2.3垂径定理
2.3垂径定理(第2课时)课件(共12张ppt)
D D
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
②CD⊥AB, ④A⌒C=B⌒C,
·Ｏ
A (E)
B 推论1：
⑤A⌒D=B⌒D.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， C 并且平分弦所对的两条弧．
探究二：AB是⊙O的一条弦,且AM=BM。且CD⊥AB
于点M，CD与圆心有何位置关系？还有什么结论？
为什么？
C
ED F B
设圆弧的半径OA为r，OD=r-2.4 在Rt△OAD中，由勾股定理，
r
O
得: r≈3.9（m）
在Rt△ONH中，由勾股定理，得：
OH=√ON2-NH2=√3.92-1.52=3.6
∴ DH=OH-OD=3.6-1.5=2.1>2 ∴此货船能顺利通过这座拱桥.
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
∠ CEB=30°=∠ FEO OF=1.5
A F
O· E C
B
AF=√OA2-OF2=√62-1.52=
3√15 2
AB=2AF= 3√15
9.如图,圆O与矩形ABCD交
AH
于E、F、G、H,EF=10， HG=6，AH=4，求BE的长.
BE
BE=2
MG D
·ON F C
10、如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦
M
B
图中相等的线段有 :AE=EB CF=FD . 图中相等的劣弧有: A⌒MC⌒=NB⌒=MN⌒D. .A⌒C=B⌒D. .
A
E
O·F
D
CN
3、如图，点P是半径为5cm的⊙O内一点，且OP=3cm,
2.3垂径定理解析
1.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.
若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
O
A
┌E
D
B
D
600
C
2、如图4，在⊙O中，
AB为⊙O的弦，C、D
是直线AB上两点，且
O
AC＝BD求证：△OCD
E
为等腰三角形。
CA
BD
3、如图，两个圆都以
点O为圆心，小圆的弦
CD与大圆的弦AB在同
（1）是轴对称图形．直径CD所
C
在的直线是它的对称轴
（2）弧线:⌒A段C=：B⌒CA,AE⌒D=B=BE⌒D
·O
E
A
B
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个 D
半A⌒C圆,重A⌒D合分，别点与AB与⌒C点、B⌒B重D合重，合A．E与BE重合，
即直径CD垂直于弦AB，平分 C ⌒⌒
弦AB,并且平分AB及ACB
A
D
B
r
•
O
解决求赵州桥拱 半径的问题
AB
例1：赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长） 为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2米，你能求出 赵州桥主桥拱的半径吗？
在图中
AB=37.4，CD=7.2，
AD 1 AB 1 37.4 18.7,
2
2
OD=OC－CD=R－7.2
AE= 2 AB=4 OA= AE2+OE2=5
变式： 如图，已知在⊙O中， 弦AB的长为8cm，CD是⊙O的直 径，CD⊥ＡB垂足为E，DE＝ 2cm,求⊙O的半径。 D
A
B
E
.
O
C
练习 1
垂径定理及推论。
（2） 线段： AE=BE
A
弧 ：AD=BD,AC=BC
C
·O
E B
D
垂径定理
垂直于弦的直径 平分这条弦，
并且平分弦所对的两条弧.
C
题设
｝ （1）直径
（2）垂直于弦
O
结论
E A
B
｛（3）平分弦
D
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
C
垂径定理
DB
则AE＝BE，CE＝DE．
AE－CE＝BE－DE．
所以，AC＝BD
例2、已知:△ABC中,∠A=900,以AB为半径 作⊙A交BC于D,AB=5,AC=12.求CD的长.
