机电系统动态特性数学模型讲解

Va (S) Ke m (S) (Ra La S)I a (S)


KI Ia (S) JeS m (S) Be m (S) nM L (S)

K I I a (S) nM L (S) (J e S Be ) m (S)
由此可作出，输入、输出的闭环控制系统方块图：
名称
符号
方程
能量或功率
广义方程
质量
V2
F m dV2
F
V1
m
ref
2
1
dt
V 21

1 m
t
0 Fdt (V21 )0
K

1 2
mV22
f C dV21
dt
惯量
V2
T ω2 2
J
ω1 1
ref
T J d2
dt
21

1 J
t
0 Tdt (21)0
K

1 2
J
R iC
1
3
2
VR
VC
V13
V13 VR VC
VR iR
VC

1 C
t
0
idt

(V21
) 0
1
C
t
0 idt (V21 )0 iR V13
R di i dV13 dt C dt
机械网络(机械系统)
(1)达朗贝尔原理
含义:作用在物体上的全 部力平衡且总和为零.
(JeS Be )( Ra LaS ) (JeS Be )( Ra LaS ) (JeS Be )( Ra LaS )
[
KI Ke

1] m (S)
KIVa (S )
(JeS Be )( Ra LaS )
(JeS Be )( Ra LaS )
(JeS

（2）电气网络
Ra
ia
La
+
rs
θ s ML
+
Lf
Mm Jm θ m
JL
Va
Vf
Rf
Ja
rm
BL
+
Bm
+
动力学方程： Va

Ra Ia

La
dIa dt

ke m
； k e ——电势常数
电气网络方程与机械网络方程连接是通过能量守恒定律得到的，即电磁
转矩恒等于机械转矩。即： M m K I I a ； k I ——力矩常数
KI
Va (S ) (Ra La S )( J e S Be ) K I Ke

m (S)
推导:
1 J e S Be
KI
Ra
1 La
S
[Va
(
S
)

K
e


m
(
S
)]


KIVa (S ) KI Ke m (S )
KIVa (S )

KI Ke m(S)
f

1 R
V21
P

1 R
V221
P (V221 ) R
V21 Ri
2、机电系统元件的连接原则
电的系统（电网络） 机械系统（机械网络）
电的系统（电网络）
iC C i
iC
1 iR R
2
i iC iR 0 i iC iR
iC
C
dV12 dt
iR
V12 R
C dV12 V12 i dt R

KIVa (S ) JeS (Ra LaS )
KI Ke

(Ra JeS (Ra
LaS)nM L (S) LaS ) KI Ke
（1） 稳定情况：
在阶跃Va (t) 的作用下：

m

1 Ke
Va

nM L Ra KI Ke
(M L 常数)

M * 当系统要求的最小速度为 m min 为已知时， L 为一定，则可选项电机灵敏度电压
当电流i相似于F时
C dV12 V12 i dt R
V
F
L
m
1
R
b
1
C
K
当电压V相似于F时 m dV bV F dt
F
i 1
机电系统的相似性(2)
结构
方程式
V
m1 b
C
i
R
2
m dV bV F dt
V 0(t 0 )
C dV V i dt R
时间常数
m
b
RC
1
2 RL
3
V1 V2 F
12
V3 F
3
V 0(t 0 )
L di Ri V dt
i 0(t 0 )
1 dF F V K dt b
F 0(t 0 )
L
R b
K
电
结构
方程式
时间常数
网 络 与 机 械 网 络 的 相
R iC
1
2
iC 3
故有： Va

Rn Ia
La
dIa dt

ke m


KI Ia Je m Be m nM L
对以上两式进行拉氏变换：
Va

Rn Ia

La
dIa dt

ke m


KI Ia Je m Be m nM L

Va (S) Ra Ia (S) La SIa (S) Ke m (S)
.
θ m(S)
KI
1/JeS+Be
Ke
Va(S) +-
Ia(S) 1/Ra+LaS
Mm(S) - nML(S)
.
θ m(S)
KI
1/JeS+Be
Ke

