不等式的性质及一元二次不等式的解法讲义

4、不等式的性质
（1）、对称性： ＞b b＜ （2）、传递性： ＞b，b＞c ＞c
（3）、可加性： ＞b，c∈R ＋c＞b＋c
（4）、可乘性： ＞b，c＞0 c＞bc或 ＞b，c＜0 c＜bc
（5）、同向不等式相加： ＋c＞b＋d
（6）、 ×c＞b×d＞0（7）、 n＞bn
（8）、 ＞ （9）、
例1：设 、 、 是任意实数，且 ＞ ，则下列结论一定成立的是( )
【解析】：D
2、求函数y＝ 的定义域（）
A：(1，2)∪(2，3) B：(－∞，1)∪(3，＋∞) C：(1，3) D：[1，3]
【解析】：C
3、不等式2x2－x－1＞0的解集是（）
A：( ，1) B：(1，＋∞)
C：(－∞，1)∪(2，＋∞) D：(－∞， )∪(1，＋∞)
【解析】：D
4、已知集合A＝{x｜3x＋2＞0}，B＝{x｜(x＋1)(x－3)＞0}，则A∩B＝（）
例10：求解关于x的不等式：x2－5 x＋ ＞0（ ≠0）
【解析】：(x－2 )(x－3 )＞0
当 ＞0时，x＞3 或x＜3
当 ＜0时，x＞2 或x＜3
变式练习1：求解关于x的不等式： x2－( ＋1)x＋1＜0（ ≠0）
【解析】：( x－1)(x－1)＜0
变式练习2： x2＋2 x－3 ＞0
【解析】： ≠0
11、不等式组 的解集是___________。
【解析】：(0，1)
12、不等式 的解集为______________。
【解析】：(0， )
13、函数f(x)＝ 的定义域是___________。
【解析】：－1≤x＜2或3＜x≤4
14、如果关于x的不等式 的解集为(1，3)，那么 ＝__________。
【解析】[－4,2][不等式f(x)≥－1⇔ 或 解得－4≤x≤0或0<x≤2，故不等式f(x)≥－1的解集是[－4,2]．]
变式练习4：已知函数f(x)＝ ，则不等式f(x)≥x2的解集为()
A：[－1，1]B：[－2，2]C：[－2，1]D：[－1，2]
【解析】：A[法一：当x≤0时，x＋2≥x2，∴－1≤x≤0；①
＋ ＝ ＝ ＝
则当m＝3时，代数式取最小值为8 C
（三）、分式不等式及高次不等式
原理： f(x)×g(x)＞0 f(x)×g(x)＜0
例7：求解下列关于x的不等式。
（1） （2） （3）
例8：求解下列关于x的不等式：x(x－3)( x－2)(x＋1)＞0
例9：求解下列关于x的不等式：(x－2)2×(x－3)3×(x＋1)＜0
【数轴根标法（口决：奇穿偶不穿，从上往下穿）；（要求：因式分解之后每个括号里x的系数为正）】。
【答案】B
例4：设 ＝ ， ＝ ， ＝ ，则 、 、 的大小关系是（）
A： ＜ ＜ B： ＜ ＜ C： ＜ ＜ D： ＜ ＜
【解析】：C ＝ ， ＝ ， ＝
变式练习1：设 ＝ ， ＝ ， ＝ ，则 、 、 的大小关系是（）
A： ＜ ＜ B： ＜ ＜ C： ＜ ＜ D： ＜ ＜
【解析】： ＝ ＜ ＝1， ＝ ＜0， ＝ ＞1 B
变式练习2：设 ＝ ， ＝ ， ＝cos3，则 、 、 的大小关系是（）
A： ＜ ＜ B： ＜ ＜ C： ＜ ＜ D： ＜ ＜
【解析】：A
变式练习3：设 ＝ ( ＞2)， ＝ (x∈R)，则（）
A： ≥ B： ＞ C： ＜ D： ≤
【解析】：A
变式练习4：设 ＝ ， ＝ ，则下列各式正确的是( )
A： ＜ ＜ B： ＜ ＜
【解析】：C
变式练习1：一元二次不等式x2－ x＋b＞0的解集为{x︱x＜2或x＞3}，则 ＋b＝（）
A：1 B：－1 C：11 D：12
【解析】：C
变式练习2：一元二次不等式 x2＋bx＋2＞0的解集为{x︱－1＜x＜2}，则不等式2x2＋bx＋ ＜0的解集为（）
A：{x︱－1＜x＜ }B：{x︱x＜－1或x＞ }
例11：若f(x)＝ 的定义域为R，则实数k的取值范围是________。
【解析】由题意知，kx2－6kx＋8≥0对任意实数x恒成立．
当k＝0时，8≥0显然成立，当k≠0时，需满足：
解得0<k≤ ，综上，0≤k≤ .
变式练习1：已知关于x的不等式( －4)x2＋( ＋2)x－1≥0的解集是空集，则实数 的取值范围________________。
A： B：
C： D：
【解析】：构造点A（x1，f（x1））、B（x2，f（x2）），则线段OA、OB的斜率是kOA= .由图形可以看出kOA＞kOB，即 .答案：C
例3：设0＜ ＜ ，且 ＋ ＝1，则四个数 、 、2 、 2＋ 2中最小的数是()
A： B： C：2 D： 2＋ 2
【解析】由0＜a＜b及a＋b＝1，知0＜a＜ ，a＜2a，故只需比较a2＋b2与a的大小即可.由0＜a＜ ，知a2＋b2－a＝a2＋(1－a)2－a＝2a2－3a＋1＝(2a－1)(a－1)＞0，故a最小.
