阻尼振动共振
阻尼振动与共振现象
阻尼振动与共振现象阻尼振动是物体在外力作用下产生的振动，并受到阻尼力的影响，导致振动逐渐减弱、趋于稳定的过程。
而共振现象则是指在某个特定频率下，外力与物体自身的振动频率完全匹配，使得振动幅度明显增大的现象。
本文将介绍阻尼振动与共振现象的基本概念、特点以及其在实际应用中的意义。
一、阻尼振动阻尼振动是指物体在受到外力作用下发生振动时，由于内部或外部的阻尼力的存在，振幅逐渐减小，最终趋于稳定的情况。
阻尼力的大小与振动速度成正比，且方向与振动速度相反，当振动速度增大时，阻尼力也随之增大，从而减小振幅。
阻尼振动可分为三种类型：无阻尼振动、欠阻尼振动和过阻尼振动。
无阻尼振动是指物体在无外力作用的情况下自由振动，振动的周期是恒定的，振幅也是守恒的。
而欠阻尼振动是指阻尼力较小，物体的振动周期和振动幅度逐渐减小，但仍保持正弦曲线的振动形态。
过阻尼振动则是指阻尼力非常大，物体在受到外力作用后振动幅度很小，且振动趋于稳定的过程更长。
阻尼振动在实际应用中起到了重要的作用。
例如，在汽车的悬挂系统中，通过调节阻尼器的硬度和阻尼力，可以有效降低车辆行驶过程中的振动，提高行驶的平稳性和乘坐舒适度。
另外，在建筑结构的设计中，阻尼器的使用也可以减小地震对建筑物的破坏程度，保证人们的生命和财产安全。
二、共振现象共振现象是指在某个特定频率下，外力与物体自身的振动频率完全匹配，使得振动幅度明显增大的现象。
在共振情况下，外力对物体的振幅增大，能量传递效果显著。
当外力频率达到共振频率时，振动幅度将达到最大值，这就是共振现象。
共振现象在生活中有许多应用。
例如，在音乐中，弦乐器的共鸣箱能够增强弦乐器发出的声音，并使音色更加丰满。
共振也被广泛应用于无线电和通信领域中，例如调谐收音机和天线等设备都是基于共振原理工作的。
然而，共振现象也可能会对系统产生负面影响。
在桥梁和建筑结构中，如果共振频率与外力频率相同，就会导致严重的破坏和崩塌。
因此，为了避免共振引发的危险情况，工程师在设计中通常会采取一些措施，如改变结构的固有频率或增加阻尼措施。
阻尼振动与共振现象
阻尼振动与共振现象振动是物体在受到外力作用下从平衡位置偏离并向复原位置运动的一种物理现象。
在振动过程中，我们经常会遇到两个重要的概念，即阻尼振动和共振现象。
本文将深入探讨阻尼振动和共振现象的定义、原理、特点以及其在现实生活中的应用。
一、阻尼振动阻尼振动是指在受到外力作用后，物体振动的幅度逐渐减小，并最终趋于稳定的一种振动方式。
阻尼振动的主要原因是系统与外界介质之间的摩擦以及能量的损失。
阻尼振动可以分为三种类型：无阻尼振动、欠阻尼振动和过阻尼振动。
无阻尼振动是指在没有摩擦和能量损耗的情况下，物体的振幅保持不变并永远保持振动。
欠阻尼振动是指在振动过程中，摩擦和能量损耗引起振幅逐渐减小，但仍然存在振动。
过阻尼振动是指振幅在振动过程中逐渐减小并最终趋于零，没有任何振动。
阻尼振动的特点是振幅逐渐减小，振动周期不变，频率保持不变。
在实际应用中，阻尼振动通常用于减震器、阻尼器等装置，以控制机械和建筑物的振动。
二、共振现象共振现象是指在外力作用下，物体振幅逐渐增大，并最终达到最大值的一种振动方式。
外力的频率与物体本身的固有频率相符时，就会发生共振。
共振现象通常包括机械共振、电磁共振等。
机械共振是指物体在外力频率与其固有频率相等时发生的现象。
当发生机械共振时，物体会受到较大的力，振幅逐渐增大，甚至可能导致破坏。
共振现象的特点是振幅逐渐增大，振动周期和频率保持不变。
共振现象在实际生活中有许多应用，比如利用共振现象制作音叉、调音器、共振箱等。
同时，共振现象也需要避免，例如在建筑工程中避免共振现象导致的振动破坏。
三、阻尼振动与共振现象的区别阻尼振动和共振现象是振动中两种不同的现象。
阻尼振动是指振幅逐渐减小并最终趋于稳定的振动，而共振现象是指外力频率与物体固有频率相等时振幅逐渐增大的振动。
在实际应用中，阻尼振动常常是不可避免的，而共振现象则需要根据具体情况进行设计和控制。
共振现象通常会对系统产生影响，导致能量集中并可能引发问题，因此在一些工程设计中需要避免共振现象的发生。
阻尼振动和共振现象的原理及应用
阻尼振动和共振现象的原理及应用摘要：阻尼振动和共振现象是振动学中重要的概念和现象。
本文将详细介绍阻尼振动和共振现象的原理、特征以及在实际生活中的应用。
阻尼振动是指系统在受到外力作用后，由于能量损失而逐渐减小并趋于静止的振动方式。
共振现象则是指一个周期受到外加周期性作用力的振动系统，会发生与外力频率相同或接近的自然频率的振动放大现象。
阻尼振动和共振现象在机械工程、电子工程等领域具有广泛的应用，对相关领域的设计和优化有着重要的意义。
一、阻尼振动的原理阻尼振动是指振动系统在受到外力作用后，由于摩擦、阻力等因素的存在而逐渐减小，并最终停止振动的过程。
阻尼振动是由于摩擦和阻力所引起的能量损耗导致的。
当系统受到外力作用时，它会开始振动，在振动的过程中，能量逐渐被摩擦和阻力所消耗，使得振幅逐渐减小。
