15推理规则和证明方法-1

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数学中的证明与证明方法

数学中的证明与证明方法数学中的证明是一种重要的推理过程，用于验证数学命题的真实性。

证明方法是指用于构建和推导证明的一套规则和策略。

在数学研究和教学中，证明是一项基本的技能和能力，也是推动数学发展和进步的核心。

本文将探讨数学中的证明与证明方法的关系，以及几种常见的证明方法。

一、数学中的证明证明是数学中的一种基本思维方式，通过逻辑推理和合理的推导，展示命题的正确性和合理性。

数学中的证明通常包括以下几个要素：1. 假设与前提：在证明中，我们需要明确假设和前提条件，它们是构建证明的基础。

根据所要证明的命题不同，假设和前提可以是已经被证明或公认的命题，也可以是一个推测或假设。

2. 推理步骤：在证明过程中，我们需要使用逻辑推理和数学知识进行一系列推导。

推理步骤可以是直接推理、间接推理、反证法、归谬法等。

在每个推理步骤中，我们需要清晰地展示每个推理的合理性和逻辑性。

3. 结论：通过一系列推理步骤之后，我们得到一个结论，它是根据前提和推理得出的新的命题或结论。

结论需要与原命题保持一致，并经过严格的逻辑推导。

二、常见的证明方法1. 直接证明法：直接证明法是最常见的证明方法之一，它通过直接推导和逻辑推理来证明一个命题的真实性。

具体步骤包括假设前提条件成立，通过一系列推理步骤得出结论。

直接证明法通常以"If...then"的形式呈现。

2. 反证法：反证法是一种常用的证明方法，它通过假设命题的反命题成立来推导出矛盾，从而证明原命题的真实性。

反证法通常用于证明存在性的命题，通过假设不存在，然后推导出矛盾的结论来证明存在性。

3. 数学归纳法：数学归纳法是一种证明递推命题的方法。

它分为强归纳法和弱归纳法。

弱归纳法通过证明一个基础情况成立，然后假设在某个条件下命题成立，通过推理证明条件+1时命题依然成立。

强归纳法则可以同时假设所有小于当前条件的情况成立。

4. 构造法：构造法是一种证明方法，通过构造出一个满足条件的具体例子来证明某个命题的存在性。

犯罪学作业—布鲁塞尔博士的15点推理

犯罪学第一次作业解析下面案例中的犯罪现象。

注意：1、字数不得少于600字。

少于此字数者，本次作业以0分计；2、不得在作业中解释如何概念或术语。

违反此条着，作业以0分计。

3、内容表述要正确使用字、词、句，条理要清晰。

作业中出现错字、错词、病句达三处的，或条理明显不清楚的，退回重做，其他要求不变。

每重做一次作业的字数为：上一次作业字数+上一次作业字数x2。

例，第一次重做作业的字数=600+600x2=1800字。

4、作业相同的或相似的，均以0分计并在学院公示作业。

5、必须按时完成并上交作业。

违反此条的，拒收补交作业且本次作业以0分计。

作业期间，因失去行为能力，不能亲手或以叙述的方式完成的，免交作业，此次作业以100分计。

6、本次作业发出时间是2013年5月7日星期二第9-10节课，本次作业上交的截止时间为2013/5/14日16点30分。

布鲁塞尔博士的15点推理这是一个真实的故事，事情发生在纽约。

两颗土炸弹1940年11月16日，纽约爱迪生公司大楼的窗沿上发现一只工具箱。

打开一看，里面装着一根黄铜管，管里塞满了炸药，管外裹着一张纸条，上面写道：爱迪生公司的骗子们，这是给你们的炸弹。

Ｆ。

Ｐ。

（签署）炸弹没有爆炸，但罪犯也没有留下指纹。

几星期后，在爱迪生总公司，又发现一颗土炸弹，它是一只塞满炸药的短统羊毛袜，罪犯留下了同样的纸条。

是谁与爱迪生公司过不去？公司保卫部门查阅它所设立的“公安卡”，发现对公司发出过怨言的人有好几千，从何查起？他们认为，这也许只是想吓唬一下爱迪生公司吧？调查到此为止，也没有对外声张。

