工程力学第4节 静定问题与物体系统的平衡
探讨静力学中物体系统平衡问题的几种类型及求解方法
未知力 ， 列 平 衡 方 程 可 以全 部 求 解 出来 。 Ｘ Ｍ＾ ＝ ０ ， × ａ — Ｆ ｃ ｘ ２ ａ － ２ Ｆ ｘ ２ ａ ＝ ０ ， Ｆ ｃ 、 ， ＝ ３ Ｆ ∑Ｙｉ ＝ ０ ， Ｆ ＾ ＋ Ｆ ｃ － ２ Ｆ ＝ ０ ， Ｆ ＾ ＝ — ． Ｆ
国瑶 誊
图６ 图７ 图８ 图９
此 时 我 们 分 析一 下 这 个 物 体 系 统 的 受 力 图 。以Ｂ Ｃ 为研 究 对象时 ， 如 图８ 所示， ４ 个未知力 ， 列 平 衡 方 程无 法 全 部 求 出 ， 但 是 我 们 注 意 到 这４ 个 未 知 力 中有 ３ 个 未 知 力 交 于 一 点 ，如 Ｆ 、
物 体 系 统 平 衡 问 题 相 对 于 单 个 物 体 平 衡 问题 要 复 杂 一 些， 学生在求解 物体系统平衡 问题时 ， 常 常会 感 觉 无 从 下 手 ． 不 知 道 如 何 求 解 。对 于 物 体 系统 平 衡 问题 与单 个 物 体 平 衡 问 题 的 区别 在 于 研 究 对 象 的选 择 及 解 题 的顺 序 。研 究 对 象 可 以 是整体 ． 也 可 以取 单 个 或 一个 部 分 的 物 体 系 统 ． 解 题 顺 序 按 照 研 究 对 象 选 择 的 顺 序 而 定 。本 文 把 物 体 系统 平 衡 问 题 分 为 几 种类 型 ， 并 为每种类 型提供 解题方 法 ， 只 要 分 清 属 于 哪 种 类 型， 并 对症 下 药 ， 问 题 便 会 迎 刃 而解 。 类型一 ： 以 整体 为研 究 对 象 未 知 力 个 数 小 于 ３ 个。 如图１ 所 示， 该 物 体 系统 中 ， 包含３ 个构件Ａ Ｂ、 Ｅ Ｄ、 Ｃ Ｄ． 以整 体 为研 究 对 象， Ａ处 固定 铰 链 ２ 个约束反力 。 Ｂ 处活 动铰链１ 个 约束反力 ， 总 共３ 个约束 反力 ， 受 力 图 如 图２ 所示 ， 可 以直接列３ 个 平 衡 方 程 求解 。 如有 需 要 还 可 以 以个 体 为 研 究 对 象 ， 约 束 反 力 小 于 等 于 ３ 个， 可 以列 平 衡 方 程 求 解 。
工程力学第4节 静定问题与物体系统的平衡
• 静定多跨梁一般由几个部分梁组成，组成的次序是先 固定基本部分，后加上附属部分。仅靠本身能承受荷 载并保持平衡的部分梁称为基本部分，单靠本身不能 承受荷载并保持平衡的 部分梁称为附属部分。 求解这类问题通常是先 研究附属部分，再计算 基本部分。
解：AB 梁是基本部分， BC 梁是附属部分。
• 对于n个物体组成的系统，在平面任意力系作用下， 可以列出 3n 个独立平衡方程。在平面汇交力系作用 下，可以列出 2n 个独立平衡方程。
例2-11 多跨静定梁由 AB 梁和 BC 梁用中间铰 B 连 接而成，支承和荷载情况如图所示，已知 F = 10kN，
q = 2.5kN/m， = 45；求支座 A、C 的反力和中间铰
列平衡方程：
n
MC (Fi ) 0
i1
FAx 2 F 2.3 0
n
Fix 0
i1
FAx FCx 0
n
Fiy 0 FAy FCy F 0
i1
FAx 23kN FCx FAx 23kN
（2）再取 BC 杆研究，列平衡方程：
• 系统平衡：当整个系统平衡时，组成该系统的每 一个物体也都平衡。因此研究这类问题时，既可 取系统中的某一个物体为分离体，也可以取几个 物体的组合或取整个系统为分离体。
• 内力和外力：系统内物体间的相互作用为内力；系 统外的物体与系统内的物体间的相互作用为外力。
注意
内力和外力的概念是相对的。当取整个系统为 研究对象时，系统中物体间的相互作用为内力。但 当研究物系中某一物体或某一部分的平衡时，物系 中的其它物体或其它部分对所研究物体或部分的作 用力就成为外力，必须予以考虑。
2）再取AB梁为研究 对象，列平衡方程
静定与静不定问题的概念、物体系统的平衡
A
P
A
解：① 选整体研究
C
E
D
P
② 受力分析如图
B
C
E
D
M(aB) FBx
B FBy (b)
③ 选坐标、取矩心、Bxy,B点 ④ 列方程求解：
Fx 0
得： 10
A P
C
E
D
MB FBx
B FBy (b)
① 再研究CD杆； ② 受力分析如图；
二、物体系统的平衡问题 ⒈ 物体系统
物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统 称为物体系统。
