→→=3x→=14=式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可例3. 已知()11112231nxn n=+++⨯⨯-⨯观察11=1122-⨯111=2323-⨯因此得到()11112231nxn n=+++⨯⨯-⨯11111111223311n nn=-+-+-+---1lim lim11nn nxn→∞→∞⎛⎫=-=⎪⎝⎭2 利用导数的定义求极限导数的定义：函数f(x)如果()()00lim limx xf x x f xyx x∆→∆→+∆-∆=∆∆存在，则此极限值就称函数f(x)()'f x。
即f(x)在定点0x 的导数。
例4.lim()212lim'22x x f x f x f πππ→⎛⎫- ⎪⎝⎭==⎛⎫- ⎪⎝⎭12=3 利用两个重要极限公式求极限两个极限公式：（1（2）1lim 1xx ex →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭但我们经常使用的是它们的变形：（1，（2例5：xx x x 10)1()21(lim +-→解：为了利用极限故把原式括号内式子拆成两项，使得第一项为e x xx =+→10)1(lim 1，第二项和括号外的指数互为倒数进行配平。
对两个重要极限的新认识
Science &Technology Vision 科技视界在“高等数学”或是“数学分析”课程的开头讲“极限”时,都会讲到下面两个重要极限lim x →0sin x x=1或lim x →∞1+1x ()x=e .它们之所以重要是因为推导正弦函数和指数函数的导数公式的过程中要用到,而所有的初等函数都可以从这两类函数以及它们的反函数出发,经过有限次的四则运算、复合得到。
再由于积分是微分的逆运算,可以得到微积分学计算的基础,其重要性就不难理解了。
1两个重要极限的新证明1.1第一个重要极限:lim x →0sin x x=1证法1利用几何图形,作一单位圆(如图所示):设∠BOC =x (弧度),对于AB 轴作半径OC ,∠BOD =x ,连接CD ,则BC⌢=x ,CD ⌢=2x ,CD =2sin x 所以sin x x =CD CD ⌢,当x →0时,CD →CD⌢,从而lim x →0sin x x =lim x →0CD CD⌢=1,即lim x →0sin x x=1证法2利用拉格朗日中值定理,选取函数f (x )=sin x ,则f (x )在[0,x ]上满足拉格朗日中值定理的条件,且f′(x )=cos x ,因而在(0,x )内至少存在一点ξ使得sin x-sin0x-0=cos ξ,即sin x x=cos ξ(0<ξ<x )从而有lim x →0sin x x =lim ξ→0cos ξ=1,即lim x →0sin x x=11.2第二个重要极限:lim x →∞1+1x()x=e证明lim x →∞1+1x()x=e 的关键是通过证明lim n →∞1+1n ()n=e 来实现,而证明lim n →∞1+1n ()n=e 的关键是证明1+1n()n{}是递增有界数列,故先引入下面引理。
引理:设数列a n =1+1n()n,则1+1n()n {}是一个递增有界数列。
§3.4 两个重要的极限 数学分析(华师大 四版)课件 高教社ppt 华东师大教材配套课件
0sin lim 1x x x →=1lim 1e xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭*点击以上标题可直接前往对应内容)1(.cos 1sin 1xx x <<不等式中的三个表达式均是偶函数, 证πsin tan 0,2x x x x ⎛⎫<<<< ⎪⎝⎭因为所以命题1π0||12x <<时,()式仍成立.后退前进目录退出x 故当sin lim 1x xx →=001lim =1=lim =1cos x x x →→=因为，0lim 1,sin x xx →=所以0sin lim 1.x xx →=即πsin lim πx x x →-解π,t x =-令所以例1 求πsin lim .πx xx →-()sin sin πsin ,x t t =+=-则0sin lim 1.t t t→-==-例2.arctan lim 0x xx →求x x x arctan lim 0→arctan ,tan ,t x x t ==令解.cos 1lim 20xxx -→求例3解2202sin 2lim xx x →=.21=20cos 1lim x x x -→2022sin 21lim ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→x x x t t t tan lim 0→=t t tt t cos lim sin lim 00→→⋅=1=则命题2e 11lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→xx x .e 11lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-→xx x 和证我们只需证明：();,2,1,1,111 =+<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++=n n x n n x f n 设两个分段函数分别为1lim 1exx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭().,2,1,1,111=+<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n x n n x g n显然有()().),1[,11∞+∈≤⎪⎭⎫⎝⎛+≤x x g x x f x因为(),e 111lim lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∞→+∞→nn x n x f (),e 11lim lim 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→+∞→n n x n x g 所以由函数极限的迫敛性，得到1x§4 两个重要的极限sin lim 1x x x →=.e 11lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→xx x 这就证明了())3(.e 1lim 1=+→t t t 注,1xt =若令由此可得在实际应用中，公式(2)与(3)具有相同作用..e 111111lim 11lim 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∞→-∞→y y x y y xx .0,→∞→t x 时则1lim 1e xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.1111111xy y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+所以时，因为当,+∞→-∞→y x解),3(由公式例4xx x 1)21(lim +→求()10lim 12xx x →+()2120=lim 12xx x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦2e .