6.11整除和同余(一)
第二次课-- 整除与同余
最大公因子定理
定理1 设a，b是两个不全为零的整数，则存 在两个整数u，v，使 (a，b)= ua+vb．
第一章 整除与同余
证明 设Z是全体整数集合，构造如下一个集合： S = {xa+ybx，yZ}． S中的元素显然大于等于0． 设d是S中的最小正整数，设 d = ua+vb． 现在我们证明da且db．做带余除法： a = qd+r，0 r d． 于是 r = a – qd = a – q(ua+vb) = (1–qu)a – qvb． 这说明r也可表示为a，b的组合，则rS． 由于d是S中的最小者，所以r = 0．故da．同理db． 设c是a，b的任意公因子，由ca和cb得cua+vb．故 d是a，b的最大公因子，证毕．
第一章 整除与同余
互素
定义3：设a，b是两个不全为0的整数，如果(a，b) = 1，则称a，b互素． 推论：a，b互素的充分必要条件是：存在u，v，使 ua+vb = 1． 证明 必要条件是定理1的特例，只需证充分条件． 如果存在u，v，使 ua+vb = 1． 则由(a，b)(ua+vb)，得(a，b)1， 所以(a，b) = 1．
例8 a = 2，b = 3．它们的公倍数集合为 {0，6，12，18，…}． 而[2，3] = 6．
第一章 整除与同余
最小公倍数与最大公约数关系
定理1.1.2 1）设d是a，b的任意公倍数，则 [a，b] d． ab 2） a，b a，b） ，特别地，如果(a，b) = 1， （ [a，b] = |ab|．
第一章 整除与同余
Eratosthenes筛法
定理1.2.3 设a是任意大于1的整数，则a的除1外最小正因子q 是一素数，并且当a是一合数时，
第二讲整除与同余(教师版)
A( a m 1 a m 2 a 0 ) p .【例题分析】位数•于是所求的三位数只有 512.3 .一个四位数，它的个位数字与百位数字相同。
如果将这个四位数的数字顺序颠倒过来（即个位数字与 千位数字互换，十位数字与百位数字互换），所得的新数减去原数，所得的差为7812，求原来的四位数。
解：设该数的千位数字、百位数字、十位数字分别为x,y,z ，则32原数 10 x 10 y 10z y①;QO颠倒后的新数103y 102z 10y x ②、整数的进位制1、【十进制数】给定一个 m 位的正整数 10 的m 1次多项式，即A m 1 a m 1 10 i 01,2, L ,m 1 且 a m 1 2、【p 进制数】若十进制正整数 A 第二讲 整除与同余A ，其各位上的数字分别记为 a m 1,a m 2, ,a 。
, A 可以表示成 m 2a m 2 10A a m 1 a m可以表示为: a {0,1,2,L,p 1}, i 0,,,2,L,m 1 且 a m 10 , a i 10 a °，其中 a i {0,1,2,L ,9}, 2a 0 . m 1 A a m 1 p a m 2 m 仍然为十进制数，则称a 1 p a ，其中 p 进制数，记为解: 由于 100 abc 999，则100 (a b3c) 999，从而 5 a bc ! 9 ；当a b c 5时， 53125 (1 2 5)3; 3当a b c 6时，6216 (2 1 6)3; 当a b c 7时， 73 343 (3 4 3)3;3当a b c 8时，8512 (5 12)3;当ab c 9时， 93 729 (7 2 9)3;b c ）3的所有三位数1、（2008）a 是由2005个9组成的2005位数, 是由2005个8组成的2005 为数, 则ab 是（）A 4000B 4004C 4008 40102.求满足abc (a abc 。
数论的整除性与同余定理
数论的整除性与同余定理数论是数学的一个重要分支，研究的是整数的性质和规律。
其中，整除性与同余定理是数论中最基本也是最重要的两个概念。
本文将围绕这两个概念展开详细讲解。
整除性是指整数a能被整数b整除，通常用符号“a|b”表示。
如果存在整数c，使得b = ac，我们就说a整除b。
整除性在数论中起着至关重要的作用，它为我们研究整数的性质提供了基础。
数的整除性有很多有趣的性质。
首先是整数的整除关系是反身性、对称性和传递性的。
即对于任意整数a、b、c，有以下性质成立：1. 反身性：a|a，即任意整数都能整除自身。
2. 对称性：如果a|b，则b|a，即如果a能整除b，那么b也能整除a。
3. 传递性：如果a|b，b|c，则a|c，即如果a能整除b，b能整除c，那么a也能整除c。
这些基本性质使得我们可以通过分析整除关系来推导得出更多有关整数的性质。
比如，根据整除性的传递性，我们可以得出一个结论：如果a|b，b|c，则a|c。
这个结论有时被称为“整除与传递”。
它告诉我们，如果一个整数同时整除两个数，那么它也必然整除两个数的最大公约数。
在数论中，同余定理是另一个重要的概念。
同余是指两个整数除以一个正整数m所得的余数相等。
如果a和b满足a≡b(mod m)，我们就说a与b同余，其中“≡”表示同余关系。
同余关系也具有一些有趣的性质。
同余定理可以进一步细分为三个定理：同余定理一、同余定理二和同余定理三。
下面分别进行详细介绍。
1. 同余定理一：如果a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么a + c ≡ b + d (mod m)，a - c ≡ b - d (mod m)。
也就是说，同余的两个数之和、之差在模m下仍然同余。
2. 同余定理二：如果a≡b(mod m)，那么ac≡bc(mod m)。
也就是说，同余的两个数分别与另一个数相乘，在模m下仍然同余。
3. 同余定理三：如果ab≡ac(mod m)，且a与m互质，那么b≡c(mod m)。
同余的基本概念和性质
模相等的同余关系的运算性质
模相等的同余关系满足交换律和结合律 模相等的同余关系满足消去律 模相等的同余关系满足分配律 模相等的同余关系满足幂等律
同余的应用
同余在模方程中的应用
模方程的同余解法 同余在模方程中的应用实例 同余在模方程中的求解步骤 同余在模方程中的优势与局限性
同余在数论中的应用
整除理论：同余是整除理论中的重要概念，用于研究整数之间的除法关系。
● - 同余关系具有反身性，即任意整数a都与自身对模m同余，即a≡a(mod m)。 ● - 同余关系具有对称性，即如果a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。 ● - 同余关系具有传递性，即如果a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。 ● - 对于任意整数a、b和c，若a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。
同余的性质
模相等的同余关系
● 定义：如果两个整数a和b除以同一个正整数m的余数相同，则称a和b对模m同余，记作 a≡b(mod m)。
● 性质： - 同余关系具有反身性，即任意整数a都与自身对模m同余，即a≡a(mod m)。 - 同余关 系具有对称性，即如果a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。 - 同余关系具有传递性，即如果 a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。 - 对于任意整数a、b和c，若a≡b(mod m)且 b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。
