阻尼振动共振

t
临界阻尼
2
2 0
称之为临界阻尼情况。它是振动系统
刚刚不能作准周期振动，而很快回到
平衡位置的情况，应用在天平调衡中。
是从有周期性因子 02到无 2周期性的临界点。
6
§3 谐振子的受迫振动 共振
3-1 谐振子的受迫振动
设强迫力 f H cos pt
阻尼力： fr v x
令
2 0
k m
;
； h H
综上所述：两个频率相同的互相 垂直的简谐振动合成后，合振动 在一直线上或者在椭圆上进行 (直线是退化了的椭圆)当两个 分振动的振幅相等时，椭圆轨 道就成为圆。
23
4.4 垂直方向、不同频率简谐振动的合成
一般是复杂的运动轨道不是封闭曲线， 即合成运动不是周期性的运动。 下面就两种情况讨论
•• 2 1 0视为同频率的合成，不
用李萨如图形 在无线电技术 中可以测量频 率：
Tx : Ty 1: 2
在示波器上，垂直方向与水平方向同时 输入两个振动，已知其中一个频率，则 可根据所成图形与已知标准的李萨如图 形去比较，就可得知另一个未知的频率。
26
x A1 cos(t 10 ); y A2 cos(t 20 )
x A1
cos t
cos 10
sint sin10
y A2
cos t cos 20 sint sin 20
18
x2 A12
y2 A22
2 xy A1 A2
cos
sin2
上式是个椭圆方程，具体形状由 相位差决定。
2
2 0
方程的解：
百度文库
x(t ) C1e( 2 02 )t C2e( 2 02 )t
其中 C1，是C2积分 常数，由初始条件
x(t)
来决定，这种情况 称为过阻尼。
t
无振动发生。
过阻尼
5
（3）如果
2
2 0
方程的解：
x(t ) (C1 C2t )e t
x(t)
C1,C2 是由初始条件 决定的积分常数。
(20 10 )
质点的运动方向与 有关。当 0 时，
质点沿顺时针方向运动；当 2 时，
质点沿逆时针方向运动。
当 A1 A2 时，正椭圆退化为圆。
19
x2 A12
y2 A22
2 xy A1 A2
cos
sin2
讨论1
( 20 10 ) 0
x2 y2 2xy A12 A22 A1A2 0
与其方向相反。
fr
v
dx dt
弹性力或准弹性力和上述阻力作用下的动力学方程：
mx kx x
2
令：
2 0
k m
;
mx kx x
2m
称 为0 振动系统的固有角频率,称 为阻尼系数
d2x dt 2
2
dx dt
2 0
x
0
（1）阻尼较小时， 2 此02方程的解：
x(t ) Ae t cos(t 0 )
2
振幅有极大值
h
2 0
2
共振的振幅
pr
2 0
2
2
共振时强迫力的角频率
代入
0
arctg
2 0
2p
p
2
与强迫力的相位差
0r arctg
02 2
9
本讲提纲 §4 简谐振动的合成
4.1 同方向、同频率的简谐振动的合成 4.2 同方向、不同频率的简谐振动的合成 4.3 垂直方向、同频率简谐振动的合成 4.4 垂直方向、不同频率简谐振动的合成
2 0
2
阻力使周期增大 这种情况称为欠阻尼
3
由初始条件决定A和初相位 0,设
dx t 0 , x (0) x0 , dt t0 V0
即有：x0 Acos0
V0 A sin0 A cos0
x(t)
A
x02
(V0
x0 )2 2
t
tg 0
V0 x0 x0
欠阻尼
4
（2）阻尼较大时，
过两个振动的相位差在缓慢地变化， 所以质点运动的轨道将不断地从下图 所示图形依次的循环变化。
当 0 2 1 时是顺时针转；
2 1 2 时是逆时针转。
24
2 1 0
2
1
4
2
1
2
2
1
3
4
5
3
4
2
7
4
25
2、如果两个互相垂直的振动频率成整数比， 合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有 周期。这种运动轨迹的图形 称为李萨如图形。
cos
cos
2 cos
cos
2
2
15
合成振动表达式：
x(t) Acos(1t ) Acos(2t )
2Acos (2 1）t cos[(2 1)t ]
2
2
当1与2 都很大，且相差甚微时，可将
| 2Acos(2 1)t / 2 |视为振幅变化部分，
合成振动是以 (2 1) / 2 为角频率的谐振动。
