实验二： π的计算 实验三： 最佳分数近似值(.ppt)
圆周率的实验报告
圆周率的实验报告圆周率的实验报告引言：圆周率（π）是数学中一个重要的常数，它表示圆的周长与直径的比值。
圆周率的数值约等于3.14159，是一个无限不循环的小数。
在本次实验中，我们将通过不同的方法来计算圆周率，并探讨其性质和应用。
实验一：测量圆的周长和直径首先，我们需要测量一个圆的周长和直径，以便计算圆周率。
选择一个圆形物体，如一个硬币或者一个圆盘，使用一个软尺或者卷尺测量其周长和直径。
将测量结果记录下来，并计算周长与直径的比值。
实验二：使用几何方法计算圆周率在几何学中，我们可以通过正多边形的外接圆和内接圆来近似计算圆周率。
选择一个正多边形，如正六边形或正十二边形，测量其边长和内切圆的半径。
然后，计算正多边形的周长与内切圆的周长的比值。
随着正多边形的边数增加，这个比值会越来越接近圆周率。
实验三：使用概率方法计算圆周率概率方法是一种基于随机事件的方法来计算圆周率。
我们可以在一个正方形内随机撒点，并计算落在正方形内的点中，落在内切圆内的点的比例。
根据概率理论，这个比例会接近于圆的面积与正方形的面积之比，即π/4。
通过将这个比例乘以4，我们可以得到一个近似的圆周率值。
实验四：使用级数方法计算圆周率在数学中，圆周率可以通过级数来计算。
其中一个著名的级数是莱布尼茨级数：π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ...通过不断计算级数的和，我们可以逼近圆周率的数值。
在实验中，我们可以计算不同级数的和，并观察其逼近圆周率的速度。
实验五：使用计算机模拟计算圆周率计算机的出现为计算圆周率提供了更加精确和高效的方法。
我们可以使用计算机编写程序，通过数值方法来计算圆周率。
例如，可以使用蒙特卡洛方法，在一个正方形内随机生成大量点，并计算落在内切圆内的点的比例。
根据概率理论，这个比例会逼近圆周率的数值。
结论：通过以上实验，我们可以发现不同方法计算的圆周率值会有一定的误差，但随着方法的改进和精确度的提高，这个误差可以被不断减小。
最佳分数近似值
哈
在“怎样计算Pi?”的实验中，我们看到，祖冲之将Pi计算
工 到3.141596与3.1415927之间，但是实际上，祖冲之并没有使
程 用小数，他算出的圆周率是22/7（密率）、355/113（约率），
大 看看这两个分数与圆周率的实际误差有多大？
学
数
学
实
可以看出，分数355/113几乎与Pi足够接近，而22/7虽然
哈
工 程 大
3 1 3
1
3
7.06251
7 0.06251
7
1 1
学
15.9974
数 3
1
3
1
学 实 验
7
1
15 0.9974
7 15
1 1
1.00261
电
子 3
1
教 案
7 15
1 1
1 288.842
上页 下页 退出
哈 工
数 学 实 验
电 子 教
练习：让分母q依次取遍1到1000的所有自然数，对每个分母q， 取p=[q*Pi+0.5]得到一个最接近Pi的分数p/q，并将所有的这样
案 的分数列出来，同时列出与Pi的误差。
上页 下页 退出
Mathematica程序如下：
哈 工 程 大 学
数 学 实 验
电 子 教 案
上页 下页 退出
3
7 15
1 1 1
程
1 288.842
大
学
因此，下面的分数都是Pi在某个误差下的最佳分数近
数 似值。
学 实
验
355
113 1
mathematica实验三最佳分数近似值
mathematica实验三最佳分数近似值数学实验报告实验三最佳分数近似值实验目的：研究怎样用分数近似值去给定的无理数作最佳逼近。
“最佳”就是既要误差小，又要分母小。
我们首先需要对“最佳”定出具体而明确的标准，还要寻找一个求最佳分数近似值的简单易行的算法。
实验步骤：1、计算对数值对给定的正实数b ，N 且b ≠1，要求对数值a=N b log ,也就是求实数a 使a b =N ，如果能找到整数p ，q 使qpNb≈,则N bqp≈，N blogqp ≈，以lg2为例：由102=1024≈1000=310可得lg2≈103=0.3，再要提高精确度，就要找出更大的q 使q2更接近10的某个幂q10，也就是使pq 32更接近于1。
