数学建模 第四章
数学建模第四章运筹和优化
4-4 变分法模型（6）
4-4 变分法模型（7）
4-4 变分法模型（8）
4-4 变分法模型（9）
4-4 变分法模型（10）
4-4 变分法模型（11）
4-4 变分法模型（12）
然科学，开始了对无穷小算法的研究，独立地创立了微积
分的基本概念与算法，和牛顿并蒂双辉共同奠定了微积分
学。1676年，他到汉诺威公爵府担任法律顾问兼图书馆馆
长。1700年被选为巴黎科学院院士，促成建立了柏林科学
院并任首任院长。
•
1716年11月14日，莱布尼兹在汉诺威逝世，终年70岁。
4-4 变分法模型（5）
4-1 线性规划模型（21）
4-1 线性规划模型（22）
4-41-1 线线性性规规划划模模型型（（232）3）
4-1 线性规划模型（24）
4-1 线性规划模型（25）
4-1 线性规划模型（26）
4-1 线性规划模型（27）
பைடு நூலகம் 4-1 线性规划模型（28）
4-1 线性规划模型（29）
4-1 线性规划模型（30）
期的数学，并获得了哲学硕士学位。
•
20岁时，莱布尼兹转入阿尔特道夫大学。这一年，他发表了第一
篇数学论文《论组合的艺术》。这是一篇关于数理逻辑的文章，其基
本思想是出于想把理论的真理性论证归结于一种计算的结果。这篇论
文虽不够成熟，但却闪耀着创新的智慧和数学才华。
莱布尼兹（3）
•
莱布尼兹在阿尔特道夫大学获得博士学位后便投身外
纳什2
纳什3
• 简介 约翰•纳什（JOHN
F.NASH）美国人 (1928- )由 于他与另外两位数学家在非 合作博弈的均衡分析理论方 面做出了开创性的贡献，对 博弈论和经济学产生了重大 影响，而获得1994年诺贝尔 经济奖。
数学模型与数学建模 第4章 量纲分析法
K m
K
原方程变形为
dV AV F0 X dT
优点：
1. 减少了参数的个数； 2. 方程中的变量X、V、T都是无量纲量.
量纲分析是20世纪初提出的在物理领域中 建立数学模型的一种方法.
对所设问题有一定了解，在实验和经验的 基础上利用量纲齐次原则来确定各物理量之 间的关系. 例4.2.1 单摆运动 将质量为m 的一个小球系在长度为l 的线的 一端,稍偏离平衡位置后小球在重力mg的作用
其中 [质量]=[ m ]=M, [长度]=[ l ]=L, [时间]=[ t ]=T,
称为 基本量 纲
ds 例4.1.1 [速度]=[ v ]=[ ] = =LT－1 ; dt [加速度]=[ a ] =LT－2 ;
因为力 F=ma, 故 [ F ]=[ m ][ a ] =MLT－2;
部分物理常数也有量纲，如万有引力定律 m1m 2 f K 2 r 中的引力常数K的量纲为
量纲不变性:无量纲量在模型和原型中保持不变
模型中的各物理量： f , l , h, v , , , g 原型中的各物理量： f , l , h, v, , , g 有
l , v , lv ) f l v ( h lg 2 2
fl v
当无量纲量
l h
量纲齐次原则: 任一有意义的物理方程必定是量
纲一致的,即有
[左边] = [右边]
1. 对数学模型和模型的解进行量纲一致性检验.
2. 无量纲化方法减少参数个数.
例4.1.2 非线性震荡运动方程
2
dx m Kx C F 2 dt dt
d x
或
江南大学博士课程数学建模（精品）
第四章 微分方程模型在研究某些实际问题时，经常无法得到各变量之间的联系，问题的特性往往会给出关于变化率之间的一些关系。
利用这些关系，我们可以建立相应的微分方程模型。
事实上，在微分方程课程中，解所谓应用题时已经遇到简单的建立微分方程模型问题，这些问题大多数是物理或几何方面的典型问题，假设条件已经给出，只须用数学符号将已知规律表达出来，即可列出方程，求解的结果就是问题的答案，答案唯一的。
而本章介绍的模型主要是非物理领域的实际问题，要分析具体情况或进行类比才能给出假设条件，作出不同的假设，就得到不同的方程。
问题没有标准答案，求解结果还要用来解释实际现象并接受检验。
第一节 人口模型问题：据考古学家论证，地球上出现生命距今已有20亿年，而人类的出现距今不足200万年。
纵观人类人口总数的增长情况，我们发现：1000年前人口总数为2.75亿，经过漫长的过程到1830年，人口总数为10亿。
又经过100年即1930年，人口总数达20亿。
30年之后，在1960年，人口总数为30亿，又经过15年，1975年的人口总数为40亿，12年之后即1987年，人口总数为50亿。
问：人类人口增长的规律是什么？如何在数学上描述这个规律。
⑴ Multhus 模型：18世纪末，英国神父Multhus 在研究了一百多年的人口统计资料之后，认为在人口自然增长过程中，净相对增长率（出生率-死亡率）为常数，于是提出了著名的Multhus 人口模型。
模型假设：①设)(t x 表示t 时刻的人口数，且)(t x 连续、可微； ②人口增长率r 是常数；③人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增长与减少取决于人口中个体的生育和死亡，且每一个体都具有同样的生育能力和死亡率。
模型建立与求解：由假设在时间],[t t t ∆+内人口的增量为t t rx t x t t x ∆=-∆+)()()(，于是有方程⎪⎩⎪⎨⎧==0)0(x x rx dt dx ，求解得rt e x t x 0)(=，即人口增长是按指数规律增长，其图形为模型评价：考虑二百多年来人口增长的实际情况，1961年世界人口总数为3.06⨯109，在1961~1970年这段时间内。
4数学建模 第四章 初等代数
第四章初等代数、几何方法x = x(r, θ) = r cos θ,y = y(r, θ) = r sin θ,z = z(r, θ) = r,(r ∈[0, +∞), θ ∈[0, 2π]) 这是二元三维向量值函数，它是三维空间的一张半圆锥面，这是一元函数的另一种推广：多个因变量(x和y) 接1引言：有时候现象或事件中变量之间呈现向量值函数的关系，空间解析几何中熟知的映射f : [0, +∞) × [0, 2π] I→R3,(r, θ) I→(x, y, z)的具体分量形式是某种规律，随自变量t 或(r, θ) 的变化而相应变化．一般地设D是R n上的点集，DIR m的映射f : D →R m，x = (x1, x2, ···, x n)，z = (z1, z2, ···, z m)，称为n元m维向量值函数，(或多元函数组)，记为z = f(x)．D称为f(x)的定义域，R= {z ∈R m|z = f(x), x ∈D}称为f的值域．多元函数是m = 1的特殊情形．显然，每个z i(i = 1, 2, ···, m)都是x的函数zi = fi(x)，它称为(f )的第i个坐标(或分量)函数.于是，(f )可以表达为分量形式z1 = f1(x), z2 = f2(x),······z m = fm(x),因此f又可表示为f = (f1, f2, ···, fm).它们有的是线性代数方程，比如在投入产出问题中；另一种就是非线性代数方程，往往来自于几何中的曲线、曲面的方程以及其他领域．2 线性代数方法源头问题：线性代数中有几个最基本的概念：线性方程组、行列式、矩阵、二次型．大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组大约4000年前，巴比伦人能求解两个未知数的线性方程组．公元前200年，中国出版的“九章算术” 表明已经能求解3 × 3 的方程组了．简单方程Ax + B = 0 是一个古老的问题，莱布尼兹、拉格朗日、凯利(Cayley)和欧拉都有贡献．十九世纪，高斯提出了消去法，1848，J.J. Sylvester 提出的“矩阵”概念，1855年亚瑟凯莱J进了矩阵乘法和矩阵代数．但在很长一段时间里，许多线性代数的兴趣被放缓，直I第二次世界大战结束带来了计算机的发展，才使得线性代数向前更迅速、更有效的发展．最著名的例子是哈佛大学的列昂惕夫教授．1949年，他用计算机算出了由美国统计局的25万条经济数据所组成的42个未知数的42个方程组，这些模型是用线性方程组来描述的，被称为列昂惕夫“投入- 产出”模型．列昂惕夫因此获得了1973 年的诺贝尔经济学奖．例题1：某地区有三个重要产业，一个煤矿、一个发电厂和一条地方铁路．开采一元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费及0.25元的运输费；生产一元钱的电力，发电厂要支付0.65元的煤费，0.05元的电费及0.05元的运输费；创收一元钱的运输费，铁路要支付0.55元的煤费及0.10元的电费．在某一周内，煤矿接I外地金额为50000元的定货，发电厂接I外地金额为25000元的定货，外界对地方铁路没有需求．问三个企业在这一周内总产值多少才能满足自身及外界的需求？例题2：交通流量问题图中给出了某城市部分单行街道的交通流量(每小时过车数)假设：(1)全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量；(2)全部流人一个节点的流量等于全部流出此节点的流量。
浙大城院数学建模4
MCM
13
00:48:12
德兰努瓦(M. Delannoy)证明： (1)n=2，m=2，k=5； (2)n=3，m=3，k=11 (3)n=4，m=3，k=9； (4)n=5，m=3，k=11 (5)n≥6，m=4，k=2n-3
(问题4) 德丰特内(M. De Fonteney)指出，如果河中有 一个岛，那么，不管有多少对夫妻，只要有一只可载2人 的船，他们均能过河(2对、3对时不需要岛），最少摆渡 次数为。
有些较为复杂的问题，开始时常常给人以一种 变幻莫测的感觉。但经过细微的分析研究，可以发现 其中存在着某些内在的关系。在使用适当的数学工具 后，这些内在关系就被一一揭露出来了。
德国著名的艺术家Albrecht Dürer(1471-1521) 于1514年曾铸造了一枚名为“Melencotia I”的铜币。 令人奇怪的是在这枚铜币的画面上充满了数学符号、 数字及几何图形。这里，我们仅研究铜币右上角的数 字问题。
MCM
3
00:48:12
(i) 可取状态：根据题意，并非所有状态都是允许的， 例如（0,1,1,0）就是一个不可取的状态，因为狗会咬鸡。 本题中可取状态（即系统允许的状态）可以用穷举法列 出来，它们是：
人在此岸 人在对岸
(1 1 1 1) (0 0 0 0)
(1 1 1 0) (0 0 0 1)
(1 1 0 1) (0 0 1 0)
(第一次渡河) (1,1, 0, 0) (0, 0,1,1)
(1,1,1,1)
(1, (1,
0,1, 0) 0, 0,1)
(0,1, 0,1) (0,1,1, 0)
(1, 0, 0, 0) (0,1,1,1)
数学建模 第四章
常识上，r应比当时活期存款月利率略高一 些。我们用活期存款月利率0.0198/12 作为 迭代初值，用fzero求解 >>clear; fun=inline('25.2*(1+r)^360-((1+r)^360-… 1)/r*0.1436' ,'r') >>r=fzero(fun,0.0198/12); >>R=12*r 得年利率为5.53%. (你知道最新利率吗？)