=例51lim(1)xx x →-求解()10lim 1xx x →-()110=lim 1xx x --→⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1e .-=,01,e 11lim 2→-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n n n nn ＝而.e 11lim 122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∞→n n n n n 所以由归结原则，.111lim 2nn n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→求例6解因为2111nn n ⎛⎫+- ⎪⎝⎭1122211111---⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n nn n nn n n n .112122--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≥n n n n 11e,nn ⎛⎫<+→ ⎪⎝⎭.e 111lim 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→nn n n 再由迫敛性, 求得。
夹逼准则与两个重要极限
第二个重要极限的应用举例
在解决一些数学问题时，如求无穷积分、求解微分方程等，可以利用第二 个重要极限来简化计算过程。
例如，在求解无穷积分∫sin(x)/x dx时，可以利用第二个重要极限来得到 积分的值。
此外，在求解一些微分方程时，也可以利用第二个重要极限来得到方程的 解。
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总结与展望
本主题的主要内容总结
夹逼准则的定义与性质
夹逼准则是数学分析中的一个基本定理，它描述了当两个序列或函数在一定条件下收敛时，它们的极限值之间的关系 。这个定理在证明极限和求极限中有着广泛的应用。
两个重要极限的介绍
两个重要极限是数学分析中的重要概念，它们是用来描述函数在某些特定点或区域的极限行为。第一个重要极限是 $lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$，第二个重要极限是$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$。
03
数，如泊松分布的均值和方差。
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第二个重要极限
第二个重要极限的定义
01
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第二个重要极限是数学 中的一个重要概念，它 描述了当x趋向于无穷大 时，函数sin(x)/x的极限
值。
具体来说，第二个重要极 限的定义为lim(x->∞) sin(x)/x = 1。
这个极限在解决一些数 学问题时非常有用，尤 其是在处理无穷大或无
夹逼准则的应用举例
举例1
求lim (1 + 1/n)^n (n -> +∞) 的值。令c_n = (1 + 1/n)^n， a_n = (1 + 1/n)^(n+1)，b_n = (1 + 1/n)^(n-1)，则有a_n <= c_n <= b_n。根据夹逼准则，lim c_n = e。
两个重要极限教案(修改稿)
两个重要极限教案(修改稿)章节一：引言与极限概念的复习教学目标：1. 理解极限的概念及其在数学分析中的重要性。
2. 复习函数在一点附近的性质以及极限的定义。
教学内容：1. 引入极限的概念，解释极限在数学分析中的作用。
2. 复习函数在一点附近的性质，包括连续性、可导性等。
3. 回顾极限的定义，包括左极限、右极限以及极限的存在性。
教学方法：1. 通过举例和问题引导students 理解极限的概念。
2. 通过图形和实际例子解释函数在一点附近的性质。
3. 通过练习题帮助students 复习和巩固极限的定义。
章节二：极限的计算方法教学目标：1. 掌握常见的极限计算方法，包括直接代入法、因式分解法、有理化法等。
2. 学会运用极限的性质和运算法则进行极限的计算。
教学内容：1. 介绍常见的极限计算方法，包括直接代入法、因式分解法、有理化法等。
2. 讲解极限的性质和运算法则，如无穷小和无穷大的性质、四则运算法则等。
3. 通过例子和练习题讲解和巩固极限的计算方法。
教学方法：1. 通过讲解和示例演示常见的极限计算方法。
2. 通过问题和解题方法的讨论，帮助students 理解和掌握极限的性质和运算法则。
3. 通过练习题和问题引导学生运用极限的计算方法解决实际问题。
章节三：无穷小和无穷大的概念教学目标：1. 理解无穷小和无穷大的概念及其在极限计算中的应用。
2. 学会运用无穷小和无穷大的性质进行极限的计算。
教学内容：1. 介绍无穷小和无穷大的概念，包括无穷小和无穷大的定义、性质等。
2. 讲解无穷小和无穷大的性质，如无穷小的比较、无穷大的比较等。
3. 通过例子和练习题讲解和巩固无穷小和无穷大的应用。
教学方法：1. 通过讲解和示例演示无穷小和无穷大的概念和性质。
2. 通过问题和解题方法的讨论，帮助students 理解和掌握无穷小和无穷大的应用。
3. 通过练习题和问题引导学生运用无穷小和无穷大的性质进行极限的计算。
章节四：极限的存在性教学目标：1. 理解极限的存在性及其在数学分析中的应用。
【免费下载】34两个重要的极限
2、明 lim f (x) 不存在.如 lim sin 1 .