1941年，美国卷入太平洋战争。

这件无头案就搁了下来，一拖就是十年。

十年以后1950年圣诞节的前几天，《纽约先驱论坛报》收到一封读者来信。

信发自韦斯特切斯特县，字迹清秀，字体个个大写，上面写道：我是个病人，而且正在为这个病而怨恨爱迪生公司，该公司会后悔他们的卑鄙罪行的。

不久，我还要把炸弹放在剧院的座位上，谨此通告。

命题逻辑的推理理论,证明方法

31
⑨p
前提引入
⑩ pp
⑧⑨合取
推理正确, q是有效结论
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唐存琛刘峰
32
课堂实训
应用实例1 分析下列事实“如果我有很高的收入，那么我就能资助许多贫困学生；如果我能资助许多贫困学生，那么我很高兴；但我不高兴，所以我没有很高的收入。”试指明前提和结论，并给予证明。
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20
归谬法(反证法)的说明
欲证明
前提：A1, A2, … , Ak 结论：B
将B加入前提, 若推出矛盾, 则得证推理正确.
理由: A1A2…AkB (A1A2…Ak)B (A1A2…AkB)
括号内部为矛盾式当且仅当 (A1A2…AkB)为重言式
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12
一、自然推理系统P的定义（续）
3. 推理规则 (1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则 (4) 假言推理规则 (5) 附加规则 (6) 化简规则
(7) 拒取式规则 (8) 假言三段论规则 (9) 析取三段论规则 (10)构造性二难推理
规则 (11) 破坏性二难推理
规则 (12) 合取引入规则
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（5）分情况证明法
为了证明 A1 A2 An B , 只需证明对任意的 i (1 i n) ，均有 Ai B 。
（6）附加前提证明法
为了证明 A1 A2 An A B ,
只需证明 A1 A2 An A B
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逻辑判断推理技巧大全

逻辑判断推理技巧大全一、演绎推理1。

指的是通过一些的前提来论证从而推断出某个结论。

2. 基本原则:头脑清空原则（按人家来，不要按自己的来）题设为真原则（人家题设说的是绝对不可怀疑的)形式统一原则3。

解题步骤：(1）看问题，定题型；（2）看题目,做简化；（3)据技巧,得答案.4. 演绎推理的分类：（1)论证类——加强论证型——减弱论证型(2）结论类—-形式推理结论类:侧重规则的考察——日常推理结论类：侧重脉络的考察(一)形式推理结论类1。

分类：有真有假型;翻译推理型（强调对于肯定确定信息的认识）；排列组合型（匹配型的题型）；集合运算型(很像数学的一种题型）2。

有真有假型：（1）首先看矛盾;其次看包容；然后看反对；最后带题中(实在不行就代入排除法)(2）矛盾关系: 必然一真一假，两者构成整个全集，如生和死；—-A：其矛盾关系为否AA且B：其矛盾关系为否（A且B）即否A或否BA或B：其矛盾关系为否（A或B）即否A且否BA能够推出B：其矛盾关系为A且否B所有:其矛盾关系为有的不必然:其矛盾关系为可能不——即首先要寻找矛盾关系，然后根据题目中的真假结论来得出其他几个关系的真假,从而得出相应的最后答案—-能用在很多地方，不光是在这里.比如说在后来的削弱关系中，矛盾是最强的削弱关系——构成矛盾关系的主体一定相同，这是观察矛盾关系的一个重要判断指标。

（3）包容关系：--当不能发现矛盾关系时,我们就要看包容关系，即寻找看几个关系之间是否存在包容。

——即要寻找包容关系，几个关系如果为包容关系，则他们同时为真或为假(这和矛盾关系刚好相反）,然后根据题目中的真假结论来得出其他几个关系的真假，从而得出相应的最后答案。

-—若A能推出B：则包容关系为若A为真则B为真+若B为假则A为假只有一真，则A必为假——即“一真前假”只有一假,则B必为真——即“一假后真”——所有：则包容关系是能够推出某人、有的A且B:则包容关系是能过推出A（B)、A或者B（4)反对关系：——对于两个“有的"的反对关系，“必有一真”；对于两个“所有”的反对关系，“必有一假”;(5）当题目中有多真多假时，可以利用矛盾或包容或反对关系将其转化为一个真或假再解.3。