c= lsqnonlin (Fun,c0) 使用迭代法搜索最 优参数c. 其中Fun是以参数c(可以是向量) 为自变量的函数,表示误差向量 y-f(c,x)(x, y为数据)， c0为参数c的近似值,作为迭代初值
c=lsqcurvefit(Fun2,c0, x, y) 从外部输入数据， 这里Fun2为两变量c和x的函数 f(c, x)
x返回一元或
多元函数Fun在x0附近的一个零点， 其中x0为迭代初值; f返回Fun在x的函数值, 应该接近0; h返回值如果大于0， 说明计算结果可靠， 否则计算结果不可靠。
例3 求函数y=xsin(x2-x-1)在(-2, -0.1)内的 零点 >> fun=inline('x*sin(x^2-x-1)','x') >> fzero(fun,[-2 -0.1]) 例4 求方程组在原点附近的解 1 x 4x − y + 10 e = 1 −x + 4y + 1 x2 = 0 8
第t天的储存费为 k2q(t)
一个周期的总储存费为 k2 ∑q(t) ≈ k2 ∫o q(t)dt
T
T
一个周期总费用 C(x) = k1+k2x2/(2r) 优化目标是使单位产品费用 f(x)=C(x)/x=k1/x+k2x/(2r) 达到最小 由f’(x)=0 ,即 -k1/x2+k2/(2r)=0 得
2024年数学建模知识讲座教案模板精选
2024年数学建模知识讲座教案模板精选一、教学内容本节课选自《数学建模》教材第四章：数学建模方法与应用。
具体内容包括：线性规划模型、非线性规划模型、整数规划模型以及应用案例分析。
二、教学目标1. 理解并掌握线性规划、非线性规划和整数规划的基本概念及其求解方法。
2. 能够运用数学建模方法解决实际问题，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3. 培养学生的团队合作意识，提高沟通与协作能力。
三、教学难点与重点重点：线性规划、非线性规划和整数规划的基本概念及求解方法。
难点：如何将实际问题抽象成数学模型，并运用合适的算法求解。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）通过展示一个实际案例，引导学生思考如何将现实问题抽象成数学模型。
2. 理论讲解（15分钟）介绍线性规划、非线性规划和整数规划的基本概念，讲解求解方法。
3. 例题讲解（10分钟）以一道典型的数学建模题目为例，讲解如何建立模型并求解。
4. 随堂练习（10分钟）学生分组讨论，完成一个简单的数学建模问题。
5. 答疑解惑（5分钟）针对学生在练习中遇到的问题进行解答。
6. 小组讨论（10分钟）学生分组讨论一个较为复杂的实际问题，尝试建立数学模型并求解。
7. 成果展示（10分钟）各小组展示自己的建模过程和结果，进行交流和评价。
六、板书设计1. 2024年数学建模知识讲座2. 线性规划、非线性规划、整数规划的基本概念3. 案例分析与求解步骤4. 随堂练习题目5. 小组讨论题目七、作业设计1. 作业题目：（1）某工厂生产两种产品，已知生产每种产品所需的材料、人工和设备费用，求利润最大时的生产计划。
（2）某城市公交线路优化问题，已知各站点间的距离和客流量，求最短的公交线路。
2. 答案：（1）根据线性规划求解方法，列出目标函数和约束条件，使用单纯形法求解。
（2）根据整数规划求解方法，列出目标函数和约束条件，使用分支定界法或割平面法求解。
章绍辉数学建模第四章
第四章2.符号说明：酒精量是指纯酒精的质量，单位是毫克；酒精含量是指纯酒精的浓度，单位是毫克/百毫升；t ～时刻（小时）；x1(t) ～在时刻t吸收室（肠胃）内的酒精量（毫克）；D0～在段时间内喝下2瓶啤酒后吸收室内的酒精量（毫克）；c1(t) ～在时刻t吸收室（肠胃）的酒精含量（毫克/百毫升）；c2(t) ～在时刻t中心室（血液和体液）的酒精含量（毫克/百毫升）；V～中心室的容积（百毫升）；k1～酒精从吸收室吸收进入中心室的速率系数；k2～酒精从中心室向体外排除的速率系数；k3～假如所喝入的酒精完全吸收进中心室却没有排除出体外，中心室的酒精含量将达到的最大值（毫克/百毫升）；模型假设：假设一：酒是在很短时间内喝的大李在短时间内喝下三瓶啤酒后，酒精先从吸收室（肠胃）吸收进中心室（血液和体液），然后从中心室向体外排除，忽略喝酒的时间，根据生理学知识，假设（1）吸收室在初始时刻t=0时，酒精量立即为3D0/2；在任意时刻，酒精从吸收室吸收进入中心室的速率（吸收室在单位时间内酒精含量的减少量）与吸收室的酒精含量成正比，比例系数为k1；（2）中心室的容积V保持不变；在初始时刻t=0时，中心室的酒精含量为0；在任意时刻，酒精从中心室向体外排除的速率（中心室在单位时间内酒精含量的减少量）与中心室的酒精含量成正比，比例系数为k2；（3）在大李适度饮酒没有酒精中毒的前提下，假设k1和k2都是常数，与饮酒量无关；假设二：酒是在较长一段时间（如2小时）内喝的大李在较长一段时间（如2小时）内喝下三瓶啤酒后，酒精先从吸收室（肠胃）吸收进中心室（血液和体液），然后从中心室向体外排除，忽略喝酒的时间，根据生理学知识，假设（1）吸收室在初始时刻t=0时，酒精量为0；在任意时刻，酒精从吸收室吸收进入中心室的速率（吸收室在单位时间内酒精含量的减少量）与吸收室的酒精含量成正比，比例系数为k 1；（2）中心室的容积V 保持不变；在初始时刻t=0时，中心室的酒精含量为0；在任意时刻，酒精从中心室向体外排除的速率（中心室在单位时间内酒精含量的减少量）与中心室的酒精含量成正比，比例系数为k 2；（3）在大李适度饮酒没有酒精中毒的前提下，假设k 1和k 2都是常数，与饮酒量无关；模型建立和求解：假设一：酒是在很短时间内喝的 根据4.1.7小节饮酒驾车案例，假设k 1=2.0079，k 2=0.1855则在很短时间内喝下三瓶酒时0333103.86155.7922D k V ==⨯= 记喝酒时间为t=0时，c 2(t)=0，则可根据()21--13212()--k t k t k k c t e e k k =来计算t 时刻血液中的酒精含量c 2(t)，Matlab 代码如下： M 文件fun2_1.mk1=2.0079;k2=0.1855;k3=155.79;c2=@(t)(k1.*k3)./(k1-k2).*(exp(-k2.*t)-exp(-k1.*t)); hold on ;plot(0:0.01:20,c2(0:0.01:20)); plot([0,20],[20,20],[0,20],[80,80]); xlabel('时刻t （小时）');ylabel('血液中酒精含量c2（毫克/百毫升）');title('短时间内喝下三瓶酒时，血液中酒精含量随时间的变化过程');输出图像由图像可知c 2(t)的函数图像与y=20和y=80分别都有2个交点，故可继续添加代码求出这4个交点坐标，代码如下： M 文件fun2_1.m 续f=@(t)c2(t)-20; g=@(t)c2(t)-80;ft=[fzero(f,1),fzero(f,20)] gt=[fzero(g,1),fzero(g,20)]输出结果ft =0.0689 11.5887 gt =0.3805 4.1125即（1）当[0.0689,0.3805][4.1125,11.5887]t ∈时，220()80c t ≤<，属于饮酒驾车；（2）当[0.3805,4.1125]t ∈时，2()80c t ≥，属于醉酒驾驶； 假设二：酒是在较长一段时间（如2小时）内喝的 根据4.1.7小节饮酒驾车案例，假设k 1=2.0079，k 2=0.1855则在较长一段时间（如2小时）内喝下三瓶酒时0333103.8677.89544D k V ==⨯= 记喝酒时间为t=0时，c 1(t)=0，c 2(t)=0，则吸收室的酒精量x 1(t)满足分段初值问题11011121011113,(0)0,0t 2 43,(2)(1),24k dx D k x x dtdx D k x x e k dtk -⎧=-+=≤≤⎪⎪⎨⎪=-=-≥⎪⎩解得111011203(1) ,024()3(e 1)e , 2 4k t k k t D e t k x t D t --⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩ 故中心室内的酒精含量c 2(t)满足分段初值问题111222322222321(1) ,(0)0,02(1),(2), 2 k t k k t dc k c k e c t dtdc k c k e e c p t dt--⎧=-+-=≤≤⎪⎪⎨⎪=-+-=≥⎪⎩ 解得1212131332122122223212,0t 2()(1) , 2k t k tk k t k t k k k k e e k k k k k k c t k e p e e t k k ----⎧-+≤≤⎪--⎪=⎨-⎪-≥⎪-⎩其中1222313312122122k kk k k k p e e k k k k k k --=-+-- 1221222()32112(1)k k kk k e p p eek k --=+-通过Matlab 画出c 2(t)的图像，代码如下： M 文件fun2_2.mk1=2.0079;k2=0.1855;k31=155.79;k3=k31/2; c2=@(t)(k1.*k31)./(k1-k2).*(exp(-k2.*t)-exp(-k1.*t)); hold on ;plot(0:0.01:20,c2(0:0.01:20),'--');plot([0,20],[20,20],[0,20],[80,80]);xlabel('时刻t（小时）');ylabel('血液中酒精含量c2（毫克/百毫升）');p1=k3*exp(-2*k1)/(k1-k2)-k1*k3*exp(-2*k2)/(k1*k2-k2*k2)+k3/k2;p2=p1*exp(2*k2)+k3*(exp(2*k1)-1)*exp(2*(k2-k1))/(k1-k2);c21=@(t)k3.*exp(-k1.*t)./(k1-k2)-k1.*k3.*exp(-k2.*t)./(k1.*k2-k2.*k2)+k3/k2;c22=@(t)p2.*exp(-k2.*t)-k3.*(exp(2.*k1)-1).*exp(-k1.*t)./(k1-k2);plot(0:0.01:2,c21(0:0.01:2));plot(2:0.01:20,c22(2:0.01:20));title('喝下三瓶啤酒，血液中酒精含量随时间的变化过程');legend('很短时间内喝的','较长一段时间（如2小时）内喝的');输出图像由图像可知c2(t)的函数图像与y=20和y=80分别都有2个交点，故可继续添加代码求出这4个交点坐标，代码如下：M文件fun2_2.m续f=@(t)c2(t)-20;g=@(t)c2(t)-80;ft=[fzero(f,1),fzero(f,20)]gt=[fzero(g,1),fzero(g,20)]输出结果ft =0.6233 12.6196 gt =1.6366 5.1412即（1）当[0.6233,1.6366][5.1412,12.6196]t ∈时，220()80c t ≤<，属于饮酒驾车；（2）当[1.6366,5.1412]t ∈时，2()80c t ≥，属于醉酒驾驶。