当摩擦和阻力的作用超过外力的作用时，系统最终停止振动。
二、阻尼振动的特征阻尼振动的特征主要表现在以下几个方面：1.振幅逐渐减小：随着时间的推移，由于摩擦和阻力的作用，振幅会逐渐减小，最终趋于静止。
2.振动周期不变：阻尼振动的周期不会因为摩擦和阻力的存在而改变，只是振幅逐渐减小。
3.能量逐渐耗散：摩擦和阻力会使振动系统的能量逐渐减少，最终转化为其他形式的能量进行耗散。
三、阻尼振动的应用阻尼振动在实际生活和工程领域有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用领域：1.减震器：阻尼振动的特性使其可以用于减震器的设计，例如汽车的减震器、建筑物的减震措施等，通过吸收和分散能量，减小振动对结构的影响。
2.运动器械：许多运动器械，如手环、跑步机等，借助阻尼振动原理来实现舒适感和减小关节压力。
3.仪器测量：在测量领域，阻尼振动可以用于精密仪器的减振设计，以减小外界干扰对测量结果的影响。
四、共振现象的原理共振现象是指一个周期受到外加周期性作用力的振动系统，会发生与外力频率相同或接近的自然频率的振动放大现象。
当外力以振动系统的自然频率作用于系统时，会导致系统振幅急剧增大，甚至产生破坏性的后果。
阻尼和共振对振动的影响实验研究
阻尼和共振对振动的影响实验研究振动是物体在受到外力作用下产生的周期性运动。
在物理学中，阻尼和共振是两个重要的概念，它们对振动的影响具有重要意义。
本文将通过实验研究来探讨阻尼和共振对振动的影响。
首先，我们来介绍一下阻尼的概念。
阻尼是指物体振动过程中由于摩擦、空气阻力等因素而逐渐消耗振动能量的现象。
在振动系统中，阻尼可以分为三种类型：无阻尼、欠阻尼和过阻尼。
无阻尼情况下，振动系统不受外力干扰时会保持永久振动，振幅不会减小；欠阻尼情况下，振动系统的振幅会逐渐减小，但振动周期不会改变；过阻尼情况下，振动系统的振幅会更快地减小，振动周期也会变长。
为了研究阻尼对振动的影响，我们进行了一个实验。
实验中，我们使用了一个简单的弹簧振子系统。
首先，我们将一个弹簧固定在支架上，然后在弹簧上悬挂一个质量块。
当质量块受到外力推动时，弹簧会发生振动。
我们通过改变阻尼器的位置和强度来控制阻尼的程度。
实验结果表明，随着阻尼器位置的改变，振动的幅度和周期也会发生变化。
当阻尼器位置靠近质量块时，振动幅度减小，周期变长；而当阻尼器位置远离质量块时，振动幅度增大，周期变短。
这说明阻尼器的位置和强度对振动的幅度和周期有着直接的影响。
接下来，我们来讨论一下共振的概念。
共振是指当外力的频率与振动系统的固有频率相同时，振动系统将发生共振现象，振幅会变得非常大。
共振是一种能量传递的方式，当外力频率与振动系统固有频率相匹配时，能量将被有效地传递给振动系统，使其振幅增大。
共振现象在日常生活中也有很多应用，比如音乐中的共鸣现象，以及桥梁、建筑物等结构物的共振问题。
为了研究共振对振动的影响，我们进行了另一个实验。
实验中，我们使用了一个简单的摆钟系统。
我们通过改变摆钟的长度和质量来改变摆钟的固有频率。
然后，我们通过改变外力的频率来观察共振现象。
实验结果表明，当外力的频率与摆钟的固有频率相同时，摆钟发生共振现象，振幅明显增大。
而当外力的频率与摆钟的固有频率不匹配时，振幅几乎不变。
阻尼振动、受迫振动和共振
v F γ
O x
v v F = −kx
x
dx 动力学方程 m 2 = −kx − γ dt dt k γ 2 令 ω0 = ,2β = m m 2 dx dx 2 + 2β + ω0 x = 0 dt 2 dt
ω0
d2 x
：无阻尼时振子的固有频率
β ：阻尼因子
方程解： 方程解：
x = Ae
−β t
f0 dA d 求极值： 求极值： = =0 dω dω ω2 −ω2 2 + 4β 2ω2 0
(
)
共振频率： 共振频率： 共振振幅： 共振振幅：
2 ωr = ω0 − 2β 2
ω0为固有频率
Ar =
f0
2 2β ω0 − β 2
结论： 阻尼系数 β 越 小，共振角频率ωr 越接近于系统的固 有频率 ω0 ，同时 共振振幅A 也越大。 共振振幅 r也越大。
cos( ω − β
2 0
2
t +ϕ
)
x = Ae
−β t
cos(ωt +ϕ)
2π
A
2
x
周期： 周期： T =
ω −β
2 0
O
t
2 β 2 < ω0
角频率： 角频率： ω =
ω −β
2 0
2
A
x = Ae
讨论： 讨论：
−β t
cos ω − β t +ϕ
2 0 2
(
)
2 β 2 < ω2 阻尼较小时（ ），振动为减幅振动 振动为减幅振动， 1. 阻尼较小时（β 2 < ω0 ），振动为减幅振动，振幅
阻尼振动对共振频率的影响研究
阻尼振动对共振频率的影响研究共振频率是物体在受到外力激励时产生共振现象的频率。
而阻尼则是指在振动过程中通过摩擦等方式消耗振动能量的过程。
本文将探讨阻尼振动对共振频率的影响，并对其研究进行深入分析。
一、阻尼的概念及分类阻尼是物体振动时消耗振动能量的过程。