同余的基本概念和性质
汇报人：XX
目录
同余的定义
同余的性质
01
02
同余的应用
同余的证明方法
03
04
同余的定义
什么是同余
同余的定义：两个整数除以某 个固定整数得到的余数相同， 则称这两个整数同余。
整除和同余
数论初步：整除、质数与同余数论的全名是“整数的理论”，顾名思义，它所探讨的问题主要是关于整数的（实际上是正整数）. 当然，有时谈论的范围也会扩展到有理数.一、质数1、基本概念和重要命题质数：只能被1和自身整除的正整数；质数不包括1.筛法：批量获取质数的方法；例如，将2~100排成一列，依次从左到右“筛除”最左边数字的倍数，第一次筛除所有2的倍数，第二次筛除所有3的倍数，第三次筛除所有5的倍数……100 的最大质数7为止，剩下的数就是100以内的全体质数.一直到不超过10一个特殊的质数：2，它是最小的质数，也是质数中唯一的偶数.2、典型例题例1、一个两位数的个位数字与十位数字交换位置后，所得的数比原来大9. 在这样的两位数中，质数有多少个要点：①这种两位数的特点是个位数字比十位数字大1；②快速判定100以内质数的能力.结论：共有3个，分别是23、67和89.例2、若p为质数，且p6＋3也是质数，则p11－52的值是多少要点：根据已知条件能够确定p的奇偶性.结论：p11－52＝1996.3、专题练习习题1若a、b、c、d为整数，且(a2＋b2)(c2＋d2)＝2001，则a2＋b2＋c2＋d2＝ .习题2在1~n这n个自然数中，已知共有p个质数，q个合数，k个奇数，m个偶数，则(q－m)＋(p－k)＝ .习题3在下列关于质数与合数的说法中，正确的是 .①两个质数的和必为合数；②两个合数的和必为合数；③一个质数与一个合数的和必为合数；④一个质数与一个合数的和不可能是合数.习题4若质数m、n满足5m＋7n＝129，则m＋n的值是多少习题5一个两位质数，将它的十位数字与个位数字对调后，仍是一个两位质数，我们称它为“无暇质数”，试求所有无暇质数的和.习题6已知3个质数m 、n 、p 的乘积等于这3个数之和的5倍，求m 2＋n 2＋p 2的值.二、整除1、基本概念和重要命题整除关系：对于整数a 和不为0的整数b ，若存在整数m 使得bm ＝a ，则称a 能被b 整除（或b 整除a ），b 是a 的因数（或a 是b 的倍数），记为b |a .整除的重要基本性质：① 若b 和c 都能被a 整除，则b 与c 的和或差也能被整除. ()c b a c a b a ±⇒||,| ② 若b 能被a 整除，c 能被b 整除，则c 能被a 整除. c a c b b a ||,|⇒③ 若bc 能被a 整除，且c 与a 互质，则b 能被a 整除. ()b a c a bc a |1,,|⇒=④ 若a 同时能被b 和c 整除，且b ,c 互质，则a 能被bc 整除. ()a bc c b a c a b |1,,|,|⇒=2、典型例题例1、判断一个自然数能否被5整除的方法是“看个位数是否为0或5”，解释其原理. 要点分析：任一自然数可以写成10a ＋b 的形式，其中b 表示它的个位数；而10a ＝5×2a 能被5整除，于是将“10a ＋b 能否被5整除”的问题转化为“个位数b 能否被5整除”的问题.类似地，请你解释“判断一个自然数能否被2、4、8整除”的方法.1287xy是72的倍数，求出所有符合条件的7位数.例2、已知7位数6要点分析：①由于72＝8×9，而8和9互质，因此“是72的倍数”就转化为“既能被8整除，又能被9整除”；②“能被8整除”的判据是看后三位，“能被9整除”的判据是各位数字之和能被9整除；③别忘记，x、y只能在0~9这十个数字中选取；④实际上，可以先考虑“能被4整除”，因为这样很容易将y限定为奇数.结论：共有3个数符合要求，1287216，1287936，1287576.例3、将1,2,3,……,2010这2010个数字随意排成一行，得到数N，证明：N一定是合数. 要点分析：①证明的关键在于为N找到一个因数a，考虑到“随意排成一行”的条件，可知a|N的判据应该形如“各位数字之和……”，因为这样才不会受到排列顺序的影响. ②由于“各位数字之和与数本身的整除性是一样的”，我们不需要具体考虑每个数的各位数字之和是多少，只要直接将1~2010累加起来即可.结论：因为1~2010的累加和必是3的倍数（为什么），所以N一定能被3整除，是合数. *证明的书写：只要将每一步推导的理由说明即可. 所谓的“理由”，就是前面提到的整除性质，或者是“能被某数（如2、3、5、7、9、11等）整除”的判据.证明：若数N由1,2,3,……,2010这2010个数字随意排列而成，则3|N.设x＝N的各位数字之和，y＝1＋2＋ (2010)∵根据被3整除的判据，任意正整数被3整除性质与它的各位数字之和被3整除性质一致∴ x 被3整除性质与y 被3整除性质一致而 ()2201012010+⨯=y 能被3整除 ∴ x 能被3整除.∴ N 能被3整除. ∴ N 是合数.例4、证明：（1）形如abcabc 的六位数一定能被7、11、13整除；（2）若4b ＋2c ＋d ＝32，则8|bcd .证：（1）∵ 10011000⨯=+⨯=abc abc abc abcabc ，而1001＝7×11×13，∴ 7|abcabc ，11|abcabc ，13|abcabc .（2）∵ ()()c b d c b d c b bcd 8962410100++++=++=而 ()c b c b +=+128896 能被8整除，∴ 8|bcd （参见前面的整除性质①）说明：在学习初期，尽可能在每次论证时把具体理由（不是条目）给自己叙述一遍，确保对于这些性质依赖于熟悉.3、专题练习习题1 若945k k 是能被3整除的五位数，则的可能取值有 ，这样的五位数中能被9整除的是 .习题2用分别写有数字2、3、4、5的四张卡片可以排出不同的四位数，其中能被22整除的四位数有多少个习题3假设a,b,c,d是四个整数，证明：差b－a, c－a, d－a, d－c, d－b, c－b的乘积能被12整除.习题4判断一个整数能否被7整除，只需看去掉一节尾（即这个数的末位数字）后所得到的数与此一节尾的5倍之和能否被7整除. 如果这个和能被7整除，则原数能被7整除. 例如126，去掉6后得到12，而12＋5×6＝42，42能被7整除，所以126能被7整除.（1）与此方法类似地，也可看去掉一节尾后与该结尾的n倍之差来判断，则n＝ .（n是整数，且1≤n＜7）（2）这种检验方法也可以转化成这样一条命题：依题意所构造出来的这个和数与原整数在被7整除的性质上是一致的；或者说，二者除以7的余数相同. 请你证明这个命题.三、同余1、基本概念和重要命题同余：从字面上讲，“整数a ,b 对m 同余”是指“a 和b 除以m 的余数相同”；常用定义则是“a －b 能被m 整除”，显然两种说法含义是一样的；整除与同余的关系：“a 和b 都能被m 整除”实际上就是“a 和b 除以m 的余数都是0”； 同余的符号表示与过程书写：例如，将“a 除以5的余数是3”表示为“a ＝5k ＋3，k 为整数”；利用这种表示，我们就将同余分析转化为多项式的运算；2、典型例题例1、若记a 1除以m 的余数为r 1，a 2除以m 的余数为r 2，则a 1＋a 2与r 1＋r 2同余，a 1a 2与r 1r 2同余.