[例] B
A M
A
C
P
P
C
E
D
B
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
⒉ 物系平衡的特点 ① 物系平衡
② 物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3个平衡方
4
③ 物体受平面一般力系作用
FAy A
FAx
P B
FAy A
FAx
P FBy
FBx
B
FB
未知量数 3 = 独立平衡方程数 3
静定问题
未知量数 4 ＞独立平衡方程数 3
静不定问题
静不定问题在变形体力学（材力,结力,弹力）中，除 列出静力学平衡方程外，还需考虑变形谐调条件，列出补 充方程来联合求解。
5
⒊ 解物系问题的一般方法
由整体
局部 或 由局部
整体
7
[例] 已知：P =20kN，q = 5kN／m ，a = 45°；求支座A 、C
的反力和中间铰B处的压力。
华北电力大学理论力学第四章 物体系的平衡
由多个刚体相互约束组成的系统称为刚体系。在一般情况下，若系统 是静定的，则刚体系的未知变量总数必等于独立方程总数。静定的 刚体系也称为静定结构。若未知变量总数大于独立方程总数，则系 统是超静定的，称为超静定结构。若未知变量总数小于独立方程总 数，则为不完全约束，刚体系可产生运动而不可能平衡。受不完全 约束的刚体系通常称为机构。
G FAB FAC （a） A G
y
x
例4-3
平面刚架的各部分及受力如图4-7(a)所示，A端为固定端约束，图中 各参数q、F、M、L均为已知。试求A端的约束力。 解：以刚架ABCD整体为研究对象 列平衡方程
F F
x y
0 , FAx qL 0 0 , FAy F 0
3 M M M F L qL L0 0 , A A 2
主矢
0 FR
F F F
ix
iy iz
0 0 0
主矩 M O 0
（对任意点主矩）
M x (F i) 0 M y (F i) 0 M z ( Fi ) 0
共六个独立方程，可解出六个未知量。
特殊力系平衡方程
空间汇交力系
可列三个独立方程
Fix 0 Fiy 0 Fiz 0
F
x
0 , FAB cos30 F 0
得
FAB
2 F 3
A
FAB M
（2）再取OA为研究对象
M
O
( F ) 0 , FAB cos 30 r M 0
FOx
O FOy
解得
M Fr
例题 三刚体平衡
求A、B、D、G处约束。
08静定与静不定问题
38
代入S1' S1 解得: S3 10 kN, S4 10 kN
X 0
S5
S
' 2
0
代入S2' S2后 解得 S5 7.66 kN
节点D的另一个方程可用来校核计算结果
Y 0 , P S3' 0
解得S '3 10 kN, 恰与S3相等,计算准确无误。
27
二、截面法 I
中心线的交点上，称为节点（结点）。
（3）所有荷载和支座反力都在桁架平面内，且都作用在桁架的
节点上。
（4）桁架杆件的自重可忽略不计，或将杆件的自重平均分配在
杆件两端的节点上。
根据以上假设，桁架中每一根杆都是二力杆，因此，杆件只受
拉力或压力。
24
工程力学中常见的桁架简化计算模型
计算桁架各 杆内力的方 法有： 节点法和截 面法
①一矩式
②二矩式
条件：x 轴不 AB 连线
mA(Fi ) 0 mB (Fi ) 0 mC (Fi ) 0
有三个独立方程，只能求出三个未知数。
3
§4-5 平面平行力系的平衡方程
平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。 所以 , 平面平行力系的平衡方程为：
Y 0
YA S5sin P0
S5 0
X 0
S6 S5 cos S4 X A 0
S6
Pa h
28
说明： 节点法：用于设计，计算全部杆内力 截面法：用于校核，计算部分杆内力 先把杆都设为拉力,计算结果为负时,说明是压力,
与所设方向相反。
29
三、特殊杆件的内力判断
的系统叫∼。 [例]
第4章 刚体和刚体系统的平衡
第4章 刚体和刚体系统的平衡4-1 质点系和刚体的平衡条件例1：如图所示的平面刚架，在B 点处受到一水平力P =20kN 的作用，刚架自重不计，试求A 、D 处的约束力。
解：（1）选刚架为研究对象。
（2） 画受力图。
根据三力汇交定理，RA 的指向如图所示。
（3） 列平衡方程。
