数学物理方程 第三章 分离变量法
静电场的微分方程与解的唯一性(中文)
通解。
数学物理方程描述物理量随时间和空间的变化特性。
定解条件
初始条件 边界条件
静电场与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及
拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。
根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静
电场的边值问题。
此处边界条件实际上是指给定的边值，它不同 于前一章描述静电场的边界上场量变化的边界条件。
第三章 静电场的边值问题
主要内容 电位微分方程、镜像法、分离变量法。
1. 电位微分方程 2. 镜像法 3. 直角坐标系中的分离变量法 4. 圆柱坐标系中的分离变量法 5. 球坐标系中的分离变量法
1. 电位微分方程 已知电位 与电场强度 E 的关系为
E
对上式两边取散度，得
EHale Waihona Puke 2对于线性各向同性的均匀介质，电场强度 E
的散度为
E
那么，电位满足的微分方程式为
2
泊松方程
2
对于无源区， ，0 上式变为
2 0
拉普拉斯方程
已知分布在 V 中的电荷 (r在) 无限大的自由空
间产生的电位为
(r)
1 4π
(r) dV V| r r|
上式为泊松方程在自由空间的特解。
利用格林函数可以求出泊松方程在有限空间的
可以证明电位微分方程解具有惟一性。
若静电场的边界为导体，此时给定导体上的电位就
是第一类边界。 已知
ﾶ ﾶn
S
可见，表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。
因此，若给定导体表面上的电荷量就是第二类边界。
因此，对于导体边界，当边界上的电位，或电位 的法向导数给定时，或导体表面电荷给定时，空间的 静电场即被惟一地确定。这个结论称为静电场惟一性 定理。
数学物理方法-14.2 分离变量法-1维热传导
2
(n 0,1,2,3,)
l
, (n 0,1,2,3,)
na 时间函 (t ) T Tn (t ) 0 n 数方程 l
Tn (t ) Cn e
na t l
2
(n 0,1,2,3,)
两端绝热杆的热传导问题
• 则定解问题的解为
分离变量法
将解表示为
时间函数X(x)×空间函数T(t) 导出时间函数和空间函数的常微分方程 逐个求解X(x)和T(t)，每一个记为Xn(x)×Tn(t)
对于线性问题，叠加原理成立，则通解为
u( x, t ) un ( x, t ) X n ( x)Tn (t )
基本步骤： 1. 变量分离，分别导出初始值问题，固有值问题； 2. 求解固有值问题，确定边值问题的固有值和固有函数； 3. 根据固有值，求解初始值问题，含未知系数； 4. 解的叠加，根据偏微分方程的初始条件确定未知系数。
t=1s t=0 t=100s t=5s
u
x
作 业
pp 354, T3， T5
n 1 n 1 na t l
2
n sin x l
• 由初始条件得
n ( x) C n sin x l n 1
2 l n C n ( x) sin xdx (n 1,2, ) l 0 l
？
算例：原始温度分布
u(x, 0)
分离变量法： 均匀杆的热传导问题
• [问题]设有一均匀细杆，长为l，两个端点的坐标为x=0和 x=l，端点处的温度保持为零度，已知杆上初始温度分布 为 ( x) ，求杆上的温度变化规律。 ( x) x 0 0
第三章 静电场边值关系
电位所满足的拉普拉斯方程在圆柱坐标系
中的展开式只剩下包含变量r 的一项，即电 位微分方程为
2 1 d d r 0 r dr dr
求得
C1 ln r C 2
利用边界条件：
V r a
C1 ln a C 2 V C1 ln b C 2 0
q q 4 π r 4 π r
可见，为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为
r q q r
上任一点均具有同一数值。由上图可见，若要求三角形 △OPq
r 为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求比值 对于球面 r
r a 与 △ OqP 相似，则 常数。由此获知镜像电荷应为 r f