可以将阻尼分为三类：无阻尼、弱阻尼和强阻尼。
无阻尼情况下，物体在接收外界激励时，会出现无限持续的共振振动；弱阻尼情况，振动会慢慢减小最终达到平衡；强阻尼情况下，振动会迅速衰减至零，不再振动。
二、共振频率与阻尼的关系共振频率是指物体在振动过程中受到外界激励的频率，当激励频率与物体固有频率相等时，就会发生共振现象。
阻尼对共振频率的影响主要有以下几个方面：1. 阻尼的存在导致共振频率变化：当阻尼存在时，会造成物体固有频率的变化。
弱阻尼情况下，共振频率接近物体固有频率；而强阻尼情况下，共振频率则远离物体的固有频率。
2. 阻尼对振幅的影响：在共振现象中，振幅是衡量振动大小的指标。
阻尼的存在会使得振幅减小，即在强阻尼情况下，共振现象不再显著。
3. 阻尼对共振峰的形态影响：共振现象在频谱中通常表现为一个峰值，称为共振峰。
阻尼的增加会使得共振峰逐渐变宽，形态变得平坦。
三、阻尼与共振的应用阻尼对共振频率的影响在工程和科学领域中有广泛的应用。
1. 减震器的设计：在建筑工程和桥梁设计中，为了减少地震或风力激励对结构造成的破坏，常常采用减震器来实现减振效果。
减震器利用阻尼的作用，在外力作用下改变物体的共振频率，从而减小共振效应，避免结构损害。
2. 振动衰减控制：在装置和机械设备中，振动常常会导致噪音和机械磨损。
通过合理设计阻尼系统，可以降低振动频率，减少振动对设备和周围环境的影响。
3. 信号处理：阻尼振动对共振频率的影响在信号处理中也具有重要意义。
通过调整阻尼系数，可以实现对信号的选择性衰减和滤波处理，从而提取目标信号，并降低环境噪声。
四、未来的研究方向阻尼振动对共振频率的研究在工程和科学领域中有着广泛的应用。
阻尼与共振现象
阻尼与共振现象阻尼和共振是物理学中的两个重要现象，它们在许多领域中都有广泛的应用。
本文将从理论和实际的角度探讨阻尼和共振现象，并介绍它们的原理、特点以及相关领域的应用。
一、阻尼现象阻尼是指物体在振动或运动中受到的阻碍力。
当一个物体振动或运动时，受到的阻力会导致其能量逐渐减少，同时振动或运动的幅度也会逐渐减小。
阻尼现象主要由摩擦力和空气阻力引起。
1.1 摩擦阻尼摩擦阻尼是指物体在与另一个物体接触时，由于接触面之间的相互作用而产生的阻力。
摩擦力会转化为热能，使物体的振动能量逐渐耗散，导致振幅减小。
例如，当我们推动一个物体在平滑的地面上滑动时，摩擦力将逐渐减小物体的运动速度，直到最终停止。
1.2 空气阻力空气阻力是指物体在运动过程中受到的空气分子碰撞所产生的阻力。
当物体的速度较大时，空气阻力将会更加显著。
例如，当我们投掷一个物体时，物体在空气中的速度越来越慢，直到最终停止，这是由于空气阻力的作用。
二、共振现象共振是指在外界作用下，物体的振动频率与其固有频率相同，从而引起共振现象。
当外界作用频率接近物体的固有频率时，物体将以极大的振幅振动，这种现象称为共振现象。
2.1 原理共振现象的产生是由于外界作用频率与物体的固有频率之间的能量交换。
当外界力的频率与物体的固有频率非常接近时，能量将在物体内部不断积累，导致振动幅度增大。
2.2 特点共振现象有一些显著的特点：1) 当外界作用频率与物体的固有频率相等时，共振现象最为明显。
2) 共振现象会导致物体的振幅迅速增大。
3) 当共振现象发生时，物体会产生较大的应力，可能导致破坏。
三、阻尼与共振的实际应用阻尼和共振现象在许多领域中都有重要的实际应用。
3.1 工程领域在工程领域中，阻尼的应用十分广泛。
例如，在建筑物的结构设计中，为了减少地震对建筑物的破坏，设计师会采用适当的阻尼材料，以控制结构的振动幅度。
此外，在机械工程中，阻尼装置也被用于减少机械系统的振动和噪音。
3.2 音乐领域在音乐领域，共振现象被广泛应用于乐器的设计和演奏技巧中。
阻尼与共振现象
阻尼与共振现象阻尼和共振是物理学中常见的现象，它们在不同领域中发挥着重要的作用。
本文将详细探讨阻尼和共振现象的定义、原理、应用以及相关实例。
一、阻尼现象阻尼是指物体在振动过程中由于受到外部力的作用而逐渐减弱振幅的现象。
阻尼分为三种类型：无阻尼、欠阻尼和过阻尼。
1. 无阻尼：在没有外部阻力的情况下，物体振动的幅度将保持不变。
经典的例子就是理想弹簧振子，它的振动可以持续循环而且不会衰减。
2. 欠阻尼：物体在振动过程中会受到一定的阻力作用，振幅会逐渐减小，但仍能保持振荡。
经典的例子是摆钟，它的摆动会逐渐减小直到停止。
3. 过阻尼：在过阻尼情况下，物体在振动过程中会因为外部阻力太大而无法产生正常的振荡。
经典的例子包括门的关门缓冲装置，当门关闭时，缓冲装置会使门以缓慢而平稳的速度关闭，而不是弹回。
二、共振现象共振是指当外部力频率与物体固有频率相等或者接近时，物体会出现明显的共振现象，振幅达到最大值。
共振通常发生在固体、液体或气体等弹性系统中。
共振现象可以用于各种实际应用，例如乐器的共鸣、声音的放大和无线电通信等。
1. 共振的原理：共振是基于能量传递和能量转化的原理。
