高三数学月考试卷(附答案)
高三数学月考试卷(附答案)
高三数学月考试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、 设集合{}{}{}5,2,3,2,1,5,4,3,2,1===B A U ，则()=⋂B C A U ( )A ．{}2B ．{}3,2C ．{}3D ．{}3,1 2、 函数)1(12<+=x y x 的反函数是 ( )A ．()()3,1)1(log 2∈-=x x yB ．()()3,1log 12∈+-=x x yC ．(]()3,1)1(log 2∈-=x x yD ．(]()3,1log 12∈+-=x x y 3、 如果)()(x f x f -=+π且)()(x f x f =-，则)(x f 可以是 ( )A ．x 2sinB ．x cosC ．x sinD ．x sin4、βα、是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定平面α与β平行的是 ( )A ．m,n 是α内的两条直线，且ββ//,//n mB ．βα、都垂直于平面γC ．α内不共线三点到β的距离相等D ．m,n 是两条异面直线,αββα//,//,,n m n m 且⊂⊂5、已知数列{}n a 的前n 项和(){}n nn a a R a a S 则,0,1≠∈-= ( )A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．或者是等差数列、或者是等比数列D ．等差、等比数列都不是6、已知实数a 满足21<<a ．命题P ：函数)2(log ax y a -=在区间[0，1]上是减函数． 命题Q ：1||<x 是a x <的充分不必要条件．则（ ） A ．“P 或Q ”为真命题； B ．“P 且Q ”为假命题；C ．“┐P 且Q ”为真命题；D ．“┐P 或┐Q ”为真命题7、教师想从52个学生中抽取10名分析期中考试情况，一小孩在旁边随手拿了两个签，教师没在意，在余下的50个签中抽了10名学生．则其中的李明被小孩拿去和被教师抽到的概率分别为 ( )A ．11,265 B ．15,2626 C ．1,026D ．11,2558、某工厂8年来某种产品的总产量c 与时间t （年）的函数关系如右图，下列四种说法：①前三年中产品增长的速度越来越快；②前三年中产品增长的速度越来越慢；③第三年后，这种产品停止生产；④第三年后，年产量保持不变，其中正确的说法是 ( )） A ．②和③ B ．①和④C ．①和③D ．②和④9、若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率e =( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．2510、某商场宣传在“五一黄金周”期间对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：①如一次性购物不超过200元，不予以折扣；②如一次性购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠； ③如一次性购物超过500元的，其中500元给予9折优惠，超过500元的部分给予八五折优惠．某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款（ ）A ．608元B ．574.1元C ．582.6元D ．456.8元二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
全国高三高中数学月考试卷带答案解析
全国高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设集合，，若，则的取值范围是 ( )A．B．C．D．2.已知，则（）A．1B．2C．4D．83.函数f (x)＝ln x＋x3－8的零点所在的区间为（）(A．(0，1) (B．(1，2) (C．(2，3) (D．(3，4)4.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝()A．B．C．－D．－5.已知向量，则“”是“夹角为锐角”的（）条件A．必要不充分B．充分不必要C．充要D．既不充分也不必要6.已知函数，且，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．7.已知命题，；命题，，则下列命题中为真命题的是（）A．B．C．D．8.在中，，则面积为( )A．B．C．D．9.函数的图象如下图，则下列有关性质的描述正确的是（）A．B．为其所有对称轴C．向左移可变为偶函数D．为其减区间10.已知函数，若m<n，有f(m)＝f(n)，则m＋3n的取值范围是( )A．[2，＋∞)B．(2，＋∞)C．[4，＋∞)D．(4，＋∞)11.若函数在上是单调函数，则的取值范围是（）A．B．C．D．12.已知,若在上恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.函数，则函数在区间上的值域是．2.在△ABC中，若AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为________．3.，则__________．4.对于定义域为上的函数，如果同时满足下列三条：（1）对任意的，总有；（2）若，，都有成立；（3）若，则.则称函数为超级囧函数．则下列是超级囧函数的为_____________________.（1）；（2）；（3）；（4）.三、解答题1.（本小题满分12分）已知的三个内角A、B、C的对边分别为，且的面积．（1）求角B的大小;（2）若，且，求边的取值范围．2.在2017年高校自主招生期间，某校把学生的平时成绩按“百分制”折算，选出前名学生，并对这名学生按成绩分组，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为．（1）请在图中补全频率分布直方图；（2）若大学决定在成绩高的第组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试（I）若大学本次面试中有三位考官，规定获得两位考官的认可即可面试成功，且各考官面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为，求甲同学面试成功的概率；（II）若大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官的面试，第3组总有名学生被考官面试，求的分布列和数学期望．3.在四棱锥中，平面，，底面是梯形，，，．（1）求证：平面平面；（2）设为棱上一点，，试确定的值使得二面角为．4.已知分别是椭圆的左、右焦点，离心率为，，分别是椭圆的上、下顶点，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过（0,2）作直线与交于两点，求三角形面积的最大值（是坐标原点）．5.已知函数（1）若，证明；（2）若，求的取值范围；并证明此时的极值存在且与无关.6.曲线曲线（是参数）（1）求曲线的普通方程，并指出它是什么曲线.（2）当变化时指出曲线是什么曲线以及它恒过的定点并求曲线截曲线所得弦长的最小值.7.，（1）若，解不等式（2）若对，使得不等式成立，求的取值范围.全国高三高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.设集合，，若，则的取值范围是 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】∵集合，，，∴故选：D2.已知，则（）A．1B．2C．4D．8【答案】A【解析】，令，得，，∴，∴，故选A.3.函数f (x)＝ln x＋x3－8的零点所在的区间为（）(A．(0，1) (B．(1，2) (C．(2，3) (D．(3，4)【答案】B【解析】f (x)＝ln x＋x3－8在上单调递增，且f (1)，f (2)∴函数f (x)＝ln x＋x3－8的零点所在的区间为(1，2)故选：B4.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝()A．B．C．－D．－【答案】C【解析】根据题意可知：根据题意可知：角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则tanθ=±2，∴cos2θ=cos2θ﹣sin2θ===－故答案为：－5.已知向量，则“”是“夹角为锐角”的（）条件A．必要不充分B．充分不必要C．充要D．既不充分也不必要【答案】A【解析】∵向量，∴当x=5时，=（4，2）=2，此时两向量共线，∴夹角为0．向量•=2x﹣2+2=2x，若“夹角为锐角，则向量•=2x，设与夹角为θ，则cosθ=＞0，即2x＞0，解得x＞0，∴“x＞0”是“夹角为锐角”的必要而不充分条件．故选：A．6.已知函数，且，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】为偶函数，在单调递增且∴∴，解得：即实数的取值范围是故选：C7.已知命题，；命题，，则下列命题中为真命题的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】结合指数函数的性质可知当时，，所以为真命题，，当且仅当即时，等号成立，所以为假命题，为真，所以为真命题.【考点】命题的真假判断及复合命题.8.在中，，则面积为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意得到：，，同时,，则所以△ABC的面积为；故选：B9.函数的图象如下图，则下列有关性质的描述正确的是（）A．B．为其所有对称轴C．向左移可变为偶函数D．为其减区间【答案】C【解析】观察图象可得，函数的最小值﹣1，所以A=1，∵==，∴T=π，根据周期公式可得，ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ），又函数图象过（，﹣1）代入可得sin（+φ）=﹣1，∵0＜φ＜π，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+），∴f（x）向左移，为g（x）=cos2x，是偶函数．故选C．10.已知函数，若m<n，有f(m)＝f(n)，则m＋3n的取值范围是( )A．[2，＋∞)B．(2，＋∞)C．[4，＋∞)D．(4，＋∞)【答案】D【解析】作出的图象，如图所示：∵m＜n，且f（m）=f（n），由图象可知，0＜m＜1＜n，∴| |=| |，即，∴m=，∴m+3n=+3n，令g（n）=+3n（n＞1），则g'（n）=﹣+3＞0，∴g（n）在（1，+∞）上递增，∴g（n）＞g（1）=4，即m+3n的取值范围是（4，+∞），故选：D．点睛：利用条件f(m)＝f(n)，明确m=，从而问题转化为+3n的范围问题，借助均值不等式问题得解.11.若函数在上是单调函数，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，f′（x）=，因为在[1，+∞）上是单调函数，所以f′（x）≥0或f′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，①当f′（x）≥0时，则在[1，+∞）上恒成立，即，设g（x）==，因为x∈[1，+∞），所以∈（0，1]，当=1时，g（x）取到最大值是：0，所以a≥0，②当f′（x）≤0时，则在[1，+∞）上恒成立，即a≤，设g（x）==，因为x∈[1，+∞），所以∈（0，1]，当=时，g（x）取到最大值是：，所以a≤，综上可得，a≤或a≥0，所以数a的取值范围是，故选：A．点睛：函数单调性的逆向问题常用处理方法：问题转化为导函数恒大于等于零（或恒小于等于零）的问题，然后变量分离求最值即可.12.已知,若在上恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】在上恒成立，即在上恒成立，设，则，令，则或，由于，，因此（否则是的极小值点，即），所以，选B.【考点】不等式恒成立问题，导数与函数的单调性、函数的极值.二、填空题1.函数，则函数在区间上的值域是 ．【答案】【解析】，设，则，所以.【考点】对数函数的性质，二次函数的值域.2.在△ABC 中，若AB ＝，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为________． 【答案】,【解析】△ABC 中，AB ＝，AC ＝1，B ＝30°， 由正弦定理可得，sinC=，b ＜c ，∴C ＞B=30° ∴C=60°，或C=120°当C=60°时，A=90°，S △ACB=bcsinA=×1××1=，当C=120°时，A=30°，S △ABC=×1××=，故答案为：,点睛：本题是一道易错题，sinC=，此时，角C 有两种选择锐角或钝角. 3.，则__________．【答案】【解析】解：将所给的等式两侧求导可得：， 令 可得： ，令可得：，据此可得：.4.对于定义域为上的函数，如果同时满足下列三条：（1）对任意的，总有；（2）若，，都有成立；（3）若，则.则称函数为超级囧函数．则下列是超级囧函数的为_____________________. （1）；（2）；（3）；（4）.【答案】(3)【解析】对于（1）不满足①对任意的x ∈[0，+∞），总有f （x ）≥0，故（1）不是超级囧函数； 对于（2），g （x ）=（x ∈[0，1]），则g （x 1+x 2），g （x+1）可能没意义，故故（2）不是超级囧函数；对于（3），函数h （x ）=2x ﹣1（x ∈[0，+∞）上满足h （x ）≥0，若x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1，则h （x 1+x 2）﹣[h （x 1）+h （x 2）]=2x1+x2﹣1﹣[（2x1﹣1）+（2x2﹣1） =2x1+x2﹣2x1﹣2x2+1）=（2x1﹣1）（2x2﹣1）≥0， 即h （x 1+x 2）≥h （x 1）+h （x 2）， 要满足0≤x 1＜x 2＜1，则＞1，只需f （x 1+1）﹣f （x 2﹣1）＜（x 1+1）﹣（x 2+1），即函数G（t ）=f （t ）﹣t 在[1，2）上递增即可．函数h （x ）=2x ﹣1显然满足，故（3）是超级囧函数；对于（4），x 1≥0，x 2≥0时，p （x 1+x 2）﹣[p （x 1）+p （x 2）]=ln=ln ≤0，故不满足②若x 1≥0，x 2≥0，都有f （x 1+x 2）≥f （x 1）+f （x 2）成立，故（4）不是超级囧函数； 故答案为：（3）三、解答题1.（本小题满分12分）已知的三个内角A 、B 、C 的对边分别为，且的面积．（1）求角B 的大小; （2）若，且，求边的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）要求角的大小，一般要列出关于的三角函数式，从已知条件，可看出只要利用三角形的面积公式（含）即可，由，得，从而有；（2）要求边的取值范围，根据已知我们应该把表示为角的三角函数，再由角的范围求得的取值范围。
高三数学月考试卷及答案
高三数学月考试卷及答案第一部分：选择题1.下列不等式中，若x>3，正确的是（） A. 3/x > 1B. 2/x < 1C. 3x > 2D. x < 2 答案：B2.解方程 |x-3| = 4，得x = （） A. -1 B. 1 C. 5 D. 7 答案：C3.已知集合A={x| x>0}，B={x| x<3}，则A∩B=（） A. {x| x>3} B. {x|0<x<3} C. {x| x>0 and x<3} D. {x| x<0 and x>3} 答案：B…第二部分：解答题1.计算lim(n→∞)(1+1/n)^n的值。
解：令f(n) = (1+1/n)n，显然f(n)是一个形式为(∞/∞)的极限型，由L’Hospital法则可得lim(n→∞)(1+1/n)n = lim(n→∞)e = e。
2.已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的零点及极值点。
解：首先求f(x)的零点，令f(x) = 0，得x^2 - 4x + 3 = 0，解得x=1或x=3。
然后求f(x)的极值点，求导得f’(x) = 2x - 4，令f’(x) = 0，解得x=2。
将x=1, 2, 3分别代入f(x)，得极小值点(2, -1)和极大值点(1, 0)、(3, 0)。
…第三部分：综合题1.请证明：两个平面直角三角形的直角边相等，则这两个三角形全等。
2.证明：假设函数f(x)在区间[a, b]上连续且在(a, b)上可微，且满足f(a) = f(b)，则在(a, b)存在一点c使得f’(c) = 0。
…以上为高三数学月考试卷及答案，祝同学们取得理想成绩！。
高三月考数学试卷含解析
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$，则$f(x)$的对称中心为（）。
A. $(0, 4)$B. $(1, 2)$C. $(2, 0)$D. $(3, 1)$2. 在等差数列$\{a_n\}$中，$a_1 + a_5 = 10$，$a_3 + a_4 = 12$，则$a_1$的值为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 43. 已知圆$x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$的半径为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 44. 函数$y = \log_2(x - 1)$的图象与直线$y = 3x - 1$的交点个数为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 45. 若复数$z = a + bi$（$a, b \in \mathbb{R}$）满足$|z - 3i| = |z + 2|$，则$z$在复平面内的轨迹是（）。
B. 圆C. 直线D. 双曲线6. 在三角形ABC中，$AB = 4$，$AC = 6$，$BC = 8$，则$\cos A$的值为（）。
A. $\frac{1}{4}$B. $\frac{1}{2}$C. $\frac{3}{4}$D. $\frac{5}{8}$7. 已知函数$f(x) = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$），若$f(-1) = 0$，$f(1) = 0$，则$f(0)$的值为（）。
A. $-a$B. $-b$C. $-c$D. $a$8. 若$|x - 1| + |x + 2| = 3$，则$x$的取值范围是（）。
A. $-2 \leq x \leq 1$B. $-2 < x < 1$C. $x \leq -2$ 或 $x \geq 1$D. $x > -2$ 且 $x < 1$9. 已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_n = 3n^2 - 2n$，则$a_5$的值为（）。
湖南省长沙市2024-2025学年高三上学期月考卷(三)数学试卷含答案
2025届高三月考试卷（三）数学（答案在最后）本试卷共8页。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合{1,2}A =，{2,3}B =，{1,2,3,4}C =，则（）A ．AB =∅B ．A B C= C ．A C C= D ．A C B= 2．在复平面内，复数1z 对应的点和复数212i z =+对应的点关于实轴对称，则12z z =（）A ．5B C ．34i--D ．34i-+3．已知向量a ，b满足3a = ，b = ，且()a ab ⊥+ ，则b 在a 方向上的投影向量为（）A ．3B ．3-C ． 3a - D ．a-4．已知函数()f x 的定义域为()(),54,3f f x =+R 是偶函数，12,x x ∀∈[3,)+∞，有()()12120f x f x x x ->-，则（）A ．()04f <B ．()14f =C ．()24f >D ．()30f <5．若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（）A ．24B ．32C ．96D ．1286．已知曲线e xy =在1x =处的切线l 恰好与曲线ln y a x =+相切，则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．47．在直角坐标系中，绕原点将x 轴的正半轴逆时针旋转角π02αα⎛⎫<<⎪⎝⎭交单位圆于A 点、顺时针旋转角ππ42ββ⎛⎫<< ⎪⎝⎭交单位圆于B 点，若A 点的纵坐标为1213，且OAB △的面积为24，则B 点的纵坐标为（）A ．22-B ．17226-C ．7226-D ．2213-8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左顶点为(),,0A F c 是双曲线C 的右焦点，点P 在直线2x c =上，且tan APF ∠的最大值是66，则双曲线C 的离心率是（）A ．B ．C ．4+D ．2+二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．函数()()π3sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列匀选项中正确的有（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．2π3f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最小值C ．()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．把函数()y f x =的图象上所有点向右平移π12个单位长度，可得到函数3sin 2y x =的图象10．在长方体1111ABCD A B C D -中，1222AB AA AD ===，点P 满足AP AB AD λμ=+，其中[][]0,1,0,1λμ∈∈，则（）A ．若1B P 与平面ABCD 所成的角为π4，则点P 的轨迹长度为π4B ．当λμ=时，1B P ∥平面11ACD C ．当12λ=时，有且仅有一个点，使得1A P BP ⊥D ．当2μλ=时，1A P DP +的最小值为11．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线()2:20C y px p =>绕其顶点分别逆时针旋转90,180,270︒︒︒后所得三条曲线与C 围成的（如图阴影区域），,A B 为C 与其中两条曲线的交点，若1p =，则（）A ．开口向上的抛物线的方程为212y x =B ．4AB =C ．直线x y t +=截第一象限花瓣的弦长的最大值为34D ．阴影区域的面积大于4三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12．若()523450123451x a a x a x a x a x a x -=+++++，则2a =_____．13．已知函数()24,1,ln 1,1,x x a x f x x x ⎧++<=⎨+≥⎩若函数()2y f x =-有3个零点，则实数a 的取值范围是_____．14．设n T 为数列{}n a 的前n 项积，若n n T a m +=，其中常数0m >，数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则m =_____．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分13分）记ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()b c a b c a bc +-++=．（1）求A ；（2）若D 为BC 边上一点，3,4,3BAD CAD AC AD ∠=∠==sin B ．16．（本小题满分15分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，11160,,,1,2A AC AC BC A C AB AC AA ∠=︒⊥⊥==．（1）求证：1A C ⊥平面ABC ；（2）若直线1BA 与平面11BCC B 所成角的正弦值为4，求平面11A BB 与平面11BCC B 夹角的余弦值．17．（本小题满分15分）人工智能（AI ）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟．某公司研究了一款答题机器人，参与一场答题挑战．若开始基础分值为()*m m ∈N 分，每轮答2题，都答对得1分，仅答对1题得0分，都答错得－1分．若该答题机器人答对每道题的概率均为12，每轮答题相互独立，每轮结束后机器人累计得分为X ，当2X m =时，答题结束，机器人挑战成功，当0X =时，答题也结束，机器人挑战失败．（1）当3m =时，求机器人第一轮答题后累计得分X 的分布列与数学期望；（2）当4m =时，求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率．18．（本小题满分17分）．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴是短轴的3倍，且椭圆上一点到焦点的最远距离为3．,A B是椭圆的左、右顶点，过,A B 分别做椭圆的切线，取椭圆上x 轴上方任意两点,P Q （P 在Q 的左侧），并过P ，Q 两点分别作椭圆的切线交于R 点，直线RP 交点A 的切线于I ，直线RQ 交点B 的切线于J ，过R 作AB 的垂线交IJ 于K ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若()1,2R ，直线RP 与RQ 的斜率分别为1k 与2k ，求12k k 的值；（3）求证：IK IA JKJB=．19．（本小题满分17分）对于函数()f x ，若实数0x 满足()00f x x =，则称0x 为()f x 的不动点．已知0a ≥，且()21ln 12f x x ax a =++-的不动点的集合为A ．以min M 和max M 分别表示集合M 中的最小元素和最大元素．（1）若0a =，求A 的元素个数及max A ；（2）当A 恰有一个元素时，a 的取值集合记为B ．（i ）求B ；（ii ）若min a B =，数列{}n a 满足()112,n n nf a a a a +==，集合n C =*141,,3n k k a n =⎧⎫⎪⎪-∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭∑N ．求证：*4,max 3n n C ∀∈=N ．2025届高三月考试卷（三）数学参考答案题号1234567891011答案CADBCBBDBDBCDABD一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）1．C 【解析】由题意，{2},{1,2,3},{1,2,3,4},{1,2}A B A B A C C A C ===== ，对比选项可知只有C 选项符合题意．2．A 【解析】因为复数1z 对应的点和复数212i z =+对应的点关于实轴对称，所以112i z =-，所以()()1212i 12i 5z z =-+=．3．D 【解析】因为()a a b ⊥+，则()290a a b a a b a b ⋅+=+⋅=+⋅= ，故9a b ⋅=- ，所以b 在a 方向上的投影向量为299a b a a a a⋅-⋅=⋅=-．4．B 【解析】因为12,[3,)x x ∀∈+∞，有()()12120f x f x x x ->-，所以()f x 在[3,)+∞上单调递增，又()3f x +是偶函数，则()3f x +的图象关于0x =对称，所以()f x 的图象关于3x =对称，则()()()0654f f f =>=，故选项A 错误；()()154f f ==，故选项B 正确；()()()2454f f f =<=，故选项C 错误；()3f 的正负不能确定，故选项D 错误．5．C 【解析】如图，设P 在底面的投影为G ，易知正四棱锥P ABCD -的外接球球心在PG 上，由题意，球O 的半径5,853PO AO OG ====-=，所以24,82AG PA AB =====⨯=，故PAB △中，边AB =，所以该正四棱锥的侧面积为14962⨯⨯=．6．B 【解析】由e xy =得e xy '=，又切点为（1，e ），故e k =，切线l 为e y x =，设l 与曲线ln y a x =+的切点为()001,e ,x x y x '=，所以01e x =，解得切点为1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1ln11ea a +=-=，解得2a =．