练习让q 依次取遍1到10000的所有的正整数，对每一个q ，按如下的递推法则求出一个正整数p=p(q)使实数pq q 102)(=λ最接近于1：q=1时，p(1)=0,λ(1)=1102=2.设已对q 求出p(q)和λ(q)，计算2λ(q)，如果2λ(q)<10,则取p(q+1)=p(q),λ(q+1)=2λ(q),如果2λ（q ）≥10，则取p(q+1)=p(q)+1，λ(q+1)=10)(2q λ.如果λ(q)比以前所有的λ(i)(11-≤≤q i )都更接近1，即|λ(q)-1|<|λ(i)-1|对所有的1≤i ≤q-1成立，就取qp 都是最佳逼近lg2的的分数近似值，它们可以展开成小数近似值。
2、分数对无理数的最佳逼近设α是给定的无理数。
怎样的分数QP 能够称为α的最佳分数近似值？既然“最佳”的标准是既要误差小，又要分母小，如果有一个分数qp 的分母q|α-qp|<|α-QP |,那么qp 就是比QP 更佳的分数近似值，QP 就不能说是“最佳”。
反过来，如果QP 的误差比起分母不超过Q 的其他分数近似值qp 都小，也就是|α-qp |<|α-QP |对所有qP 给出了α的最佳逼近。
实验二 怎样计算Pi
数学实验实验报告学院：数学与统计学院班级：数学与应用数学3班学号：0314姓名：康萍时间：实验二怎样计算一、实验目的分别用下列三种方法计算π的近似值，并比较三种方法的精确度： 数值积分法：通过使用编写梯形公式和辛普森公式的程序语言计算π。
泰勒级数法：利用反正切函数泰勒级数计算π。
蒙特卡罗（Monte Carlo ）法：通过使用编写蒙特卡罗公式的程序语言来计算π。
二、实验环境基于Windows 环境下的软件。
三、实验的基本理论和方法1、数值积分法以单位圆的圆心为原点建立直角坐标系，则单位圆在第一象限内的部分G 是一个扇形，由曲线])1,0[(12∈-=x x y 及两条坐标轴围成，它的面积4π=S 。
算出了S 的近似值，它的4倍就是π的近似值。
而扇形面积S 实际上就是定积分4112π=-⎰dx x 。
与π有关的定积分有很多，比如211x +的定积分411102π=+⎰dx x 就比21x -的定积分更容易计算，更适合于用来计算π。
一般地，要计算定积分()dx x f ba ⎰，也就是计算曲线()x f y =与直线b x a x y ===,,0所围成的曲边梯形G 的面积S 。
为此，用一组平行于y 轴的直线()b x x x x x a n i x x n n i =<<<<<=-≤≤=-1210,11 将曲边梯形T 分成n 个小曲边梯形，总面积S 分成这些小曲边梯形的面积之和。
如果取n 很大，使每个小曲边梯形的宽度都很小，可以将它上方的边界()()i i x x x x f ≤≤-1近似的看作直线段，将每个小曲边梯形近似的看作梯形来求面积，就得到梯形公式。
如果更准确些，将每个小曲边梯形的上边界近似的看作抛物线段，就得到辛普森公式。
具体公式如下：梯形公式 设分点11,,-n x x 将积分区间],[b a 分成n 等份，即()n i n a b i a x i ≤≤-+=0,/。
《圆周率的近似计算》课件
分析法时期
• 这一时期人们开始摆脱求多边形周长的繁难 计算，利用无穷级数或无穷连乘积来算 π 。 • 1593年，韦达给出
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
这一不寻常的公式是 π 的最早分析表达式。甚至 在今天，这个公式的优美也会令我们赞叹不已。它 表明仅仅借助数字2，通过一系列的加、乘、除和 开平方就可算出 π 值。
1989年，David 和 Gregory Chudnovsky 发表 了下面的公式
1 ( 1)n (6n)! 13591409 545140134n 12 , 3 3 3 n n 0 ( 3n)!( n! ) 640320 2
并在1994年计算到了4044000000位．它的另一 种形式是
1 1 32 1 256 64 n 0 1024 4n 1 4n 3 10n 1
n
64 4 4 1 . 10n 3 10n 5 10n 7 10n 9
从而，大大降低了圆周率近似值的计算量.