A
B EDC
方法小结：解决有关弦的问题
经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦 的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理 创造条件．
垂
径
定
理
+ 勾
股 定
A
理
C
O
rd
E
h
D
有哪些等量关系？
d+h=r
r2 d 2 (a)2 2
在a，d，r，h
B 中，已知其中任 意两个量，可以 求出其它两个量
例1、在以O为圆心的两个同心圆中，大圆 的弦AB交小圆于C，D两点． 求证：AC＝BD．
O．
E
A 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
C
平分弦（不是直径）的直径 垂直
于弦，并且平分弦所对的两条弧．
提升感知！
知 二 得 三
① 直线过圆心 ② 垂直于弦
位置关系
③ 平分弦
④ 平分弦所对优弧 数量关系
⑤ 平分弦所对的劣弧
2.3垂径定理
A D B E
·
O
挑战自我垂径定理的推论
如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相 等吗? 老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况: 2.两条弦在圆心的两侧
A
●
1.两条弦在圆心的同侧
O
A C
●
B D
O
B D
C
垂径定理的推论
圆的两条平行弦所夹的弧相等.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD2 , 即R2 3.62 ( R 2.4)2 .
解得 R≈3.9（m）.
OD=R-2.4=3.9-2.4=1.5
在Rt△ONH中，由勾股定理，得
2 2 即 OH 3 . 9 1 . 5 3.6. OH ON HN ,
②⑤
③④ ③⑤
①③④
①②⑤ ①②④
④⑤
①②③
活动三
练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径． 解：
OE AB
在Rt △ AOE 中
1 1 AE AB 8 4 2 2
A
E
B
O
·
AO OE AE
2 2
2
AO OE 2 AE 2 = 32 +42 =5cm
A
P
O
B
1.在半径为30㎜的⊙O中，弦AB=36 ㎜，则O到AB的距离是= 24mm 。 2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心 圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。 你认为AC和BD有什么关系？为什么？
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 ∴ AE－CE＝BE－DE 即 AC＝BD 注意：解决有关弦的问题，过圆心作 A 弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也 是一种常用辅助线的添法．
湘教版义务教育教科书《数学》九年级(下)第2章2.3 垂径定理导学案(无答案)-最新教学文档
一、合作探究
1、观察和猜想
AB、CD是⊙O的两条直径,图1中有哪些相等的线段和相等的弧?
当AB向下平移,如图2变成非直径的弦时,上面的结论还成立吗?
当AB⊥CD时,如图3你认为有相等的线段和相等的弧吗？说说你的猜想。
图1
2、操作验证
你能借助桌上的圆形纸片进行适当的操作来验证一下这个猜想是否合理吗？动手试一试。
方法归纳：
同步练习：
赵州桥主桥拱的跨度(弦AB的长)为40m,拱高
(弧的中点到弦的距离CD的长)为8m，你会求出赵州桥
主桥拱的半径吗？（只列关键算式，不求解）
例2：已知：如图1，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证:AC=BD.
图1图2图3图4
变式1：在图1中再添一个同心圆，如图2，则AMBN。
A. CE=DE B.弧BC=弧BD
C.∠1=∠2 D.AC>AD
2.半径为2cm的圆中，过半径中点且垂直于这条半径的
弦长是。
3、AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AC=8，AB=10，OD⊥BC于点D，
求BD的长。
4、拓展提升题（选做）
五、课后作业：
1、如图1，OE⊥AB于E，若弦AB=16cm, OE=6cm,则⊙O的半径是cm。
变式2：隐去图1中的大圆，得图3，连接OA，OB，设OA=OB，求证：AC＝BD。
变式3：隐去图1中的小圆，得图4，连接OC，OD，设OC=OD，求证：AC＝BD。
例3已知：⊙O中弦AB∥CD，求证：弧AC＝弧BD。
三、课堂小结
1、从知识上学习了什么？
２、从方法上学习了什么？
四、当堂检测
1.如图，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论错误的是（）。