2024数学建模课程教案课件
2024数学建模课程教案课件一、教学内容本节课选自《数学建模》教材第四章“线性规划及其应用”，具体内容包括：线性规划的基本概念、线性规划模型的建立、单纯形法及其应用、线性规划的敏感性分析。
二、教学目标1. 理解线性规划的基本概念，掌握线性规划模型的建立方法。
2. 学会使用单纯形法求解线性规划问题，并能应用于实际问题。
3. 了解线性规划的敏感性分析，培养学生对优化问题的求解能力和分析能力。
三、教学难点与重点重点：线性规划模型的建立，单纯形法的求解步骤。
难点：线性规划模型的构建，单纯形法的推导和应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。
2. 学具：教材、《数学建模》学习指导书、草稿纸、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）通过展示实际生活中的优化问题，如工厂生产计划、物流配送等，引出线性规划的概念。
2. 理论讲解（15分钟）介绍线性规划的基本概念，引导学生思考如何建立线性规划模型。
3. 例题讲解（15分钟）以一个具体的线性规划问题为例，讲解如何构建模型，并引导学生运用单纯形法求解。
4. 随堂练习（10分钟）学生独立完成一个线性规划问题的建模和求解，教师巡回指导。
5. 知识拓展（5分钟）介绍线性规划的敏感性分析，引导学生了解优化问题的求解过程。
教师带领学生回顾本节课所学内容，强调线性规划的重点和难点。
7. 课堂小结（5分钟）六、板书设计1. 黑板左侧：线性规划基本概念、模型建立方法。
2. 黑板右侧：单纯形法求解步骤、线性规划敏感性分析。
七、作业设计1. 作业题目：max z = 2x + 3ys.t. x + y ≤ 42x + y ≤ 6x ≥ 0, y ≥ 0max z = 3x + 4ys.t. 2x + 3y ≤ 12x + y ≤ 5x ≥ 0, y ≥ 02. 答案：（1）最优解为：x = 2, y = 2，z = 10。
（2）对约束条件进行敏感性分析，当约束条件2x + 3y ≤ 12变为2x + 3y ≤ 11时，最优解不变；当约束条件x + y ≤ 5变为x + y ≤ 4时，最优解变为x = 2, y = 1，z = 10。
《数学建模》课程教案
《数学建模》课程教案教学文档一、教学内容本节课选自《数学建模》教材第四章：线性规划及其应用。
详细内容包括线性规划的基本概念、线性规划模型的建立、单纯形方法及其应用。
二、教学目标1. 理解线性规划的基本概念，掌握线性规划模型的建立方法。
2. 学会运用单纯形方法求解线性规划问题，并能将其应用于实际问题。
3. 培养学生的数学建模能力，提高解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点难点：线性规划模型的建立、单纯形方法的运用。
重点：线性规划的基本概念、线性规划模型的求解。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、PPT课件。
学具：教材、笔记本、计算器。
五、教学过程1. 导入：通过一个实际情景，引出线性规划问题。
实践情景：某工厂生产两种产品，产品A和产品B。
生产每个产品A需要2小时工时和3平方米厂房面积，生产每个产品B需要4小时工时和1平方米厂房面积。
工厂每天有8小时工时和6平方米厂房面积可用。
如何分配生产时间和厂房面积，使得工厂每天的生产利润最大？2. 知识讲解：1) 线性规划的基本概念。
2) 线性规划模型的建立。
3) 单纯形方法及其应用。
3. 例题讲解：例题1：求解导入环节提出的实际线性规划问题。
例题2：求解一个标准形式的线性规划问题。
4. 随堂练习：让学生独立求解一个线性规划问题，并给出解答。
六、板书设计1. 线性规划基本概念2. 线性规划模型的建立3. 单纯形方法4. 例题解答七、作业设计1. 作业题目：习题4.1：求解线性规划问题。
习题4.2：应用单纯形方法求解实际问题。
2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对线性规划的基本概念和求解方法掌握程度，以及对实际问题的建模能力。
2. 拓展延伸：探讨线性规划的其他求解方法，如内点法、对偶问题等。
引导学生关注线性规划在实际问题中的应用，如物流、生产计划等。
重点和难点解析1. 线性规划模型的建立。
2. 单纯形方法的运用。
3. 例题讲解与随堂练习的设置。
2024年数学建模教案修订版
2024年数学建模教案修订版一、教学内容本节课选自《数学建模》教材第四章第三节，详细内容主要围绕线性规划的应用展开，包括线性规划的基本概念、数学模型及其在实际问题中的应用。
二、教学目标1. 理解线性规划的基本概念，掌握线性规划的数学模型。
2. 学会运用线性规划方法解决实际问题，提高数学应用能力。
3. 培养学生的团队协作和问题分析能力。
三、教学难点与重点教学难点：线性规划模型的构建及其求解方法。
教学重点：线性规划的基本概念和实际应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。
2. 学具：教材、《数学建模》学习指导书、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用多媒体展示一个实际问题：某工厂生产两种产品，产品A 和产品B。
已知生产A产品需要2小时工时，3平方米厂房；生产B产品需要1小时工时，2平方米厂房。
工厂每天有8小时工时和12平方米厂房可用。
请问如何安排生产计划，才能使工厂的日利润最大？2. 知识讲解（15分钟）讲解线性规划的基本概念、数学模型及其求解方法。
3. 例题讲解（15分钟）以教材中的例题为例，详细讲解线性规划模型的构建和求解过程。
4. 随堂练习（10分钟）让学生独立完成一道类似的线性规划题目，巩固所学知识。
5. 小组讨论（10分钟）学生分组讨论，分析实践情景引入中的问题，尝试构建线性规划模型并求解。
六、板书设计1. 黑板左侧：线性规划的基本概念、数学模型。
2. 黑板右侧：例题讲解、解题步骤。
3. 黑板中央：随堂练习题目及解答。
七、作业设计1. 作业题目：教材第四章第三节课后习题第3、4题。
2. 答案：课后习题答案将在课后统一发放。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：教师在本节课结束后，对教学效果进行自我评价，找出不足之处，为下一节课做好准备。
2. 拓展延伸：鼓励学生在课后查阅相关资料，了解更多关于线性规划的应用实例，提高数学建模能力。
重点和难点解析1. 实践情景引入的选择与设计。
数学建模简明教程课件-第4章-线性代数模型
第4章 线性代数模型4.1 行列式与矩阵本节案例主要涉及线性代数中矩阵与方阵的行列式等概念，通过案例建立数学模型，加深对行列式、矩阵及矩阵运算等相关知识的进一步理解以及了解这些概念的实际应用。
4.1.1 过定点的多项式方程的行列式1.问题提出求通过空间中三个点(1,2,3)，(3,5,6)，(2,2,4)的平面方程。
2.模型建立与求解已知三个点可以确定一个平面，设平面方程为+0ax by cz d ++=，而三个点在这个平面上，所以它们均满足这个平面方程，因而有0,230,3560,2240.ax by cz d a b c d a b c d a b c d +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ 这是一个以,,,a b c d 为未知量的齐次线性方程组，且,,,a b c d 不全为0，说明该齐次线性方程组必有非零解，于是系数行列式等于零，即11231035612241x y z =，从而得到平面方程为3340x y z +-+=。
计算的MATLAB 程序如下： clc, clear, syms x y zD=[x,y,z,1;1,2,3,1;3,5,6,1;2,2,4,1]; s=det(D) 3.模型拓展对于n 次多项式2012n n y a a x a x a x =++++L ，其系数为011,,,n a a a +L ，可由其曲线上1n +个横坐标互不相同的点112211(,),(,),,(,)n n x y x y x y ++L 所唯一确定。
因为1n +个点满足这个多项式，则有201121112012222220112111,,.n n nn n n n n n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y ++++⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩L L L L L L L L L L L L L L L L 这是一个含有1n +个方程，以011,,,n a a a +L 为1n +个未知量的线性方程组，其系数行列式为21112222221111111nn nnn n n n n n x x x x x x D x x x x x x +++=L L M MMM LL .(4.1)这是一个范德蒙行列式。
数学建模 建立函数模型解决实际问题
数学 必修 第一册 A
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Q(t)＝(12－gt)(60＋rt)－6t－720；① 其中r＝2.5，g＝0.1. 求t(t≥0)使Q(t)最大．
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第四章 指数函数与对数函数
模型求解 这是求二次函数最大值问题，用代数的方法容易求得 t＝6r－3g0rg－3. ②
当 r＝2.5，g＝0.1 时，t＝36，Q(36)＝324，即 36 天后出售，可得最大纯利润 324 元．
第四章 指数函数与对数函数
2．模型假设 (1)条件假设：将题目所处环境进行简化，提出简化条件(作出简化假设：船速、 水速为常数)． (2)符号假设：建立模型需要的字母、字符进行假设(用符号表示有关量：x, y 表 示船速和水速) 说明：假设是在建模最后阶段才能整理出来的． 3．模型建立：根据问题背景，选取适当的数学方法进行建模xx－＋yy××5300＝＝775500.， 4．模型求解：纯数学求解、计算机求解yx＝＝52.0，
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第四章 指数函数与对数函数
7．模型应用：进行模型应用方面的推广(作出简化假设：船速、水速为常 数)(用符号表示有关量：x, y表示船速和水速)．
解 用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
(用物理定律“距离＝速度×时间”列出数学式子)
x＋y×30＝750， x－y×50＝750.