要点分析：根据同余定义，“两个量对m 同余”相当于“二者之差能被m 整除”. 证明：设a 1＝mk 1＋r 1，a 2＝mk 2＋r 2，k 1和k 2为整数；则a 1＋a 2＝mk 1＋r 1＋mk 2＋r 2＝m (k 1＋k 2)＋(r 1＋r 2)，(a 1＋a 2)－(r 1＋r 2)＝m (k 1＋k 2)能被m 整除； a 1a 2＝(mk 1＋r 1)(mk 2＋r 2)＝m 2k 1k 2＋mk 1r 2＋mk 2r 1＋r 1r 2，a 1a 2－r 1r 2＝m (mk 1k 2＋k 1r 2＋k 2r 1)能被m 整除.这是同余的重要性质：要研究两数运算结果的余数，只要将它们各自的余数进行运算即可. 例如，要得到多个数相乘的个位数，只需将它们的个位数相乘即可. 利用这个性质，我们可以理解“能被9整除”的判定方法.例2、有一种判断“一个位数很多的数能否被7整除”的方法，以1289376为例，将最后三位数字和前若干位数字分别视为两个整数，它们的差与原数对7的整除性质是相同的，即1289－376＝913＝7×130＋3不能被7整除，所以1289376不能7整除. 请你解释其中道理. 要点分析：“一个位数很多的数”可以写作a ＝1000p ＋xyz ，接着将上述方法过程用多项式运算表示出来.证明：设a ＝1000p ＋xyz ，则a －xyzxyz ＝1000(p －xyz )，该方法所得到的数是p －xyz ； ∵ xyz xyzxyz 1001 能被7整除（记得1001＝7×11×13）∴ a 与1000(p －xyz )对7同余，则二者对于7的整除性质相同；而1000与7互质∴ a 与p －xyz 对于7的整除性质相同.类似地，我们可以理解“能被11整除”的判定方法.例3、已知正整数n 除以3、5、7的余数分别是2、3、4，求满足条件的最小n 值.解：设n ＝3k ＋2＝5l ＋3＝7m ＋4，k ,l ,m 为整数，则2n ＝6k ＋4＝10l ＋6＝14m ＋8，不难看出2n 除以3、5、7的余数都是1，于是2n －1能够同时被3、5、7整除. 由于3、5、7互质，所以2n －1最小是3×5×7＝105，此时n ＝53.例4、证明：由2012个1和任意多个0组成的数不可能是完全平方数.要点分析：乍看起来这个问题似乎无从下手，因为0的个数不限，不同数字符号的顺序不限，那么可以写出无数个数，怎么可能确定它们都不是完全平方数呢实际上，我们只需确定“任意完全平方数必须具有某种同余性质而题中之数并不具有这种性质”，就成功了.证明：任一自然数除以3的余数只有0、1、2三种可能，分别设它们为3k 、3k ＋1和3k ＋1并计算其平分，可知任一平方数或者自身是3的倍数，或者除以3余2. 而由2012个1与任意多个0组成的数字除以3余2，所以不可能是完全平方数.3、专题练习习题1、的个位数是多少最后两位数是多少习题2、14＋24＋34＋…＋20104＋20114的个位数字是多少习题3、已知a ＝ 20122012201220122012个，则a 除以13的余数是多少习题4任给一个正整数，例如248，我们总可以用1984的四个数码经过适当交换得到一个四位数，如8194，恰使得7|(248＋8194). 请你证明：对于任给的一个自然数N ，总存在一个适当交换1984的数码所得到的四位数0123a a a a ，使得7|(N ＋0123a a a a ).习题5、证明：若正整数a ,b ,c 满足a 2＋b 2＝c 2，且它们的最大公约数是1，则c 一定是奇数，而a 和b 中一个是奇数另一个是偶数.习题6、证明：当指数n 不能被4整除时，1n ＋2n ＋3n ＋4n 能被5整除，其中n 为正整数.习题7、1与0交替，组成下面形式的一串数：101,10101,1010101,1,…请你回答，在这串数中有多少个是质数并请证明你的论断.。
数字的整除性质
数字的整除性质数字的整除性质是数学中一个非常重要且基础的概念。
在数学中，我们经常会遇到数字之间的整除关系，通过研究数字的整除性质，我们可以得到许多有用的结论和推论。
本文将探讨数字的整除性质，讨论其定义、性质以及应用。
一、定义在整数集合中，对于任意的整数a和b，如果存在一个整数c使得a = b * c，我们就说a能被b整除，或者b是a的因数，记作b|a。
其中，a被称为被除数，b被称为除数，c被称为商。
如果a不能被b整除，我们就说a不能被b整除，记作b∤a。
二、性质1. 对于任意的整数a，a|a。
这个性质非常显然，任何一个整数都能整除它自身。
2. 对于任意的整数a，1|a。
同样地，因为1乘以任何一个整数都等于这个整数本身，所以1能整除任意一个整数。
3. 对于任意的整数a，a|0。
这个性质是因为任何一个整数乘以0都等于0，所以任意一个整数都能整除0。
4. 如果a|b且b|c，则a|c。
这个性质表明，如果一个整数能同时整除另外两个整数，那么它也能整除它们的和。
5. 如果a|b且a|c，则a|(bx + cy)，其中x和y是任意整数。
这个性质表示了如果一个整数能整除其他两个整数，那么它也能整除它们的线性组合。
三、应用1. 最大公约数和最小公倍数最大公约数和最小公倍数是关于整除性质的两个重要概念。
最大公约数指的是两个或多个整数中能够整除它们的最大的正整数，用gcd(a, b)表示。
最小公倍数指的是两个或多个整数中能够被它们整除的最小的正整数，用lcm(a, b)表示。
通过研究数字的整除性质，我们可以发现最大公约数和最小公倍数的计算方法，这对于解决实际问题非常有用。
2. 整数的因式分解通过对一个整数进行因式分解，我们可以将这个整数表示为若干个素数的乘积形式。
因式分解是数学中一个重要的内容，它不仅能够帮助我们理解整数的结构，还能够在解决一些数学问题时提供便利。
3. 同余定理同余定理是整除性质的一个重要应用，它在数论中有广泛的应用。
第二讲整除与同余(教师版)
第二讲 整除与同余一、整数的进位制1、【十进制数】给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m ， A 可以表示成10的1 m 次多项式，即012211101010a a a a A m m m m ，其中{0,1,2,,9},i a L01,2,,1i m L ，且01 m a ，简记为021a a a A m m .2、【p 进制数】若十进制正整数A 可以表示为：012211a p a p a p a A m m m m ，其中{0,1,2,,1},01,2,,1i a p i m L L ，且01 m a ，m 仍然为十进制数，则称A 为p 进制数，记为p m m a a a A )(021 .【例题分析】1、（2008）a 是由2005个9组成的2005位数，b 是由2005个8组成的2005为数，则ab 是（ ）位数.A 4000B 4004C 4008 4010 2．求满足3)(c b a abc 的所有三位数abc 。
解：由于999100 abc ，则999)(1003c b a ，从而95 c b a ；当5 c b a 时，33)521(1255 ； 当6 c b a 时，33)612(2166 ；当7 c b a 时，33)343(3437 ； 当8 c b a 时，33)215(5128 ；当9 c b a 时，33)927(7299 ；于是所求的三位数只有512.3．一个四位数，它的个位数字与百位数字相同。
如果将这个四位数的数字顺序颠倒过来（即个位数字与千位数字互换，十位数字与百位数字互换），所得的新数减去原数，所得的差为7812，求原来的四位数。