x(t ) Ap cos( pt 0 )
该等幅振动的角频率就是强迫力的频率；
稳定态时的振幅及与强迫力的相位差分别为：
Ap
h
(02 p2 )2 4 2 p2
0
2p
arctg
2 0
p2
8
3-2 共振
Ap
h
(02 p2 )2 4 2 p2
求振幅对频率的极值，得出
dAp 0 dp
Ar
12
讨论一：
2 1 2k k 0,1,2,
A A1 A2 合振幅最大。
当 A1 A2 称为干涉相长。
A 2A1
A A2 A1
13
讨论二：
2 1 (2k 1)
k 0,1,2, A2
A | A1 A2 |
A A1
当 A1 A2时，A 0称为干涉相消。
讨论三： 一般情况：
2 1 k
作业：6-10， 6-11 , 6-12（旧版） 6-16，6-17，6-18（新版）
10
§4 简谐振动的合成
4.1 同方向、同频率的简谐振动的合成 结论：
•• 代数方法：设两个振动具有相同频率， 同一直线上运动，有不同的振幅和初相位
x1(t ) A1 cos(t 1) x2 (t ) A2 cos(t 2 )
A2
A
A1
| A1 A2 | A | A1 A2 |
14
4.2 同方向、不同频率的简谐振动的合成
为了简单起见，先讨论两个振幅相同， 初相位也相同，在同方向上以不同频 率振动的合成。其振动表达式分别为：
x1(t ) Acos(1t )
x2 (t ) Acos(2t )
利用三角函数关系式：
其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定， 即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动这种
合振动忽强忽弱的现象称为拍。
16
单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频
显然，拍频是振动 cos ( 即拍频为：
2
2
1
t
)的频率的两倍。
21
2
(2
2
1
)
2
1
x(t )
t
2 (2 1 )
2 17
4.3 垂直方向、同频率简谐振动的合成 设一个质点同时参与了两个振动方向相互 垂直的同频率简谐振动，即
21
讨论4
( 20
10
)
3
2
x2 A12
y2 A22
1
所以是在X轴半轴长为 A1 ， Y轴半轴长为
A2 的椭圆方程，且逆时针旋转。
讨论5
A1 A2
质点的轨道是圆。 X和Y方向的相位差决定旋转方向。
22
讨论6
20
10
2k 2
1
k 0，1，2，3
20 10 2k 则为任一椭圆方程。
目录
§2 谐振子的阻尼振动
• 无阻尼的自由振动 • 谐振子的阻尼振动 §3 谐振子的受迫振动 共振
• 谐振子的受迫振动
• 共振
作业：6-7, 6-8,6-9（旧版） 6-13，6-14，6-15（新版）
§2 谐振子的阻尼振动 2-1 无阻尼的自由振动
2-2 谐振子的阻尼振动
T 2 2 m
0
k
振动系统受介质的粘滞阻力与速度大小成正比，
的仍 简然 谐是
x(t) x1(t) x2 (t)
振同 动频
。率
合振幅 Acos cost Asin sint
Acos(t )
11
•• 几何方法 Y
A
A2
A2 sin 2
2
A1
1
A1 sin1
A1 cos1 A2 cos2
X
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
arctg A1 sin1 A2 sin 2 A1 cos 1 A2 cos 2
y
所以是在 y A2 x 直线上的运动。A1
x
20
讨论2
(20 10 )
x2 y2 2xy A12 A22 A1A2 0
所以是在 y A2 x 直线上的振动。 A1
y
讨论3
( 20
10
)
2
x
x2 y2 A12 A22 1
所以是在X轴半轴长为 A1 ， Y轴半轴长为
A2 的椭圆方程，且顺时针旋转。
2m
m
d2x dt 2
2
dx dt
2 0
x
h cos
pt
是典型的常系数、二阶、线性、非齐次微分方程。 由微分方程理论：
非齐次微分方程的通解= 齐次微分方程的解+非齐次的一个特解
7
2
2 0
其解为：
x(t) Ae t cos( 02 2 t 0 ) Ap cos( pt 0 )
经过足够长的时间，称为定态解：