0548∑=+=A R P X 05440∑=+=A D R R Y kN 4.22-25-==P R AkN 1051-==A D RR例2：梁AB 受一力偶作用，其矩m = -100kN·m 。
尺寸如图所示，试求支座A 、B 的反力。
解：（1）取梁AB 为研究对象2）画受力图 由支座A 、B 的约束性质可知，RB 的作用线为垂直方向，而RA 的作用线方向不定。
由于力偶只能与力偶相平衡，因此力RA 与力RB 必定组成一个力偶，其大小满足RA=RB ，指向如图所示。
3）列平衡方程求未知量 由平面力偶系的平衡方程有：例3：在水平梁AB 上作用一力偶矩为M 的力偶，在梁长的中点C 处作用一集中力P 它与水平的夹角为θ ，如图所示。
梁长为l 且自重不计。
求支座A 和B 的反力。
解：取水平梁AB 为研究对象，画受力图。
例4：水平外伸梁AB ，若均布载荷q =20kN/m ，P =20kN ，力偶矩m =16kN·m ，a =0.8m 。
求支座A 、B 处的约束力。
AkNR R kN R m R M A B A A 2020050i ===⇒=-=∑0cos -F 0A ∑==θP X x θcos F A P x =0F 2sin -M -0)(∑=+∙=l l P F M B i A θ2sin M F θP l B +=0F -2sin M-0)(A B ∑=∙+=l l P F M y i θ2sin M -F A θP l y +=解：（1）选梁AB 为研究对象，画受力图。
（2）属于平面平行力系，列方程求解未知量。
理论力学课件 6.1 物体系的平衡,静定和超静定的概念
各种平面力系的平衡方程。 投影式、取矩式。
平衡力系对任意一点的力的投影之和等于零，力矩之和等于零。
可以列出无数个平衡方程。 可以求解无数个未知数？ • 平面任意力系，3 个； • 平面汇交力系，2 个； • 平面平行力系， 2 个； • 平面力偶系， 1 个。 实际工程中，大多都是物体系的平衡。有的时候未知量的数目等 于独立平衡方程的数目；但有的时候，为了使结构更加稳固，需 要增加多余的约束使得未知量数目多于独立平衡方程数。
物体系的平衡·静定和超静定
例2 图示结构中，已知重物重力为P，DC=CE=AC=CB=2l，定滑轮半径为 R，动滑轮半径为r，且R=2r=l, θ=45º。试求A、E支座的约束力以及BD杆
所受到的力。
D
解：解这类题时，应根据已知条件与待求未知量，选
FA K
取适当的系统为研究对象，并列适当的平衡方程，尽 量能使一个方程解出一个未知量。一般先分析整体。 (1) 取整体为研究对象，画出其受力图。
物体系的平衡·静定和超静定
物体系的平衡·静定和超静定问题
物体系的平衡·静定和超静定
本讲主要内容
1、物体系的平衡，静定和超静定的概念 2、物体系的平衡问题练习 3、平面简单桁架的内力计算
物体系的平衡·静定和超静定
1、物体系的平衡，静定和超 静定的概念
物体系的平衡·静定和超静定
(1) 问题的引出
1、物体系的平衡，静定和超静 定的概念
åMC = 0
FB
sin
60o
×
l
-
ql
×
l 2
-
F
cos
30o
×
2l
=
0
FB=45.77kN
先局部后整体的方法
2.3、静定与超静定_物体系统的平衡
1
授之于渔
1、物体受力平衡方程组的列法 、
∑ Fix = 0 (1) (2) ∑ Fiy = 0 r ∑ mO ( Fi ) = 0 (3)
（一矩式） 一矩式）
r ∑ m A ( Fi ) = 0 r ∑ m B ( Fi ) = 0 r ∑ Fix = 0
(1) (2) (3)
解题思路：先以 解题思路：先以BD 梁为研究对象： 梁为研究对象： r ∑ M B ( Fi ) = 0 ⇒ FC 再以整体为研究对象,对 点列 主矢、 点列“ 再以整体为研究对象 对A点列“主矢、主矩都等 于零” 于零”方程组 ，联立求解
8
授之于渔
F=20KN q=10KN/m m=20KN.m a=1m
，
平板△ 解、研究对象:平板△ABC, 研究对象 平板 受力如图b所示 则有： 所示,则有 受力如图 所示 则有：
FC * a cos 30 o + P * 0.5a + F * 0.75a − m = 0 ∑ M A ( Fi ) = 0 o o ∑ M B ( Fi ) = 0 ⇒ FA ∗ a cos 30 + F ∗ 0.5a sin 30 − m = 0 ∑ M ( F ) = 0 FB * a cos 30 o − P * 0.5a − F * 0.5a sin 30 o − m = 0 C i