代入上述边界条ห้องสมุดไป่ตู้，求得镜像电荷如下：
q
1 2 q 1 2
q
2 2 q 1 2
例 已知同轴线的内导体半径为a，电位为V，外导体接地，其
内半径为b。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。
解
V a b
O
对于这种边值问题，镜像法不适
用，只好求解电位方程。为此，选用圆柱 坐标系。由于场量仅与坐标 r 有关，因此，
以格林函数表示的积分解。
数学物理方程是描述物理量随空间和时间的变化规律。对于某 一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始值与边界值， 这些初始值和边界值分别称为初始条件和边界条件，两者又统称为 该方程的定解条件。静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的 泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界 条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题。
q q
电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半
数学物理方程第二版答案
数学物理方程第二版答案第一章. 波动方程§ 1方程的导出。
定解条件4.绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。
解：如图2，设弦长为I，弦的线密度为，则x点处的张力T(X)为T(x) g(l x)且T(x)的方向总是沿着弦在x点处的切线方向。
仍以u(x,t)表示弦上各点在时刻t沿垂直于x轴方向的位移，取弦段(x,x x),则弦段两端张力在u轴方向的投影分别为其中(x)表示T(x)方向与x轴的夹角于是得运动方程x, y,t 有二阶连续偏导数。
且(t2 x23 y2) 2(t2x23y2) 23(t2 x2y2)g(l x)sin (x); g(l (x x)) sin (x x) sin tgx.利用微分中值定理，消去[I (x x)]」x再令[I x]」x2ug [(lt xu x)]。
x5.验证u(x, y,t) 在锥t2 2 y >0 中都满足波动方程2u 2 x 证：函数u(x,y,t) 2 2 2在锥t x y >0内对变量即得所证。
§ 2达朗贝尔公式、3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 (x)=F ( 0)+G ( 2x ) 令 x+at=0 得 (x)=F ( 2x )+G(0)所以F(x)=(-)-G(0).G（x =（；）刊0）. 且 F(0)+G(0)=(0)x at x at x所以u(x,t)=(丁)+ (丁)- (0).即为古尔沙问题的解。
&求解波动方程的初值问题同理 所以(t 2 (t 22U飞x x 2x 2t 22u2u 7t 2 x 2 2u3y 2) 2x 2 y 2 x 2t 2(2t 2 y 252 t 2 x 2 y 2)3t 2 2x 2 x 2 y 2y 252x 2t 2 x 2 2y 252 2t 2 x 2y 22u波的传抪2u 下 ux atx at 0x 2 (x) (x).(0) (0)22u ..—2 tsinx x 0,丄 |t 0t解：由非齐次方程初值问题解的公式得tsin x sin(ttsin x即u(x,t) tsin x 为所求的解。
数学物理方程课后参考答案第三章
解：令
又 故取 则 满足调和方程
即
代入原定解问题，得 满足
用分离变量法零解 ，得
.
所以
再由另一对边值得
所以 .
得
最后得
8.举例与说明在二维调和方程的狄利克莱外问题，如对解 不加在无穷远处为有界的限制，那末定解问题的解以不是唯一的。
是区域 中的调和函数（无穷远点除外）.
如果区域 为球面K以外的无界区域，则函数u 在 中除去原点O外是调和的，函数 称为函数 的凯尔文（Kelvin）变换。
证明：只需证明 满足 。
=
=
代入 的表达式，有
=
=
若u在包含原点O的有界区域内处处式调和的即 ,则除无穷远点（O的反演点）外， 即除 点外v是调和的。若u在无界域 上是调和的，则除去O点外，v也是调和的。证毕。