本系统为双输入 Va (S ) M L (S) ，单输出 m (S) ，可利用线性叠加原理
求解，当输出 M L (S) 0 时：

m (S)
l

1 2
Lf
2
V21

L
di dt
名称 阻尼
旋转阻尼 电阻
符号
V2 V1
F F
2 b1
T ω2 ω1
T
2 B1
i 2 V2 R V1 1
方程
F bV21
V21

F b
T B21
21

1 B
T
1 i R V21
能量或功率
广义方程
P bV221 V21 Rf
P

B
2 21
Fm F
m
Fb
b
V Vm Vb
F Fm Fb
Fm

m dV dt
Fb bV
m dV bV F C dV12 V12 i
dt
dt R
（2）空间连续律
含义:绕任意一个机械回路的全部位移或速度和必须为零.
F Fm Fb
Vb Vm F
1b 2 m
F F Vm

第四章 机电系统的动态模型及传递函数
机电系统原理简化图 机电系统动力学方程和传递函数
第一节 机电系统原理简化图
机电系统的动力学必须包括以下三方面内容： （1）系统的物理描述； （2）系统运动微分方程的推导； （3）符合所关心的运动条件的方程解。
1、元件方程 （1）系统元件的分类
a. 能源（力、电压或电流）； b. 能量储存元件（质量、惯量、弹簧；电容电压、电 感电流）； c. 能量消耗元件（阻尼、电阻）； d. 能量变换元件（电动机、发电机）； e. 能量传输和调节元件（传动机构、执行机构、导线、 增力机构、放大器等）。
1 m
bt
m
0 Fdt (V23 )0
V Vm Vb
Vb

F b
F
b
1 m
t
0
Fdt

(V23
) 0
V
1 dF F dV R di i dV13 b dt m dt dt C dt
电网络与机械网络的相似性（1）
电网络 机械网络
电网络 机械网络
i
F
1
R
b
C
m
L
1
K
S
2
Tm S
1 =0 的根，则： S 2
Bm
+
图中： J a ——电动机转动惯量； J m ——电动机侧转动惯量；
J L ——负载转动惯量。 Bm ——电动机侧阻尼系数； BL ——负载侧的阻尼系数；
M m ——电动机侧的转矩； M L ——负载侧转矩；n——减速比，n

rm rs
。
Ra
ia
La
+
rs
θ s ML
+
Lf
Mm Jm θ m
V1 V2
F 1b
2
m
i
R
i
R di i dV dt C dt
i

V |0 R
(t

0
)
1 dF F dV b dt m dt
F bV |0 (t 0 )
1 dV V dV R dt L dt
V Ri |0 (t 0 )
RC m
b
L
R
似 ）

(1/ Ke )Va (S ) TM Te S 2 Tm S
1

nM
L
(S )(Tm S TM Te S 2
1)Ra Tm S
/(K 1
I
K
e
)
（特性方程）
式中： TM

Te Ra KI Ke
——机电时间常数； Te

La Ra
——电枢回路时间常数。

m(S)
m (S)
1) Ra TmS
/(KI 1
Ke
)
动态情况只考虑电压Va (S ) 的应用，（因为从特性方程可以看出，Va (S ) 的变化影响
理想空载转速，而后一项只影响斜率）
即：

m (S)

(1/ K e )Va (S ) TM Te S 2 Tm S 1

显然：
m
(S
)
决
定于
TM
Te
Be )( Ra

LaS )

KI
Ke


m
(S)

KIVa (S )
(JeS Be )( Ra LaS )
(JeS Be )( Ra LaS )
Va(S) +-
Ia(S) 1/Ra+LaS
Mm(S) - nML(S)
.
θ m(S)
KI
1/JeS+Be
Ke

当 Va
(S)

0
时：
.
.
由于： s n m ，故有
..