当一个外部力施加在系统上，并与系统固有频率相等时，能量传输效率最高，导致振幅增大。
2. 共振的应用：* 乐器共鸣：乐器的共振是实现音乐的关键。
当乐器的弦或者空气柱共振时，会产生特定的音调，从而形成声音。
* 建筑结构的共振：在地震或者风暴等外部力作用下，建筑结构会共振。
为了避免共振引发的破坏，工程师需要对建筑结构进行抗震设计。
* 电路中的共振：电路中的电感、电容和电阻构成了一个振荡回路。
通过调整电感和电容的参数，可以使电路共振，实现信号的放大和选择性传输。
三、阻尼与共振的实例1. 阻尼实例：汽车避震器实现了阻尼的功能。
在行驶过程中，避震器通过减小车身的振动幅度，提供了平稳的悬挂系统。
2. 共振实例：钟摆是一个常见的共振实例。
当钟摆的摆动频率与环境的振动频率相同时，钟摆会发生共振，导致振幅增大，这也是为什么震动会导致钟摆停止的原因。
阻尼振动与共振现象
阻尼振动与共振现象阻尼振动是物体在受到外力作用后，由于阻力的存在而逐渐减弱振幅的振动。
而共振现象是指当外力频率与物体的固有频率相同时，物体会出现振动幅度突增的现象。
本文将就阻尼振动与共振现象进行详细探讨。
一、阻尼振动阻尼振动是普遍存在于实际生活中的一种振动现象，具有重要的理论和实际意义。
无论是在工程中的减振、减噪，还是在物理领域的研究中，阻尼振动都扮演着重要的角色。
1. 阻尼的分类根据振动系统与周围介质之间能量交换的程度，阻尼可以分为无阻尼、弱阻尼和强阻尼三种情况。
无阻尼振动指的是在无任何形式阻尼的情况下，物体在外力作用下进行振动，振幅将保持不变；弱阻尼是指在振动过程中，存在一定的阻力，但不足以使振幅迅速衰减；强阻尼则是振幅衰减速度快，最终振幅趋近于稳定值的振动过程。
2. 阻尼振动的原因阻尼振动的产生一般是由于振动系统与外界介质之间的摩擦、空气阻力、粘滞阻尼等因素引起的。
这些因素会对振动系统的动能进行耗散，从而导致振幅的减小。
3. 阻尼振动的特点在阻尼振动中，振幅逐渐减小，频率保持不变。
阻尼系数的增大，会使振幅的减小速度加快，最终趋近于零。
同时，阻尼振动的周期也会随着阻尼系数的增大而逐渐增大。
二、共振现象共振现象是指系统在外力与系统固有频率相等时，振幅会发生突然增大的现象。
共振是许多领域中都会出现的现象，特别在音乐、电子、结构工程等领域中，共振现象备受关注。
1. 共振的原理共振的产生是由于外力的周期性变化与振动系统本身的固有频率相吻合，导致系统受力增强。
在共振状态下，外力的振动能量与系统本身的能量交换最为有效，从而导致振幅的大幅增加。
2. 共振的危害与利用共振现象既有危害性，又有利用价值。
在建筑工程中，共振可能导致结构物的破坏，因此需要注意避免共振出现；而在乐器制作中，共振则是为了增加音量和声音质量而刻意利用的。
三、阻尼振动与共振现象的应用1. 阻尼振动的应用阻尼振动的应用广泛，特别是在减振和减噪方面发挥着重要作用。
阻尼振动和共振现象
阻尼振动和共振现象振动现象在自然界和工程领域中都十分常见。
阻尼振动和共振现象是振动中的两个重要概念。
本文将介绍阻尼振动和共振现象的原理、应用和影响。
一、阻尼振动阻尼振动是指振动系统受到阻力作用而逐渐减小振幅的振动。
阻尼可以分为无阻尼、欠阻尼和过阻尼三种情况。
1. 无阻尼：在无阻尼振动中，振动系统不受到任何阻力或摩擦力的限制，振动可以持续进行。
无阻尼振动的典型例子是摆钟的摆动。
2. 欠阻尼：在欠阻尼振动中，振动系统受到一定的阻力，但阻力并不足以完全抵消系统的势能。
欠阻尼振动的特点是振幅逐渐减小，振动周期与无阻尼情况相近。
3. 过阻尼：在过阻尼振动中，振动系统受到较大的阻力，阻力足以完全抵消系统的势能。
过阻尼振动的特点是振幅迅速减小，振动周期大于无阻尼情况。
阻尼振动广泛应用于各个领域。
在建筑工程中，阻尼器可以用于减小建筑物受到地震或风力作用时的振动影响。
在汽车领域，阻尼器也被广泛应用于悬挂系统中，以提供更稳定的行驶体验。
二、共振现象共振现象是指当外力作用频率与系统的固有频率接近时，系统受到的振幅增大的现象。
共振通常在弹性体或谐振腔中出现，是由于振动系统的能量受到周期性外力的输入而积累。
共振现象可以分为机械共振、电磁共振和声学共振等多种形式。
机械共振常见于桥梁、建筑物和机械装置中。
电磁共振常用于调谐电路和电子设备中。
声学共振则影响音箱和乐器的音质。
共振现象既有积极的应用，也有潜在的危害。
在音乐演奏中，演奏者通常会利用共振现象来增强特定音调的音量和音质。
然而，桥梁和建筑物的共振现象在受到外力影响时可能导致结构破坏。
三、阻尼对共振的影响阻尼对共振现象有重要影响。
在共振频率附近，阻尼的存在会导致振幅的减小，从而抑制了共振的发生。
这是因为阻尼会消耗系统的振动能量。
在实际应用中，阻尼的设置可以有效地避免共振现象对系统造成的破坏。
例如，在地震工程中，大楼的结构设计通常会考虑到地震激励的频率范围和阻尼的设定，以防止共振现象对建筑物的破坏。
阻尼振动 受迫振动 共振
阻尼振动
受迫振动
共振
一、无阻尼振动（等幅振动） 所有的简谐振动都是无阻尼振动.