且矩阵( )是正定的，即
由于矩阵( )是非正定的，故 可以写成 的线性齐次式的平方和，即
=
所以
于是
因此在 点
与 在 点满足方程是矛盾的，故 不能在 内部达到正的最大值。
7．证明第6题中讨论的椭圆形方程第一边值问题的唯一性与稳定性。
证：唯一性。只须证明方程在齐次边值条件只的零解。
设 在 内满足方程，在 边界 上 。因 在 上连续，故 是有界的，
第三章调和方程
§1建立方程定解条件
1．设 是n维调和函数（即满足方程
），试证明
其中 为常数。
证： ,
即方程 化为
所以
若 ，积分得
即 ，则
若 ，则 故
即 ，则
2．证明拉普拉斯算子在球面坐标 下，可以写成
第三章静电场5—分离变量法
第三章静电场（5）分离变量法陈德智2011年3月分离变量法之要点•求解区域边界与坐标面平行。
（矩形，圆形，球形等，共11种坐标系可解）•微分方程和部分边界条件皆为齐次。
（便于叠加）•将方程分解为若干只与某个坐标相关的函数的乘积，求解本征值问题。
•利用边界条件和本征函数的正交性确定系数。
分离变量法举例1：栅极的静电场设栅网与极板均为无限大，栅网只有平行的格线组成，栅格宽度为a。
栅网平面上的电位呈周期性分布，可用Fourier级数表示。
2nπ分离变量法举例1：栅极的静电场电位分布212(1)cos()nxannx n y U U ed aππϕ∞−==−+∑分离变量法举例2：尖角/凹陷处的静电场接地的两平面导体形成一定夹角α ，在远处有一些电荷或带电体，分析夹角附近的场分布。
构建模型：设远处有一同心圆弧形导体，电位为U。
（这样假设是为了解题方便；远处的场不是关心的所在）0100(sin cos )ρφραραα=−+⎜⎟⎝⎠E e e 0ρ→当απ<0πααρ−→如果0100(sin cos )ρφραραα=−+⎜⎟⎝⎠E e e 0ρ→当απ=1πααρ−→如果010004(sin cos )4y U U ρφφφρπρπ=−+=−E e e e01004(sin cos )U πααρφρπφπφραραα−⎛⎞=−+⎜⎟⎝⎠E e e 0ρ→当πααρ−→∞απ>如果尖劈局部电场分布（右图电力线按反方向绘制）尖劈电场分布的ANSYS有限元计算结果采用ANSYS计算尖劈电场分布的两种有限元网格分离变量法学过数学物理方程的人会有这样的经验，使用分离变量法求解边值问题是相当麻烦的。
可是，当你看到那么复杂的电磁场问题，通过一步步的推导，得出了美妙的结果，会产生一种发自内心的愉悦。
要知道，这些问题的解决，曾经想破了无数最聪明的脑袋，是数学物理史上了不起的成就，——而现在，它属于你了。
其次，虽然过程有些繁琐，但是不难，因为解题的步骤都大同小异。
数学物理方程2-3章课后部分习题答案
数学物理方程 李明奇主编 电子科技大学出版社2-3章部分习题答案习题2.14.一根长为L 、截面面积为1的均匀细杆，其x=0端固定，以槌水平击其x=L 端，使之获得冲量I 。
试写出定解问题。
解：由Newton 定律： tt x x Sdxu t x YSu t dx x SYu ρ=-+),(),(，其中，Y 为杨氏模量，S 为均匀细杆的横截面积，x u 为相对伸长率。
化简之后，可以得到定解问题为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==========)(|,0|0|,0|)/(0002L x I u u u u u a u Y u t t t L x x x xx xx tt δρρ。
习题2.23.设物体表面的绝对温度为u ，它向外辐射出去的热量，按斯特凡-波尔兹曼定律正比于4u ，即dSdt ku dQ 4=，设物体与周围介质之间，只有热辐射而无热传导，周围介质的绝对温度为已知函数),,,(t z y x ϕ，。
试写出边界条件。
解：由Fourier 热传导实验定律dSdt nuk dQ ∂∂-=1，其中1k 称为热传导系数。
可得dSdt u k dSdt n uk )(441ϕ-=∂∂-，即可得边界条件：)(441ϕ--=∂∂u k k nus。
习题2.34.由静电场Gauss 定理⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅VsdV dS E ρε01，求证：0ερ=⋅∇E ，并由此导出静电势u 所满足的Poisson 方程。