湘教版数学九年级下册教学设计：2.3 垂径定理
湘教版数学九年级下册教学设计：2.3 垂径定理一. 教材分析湘教版数学九年级下册第 2.3节“垂径定理”是圆的相关性质和定理的重要内容。
本节内容主要介绍垂径定理及其应用，通过探究圆中垂直于弦的直径的性质，引导学生发现圆的基本定理，为后续学习圆的其它性质和定理打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了圆的基本概念、圆的周长和面积计算等知识，具备了一定的观察、分析和推理能力。
但对于证明垂径定理，学生可能存在一定的困难，因此，在教学过程中，教师应注重引导学生探究，突破难点。
三. 教学目标1.理解垂径定理的内容及证明过程。
2.学会运用垂径定理解决相关问题。
3.培养学生的观察、分析和推理能力。
4.激发学生对数学的兴趣，培养合作探究的精神。
四. 教学重难点1.重点：垂径定理的理解和运用。
2.难点：证明垂径定理的过程。
五. 教学方法1.引导探究法：教师引导学生观察、分析、推理，发现垂径定理。
2.案例分析法：通过具体案例，让学生学会运用垂径定理解决问题。
3.小组讨论法：鼓励学生分组讨论，培养合作精神。
六. 教学准备1.教学课件：制作包含动画、图片、例题的教学课件。
2.学习资料：收集与垂径定理相关的学习资料，供学生课后拓展学习。
3.教学道具：准备一些圆形的教具，如圆规、圆盘等，以便于直观展示。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的圆形物体，如圆桌、圆规等，引导学生回顾圆的基本概念和性质。
然后提出问题：“你们认为圆有什么特殊的性质呢？”让学生思考，为引入垂径定理做铺垫。
2. 呈现（10分钟）教师通过课件展示垂径定理的定义和证明过程。
首先，展示一个圆和一条垂直于弦的直径，让学生观察并描述其性质。
接着，引导学生推理，证明垂径定理。
在这个过程中，教师要注意引导学生掌握证明的关键步骤。
3. 操练（10分钟）教师提出一些与垂径定理相关的问题，让学生独立解决。
如：“在一个圆中，如果一条弦的长度是10cm，那么它所对的圆周角是多少度？”在学生解答过程中，教师要及时给予指导和鼓励。
2.3垂径定理
内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC 与∠BOC 互补，
则弦 BC 的长为
(B)
A. 3 3
B. 4 3
C.5 3
D. 6 3
【思维教练】观察∠BOC与∠A的位置关 系可知∠BOC=2∠A，结合∠BOC与∠A互 补可求得∠BOC的度数，作OD⊥BC利用 解直角三角形即可求得BC的长．
2. 推论：平分弦(不是直径)的直径_垂__直__于弦，并且
_平__) AM=BM
CD⊥AB
CD是直径 AC BC
AD BD
垂径定理包含了4个要点：（1）经过圆心（2） 垂直于一条弦（3）平分一条弦（不是直径） （4）平分一条弦所对的两条弧
如果一条直线满足以上条件中 的任意两个，则可推出其他两
2. 圆内接四边形的任意一个外角 等于它的_内__对__角___(和它相邻的
内角的对角)，
如图(2)，∠DCE=_∠___A_．
考点 5 垂径定理及其推论
1. 定理：垂直于弦的直径_平__分__弦，并且平分弦所对
的_两__条___弧_.
AM=BM
即：如图(3) CD⊥AB CD是直径
AC BC AD BD
中考考点清单
圆 考点1：圆及其相关概念
的 考点2：弦、弧、圆心角和圆周角关系
基 本
考点3：圆周角定理及其推论(高频)
性 考点4：圆内接四边形
质 考点5：垂径定理及其推论(高频)
考查题型多样，包括选择题、填空题、解答题
考点 1 圆及其相关概念
1.圆心角：顶点在圆心的角叫作圆心角，
∠AOF叫作 AF 所对的圆心角.
【解析】设∠BAC=α，则∠BOC=2∠BAC =2α，
2.3 垂径定理
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*2.3 垂径定理
分层作业
1．[2018·甘孜州]如图 2-3-8，在⊙O 中，直径 CD⊥弦 AB，则下列结论中正
确的是( B ) A．AC＝AB
B．∠C＝12∠BOD
C．∠C＝∠B D．∠A＝∠BOD
图 2-3-8
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*2.3 垂径定理 2．[2019·杜尔伯特县一模]如图 2-3-9，⊙O 的直径 AB 长为 10，弦 CD 的长为 8，CD⊥AB 于点 E，则 tan∠OCE＝( A )
3 A.4 C．43
图 2-3-9 B．35 D．45
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*2.3 垂径定理 3．如图 2-3-10，圆弧形拱桥的跨径 AB＝10 m，拱高 CD＝3 m，则拱桥的半
17 径为 3 m.
