吉林省松原市扶余县第一中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题
(全优试卷)吉林省扶余市高二数学上学期期末考试试题 理1
扶余市第一中学2015—2016学年度上学期期末考试高二数学（理）本试卷分第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分。
共150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题共60分）注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考号用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。
一、选择题（每小题5分，共60分）1. 下列说法中，正确的是A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“存在2,0x R x x ∈->”的否定是：“任意2,0x R x x ∈-≤” C ．命题“p 或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题 D ．已知x R ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件 2. 已知121,,,8a a -成等差数列，1231,,,,4b b b --成等比数列，那么122a ab 的值为 A ．5- B ．5 C ．52-D ． 523. 已知ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222a b c bc =+-，4bc =，则ABC ∆的面积为A. 12B. 1D. 24. 已知不等式()91≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛++y a x y x 对任意正实数y x ,恒成立，则正实数a 的最小值为A. 4B. 1C. 5D. 35. 已知b a ,是实数，则“1=a 且2=b ”是“054222=+--+b a b a ”的A ． 充分而不必要条件B ． 必要而不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件6. 已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为A．10 B. 15C. 10D. 357. 已知双曲线222211x y a a-=-(0)a >，则a 的值为A. 12 C. 138. 已知抛物线:C x y 42=的焦点为F ，直线1)y x =-与C 交于,(A B A 在x 轴上方）两点. 若AF mFB =，则m 的值为B.32C. 2D. 39. 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上有一点A,它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且满足AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,126ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围为 A ．]23,213[- B ．]36,213[- C ．]36,13[- D ．]23,13[-10. 在四棱锥P ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD⊥平面ABCD,AB=PD=a.点E 为侧棱PC 的中点,又作DF⊥PB 交PB 于点F.则PB 与平面EFD 所成角为A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°11. 已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，顶角为120°，则E 的离心率为A ．B ．2C ．D ．12. 已知点P 是双曲线()22221,0,0x y a b a b-=>> 右支上一点，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，I 为12PF F ∆ 的内心，若121212IPF IPF IF F S S S ∆∆∆=+ 成立，则双曲线的离心率为A ．4B ．25C ．2D ．53第II 卷二 填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则其离心率为 ．14. 若抛物线x y 42=上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到ｙ轴的距离为 ． 15. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AB 、CC 1的中点，则异面直线EF 与A 1C 1所成角的大小是_______.16. 若椭圆22221x y a b+=过抛物线28y x =的焦点， 且与双曲线221x y -=有相同的焦点，则该椭圆的标准方程是_______.三.解答题: (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本题满分10分)过椭圆x 216＋y 24＝1内点M (2,1)引一条弦，使弦被M 平分，求此弦所在直线的方程．18. (本题满分12分)中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求△F 1PF 2的面积．19. (本题满分12分)设F 1，F 2分别是椭圆)10(1:222<<=+b by x E 的左、右焦点，过1F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列． （1）求|AB|；（2）若直线l 的斜率为1，求实数b 的值． 20.（本题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且满足2221n n n S a S =-2()n ≥. ⑴ 求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； ⑵ 证明：当2n ≥时，1231113 (232)n S S S S n ++++<.21. (本题满分12分)如图，三棱锥P ﹣ABC 中，PC⊥平面ABC ，PC=3，∠ACB=．D ，E 分别为线段AB ，BC 上的P点，且CD=DE=，CE=2EB=2.（Ⅰ）证明：D E⊥平面PCD（Ⅱ）求锐二面角A﹣PD﹣C的余弦值．22 (本题满分12分)如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=＞＞，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =； （Ⅲ）探究11AB CD+是否是个定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.扶余市第一中学2015—2016学年度上学期期末考试高二数学（理）参考答案1—12 BACAC CBDCD DC13. 2或14. 2 15. 30° 16. 22142x y += 17．解：设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，M (2,1)为AB 的中点．∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又A 、B 两点在椭圆上， 则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16. 两式相减得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0.于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 2y 1＋y 2＝－12，即k AB ＝－12.故所求直线方程为x ＋2y －4＝0.18.解： (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线方程为x 2m 2－y2n 2＝1(a ，b ，m ，n>0，且a>b)，则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝47·13a ＝3·13m ，解得：a ＝7，m ＝3，∴b＝6，n ＝2，∴椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y24＝1.(2)不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则PF 1＋PF 2＝14，PF 1－PF 2＝6，∴PF 1＝10，PF 2＝4，∴cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝45，∴sin ∠F 1PF 2＝35.∴S△F 1PF 2＝12PF 1·PF 2sin ∠F 1PF 2＝12·10·4·35＝12.19. （1）由椭圆定义知|AF 2|＋|AB|＋|BF 2|＝4， 又2|AB|＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB|＝43（2）因为左焦点1(,0)F c -，设l 的方程为y ＝x ＋c，其中c = 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则A ，B 两点坐标满足方程组2221y x c y x b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简，得（1＋b 2）x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0.则2121222212,11c b x x x x b b --+==++． 因为直线AB 的斜率为1，所以21AB x =-．即2143x =-． 则()22221212222282128()449111c b b x x x x b b b --⎛⎫=+-=-⨯= ⎪++⎝⎭+，解得b =20. 解：（1）当2n ≥时，21221nn n n S S S S --=-，112n n n n S S S S ---=1112n n S S --=，从而1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成以1为首项，2为公差的等差数列. (6分)（2）由（1）可知，111(1)221n n n S S =+-⨯=-，121n S n ∴=- ∴当2n ≥时，11111111()(21)(22)2(1)21n S n n n n n n n n n=<=⋅=-----从而123111111111313...1(1)2322231222n S S S S n n n n ++++<+-+-++-<-<-.21. （Ⅰ）由已知条件易得PC⊥DE，CD⊥DE，由线面垂直的判定定理可得； （Ⅱ）以C 为原点，分别以，，的方向为xyz 轴的正方向建立空间直角坐标系，易得，，的坐标，可求平面PAD 的法向量，平面PCD 的法向量可取，由向量的夹角公式可得． 试题解析：（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABC ，DE ？平面ABC ，∴PC⊥DE， ∵CE=2，CD=DE=，∴△CDE 为等腰直角三角形， ∴CD⊥DE，∵PC∩CD=C，DE 垂直于平面PCD 内的两条相交直线， ∴DE⊥平面PCD（Ⅱ）由（Ⅰ）知△CDE 为等腰直角三角形，∠DCE=，过点D 作DF 垂直CE 于F ，易知DF=FC=FE=1，又由已知EB=1，故FB=2， 由∠ACB=得DF∥AC，，故AC=DF=，以C 为原点，分别以，，的方向为xyz 轴的正方向建立空间直角坐标系，则C （0，0，0），P （0，0，3），A （，0，0），E （0，2，0），D （1，1，0）， ∴=（1，﹣1，0），=（﹣1，﹣1，3），=（，﹣1，0），设平面PAD 的法向量=（x ，y ，z ），由，故可取=（2，1，1），由（Ⅰ）知DE⊥平面PCD ，故平面PCD 的法向量可取=（1，﹣1，0），∴两法向量夹角的余弦值cos ＜，＞==∴二面角A ﹣PD ﹣C 的余弦值为．22. 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，由题意知：c a =2a+2c=4+1）所以，c=2，又2a =22b c +，因此b=2。
2014-2015年吉林省吉林一中高二第一学期数学期末试卷(理科)及 解析
=1 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在椭圆上，当 • =（ ） C．2 D． ）
12． （3 分）设 U=R，A={x|mx2+8mx+21＞0}，∁UA=∅，则 m 的取值范围是（ A．0≤m＜ B．m＞ 或 m=0 C．m≤0 D． m≤ 0 或 m＞
二、填空题 13． （3 分）设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a5=5a3，则 = ． ．
