1.7.2 定积分在物理中的应用
1.7.2 定积分在物理中的应用
F(x)dx 即可求出变力 F(x)所做的功.
课堂合作探究
问题导学
一、求变速直线运动的路程 活动与探究 1 一质点在直线上从时刻 t=0(s)开始以速度 v=t2-4t+3(m/s)运动, 求点在 t=4 s 时的位置及经过的路程. 思路分析:因为位置决定于位移,所以它是 v(t)在[0,4]上的定积 分,而路程是位移的绝对值之和,所以需要判断在[0,4]上,哪些时间段 的位移为负.
0 .1 0 .1 4 900xdx= 2 x2|0 =24.5(J). 0
F(x)
98
4 900
答案:A
2.在原点 O 有一个带电量为+q 的点电荷,它所产生的电场对周 围电荷有作用力.现有一个单位正电荷从距离为 a 处沿着射线方向 移至距 O 点为 b(a<b)的地方,求电场力做的功. 电场力 F = k· x2 (k 为常数) 解:取电荷移动的射线方向为 x 轴正方向,那么电场力为 F=k·x2 (k 为常数),这是一个变力,在[x,x+Δx]上,显然,W= x2 ·Δx, ∴ W=
200 (N/m). 3
于是 F(x)= 3 x. 故将弹簧拉长 0.4 m 所做的功为 W=
0.4 200 100 2 0.4 x d x= x |0 0 3 3
200
= 3 (J).
16
16
因此将弹簧拉长 0.4 m 所做的功为 3 J.
迁移与应用 1.已知弹簧拉长 0.02 m,需要 98 N 的力,则把弹簧拉长到 0.1 m 所做的功为( ) A.24.5 J B.23.5 J C.22.5 J D.25.0 J 解析:∵ F(x)=kx, ∴ k= x = 0.02=4 900. ∴ F(x)=4 900x. 由变力做功公式,得 W=
1.7.2定积分在物理中的应用教案
1.7.2 定积分在物理中的应用一、教学目标：1. 了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.2．掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。
二、教学重点与难点：1. 定积分的概念及几何意义2. 定积分的基本性质及运算的应用三教学过程：（一）练习1．曲线y = x 2 + 2x 直线x = – 1，x = 1及x 轴所围成图形的面积为（ B ）．A ．38B ． 2C ．34D ．32 2．曲线y = cos x 3(0)2x π≤≤与两个坐标轴所围成图形的面积为（ D ）A ．4B ．2C ．52 D ．33．求抛物线y 2 = x 与x – 2y – 3 = 0所围成的图形的面积．解：如图：由2230y x x y ⎧=⎨--=⎩得A （1，– 1），B （9，3）． 选择x 作积分变量，则所求面积为（二）新课变速直线运动的路程1．物本做变速度直线运动经过的路程s ，等于其速度函数v = v (t ) (v (t )≥0 )在时间区间[a ，b ]上的 定积分 ，即⎰=ba dt t v s )(．2．质点直线运动瞬时速度的变化为v (t ) = – 3sin t ，则 t 1 = 3至t 2 = 5时间内的位移是()dt t ⎰-53sin 3．（只列式子） 3．变速直线运动的物体的速度v (t ) = 5 – t 2，初始位置v (0) = 1，前2s 所走过的路程为 325 ． 例1．教材P58面例3。
练习：P59面1。
变力作功1．如果物体沿恒力F (x )相同的方向移动，那么从位置x = a 到x = b 变力所做的功W = F （b —a ）．2．如果物体沿与变力F (x )相同的方向移动，那么从位置x = a 到x = b 变力所做的功W =⎰b a dx x F )(．例2．教材例4。
练习：1．教材P59面练习22．一物体在力F (x ) =10(02)34(2)x x x ≤≤⎧⎨+>⎩（单位：N ）的作用下沿与力F (x )做功为（ B ） A ．44J B ．46J C ．48J D ．50J3．证明：把质量为m （单位kg ）的物体从地球的表面升高h （单位：m ）处所做的功W = G ·()Mmh k k h +，其中G 是地球引力常数，M 是地球的质量，k 是地球的半径．证明：根据万有引力定律，知道对于两个距离为r ，质量分别为m 1、m 2的质点，它们之间的引力f 为f =G ·122m m r ，其中G 为引力常数． 则当质量为m 物体距离地面高度为x （0≤x ≤h ）时，地心对它有引力f (x ) = G ·2()Mm k x +故该物体从地面升到h 处所做的功为0()h W f x =⎰d x =20()h Mm G k x ⋅+⎰·d x = GMm 201()h k x +⎰ d (k + 1) = GMm 01()|h k x -+ （三）、作业《习案》作业二十。
定积分在物理上的简单应用
v /m/s
30
A
B
20
10
C t/s
oห้องสมุดไป่ตู้
10
20 30
40 50
60
图1.7 3
S 3tdt 30dt 1.5t 90dt
3 2 40 3 2 t 30t 10 t 90t 1350m. 2 0 4 40
10 60
答 汽车在这1min 行驶的路程是 1350m.