7．B 【解析】由A 点的纵坐标为1213，得125sin ,cos 1313αα==，显然ππ42α<<，而()1211sin 24AOB S αβ=⨯⨯⨯+=△，即()2sin 2αβ+=，又ππ42β<<，因此ππ2αβ<+<，3π4αβ+=，有3π4βα=-，()3π22512172sin sin cos sin 422131326βααα⎛⎫⎛⎫=-=+=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭显然B 点在第四象限，所以B 点的纵坐标为226-．8．D 【解析】如图，设直线2x c =与x 轴交于点,H PH m =，则tan ,tan 2m mPFH PAH c a c∠=∠=+．因为APF PFH PAH ∠=∠-∠，所以()tan tan tan tan 1tan tan PFH PAHAPF PFH PAH PFH PAH∠-∠∠=∠-∠=+∠⋅∠()22222212m m m a c a cc a c m m ac c ac c m m c a c m-+++===++++⋅++．因为22222ac c m ac c m++≥+22m ac c =+时，等号成立，所以26tan 622APF ac c ∠≤=+，整理得22430c ac a --=，则2430e e --=，解得2e =+．二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．）9．BD 【解析】∵()()3sin f x x ωϕ=+，由题图知33π44T =，∴πT =，2ω=，故A 错误；∵π2π623T +=，∴可得2π3f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最小值，故B 正确；∵ππ3sin 2366f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴π2π6k ϕ=+，k ∈Z ，又π2ϕ<，∴π6ϕ=，∴()π3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴()π33sin 2,362f x x ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故C 错误；将()f x 的图象向右平移π12个单位长度得到的图象为πππ3sin 23sin 212126f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确．10．BCD 【解析】对于A 中，连接BP ，在长方体1111ABCD A B C D -中，可得1BB ⊥平面ABCD ，所以1B PB∠即为1B P 与平面ABCD 所成的角，即1π4B PB ∠=，在直角1BB P △中，可得11BP BB ==，所以点P 的轨迹为以B 为圆心，半径为1的14圆，其周长为1π2π142⨯⨯=，所以A 错误；对于B 中，当λμ=时，因为1222AB AA AD ===，且点P 满足AP AB AD λμ=+，所以点P 在线段AC上，连接11,,AC AB B C ，在长方体1111ABCD A B C D -中，可得1111,AC A C B C A D ∥∥，因为AC ⊄平面11A C D ，且11A C ⊂平面11A C D ，所以AC ∥平面11A C D ，同理可证1B C ∥平面11A C D ，又因为1AC B C C = ，且1,AC B C ⊂平面1AB C ，所以平面1AB C ∥平面11A C D ，因为1B P ⊂平面1AB C ，所以1B P ∥平面11A C D ，所以B 正确；对于C 中．当12λ=时，因为1222AB AA AD ===，且点P 满足AP AB AD λμ=+ ，取,AB CD 的中点,E F ，过接,,EF AF BF ，可得点P 在线段EF 上运动，若1A P BP ⊥，因为1AA ⊥平面ABCD 且BP ⊂平面ABCD ，所以111111,,,AA BP A P A A A A P A A ⊥=⊂ 平面1A AP 、故BP ⊥平面1A AP ，又AP ⊂平面1A AP ，故BP AP ⊥，所以点P 在以AB 为直径的圆上，又因为22AB AD ==，可得线段EF 与以AB 为直径的圆只有一个交点F ，所以当点P 与F 重合时，即当且仅当P 为CD 的中点时，能使得1A P BP ⊥，所以C 正确；对于D 中，当2μλ=时，因为1222AB AA AD ===，且点P 满足AP AB AD λμ=+，取,AB CD 的中点,E F ，连接,AF EF ，可得点P 在线段AF 上运动，沿着AF 将直角1AA F △和平面ADF △展开在一个平面上，如图所示，在1AA D △中，113π1,1,4AA AD A AD ==∠=，由余弦定理得2221113π2cos 24A D AA AD AA AD =+-⋅=，所以1A D =1A P DP +的最小值为，所以D 正确．11．ABD 【解析】由题意，开口向右的抛物线方程为2:2C y x =，顶点在原点，焦点为11,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，将其逆时针旋转90︒后得到的抛物线开口向上，焦点为210,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则其方程为22x y =，即212y x =，故A 正确；对于B ，根据A 项分析，由222,2y x x y ⎧=⎨=⎩可解得0x =或2x =，即2A x =，代入可得2A y =，由图象对称性，可得()()2,2,2,2A B -，故4AB =，即B 正确；对于C ，如图，设直线x y t +=与第一象限花瓣分别交于点,M N ，由2,2,y x t y x =-+⎧⎨=⎩解得11,M M x t y ⎧=+-⎪⎨=⎪⎩由2,2,y x t x y =-+⎧⎨=⎩解得1,1N N x y t ⎧=⎪⎨=+-⎪⎩，即得()11,1,1M t N t ++-，则弦长为2MN ==+-，由图知，直线x y t +=经过点A 时t 取最大值4，经过点O 时t 取最小值0，即在第一象限部分满足04t <<，不妨设u =，则13u <<，且212u t -=，代入得，)()2222113MN u u u =+-=--<<，由此函数的图象知，当2u =时，MN取得最大值为2，即C 错误；对于D ，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求18部分面积的近似值．如图：在抛物线()2102y x x =≥上取一点P ，使过点P 的切线与直线OA 平行，由1y x '==可得切点坐标为11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，因为:0OA l x y -=，则点P 到直线OA 的距离为12242d ==，于是2212122242OPA S =+=△，由图知，半个花瓣的面积必大于12，故原图中的阴影部分面积必大于1842⨯=，故D 正确．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12．10-【解析】()51x -的展开式通项是：()55C 1kk k x --，依题意，得52k -=，即3k =，所以()3325C 110a =-=-．13．（－3，6）【解析】函数()24,1,ln 1,1,x x a x f x x x ⎧++<=⎨+≥⎩当1x ≥时，方程ln 12x +=，解得e x =，函数()2y f x =-有一个零点，则当1x <时，函数()2y f x =-须有两个零点，即242x x a ++=在1x <时有两个解．设()242g x x x a =++-，对称轴为()2,x g x =-在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，∴()10g >，且()20g -<，即1420,4820,a a ++->⎧⎨-+-<⎩解得36a -<<，所以a 的取值范围是（－3，6）．14．1或2【解析】当2n ≥时，111,11n n n n n n n n m mT a T a a m a T m a ---+=+===++-，所以()1211111111111121n n n n n n n n a n m T T m a m a m a m ma m m a --------=-=-=≥-----+-．由数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则1211n n a m ma ----为常数d ，①若0d =，则()112n a n -=≥恒成立，即()11n a n =≥恒成立，∴2m =；②若0d ≠，则2111n n a dm dma ---=-，∴21,1,dm dm ⎧=⎨=⎩解得1,1,m d =⎧⎨=⎩综上所述，1m =或2m =．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．【解析】（1）()()()222222b c a b c a b c a b bc c a bc +-++=+-=++-=，则222b c a bc +-=-，所以2221cos 22b c a A bc +-==-，因为0πA <<，所以2π3A =．（2）由（1）得，2π3A =，因为3BAD CAD ∠=∠，所以π6CAD ∠=，如图，在ACD △中，由余弦定理，得2222cos 316472CD AD AC AD AC DAC =+-⋅∠=+-⨯=，即CD =，在ACD △中，由正弦定理sin sin CD AD DAC C =∠，即1sin 2C =，所以sin C =因为π03C <<，故cos C ==，在ABC △中，()3121sin sin sin cos cos sin227B AC A C A C =+=+=⨯⨯．16．【解析】（1）在1A AC △中，由余弦定理可得2221111cos 2AC A A A C A AC AC A A +-∠=⋅⋅，则222112cos 60212A C +-︒=⨯⨯，解得213A C =，由22211A C AC A A +=，则在1A AC △中，1A C AC ⊥，因为1,,A C AB AC AB ⊥⊂平面,ABC AC AB A = ，所以1A C ⊥平面ABC ．（2）易知1,,A C AC BC 两两相互垂直，分别以1,,CA CB CA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，设BC k =，则(()()(11,0,,0,0,0,0,1,0,,A B k C C-(()(110,,0,,0,1,0,,BA k CB k CC =-==-设平面11BCC B 的法向量(),,n x y z = ，则10,0,n CB n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得0,0,ky x =⎧⎪⎨-+=⎪⎩令x =0,1y z ==，所以平面11BCC B的一个法向量)n =，设直线1BA 与平面11BCC B 所成的角为θ，则11sin BA n BA n θ⋅=⋅，可得4=1k =，易知(11BB CC ==-，设平面11A BB 的法向量()000,,m x y z = ，则110,0m BA m BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得00000,0,y x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩令01z =，则00x y ==，所以平面11A BB的一个法向量)m =，设平面11A BB 与平面11BCC B 的夹角为α，则27cos 7n m n mα⋅===⋅．17．【解析】（1）当3m =时，第一轮答题后累计得分X 所有取值为4，3，2，()()()1111111114,32,2,224222224P X P X P X ==⨯===⨯⨯===⨯=所以第一轮答题后累计得分X 的分布列为：X 432P （X ）141214所以()1114323424E X =⨯+⨯+⨯=．（2）当4m =时，设“第六轮答题后，答题结束且挑战成功”为事件A ，此时情况有2种，分别为：情况①：前5轮答题中，得1分的有3轮，得0分的有2轮，第6轮得1分；情况②：前4轮答题中，得1分的有3轮，得—1分的有1轮，第5、6轮都得1分，所以()3232335411111111C C 4244441024P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．18．【解析】（1）由题意：22222,32,3,1.a b a a c b c a b c ⎧=⋅⎪⎪=⎧⎪⎪⎪+=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=+⎪⎪⎩所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．4分（2）设过点R 的切线方程为()21y k x -=-，即()2y kx k =+-，由()222,1,43y kx k x y ⎧=+-⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()()()222438242120k x k k x k ++-+--=，由()()()222206424434212kk k k ⎡⎤∆=⇒-=+--⎣⎦，整理得23410k k +-=，所以1213k k =-．（3）设()()000,0,R x y y RK >的延长线交x 轴于K '点，如图：因为AI K K JB '∥∥，则0022IK AK x JKBK x '+=='-．设P ，Q 两点处切线斜率分别为12,k k ，过R 点的椭圆的切线方程为()00y y k x x -=-，即()00y kx y kx =+-，由()0022,143y kx y kx x y ⎧=+-⎪⎨+=⎪⎩消去y ，化简整理，得()()()22200004384120kx k kx y x kx y +--+--=，由0∆=，得()()()2222000064443412kkx y k kx y ⎡⎤-=+--⎣⎦，化简整理，得()22200004230x k x y k y --+-=，由韦达定理，得20001212220023,44x y y k k k k x x -+==--，所以()()1002002,2l J y k x y y k x y =--+=-+，所以要证明IK IA JKJB=，只需证明()()100002002222k x y x x k x y --++=--+，即()()()()()()()()22222000100012001201200042424242,k x y x k x y x k k x y k k x k k x x y -++=-+-⇔++=+⇔+-=因为00122024x y k k x +=-，所以上式成立，即IK IA JK JB=成立．19．【解析】（1）当0a =时，()1ln 12f x x =+，其定义域为()0,+∞．由()f x x =得1ln 102x x -+=．设()1ln 12g x x x =-+，则()122xg x x-'=，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，注意到()10g =，所以()g x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恰有一个零点1x =，且()1102g g ⎛⎫>=⎪⎝⎭，又()22e e 0g --=-<，所以()21e 02g g -⎛⎫<⎪⎝⎭，所以()g x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上恰有一个零点0x ，即()f x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恰有一个不动点1,x =在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上恰有一个不动点0x x =，所以{}0,1A x =，所以A 的元素个数为2，又因为01x <，所以max 1A =．（2）（i ）当0a =时，由（1）知，A 有两个元素，不符合题意；当0a >时，()21ln 12f x x ax a =++-，其定义域为()0,+∞，由()f x x =得21ln 102x ax x a +-+-=．设()()21ln 1,0,2h x x ax x a x =+-+-∈+∞，则()214212122ax x h x ax x x -+'=+-=，设()2421F x ax x =-+，则416a ∆=-，①当14a ≥时，()()0,0,0F x h x '∆≤≥≥，所以()h x 在()0,+∞上单调递增，又()10h =，所以()h x 在()0,+∞上恰有一个零点1x =，即()f x 在()0,+∞上恰有一个不动点1x =，符合题意；②当104a <<时，0∆>，故()F x 恰有两个零点()1212,x x x x <．又因为()()010,1410F F a =>=-<，所以1201x x <<<，当()10,x x ∈时，()()0,0F x h x '>>；当()12,x x x ∈时，()()0,0F x h x '<<；当()2,x x ∈+∞时，()()0,0F x h x '>>，所以()h x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，注意到()10h =，所以()h x 在()12,x x 上恰有一个零点1x =，且()()()()1210,10h x h h x h >=<=，又0x →时，()h x →-∞，所以()h x 在()10,x 上恰有一个零点0x '，从而()f x 至少有两个不动点，不符合题意；所以a 的取值范围为1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，即集合1,4B ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭．（ii ）由（i ）知，1,4B ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭，所以1min 4a B ==，此时，()()22113113ln ,ln 244244f x x x h x x x x =++=+-+，由（i ）知，()h x 在()0,+∞上单调递增，所以，当1x >时，()()10h x h >=，所以()f x x >，即()1f x x>，故若1n a >，则11n a +>，因为，若存在正整数N 使得1N a ≤，则11N a -≤，从而21N a -≤，重复这一过程有限次后可得11a ≤，与12a =矛盾，从而，*,1n n a ∀∈>N ，下面我们先证明当1x >时，()3ln 12x x <-，设()()33ln ,1,22G x x x x =-+∈+∞，所以()1323022x G x x x'-=-=<，所以()G x 在()1,+∞上单调递减，所以()()10G x G <=，即当1x >时，()3ln 12x x <-，从而当1x >时，2211311ln 24444x x x x x ++-<-，从而()2113ln 1244114x x x x x ++-<-，即()()1114f x x x -<-，故()()1114n nn f a a a -<-，即()11114n n a a +-<-，由于11,1n n a a +>>，所以110,10n n a a +->->，故11114n n a a +-<-，故2n ≥时，121211111111114444n n n n n a a a a -----<-<-<<-= ，所以*1111114144,111434314n n nk k n k k n a -==-⎛⎫∀∈-≤==-< ⎪⎝⎭-∑∑N ，故4max 3n C =．。
高三数学-10月月考数学试题参考答案
2024-2025学年度高三10月月考数学试题参考答案一、选择题题号1234567891011答案DDBCCABDABDBCDABD二、填空题12.5013.2433ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，14.（1）1327；（2）13425153n -⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭三、解答题15、解：（1）由题3sin 21==∆θbc S ABC ，可得θsin 6=bc ，又36cos 0≤=⋅≤θbc AC AB ，所以36sin cos 60≤≤θθ，得到33tan ≥θ或2πθ=因为()πθ,0∈，所以,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦6分（2）()2cos sin cos34f πθθθθ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，化简得()21sin 2cos 4f θθθ=进一步计算得()1sin 223f πθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故22033ππθ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故可得()102f θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，13分16、解：（1）过点P 作PO 垂直于平面ABCD ，垂足为O ，连接BO 交AD 于E ，连接PE ，则有AD PB AD PO ⊥⊥,，又P PB PO =⋂，所以POB AD 平面⊥，因为POB PE 平面⊂，所以PE AD ⊥，又PD P A =，所以E 为AD 得中点依题侧面P AD 与底面ABCD 所成的二面角为120°，即有32π=∠PEB ，所以3π=∠PEO ，因为侧面P AD 为正三角形，所以323sin 4=⋅=πPE ，则323323sin =⋅=⋅=πPE PO ，所以38323443131=⋅⋅⋅⋅==-PO S V ABCD ABCD P 7分（2）如图，在平面ABCD 内过点O 作OB 得垂线Ox ，依题可得Ox OB OP ,,两两垂直，以Ox OB OP ,,为轴轴，轴，x y z 建立空间直角坐标系可得()0,3,2A ，()0,0,0P ，()0,33,0B ，取PB 得中点为N ，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,233,0N 因为AB AP =，所以PB AN ⊥，由（1)POB AD 平面⊥，AD BC //，知POB BC 平面⊥所以PB BC ⊥，可得NA BC ,所成角即为二面角A PB C --的平面角，求得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,23,2AN ，()0,0,2=BC，则72724-=-==BC NA则21sin 7A PBC --=15分17、解：（1）当a e =时，1()e lnx e f x x -=+，0(1)e ln 2f e =+=，11()e ,(1)0x f x f x-''=-=所求切线方程为：)1(02-=-x y ，即2y =5分（2）()2≥x f 转化为ln 2e ln ln 2a x a x +-+-≥，可得ln 2e ln +2ln 0a x a x x x x +-+-≥+>，构造函数()e x g x x =+，易得()g x 在R 单调递增所以有()(ln 2)ln g a x g x +-≥，由()g x 在R 单调递增,故可得ln 2ln a x x +-≥，即有ln ln 2a x x ≥-+在()∞+，0恒成立令()2ln +-=x x x h ，()011=-='xx h ，得到1=x ，可得()10，∈x 时，()0>'x h ；()∞+∈，1x 时，()0<'x h ，所以()x h 在1=x 时取最大值所以()ln 11a h ≥=，得到ea ≥15分18、解：（1）∵椭圆E 经过点A 52,3⎛⎫⎪⎝⎭，23e =∴222222549123a b a b c c e a ⎧⎪+=⎪⎪⎨=+⎪⎪==⎪⎩，解得32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩E ：22195x y +=；4分（2）由（1）可知，1(2,0)F -，2(2,0)F 思路一：由题意，1:512100AF l x y -+=，2:2AF l x =设角平分线上任意一点为(),P x y ，则51210213x y x -+=-得9680x y --=或2390x y +-=∵斜率为正，∴21AF F ∠的角平分线所在直线为9680x y --=思路二：椭圆在点A 52,3⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为2319x y +=，23k =-切根据椭圆的光学性质，21AF F∠的角平分线所在直线l 的斜率为32l k =，∴，21AF F ∠的角平分线所在直线34:23l y x =-即9680x y --=10分（3）思路一：假设存在关于直线l 对称的相异两点()()1122,,,B x y C x y ，设2:3BC l y x m =-+，∴2222195912945023x y x mx m y x m ⎧+=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪=-+⎪⎩∴线段BC 中点为25,39m mM ⎛⎫⎪⎝⎭在21AF F ∠的角平分线上，即106803m m --=得3m =∴52,3M ⎛⎫⎪⎝⎭与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．思路二：假设存在关于直线l 对称的相异两点()()1122,,,B x y C x y ，线段BC 中点()00,Mx y ，由点差法，2211222212122222195095195x y x x y y x y ⎧+=⎪⎪⇒+=⎨⎪+=⎪--⎩，∴0121212120552993BC x y y x x k x x y y y -+==-=-=--+，∴0065OM y k x ==，:968052,63:5AM OM l x y M l y x --=⎧⎪⎛⎫⇒⎨⎪=⎝⎭⎪⎩与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．17分19、解：（1）①()()()222121()111b f x x bx x x x x +=-=-+'++，∵1x >，()()2101h x x x =>+恒成立，∴函数()f x 具有性质()P b ；3分②设()()211u x x bx x =-+>，(i)当0b -≥即0b ≤时，()0u x >，()0f x '>，故此时()f x 在区间()1,+∞上递增；(ii)当0b >时当240b ∆=-≤即02b <≤时，()0u x >，()0f x '>，故此时()f x 在区间()1,+∞上递增；当240b ∆=->即2b >时，12441122b b x x +===，，∴x ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x <，()0f x '<，此时()f x在1,2b ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上递减；4,2b x ∞⎛⎫+∈+ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x >，()0f x '<，此时()f x在∞⎫+⎪⎪⎝⎭上递增.综上所述，当2b ≤时，()f x 在()1,+∞上递增；当2b >时，()f x在⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上递减，在∞⎫+⎪⎪⎝⎭上递增.9分（2）由题意，()()22()()21()1g x h x x x h x x =-+=-'，又()h x 对任意的()1,x ∈+∞都有()0h x >，所以对任意的()1,x ∈+∞都有()0g x '>，()g x 在()1,+∞上递增.10分∵12(1)mx m x α=+-，12(1)m x mx β=-+，∴()()1212,21x x m x x αβαβ+=+-=--1先考虑12x x αβ-<-的情况即()()121221m x x x x --<-，得01m <<，此时1122(1)x mx m x x α<=+-<，1122(1)x m x mx x β<=-+<∴1212()()(),()()()g x g g x g x g g x αβ<<<<∴12()()()()g g g x g x αβ-<-满足题意13分2当1m ≥时，11112(1)(1)mx m x mx m x x α--≤==++，12222(1)(1)m x mx m x mx x β=--+≥=+，∴12x x αβ≤<≤∴12()()()()g g x g x g αβ≤<≤，∴12()()()()g g g x g x αβ-≥-，不满足题意，舍去16分综上所述，01m <<17分。
