2.3垂径定理

辩一辩 图中的∠CDE是圆周角吗?
C
CE
ED
D C
CD
E
C
D
D
E
E
交流讨论：
根据圆周角与圆心的位置关系，圆周角可能有 几种情况？试着画一画.
A
A
A
O·
C
●O C
B
圆心O在 圆周角的
一边上
B
圆心O在 圆周角的 内部
●O B
圆心OC在 圆周角的 外部
二、探究圆周角与圆心角的关系
︵
1.量出课本49页图2-15中 BC 所对的圆周角
O· B C
A 500 C 2600
B 1000 D 1300
O· B
A C
4.如图，AB是⊙O的直径，弦BC=BD, 若∠BOD=650 ，则∠A=__3_2_.5_0__.
C
A
O·
B
D
5.直径为3㎝的圆中， 3 ㎝的弦所对的圆周 2
角的度数为_3_00__或_1_5_0_0___.
应用2：由圆周角的度数求圆心角的度数
知识回顾
1.____顶__点__在__圆__心______的角叫做圆心角.
2.圆心角、弧、弦之间的关系： 在_同__圆__或__等__圆_____中， 如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 相等，那么
__它__们__所__对__的__其__余__各__组__量__也__分__别__相__等__.________.
1.如图，点A，B，C在⊙O上，AC//OB，若 ∠OBA=250 ，求∠BOC的度数.
解：∵AC//OB
∴∠CAB=∠OBA=250
∵圆弧心是角B︵∠BOC与圆周角∠CAB所B对的
∴∠BOCC=2∠CAB
C
=2×250 =500
O·
A
2.如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径， ∠ACB = 350 ，∠BAC = 250 求∠AOB和∠BOC的度数.
观察提出问题
(1)如图，点O是圆心，∠BOC有
A
叫__圆 ︵__心___角，它所对的弧是
___B_C____.
O
·
(2)图形中的∠BAC有什么特点
C
呢？它与圆心角︵有什么区别？ 它所对的弧是__B_C___.
B
特点：顶点在圆上，两边都与圆相交
(3)象这样的角叫什么角呢？ 这种角与圆心角之间有何联系呢？
∠BAC和圆心角∠BOC的度数，
你发现它们有什么关系？
∠BAC=
1 2
∠BOC
A
2.你能猜测到圆周角与圆心角之 间有什么关系？这种关系须具
O· C
备什么条件？请用一句话把它
们的关系表达出来.
B
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数
的一半．
条件：圆周角与圆心角所对的弧是同一条弧.
3.证明这个猜测：
∠BAC=
A
∠DAC = —12 —∠—DO—C—．
O· C
从而∠BAC=∠BAD+∠DAC B
= =
—12——12—∠——∠B—O—B—DO——C—+
1 2
∠DOC
D
情形三 圆心在圆周角的外部．
如图，圆心O在∠BAC的外部．作直径AD
∵∠BAD=
1 2
∠BOD
∴∠∠BCAADD－=CA12D∠= C12O（D∠BOD-∠COD）B
1 2
∠BOC
情形一 圆周角的一边通过圆心．
如图 圆O中，∠BAC的一边AB通过圆心．
∵OA=OC，
A
∴∠C=∠BAC，
∴∠BOC=∠C+∠BAC
O·
C
=2∠BAC，
B
即
∠Байду номын сангаасAC=
1 2
∠BOC
情形二 圆心在圆周角的内部
如图，圆心O在∠BAC的内部．作直径AD，
根据情形一的结果得
∠BAD = 12—∠—B—O—D —，
∴∠BAC=
1 2
∠BOC
A ·O CD
综上所述，我们得到圆周角定理：
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数
的一半．
4、圆周角定理的理解： 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数 的一半．
（1）圆周角与圆心角联系的条件是： 它们所对的弧是同一条弧.
（2）圆心角的度数等于它所对弧上的圆周角度 数的2倍．
三、知识应用练习
应用1：由圆心角的度数求圆周角的度数
C
1.如图，点C在⊙O上，∠AOB=1200 ， 则∠ACB=__6_0_0___.
O·
B
2.如图，在⊙O中，AO⊥BO，点C在 A
⊙O上，则∠ACB=___4_5_0 __.
A
3.点如C图是，A︵在B 上⊙一O中点，，∠则A∠OABC=B10=0（0 ，D）
1.结合图形了解圆周角的概念及圆心角所 对的弧的含义 ；
2.结合图形探究理解圆周角与圆心角的关 系，即圆周角定理；
3.会应用圆周角定理进行计算和有关证明.
一、圆周角的定义
顶点在_圆__上__，并且两边都_与__圆__相__交_的角叫作
圆周角． 圆周角具备两个条件：①顶点在圆上，
②两边都与圆相交
解：∵圆弧心是角A︵B∠AOB与圆周角∠ACB所对的
∴∠AOB=2∠ACB
=700
∵圆心角∠BOC︵与圆周角∠BAC
所对的弧是 BC
∴∠BOC=2∠BAC
A
=500
O ·
C
B
作业布置
课本第56页A组4
A
B
E
·
O
C
D
圆周角在我们生活中处处可见，比如，我们从团旗上的图 案抽象出如图所示图形，图形中就有很多圆周角．