精品文档-离散数学(方世昌)-第1章

2
第1章数理逻辑
例 1.1 - 1 下述都是命题: (1) 今天下雪; (2) 3+3=6; (3) 2 是偶数而 3 是奇数; (4) 陈涉起义那天，杭州下雨; (5) 较大的偶数都可表为两个质数之和。
3
第1章数理逻辑
以上命题中，(1)的真值取决于今天的天气; (2)和(3)是真; (4)已无法查明它的真值，但它是或真或假的，故将它归属于命题; (5)目前尚未确定其真假，但它是有真值的，应归属于命题。
6
第1章数理逻辑
从以上分析，我们得出他必须既非说谎也不是讲真话。这样，断言“我正在说谎”事实上不能指定它的真假，所以不是命题。这种断言叫悖论。
若一个命题已不能分解成更简单的命题，则这个命题叫原子命题或本原命题。例1.1 - 1中(1)、(2)、(4)、(5)都是本原命题，但(3)不是，因为它可写成“2 是偶数”和“3 是奇数”两个命题。
译为P∧Q，但“林芬和林芳是姐妹”就不能翻释成两个命题的合
取，它是一个原子命题。
34
第1章数理逻辑
1.1.3 命题变元和命题公式通常，如果P代表真值未指定的任意命题，我们就称P为命题
变元; 如果P代表一个真值已指定的命题，我们就称P为命题常元。但由于在命题演算中并不关心具体命题的涵义，只关心其真假值，因此，我们可以形式地定义它们。
以“真”、“假”为其变域的变元，称为命题变元; T和F称为命题常元。
35
第1章数理逻辑
习惯上把含有命题变元的断言称为命题公式。但这样描述过于表面，它没能指出命题公式的结构。因为不是由命题变元、联结词和一些括号组成的字符串都能成为命题公式，因此在计算机科学中常用以下定义。
单个命题变元和命题常元叫原子公式。由以下形成规则生成的公式叫命题公式(简称公式):

第一章逻辑与证明(2)

15
NEC-DM
p
T T T F T F F F
q
T T F T F T F F
r
T F T T F F T F
q∨r
p → (q∨r)
¬q
¬r
¬p
p → (q∨r) ¬q ¬r _________ ¬p
注意到：当p → (q∨r) ，¬q ， ¬r 三个命题都为T的时候，¬p也为T，因此本论证有效。
NEC-DM
例
假设d、d1、d2 和x 是任意实数 if d=min(d1,d2) and x ≤d then x ≤d1 and x ≤d2 证明：根据min 的定义可以推出d ≤ d1 并且d ≤ d2。依x ≤ d 并且d ≤ d1，可以根据前面的定理（例 1.5.5 的第二个定理）推出x ≤ d1。由于x ≤ d 并且d ≤ d2，可以根据前面的同一个定理推出 x ≤ d2。因此，x ≤ d1 并且x ≤ d2。
2
NEC-DM
1.5.2 命题逻辑的有效论证
从一系列前提得出结论的方法称为演绎推理。前提：已知的命题系列结论：由假设得出的结论
结论从前提导出结论为真任何论证过程都有形式：如果p1并且p2并且…并且pn, 则q。论证有效在于形式不在于内容
3
NEC-DM
定义
一个论证过程是一系列的命题， p1,p2,…,pn/∴q p1,p2,…,pn称为前提，命题q是结论如p1,p2,…,pn全为真，则q也必为真，那么论证有效；否则论证过程是无效的
假设３段论
p q pq
析取３段论
化简
附加
pq p
p pq
pq qr pr
pq p q
8

数学一轮复习第15章推理与证明试题2理

第十五章推理与证明1.[2020安徽省示范高中名校联考]某校高一年级组织五个班的学生参加学农活动，每班从“农耕”“采摘”“酿酒”“野炊”“饲养”五项活动中选择一项进行实践，且各班的选择互不相同。

已知1班既不选“农耕",也不选“采摘”;2班既不选“农耕"，也不选“酿酒”；3班既不选“野炊”,也不选“农耕”;5班选择“采摘"或“酿酒”；如果1班不选“酿酒"，那么4班不选“农耕”。

则选择“饲养”的班级是（)A。

2班 B.3班C。

4班D。

5班2。

［2020河南省实验中学模拟]在平面几何中有射影定理：在三角形ABC中,AB⊥AC，D是点A在BC上的射影,则AB2=BD·BC。

拓展到空间，在三棱锥A—BCD中，AD⊥平面ABC,点O是点A 在平面BCD内的射影,且O在△BCD内，类比平面三角形中的射影定理,得出的正确结论是(）A.S△ABC2=S△BCD·S△BCOB。

S△ABD2=S△BCD·S△BCOC.S△ADC2=S△DOC·S△BOCD。

S△BDC2=S△ABD·S△ABC3。

［2020安徽模拟］观察图15-1中各正方形图案,记第n个图案中圆点的总数为S n.按此规律推出S n与n的关系式为(）A.S n=2nB.S n=4nC。

S n=2n D.S n=4n—44.[2020江西模拟］用反证法证明命题“若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0,a，b，c∈Z)有有理根,那么当a,b，c中至少有一个是偶数”时,下列假设正确的是（)A。

假设a，b，c都是偶数B。

假设a，b,c都不是偶数C.假设a，b，c至多有一个偶数D.假设a,b,c至多有两个偶数5。

某市为了缓解交通压力,实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行.某公司有A，B,C,D，E五辆车,每天至少有四辆车可以上路行驶。