2025届高三上学期月考(三)(11月)数学试卷[含答案]
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2025届高三上学期月考（三）（11月）数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．若复数满足，则（ ）z 1i34i z +=-z =A ．B ．C ．D ．252．已知数列的前项和，则等于（ ）{}n a n 22n S n n =-345a a a ++A ．12B ．15C ．18D ．213．抛物线的焦点坐标为（ ）24y x =A ．B ．(1,0)(1,0)-C ．D ．1(0,)16-1(0,164．如图是函数的部分图象，则函数的解析式可为（ ）()sin y x ωϕ=+A ．B ．πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．D ．πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭5．1903年，火箭专家、航天之父康斯坦丁・齐奥尔科夫斯基就提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度满足公式：，其中v 1201lnm m v v m +=分别为火箭结构质量和推进剂的质量，是发动机的喷气速度.已知某单级火12,m m 0v 箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为，则火箭发动机的喷气8km /s 速度为（ ）（参考数据：，）ln20.7≈ln3 1.1,ln4 1.4≈≈A ．B ．C ．D ．10km /s 20km /s80km /s 340km /s6．若，，则的值为（ ）83cos 5αβ=63sin 5αβ=()cos αβ+A ．B ．C ．D ．7．如图，一个质点从原点O 出发，每隔一秒随机向左或向右移动一个单位长度，向左的概率为，向右的概率为，共移动4次，则该质点共两次到达1的位置的概2313率为（ ）A ．B ．C ．D ．42782729498．设为数列的前n 项和，若，且存在，，n S {}n a 121++=+n n a a n *N k ∈1210k k S S +==则的取值集合为（ ）1a A ．B ．{}20,21-{}20,20-C ．D ．{}29,11-{}20,19-二、多选题（本大题共3小题）9．如图，在正方体中，点，分别为，的中点，则下列说1111ABCD A B C D -E F 1AD DB 法正确的是（ ）A ．直线与为异面直线B ．直线与所成的角为EF 11D B 1D E1DC 60C ．D ．平面1D F AD⊥//EF 11CDD C 10．已知是圆上的动点，直线与P 22:4O x y +=1:cos sin 4l x y θθ+=交于点，则（ ）2:sin cos 1l x y θθ-=Q A ．B ．直线与圆相切12l l ⊥1l OC ．直线与圆截得弦长为D ．的值为2l O OQ11．已知三次函数有三个不同的零点，，，()32f x ax bx cx d=+++1x 2x ()3123x x x x <<函数也有三个零点，，，则（ ）()()1g x f x =-1t 2t()3123t t t t <<A ．23b ac>B ．若，，成等差数列，则1x 2x 3x 23b x a=-C ．1313x x t t +<+D ．222222123123x x x t t t ++=++三、填空题（本大题共3小题）12．已知随机变量服从二项分布，若，，则 .X (),B n p ()3E X =()2D X =n =13．已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则a b 2a = 1= b b a 14a - 为 .a b+ 14．如图，已知四面体的体积为32，，分别为，的中点，，ABCD E F AB BC G 分别在，上，且，是靠近点的四等分点，则多面体的体积H CD AD G H D EFGHBD 为 .四、解答题（本大题共5小题）15．设的内角，，的对边分别为，，，已知.ABC A B C a b c sin cos 0a B A =(1)求；A(2)若，且的面积为的值.sin sin 2sin B C A +=ABC a 16．设，.()()221ln 2f x x ax x x=++a ∈R (1)若，求在处的切线方程；0a =()f x 1x =(2)若，试讨论的单调性.a ∈R ()f x 17．已知四棱锥，底面为菱形，为上的点，过的P ABCD -ABCD ,PD PB H =PC AH 平面分别交于点，且∥平面．,PB PD ,M N BD AMHN(1)证明：；MN PC ⊥(2)当为的中点，与平面所成的角为，求平面H PC ,PA PC PA ==ABCD 60︒与平面所成的锐二面角的余弦值．PAM AMN18．已知双曲线的左、右焦点为，，过的直线与双曲线交于，22:13y x Γ-=1F 2F 2F l ΓA 两点.B (1)若轴，求线段的长；AB x ⊥AB (2)若直线与双曲线的左、右两支相交，且直线交轴于点，直线交轴l 1AF y M 1BF y 于点.N （i ）若，求直线的方程；11F AB F MNS S = l （ii ）若，恒在以为直径的圆内部，求直线的斜率的取值范围.1F 2F MN l 19．已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，设集合{}n a *k ∈N ，设为集合中的元素个数，当时，规定.{}*k i B i a k=∈<N ∣kb kB k B =∅0k b =(1)若，求，，的值；2n a n =1b 2b 17b (2)若，设的前项和为，求；2n n a =n b n n S 12n S +(3)若数列是等差数列，求数列的通项公式.{}n b {}n a参考答案1．【答案】C【详解】由可得，1i 34i z +=-()()()()1i 34i 1i 17i 34i 34i 34i 25z +++-+===--+故选：C 2．【答案】B 【详解】因为数列的前项和，{}n a n 22n S n n =-所以.34552=a a a S S ++-()2252522215=-⨯--⨯=故选：B.3．【答案】D【详解】解：由，得，24y x =214x y =所以抛物线的焦点在轴的正半轴上，且，y 124p =所以，，18p =1216p =所以焦点坐标为，1(0,16故选：D 4．【答案】A【详解】观察图象可得函数的最小正周期为，()sin y x ωϕ=+2ππ2π36T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以，故或，排除B ；2ππω=2ω=2ω=-观察图象可得当时，函数取最小值，π2π5π63212x +==当时，可得，，2ω=5π3π22π+122k ϕ⨯+=Z k ∈所以，，排除C ；2π2π+3k ϕ=Z k ∈当时，可得，，2ω=-5ππ22π122k ϕ-⨯+=-Z k ∈所以，，π2π+3k ϕ=Z k ∈取可得，，0k =π3ϕ=故函数的解析式可能为，A 正确；πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，D 错误5ππππcos 2cos 2sin 26233y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A.5．【答案】B 【详解】由题意，，122m m =122200122lnln 82m m m m v v v m m ++===得，故，03ln82v =0888203ln3ln 2 1.10.7ln 2v ==≈=--故选：B 6．【答案】C 【详解】因为，，83cos 5αβ=63sin 5αβ=所以，，25(3cos 4)62αβ=2(3sin)2536αβ=即所以，2259cos co 6s 1042cos ααββ++=，229sin sin +10sin2536ααββ-=两式相加得，9)104αβ+++=所以cos()αβ+=故选：C ．7．【答案】A【详解】共移动4次，该质点共两次到达1的位置的方式有和0101→→→，且两种方式第次移动向左向右均可以，0121→→→4所以该质点共两次到达1的位置的概率为.211124333332713⨯⨯+⨯⨯=故选：A.8．【答案】A 【详解】因为，121++=+n n a a n 所以，()()()()()()212342123+41=++++++37+41=212n n n n n S a a a a a a n nn --⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅-=+假设，解得或（舍去），()2=21=210n S n n +=10n 21=2n -由存在，，所以有或，*N k ∈1210kk S S +==19k =20k =由可得，，两式相减得：，121++=+n n a a n +1223n n a a n ++=+22n n a a +-=当时，有，即，20k =2021210S S ==210a =根据可知：数列奇数项是等差数列，公差为2，22n n a a +-=所以，解得，()211+11120a a =-⨯=120a =-当时，有，即，19k =1920210S S ==200a =根据可知：数列偶数项也是等差数列，公差为2，22n n a a +-=所以，解得，()202+10120a a =-⨯=218a =-由已知得，所以.123a a +=121a =故选：A.9．【答案】ABD【详解】如图所示，连接，，，AC 1CD EF 由于，分别为，的中点，即为的中点，E F 1AD DB F AC 所以，面，面，1//EF CD EF ⊄11CDD C 1CD ⊆11CDD C 所以平面，即D 正确；//EF 11CDD C 所以与共面，而，所以直线与为异面直线，即A 正确；EF 1CD 1B ∉1CD EF 11D B 连接，易得，1BC 11//D E BC 所以即为直线与所成的角或其补角，1DC B ∠1D E 1DC 由于为等边三角形，即，所以B 正确；1BDC 160DC B ∠=假设，由于，，所以面，1D F AD ⊥1AD DD ⊥1DF DD D = AD ⊥1D DF 而面显然不成立，故C 错误；AD ⊥1D DF 故选：ABD.10．【答案】ACD 【详解】选项A ：因，故，A 正确；()cos sin sin cos 0θθθθ+-=12l l ⊥选项B ：圆的圆心的坐标为，半径为，O O ()0,02r =圆心到的距离为，故直线与圆相离，故B 错误；O 1l 14d r==>1l O 选项C ：圆心到的距离为，O 1l21d ==故弦长为，故C正确；l ==选项D ：由得，cos sin 4sin cos 1x y x y θθθθ+=⎧⎨-=⎩4cos sin 4sin cos x y θθθθ=+⎧⎨=-⎩故，()4cos sin ,4sin cos Q θθθθ+-故，故D 正确OQ ==故选：ACD 11．【答案】ABD 【详解】因为，()32f x ax bx cx d=+++则，，对称中心为，()232f x ax bx c '=++0a ≠,33bb f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于A ，因为有三个不同零点，所以必有两个极值点，()f x ()f x 即有两个不同的实根，()2320f x ax bx c '=++=所以，即，故A 正确；2Δ4120b ac =->23b ac >对于B ，由成等差数列，及三次函数的中心对称性，123,,x x x 可知为的对称中心，所以，故B 正确；()()22,x f x ()f x 23b x a =-对于C ，函数，当时，，()()1g x f x =-()0g x =()1f x =则与的交点的横坐标即为，，，1y =()y f x =1t 2t 3t 当时，画出与的图象，0a >()f x 1y =由图可知，，，则，11x t <33x t <1313x x t t +<+当时，则，故C 错误；0a <1313x x t t +>+对D ，由题意，得，()()()()()()32123321231a x x x x x x ax bx cx d a x t x t x t ax bx cx d ⎧---=+++⎪⎨---=+++-⎪⎩整理，得，123123122331122331b x x x t t t ac x x x x x x t t t t t t a ⎧++=++=-⎪⎪⎨⎪++=++=⎪⎩得，()()()()2212312233112312233122x x x x x x x x x t t t t t t t t t ++-++=++-++即，故D 正确.222222123123x x x t t t ++=++故选：ABD.12．【答案】9【详解】由题意知随机变量服从二项分布，，，X (),B n p ()3E X =()2D X =则，即得，()3,12np np p =-=1,93p n ==故答案为：913．【答案】【详解】因为在上的投影向量为，b a14a -所以，又，14b a a a aa ⋅⋅=-2a =所以，又，1a b ⋅=-1= b 所以a b+==== 故答案为：14．【答案】11【详解】如图，连接，则多面体被分成三棱锥和四棱锥.,EG ED EFGHBD G EDH -E BFGD -因是上靠近点的四等分点，则，H AD D 14DHE AED S S =又是的中点，故，E AB 11114428DHE AED ABD ABD S S S S ==⨯= 因是上靠近点的四等分点，则点到平面的距离是点到平面的G CD D G ABD C ABD 距离的，14故三棱锥的体积；G EDH -1113218432G EDH C ABD V V --=⨯=⨯=又因点是的中点，则，故，F BC 133248CFG BCD BCD S S S =⨯= 58BFGD BCD S S =又由是的中点知，点到平面的距离是点到平面的距离的，E AB E BCD A BCD 12故四棱锥的体积，E BFGD -51532108216E BFGD A BCD V V --=⨯=⨯=故多面体的体积为EFGHBD 11011.G EDH E BFGD V V --+=+=故答案为：11.15．【答案】(1)π3A =(2)2a =【详解】（1）因为,即，sin cos 0a B A =sin cos a B A =由正弦定理得，sin sin cos A B B A ⋅=⋅因为，所以,则，sin 0B ≠sin A A =tan A =又，所以.()0,πA ∈π3A =（2）因为，由正弦定理得，sin sin 2sin B C A +=2b c a +=因为，所以，π3A =11sin 22ABC S bc A bc === 4bc =由余弦定理，得，2222cos a b c bc A =+-⋅224b c bc +-=所以，则，解得.()234b c bc +-=()22344a -⨯=2a =16．【答案】(1)4230--=x y (2)答案见解析【详解】（1）当时，，，因0a =()221ln 2f x x x x=+()2(ln 1)f x x x =+'，1(1),(1)22f f '==故在处的切线方程为，即；()f x 1x =12(1)2y x -=-4230--=x y （2）因函数的定义域为，()()221ln 2f x x ax x x=++(0,)+∞，()(2)ln 2(2)(ln 1)f x x a x x a x a x =+++=++'① 当时，若，则，故，即函数在2a e ≤-10e x <<ln 10,20x x a +<+<()0f x '>()f x 上单调递增；1(0,e 若，由可得.1e x >20x a +=2a x =-则当时，，，故，即函数在上单调1e 2a x <<-20x a +<ln 10x +>()0f x '<()f x 1(,e 2a-递减；当时，，故，即函数在上单调递增；2a x >-ln 10,20x x a +>+>()0f x '>()f x (,)2a-+∞② 当时，若，则，故，即函数在2e a >-1e x >ln 10,20x x a +>+>()0f x '>()f x 上单调递增；1(,)e +∞若，则，故，即函数在上单调递减；12e a x -<<ln 10,20x x a +<+>()0f x '<()f x 1(,)2e a -若，则，故，即函数在上单调递增，02a x <<-ln 10,20x x a +<+<()0f x '>()f x (0,2a-当时，恒成立，函数在上单调递增，2e a =-()0f x '≥()f x ()0,+∞综上，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在2e a <-()f x 1(0,)e 1(,)e 2a -上单调递增；(,)2a-+∞当时，函数在上单调递增；2e a =-()f x ()0,+∞当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上2e a >-()f x (0,2a -1(,2e a -1(,)e +∞单调递增.17．【答案】(1)证明见详解【详解】（1）设，则为的中点，连接，AC BD O = O ,AC BD PO 因为为菱形，则，ABCD AC BD ⊥又因为，且为的中点，则，PD PB =O BD PO BD ⊥，平面，所以平面，AC PO O = ,AC PO ⊂PAC BD ⊥PAC 且平面，则，PC ⊂PAC BD PC ⊥又因为∥平面，平面，平面平面，BD AMHN BD ⊂PBD AMHN PBD MN =可得∥，所以.BD MN MN PC ⊥（2）因为，且为的中点，则，PA PC =O AC PO AC ⊥且，，平面，所以平面，PO BD ⊥AC BD O = ,AC BD ⊂ABCD ⊥PO ABCD 可知与平面所成的角为，即为等边三角形，PA ABCD 60PAC ∠=︒PAC 设，则，且平面，平面，AH PO G = ,G AH G PO ∈∈AH ⊂AMHN PO ⊂PBD 可得平面，平面，∈G AMHN ∈G PBD 且平面平面，所以，即交于一点，AMHN PBD MN =G MN ∈,,AH PO MN G 因为为的中点，则为的重心，H PC G PAC 且∥，则，BD MN 23PM PN PG PB PD PO ===设，则，2AB=11,32PA PC OA OC AC OB OD OP ========如图，以分别为轴，建立空间直角坐标系，,,OA OB OP ,,x y z 则，)()22,0,0,3,0,,1,0,,133AP M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得，()24,1,0,,0,33AM NM AP ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面的法向量，则，AMN ()111,,x n y z =1111203403n AM y z n NM y ⎧⋅=++=⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩ 令，则，可得，11x=110,y z ==(n = 设平面的法向量，则，PAM ()222,,m x y z =2222220330m AM y z m AP z ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ 令，则，可得，2x =123,1y z ==)m = 可得，cos ,n m =所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值PAMAMN18．【答案】(1)线段的长为；AB 6(2)（i）直线的方程为；l 2x y =+（ii ）直线的斜率的取值范围为.l 33()(44- 【详解】（1）由双曲线的方程，可得，所以22:13y x Γ-=221,3a b ==，1,2a b c ====所以，，若轴，则直线的方程为，1(2,0)F -2(2,0)F AB x ⊥AB 2x =代入双曲线方程可得，所以线段的长为；(2,3),(2,3)A B -AB 6（2）（i）如图所示，若直线的斜率为0，此时为轴，为左右顶点，此时不构成三角形，矛l l x ,A B 1,,F A B 盾，所以直线的斜率不为0，设，，l :2l x ty =+1122()A x y B x y ,,(,)联立，消去得，应满足，22132y x x ty ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩x 22(31)1290t y ty -++=t 222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩由根与系数关系可得，121222129,3131t y y y y t t +=-=--直线的方程为，令，得，点，1AF 110(2)2y y x x -=++0x =1122y y x =+112(0,)2y M x +直线的方程为，令，得，点，1BF 220(2)2y y x x -=++0x =2222y y x =+222(0,)2y N x +，121122221111|||||2||2|F F F B A A F B F S y F S S F y y y -=⨯-==- 111212221||||||222F M N M F MN N S y y x y y y y x x =-=-=-++ ，12122112212121212222(4)2(4)8()||||||44(4)(4)4()16y y y ty y ty y y ty ty ty ty t y y t y y +-+-=-==+++++++由，可得，11F AB F MN S S = 1212212128()||2||4()16y y y y t y y t y y -=-+++所以，所以，21212|4()16|4t y y t y y +++=222912|4()16|43131tt t t t ⨯+-+=--解得，，解得，22229484816||431t t t t -+-=-22916||431t t -=-22021t =经检验，满足，所以222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩t =所以直线的方程为；l 2x y =+（ii ）由，恒在以为直径的圆内部，可得，1F 2F MN 2190F MF >︒∠所以，又，110F F N M < 112211,22(2,)(2,22F y y N x x M F =+=+所以，所以，1212224022y y x x +⨯<++121210(2)(2)y y x x +<++所以，所以，1221212104()16y y t y y t y y +<+++2222931109124()163131t t t t t t -+<⨯+-+--所以，解得，解得或，22970916t t -<-271699t <<43t <<43t -<<经检验，满足，222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩所以直线的斜率的取值范围为.l 33()(44- 19．【答案】(1)12170,1,4b b b ===(2)1(1)22n n +-⨯+(3)n a n=【详解】（1）因为，则，2n a n =123451,4,9,16,25a a a a a =====所以，，{}*11i B i a =∈<=∅N ∣{}*22{1}i B i a =∈<=N ∣，{}*1717{1,2,3,4}i B i a =∈<=N ∣故.12170,1,4b b b ===（2）因为，所以，2nn a =123452,4,8,16,32a a a a a =====则，所以，，**12{|1},{|2}i i B i a B i a =∈<=∅=∈<=∅N N 10b =20b =当时，则满足的元素个数为，122i i k +<≤ia k <i 故，121222i i i b b b i+++==== 所以()()()1112345672122822n n n n S b b b b b b b b b b b ++++=++++++++++++ ，1212222n n =⨯+⨯++⨯ 注意到，12(1)2(2)2n n nn n n +⨯=-⨯--⨯所以121321202(1)21202(1)2(2)2n n nS n n ++=⨯--⨯+⨯-⨯++-⨯--⨯ .1(1)22n n +=-⨯+（3）由题可知，所以，所以，11a ≥1B =∅10b =若，则，，12a m =≥2B =∅1{1}m B +=所以，，与是等差数列矛盾，20b =11m b +={}n b 所以，设，11a =()*1n n n d a a n +=-∈N 因为是各项均为正整数的递增数列，所以，{}n a *n d ∈N 假设存在使得，设，由得，*k ∈N 2k d ≥k a t =12k k a a +-≥12k a t ++≥由得，，与是等差数列矛盾，112k k a t t t a +=<+<+≤t b k <21t t b b k ++=={}n b 所以对任意都有，*n ∈N 1nd =所以数列是等差数列，.{}n a 1(1)n a n n =+-=。
2024-2025学年上海同一附中高三上学期数学月考试卷及答案(2024.10)