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第四章 指数函数与对数函数
5．模型分析解释：分析模型本身的稳定性、收敛性等性质． 对于本问题，由于解是精确解，所以不存在误差，不存在收敛性问题；由于模 型是静态的，所以不存在时间稳定性问题；由于模型是连续的，所以解对系数及右 端项都是适定的． 答：船速每小时20千米 6．模型检验：与实际数据、客观事实进行对比检验．
数学建模课件第四章
4.1.5
模型求解
• 在(4.1.4)中两式，取初始值，我们可以得到： p k Fk F0 (1 r ) [(1 r ) k 1], k 0,1,2,.., N r q k N Fk FN (`1 r ) [(1 r ) k N 1], k N 1,..., M r • 再分别取，k=N和k=M，并利用FM=0可以求出： q q M M N (1 r ) (1 )(1 r ) 0 p p 它是一个非线性方程。
lim xk x* 为方程
例4.2.4 对例4.2.1中方程考查用迭代法求根
2 bk ak 1 x xk k b a 2 2
4.2.2
• 确定新的含根区间 [ak 1 , bk 1 ]，即如果 f (ak ) f ( xk ) 0 ， 则根必在 [ak 1 , bk 1 ][ak , xk ] 内，否则必 在 [ak 1 , bk 1 ] [ xk , bk ] 内，且有： 1 bk 1 ak 1 (b a ) 。总之，由上 k 2 述二分法得到序列 xk ，由(4.2.2) 有： lim xk x 。
代数方程求根问题是一个古老的数学问题。早在16 世纪就找到了三次、四次方程的求根公式。但直到19世 纪才证明了 n 5 次的一般代数方程式是不能用代数公 式求解的，因此需要研究用数值方法求得满足一定精度 的代数方程式的近似解。
在工程和科学技术中许多问题常归结为求解非线性方 程式问题。正因为非线性方程求根问题是如此重要和基 础，因此它的求根问题很早就引起了人们的兴趣，并得 到了许多成熟的求解方法。下面就让我们首先了解一下 非线性方程的基本概念。
• 定理4.2.2 设 f ( x) 在 a, b 连续,且 f (a) f (b) 0 ，则存 在 x a, b ，使得 f ( x ) 0 ，即 f x 在 a, b)内存在实零点。 （
数学模型第04章第五版ppt课件
1 MILK TIME
3360.000 0.000000 0.000000
1.000000 48.00000
原料增加1单位, 利润增长48
2.000000 时间增加1单位, 利润增长2
CPCT 40.00000 0.000000 加工能力增长不影响利润
• 35元可买到1桶牛奶，要买吗? 35 <48, 应该买！ • 聘用临时工人付出的工资最多每小时几元? 2元！
函数 z=c (常数) ~等值线
100 l4
l5 : x2 0
O
c l5
l2 C z=3360 l3
D x1
z=0 z=2400
在B(20,30)点得到最优解.
目标函数和约束条件是线性函数 可行域为直线段围成的凸多边形 目标函数的等值线为直线
最优解一定在凸多边 形的某个顶点取得.
模型求解
软件实现
结果解释
Total solver iterations:
2
最优解下“资源”增加
Variable Value X1 20.00000
Reduced Cost 1单位“效益”的增量 0.000000
X2 30.00000
0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price 影子价格
X2 168.0000
0.000000
X3 19.20000
0.000000
X4 0.000000
0.000000
X5 24.00000
0.000000
X6 0.000000
1.520000
Row Slack or Surplus Dual Price
1
3460.800
数学建模教材(第四章)
第4章数学规划模型本章研究数学规划模型，其中包括：线性规划、整数规划、非线性规划、多目标规划与动态规划等内容．线性规划模型线性规划是运筹学的一个重要分支，随着计算机技术的发展，线性规划不仅在理论上已趋向成熟，而且在实际应用中也日益广泛与深入．本节将借助Lingo数学软件对线性规划模型进行求解．4.1.1问题的提出在生产管理和经营活动中经常提出一类问题，即如何合理地利用有限的人力、物力、财力等资源，以便得到最好的经济效果．引例1 普通生产计划安排问题某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，如表4-1所示．该工厂每生产一件产品Ⅰ可获利2元，每生产一件产品Ⅱ可获利3元，问应该如何安排计划使该工厂获利最多表普通生产计划安排问题ⅠⅡ设备原材料A 原材料B利润1422438台时16kg12kg引例2 奶制品的生产计划问题一奶品加工厂用牛奶生产A、B两种奶制品，1桶牛奶可以在甲类设备上用12小时加工成3公斤A，或者在乙类设备上用8小时加工成4公斤B，根据市场需求，生产的A、B全部能售出，且每公斤A获利24元，每公斤B获利16元．现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且甲类设备每天最多能加工100公斤A，乙类设备的加工能力没有限制．试为该厂制定一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下３个附加问题：⑴若用35元可以买到1桶牛奶，应否做这项投资若投资，每天最多购买多少桶牛奶⑵若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元⑶由于市场需求变化，每公斤A的获利增加到30元，应否改变生产计划4.1.2模型建立1.引例1普通生产计划安排问题的模型建立对于引例1，可以设x、y分别表示在计划期内产品Ⅰ、Ⅱ的产量．若用z表示利润，这时，23z x y =+．因为设备的有效台时为8，因此应有限制条件：28x y +≤；同理考虑原材料的不同限制，可得如下限制条件：416x ≤，412y ≤．综上所述，该计划问题可用数学模型表示为：目标函数：max 23z x y =+约束条件：28416412x y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≤⎩0,0x y ≥≥2.引例2奶制品生产计划问题的模型建立对于引例2，可以设每天用1x 桶牛奶生产A ，用2x 桶牛奶生产B ．类似引例1可得奶制品生产计划问题的数学模型：目标函数：12max 7264z x x =+约束条件：12121501284803100x x x x x +≤⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩120,0x x ≥≥从以上两例可以看出，他们都属于同一类优化问题，他们的共同特征： ⑴每一个问题都用一组决策变量12(,,,)n x x x 表示某一方案；这组决策变量的值就代表一个具体方案，一般这些变量取值都是非负的；⑵存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等式或线性不等式来表示；⑶都有一个要求达到的目标，它可用决策变量的线性函数来表示，这个函数称为目标函数．满足以上三个条件的数学模型称为线性规划数学模型．其一般形式为：目标函数：1122max(min)n n z c x c x c x =+++约束条件：11112211211222221122(,)(,)(,)n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++≤=≥⎧⎪++≤=≥⎪⎨⎪⎪++≤=≥⎩120,0,0n x x x ≥≥≥4.1.3模型求解1.引例1普通生产计划安排问题的模型求解使用Lingo 数学软件对引例１进行求解，编写程序如下：max =2*x+3*y; x+2*y<8; 4*x<16; 4*y<12; end求解结果为：目标函数的最大值14z =，即可获得最大利润１４元；最优生产计划方案是：生产产品Ⅰ4件，生产产品Ⅱ2件．2.引例2奶制品生产计划问题的模型求解使用Lingo 数学软件对引例2进行求解，编写程序如下：max =72*x1+64*x2;x1+x2<50;12*x1+8*x2<480; 3*x1<100; end求解结果为：每天用20桶牛奶生产A ，用30桶牛奶生产B ，最大利润是3360元．下面来回答三个附加问题：⑴针对附加问题1，可假设应投资购买x 桶牛奶，目标函数应修改为：12max 726435*z x x x =+-关于牛奶的约束条件也应作相应的修改：1250x x x +<+通过编程求解得：最大利润增加到3490元，因此，应作该项投资，每天最多购买10桶牛奶．⑵针对附加问题2，首先将劳动时间480小时增加1个小时，对原问题进行求解，可得最大利润由3360元增加到3362元，其中增加的2元就是劳动时间的影子价格．因此，若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时2元．其次，若还想知道以低于每小时2元的价格增加劳动时间，最多可购买多少劳动时间可以对目标函数以及关于劳动时间的约束条件作类似的修改，然后进行求解．例如，若以每小时元的价格聘用临时工人，最多可购买小时．⑶针对附加问题3，只需改变目标函数中的系数即可．将原来的目标函数改为：12max 9064z x x =+，约束条件不变．通过求解可得：最大利润有所增加，由原来的3360元增加到3720元，但生产计划没有改变，仍然是每天用20桶牛奶生产A ，用30桶牛奶生产B ． 4.1.4应用实例例1一个家庭有625英亩的土地可以用来种植农作物，这个家庭考虑种植的农作物有玉米、小麦和燕麦，预计可以有1000英亩-英尺的灌溉用水，农场工人每周可以投入的工作时间为300小时，其他的数据在表4-2中给出，为能够获得最大收益，每种作物应该种植多少表农场问题的有关数据玉 米 小 麦 燕 麦 现有量 灌溉用水（英亩-英尺） 劳力（人-小时/周） 收益（美元）4002002501000 300解 设应种植玉米1x 英亩，小麦2x 英亩和燕麦3x 英亩．可得如下线性规划模型：目标函数：123max 400200250z x x x =++约束条件：1231231233 1.510000.80.20.3300625x x x x x x x x x ++≤⎧⎪++≤⎨⎪++≤⎩1230,0,0x x x ≥≥≥使用Lingo 数学软件进行求解，编写程序如下：max =400*x1+200*x2+250*x3;x1+x2+x3<625; *x1+*x2+*x3<300; 3*x1+x2+*x3<1000; end程序运行结果为：应分别种植玉米187.5英亩，小麦437.5英亩和燕麦0英亩，获最大收益162500美元．例2 某市有甲、乙、丙、丁四个居民区，自来水由A 、B 、C 三个水库供应．四个区每天必须得到保证的基本生活用水量分别为30，70，10，10千吨，但由于水源紧张，三个水库每天最多只能供应50，60，50千吨自来水．由于地理位置的差别，自来水公式从各水库向各地区送水所需付出的引水管理费不同（见表4-3，其中C 水库与丁地区之间没有输水管道），其它管理费用都是450元／千吨．根据公司规定，各区用户按照统一标准900元／千吨收费．此外，四个区都向公司申请了额外用水量，分别为每天50，70，20，40千吨．