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（Ⅱ）求数列{
}的前 n 项和 Sn．
Байду номын сангаас
21．P 为椭圆
+
=1（a＞b＞0）上一点，F1 为它的一个焦点，求证：以 PF1
为直径的圆与以长轴为直径的圆相切． 22．设 a∈R，函数 f（x）=（x2﹣ax﹣a）ex． （Ⅰ）若 a=1，求曲线 y=f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （Ⅱ）求函数 f（x）在[﹣2，2]上的最小值．
（I）求数列{an}的通项公式： （II）求 ﹣ 的值：
（III）当 n≥2 时，证明： 19．已知函数 f（x）=ex﹣ln（x+1） （1）求 f（x）最小值； （2）已知：0≤x1＜x2，求证： ；
．
（3）f（x）图象上三点 A、B、C，它们对应横坐标为 x1，x2，x3，且 x1，x2，x3 为公差为 1 等差数列，且均大于 0，比较|AB|和|BC|长大小． 20．设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且 a1=b1=1，a3+b3=9， a5+b2=11． （Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；
【分析】根据 A、B 两点坐标可求出|AB|=2，而动点 M 到 A、B 两点距离之和为 也是 2，根据椭圆的定义可知点 M 的轨迹不是椭圆，从而得到结论． 【解答】解：∵A（﹣1，0） ，B（1，0） ， ∴|AB|=2， ∵而动点 M 到 A、B 两点距离之和为也是 2，2=2， ∴点 P 的轨迹不是椭圆， ∴动点 M 的轨迹是线段 AB． 故选：B．
理科答案
2014——2015学年高二上学期期末考试数学参考答案（理科）一、ACCDB DBCBD AD二、13. 34- 14.2 15. 2343或 16. ①② 三、17.解（1）易知：A = 2 半周期π=32T ∴T = 6π 即πωπ62= （0>ω） 从而：31=ω 设12sin()3y x ϕ=+ 令x = 0 有2sin 1ϕ= 又||2πϕ< ∴6πϕ= ∴所求函数解析式为)631sin(2π+=x y ……………5分 （2）令22631πππ+=+k x ，即ππ+=k x 6时， )631sin(2π+=x y 有最大值2，故当{}z k k x x ∈+=,6|ππ时， )631sin(2π+=x y 取最大值2 . ……10分 18.解:(1)在△ABC 中,由,可得bsinA=asinB,又由bsinA=3csinB,可得a=3c,又a=3,故c=1.由b 2=a 2+c 2-2accosB,cosB=,可得b=.…………6分(2)由cos B=,得sin B=,进而得cos2B= 2cos 2B-1= - ,sin2B=2sinBcosB=.所以sin =sin2Bcos -cos2Bsin .…………12分19.解:(1)由|a |2=(sinx)2+(sinx)2=4sin 2x, |b |2=(cosx)2+(sinx)2=1,及|a |=|b |,得4sin 2x=1.又x ∈,从而sinx=,所以x=. …………6分(2)f(x)=a ·b =sinx ·cosx+sin 2x =sin2x-cos2x+ =sin ,当x=时,sin 取最大值1.所以f(x)的最大值为. …………12分20.解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >且4212211413d q d q ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，…………………………………………………………………1分 解得2d =，2q =．……………………………………………………………2分 所以1(1)21n a n d n =+-=-，………………………………………………3分 112n n n b q --==．…………………………………………………………………4分 （Ⅱ）1212n n n a n b --=．……………………………………………………………5分1111212221212n n n ----=+⨯-- 12362n n -+=-．………………………………………………………12分 21.解法1：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，则ab=9000……① 广告的高为a+20，宽为2b+25，其中a ＞0，b ＞0．广告的面积S ＝(a+20)(2b+25)＝2ab+40b+25a+500＝18500+25a+40b …………6分≥18500+2b a 4025∙=18500+.245001000=ab当且仅当25a ＝40b 时等号成立，此时b =a 85，代入①式得a=120， 从而b=75．即当a =120，b =75时，S 取得最小值24500．故广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小．…12分解法2：设广告的高为宽分别为x cm ，y cm ，则每栏的高和宽分别为x －20，,225-y 其中x ＞20，y ＞25两栏面积之和为2(x －20)18000225=-y ，由此得y=,252018000+-x 广告的面积S=xy=x(252018000+-x )＝252018000+-x x ， 整理得S=.18500)20(2520360000+-+-x x …………6分 因为x －20＞0，所以S ≥2.2450018500)20(2520360000=+-⨯-x x 当且仅当)20(2520360000-=-x x 时等号成立，此时有(x －20)2＝14400(x ＞20)，解得x=140，代入y=2018000-x +25， 得y ＝175，即当x=140，y ＝175时，S 取得最小值24500 故当广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小．答：画面高为88cm ，宽为55cm 时，能使所用纸张面积最小． ……12分22.解（1）由题意得：3=a ，半焦距2=c ，则1=b ，所以椭圆C 的方程为：1322=+y x ， …………4分 “伴随圆”方程为422=+y x . …………6分（2）设过点P 且与椭圆有一个交点的直线为：m kx y +=，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=1322y x m kx y ，整理得0)33(6)31(222=-+++m k m x x k ，所以0)33)(31(4)6(222=-+-=∆m k km ，化简整理得2231m k =+ ① …………8分 又因为直线截椭圆C 的“伴随圆”所得的弦长为22，则有22122222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-k m 化简得 22)1(2m k =+ ②联立①②解得12=k ，42=m ，0<m ，所以2-=m…………12分。
试题精选_吉林省松原市扶余县第一中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学(理)调研试卷_精校完美版
吉林省松原市扶余县第一中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学（理）试题2．已知c ax x f +=2)(且2)1(='f ，则a 的值为（ ）． A ．1 B ．2 C ．1- D ．03．已知k j i ,,为空间两两垂直的单位向量，,23k j i a-+=,2k j i b +-=则=⋅b a 35（ ）．A ．15- B. 5- C ．1- D ．3-4．以双曲线19422=-y x 的左顶点为焦点的抛物线的标准方程是（ ）． A ．x y 42= B ． x y 162= C ．x y 82= D ． x y 82-= 5．已知)(x f 的图象如图所示，则下列数值按从小到大的排列顺序正确的是（ ）．A ．)1(f '，)3(f '，)0(f ，13)1()3(--f fB ．)0(f ， )3(f '， 13)1()3(--f f ，)1(f 'C ．13)1()3(--f f ，)3(f '，)1(f '， )0(fD ．)0(f ，13)1()3(--f f ，)3(f '，)1(f '6．在三棱柱111C B A ABC -中，N M ,分别是AC BB ,1中点，设c AA b AC a AB===→→→1,,则→NM =（ ）．A ．)(21b c a -+→B ．)(21b c a +-→C ．)(21b c a --→D ．)(21b c a++→ 7.在长方体1111D C B A ABCD -中，C B 1和D C 1与底面所成角分别为 30和45，11=AA ，则1A 到截面11D AB 的距离为 （ ）．A ．38B ．34C ．77D ．7218.在平行六面体1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 是矩形，,5,3,41===AA AD AB6011=∠=∠DAA BAA 则||1AC=（ ）． A. 95 B.59 C. 85 D. 589．已知B A ,在抛物线)0(22>=p px y 上，O 为坐标原点，如果||||OB OA =且AOB ∆的重心恰好是此抛物线的焦点F ,则AB 直线的方程是（ ）．A.0=-p xB. 034=-p xC. 052=-p xD. 052=-p x 10.若函数a xax x f +-=2)(在),2(+∞是增函数，则a 的取值范围是（ ）． A ．),12(+∞-B ．),12[+∞-C ．),8(+∞-D ．),8[+∞-11.已知ABC ∆为等边三角形，椭圆D 与双曲线E 均以B A ,为焦点，且都经过线段BC 的中点M ，则椭圆D 与双曲线E 的离心率之积为（ ）．A ． 4B ．2C ．32D ．312.过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右顶点A 作斜率为1-的直线与椭圆的另一个交点为M ,与y 轴的交点为B ,若||||MB AM =则椭圆的离心率为（ ）．A ．26 B ．32 C ．36 D 31．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.13．已知函数)(x f y =的图象在点))1(,1(f M 处切线方程为121+-=x y ，则)1()1(f f '+= ．14．已知双曲线:C )0,0(12222>>=-b a by a x 离心率为2，它的一个顶点到较近的焦点的距离为1，则该双曲线的渐近线方程为 ． 15．曲线x ey 21=在点),4(2e 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 ．16．已知)(x f 在定义域R 是偶函数，0)1(=f ，当0>x 时有0)()(>+'x f x f x 则0)(2>x f x 的解集为 ．三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分） 已知)2,1,1(-=a（Ⅰ）求与a 方向相同的单位向量b ；（Ⅱ）若a 与单位向量),,0(n m c =垂直，求n m , 18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥ABC S -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，90=∠BAC ，O 为BC 的中点．（Ⅰ）证明：⊥SO 平面ABC ； （Ⅱ）求二面角B SC A --的余弦值． 19．（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 底面ABCD ，2,1===AD AB PA ，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动.（Ⅰ）点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）证明：无论点E 在边BC 的何处，都有AF PE ⊥； （Ⅲ）当BE 等于何值时，PA 与平面PDE 所成角的大小为45．20．（本小题满分12分） 设函数2)32ln()(x x x f ++=． （Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）求)(x f 在区间]1,0[上的最大值和最小值．PABCDFE SBACO21．（本小题满分12分）已知函数1)(+-=ax e x f x （a 是常数）在0=x 处的切线斜率为-1． （Ⅰ）求函数)(x f 的极值； （Ⅱ）当0>x 时，证明2x e x >．22．（本小题满分12分)已知点C 为圆8)1(22=++y x 的圆心，N 是圆上的动点， 点H 在圆的半径CN 上，且有点)0,1(F 和FN 上的点M ， 满足→→→→==⋅FM FN FN MH 2,0．（Ⅰ）当点N 在圆上运动时，求点H 的轨迹E 方程；（Ⅱ）设曲线E 与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别B A ,，经过点)2,0(且斜率为k 的直线l 与曲线E 有两个不同的交点P 和Q ，是否存在常数k ，使得向量→→+OQ OP 与→AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．