当区间划分为n(n>1)等分时
oaLeabharlann x1x2 x3x4
x5
b x
b a
n 1 n x k 1 x k h f ( x )dx S n ( f ( x0 ) 2 f ( xk ) f ( xn ) 4 f ( )) , 6 2 k 1 k 1 ba h , xk a kh k 0,1,2, , n n
在中国
• 祖冲之: 在刘徽研究的基础上，进一步地发展， 经过既漫长又烦琐的计算，一直算到圆内接正 24576边形，而得到一个结论： • 3.1415926 ＜ π ＜ 3.1415927 同时得到π 的两个近似分数：约率为22／7； 密率为355／113。
最新实验三 最佳分数近似值
实验三最佳分数近似值数学实验姓名：康萍学号：201370010314 老师：张贵仓班级：2013级（3）班时间：2016年4月19日实验三 最佳分数近似值一、实验目的本实验是要研究怎样用分数近似值去对给定的无理数做最佳逼近。
而“最佳”就是指既要误差小，又要分母小。
我们首先需要对“最佳”定出具体而明确的标准，通过比较各种方法，最终寻找一个求最佳分数近似值的简单易行的算法。
二、实验环境基于Windows 环境下的Mathematica7.0软件。
三、实验的基本理论和方法（一）、分数对无理数的最佳逼近设α是给定的无理数，Q P 是分数，如果有一个分数qp的分母Q q <并且误差Q P q p -≤-αα，或者分母Q q =且误差QPq p -<-αα，那么q p 就是比Q P 更佳的分数近似值，Q P 就不能是“最佳”。
反过来，如果Q P的误差比起分母不超过Q 的其他分数近似值q p 都小，也就是q pQ P -<-αα对所有的Q q <以及Q q =且P p ≠成立，就称QP给出了α的最佳逼近。
比如，对 3014159265=π，分母为1最接近π的分数近似值13，是π最佳分数逼近（因为根本就没有比他分母更小的分数）。
分母为2最接近π的分数近似值26，他的分母比1大，但误差不比13小，是比13更差的分数近似值，不是最佳。
我们也可以将误差小、分母小这两个标准综合起来，以误差qp-=∆α与分母q 的乘积∆q 为标准来判定分数近似值q p 的优劣，∆q 越小，qp越优。
还可以进一步强化“分母小”这一要求，用∆2q 做衡量标准，∆2q 值越小越优。
（二）实数的连分数展开仍以 35793014159265=π为例。
先找它的分母为1的最佳近似值，也就是最佳整数近似值，显然是3.在寻找比3的误差更小（当然分母更大）的分数近似值时并不需要依次考虑分母为 ,3,2的分数。
因为这时已经有了整数近似值3，则13x +=π。
实验2π的计算
. 22||||212188 .224 4242))21(11()21(|||||| .22 . . 11121111221212221122N N ∈∙=∙=∙∙∙∙===∙=∈--=--=--+=+====++-+n a S a OE AB S S n a a a a a EF AF AE a S a n S a n n n OAE n n n n n n ，，故又注意到，相应的边数，故，注意到，边长和面积，则步单位圆内接多边形的第分别是，设值也就越接近圆周率近单位圆的面积，其数边形的面积就越来越接那么内接正多正多边形的边数开始，逐步成倍地增加从单位圆的内接正方形Δ实验2：π的计算学院：机械与动力工程学院 姓名：唐子彦 学号：515020910137一、实验目的通过求π的近似值，了解历史上计算π值的一些方法，包括刘徽割圆术、级数展开、数值积分和Monte Carlo 法等. 复习微积分中相关知识，比较它们的差异，了解计算方法对提高计算效率的意义.二、实验内容（一）利用鲁道夫割圆术计算π值【问题】德国人鲁道夫一生计算圆周率，他同样是用圆的内接多边形逼近圆周. 不过，他是从正方形开始成倍增加边数. 试推导出他计算所采用的递推公式，然后求π的近似值到10位和20位有效数字. 【解】图1.1.1 ,21 ,21 421 ,2 1112⎩⎨⎧>∈∙==⎪⎩⎪⎨⎧>∈--==---n n a n S n n a n a n n n n n 且，且，的递推公式：由此可得鲁道夫割圆术N N 为通过“鲁道夫法”计算π的近似值，现编写M 文件如下：为求出指定有效数字位数的π值，还需编写M 文件如下：运行结果如下：图1.2【答】由图1.2不难发现，“鲁道夫法”计算π值效率较高，n=16时即可得到π的10位有效数字，n=32时即可得到π的20位有效数字. 然而，由于中途过程涉及开方等运算，因此计算较为复杂繁琐.（二）利用幂级数展开式计算π值【问题】简单公式31arctan 21arctan4+=π，Machin 公式2391arctan 51arctan 44-=π，以及公式81arctan 51arctan 21arctan 4++=π. 试验证上述三个公式（分别记为公式1、2、3），并利用反正切函数的幂级数展开式求π值，比较上述三公式的计算效率. 此外，再找出一种利用幂级数展开式求π的方法并验证之. 