1同一附中2024学年第一学期高三年级数学月考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．集合{}1,3,M t =，{}21P t t =−+，若MP M =，则t =________．2．关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为空集的充要条件为________． 3．集合{}|3,x S y y x R ==∈，{}2|1,T y y x x R ==−∈，则ST =________．4．周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是________． 5．若函数1,0()1(),03x x x f x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩则不等式1()3f x ≥的解集为________． 6．对于实数x ，y ，“221x y +<”是“1x <且1y <”的________条件．7．()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，()22x f x x =+，则0x <时，()f x =________． 8．设(72)n x −的展开式中，各项系数之和为625，则展开式中各项系数的绝对值之和 是________．9．已知等比数列{}n a 满足22a =，31a =，则()12231lim n n n a a a a a a +→+∞+++=________．10．对于定义在集合D 上的函数()f x ，若存在实数0x 满足00()f x x =，则把0x 叫做()f x 的一个不动点，已知()224f x x mx =++，[]1,2D =没有不动点，则实数m 的取值范围 是________．11．当1,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，不等式log 1a x <恒成立，则实数a 的取值范围为________．12．记()22ln 2f x x x kx k =+−+，若存在实数a 、b ，满足122a b ≤<≤，使得函数()y f x =在区间[],a b 上是严格增函数，则实数k 的取值范围是________．2二、选择题（本大题满分445518+++=分）13．某班有50名学生，期末考试数学成绩服从正态分布()2120,N σ，已知(140)0.2P X >=，则[]100,140X ∈的学生人数为（ ） A ．5B ．10C ．20D ．3014．若偶函数()f x 在区间[)0,+∞上严格增加，则1(21)3f x f ⎛⎫−< ⎪⎝⎭的x 取值范围是（ ）A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,323⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭15．若函数()()20.5log 3f x x ax a =−+在[)2,+∞上是严格减函数，则实数a 的取值范围（ ） A ．(),4−∞B ．(]4,4−C ．()[),42,−∞−+∞ D ．[]4,2−16．已知函数()ln f x x x =，若120x x <<，则下列结论正确的个数是（ ） （1）2112()()x f x x f x <； （2）()()1122x f x x f x +<+ （3）()()12120f x f x x x −<−； （4）当ln 1x >−时，112221()()2()x f x x f x x f x +>A ．1B ．2C ．3D ．4三、解答题（本大题满分78分）17．（本题8614+=分）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E ，F 分别为线段1DD ，BD 的中点．（1）求点D 到平面AEF 的距离； （2）求异面直线EF 与BC 所成的角．18．（本题6814+=分）已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，22sin)()sin A C a b B−=−，外接圆半径R=．（1）求C∠的度数；（2）求△ABC面积S的最大值．19．（本题26614++=分）疫情期间居家学习，某校随机抽取了100名居家学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间（单位：h）的频率分布直方图如下，若被抽取的这100名学生中，每天学习时间不低于8小时有30人．（1）求频率分布直方图中实数a，b的值；（2）每天学习时间在[)6.0,6.5的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽2人进行电话访谈，已知抽取的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率；（3）依据所抽取的样本，从每天学习时间在[)6.0,6.5和[)7.0,7.5的学生中按比例分层抽样抽取8人，再从这8人中选3人进行电话访谈，求抽取的3人中每天学习时间在[)6.0,6.5的人数X的分布和数学期望．320．（本题46818++=分）若椭圆22:143x yΓ+=的右焦点为F，过F的直线l交Γ于A，B两点．（1）若直线l垂直于x轴，求线段AB的长；（2）若直线l与x轴不重合，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值；（3）若椭圆Γ上存在点C使得AC BC=，且△ABC的重心G在y轴上，求此时直线l的方程．4521．（本题46818++=分）设()y f x =、()y g x =是定义域为R 的函数，当12()()g x g x ≠时，记121212()()(,)()()f x f x x xg x g x −δ=−．（1）已知()y g x =在区间I 上严格增，且对任意1x ，2x I ∈，12x x ≠，有12(,)0x x δ>，证明：函数()y f x =在区间I 上严格增； （2）已知()32133g x x ax x =+−，且对任意1x ，2x R ∈，当12()()g x g x ≠时，有12(,)0x x δ>，若当1x =时，函数()y f x =取得极值，求实数a 的值； （3）已知()sin g x x =，12πf ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1πf2⎛⎫−=− ⎪⎝⎭，且对任意1x ，2x R ∈，当12()()g x g x ≠时，有12(,)1x x δ≤，证明：()sin f x x =．6参考答案一、填空题1.1,0,2−;2.20,40a b ac >−≤;3.(]0,1;4.2;5.[]3,1−;6.充分不必要;7.22x x −+;8.6561;9.323; 10.()3,2,2⎛⎫−∞−⋃−+∞ ⎪⎝⎭； 11.[)10,3,3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦ 12.9{|}4k k <12．记()22ln 2f x x x kx k =+−+，若存在实数a 、b ，满足122a b ≤<≤，使得函数()y f x =在区间[],a b 上是严格增函数，则实数k 的取值范围是________． 【答案】9{|}4k k <【解析】()222f x lnx x kx k =+−+在区间[]a,b 上是严格增函数, ()1'220f x x k x ∴=+−…在[]a,b 上恒成立,可得1122k x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭…成立,又()1122g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在02⎛⎝⎭上递减,在(2,⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增, 122a b ≤<≤,()139,2224g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭,故94k <.故答案为:9{|}4k k <.二、选择题13.D 14.A 15. 16.B16．已知函数()ln f x x x =，若120x x <<，则下列结论正确的个数是（ ） （1）2112()()x f x x f x <； （2）()()1122x f x x f x +<+ （3）()()12120f x f x x x −<−； （4）当ln 1x >−时，112221()()2()x f x x f x x f x +>A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B7【解析】（1）正确;因为令()()f x g x lnx x==, 在()0,+∞上是增函数,∴当120x x <<时,()()12g x g x <,()()1212f x f x x x ∴<即()()2112x f x x f x <.（2）错误；因为令()()g x f x x xlnx x =+=+()'2,g x lnx ∴=+()2x e ,−∴∈+∞时,()()'0,g x g x >单调递增,()20x ,e −∈时,()()'0,g x g x <单调递减.()11x f x ∴+与()22x f x +无法比较大小.（3）错误；因为令()()g x f x x xlnx x =−=−,()'g x lnx =()01x ,∴∈时,()()'0,g x g x <在()01,单调递减,()1x ,∈+∞时,()()'0,g x g x >在()1,+∞单调递增,()()()()1212112201,,,x x g x g x f x x f x x ∴<<−><∴−>当时()()()()12121212,0f x f x f x f x x x x x −∴−>−∴<−当121x x <<时,()()12g x g x <()()()()()()121122121212,,0.f x f x f x x f x x f x f x x x x x −∴−<−∴−<−∴>−（4）正确;因为1lnx >−时,()f x 单调递增, 又（1）正确,()()()()()()()1122211122212x f x x f x x f x x f x f x x f x f x ⎡⎤⎡⎤∴⋅+⋅−>−+−⎣⎦⎣⎦()()()12120x x f x f x ⎡⎤=−−>⎣⎦,故选B.三．解答题17.（1） （2）18.（1）3π（219.（1）0.26,0.38a b == （2）23（3）()34E X =820．（本题46818++=分）若椭圆22:143x y Γ+=的右焦点为F ，过F 的直线l 交Γ于A ，B 两点．（1）若直线l 垂直于x 轴，求线段AB 的长；（2）若直线l 与x 轴不重合，O 为坐标原点，求△AOB 面积的最大值； （3）若椭圆Γ上存在点C 使得AC BC =，且△ABC 的重心G 在y 轴上，求此时直线l 的方程． 【答案】（1）3AB =（2）32（3） 直线;1l x =或0y =或1x y =+. 【解析】(1)()10F ,,令1x =, 则21143y +=,3,32y AB ∴=±∴=(2) 设直线()()11:10,l x my m A x ,y =+≠,()22B x ,y 联立得221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩, 则()2234690,m y my ++−=则()212261441,,34mm y y m −∆=++=+12122293434y y y y m m −⋅=∴−=++121122AOBS OF y y ∆∴=⋅−=令,1t t …, 则2661313AOB tS t t t ∆==++,13y t t=+在[)1,+∞上为增函数,926663142313AOB tS t t t∆∴===++…, 当且仅当1t =, 即0m =时取等号, AOB ∴∆面积的最大值为32. (3)当直线l 不与x 轴重合时,设直线()()(112:10,,l x my m A x ,y B x =+≠,)2,y AB 的中点为M ,联立得221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩, 则()2234690m y my ++−= ()212261441,34mm y y m −∆=++=+122934y y m −⋅=+ ABC ∆的重心G 在y 轴上,120C x x x ∴++=()()12122C x x x m y y ∴=−+=−+−=28,34m −+()12122242234M m y y x x x m +++===+1223234M y y my m +−==+,AC BC CM AB=∴⊥∴直线():M M CM y y m x x −=−−,()2934C M C M my y m x x m ∴=−−=+22893434m C ,m m −⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭, 代入椭圆得,()22310m m −=,0m∴=或m =, ∴直线:1lx =或1x y =+, 当直线 与x 轴重合时,C 点在椭圆的上,下顶点,满足题意，此时:0l y =， 综上, 直线;1l x =或0y =或1x y =+. 21．（本题46818++=分）设()y f x =、()y g x =是定义域为R 的函数，当12()()g x g x ≠时，记121212()()(,)()()f x f x x xg x g x −δ=−．（1）已知()y g x =在区间I 上严格增，且对任意1x ，2x I ∈，12x x ≠，有12(,)0x x δ>，证明：函数()y f x =在区间I 上严格增；10（2）已知()32133g x x ax x =+−，且对任意1x ，2x R ∈，当12()()g x g x ≠时，有12(,)0x x δ>，若当1x =时，函数()y f x =取得极值，求实数a 的值； （3）已知()sin g x x =，12πf ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1πf2⎛⎫−=− ⎪⎝⎭，且对任意1x ，2x R ∈，当12()()g x g x ≠时，有12(,)1x x δ≤，证明：()sin f x x =．【答案】（1）见解析 （2）1a =（3）见解析【解析】(1) 证明: 不妨设12x x <,因为()y g x =在I 上严格增,所以对任意1212,,x x I x x ∈<, 有()()120g x g x −<, 又()()()()()121212,0,f x f x x x g x g x −δ=>−所以()()120f x f x −<,所以()y f x =在区间I 上严格增.（2）由（1）可知：当()y g x =在区间I 上严格增时,()y f x =在I 上严格增, 当()y g x =在区间I 上严格减时,()y f x =在I 上严格减,又当1x =时,()y f x =取得极值,所以当1x =时,()y g x =也取得极值,()()2'23,'1220g x x ax g a =+−=−=, 可得1a =,当1a =时,()()()'31g x x x =+−, 所以在()3,−∞−上,()()'0,g x g x >单调递增,在()31,−上,()()'0,g x g x <单调递减, 在()1,+∞上,()()'0,g x g x >单调递增,所以()g x 在1x =处取得极值,所以1a =. (3)证明: 当()2x k k Z π≠+π∈时, 由条件知()1121f x x,sinx +π⎛⎫δ−=≤ ⎪+⎝⎭ 所以()()1,121f x f x sinx ,x sinx −π⎛⎫δ=≤ ⎪−⎝⎭…,所以()f x sinx …,所以()f x sinx =, 当()202x k k Z ,k π=+π∈≠时, 对任意22t ,ππ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭, 有()()11f x sint x,t sint −δ=≤− 所以()211sint f x −剟,又因为21sint −的值域为()31,−,所以()1f x =,11 当()202x k k Z ,k π=−+π∈≠时, 对任意22t ,ππ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭, 有()()11f x sint x,t sint −δ=≤−−, 所以()112f x sint −+剟,又因为12sint +值域为()13,,所以()1f x =−, 综上可知, 对任意(),x R f x sinx ∈=.。
2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考) 数学试题[含答案]
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2024~2025学年高三第一次联考（月考）试卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､导数及其应用.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合的真子集的个数为（）{}4,3,2,0,2,3,4A =---{}2290B x x =-≤A B ⋂A.7B.8C.31D.322.已知，，则“，”是“”的（ ）0x >0y >4x ≥6y ≥24xy ≥A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆､绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为()mg /L N t （为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消0e kt N N -=0N 00N >20%除至最初的还需要（ ）64%A.3.8小时 B.4小时C.4.4小时D.5小时4.若函数的值域为，则的取值范围是（）()()2ln 22f x x mx m =-++R m A.B.()1,2-[]1,2-C.D.()(),12,-∞-⋃+∞(][),12,-∞-⋃+∞5.已知点在幂函数的图象上，设，(),27m ()()2n f x m x =-(4log a f =，，则，，的大小关系为（ ）()ln 3b f =123c f -⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c A.B.c a b <<b a c<<C. D.a c b <<a b c<<6.已知函数若关于的不等式的解集为，则的()()2e ,0,44,0,x ax xf x x a x a x ⎧->⎪=⎨-+-+≤⎪⎩x ()0f x ≥[)4,-+∞a 取值范围为（ ）A.B. C. D.(2,e ⎤-∞⎦(],e -∞20,e ⎡⎤⎣⎦[]0,e 7.已知函数，的零点分别为，，则（ ）()41log 4xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()141log 4xg x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b A. B.01ab <<1ab =C.D.12ab <<2ab ≥8.已知，，，且，则的最小值为（ ）0a >0b >0c >30a b c +-≥6b a a b c ++A. B. C. D.29495989二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（ ）A.函数是相同的函数()f x =()g x =B.函数6()f x =C.若函数在定义域上为奇函数，则()313xx k f x k -=+⋅1k =D.已知函数的定义域为，则函数的定义域为()21f x +[]1,1-()f x []1,3-10.若，且，则下列说法正确的是（）0a b <<0a b +>A. B.1a b >-110a b+>C. D.22a b <()()110a b --<11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）()()3233f x x x a x b=-+--A.若在上单调递增，则的取值范围是()f x ()0,+∞a (),0-∞B.点为曲线的对称中心()()1,1f ()y f x =C.若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是()2,m ()()3y f x a x b =+-+m ()5,4--D.若存在极值点，且，其中，则()f x 0x ()()01f x f x =01x x ≠1023x x +=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.__________.22lg 2lg3381527log 5log 210--+⋅+=13.已知函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则不等式[]y x =x []3.43=[]1.62-=-的解集为__________；当时，的最大值为__________.[][]06x x <-0x >[][]29x x +14.设函数，若，则的最小值为__________.()()()ln ln f x x a x b =++()0f x ≥ab 四､解答题：本题共5小题､共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知全集，集合，.U =R {}231030A x x x =-+≤{}220B x xa =+<（1）若，求和；8a =-A B ⋂A B ⋃（2）若，求的取值范围.()UA B B ⋂= a 16.（本小题满分15分）已知关于的不等式的解集为.x 2280ax x --<{}2x x b-<<（1）求，的值；a b （2）若，，且，求的最小值.0x >2y >-42a bx y +=+2x y +17.（本小题满分15分）已知函数.()()()211e 2x f x x ax a =--∈R （1）讨论的单调性；()f x （2）若对任意的恒成立，求的取值范围.()e x f x x ≥-[)0,x ∈+∞a 18.（本小题满分17分）已知函数是定义在上的奇函数.()22x xf x a -=⋅-R（1）求的值，并证明：在上单调递增；a ()f x R （2）求不等式的解集；()()23540f x x f x -+->（3）若在区间上的最小值为，求的值.()()442x x g x mf x -=+-[)1,-+∞2-m 19.（本小题满分17分）已知函数.()()214ln 32f x x a x x a =---∈R （1）若，求的图像在处的切线方程；1a =()f x 1x =（2）若恰有两个极值点，.()f x 1x ()212x x x <（i ）求的取值范围；a （ii ）证明：.()()124ln f x f x a+<-数学一参考答案､提示及评分细则1.A 由题意知，又，所以{}2290B x x ⎡=-=⎢⎣∣ {}4,3,2,0,2,3,4A =---，所以的元素个数为3，真子集的个数为.故选.{}2,0,2A B ⋂=-A B ⋂3217-=A 2.A 若，则，所以“”是“”的充分条件；若，满足4,6x y 24xy 4,6x y 24xy 1,25x y ==，但是，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是24xy 4x <4,6x y 24xy 4,6x y “”的充分不必要条件.故选A.24xy 3.B 由题意可得，解得，令，可得4004e 5N N -=44e 5k -=20004e 0.645t N N N -⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得，所以污染物消除至最初的还需要4小时.故选B.()248e e ek kk---==8t =64%4.D 依题意，函数的值域为，所以，解得()()2ln 22f x x mx m =-++R ()2Δ(2)420m m =--+ 或，即的取值范围是.故选D.2m 1m - m ][(),12,∞∞--⋃+5.C 因为是軍函数，所以，解得，又点在函数的图()()2nf x m x =-21m -=3m =()3,27()n f x x =象上，所以，解得，所以，易得函数在上单调递增，又273n=3n =()3f x x =()f x (),∞∞-+，所以.故选C.1241ln3lne 133log 2log 2->==>=>=>a c b <<6.D 由题意知，当时，；当时，；当时，(),4x ∞∈--()0f x <[]4,0x ∈-()0f x ()0,x ∞∈+.当时，，结合图象知；当时，，当()0f x 0x ()()()4f x x x a =-+-0a 0x >()e 0x f x ax =- 时，显然成立；当时，，令，所以，令，解0a =0a >1e x x a (),0e x x g x x =>()1e xxg x -='()0g x '>得，令0，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以01x <<()g x '<1x >()g x ()0,1()1,∞+，所以，解得综上，的取值范围为.故选D.()max 1()1e g x g ==11e a0e a < a []0,e 7.A 依题意得，即两式相减得4141log ,41log ,4a b a b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩441log ,41log ,4a ba b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩.在同一直角坐标系中作出的图()44411log log log 44a ba b ab ⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4141log ,log ,4xy x y x y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭象，如图所示：由图象可知，所以，即，所以.故选A.a b >1144ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4log 0ab <01ab <<8.C 因为，所以，所以30a b c +- 30a b c +> 11911121519966399939911b a b a b b b b a b c a b a b a a a a ⎛⎫++=+=++--=-= ⎪+++⎝⎭++ ，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选C.1911991b b a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭+29b a =6b aa b c ++599.AD 由解得，所以，由，解得10,10x x +⎧⎨-⎩ 11x - ()f x =[]1,1-210x -，所以的定义域为，又，故函数11x - ()g x =[]1,1-()()f x g x ===与是相同的函数，故A 正确；，()f x ()g x ()6f x ==当且仅当方程无解，等号不成立，故B 错误；函数=2169x +=在定义域上为奇函数，则，即，即()313x x k f x k -=+⋅()()f x f x -=-331313x xx x k k k k ----=-+⋅+⋅，即，整理得，即，()()33313313x x xxxxk k k k ----=-+⋅+⋅313313x x x x k kk k ⋅--=++⋅22919x x k k ⋅-=-()()21910x k -+=所以，解得.当时，，该函数定义域为，满足，210k -=1k =±1k =()1313xx f x -=+R ()()f x f x -=-符合题意；当时，，由可得，此时函数定义域为1k =-()13311331x x xxf x --+==--310x -≠0x ≠，满足，符合题意.综上，，故C 错误；由，得{}0x x ≠∣()()f x f x -=-1k =±[]1,1x ∈-，所以的定义域为，故D 正确.故选AD.[]211,3x +∈-()f x []1,3-10.AC 因为，且，所以，所以，即，故A 正确；0a b <<0a b +>0b a >->01a b <-<10ab -<<因为，所以，故В错误；因为，所以，0,0b a a b >->+>110a ba b ab ++=<0a b <<,a a b b =-=由可得，所以，故C 正确；因为当，此时，故0a b +>b a >22a b <11,32a b =-=()()110a b -->D 错误.故选AC.11.BCD 若在上单调递增，则在上佰成立，所以()f x ()0,∞+()23630f x x x a '=-+- ()0,x ∞∈+，解得，即的取值范围是，故A 错误；因为()min ()13630f x f a '==--'+ 0a a (],0∞-，所以，又()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+()11f a b =--+，所以点()()()332(21)21(1)1222f x f x x a x b x ax b a b -+=-----++---+=--+为曲线的对称中心，故B 正确；由题意知，所以()()1,1f ()y f x =()()3233y f x a x b xx =+-+=-，设切点为，所以切线的斜率，所以切线的方程为236y x x =-'()32000,3x x x -20036k x x =-，所以，整理得()()()3220000336y x x x x x x --=--()()()322000003362m xx x x x --=--.记，所以3200029120x x x m -++=()322912h x x x x m =-++()26h x x '=-，令，解得或，当时，取得极大值，当时，1812x +()0h x '=1x =2x =1x =()h x ()15h m =+2x =取得极小值，因为过点可作出曲线的三条切线，所以()h x ()24h m=+()2,m ()()3y f x a x b =+-+解得，即的取值范围是，故C 正确；由题意知()()150,240,h m h m ⎧=+>⎪⎨=+<⎪⎩54m -<<-m ()5,4--，当在上单调递增，不符合题意；当，()223633(1)f x x x a x a =-+-=--'()0,a f x (),∞∞-+0a >令，解得，令，解得在()0f x '>1x <-1x >+()0f x '<11x -<<+()f x 上单调递增，在上单调递堿，在上单调递增，因为,1∞⎛- ⎝1⎛+ ⎝1∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭存在极值点，所以.