解：设该数的千位数字、百位数字、十位数字分别为z y x ,,，则 原数y z y x 10101023①；颠倒后的新数x y z y 10101023②由②－①得7812＝)(90)(999y z x y即2868111()10()10()10()()y x z y y x z x y x ③ 比较③式两端百位、十位、个位数字得6,8 x z x y .由于原四位数的千位数字x 不能为0，所以1 x ，从而98 x y ，又显然百位数字9 y ， 所以76,1,9 x z x y ，所以所求的原四位数为1979.二、整除的概念及其性质（一）、基本概念1、定义：设b a ,是给定的整数，0 b ，若存在整数c ，使得bc a ,则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是a 的一个约数(或因数)，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a ,记作b a .2、整除的性质(1) 若c b |且a c |，则a b |(传递性)； (2) 若a b |且c b |，则)(|c a b ;若反复运用这一性质，易知a b |及c b |，则对于任意的整数v u ,有)(|cv au b ; 更一般，若i b a |，则 ni ii bc a 1|其中,1,2,,i c Z i n L ；(3) 若a b |，则或者0 a ，或者||||b a ;特别地，若a b |且b a |，则b a ； (4) (带余除法定理)设b a ,为整数，0b ，则存在一对整数q 和r ，使得r bq a ，其中0r b ，满足以上条件的整数q 和r 是唯一确定.整数q 称为a 被b 除得的商，数r 称为a 被b 除得的余数。
整除性和同余性的定义和性质
整除性和同余性的定义和性质整除性和同余性是数学中非常重要的概念。
它们在代数、数论以及计算机科学等众多学科中有着广泛的应用。
本文将从定义、性质等方面对整除性和同余性进行详细的介绍。
一、整除性的定义和性质1.1 定义整除性是指对于两个整数a和b，若存在另外一个整数k，使得a=k×b，则称a可以被b整除，b是a的因数，a是b的倍数。
通常记为b|a。
1.2 性质①任何整数都可以被1和其本身整除。
②如果b|a，且c|b，则c|a。
③如果b|a，且a|c，则b|c。
④如果b|a，且a|b，则a=b或a=-b。
⑤如果b|a且b≠0，则|b|≤|a|，并且|a|/|b|是一个整数。
1.3 应用整除性在代数学和数论中都有广泛的应用。
以代数为例，整除性是求最大公因数和最小公倍数的基本工具。
对于给定的两个整数a和b，可以通过求解它们的公共因子（即两者都能够整除的整数）的最大值来得到它们的最大公因数。
而最小公倍数则可以通过求解a和b之间的联通代数条件来得到。
二、同余性的定义和性质2.1 定义同余性是指对于任意的整数a和b，若它们的差a-b能够被某一个正整数m整除，则称a和b在模m意义下同余，记为a≡b(mod m)。
2.2 性质① (自反性) a≡a(mod m)。
② (对称性) 若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。
③ (传递性) 若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。
④ (加减法性) 若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a±c≡b±d(mod m)。
⑤ (乘法性) 若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd(mod m)。
2.3 应用同余性在计算机科学中有广泛的应用。
由于计算机只能计算有限集合中的元素，因此需要在有限范围内的数据上进行运算。
同余性可以将数据限制在一个固定的范围内，并保证运算后的结果还在这个范围内，从而避免了数据溢出或越界的问题。
整数的整除性与同余(教案)
整数的整除性与同余（教案）教学内容 整除与同余教学目标 1 让学生初步学习整除与同余的概念及基本性质;2 能够简单的应用整除与同余的知识处理一些初等数论问题.教学过程一、整数的整除性1、整除的定义：对于两个整数a 、b （b ≠0），若存在一个整数m ，使得b m a ⋅=成立，则称b 整除a ，或a 被b 整除，记作b|a.2、整除的性质1）若b|a,则对于任意非0整数m 有bm|am;2) 若b|a ，c|b ，则c|a3) 若b|ac ，而（a ，b ）=1（（a ，b ）=1表示a 、b 互质，则b|c ；4) 若b|ac ，而b 为质数，则b|a ，或b|c ；5) 若c|a ，c|b ，则c|（ma+nb ），其中m 、n 为任意整数（这一性质还可以推广到更多项的和）6）连续整数之积的性质任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之一积，因此一定可被2整除；任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数，所以它们之积一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除例1 （1987年北京初二数学竞赛题）x ，y ，z 均为整数，若11｜（7x+2y-5z ），求证：11｜（3x-7y+12z ）。
证明∵4(3x -7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z)而 11｜11(3x-2y+3z),且 11｜(7x+2y-5z),∴ 11｜4(3x-7y+12z)又 (11,4)=1 ∴ 11｜(3x-7y+12z)例2（1980年加拿大竞赛题）设72｜b 679a 试求a,b 的值。
解：∵72=8×9，且（8，9）=1，∴只需讨论8、9都整除b 679a 时a,b 的值。
若8｜b 679a ，则8｜b 79，由除法可得ｂ＝２若9｜b 679a ，则9｜（a+6+7+9+2），得a=3例3（1956年北京竞赛题）证明：1n 21n 23n 23-++对任何整数n 都为整数，且用3除时余2。
整除和同余
整除和同余一、整除1、整除的定义：一般地，如a ，b ，c 为整数，b 不为零，a ÷b=c ,即整数a 除以整数b （b 不为零），除得的商c 正好是整数而没有余数，或者说余数为零，那么就称，a 能被b 整除，或者说b 能整除a ，记作 a b 。
否着就称a 不能被b 整除，或b 不能整除a ，记作a b 。
2、数的整除的性质（1）如果a 、b 都能被c 整除，那么他们的和与差也能被c 整除。
即：若果 a c ，b c ，那么b a c ±。
（2）如果b 与c 的积能整除a ，那么b 与c 都能整除a 。
即：如果 a bc ，那么 a b ，a c 。
（3）如果b 、c 都整除a ，且b 和c 互质，那么b 与c 的积能整除a 。
即：如果 a b ， a c ，且（b ，c)=1，那么 a bc 。
（4）如果c 能整除b ，b 能整除a ，那么c 能整除a 。
即：如果 b c ， a b ， 那么 a c 。
（5）推论：如果 1a b ，2a b ，......， n a b ，那么 n n a c a c a c b +++ 2211 。