证明：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=⋅VVsdV dV divE dS E ρε01，所以可以得到：0ερ=divE 。
由E divE ⋅∇=与u E -∇=，可得静电势u 所满足的Poisson 方程：02ερ-=∇u 。
习题2.42.求下列方程的通解：（2）：;032=-+yy xy xx u u u （5）：;031616=++yy xy xx u u u 解：（2）：特征方程：03)(2)(2=--dxdydx dy 解得：1-=dx dy 和3=dxdy。
数学物理方法技巧-14.4分离变量法-非齐次方程
格林函数法
方法概述
格林函数法是一种通过构造格林函数 ，将非齐次方程的求解转化为格林函 数的求解的方法。
适用范围
适用于一些具有特定边界条件的非齐 次方程，如具有初值条件或边值条件 的非齐次方程等。
求解步骤
首先，根据非齐次方程的形式和边界 条件，构造一个合适的格林函数；然 后，通过求解格林函数的微分方程或 积分方程，得到格林函数的具体形式 ；最后，利用格林函数的性质，将原 非齐次方程的求解转化为格林函数的 求解，从而得到原方程的解。
对于某些特定的哈密顿算符和初始条件，可以通过分离变量法将含时薛定谔方程简化为一系列常微分 方程，进而求得波函数的解析解或数值解。
06 总结与展望
分离变量法在非齐次方程中的意义和价值
分离变量法是一种重要的数学物理方法，用于求解非齐次方程，特别是偏微分方程。通过将多变量问 题转化为单变量问题，分离变量法能够大大简化问题的求解过程。
变量分离
将多元函数中的各个变量分离开来， 使得每个变量仅出现在一个函数中， 从而简化问题。
分离变量法的适用范围
线性偏微分方程
适用于线性偏微分方程，特别是具有 齐次边界条件的偏微分方程。
可分离变量的方程
适用于通过变量代换可将偏微分方程 转化为可分离变量的常微分方程的方 程。
分离变量法的步骤
变量代换
数学物理方法技巧-14.4分离变量 法-非齐次方程
目 录
• 分离变量法概述 • 非齐次方程的基本概念 • 分离变量法在非齐次方程中的应用 • 其他求解非齐次方程的方法 • 非齐次方程在实际问题中的应用 • 总结与展望
01 分离变量法概述
分离变量法的基本思想
偏微分方程求解
通过适当的变量代换，将偏微分方程 转化为常微分方程进行求解。
数学物理方法技巧分离变量法
目录
CONTENTS
• 引言 • 分离变量法的基本原理 • 分离变量法的具体应用 • 分离变量法的注意事项 • 分离变量法的优缺点 • 分离变量法的未来发展与展望
01
引言
分离变量法的定义
分离变量法是一种数学物理方法，用 于将多变量问题转化为多个单变量问 题，以便于求解。
它通过将偏微分方程转化为常微分方 程，或者将高阶微分方程转化为一系 列在解决具有多个相互独立变量的物理 问题时，如波动、热传导、流体动力 学等，分离变量法是非常有效的工具 。
它适用于具有周期性边界条件或对称 性边界条件的问题，如无限大区域、 周期性结构等。
THANKS
感谢您的观看
结合其他数值方法进行优化
1 2 3
混合方法
结合分离变量法和有限元法、有限差分法等其他 数值方法，形成混合方法，取长补短，提高求解 精度和效率。
自适应方法
结合分离变量法和自适应方法，根据问题特性和 求解需求，动态调整算法参数和求解精度，实现 高效求解。
无网格方法
结合分离变量法和无网格方法，克服传统数值方 法的网格依赖性，提高求解灵活性。
02
偏微分方程的解需要满足一定的边界条件和初始条件。
03
偏微分方程的解需要满足可解性条件，即解需要是有限个变 量的函数。
分离变量法的步骤
01
将偏微分方程转化为常微分方程。
02 对常微分方程进行求解，得到各个变量的解。
03 将各个变量的解组合起来，得到原偏微分方程的 解。
03
分离变量法的具体
应用
一维波动方程的分离变量法
为了确保数值解法的稳定性，可以采用多种方法，如增加计算步长、使用更精确的数值格式等。同时 ，也需要不断尝试和改进计算方法，以提高数值解法的稳定性和准确性。
固有函数法和分离变量法_解释说明
固有函数法和分离变量法解释说明引言1.1 概述在科学和工程领域中，解决不同类型的数学方程是非常重要的。
其中，固有函数法和分离变量法是两种常见的求解数学方程的方法。