x
证明中用到归结原则，数列极限的 Cauchy 准则.
x
x
§3.4 两个重要的极限
一、 lim sin x 1 的证明 x0 x
在单位圆盘 D {(x, y) | x2 y 2 1} 上， x 是圆心角 AOB ，以弧度计，即它恰好等于 AAB ,
x 2
x 2
，则 x
(x 0) ，
.
x,
第三章 函数极限
显然成立，而 x 0 时等号成立，且
0时
D B x 0 CA
3
《数学分析》上册教案
证明 当 m 0 时
当 m 0 时原式 0 .
注
严格的；但已知 lim x0
lim
n
f
三、证明
(xn )
利用归结原则，可求数列极限.如求 lim
第三章 函数极限
2
《数学分析》上册教案
而 sin x BC 是弦长 BB 之半，它的几何意义是
即圆心角趋于 0 时，对应的弦长与弧长之比趋于 1.
证明
设
0 x
用偶函数性质，这不等式在 2
令
x 0,
2,
lim cos x 1
x0
sin x x
2sin x 2x
BB BAB
2、
lim
x
x
x sin x x2 4
例 lim sin x 1 . x0 x
二 、关于归结原则(Heine 定理)
(5x 1)90
0
.
1
2 3
高数第一章极限存在准则 两个重要极限
准则的适用范围与注意事项
适用范围
夹逼准则适用于被夹逼的数列或函数在某点的极限求解；单调有界准则适用于单调且有界的数列极限求解。
注意事项
在使用夹逼准则时，需要找到合适的夹逼数列，并确保它们的极限相等；在使用单调有界准则时，需要证明数列 的单调性和有界性。同时，两个准则都只能用于求解数列或函数的极限值，不能用于求解其他数学问题。
数列极限存在的条件可以归结为数列 的单调性和有界性。如果数列单调增 加（或减少）且有上界（或有下界） ，则数列收敛，即存在极限。
03
序列极限的求法
可以通过对数列进行变形、放缩、裂 项、分组等方法来求解数列的极限。
其他相关的重要极限
第一个重要极限
lim(x→0)sinx/x=1，这个极限在三角 函数的求导以及某些复杂极限的求解 过程中有重要作用。
第一个重要极限可以用于求解三角函数的极限问题，也可以用于证明一 些三角恒等式和不等式。
第二个重要极限是自然对数的底数e的定义基础，也是求解一些复杂极限 问题的重要工具。同时，它也与指数函数、对数函数等有着密切的联系。
准则一：夹逼准则
01 02
定义
如果数列${x_n}$、${y_n}$和${z_n}$满足条件$y_n leq x_n leq z_n$， 且$lim_{n to infty} y_n = lim_{n to infty} z_n = a$，则数列${x_n}$ 的极限存在且等于$a$。
02 两个重要极限的详解
第一个重要极限：sinx/x的极限
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02
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定义与表达式
当x趋近于0时，sinx/x的 极限值为1，即lim(x->0) sinx/x = 1。
几何意义
对两个重要极限的重要性的认识 数学系本科毕业论文
对两个重要极限的重要性的认识数学系本科毕业论文一、引言极限是微积分中最核心最基础的概念之一，是微积分的基石，它广泛应用于数学和科学的许多领域中，例如微积分、数学分析、物理、工程学和经济学等。
本文将讨论两个重要极限的性质和应用，这两个极限分别为：$\\lim_{n\\rightarrow\\infty}(1+\\frac{x}{n})^n$和$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\sin{x}}{x}$，其中前者是自然对数的底数$e$的定义，后者则是微积分中关于曲率的重要应用之一。
本文旨在对这两个重要极限的性质、应用和意义加以分析。
二、自然对数的底数$e$自然对数的底数e是一个非常重要的数学常数，它是微积分、数学分析和概率论中最广泛使用的常数之一。
在微积分和概率中，它是非常基础和核心的概念。
它的定义为：$\\lim_{n\\rightarrow\\infty}(1+\\frac{x}{n})^n$对自然对数的底数$e$的实际计算，通常使用下面的公式：$e=\\lim_{n\\rightarrow\\infty}(1+\\frac{1}{n})^n$在许多应用中，自然对数的底数$e$的重要性不仅仅是因为它是一个有用的数学常数。