二、阻尼振动（减幅振动）
dx 阻力: f dt
dx F合 F弹力 f kx dt
d x dx m 2 kx dt dt
上页 下页
2
d 2 x dx k x0 2 dt m dt m
阻尼振动中欠阻尼情况下的解
A
h 2 2 2 4 2 2 0
1 2
2 arctan 2 2 0
上页 下页
四、共振 1、共振：受迫振动的振幅达到最大值的现象叫共振.
2 2 2、条件： r 0 2
弱阻尼情况下:
0
k 令 m
2 0
2
2
m
——阻尼振动的微分方程
d x dx 2 2 0 x 0 2 dt dt
1、 0
阻尼作用较小——欠阻尼
t
x A0e
cos( t )
上页 下页
x
A
O
t
A
上页
下页
2、 0
阻尼作用较大——过阻尼
2 ( 2 0 )t
x C1e
3、 0
C2 eBiblioteka 2 ( 2 0 )t
——临界阻尼
t
x C1 C2t e
x
x
o
t
o
上页
t
下页
x
A
O
t
A
上页
下页
三、受迫振动 驱动力:
2
F驱动力 F0 cos t
9-6阻尼振动 受迫振动 共振1
§9-6 阻尼振动 受迫振动 共振
设车厢总负荷为m=5.5×104 kg，车厢弹 设车厢总负荷为 ， 簧每受力F=9.8× 103 N被压缩 被压缩∆x=0.8 mm， 簧每受力 被压缩 ， 铁轨长L=12.6 m，求危险速率． 铁轨长 求危险速率． F 解 F = k∆x ⇒ k = ∆x m m m∆x k = 2π T = 2π k F
[ mv + kx ] dt dt 2 2 1 d 2x 1 dx d 2x = m (2v ) 2 + k 2 x = v ( m 2 + kx ) 2 2 dt dt dt 2 d x 由阻尼振动的微分方程有 − kx − Cv = m dt 2 dE 2 将上式代入前式得 = v ( − Cv ) = − Cv < 0 dt
2 0 2
Ae
T
−δt
cosωt
t
O
ω = ω −δ
a）欠阻尼 b）过阻尼
2 0
(ϕ = 0 )
A
2 2
ω >δ ω <δ
2 0 2 0
x
o
2
三种阻尼的比较
b
c）临界阻尼
ω =δ
c
t
a
§9-6 阻尼振动 受迫振动 共振
a）欠阻尼
尼振动 受迫振动 共振 例题1 证明阻尼振动机械能的时间变化率 证明阻尼振动机械能的时间变化率dE/dt<0,并说 例题 并说 明其意义。问当dE/dt=0时，是什么振动？ 明其意义。问当 时 是什么振动？ 解： dE d 1 1 2 2
§9-6 阻尼振动 受迫振动 共振
§9-6 阻尼振动 受迫振动 共振 一 阻尼振动 阻尼力
2
阻力系数
阻尼振动与共振现象
阻尼振动与共振现象在我们的日常生活中，我们经常会遇到振动现象。
无论是钟摆的摆动、汽车的颠簸还是音乐的声波，都是振动的表现。
振动可以分为阻尼振动和共振现象。
本文将探讨阻尼振动和共振现象的原理、应用和影响。
一、阻尼振动阻尼振动是指在振动过程中，由于外界的阻尼力的作用，振动系统逐渐失去能量，最终停止振动的现象。
阻尼振动可以分为强阻尼、弱阻尼和临界阻尼三种情况。
强阻尼指的是阻尼力大于系统的回复力，导致振动系统无法回复到平衡位置，振动幅度逐渐减小直至停止。
弱阻尼则是阻尼力小于系统的回复力，振动系统会在某一位置附近来回振动，但振幅也会逐渐减小。
临界阻尼是指阻尼力等于系统的回复力，此时振动系统会恢复到平衡位置，但振幅不会超过初始振幅。
阻尼振动在实际生活中有着广泛的应用。
例如，汽车遇到颠簸时，车辆的减震器会起到阻尼作用，使车辆的振动逐渐减小，提供更加稳定的行驶体验。
此外，阻尼振动还在建筑工程中起到重要作用，例如地震时，建筑物的阻尼装置可以减小地震对建筑物的破坏。
二、共振现象共振现象是指在振动系统受到外界周期性激励时，振幅会不断增大的现象。
共振现象是由于外界激励频率与振动系统的固有频率相匹配所引起的。
共振现象可以发生在各种物理系统中，如机械振动、电磁振动和声波振动等。
一个常见的例子是摇摆，当我们用手摇摆一个秋千时，只需轻轻推动，秋千的摆幅会逐渐增大，这就是共振现象的体现。
共振现象在科学研究和工程应用中具有重要意义。
例如，在桥梁设计中，为了避免共振现象引起的破坏，工程师会根据桥梁的固有频率来选择合适的设计方案。
此外，共振现象还被应用于医学领域，如超声波共振成像技术，可以用于检测人体内部器官的结构和病变。
三、阻尼振动与共振现象的影响阻尼振动和共振现象对于物体的运动和结构稳定性具有重要影响。
阻尼振动可以减小振动系统的振幅，使其更加稳定。
在一些需要保持稳定状态的场合，如高精度仪器的工作环境中，阻尼振动的控制非常关键。
同时，阻尼振动也可以减小振动系统对外界干扰的敏感度，提高系统的抗干扰能力。
阻尼振动、受迫振动与共振
T 2π 2π
02 2
上式表明，由于阻尼的存在，阻尼振动的周期比无阻尼振动 的周期长，即振动变慢了。阻尼越大，阻尼振动的周期越长。
阻力很大，即β＞ω0时，在未完成一次振动前，振动系统的 能量已全部耗尽，此时，振动系统将通过非周期运动的方式回到 平衡位置，这种阻尼振动称为过阻尼振动，如下图所示b曲线