3、数的整除特征（一）能被3整除的数的特征：能被4（或25）整除的数的特征：能被7（11或13）整除的数的特征：能被8整除的数的特征：能被9整除的数的特征：能被11整除的数的特征：4、带余除法定理：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b 不为零），那么一定存有另外两个整数q 和r ，r ≤0 ， r < b ，使得 r q b a +⨯= 。
5、辗转相除法： 两个整数的最大公约数是能够同时整除它们的最大的正整数。
辗转相除法基于如下原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的相除余数的最大公约数。
例如，252和105的最大公约数是21（252 = 21 × 12；105 = 21 × 5）；因为252 − 105 = 147，所以147和105的最大公约数也是21。
整除性与同余定理
对于同余定理问题，要熟练掌握扩展欧几里得算法、中国剩余定理等 技巧，善于将问题转化为同余方程进行求解。
04
在解题过程中，要注意细节和特殊情况的处理，避免因为粗心大意而 导致错误。
04 拓展延伸：费马小定理 和欧拉定理
费马小定理内容阐述
费马小定理是数论中的一个 重要定理，它给出了在模一 个质数p的情况下，任意整数
物理学
在量子力学和相对论等领域，同余定理可用于描 述物理现象的对称性和周期性规律。
06 总结回顾与展望未来
关键知识点总结
整除性定义
整除是数学中的一个重要概念，表示一个整数可以被另一个整数除尽，没有余数。整除性在数论、代数等领 域有广泛应用。
同余定理
同余定理是数论中的基本定理之一，它描述了整数在模运算下的性质。同余定理包括费马小定理、欧拉定理 等，是解决许多数论问题的基础。
k2使得a=b+k1m，c=d+k2m。
则
03
ac=(b+k1m)(d+k2m)=bd+(bk2+dk1)m+k1k2m
^2。
证明过程展示
因为m整除k1m和k2m，所以m也整除k1k2m^2，进而m整除ac-bd。
因此，ac≡bd(mod m)。
03 典型问题解析与技巧指 导
涉及整除性问题分类
整除性与同余定理
汇报人：XX
2024-01-29
目录
CONTENTS
• 整除性基本概念与性质 • 同余定理介绍与证明 • 典型问题解析与技巧指导 • 拓展延伸：费马小定理和欧拉定理 • 实际应用举例与探讨 • 总结回顾与展望未来
01 整除性基本概念与性质
整除定义及例子
整除同余与不定方程
整除同余与不定方程摘要：一、整除与同余的概念1.整除的定义2.同余的定义二、不定方程的介绍1.不定方程的概念2.不定方程的例子三、整除与同余在不定方程中的应用1.整除在不定方程中的性质2.同余在不定方程中的性质四、不定方程的求解方法1.整除法求解2.同余法求解五、总结1.整除同余与不定方程的关系2.不定方程的求解技巧正文：整除同余与不定方程是数论中的重要概念，它们之间有着密切的联系。
整除是指一个整数可以被另一个整数整除，即余数为零。
同余是指两个整数除以某个整数后的余数相同。
而不定方程是指含有未知数的等式，其解不一定是整数。
本文将探讨整除与同余在不定方程中的性质及应用，并介绍求解不定方程的方法。
首先，我们来回顾一下整除与同余的概念。
整除是指一个整数可以被另一个整数整除，即余数为零。
例如，8 整除12，因为12 除以8 的余数为0。
同余是指两个整数除以某个整数后的余数相同。
例如，11 和19 同余，因为它们除以3 的余数都是2。
不定方程是含有未知数的等式，其解不一定是整数。
例如，x^2 + 3x + 2 = 0 是一个不定方程，其解为x = -1 和x = -2，都是整数。
然而，x^2 + 3x + 3 = 0 是一个不定方程，它没有实数解。
整除与同余在不定方程中的应用非常广泛。
整除在不定方程中的性质可以帮助我们简化问题，例如，如果一个不定方程有整数解，那么它的解一定可以表示为整数的乘积。
同余在不定方程中的性质可以帮助我们找到解的规律，例如，如果两个数同余，那么它们与任意整数的和仍然保持同余关系。
求解不定方程的方法有很多，其中整除法和同余法是常用的方法。
整除法求解不定方程的步骤如下：首先，将方程进行因式分解，然后将未知数表示为整数的乘积，最后根据整数的性质求解方程。
同余法求解不定方程的步骤如下：首先，将方程进行同余变形，然后利用同余性质求解方程。
总之，整除同余与不定方程是数论中的重要概念，它们之间有着密切的联系。
数论中的整除与同余概念
数论中的整除与同余概念整除和同余是数论中的重要概念。
整除指的是一个数被另一个数整除，也就是能够整除有余数为零的关系。
同余则是指两个数除以同一个数所得的余数相等。
这两个概念在数论中有着广泛的应用和深入的研究。
首先，我们来讨论整除的概念。
设a和b是两个整数，如果存在一个整数c，使得b=c*a，我们就说a整除b，记作a|b。
即b能够被 a 整除而没有余数。
整除是一个基本的数学运算，我们通过它可以判断两个数的倍数关系。
例如，如果a|b且a|c，那么我们可以得到a|(b+c)和a|(b-c)。
这是因为有整数d和e，使得b=d*a，c=e*a。
那么b+c=(d+e)*a，b-c=(d-e)*a，它们都可以被a整除。
正是因为整除的这些性质，我们能够通过对整数的整除关系进行研究，揭示整数之间的规律。
整除在数论中扮演着重要的角色，例如在质数的研究中，整除是一个关键概念。
质数指的是除了1和自身外没有其他因数的数，也就是只能被1和自身整除的数。
例如，2、3、5、7等都是质数。
对于一个数n，我们可以通过判断是否有除了1和n外的其他因数来判断n是否为质数。
这个思想就是质数检验的基础。
接下来，我们来深入讨论同余的概念。
给定两个整数a和b，如果它们除以一个正整数m所得的余数相等，即(a-b)能被m整除，我们就说a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)。
同余关系是模m下的一种等价关系，也就是说它满足以下性质：1. 自反性：对于任意的整数a，a≡a(mod m)。
2. 对称性：对于任意的整数a和b，如果a≡b(mod m)，那么b≡a(mod m)。
3. 传递性：对于任意的整数a、b和c，如果a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，那么a≡c(mod m)。
同余关系的一个重要应用是在时钟和日历的计算中。
例如，我们常使用12小时制的时钟，它的小时数是以0到11表示的。
那么如果现在是下午8点，过了6个小时后是几点呢？我们可以通过同余的概念来解决这个问题。
整除同余与不定方程
整除同余与不定方程一、整除同余1.1 定义在数论中，整除同余是指两个数 a 和 b 在模 m 下，它们的差可以被 m 整除。
可以表示为a ≡ b (mod m)。
1.2 性质整除同余具有以下性质：•自反性：a ≡ a (mod m)•对称性：如果a ≡ b (mod m)，那么b ≡ a (mod m)•传递性：如果a ≡ b (mod m)，b ≡ c (mod m)，那么a ≡ c (mod m)•同余定理：如果a ≡ b (mod m) 和c ≡ d (mod m)，那么a ± c ≡ b ± d (mod m)，a × c ≡ b × d (mod m)1.3 应用整除同余在密码学、编码和算法中有广泛应用。
例如，它们可以用于计算哈希函数、判断两个数是否互质、生成随机数等。