【解】.1424404tan 1312113121tan tan 1tan tan )tan(.31tan ,21tan 31arctan ,21arctan )1(得证，公式，故且，因为，则记πβαπππβαπβαβαβαβαβα=+=+<+<==⨯-+=-+=+====.244203404tan 1239111912012391119120tan 4tan 1tan 4tan )4tan(1191204tan 125)5(1512tan 1tan 22tan .2391tan ,51tan 2391arctan ,51arctan )2(22得证，公式，故且，因为，则再记ππππ=-<-<-<==⨯+-=+-=-=⇒=-⨯=-=⇒====y x y x y x y x y x x x x x y x y x .34.431tan 1tan 1)4(tan 31815118151tan tan 1tan tan )tan(.81tan ,51tan ,21tan 81arctan )3(得证，公式即，故且，因为，则再记z x z x z x z x z x z x z ++=+=-=+-=-=⨯-+=-+=+====απαπαααπα为利用上述三个公式求出π值，现编写以下三个M文件：第一个M文件，对应于公式1：第二个M文件，对应于公式2：第三个M文件，对应于公式3：为比较它们计算指定有效数字位数的π值的效率，还需编写M文件如下（详见第五页）：运行结果如下（每五个为一组）：图2.1 图2.2图2.3 图2.4 从上述四幅图中可以看出，公式1、3的计算效率基本相同，而公式2的计算效率高于其他两个.然而，从有效数字位数m=15开始，所得结果中公式1、2、3所需项数不再增加，这可能是MATLAB本身的原因. 个人猜测：当MATLAB计算到一个与π极为相近的数时，可能将其自动补全为π，而没有继续计算. 为试图解决该问题，可改用C++进行编程，所需的CPP文件如下：运行结果（每五个为一组）见第9页.从运行结果来看，有效数字位数m=1~16均可得到正确的项数n1、n2、n3. 然而当m=17时，或许是由于C++语言中long double类型的计算精度有限，无法进行高精度的浮点运算，导致循环条件恒为真，即程序进入死循环，无法得出正确结果. 对于m>17的情形更是如此（参见图2.8）.图2.5 图2.6左图：图2.7 下图：图2.8.4)21(!)!2)(12(!)!12(2121arcsin 621.!)!2)(12(!)!12(d !)!2(!)!12(11d arcsin :)1,1(.11!)!2(!)!12(1],[)(:)1,1(],[!)!2(!)!12()( .)1,1(!)!2(!)!12(1).1,1(11 1).1,1(11!)!2(!)!12(lim .1121lim 21lim 121!)!2(!)!12(21:.!)!2(!)!12(lim lim 2,!)!2(!)!12(!)21(12,0!)21(43!21211)](1[11.)21(!)!2)(12(!)!12(2121arcsin 6 4.)4(112011122022],[122122222210210422122112得证，公式，即得到取可求积定理”知：再由“函数项级数逐项且，则记内内闭一致收敛在第二定理，级数据无意义，故收敛域为时，又当，即收敛区间为，则收敛半径故，且注意到，则记证明如下：：公式利用以下公式计算π值除此之外，我们还可以∑⎰∑∑⎰∑∑∏∏∑∞=+∞=∞=+∞=∞=∞→∞→∞→∞→∞→-=-=-∞=++-+===+-+=-+=-=-∈∀-⇒-+∈-⊂∀-=--+--±=-==-==+=+<-≤∈∀-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+-==⋯+++⋯+∙++=-+=-+-+==n n xn n n n xb a n n n n n n nkk n n n n k k n n ____n k i n n n i n n n n n x x n n n x t t n n t tx x xx n n b a C x u b a x n n x u x n n Abel xx r k k ρn n n n n nn k k a ρkn k k k i k n a x n i x x x x n n n πρπN为比较公式4与前三个公式的计算效率，现编写M 文件如下：输入图2.9所示命令行，运行结果如下：图2.10【答】对比以上四公式的计算结果不难发现，公式1、3计算效率大致相同且较低，公式2的计算效率最高，公式4的计算效率介于它们之间比公式1、3略高。
实验报告三
数学实验报告实验三学院：数学与统计学院实验三：最佳分数近似实验背景在实验二“怎样计算Pi?”的实验中，我们看到，祖冲之将Pi 计算到3.141596与3.1415927之间，但是实际上，祖冲之并没有使用小数，他算出的圆周率是22/7（密率）、355/113（约率），看看这两个分数与圆周率的实际误差有多大？In[1]= N[{22/7,355/113}-pi,20]Out[1]={3.1428571428571428571-1.0000000000000pi3.1415929203539823009-1.00000000000000p}可以看出，分数355/113几乎与Pi足够接近，而22/7虽然差一些，但它所用的分数却比较简单。
实际上，对任何一个无理数a，都可用一个分数p/q来作为a的近似值，其近似计算的好坏可用Δ=|a-p/q|的大小来衡量，Δ越小，说明这个近似值越高。
那么，什么是分数对无理数的最佳分数近似呢？分数对无理数的最佳分数逼近定义如下：•练习1：让分母q依次取遍1到1000的所有自然数，对每个分母q，取p=[q*Pi+0.5]得到一个最接近Pi的分数p/q，并将所有的这样的分数列出来，同时列出与Pi的误差。