解题思路1：先以整体为研究对象分别对 、 点 解题思路 ：先以整体为研究对象分别对A、C点 主矩等于零”方程，求出FAY、FCY；再以 杆 列“主矩等于零”方程，求出 、 ；再以AB杆 r 为研究对象 ∑ M B ( Fi ) = 0 ⇒ FAX ,最后再以整体 最后再以整体 为研究对象,由 为研究对象 由 ∑ Fix = 0 ⇒ FCX 解题思路2：分别以 杆 杆为研究对象(图示 解题思路 ：分别以AB杆、BC杆为研究对象 图示 一共 杆为研究对象 图示),一共 6 可以列6个静力学平衡方程 个静力学平衡方程， 个未知力， 可以列 个静力学平衡方程，含6个未知力，联立求解 个未知力
工程力学中的静力学平衡与结构平衡问题
工程力学中的静力学平衡与结构平衡问题工程力学是研究物体静止或运动状态下受力和变形的学科。
而静力学平衡和结构平衡问题是工程力学的重要内容之一。
本文将探讨静力学平衡的基本原理和结构平衡的相关概念。
一、静力学平衡问题静力学平衡问题是指研究物体在不发生运动的情况下的受力平衡情况。
在静力学平衡问题中，物体所受外力和外力对物体的作用点位矢量之和为零，即∑F = 0。
这是基于牛顿第一定律的，物体处于静止或匀速直线运动状态时，所受合力为零。
在解决静力学平衡问题时，常使用力的合成与分解原理以及受力分析的方法。
通过分析物体所受的各个力的作用方向和大小，可以确定物体所处的平衡状态。
静力学平衡问题的应用很广泛，比如在建筑工程中，我们需要确保建筑物的稳定性。
通过分析各个构件所受的力和力矩，可以确定建筑物的结构是否平衡，从而保证其安全性。
二、结构平衡问题结构平衡问题是指研究物体内部各个构件的受力平衡情况。
在解决结构平衡问题时，需要考虑物体内部的各个节点和构件之间的相互作用关系。
结构平衡问题可以通过静力学平衡的原理来解决。
对于一个构件而言，其受力平衡要求总力合为零。
在力的合成与分解原理的帮助下，可以确定每个节点上的力的大小和方向，从而得到整个结构的受力平衡状况。
在实际工程中，结构平衡问题是保证建筑物和桥梁等工程结构稳定性的重要问题。
通过分析结构的受力平衡情况，可以确定结构的合理设计，并且预测结构在受到外力作用时的变形情况，从而确保结构的安全性。
三、应用实例为了更好地理解工程力学中的静力学平衡与结构平衡问题，我们举一个简单的桥梁的实例。
考虑一座桥梁，桥上有一辆汽车在通过。
我们需要确保桥梁的结构平衡以保证安全。
首先，我们可以将桥梁简化为若干个构件，比如桥墩、桥面等。
通过静力学平衡原理，我们可以分析每个构件所受的受力情况。
以桥墩为例，桥墩受到来自桥面和汽车的作用力。
通过力的合成与分解原理，我们可以确定桥墩所受力的大小和方向。
类似地，我们可以对桥面和其他构件进行受力分析。
工程力学理论力学第4章
Fi xi F
平衡的充要条件为 主矢 R =0
主矩MO =0
所以 平面平行力系的平衡方程为：
Y 0
mO (Fi )0
一矩式
实质上是各力在x 轴上的投影 恒等于零，即 X 0 恒成立 ，所以只有两个 独立方程，只能求解两个独立 的未知数。
mA (Fi ) 0 二矩式
RB
qa 2
m a
2P
200.8 2
16 0.8
22012(
kN)
YA PqaRB 20200.81224(kN)
§4-4 物体系统的平衡、静定与超静定问题的概念
一、静定与超静定问题的概念
我们学过：
平面汇交力系 X 0 Y 0
两个独立方程，只能求两个独立 未知数。
例3. 塔式起重机翻转问题
如图所示塔式起重机的简图。已知机身重W，重 心在C处；最大的起吊重量为P。各部分的尺寸如图。 求能保证起重机不致翻转的平衡锤重Q大小。
b
Q
C e
W
a
P
A
B
dd
★ 物体系统的平衡问题
例5. 如图所示，水平梁由AB和BC两部分组成，它们
在B处用铰链相连。梁的A端固定在墙上，在C处受滚 动支座支持，该支座放在倾角为α =30°的光滑斜面 上。已知P=4KN，均布载荷q=2KN/m，尺寸如图。试求 A、B、C处约束反力。
解物系问题的一般方法：
由整体
局部（常用），由局部
整体（用较少）
[例1] 已知：OA=R, AB= l , 当OA水平时，冲压力为P 时，
求：①M=？②O点的约束反力？③AB杆内力？ ④冲头给导轨的侧压力？
5.4物体系统的平衡
静定问题
超静定问题
3、特征：具有多余约束。
一个平面自由刚体具有三个自由度，加上一个固定铰支