1.5 推理规则与证明方法

7
NUIST
3 主析取范式法
((P→¬ ((P→¬Q)∧P)→ ¬Q ((¬P∨¬ ⇔((¬P∨¬Q)∧P)→ ¬Q ⇔(P∧Q)∨ ¬P∨ ¬Q (P∧Q)∨(¬P∧(Q∨ (Q∨¬ (P∨¬P)∧ ⇔(P∧Q)∨(¬P∧(Q∨¬Q) )∨( (P∨¬P)∧¬Q) (P∧Q)∨(¬P∧Q)∨(¬P∧¬Q)∨(P∧¬Q)∨(¬P∧¬ ⇔ (P∧Q)∨(¬P∧Q)∨(¬P∧¬Q)∨(P∧¬Q)∨(¬P∧¬Q) ⇔ (¬P∧¬Q)∨(¬P∧Q)∨(P∧¬Q)∨(P∧Q) P∧¬Q)∨(¬P∧Q)∨(P∧¬ ⇔ ∑(0,1,2,3 ) 因而 (*) 是永真式，推理正确。，
12
NUIST
1. 直接证明法
例1-5-3 检验下列推理的有效性。如果马会飞或羊吃草，则母鸡就会是飞鸟；如果母鸡是飞鸟，那么煮熟的鸭子还会跑；煮熟的鸭子不会跑，所以羊不吃草。解：设P：马会飞。 Q：羊吃草。 R：母鸡是飞鸟。S：煮熟的鸭子会跑则前提为：(P∨Q)→R ， R→S ，¬S 结论为：¬Q 推理的形式结构为： ((P∨Q)→R)∧(R→S)∧(¬S)→ ¬Q
17
NUIST
课内练习 1-5-1 证明推理：P→(Q→R)，Q→(R→S)⇒ P→(Q→S) P→(Q→R)， P→(Q→R) Q→(R→S)⇒ 分析：由CP规则 P→(Q→R)，Q→(R→S)⇒ P→(Q→R)，Q→(R→S)⇒ P→(Q→S) 等价于 P→(Q→R)，Q→(R→S)， P→(Q→R)，Q→(R→S)，P ⇒ Q→S 再由CP规则，等价于 P→(Q→R)，Q→(R→S)，P，Q ⇒ S P→(Q→R)，Q→(R→S)，
18
NUIST
证明：证明： (1) P (2) P→(Q→R) (3) Q→R (4) Q (5) R (6) Q→(R→S) (7) R→S (8) S (9) P→(Q→S) 规则，由CP 规则，有： P→(Q→R)，Q→(R→S)⇒ P→(Q→R)，Q→(R→S)⇒

