弹性力学-本构关系

c16 ε x c26 ε y c36 ε z c46 γ xy c56 γ yz c66 γ zx
弹性矩阵为 对称矩阵， 对称矩阵，共有 21个独立的弹性 个独立的弹性 常数
广义胡克定律的上述形式表征的是各向异性材料的本构关系。 广义胡克定律的上述形式表征的是各向异性材料的本构关系。 各向异性材料的本构关系 弹 弹性 性 如果材料具有弹性对称面， 如果材料具有弹性对称面， 对 化， 本构关系 化， 弹性常 称 方 数 。 向
呈单值连续关系（不一定线性）， ），则 如果材料 σ ij = f (ε ij ) 呈单值连续关系（不一定线性），则 称为柯西 柯西（ 弹性材料 称为柯西（Cauchy）弹性材料（一般意义上的弹性）。 弹性材料（一般意义上的弹性）。
呈线性单值连续关系的材料性质称为线弹性。 呈线性单值连续关系的材料性质称为线弹性。 线弹性 在柯西弹性的基础上附加等温绝热的外部环境条件， 在柯西弹性的基础上附加等温绝热的外部环境条件，使 σ ij = f ( ε ij ) 有势函数存在，则这种弹性性质又称为超弹性。可 有势函数存在，则这种弹性性质又称为超弹性 超弹性。 以证明线弹性一定是超弹性。 以证明线弹性一定是超弹性。
c12 = c21 ⋯⋯ c56 = c65
∴
σ x c11 c12 σ c22 y σ z = τ xy 对 τ yz τ zx
c13 c23 c33
称
c14 c24 c34 c44
c15 c25 c35 c45 c55
z
具有三个相互垂直弹性对称 面的材料称为正交各向异性材料。 正交各向异性材料 面的材料称为正交各向异性材料。
P (x, y, z) O y
设三个弹性对称面分别为 Oxy、Oyz和Ozx平面，材料沿 平面， 、 和 平面 x、 y、 z 三方向弹性性质各异。 三方向弹性性质各异。
x
轴反向， 将 x 轴反向，仿前分析步骤可得
即
矩阵表示形式： 矩阵表示形式： 其中
{σ } = [C ]{ε }
{σ }、ε } ——分别称为应力和应变列阵 { 分别称为应力和应变列阵 [C ] ——称为弹性矩阵。其元素 mn为36个 称为弹性矩阵。 称为弹性矩阵 其元素c 个
σ ij = cijkl ε kl
张量表示形式： 张量表示形式：
一. 横观各向异性材料
仅具有一个弹性对称面的材料称为横观各向异性材料。 横观各向异性材料 仅具有一个弹性对称面的材料称为横观各向异性材料。 平面为材料的弹性对称面， 轴为弹性主轴。 设Oxy平面为材料的弹性对称面，z轴为弹性主轴。 平面为材料的弹性对称面 轴为弹性主轴 体内一点P(x, y, z)的应力和应变 体内一点 的应力和应变 为{σ } 和{ε }。则 则 {σ } = [C ]{ε } 其中[C]为各向异性的弹性矩阵 其中 为各向异性的弹性矩阵 现将z轴反向， 现将 轴反向，考 轴反向 察其本构关系
x y x
1 0 0
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由坐标变换 代入上式 由 比较得
{σ ′} = {σ x σ y σ z τ xy −τ yz −τ zx } T {ε ′} = {ε x ε y ε z γ xy −γ yz −γ zx }
{σ } = [C ′]{ε }
[ C ′] = [ C ]
c15 = c16 = c25 = c26 = c35 = c36 = c45 = c46 = 0
第四章 本构关系
物体的弹性性质和广义 广义胡克定律 §4-1 物体的弹性性质 广义 §4-2 线弹性材料的本构关系 各向同性线弹性材料的物理方程 §4-3 各向同性线弹性材料的物理方程
物体的弹性性质 广义Hooke定律 弹性性质·广义 §4-1 物体的弹性性质 广义 定律
一. 弹性的概念
一般情况下，物体的应力与应变呈某一函数关系，可表示为： 一般情况下，物体的应力与应变呈某一函数关系，可表示为： σ ij = f ( ε ij ) 应力与应变张量均为六个独立分量。 应力与应变张量均为六个独立分量。则 σ x = f1 ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx )
x′ z′ z P (x, y, -z) z)
弹性对称面
O
y′
在新坐标下，由于弹性对称， 在新坐标下，由于弹性对称，应力应变关系保持不变 {σ ′} = [C ]{ε ′} 但P点坐标和应力应变分量发生变化 点坐标和应力应变分量发生变化
x′ y′ 0 1 0
T
z′ 0 0 -1
两坐标系三轴的方向余弦为
∂U 0 σ ij = ∂ε ij
—— Green公式 公式
∂U 0 ∂U 0 ∂U 0 ∂U 0 ∂U 0 ∂U 0 σx = , σy = , σz = , τ xy = , τ yz = , τ zx = ∂ε x ∂ε y ∂ε z ∂γ xy ∂γ yz ∂γ zx ∂σ x ∂U 0 = = c12 ∂ε y ∂ε x ∂ε y 由 ∂σ y ∂U 0 = = c21 ∂ε x ∂ε x ∂ε y 同理 c13 = c31 c14 = c41 c15 = c51 cmn = cnm 即
σ y = c21ε x + c22ε y + c23ε z + c24γ xy + c25γ yz + c26γ zx σ z = c31ε x + c32ε y + c33ε z + c34γ xy + c35γ yz + c36γ zx τ xy = c41ε x + c42ε y + c43ε z + c44γ xy + c45γ yz + c46γ zx τ yz = c51ε x + c52ε y + c53ε z + c54γ xy + c55γ yz + c56γ zx τ zx = c61ε x + c62ε y + c63ε z + c64γ xy + c65γ yz + c66γ zx