座后，就不可移动，但可绕A点转动，还有一个自由度。
若再加上一个活动铰支座B，就完全不能动了（即没有自 由度）。 如果再加上一个连杆约束，则此连杆称为多余约束。
2、实例：
静定与超静定问题举例
（一）、多跨静定梁的组成方式和特点
F
y
0
1 FA FB F q2 a G q1 a 0 2
M
1 FA F q2 a G q1 a FB 2.9kN 2
A
(F ) 0
a 3 10 1 M A 3aFB F a q2 a 2.5a G a q1a 0 2 2 3 2
0
FAx FBx 0
FAx FBx 18kN
例3-9 水平梁由AC、CD两部分组成，C处用铰链 相连接，A处是固定端支座，B处是可动铰支座。荷载 及几何尺寸如图所示。 已知：G=1kN，F=2kN，q1=0.6kN/m，q2=0.6kN/m， a=1m，试求A、B处的支座反力。梁重不计。
§5-3 物体系统的平衡
一、物体系统
物体系统由很多个物体组成，这些物体之间以 一定的方式联系着，整个系统又以适当的方式与 其它物体联系。例如图所式的多跨静定梁。
多跨静定刚架 二、内约束与外约束 内约束——在物体系统中各物体之间的联系构成的约束。 例如，铰链 C和D、（或右图中 B和 C）。 外约束——物体系统与其它物体的联系构成的外约束。 例如，图中的A、BD杆为 研究对象。
M
C
(F ) 0
a 1 a FB a G q1 a(a ) 0 2 2 3
工程力学第四章2
FAy
A
P
P
B 6m 6m
6m
FBx
FBy
CF Cx
取[左]受力分析
∑MC=0
FAx·6–FAy·6+3P=0
P
FAx
FAy
A
F Cy
F Ax
P = 2
FBx
P = 2
[左] 左
上固定销子C,可在杆 的光滑直槽中滑动， 例：图示杆BE上固定销子 可在杆 的光滑直槽中滑动，已知： 图示杆 上固定销子 可在杆AD的光滑直槽中滑动 已知： L=0.2m，M1=200N·m，α = 300，求：结构平衡时 2。 结构平衡时M ， ，
iy
ix iy
=0 =0
平面平行力系的平衡方程 （设各力线都 // y轴）： 轴
∑F = 0 ∑ m (F ) = 0
o i
5
例：图示导轨式汽车提升机构，已知提升的汽车重P=20kN， 图示导轨式汽车提升机构，已知提升的汽车重 ， 求：导轨对A、B轮的约束反力（不计摩擦）。 导轨对 轮的约束反力（不计摩擦）。 轮的约束反力
∑MC=0, –F·a–3a · FD=0 ∑Fiy=0, –F+ FD+FC=0 FD=F/3, FC=2F/3, 3a C FC 3a A E D FD B FEX FAY FEY D [AD] FD FC [CB] E
FEY’ FCX
B
取[AD]
3 ∑ M A = 0, 3aFD − a ⋅ 2 FEx = 0 2 2 FEx = F, A 3
F
60cm
F FA P P
A
400cm
FB B
力偶仅 能被力 偶平衡
i FA·400–P·60=0； 解: ∑Mi=0: ； 得：FA=3kN FB=FA ∑Fx=0; F= P ∑Fy=0;
TM.3-3物体系的平衡.静定和超静定问题
理论力学 3-3 物体系的平衡. 静定和超静定问题
例3-5 图3-13a所示为曲轴冲床简图，
由轮Ⅰ、连杆AB和冲头B 组成。 OA=R，AB=l。 忽略摩擦和自重， 当 OA 在水平位置、冲压力为 F 时系统处于平衡状态。
理论力学 3-3 物体系的平衡. 静定和超静定问题
求： （1）作用在轮Ⅰ上的力偶之矩 M的大小； （2）轴承O处的约束力； （3）连杆AB受的力； （4）冲头给导轨的侧压力。
，
(c)
，
(d)
，
(e)
M 理F 论R力学 3-3 物体系的平衡. 静定和超静定问题
（3）由式（c）得 由式（d）得
理论力学 3-3 物体系的平衡. 静定和超静定问题
由式（e）得
负号说明，力FOx，Foy 的方向与图示 假设的方向相反。此题也可先取整个 系统为研究对象，再取冲头或轮Ⅰ为 研究对象，列平衡方程求解。
如图3-14b所示，有
理论力学 3-3 物体系的平衡. 静定和超静定问题 图3-14 b
理论力学 3-3 物体系的平衡. 静定和超静定问题
(d)
理论力学 3-3 物体系的平衡. 静定和超静定问题
由式 (d) 得 代入式 (a)，(b)，(c) 得
理论力学 3-3 物体系的平衡. 静定和超静定问题
理论力学 3-3 物体系的平衡. 静定和超静定问题
1．物体系的平衡