高中数学推理证明题的常用证明方法及实例解析

高中数学推理证明题的常用证明方法及实例解析在高中数学中，推理证明题是一种常见的题型，要求学生运用已知的条件和基本的数学知识，通过逻辑推理和证明方法来得出结论。

这类题目不仅考察学生的数学思维能力，还培养了学生的逻辑思维和分析问题的能力。

本文将介绍一些常用的证明方法，并通过具体的题目解析，帮助读者更好地理解和应用这些方法。

一、直接证明法直接证明法是最常见的证明方法之一，它通过逻辑推理和运用已知条件来得出结论。

具体步骤如下：1. 首先，我们要明确问题的要求，即要证明的结论是什么。

2. 其次，我们要分析已知条件，找到与结论相关的条件和信息。

3. 然后，我们要根据已知条件和结论，通过逻辑推理和数学运算，一步一步地推导出结论。

4. 最后，我们要对证明过程进行总结，确保每一步的推理都是合理的，并且符合数学规律。

下面通过一个具体的例子来说明直接证明法的应用。

【例题】已知：直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=BC。

证明：∠ABC=45°。

【解析】根据已知条件，我们可以得到∠B=90°和AB=BC。

接下来，我们通过直接证明法来证明∠ABC=45°。

由于∠B=90°，所以∠ABC+∠BCA=90°。

（三角形内角和定理）又因为AB=BC，所以∠BCA=∠ABC。

（等腰三角形的性质）将上述两个等式带入∠ABC+∠BCA=90°中，得到∠ABC+∠ABC=90°。

化简得到2∠ABC=90°，即∠ABC=45°。

因此，我们通过直接证明法证明了∠ABC=45°。

二、间接证明法间接证明法是一种通过反证法来证明结论的方法。

它假设结论不成立，然后通过逻辑推理推导出矛盾的结论，从而反驳了假设，证明了结论的正确性。

具体步骤如下：1. 首先，我们要明确问题的要求，即要证明的结论是什么。

2. 其次，我们要假设结论不成立，即假设反面命题成立。

推理理论推理规则

(A1 ∧A2∧…∧An ) →B ~(A1 ∧A2∧…∧An ∧~ B)
则如果A1 ,A2,…,An,~ B不相容，则说明B是A1 ,A2,…,An的逻辑结论。
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例：构造下面推理的证明
p→(~(r∧s)→~q), p, ~s⇒~q
①p→(~(r∧s)→~q)
前提
②p
前提
③~(r∧s)→~q
当谓词与一个个体相联系时，刻划了个体性质；当与两个或两个以上个体相联系时，刻划个体之间的关系。
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谓词常项、谓词变项
谓词常项：表示具体性质和关系的谓词；表示特定的谓词。
用F，G，H，…表示
谓词变项：表示抽象或泛指的谓词；表示不确定的谓词。
也用F，G，H，…表示
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P(x) ：变元x满足某种性质称P(x)为一元谓词,或一元关系 Q(x,y) 二元谓词或二元关系 R(x,y,z) 三元谓词或三元关系由一个谓词(如P)和n个个体变元如(x1,x2,……,xn)组成 P(x1,x2,……,xn ) ，称为n元原子谓词或n元命题函数，简称n元谓词。
使用量词注意事项(6-2、3）
2. 如果事先没有给出个体域，都应以全总个体域为个体域。
3. 在引入特性谓词后，使用全称量词与存在量词符号化的形式是不同的。
32
例题
例：每个自然数都是实数引入特性谓词N(x)：x是自然数 R(x)：x是实数
∀x(N(x) →R(x)) 例：有的有理数是整数引入特性谓词R(x)：x是有理数 G(x)：x是整数
1
推理规则
3. 置换规则：在证明的任何步骤上，命题公式中的任何子命题公式都可以用与之等值的命题公式置换。在以下的推理规则中，用A1, A2,…, Ak ╞B表示B是A1, A2,…, Ak的逻辑结论，在证明的序列中，若已有A1, A2,…, Ak ，则可引入B.根据8条推理定律可得下面推理规则：

推理的形式结构

并称B为有效的结论。
2024/3/18
2
说明：
1)前提A1, A2, … , Ak无次序，
2）推理的形式结构: A1A2…AkB
或
前提： A1, A2, … , Ak
结论： B
3）若推理正确，则记作：A1A2…AkB
2024/3/18
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4) (1) A1A2…Ak为0,B为0;
(2)结论引入规则（Ｔ规则）: 在推导过程中, 前面已推导出的有效结论（“中间
结果”）都可作为后续推导的前提引入。
(3)置换规则（等值式）:在证明的任何步骤,命题公式中的子公式都可以用等值的
公式置换。得到公式序列中的又一个公式。(P21-P22)
(4)假言推理规则(或分离规则):若证明的公式序列中已出现过A→B和A,则由假言
构造性二难推理
9. (A → B) ∧ (C → D) ∧ ( B ∨ D) (A ∨ C)
破坏性二难推理
2024/3/18
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说明：
1)把具体的命题公式代入某条推理定律后就得到这条推理定律的一个代入
实例。且都是重言式。例如 ppq（代入1附加律AA B）,
pq (pq) r （代入1）,p p
用构造证明时, 采用——前提: A1, A2, … , Ak, 结论: B.
2024/3/18
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例1 判断下面推理是否正确
(1) 若今天是1号，则明天是5号。今天是1号，所以明天是5号。
设 p：今天是1号，q：明天是5号。推理的形式结构为: (pq)pq
证明：（用等值演算法）
(pq)pq
• 解:
① ∨
②→
P
T,①置换(蕴含等价式)
③ ∨

1.5推理规则和证明方法

离散数学Discrete Mathematics数理逻辑 1.5 推理规则与证明方法张晓西北工业大学计算机学院 zhangxiao@ 2011-1-10引言什么时候数学论证是正确的？用什么方法来构造数学论证？数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究推理过程。

所谓推理是指从前提出发推出结论的思维过程前提是已知命题公式集合，结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。

要研究推理就应该给出推理的形式结构，为此，首先应该明确什么样的推理是有效的或正确的。

2011-1-10离散数学21.5.1推理规则前几节所讲的命题演算, 本质上和简单的开关代数一样, 简单的开关代数是命题演算的一种应用。

现在, 我们从另一角度研究命题演算, 即从逻辑推理角度来理解命题演算。

2011-1-10离散数学34个推理的例子设x属于实数, P: x是偶数, Q: x2是偶数。

例1 如果x是偶数, 则x2是偶数。

前提 x是偶数。

x2是偶数。

例2 如果x是偶数, 则x2是偶数。

x2是偶数。

2011-1-10P→Q P结论∴Q在每一例子中, 横线上的是前提, 横线下的是结论。

右侧是例子的逻辑符表示。

P→Q Qx是偶数。

离散数学∴P4例3 如果x是偶数, 则x2是偶数。

x不是偶数。

x2不是偶数。

例4 如果x是偶数, 则x2是偶数。

x2不是偶数。

x不是偶数。

2011-1-10 离散数学P→Q P ∴ QP→Q Q ∴ P5例 1 中, 若不管命题的具体涵义, 那么它所应用的推理规则就是左侧规则的另一P →Q P ∴ Q种写法所对应的永真蕴含式。