这两种方法在特定情况下都能够提供有效的解决方案，并且在不同领域都有广泛应用。
1.2 文章结构本文将首先介绍固有函数法，包括其理论基础、应用领域以及优缺点。
接着，我们将详细探讨分离变量法，包括其原理解释、实际应用和算法步骤。
然后，我们将比较这两种方法的共同点和不同之处，并提出适用于不同场景的推荐应用。
最后，我们将总结固有函数法和分离变量法的特点和应用价值，并展望未来研究方向与发展趋势。
1.3 目的本文旨在全面深入地介绍固有函数法和分离变量法这两种求解数学方程的方法。
通过对其理论基础、实际应用和优缺点的分析，我们希望读者能够了解到这些方法各自适用于哪些情境，并能够根据具体需求进行选择。
此外，我们也将对这两种方法的研究方向和未来发展进行展望，以期为相关领域的进一步探索提供参考和启示。
2. 固有函数法2.1 理论基础固有函数法是一种数学方法，用于求解偏微分方程（PDE）中的边值问题。
它的核心思想是将待求解的函数表示为问题域内各个位置上的局部特征函数的线性组合形式。
根据泛函分析理论，我们知道一个完备希尔伯特空间中的任何一个元素，都可以用这个空间中的一组正交归一基作展开。
在固有函数法中，将问题域划分成有限或无限多个小区域，并在每个小区域内寻找满足特定边界条件和内部微分方程条件的局部特征函数。
这些局部特征函数通常由常微分方程组成。
固有函数法通过对不同特征函数进行线性叠加来逼近真实解，其中每个特征函数都含有未知系数。
通过确定这些系数，我们可以构造出满足整个问题条件的唯一解。
2.2 应用领域固有函数法广泛应用于物理学和工程学领域中独立变量是时间、空间或它们的某种组合的偏微分方程求解。
例如，在传热学、振动力学和电磁学中，固有函数法被用于求解热传导方程、波动方程和泊松方程等问题。
《可分离变量》课件
可分离变量的未来发展
扩展到高维空间
随着研究的深入，可分离变量有 望在高维空间中得到进一步发展 和应用，以解决更为复杂的问题
。
与其他方法的结合
未来研究可能会将可分离变量与其 他数学方法或技术相结合，以产生 更强大的分析工具。
实际应用的拓展
随着技术的进步和实际问题的复杂 性增加，可分离变量将在更多领域 得到应用，如物理、工程、经济等 。
积分法
总结词
积分法是通过对方程两边进行积分来求解可分离变量微分方程的方法。通过选 择合适的积分函数，可以将微分方程转化为更简单的方程，从而更容易求解。
详细描述
在可分离变量微分方程中，如果存在一个函数可以作为积分函数，使得方程变 得更简单，那么就可以使用积分法。具体步骤包括选择合适的积分函数，对方 程两边进行积分，然后求解得到方程的解。
分离变量
通过对方程两边同时积分，将方 程转化为 `∫f(x)dx = ∫g(y)dy` 的 形式，使得变量 `x` 和 `y` 被分离 在等式的两边
02
可分离变量的性质
线性独立性
线性独立性
在可分离变量的函数中，各变量之间 是线性独立的，即每个变量在函数中 只出现一次，没有重复或交叉项。
线性独立性的意义
量子力学中的薛定谔方程
在量子力学中，薛定谔方程是一个偏微分方程，可分离变 量方法可以将其转化为多个常微分方程，从而简化求解过 程。
数学问题中的应用
求解偏微分方程
在数学物理中，偏微分方程是常见的问题。通过可分离变量方法，可以将偏微分方程转化 为多个常微分方程，从而找到其解。
数值分析中的有限元方法
在数值分析中，有限元方法是求解偏微分方程的一种常用方法。可分离变量方法可以简化 有限元方法的实现过程，提高计算效率。
现代数学物理方程
这就是微分方程的适定性问题。
2、验证
u( x , y, t )
2
1 t x y
2 2
在锥
t x y 0
2 2 2
中都满足波动方程
u
2
t
2
u
2
x
2
u
2
y
2
.
证明：在该锥内
u t
2
(t x y )
2 2 2
3 2
t
3 2 5 2
又
sin 1 tg 1 sin 2 tg 2
u( x x , t )
.
于是得运动方程
x
u
2
t
2
g [ l ( x x )]
u( x x , t ) x
[l x ]
u( x , t ) x
u
2
[ l ( x x )] g
u( x , 0) t aF '( x at ) aG '( x at ) t 0 aF '( x ) aG '( x ) ( x ).
aF '( x ) aG '( x ) ( x ).