• 法二：由定积分的几何意义，直观的可以得出路程 即为如图所示的梯形的面积，即
30 60 s 30 1350 2
练习: 1. 物体以速度 v(t ) 3t 2 2t 3 (m/s) 作直线运动 , 它 在时刻 t 0 (s)到 t 3 (s)这段时间内的位移是( )m (A)9 (B)18 (C)27 (D)36
1.7.2 定积分在物理中的应用
1、变速直线运动的路程
设做变速直线运动的物体运动的速度v=v(t)≥0， 则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为
s v(t )dt
a
b
v
v v(t )
O
a
b
t
v /m/s
例: 一辆汽车的 速 度 时间曲 线 如图 1.7 3所示.求汽车在 这1min 行驶的路程 .
30
A
B
20
10
C t/s
o
10
20 30
40 50
60
图1.7 3
解 由速度 时间曲线可知 : 3t , 0 t 10 ; 10 t 40; vt 30 , 1.5t 90, 40 t 60. 因此汽车在这 1min 行驶的路 程是 :
课件1：1.7.2 定积分在物理中的应用
2、变力所做的功
问题：物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从点移动到点，则变力所做的功为:
例2 如图：在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离水平位置L 米处，求克服弹力所作的功．
解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力与弹簧拉伸（或压缩）的长度成正比．
即：
所以据变力作功公式有
1.7.2定积分在几何中的简单应用
第一章：导数及其应用
例 ．计算下列定积分
0
1
解1:
求两曲线的交点:
8
2
X型求解法
解2:
求两曲线的交点:
间区间[, b]内运动的距离s为
一、变速直线运动的路程
解：由速度－时间曲线可知：
二、变力沿直线所作的功
1、一物体在力(单位:N)的作用下,沿着与力F相同的方向,从处运动到 处(单位:m),求所作的功.
练一练
40
2.一物体沿直线以(t的单位为s,v的单位为m/s)的速度运动,求该物体在3-5s间行进的路程.
所求功为
解
1.7.2定积分在物理中的应用
答案
类型一 求变速直线运动的位移、路程
例1 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速
度v(t)＝7－3t＋12＋5 t (t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止，则在此期 间汽车继续行驶的距离(单位：m)是
A.1＋25ln 5 B.8＋25ln C.4＋24 或 t＝－83(舍去)，
∴汽车行驶距离 s＝ʃ 40(7－3t＋12＋5 t)dt
7t
4 0
3 t2 2
4 0
+25ln(1＋t
)
4 0
＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5.
D.4＋50ln 2
跟踪训练1 一质点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v(t)＝t2－4t＋
3(m/s)运动.求：
(1)在时刻t＝4时，该点的位置；
1234
4.已知作用于某一质点的力 F(x)＝xx＋ ，10， ≤1x≤<x1≤，2 (单位：N)，则力 F 从 x＝0 处运动到 x＝2 处(单位：m)所做的功为___ J. 解析 W＝ʃ 20F(x)dx＝ʃ 10xdx＋ʃ 21(x＋1)dx ＝ 21x210＋ 21x2＋x21 ＝12＋12×22＋2－12×12－1＝3(J).
(1)当v(t)≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用
t2 t1
v
(t)dt求解.