In[2]=Clear[p,q,a,b,i];a={};For[q=1,q≤1000,q++,p=Floor[q*Pi+1/2];If[Abs[p/q-3.141]>0.005,Continue[]];b=0;For[i=1,i≤Length[a],i++,If[(a[[i,2]]==p/q),b=1;Break[]];];If[b==0,AppendTo[a,{Abs[Pi-p/q]//N, p/q}]]; ];a=Sort[a];For[i=1,i≤Length[a],i++,Print["i=",i," err=",a[[i,1]],"Pi=",a[[i,2]]]]i=1 err = 2.66764×10-7 Pi= 355/113i=2 err= 9.59896×10-6 Pi= 2818/897i= 573 err= 0.00475055 Pi= 298/95i= 574 err= 0.00522902 Pi= 69/22（选取部分）可见，在1到1000之内，在给定的近似误差下，最好的一个分数近似值就是祖冲之所找到的密率355/113。
数学实验三 分数最佳近似 1
数学实验三分数最佳近似1.实验内容①分数对实数的最佳逼近；②实数的连分数展开；③计算对数值 2.实验目的本实验研究实数的近似值问题：定义“最佳逼近” ，给出寻求最佳逼近的算法；通过将实数写成连分数的形式，寻求它的有理近似值。
3.实验要求①利用比较法(穷举)方法给出无理数(例如π )的指定位数的最佳分数近似值：考虑一定范围内( q ≤ N i )，使p qπ 最小时分母q 最小者，试给出分母不超过30000 的最佳近似序列；改变最佳选择标准，观察结果有哪些变化。
如下，首先以误差小条件下取分母最小这一标准来求得的最佳近似序列⑴，92278 92633 93343 93698 94053 13 16 19 22 179 201 , …… , , , , ⑴ 3, , , , , 4 5 6 7 57 64 29373 29486 29712 29825 29938 改变最佳选择标准，将误差小、分母小这两个标准综合起来，以误差与分母q 的乘积q 为标准来判定分数近似值的优劣，得到近似序列⑵，同时，也可以进一步强化“分母小”这一标准，用做衡量标准，得到近似序列⑶。
22 333 355 ,7), ( ,106), ( ,113)} 7 106 113 22 355 ⑶ {(3,1), ( ,7), ( ,113)} 7 113 可见，随着选择标准的改变，所得的近似序列不同，而后两种标准能⑵ {(3,1), (够较快的逼近π 的近似值，故综上，在误差小的标准下，π 的分母不超过30000 的最佳分数近似值为94053 ，在误差小、分母小的标准下，π 的分母29938 355 不超过30000 的最佳分数近似值为。
113 ①将实数(有理数、无理数)展开成为连分数并求其值；与①中的结果做出比较，你有什么结论？将π 展开成为连分数形式，可得其69 位连分数表如下：{3,7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1,1,15,3 ,13,1,4,2,6,6,99,1,2,2,6,3,5,1,1,6,8,1,7, 1,2,3,7,1,2,1,1,12,1,1, 1,3,1,1,8,1,1,2,1,6,1,1,5}M-E3-1数学实验三分数最佳近似得到π 的连分数近似值和标准值如下：3.14159265358979323846264338327950288419716939 9375105820974944592307816489625157 <212564178171463672420858478430244273 676612793605096030724317800674759293.14159265358979323846264338327950288419716939937510582 0974944592307816406286209明显的，该分数分母远远大于30000，改变连分数的阶数得到如下结果：连分数的阶数n 2 3 4π 的近似趋近过程3.14150943396 3.141592920354 3.1415926530119<<<-π 的真值3.14159265359 3.141592653590 3.1415926535898333 106 355 113 103993 33102由表可知，该结果与问题一中的各选择标准相比，用连分数计算π 的355 近似值逼近速度更快，且分母在30000 以内的π 的最佳分数近似值为，113 与既要求误差小，又要求分母小的标准所得的近似值相同。
数学软件计算pai的课件
Matlab计算
创建m文件
function y=calpi4(k) m=0; for n=1:k if rand(1)^2+rand(1)^2<=1 m=m+1; end; end; y=4*m/k;
观察结果，思考为什么？
乐经良
任务4
1) 用Monte Carlo 法计算，除了加大随机数， 在随机数一定时可重复算若干次后求平均值， 看能否求得5位精确数字？ 2) 设计方案用计算机模拟Buffon实验
1
n
n
1 2!
还有
1 e n ! ( n 1) !