图 2-3-10
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*2.3 垂径定理
4．[2017·全椒县一模]如图 2-3-11，⊙O 的半径为 2，弦 AB＝2 3，点 C 在弦 AB 上，AC＝14AB，求 OC 的长．
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*2.3 垂径定理
符号表示：如图 2-3-1，在⊙O 中，AB 是一条弦，CD 是⊙O 的直径，且 CD ︵︵︵︵
⊥AB，垂足为 E，则有 AE＝BE，AD＝BD，AC＝BC.
图 2-3-1
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*2.3 垂径定理
归类探究
类型之一 垂径定理 如图 2-3-2，已知在⊙O 中，弦 AB 的长为 8 cm，圆心 O 到 AB 的距离
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*2.3 垂径定理 5．如图 2-3-12，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 E，连接 AC，BC， 若∠BAC＝30°，CD＝6.
[精品]2019届九年级数学下册第二章2.3垂径定理练习(新版)湘教版
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2.3 垂径定理基础题知识点 1 垂径定理1．(长沙中考改编)如图，在⊙Ｏ中，弦AB ＝6，圆心O 到AB 的距离OC ＝2，则⊙Ｏ的半径长为(B) A.72B.13C ．2 3D ．42．如图，AB 是⊙Ｏ的弦，OD ⊥AB 于D ，交⊙Ｏ于E ，则下列说法错误的是(D)A ．AD ＝BDB ．∠AOE ＝∠BOE C.AE ︵＝BE ︵ D ．OD ＝DE3．如图，在⊙Ｏ中，直径CD 垂直于弦AB.若∠C ＝25°，则∠BOD 的度数是(D) A ．25°B ．30°C ．40°D ．50°4．如图，AB 是⊙Ｏ的弦，半径OC ⊥AB 于点 D.若⊙Ｏ的半径为5，AB ＝8，则CD 的长是(A) A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，AB 是⊙Ｏ的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，OC ＝5 cm ，CD ＝6 cm ，则OE ＝4cm.6．(教材P59例1变式)如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点M，AM＝18，BM＝8，则CD的长为24．7．如图，AB是⊙Ｏ的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙Ｏ上，MD恰好经过圆心O，连接MB.若CD＝16，BE＝4，求⊙Ｏ的直径．解：∵AB⊥CD，CD＝16，∴CE＝DE＝8.设OB＝x，∵BE＝4，∴ｘ2＝(x－4)2＋82.解得x＝10.∴⊙Ｏ的直径是20.知识点 2 垂径定理的实际应用8．(教材P60习题T1变式)一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB＝10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是(A)A．16B．10C．8D．69．如图所示，某窗户是由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB ＝3 m ，弓形的高EF ＝1 m ，现计划安装玻璃，请帮工程师求出AB ︵所在圆O 的半径r.解：由题意，知OA ＝OE ＝r.∵EF ＝1，∴OF ＝r －1. ∵OE ⊥AB ，∴AF ＝12AB ＝12×3＝1.5.在Rt △OAF 中，OF 2＋AF 2＝OA 2，即(r －1)2＋1.52＝r 2.解得r ＝138.∴圆O 的半径为138m.易错点忽略垂径定理的推论中的条件“不是直径”10．下列说法正确的是(D)A ．