15推理规则和证明方法-1

推理的形式结构（续）
判断推理是否正确的方法: •真值表法 •等值演算法 •主析取范式法 •观察法
实例（1）
例1 判断下面推理是否正确: (1) 若今天是1号, 则明天是5号. 今天是1号. 所以明天是5号. 解 设 P: 今天是1号, Q: 明天是5号 推理的形式结构为 (PQ)PQ 证明 用等值演算法 (PQ)PQ ((PQ)P)Q ((PQ)P)Q PQQ 1 得证推理正确,即 (PQ)PQ.
实例
例5 构造下面推理的证明
前提: (PQ)R, RS, S, P
结论: Q 证明 用归缪法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ①Q
② RS ③ S ④ R
结论否定引入
前提引入 前提引入 ②③拒取式
实例(续)
⑤ (PQ)R ⑥ (PQ) ⑦ PQ 前提引入 ④⑤析取三段论 ⑥置换
⑧ P
⑨P ⑩ PP
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1.5 推理规则和证明方法
• 1.5.1 推理规则
–推理的前提与结论,正确推理 – 推理规则
• 1.5.2 证明方法
–直接证明法, 间接证明法， –附加前提证明法（演绎定理） 归谬法(反证法)
例子
例（1）若Scott是人，则Scott会死. Scott是人 ∴ Scott会死的 （2）聪明人都使聪明宝. P→Q
前提: A1, A2, …, An
结论: CB
前提: A1, A2, …, An, C(附加前提)
结论: B
理由:
(A1A2…An)(CB) (A1A2…An)(CB) (A1A2…AnC)B (A1A2…AnC)B
实例
例3构造下面推理的证明: 前提: PQ, QR, RS 结论: PS 证明① P 附加前提 ② PQ 前提引入 ③Q ①②析取三段论 ④ Q R 前提引入 ⑤R ③④析取三段论 ⑥ RS 前提引入 ⑦S ⑤⑥假言推理 ⑧PS CP规则 推理正确,PS是有效结论
实例(2)
(2) 若今天是1号, 则明天是5号. 明天是5号. 所以今天是1号. 解 设P: 今天是1号, Q: 明天是5号. 推理的形式结构为 (PQ)QP 证明 用主析取范式法 (PQ)QP (PQ)QP ((PQ)Q)P Q P (PQ)(PQ)(PQ)(PQ) m0m2m3 01是成假赋值, 所以推理不正确. m1 =PQ
实例(续)
前提: (PQ)R, RS, S 结论: PQ 证明 ① RS 前提引入 ② S 前提引入 ③ R ①②拒取式 ④ (PQ)R 前提引入 ⑤ (PQ) ③④拒取式 ⑥ PQ ⑤置换 结论有效, 即明天不是星期一和星期三
CP规则（演绎定理）
欲证明 等价地证明
ABBA
ABAB (AB)(AB)A
推理规则（续）
推理规则 (1) 前提引入规则（规则P）:
在证明的任何步骤上, 都可以引入前提.
(2) 结论引入规则（规则T）:
在证明的任何步骤上，所得到的结论都可以作为后继 证明的前提.
(3) 置换规则:
在证明的任何步骤上，命题公式中的子公式都可以用 与之等值的公式置换，得到公式序列中一个公式.
直接证明法
例2 给出下面推理的证明: 前提: PQ, QR, PS, S 结论: R(PQ) 证明① PS 前提引入 ② S 前提引入 ③ P ①②拒取式 ④ PQ 前提引入 ⑤Q ③④析取三段论 ⑥ Q R 前提引入 ⑦R ⑤⑥假言推理 ⑧ R(PQ) ⑦④合取 推理正确,R(PQ)是有效结论
00 01 10 11
1 1 1 1
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实例（4）
（4）若a是偶数，则a能被2整除. a能被2整除.所以，a是偶 数. 解 设P: a是偶数. Q: a能被2整除. 前提： (PQ) , Q 结论： P 推理的形式结构： (PQ)QP 经观察，易知：01时成假赋值，故该推理不正确.
