实验二： π的计算 实验三： 最佳分数近似值(.ppt)
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n −1 i =0 n −1 i =1
4 ∑ f ( x i + 0 .5 ) + 2 ∑
20112011-6-7
b−a f ( xi )] 6n
无穷级数法
arctg x =x-x3/3+x5/5-x7/7+x9/9-... π /4 = arctg 1 =1-1/3+1/5-1/7+1/9-… 收敛太慢！ |x| 应当比 1 小很多，级数收敛才快。 π/4 = arctg 1/2 + arctg 1/3 π/4 = 4 arctg 1/5 - arctg 1/239
蒙特卡洛方法
求出S=π/4占S正方形ACBO的比例。 随机投点P(x,y) P在圆内⇔x2+y2≤1 π/4的近似值为落在圆内 B 的点数与总投点数的 S 比值
O
C
A
某次随机投点的结果
1 0.8
3 480 000 001 .1 000 000 3`
3 800 000 13` .14 0000 000
声音越高，频率越高。 1，2，3，4，5，6，7，i 频率各是多少？ 高8度 i 是 1 的2倍。其余的音是 1 的几倍？ 十二平均律：频率等比上升，每半度升高 21/12。 比例都是无理数。 但为了音乐和谐，比例应是简单分数。 矛盾的解决办法：用最佳分数近似值！
音阶的频率比
高8度 i 是 1 的2倍。其余的音是 1 的几倍？ 十二平均律：频率等比上升，每半度升高 21/12: 1,1#, 2,2#, 3, 4,4#, 5, 5#, 6, 6#, 7, i 1, 22/12, 24/12, 25/12, 27/12, 29/12, 211/12, 2 比例都是无理数: 1, 1.12246, 1.25992, 1.33484, 1.49831, 1.68179, 1.88775, 2 但为了音乐和谐，比例应是简单分数 怎样解决矛盾：用分母尽可能小的分数近似值： 1, 9/8, 5/4, 4/3, 3/2, 5/3, 15/8, 2
计算对数值
1 x = log 10 2 : 10 = 2 , 2 = 10 , A1 = > 1. x 1 3 4 2 < 10 < 2 ⇒ A1 = 3 + x 2 , A 2 = > 1. x2
x A1
2
x2
10 = 3 = 1 . 25 ,1 . 25 2
A2
= 2 , A2 = 3 + x3 ,L
π 1 − x dx = 4
2 2
1 (1 + x ) dx = π ∫
4
梯形公式
b
f ( x)dx ≈[( f (a) + f (b)) / 2 + ∫
a
b−a b−a ∑ f (xi )] n , xi = a + n i i =1
n−1
20112011-6-7
辛普森公式
b
∫
a
f ( x ) dx ≈[ f ( a ) + f (b ) +
数学实验
李尚志 教授
中国科学技术大学 数学系
实验二: 实验二 π 的计算
想一想：怎样算 π ？ 当一回祖冲之！
圆的面积
单位圆的面ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ等于 π 计算第一象限内的单位圆的面积， 方法为：把它分成n个窄的曲边梯形， 计算S大，S小，其中n可以为1000, 10000, ...
数值积分法
1
∫
0 1 0
20112011-6-7
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
20112011-6-7
实验三: 实验三 最佳分数近似值
问题： 祖冲之的圆周率为 A. 3.141592… B. 355/113 ? 上述哪一个值更佳？
寻找最佳
最佳近似值：误差小，分母小。 准确值 z= π , 分数近似值 u/v， 误差 d=|z-u/v|。 选法1：递增选v，使d递减。 选法2：递增选v，使 vd 递减。 选法3：以v2d小为佳，选十佳。
快速寻佳
π = 3 + x1 ≈ 3 , x1 = 0 . 14159265 ...
A1 = 1 x1 = 1 x1 = 7 . 0625 ... = 7 + x 2 ≈ 7 , ≈ 1 , π ≈ 3 + 1 = 22 . A1 7 7 7 x2 = ...