二、不定方程2.1 定义不定方程是指含有未知数的方程，通常需要找到满足方程的整数解或一类整数解。
2.2 一次不定方程一次不定方程是指形式为 ax + by = c 的方程，其中 a、b、c 为已知整数，找到整数解 (x, y)。
这类方程可以使用扩展欧几里得算法求解。
扩展欧几里得算法的步骤如下：1.初始化变量，令 r1 = a，r2 = b，s1 = 1，s2 = 0，t1 = 0，t2 = 1。
2.当r2 ≠ 0 时，执行以下循环：–计算商和余数：q = r1 // r2，r = r1 % r2。
–使用辗转相除法更新变量：r1 = r2，r2 = r；s1 = s2，s2 = s；t1 = t2，t2 = t。
3.当 r2 = 0 时，得到方程的一个解为 (x, y) = (s1, t1)。
2.3 二次不定方程二次不定方程是指形式为 ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 的方程，其中 a、b、c、d、e、f 为已知整数，找到满足方程的整数解 (x, y)。
数学奥林匹克小丛书 小蓝本 初中卷 6 整除、同余与不定方程 课程讲解
数学奥林匹克小丛书小蓝本初中卷 6 整除、同余与不定方程课程讲解引言概述：数学奥林匹克小丛书《小蓝本初中卷 6 整除、同余与不定方程》是一本专门针对初中生的数学竞赛教材。
本书主要讲解了整除、同余与不定方程等数学概念和方法。
本文将从六个大点出发，详细阐述这本小丛书的内容。
正文内容：1. 整除的基本概念1.1 整除的定义及性质1.2 整除与最大公约数的关系1.3 整除与最小公倍数的关系2. 同余的应用2.1 同余的定义及性质2.2 同余与模运算的关系2.3 同余的应用：同余方程、同余定理3. 不定方程的解法3.1 一次不定方程的解法3.2 二次不定方程的解法3.3 高次不定方程的解法4. 整除与同余的关系4.1 整除与同余的定义4.2 整除与同余的性质4.3 整除与同余的应用：同余方程的解法5. 不定方程的应用5.1 不定方程的应用：数的分拆5.2 不定方程的应用：数的表示5.3 不定方程的应用：数的性质6. 综合应用题6.1 综合应用题的解题思路6.2 综合应用题的解题方法6.3 综合应用题的实例分析总结：通过对《小蓝本初中卷 6 整除、同余与不定方程》的课程讲解，我们了解到整除、同余与不定方程在数学竞赛中的重要性。
整除与最大公约数、最小公倍数的关系，同余与模运算的关系以及不定方程的解法等都是我们需要掌握的数学知识。
同时，整除与同余的关系以及不定方程的应用也是我们在解题过程中需要灵活运用的技巧。
通过综合应用题的训练，我们可以提高自己的数学思维能力和解题能力。
因此，掌握《小蓝本初中卷 6 整除、同余与不定方程》中的知识对我们参加数学竞赛是非常有帮助的。
备课讲解数论中的整除与同余
备课讲解数论中的整除与同余数论是数学的一个分支，研究的是整数的性质和关系。
在数论中，整除和同余是重要且常见的概念。
本文将详细介绍整除与同余的定义、性质以及应用。
一、整除的定义与性质整除是数论中最基本的概念之一，它描述的是一个整数是否能够被另一个整数整除。
具体来说，如果整数a能被整数b整除，则称a能被b整除，记作b|a。
反之，如果a不能被b整除，则记作b∤a。
1. 整除的传递性：如果a能被b整除，b能被c整除，则a能被c整除。
这是整除关系的一个重要性质，可以简单地通过数学归纳法证明。
2. 整除的性质：对于任意的整数a和b，有以下性质成立：（1）a|a，即任何整数都能被它自身整除；（2）1|a，即任何整数都能被1整除；（3）如果a|b且b|c，则a|c，即整除关系满足传递性；（4）如果a|b且a|c，则a|(bx+cy)，其中x和y为任意整数。
3. 整数的因子与倍数：如果a能被b整除且a≠b，则b称为a的因子，a称为b的倍数。
例如，4能被2整除，2是4的因子，4是2的倍数。
二、同余的定义与性质同余是数论中另一个重要的概念，它描述的是两个整数在除以同一个数后得到相同的余数。
具体来说，如果两个整数a和b除以正整数m得到的余数相等，则称a与b关于模m同余，记作a≡b(mod m)。
1. 同余的性质：对于任意的整数a、b和正整数m，有以下性质成立：（1）自反性：a≡a(mod m)；（2）对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)；（3）传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)；（4）同余关系的加减法：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a±c≡b±d(mod m)；（5）同余关系的乘法：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd(mod m)。
2. 同余类：对于给定的正整数m，每个整数a都与某个在0到m-1之间的整数对应。
同余问题口诀的原理
同余问题口诀的原理同余问题是数论中一个重要的概念，它涉及到整数的相等性和等价关系。
同余问题的口诀是用来帮助我们理解和解决同余问题的一种方法，它通过简洁的语言和易记的句子，将同余问题的原理和性质传达给我们。
同余问题口诀的原理可以概括为以下几点：1. 同余关系的定义：两个整数a和b对于一个给定的模数m来说，如果它们的差是m的倍数，即(a-b)能被m整除，那么我们就说a 与b在模m下同余，记作a≡b(mod m)。
这个定义是同余问题的基础。
2. 同余关系的性质：同余关系具有传递性、对称性和反身性。
传递性表示如果a与b在模m下同余，b与c在模m下同余，那么a 与c在模m下也同余；对称性表示如果a与b在模m下同余，那么b与a在模m下也同余；反身性表示任意整数a在模m下与自身同余。
3. 同余关系的运算规则：同余关系在加法、减法和乘法运算中具有保持性。
即如果a和b在模m下同余，那么a+b在模m下也同余；a-b在模m下也同余；a×b在模m下也同余。
这些运算规则可以帮助我们简化同余问题的求解过程。
4. 同余方程的求解：同余方程是指形如ax≡b(mod m)的方程，其中a、b和m都是已知的整数，x是未知数。
解同余方程的关键是找到一个整数x，使得ax与m的乘积与b在模m下同余。
我们可以利用同余关系的性质和运算规则来解同余方程。
5. 同余类和剩余系：在模m的整数集合中，把与给定整数a同余的所有整数构成的集合，称为a的同余类。
同余类中的任意一个整数称为该同余类的代表元。
剩余系是指模m的所有同余类的集合。
同余类和剩余系是同余问题中的两个重要概念，它们帮助我们对同余问题进行分类和分析。
通过口诀的原理，我们可以更好地理解和解决同余问题。
同余问题在密码学、数论和离散数学等领域应用广泛，掌握同余问题的原理和方法对于我们深入理解数学的应用和推理具有重要意义。
同余问题口诀可以帮助我们记忆和应用同余问题的相关知识，提高解题的效率和准确性。
整除与同余解析
定理２ (加减法与乘法)
a b(mod m), c d(mod m) a c b d(mod m)
定理３ (除法)
a c b d(mod m)
a c b c(mod m),c 0 a b(mod m )
特别地
(c, m)
a c b c(mod m), (c,m) 1 a b(mod m)
(a b)2 (a2 b2 )(4ab 1)
由此可得 a b (a b)(4ab 1) a b,
这显然是矛盾的. ∴ a b.