在实际应用中，$e$是不可避免的出现的，这是因为$e$掌握了所有的微积分和概率统计学的本质。
三、关于曲率的重要应用曲率是一个关于曲线的参数，它是定量描述曲线弯曲程度的一个物理量。
曲率的计算和应用在微积分和物理学中都有广泛应用。
在微积分中，曲率的计算和应用是非常重要的。
一个曲线的曲率，是指曲线在某一点处切线的弯曲程度。
一个比较弯曲的曲线的曲率会很大，而一个比较平滑的曲线的曲率则会很小。
曲率在物理学中也有广泛应用，例如在描述粒子在弯曲的路径中的运动时，曲率是非常重要的。
（例子：我们都知道汽车在转弯时，要通过转向来改变车子行驶的弯曲程度，如果你的速度过快或者你的角度错误，则曲率会变得很大，车子会偏离原本的轨迹，这会导致车祸。
微积分 两个重要极限 第二个公式的变形,应用,技巧
微积分两个重要极限第二个公式的变形,应用,技巧微积分中的极限是一个重要的概念，它是数学分析中最基本、最核心的概念。
本文将从定义、形式、应用、技巧等方面介绍极限的两个重要极限公式及其变形、应用和技巧。
首先，让我们来认识极限。
极限是指当一个变量接近某个值时，函数值的趋势。
在这里，极限可以表示为：当变量x接近某个值a时，函数f（x）的极限存在且为L，表示为：lim f (x) = L当x→a极限的两个重要公式是：（1）如果lim f (x) =L,lim g(x)=M，则lim [f (x)+g(x)] = L+M（2）如果lim f (x) =L,lim g(x)=M，则lim [f (x) g(x)] = LM这两个重要的极限公式，可以用来计算两个或多个函数的极限。
此外，这两个重要极限公式还可以进行变形，获得一系列与之对应的公式，如：（1）lim [f (x) c] = L c（2）lim [f (x) c] = c L（3） lim [f (x) / c] = L / c（4） lim [c / f (x)] = c / L其中，c是一个常量。
另外，衍生出来的公式也可以用来计算更复杂的函数的极限。
接下来，让我们来看一看这两个重要的极限公式的应用。
许多数学问题都可以用这两个重要公式来解决，如：（1）求极限：求函数f（x）的极限lim f (x),可以先把函数f （x）表示成f（x）=a+g(x)的形式，其中a是常数，g(x)是函数，然后根据公式求得lim g(x)，再根据公式lim [f (x) + g (x)] = a + lim g(x)变形，求出lim f (x)的值。
（2）求不定积分：当积分的上下限接近某个值时，可以根据极限公式来计算。
（3）求定积分：定积分的计算过程往往是用分割开来的小区间求和，这时就可以利用极限公式求出每个小区间的极限，再把这些极限值相加求出定积分的值。
最后，让我们来看一看这两个重要极限公式的技巧。
对两个重要极限的重要性的认识
e x x x =+∞→)11(lim 1sin lim 0=→xxx对两个重要极限的重要性的认识摘要 ：通过对两个重要极限重要性的理解和认识, 总结有关两个重要极限的论文成果，指出两个重要极限在微积分的计算过程中起到了重要的桥梁纽带作用，主张学习数学知识不仅局限于课本，要培养提高探究问题的能力，系统全面的看待问题，深刻细致的体会微积分思想的严谨性。
关键词 ： 重要极限；重要性；证明；应用1.绪论两个重要极限在微积分的计算和整个微积分思想中起着举足轻重的作用，目前，关于这方面的分析已经很成熟，有关于它们的来源，证明，应用和深入扩展，本文系统的总结了部分具有代表性的成果，从而可以直观全面的认识和体会两个重要极限的重要性，对刚接触极限理论，没有深入认识两个重要极限的学生来说，具有指导意义。
《数学分析》课程在讲述关于两个重要极限 和 时，着重强调了它在整个极限计算中有重要地位。
它能将许多复杂的极限计算迅速简化, 应用非常灵活。
因此，这两个重要的极限可以说是全部微积分学计算的基础, 其重要性就不难理解了。
试想, 若没有它们, 那么只要遇见微积分相关的计算题, 必须用最基本的方法，有些还不一定求得出来，更不用说由它们推广出的更复杂的应用了。
2.两个重要极限的证明两个重要极限是极限理论的重要内容, 也是解决极限问题的一种有效方法,在学生的学习中, 起着重要作用，了解它们的证明方法对充分理解和认识它们是十分必要的，它的证明过程也是对两边夹定理及单调有界数列必有极限这一准则的恰当应用。