该公司应如何分配供水量，才能获利最多为了增加供水量，自来水公司正在考虑进行水库改造，使三个水库每天的最大供水量都提高一倍，问那时供水方案应如何改变公司利润可增加多少表引水管理费引水管理费（元／千吨）甲 乙 丙 丁 A B C160 140 190130 130 200220 190 230170 150 ／解 决策变量应为A 、B 、C 三个水库(1,2,3)i =分别向甲、乙、丙、丁四个区(1,2,3,4)j =的供水量．设i 水库向j 区的日供水量为ij x 千吨，由于C 水库与丁区之间没有输水管道，即340x =，因此只有11个决策变量．于是可得如下线性规划模型： 目标函数：11121314max (450160)(450130)(450220)(450170)z x x x x =-+-+-+-21222324313233(450140)(450130)(450190)(450150)(450190)(450200)(450230)x x x x x x x +-+-+-+-+-+-+-约束条件：水库供应量限制可以表示为：1112131421222324313233506050x x x x x x x x x x x +++≤+++≤++≤ 各区基本用水量与额外用水量限制为：11213111213111213111213130807014010301050x x x x x x x x x x x x ≤++≤≤++≤≤++≤≤++≤0,1,2,3;1,2,3,4ij x i j ≥==使用Lingo 数学软件进行求解，编写程序如下：max =(450-160)*x11+(450-130)*x12+(450-220)*x13+(450-170)*x14+(450-140)*x21+(450-130)*x22+(450-190)*x23+(450-150)*x24 +(450-190)*x31+(450-200)*x32+(450-230)*x33; x11+x12+x13+x14<50; x21+x22+x23+x24<60; x31+x32+x33<50; x11+x21+x31<80; x11+x21+x31>30; x12+x22+x32<140; x12+x22+x32>70; x13+x23+x33<30; x13+x23+x33>10; x14+x24<50; x14+x24>10; end程序运行结果为：A 水库向乙区供水50千吨；B 水库向乙、丁区分别供水50，10千吨；C 水库向甲、丙分别供水40，10千吨．最大利润为47600元．对于本例来说，无论是目标函数还是约束条件都显得比较麻烦，特别是目标函数为多项相加．随着水库与居民区个数的增加，程序会更加复杂．下面来研究更一般的编程方法．为此，需假定C 水库向丁地区的引入管理费用为无穷大，本例可用1000元／千吨来代替．使用Lingo 数学软件中的高级编程技巧进行求解，编写程序如下：model:sets:sk/1..3/:g;dq/1..4/:sl1,sl2;link(sk,dq):c,x;endsetsdata:c=160 130 220 170140 130 190 150190 200 230 1000;g=50 60 50;sl1=30 70 10 10;sl2=80 140 30 50;enddata[obj] max=@sum(link(i,j):x(i,j)*(450-c(i,j)));@for(sk(i):@sum(dq(j):x(i,j))<g(i));@for(dq(j):@sum(sk(i):x(i,j))>sl1(j));@for(dq(j):@sum(sk(i):x(i,j))<sl2(j));end程序运行结果完全相同．如果三个水库每天的最大供水量都提高一倍，只需将数据段中的供水量修改成：g=100 120 100；或者对第一个约束条件作简单修改，在小于号后面将供水量扩大2倍，其它条件不变．最后的运行结果为：A水库向乙区供水100千吨；B水库向甲、乙、丁区分别供水30，40，50千吨；C水库向甲、丙分别供水50，30千吨．总利润为88700元．评注：本例考虑的是将某种物资从若干供应点运往一些需求点，在供需量约束条件下使总费用最少，或总利润最大．这类问题一般称为运输问题．注意：本例目标函数采用的是最大利润，而非最小成本．一般来说，成本最小，未必利润最大．当总收入是常数时，最小成本与最大利润是等价的；若总收入随决策变量的改变而变化时，最小成本与最大利润并不等价．通常追求的目标应该是最大利润，而非最小成本．非线性规划在工程技术、经济管理、交通运输和日常生活等诸多领域中，很多实际问题可以归结为线性规划问题，其目标函数和约束条件都是自变量（决策变量）的一次函数（线性函数）．但是，还有另外一些问题，其目标函数和（或）约束条件很难用线性函数表达．如果目标函数或约束条件中包含有非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问题．由于计算机技术的快速发展，使非线性规划的理论及其应用在近几十年来得以长驱进展．特别是Lingo数学软件的开发与应用，对非线性规划模型的求解提供了很大的帮助．4.2.1问题的提出1.引例1液体原料混合问题某公司将4种不同含硫量的液体原料（分别记为甲、乙、丙、丁）混合生产两种产品（分别记为A 、B ）．按照生产工艺的要求，原料甲、乙、丁必须首先倒入混合池中混合，混合后的液体再分别与原料丙混合生产A 和B ．已知原料甲、乙、丙、丁的含硫量分别是3，1，2，1（%），进货价格分别为6，16，10，15（千元／吨）；产品A 、B 的含硫量分别不能超过，（%），售价分别为9，15（千元／吨）．根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应没有限制，原料丁的供应量最多为50吨；产品A 、B 的市场需求量分别为100、200（吨），问应如何安排生产2.引例2最佳选址问题某乡镇由12个主要的自然村组成，每个自然村的位置（用平面坐标x ，y 表示，距离单位：km ）和自然村的人口数（R ）如表4-4所示． 试根据需要解决如下问题：⑴ 目前准备在该乡镇建一个服务网点为各村提供各种服务，那么服务网点应该建在何处⑵ 假设各村人口增长了一倍，需要建两个服务网点，确定其位置．表最佳选址问题0 1234567 89101112X y R0 0 600 1000 800 1400 1200 700600800 1000 1200 1000 11004.2.2模型建立1.引例1液体原料混合问题的模型建立设11,y z 分别是产品A 中来自混合池和原料丙的吨数；22,y z 分别是产品B 中来自混合池和原料丙的吨数；混合池中原料甲、乙、丁所占的比例分别为124,,x x x ，优化目标是总利润（z ）最大．目标函数为：11221212412max 9()15()10()(61615)()z y z y z z z x x x y y =+++-+-+++1241124212(961615)(1561615)(910)(1510)x x x y x x x y z z =---+---+-+-约束条件为：⑴原料最大供应限制：412()50x y y +≤⑵产品最大需求限制：1122100,200y z y z +≤+≤ ⑶产品最大含硫量限制：12411124221122(3)2(3)22.5, 1.5x x x y z x x x y z y z y z ++++++≤≤++⑷其它限制：12412411221,,,,,,,0x x x x x x y z y z ++=≥2.引例2最佳选址问题的模型建立 （1）模型一的建立设服务网点的坐标为：(,)a b ；自然村的位置坐标：(,),1,2,,12i i x y i =；自然村的人口数：,1,2,,12i r i =，服务网点到各自然村的距离为：,1,2,,12i d i =．以自然村的人口数作为距离的权重，优化的目标为总距离最小．目标函数为：121min i ii z rd==∑约束条件为：1,2,,12i d i ==（2）模型二的建立设两个服务网点的坐标分别为：(,),1,2i i a b i =；自然村的位置坐标：(,)j j x y ，1,2,,12j =；自然村的人口数：,1,2,,12j r i =；服务网点i 到自然村j 的距离为：,1,2;1,2,,12ij d i j ==；服务网点i 对自然村j 服务的人口数为：,1,2ij c i =；1,2,,12j =；(),1,2k i i =表示第i 个服务网点服务的人口数占人口总数的比例．以服务网点对自然村服务的人口数作为距离的权重，优化的目标为总距离最小．目标函数为：12211min (,)(,)j i z c i j d i j ===⋅∑∑约束条件：12112121(,)(,)()()=()2()(,)2()j j i d i j c i j e i e i k i r j c i j r j ===⎧=⎪⎪=⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪≥⎪⎩∑∑∑从以上两个引例可以总结出非线性规划的一般模型： 目标函数：12max(min)(,,,)n z f x x x =约束条件：1212(,,,)0,1,2,,(,,,)0,1,2,,i n j n h x x x i mg x x x j l ==⎧⎨≥=⎩目标函数为一般非线性函数，约束条件为一般非线性等式或非线性不等式．一般来说，目标函数与约束条件中只要有非线性项存在，即为非线性规划．特别地，若某非线性规划的目标函数为决策变量的二次函数，约束条件又全是线性的，就称这种规划为二次规划．4.2.3模型求解1.引例1液体原料混合问题的模型求解使用Lingo 数学软件进行求解，编写程序如下：max =(9-6*x1-16*x2-15*x4)*y1+(15-6*x1-16*x2-15*x4)*y2+(1-10)*z1+(15-10)*z2; x4*(y1+y2)<50;y1+z1<100;y2+z2<200;((3*x1+x2+x4)*y1+2*z1)/(y1+z1)<; ((3*x1+x2+x4)*y2+2*z2)/(y2+z2)<; x1+x2+x4=1; end用Lingo 求解时，如果怀疑不是全局最优解，用＂LINGO|OPTIONS ＂菜单命令启动＂Global Solver ＂选项卡上的＂Use Global Solver ＂选项，然后求解，可以得到全局最优解如下：24220.5,100x x y z ====，其余为0；目标函数值为450．如果将产品最大含硫量限制的约束条件作简单修改后，也可直接进行求解，并得到相同的结果．修改后的程序如下：max =(9-6*x1-16*x2-15*x4)*y1+(15-6*x1-16*x2-15*x4)*y2+(1-10)*z1+(15-10)*z2; x4*(y1+y2)<50;y1+z1<100;y2+z2<200;!((3*x1+x2+x4)*y1+2*z1)/(y1+z1)<; (3*x1+x2+**z1<0;!((3*x1+x2+x4)*y2+2*z2)/(y2+z2)<; (3*x1+x2+*y2+*z2<0; x1+x2+x4=1; end2.引例2最佳选址问题的模型求解针对模型一，使用Lingo 数学软件进行求解，编写程序如下： model :title :最佳选址（一）; sets :point/1..12/:x,y,r,dis; endsets data :X=0 ; Y=0 ;r=600 1000 800 1400 1200 700 600 800 1000 1200 1000 1100; enddata@for (point(i): dis(i)=((x(i)-a)^2+(y(i)-b)^2)^(1/2)); min =@sum (point: dis*r); end用Lingo 求解得到结果为： 3.601, 6.514a b ==．