工程中，如组合构架、三铰拱等结构， 都是由几个物体组成的系统。当物体系平 衡时，组成该系统的每一个物体都处于平 衡状态，因此对于每一个受平面任意力系 作用的物体，可写出三个平衡方程。如物 体系由 n 个物体组成，则共有3n个独立方 程。
轮Ⅰ上力偶的矩 M ； （2）光滑轴承 A，B 的约束力。
建筑力学与结构 第4章 物体平衡时的内力
4.物体平衡时的内力
构件的基本变形 1.杆件的几何特性 在工程中，通常把纵向尺寸远大于横向尺寸的构件称为杆件。杆件有两个常用到的 元素：横截面和轴线。横截面指沿垂直杆长度方向的截面。轴线是指各横截面的形 心的连线。两者具有相互垂直的关系。杆件按截面和轴线的形状不同又可分为等截 面杆、变截面杆及直杆，曲杆与折杆等。如图4.1所示。
4.物体平衡时的内力
[例4.1] 一直杆受拉(压)如图4.7所示， 试求横截面1-1、2-2、3-3上的轴力，并 绘制出轴力图。
5.练习作图题
1.一直杆受拉(压)如图所示，试求横截面的轴力，并绘制出轴力图。
5.练习作图题
2.一直杆受拉(压)如图所示，试求横截面的轴力，并绘制出轴力图。
5.练习作图题
4.4.2 梁的內力——剪力和弯矩 梁截面上的内力必是的一个平行于横截面的内力FQ，称为剪力和一个作用面与 横截面垂直的内力偶M，称为弯矩。
4.物体平衡时的内力
剪力和弯矩的正负号规定如下。
（1）当截面上的剪力FQ使研究对象有顺时针转向趋势时为正，反之为负； （2）当截面上的弯矩M使研究对象产生向下凸的变形时（即上部受压下部 受拉）为正，反之为负。
认真严谨、使命担当
唐山、汶川灾后， 社会主义优越性
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4.物体平衡时的内力
2.轴力图 应用截面法可求得杆上所有横截面上的轴力。 如果以与杆件轴线平行的横坐标x表示杆的横截 面位置，以纵坐标表示相应的轴力值，且轴力的 正负值画在横坐标轴的不同侧，那么如此绘制出 的轴力与横截面位置关系图，称为轴力图。
5-3 静定与超静定问题 物体系统的平衡
解：先整体后局部 (1)取整体为研究对象
Q q 4a
mB 0 Q 2a F Ay 4a 0
Fx 0
F Ay 2qa() F Ax 0
Fx 0
N 3 N 1 sin 450 0
N 1 2 2qa (1杆受拉)
Fy 0
N 2 N 1 cos 450 0 N 2 2qa
(2杆受压)
二.静定与超静定问题 1.静定问题 未知量的个数≤独立平衡方程数 2.超静定问题（或静不定问题） 未知量的个数＞独立平衡方程数 超静定次数=未知量的个数-独立平衡方程数
2
3.静定与超静定问题举例
q
m FA y
q
m A
m
FAx
FA y q q
m
m
FAx
P
P
P
P
FB
q
m FA y
q
m A
m
F Ax
FA y q q
qL 8H
()
18
例2.悬臂平面桁架(结点法)
A 6
a
5
B4 a
C 1
3 αE
D 2F a
N1 y α Ex
N2
F
y
N3
x
N4
D
N2
N6 N5
C
N1
y
x
已知：F、a 。
Fx 0
桁架自重不计
N1cos N 2 0 1
求：各杆的内 力。
Fy 0
N1sin P 0
2
解：均取局部 (1)取节点E为研究 对象
FA=FB=qa(↑) FAB=qa/2(拉力) FCx=qa/2 FCy=0
24
课堂练习（2）
静定和超静定
FDB
3 2 P 8
(拉)
习题
已知: P2=2P1， P=20P1 ，r, R=2r, 20 ;
求:物C 匀速上升时，作用于小轮上的力偶矩M； 轴承A，B处的约束力.
齿轮传动机构，大轮上固定一塔轮，大轮和塔轮共重P2,压力 角又叫啮合角，啮合力与节圆切线的夹角
解: 取大轮，塔轮及重物C,画受力图.
工程中，为了提高结构的刚度和稳定性， 增加多余约束，使结构的未知力数目多于平 衡方程数，未知量不能全部由平衡方程解出， 这样的问题称为静不定或超静定问题。材料 力学研究超静定问题。
静定物系的平衡问题解题步骤：
1.分析系统由几个物体组成； 2.按照便于求解的原则，适当选取整个或者 个体为研究对象进行受力分析并画出受力 图，一般先取整体，整体行不通再拆； 3.列出平衡方程并解出未知量。
M
E
0
FEx FA cos 450 0
F
y
0
FEy P FA sin 450 0
5 2 FA P 8
5 FEx P 8
13 FEy P 8
取DCE杆,画受力图.