18. 证明：（Ⅰ）由题设AB AC SB SC ====SA ，连结OA ，ABC △为等腰直角三角形，所以2OA OB OC SA ===，且A O B C ⊥，又S B C △为等腰三角形，故SO BC ⊥，且SO SA =，从而222OA SO SA +-．所以S O A △为直角三角形，SO AO ⊥．又AO BO O =．所以SO ⊥平面ABC ．（Ⅱ）解法一：取SC 中点M ，连结AM OM ，，由（Ⅰ）知S O O C S A A ==，，得O M S C A M S ⊥⊥，．OMA ∠∴为二面角A SC B --的平面角．平面由AO BC AO SO SO BC O ⊥⊥=，，得AO ⊥SBC ．所以AO OM ⊥，又AM =，故sin AO AMO AM ∠===．所以二面角A SC B --的余弦值为3．解法二：以O 为坐标原点，射线OB OA ，分别为x 轴、y 轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系O xyz -．设(100)B ，，，则(100)(010)(001)C A S -，，，，，，，，．SC 的中点11022M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，111101(101)2222MO MA SC ⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，．00MO SC MA SC ==，∴··．故,MO SC MA SC MO MA ⊥⊥>，，<等于二面角A SC B --的平面角．3cos MO MA MO MA MO MA<>==，··， 所以二面角A SC B --的余弦值为3． 19.(Ⅰ)当点E 为BC 的中点时，EF ∥平面PAC . 因为在PBC ∆中，F E ,分别为PB BC ,的中点，所以EF ∥PC ，又⊄EF 平面PAC ，而⊂PC 平面PAC ，所以，EF ∥平面PAC （Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，则)0,0,2(),21,21,0(),0,1,0(),1,0,0(D F B P 设)20(≤≤=x x BE 则AFPE x x E ⊥∴=⋅-=⋅0)21,21,0()1,1,();0,1,((Ⅲ)设平面的法向量为)1,,(n m =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0PD m 得)1,21,21(x-=，而)1,0,0(=，依题意PA 与平面PDE 所成角为45，所以2245sin =，所以221)21(4112=+-+x得32-=x 故32-=BE 时，PA 与平面PDE 所成角为 4520.函数)(x f 的定义域为),23(+∞-………………………………1分 32)21)(1(42322)(+++=++='x x x x x x f ，………………………………4分 当0)(>'x f 时，解得123-<<-x 或21->x ；………………5分当0)(<'x f 时，解得211-<<-x ………………………………6分所以函数)(x f 在)1,23(--，),21(+∞-上是增函数，在)21,1(--上是减函数…………8分（Ⅱ）因为)(x f 在]1,0[上是增函数，所以3ln )0()(,15ln )1()(min max ==+==f x f f x f ……………………12分21. a e x f x -=')(，因为1)0(-='f ，所以10-=-a e ，即2=a（Ⅰ）2)(-='x e x f ，当0)(='x f 时2ln =xx 的变化，引起)()(x f x f 、'的变化情况如下表2ln 23)2(ln )(-==极小值x f （如果不列表，需先解导数值正负的不等式，得出x 的取值范围，得出单调性，再得极值也可）（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）知，2ln 23)2(ln )(-=≥f x f ，即2ln 2312->+-x e x所以02ln 222>->-x e x.令)0(,)(2>-=x x e x g x ，所以02)(>-='x e x g x，即)(x g 在),0(+∞上是增函数所以01)0()(>=>g x g ，即x e x2>法二：)0(,)(2>-=x x e x g x ，x e x g x 2)(-='，令x e x g x h x2)()(-='=，所以2)(-='x e x h ，当02)(>-='x e x h 时，2ln >x ，当02)(<-='x e x h 时，2ln <x所以)(x h 在)2ln ,0(上是减函数，在),2(ln +∞上是增函数，所以02ln 2)2(ln )(>-=>h x h ，所以02)(>-='x e x g x ，即)(x g )(x g 在),0(+∞上是增函数，所以01)0()(>=>g x g ，即x e x 2>22.（Ⅰ）由题意知MH 是线段FN 的垂直平分线，于是2||22||||||||||=>=+=+=CA HA HC HN HC CN所以点H 的轨迹是以点A C ,为焦点的椭圆，且1,2==c a ，所以12=b故点的轨迹方程是：1222=+y x （Ⅱ）由已知知直线的斜率必存在，设直线l 的方程为：2+=kx y ，将其代入椭圆方程。
吉林省扶余市高二上册期末数学试题与答案
吉林省扶余市高二上册期末数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求. 1． 某班有学生52人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知座位号3号，29号，42号的同学都在样本中，那么样本中还有一位同学的座位号是( )A ．16B ．19C ．24D ．362. 24化为二进制的数为（ ） A ．)2(110110B ．)2(00011 C ．)2(10100 D ．)2(110003. 在对普通高中学生某项身体素质的测试中，测试结果ξ服从正态分布),1(2σN (0>σ)，若ξ在内)2,0(取值的概率为6.0，则ξ在)1,0(内取值的概率 ( ) A ．4.0 B ．2.0 C ．6.0 D ．3.04．下列说法不正确的是（ ）A ．随机变量,ξη满足23ηξ=+，则其方差的关系为()4()D D ηξ=B ．回归分析中，2R 的值越小，说明残差平方和越小C ．残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域宽度越窄，回归方程的预报精度越高D ．回归直线一定过样本点中心5．执行如图所示的程序框图,则输出n 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．86.随机变量X 的分布列为)3,2,1()21()(===k a k X P k 则a 的值为( ) A ．1 B ．78 C ．74D ．767.两名实习生每人各加工一个零件，加工为一等品的概率分别为43,32，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一件是一等品的概率为（ ）A.21B.125 C ．41 D.618.在正方形ABCD 内随机生成个m 点，其中在正方形ABCD 内切圆内的点共有n 个，利用随机模拟的方法，估计圆周率π的近似值为（ ）A.m nB.m n 2 C ．m n 4 D.m n69.若22nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是第（ ）项 A ．4 B ．3 C ．2 D ．110.掷两枚均匀的大小不同的骰子，记“两颗骰子的点数和为8”为事件A ，“小骰子出现的点数小于大骰子出现的点数”为事件B ，则)|(B A P ,)|(A B P 分别为（ ）A ．52,152B ．53,143C ．51,31 D ．154,5411. 在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位男生，2位女生，如果2位女生不能连着出场，且男生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为（ ） A.12 B.24 C ．36 D.6012.设)0(,,>m m b a 为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为)(mod m b a =，若191919331922191190192...222C C C C C a -+-+-=，)3(mod b a =，则b 的值可以是（ ）A.2011B.2017 C ．2018 D.2020二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.13．设X 为随机变量，)31,(~n B X ，若随机变量X 的数学期望2)(=X E ,则)(X D =_______． 14．《九章算术》是中国古代的数学专著，其中记载：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。
5—16学年上学期高二期末考试数学(理)试题(附答案)
扶余市第一中学2015—2016学年度上学期期末考试高二数学（理）本试卷分第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分。
共150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题共60分）注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考号用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。
一、选择题（每小题5分，共60分） 1. 下列说法中，正确的是A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“存在2,0x R x x ∈->”的否定是：“任意2,0x R x x ∈-≤”C ．命题“p 或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D ．已知x R ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件2. 已知121,,,8a a -成等差数列，1231,,,,4b b b --成等比数列，那么122a ab 的值为 A ．5- B ．5 C ．52-D ． 523. 已知ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222a b c bc =+-，4bc =，则ABC ∆的面积为A.12B. 1C.D. 24. 已知不等式()91≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++y a x y x 对任意正实数y x ,恒成立，则正实数a 的最小值为A. 4B. 1C. 5D. 35. 已知b a ,是实数，则“1=a 且2=b ”是“054222=+--+b a b a ”的 A ． 充分而不必要条件 B ． 必要而不充分条件 C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件6. 已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为A B. 15 C. D. 357. 已知双曲线222211x y a a-=-(0)a >a 的值为A.12B.C.13D.8. 已知抛物线:C x y 42=的焦点为F ，直线1)y x =-与C 交于,(A B A 在x 轴上方）两点. 若AF mFB =，则m 的值为A.B.32C. 2D. 39. 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上有一点A,它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且满足AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,126ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围为 A ．]23,213[- B ．]36,213[- C ．]36,13[- D ．]23,13[-10. 在四棱锥P ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥平面ABCD,AB=PD=a.点E 为侧棱PC 的中点,又作DF ⊥PB 交PB 于点F.则PB 与平面EFD 所成角为 A. 30° B. 45° C. 60°D. 90°11. 已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，顶角为120°，则E 的离心率为 A ．B ．2C ．D ．12. 