P ,P → Q 推得 QP∧(P→Q) ⇒ Q从这个永真蕴含式可看出, 它正是代表“如果 P 并且 P→Q 是真, 则 Q是真”的意义, 这里P和Q表示任意命题。

它恰好代表左侧的推理规则。

这条推理规则叫假言推理, 从形式上看结论Q是从P→Q中分离出来的, 所以又叫分离规则。

命题逻辑推理理论

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三、归谬法(反证法)
欲证明前提：A1, A2, … , Ak 结论：B 将B加入前提, 若推出矛盾, 则得证推理正确. 理由: A1A2…AkB (A1A2…Ak)B (A1A2…AkB) 括号内部为矛盾式当且仅当 (A1A2…AkB)为重言式
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实例
例1 判断下面推理是否正确: (1) 若今天是1号, 则明天是5号. 今天是1号. 所以, 明天是5号. 解设 p: 今天是1号, q: 明天是5号推理的形式结构为 (pq)pq 证明用等值演算法 (pq)pq ((pq)p)q ((pq)p)q pqq 1 得证推理正确
思考：格式中应包含哪些？ 1) 步骤号 2) 给定前提或得出的结论 3) 推理时所用规则 4) 此结论是从哪几步得到的及所用公式
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实例
例3 构造推理的证明: 若明天是星期一或星期三, 我就有课. 若有课, 今天必需备课. 我今天下午没备课. 所以, 明天不是星期一和星期三.
解设 p:明天是星期一, q:明天是星期三，
1. A (AB) 附加律 2. (AB) A 化简律 3. (AB)A B 假言推理 4. (AB)B A 拒取式 5. (AB)B A 析取三段论 6. (AB)(BC) (AC) 假言三段论 7. (AB)(BC) (AC) 等价三段论 8. (AB)(CD)(AC) (BD) 构造性二难 9. (AB)(AB) B 构造性二难(特殊形式) 10. (AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
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实例(续)
(6)某女子在某日晚归家途中被杀害，据多方调查确证，凶手必为王某或陈某，但后又查证，作案之晚王某在工厂值夜班，没有外出，根据上述案情可得前提： 1.凶手为王某或陈某。 P∨Q 2.如果王某是凶手，则他在作案当晚必外出 P→R 3.王某案发之晚并未外出。 ┐R 结论：陈某是凶手。 Q 则可描述为： (P→R)┐R┐P (拒取式) (P∨Q)┐PQ (析取三段论)

真值表推理规则证明方法

第四章数学命题的数学设计一、真值表1、否定（非）：, 设P为一个命题，称P为P的否定式，记作p，其真值表如2、合取：设p,q表示两个命题，用逻辑联结词“与”把它们连接起来成为一个新命题“p与q”，记作qp∧。

真值表如下：3、析取：设p,q表示两个命题，用逻辑联结词“或”把它们连接起来成为一个新命题“p或q”，记作qp∨。

真值表如下：4、蕴涵（如果、、、那么、、、）：设p,q表示两个命题，用“如果、、、那么、、、”把它们连接起来成为一个新命题“如果p,那么q”，记作qp→。

真值表如下：5、当且仅当（等价式）：设p,q 表示两个命题，把q p ↔称为p,q 的等价式，其真值表如下真值表的作用证明重言式、两个命题等价，解决逻辑推理问题例1 q p q p ∨≡∧例2 q p q p ∨≡→其真值表如下：三、推理规则1、合取规则：p 为真q 为真, q p ∧也为真。

2、分离规则：q p →为真，p 为真，q 也为真（充分条件假言规则）。

3、全称命题为真，则特称命题也为真。

4、r p ,,→→→则r q q p 。

5、是恒真命题r p r q q p ↔→↔∧↔)()(。

6、q(T) (T) p q(T)p ↔7、qp p q q p ↔→→8、(T)p (T) )(q T q p →（否定规则）9、pq q p →→10、(T)q (T) )(p T q p ∨（选言规则）11、qqp p q p ∧∧或（联言规则）12、三段论：推理形式为如果M 是P,S 是M,那么S 是P 。