两边对 x 积分：
aF ( x ) aG ( x ) C
u
2
t
2
c u
2
这里c 通常是一个固定常数，代表波的传播速率。 在针对实际问题的波动方程中，一般都将波速表 示成可随波的频率变化的量，这种处理对应真实 物理世界中的色散现象。
（2）方程的导出 均匀弦的微小横振动 理想化假设：
分离变量法的应用
谢焕田
（临沂师范学院 理学院，山东 临沂 276005）
摘要：针对数学物理方程的一类定解问题，给出以分离变量法为基础的求解方法及步骤，通过实
例辨析异形同解的存在性，加深对分离变量法的认识与理解．
关键词：分离变量法；数学物理方程；定解问题
中图分类号：O175 文献标识码：A
doi：10.3969/j.issn.1007- 9831.2010.03.002
分离变量法是求解有界区域上的线性偏微分方程定解问题的基本方法，它不仅适用于波动方程，而且 也适用于热传导方程和位势方程．文献[1- 3]讨论了分离变量法的一些应用，本文针对数学物理方程的一类 定解问题，以分离变量法为基础给出问题的求解方法及步骤．通过实例辨析不同的求解方法得到不同形式 的解的异形同解现象，从而加深对分离变量法应用的认识与理解．
2l
到的 结果 是相 等的 ，只是 表达 形式 不同 ．相 比而 言， 文献 [5 ]的方 法易于 求解 但对 函数 构造 的技 巧要 求高 ，
而本文的方法易于理解，更便于推广.
本文方法亦可用来求解热传导方程的定解问题，并且对同一定解问题，应用分离变量法进行求解时，
由于化简程度的不同可能得到表达形式不同的相同结果．在教学研究中这一现象是值得注意的．
得问题（6）的解为
∑ ∑ ∞
u(x, t) = t 2 +
32l 2
(2n 1)πx ∞
s in
+
32l 2
(2n 1)πx (2n 1)πat
si)3
2l
n=1 a 2π3 (2n 1)3
2l
2l
文献 [5 ]在边 界齐 次化 的同 时也 使方 程变 为齐 次的 ，最 后得 出解 为
数学物理方程答案作业
因为w满足齐次方程，故u满足
齐次化原理得证。由齐次方程柯西问题解的泊松公式知
所以
即为所求的解。
所以
§2混合问题的分离变量法
1．用分离变量法求下列定解问题的解：
解：设 代入方程及边值得
求非零解 得
对应Ｔ为
因此得
由初始值得
因此
故解为
２．用分离变量法求解热传导方程的混合问题
解：设 代入方程及边值得
求非零解 得 n=1,2,……
对应Ｔ为
故解为
由始值得
因此
所以
1．证明拉普拉斯算子在球面坐标 下，可以写成
证：球坐标 与直角坐标 的关系：
， ， （1）
为作变量的置换，首先令 ，则变换（1）可分作两步进行
， （2）
， （3）
由（2）
由此解出
（4）
再微分一次，并利用以上关系，得
所以
（5）
再用（3）式，变换 。这又可以直接利用（5）式，得
再利用（4）式，得所以Fra bibliotek即6.用分离变量法求解由下述调和方程的第一边界问题所描述的矩形平板 上的稳定温度分布：
解：令 代入方程，得
再由一对齐次边界条件 得
由此得边值问题
由第一章讨论知，当 时，以上问题有零解
又
求出通解，得
所以
由另一对边值，得
由此得，
解得
代入 的表达式得
9．求解波动方程的初值问题。
解：
=
=
=
=
+
=
+
所以
§3混合问题的分离变量法
1.用分离变量法求下列问题的解：
(1)
解：边界条件齐次的且是第一类的，令
数学物理方程(谷超豪)-第三、四章 课后习题答案
第三章调和方程§1建立方程定解条件1．设)(),,,(21r f x x x u n = )(221n x x r ++=是n 维调和函数（即满足方程022212=∂∂++∂∂nx ux u），试证明221)(-+=n rc c r f )2(≠n rInc c r f 1)(21+=)2(=n 其中21,c c 为常数。