M
C
0
FDB cos 45 2l FK l FEx 2l 0
0
FDy 2F
对ADB杆受力图
MA 0
FBx 2a FDx a 0
得
FBx F
解：先整后零
F 0 F 0
y x
M
A
0
再研究DC杆 可将 FDy 求解出来 最后研究BC杆 可将 F 求解出来
Dx
§3-4
平面简单桁架的内力计算
桁架：一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构， 它在受力后几何形状不变。 节点：桁架中杆件的铰链接头。
静定、超静定的概念与刚体系统平衡问题
物体系统的平衡静定与静不定（超静定）问题•静定与超静定（静不定）的概念对每一种力系而言,若未知量的数目等于独立平衡方程的数目。
则应用刚体静力学的理论,就可以求得全部未知量,这样的问题称为静定问题。
（理论力学）若未知量的数目超过独立平衡方程的数目，则单独应用刚体静力学的理论,就不能求出全部未知量,这样的问题称为静不定问题（超静定问题）。
（材料力学等）静定：未知量个数等于独立的平衡方程数；未知量的数目=独立平衡方程的数目静不定(超静定)：未知量个数大于独立的平衡方程数。
未知量的数目> 独立平衡方程的数目超静定次数：未知量个数与独立的平衡方程数之差。
当研究对象中未知约束力个数小于独立的平衡方程数时，其运动状态一般都是变化的，工程中将这样的力学系统称为机构，这种情况在工程结构设计中是应该避免的。
具有n个物体组成的平面静定物体系统：最多3n个独立平衡方程，求解3n个未知量。
超静定问题：材料力学原理建立补充方程求解。
A BPF PF PF判断各图示结构的静定性•刚体系统（物体系统）的平衡问题1. 两个或两个以上刚体用一定的方式连接起来组成的系统，称为刚体系统；2. 刚体系统整体处于平衡时，每一局部均处于平衡。
局部：组成系统的单个或几个刚体所构成的子系统。
0A M =∑0D M =∑0C M =∑0B M =∑∑=0X 0=∑Y 刚体系统平衡问题的特点是：仅仅考察系统整体平衡，一般无法求得全部未知力。
1m 1m q pF F 1A 0.5m 0.5m (a)1m1m D B C Q Ax F Ay F M A BF P1.一般解法：编程，运用计算机求解线性代数方程组。
对于每个刚体都受平面任意力系作用的刚体系统，总可以建立3n个独立的平衡方程。
如果系统是静定的，也应有相同个数的未知量，最终就归结为求解线性代数方程组的问题，利用高斯消元法等方法，总能在计算机上程式化地实现数值求解。
2.分析解法：由于许多工程实际问题并不需要求出刚体系统的所有内部和外部的约束力，而通常只需求出某一部分的约束力，因此，利用分析解法以简化运算是必要的。
物体系统的平衡_工程力学_[共4页]
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3.4
静定与超静定 物系的平衡
43
图3-8 静定与超静定结构（续）
超静定问题的核心是仅仅利用平衡方程无法求得未知力，解超静定问题必须考虑构件受力后产生的变形，再根据变形条件列出相应的变形协调方程，方能解出所有未知力，具体方法将在材料力学中讨论。
静力学讨论的都是静定问题。
3.4.2 物体系统的平衡
工程实际中的结构，都是由若干个构件通过一定的约束方式组合在一起的，称为物体系统，简称物系。
对静定的物体系统的平衡问题，关键是选择合适的研究对象。
物体系统平衡，系统内的每个构件也都处于平衡状态，因此既可选取整个物系为研究对象，也可选取单个构件或者几个构件组成的局部为研究对象，所有未知力均可通过平衡方程求解。
为了简化求解过程，选取研究对象应遵循以下原则。
（1）先从有已知作用力且未知力个数少于或等于独立平衡方程数的物体进行研究，这个条件称为可解条件。
（2）将求出的未知力作为已知力，可使暂不可解的分离体转化为可解的分离体，这样按题意可依次解出待求的未知力。
（3）若取整体可解出部分未知力，则应先取整体为研究对象，这样往往可使求解过程简化。
下面举例说明物系平衡问题的解法。
例3-5 组合梁AC 和CE 用铰链C 相连，A 端为固定端，E 端为活动铰链支座。
受力如图3-9所示。
已知l =8 m ，F =5 kN ，均布载荷集度q =2.5 kN/m ，力偶矩的大小L = 5kN ·m ，试求固端A 、铰链C 和支座
E 的反力。
图3-9 组合梁受力简图。
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1）先取BC梁为研究 对象，列平衡方程
n
M B (Fi ) 0
i1
F 1 FC cos 2 0
FC 7.07kN
n
Fix 0
i1 n
Fiy 0
i1
FBx FC sin 0 FBy F FC cos 0
FBx 5kN FBy 5kN
列平衡方程：
n
MC (Fi ) 0
i1
FAx 2 F 2.3 0
