柱坐标系与球坐标系简介

π π 已知点A的球坐标为3，2，2，则点A的直角坐标为(
)
A．(3,0,0) C．(0,0,3)
B．(0,3,0) D．(3,3,0) π π π π ∵x＝3×sin 2 ×cos 2 ＝0，y＝3×sin 2 ×sin 2 ＝3，z＝3×cos
【解析】 π 2＝0，
∴直角坐标为(0,3,0)．故选B.
【解析】
π y 由坐标变换公式，可得ρ＝ x ＋y ＝ 2，tan θ＝x＝1，θ＝4(点
2 2
(1,1)在平面xOy的第一象限)， r＝ x2＋y2＋z2＝ 12＋12＋ 22＝2. 由rcos φ＝z＝ 2， 2 2 π 得cos φ＝ r ＝ 2 ，φ＝4.
π π π ∴点M的柱坐标为 2，4， 2，球坐标为2，4，4. π π π 【答案】 2，4， 2 2，4，4
【答案】 B
3π π 3．已知一个点的球坐标为2， 4 ，4，则它的高低角为(
)
π A．－4 π C.2
3π B. 4 π D.3
3π π π 【解析】 ∵φ＝ 4 ，∴它的高低角为2－φ＝－4.
【答案】 A
4．设点 M 的直角坐标为(1,1， 2)，则点 M 的柱坐标为________，球坐标 为________.
先确定C1的直角坐标，再根据空间直角
坐标系与球坐标系的联系，计算球坐标．
图143
【自主解答】
点C1的直角坐标为(1,1， 2)．
设C1的球坐标为(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π， 由x＝rsin φcos θ，y＝rsin φsin θ，z＝rcos φ， 得r＝ x2＋y2＋z2＝ 12＋ 22＋12＝2. 2 π 由z＝rcos φ，∴cos φ＝ 2 ，φ＝4， π y 又tan θ＝x＝1，∴θ＝4，
因此点M的直角坐标为(－1,1，－ 2)．
1．根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系，首先要明确点的 球坐标(r，φ，θ)中角φ，θ的边与数轴Oz，Ox的关系，注意各自的限定范围，即 0≤φ≤π，0≤θ<2π. 2．化点的球坐标(r，φ，θ)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式 x＝rsin φcos θ， y＝rsin φsin θ， z＝rcos φ，
3 3 3 3 3 ∴因此M的直角坐标为 ，－ ，－ . 4 4 2
空间点的直角坐标化为球坐标
已知长方体ABCDA1B1C1D1中，底面正方形ABCD的边长为1，棱 AA1的长为 2 ，如图143所示，建立空间直角坐标系Axyz，Ax为极轴，求点C1
的直角坐标和球坐标．
【思路探究】
阶 段 一
阶 段 三
四
柱坐标系与球坐标系简介
学 业 分 层 测 评
阶 段 二
1．了解柱坐标系、球坐标系的意义，能用柱坐标系、球坐标系刻画简单 问题中的点的位置．(重点) 2．知道柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式，并用于解 题．(难点、易错点)
[基础· 初探] 教材整理 1 柱坐标系 阅读教材 P16～P17“思考”及以上部分，完成下列问题． 一般地，如图 141，建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任意一点．它 在 Oxy 平面上的射影为 Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点 Q 在平 面 Oxy 上的极坐标，这时点 P 的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z ∈R)表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组 (ρ，θ，z) 之间的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做 柱坐标系 ，有序数组(ρ，θ，z)叫做点 P 的柱坐标，记作
3π x＝ρcos θ＝ 2cos 4 ＝－1， 3π (2) y＝ρsin θ＝ 2sin 4 ＝1， z＝2， 因此所求点的直角坐标为(－1,1,2).
将点的球坐标化为直角坐标
3 3 已知点M的球坐标为2，4π，4π，求它的直角坐标．
【思路探究】
x＝rsin φcos θ，y＝rsin φsin θ， 球坐标 ――――――――――――――→ 直角坐标 z＝rcos φ
π π 3 1 3 2 y2＝ 6sin 3sin 6＝ 6× 2 ×2＝ 4 ， π 1 6 z2＝ 6cos 3＝ 6×2＝ 2 .
3 6 3 2 所以点P的直角坐标为(1,1,5)，点B的直角坐标为 4 ， 4 ，
6 . 2
【答案】 B
教材整理 2
球坐标系
阅读教材 P17～P18，完成下列问题． 一般地，如图 142，建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴正向
图142 所夹的角为 φ.设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q， Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时
π π 从而点C1的球坐标为2，4，4.