针对模型二，若取(1)(2)0.5k k==，使用Lingo数学软件进行求解，编写程序如下：model:title:最佳选址（一）;sets:point/1..12/:x,y,r;weizhi/1..2/:a,b,e;link(weizhi,point):c;endsetsdata:X=0 ;Y=0 ;r=600 1000 800 1400 1200 700 600 800 1000 1200 1000 1100;enddatasubmodel xuanzhi:min=@sum(link(i,j): c(i,j)*((a(i)-x(j))^2+(b(i)-y(j))^2)^(1/2));@for(weizhi(i): @sum(point(j):c(i,j))=e(i));@for(point(j): @sum(weizhi(i):c(i,j))) >2*r(j));endsubmodelcalc:e(1)=@sum(point:r);e(2)=@sum(point:r);@solve(xuanzhi);@ole('选址.xls','最佳位置a')=a;@ole('选址.xls','最佳位置b')=b;@ole('选址.xls','最优方案')=c;EndcalcEnd用Lingo求解得到结果为：两个服务网点的位置坐标为：(1.92,7.70)；(5.70,5.00)各服务网点服务人数对照表见表4-5．表服务人数对照表（限制服务网点的服务人数相同）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 人口总数（千人）网点1 网点2 02 00 020 2针对模型二，若不考虑服务网点服务人数的限制，使用Lingo数学软件进行求解，编写程序如下：model:title:最佳选址（一）;sets:point/1..12/:x,y,r;weizhi/1..2/:a,b,e;link(weizhi,point):c;endsets data :X=0 ; Y=0 ;r=600 1000 800 1400 1200 700 600 800 1000 1200 1000 1100; enddatasubmodel xuanzhi:min =@sum (link(i,j): c(i,j)*((a(i)-x(j))^2+(b(i)-y(j))^2)^(1/2)); !@for(weizhi(i): @sum(point(j):c(i,j))=e(i)); @for (point(j): @sum (weizhi(i):c(i,j))>2*r(j)); endsubmodel calc :!e(1)=@sum(point:r); !e(2)=@sum(point:r); @solve (xuanzhi);@ole ('选址.xls','最佳位置a')=a; @ole ('选址.xls','最佳位置b')=b; @ole ('选址.xls','最优方案')=c; endcalc用Lingo 求解得到结果为：两个服务网点的位置坐标为：(6.434,3.411)；(2.540,7.936)，各服务网点服务人数对照表见表4-6．表服务人数对照表（服务网点服务人数不限制）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 人口总数（千人）网点1 网点2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 024.2.4应用实例例1求解二次规划：221212min 810z x x x x =+--12326x x +≤120,0x x ≥≥解 本例编写简单的Lingo 程序即可求解，编写Lingo 程序如下：max =8*x1+10*x2-x1^2-x2^2;3*x1+2*x2<6; 求解结果为：120.308, 2.538x x ==；目标函数值为：min 21.308z =例2 一个飞行管理问题在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行．区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理．当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞．如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角，以避免碰撞．现假定条件如下：⑴不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里；⑵飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度；⑶所有飞机飞行速度均为每小时800公里；⑷进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60公里以上；⑸最多需考虑6架飞机；⑹不必考虑飞机离开此区域后的状况．请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型．列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差不超过度）．要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小．设该区域4个顶点的座标为(0,0)，(160,0)，(160,160)，(0,160)．记录数据为：飞机编号横座标x 纵座标y 方向角（度）1 150 140 2432 85 85 2363 150 1554 145 50 1595 130 150 230新进入 0 0 52注：方向角指飞行方向与x轴正向的夹角．试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广．解模型一：圆状模型下面是本例圆状模型建模的全过程．１.问题分析根据题目的条件，可将飞机飞行的空域视为二维xoy平面中的一个正方形区域，顶点(0,0)，(160,0)，(160,160)，(0,160)．各架飞机的飞行方向角为飞行方向与x 轴正向夹角（转角）．根据两飞机不碰撞的标准为二者距离大于8km，可将每架飞机视为一个以飞机坐标点为圆心、以4km为半径的圆状物体（每架飞机在空域中的状态由圆心的位置矢量和飞行速度矢量确定）．这样两架飞机是否碰撞就化为两圆在运行过程中是否相交的问题．两圆是否相交只要讨论它们的相对运动即可．2.模型假设⑴飞机进入区域边缘时，立即作出计算，每架飞机按照计算后的指示立即作方向角改变；⑵每架飞机在整个过程中至多改变一次方向；⑶忽略飞机转向的影响(转弯半径和转弯时间的影响)；⑷新飞机进入空域时，已在空域内部飞行的飞机的飞行方向已调合适，不会碰撞；⑸对每架飞机方向角的相同调整量的满意程度是一样的．3.模型的建立符号说明：i，j表示第i，第j架飞机的圆心；表示第i架飞机与第j架飞机的碰撞角，是两圆公切线的夹角中指向圆的那个ij角的一半，ij ji αα=；ij v 表示第i 架飞机相对于第j 架飞机的相对飞行速度； ij r 表示第i 架飞机与第j 架飞机的圆心距；ij β表示第i 架飞机对于第j 架飞机的相对速度与两架飞机圆心连线的夹角．规定以第i 架飞机为原点，i →j 连线从i 指向j 为正方向，逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角；AB ，CD 为两圆的公切线，//,//im AB in CD ． 另外再引入记号：i θ表示第i 架飞机的飞行方向与x 轴正向的夹角（转角）；(,)i i x y 表示第i 架飞机在坐标系中的位置矢量； i v 表示第i 架飞机的飞行速度矢量．由前面的分析将飞机作为圆状模型进行研究．两圆不相交，则表明不会发生碰撞事故；若两圆相交，则表明会发生碰撞事故．为了研究两飞机相撞问题，采用相对速度作为研究对象，因为飞机是否相撞的关键是相对速度，图4-1给出任意两架飞机间的关系．图4-1 第i 架飞机与第j 架飞机的碰撞角由图4-1中的关系得到两飞机不相撞（两圆不相交）的充要条件是||||ij ij βα>．当||||ij ij βα≤时，则通过调整两架飞机的方向角i θ，j θ，使飞机不相撞．首先讨论相对飞行速度的方向角ij β的改变量ij β∆与第i 、第j 架飞机方向角的改变量i θ∆， j θ∆的关系．由题目条件知，对于第i 架飞机：||800i v km A ==．设第i ，j 架飞机改变飞行方向前的速度分别为：i 1i i v Ae θ=，i 1j j v Ae θ=；改变飞行方向后的速度分别为：i()2i i i v Ae θθ+∆=，i()2j j j v Aeθθ+∆= ．则飞行方向改变前后的相对速度分别为：i i 111()j i ij i j v v v A e e θθ=-=- i()i()222()j j i i ij i j v v v A e e θθθθ+∆+∆=-=-2i()i()i 1i ()()j j i i j i ijij v A e e v A e e θθθθθθ+∆+∆-=-cos()isin()cos()isin()cos isin cos isin i i i i j j j j i j j jθθθθθθθθθθθθ+∆++∆-+∆-+∆=+--2sin(sin i cos)222sin(sini cos)222i i j ji i j ji i j ji j i ji jθθθθθθθθθθθθθθθθθθ+∆--∆+∆++∆+∆++∆-=-++-i2sin 2sin 2i ji i j ji jeθθθθθθθθ∆+∆+∆--∆=-即2ij v 与1ijv 辐角相差2i jθθ∆+∆．将其归纳为：定理 对第i ，j 架飞机，其相对速度方向角的改变量ij β∆等于两飞机飞行方向角的改变量之和的一半2i jθθ∆+∆．由题目的要求调整飞行方向角时不能超过30°，即|i θ∆|≤30 , i=1,2,…,6． 要保证调整飞行方向后飞机不碰撞，应有： ||ij ij ij ββα+∆≥ 于是可得如下非线性规划模型： 目标函数：621min ||i i θ=∆∑约束条件：||,,1,2,,6,2||301,2,,6ij ij ij i j ij i i j i j i ββαθθβθ+∆≥=≠⎧⎪∆+∆⎪∆=⎨⎪∆≤=⎪⎩， 其中ij β，ij α可由题中已知的参数计算得到：=arcsin(8/)ij ji ij r αα=；ij r =22sin sin arctan arctan cos cos i j j i ij i jj iy y x x θθβθθ--=--（）-（）； 其中，2arctan b a （）与arctan b a （）的区别为：2arctan ba（）表示取值位于π-到π之间的辐角：可根据点(,)a b 所在的象限确定．由此计算得到的ij β取值位于2π-到2π之间，还需要将它转换到π-到π之间（超过π时就减去2π；小于π-就加上2π）．4.模型求解计算任两架飞机间的参数ij β，编写Matlab 指令如下： clear,clcx=[ 150 140 243;85 85 236;150 155 ;... 