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧B ．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心C ．过弦的中点的直径垂直于弦D ．平分弦所对的两条弧的直径平分弦中档题11．如图，将半径为 2 cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为(C)A ．2 cmB.3 cmC ．2 3 cmD ．2 5 cm12．(2018·枣庄)如图，AB 是⊙Ｏ的直径，弦CD 交AB 于点P ，AP ＝2，BP ＝6，∠APC ＝30°.则CD 的长为(C) A.15B ．2 5C ．215D ．8提示：过点O 作OH ⊥PD 于H ，连接OD.AP ＝2，BP ＝6，则AO ＝BO ＝4，则PO ＝2，又∠OPH ＝∠APC ＝30°，∴OH ＝1，OD ＝OB ＝4，在Rt △HOD 中，HD ＝OD 2－OH 2＝15，∴CD ＝2HD ＝215.13．如图，以点P 为圆心的圆弧与x 轴交于A ，B 两点，点P 的坐标为(4，2)，点A 的坐标为(2，0)，则点B 的坐标为(6，0)．14．(2018·黄冈)如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙Ｏ的直径，∠CAB ＝60°，弦AD 平分∠CAB.若AD ＝6，则AC ＝23．15．(2018·孝感)已知⊙Ｏ的半径为10 cm ，AB ，CD 是⊙Ｏ的两条弦，AB ∥CD ，AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ，则弦AB 和CD 之间的距离是2或14cm.16．(2018·安徽)如图，⊙Ｏ为锐角△ABC 的外接圆，半径为 5.(1)用尺规作图作出∠BAC 的平分线，并标出它与劣弧BC 的交点E ；(保留作图痕迹，不写作法)(2)若(1)中的点E 到弦BC 的距离为3，求弦CE 的长．解：(1)画图如图所示．(2)∵AE 平分∠BAC ，∴BE ︵＝EC ︵.连接OE ，OC ，EC ，则OE ⊥BC 于点F ，EF ＝3. 在Rt △OFC 中，由勾股定理可得，FC ＝OC 2－OF 2＝52－（5－3）2＝21.在Rt △EFC 中，由勾股定理可得，※精品试卷※CE＝FC2＋EF2＝21＋32＝30.17．如图，CD为⊙Ｏ的直径，弦AB交CD于点E，连接BD，OB.(1)求证：△AEC∽△DEB；(2)若CD⊥AB，AB＝8，DE＝2，求⊙Ｏ的半径．解：(1)证明：根据“同弧所对的圆周角相等”，得∠A＝∠D，∠C＝∠ABD，∴△AEC∽△DEB.(2)∵CD⊥AB，O为圆心，∴BE＝12AB＝4.设⊙Ｏ的半径为r，∵DE＝2，则OE＝r－2.∴在R t△OEB中，由勾股定理，得OE2＋EB2＝OB2，即(r－2)2＋42＝r2，解得r＝5.∴⊙Ｏ的半径为 5.综合题18．如图，已知∠MAN＝30°，O为边AN上一点，以O为圆心，2为半径作⊙O，交AN于D，E两点，设AD＝x.当x 为何值时，⊙Ｏ与AM相交于B，C两点，且∠BOC＝90°？解：过点O作OF⊥BC于点F.∵∠BOC＝90°，OB＝OC＝2，∴∠OBC＝45°，BC＝OB2＋OC2＝2 2.∵OF⊥BC，∴BF＝12BC＝2，∠BOF＝45°．∴∠OBF＝∠BOF.∴OF＝BF＝ 2.∵∠MAN＝30°，∴OA＝2OF＝2 2. ∴AD＝22－2，即当x＝22－2时，∠BOC＝90°．小专题(五) 与圆的基本性质有关的计算与证明1．已知：如图，A ，B ，C ，D 是⊙Ｏ上的点，∠1＝∠2，AC ＝3 cm. (1)求证：AC ︵＝BD ︵；(2)求BD 的长．解：(1)证明：∵∠1＝∠2，∴CD ︵＝AB ︵，∴CD ︵＋BC ︵＝AB ︵＋BC ︵. ∴AC ︵＝BD ︵. (2)∵AC ︵＝BD ︵，∴AC ＝BD. ∵AC ＝3 cm ，∴BD ＝3 cm.2．A ，B 是⊙Ｏ上的两个定点，P 是⊙Ｏ上的动点(P 不与A ，B 重合)，我们称∠APB 是⊙Ｏ上关于点A ，B 的滑动角．已知∠APB 是⊙Ｏ上关于点A ，B 的滑动角．(1)若AB 是⊙Ｏ的直径，则∠APB ＝90°；(2)如图，若⊙Ｏ的半径是1，AB ＝2，求∠APB 的度数．