已知点P 是双曲线()22221,0,0x y a b a b-=>> 右支上一点，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，I 为12PF F ∆ 的内心，若121212IPF IPF IF F S S S ∆∆∆=+ 成立，则双曲线的离心率为 A ．4 B ．25C ．2D ．53第II 卷二 填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则其离心率为 ．14. 若抛物线x y 42=上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到ｙ轴的距离为 ． 15. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AB 、CC 1的中点，则异面直线EF 与A 1C 1所成角的大小是_______.16. 若椭圆22221x y a b+=过抛物线28y x =的焦点， 且与双曲线221x y -=有相同的焦点，则该椭圆的标准方程是_______.三.解答题: (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本题满分10分)过椭圆x 216＋y 24＝1内点M (2,1)引一条弦，使弦被M 平分，求此弦所在直线的方程．18. (本题满分12分)中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求△F 1PF 2的面积．19. (本题满分12分)设F 1，F 2分别是椭圆)10(1:222<<=+b by x E 的左、右焦点，过1F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列． （1）求|AB|；（2）若直线l 的斜率为1，求实数b 的值． 20.（本题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且满足2221n n n S a S =-2()n ≥. ⑴ 求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； ⑵ 证明：当2n ≥时，1231113 (232)n S S S S n ++++<. 21. (本题满分12分)如图，三棱锥P ﹣ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC=3，∠ACB=．D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2.（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PCD（Ⅱ）求锐二面角A ﹣PD ﹣C 的余弦值．B22 (本题满分12分)如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=＞＞的离心率为2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =； （Ⅲ）探究11AB CD+是否是个定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.扶余市第一中学2015—2016学年度上学期期末考试高二数学（理）参考答案1—12BACAC CBDCD DC13. 2或14. 2 15. 30° 16. 22142x y += 17．解：设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，M (2,1)为AB 的中点． ∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又A 、B 两点在椭圆上，则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16. 两式相减得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0.于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 2y 1＋y 2＝－12，即k AB ＝－12.故所求直线方程为x ＋2y －4＝0.18.解： (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线方程为x 2m 2－y 2n 2＝1(a ，b ，m ，n>0，且a>b)，则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝47·13a ＝3·13m ，解得：a ＝7，m ＝3，∴b ＝6，n ＝2， ∴椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.(2)不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则PF 1＋PF 2＝14，PF 1－PF 2＝6，∴PF 1＝10，PF 2＝4，∴cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝45，∴sin ∠F 1PF 2＝35.∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2sin ∠F 1PF 2＝12·10·4·35＝12.19. （1）由椭圆定义知|AF 2|＋|AB|＋|BF 2|＝4， 又2|AB|＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB|＝43（2）因为左焦点1(,0)F c -，设l 的方程为y ＝x ＋c，其中c 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则A ，B 两点坐标满足方程组2221y x c y x b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简，得（1＋b 2）x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0.则2121222212,11c b x x x x b b --+==++． 因为直线AB 的斜率为1，所以21AB x =-．即2143x =-． 则()22221212222282128()449111c b b x x x x b b b --⎛⎫=+-=-⨯= ⎪++⎝⎭+，解得2b =．20. 解：（1）当2n ≥时，21221nn n n S S S S --=-，112n n n n S S S S ---=1112n n S S --=，从而1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成以1为首项，2为公差的等差数列. (6分)（2）由（1）可知，111(1)221n n n S S =+-⨯=-，121n S n ∴=- ∴当2n ≥时，11111111()(21)(22)2(1)21n S n n n n n n n n n=<=⋅=----- 从而123111111111313...1(1)2322231222n S S S S n n n n ++++<+-+-++-<-<-.21. （Ⅰ）由已知条件易得PC ⊥DE ，CD ⊥DE ，由线面垂直的判定定理可得； （Ⅱ）以C 为原点，分别以，，的方向为xyz 轴的正方向建立空间直角坐标系，易得，，的坐标，可求平面PAD 的法向量，平面PCD 的法向量可取，由向量的夹角公式可得．试题解析：（Ⅰ）证明：∵PC ⊥平面ABC ，DE ？平面ABC ，∴PC ⊥DE ， ∵CE=2，CD=DE=，∴△CDE 为等腰直角三角形，∴CD ⊥DE ，∵PC∩CD=C ，DE 垂直于平面PCD 内的两条相交直线， ∴DE ⊥平面PCD（Ⅱ）由（Ⅰ）知△CDE 为等腰直角三角形，∠DCE=，过点D 作DF 垂直CE 于F ，易知DF=FC=FE=1，又由已知EB=1，故FB=2，由∠ACB=得DF ∥AC ，，故AC=DF=，以C 为原点，分别以，，的方向为xyz 轴的正方向建立空间直角坐标系，则C （0，0，0），P （0，0，3），A （，0，0），E （0，2，0），D （1，1，0）， ∴=（1，﹣1，0），=（﹣1，﹣1，3），=（，﹣1，0），设平面PAD 的法向量=（x ，y ，z ），由，故可取=（2，1，1），由（Ⅰ）知DE ⊥平面PCD ，故平面PCD 的法向量可取=（1，﹣1，0），∴两法向量夹角的余弦值cos ＜，＞==∴二面角A ﹣PD ﹣C 的余弦值为．22. 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，由题意知：2c a，2a+2c=4）所以c=2，又2a =22b c +，因此b=2。
吉林省扶余市第一中学2015-2016学年高二上学期期末考试理数试题(原卷版)
吉林省扶余市第一中学2015-2016学年高二上学期期末考试理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 下列说法中，正确的是A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“存在2,0x R x x ∈->”的否定是：“任意2,0x R x x ∈-≤”C ．命题“p 或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D ．已知x R ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件2. 已知121,,,8a a -成等差数列，1231,,,,4b b b --成等比数列，那么122a a b 的值为 A ．5- B ．5 C ．52- D ． 523. 已知ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222a b c bc =+-，4bc =，则ABC ∆的面积为 A. 12 B. 1C. D. 24. 已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++≥⎪⎝⎭ 对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为 A. 4 B. 1C. 5D. 3 5. 已知b a ,是实数，则“1=a 且2=b ”是“054222=+--+b a b a ”的A ． 充分而不必要条件B ． 必要而不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件6. 已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为AB. 15C. D. 357. 已知双曲线222211x y a a -=-(0)a >，则a 的值为A. 12B.C. 13D.8. 已知抛物线:C x y 42=的焦点为F ，直线1)y x =-与C 交于,(A B A 在x 轴上方）两点. 若AF mFB =，则m 的值为A. B. 32 C. 2 D. 39. 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上有一点A,它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且满足AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,126ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围为 A ．]23,213[- B ．]36,213[- C ．]36,13[- D ．]23,13[- 10. 在四棱锥P ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥平面ABCD,AB=PD=a.点E 为侧棱PC 的中点,又作DF ⊥PB 交PB 于点F.则PB 与平面EFD 所成角为A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°11. 已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，顶角为120°，则E 的离心率为A ．B ．2C ．D ．12. 已知点P 是双曲线()22221,0,0x y a b a b-=>> 右支上一点，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，I 为12PF F ∆ 的内心，若121212IPF IPF IF F S S S ∆∆∆=+成立，则双曲线的离心率为 A ．4 B ．25 C ．2 D ．53第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则其离心率为 ．14. 若抛物线x y 42=上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到ｙ轴的距离为 ．15. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AB 、CC 1的中点，则异面直线EF 与A 1C 1所成角的大小是_______.16. 若椭圆22221x y a b+=过抛物线28y x =的焦点， 且与双曲线221x y -=有相同的焦点，则该椭圆的标准方程是_______.