2.1第一个重要极限：1sin lim0=→xxx证明：作单位圆，如图1：图1设x 为圆心角AOB ∠，并设20π<<x 见图不难发现：AO D AO B AO B S S S ∆∆<<扇形，即：x x x tan 2121sin 21<<，即 x x x tan sin <<，1sin cos cos 1sin 1<<⇒<<⇒xx x x x x （因为20π<<x ，所以上不等式不改变方向）当x 改变符号时，x xx sin ,cos 及1的值均不变，故对满足20π<<x 的一切x ，有1sin cos <<xxx 。
数学分析3.4两个重要的极限
第三章 函数极限(下载后可解决看不到公式的问题)4 两个重要的极限一、证明：limx→0sin x x=1.证：∵sinx<x<tanx(0<x<π2)，∴1<xsin x <1cos x (0<x<π2)，∴cosx<sin x x<1 (0<x<π2)，又cos-x=cosx ，sin−x −x=sin x x，∴对0<|x|<π2，有cosx<sin x x<1.由lim x→0cosx=1，根据极限的迫敛性，lim x→0sin x x=1.例1：求limx→πsin x π−x.解：令t=π-x ，则sinx=sin(π-t)=sint ，且当x →π时，t →0， ∴lim x→πsin x π−x=lim t→0sin t t=1.例2：求lim x→01−cos x x 2.解：lim x→01−cos x x 2=lim x 2→012(sinx 2x 2)2=12，二、证明lim x→∞(1+1x )x=e.证：设f(x)= (1+1n+1)n, g(x)= (1+1n )n+1, n ≤x<n+1, n=1,2,…,则f(x)递增且有上界，g(x)递减且有下界，∴lim x→+∞f (x )与lim x→+∞g (x )都存在， 取{x n }={n}，由归结原则得lim x→+∞f (x )=lim n→+∞(1+1n+1)n=e ，lim x→+∞g (x )=lim n→+∞(1+1n )n+1=e ， 又1+1n+1<1+1x ≤1+1n ，则(1+1n+1)n<(1+1x )x<(1+1n )n+1，根据迫敛性定理得lim x→+∞(1+1x )x= e.设x=-y ，则(1+1x )x =(1−1y )−y =(1+1y−1)y，且当x →-∞，y →+∞，从而有lim x→−∞(1+1x )x=lim y→+∞(1+1y−1)y−1·(1+1y−1)=e.∴lim x→∞(1+1x )x=e.注：e 的另一种形式：lim a→0(1+a )1a =e.证：令a=1x ，则当a →0时，1x →∞，∴lim a→0(1+a )1a=lim 1x→∞(1+ 1x )x=e.例3：求lim x→0(1+2x )1x.解：lim x→0(1+2x )1x =lim 12x→∞[(1+2x )12x]2=e 2.例4：求lim x→0(1−x )1x.解：lim x→0(1−x )1x=lim −1x→∞1[1+(−x)]−1x=1e .例5：求lim n→∞(1+1n −1n 2)n.解：(1+1n −1n 2)n <(1+1n )n→e(n →∞)，又当n>1时有 (1+1n −1n 2)n=(1+n−1n 2)n 2n−1−nn−1≥(1+n−1n 2)n 2n−1−2→e(n →∞，即n−1n 2→0).由迫敛性定理得：lim n→∞(1+1n −1n 2)n=e.习题1、求下列极限： (1)lim x→0sin2x x；(2)lim x→0sin x 3(sin x)2；(3)lim x→π2cos xx−π2；(4)limx→0tan x x；(5)limx→0tan x−sin xx 3；(6)limx→0arctan xx ；(7)lim x→+∞x sin 1x ；(8)lim x→asin 2 x−sin 2 ax−a；(9)limx→0√x+1−1；(10)limx→0√1−cos x 21−cos x.