在振动研究中，常把辐射阻尼当作某种等效的摩擦阻尼来
处理。因此，下面我们在讨论时仅考虑摩擦阻尼。实验证明，
介质对运动物体的阻力与物体的运动速度有关，在物体速度不
太大时，阻力Fr的大小与速度v的大小成正比，方向与速度v的
方向相反，即
Fr
v
dx dt
对弹簧振子，在弹力F＝－kx和阻力Fr的作用下，根据牛 顿第二定律可得阻尼振动的动力学方程为：
x Acos（ pt ）
稳定状态受迫振动的振幅A和初相φ可由下式确定：
f
A
（02
2）2
p
4
2 2 p
tan
2p
02
2 p
需要注意的是，稳定状态的受迫振动虽然也是简谐振动，
但它与无阻尼振动有着本质的区别：受迫振动的角频率不是振 动系统的固有频率，而是驱动力的频率；受迫振动的振幅和初 相不是决定于振动系统的初始条件，而是决定于振动系统本身
在阻尼振动中，能量损失的原因通常有以下两种：一种是 由于介质对振动物体的摩擦阻力作用，使振动物体的能量转变 为热能，称为摩擦阻尼；另一种是由于振动物体引起临近质点 的振动，使系统的能量向四周辐射出去，转变为波动的能量， 称为辐射阻尼。例如，音叉振动时，不仅因为摩擦而消耗能量 ，同时也因辐射声波而损失能量。
大学物理 阻尼振动 受迫振动 共振
华盛顿的Tocama 悬索桥大风引起桥的共振录像
2010年05月22日 各国电视报道
• 俄罗斯媒体近日公布一段录像：本月19号晚，154米长的伏尔加格勒过 河大桥桥面突然呈浪型翻滚，数十辆正在桥上行驶的车辆有惊无险，警 方迅速封闭了桥上和水上交通。
• 俄罗斯著名桥梁专家表示，大桥共振现象可能因风波动和负载所形成共 振而发生。当天伏尔加格勒是多云，强风，
如果物体作非周期运动称过阻尼(曲线b）；
如果振动物体将刚好能平滑地回到平衡位置称临界 阻尼（曲线c）。
x
b
oc
t
a
二 、受迫振动 振动系统在外界驱动力的作用下维持等幅振动。
三、共振
当驱动频率正好等于系统的固有频率时，系统 的振动速度和振幅都达到最大值的现象称 共振。
共振频率
vm
小阻尼
阻尼 0
精密机床的工作台的设计；桥梁的设计与建造;就要尽量使得 振动频率远离固有频率。
由于共振小号发出的波振动足以把玻璃杯振碎
历史上的大桥共振事件
18世纪中叶，法国里昂市102米大桥上，胜利的队伍迈着 整齐的步伐通过大桥时，桥梁突然断裂，造成二百多人丧生 。
1940年华盛顿的Tocama 悬索桥建成,同年7月的一场大风引 起桥的共振而坍塌。
大阻尼
o
0
共振演示实验
3
6
1
5
2
4
单摆1作垂直于纸面的简谐运 动时，单摆5将作相同周期的简 谐运动，其它单摆基本不动.
共振现象的利用：
共振现象在日常生活和现代科学技术中由广泛的应用。如
乐器的共鸣箱、收音机的调谐、核磁共振仪。设计使得振动
频率接近固有频率。
共振现象的危害：
物体振动的阻尼与共振
物体振动的阻尼与共振在我们的日常生活中，我们经常会遇到振动现象。
无论是吹奏乐器、行驶的车辆还是晃动的吊扇，都会涉及到物体的振动。
而物体的振动现象又与阻尼和共振密切相关。
本文将探讨物体振动的阻尼与共振现象。
一、阻尼的作用和影响阻尼是指在物体振动过程中，由于外界因素的影响，振动会逐渐减弱。
实际上，几乎没有完全无阻尼的振动存在。
阻尼可以分为三种类型：无阻尼、欠阻尼和过阻尼。
首先是无阻尼振动，即在没有外界阻力的情况下，物体在势能和动能之间不断转换。
这种振动的周期保持不变，振幅也始终保持恒定。
欠阻尼振动是指在振动过程中，由于存在一定阻力，振动逐渐减弱。
这种情况下，振动的周期和振幅均会逐渐减小，但振动仍然能够继续存在一段时间。
过阻尼振动发生在外界阻力过大的情况下，物体在初始振动后无法回到平衡位置，而是以较慢的速度趋于静止。
这种情况下，振动的周期较长，振幅减小较快。
以上三种阻尼类型中，欠阻尼是最常见的情况，因为在实际环境中很少存在完全无阻尼或过阻尼的振动。
二、共振的原理和应用共振是指当外界周期性干扰物体的振动频率接近物体固有振动频率时，物体振动幅度呈现明显增大的现象。
共振现象在日常生活中也很常见，例如弹簧秤、声学乐器的共鸣等。
共振的原理可以通过简单的实验来理解。
设想一个挂在墙上的钟摆，如果我们每隔一段时间轻轻推动一次，振动幅度会逐渐增加。
而如果我们推动频率等于钟摆的固有频率，那么振动幅度将会变得非常大。
共振现象的应用非常广泛。
在工程领域中，共振现象常被用于增加机械能转换效率。
例如，共振式空压机利用共振现象来提高振动的幅度，从而增强空气的压缩效果。
在音乐领域，乐器的共鸣现象正是利用了共振的原理，使得音色更加丰满和谐。
然而，共振也可能会带来一些负面的影响。
当外界干扰频率与物体固有频率相近时，共振可能使物体遭受破坏。
这就是为什么在某些桥梁上，标明禁止振动的原因之一。
综上所述，物体振动的阻尼与共振是振动现象中重要的概念。
机械振动中的阻尼与共振
机械振动中的阻尼与共振机械振动是物体在受到外力作用下发生的周期性运动。
在机械振动中，阻尼和共振是两个重要的概念。
本文将从阻尼和共振的概念、特点以及其在实际应用中的重要性等方面进行探讨。