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. (本题满分10分) 过椭圆221164x y +=内点M(2,1)引一条弦，使弦被M 平分，求此弦所在直线的方程． 18. (本题满分12分)中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求△F 1PF 2的面积．19. (本题满分12分)设F 1，F 2分别是椭圆)10(1:222<<=+b b y x E 的左、右焦点，过1F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列．（1）求|AB|；（2）若直线l 的斜率为1，求实数b 的值．20.（本题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且满足2221n n n S a S =-2()n ≥. ⑴ 求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；⑵ 证明：当2n ≥时，1231113 (232)n S S S S n ++++<. 21.如图，三棱锥P ﹣ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC=3，∠ACB=．D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2.（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PCD（Ⅱ）求锐二面角A ﹣PD ﹣C 的余弦值．22 (本题满分12分)如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=＞＞，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为1)+.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =； （Ⅲ）探究11AB CD+是否是个定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.：。
(全优试卷)吉林省松原市高二数学上学期期末考试试题 理
吉林油田高级中学2015-2016学年度上学期期末考试高二数学试题（理科）（考试时间：120分钟，满分：150分 ）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：(本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.设01<<+=a b a b 且，则下列四数中最大的是 A ．22b a +B ．2abC ．aD ．21 2. 已知向量(2,1,1),(2,4,)a x x b k =-+= ，若a 与b 共线，则A.0k = B ．1k = C ．2k = D ．4k = 3.在ABC ∆中，a b c ，，分别为角A B C ，，所对的边，若2cos a b C =，则此三角形一定是 A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形 4. “1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.椭圆2212516x y +=上一点P 到其一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为A ．2B ．7C ．3D ．56.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若242,10S S ==，则6S 等于 A ．12 B ．18 C ．24 D ．427. 已知点(,)P x y 在不等式组2010220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域内运动，则z x y =- 的取值范围是A ．[－2，－1]B ．[－2,1]C ．[－1,2]D ．[1,2]8. 设0,0a b >>.是3a 与3b的等比中项，则ab 的最大值为A ．8B ．4C ．1D.149.抛物线28y x =-中，以(1,1)-为中点的弦的方程是A .430x y ++=B ．430x y ++=C ．430x y +-=D ．430x y --=10. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1234,2,a a a 成等差数列．若11a =，则4S 等于A ．7B ．8C ．15D ．1611. 如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。
吉林省松原市扶余县第一中学2014-2015学年高二上学期9月月考数学(理)试题
吉林省松原市扶余县第一中学2014-2015学年高二上学期9月月考数学（理）试题本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
考试结束后，只交答题纸和答题卡，试题自己保留。
满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷 （选择题60分）注意事项1．答题前，考生在答题纸和答题卡上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的班级、姓名、考号填写清楚。
请认真核准考号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求. 1．若R x ∈则“2=x ”是“0)2)(1(=--x x ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．椭圆122=+my x 的焦点在y 轴上，焦距是短轴长的两倍，则m 的值为（ ） A ．51 B ．21 C ．41D ．4 3．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是 （ ）A ．51 B.21C ．43 D ．334．若圆422=+y x 上每个点的横坐标不变．纵坐标缩短为原来的13，则所得曲线的方程是（ ）A ．112422=+y x B ． 136422=+y x C ．149422=+y x D ．143622=+y x 5．以双曲线19422=-y x 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程是( ) A ．x y 42= B ． x y 162= C ．x y 82= D ． x y 82-=6．方程02=+ny mx 与)0(122>>=+n m ny mx 的曲线在同一坐标系中的图象是（ ）7.已知命题p:若实数满足022=+y x ,则y x ,全为0；命题q:若ba b a 11<>则，下列为真命 题的是（ ）A. p ∧qB. p ∨qC.┐pD. (┐p)∧(┐q)8.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F,右顶点为A,点B 在椭圆上,且轴x BF ⊥,直线AB 交y 轴于点P.若→→=PB AP 2,则椭圆的离心率为（ ） ABC ．13D ．129．若双曲线的顶点为椭圆1222=+y x 长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是（ ）A.122=-y xB.122=-x yC.222=-y xD.222=-x y10.已知命题p ：存在实数m 使01≤+m ，命题q ：对任意210x R x mx ∈++>都有，若p 且q 为假命题，则实数m 的取值范围为（ ）． A ．]2,(--∞B ．),2[+∞C ．),1(]2,(+∞-⋃--∞D ．]2,2[-11.过双曲线)0(12222>>=-a b by a x 左焦点)0)(0,(>-c c F 作圆222a y x =+的切线，切点为E ，延长FE交抛物线cx y 42=于点P ，O 是坐标原点，若)(21→→→+=OP OF OE 则双曲线的离心率为（ ）A ．233+B ．231+C ． 25D ．251+12.1F 为双曲线C ：116922=-y x 的左焦点，双曲线C 上的点i P 与)3,2,1(7=-i P i 关于y 轴对称， ||||||||||||161514131211的值是则F P F P F P F P F P F p ---++ ( )A ．9B ．16C ．18D ．27F 1第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.13．命题“01,2<+-∈∃ax x R x 使”是真命题，则a 的取值范围是 ． 14．椭圆122=+ny x 与直线x y -=1交于N M ,两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22则n 的值是 ． 15．过抛物线x y 42=的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则||AB 等于 ．16．已知三个数8,,2m 构成一个等比数列，则圆锥曲线1222=+y m x 离心率为 ． 三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知双曲线方程是81922-=-y x .求它的实轴和虚轴的长、焦点坐标、离心率和渐近线方程.18．（本小题满分12分） 求下列各曲线的标准方程.（Ⅰ）已知椭圆的两个焦点分别是)0,2(),0,2(-，并且经过点()23,25-. （Ⅱ）已知抛物线焦点在x 轴上，焦点到准线的距离为6.19．（本小题满分12分）已知c ＞0，设命题p ：函数x c y =为减函数，命题q ：当x ∈[12，2]时，函数c x x x f 11)(>+=恒成立．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求c 的取值范围．20．（本小题满分12分）已知p:3|2|≤-x ,q:)0(01222>≤-+-m m x x ,若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知圆C 方程为12)3(22=+-y x ，定点)0,3(-A ，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和直线CP 相交于点Q ．（Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹E 的方程．（Ⅱ）过点C 倾斜角为 30的直线交曲线E 于A 、B 两点，求||AB ．1~12 AABCC ABDDC DC13. (理)22-<>a a 或 (文)012 2>+-∈∀x x R x 14.2 15．8 16.322或 17.（本小题10分）解：双曲线标准方程为198122=-x y实轴长：18，虚轴长为6，焦点坐标（0，103）、（0，-103） 离心率：310=e ，渐近线方程为x y 3±= 18.（本小题12分）所求椭圆的标准方程为 161022=+y x (6)（2）)0(22>±=p px y x 为轴上，设它的标准方程因为抛物线的焦点在 因为焦点到准线的距离为6，所以 6=p ………………10 所以抛物线的标准方程为x y 6±= ………………12 19．（本小题12分）解：由命题p 知0＜c ＜1， 由命题q 知：2≤x ＋1x ≤52.要使此式恒成立，则2＞1c ，即c ＞12. (4)又由p 或q 为真，p 且q 为假知，p 、q 必有一真一假， ………………6 ①p 为真，q 为假时，p 为真，0＜c ＜1；q 为假，c ≤12，∴ 0＜c ≤12. (8)②p 为假，q 为真时，p 为假，c ≤0或c ≥1；q 真，c ＞12，∴c ≥1. (10)综上可知，c 的取值范围为0＜c ≤12或c ≥1 (12)20. （本小题12分）（理科）解：由命题P 可知：51≤≤-x 设}51|{≤≤-=x x A因为命题q 可知: 11+≤≤-m x m 设}11|{+≤≤-=m x m x BBA q p ≠⊂⌝⌝所以的必要不充分条件是所以的必要不充分条件，是因为p q 所以⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤>51m -1m -10m 解得：4m ≥ （文21.（本小题12分）(理科)（1）解：由点Q 是线段AP 垂直平分线上的点6||32||||||||||||=<==-=∴AC PC QC QA PQ AQ 又满足双曲线的定义。