(2)当v(t)<0时，求某一时间段内的位移用
vt2
t1
(t)dt求解，这一时段的路程
是位移的相反数，即路程为－ t2 v (t)dt. t1
做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)
始刹车到停车所行驶的路程为
1.7.2定积分在物理上的应用
1.7.2 定积分在物理中的应用1.通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义,掌握用定积分表示某些物理量．2. 了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，预习导引-------温故才能知新 为课前预习奠基1定积分的概念及其几何意义;（1）定义表达式：nbi i an i=1f (x)dx=lim f ()x ξ→∞∆∑⎰（2）定积分几何意义： ①ba f (x)dx (f (x)0)≥⎰表示y=f(x)与x 轴，x=a,x=b 所围成曲边梯形的面积 ②baf (x)dx (f (x)0)≤⎰表示y=f(x)与x 轴，x=a,x=b 所围成曲边梯形的面积的相反数⎰-==ba a fb F dx x f x f x F b a x f )()()(),()(',],[)(,.2则并且上的连续函数是区间如果一般地微积分基本定理变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 3. 计算有关物理量时应注意：(1) 要充分理解物理量的意义．(2) 要根据图形的边界曲线情况，选择适当的坐标系，一般地，曲边梯形宜采用直角坐标．(3) 要注意积分变量的选取，以便简化计算．4.设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥），则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为21()T T v t dt ⎰。
另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即21()T T v t dt ⎰=12()()S T S T -为了方便起见，还常用()|ba F x 表示()()Fb F a -， 即()()|()()bb a af x dx F x F b F a ==-⎰预习自测---------评价预习效果 为突破难点奠基1．函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，1n 上( ) A ．f (x )的值变化很小B ．f (x )的值变化很大C ．f (x )的值不变化D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小 1.答案: D解析 由求曲边梯形面积的流程中近似代替可知D 正确， 故应选D. 2． dx e ex x⎰-+1)(=（ ）A ．ee 1+B ．2eC ．e2D ．ee 1-2．答案: D 。
高中数学 1.7.2《定积分在物理中的应用》课件 新人教B版选修2-2
这1min 行驶的路程 .
10
Ct/s o 10 20 30 40 50 60
图1.73
h
2
解 由速度时间曲线可: 知v/m/s
3t,
0 t 10; 30 A
B
vt 30,
10 t 40; 20
10
1.5t 90,40t 60.
Ct/s
因此汽车1m 在in行 这驶的路 o 10 20 30 40 50 60
1.7.2 定积分在物理中的应用
h
1
1. 变速直线运动的路程
我们知,作 道变速直线运动 所的 经物 过体 的路
程s.等于其速度 v函 vt数 vt0在时间区
间a,b上的定,积 即s分 abvtd.t
例 3 一辆汽车的 速 v/m/s
度 时间曲 线 如图 30 A
B
1.7 3所示 .求汽车在 20
由 数k是比变 例系力 数. ,得 作 W lk 功 x d 公 1k x2 x 式 l 1k2lJ.
答
0
2
克服弹力所作的1k功l2 J为 .
0
2
h2
5
图1.73
程是 :
S 13 0 td 4 t3 0d 0 t6 0 1 .5 t 9d 0t
0
10
40
3 2t21 00 3t0 1 40 0 3 4t29t0 6 40 0 13m 5.0
答汽车在 1m这 行 inh 驶的路 13程 5 m.0是3
2. 变力作功
一物体在 F单 恒位 :力 N的作用下做,直 如线
果物体沿F着 相与 同力 的方向 s(单 移位 动 :m)了 ,
则力 F所作的W 功 F为 .s
探 究如 果 物 体F在 x的 变作 力用 下 做 直 动,并 且 物 体F沿 x相 着同 与方x向 a移 从动 到 xbab,那 么 如 何 计 Fx算 所变 作力 的?功
1.7.2 定积分在物理中的应用
3
(2)S 1(e ex )dx 1 0
5.一圆柱形蓄水池高为 5 米，底面半径为 3 米，池内盛满了水.问要把池内的水全部吸出， 需做多少功？( 取 3.14，结果保留整数)
解：建立坐标系如图
取 x 为积分变量，x [0,5]
o
x
5
x x
取任一小区间[x, x x],
4 ,t=4s时刻该点距出发点4/3m
3
(2) S 1(t2 4t 3)dt | 3 (t2 4t 3)dt | 4 (t2 4t 3)dt 4
0
1
3
t=4s时刻运动的路程为4
【总结提升】 (1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题 时，将物理问题转化为数学问题是关键． (2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要 先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求 出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则 会出现计算失误．
高中数学 选修2-2
1.7.2 定积分在物理 中的应用
同学们知道吗，作变速直线运动的物体所经过
的路程s,等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间
区间[a,b]上的定积分,即
s
b
a v(t )dt
这节课，我们运用定积分知识来解决物理学中
的一些路程问题.