解：(1)limx→0sin2x x=lim2x→02sin2x 2x=2；(2)lim x→0sin x 3(sin x)2=lim x→0x 3sin x 3x 3(sin x)2=lim x 3→0sin x 3x 3·lim x 2→0(xsin x )2·lim x→0x =0； (3)lim x→π2cos x x−π2=lim x−π2→0−sin (x−π2)x−π2= -1；(4)limx→0tan x x=limx→0sin x x·lim x→01cos x =1；(5)lim x→0tan x−sin xx 3=limx→0sin x (1cos x −1)x 3=limx→0sin x·1−cos x cos x x3=limx→02sin x 2cos x 2·2(sin x 2 )2cos xx 3=limx→04(sin x 2 )3·cos x2cos x x3=limx→0(sin x 2 )3·cos x2cos x2(x 2)3=lim x2→0(sinx2x 2)3·lim x2→0cos x 22lim x→0cos x =12；(6)令arctan x=y ，则x=tany ，且x →0时，y →0， ∴limx→0arctan xx=lim y→0y tan y =limy→0cos ysin y y=1；(7)lim x→+∞x sin 1x =lim 1x→0sin1x1x =1；(8)lim x→asin 2 x−sin 2 ax−a =limx→a (sin x−sin a )(sin x+sin a)x−a=limx→a2cosx+a 2 sin x−a2x−a·2sin a=limx−a 2→0sinx−a2x−a 2·cos a ·2sin a= sin2a ； (9)lim√x+1−1=limx→0(√x+1+1)sin 4xx=8lim4x→0sin 4x 4x=8；(10)lim x→0√1−cos x 21−cos x=limx→0√2sin x 222(sin x 2)2=√2limx→0sinx 22 x 22 (sinx 2x 2)2=√2.2、求下列极限：(1)lim x→∞(1−2x )−x；(2)lim x→0(1+ax )1x(a 为给定实数)；(3)lim x→0(1+tan x )cot x ；(4)lim x→0(1+x 1−x )1x ；(5)lim x→+∞(3x+23x−1)2x−1；(6)lim x→+∞(1+αx )βx(α,β为给定实数)解：(1)lim x→∞(1−2x )−x=lim −x2→∞[(1+1−x 2)−x 2]2=e 2；(2)lim x→0(1+ax )1x=lim ax→0[(1+ax )1ax]a=e a ；(3)lim x→0(1+tan x)cot x =lim tan x→0(1+tan x )1tan x=e ；(4)lim x→0(1+x1−x )1x=limx→0(1+x )1x(1−x )1x=lim x→0(1+x )1xlim−x→0{[1+(−x )]1−x }−1=e 2；(5)lim x→+∞(3x+23x−1)2x−1=lim x→+∞(1+33x−1)6x−33=lim33x−1→0+(1+33x−1)2(3x−1)−13=lim33x−1→0+(1+33x−1)2(3x−1)3lim 33x−1→0+(1+33x−1)13=e 2；(6)lim x→+∞(1+αx )βx=lim x→+∞(1+αx )αβxα=lim αx→0+[(1+αx )x α]αβ=e αβ.3、证明：lim x→0{lim n→∞[cos xcos x2cos x22…cos x2n ]}=1.证：∵cos xcos x2cos x 22…cos x2n =2n+1cos xcos x 2cos x 22…cos x 2n sin x2n2n+1sin x2n=sin 2x2n+1sin x2n=sin 2x 2x sin x 2nx 2n=x 2nsin x 2n·sin 2x 2x；∴当x ≠0时，lim n→∞[cos xcos x2cos x22…cos x2n ]=lim x2n →0x 2nsin x 2n·sin 2x 2x=sin 2x 2x；lim x→0{lim n→∞[cos xcos x 2cos x 22…cos x 2n ]}=lim2x→0sin 2x 2x=1.当x=0时，cos xcos x2cos x22…cos x2n =1， ∴lim x→0{lim n→∞[cos xcos x2cos x22…cos x2n ]}=1.4、利用归结原则计算下列极限：(1)limn→∞√n sinπn；(2)limn→∞(1+1n+1n2)n.解：(1)∵limx→∞√x sinπx=limx→∞sinπxπx·√x=limπx→0sinπxπx·lim√x=0根据归结原则，limn→∞√n sinπn=0.(2)∵当x>0时，(1+1x +1x2)x>(1+1x)x→e(x→+∞)，又(1+1x +1x2)x=(1+x+1x2)x2x+1+xx+1<(1+x+1x2)x2x+1→e(x→+∞，即x+1x2→0)，∴limx→+∞(1+1x+1x2)x=e根据归结原则，limn→∞(1+1n+1n2)n=e.。