n
1 k e lim(1 2 ) n n n
试用上述公式或其他方法近似计算e
乐经良
谢谢各位！
2
2
乐经良
1 an 2 2
4
于是 的值
6 2n 1 Sn 1 3 2n an
(刘徽计算到96边形面积，得到 3.141)
用Matlab计算
m文件
function calpi(n) a(1)=1; for i=1:n-1 a(i+1)=sqrt(2-sqrt(4-a(i)^2)); end S=3*2^(n-1)*a(n)
乐经良
其他方法
•
1/ 的展开式 Ramanujan 公式 (4n)!(1103 26390n) (n!)23964n 9801 n1 1
2 2•Βιβλιοθήκη 算术几何平均值迭代法1 an bn a0 1, b0 , an1 , bn1 anbn , M lim an limbn n n 2 2
乐经良
计算结果 >> calpi2_1(10) ans = 3.14159257960635063255949717131 >> calpi2_1(20) ans = 3.14159265358975625659354591335 >> calpi2_1(50) ans = 3.14159265358979323846264338328
实验2π的计算
实验2π的计算. 22||||212188 .224 4242))21(11()21(|||||| .22 . . 11121111221212221122N N ∈?=?====?=∈--=--=--+=+====++-+n a S a OE AB S S n a a a a a EF AF AE a S a n S a n n n OAE n n n n n n ，，故⼜注意到，相应的边数，故，注意到，边长和⾯积，则步单位圆内接多边形的第分别是，设值也就越接近圆周率近单位圆的⾯积，其数边形的⾯积就越来越接那么内接正多正多边形的边数开始，逐步成倍地增加从单位圆的内接正⽅形Δ实验2：π的计算学院：机械与动⼒⼯程学院姓名：唐⼦彦学号：515020910137⼀、实验⽬的通过求π的近似值，了解历史上计算π值的⼀些⽅法，包括刘徽割圆术、级数展开、数值积分和Monte Carlo 法等. 复习微积分中相关知识，⽐较它们的差异，了解计算⽅法对提⾼计算效率的意义.⼆、实验内容（⼀）利⽤鲁道夫割圆术计算π值【问题】德国⼈鲁道夫⼀⽣计算圆周率，他同样是⽤圆的内接多边形逼近圆周. 不过，他是从正⽅形开始成倍增加边数. 试推导出他计算所采⽤的递推公式，然后求π的近似值到10位和20位有效数字. 【解】图1.1.1 ,21 ,21 421 ,2 1112>∈?==>∈--==---n n a n S n n a n a n n n n n 且，且，的递推公式：由此可得鲁道夫割圆术N N 为通过“鲁道夫法”计算π的近似值，现编写M ⽂件如下：为求出指定有效数字位数的π值，还需编写M ⽂件如下：运⾏结果如下：图1.2【答】由图1.2不难发现，“鲁道夫法”计算π值效率较⾼，n=16时即可得到π的10位有效数字，n=32时即可得到π的20位有效数字. 然⽽，由于中途过程涉及开⽅等运算，因此计算较为复杂繁琐.（⼆）利⽤幂级数展开式计算π值【问题】简单公式31arctan 21arctan4+=π，Machin 公式2391arctan 51arctan 44-=π，以及公式81arctan 51arctan 21arctan 4++=π. 试验证上述三个公式（分别记为公式1、2、3），并利⽤反正切函数的幂级数展开式求π值，⽐较上述三公式的计算效率. 此外，再找出⼀种利⽤幂级数展开式求π的⽅法并验证之. 【解】.1424404tan 1312113121tan tan 1tan tan )tan(.31tan ,21tan 31arctan ,21arctan )1(得证，公式，故且，因为，则记πβαπππβαπβαβαβαβαβα=+=+<+<==?-+=-+=+====.244203404tan 1239111912012391119120tan 4tan 1tan 4tan )4tan(1191204tan 125)5(1512tan 1tan 22tan .2391tan ,51tan 2391arctan ,51arctan )2(22得证，公式，故且，因为，则再记ππππ= -<-<-<==?+-=+-=-=?=-?=-=?====y x y x y x y x y x x x x x y x y x .34.431tan 1tan 1)4(tan 31815118151tan tan 1tan tan )tan(.81tan ,51tan ,21tan 81arctan )3(得证，公式即，故且，因为，则再记z x z x z x z x z x z x z ++=+=-=+-=-=?