吉林省扶余市第一中学2015-2016学年高二上学期期末考试理数试题解析(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.下列说法中，正确的是A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“存在2,0x R x x ∈->”的否定是：“任意2,0x R x x ∈-≤” C ．命题“p 或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题 D ．已知x R ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件 【答案】B考点：四种命题2.已知121,,,8a a -成等差数列，1231,,,,4b b b --成等比数列，那么122a ab 的值为 A ．5- B ．5 C ．52- D ． 52【答案】A 【解析】试题分析：121,,,8a a -成等差数列，1231,,,,4b b b --成等比数列21312222,510,42a a a a b b ∴==∴==∴=- 1221052a ab ==--∴考点：等差数列等比数列性质3.已知ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222a b c bc =+-，4bc =，则ABC ∆的面积为A.12B. 1C.D. 2【答案】C 【解析】试题分析：2222222221cos sin 22b c a a b c bc b c a bc A A bc +-=+-∴+-=∴==∴=11sin 422S bc A ∴==⨯=考点：余弦定理及三角形面积公式 4.已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为 A. 4B. 1C. 5D. 3【答案】A 【解析】试题分析：())2111194a y ax x y a a a x y x y ⎛⎫++=+++≥++=≥∴≥ ⎪⎝⎭，所以正实数a 的最小值为4考点：均值不等式求最值5.已知b a ,是实数，则“1=a 且2=b ”是“222450a b a b +--+=”的 A ． 充分而不必要条件 B ． 必要而不充分条件 C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件【答案】C考点：充分条件与必要条件6.已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为A B. 15 C. D. 35【答案】C 【解析】试题分析：连接1A B ，则有1A B ∥1CD ，1A BE ∠就是异面直线BE 与1CD 所成角，设AB=1，则11A E AE ==，∴BE =1A B =1cos 1025A BE ∠==考点：异面直线所成角7.已知双曲线222211x y a a-=-(0)a >，则a 的值为A.12B.C.13D.【答案】B 【解析】试题分析：由双曲线方程可知222211122c e a a a =∴==∴=∴=考点：双曲线方程及性质8.已知抛物线:C x y 42=的焦点为F ，直线1)y x =-与C 交于,(A B A 在x 轴上方）两点. 若AF mFB =，则m 的值为A.B.32C. 2D. 3【答案】D 【解析】试题分析：联立)214y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，解得1213,3x x ==，∵A 在x 轴上方，13,3A B x x ∴==， 则|AF|= A x +1=4，|BF|= B x +1＝14133+=，由AF mFB =，得3AF m BF ==考点：抛物线的简单性质9.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上有一点A,它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且满足AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,126ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围为A ．]23,213[- B ．]36,213[- C ．]36,13[- D ．]23,13[- 【答案】C 【解析】试题分析：如图所示，考点：椭圆的简单性质10.在四棱锥P ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥平面ABCD,AB=PD=a.点E 为侧棱PC 的中点,又作DF ⊥PB 交PB 于点F.则PB 与平面EFD 所成角为 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°【答案】D 【解析】试题分析：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系D-xyz ， D 为坐标原点．P （0，0，a ），B （a ，a ， 0），PB =（a ，a ，-a ），又DE 0,,22a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0PB DE ∴=∴PB ⊥DE ．由已知DF ⊥PB ，又DF ∩DE=D ，∴PB ⊥平面EFD ，∴PB 与平面EFD 所成角为90°考点：直线与平面所成的角11.已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，顶角为120°，则E 的离心率为 A ．B ．2C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：设M 在双曲线22221x y a b-=的左支上，且MA=AB=2a ，∠MAB=120°，则M 的坐标为()2a -，代入双曲线方程可得，2222431a a a b-=可得a=b ，c ==即有ce a ==考点：双曲线性质12.已知点P 是双曲线()22221,0,0x y a b a b-=>> 右支上一点，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，I 为12PF F ∆ 的内心，若121212IPF IPF IF F S S S ∆∆∆=+成立，则双曲线的离心率为 A ．4 B ．25C ．2D ．53【答案】C 【解析】 试题分析：如图，设圆I 与12PF F ∆的三边1212,,F F PF PF 分别相切于点E 、F 、G ，连接IE 、IF 、IG ， 则1212,,IE F F IF PF IG PF ⊥⊥⊥，它们分别是1212,,IF F IF P IPF ∆∆∆的高，121211*********,,222222IF P IPF IF F r r rS PF IF PF S PF IG PF S F F IE F F ∆∆∆======，其中r 是12PF F ∆的内切圆的半径．由121212IPF IPF IF F S S S ∆∆∆=+1212121211,22PF PF F F PF PF F F =+∴-=根据双曲线定义，得12122,2PF PF a F F c -==，∴2a=c ⇒离心率为2ce a== 考点：双曲线方程及性质第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则其离心率为【答案】2考点：双曲线性质14.若抛物线x y 42=上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到ｙ轴的距离为 【答案】2 【解析】试题分析：24y x =焦点为()1,0，准线为1x =-，M 到焦点的距离为3，所以到准线的距离为3，所以点M 到ｙ轴的距离为2 考点：抛物线方程及性质15.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AB 、CC 1的中点，则异面直线EF 与A 1C 1所成角的大小是_______. 【答案】30° 【解析】试题分析：取1AA 中点G ，连接FG ，EG ，则FG ∥11A C ，异面直线EF 和11A C 所成角即为∠EFG ．设正方体的棱长为2，则FG ＝11A C ＝GE=2，GE EF ===．在△EFG 中，cos ∠EFG=2222EF GF EG EF EG +-=．∴∠EFG=30°． 即异面直线EF 和A1C1所成角的大小是30°． 考点：异面直线及其所成的角16.若椭圆22221x y a b+=过抛物线28y x =的焦点， 且与双曲线221x y -=有相同的焦点，则该椭圆的标准方程是_______.【答案】22142x y +=考点：椭圆双曲线抛物线方程及性质三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本题满分10分)过椭圆221164x y +=内点M(2,1)引一条弦，使弦被M 平分，求此弦所在直线的方程 【答案】x ＋2y －4＝0. 【解析】试题分析：求直线与椭圆相交的中点弦问题可采用点差法，设出两交点坐标A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，代入椭圆方程，两式相减，借助于中点坐标公式可得到直线的斜率，进而求得直线方程 试题解析：设直线与椭圆的交点为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，M(2,1)为AB 的中点． ∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又A 、B 两点在椭圆上，则22221122416,416x y x y +=+=. 两式相减得()()2222121240x x y y -+-=于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ()12121212142y y x x x x y y -+∴=-=--+，即k AB ＝－12.故所求直线方程为x ＋2y －4＝0. 考点：直线与椭圆相交的中点弦问题18.(本题满分12分)中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求△F 1PF 2的面积．【答案】(1) 椭圆方程为2214936x y +=双曲线方程为22194x y -= (2)12 【解析】试题分析：（1）根据半焦距c =a ，由离心率之比求出a ，进而求出椭圆短半轴的长及双曲线的虚半轴的长，写出椭圆和双曲线的标准方程；（2）由椭圆、双曲线的定义求出1PF 与2PF 的长，在三角形12PF F 中，利用余弦定理求出 cos ∠12F PF 的值，进一步求得sin ∠12F PF 的值，代入面积公式得答案试题解析：(1)设椭圆方程为22221x y a b +=，双曲线方程为22221x y m n -= (a ，b ，m ，n>0，且a>b)，则4131373a m -=⎧⎪⎨=⎪⎩解得：a ＝7，m ＝3，∴b ＝6，n ＝2，∴椭圆方程为2214936x y +=双曲线方程为22194x y -= (2)不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则PF 1＋PF 2＝14，PF 1－PF 2＝6，∴PF 1＝10，PF 2＝4，∴cos ∠F 1PF 2＝2221212122PF PF F F PF PF +-＝45，∴sin ∠F 1PF 2＝35.∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2sin ∠F 1PF 2＝12·10·4·35＝12.考点：椭圆双曲线方程及性质 19.(本题满分12分)设F 1，F 2分别是椭圆)10(1:222<<=+b by x E 的左、右焦点，过1F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列． （1）求|AB|；（2）若直线l 的斜率为1，求实数b 的值．【答案】（1）43（2）b =试题解析：（1）由椭圆定义知|AF 2|＋|AB|＋|BF 2|＝4， 又2|AB|＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB|＝43（2）因为左焦点1(,0)F c -，设l 的方程为y ＝x ＋c，其中c = 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则A ，B 两点坐标满足方程组2221y x c y x b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简，得（1＋b 2）x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0. 则2121222212,11c b x x x x b b--+==++． 因为直线AB 的斜率为11x -．即143x =-． 则()22221212222282128()449111c b b x x x x b b b --⎛⎫=+-=-⨯= ⎪++⎝⎭+，解得b =考点：椭圆的定义；等差数列的通项公式；直线的斜率 20.（本题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且满足2221n n n S a S =-2()n ≥. ⑴ 求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； ⑵ 证明：当2n ≥时，1231113 (232)n S S S S n ++++<. 【答案】⑴详见解析 ⑵详见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）根据数列的递推关系进行化简结合等差数列的定义即可证明数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（Ⅱ）求出1n S n的通项公式，利用放缩法进行证明不等式试题解析：（1）当2n ≥时，21221nn n n S S S S --=-，112n n n n S S S S ---=1112n n S S --=，从而1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成以1为首项，2为公差的等差数列. (6分)考点：1.