如，c22 = c2222 ， c56 = c2331 广义胡克定律的一般形式最广泛地描述了材料的线弹性性 但未能描述物体外部环境条件和内部物理特征。 质，但未能描述物体外部环境条件和内部物理特征。
§4-2 线弹性体的本构关系
如果材料在变形过程中处于等温绝热过程。 如果材料在变形过程中处于等温绝热过程。 根据热力学第一定律和相应数学推导， 有势， 根据热力学第一定律和相应数学推导， σ ij = f ( ε ij ) 有势， 为物体单位体积的变形能（应变能）。 其势函数U 其势函数 0(εij) 为物体单位体积的变形能（应变能）。
三. 横观各向同性材料
设体内每一点存在一轴（ 轴），在 设体内每一点存在一轴（z轴），在 与此轴垂直的平面（ 与此轴垂直的平面（Oxy）内，所有射线 ） 方向的弹性性质均相同。 方向的弹性性质均相同。 称该平面为各 向同性面。 向同性面。 具有各向同性面，且各各向同性 具有各向同性面， 面相互平行（或具有弹性对称轴） 面相互平行（或具有弹性对称轴）的 物体，称为横观各向同性材料。 物体，称为横观各向同性材料。
例如比较 [C′] 和 [C] 中的第一行
[c1′n ] = [c11 [c1n ] = [c11
c12 c12
c13 c13
c14 c14
−c15 c15
−c16 ] c16 ]
c15 = c16 = 0
横观各向异性材料的广义胡克定律可表示为 横观各向异性材料的广义胡克定律可表示为
σ x c11 c12 c13 σ c22 c23 y σ z c33 = τ xy 对 τ yz 称 τ zx c14 c24 c34 c44 0 0 0 0 c55 0 εx 0 ε y 0 εz 0 γ xy c56 γ yz c66 γ zx
广义胡克（ 二. 广义胡克（Hooke）定律 定律
受材料在单向拉伸试验时弹性阶段的应力与应变呈线性关 胡克定律）的启发， 系（胡克定律）的启发，线弹性材料在复杂应力状态下其应力 张量与应变张量亦呈线性关系。称为广义胡克定律的一般形式 张量与应变张量亦呈线性关系。称为广义胡克定律的一般形式 σ x = c11ε x + c12ε y + c13ε z + c14γ xy + c15γ yz + c16γ zx
正交各向异性材料，其独立的弹性常数为9个；正应变仅 正交各向异性材料，其独立的弹性常数为9 材料 弹性常数为 产生正应力，切应变仅产生切应力。 产生正应力，切应变仅产生切应力。 工程上一般用三个弹性模量（ ），三个泊松 工程上一般用三个弹性模量（Ex、 Ey 、 Ez ），三个泊松 和三个切变模量（ 比（Poisson）（µxy、 µ yz、µ zx）和三个切变模量（Gxy、 Gyz、 （ Gzx）表示。 表示。 煤、木材、增强纤维复合材料等可简化为正交各向异性弹 木材、增强纤维复合材料等可简化为正交各向异性弹 正交各向异性 性体。 性体。
横观各向异性材料，其独立的弹性常数为13个 横观各向异性材料，其独立的弹性常数为13个；正应变会 弹性常数为13 产生切应力， 产生切应力，切应变也会产生正应力 工程上，单斜晶体（如正长石）可简化为横观各向异性 横观各向异性弹 工程上，单斜晶体（如正长石）可简化为横观各向异性弹 性体。 性体。
二. 正交各向异性材料
c14 = c16 = c24 = c26 = c34 = c36 = c46 = c56 = 0
轴反向，不产生新的结果。 将 y 轴反向，不产生新的结果。
综合之，正交各向异性材料的广义胡克定律可表示为 综合之，正交各向异性材料的广义胡克定律可表示为 胡克定律
σ x c11 c12 c13 σ c22 c23 y σ z c33 = τ xy 对 τ yz 称 τ zx 0 0 0 c44 0 0 0 0 c55 0 εx 0 ε y 0 εz 0 γ xy 0 γ yz c66 γ zx
z′ z
θ
y′
y
θ
x′ x
O
在正交各向异性的基础上，按相似分析步骤， 在正交各向异性的基础上，按相似分析步骤， 设 xy 平面 旋转前后应力应变关系不变， 旋转前后应力应变关系不变，比较其 绕 z 轴旋转任意角度θ ， 弹性常数可得
弹性对称
弹性 有 个对 向， 称 向， 对称 向上弹性 性 ， 力 关系 。 称为弹性对称 弹性对称。 称为弹性对称。
弹性
弹性对称
向
相应的对称方向和对称面称为弹性对称方向 弹性对称面。 弹性对称方向和 相应的对称方向和对称面称为弹性对称方向和弹性对称面。 垂直于弹性对称面的方向称为弹性主轴 弹性主轴。 垂直于弹性对称面的方向称为弹性主轴。
称为弹性常数， 个系数， 其中 cijkl ——称为弹性常数，共81个系数，因 σ ij 、ε ij 各 称为弹性常数 个系数 六个独立， 缩减为36个独立的常数 个独立的常数。 六个独立， cijkl 缩减为 个独立的常数。 cmn和cijkl 的下标对应关系： 的下标对应关系：
m、n ij、kl 1 11 2 22 3 33 4 12 5 23 6 31
σ y = f 2 ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx ) σ z = f3 ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx )
τ xy = f 4 ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx ) τ yz = f5 ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx ) τ zx = f 6 ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx )