6.11整除和同余(一)

⑵能否使这41名运动员站成一圈，使任意两个相邻运 动员的号码之和是质数？若能办到，请举一例；若 不能办到，请说明理由。
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二、约数与倍数 10有约数1，2，5，10，而15有约数1，3，5，15，所以1 是10和15的公约数，5也是10和15的公约数。 几个正整数的公约数有时候不止一个。
定义1： 若a1，a2，…，an是不全为零的整数，且d|a1，d|a2，…， d|an，则d叫做a1，a2，…，an的公约数。公约数中最大的 数叫做最大公约数，记作： (a1，a2，…，an)＝d
定义2： 设a1，a2，…，an都是正整数，如果 (a1，a2，…，an)＝ 1，那么称a1，a2， …，an是互质的数，或简称互质。 互质的数不一定都是质数，如(8，9，14)＝1，但几个质 数一定是互质的数。
特别是，若a1，a2，…，an中任意两个数都互质，即任意 两个数的最大公约数都是1，则称这几个数两两互质。
显然，两两互质的n个自然数一定互质，如(8，9)＝(9， 25)＝(8，25)＝1，则(8，9，25)＝1。反过来则不一定成 立，如(8，9，14)＝1，但(8，14)＝2，因此这三个数不是 两两互质。
一个正整数能被几个正整数整除时，则这个正整数就叫做 这几个正整数的公倍数。例如24能被6整除，24还能被8整 除，所以24是6和8的公倍数。48是12和8的公倍数。
特别的，当用2作除数时，余数为0或1，前者被除数称为 偶数，后者被除数称为奇数。
定义：形如2n(n是整数)的数称为偶数，形如2n＋1(n是整 数)的数称为奇数。
性质3：奇数的平方被4除余1；偶数的平方是4的倍数。 性质4：两个整数的和与这两个整数的差就具有相同的奇
偶数。
以上性质很容易从奇偶数定义出发推出，应用这些性质， 就可以解决有关整数中奇偶分析问题。
⑵若a是自然数，则10|a1991－a1987
【例5】有一个1987位数A能被9整除，它的各位数字的和为 a，a的各位数字的和为b，b的各位数字的和为c，求 c等于什么?
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一、质数与合数
“1”这个数只有一个正因数，就是它本 身。任何大于1 的正整数a都至少有二个正 因数，就是1和a。 “2”只能被1和2整除，不能被其他正整数整除；同样3只 能被1和3整除，不能被其他正整数整除，我们说2是质数 ，3也是质数。 “4”除了能被1和4整除，还能被2整除。6除了能被1和6 整除，还能被2和3整除。我们说，4是合数，6也是合数。
定义 设a、b是整数，且b≠0，若有整数q和r，使得a＝b·q＋r， 其中0＜r＜|b|，那么就称b不整除a，记作：b a 此时，称q为a除以b的(不完全)商，称r为a除以b的余数。
由以上两个定义，得到下面的定理： 定理：设a，b是整数，且b≠0，则有唯一一组整数q和r，
满足 a＝bq＋r，其中0≤r＜|b|， 显然，当r＝0时，b整除a；当r≠0时，b不整除a 换句话说，若用整数n作除数，其余数r有n种可能的情况 ，即r＝0，1，……，n－1。
这样按约数的个数分类，所有自然数可分为： ⑴单位1—只有一个约数，即1； ⑵质数—只有二个约数，即1和它自身二个约数； ⑶合数—多于二个约数；
如果一个正整数a的一个约数p是质数，则约数p就叫做a的 质约数。 如：12有质约数2，3；280有质约数2， 5，7等。 显然，除了2以外，其他所有的偶数都是合数，同时，除 了2以外，其他所有的质数都是奇数。
性质1：同奇偶的两数之和(或差)为偶数；不同奇偶的两 数之和(或差)为奇 数；奇数个奇数之和为奇数； 偶数个奇数之和为偶数。
性质2：奇数乘以奇数为奇数；偶数乘以偶数为偶数，奇 数乘以偶数为偶数。
【例1】设a，b是自然数，且有关系式123456789＝(11111＋ a)(11111－b)①，证明a－b是4的倍数。
定义3： 设a1，a2，…，an和m是正整数，且a1|m，a2|m，…， an|m ，则称m为a1，a2，…，an公倍数。公倍数中最小的数叫 做最小公倍数，记作： [a1，a2，…，an]＝m
定理1： 若a，b是正整数，则(a，b)[a，b]＝ab
定理2： 设a，b是任意两个不全为零的整数，m是任意正整数，则 (am，bm) ＝(a，b)m
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【例2】设n是整数，如果n2的十位数字是7，那么n2的个位数 字是什么？
二、整数的整除性 在整数范围内，有； 整数＋整数＝整数 整数－整数＝整数 整数×整数＝整数 但是，整数除以整数不一定得整数。由已讲的整除定义 知，如果整数a除以整数b得到的商也是整数，则称整数b 整除整数a。
关于整数的整除性有以下的性质：
⑹若a|b1，a|b2，…，a|bn，则a|(b1＋b2＋…＋bn) 如2|4，2|6，2|12，2也整除4＋6＋12＝22
⑺n个连续整数之积必能被1×2×3×…×n所整除 如6×7×8＝1×2×3×7×8，∴1×2×3|6×7×8
【例3】若62 427 是99的倍数，求α，β。
【例4】⑴求证：6|n(n＋1)(2n＋1)(n为整数)
【例1】若p为质数，且p≥5，则p2－1能被24整除。
【例4】试证：质数有无限多个。
【例2】求证：22001＋3是合数。
【例3】若a，b，c是1998的三个不同的质因数，且a＜b＜c， 则(b＋c)a的值为____。
【例5】41名运动员所穿运功衣号码是1，2，…，41，这41个 自然数，问： ⑴能否使这41名运动员站成一排，使任意两个相邻运 动员的号码之和是质数？
整除和同余(一)
一、整数
我们通常所说的整数是指十进制中，如-1001，-1000， ……，-2，-1，0，1，2……，1000，1001，这样的数。 在整数中，它们的和、差、积仍然是整数，但是当两个 整数相除时，其结果就不一定是整数了。
定义 设a、b是整数，且b≠0，若有一个整数q，可使a＝b·q(即 a/b＝q)，那么就称b能整除a或a能被b整除，记作：b|a 此时，称a为b的倍数，b为a的约数。 例，零是任何非零整数的倍数
⑴如果a|b，a|c，那么a|(b±c) 如2|6，2|4，则2|(6＋4)， 2|(6－4)
⑵如果a|b，b|c，那么a|c 如3|6，百度文库|12，3也整除12
⑶如果b|a，则bm|am，其中m为非零整数 如3|6，7·3也整除6·7
⑷如果a|b，则a|nb，其中n为整数 如3|6，3也整除5·6
⑸若bm|am，则b|a，其中m为非零整数 如2·5 |4·5，2也整除4
【例6】23个不同的正整数的和是4845，问这23个数的最大公 约数可能达到的最大值是多少？
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