一、阻尼的概念与特点阻尼是指在振动系统中，由于外界介质、摩擦或其他因素的作用，使得振动幅度逐渐减小的现象。
阻尼可以分为三种类型：无阻尼、欠阻尼和过阻尼。
无阻尼的振动系统没有任何能量损失，振幅保持不变。
然而，在实际应用中，几乎不存在完全无阻尼的振动系统。
欠阻尼的振动系统在受到外界作用后，振幅会逐渐减小，但振动周期保持不变。
欠阻尼的特点是振幅递减速度较慢。
过阻尼的振动系统在受到外界作用后，振幅同样会逐渐减小，但减小的速度比欠阻尼更快。
过阻尼的特点是振幅递减速度较快。
阻尼在实际应用中起到了重要的作用，它可以减小振动系统的机械耗能，维持振动的稳定性，提高系统的寿命。
二、共振的概念与特点共振是指外力的频率与振动系统的固有频率相等或者接近时，振动系统会出现剧烈的振动现象。
共振有两种类型：强迫共振和自由共振。
强迫共振是指外力的频率与振动系统的固有频率相等或者接近，外力会对振动系统产生更大的影响，振动幅度增大。
自由共振是指在没有外力作用的情况下，振动系统的固有频率与激励力的频率发生共振现象，导致振动幅度急剧增大。
共振对于一些工程设计和科学研究具有重要意义，例如建筑物的抗震设计、桥梁的抗风设计等。
因此，了解共振的概念和特点对于相应领域的工程师和科研人员至关重要。
三、阻尼与共振在实际应用中的重要性阻尼和共振在实际应用中都扮演着重要的角色。
阻尼的重要性在于减小振动系统的能量损耗，提高系统的稳定性和寿命。
例如，在汽车悬挂系统中，使用适当的阻尼器可以减小车辆在行驶过程中的颠簸感，提高乘坐舒适性。
共振在许多领域都有着广泛的应用。
例如，音响系统中的扬声器利用共振原理产生更强的声音效果；桥梁结构设计中，需要考虑共振现象，以保证桥梁在面对风力或地震等外界力量时不会出现剧烈的振动破坏。
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2
2 0
方程的解：
x(t ) C1e( 2 02 )t C2e( 2 02 )t
其中 C1，是C2积分 常数，由初始条件
x(t)
来决定，这种情况 称为过阻尼。
t
无振动发生。
过阻尼
5
（3）如果
2
2 0
方程的解：
x(t ) (C1 C2t )e t
x(t)
C1,C2 是由初始条件 决定的积分常数。
其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定， 即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动这种
合振动忽强忽弱的现象称为拍。
16
单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频
显然，拍频是振动 cos ( 即拍频为：
2
2
1
t
)的频率的两倍。
21
2
(2
2
1
)
2
1
x(t )
t
2 (2 1 )
2 17
4.3 垂直方向、同频率简谐振动的合成 设一个质点同时参与了两个振动方向相互 垂直的同频率简谐振动，即
2
振幅有极大值
h
2 0
2
共振的振幅
pr
2 0
2
2
共振时强迫力的角频率
代入
0
arctg
2 0
2p
p
2
与强迫力的相位差
0r arctg
02 2
9
本讲提纲 §4 简谐振动的合成
4.1 同方向、同频率的简谐振动的合成 4.2 同方向、不同频率的简谐振动的合成 4.3 垂直方向、同频率简谐振动的合成 4.4 垂直方向、不同频率简谐振动的合成
21
讨论4
( 20
10
)
3
2
x2 A12
y2 A22
1
所以是在X轴半轴长为 A1 ， Y轴半轴长为
A2 的椭圆方程，且逆时针旋转。
讨论5
A1 A2
质点的轨道是圆。 X和Y方向的相位差决定旋转方向。
22
讨论6
20
10
2k 2
1
k 0，1，2，3
20 10 2k 则为任一椭圆方程。
2m
m
d2x dt 2
2
dx dt
2 0
x
h cos
pt
是典型的常系数、二阶、线性、非齐次微分方程。 由微分方程理论：
非齐次微分方程的通解= 齐次微分方程的解+非齐次的一个特解
7
2
2 0
其解为：
x(t) Ae t cos( 02 2 t 0 ) Ap cos( pt 0 )
经过足够长的时间，称为定态解：
过两个振动的相位差在缓慢地变化， 所以质点运动的轨道将不断地从下图 所示图形依次的循环变化。
当 0 2 1 时是顺时针转；
2 1 2 时是逆时针转。
24
2 1 0
2
1
4
2
1
2
2
1
3
4
5
3
4
2
7
4
25
2、如果两个互相垂直的振动频率成整数比， 合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有 周期。这种运动轨迹的图形 称为李萨如图形。
与其方向相反。
fr
v
dx dt
弹性力或准弹性力和上述阻力作用下的动力学方程：
mx kx x
2
令：
2 0
k m
;
mx kx x
2m
称 为0 振动系统的固有角频率,称 为阻尼系数
d2x dt
x
0
（1）阻尼较小时， 2 此02方程的解：
x(t ) Ae t cos(t 0 )