.
..
.
M m (Ja Jm n2 J L ) m (Bm n2BL )m nM L Je m Be m nM L
J J J n J2
式中： e
a
m
L ——等效到电机轴上的转动惯量；
Be Bm n 2 BL ——等效到电机轴上的阻尼系数；
Va m in 。

** 当系统要求的最大速度为 m max 时，则可选电机线性范围内的最大允许电压
Va,max 。
由此可见，系统的静态特性与机电参数都有关。
(2) 动态情况：


m (S )
Βιβλιοθήκη Baidu

(1/ Ke )Va (S) TMTeS 2 TmS 1

nM
L
(S )(Tm S TMTeS 2
JL
Va
Vf
Rf
Ja
rm
BL
+
Bm
+
n
Mm
Ja+Jm
JL
ML
Bm
BL
Ra
ia
La
+
rs
θ s ML
+
Lf
Mm Jm θ m
JL
Va
Vf
Rf
Ja
rm
BL
+
Bm
+
n
Mm
Ja+Jm
Bm
JL
ML
BL
动力学方程
.
.
Mm
(Ja

J
m
)
dm
dt
.
Bm m n[J L
ds
dt
.
BL s M L ] 0


Va (S) Ke m (S) (Ra LaS)Ia (S) K I I a (S) nM L (S) (J e S Be ) m (S)
Va(S)
Ia(S) 1/Ra+LaS
+-

Va (S) Ke m (S) (Ra La S)I a (S)
Mm(S) - nML(S)
m (S)
M L (S)

(Ra

(Ra La S)n La S )( J e S Be )

KI
Ke
当系统处于高频段时， J e S Be
故有：


m (S )

m (S)

KIVa (S ) JeS (Ra LaS )
KI Ke

(Ra JeS (Ra
LaS)nM L (S) LaS ) KI Ke
2 2
V 1 C
t
0 f dt (V21 )0
i
i C dV21
电容
2 V2 C V1 1
dt
V21

1 C
t
0 idt (V21 )0
K

1 2
CV221
a

1 2
CV221
名称
符号
方程
能量或功率
广义方程
弹簧
t
扭簧 电感
V2,X2 V1,X1 F
2 K1 F
T ω2 ω1
T
2 K1 i
2 V2 L V1 1
F K 0 V21dt F0
V21

1 K
dF dt
t
T K 0 21dt T0
21

1 K
dF dt
i
1 L
t
0 V21dt i0
K

1 2
F2 K
P

1 2
T2 K
m

1 2
Li2
V21

L
df dt
1t
f L 0 V21dt f0
V1 K V2
F
F
1
2
b
b dV KV dF
dt
dt
F

F |0 b
(t

0 )
b
K
(3
3、机电系统的简化图
机电耦合系统中第K个机械节点的平衡力为：
.
PK [ fK ( fm)K ( fe)K ] 0
.
式中： P K —惯性力； f K —外加机械力；
( f m ) K —机电耦合场所施予的力；
i(t)[i(nT)]或 u(t)[u(nT)]
fi或fu
u(t)[u(nT)]
电或 磁的 耦合 场
第二节 机电系统动力学方程与传递函数
电动机与旋转变换器相连的系统方程
(1) 机械网络
直流伺服电机
负载
变换器结构图
Ra
ia
La
+
rs
θ s ML
+
Lf
Mm Jm θ m
JL
Va
Vf
Rf
Ja
rm
BL
+
( fe ) K —机械弹簧所施予的力；
式中正负号的解释：弹簧力、惯性力相当于阻力； 外加的机械力、机电耦合场的作用力相当于主动力。
机电系统简化图
电网络
i(t)[i(nT)]或 基尔霍夫定 u(t)[u(nT)] 律导出的运 动方程
y(t)或 y(nT)
机械网络
达朗贝尔原理 和空间连续律 导出的运动方程