二.奇偶性分析与同余分析
同余理论是确定整数问题的重要而有力的 工具之一,用途十分广泛.同余理论的应用几乎 遍及数论的大多数问题. 同余分析是带余除法 的变形和深入,实质就是通过余数将研究的整 数进行分类,使它们余数的特征展现出来,方便 了问题的解决.
n
m
2.若在 ai bi中,除某一项外,其余各项都能
c c 被 整i除1 ,则i1这一项也能被 整除.
3.若 (a,b) 1,且a bc,则 a c.
4.若 (a,b) 1, 且a c,b c, 则 ab c.
5.若 p为素数,且 p bc,则 p b 或 p c.
例1 求证:对整数 x和 y,若 2x 3y、9x 5y中一
b3c bc3 bc(b2 c2 ), c3a ca3 ca (c2 a2 )
a3b ab3、b3c bc3、c3a ca3 中至少有一个能被5
整除. 综上,结论成立.
注：上述证明先利用整除性质简化问题, 再根 据给定数的特征, 采用分类讨论、考察完全平 方数的特征性质等方法, 使整除性逐步暴露出 来.本题如果用余数分析法则比较方便(见后面 同余分析).
奇偶性分析实质是模为 2 的一种特殊的同 余分析.
同余的运算法则
同余的运算法则全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：同余的概念最早出现在数论领域，是一种描述整数间的模运算关系的数学概念。
同余的运算法则涉及到模运算的一系列性质和规律，对于解决一些数论问题和密码学中的加密算法起着至关重要的作用。
本文将介绍同余的概念及其运算法则，并讨论其在数学和应用方面的重要性。
1. 同余的定义在数论中，我们通常使用符号“≡”表示同余关系。
如果两个整数a和b除以一个正整数m的余数相等，即a除以m和b除以m的余数相等，我们就说a与b关于模m同余，记为a≡b(mod m)。
简单来说，同余就是指两个数除以同一个数的余数相等。
12和22关于模5同余，因为12除以5的余数为2，22除以5的余数也为2，即12≡22(mod 5)。
2. 同余的运算法则在模运算中，同余有着一系列的运算法则。
我们可以根据这些法则来简化模运算的计算，并处理一些复杂的数论问题。
（1）同余的传递性如果a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，那么可以推出a≡c(mod m)。
这就是同余关系的传递性，即如果两个数与同一个模同余，那么它们之间也是同余的。
举例来说，如果5≡15(mod 10)且15≡25(mod 10)，那么可以推出5≡25(mod 10)。
（2）同余的对称性和反对称性（3）同余的加法和乘法性质对于同余关系来说，加法和乘法都具有良好的性质。
（4）同余的幂运算性质如果a≡b(mod m)，那么对于任意正整数n，有a^n≡b^n(mod m)。
即同余数的幂运算后依然同余。
（5）同余的逆元如果a在模m下存在逆元，即存在整数b使得ab≡1(mod m)，那么我们称b是a的逆元。
对于素数模m来说，任意整数a在模m下都有逆元。
同余的概念在数论和密码学领域有着广泛的应用。
（1）同余在数论中的应用在数论中，同余可以用来证明一些整数性质和解决一些数论问题。
在证明费马小定理和欧拉定理等定理时就会用到同余的性质。
在密码学中，同余的概念有着重要的应用。
整除同余与不定方程
整除同余与不定方程摘要：一、引言1.整除与同余的概念2.不定方程的定义及背景二、整除与同余1.整除的定义与性质2.同余的定义与性质3.整除与同余的关系三、不定方程1.不定方程的概念与例子2.不定方程的解法与性质3.不定方程在数学中的应用四、整除同余与不定方程的关系1.整除同余与不定方程的联系2.利用整除同余解决不定方程的案例五、总结1.整除同余与不定方程的重要性2.研究整除同余与不定方程的意义与价值正文：一、引言整除与同余是代数学中的基本概念，而不定方程作为代数学中的一个重要分支，也具有广泛的应用。
本文将围绕这三个主题展开讨论，分析它们之间的关系及其在数学中的应用。
二、整除与同余1.整除的定义与性质整除是指一个整数除以另一个整数后，余数为零。
例如，8 整除12，因为12 除以8 的余数为0。
整除具有传递性、可交换性和结合性等性质。
2.同余的定义与性质同余是指两个整数除以某个整数后，余数相同。
例如，11 和17 同余，因为它们除以3 的余数都是1。
同余具有自反性、对称性和传递性等性质。
3.整除与同余的关系整除是同余的特殊情况，即当除数为1 时，同余就是整除。
另外，同余可以转化为整除，方法是将同余问题转化为整除问题，然后再用整除的性质解决问题。
三、不定方程1.不定方程的概念与例子不定方程是指含有未知数的等式，其中未知数的次数大于等于1。
例如，x^2 + 2x + 1 = 0 是一个二次不定方程。
2.不定方程的解法与性质求解不定方程的方法有多种，如因式分解法、代数余数定理等。
而不定方程的性质包括有解性、无解性、有唯一解、有无穷多解等。
3.不定方程在数学中的应用不定方程在数学中有着广泛的应用，如在密码学、计算机科学、组合数学等领域都有重要的应用价值。
四、整除同余与不定方程的关系1.整除同余与不定方程的联系整除同余与不定方程之间存在密切的联系。
例如，求解不定方程时，有时需要利用整除同余的性质将问题进行转化。
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【例1】若p为质数，且p≥5，则p2－1能被24整除。
【例4】试证：质数有无限多个。
【例2】求证：22001＋3是合数。
【例3】若a，b，c是1998的三个不同的质因数，且a＜b＜c， 则(b＋c)a的值为____。
【例5】41名运动员所穿运功衣号码是1，2，…，41，这41个 自然数，问： ⑴能否使这41名运动员站成一排，使任意两个相邻运 动员的号码之和是质数？
特别的，当用2作除数时，余数为0或1，前者被除数称为 偶数，后者被除数称为奇数。
定义：形如2n(n是整数)的数称为偶数，形如2n＋1(n是整 数)的数称为奇数。
性质3：奇数的平方被4除余1；偶数的平方是4的倍数。 性质4：两个整数的和与这两个整数的差就具有相同的奇
偶数。