由，得，令，所以，()f x 0x 0a >()00f x '=()2031x a-=102x x t+=102x t x =-又，所以，又，()()01f x f x =()()002f x f t x =-()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+所以，又，所以()()()330000112121x ax b t x a t x b ---+=-----+()2031x a-=，化简得()()()()()()()322320000000013112121312x x x b x x b t x x t x b----=----=------，又，所以，故D 正确.故选BCD.()()20330t x t --=010,30x x x t ≠-≠103,23t x x =+=12. 由题意知10932232862log 184163381255127log 5log 210log 5log 121027---⎛⎫+⋅+=+⋅-+ ⎪⎝⎭62511411410log 5log 2109339339=-⋅+=-+=13.（2分）（3分） 因为，所以，解得，又函数[)1,616[][]06x x <-[][]()60x x -<[]06x <<称为高斯函数，表示不超过的最大整数，所以，即不等式的解集为.当[]y x =x 16x < [][]06x x <-[)1,6时，，此时；当时，，此时01x <<[]0x =[]2[]9x x =+1x []1x ，当且仅当3时等号成立.综上可得，当时，的[][][]2119[]96x x x x ==++[]x =0x >[]2[]9x x +最大值为.1614. 由题意可知：的定义域为，令，解得令，解21e -()f x (),b ∞-+ln 0x a +=ln ;x a =-()ln 0x b +=得.若，当时，可知，此时，不合题1x b =-ln a b -- (),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <意；若，当时，可知，此时，不合ln 1b a b -<-<-()ln ,1x a b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <题意；若，当时，可知，此时；当ln 1a b -=-(),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+<()0f x >时，可知，此时，可知若，符合题意；若[)1,x b ∞∈-+()ln 0,ln 0x a x b ++ ()0f x ln 1a b -=-，当时，可知，此时，不合题意.综上所ln 1a b ->-()1,ln x b a ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+>()0f x <述：，即.所以，令，所以ln 1a b -=-ln 1b a =+()ln 1ab a a =+()()ln 1h x x x =+，令，然得，令，解得，所以在()ln 11ln 2h x x x '=++=+()0h x '<210e x <<()0h x '>21e x >()h x 上单调递堿，在上单调递增，所以，所以的最小值为.210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭min 2211()e e h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ab 21e -15.解：（1）由题意知，{}2131030,33A x x x ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦∣ 若，则，8a =-{}()22802,2B x x =-<=-∣所以.(]1,2,2,33A B A B ⎡⎫⋂=⋃=-⎪⎢⎣⎭（2）因为，所以，()UA B B ⋂= ()UB A ⊆ 当时，此时，符合题意；B =∅0a 当时，此时，所以，B ≠∅0a <{}220Bx x a ⎛=+<= ⎝∣又，U A ()1,3,3∞∞⎛⎫=-⋃+ ⎪⎝⎭13解得.209a -< 综上，的取值范围是.a 2,9∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭16.解：（1）因为关于的不等式的解集为，x 2280ax x --<{2}xx b -<<∣所以和是关于的方程的两个实数根，且，所以2-b x 2280ax x --=0a >22,82,b a b a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得.1,4a b ==（2）由（1）知，所以1442x y +=+()()()221141422242241844242y xx y x y x y x y y x ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤+=++-=+++-=+++-⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎣⎦，179444⎡⎢+-=⎢⎣ 当且仅当，即时等号成立，所以.()2242y x y x +=+x y ==2x y +74-17.解：（1）由题意知，()()e e x x f x x ax x a=-=-'若，令.解得，令，解得，所以在上单调递琙，在0a ()0f x '<0x <()0f x '>0x >()f x (),0∞-上单调递增.()0,∞+若，当，即时，，所以在上单调递增；0a >ln 0a =1a =()0f x ' ()f x (),∞∞-+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a >1a >()0f x '>0x <ln x a >()0f x '<0ln x a <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a <01a <<()0f x '>ln x a <0x >()0f x '<ln 0a x <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()f x (),ln a ∞-()ln ,0a ()0,∞+综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在0a ()f x (),0∞-()0,∞+01a <<()f x 上单调递增，在上单调递减，在上单调递增当时，在上(,ln )a ∞-()ln ,0a ()0,∞+1a =()f x (),∞∞-+单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.1a >()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+（2）若对任意的恒成立，即对任意的恒成立，()e xf x x - [)0,x ∞∈+21e 02xx ax x -- [)0,x ∞∈+即对任意的恒成立.1e 102x ax -- [)0,x ∞∈+令，所以，所以在上单调递增，当()1e 12x g x ax =--()1e 2x g x a=-'()g x '[)0,∞+，即时，，所以在上单调递增，所以()10102g a =-' 2a ()()00g x g '' ()g x [)0,∞+，符合题意；()()00g x g = 当，即时，令，解得，令，解得，所()10102g a =-<'2a >()0g x '>ln 2a x >()0g x '<0ln 2a x < 以在上单调递减，()g x 0,ln 2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以当时，，不符合题意.0,ln 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()00g x g <=综上，的取值范围是.a (],2∞-18.（1）证明：因为是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()010f a =-=解得，所以，1a =()22x xf x -=-此时，满足题意，所以.()()22x x f x f x --=-=-1a =任取，所以12x x <，()()()()211122121211122222122222222122x x x x x x x x x x x x f x f x x x --⎛⎫--=---=--=-+ ⎪++⎝⎭又，所以，即，又，12x x <1222x x <12220x x -<121102x x ++>所以，即，所以在上单调递增.()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x R （2）解：因为，所以，()()23540f x x f x -+->()()2354f x x f x ->--又是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()()2354f x x f x ->-+又在上单调递增，所以，()f x R 2354x x x ->-+解得或，即不等式的解集为.2x >23x <-()()23540f x x f x -+->()2,2,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭（3）解：由题意知，令，()()()44244222xxxxxxg x mf x m ---=+-=+--322,,2x x t t ∞-⎡⎫=-∈-+⎪⎢⎣⎭所以，所以.()2222442x xxxt --=-=+-()2322,,2y g x t mt t ∞⎡⎫==-+∈-+⎪⎢⎣⎭当时，在上单调递增，所以32m -222y t mt =-+3,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，解得，符合题意；2min317()323224g x m m ⎛⎫=-++=+=- ⎪⎝⎭2512m =-当时，在上单调递减，在上单调递增，32m >-222y t mt =-+3,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭(),m ∞+所以，解得或（舍）.222min ()2222g x m m m =-+=-=-2m =2m =-综上，的值为或2.m 2512-19.（1）解：若，则，所以，1a =()214ln 32f x x x x =---()14f x x x =--'所以，又，()14112f =--='()1114322f =--=所以的图象在处的切线方程为，即.()f x 1x =()1212y x -=-4230x y --=（2）（i ）解：由题意知，()22444a x a x x x af x x x x x '---+=--==-又函数恰有两个极值点，所以在上有两个不等实根，()f x ()1212,x x x x <240x x a -+=()0,∞+令，所以()24h x x x a =-+()()00,240,h a h a ⎧=>⎪⎨=-<⎪⎩解得，即的取值范围是.04a <<a ()0,4（ii ）证明：由（i ）知，，且，12124,x x x x a +==04a <<所以()()2212111222114ln 34ln 322f x f x x a x x x a x x ⎛⎫⎛⎫+=---+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2212121214ln ln 62x x a x x x x =+-+-+-，()()()21212121214ln 262x x a x x x x x x ⎡⎤=+--+--⎣⎦()116ln 1626ln 22a a a a a a =----=-+要证，即证，只需证.()()124ln f x f x a+<-ln 24ln a a a a -+<-()1ln 20a a a -+-<令，所以，()()()1ln 2,0,4m a a a a a =-+-∈()11ln 1ln a m a a a a a -=-++=-'令，所以，所以即在上单调递减，()()h a m a ='()2110h a a a =--<'()h a ()m a '()0,4又，所以，使得，即，()()1110,2ln202m m '-'=>=<()01,2a ∃∈()00m a '=001ln a a =所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在()00,a a ∈()0m a '>()0,4a a ∈()0m a '<()m a ()00,a 上单调递减，所以.()0,4a ()()()max 00000000011()1ln 2123m a m a a a a a a a a a ==-+-=-+-=+-令，所以，所以在上单调递增，所以()()13,1,2u x x x x =+-∈()2110u x x =->'()u x ()1,2，所以，即，得证.()000111323022u a a a =+-<+-=-<()0m a <()()124ln f x f x a +<-。
2025届六安市一中高三数学上学期第三次月考试卷及答案解析
六安一中2025届高三年级第三次月考数学试卷时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数()i 12i z =-+，其中i 是虚数单位，则z =（ ）A. 1B. 2C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据复数的乘法运算可得2i z =-，进而可求模长.【详解】因为()i 12i 2i z =-+=-，所以z ==.故选：D.2. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为 n S ，若38304S a ==,，则9S =（ ）A. 54 B. 63C. 72 D. 135【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质求出2a ，再求出9S .【详解】等差数列{}n a 中，由330S =，得2123330a a a a =++=，解得210a =，而84a =，所以192899()9()6322a a a a S ++===.故选：B3. 已知平面向量,a b 满足4a = ，(1,b = ，且()()23a b a b +⊥- ．则向量a 与向量b的夹角是（ ）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】C 【解析】【分析】根据垂直得出向量的数量积，再由夹角公式计算即可.【详解】因为(1,b =，所以3b == ，由()()23a b a b +⊥- 可得()()2223325481850a b a b a b a b a b +⋅-=-+⋅=-+⋅=，所以6a b ⋅=-，所以61cos ,432a b a b a b ⋅-===-⨯⋅，由[],0,πa b ∈ 知2π,3a b =，故选：C4. 在等比数列{}n a 中，已知13a =，48n a =，93n S =，则n 的值为（ ）A. 4 B. 5C. 6D. 7【答案】B 【解析】【分析】由1(1)1-=-n n a q S q及通项公式11n n a a q -=，列出方程组求解即可.【详解】在等比数列{a n }中，13a =，48n a =，93n S =，所以1q ≠，由1(1)1-=-n n a q S q ，及通项公式11n n a a q -=，可得13(1)931483n n q q q -⎧-=⎪-⎨⎪=⎩，解得2,5q n ==.故选：B.5. 已知数列{}n a 满足1211n n a a n +-=-，且110a =，则n a 的最小值是（ ）A. -15 B. -14C. -11D. -6【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件得出最小项为6a ，利用迭代的思想即可求得6a .【详解】∵1211n n a a n +-=-，∴当5n ≤时，10n n a a +-<，当5n >时，10n n a a +->，∴12345678a a a a a a a a >>>>><<<⋅⋅⋅，显然n a 的最小值是6a .又1211n n a a n +-=-，∴()()()()()612132435465a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+-+-()()()()()109753115=+-+-+-+-+-=-，即n a 的最小值是15-.故选：A6. 已知ABC V 是边长为1的正三角形，1,3AN NC P = 是BN 上一点且29AP mAB AC =+，则AP AB ⋅=（ ）A.29B.19C.23D. 1【答案】A 【解析】【分析】根据题意得89AP mAB AN =+，由,,P B N 三点共线求得19m =，利用向量数量积运算求解.【详解】13AN NC =，14AN AC ∴=u u u r u u u r ，且2899AP mAB AC mAB AN =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，而,,P B N 三点共线，819m ∴+=，即19m =，1299AP AB AC ∴=+u u u r u u u r u u u r ，所以o12122cos 6099999AP AB AB AC AB ⎛⎫⋅=+⋅=+⨯= ⎪⎝⎭.故选：A.7. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1024n n S a +=，则数列{}n a 的前n 项积的最大值为（ ）A. 552 B. 452 C. 92 D. 102【答案】B 【解析】【分析】根据给定的递推公式求出1a ，进而求出数列{}n a 通项，借助单调性求解即得.【详解】依题意，N n *∈，1024n n S a +=，则1512a =，当2n ≥时，111024n n S a --+=，两式相减得12n n a a -=，即112n n a a -=，因此数列{}n a 是以512为首项，12为公比的等比数列，于是1101512()22n n n a --=⨯=，显然数列{}n a 单调递减，当10n ≤时，1n a ≥，当11n ≥，1n a <，所以当9n =或10n =时，数列{}n a 的前n 项积最大，最大值为98720452222222⨯⨯⨯⨯⨯⨯= .故选：B8. 已知O 是ABC V 所在平面内一点，且2AB = ，1OA AC ⋅=- ，1OC AC ⋅=，则ABC ∠的最大值为（ ）A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得C 点轨迹是以A 为圆心，的圆，再由直线与圆相切可得ABC ∠的最大值为π4.【详解】根据1OA AC ⋅=- ，1OC AC ⋅=可得()22OC AC OA AC OC OA AC AC ⋅-⋅=-⋅== ，即可知C 点轨迹是以A的圆，如下图所示：由图可知，当BC 与圆相切时，ABC ∠取到最大，又2AB =可知此时π4ABC ∠=故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知z 为复数，设z ，z ，i z 在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，其中O 为坐标原点，则（ ）A. OA OB= B. OA OC⊥.C. AC BC= D. OB AC∥ 【答案】AB 【解析】【分析】根据复数的几何意义、共轭复数、复数的乘法运算可以表示出A ，B ，C 三点的坐标，通过向量的模长、向量的平行和垂直知识进而可以判断.【详解】设()i ,z a b a b =+∈R ，(),∴A a b ，()i ,z a b a b =-∈R ，(),B a b ∴-，()i i i i =+=-+z a b b a ，(),∴-C b a ，()()()()(),,,,,,,,,==-=------+==OA a b OB a b OC b a b a a b b a a b AC BC 对于A，=∴=OA O B ，故选项A 正确；对于B ， ()0-+= a b ba ，∴⊥OA OC ，故选项B 正确；对于C ，AC =，当0ab ≠时，AC BC ≠，故选项C 错误；对于D ，()()()222a a b b b a a ab b -----=-- ，222a ab b --可以为零，也可以不为零，所以OB 不一定平行于AC，故选项D 错误.故选:AB.10. 已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S ，若1089S S S <<，则下列说法正确的是（ ）A. 当9n =时，n S 最大B. 使得0nS <成立的最小自然数18n =C. 891011a a a a +>+D. 数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为1100S a 【答案】ABD 【解析】【分析】利用,n n a S 关系及等差数列通项公式得a 1>0d <0,a 9>0,a 10<0判断A ；根据已知及A 项分析得81191090a a a a a +=+<<，进而确定()101189101189,a a a a a a a a +-++++的符号判断C ；根据A 、C 项分析确定数列正负分界项，再由等差数列前n 项和确定0nS <对应n 的最小值判断B ；根据以上分析确定n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭各项符号判断D.【详解】根据题意：S 8<S 9S 10<S 9⇒S 9−S 8=a 9>0S 10−S 9=a 10<0，即911018090a a d a a d -=--<⎧⎨=+<⎩，两式相加，解得a 1>0d <0,a 9>0,a 10<0，当9n =时，n S 最大，故A 正确；由108S S <，可得91090a a a +<<，所以8110a a +<，故()10118910118940,0a a a a d a a a a +-+=<+++<，所以891011a a a a +<+，故C 错误；由以上可得：1213910110a a a a a a >>>>>>>> ，()117179171702a a S a +==>，而()()1181891018902a a S a a +==+<，当17n ≤时，0n S >；当18n ≥时，0n S <；所以使得0nS <成立的最小自然数18n =，故B 正确.当9n ≤或18n ≥时0nn S a >；当918n <<时0n nS a <；由101117101112170,0a a a S S S S >>>>>>>>> ，所以n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为1100S a ，故D 正确.故选：ABD11. 已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，公比为q ，在12,a a 之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为1d ，在23,a a 之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为2,d ，在1,n n a a +之间插入n 个数，使这2n +个数成等差数列，公差为n d ，则下列说法错误的是（ ）A. 当01q <<时，数列{}n d 单调递减B. 当1q >时，数列{}n d 单调递增C. 当12d d >时，数列{}n d 单调递减D. 当12d d <时，数列{}n d 单调递增【答案】ABC 【解析】【分析】由等差数列得(1)1n n a q d n -=+，然后在01q <<或1q >分别确定{}n d 的单调性判断AB ，进行讨论判断各选项．再由12d d <或12d d >确定q 的范围，从而确定{}n d 的单调性判断CD ．【详解】数列{a n }是各项为正数的等比数列，则公比为0q >，由题意1(1)n n n a a n d +=++，得()1111n n n n a q a a d n n +--==++，01q <<时，0n d <，有()1112n n q n d d n ++=<+，1n n d d +>，数列{}n d 单调递增，A 选项错误；1q >时，0n d >，()112n n q n d d n ++=+，若数列{}n d 单调递增，则()112q n n +>+， 即21n q n +>+，由*N n ∈，需要32q >，故B 选项错误；12d d >时，()()111123a q a q q -->，解得312q <<，1q >时，0n d >，由()112n n q n d d n ++=+，若数列{}n d 单调递减，则()112q n n +<+， 即21111n q n n +<=+++，而 312q <<不能满足()*11N 1q n n <+∈+恒成立，C 选项错误；12d d <时，()()111123a q a q q --<，解得01q <<或32q >，由AB 选项的解析可知，数列{}n d 单调递增，D 选项正确.故选：ABC【点睛】方法点睛：本题数列的单调性，解题方法是利用等差数列的定义确定n d 与q 的关系，利用此关系通过q 的范围确定{}n d 的单调性，同样根据12,d d 的大小确定q 的范围，再得单调性．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4210S S =，则62S S 的值为______.【答案】91【解析】【分析】方法一：利用等比数列前n 项和性质即可求解；方法二：利用等比数列前n 项和的公式，代入计算即可求解.【详解】方法一：等比数列{}n a 中，2S ，42S S -，64S S -成等比数列，则2S ，29S ，281S 成等比数列，∴64281S S S -=，∴6291S S =，∴6291S S =.方法二：设{}n a 公比为q ，由题意显然0q >且1q ≠,所以()()42111110311a q a q q qq--=⋅⇒=--，∴()()616622211131911311a q S q S a q q---===---，故答案为：91.13. 已知数列{}n a 中，11a =，12,2,n n na n a a n ++⎧=⎨-+⎩为奇数为偶数，则数列{}n a 前2024项的和为__________.【答案】2024【解析】【分析】利用数列{}n a 的周期性可得答案.【详解】因为11a =，12,2,n n na n a a n ++⎧=⎨-+⎩为奇数为偶数，所以2123a a =+=，322321=-+=-+=-a a ，4321=+=a a ，542121=-+=-+=a a ，652123=+=+=a a ，L ，所以数列{}n a 是周期为4的周期数列，且123413114+++=+-+=a a a a ，所以()220241202443215062024+=⨯==+++++ S a a a a a a a .的故答案为：2024.14. 在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c （a b ≠）.已知2cos c a A =，则sin sin B A -的最大值是__________.【解析】【分析】利用正弦边角关系、三角恒等变换得到2C A =、π03A <<，再应用和角正弦公式、倍角公式，将目标式化为34sin 2sin A A -+，应用换元法及导数研究其最大值即可.【详解】由2cos c a A =，则sin 2sin cos sin 2C A A A ==，,(0,π)A C ∈，所以2C A =或2πC A +=，而πA B C ++=，且a b ≠，即A B ≠，所以2C A =，且03πA C A <+=<，即π03A <<，sin sin sin 3sin sin cos 2cos sin 2sin B A A A A A A A A∴-=-=+-2232sin (12sin )2cos sin sin sin 2sin 2(1sin )sin sin A A A A A A A A A A=-+-=-+--34sin 2sin A A =-+，令sin t A =∈，则3()42f t t t =-+，2()122f t t '=-+，当t ∈时()0f t '>，则()f t在上递增；当t ∈时()0f t '<，则()f t在上递减；故t =()f t 的极大值点，()f t ∴最大值为342-⨯+⨯=..四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 设等比数列{a n }满足124a a +=，318a a -=．