解：连接OA ，OB ，AB.∵⊙Ｏ的半径是1，即OA ＝OB ＝1，又∵AB ＝2，∴OA 2＋OB 2＝AB 2.※精品试卷※由勾股定理的逆定理可得，∠AOB＝90°．∴∠APB＝12∠AOB＝45°．3．如图，AB是⊙Ｏ的直径，C，D两点在⊙Ｏ上．若∠C＝45°．(1)求∠ABD的度数；(2)若∠CDB＝30°，BC＝3，求⊙Ｏ的半径．解：(1)连接AD.∵∠BCD＝45°，∴∠DAB＝∠BCD＝45°．∵AB是⊙Ｏ的直径，∴∠ADB＝90°．∴∠ABD＝45°．(2)连接AC.∵AB是⊙Ｏ的直径，∴∠ACB＝90°．∵∠CAB＝∠CDB＝30°，BC＝3，∴AB＝6.∴⊙Ｏ的半径为 3.4．如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，AP，CB的延长线相交于点 D.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)若∠PAC＝90°，AB＝23，求PD的长．※精品试卷※解：(1)证明：∵A，P，B，C是圆上的四个点，∴∠ABC＝∠APC，∠CPB＝∠BAC.∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°．∴∠ACB＝60°．∴△ABC是等边三角形．(2)∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝AB＝BC＝2 3.∵∠PAC＝90°，∴∠DAB＝∠D＝30°．∴BD＝AB＝2 3.∵四边形APBC是圆内接四边形，∠PAC＝90°，∴∠PBC＝∠PBD＝90°．在Rt△PBD中，PD＝BDcos30°＝2332＝4.5．如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度为20米．求：(1)桥拱的半径；(2)现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为多少米？解：(1)过点E作EF⊥AB于点F，延长EF交圆于点D，则由题意得DF＝20.由垂径定理知，点F是AB的中点，AF＝FB＝12AB＝40米，EF＝ED－FD＝AE－DF，由勾股定理知，AE2＝AF2＋EF2＝AF2＋(AE－DF)2. 设圆的半径是r，则r2＝402＋(r－20)2，解得r＝50.即桥拱的半径为50米．※精品试卷※(2)设水面上涨后水面跨度MN为60米，MN交ED于H，连接EM，则MH＝NH＝12MN＝30米，∴EH＝502－302＝40(米)．∵EF＝50－20＝30(米)，∴ＨF＝EH－EF＝10米．6．已知△ABC，以AB为直径的⊙Ｏ分别交AC，BC于点D，E，连接ED.若ED＝EC.(1)求证：AB＝AC；(2)若AB＝4，BC＝23，求CD的长．解：(1)证明：∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠C.∵∠EDC＋∠ADE＝180°，∠ADE＋∠B＝180°，∴∠EDC＝∠B.∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.(2)连接AE，∵AB为直径，∴AE⊥BC.由(1)知，AB＝AC，∴BE＝CE＝12BC＝ 3.在△ABC与△EDC中，∵∠C＝∠C，∠CDE＝∠B，∴△ABC∽△EDC.∴CECA＝CDCB.∴CE·CB＝CD·CA.∵AC＝AB＝4，∴3×２3＝4CD.∴CD＝3 2 .7．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙Ｏ分别交BC，AC于点D，E，且点D为BC的中点．(1)求证：△ABC为等边三角形；(2)求DE的长；(3)在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED，若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：连接AD.∵AB是⊙Ｏ的直径，∴∠ADB＝90°．∵点D是BC的中点，∴AD是线段BC的垂直平分线．∴AB＝AC.∵AB＝BC，∴AB＝BC＝AC.∴△ABC为等边三角形．(2)连接BE.∵AB是直径，∴∠AEB＝90°．∴BE⊥AC.∵△ABC是等边三角形，∴AE＝EC，即E为AC的中点．∵Ｄ是BC的中点，故DE为△ABC的中位线，∴DE＝12AB＝12×2＝1.(3)存在点P使△PBD≌△AED，由(1)(2)知，BD＝ED，∵∠BAC＝60°，DE∥AB，∴∠AED＝120°．∵∠ABC＝60°，∴∠PBD＝120°．∴∠PBD＝∠AED.要使△PBD≌△AED，只需PB＝AE＝1.。
