高数(同济第六版)第十一章总结

第十一章 曲线积分与曲面积分

第一节 对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）

1、 体现的是“对弧长”的积分，∫f(x,y)ds L

[其中L 为光滑连续的一段或分段曲线]，依然用黎曼积分法得出。

2、 积分算法的主线是将对弧长s 的积分化成对t ，x 或其他一个变量的积分：

①有参数方程 x =φ(t)

y =ϕ(t)

ds =√φ′2(t )+ϕ′2(t)dx (a ≤t ≤b )

则化为∫f(x,y)ds L =∫f(φ(t),ϕ(t))√φ′2(t )+ϕ′2(t)dt b

a 极坐标形式中ds =√r 2(θ)+r ′2(θ)dθ

②有显方程y=f(x)，则有ds =√1+f ′2(x)dx

第二节 对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）

1、有F (ξ,η)=P (ξ,η)i +Q(ξ,η)j , dr =dxi +dyj ，则有

积分∫Fdr =L ∫Pdx L

+ Qdy （有向量的存在，则必然有方向问题）

2、对第二类曲线积分的算法，中心也是要把对x ，y 的积分化为t ，x 等一个变量的积分

3、两类积分的关系：某点处的方向向量e l =（cosα，cosβ）则有∫Pdx L + Qdy =∫(Pcosα+Qcosβ)ds L

第三节 格林公式

1、 描述的是曲线积分与二重积分的关系（有图示）:

12“正向规定”，围成的复连通区域为D

②格林公式的形式：∮Pdx L 1+L 2+ Qdy =∬(∂Q ∂y −∂P

∂x )dxdy D

③Green 公式成立所满足的条件：区域D 由分段光滑的曲线围成；P 、Q 在D 上有一阶连续偏导

2、平面积分与路径无关：∮Pdx L

+ Qdy =0，则 ①

∂Q ∂y =∂P ∂x ②必有某个函数μ(x,y)使得dμ=Pdx +Qdy