数列的求和；2.等差关系的确定21.如图，三棱锥P ﹣ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC=3，∠ACB=．D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2.（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PCD（Ⅱ）求锐二面角A ﹣PD ﹣C 的余弦值．【答案】【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知条件易得PC⊥DE，CD⊥DE，由线面垂直的判定定理可得；（Ⅱ）以C 为原点，分别以，，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，易得，，的坐标，可求平面PAD的法向量，平面PCD的法向量可取，由向量的夹角公式可得．试题解析：（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABC，DE？平面ABC，∴PC⊥DE，∵CE=2，CD=DE=，∴△CDE为等腰直角三角形，∴CD⊥DE，∵PC∩CD=C，DE垂直于平面PCD内的两条相交直线，∴DE⊥平面PCD（Ⅱ）由（Ⅰ）知△CDE为等腰直角三角形，∠DCE=，过点D作DF垂直CE于F，易知DF=FC=FE=1，又由已知EB=1，故FB=2，由∠ACB=得DF∥AC，，故AC=DF=，以C为原点，分别以，，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），P（0，0，3），A（，0，0），E（0，2，0），D（1，1，0），∴=（1，﹣1，0），=（﹣1，﹣1，3），=（，﹣1，0），设平面PAD的法向量=（x，y，z），由，故可取=（2，1，1），由（Ⅰ）知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量可取=（1，﹣1，0），∴两法向量夹角的余弦值cos＜，＞==∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值为．考点：1.线面垂直的判定与性质；2.二面角求解22.(本题满分12分)如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=＞＞，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为1)+.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =； （Ⅲ）探究11AB CD+是否是个定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【答案】（Ⅰ）221,84x y +=22144x y -=【解析】试题解析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由题意知：c a =2a+2c=4+1）所以，c=2， 又2a =22b c +，因此b=2。
扶余一中学年高二数学理上学期期末考试题及答案
扶余一中学年高二数学理上学期期末考试题及答案文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]本试卷分第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分。
共150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题共60分）注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考号用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。
3、不可以使用计算器。
一、选择题（每小题5分，共60分）1. 若命题“p q ∨”为真，“p ⌝”为真，则 （ ） A ．p 真q 真B ．p 假q 假C ．p 真q 假D ．p 假q 真2. 设p ：1x >, q ：21x >,则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 下列向量中不垂直的一组是A.(3, 4, 0), (0, 0, 5)B. (6, 0, 12),(6, 5, 7)-C. (2, 1, 2)-, (4, 6, 7)-D. (3, 1, 3), (1, 0, 1)-4. 抛物线y 2＝4x 上的点A 到其焦点的距离是6，则点A 的横坐标是( )A . 5B . 6C . 7D . 85. 设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则 |PF 1→＋PF 2→|等于( ) A ．2 5 B. 5 C ．210 D. 106. 若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为23，则双曲线12222=-by a x 的离心率为( )A ． 45B .25 C . 23D .45 7. .双曲线112422=-y x 的焦点到渐近线的距离为（ ）A ．23B ．2C ．3D ．18. 设过抛物线22(0)y px p =＞的焦点的弦为AB ，则|AB|的最小值为( )A.2pB ．pC ．2pD ．无法确定9. 直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若c CC b CB a CA ===1,,， 则1A B = ( )A ．a +b －cB ．a －b +cC ．－a +b +cD ．－a +b －c 10. 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，43AB =；则C 的实轴长为（ ）A. 2B. 22 C . 8 D. 411. 下列说法错误的是（ ） A ．命题“若2320x x -+=，则x =1”的逆否命题为：“若x ≠1，则2320x x -+≠” B ．“x >1”，是“|x |>1”的充分不必要条件 C ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ．若命题p ：“∃x 0∈R ，使得2010x x ++＜”,则⌝p ：“∀x ∈R ，均有210x x ++≥”12. 设双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的离心率2e =，右焦点为F (c ，0)，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2) 满足（ ）A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情形都有可能第II 卷二 填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的一条渐近线方程是3y x =，它的一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，则双曲线的方程为 ___.14. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AB 、CC 1的中点，则异面直线EF 与A 1C 1所成角的大小是_______.15. 已知点A (λ＋1，μ－1,3)，B (2λ，μ，λ－2μ)，C (λ＋3，μ－3,9)三点共线，则实数λ＋μ＝________.16. .以下三个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，K 为非零常数，若｜PA ｜－｜PB ｜＝K ，则动点P 的轨迹是双曲线.②方程22-520x x +=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率.③双曲线192522=-y x 与椭圆13522=+y x 有相同的焦点. ④已知抛物线22(0)y px p =＞,以过焦点的一条弦AB 为直径作圆，则此圆与准线相切.其中真命题为 （写出所有真命题的序号）. 三.解答题: (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本题满分10分)过椭圆x 216＋y 24＝1内点M (2,1)引一条弦，使弦被M 平分，求此弦所在直线的方程．18. (本题满分12分)抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线22221x y a b-=的一个焦点，并且这条准线垂直于x 轴，又抛物线与双曲线交于点P ( 32 ，6)，求抛物线和双曲线的方程．19. (本题满分12分)在平面直角坐标系xoy 中，过定点C(0，p )作直线与抛物线22(0)x py p =>相交于A ﹑B 两点, 若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求△ANB 面积的最小值. 20.（本题满分12分）如图，已知正四棱柱ABCD-1111A B C D 的底面边长为3，侧棱长为4，连结1A B ，过A 作AF ⊥ 1A B ,垂足为F ， 且AF 的延长线交1B B 于E.（1） 求证：1D B ⊥平面AEC ； （2） 求二面角B-AE-C 的的余弦值。
吉林省松原市扶余县第一中学高二数学上学期期末考试试
扶余市第一中学2016-2017学年度下学期期末试题高二数学（理科）时间:120分 满分150分本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
考试结束后，只交答题纸和答题卡，试题自己保留。
注意事项1．答题前，考生在答题纸和答题卡上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的班级、姓名、考号填写清楚。
请认真核准考号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
3. 填空题和解答题的答案必须写在答题纸上,写在试卷上无效.第Ⅰ卷一. 选择题(每小题5分,满分60分)1. 已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第三象限，则实数m 的取值范围是（ ）A.(31)-，B.(13)-，C.(1,)∞+D.(3)∞-，-2. 命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有()f x '>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 下列求导运算正确的是A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2 C ．(3x )′＝3x ·log 3e D ．(x 2cos x )′＝－2x sin x4. 已知曲线()y f x =在5x =处的切线方程是5y x =-+，则(5)f 与(5)f '分别为A. 3,3B.3，-1C.-1,3D.0，-15. 设(),f z z =且115,z i =+233,z i =-+则12()f z z -=A.42i +B.43i +C. 42i -D. 43i -6. 某同学证明不等式7－1＞11－5的过程如下： 要证7－1＞11－5，只需证7＋5＞11＋1，即证7＋27×5＋5＞11＋211＋1，即证35＞11，即证35＞11.因为35＞11成立，所以原不等式成立．这位同学使用的证明方法是( )A ．综合法B ．分析法C ．综合法，分析法结合使用D ．其他证法7.若函数()m f x x nx =+的导函数是()21f x x '=+,则31()f x dx -=⎰ A.1 B.2 C.43 D.143 8. 设函数f (x )可导，则lim Δx →0 f ＋Δx －f 3Δx等于 A.(1)f ' B ．不存在 C.1(1)3f ' D ．以上都不对 9. i 是虚数单位，232017i i i i ++++=A.1B. iC. 2iD. i -10. 用数学归纳法证明“42n －1＋3n ＋1(n ∈N *)能被13整除”的第二步中，当n ＝k ＋1时为了使用归纳假设，对42k ＋1＋3k ＋2变形正确的是 A ．16(42k －1＋3k ＋1)－13×3k ＋1 B ．4×42k ＋9×3k C ．(42k －1＋3k ＋1)＋15×42k －1＋2×3k ＋1 D ．3(42k －1＋33k ＋1)－13×42k －1 11. 已知函数32()31f x x x =-+,给出命题①()f x 有三个单调区间;②(0)0f =是极大值, (2)4f =-是极小值;③ 函数()f x 有三个零点;④0y =是函数的一条切线. 其中正确的命题有A.1个B.2个C.3个D.4个12.下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质； ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n 边形内角和是(n －2)·180°.A ．