证：)(r f u =,rx r f x rr f x u i i i ⋅=∂∂⋅=∂∂)()(''32''22"22)(1)()(r x r f r r f rx r f x ui i i ⋅-⋅+⋅=∂∂312''212"122)()()(rx r f r nr f rx r f x uni i ni i ni i∑∑∑===⋅-⋅+⋅=∂∂)(1)('"r f rn r f -+=即方程0=∆u 化为0)(1)('"=-+r f rn r f rn r f r f 1)()('"--=所以)1(1')(--=n r A r f 若2≠n ，积分得1212)(c r n A r f n ++-=+-即2≠n ，则221)(-+=n r c c r f 若2=n ，则rA r f 1')(=故Inr A c r f 11)(+=即2=n ，则rInc c r f 1)(21+=2．证明拉普拉斯算子在球面坐标),,(ϕθr 下，可以写成sin 1)(sin sin 1(12222222=∂∂⋅+∂∂∂∂⋅+∂∂∂∂⋅=∆ϕθθθθθur u r r u r r r u 证：球坐标),,(ϕθr 与直角坐标),,(z y x 的关系：ϕθcos sin r x =，ϕθsin sin r y =，θcos r z =（1）222222z u yu xu u ∂∂+∂∂+∂∂=∆为作变量的置换，首先令θρsin r =，则变换（1）可分作两步进行ϕρcos =x ，ϕρsin =y （2）θρsin r =，θcos r z =（3）由（2）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∂∂+-∂∂=∂∂∂∂+∂∂=∂∂)cos ()sin (sin cos ϕρϕρϕϕϕρy ux u u y u x u u 由此解出⎪⎭⎪⎪⎬⎫⋅∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂-∂∂=∂∂ρϕϕϕρρϕϕϕρcos sin sin cos u u y u u u x u （4）再微分一次，并利用以上关系，得)sin cos (22ρϕϕϕρ⋅∂∂-∂∂∂∂=∂∂u u x xu)sin cos (sin )sin cos (cos ρϕϕϕρϕρϕρϕϕϕρρϕ⋅∂∂-∂∂∂∂⋅-⋅∂∂-∂∂∂∂=u u u u +∂∂⋅+∂∂∂⋅-∂∂=22222222sin cos sin 2cos ϕρϕϕρρϕϕρϕuu u ρρϕϕρϕϕ∂∂⋅+∂∂⋅+u u 22sin cos sin 2cos sin (22ρϕϕϕρ⋅∂∂+∂∂∂∂=∂∂u u y yu)cos sin (cos )cos sin (sin ρϕϕϕρϕρϕρϕϕϕρρϕ⋅∂∂+∂∂∂∂++⋅∂∂+∂∂∂∂=u u u u ρρϕϕρϕϕϕρϕϕρρϕϕρ∂∂⋅+∂∂⋅--∂∂⋅+∂∂∂+∂∂=u u uu u2222222222cos cos sin 2cos cos sin 2sin 所以ρρϕρρ∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂=∂∂+∂∂uu u yu xu 11222222222（5）ρρϕρρ∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂uuz uu z u y u x u112222222222222再用（3）式，变换2222zu u ∂∂+∂∂ρ。
数学物理方程与特征函数-03
0 x l,t 0 t0 0 xl
t
T T 0
a2
0 X 0 (x) B0 n n2 2 / l 2 , n 1,2,3,
n
X n (x) Bn cos l x
0
T 0 T0 (t) D0t C0 C0 u0 B0C0 C0
0 xl X (l) 0
X (0) A B 0, X (l) Ael Bel 0
AB0
X (x) 0
0
X 0 X (x) Ax B A 0 X 0 (x) B0
2 0 X 2 X 0 X (x) Asin x B cosx
2 l
l
n
x cos
0
l
xdx 2l
n
(1)2
l
C0l
C0
dx
0
l 0
C0
n1
Cn
cos
n
l
xdx
l
xdx
0
C0
1 l
l xdx l
0
2
u(x,0) n n
t
Dn
n1
la
cos
l
x0
Dn 0
C0
n1
Cn
cos n
la
t
Dn
sin
n
la
t
cos
n
l
x
u(ux2xu2(,0x0,)ta)2x,t2uu2u(,(lx,xt,)0)0,0,
t
0 x
t0