-+=-+=+====απαπαααπα为利⽤上述三个公式求出π值，现编写以下三个M⽂件：第⼀个M⽂件，对应于公式1：第⼆个M⽂件，对应于公式2：第三个M⽂件，对应于公式3：为⽐较它们计算指定有效数字位数的π值的效率，还需编写M⽂件如下（详见第五页）：运⾏结果如下（每五个为⼀组）：图2.1 图2.2图2.3 图2.4 从上述四幅图中可以看出，公式1、3的计算效率基本相同，⽽公式2的计算效率⾼于其他两个.然⽽，从有效数字位数m=15开始，所得结果中公式1、2、3所需项数不再增加，这可能是MATLAB本⾝的原因. 个⼈猜测：当MATLAB计算到⼀个与π极为相近的数时，可能将其⾃动补全为π，⽽没有继续计算. 为试图解决该问题，可改⽤C++进⾏编程，所需的CPP⽂件如下：运⾏结果（每五个为⼀组）见第9页.从运⾏结果来看，有效数字位数m=1~16均可得到正确的项数n1、n2、n3. 然⽽当m=17时，或许是由于C++语⾔中long double类型的计算精度有限，⽆法进⾏⾼精度的浮点运算，导致循环条件恒为真，即程序进⼊死循环，⽆法得出正确结果. 对于m>17的情形更是如此（参见图2.8）.图2.5 图2.6左图：图2.7 下图：图2.8.4)21(!)!2)(12(!)!12(2121arcsin 621.!)!2)(12(!)!12(d !)!2(!)!12(11d arcsin :)1,1(.11!)!2(!)!12(1],[)(:)1,1(],[!)!2(!)!12()( .)1,1(!)!2(!)!12(1).1,1(11 1).1,1(11!)!2(!)!12(lim .1121lim 21lim 121!)!2(!)!12(21:.!)!2(!)!12(lim lim 2,!)!2(!)!12(!)21(12,0!)21(43!21211)](1[11.)21(!)!2)(12(!)!12(2121arcsin 6 4.)4(112011122022],[122122222210210422122112得证，公式，即得到取可求积定理”知：再由“函数项级数逐项且，则记内内闭⼀致收敛在第⼆定理，级数据⽆意义，故收敛域为时，⼜当，即收敛区间为，则收敛半径故，且注意到，则记证明如下：：公式利⽤以下公式计算π值除此之外，我们还可以∑?∑∑?∑∑∏∏∑∞=+∞=∞=+∞=∞=∞→∞→∞→∞→∞→-=-=-∞=++-+===+-+=-+=-=-∈?-?-+∈-??-=--+--±=-==-==+=+<-≤∈?-===-=+-==?+++?+?++=-+=-+-+==n n xn n n n xb a n n n n n n nkk n n n n k k n n ____n k i n n n i n n n n n x x n n n x t t n n t tx x xx n n b a C x u b a x n n x u x n n Abel xx r k k ρn n n n n nn k k a ρkn k k k i k n a x n i x x x x n n n πρπN为⽐较公式4与前三个公式的计算效率，现编写M ⽂件如下：输⼊图2.9所⽰命令⾏，运⾏结果如下：图2.10【答】对⽐以上四公式的计算结果不难发现，公式1、3计算效率⼤致相同且较低，公式2的计算效率最⾼，公式4的计算效率介于它们之间⽐公式1、3略⾼。
实验二： π的计算 实验三： 最佳分数近似值(.ppt)
0.6
0.4
0.2
0.2
0.47
实验三: 实验三 最佳分数近似值
问题： 祖冲之的圆周率为 A. 3.141592… B. 355/113 ? 上述哪一个值更佳？
寻找最佳
最佳近似值：误差小，分母小。 准确值 z= π , 分数近似值 u/v， 误差 d=|z-u/v|。 选法1：递增选v，使d递减。 选法2：递增选v，使 vd 递减。 选法3：以v2d小为佳，选十佳。
声音越高，频率越高。 1，2，3，4，5，6，7，i 频率各是多少？ 高8度 i 是 1 的2倍。其余的音是 1 的几倍？ 十二平均律：频率等比上升，每半度升高 21/12。 比例都是无理数。 但为了音乐和谐，比例应是简单分数。 矛盾的解决办法：用最佳分数近似值！
音阶的频率比
高8度 i 是 1 的2倍。其余的音是 1 的几倍？ 十二平均律：频率等比上升，每半度升高 21/12: 1,1#, 2,2#, 3, 4,4#, 5, 5#, 6, 6#, 7, i 1, 22/12, 24/12, 25/12, 27/12, 29/12, 211/12, 2 比例都是无理数: 1, 1.12246, 1.25992, 1.33484, 1.49831, 1.68179, 1.88775, 2 但为了音乐和谐，比例应是简单分数 怎样解决矛盾：用分母尽可能小的分数近似值： 1, 9/8, 5/4, 4/3, 3/2, 5/3, 15/8, 2
数学实验
李尚志 教授
中国科学技术大学 数学系
实验二: 实验二 π 的计算
想一想：怎样算 π ？ 当一回祖冲之！
圆的面积
单位圆的面积等于 π 计算第一象限内的单位圆的面积， 方法为：把它分成n个窄的曲边梯形， 计算S大，S小，其中n可以为1000, 10000, ...