的（1）求{a n }的通项公式；（2）记n S 为数列{log 3a n }的前n 项和．若13m m m S S S +++=，求m ．【答案】（1）13n n a -=；（2）6m =.【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式；（2）由（1）求出3{log }n a 的通项公式，利用等差数列求和公式求得n S ，根据已知列出关于m 的等量关系式，求得结果.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，有1121148a a q a q a +=⎧⎨-=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，所以13n na -=；（2）令313log log 31n n n b a n -===-，所以(01)(1)22n n n n n S +--==，根据13m m m S S S +++=，可得(1)(1)(2)(3)222m m m m m m -++++=，整理得2560m m --=，因为0m >，所以6m =，【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用，考查计算求解能力，属于基础题目.16. 在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()22a cb bc -=+.（1）求角A ；（2）若3,2a BA AC BD DC =⋅==，求AD 的长.【答案】（1）2π3（2【解析】【分析】(1)变形后利用余弦定理可求；(2)先将2π3A =代入3BA AC ⋅= 可得6bc =，再将a =代入()22a c b b c -=+得2213b c +=，联立方程组解得,b c ，由此将向量AD 用,AB AC 表示，求解向量的模可得.【小问1详解】由()22a c b b c -=+得222b c a bc +-=-，则由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-，0πA << ，2π3A ∴=.【小问2详解】由31cos 2BA AC A A bc A b B C c ⋅=-⋅=-== ，解得6bc =①，a = ，22219abc bc ∴=++=，则2213b c +=②，联立①②可得，2,3b c ==，或3,2b c ==.2BD DC = ，∴()2AD AB AC AD -=- ，则1233AD AB AC =+ ，且3AB AC ⋅=- ， 所以()()22222114441299AD AB AC AB AC c b =++⋅=+- ，当2,3b c ==时，2113(91612)99AD =+-= ，则AD当3,2b c ==时，2128(43612)99AD =+-= ，则AD .综上所述，AD .17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，*12111,3,22(2,N )n n n a a S S S n n +-==+=+≥∈.（1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）在数列{}n b 中，1213,n n n n b a b a b ++==，若{}n b 的前n 项和为n T ，求证：92n T <.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用n a 与n S 的关系式，结合等差数列的定义即可得证；（2）利用（1）中结论求得n a ，进而利用累乘法求得n b ，再利用裂项相消法求得n T ，从而得证.【小问1详解】因为*1122(2,N )n n n S S S n n +-+=+≥∈，所以*112(2,N )n n n n S S S S n n +--=-+≥∈，即1*(2,N )2n n a n a n +=+≥∈，又21312a a -=-=，所以数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列.【小问2详解】由（1）知：()11221n a n n =+-⨯=-，则()222123n a n n +=+-=+，又21n n n n a b a b ++=，所以122123n n n n b a n b a n ++-==+，所以312112213332325272151n n n n n b b b b b n b b b b n n b n ---=⋅⋅⋅=⋅-⋅--⋅+9911(21)(21)22121n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以911111123352121n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭ 91912212n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭.18. 设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2132a a a =+，数列是公差为d 的等差数列.（1）求证：21a d =，并求出数列{}n a 的通项公式（用,n d 表示）；（2）设c 为实数，对满足3m n k +=且m n ≠的任意正整数,,m n k ，不等式m n k S S cS +>都成立，求证：c 的最大值为92.【答案】（1）证明见解析，()221n a n d =-（2）证明见解析【解析】【分析】（1关于1,a d 的关系式，再利用题设条件得到关于1,a d 的方n a ，从而得解；（2）利用（1）中结论与完全平方公式求得92c ≤，再利用基本不等式检验92c =时的情况，从而得证.【小问1详解】由题意知：0d >(1)(1)n d n d =+-=+-，因为2132a a a =+，则233a S =，所以2133()S S S -=，则2212)]2)d a d +-=+，整理得210a d d -+=21,d a d ==，22(1),n d n d nd S n d =+-==，当2n ≥时，222221(1)(21)n n n a S S n d n d n d -=-=--=-，适合1n =情形.所以()221n a n d =-.【小问2详解】由m n k S S cS +>，得222222m d n d c k d +>⋅，则222m n c k +>⋅，所以222m n c k+<恒成立，又3m n k +=且m n ≠，,,m n k 正整数，所以22222()()9m n m n k +>+=，则22292m n k +>，故92c ≤，当92c =时，()2222222222999222m n k S S S m d n d k d k d m n mn ⎡⎤=+--⎢⎥+-⎣=+⎦-，22922d k mn ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由不等式可得3m n k +=≥，即294k mn ≤，当且仅当32m n k ==时，等号成立，而m n ≠，故294k mn <，为故092m n k S S S ->+，故c 的最大值为92.19. 已知函数()x f x e =.（1）当0x ≥时，求证：()()2f x f x x --≥；（2）若0k >，且()f x kx b ≥+在R 上恒成立，求2k b +的最大值；（3）设*2,n n ≥∈Nln n +> .【答案】（1）证明见解析（2）2e（3）证明见解析【解析】【分析】（1）不等式成立转换为函数最小值问题，利用导函数求得到点区间，从而得出最小值，不等式得证；（2）构建函数，利用导函数求得单调区间，从而找到最小值，由题意得到不等关系，再令所求代数式为函数，借助导函数求得最大值；（3）由（1()ln ln ln 11n n n n ⎛⎫>=-- ⎪-⎝⎭，从而得证.【小问1详解】令e e ()2(0)x x g x x x -=--≥，所以()()1e 20e x x g x x '=+-≥，所以()e 2e 220x x g x -'=-+≥-=，当且仅当1e e 1ex x x =⇒=，即0x =时，等号成立，所以当[)0,x ∈+∞时，()()0,g x g x '≥单调递增，则()()00g x g ≥=；小问2详解】令()e x F x kx b =--，e ()x F x k '=-；由()0F x '>得出ln x k >；由()0F x '<得出ln x k <；min ()(ln )ln 0F x F k k k k b ∴==--≥；ln b k k k ∴≤-，23ln k b k k k ∴+≤-，令()3ln G k k k k =-，0k >；()2ln G k k '=-，【当20e k <<时，()0G k '>，()G k 单调递增，当2e k >时，()0G k '<，()G k 单调递减，所以2e 是的()G k 极大值点，22()(e )e G k G ∴≤=，2k b +的最大值为2e ；【小问3详解】由（1）知，()e 2e 0,0,x x x x ∞--->∈+，令ln (1)x s s =>，则12ln 0s s s --->，即12ln (1)s s s s ->>，设*2,s n n =≥∈N ，则满足1s >，->1ln 11n ⎛⎫>+ ⎪-⎝⎭，()ln ln ln 11n n n n ⎛⎫>=-- ⎪-⎝⎭，()ln2ln1ln3ln2ln ln 1ln n n n +>-+-++--= ，ln n ++> .【点睛】方法点睛：不等式成立问题：（1）通过令两项的差为函数关系，再利用函数单调性求出函数的最值的方式来解决；（2）多项求和的不等关系的证明，可以先找到某一项的不等关系，再求和得到结论.。
2024-2025学年河北省省级联测高三(上)月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年河北省省级联测高三（上）月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={−1,2,3,4}，B ={x ∈Z|y =ln (9−x 2)}，则A ∩B =( )A. {1,2,3}B. {−1,2}C. {2,3}D. {0,1,2,3,4}2.已知复数z 1=a 2−3a +3i ，z 2=2+(a 2−4a)i ，a ∈R ，若z 1+z 2为纯虚数，则a =( )A. 1或2B. 1C. 2D. 33.已知向量a ,b 满足|a |=2,b =(2,0)，且|a +b |=2，则a 在b 上的投影向量的坐标为( )A. (−1,0)B. (1,0)C. (−2,0)D. (2,0)4.已知cos (α+π2)=2cos(α+3π)，则sin 2α+12sin2αcos 2α=( )A. −14 B. 34 C. 2D. 65.某中学开展劳动实习，学习制作模具，有一个模具的毛坏直观图如图所示，它是由一个圆柱体与一个半球对接而成的组合体，已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面(过圆柱上、下底面圆的圆心连线的平面)ABCD 是面积为16的正方形，则该几何体的体积为( )A. 16π3B. 16πC. 64π3D. 72π6.设S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和，3S 2=a 1+2a 3，a 3=8，则数列{a n +2n−1}的前5项和为( )A. 55B. 57C. 87D. 897.已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象先向右平移π4个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，若关于x 的方程g(x)−m =0在x ∈[−π12,π6]上有两个不等实根，则实数m 的取值范围为( )A. (−2,2]B. (−2,− 3]C. [ 3,2]D. (− 3, 3]8.已知定义域为R的函数f(x)不是常函数，且满足f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y)，f(1)=0，则∑2026i=1f (i)=( )A. −2B. 2C. −2026D. 2026二、多选题：本题共3小题，共18分。
数学高三月考试卷答案
一、选择题1. 答案：D解析：根据三角函数的定义，sin60° = √3/2，cos60° = 1/2，tan60° = √3，cot60° = √3/3。
所以，选项D正确。
2. 答案：A解析：函数y = 2x^2 - 4x + 3的对称轴为x = -b/2a = -(-4)/(22) = 1，顶点坐标为(1, f(1))。
将x = 1代入函数，得f(1) = 21^2 - 41 + 3 = 1。
所以，选项A正确。
3. 答案：B解析：根据指数函数的性质，若a > 1，则y = a^x在R上单调递增；若0 < a < 1，则y = a^x在R上单调递减。
由于题目中给出的函数为y = 1/(2^x)，因此a = 1/2，属于0 < a < 1，故函数在R上单调递减。
所以，选项B正确。
4. 答案：C解析：复数z = a + bi的模长为|z| = √(a^2 + b^2)。
题目中给出的复数z = 3 + 4i，所以|z| = √(3^2 + 4^2) = 5。
所以，选项C正确。
5. 答案：A解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差，n 为项数。
题目中给出的数列为3, 6, 9, 12, ...，首项a1 = 3，公差d = 6 - 3= 3。
求第10项a10，代入公式得a10 = 3 + (10 - 1)3 = 3 + 27 = 30。
所以，选项A正确。
二、填空题6. 答案：-3解析：根据二次方程的求根公式，x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
题目中给出的二次方程为x^2 - 4x + 3 = 0，a = 1，b = -4，c = 3。
代入公式得x = (4 ± √(16 - 12)) / 2 = (4 ± 2) / 2，解得x1 = 3，x2 = 1。
全国高三高中数学月考试卷带答案解析
全国高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．2.设向量，满足，，则（）A．B．C．D．3.在《张丘建算经》有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布几何？” （）A．尺B．尺C．尺D．尺4.已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（）A．B．C．D．5.已知，则（）A．B．C．D．6.如图所示的Venn图中，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，，则为（）A．B．C．D．7.在中，角的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（）A．B．C．D．8.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．则下列各结论正确的是（）（参考数据：lg3≈0.48）A．＜ 1053B．=1053C．= 1093D．＞10939.以下判断正确的是（）A．函数为上可导函数，则是为函数极值点的充要条件B．命题“”的否定是“”C．“”是“函数是偶函数”的充要条件D．命题“在中，若，则”的逆命题为假命题10.设均为正数，且，，. 则（）A．B．C．D．11.已知角始边与x轴的非负半轴重合，与圆相交于点A，终边与圆相交于点B，点B在x 轴上的射影为C，的面积为，则函数的图象大致是（）A．B．C．D．12.若函数，则方程的根的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题1.函数的定义域是_________________.2.已知函数在平面直角坐标系中的部分图象如图所示，若，则_______________.3.在中，，，. 若，，且，则的值为______________.4.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程=0有实数解，则称点(，)为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则 ____________.三、解答题1.在等差数列中，，⑴求数列的通项公式；⑵设数列是首项为，公比为的等比数列，求的前项和2.某辆汽车以xkm/h的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中k为常数，若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L.（1）求k的值；（2）求该汽车每小时油耗的最小值．3.已知，（1）求函数的单调递增区间；（2）设的内角满足，而，求证：.4.已知函数（1）求在区间的最小值的表达式；（2）设，任意，存在，使，求实数的取值范围.5.己知函数，．（I）求函数上零点的个数；（II）设，若函数在上是增函数．求实数的取值范围．6.【选修4—4：坐标系与参数方程】将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线与C的交点为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.7.【选修4—5：不等式选讲】已知函数，且的解集为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求证：．全国高三高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】复数在复平面内对应的点点在第二象限，，解得，则实数的取值范围是，故选B.2.设向量，满足，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】,所以3.在《张丘建算经》有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布几何？” （）A．尺B．尺C．尺D．尺【答案】C【解析】由题意知该女子每天织布的尺数成等差数列，等差数列中，首项与第三十项分别为（尺），故选C.4.已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由图象可知，函数的增长越来越快，故函数在该点的斜率越来越大，所以两点连续的斜率大小，在点处的切线斜率与点的切线斜率之间，，故选B.5.已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，可得，那么，故选B.6.如图所示的Venn图中，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，，则为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依据定义，就是指将除去后剩余的元素构成的集合，对于集合，求的是函数的定义域，解得，对于集合，求的是函数的值域，解得，所以，或，故选D.7.在中，角的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】所以，选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有，，的式子，用正弦定理将角转化为边，得到.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.8.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．则下列各结论正确的是（）（参考数据：lg3≈0.48）A．＜ 1053B．=1053C．= 1093D．＞1093【答案】D【解析】由题意，，根据对数性质有，，，故选D.9.以下判断正确的是（）A．函数为上可导函数，则是为函数极值点的充要条件B．命题“”的否定是“”C．“”是“函数是偶函数”的充要条件D．命题“在中，若，则”的逆命题为假命题【答案】C【解析】对于，函数为上可导函数，则是为函数极值点的必要不充分条件，如，满足，但不是函数的极值点，故错误；对于，命题“”的否定是“”，故错误；对于，若，则，，函数为偶函数,反之，若函数是偶函数，则，即，“”，是“函数是偶函数”，的充要条件，故正确；对于，在中，若“，则，” 的逆命题为“若，则”，由正弦定理可知，在中，，逆命题为真命题，故错误，故选C.10.设均为正数，且，，. 则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为所以,可得；因为所以,可得；因为所以,可得,所以，故选D.【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质与对数函数的性质以及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间，）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.11.已知角始边与x轴的非负半轴重合，与圆相交于点A，终边与圆相交于点B，点B在x 轴上的射影为C，的面积为，则函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，所以，所以排除C,D．又当时，，综上可知，B选项是正确的.12.若函数，则方程的根的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】当时，，据此可得函数在区间上单调递减，在区间单调递增，且，绘制函数图象如图所示，由可得或，当时，函数有两个根，当为区间上的某一个定值时，有唯一的实数根，综上可得：方程的根的个数为，故选C.【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式及图象、函数与方程思想、数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换. 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.二、填空题1.函数的定义域是_________________.【答案】【解析】根据题意有，从而求得函数的定义域为．【考点】函数的定义域．2.已知函数在平面直角坐标系中的部分图象如图所示，若，则_______________.【答案】【解析】根据函数在平面直角坐标系中的部分图象，，，，，即，故答案为.3.在中，，，. 若，，且，则的值为______________.【答案】【解析】 ,则.【考点】向量的数量积【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.4.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程=0有实数解，则称点(，)为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则 ____________.【答案】【解析】依题意得，，令，得，函数的对称中心为，则，，,故答案为.【方法点睛】本题主要考查导数的应用、函数的对称性数学的转化与划归思想.属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题将求和问题转化为函数的对称问题解答是解题的关键.三、解答题1.在等差数列中，，⑴求数列的通项公式；⑵设数列是首项为，公比为的等比数列，求的前项和【答案】(1)(2) 当时，,当时，．【解析】(1)设等差数列的公差是，由已知求出首项与公差，即可求出数列的通项公式；(2)由数列是首项为，公比为的等比数列，结合(1)的结果，求出的通项公式，再利用等差数列与等比数列的前项和公式求解即可.试题解析：⑴设等差数列的公差是．由已知∴∴，得，∴数列的通项公式为⑵由数列是首项为，公比为的等比数列，∴∴∴∴当时，，当时，.【考点】等差等比数列.2.某辆汽车以xkm/h的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中k为常数，若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L.（1）求k的值；（2）求该汽车每小时油耗的最小值．【答案】（1）（2）【解析】（1）将代入每小时的油耗＝11.5，解方程可得；（2））该汽车每小时的油耗为y＝(60≤x≤120),利用导数研究函数的单调性，即可得到该汽车每小时油耗的最小值. 试题解析：（1）由题意，当x＝120时，＝11.5，∴k＝100.（2）该汽车每小时的油耗为y L，则y＝(60≤x≤120)．求导知，函数在区间上单调递增答：升．3.已知，（1）求函数的单调递增区间；（2）设的内角满足，而，求证：.【答案】（1）所求单调递增区间为（2）【解析】（1）利用两角和与差正弦余弦公式、倍角公式及辅助角公式可得，再利用三角函数的单调性，解不等式即可得函数的单调递增区间；（2）由得，由平面向量数量积公式可得，再利用余弦定理以及基本不等式可得结果.试题解析：（1）由得，故所求单调递增区间为（2）由得，，即，，又中，，【方法点睛】本题主要考查三角函数的单调性、两角和与差正弦余弦公式、倍角公式及辅助角公式以及余弦定理、平面向量数量积公式，属于中档题.的函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.4.已知函数（1）求在区间的最小值的表达式；（2）设，任意，存在，使，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）的取值范围是【解析】（1）讨论三种情况:,结合二次函数的图象与性质，分别求出在区间的最小值，从而可得结果；（2）利用导数研究函数的单调性可得，只需存在，使得，从而可得在时有解，求出的最小值，即可得结果.试题解析：（1）当时，当时，当时，（2）函数的定义域为，令，则令，则或，可知函数在上单调递减，在上单调递增，所以对任意的，有，由条件知存在，使，所以即存在，使得分离参数即得到在时有解，由于（）为减函数，故其最小值为，从而所以实数的取值范围是5.己知函数，．（I）求函数上零点的个数；（II ）设，若函数在上是增函数．求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）零点个数为 （II ）的取值范围是【解析】（1）先求得，时，恒成立，可证明时，，可得在上单调递减，根据零点定理可得结果；（2）化简为分段函数，利用导数研究函数的单调性，讨论两种情况，分别分离参数求最值即可求得实数的取值范围. 试题解析：（Ⅰ）函数,求导，得，当时，恒成立，当时，，∴ ， ∴在上恒成立，故在上单调递减．又，，曲线在[1，2]上连续不间断，∴由函数的零点存在性定理及其单调性知，∃唯一的∈（1，2），使，所以，函数在上零点的个数为1．（II ）由（Ⅰ）知：当时，＞0，当时，＜0．∴当时，=求导，得由于函数在上是增函数，故在，上恒成立.①当时，≥0在上恒成立，即在上恒成立， 记，，则，， 所以，在上单调递减，在上单调递增，∴min=极小值=，故“在上恒成立”，只需 ，即．②当时，， 当时，在上恒成立，综合①②知，当时，函数在上是增函数．故实数的取值范围是．6.【选修4—4：坐标系与参数方程】 将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . （Ⅰ）写出C 的参数方程； （Ⅱ）设直线与C 的交点为，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.【答案】（Ⅰ）得参数方程为（ 为参数） （II ）【解析】（1）根据变换得，再利用三角换元得（2）先求出直角坐标方程：由直线方程与椭圆方程解得交点坐标P 1（2，0），P 2（0，1），得中点坐标，利用点斜式得直线方程，最后根据得极坐标方程试题解析：（I ）设（x1，y1）为圆上的点，在已知变换下变为C 上点（x ，y ）， 依题意得：圆的参数方程为（t 为参数）所以C 的参数方程为（t 为参数）．（II ）由解得或所以P 1（2，0），P 2（0，1），则线段P 1P 2的中点坐标为，所求直线的斜率k ＝，于是所求直线方程为，并整理得化为极坐标方程，，即.【考点】椭圆参数方程，极坐标与之间坐标互化7.【选修4—5：不等式选讲】 已知函数，且的解集为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求证：．【答案】（Ⅰ） （II ）证明见解析 【解析】(1)由的解析式得到解析式,解不等式求出的范围,对比已知解集,得出的值；(2)由基本不等式得到证明.试题解析：（1）因为，所以等价于， 由有解，得，且其解集为，又的解集为，故．（2）由（1）知，，，，由基本不等式得：． 【考点】1.绝对值不等式的解法；2.基本不等式的应用.。