145 50 159;130 150 230;0 0 52]; x0=x(:,1); y0=x(:,2);xita=x(:,3)*pi/180; b=zeros(6); for i=1:6for j=i+1:6x11=cos(xita(i))-cos(xita(j)); x12=sin(xita(i))-sin(xita(j)); if x11>=0b(i,j)=atan(x12/x11); elseif x12>=0b(i,j)=pi+atan(x12/x11); elseif x12<0b(i,j)=-pi+atan(x12/x11); endx21=x0(j)-x0(i); x22=y0(j)-y0(i); if x21>=0b(i,j)=b(i,j)-atan(x22/x21); elseif x22>=0b(i,j)=b(i,j)-atan(x22/x21)-pi;elseif x22<0b(i,j)=b(i,j)-atan(x22/x21)+pi;endif b(i,j)>pib(i,j)=b(i,j)-2*pi;elseif b(i,j)<-pib(i,j)=b(i,j)+2*pi;endendendb=b*180/pi;save beta b计算结果见表4-7．β的值表使用Matlab计算得到的ij1 2 3 4 5 612３４５６α可以在Lingo中直接计算．编写求解该问题的Lingo程序如下：对于ijmodel:title:飞行管理问题的非线性规划模型一;sets:plane/1..6/:x0,y0,d_cita;! d_cita为调整的角度;link(plane,plane)|&1#lt#&2:alpha,beta;endsetsdata:x0,y0=150 14085 85150 155145 50130 1500 0 ;beta=; enddata !计算alpha;@for (link(i,j):@sin (alpha*3./180)=8/((x0(i)-x0(j))^2+(y0(i)-y0(j))^2)^.5); @for (link(i,j):@abs (beta(i,j)+*d_cita(i)+*d_cita(j))>alpha(i,j);); @for (link:@bnd (0,alpha,90));@for (plane:@bnd (-30,d_cita,30)); [obj]min =@sum (plane:(d_cita)^2); end5.结果检验对题目所给实例进行计算得如下调整方案：10θ∆=， 20θ∆=， 3 2.062465θ∆=， 4-0.4954514θ∆=， 50θ∆=， 6 1.567013θ∆=．各飞行方向角按此方案调整后，系统各架飞机均满足||ij ij βα>（即不会相撞）．其中有些飞机对可能会有||0.01ij ij βα-<（°是题目要求的计算精度）．如果希望||0.01ij ij βα≥+，只须将模型中的ij α用0.01ij ij αα=+代替即可．6.模型评价与改进此模型采用圆状模型分析碰撞问题是合理的，同时采用相对速度作为判断标准，既体现了碰撞的本质（相对运动），又简化了模型的计算．题目要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小，这个尽量小是针对每架飞机而言的，同时也要求整体满意程度（即对管理层而言，应使每架飞机的调整都尽量的小）．因此构造目标函数时，也可以认为若对方向角调整量最大的飞机而言，其调整量可满意，则由假设（5）对其余飞机调整量均可满意．即要求每架飞机的调整量都小于某个数θ(0)θ≥．故目标函数也可取：min θ．于是可得如下线性规划模型：目标函数：min θ约束条件：||,,1,2,,6,2||301,2,,6||1,2,,6ij ij ij i j iji i i j i j i i ββαθθβθθθ+∆≥=≠⎧⎪∆+∆⎪∆=⎪⎨⎪∆≤=⎪∆≤=⎪⎩，， 模型二： 最短距离模型１.问题分析目标函数的选取与模型一相同．进入该区域的飞机在到达该区域边缘时，与区域内的飞机的距离应在60km 以内，很容易验证目前所给数据是满足的，因此，约束条件只需要限制任意两架位于该区域内的飞机的距离应大于8km ．但这个问题的难点在于飞机是动态的，这个约束不好直接描述．为此，可以考虑在飞行过程中任意两架飞机的最短距离大于8km 即可．飞行时间可以只考虑一架飞机飞越该区域所需的最长时间，若超过这个时间，即使两架飞机的最短距离小于8km ，由于飞机已经离开该区域，因此不再予以考虑．2.模型假设 与模型一相同．3.模型的建立 符号说明：i θ表示第i 架飞机的飞行方向与x 轴正向的夹角（转角）；00(,)i i x y 表示第i 架飞机在调整前的位置坐标； (,)t t i i x y 表示第i 架飞机t 时刻的位置坐标； t 表示飞机的飞行时间； v 表示飞机的飞行速度；i T 表示第i 架飞机飞出区域的时刻；max T 表示任意一架飞机在该区域内停留的最长时间； min{,}ij i j T T T =；*ijt 表示第i 架飞机与第j 架飞机距离最短的时刻； i θ表示第i 架飞机的飞行方ij r 表示第i 架飞机与第j 架飞机的距离；2()[]64ij ij f t r =-记飞机飞行速率为v ，以当前时刻为0时刻，设第i 架飞机在调整前的位置坐标为00(,)i i x y ，t 时刻的位置坐标(,)t t i i x y ，即00cos ,sin t t i i i i i i x x vt y y vt θθ=+=+如果要严格表示两架位于该区域内的飞机的距离应大于8km ，则需要考虑每架飞机在区域内到为飞行时间的长度．记i T 为第i 架飞机飞出区域的时刻，即00min{0:cos 0,160;sin 0,160}i i i i i T t x vt y vt θθ=>+=+=记t 时刻第i 架飞机与第j 架飞机的距离为ij r ，并记2()[]64ij ij f t r =-，这时在区域内飞机不相撞的约束条件就变成了2()[]640,(0)ij ij ij f t r t T =-≥≤≤ 其中min{,}ij i j T T T = 此外，经过计算可以得到：002002()(cos cos )(sin sin )64ij i i j j i i j j f t x vt x vt y vt y vt θθθθ=+--++---2ij ij ij ij z b z c =++其中2sin2i jij z vt θθ-=00002[()sin()cos22i ji jij i j i j b x x y y θθθθ++=--+-002002()()64ij i j i j c x x y y =-+--所以，()ij f t 是一个关于ij z 的二次函数，当2ij ij b z =-，即/4sin2i jij t b v θθ-=-（记为*ij t ）时，函数()ij f t 取最小值2/4ij ij b c -+．若*0ij t <，只要初始时刻不相撞即可，此时满足条件，不需要限制； 若*ij ij t T ≥，只需要()0ij ij f T ≥即可；若*0ij ij t T <<，*2()/40ij ij ij ij f t b c =-+≥即可，即．实际上，()0ij ij f T ≥在*0ij ij t T <<时也成立，因此，可以不再附加*ij ij t T ≥的条件，于是可得如下非线性规划模型：目标函数：621min ||i i θ=∆∑约束条件：2*||301,2,,6()040,(0)i ij ij ijij ij ij i f T b c t T θ⎧∆≤=⎪≥⎨⎪-≤<<⎩，4.模型求解由于ij T 的计算相当复杂，求解时可进一步简化：不单独考虑每架飞机在区域内停留的时间，而以最大时间max 0.283()T h ==代替，此时所有max =ij T T ．实际上强化了问题的要求，即考虑了有些飞机可能已经飞出区域，但仍不允许两架飞机的距离小于8km ．这个简化的模型可以如下输入Lingo软件：model:title: 飞行管理问题的非线性规划模型二;sets:plane/1..6/:x0,y0,cita0,cita1,d_cita;!cita0表示初始角度，cita1为调整后的角度，d_cita为调整的角度;link(plane,plane)|&1#lt#&2:b,c;endsetsdata:x0,y0,cita0=150 140 24385 85 236150 155145 50 159130 150 2300 0 52;max_cita=30;t_max=;v=800;pi=3.;enddatainit:d_cita=0 0 0 0 0 0;endinit@for(plane:cita1-cita0=d_cita);@for(link(i,j):b(i,j)=-2*(x0(i)-x0(j))*@sin((cita1(i)+cita1(j))*pi/360)+2*(y0(i)-y0(j))*@cos((cita1(i)+cita1(j))*pi/360);c(i,j)=(x0(i)-x0(j))^2+(y0(i)-y0(j))^2-64;);!避免碰撞的条件;!右端点非负;@for(link(i,j):[right](2*v*t_max*@sin((cita1(i)-cita1(j))*pi/360))^2+b(i,j)*(2*v*t_max*@sin((cita1(i)-cita1(j))*pi/360))+c(i,j)>0);!左端点非负;@for(link(i,j):c(i,j)>0);!最小点非负;@for(link(i,j):[minimum]@if(-b(i,j)/4/v/@sin((cita1(i)-cita1(j))*pi/360)#g t#0#and#-b(i,j)/4/v/@sin((cita1(i)-cita1(j))*pi/360)#lt#t_max,b(i,j)^2-4*c(i,j),-1)<0);!@for(link(i,j):b(i,j)^2-4*c(i,j)<0);@for(link:@free(b));。
精品课件资料数学建模第四章(1)(微分方程)
limW
t
(t
)
0．要导致死亡．
3. 只吃不活动也不行，因为这时b=0，W (t) W0 at, limW (t) . 说明要得肥胖症，很危险，也要导致
t
死亡（当然体重不会无限变大）．
4. 举重运动员控制体重数学问题：已知 W0，要
达到的值为 W1 ，其期限为t，求a，b的最佳组合，
使
W1
a b
即少吃，可以控制体重的增加（少吃热量大的食 物，如糖、冰淇淋等）
(2)增大 b C . 即增加运动量可减轻体重．
D
反之，通过增大 a 或减小b 可达增肥目的．即 “多吃少动，易肥胖”．
美国养牛场作法：安装电网，使牛不动，来增肥．
2. 只吃维持生命所需的那部分新陈代谢的热量是不
行的，因为A=B使得a=0，
V[x(t t) x(t)] (Km r)t
t t
Kx(s)ds
t
x(0) x0
于是，令 t 0 得
dx a bx, t 0 dt
x(0) x0
其中，a Km r ,b K 解为
V
V
x(t)
a b
(x0
a )ebt b
Km
r
x0
(Km
r)
Kt
eV
K
K
这就是t时刻空气中含CO2的百分比。 通常
牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体 放入处于常温 m 的介质中时，T的变化速率正 比于T与周围介质的温度差.