它的逻辑式为：)()()(P S M S P M →→→∧→。

由真值表可知：)()()(P S M S P M →→→∧→1≡是恒真命题。

凡是恒真命题（重言式）都可作为推理规则。

前面提到的分离规则1)(≡→∧→q p q p ，选言规则1)(≡→∧∨q p q p ，联言规则1)(≡→∧p q p ，也都是恒真命题。

分别证明如下：11)()(31)()()()(21)()()()()(1≡∨≡∨∨≡∨∧≡→∧≡∨∨∨≡∨∧∨≡→∧∨≡∨∨∨≡∨∧∨≡∧∨≡→∧→q p q p p q p p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p p q p q q p 、、、四、证明方法1、直接证明：直接从所给论题入手，以公理、定义、定理等为论据，运用逻辑推理规则来论证论题为真的证明方法。

1.5推理规则和证明方法-1

31
归谬法(反证法)
欲证明前提：A1, A2, … , An 结论：B 将B加入前提, 若推出矛盾, 则得证推理正确. 理由: A1A2…AnB (A1A2…An)B (A1A2…AnB) 括号内部为矛盾式当且仅当 (A1A2…AnB)为重言式注：设公式A1, A2, … , An 的命题变元为P1, P2, … , Pn . 如果存在某个指派，使得A1∧A2∧…∧An 具有真值T，则称集合{A1, A2, … , An }是一致的，否则称为非一致的。
ABBA
ABAB (AB)(AB)A
推理规则（续）
推理规则 (1) 前提引入规则（规则P）:
在证明的任何步骤上, 都可以引入前提.
(2) 结论引入规则（规则T）:
在证明的任何步骤上，所得到的结论都可以作为后继证明的前提.
(3) 置换规则:
在证明的任何步骤上，命题公式中的子公式都可以用与之等值的公式置换，得到公式序列中一个公式.
00 01 10 11
1 1 1 1
29
实例（4）
（4）若a是偶数，则a能被2整除. a能被2整除.所以，a是偶数. 解设P: a是偶数. Q: a能被2整除. 前提： (PQ) , Q 结论： P 推理的形式结构： (PQ) Q P 经观察，易知：01时成假赋值，故该推理不正确.
30
(AB)AB (AB)AB A(AB)A, A(AB)A
基本等值式(续)
零律 A11, A00
同一律排中律
矛盾律蕴涵等值式等价等值式
A0A,
AA1 AA0
A1A
ABAB AB(AB)(BA)
假言易位
等价否定等值式归谬论
(4) 假言推理规则 AB A \B (5) 加法规则 A \AB (6) 简化规则 AB \A

蕴含公式

矛盾
故论证有效。
练习在意甲比赛中，假如有四只球队，其比赛情况如下：
如果国际米兰队获得冠军，则AC米兰队或尤文图斯队获得亚军；若尤文图斯队获得亚军，国际米兰队不能获得冠军；若拉齐奥队获得亚军，则 AC米兰队不能获得亚军；最后，国际米兰队获得冠军。所以，拉齐奥队不能获得亚军。
证明首先将命题符号化，设 P：国际米兰队获得冠军； Q：AC米兰队获得亚军； R：尤文图斯队获得亚军； S：拉齐奥队获得亚军；则原命题可符号化为：前提：P→（Q∧R）∨ （Q∧R）， R→P，S→Q，P 结论：S
（注意：一般以分号“；”或句号“。”表示一个完整独立的前提语句）
解首先将命题符号化。设 P：马会飞； Q：羊吃草； R：母鸡是飞鸟； S：烤熟的鸭子还会跑；则上述命题符号化为：前提：P∨QR，RS，S；结论：Q。
证明： (1) S (2)RS (3)R (4)P∨QR (5)(P∨Q) (6)P∧Q (7)Q
前提：p∨Q T (2)T (3)S
P P T(1)(2)I12 P T(3)(4)I11 假言推论拒取式
(4)S R
(5) R
(6) P R
P
T(5)(6)I12 P T(7)(8)I10 拒取式
(7 )P
(8) P Q
P Q P Q
Q R
Q R
R (P Q) R ( P Q)
推理过程如下：
(1) P Q (2)Q R
(3) P R (4) R (P Q)
P P T(1)(2)I13
P Q P Q
Q R
Q R
P
T(3)(4)I13 T(5)E11

2021_2022年高中数学第二章推理与证明1

面向量的数量积，“若a·b＝0，b≠0，则a＝0”．
④平面上，“在△ABC 中，∠ACB 的平分线 CE 将三角形分成两部分的面积比SS△ △ABEECC＝ABCC”，将这个结论类比到空间中，有“在三棱锥 A－BCD 中，平面 DEC 平分二面角 A－CD－B，且与 AB 交于点 E，则平面 DEC 将三棱锥分成两部分的体积比 VA－CDE＝S△ACD”． VB－CDE S△BDC
• 1．类比推理 • 由两类对象具有某些__类__似____特征和其中一类对象的某些
_已__知__特__征_____，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由__特__殊____到 __特__殊____的推理． • (1)类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果；
牛刀小试
• 1．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“ 锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了( )
• A．归纳推理
B说法都不对
• [答案] B
• [解析] 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．
• [解析] 圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性．据此，在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应关系：
• 弦 ↔ 截面圆， • 直径 ↔ 大圆， • 周长 ↔ 表面积， • 圆面积 ↔ 球体积， • 等等．于是，根据圆的性质，可以猜测球的性质如下表所示：
圆的性质
圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦
cos2A＋cos2B＝bc2＋ac2＝a2＋c2 b2＝1.