全国高三高中数学月考试卷带答案解析
全国高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设时虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为（）A．2B．C．D．2.某中学从甲、乙两个艺术班中选出7名学生参加市级才艺比赛，他们取得的成绩（满分100）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为（）A．6B．8C．9D．113.已知，命题：则（）A．是假命题，B．是假命题，C．是真命题，D．是真命题，4.执行图中的程序框图（其中表示不超过的最大整数），则输出的值为（）A．4B．5C．6D．75.一个几何体的三视图如图所示，如该几何体的表面积为92，则的值为（）A．4B．5C．6D．76.在中，内角,,所对应的边分别为,,,若，且，则的值为（）A．B．C．2D．47.设变量,满足约束条件，则的最大值为（）A．4B．6C．8D．108.函数在上的图象大致是（）9.已知双曲线:的两条渐近线与抛物线的准线分别交于,两点，为坐标原点，若双曲线的离心率为2，的面积为，则的内切圆半径为（）A．B．C．D．10.定义：如果函数在上存在，满足，则称数为上的“对望数”，函数为上的“对望函数”，已知函数是为上的“对望函数”,则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.已知集合，，则= .2.某研究机构对儿童记忆能力和识图能力进行统计分析，得到如下数据：记忆能力46810识图能力由表中数据，求得线性回归方程为若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力为 .3.设等差数列{}的前项和为，若,则满足的正整数 .4.过点的直线将圆分成两端弧，当形成的优弧最长时，则（1）直线的方程为；（2）直线被圆截得的弦长为 .5.已知正实数,满足，则的最小值是 .6.我国齐梁时代的数学家祖暅（公元前5-6世纪）提出了一条原理“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等.设由曲线和直线所围成的平面图形，绕轴旋转一周所得到的旋转体为；由同时满足的点构成的平面图形，绕轴旋转一周所得到的旋转体为；根据祖暅原理等知识，通过考察可以得到的体积为 .7.在正方形中，为的中点，是以为圆心，为半径的圆弧上的任意一点.（1）若向正方形内撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在扇形内的概率为；（2）设,向量,若，则= .三、解答题1.（本题满分12分）已知函数的部分图象如图所示，是图象的最高点，为图象与轴的交点，为坐标原点，若（1）求函数的解析式，（2）将函数的图象向右平移2个单位后得到函数的图象，当时，求函数的值域.2.（本小题满分12分）设二次函数，关于的不等式的解集有且只有一个元素.（1）设数列的前项和，求数列的通项公式；（2）记，求数列中是否存在不同的三项能组成等比数列？请说明理由.3.（本小题满分12分）如图，为圆O的直径，是圆上不同于,的动点，四边形为矩形，且,平面平面.（1）求证：平面.（2）当点在的什么位置时，四棱锥的体积为.4.（本小题满分14分）已知函数（1）当时，求函数的最值；（2）当时，过原点分别作曲线和的切线，已知两切线的斜率互为倒数，证明：5.（本小题满分14分）已知椭圆（）的左、右顶点分别为，，且,为椭圆上异于，的点，和的斜率之积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设为椭圆中心，，是椭圆上异于顶点的两个动点，求面积的最大值．全国高三高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.设时虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为（）A．2B．C．D．【答案】【解析】依题意．由复数为纯虚数可知，且，求得．故选．【考点】复数的基本概念与复数的运算．2.某中学从甲、乙两个艺术班中选出7名学生参加市级才艺比赛，他们取得的成绩（满分100）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为（）A．6B．8C．9D．11【答案】【解析】由茎叶图可知，茎为时，甲班学生成绩对应数据只能是，，，因为甲班学生成绩众数是，所以出现的次数最多，可知．由茎叶图可知，乙班学生成绩为，，，，，，，由乙班学生成绩的中位数是，可知．所以．故选．【考点】统计中的众数与中位数．3.已知，命题：则（）A．是假命题，B．是假命题，C．是真命题，D．是真命题，【答案】【解析】因为，所以当时，，函数单调递减，即对，恒成立，所以是真命题．又全称命题的否定是特称命题，所以是，．故选．【考点】函数的单调性与全称命题的否定．4.执行图中的程序框图（其中表示不超过的最大整数），则输出的值为（）A．4B．5C．6D．7【答案】【解析】每次循环的结果分别为：，；，；，；，；，；，，这时，输出．故选．【考点】程序框图的运算和对不超过的最大整数的理解．5.一个几何体的三视图如图所示，如该几何体的表面积为92，则的值为（）A．4B．5C．6D．7【答案】【解析】由三视图可知该几何体是一个底面是直角梯形的四棱柱，其底面直角梯形的上底为，下底为，高为，四棱柱的高为，则几何体的表面积，即，解得．故选．【考点】三视图及几何体的体积．6.在中，内角,,所对应的边分别为,,,若，且，则的值为（）A．B．C．2D．4【答案】【解析】由正弦定理得，因为，所以．所以，又，所以．由余弦定理得，即，又，所以，求得．故选．【考点】正弦定理、余弦定理．7.设变量,满足约束条件，则的最大值为（）A．4B．6C．8D．10【答案】C【解析】依题意，画出满足条件的可行域如图中阴影部分，则对于目标函数，当直线经过点时，取得最大值，即．故选．【考点】性规划问题中的最优解．8.函数在上的图象大致是（）【答案】【解析】定义域关于原点对称，因为，所以函数为定义域内的奇函数，可排除，；因为，，可排除.故选.【考点】函数图象的识别.9.已知双曲线:的两条渐近线与抛物线的准线分别交于,两点，为坐标原点，若双曲线的离心率为2，的面积为，则的内切圆半径为（）A．B．C．D．【答案】【解析】由，可得．由，求得，，所以．将代入，得，解得．所以，，则的三边分别为，，，设的内切圆半径为，由，解得．故选．【考点】双曲线、抛物线和圆的性质．10.定义：如果函数在上存在，满足，则称数为上的“对望数”，函数为上的“对望函数”，已知函数是为上的“对望函数”,则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】【解析】由题意可知，在上存在，（），满足，因为，所以方程在上有两个不同的根.令（），则，解得，所以实数的取值范围是．故选．【考点】新定义函数问题，对数函数性质．二、填空题1.已知集合，，则= .【答案】【解析】因为，，则，所以．故填．【考点】函数定义域和集合的补集、交集运算．2.某研究机构对儿童记忆能力和识图能力进行统计分析，得到如下数据：记忆能力识图能力由表中数据，求得线性回归方程为若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力为 .【答案】9.5【解析】由表中数据得，，由在直线，得，即线性回归方程为．所以当时，，即他的识图能力为．故选．【考点】线性回归方程．3.设等差数列{}的前项和为，若,则满足的正整数 .【答案】【解析】依题意，，，则，，，所以，即满足的正整数．故填．【考点】数列的前项和与通项关系.4.过点的直线将圆分成两端弧，当形成的优弧最长时，则（1）直线的方程为；（2）直线被圆截得的弦长为 .【答案】；．【解析】（1）设圆心为，由圆的性质得，当直线时，形成的优弧最长，此时，所以直线的斜率为．于是有点斜式得直线的方程为，即．故填．（2）圆心到直线的距离为，设直线与圆相交于点，，则弦长．故填．【考点】直线与圆的位置关系．5.已知正实数,满足，则的最小值是 .【答案】【解析】因为，，所以，即，求得，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是．又，即，所以．故填．【考点】基本不等式.6.我国齐梁时代的数学家祖暅（公元前5-6世纪）提出了一条原理“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等.设由曲线和直线所围成的平面图形，绕轴旋转一周所得到的旋转体为；由同时满足的点构成的平面图形，绕轴旋转一周所得到的旋转体为；根据祖暅原理等知识，通过考察可以得到的体积为 .【答案】【解析】作出两曲线所表示的可行区域知，的轴截面为一半径为的半圆内切两半径为的小圆所形成，面积近似为的轴截面面积的两倍，符合祖暅原理．又的体积为，于是所表示几何体的体积应为．故填．【考点】数学史中祖暅原理，旋转体的体积求解和类比推理．7.在正方形中，为的中点，是以为圆心，为半径的圆弧上的任意一点.（1）若向正方形内撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在扇形内的概率为；（2）设,向量,若，则= .【答案】【解析】（1）所求概率为扇形的面积与正方形的面积的比值，设正方形边长为，则所求概率为.故填.（2）不妨设正方形边长为，以为坐标原点，，所在直线为轴，轴建立直角坐标系，则，，.由，得，解得.由，求得，从而.故填.【考点】几何概型和向量.三、解答题1.（本题满分12分）已知函数的部分图象如图所示，是图象的最高点，为图象与轴的交点，为坐标原点，若（1）求函数的解析式，（2）将函数的图象向右平移2个单位后得到函数的图象，当时，求函数的值域.【答案】（1）（2）【解析】第（1）问从给出的三角函数图象中给出三个线段信息，从中可以求出图象最高点的坐标，的长度，由此推理出三角函数的解析式；第（2）问考查三角函数图象的平移、三角函数的恒等变换及三角函数的值域等知识，求解三角函数的值域，关注自变量的取值范围是解题的关键，同时还要结合三角函数的图象进行分析，才能准确求出其函数值域.试题解析：（1）由条件知，所以．由此可得振幅，周期，又，则．将点代入，得，因为，所以，于是．（2）由题意可得.所以．当时，，所以，即．于是函数的值域为．【考点】三角函数的图象和性质．2.（本小题满分12分）设二次函数，关于的不等式的解集有且只有一个元素.（1）设数列的前项和，求数列的通项公式；（2）记，求数列中是否存在不同的三项能组成等比数列？请说明理由.【答案】（1）（2）数列中不存在不同的三项能组成等比数列【解析】第（1）问由不等式的解集有且只有一个元素，得到，然后由此求出数列的通项公式，由求通项时注意检验初始项是否满足；第（2）问判断数列中是否存在不同的三项能组成等比数列.试题解析：（1）因为关于的不等式的解集有且只有一个元素，所以二次函数（）的图象与轴相切，则，考虑到，所以.从而，所以数列的前项和（）. （3分）于是当，时，，当时，，不适合上式．所以数列的通项公式为．（2）．假设数列中存在三项，，（正整数，，互不相等）成等比数列，则，即，整理得.因为，，都是正整数，所以，于是，即，从而与矛盾．故数列中不存在不同的三项能组成等比数列.【考点】数列通项公式，等比数列性质．3.（本小题满分12分）如图，为圆O的直径，是圆上不同于,的动点，四边形为矩形，且,平面平面.（1）求证：平面.（2）当点在的什么位置时，四棱锥的体积为.【答案】（1）详见解析（2）点在满足或时，四棱锥的体积为.【解析】第（1）问先证明线线垂直，再证明线面垂直；第（2）问探求点在的什么位置时，四棱锥的体积为，从研究的大小着手思考，通过体积建立关系求出的大小．试题解析：（1）因为四边形为矩形，所以,又平面平面，且平面平面，所以平面，而平面，所以．又因为为圆的直径，是圆上不同于，的动点，所以．因为，所以平面.（2）因为平面平面，过点作交于点，则平面.在中，记（），因为，所以，，所以．由已知，所以，即．因为，所以，即；或，即．于是点在满足或时，四棱锥的体积为.【考点】立体几何中的线面关系和四棱锥体积．4.（本小题满分14分）已知函数（1）当时，求函数的最值；（2）当时，过原点分别作曲线和的切线，已知两切线的斜率互为倒数，证明：【答案】（1）最大值为无最小值（2）详见解析【解析】第（1）问利用导数求函数的单调区间，求解函数的最值；第（2）问背景为指数函数与对数函数关于直线对称的特征，得到过原点的切线也关于直线对称，主要考查利用导函数研究曲线的切线及结合方程有解零点存在定理的应该用求参数的问题，得到不等式的证明．试题解析：（1）当时，，定义域为．对求导，得．当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减．所以，没有最小值．（2）设切线的方程为，切点为，则，，所以，，则.由题意知，切线的斜率为，的方程为．设与曲线的切点为，则，所以，．又因为，消去和后，整理得．令，则，在上单调递减，在上单调递增．若，因为，，所以，而在上单调递减，所以．若，因为在上单调递增，且，则，所以（舍去）．综上可知，．【考点】导数的几何意义，函数的单调性、最值.5.（本小题满分14分）已知椭圆（）的左、右顶点分别为，，且,为椭圆上异于，的点，和的斜率之积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设为椭圆中心，，是椭圆上异于顶点的两个动点，求面积的最大值．【答案】（1）（2）【解析】第（1）问首先由得到椭圆左、右顶点的坐标，再由和的斜率之积为求出几何量的值即得椭圆标准方程；第（2）问先列出的面积，需要求直线被椭圆截得的弦长，计算点到直线的距离，再讨论的面积最值．试题解析：（1）由，得，所以，．设，则，解得．于是椭圆的标准方程为．（2）①当直线垂直于轴时，设的方程为，由，得，，从而，当时，的面积取得最大值．②当直线线与轴不垂直时，设的方程为，由消去，得．，化简得．设，，则，，，原点到直线的距离，所以．当且仅当时，取得最大值．综合①②知，的面积取得最大值．【考点】椭圆标准方程，直线和椭圆的位置关系，三角形面积．。
高三数学月考试卷真题答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = 2x^2 - 3x + 1$，其对称轴为______。
A. $x = \frac{3}{4}$B. $x = 1$C. $x = -\frac{3}{4}$D. $x = 0$答案：A2. 在三角形ABC中，$\angle A = 60^\circ$，$a = 5$，$b = 7$，则边c的长度为______。
A. $5\sqrt{3}$B. $7\sqrt{3}$C. $10\sqrt{3}$D. $14\sqrt{3}$答案：B3. 若复数$z = 3 + 4i$，则$|z|$的值为______。
A. 5B. 7C. 25D. 49答案：A4. 已知数列$\{a_n\}$是等差数列，且$a_1 = 3$，$a_5 = 13$，则公差$d$为______。
A. 2B. 3D. 5答案：A5. 函数$y = x^3 - 6x^2 + 9x$的极值点为______。
A. $x = 0, 3$B. $x = 0, 2$C. $x = 1, 3$D. $x = 1, 2$答案：C6. 下列命题中正确的是______。
A. 若$a > b$，则$a^2 > b^2$B. 若$a > b$，则$\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$C. 若$a > b$，则$a + c > b + c$D. 若$a > b$，则$ac > bc$答案：C7. 下列函数中，在定义域内单调递增的是______。
A. $y = x^2$B. $y = 2^x$C. $y = \log_2 x$D. $y = \sqrt{x}$答案：B8. 已知向量$\vec{a} = (1, 2)$，$\vec{b} = (3, 4)$，则$\vec{a} \cdot \vec{b}$的值为______。
A. 10C. 12D. 13答案：C二、填空题（每题5分，共25分）9. 若等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，且$a_1 = 2$，$a_4 = 32$，则$q = \frac{1}{2}$。
河南省部分学校2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题含答案
高三数学（答案在最后）考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．4．本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数，三角函数、三角恒等变换，解三角形、平面向量．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数tan y x =的值域可以表示为（）A.{tan }xy x =∣ B.{tan }yy x =∣C.{(,)tan }x y y x =∣D.{tan }y x =【答案】B 【解析】【分析】根据函数的值域是指函数值组成的集合，即可判断.【详解】因函数的值域是指函数值组成的集合，故对于函数tan y x =，其值域可表示为：{tan }yy x =∣.故选：B.2.若“sin 2θ=-”是“tan 1θ=”的充分条件，则θ是（）A .第四象限角B.第三象限角C.第二象限角D.第一象限角【答案】B 【解析】【分析】根据角θ的正切值与正弦值的正负判断象限即可.【详解】由题可知，sin 02θ=-<，则θ是第三象限角或第四象限角；又要得到tan 10θ=>，故θ是第三象限角.故选：B3.下列命题正确的是（）A.x ∃∈R ，20x <B.(0,4)x ∀∈，20log 2x <<C.(0,)x ∃∈+∞，132x x< D.π0,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，4sin cos x x =【答案】C 【解析】【分析】对于选项A:利用指数函数的值域即可判断；对于选项B:利用对数函数的单调性求出值域即可判断；对于选项C:采用特殊值法，令14x =即可判断;对于选项D:令4sin cos 2sin 2y x x x ==，结合三角函数的值域求解验证即可.【详解】对于选项A:因为指数函数2x y =的值域为0,+∞，故x ∀∈R ，20x >，故选项A 错误；对于选项B:因为对数函数2log y x =在(0,4)x ∈上单调递增，所以当(0,4)x ∈时，()2log ,2y x ∞=∈-，故选项B 错误；对于选项C:令14x =,则311464⎛⎫= ⎪⎝⎭，121142⎛⎫= ⎪⎝⎭，显然11642<，故(0,)x ∃∈+∞，使得132x x <成立，故选项C 正确;对于选项D:结合题意可得：令4sin cos 2sin 2y x x x ==，因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,πx ∈，所以(]2sin 20,2y x =∈，2>，故不存在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得4sin cos x x =,故选项D 错误.故选：C.4.函数24()f x x x =-的大致图象是（）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】先确定函数的奇偶性，排除两选项，再根据特殊点的函数值的正负，选出正确答案.【详解】函数24y x x =-是偶函数，图象关于y 轴对称，排出选项A 、B ；再取特殊值12x =和2x =，可得函数的大致图象为C ，故选：C .5.已知向量1e ，2e 满足121e e == ，120e e ⋅= ，则向量1e 与12e e -的夹角为（）A.45︒B.60︒C.120︒D.135︒【答案】A 【解析】【分析】利用向量夹角的计算公式计算即可.【详解】由题可知()21121121e e e e e e ⋅-=-⋅=，12e e -==，121e e == 所以()1121121122cos ,2e e e e e e e e e ⋅--===-故向量1e 与12e e -的夹角为45︒故选:A 6.已知5πtan 210α+=，则4π5tan 5α-=（）A.125 B.125-C.43D.43-【答案】C 【解析】【分析】先确定两个角的关系，然后利用三角恒等变换公式求解即可.【详解】由题可知，5π4π52π105αα+-⨯+=25π2tan5π4410tan 25π101431tan 10ααα++⎛⎫⨯===- ⎪+-⎝⎭-所以有4π55π5π4tan tan π2tan 2510103ααα-++⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C7.已知0a >，0b >，9a b +=，则36a ba+的最小值为（）A.8B.9C.12D.16【答案】A 【解析】【分析】我们观察形式，显然分式的分子和分母同时有变量，所以令()364a b =+代入化简，然后利用基本不等式求解即可.【详解】43644448b a b a a a b b a a b a +=+=++≥+=+当且仅当4b aa b=，9a b +=，即26a b ==时等号成立；故选：A8.若0x ∀>，()()()21ln 10x ax ax ---≥，则a =（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先将两个乘积看做两个函数()21,ln 1y x ax y ax =--=-，易知要使0x ∀>时，()21(ln 1)0xax ax ---≥，则需要两函数()21,ln 1y x ax y ax =--=-同号，所以我们需要去找他们零点，0x >时零点相同，然后求解参数a 即可.【详解】由题易知0a >，当ex a=时，()ln 10ax -=；由对数函数的性质可知，当e 0,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()ln 10ax -<；当e ,x a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()ln 10ax ->；显然函数21y x ax =--有两个根12,x x ，不妨令12x x <，则120x x <<由二次函数的图像可知，()20,x x ∈时，210x ax --<；()2,x x ∞∈+时，210x ax -->故要使()()()21ln 10x ax ax ---≥恒成立，则2ex a=所以有2e e 10aa a ⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭，解得a =故选：D【点睛】关键点点睛：当两个式子相乘大于等于零时，两个式子必定同为负或者同为正，或者有一个为零.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数sin()()2x f x -=，则（）A.()f x 的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.()f x 为奇函数C.()f x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.()f x 的最小正周期为2π【答案】AD 【解析】【分析】对于选项A:利用换元()sin t x =-，再结合指数函数的单调性即可求出值域；对于选项B:利用奇偶性的定义说明即可；对于选项C :结合复合函数的单调性即可判断；对于选项D :借助三角函数的周期，以及周期函数的定义即可判断.【详解】对于选项A:由sin()()2x f x -=，令()sin t x =-，则2t y =，[]1,1t ∈-，因为2t y =在[]1,1t ∈-上单调递增，所以12,22ty ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，故选项A 正确；对于选项B:由sin()()2x f x -=可知(),x ∞∞∈-+，对任意的(),x ∞∞-∈-+，因为sin ()2x f x -=，而sin ()2x f x -=，易验证()(),f x f x -≠-故()f x 不是奇函数，故选项B 错误；对于选项C :结合选项A 可知()sin t x =-在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，而2t y =在定义域上单调递增，由复合函数的单调性可得sin()()2x f x -=在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，故选项C 错误；对于选项D :因为()sin t x =-的最小正周期为2πT =，所以sin(2π)sin()(2π)22()x x f f x x ---==+=，所以()f x 的最小正周期为2π，故选项D 正确.故选：AD.10.国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略．某顾客计划消费(0)x x >元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（）A.当0200x <<时，应进甲商场购物B.当200300x ≤<时，应进乙商场购物C.当400500x ≤<时，应进乙商场购物D.当500x >时，应进甲商场购物【答案】AC 【解析】【分析】分别计算不同选项两个商场的优惠判断即可.【详解】当0200x <<时，甲商场的费用为0.84x ，乙商场的费用为x ，0.84x x >，故应进甲商场，所以选项A 正确；当200300x ≤<时，甲商场的费用为0.84x ，乙商场的费用为40x -，400.840.1640x x x --=-，因为200250x ≤<，所以80.16400x -≤-<，400.84x x -<，进入乙商场，当250300x ≤<故400.84x x ->应进甲商场，所以选项B 错误；当400500x ≤<时，甲商场的费用为0.84x ，乙商场的费用为80x -800.840.1680x x x --=-，因为400500x ≤<，所以160.16800x -≤-<故800.84x x -<，所以应进乙商场，所以选项C 正确；假设消费了600，则在甲商场的费用为6000.84504⨯=，在乙商场的费用为600120480-=，所以乙商场费用低，故在乙商场购物，故选项D 错误.故选：AC11.已知函数()f x 满足：①x ∀，R y ∈，()[()]y f xy f x =；②(2)1f ->，则（）A.(0)0f = B.()()()f x y f x f y +=⋅C.()f x 在R 上是减函数 D.[1,3]x ∀∈，()2(3)1f x kx f x -⋅-≥，则3k ≥【答案】BCD 【解析】【分析】取2,0x y =-=可求(0)f ，判断A ，取12,2x y =-=-证明()011f <<，取1x =可得()[(1)]y f y f =，由此可得()[(1)]x f x f =，结合指数运算性质和指数函数性质判断BC ，选项D 的条件可转化为当[1,3]x ∈，31x k x+-≤恒成立，结合函数性质求结论.【详解】因为x ∀，R y ∈，()[()]y f xy f x =，(2)1f ->取2,0x y =-=可得01(0)[(2)]f f =-=，A 错误；取12,2x y =-=-可得12(1)[(2)]f f -=-，又(2)1f ->，所以()011f <<，取1x =可得，()[(1)]y f y f =，所以()[(1)]x f x f =，其中()011f <<，所以()()()()()()111x yx yf x y f f f f x f y ++===，B 正确，由指数函数性质可得()[(1)]x f x f =，其中()011f <<在R 上单调递减，所以()f x 在R 上是减函数，C 正确；不等式()2(3)1f x kx f x -⋅-≥可化为()()()23111xkxx f f f --≥，所以230x kx x -+-≤，由已知对于[1,3]x ∀∈，230x kx x -+-≤恒成立，所以当[1,3]x ∈，31x k x+-≤恒成立，故max31x k x ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，其中[1,3]x ∈，因为函数1y x =+，3y x=-在[]1,3上都单调递增，所以31x x+-在[1,3]上的最大值为3，所以3k ≥，D 正确；故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数()1ln(2)f x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程为______．