(完整版)分块矩阵及其应用汇总,推荐文档

分块矩阵及其应用

徐健,数学计算机科学学院

摘要：在高等代数中，分块矩阵是矩阵内容的推广. 一般矩阵元素是数量，

而分块矩阵则是将大矩阵分割成小矩形矩阵，它的元素是每个矩阵块.分块矩阵的引进使得矩阵工具的利用更加便利，解决相关问题更加强有力，所以其应用也更广泛. 本文主要研究分块矩阵及其应用，主要应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明与矩阵秩有关的定理.

关键词：分块矩阵；行列式；方程组；矩阵的秩

On Block Matrixes and its Applications

Xu Jian, School of Mathematics and Computer Science

Abstract In the higher algebra, block matrix is a generalization of matrix content.

In general, matrix elements are numbers. However, the block matrix is a large matrix which is divided into some small rectangular matricies, whose elements are matrix blocks. The introduction of the block matrix makes it more convenient to use matrix, and more powerful to solve relevant problems. So the application of the block matrix is much wider. This paper mainly studies the block matrix and its application in the calculation of determinant, such as solving linear equations, calculating inverse matrix, proving theorem related to the rank of matrix , etc.

Keywords Block matrix; Determinant; System of equations; Rank of a matrix

11 ⎪

1 引 言

我们在高等代数中接触到矩阵后，学习了矩阵的相关性质，但是对于一些复杂高阶矩阵，我们希望能将问题简化. 考虑将矩阵分割为若干块，并将矩阵的部分性质平移至分块矩阵中，这样的处理往往会使问题简化.

定义 1.1 [1] 分块矩阵是把一个大矩阵分割成若干“矩阵的矩阵”，如把 m ⨯ n 矩阵分割为如下形式的矩阵：

⎛A 11

A ⎫ 1n ⎪

A m ⨯n = ⎪

A m 1 A m n

特别地，对于单位矩阵分块：

⎝ ⎭ ⎛E 0 0 ⎫ ⎪ E n ⨯n = 0 0 0 ⎪ 0 E ⎝

n n ⎭ 显然，这里我们认识的矩阵元素不再局限于数字，而是一个整体，这里的

A 所代表的是大矩阵囊括的小矩阵，而小矩阵一般是我们熟知的常见矩阵.

ij

依照以上设想，有关矩阵性质的一些问题,我们可以考虑用分块矩阵的思路来解决.

2.1 矩阵的相关概念

2 分块矩阵

在矩阵的学习中，我们学过一些最基本的概念，比如矩阵的行列式、矩阵 的秩、矩阵的逆、初等变换、初等矩阵等等.事实上，我们发现：分块后的矩阵同样用到这些概念.

a 11 定义 2.1.1

[2]

n 级行列式

a 21

a 12 a 22 a 1n a 2n

等于所有取自不同行不同列的

a n 1 a n 2

a n

n 个元素的乘积a 1j a 2j

a n j

的代数和，这一定义又可写成:

1

2

n

a 11 a 21 a 12

a 22

a 1n

a 2n =

(-1) (

j 1j 2 j n )

a a

a .

a n 1 a n 2

a n

∑

j 1j 2 j n

1j 1 2j 2

n j n

[2]

定义 2.1.2

向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的的秩.所

O I ⎪ ⎪ ⎪

1

谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是矩阵列向量组的秩. 定义 2.1.3 [2] n 级方阵称为可逆的，如果有n 级方阵 B ，使得

A B = A -1 .

B

A = E （这里 E 是n 级单位矩阵），那么

B 就称为 A 的逆矩阵，记为

定义 2.1.4 [3] 对分块矩阵施行下列三种初等变换： (1) 互换分块矩阵的某两行(列)；

(2) 用一个非奇异阵左（右）乘分块矩阵的某一行(列)；

(3) 用一个非零阵左(右)乘分块矩阵的某一行(列)加至另一行(列)上， 分别称上述三种初等行(列)变换为分块矩阵的初等行(列)变换. 定义 2.1.5 [3] m + n 2 ⨯ 2 ⎛I m O ⎫

对 阶单位矩阵作 分块，即I m +n = O I ⎪ ，然后

⎝ n ⎭

对其作相应的初等变换所得到的矩阵称为分块初等矩阵. 分块矩阵具有以下形式：

(1) 分块初等对换阵⎛I n O ；⎫ ⎝ m ⎭

⎛P O ⎫ ⎛I m O ⎫

(2) 分块初等倍乘阵 0 I ⎪ ， ⎪ ；

⎝ n ⎭ (3) 分块初等倍加阵⎛I m R 1 ⎫ O I ⎝ 0 Q ⎭ ，⎛I m O ⎫ ； S I ⎝ n ⎭ ⎝ n ⎭

其中 P , Q 分别是m 阶和n 阶可逆方阵，且R ∈ R m ⨯n ，S ∈ R n ⨯m

为非零阵.

2.2 矩阵的运算性质

矩阵的运算包括加法、乘法、数乘，这里主要讨论矩阵的运算性质： 定义 2.2.1 [4] 矩阵加法：设A = (a ) ， B = (b ) 是两个同型矩阵，

ij sn

ij sn

则矩阵C = (c i j )

= (a i j

+ b i j )

称为 A 和 B 的和，记为C = A + B .元素全为零

的矩阵称为零矩阵，记为O s n ，可简单记为O

,对于矩阵 A 、 B ，有:

(1) A + O = A

(2) A + ( -A ) = 0

(3) A - B = A + ( -B )

(4) ( A + B ) + C = A + ( B + C )

sn

sn