逻辑学证明题

第四章P101十二、根据对当关系，回答以下问题。

1. 证明：当A 真时，根据反对关系，则E 假；E 假，根据矛盾关系，则I 真。

所以，A 真时，I必真，（即全称真，特称真）。

当I 真时，根据矛盾关系，则E 假；E 假，根据反对关系，则A 真假不定。

所以，I 真时，A 真假不定，（即特称真，全称真假不定）。

当A 假时，根据反对关系，E 真假不定；E 真假不定，根据矛盾关系，则I 也真假不定。

所以，A 假时，I 真假不定，（全称假，特称真假不定）。

当I 假时，根据矛盾关系，则E 真；E 真，根据反对关系，则A 假。

所以，I 假时，A假，（特称假，全称真假不定）。

同理可得E 与O 之间的真假关系。

由上可知，由矛盾关系和反对关系可证明从属关系。

2. 证明：当A 真时，根据矛盾关系，则O 假；O 假，根据下反对关系，则I 真；I 真，根据矛盾关系，则E 假。

所以，A 真时，E 必假。

当E 真时，根据矛盾关系，则I 假；I 假，根据下反对关系，则O 真；O 真，根据矛盾关系，则A 假。

所以，E 真时，A 必假。

由此可知，A 和E 不能同真。

当A 假时，根据矛盾关系，则O 真；O 真，根据下反对关系，则I 真假不定；I 真假不定，根据矛盾关系，则E 真假不定。

所以，A 假时，E 真假不定。

当E 假时，根据矛盾关系，则I 真；I 真，根据下反对关系，则O 真假不定；O 真假不定，根据矛盾关系，则A 真假不定。

所以，E 假时，A 真假不定。

由此可知，A 和E 可以同假。

因此，由矛盾关系和下反对关系可以证明反对关系。

3. 不能。

4. 不能。

P106二十一、证明题。

1. 证明：假设其小前提是否定命题，则结论必否定，大项在结论中周延，那么大项在前提中必周延，而已知大前提是特称命题，大项若要在大前提中周延则大前提只能是特称否定命题，这样两个前提都是否定的，违反规则，所以假设不成立，其小前提必须是肯定命题。

又因为两个特称前提不能得结论，所以大前提只能是全称肯定命题。

数学推理方法

数学推理方法在数学领域中，推理方法是解决问题的重要手段之一。

数学推理方法的正确运用，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，提高解决问题的效率和准确性。

下面，我们将介绍几种常见的数学推理方法。

首先，我们来谈谈数学归纳法。

数学归纳法是一种证明方法，它通常用于证明某种性质对于一切自然数都成立。

其基本思想是，首先证明当n=1时性质成立，然后假设当n=k时性质成立，通过这个假设证明当n=k+1时性质也成立。

这种方法常用于证明数列的性质和等式的成立，是数学中常用的一种重要推理方法。

其次，我们来谈谈数学归结法。

数学归结法是一种反证法，它通常用于证明某个命题的否定是错误的。

其基本思想是，假设命题的否定成立，然后通过推理推出一个矛盾结论，从而证明原命题成立。

这种方法常用于证明某些数学定理和命题的正确性，是数学中常用的一种重要推理方法。

另外，我们还有数学演绎法。

数学演绎法是一种由已知推出结论的推理方法。

其基本思想是，根据已知条件和一些逻辑推理规则，通过一系列推理步骤得出结论。

这种方法常用于证明几何定理和数学定理，是数学中常用的一种重要推理方法。

最后，我们来谈谈数学逆推法。

数学逆推法是一种由结论推出已知条件的推理方法。

其基本思想是，假设结论成立，然后通过逆向推理得出已知条件。

这种方法常用于解决逆向问题和证明逆向定理，是数学中常用的一种重要推理方法。

综上所述，数学推理方法包括数学归纳法、数学归结法、数学演绎法和数学逆推法等多种形式。

这些推理方法在数学领域中有着广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，提高解决问题的效率和准确性。

希望大家能够灵活运用这些数学推理方法，提升自己的数学推理能力。