知识点1 变速直线运动的路程
设做变速直线运动的物体运动的速度v=v(t)≥0，则 此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为
a
【总结提升】
解决变力作功注意以下两个方面： (1)首先要将变力用其方向上的位移表示出来， 这是关键的一步． (2)根据变力作功的公式将其转化为求定积分的 问题．
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定积分在物理中的应用
课前预习导学
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学习目标 1.能够利用定积分求做变速直 线运动的物体的位移和路程; 2.学会利用定积分求变力做功问 题; 3.感受定积分在物理中的应用,加 深对定积分的认识. 重点难点 重点:用定积分求做变速直 线运动的物体的位移和路程; 难点:用定积分求变力做功问题.
������ ������
F(x)dx 即可求出变力 F(x)所做的功.
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问题导学
一、求变速直线运动的路程 活动与探究 1 一质点在直线上从时刻 t=0(s)开始以速度 v=t2-4t+3(m/s)运动, 求点在 t=4 s 时的位置及经过的路程. 思路分析:因为位置决定于位移,所以它是 v(t)在[0,4]上的定积 分,而路程是位移的绝对值之和,所以需要判断在[0,4]上,哪些时间段 的位移为负.
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二、求变力做功 活动与探究 2 由胡克定律知,把弹簧拉长所需要的力与弹簧的伸长量成正比, 现知 2 N 的力能使一个弹簧伸长 3 cm,试求要把弹簧拉伸 0.4 m 所做 的功. 思路分析:先根据已知条件求出比例系数 k,得到变力 F(x)与伸 长量 x 的关系式,然后再用定积分求出功 W.
v(t)dt; v(t)dt;
������ ������
������ ������
(3)若在区间[a,c]上 v(t)≥0,在区间[c,b]上 v(t)<0,则 s=
������ ������
v(t)dt-
v(t)dt.
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2.变力做功 (1)恒力 F 的做功公式 一物体在恒力 F(单位:N)的作用下做直线运动,如果物体沿着与 F 相同的方向移动了 s(单位:m),则力 F 所做的功为 W=Fs. (2)变力 F(x)的做功公式 如果物体在变力 F(x)的作用下做直线运动,并且物体沿着与 F(x) 相同的方向从 x=a 移动到 x=b(a<b),那么变力 F(x)所做的功为
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预习导引
1.变速直线运动的路程 做变速直线运动的物体所经过的路程 s,等于其速度函数 v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分,即 s=
������ ������
v(t)dt.
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预习交流 1
思考:利用定积分求变速直线运动物体的路程和位移时,如何区 分位移和路程? 提示:路程是位移的绝对值和,从时刻 t=a 到时刻 t=b 所经过的 路程: (1)若 v(t)≥0,s= (2)若 v(t)≤0,s=������ ������
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当堂检测
1.物体以速度 v(t)=3t2-2t+3 做直线运动,它在 t=0 到 t=3 这段时间内 的位移是( ) A.9 B.18 C.27 D.36 解析:所求位移 s= 答案:C
3 0
v(t)dt=
3 0
(3t2-2t+3)dt=(t3-t2+3t)|3 =27. 0
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2.物体以速度 v(t)=2-t 做直线运动,则它在 t=1 到 t=3 这段时间的路 程为( ) A.0 B.1
1 0
C.������ F(x)dx=
1 0
1
D.e-1
解析:所做的功 W= 答案:B
(1+ex)dx=(x+ex)|1 =e. 0
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4.如果 1 N 力能拉长弹簧 1 cm,为了将弹簧拉长 6 cm,所耗费的功 为 . 解析:设 F(x)=kx,当 F=1 N 时,x=0.01 m, ∴ k=0.01=100,即 F(x)=100x,于是拉长 6 cm 所耗费的功为 W=
0 .1 0 .1 4 900xdx= 2 x2|0 =24.5(J). 0
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F(x)
98
4 900
答案:A
2.在原点 O 有一个带电量为+q 的点电荷,它所产生的电场对周 围电荷有作用力.现有一个单位正电荷从距离为 a 处沿着射线方向 移至距 O 点为 b(a<b)的地方,求电场力做的功. 电场力 F = k· x2 (k 为常数) 解:取电荷移动的射线方向为 x 轴正方向,那么电场力为 F=k·x2 (k 为常数),这是一个变力,在[x,x+Δx]上,显然,W= x2 ·Δx, ∴ W=
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解:在 t=4 s 时该点的位移为
4 0
(t -4t+3)dt=
2
1 3 2 t 2t 3
+ 3t
4
|4 0
=
4 (m). 3
即在 t=4 s 时该点距出发点3 m. 又∵ v(t)=t2-4t+3=(t-1)(t-3), ∴ 在区间[0,1]及[3,4]上的 v(t)≥0, 在区间[1,3]上,v(t)≤0. ∴ 在 t=4 s 时的路程为 s= =
16
因此将弹簧拉长 0.4 m 所做的功为 3 J.