【答案】0x y +=【解析】【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，然后代入点斜式直线方程即可求解切线.【详解】由题可知，()12f x x =-+'，()11f -=，所以切线斜率()11k f =-=-'，故切线方程为()110y x x y -=-+⇒+=.故答案为：0x y +=13.已知函数()cos (0)f x x ωω=>，若π2f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，且()f x 在区间(0,π)内仅有两个零点，则ω的值是__________．【答案】2【解析】【分析】根据偶函数的性质，求得2k ω=，Z k ∈，再结合余弦函数的零点，列出不等式，即可求解.【详解】πππcos cos 222f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为偶函数，所以ππ2k ω⋅=，Z k ∈，得2k ω=，Z k ∈，当∈0,π时，()0,πx ωω∈，()f x 在区间(0,π)内仅有两个零点，所以3π5ππ22ω<≤，解得：3522w <£，所以2ω=.故答案为：214.若ABC V 内一点P 满足PAB PBC PCA α∠=∠=∠=，则称P 为ABC V 的布洛卡点，α为布洛卡角．三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现，1875年被法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．如图，在ABC V 中，AB AC =，3cos 5BAC ∠=，若P 为ABC V 的布洛卡点，且2PA =，则BC 的长为______．【解析】【分析】利用三角恒等变换、正弦定理、余弦定理等知识进行分析，先求得sin α，进而求得a ，也即是BC .【详解】213cos 2cos 125BAC BAC ⎛⎫∠=∠-= ⎪⎝⎭，所以BAC ∠为锐角，12BAC ∠为锐角，所以11cos ,sin 2525BAC BAC ⎛⎫⎛⎫∠=∠== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由于AB AC =，所以A ABC CB =∠∠，设ABC ACB θ∠=∠=，则2πBAC θ∠+=，ππ11cos cos cos sin 22225BAC BAC BAC θ-∠⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=∠= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，θ为锐角，则sin 5θ==.由于,BAP CBP ABP BCP θα∠=∠∠=∠=-，所以ABP BCP ，所以AB AP BPBC BP PC==①，在PBC △中，由正弦定理得()()()sin sin sin sin πBP BC BC PCθαθααθα===----，所以()sin sin BP PC θαα-=，所以()sin sin AB BP BC PC θαα-==，即()sin sin c a θαα-=，由正弦定理得sin sin cos cos sin sin cos sin sin tan ACB BAC θαθαθθαα∠-==-∠，即2525554tan 55α=-，解得4tan 7α=，则α为锐角，由22sin 4tan cos 7sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩解得sin αα==，在三角形ABC 中，由余弦定理得222222342cos 2255a b c bc A b b b =+-=-⨯=，所以225,42b a b ==，在三角形ACP 中，由正弦定理得()()sin sin sin πAP AC ACBAC BAC ααα==∠--∠-，所以22445a=，解得a BC ==.【点睛】易错点睛：锐角与边长关系的判断：在判断三角形的角是否为锐角时，容易出现符号错误或判断失误.因此，在涉及角度大小的判断时，需特别注意各个角的定义和所使用定理的适用范围.正弦定理和余弦定理的符号处理：在使用正弦定理和余弦定理时，符号的处理必须谨慎，特别是在涉及平方根和正负符号的时候，需确保没有遗漏或误用.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且π2sin 6a C b c ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭．（1）求A ；（2）若O 为ABC V 的外心，D 为边BC 的中点，且1OD =，求ABC V 周长的最大值．【答案】（1）π3（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换进行化简即可求解；（2）利用向量表示出1122OD OB OC =+uuu r uu u r uuu r，由余弦定理结合基本不等式、三角形周长公式即可求解.【小问1详解】由已知π2sin 6a C b c ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭及正弦定理得：312sin sin cos sin sin 22A C C B C ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，由()()sin sin πsin sin cos cos sin B A C A C A C A C ⎡⎤=-+=+=+⎣⎦得：sin sin cos sin cos cos sin sin A C A C A C A C C +=++，sin cos sin sin A C A C C =+，又sin 0C ≠，cos 1A A =+，即π2sin 16A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为()0,πA ∈，所以ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ,66A -=解得π3A =.【小问2详解】因为O 为ABC V 的外心,且由上问知π3A =，所以2π23BOC A ∠=∠=,设OB OC R ==（R 为ABC V 的外接圆半径），因为D 为边BC 的中点，且1OD =，所以在OBC △中易得：1122OD OB OC =+uuu r uu u r uuu r，所以2221112πcos 4423OD OB OC OB OC =++ ，即22211121cos 4423πR R R =++，解得：2R =，在OBC △中由余弦定理可得：2222π2cos123BC OB OC OB OC =+-=，解得BC a ==在ABC V 中由余弦定理可得：()2222π2cos3123a b c bc b c bc =+-=+-=，由基本不等式22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭可得：()223122b c b c +⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，当且仅当b c =时等号成立，所以()21124b c +≤，即b c +≤.所以ABC V 周长ABC C a b c =++≤+=V当且仅当b c ==时等号成立.故ABC V 周长的最大值为16.在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan tan tan tan 1B C B C ++=，1b =，c =．（1）求a ；（2）如图，D 是ABC V 外一点（D 与A 在直线BC 的两侧），且AC CD ⊥，45CBD ∠= ，求四边形ABDC 的面积．【答案】（15（2）136【解析】【分析】（1）首先根据两角和的正切公式求()tan B C +，即求角A ，再根据余弦定理求解；（2）根据诱导公式求解sin BCD ∠，以及两角和的三角函数求sin D ，再根据正弦定理求BD ，最后根据面积公式，即可求解.【小问1详解】由条件可知，tan tan 1tan tan +=-B C B C ，所以()tan tan tan 11tan tan B CB C B C++==-，所以45B C += ，即135A = ，所以2cos 2A =-，则22222cos 1221252a b c bc A ⎛=+-=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭,所以5a =；【小问2详解】15225cos 5215ACB ∠==⨯⨯，()25sin sin 90cos 5BCD ACB ACB ∠=-∠=∠=，5cos 5BCD ∠=，()()sin sin 45sin cos 225510D BCD BCD BCD ⎛=∠+=∠+∠=⨯+= ⎝⎭ ,BCD △中，sin sin BC BD D BCD =∠，即sin sin 3BC BCD BD D ⋅∠==，所以15sin 4523BCD S BC BD =⨯⨯= ，11sin13522ABC S AC AB =⋅⋅= ，所以四边形ABDC 的面积为5113326+=.17.已知平面向量(,)m a b = ，(sin ,cos )n x x ωω=，且2m n = ，其中0a >，0ω>．设点(0,1)和11π(,0)12在函数()f x m n =⋅ 的图象（()f x 的部分图象如图所示）上．（1）求a ，b ，ω的值；（2）若()G x y ,是()y f x =图象上的一点，则1(2,)2K x y 是函数()y g x =图象上的相应的点，求()g x 在[0,π]上的单调递减区间．【答案】（1）a =1b =，2ω=；（2）π[,π]3【解析】【分析】（1）由2m n =得2=，利用向量数量积计算公式和辅助角公式化简得()2sin()f x x ωϕ=+，根据题设条件列出三角方程组，结合图象即可求出a ，b ，ω的值；（2）由题意中点的变换求得π()sin(6g x x =+，利用正弦函数的图象特点即可求得()g x 在[0,π]上的单调递减区间.【小问1详解】因(,)m a b = ，(sin ,cos )n x x ωω=，由2m n =2=，由()(,)(sin ,cos )f x m n a b x x ωω=⋅=⋅sin cos )2sin()a x b x x x ωωωϕωϕ=+=+=+，其中tan b aϕ=，因点(0,1)和11π(,0)12在函数()f x m n =⋅ 的图象上，则有，2sin 111πsin()012ϕωϕ=⎧⎪⎨+=⎪⎩①②，结合图象，由①可得πZ π2,6k k ϕ=+∈，将其代入②式，可得11πππ,Z 126n n ω+=∈，即212,Z 1111n n ω=-+∈，（*）由图知，该函数的周期T 满足311π412T T <<，即3π11π2π212ωω<<又0ω>，则有18241111ω<<，由（*）可得2ω=，故π()2sin(2)6f x x =+.由320b a a ⎧=⎪=⎪>⎩解得，1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故a =1b =，2ω=；【小问2详解】不妨记12,2x x y y ''==，则,22x x y y ''==，因()G x y ,是()y f x =图象上的一点，即得π22sin()6y x ''=+，即πsin(6y x ''=+，又因1(2,)2K x y 是函数()y g x =图象上的相应的点，故有π()sin()6g x x =+.由ππ3π2π2π,Z 262k x k k +≤+≤+∈，可得π4π2π2π,Z 33k x k k +≤≤+∈，因[0,π]x ∈，故得ππ3x ≤≤.()g x 在[0,π]上的单调递减区间为π[,π]3.18.已知函数()2()e xf x x mx n =++，m ，n ∈R ．（1）当24m n =时，求()f x 的最小值；（2）当2m =-时，讨论()f x 的单调性；（3）当0m n ==时，证明：0x ∀>，()ln 1f x x >+．【答案】（1）0（2）答案见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用求导判断函数的单调性，即得函数的极小值即最小值；（2）利用求导，就导函数中的参数进行分类，分别讨论导函数的符号，即得函数的单调性；（3）将待证不等式2e ln 1xx x >+等价转化为3e ln 1x x x x +>，设3e ln 1(),()x x g x h x x x+==，依题意，只需证在0x >时，min max ()()g x h x >成立，分别求m m ax in (),()h x g x 即可得证.【小问1详解】当24m n =时，22()()e 4x m f x x mx =++，22()[(2)2()e ()2)e 42x x m f x x m x m m m x x '=+++=++++，由()0f x '>，可得22m x <--或2mx >-，由()0f x '<，可得222m m x --<<-，即()f x 在(,2)2m -∞--和(,)2m -+∞上单调递增；在(2,)22m m---上单调递减，x →-∞时，()0f x →，x →+∞时，()f x →+∞，故2mx =-时，()f x 取得极小值也即最小值，为()02m f -=.【小问2详解】当2m =-时，()2()2e xf x x x n =-+，函数的定义域为R ，()2(e 2)xx f x n =+-'，当2n ≥时，()0f x '≥恒成立，故()f x 在R 上为增函数；当2n <时，由()0f x '=，可得x =，故当x <x >时，()0f x '>；即()f x 在(,∞-和)∞+上单调递增；当x <<()0f x '<，即()f x 在(上单调递减.综上，当2n ≥时，()f x 在R 上为增函数；当2n <时，()f x在(,∞-和)∞+上单调递增,在(上单调递减.【小问3详解】当0m n ==时，2()e x f x x =,要证0x ∀>，()ln 1f x x >+，只需证2e ln 1x x x >+，即证3e ln 1x x x x+>在(0,)+∞上恒成立.设3e ln 1(),()x x g x h x x x+==，依题意，只需证在0x >时，min max ()()g x h x >.因e ()=x g x x ，2(1)e ()xx g x x-'=，由()0g x '<，可得01x <<，由()0g x '>，可得1x >，故()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增,则()g x 在1x =时取得极小值也是最小值，为(1)e g =；因3ln 1()x h x x+=，423ln ()x h x x --'=，由()0h x '=，可得23x e -=，由()0h x '<，可得23x e->，由()0h x '>，可得230x e -<<，故()h x 在23(0,e)-上单调递增，在23(e ,)-+∞上单调递减，则()h x 在23x e -=时取得极大值也是最大值，为22332323ln e ()3e1e (e )h ---==+.因2e e 3>，即min max ()()g x h x >在(0,)+∞上成立，故得证.即0x ∀>，()ln 1f x x >+．【点睛】方法点睛：本题主要考查利用导数求函数的最值、证明不等式恒成立等知识点，属于较难题.证明不等式型如()()f x g x >的恒成立问题，一般方法有：（1）构造函数法：即直接构造()()()F x f x g x =-，证明min ()0F x >；（2）比较最值法：即证明min max ()()f x g x >即可；（3）等价转化法：即将待证不等式左右两边同除以一个式子，使得左右函数的最值可比较.19.已知非零向量(,)a m n =，(,)b p q = ，a ，b 均用有向线段表示，现定义一个新的向量c 以及向量间的一种运算“※”：(,)c a b mp nq mq np ==-+※．（1）证明：c 是这样一个向量：其模是a 的模的 b 倍，方向为将a绕起点逆时针方向旋转β角（β为x 轴正方向沿逆时针方向旋转到b所成的角，且02πβ≤<），并举一个具体的例子说明之；（2）如图1，分别以ABC V 的边AB ，AC 为一边向ABC V 外作ABD △和ACE △，使π2BAD CAE ∠=∠=，(01)AD AEAB ACλλ==<<．设线段DE 的中点为G ，证明：AG BC ⊥；（3）如图2，设(3,0)A -，圆22:4O x y +=，B 是圆O 上一动点，以AB 为边作等边ABC V （A ，B ，C 三点按逆时针排列），求||OC 的最大值．【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析.（3）5.【解析】【分析】（1）根据圆的参数方程设定,a b 的坐标，再依据题意证明即可；（2）依据新定义把,AG BC的坐标表示出来再运算证明即可；（3）掌握平面向量的模的运算和三角函数的最值求法即可解答.【小问1详解】证明：设(,)(cos ,sin ),(,)(cos ,sin )a m n r r b p q R R ααββ====（0,0,,r R αβ>>分别为x 轴正方向逆时针到,a b所成的角，且,[0,2)αβπ∈），则cos cos sin sin cos()mp nq Rr Rr Rr αβαβαβ-=-=+，cos sin sin cos sin()mq np Rr Rr Rr αβαβαβ+=+=+，于是cos()sin((,))Rr a b Rr c αβαβ=++=※，即c Rr a b ==⨯，x 轴正方向逆时针到c 所成的角为αβ+.故：c 是这样一个向量：把a的模变为原来的 b 倍，并按逆时针方向旋转β角（β为x 轴正方向逆时针到b所成的角，且02πβ≤<）.例如，1(,),22a b == ，则111,1222((0,2)2c a b ⨯+=== ※，1,2a b == ，a 与x 轴正方向的夹角为π3，b 与x 轴正方向的夹角为6π，将a的模变为原来的2倍，并按逆时针旋转π6，即可得c .【小问2详解】证明：记(,),(,)AB m n AC p q ==，根据新定义，可得()3π3πcos ,sin ,22AD AB n m λλλ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ※，同理(cos ,sin )(,)22q p A AE C ππλλλ==- ※，所以1()()()()222n q p m AG A AD E λλ--=+= ，而(,)BC AC AB p m q n =-=--，所以1[()()()()]02AG BC p m n q q n p m λλ⋅=--+--= ，故：AG BC ⊥.【小问3详解】解：设(,)B u v ，则224,(3,)u v AB u v +==+，())3ππ13cos ,sin 3,,,33222222u u v AC AB u v λ⎛⎫⎛++⎛⎫==+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭※※，所以333(3)33333(3,0)(,)(,)222222u u v u v OC OA AC ++--++=+=-+-+=，所以OC ===.设2cos ,2sin (02)u v θθθπ==≤<，则OC == ，当πsin 16θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即π3θ=时，max 5OC = .【点睛】此题考查了圆的参数方程；平面向量数量积的性质，以及三角函数最值.。
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高三数学月考试卷一、选择题：（每题5分，共50分；）1．集合{10},{0,1},{1,2})A B C AB C ===－，，则(=( )A ．∅B ．{1}C ．{0,1,2}D ． {－1,0,1,2} 2.下列函数中，与y=x 表示同一函数的是( )A 、2x y x = B 、y 、y t = D 、0y x x =3.函数212log (22)y x x =-+的单调增区间是( )A 、(－∞，1)B 、(2，+∞)C 、(－∞，32) D 、(32，+∞) 4.已知等差数列}{n a 满足,0101321=++++a a a a 则有 ( )A ．01011>+a aB ．01002<+a aC ．0993=+a aD ．5151=a5．已知1(1)23,()6,2f x x f m -=+=则m 等于( )（A ）14-（B ）14 （C ）32（D ）32-6．在一次数学实验中, 运用图形计算器采集到如下一组数据: B则,x y 的函数关系与下列哪类函数最接近?(其中,a b 为待定系数) A ．y a bx =+ B ．x y a b =+ C ．2y ax b =+ D ．b y a x=+7．已知集合{|110}A x x =<<，集合B={x|x>a}，若A ∩B=Φ，则a 的取值范围是：( )A ．10a ≥B ．a≥1C ．a<1D ． 10a >8．若函数()24f x mx =+在[2, 1]-上存在x 0，使f (x 0)=0，则实数m 的取值范围( )A 、[52-，4] B 、(, 2][1, )-∞-+∞ C 、[－1，2] D 、[－2，1]9．函数y=|x|(1-x)在区间A 上是增函数，则A 区间是（ ） A ( )0,∞- B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0 C []+∞,0 D （),21+∞10．函数()ln ||f x x x =的图像是：( )A B C D题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.）11．函数)12(log 21-=x y 的定义域为______________12．计算：3log 333558log 932log 2log 2-++-_____________ 13.函数1212)(+-=x x x f ，=-)(1x f___________(要求写出)(1x f-的定义域)14.若函数⎩⎨⎧<-≥=)0(1)0(1)(x x x f ，则xf(x)+x 0≤的解集是___________________15已知,0,)(2≠⋅+=b a bx ax x f 且,2006)()(21==x f x f 则=+)(21x x f . 16．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为2x y =，值域为{1，4}的“同族函数”共有_________________三、解答题：本大题共5小题，共70分。
17．（本题满分12分）设集合M ＝{(x ，y )| y=x 2+ax +2}，集合N ＝{(x ，y )| y=x +1}，若M N 中有两个元素，求实数a 的取值范围．18.（本小题满分14分）设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7=7，S 15=75，T n 为数列{nS n}的前n 项和，求T n19. （本小题满分14分）f(x)=122a x+-，x ∈R（1） 证明：对任意实数a ，f(x)在（-∞，+∞）上是增函数； （2）当f(x)为奇函数时，求a ；(3)当f(x)为奇函数时，对于给定的正实数k ，解不等式kx1log )x (f 21+>-。
20. （本小题满分14分）已知g(x)=-x 2-3，f(x)是二次函数，当x ∈[-1，2]时，f(x) 的最小值是1，且f(x)+g(x)为奇函数，求f(x)解析式。
21. （本小题满分16分）已知集合M 是满足下列性质的函数()x f 的全体：在定义域内存在0x ，使得()()()1100f x f x f +=+成立．（1）函数()xx f 1=是否属于集合M ？说明理由； （2）设函数()M x ax f ∈+=1lg2，求a 的取值范围； （3）判断方程02=+x x 的实根个数并证明：函数()M x x f x ∈+=22．CCACA BABDA11.15.0≤<X 12.53 13.)1,1(11log 2<<-+-x xx 14. 0≤x 15.0 16.9 17.解：要使M N 中有两个元素，即曲线y=x 2+ax +2与y=x +1有两个不同的交点，………2′联立方程组得222221(1)101y x ax x ax x x a x y x ⎧=++⇒++=+⇒+-+=⎨=+⎩ （*）………5′∴方程（*）有两个不同的解，………………………………………………………………7′∴△＝(a －1)2－4>0；………………………………………………………………………9′ 所以：a >3 或a<－1； 所以MN 中有两个元素时，实数a 的取值范围是{ a | a >3 或a<－1}．……………12′18.设等差数列{a n }公差为d ，则S n =na 1+21n （n －1）d∵S 7=7，S 15=75，∴⎩⎨⎧=+=+7510515721711d a d a ⇒⎩⎨⎧=+=+571311d a d a ∴a 1=－2，d =1，∴nS n =a 1+21（n －1）d =－2+21（n －1）∵11++n S n －n S n =21∴{nS n }为等差数列，其首项为－2，公差为21，∴T n =41n 2－49n ．19.（Ⅰ）： f(x) 是R 上的奇函数，∴f(0)=0 得a=1………………………4分(Ⅱ) ∵y=xx x x a 21122112+-=+-⋅ ∴y+y ·2x =2x -1 ∴2x (y-1)=-1-y,2x =y y -+11 即：f -1(x)=log 2xx-+11(-1<x<1)……………………………8分 (Ⅲ)log 2x x -+11>log 2k x+1等价于⇔⎩⎨⎧-+>--+<<-kx x x x 2222log )1(log )1(log )1(log 11 ⎩⎨⎧<<-<-11log )1(log 22x k x ⎩⎨⎧<-<<<-⇔k x x 1011 ⎩⎨⎧<<-<<-⇔1111x k x …………………12分 (i)-1<1-k<1,即0<k<2时，{11<<-x k x }………………13分 (ii)1-k ≤-1,即k ≥2时，{11<<-x x }…………………14分20.用待定系数法求f(x)解析式设f(x)=ax 2+bx+c （a ≠0）则f(x)+g(x)=(a-1)x 2+bx+c-3 由已知f(x)+g(x)为奇函数⎩⎨⎧=-=-03c 01a∴ ⎩⎨⎧==3c 1a ∴ f(x)=x 2+bx+3下面通过确定f(x)在[-1，2]上何时取最小值来确定b ，分类讨论。
4b 3)2b x ()x (f 22-++=，对称轴2b x -=（1） 当2b-≥2，b ≤-4时，f(x)在[-1，2]上为减函数 ∴ 7b 2)2(f ))x (f (min +== ∴ 2b+7=1 ∴ b=3（舍） （2）当∈-2b（-1，2），-4<b<2时34b )2b (f ))x (f (2min +-=-=∴ 134b 2=+-∴ 22b ±=（舍负） （3）当2b-≤-1，b ≥2时，f(x)在[-1，2]上为增函数 ∴ (f(x)min =f(1)=4-b ∴ 4-b=1 ∴ b=3∴ 3x 2x )x (f 2+-=，或3x 3x )x (f 3++= 21.解：（1）若()xx f 1=M ∈，则在定义域内存在0x ，使得01111102000=++⇒+=+x x x x ， ∵方程01020=++x x 无解，∴()xx f 1=M ∉．……（4分）()()()()2222(2)lglg lg lg 1121122210(6a a a af x M x x x a x ax a =∈⇒=+++++⇒-++-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅分）， 当2=a 时，21-=x ， ……（7分）；当2≠a 时，由0≥∆， 得[)(]53,22,530462+⋃-∈⇒≤+-a a a . ∴[]53,53+-∈a ． …（9分）()()()()()0000212000010011311212322(1)221x x x x f x f x f x x x x +-+--=++---⎡⎤=+-=+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎣⎦分）（）（，又∵函数x y 2=图象与函数x y -=的图象有交点，设交点的横坐标为a ，则()01202010=-+⇒=+-x a x a ，其中10+=a x ，……（14分）∴()()()1100f x f x f +=+，即()M x x f x ∈+=22 ．……（15分）。