①②B ．①③C ．①②④D ．②④第Ⅱ卷二.填空题(每小题5分,满分20分)13.已知函数()f x 的导函数()f x '，且满足关系式2()4(2)ln f x x xf x '=++，则(2)f '的值等于 .14. 若函数32()6f x x x m =-++的极小值为23,则实数m 等于 .15.220172)x dx -=⎰ .16.若60(4)0()2cos30x f x x f x xdx x π-⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰＞≤，则(2016)f = .三.解答题(写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)17. 已知函数2()ln f x x b x =+和10()4x g x x -=-的图像在5x =处的切线互相平行. (1)求b 值;(2)求()f x 的极值.18.(1)已知函数32()f x x mx nx =--的图像与x 轴相切，切点为（1,0），且()()1g x f x =+，求()g x 的极值.(2) 已知2()(0),f x ax bx c a =++≠且(1)2f -=，(0)0f '=，01()4f x dx -=-⎰，求a b c 、、的值.19.已知3()6f x x x =-,过点A(2,m)(4m ≠-)可作曲线()y f x =的三条切线,求m 的取值范围.20. 已知函数31()(,)3f x x ax b a b R =++∈在2x =处取得极小值43-. (1) 求()f x 的单调递增区间;(2) 若222()3f x m m ++≤在[]4,3-上恒成立，求实数m 的取值范围.21. (1) 设()f x ax b =+，且[]121()2f x dx -=⎰，求()f a 的取值范围.(2) 求函数3()3f x x x =-过点P (1,2)-的切线方程.22. 已知函数1ln ()xf x x +=．（1）求函数()f x 的单调区间及极值；（2）若()()g x xf x mx =+在区间(0,]e 上的最大值为﹣3，求m 的值；（3）若x ≥1时，不等式()1kf x x +≥恒成立，求实数k 的取值范围．高二数学参考答案1—12 DABDA BDCBA BC 13. 32-14. 23 15. 2π 16. 4317. b =-20 1010ln10-18. (1) 极大值3127,极小值1 (2)9,0,7a b c ===- 19. 124m --＜＜ 20. (1)(,2),(2,)-∞-+∞,(2)21m m ≤-≥或 21. (1) 371()12f a -≤≤ (2) 91()2,()44f x f x x =-=-+ 22.解：（1）易知f （x ）定义域为（0，+∞），，令f'（x ）=0，得x=1． 当0＜x ＜1时，f'（x ）＞0；当x ＞1时，f'（x ）＜0．∴f（x ）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．极大值1，无极小值。
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吉林省松原市扶余县第一中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学（理）试题本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
考试结束后，只交答题纸和答题卡，试题自己保留。
满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷 （选择题60分）注意事项1．答题前，考生在答题纸和答题卡上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的班级、姓名、考号填写清楚。
请认真核准考号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1．设为i 虚数单位，则复数ii212-+的虚部为 （ ）． A ．i B ．i - C ．1 D ．1- 2．把11化为二进制的数是（ ）．A ．)2(1011 B ．)2(11011 C ．)2(10110 D ．)2(0110 3．用三段论推理命题：“任何实数的平方都大于0，因为a 是实数，所以02>a ”你认为这个推理（ ）．A ．大前提错误B ． 小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确 4．曲线xy 2=与直线1y x =-及4x =所围成的封闭图形的面积为（ ）． A ．2ln 2 B ．2ln 2- C ．2ln 21- D ．42ln 2-5．某单位200名职工中，年龄在50岁以上占%20，50~40岁占%30，40岁以下占%50；现要从中抽取40名职工作样本。
若用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是___①_ ；若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取__②_人．①②两处应填写的数据分别为（ ）．A ．20,82B ．20,37C ． 4,37D ． 50,376．复数ii i i z -++=1432，则z 的共轭复数-z 在复平面内对应的点（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．下列说法错误的是（ ）．A ．“21s i n=θ”是“30=θ”的充分不必要条件 B ．命题“若0=a 则0=ab ”否命题是“若0≠a 则0≠ab ”C ．若命题,01,:2<+-∈∃ x x R x p 则01,:2≥+-∈∀⌝x x R x p D ．如果命题p ⌝与命题q p 或都是真命题，那么命题q 一定是真命题 8．如上图给出的是计算11112462014+++⋅⋅⋅的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（ ）． A.2014i ≤B.2014i ＞C.1007i ≤D.1007i ＞9．设椭圆1222=+my x 与双曲线1322=-x y 的公共焦点分别为21,F F ，p 为这两条曲线的一个交点，则||||21PF PF ⋅的值为（ ）． A ．3 B ．32 C ．23 D ．6210. 设),( y x M 为抛物线y x C 8:2=上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，||FM 为半径的圆和抛物线的准线相交于不同的两点，则 y 取值范围是（ ）．A ．)2,0(B ．]2,0[C ．),2(+∞D ．),2[+∞11．关于x 的不等式m x x x ≥+--29323对]2,2[-∈∀x 恒成立，则m 的取值范围（ ）． A ．]7,(-∞ B ．]20,(--∞ C ．]0,(-∞ D ．[-12，7] 12. 若函数a ax x y +-=23在)1,0(内无极值，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．]23,0[ B ．)0,(-∞ C ．),23[]0,(+∞⋃-∞ D ．),23[+∞第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.13．函数x x x f 3)(3-=极大值为 ． 14．已知y x ,之间的一组数据：则y 关于x 的线性回归方程为 ．（--=-=---=---=∑∑x b y a x xy y x xb ni ini i i^^121^,)())((）15．如图是函数)(x f y =的导函数)(x f y '=①2-=x 是函数)(x f y =的极值点． ②1=x 是函数)(x f y =的极小值点．③)(x f y =在0=x 处切线斜率大于0．④)(x f y =在区间)2,(--∞上单调递减．则正确命题的序号是 ． 16．在平面几何里可以得出正确结论：“正三角形内切圆的半径等于正三角形高的31”拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体内切球的半径等于这个正四面体高的 ．三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）扶余市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于80分的有参赛资格，80分以下（不包括80分）的则被淘汰。
若现有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如下：（1）求获得参赛资格的人数；（2）根据频率分布直方图，估算这500名学生测试的平均成绩．18．（本小题满分12分）设函数()ln f x x =，x x x g 3)(2-=，记)()()(x g x f x F += （1）求曲线()y f x =在x e =处的切线方程； （2）求函数()F x 在]2,21[上的最值．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 是直角梯形，AB 垂直于AD 和BC ，侧棱⊥SB 平面ABCD ，且2,1====BC AD AB SB ． （1）求SA 与CD 成角；（2）求面SCD 与面SAB 所成的锐二面角的余弦值．20．（本小题满分12分）已知数列}{n a 前项和n S 且11=a ，)(*2N n a n S n n ∈= （1） 试求432,,a a a（2） 猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明猜想.SABCD21．（本小题满分12分)在圆422=+y x 上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运动时，设线段PD 的中点M 的轨迹为C （1） 写出点M 的轨迹C 方程；（2） 设直线2+=kx y 与轨迹C 交于B A ,两点，当k 为何值时，→→⊥OB OA ？22．（本小题满分12分) 设函数1)1ln()(+-+=x axx x f （1） 当0>a 时，讨论函数)(x f 在区间),0(+∞上的单调性； （2） 若0≥x 时有0)(≥x f 恒成立，求实数a 的取值范围.高二数学理科试题参考答案三、解答题17.（Ⅰ）7550010)010.0005.0(=⨯⨯+（Ⅱ）6705.0951.08515.0754.0653.055=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 18. （Ⅰ）()y f x =在x e =处的切线方程为：0=-ey x （Ⅱ）x x x x F 3ln )(2-+= xx x x F )12)(1()(--='当121<<x 时0)(<'x F ，21<<x 时0)(>'x F 所以2)1()(min -==F x F 又因为452ln )21(,22ln )2(--=-=F F 因为)21()2(F F >所以22ln )(max -=x F 19.(Ⅰ) 如图建立空间直角坐标系，B 为原点0,1,1()0,2,0(),0,0,1(),1,0,0(),0,0,0(D C A S B )0,1,1(),1,0,1(-=-=→→CD SA21||||,cos =⋅⋅>=<→→→→→→CD SA CD SA CD SA 所以SA 与CD 成角为60（Ⅱ）平面SCD 的法向量为),,(1z y x n =→⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→11CD n SC n 所以⎩⎨⎧==-y x z y 02令1=x 则)2,1,1(1=→n 因为SAB BC 平面⊥所以平面SAB 的一个法向量)0,1,0(2=→n66,cos 21>=<→→n n 所以面SCD 与面SAB 所成的锐二面角余弦值为6620.函数101,61,31432===a a a （2）猜想)1(2+=n n a n证明如下：当121211=⨯==，a n 时命题成立 假设当)(*N k k n ∈=时命题成立，即)1(2+=k k a k当1+=k n 时121121)1(+++++=+=+=k k k K k k a a k a S a k S 整理得)2)(1(21++=+k k a k 所以当1+=k n 时命题也成立综上，)1(2*+=∈n n a N n n 时有22. 2)1(1)(+-+='x ax x f ，（Ⅰ）当10≤<a 时0)(>'x f ，)(x f 在),0(+∞单调递增； 当1>a 时0)(),1(,0)()1,0(>'+∞-∈<'-∈x f a x x f a x 所以)(x f 在)1,0(-a 是单调递减，在),1(+∞-a 单调递增。
（2）)1,0(0)(1时取等号仅当时==≥'≤a x x f ，a 所以)(x f 在),0[+∞单调递增，因为0)0(=f ，所以1≤a 时，0)(≥x f 恒成立（仅当0=x 时取等号）当1>a 时，对]1,0(-∈a x 有0)(<'x f ，所以)(x f 在区间]1,0(-a 单调递减，)0()1(f a f <-，即1>a 时，存在0>x ，使0)(<x f ，故知0)(≥x f 不恒成立，综上可知，a 的取值范围]1,(-∞。