数学实验-最佳分数近似值
实验三最佳分数近似值一、实验名称:最佳分数近似值。
二、实验目的: 本实验是要研究怎样用分数近似值去对给定的无理数做最佳近，“最佳”就是既要误差小，又要分母小。
我们首先需要对“最佳”定出具体而明确的标准，还要寻找一个求最佳分数近似值的简单易行的算法。
三、实验环境: Mathematica系统，Word文档，课本。
四、实验的基本理论和方法：通过对π的近似方法的分析得到分数的最佳近似值。
π是无理数，对于任何一个无理数α，不可能用分数pq来作α的准确值，只可能作它的近似值，近似值pq的优劣可以用绝对误差||pqπ∆=-来衡量。
绝对误差∆越小，就说明这个近似值的精确度越高。
任意给定一个分母q，总可以选取适当的分子p使pq最接近准确值α，也就是使绝对误差∆最小，小于12q。
由此可见，要提高精确度，减少误差，一个简单的办法是增大分母q。
只要q足够大，就可以使误差任意小。
五、实验内容和步骤：（一）实验内容1．分数对无理数的最佳逼近：若有一个分数pq 的分母q Q <并且误差p P qQαα-≤-，或者分母q Q =且误差p P qQαα-<-，那么pq 就是比PQ 更佳的分数近似值，P Q就不能说是“最佳”。
反过来，如果PQ 的误差比起分母不超过Q 的其他分数近似值pq 都小，也就是P p Q qαα-<-对所有q Q <以及q Q =且p P ≠成立，这时，就称PQ 给出了α的最佳逼近。
2．计算对数值：对给定的正实数b ，N 且1b ≠，要求对数值log b N α=，也就是求实数α使b N α=.如果能找到整数p ，q 使qbNα=，则/p qbN≈，log b p N q≈.以lg 2（即10log 2）为例：由10321024100010=≈=可得3l g 20.310≈=.再要提高精确度，就要找出更大的q 使2q更接近10的某个幂10q，也就是使210q p更接近1. （二）实验步骤1．分数对无理数的最佳逼近（1）取n=50,让分母q 依次取遍1到n 的整数值，对每一个分母q ，将q*Pi 四舍五入得到一个整数p 作为分母。
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蒙特卡洛方法
求出S=π/4占S正方形ACBO的比例。 随机投点P(x,y) P在圆内⇔x2+y2≤1 π/4的近似值为落在圆内 B 的点数与总投点数的 S 比值
O
C
A
某次随机投点的结果
1 0.8
3 480 000 001 .1 000 000 3`
3 800 000 13` .14 0000 000
π 1 − x dx = 4
2 2
1 (1 + x ) dx = π ∫
4
梯形公式
b
f ( x)dx ≈[( f (a) + f (b)) / 2 + ∫
a
b−a b−a ∑ f (xi )] n , xi = a + n i i =1
n−1
20112011-6-7
辛普森公式
b
∫
a
f ( x ) dx ≈[ f ( a ) + f (b ) +
计算对数值
1 x = log 10 2 : 10 = 2 , 2 = 10 , A1 = > 1. x 1 3 4 2 < 10 < 2 ⇒ A1 = 3 + x 2 , A 2 = > 1. x2
x A1
2
x2
10 = 3 = 1 . 25 ,1 . 25 2
A2
= 2 , A2 = 3 + x3 ,L
数学实验
李尚志 教授
中国科学技术大学 数学系
实验二: 实验二 π 的计算
想一想：怎样算 π ？ 当一回祖冲之！
圆的面积
单位圆的面积等于 π 计算第一象限内的单位圆的面积， 方法为：把它分成n个窄的曲边梯形， 计算S大，S小，其中n可以为1000, 10000, ...
数值积分法
1
∫
0 1 0
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n −1 i =0 n −1 i =1
4 ∑ f ( x i + 0 .5 ) + 2 ∑
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b−a f ( xi )] 6n
无穷级数法
arctg x =x-x3/3+x5/5-x7/7+x9/9-... π /4 = arctg 1 =1-1/3+1/5-1/7+1/9-… 收敛太慢！ |x| 应当比 1 小很多，级数收敛才快。 π/4 = arctg 1/2 + arctg 1/3 π/4 = 4 arctg 1/5 - arctg 1/239
快速寻佳
π = 3 + x1 ≈ 3 , x1 = 0 . 14159265 ...
A1 = 1 x1 = 1 x1 = 7 . 0625 ... = 7 + x 2 ≈ 7 , ≈ 1 , π ≈ 3 + 1 = 22 . A1 7 7 7 x2 = ...
A2 = 1
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音阶的频率比
声音越高，频率越高。 1，2，3，4，5，6，7，i 频率各是多少？ 高8度 i 是 1 的2倍。其余的音是 1 的几倍？ 十二平均律：频率等比上升，每半度升高 21/12。 比例都是无理数。 但为了音乐和谐，比例应是简单分数。 矛盾的解决办法：用最佳分数近似值！
音阶的频率比
高8度 i 是 1 的2倍。其余的音是 1 的几倍？ 十二平均律：频率等比上升，每半度升高 21/12: 1,1#, 2,2#, 3, 4,4#, 5, 5#, 6, 6#, 7, i 1, 22/12, 24/12, 25/12, 27/12, 29/12, 211/12, 2 比例都是无理数: 1, 1.12246, 1.25992, 1.33484, 1.49831, 1.68179, 1.88775, 2 但为了音乐和谐，比例应是简单分数 怎样解决矛盾：用分母尽可能小的分数近似值： 1, 9/8, 5/4, 4/3, 3/2, 5/3, 15/8, 2
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的圆周率为 A. 3.141592… B. 355/113 ? 上述哪一个值更佳？
寻找最佳
最佳近似值：误差小，分母小。 准确值 z= π , 分数近似值 u/v， 误差 d=|z-u/v|。 选法1：递增选v，使d递减。 选法2：递增选v，使 vd 递减。 选法3：以v2d小为佳，选十佳。
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网上教材 网上教材 网址： 202.38.68.76/~mathexp/
或： 院系介绍 数学系 常用连接 网上数学实验
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The End
再见
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