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迁移与应用 1.已知弹簧拉长 0.02 m,需要 98 N 的力,则把弹簧拉长到 0.1 m 所做的功为( ) A.24.5 J B.23.5 J C.22.5 J D.25.0 J 解析:∵ F(x)=kx, ∴ k= x = 0.02=4 900. ∴ F(x)=4 900x. 由变力做功公式,得 W=
1 0
(t2-4t+3)dt+ (t -4t+3)dt2
3 2 ( ������ -4t 1
2
+ 3)������t +
4 3
4 3
(t2-4t+3)dtFra bibliotek1 0
3 1
(t -4t+3)dt+
(t2-4t+3)dt
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=4(m).
迁移与应用 若某一物体以速度 v(t)=4-t2 做直线运动,求它在 t=1 到 t=4 这段 时间内的路程. 解:当 1≤t≤2 时,v(t)=4-t2≥0; 当 2≤t≤4 时,v(t)≤0, ∴ 物体在 t=1 到 t=4 这段时间内的路程是 s= =
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解:由胡克定律知拉长弹簧所需的力 F(x)=kx,其中 x 为伸长量. ∴ 2=0.03k,得 k=
200 (N/m). 3
于是 F(x)= 3 x. 故将弹簧拉长 0.4 m 所做的功为 W=
0.4 200 100 2 0.4 x d x= x |0 0 3 3
200
= 3 (J).
16
������ ������
F(x)dx.
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预习交流 2
思考:求变力做功问题的关键是什么? 提示:(1)求变力做功,要根据物理学的实际意义,求出变力 F 的表 达式,这是求功的关键. (2)由功的物理意义知,物体在变力 F(x)的作用下,沿力 F(x)的方 向做直线运动,使物体从 x=a 移动到 x=b(a<b).因此,求功之前还应求 出位移的起始位置与终止位置. (3)根据变力做功公式 W=
������ kq dx=kq ������ x2
q
q
kq
1 -x
1 1 b |a =kq a - b
.
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由于力 F 的大小随物体的位置变化而变化,因此将其记为 F(x),F(x)在[a,b]上所做的功 W=
������ ������
F(x)dx.要解决好变力做功问题,必
须熟悉相关的物理知识,正确写出被积函数.
0.06 0
1
F(x)dx=
0.06 0
.06 100xdx=50x2|0 =0.18(J). 0
答案:0.18 J
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5.质点做直线运动,其速度 v(t)=t2-2t+1(单位:m/s).则它在第 2 秒内所 走的路程为 . 解析:由于 v(t)=t2-2t+1≥0,因此它在第 2 秒内所走的路程为
1 C. 2 3 D. 2
解析:当 t∈[1,2]时 v(t)≥0,t∈[2,3]时 v(t)≤0,故路程为
3 1 2 1 3 2
|2-t|dt=
|(2-t)|dt+
(t-2)dt=1.
答案:B
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3.做直线运动的质点在任意位置 x 处,所受的力 F(x)=1+ex,则质点沿 着与 F(x)相同的方向,从点 x1=0 处运动到点 x2=1 处,力 F(x)所做的功 是( ) A.1+e B.e
2 1 2 1
s=
v(t)dt= m
(t -2t+1)dt=
2
1 3 2 t -t 3
+t
2 |1
=
1 (m). 3
1 答案:3
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2 1
v(t)dt+ (4-t )dt1
2
4 v(t) ������t 2 4 2
2 1
(4-t2)dt
1 37
2 = 4t- 3 t 3 |1 − 4t- 3 t 3 |4 = 3. 2
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物体做变速直线运动的速度 v,等于加速度函数 a=a(t)在时间 [a,b]上的定积分;物体做变速直线运动经过的位移 s,等于其速度函 数 v=v(t)在时间区间[a,b]上的定积分.用定积分解决简单的物理问题 时,关键是要结合物理学中的相关内容,将物理意义转化为用定积分 解决.