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推理规则——永真蕴涵式
A (AB) 附加律 (AB) A 化简律 (AB)A B 假言推理 (AB)B A 拒取式 (AB)B A 析取三段论 (AB)(BC) (AC) 假言三段论 (AB)(BC) (AC) 等价三段论 (AB)(CD)(AC) (BD) 构造性二难 (AB)(AB)(AA) B 构造性二难(特殊形式) (AB)(CD)(BD) (AC) 破坏性二难
例 1 若这里有球赛，则通行是困难的。如果他们按时到达， 则通行是不困难的。 他们按时到达了。 所以这里没有球赛。 解：设P:这里有球赛，Q:通行是困难的，R:他们按时到达 则前提：PQ，RQ，R 结论：P 用推理规则证明 步骤 断言 根据 1 R P，前提3 2 RQ P, 前提2 3 Q T，1，2，假言推理 4 PQ P, 前提1 5 P T,3,4 ,拒取式
①⑦析取三段论
前提引入 ⑧⑨合取
推理正确,Q是有效结论
作业 （9月24日）
• P23, 1,2 • P32, --2. (1) --3.(2) --4.(1) --6.(2) --11.(1)(3)(5) --12.（2）（4） --15.（1）
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实例（3）
（3）若a是偶数，则a能被2整除. a是偶数. 所以，a能被2整 除. 解 设P: a是偶数. Q: a能被2整除. 前提： (PQ) , P 结论： Q 推理的形式结构： (PQ)PQ 用真指表法判断此推理： P Q (PQ)PQ 由表可知，推理正确，故 (PQ)PQ
(4) 假言推理规则 AB A \B (5) 加法规则 A \AB (6) 简化规则 AB \A
(7) 拒取式规则 AB B \A
(8) 前提三段论规则 AB BC \AC
推理规则
(9) 析取三段论规则 AB B \A (10)构造性二难推理规则 AB CD AC \BD (11) 破坏性二难推理规则 AB CD BD \AC (12) 合取引入规则 A B \AB
推理的形式结构
形式(1) H1H2…HnC 形式(2) 前提: H1, H2, … , Hn 结论: C 推理正确记作 H1H2…HnC 对于实际中给出的推理: 1. 将推理中的（简单）命题符号化 2. 写出前提和结论 3. 判断该推理是否正确 • 正确：给出一个证明序列 • 不正确：给出反例
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1.5.2 证明方法（P→Q）
• 1. 无义证明法 证明P 是假，那么P→Q是真 • 2. 平凡证明法 • 证明Q是真，那么P→Q是真 • 3. 直接证明法 • 假设P是真，如果能推得Q是真，则P→Q是真
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实例
例2 构造推理的证明: 若明天是星期一或星期三, 我就有课. 若有课, 今天必须备课. 我今天下午没备课. 所以, 明天不是星期一和星期三. 解 设 P:明天是星期一, Q:明天是星期三， R:我有课， S:我备课 前提: (PQ)R, RS, S 结论: PQ
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1.5.1 推理规则
P→Q P Q
P, P→Q推出Q P ∧P→Q永 真蕴含 Q
注：任一永真蕴含式都可作为一条推理规则
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有效结论
定义1.5-1 设H1，H2，…， Hn，C为命题公式， 若 H1H2… Hn C, 则称C是H1,H2,…, Hn的有效结论， 或称由H1H2… Hn 推出C是正确的。 如Q是P→Q，P 的一个有效结论。
(AB)AB (AB)AB A(AB)A, A(AB)A
基本等值式(续)
零律 A11, A00
同一律 排中律
矛盾律 蕴涵等值式 等价等值式
A0A,
AA1 AA0
A1A
ABAB AB(AB)(BA)
假言易位
等价否定等值式 归谬论
推理规则——基本恒等式
• 每一个基本恒等式都派生出两条推理定律. 如双重否定律AA，产生两条推理定律： A A ，A A
基本等值式
双重否定律 AA
幂等律 交换律 结合律
分配律 德摩根律 吸收律
AAA, AAA ABBA, ABBA (AB)CA(BC) (AB)CA(BC) A(BC)(AB)(AC) A(BC) (AB)(AC)
归谬法(反证法)
欲证明 前提：A1, A2, … , An 结论：B 将B加入前提, 若推出矛盾, 则得证推理正确. 理由: A1A2…AnB (A1A2…An)B (A1A2…AnB) 括号内部为矛盾式当且仅当 (A1A2…AnB)为重言式 注： 设公式A1, A2, … , An 的命题变元为P1, P2, … , Pn . 如 果存在某个指派，使得A1∧A2∧…∧An 具有真值T，则称 集合{A1, A2, … , An }是一致的，否则称为非一致的。
P
Q P→Q
Scott没有使用聪明宝.
∴ Scott不是聪明人 ¬P
¬Q
2
（3）设x属于实数。如果x是偶数， 2 则 x 是偶数。
P→Q Q P 推理不正确
x 2 是偶数
∴ x是偶数
(4) 从满黑头发中拔掉一根 头发，则此人还是满黑头发 拔掉一根 ∴ 此人还是满黑头发
P →Q P Q 模糊逻辑推理
注： 推理正确不等于结论为真
结论的真假取决于前提的真假， 前提为真时，结论C为真；前提为假时，结论可能真也可能假。
所以我们说：C是H1,H2,…, Hn的有效结论，而不说是正确结论 的原因
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推理的形式结构
形式(1) H1H2…HnC 形式(2) 前提: H1, H2, … , Hn 结论: C 推理正确记作 H1H2…HnC 注1. 与的区别
即 证P∧ (P→Q) 永真蕴含Q
也就是要证： P∧ (P→Q) →Q 是重言 式. 假言推理 PQ P \Q
设 P∧ (P→Q) 取值为真，则 P为真， 且 P→Q为真，
故 Q为真 故P∧ (P→Q) →Q 是重言式.
如： Q是P，(P Q) 的有效结论。 析取三段论规则 即 P(P Q) →Q 是一个永真式。 PQ P \Ｑ