A2 = 1
20112011-6-7
音阶的频率比
20112011-6-7
网上教材 网上教材 网址： 202.38.68.76/~mathexp/
或：http://www.ustc.edu.cn 院系介绍 数学系 常用连接 网上数学实验
20112011-6-7
The End
再见
20112011-6-7
4 ∑ f ( x i + 0 .5 ) + 2 ∑
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b−a f ( xi )] 6n
无穷级数法
arctg x =x-x3/3+x5/5-x7/7+x9/9-... π /4 = arctg 1 =1-1/3+1/5-1/7+1/9-… 收敛太慢！ |x| 应当比 1 小很多，级数收敛才快。 π/4 = arctg 1/2 + arctg 1/3 π/4 = 4 arctg 1/5 - arctg 1/239
蒙特卡洛方法
求出S=π/4占S正方形ACBO的比例。 随机投点P(x,y) P在圆内⇔x2+y2≤1 π/4的近似值为落在圆内 B 的点数与总投点数的 S 比值
O
C
A
某次随机投点的结果
1 0.8
3 480 000 001 .1 000 000 3`
3 800 000 13` .14 0000 000
声音越高，频率越高。 1，2，3，4，5，6，7，i 频率各是多少？ 高8度 i 是 1 的2倍。其余的音是 1 的几倍？ 十二平均律：频率等比上升，每半度升高 21/12。 比例都是无理数。 但为了音乐和谐，比例应是简单分数。 矛盾的解决办法：用最佳分数近似值！
音阶的频率比
高8度 i 是 1 的2倍。其余的音是 1 的几倍？ 十二平均律：频率等比上升，每半度升高 21/12: 1,1#, 2,2#, 3, 4,4#, 5, 5#, 6, 6#, 7, i 1, 22/12, 24/12, 25/12, 27/12, 29/12, 211/12, 2 比例都是无理数: 1, 1.12246, 1.25992, 1.33484, 1.49831, 1.68179, 1.88775, 2 但为了音乐和谐，比例应是简单分数 怎样解决矛盾：用分母尽可能小的分数近似值： 1, 9/8, 5/4, 4/3, 3/2, 5/3, 15/8, 2
计算对数值
1 x = log 10 2 : 10 = 2 , 2 = 10 , A1 = > 1. x 1 3 4 2 < 10 < 2 ⇒ A1 = 3 + x 2 , A 2 = > 1. x2
x A1
2
x2
10 = 3 = 1 . 25 ,1 . 25 2
A2
= 2 , A2 = 3 + x3 ,L
π 1 − x dx = 4
2 2
1 (1 + x ) dx = π ∫
4
梯形公式
b
f ( x)dx ≈[( f (a) + f (b)) / 2 + ∫
a
b−a b−a ∑ f (xi )] n , xi = a + n i i =1
n−1
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辛普森公式
b
∫
a
f ( x ) dx ≈[ f ( a ) + f (b ) +
数学实验
李尚志 教授
中国科学技术大学 数学系
实验二: 实验二 π 的计算
想一想：怎样算 π ？ 当一回祖冲之！
圆的面积
单位圆的面ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ等于 π 计算第一象限内的单位圆的面积， 方法为：把它分成n个窄的曲边梯形， 计算S大，S小，其中n可以为1000, 10000, ...
数值积分法
1
∫
0 1 0
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0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
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实验三: 实验三 最佳分数近似值
问题： 祖冲之的圆周率为 A. 3.141592… B. 355/113 ? 上述哪一个值更佳？
寻找最佳
最佳近似值：误差小，分母小。 准确值 z= π , 分数近似值 u/v， 误差 d=|z-u/v|。 选法1：递增选v，使d递减。 选法2：递增选v，使 vd 递减。 选法3：以v2d小为佳，选十佳。
快速寻佳
π = 3 + x1 ≈ 3 , x1 = 0 . 14159265 ...
A1 = 1 x1 = 1 x1 = 7 . 0625 ... = 7 + x 2 ≈ 7 , ≈ 1 , π ≈ 3 + 1 = 22 . A1 7 7 7 x2 = ...
A2 = 1
20112011-6-7
音阶的频率比
20112011-6-7
网上教材 网上教材 网址： 202.38.68.76/~mathexp/
或：http://www.ustc.edu.cn 院系介绍 数学系 常用连接 网上数学实验
20112011-6-7
The End
再见
20112011-6-7