湘教版数学九年级下册2.3《垂径定理》教学设计
湘教版数学九年级下册2.3《垂径定理》教学设计一. 教材分析《垂径定理》是湘教版数学九年级下册第2.3节的内容。
本节课主要介绍垂径定理及其应用，是学生进一步学习圆的性质和解决实际问题的重要基础。
教材通过生活中的实例引入垂径定理，让学生体会数学与生活的联系，培养学生的数学应用意识。
二. 学情分析初三学生已经掌握了圆的基本概念和性质，具有一定的观察、分析和解决问题的能力。
但部分学生在学习过程中对概念的理解不够深入，解决问题的能力有待提高。
此外，学生对于实际问题的解决方法还不够熟练，需要通过本节课的学习加以锻炼。
三. 教学目标1.理解垂径定理的内容，掌握垂径定理的应用。
2.培养学生的观察、分析和解决问题的能力。
3.提高学生的数学应用意识，激发学生学习数学的兴趣。
四. 教学重难点1.重点：垂径定理的理解和应用。
2.难点：如何将实际问题转化为垂径定理问题，灵活运用垂径定理解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生观察、分析、解决问题。
2.运用实例讲解，让学生体会数学与生活的联系。
3.利用小组合作学习，提高学生的团队协作能力。
4.注重个体差异，给予学生个性化的指导。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例和图片，用于导入和讲解。
2.设计具有代表性的练习题，巩固所学知识。
3.准备课件，展示教学内容和过程。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如自行车轮子、圆形桌面等，引导学生观察并提出问题：“为什么自行车轮子上的辐条都是垂直于轮子的直径？圆形桌面的四个角的线段为何是相等的？”让学生思考并回答，从而引出垂径定理的概念。
2.呈现（10分钟）介绍垂径定理的定义和证明过程。
通过课件展示垂径定理的证明过程，让学生理解并掌握垂径定理。
同时，给出垂径定理的符号表示，便于学生记忆和应用。
3.操练（10分钟）设计一组练习题，让学生运用垂径定理进行计算和证明。
题目难度逐渐增加，让学生在实践中巩固所学知识。
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观察提出问题
(1)如图，点O是圆心，∠BOC有
A
叫__圆 ︵__心___角，它所对的弧是
___B_C____.
O
·
(2)图形中的∠BAC有什么特点
C
呢？它与圆心角︵有什么区别？ 它所对的弧是__B_C___.
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
特点：顶点在圆上，两边都与圆相交
(3)象这样的角叫什么角呢？ 这种角与圆心角之间有何联系呢？
∠BAC和圆心角∠BOC的度数，
你发现它们有什么关系？
∠BAC=
1 2
∠BOC
A
2.你能猜测到圆周角与圆心角之 间有什么关系？这种关系须具
O· C
备什么条件？请用一句话把它
们的关系表达出来.
B
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数
的一半．
条件：圆周角与圆心角所对的弧是同一条弧.
3.证明这个猜测：
∠BAC=
A
∠DAC = —12 —∠—DO—C—．
O· C
从而∠BAC=∠BAD+∠DAC B
= =
—12——12—∠——∠B—O—B—DO——C—+
1 2
∠DOC
D
情形三 圆心在圆周角的外部．
如图，圆心O在∠BAC的外部．作直径AD
∵∠BAD=
1 2
∠BOD
∴∠∠BCAADD－=CA12D∠= C12O（D∠BOD-∠COD）B
辩一辩 图中的∠CDE是圆周角吗?
