与圆的切线有关的计算与证明(2)

与圆的切线有关的计算与证明(1)

类型之一与切线的性质有关的计算或证明

【经典母题】

如图Z12- 1,0 O的切线PC交直径AB的延长线于点P, C为切点，若/ P =30°,0 O的半径为1,贝U PB的长为1 .

图Z12- 1 经典母题答图

【解析】如答图，连结0C.

••PC 为O O 的切线，.・./PC0 = 90

在RtSCP 中，・・OC= 1,/P = 30°,

••0P= 20C= 2,

••PB= OP- 0B= 2- 1= 1.

【思想方法】(1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；⑵已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直.

【中考变形】

[2017天津]已知AB是O 0的直径，AT是O 0的切线，/ ABT= 50°, BT交O0于点C, E是AB上一点，延长CE交O 0于点D.

(1) 如图Z12-2①，求/ T和/CDB的大小；

(2) 如图②，当BE= BC时，求/ CD0的大小.

解：⑴如答图①，连结AC ,

••AT 是。O 的切线，AB 是。O 的直径, ••AT 丄 AB ,即/ TAB = 90°, •

50°,・d 90°-/ ABT = 40

由AB 是O O 的直径，得/ ACB = 90°

• Q AB = 90°』ABC = 40°,/-CDB =/CAB = 40°;

⑵如答图②，连结AD ,

在厶 BCE 中，BE = BC ,/ EBC = 50

• / BCE =/BEC = 65°, •/ BAD = /BCD = 65 • OA = OD ，•/ ODA =/ OAD = 65 • / ADC =/ ABC = 50°,

• / CDO =/ ODA -/ADC = 65°- 50°= 15

【中考预测】

[2017宿迁]如图Z12-3, AB 与。O 相切于点B , BC 为。O 的弦，OC 丄OA , OA 与BC 相交于点

P.

图 Z12-

2

中考变形答图① 中考变形答图②

5 ， ⑴求证：AP = AB ;

⑵若0B = 4, AB = 3,求线段BP 的长.

•CH = ■ 'OC 2

- O 『=855

,

16/5

-6 ‘5 ”

BC -

心「T -

一2 5

二 丁

••OH dBC,/CH = BH , •°BC = 2CH = 类型之二 与切线的判定有关的计算或证明

解: (1)证明：T OC = OB ,：Q CB =/ OBC , ••AB 是O 0的切线，.・.OB!AB , •••OBA = 90°,/ABP + Z OBC = 90°, ••OC!AO ,.・.AOC = 90°,

•••OCB +Z CPO = 90°,・・APB =Z CPO , •••▲PB =Z ABP,/AP = AB ;

⑵如答图，作 OH 丄BC 于H.在Rt ^OAB 中，；OB = 4, AB =

3,

•OA = ‘3+ 4= 5AP = AB = 3, ••PO = 2.

在 Rt^OC 中，PC = OC 2+ OP 2= 2 5, 1 1

^PCOH = 2OC OP ,

••OH

OP OC

4亦

PC = "T ，

16 一 5

中考预测答图

【经典母题】

已知：如图Z12-4, A是。O外一点，AO的延长线交。O于点C,点B在圆上，且AB= BC,Z A= 30°,求证：直线AB是O O的切线.

图Z12-4 经典母题答图

证明：如答图，连结OB,

••OB= OC, AB= BC,Z A= 30°,

.•.QBC=/ C=/ A= 30°,

C+/ OBC = 60°.

180°- / AOB+Z A) = 180°-60°+0°) = 90°,

••AB JOB，又v OB为O O半径，：AB是O O的切线.

【思想方法】证明圆的切线常用两种方法“作半径，证垂直”或者“作垂直，证半径”.

【中考变形】

1. [2016黄石]如图Z12-5,O O的直径为AB,点C在圆周上(异于A, B), AD 丄CD.

(1)若BC = 3, AB = 5,求AC 的值；

⑵若AC是/ DAB的平分线，求证：直线CD是O O的切线.

解：(1)；AB是。O直径，C在。O上，

.'.ACB= 90°,又「BC = 3, AB= 5,

二由勾股定理，得AC = 4;

图Z12-5中考变形1答图

⑵证明：如答图，连结OC,

••AC是A DAB的平分线，

•••QAC= A BAC，

又T AD 丄DC，A A A DC =A ACB= 90°，

•••△DC sZ CB，.・.QCA =A CBA，

又T OA= OC,：QAC=A OCA，

• QAC+A OBC= 90°,/-OCA+A ACD= A OCD = 90°,

•••直线CD是。O的切线.

2. [2017 南充]如图Z12 —6,在Rt A ACB 中，A ACB = 90°,以AC 为直径作O O

交AB于点D, E为BC的中点，连结DE并延长交AC的延长线点F.

(1) 求证：DE是。O的切线；

(2) 若CF = 2, DF = 4,求。O直径的长.

图Z12 — 6 中考变形2答图

【解析】⑴连结OD，欲证DE是O O的切线，需证OD丄DE，即需证A ODE =90°, 而A ACB = 90°,连结CD，根据“等边对等角”可知A ODE= A OCE =90 °,从而得证；

(2)在Rt△ODF中，利用勾股定理建立关于半径的方程求解.