目录
§2 谐振子的阻尼振动
• 无阻尼的自由振动 • 谐振子的阻尼振动 §3 谐振子的受迫振动 共振
• 谐振子的受迫振动
• 共振
作业：6-7, 6-8,6-9（旧版） 6-13，6-14，6-15（新版）
§2 谐振子的阻尼振动 2-1 无阻尼的自由振动
2-2 谐振子的阻尼振动
T 2 2 m
0
k
振动系统受介质的粘滞阻力与速度大小成正比，
t
临界阻尼
2
2 0
称之为临界阻尼情况。它是振动系统
刚刚不能作准周期振动，而很快回到
平衡位置的情况，应用在天平调衡中。
是从有周期性因子 02到无 2周期性的临界点。
6
§3 谐振子的受迫振动 共振
3-1 谐振子的受迫振动
设强迫力 f H cos pt
阻尼力： fr v x
令
2 0
k m
;
； h H
A2
A
A1
| A1 A2 | A | A1 A2 |
14
4.2 同方向、不同频率的简谐振动的合成
为了简单起见，先讨论两个振幅相同， 初相位也相同，在同方向上以不同频 率振动的合成。其振动表达式分别为：
x1(t ) Acos(1t )
x2 (t ) Acos(2t )
利用三角函数关系式：
作业：6-10， 6-11 , 6-12（旧版） 6-16，6-17，6-18（新版）
10
§4 简谐振动的合成
4.1 同方向、同频率的简谐振动的合成 结论：
•• 代数方法：设两个振动具有相同频率， 同一直线上运动，有不同的振幅和初相位
x1(t ) A1 cos(t 1) x2 (t ) A2 cos(t 2 )
y
所以是在 y A2 x 直线上的运动。A1
x
20
讨论2
(20 10 )
x2 y2 2xy A12 A22 A1A2 0
所以是在 y A2 x 直线上的振动。 A1
y
讨论3
( 20
10
)
2
x
x2 y2 A12 A22 1
所以是在X轴半轴长为 A1 ， Y轴半轴长为
A2 的椭圆方程，且顺时针旋转。
x(t ) Ap cos( pt 0 )
该等幅振动的角频率就是强迫力的频率；
稳定态时的振幅及与强迫力的相位差分别为：
Ap
h
(02 p2 )2 4 2 p2
0
2p
arctg
2 0
p2
8
3-2 共振
Ap
h
(02 p2 )2 4 2 p2
求振幅对频率的极值，得出
dAp 0 dp
Ar
x A1 cos(t 10 ); y A2 cos(t 20 )
x A1
cos t
cos 10
sint sin10
y A2
cos t cos 20 sint sin 20
18
x2 A12
y2 A22
2 xy A1 A2
cos
sin2
上式是个椭圆方程，具体形状由 相位差决定。
综上所述：两个频率相同的互相 垂直的简谐振动合成后，合振动 在一直线上或者在椭圆上进行 (直线是退化了的椭圆)当两个 分振动的振幅相等时，椭圆轨 道就成为圆。
23
4.4 垂直方向、不同频率简谐振动的合成
一般是复杂的运动轨道不是封闭曲线， 即合成运动不是周期性的运动。 下面就两种情况讨论
•• 2 1 0视为同频率的合成，不
cos
cos
2 cos
cos
2
2
15
合成振动表达式：
x(t) Acos(1t ) Acos(2t )
2Acos (2 1）t cos[(2 1)t ]
2
2
当1与2 都很大，且相差甚微时，可将
| 2Acos(2 1)t / 2 |视为振幅变化部分，
合成振动是以 (2 1) / 2 为角频率的谐振动。
用李萨如图形 在无线电技术 中可以测量频 率：
Tx : Ty 1: 2
在示波器上，垂直方向与水平方向同时 输入两个振动，已知其中一个频率，则 可根据所成图形与已知标准的李萨如图 形去比较，就可得知另一个未知的频率。
26
2 0
2
阻力使周期增大 这种情况称为欠阻尼
3
由初始条件决定A和初相位 0,设
dx t 0 , x (0) x0 , dt t0 V0
即有：x0 Acos0
V0 A sin0 A cos0
x(t)
A
x02
(V0
x0 )2 2
t
tg 0
V0 x0 x0
欠阻尼
4
（2）阻尼较大时，
的仍 简然 谐是
x(t) x1(t) x2 (t)
振同 动频
。率
合振幅 Acos cost Asin sint
Acos(t )
11
•• 几何方法 Y
A
A2
A2 sin 2
2
A1
1
A1 sin1
A1 cos1 A2 cos2
X
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
arctg A1 sin1 A2 sin 2 A1 cos 1 A2 cos 2
(20 10 )
质点的运动方向与 有关。当 0 时，
质点沿顺时针方向运动；当 2 时，
质点沿逆时针方向运动。
当 A1 A2 时，正椭圆退化为圆。
19
x2 A12
y2 A22
2 xy A1 A2
cos
sin2
讨论1
( 20 10 ) 0
x2 y2 2xy A12 A22 A1A2 0
12
讨论一：
2 1 2k k 0,1,2,
A A1 A2 合振幅最大。
当 A1 A2 称为干涉相长。
A 2A1