分析：假设房间足够大，放入温度较低或较 高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温 分布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律是一个 相当好的近似．
建立模型：设物体在冷却过程中的温度为 T(t)，t≥0，
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1．根据数据散布图，可选择线性函数、指 ．根据数据散布图，可选择线性函数、 数函数或其它合理的函数形式拟合数据， 数函数或其它合理的函数形式拟合数据， 建立经验模型； 建立经验模型； 2.分析你的经验模型预测的人口数与实际 分析你的经验模型预测的人口数与实际 人口数的差别的成因，一般有： 人口数的差别的成因，一般有： （1）模型的函数形式选择不当； ）模型的函数形式选择不当； （2）根据较少的数据建立经验模型，外推 ）根据较少的数据建立经验模型， 预测会产生较大误差； 预测会产生较大误差； （3）是由于人口政策和生育观念的改变使 ） 人口数增长规律发生较大的改变. 人口数增长规律发生：
设x为标量或向量，y=f(x)是x∈D上的标量值函数。 如果对于包含x=a的某个邻域∆ ,有 f(a)≤f(x) (f(a)≥f(x))对任意x∈∆成立, 则称a为f(x)的一个局 部极小(大)值点。
如果对任意x∈D，有f(a)≤f(x)（f(a)≥f(x)）成立， 则称a为f(x)在区域D上的一个全局极小(大)值点。
4.3 计算实验：迭代法 计算实验：
1 迭代法
迭代法是从解的初始近似值x0(简称初值)开 始，利用某种迭代格式x k+1 = g (x k ), 求得一近似值序列x1, x2, …, xk, xk+1, … 逐步逼近于所求的解α(称为不动点)。 最常用的迭代法是牛顿迭代法，其迭代格式 为
xk +1
4.1 预备知识：极值 预备知识：
4.2 函数零点MATLAB指令 函数零点MATLAB指令
• 多项式
y=polyval(p,x) 求得多项式p在x处的值y，x可以是一 个或多个点 p3=conv(p1,p2) 返回多项式p1和p2的乘积 [p3,r]=deconv(p1,p2) p3返回多项式p1除以p2的商，r 返回余项 x=roots(p) 求得多项式p的所有复根. p=polyfit(x,y,k)用k次多项式拟合向量数据(x, y),返回 多项式的降幂系数
f ( xk ) = xk − f ' ( xk )
例6 求方程 x 2 - 3 x + e x = 2 的正根 (要求精度ε = 10 -6) 解 令f (x) = x 2 - 3 x + e x - 2, f(0)=-1, 当x > 2, f (x) > 0, f ’(x) > 0 即f (x)单调上升，所以根在[0,2]内。 先用图解法找初值， 再用牛顿法程序newton.m求解。
适的函数形式对数据进行拟合； 适的函数形式对数据进行拟合； （2）用你的经验回归模型试计算：以1960年为基 ）用你的经验回归模型试计算： 年为基 人口增长一倍需要多少年？ 准，人口增长一倍需要多少年？世界人口何时将达 到100亿？ 亿 年的世界人口数， （3）用你的模型估计 ）用你的模型估计2002年的世界人口数，请分 年的世界人口数 析它与现在的实际人口数的差别的成因. 析它与现在的实际人口数的差别的成因
x返回一元或
多元函数Fun在x0附近的一个零点， 其中x0为迭代初值; f返回Fun在x的函数值, 应该接近0; h返回值如果大于0， 说明计算结果可靠， 否则计算结果不可靠。
例3 求函数y=xsin(x2-x-1)在(-2, -0.1)内的 零点 >> fun=inline('x*sin(x^2-x-1)','x') >> fzero(fun,[-2 -0.1]) 例4 求方程组在原点附近的解 1 x 4x − y + 10 e = 1 −x + 4y + 1 x2 = 0 8
ex．（分析题目） ．（分析题目） ．（分析题目 下面是六十年代世界人口的增长数据（单位： 下面是六十年代世界人口的增长数据（单位：亿）： 年份1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 年份 人口29.72 30.61 31.51 32.13 32.34 32.85 33.56 34.20 34.83 人口 （1）请你仔细分析数据，绘出数据散布图并选择合 ）请你仔细分析数据，
( yi − f (c, xi ))2 ∑
i =0
n
• 当f关于 是线性函数 问题转化为一个线性方程组求解， 关于c是线性函数 问题转化为一个线性方程组求解， 关于 是线性函数,问题转化为一个线性方程组求解 且其解存在唯一。 且其解存在唯一。 如果f关于 是非线性函数， 关于c是非线性函数 • 如果 关于 是非线性函数，问题转化为函数极值问题
MATLAB数学实验 MATLAB数学实验
第四章 函数和方程
第四章 函数和方程
预备知识：零点、 4.1 预备知识：零点、极值和最小二乘法 4.2 函数零点、极值和最小二乘拟合的 函数零点、 MATLAB指令 MATLAB指令 4.3 计算实验：迭代法 计算实验： 4.4 建模实验：购房贷款的利率和最佳订货 建模实验： 量
解 先作一些必要的假设将问题简化 1）汽车工厂对配件的日需求量是恒定的， 每日为r件； 2）所订配件按时一次性交货， 生产准备费每次k1元； 3）储存费按当日实际储存量计算， 储存费每日每件k2元; 4）你的工厂不允许缺货。 设一次订货x件，则订货周期为 T= x/r, 第t天的储存量为 q(t)= x-r t, 0<t<T
c= lsqnonlin (Fun,c0) 使用迭代法搜索最 优参数c. 其中Fun是以参数c(可以是向量) 为自变量的函数,表示误差向量 y-f(c,x)(x, y为数据)， c0为参数c的近似值,作为迭代初值
c=lsqcurvefit(Fun2,c0, x, y) 从外部输入数据， 这里Fun2为两变量c和x的函数 f(c, x)
常识上，r应比当时活期存款月利率略高一 些。我们用活期存款月利率0.0198/12 作为 迭代初值，用fzero求解 >>clear; fun=inline('25.2*(1+r)^360-((1+r)^360-… 1)/r*0.1436' ,'r') >>r=fzero(fun,0.0198/12); >>R=12*r 得年利率为5.53%. (你知道最新利率吗？)
t =1
2k1r （经济批量订货公式） x= k2
4.4 建模实验：混沌 建模实验：
•线性迭代要么收敛于它的不动点，要么 趋于无穷大。 •不收敛的非线性迭代可能会趋于无穷大， 也可能趋于一个周期解， •但也有可能在一个有限区域内杂乱无章 地游荡，这类由确定性运动导致的貌似 随机的现象称为混沌现象
4.1 预备知识：零点 预备知识：
• • • • 非线性方程 f (x) = 0 若对于数α有f (α) = 0, 则称α为方程的解或根，也 称为函数f (x)的零点 若f (α) = 0, f ’(α)≠0 则α称为单根。 若有k >1, f (α) = f ’(α) = …= f (k-1)(α) = 0，但f (k)(α)≠0 , 称为k重根 非线性方程求解通常用数值方法求近似解，常见 的有二分法、牛顿法等 非线性方程（组）f (x) = 0， x=(x1, x2, …, xn), f=(f1, f2, …, fm)
x→x(1) → y →x(2)
4.2 函数极值MATLAB指令 函数极值MATLAB指令
min(y) max(y) 返回向量y的最小值 返回向量y的最大值
[x,f]=fminbnd(fun,a,b) x返回一元函数y=f(x)在[a,b]内的 局部极小值点,f返回局部极小值 fun为函数句柄或inline。 [x,f]=fminsearch(fun,x0) x返回多元函数y=f(x)在初始值x0 附近的局部极小值点,f返回局部极小值. x, x0均为向量。
例 5 .求二元函数f(x,y)= 5-x4-y4+4xy在 原点附近的极大值。 解：max f→min(-f) x→ x(1), y→ x(2)
注：在使用fsolve, fminsearch等指令时， 在使用fsolve, fminsearch等指令时 等指令时， 多变量必须合写成一个向量变量， 多变量必须合写成一个向量变量，如用 x(1), x(2),…。 x(2),…。
4.2 函数零点MATLAB指令 函数零点MATLAB指令
x=fzero(Fun, x0) 返回一元函数Fun的一 个零点,其中Fun为函数句柄、 内嵌函数或字符串表达方式。 x0为标量时, 返回函数在x0附近的零点； x0为向量[a, b]时, 返回在[a,b]中的零点
[x,f,h]=fsolve(Fun, x0)
MATLAB中一个多项式用系数降幂排列 向量来表示。
例1.求多项式x3 + 2 x2 - 5的根 » p=[1 2 0 -5]; x=roots(p) , polyval(p,x) 例2.用2次多项式拟合下列数据. x 0.1 0.2 0.15 0 -0.2 0.3 y 0.95 0.84 0.86 1.06 1.50 0.72
4.2 最小二乘拟合MATLAB指令 MATLAB指令
• 假设已知经验公式 假设已知经验公式y=f(c,x)(c和x均可为向量 要求根 和 均可为向量 均可为向量), 确定参数c.这 据一批有误差的数据(x 据一批有误差的数据 i,yi), i=0,1,…,n, 确定参数 这 样的问题称为数据拟合。 • 最小二乘法就是求 使得均方误差最小化 最小二乘法就是求c使得均方误差最小化 Q(c)=
4.4 建模实验：最佳订货量 建模实验：
• 每次订货需要收取一定量的生产准备费。 • 没用完的配件，要在仓库里储存一段时间，为 此要付出储存费。 • 若订货量很小，则需频繁定货，造成生产准备 费的增加； • 反之，若订货量很大，定货周期延长而使生产 准备费减少但会造成储存费的增加。 • 如何确定合适的订货量？