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第三章 函数极限(下载后可解决看不到公式的问题)4 两个重要的极限一、证明：limx→0sin x x=1.证：∵sinx<x<tanx(0<x<π2)，∴1<xsin x <1cos x (0<x<π2)，∴cosx<sin x x<1 (0<x<π2)，又cos-x=cosx ，sin−x −x=sin x x，∴对0<|x|<π2，有cosx<sin x x<1.由lim x→0cosx=1，根据极限的迫敛性，lim x→0sin x x=1.例1：求limx→πsin x π−x.解：令t=π-x ，则sinx=sin(π-t)=sint ，且当x →π时，t →0， ∴lim x→πsin x π−x=lim t→0sin t t=1.例2：求lim x→01−cos x x 2.解：lim x→01−cos x x 2=lim x 2→012(sinx 2x 2)2=12，二、证明lim x→∞(1+1x )x=e.证：设f(x)= (1+1n+1)n, g(x)= (1+1n )n+1, n ≤x<n+1, n=1,2,…,则f(x)递增且有上界，g(x)递减且有下界，∴lim x→+∞f (x )与lim x→+∞g (x )都存在， 取{x n }={n}，由归结原则得lim x→+∞f (x )=lim n→+∞(1+1n+1)n=e ，lim x→+∞g (x )=lim n→+∞(1+1n )n+1=e ， 又1+1n+1<1+1x ≤1+1n ，则(1+1n+1)n<(1+1x )x<(1+1n )n+1，根据迫敛性定理得lim x→+∞(1+1x )x= e.设x=-y ，则(1+1x )x =(1−1y )−y =(1+1y−1)y，且当x →-∞，y →+∞，从而有lim x→−∞(1+1x )x=lim y→+∞(1+1y−1)y−1·(1+1y−1)=e.∴lim x→∞(1+1x )x=e.注：e 的另一种形式：lim a→0(1+a )1a =e.证：令a=1x ，则当a →0时，1x →∞，∴lim a→0(1+a )1a=lim 1x→∞(1+ 1x )x=e.例3：求lim x→0(1+2x )1x.解：lim x→0(1+2x )1x =lim 12x→∞[(1+2x )12x]2=e 2.例4：求lim x→0(1−x )1x.解：lim x→0(1−x )1x=lim −1x→∞1[1+(−x)]−1x=1e .例5：求lim n→∞(1+1n −1n 2)n.解：(1+1n −1n 2)n <(1+1n )n→e(n →∞)，又当n>1时有 (1+1n −1n 2)n=(1+n−1n 2)n 2n−1−nn−1≥(1+n−1n 2)n 2n−1−2→e(n →∞，即n−1n 2→0).由迫敛性定理得：lim n→∞(1+1n −1n 2)n=e.习题1、求下列极限： (1)lim x→0sin2x x；(2)lim x→0sin x 3(sin x)2；(3)lim x→π2cos xx−π2；(4)limx→0tan x x；(5)limx→0tan x−sin xx 3；(6)limx→0arctan xx ；(7)lim x→+∞x sin 1x ；(8)lim x→asin 2 x−sin 2 ax−a；(9)limx→0√x+1−1；(10)limx→0√1−cos x 21−cos x.解：(1)limx→0sin2x x=lim2x→02sin2x 2x=2；(2)lim x→0sin x 3(sin x)2=lim x→0x 3sin x 3x 3(sin x)2=lim x 3→0sin x 3x 3·lim x 2→0(xsin x )2·lim x→0x =0； (3)lim x→π2cos x x−π2=lim x−π2→0−sin (x−π2)x−π2= -1；(4)limx→0tan x x=limx→0sin x x·lim x→01cos x =1；(5)lim x→0tan x−sin xx 3=limx→0sin x (1cos x −1)x 3=limx→0sin x·1−cos x cos x x3=limx→02sin x 2cos