以上性质很容易从奇偶数定义出发推出，应用这些性质， 就可以解决有关整数中奇偶分析问题。
⑵能否使这41名运动员站成一圈，使任意两个相邻运 动员的号码之和是质数？若能办到，请举一例；若 不能办到，请说明理由。
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二、约数与倍数 10有约数1，2，5，10，而15有约数1，3，5，15，所以1 是10和15的公约数，5也是10和15的公约数。 几个正整数的公约数有时候不止一个。
定义1： 若a1，a2，…，an是不全为零的整数，且d|a1，d|a2，…， d|an，则d叫做a1，a2，…，an的公约数。公约数中最大的 数叫做最大公约数，记作： (a1，a2，…，an)＝d
定义2： 设a1，a2，…，an都是正整数，如果 (a1，a2，…，an)＝ 1，那么称a1，a2， …，an是互质的数，或简称互质。 互质的数不一定都是质数，如(8，9，14)＝1，但几个质 数一定是互质的数。
特别是，若a1，a2，…，an中任意两个数都互质，即任意 两个数的最大公约数都是1，则称这几个数两两互质。
【例6】23个不同的正整数的和是4845，问这23个数的最大公 约数可能达到的最大值是多少？
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定义 设a、b是整数，且b≠0，若有整数q和r，使得a＝b·q＋r， 其中0＜r＜|b|，那么就称b不整除a，记作：b a 此时，称q为a除以b的(不完全)商，称r为a除以b的余数。
由以上两个定义，得到下面的定理： 定理：设a，b是整数，且b≠0，则有唯一一组整数q和r，
满足 a＝bq＋r，其中0≤r＜|b|， 显然，当r＝0时，b整除a；当r≠0时，b不整除a 换句话说，若用整数n作除数，其余数r有n种可能的情况 ，即r＝0，1，……，n－1。
显然，两两互质的n个自然数一定互质，如(8，9)＝(9， 25)＝(8，25)＝1，则(8，9，25)＝1。反过来则不一定成 立，如(8，9，14)＝1，但(8，14)＝2，因此这三个数不是 两两互质。
一个正整数能被几个正整数整除时，则这个正整数就叫做 这几个正整数的公倍数。例如24能被6整除，24还能被8整 除，所以24是6和8的公倍数。48是12和8的公倍数。
⑹若a|b1，a|b2，…，a|bn，则a|(b1＋b2＋…＋bn) 如2|4，2|6，2|12，2也整除4＋6＋12＝22
⑺n个连续整数之积必能被1×2×3×…×n所整除 如6×7×8＝1×2×3×7×8，∴1×2×3|6×7×8
【例3】若62 427 是99的倍数，求α，β。
【例4】⑴求证：6|n(n＋1)(2n＋1)(n为整数)
性质1：同奇偶的两数之和(或差)为偶数；不同奇偶的两 数之和(或差)为奇 数；奇数个奇数之和为奇数； 偶数个奇数之和为偶数。
性质2：奇数乘以奇数为奇数；偶数乘以偶数为偶数，奇 数乘以偶数为偶数。
【例1】设a，b是自然数，且有关系式123456789＝(11111＋ a)(11111－b)①，证明a－b是4的倍数。
整除和同余(一)
一、整数
我们通常所说的整数是指十进制中，如-1001，-1000， ……，-2，-1，0，1，2……，1000，1001，这样的数。 在整数中，它们的和、差、积仍然是整数，但是当两个 整数相除时，其结果就不一定是整数了。
定义 设a、b是整数，且b≠0，若有一个整数q，可使a＝b·q(即 a/b＝q)，那么就称b能整除a或a能被b整除，记作：b|a 此时，称a为b的倍数，b为a的约数。 例，零是任何非零整数的倍数
这样按约数的个数分类，所有自然数可分为： ⑴单位1—只有一个约数，即1； ⑵质数—只有二个约数，即1和它自身二个约数； ⑶合数—多于二个约数；
如果一个正整数a的一个约数p是质数，则约数p就叫做a的 质约数。 如：12有质约数2，3；280有质约数2， 5，7等。 显然，除了2以外，其他所有的偶数都是合数，同时，除 了2以外，其他所有的质数都是奇数。
⑴如果a|b，a|c，那么a|(b±c) 如2|6，2|4，则2|(6＋4)， 2|(6－4)
⑵如果a|b，b|c，那么a|c 如3|6，6|12，3也整除12
⑶如果b|a，则bm|am，其中m为非零整数 如3|6，7·3也整除6·7
⑷如果a|b，则a|nb，其中n为整数 如3|6，3也整除5·6
⑸若bm|am，则b|a，其中m为非零整数 如2·5 |4·5，2也整除4
定义3： 设a1，a2，…，an和m是正整数，且a1|m，a2|m，…， an|m ，则称m为a1，a2，…，an公倍数。公倍数中最小的数叫 做最小公倍数，记作： [a1，a2，…，an]＝m
定理1： 若a，b是正整数，则(a，b)[a，b]＝ab
定理2： 设a，b是任意两个不全为零的整数，m是任意正整数，则 (am，bm) ＝(a，b)m
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【例2】设n是整数，如果n2的十位数字是7，那么n2的个位数 字是什么？
二、整数的整除性 在整数范围内，有； 整数＋整数＝整数 整数－整数＝整数 整数×整数＝整数 但是，整数除以整数不一定得整数。由已讲的整除定义 知，如果整数a除以整数b得到的商也是整数，则称整数b 整除整数a。
关于整数的整除性有以下的性质：
⑵若a是自然数，则10|a1991－a1987
【例5】有一个1987位数A能被9整除，它的各位数Байду номын сангаас的和为 a，a的各位数字的和为b，b的各位数字的和为c，求 c等于什么?
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一、质数与合数
“1”这个数只有一个正因数，就是它本 身。任何大于1 的正整数a都至少有二个正 因数，就是1和a。 “2”只能被1和2整除，不能被其他正整数整除；同样3只 能被1和3整除，不能被其他正整数整除，我们说2是质数 ，3也是质数。 “4”除了能被1和4整除，还能被2整除。6除了能被1和6 整除，还能被2和3整除。我们说，4是合数，6也是合数。