【解析】：A
9、关于x的不等式x2－2 x－8 2＜0 ( ＞0)的解集(x1，x2)，且x2－x1＝15，则 ＝（）
A： B： C： D：
【解析】：A
10、不等式( －2)x2＋2( －2)x－4＜0对一切x∈R恒成立，则 的取值范围是（）
A： B： C：(－2，2) D：(－∞，2)
【解析】：B
解一元二次不等式的步骤是：（1）把不等式化成a＞0的形式。（2）判定△与0的关系。（3）求出相应方程的根。（4）根据函数图象写出不等式的解集。
二次函数 的图象
一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根
R
口决：化正、求根、大于取两边（小于取中间）
例5：不等式－x2－3x＋4＞0的解集为________________。(用区间表示)
（2）任意两个实数都可以比较大小。
3、实数比较大小的方法：
（1）若 －b＞0 ＞b；（2） －b＜0 ＜b；（3） －b＝0 ＝b
（2）当 ＞0，b＞0；若 ＞1 ＞b；若 ＜1 ＜b；若 ＝1 ＝b
做差比较法法的一般步骤：
（1）作差；（2）变形，常采用的手段是因式分解和配方法，因式分解是将“差“化成“积”的形式，配方是将“差”化为一个或几个完全平方的“和”，也可两种手段并用；（3）定号，就是确定是大于0，还是等于0，或是小于0(与具体的值无关)（4） 得出结论。
【解析】：C
变式练习2：如果 ＞ ＞0，则下列各不等式中：
① ；② 3＞b3；③lg( 2＋1)＞lg( 2＋1)；④ ＞ ；⑤sin ＞sin 。
一定成立的是____________(请把正确的答案序号全部填写在横线上)
【解析】①②③④
变式练习2：已知函数f(x)（0≤x≤1）的图象为一段圆弧（如右图），若0＜x1＜x2＜1，则（）
A： ×c＞ × B： ×c＞ × C： × 2＞ × 2D： × 2≥ × 2
【解析】：D
例2：已知b＜ ，d＜c，那么下列结论一定成立的是( )
A： － ＜ － B： － ＞ －
C： ＋ ＜ ＋ D： ＜
【解析】：C
变式练习1：若 、 、 ∈R， ＞b，则下列不等式成立的是( )
A： B： 2＞b2C： D： ︱c︱＞b︱c︱
A：(－∞，－1) B：(－1， ) C：( ，3) D：(3，＋∞)
【解析】：C
5、若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）
A：(－1，1) B：(－2，2) C：(－∞，2)∪(2，＋∞) D：(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【解析】：C
6、已知 ＞1，则不等式x2－( ＋1)x＋ ＜0的解集为（）
C： ＜ ＜ D： ＜ ＜
解析：a=sin15°+cos15°= sin60°,b=sin16°+cos16°= sin61°,所以a＜b,排除C、D又a≠b,因为 ＞ab= sin60° sin61°= sin61°＞b,故B正确.
二、一元二次不等式的解法
（一）一元二次不等式的解法：二次项系数是正数的二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的主要结论与三者之间的关系如下：从函数的观点来看，一元二次不等式 x2＋bx＋c＞0(a＞0)，就是二次函数y＝ x2＋bx＋c( ＞0)的图象在x轴上方部分的点横坐标x的集合；一元二次不等式 x2＋bx＋c＜0( ＞0)，就是二次函数y＝ x2＋bx＋c( ＞0)的图象在x轴下方部分的点横坐标x的集合。
3.1－3.2 不等式的性质及一元二次不等式的解法
一、不等关系与不等式
1、不等式的定义：用不等号（“≤”，“≥”，“＜”，“＞”，“≠”）表示不等关系的式子。用“＜”，“＞”连接的不等式叫严格不等式，用“≤”，“≥”连接的不等式叫非严格不等式。
2、实数的特征和实数大小的比较
（1）、特征：（1）任意实数的平方不小于0：即： ∈R，则 2≥0；
当x>0时，－x＋2≥x2，∴0<x≤1.②由①②得原不等式的解集为{x|－1≤x≤1}．
法二：作出函数y＝f(x)和函数y＝x2的图像，如图，
由图知f(x)≥x2的解集为[－1,1]．]
例6：二次不等式 x2＋bx＋1＞0的解集为{x︱－1＜x＜ }，则 的值为（）
A：－6 B：－2 C：2 D：6
C：{x︱－2＜x＜1}D：{பைடு நூலகம்︱x＜－2或x＞1}
【解析】：A
变式练习3：若不等式 x2＋bx＋1＞0的解集是(－ ， )，则 ≥0的解集为______。
【解析】由题知－ ， 是方程ax2＋bx＋1＝0的两根．
∴－ × ＝ ，－ ＋ ＝－ ，∴a＝－6，b＝1.
把a＝－6，b＝1代入 ≥0得 ≥0，∴解集为 .