x 2·2(sin x 2 )2cos xx 3=limx→04(sin x 2 )3·cos x2cos x x3=limx→0(sin x 2 )3·cos x2cos x2(x 2)3=lim x2→0(sinx2x 2)3·lim x2→0cos x 22lim x→0cos x =12；(6)令arctan x=y ，则x=tany ，且x →0时，y →0， ∴limx→0arctan xx=lim y→0y tan y =limy→0cos ysin y y=1；(7)lim x→+∞x sin 1x =lim 1x→0sin1x1x =1；(8)lim x→asin 2 x−sin 2 ax−a =limx→a (sin x−sin a )(sin x+sin a)x−a=limx→a2cosx+a 2 sin x−a2x−a·2sin a=limx−a 2→0sinx−a2x−a 2·cos a ·2sin a= sin2a ； (9)lim√x+1−1=limx→0(√x+1+1)sin 4xx=8lim4x→0sin 4x 4x=8；(10)lim x→0√1−cos x 21−cos x=limx→0√2sin x 222(sin x 2)2=√2limx→0sinx 22 x 22 (sinx 2x 2)2=√2.2、求下列极限：(1)lim x→∞(1−2x )−x；(2)lim x→0(1+ax )1x(a 为给定实数)；(3)lim x→0(1+tan x )cot x ；(4)lim x→0(1+x 1−x )1x ；(5)lim x→+∞(3x+23x−1)2x−1；(6)lim x→+∞(1+αx )βx(α,β为给定实数)解：(1)lim x→∞(1−2x )−x=lim −x2→∞[(1+1−x 2)−x 2]2=e 2；(2)lim x→0(1+ax )1x=lim ax→0[(1+ax )1ax]a=e a ；(3)lim x→0(1+tan x)cot x =lim tan x→0(1+tan x )1tan x=e ；(4)lim x→0(1+x1−x )1x=limx→0(1+x )1x(1−x )1x=lim x→0(1+x )1xlim−x→0{[1+(−x )]1−x }−1=e 2；(5)lim x→+∞(3x+23x−1)2x−1=lim x→+∞(1+33x−1)6x−33=lim33x−1→0+(1+33x−1)2(3x−1)−13=lim33x−1→0+(1+33x−1)2(3x−1)3lim 33x−1→0+(1+33x−1)13=e 2；(6)lim x→+∞(1+αx )βx=lim x→+∞(1+αx )αβxα=lim αx→0+[(1+αx )x α]αβ=e αβ.3、证明：lim x→0{lim n→∞[cos xcos x2cos x22…cos x2n ]}=1.证：∵cos xcos x2cos x 22…cos x2n =2n+1cos xcos x 2cos x 22…cos x 2n sin x2n2n+1sin x2n=sin 2x2n+1sin x2n=sin 2x 2x sin x 2nx 2n=x 2nsin x 2n·sin 2x 2x；∴当x ≠0时，lim n→∞[cos xcos x2cos x22…cos x2n ]=lim x2n →0x 2nsin x 2n·sin 2x 2x=sin 2x 2x；lim x→0{lim n→∞[cos xcos x 2cos x 22…cos x 2n ]}=lim2x→0sin 2x 2x=1.当x=0时，cos xcos x2cos x22…cos x2n =1， ∴lim x→0{lim n→∞[cos xcos x2cos x22…cos x2n ]}=1.4、利用归结原则计算下列极限：(1)limn→∞√n sinπn；(2)limn→∞(1+1n+1n2)n.解：(1)∵limx→∞√x sinπx=limx→∞sinπxπx·√x=limπx→0sinπxπx·lim√x=0根据归结原则，limn→∞√n sinπn=0.(2)∵当x>0时，(1+1x +1x2)x>(1+1x)x→e(x→+∞)，又(1+1x +1x2)x=(1+x+1x2)x2x+1+xx+1<(1+x+1x2)x2x+1→e(x→+∞，即x+1x2→0)，∴limx→+∞(1+1x+1x2)x=e根据归结原则，limn→∞(1+1n+1n2)n=e.。