1．由直角坐标化为球坐标时，我们可以设点M的球坐标为(r，φ，θ)，再利 用变换公式 x＝rsin φcos θ， y＝rsin φsin θ， z＝rcos φ
2 2 2
求出r，θ，φ.
y z 2．利用r ＝x ＋y ＋z ，tan θ＝x，cos φ＝r，特别注意由直角坐标求球坐标
y ＝x，求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值． 2．点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同．
[再练一题] 1．根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标： 5π 3π 2， ，3 2， ，2 (1) ； (2) . 6 4
【解】
设点的直角坐标为(x，y，z)．
5π x＝ρcos θ＝2cos 6 ＝－ 3， 5π (1) y＝ρsin θ＝2sin 6 ＝1， z＝3， 因此所求点的直角坐标为(－ 3，1,3)．
【自主解答】
设点的直角坐标为(x，y，z)，
3 3 2 2 x＝2sin πcos π＝2× ×－ ＝－1， 4 4 2 2 3 3 2 2 则 y＝2sin πsin π＝2× × ＝1， 4 4 2 2 3 2 z ＝ 2cos π ＝ 2 × ＝－ 2， － 4 2
π 2．柱坐标P16，3，5转换为直角坐标为(
)
A．(5,8,8 3) C．(8 3，8,5)
B．(8,8 3，5) D．(4,8 3，5)
【解析】
x＝ρcos θ， 由公式y＝ρsin θ z＝z，
π x＝16cos3＝8， π 得 y＝16sin3＝8 3， z＝5， 即P点的直角坐标为(8,8 3，5)．
P(ρ，θ，z) ，其中 ρ≥0,0≤θ<2π，－∞＜Z＜＋∞.
图 141
已知点A的柱坐标为(1,0,1)，则点A的直角坐标为( A．(1,1,0) C．(0,1,1) B．(1,0,1) D．(1,1,1)
)
【解析】 ∵x＝ρcos θ＝1，y＝ρsin θ＝0，z＝1， ∴直角坐标为(1,0,1)，故选B.
求出ρ，θ即可．
x＝ρcos θ， (2)已知柱坐标系中的柱坐标化为直角坐标，利用公式 y＝ρsin θ， z＝z， x，y，z即可．
求出
Βιβλιοθήκη Baidu
【自主解答】
(1)设M的柱坐标为(ρ，θ，z)， π 解之得，ρ＝ 2，θ＝4，
π 2，4，1.
1＝ρcos θ， 则由1＝ρsin θ， z＝1，
转化为三角函数的求值与运算．
[再练一题]
5 5 2．若例2中“点M的球坐标改为M3，6π，3π”，试求点M的直角坐标．
【解】
设M的直角坐标为(x，y，z)，
5π 5π 3 x＝rsin φcos θ＝3sin cos ＝ ， 6 3 4 5π 5π 3 3 则y＝rsin φsin θ＝3sin 6 sin 3 ＝－ 4 ， 5π 3 3 z＝rcos φ＝3cos 6 ＝－ 2 ，
因此，点M的柱坐标为
(2)设N的直角坐标为(x，y，z)， x＝ρcos θ， 则由y＝ρsin θ， z＝z， x＝－π， ∴y＝0， z＝π， x＝πcos π， 得y＝πsin π， z＝π，
因此，点N的直角坐标为(－π，0，π)．
1．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点M的柱坐标为(ρ， x＝ρcos θ， θ，z)，代入变换公式y＝ρsin θ， z＝z， 求ρ；也可以利用ρ2＝x2＋y2，求ρ.利用tan θ
【答案】 B
[小组合作型]
点的柱坐标与直角坐标互化
(1)设点M的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标系中的坐标； (2)设点N的柱坐标为(π，π，π)，求它的直角坐标．
【思路探究】 x＝ρcos θ， y＝ρsin θ， z＝z，
(1)已知直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标，利用公式
5．已知点P的柱坐标为
π π π 2，4，5 ，点B的球坐标为 6，3，6 ，求这两个
点的直角坐标．
【解】 设点P的直角坐标为(x1，y1，z1)， π 则x1＝ 2cos 4＝1， π y1＝ 2sin 4＝1，z＝5. 设点B的直角坐标为(x2，y2，z2)， π π 3 3 3 6 则x2＝ 6sin 3cos 6＝ 6× 2 × 2 ＝ 4 ，
因此点C的柱坐标为 π 2，4，0.
(2)由于r＝ x2＋y2＋z2＝ 12＋12＋0＝ 2. π z 又cos φ＝r＝0，∴φ＝2. π y 又tan θ＝x＝1，∴θ＝4，
故点C的球坐标为
π π 2，2，4.
[构建· 体系] — 柱坐标系 柱、球坐标系—— 球坐标系 — 柱坐标、球坐标的互化
π 1．在空间直角坐标系中，点P的柱坐标为 2，4，3 ，P在xOy平面上的射影
为Q，则Q点的坐标为( A．(2,0,3)
C. π 2，4，3
)
π B.2，4，0
π D．( 2，4，0)
【解析】 由点的空间柱坐标的意义可知，选B. 【答案】 B
所转过的
最小正角
为 θ.这样点 P 的位置就可以用有序数组 (r，φ，θ) 表
示．这样，空间的点与有序数组 (r，φ，θ) 之间建立了一种对应关系．把建立 上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做 点 P 的球坐标，记做 P(r，φ，θ)，其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.
2
时，应首先看明白点所在的象限，准确取值，才能无误．
[再练一题] 3．若本例中条件不变，求点C的柱坐标和球坐标．
【解】
易知C的直角坐标为(1,1,0)．
设点C的柱坐标为(ρ，θ，0)，球坐标为(r，φ，θ)，其中0≤φ≤π，0≤θ<2π. (1)由于ρ＝ x2＋y2＝ 12＋12＝ 2. π y 又tan θ＝x＝1，∴θ＝4，