江苏省2020年高考数学压轴卷(含解析)

江苏省2020年高考数学压轴卷（含解析）

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A B =I ______ 2．已知复数(1)(2),z i i =+-则｜z ｜＝ ．

3．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为______.

4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为____．

5．在平面直角坐标亲xOy 中，若双曲线22

221x y a b

-=（0a >，0b >）的离心率为32，则

该双曲线的渐近线方程为______.

6．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为__________．

7．已知点P 在抛物线2

8y x =上运动，F 为抛物线的焦点，点A 的坐标为(5,2)，则

PA PF +的最小值是______．

8．已知,αβ都是锐角，45

sin ,cos()513

ααβ=

+=，则sin β=_____ 9．在体积为9的斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S —ABC 的体积为2，则三 棱锥S —A 1B 1C 1的体积为___．

10．在等差数列{}n a 中，9121

62

a a =

+，则数列{}n a 的前11项和11S =____________. 11．三棱锥P ABC -中，已知PA ⊥平面ABC ，ABC n 是边长为2的正三角形，E 为PC 的中点，若直线AE 与平面PBC 所成角的正弦值为

42

，则PA 的长为_____. 12．如图，在四边形ABCD 中，1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA

和CD 交NM 的延长线于不同．．

的两点,P Q ，则·()PQ AB DC -u u u v u u u v u u u v

的值为_________．

13．已知函数()ln ,1

1,12

x x f x x

x ≥⎧⎪

=⎨-<⎪⎩，若()()()1F x f f x m =++有两个零点12,x x ，则12x x 的取值范围______.

14．在ABC V 中，记角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，面积为S ，则22S

a bc

+的

最大值为______.

二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2

A π

≠，sin 26cos sin b A A B =.

（1）求a 的值； （2）若3

A π

=，求ABC ∆周长的取值范围.

16．如图，在直三棱柱

111

ABC A B C -中，BC AC ⊥，D ,E 分别是AB ,AC 的中点．

（1）求证：

11

B C ∥平面

1A DE

；

（2）求证：平面1A DE ⊥平面

11

ACC A ．

17．如图所示，为美化环境，拟在四边形ABCD 空地上修建两条道路EA 和ED ，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点E 在边BC 的三等分点处（靠近B 点），

3BC =百米，BC CD ⊥，120ABC ∠=o ，21EA =60AED ∠=o .

（1）求ABE △区域的面积；

（2）为便于花草种植，现拟过C 点铺设一条水管CH 至道路ED 上，求水管CH 最短时的

长．

18．已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，点P

是椭圆C 上的一个动点，且12PF F ∆3. （1）求椭圆C 的方程；

（2）设斜率不为零的直线2PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，且PQ 的垂直平分线交y 轴于点1

(0,)8

T ，求直线PQ 的斜率.

19．已知数列{}n a 的前n 项和记为n A ，且()

12

n n n a a A +=

，数列{}n b 是公比为q 的等比数列，它的前n 项和记为n B .若110a b =≠，且存在不小于3的正整数k ，m ，使得k m a b =. （1）若11a =，35a =，求2a 的值； （2）求证：数列{}n a 是等差数列；

（3）若2q =，是否存在整数m ，k ，使得86k m A B =，若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由.

20．已知()22

ln 12x f x x x a

-=-

-+，0a >.

（1）当2a =时，求函数()f x 图象在1x =处的切线方程；

（2）若对任意[

)1,x ∈+∞，不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）若()f x 存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求a 的取值范围.

数学附加题

(满分40分，考试时间30分钟)

21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

A. (选修42：矩阵与变换)

求椭圆2

2

:1164

x y C +=在矩阵

104102A ⎡⎤

⎢⎥

=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

对应的变换作用下所得曲线C '的方程.