n
Fix 0
i1
FAx FCx 0
n
Fiy 0 FAy FCy F 0
i1
FAx 23kN FCx FAx 23kN
（2）再取 BC 杆研究，列平衡方程：
2）再取AB梁为研究 对象，列平衡方程
n
M A(Fi ) 0
i1
M
A
1 2
q
2
2
FBy
2
0
M A 15kN m
n
Fix 0
i1
FAx FBx 0
FAx 5kN
n
y 10kN
例2-12 一管道支架尺寸如图所示，设大管道重 F1 = 12kN，小管道重F2 = 7kN，不计支架自重，求支 座A、C处约束反力。 解：考察 AB 杆，注意杆 CD为二力杆，对AB杆进 行受力分析如图b所示。
各种力系的独立方程数
力系 名称
独立 方程数
平面任 意力系
3
平面汇 交力系
2
平面平 行力系
2
平面 力偶系
1
空间任 意力系
6
• 静不定问题仅用刚体静力平衡方程是不能完全解决 的，需要把物体作为变形体，考虑作用于物体上的 力与变形的关系，列出补充方程来解决。
二、刚体系统的平衡问题
• 物体系统：由若干个物体通过约束联系所组成的 系统称为物体系统，简称为物系。本章讨论的是 刚体静力问题，所以将物体视为刚体，故物体系 统也称为刚体系统。
（2）再取飞轮和曲柄一起为研究对象为研究对
象，列平衡方程：
n
Fix 0
i1 n
Fiy 0
i1 n
MO (Fi ) 0
i1
FS cos FOx 0 FSsin FOy G 0 rFScos M 0
FOx FS cos F
解 （1）先以活塞Ｂ为研究对象， 列平衡方程：
n
Fix 0
i1
F FS cos 0
n
Fiy 0
i1
FN FS sin 0
解得
FS
F
cos
F
l l2 r2
FN FS sin F
r l2 r2
（2）再取飞轮和曲柄一起为研究对象为研究对象， 列平衡方程：
FS F1 2F2 26kN
FAx FS cos30 22.5kN
FAy 6kN
根据作用力与反作用力定律 可得支座A、C处的约束反力。
例2-13 如图所示，曲柄连杆机构由活塞、连杆、
曲柄和飞轮组成。已知飞轮重G，曲柄OA长 r ，连杆 AB 长 l ，当曲柄 OA 在铅垂位置时系统平衡，作用于 活塞 B 上的总压力为 F，不计活塞、连杆和曲柄的重 量，求阻力偶矩 M、轴承O的反力。
B 处的内力。
• 静定多跨梁一般由几个部分梁组成，组成的次序是先 固定基本部分，后加上附属部分。仅靠本身能承受荷 载并保持平衡的部分梁称为基本部分，单靠本身不能 承受荷载并保持平衡的 部分梁称为附属部分。 求解这类问题通常是先 研究附属部分，再计算 基本部分。
解：AB 梁是基本部分， BC 梁是附属部分。
解得
FOy G F
r l2 r2
M rFScos Fr
例2-14 如图所示，一构架由杆 AB 和 BC 所组成， 载荷 F = 20kN。已知 AD = DB = 1m，AC = 2m，滑轮 半径均为 0.3m，如不计滑轮重和杆重，求 A 和 C 处 的约束反力。
解 （1）先取整体研究，
n
M B (Fi ) 0
i1
FT 1.3 FCy 2 FCx 2 0
FT F FCy 10kN FAy F FCy 10kN
选择 Axy 坐标系， 列平衡方程。
n
M A(Fi ) 0
i1 n
Fix 0
i 1 n
Fiy 0
i1
0.6FS sin 30 0.3F1 0.6F2 0 FAx FS cos30 0
FAy F1 F2 FS sin 30 0
解上述方程，得到：
一、静定与静不定问题
• 静定问题：若所研究的问题的未知量的数目等于 或少于独立平衡方程的数目时，则所有未知量都 能由平衡方程求出，这类问题称为静定问题。
• 静不定问题：若未知量的数目多于独立平衡方程的 数目，则未知量不能全部由平衡方程求出，这类问 题称为静不定问题（或称超静定问题），总未知量 数与总独立平衡方程数两者之差称为静不定次数。
• 对于n个物体组成的系统，在平面任意力系作用下， 可以列出 3n 个独立平衡方程。在平面汇交力系作用 下，可以列出 2n 个独立平衡方程。
例2-11 多跨静定梁由 AB 梁和 BC 梁用中间铰 B 连 接而成，支承和荷载情况如图所示，已知 F = 10kN，
q = 2.5kN/m， = 45；求支座 A、C 的反力和中间铰
• 系统平衡：当整个系统平衡时，组成该系统的每 一个物体也都平衡。因此研究这类问题时，既可 取系统中的某一个物体为分离体，也可以取几个 物体的组合或取整个系统为分离体。
• 内力和外力：系统内物体间的相互作用为内力；系 统外的物体与系统内的物体间的相互作用为外力。
注意
内力和外力的概念是相对的。当取整个系统为 研究对象时，系统中物体间的相互作用为内力。但 当研究物系中某一物体或某一部分的平衡时，物系 中的其它物体或其它部分对所研究物体或部分的作 用力就成为外力，必须予以考虑。