C
CE
ED
D C
CD
E
C
D
D
E
E
交流讨论：
根据圆周角与圆心的位置关系，圆周角可能有 几种情况？试着画一画.
A
A
A
O·
C
●O C
B
圆心O在 圆周角的
一边上
B
圆心O在 圆周角的 内部
●O B
圆心OC在 圆周角的 外部
二、探究圆周角与圆心角的关系
︵
1.量出课本49页图2-15中 BC 所对的圆周角
知识回顾
1.____顶__点__在__圆__心______的角叫做圆心角.
2.圆心角、弧、弦之间的关系： 在_同__圆__或__等__圆_____中， 如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 相等，那么
__它__们__所__对__的__其__余__各__组__量__也__分__别__相__等__.________.
1 2
∠BOC
情形一 圆周角的一边通过圆心．
如图 圆O中，∠BAC的一边AB通过圆心．
∵OA=OC，
A
∴∠C=∠BAC，
∴∠BOC=∠C+∠BAC
O·
C
=2∠BAC，
B
即
∠BAC=
1 2
∠BOC
情形二 圆心在圆周角的内部
如图，圆心O在∠BAC的内部．作直径AD，
根据情形一的结果得
∠BAD = 12—∠—B—O—D —，
∴∠BAC=
1 2
∠BOC
A ·O CD
综上所述，我们得到圆周角定理：
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数
的一半．
4、圆周角定理的理解： 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数 的一半．
（1）圆周角与圆心角联系的条件是： 它们所对的弧是同一条弧.
（2）圆心角的度数等于它所对弧上的圆周角度 数的2倍．
三、知识应用练习
应用1：由圆心角的度数求圆周角的度数
C
1.如图，点C在⊙O上，∠AOB=1200 ， 则∠ACB=__6_0_0___.
O·
B
2.如图，在⊙O中，AO⊥BO，点C在 A
⊙O上，则∠ACB=___4_5_0 __.
A
3.点如C图是，A︵在B 上⊙一O中点，，∠则A∠OABC=B10=0（0 ，D）
1.结合图形了解圆周角的概念及圆心角所 对的弧的含义 ；
2.结合图形探究理解圆周角与圆心角的关 系，即圆周角定理；
3.会应用圆周角定理进行计算和有关证明.
一、圆周角的定义
顶点在_圆__上__，并且两边都_与__圆__相__交_的角叫作
圆周角． 圆周角具备两个条件：①顶点在圆上，
②两边都与圆相交
解：∵圆弧心是角A︵B∠AOB与圆周角∠ACB所对的
∴∠AOB=2∠ACB
=700
∵圆心角∠BOC︵与圆周角∠BAC
所对的弧是 BC
∴∠BOC=2∠BAC
A
=500
O ·
C
B
作业布置
课本第56页A组4
A
B
E
·
O
C
D
圆周角在我们生活中处处可见，比如，我们从团旗上的图 案抽象出如图所示图形，图形中就有很多圆周角．
O· B C
A 500 C 2600
B 1000 D 1300
O· B
A C
4.如图，AB是⊙O的直径，弦BC=BD, 若∠BOD=650 ，则∠A=__3_2_.5_0__.
C
A
O·
B
D
5.直径为3㎝的圆中， 3 ㎝的弦所对的圆周 2
角的度数为_3_00__或_1_5_0_0___.
应用2：由圆周角的度数求圆心角的度数
1.如图，点A，B，C在⊙O上，AC//OB，若 ∠OBA=250 ，求∠BOC的度数.
解：∵AC//OB
∴∠CAB=∠OBA=250
∵圆弧心是角B︵∠BOC与圆周角∠CAB所B对的
∴∠BOCC=2∠CAB
C
=2×250 =500
O·
A
2.如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径， ∠ACB = 350 ，∠BAC = 250 求∠AOB和∠BOC的度数.