上海2020年高三数学基础知识回顾辅导讲义——解析几何(教师版)

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一、直线与方程

★1、直线的倾斜角及斜率：

（1）倾斜角：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地，当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0，因此，倾斜角的范围是[)π，0.

（2）斜率：①倾斜角不是2

π

的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，即αtan =k （2

π

α=

时，直线斜率不存在）；②过两点的直线斜率公式：()211

21

2x x x x y y k ≠--=

.

★2、直线的方程：点方向式：

v

y y u x x 0

0-=

-（过点()00,y x ，方向向量()v u ,） 点法向式：()()000=-+-y y b x x a （过点()00,y x ，法向量()b a ,） 斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b 点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x

两点式：

11

2121

y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x

截矩式：

1x y

a b

+=（与x 轴交于点(,0)a ，与y 轴交于点(0,)b ） 一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）

高考数学基础知识回顾：解析几何

基础知识

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★★3、直线与直线的位置关系：（1）平行直线系：01=++C By Ax 与02=++C By Ax ；（2）垂直直线系：01=++C By Ax 与02=+-C Ay Bx ；（3）直线平行与垂直的充要条件：①当

111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时，212121,//b b k k l l ≠=⇔；12121-=⇔⊥k k l l ；②当

:1111=++c y b x a l ，

:2222=++c y b x a l 时，

//122121=-⇔b a b a l l ；

0212121=+⇔⊥b b a a l l

★★4、直线的夹角公式：（1）对直线0:1111=++c y b x a l ，0:2222=++c y b x a l ，

2

2

2

22

12

121212121|||

||||

|cos |cos b a b a b b a a d d +⋅++=

⋅==θα；（2）对直线111:b x k y l +=，

222:b x k y l +=，2

12

11tan k k k k +-=

α

★★5、点到直线的距离：（1）点到直线的距离：点()00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离为

2

2

00B

A C By Ax d +++=

；（2

）点在直线的同侧或异侧的问题：令δ=

，当两点在直线l

的同侧，则它们的δ同号；当两点在直线l 的异侧，则δ异号；（3）两平行线间的距离公式：

0:11=++C By Ax l 与0:22=++C By Ax l 为2

2

21B

A C C d +-=

★6、线性规划：①设出所求的未知数；①列出约束条件（即不等式组）；①建立目标函数；①作出可行域；①运用图解法求出最优解． 二、圆与方程

★1、圆的方程：（1）标准方程()()22

2

r b y a x =-+-，圆心

()b a ,，半径为r ；（2）一般方程

02

2

=++++F Ey Dx y x ，圆心⎪⎭

⎫

⎝⎛--2,2E D ，半径2422F E D -+，能形成圆的充要条件是

0422>-+F E D ；（3）参数方程：⎩⎨⎧+=+=θ

θ

sin cos r b y r a x ，圆心()b a ,，半径为r ．

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★2、点与圆的位置关系：点()00,y x 与圆的位置关系通过代入圆的方程，若

0002020<++++F Ey Dx y x ，点在圆内；若等于0，点在圆上；大于0，点在圆外．

★★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为2

2

B

A C Bb Aa d +++=

，则有l r d ⇔>与C 相离；l r d ⇔=与C 相切；C l r d 与⇔<相交；

（2）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()22

2

:r b y a x C =-+-，先将方程联立消元，得到一个一元

二次方程之后，令其中的判别式为∆，则有l ⇔<∆0与C 相离；l ⇔=∆0与C 相切；

l ⇔>∆0与C 相交．

★★★4、过圆上一点的切线方程：①圆2

2

2

r y x =+，圆上一点为()00,y x ，则过此点的切线方程为

200r yy xx =+ ；①圆()()222r b y a x =-+-，圆上一点为()00,y x ，则过此点的切线方程为

()()()()200r b y b y a x a x =--+--．

★★5、圆与圆的位置关系：设圆()()221211:r b y a x C =-+-，()()22

22

22:R b y a x C =-+-，d

为两圆的圆心距，当r R d +>时两圆外离，此时有公切线四条；当r R d +=时两圆外切，连心

线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当r R d r R +<<-时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当r R d -=时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当r R d -<时，两圆内含；当0=d 时，为同心圆．

三、圆锥曲线 1、椭圆：

★（1）定义：平面内到两定点的距离的和为常数（）的动点的轨迹叫椭圆．（长

轴长，短轴长，长半轴，短半轴，焦距c 2，2

22c b a +=）

21,F F 2a 2a >21F F 2a 2b a b