1.2 标量场及其梯度

1.2 标量场及其梯度

1.2.1 标量场的概念

定义：在区域V 内的某种物理系统，其特性可以用标量函数ƒ(r ，t )来描述。对于

V 中任意一点r ，若ƒ(r ，t )有确定值与之对应，就称这个标量函数ƒ(r ，t )是定义于V 上

的标量场。

由定义可知标量场有两个特点：①具有单值性；②占有一个空间。 标量场有两种：恒稳标量场ƒ(r )，时变标量场ƒ(r , t )表示。

标量场ƒ(r , t ) 在某时刻空间的分布可用等值面予以形象描绘。它是该时刻ƒ(r )为同一值所有点构成的空间曲面。在直角坐标中ƒ(r )的等值面方程

ƒ(x,y,z ) = C (1.2.1)

其中C 为常数。

绘制等值面的原则：应使相邻等值面的值差保持为定值。等值面与平面相交所得的截迹线——等值线，一系列等值面（线）的疏密程度能定性反映标量场的变化情况，不同值的等值面（线）不能相交。

1.2.2 标量场的梯度

（1）对于定义在V 中连续、可微的标量场ƒ(x,y,z )，考察它在(x,y,z )点邻域内沿某一方向的变化情况，如图所示。由 (x ,y ,z ) 点到

(x+dx ，y+dy ，z+dz ) 点的微分位移用线元矢

量表示

d l = d x

e x +d y e y +d z e z （1.2.2）

标量场的相应微增量

z

z

f y y f x x f f d d d d ∂∂+∂∂+∂∂=

, z +d z )

(1.2.3) 改写上式为

()z y x z y x z y x z

f

y f x f f e e e e e e d d d )(d ++⋅∂∂+∂∂+∂∂=

l e e e d )(⋅∂∂+∂∂+∂∂=z y x z

f

y f x f

括号内的矢量称为标量场ƒ(x,y,z )在点(x,y,z )的梯度，记作f ∇

)

(z y x z

f

y f x f f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇

（1.2.4）

于是，标量场微增量可写为

l

d d ⋅∇=f f

（1.2.5）

（2）讨论：

① 上式的表达形式与坐标系无关，它是标量场梯度的定义式。 ② 梯度是矢量，它有的大小和方向。

θcos d d d l f f f ∇=⋅∇=l ，在d l 为定长的条件下，当θ=0即d l 的取向与f ∇的

方向一致时，d ƒ才具有最大值d ƒ|max =l f d ∇，或是max

max

l

f

l

f

f d d d d =

=

∇。可见梯度

的模是标量场f (x,y,z ) 在点 (x,y,z ) 的最大变化率，梯度的方向是获得这个最大变化率应沿着的方向。

③ d l 的取向与f ∇的方向不一致时，因l l f f f

e l d d d ⋅∇=⋅∇=，有

l l f f l

f

)(∇=⋅∇=∂∂e （1.2.6） 称为标量场ƒ(x ,y ,z ) 在点 (x,y,z ) 沿任意矢量l 方向的方向导数。ƒ(x,y,z )在x 、y 、z 方向上的方向导数就是f ∇的相应坐标分量，有

⎪⎪⎪⎭

⎪

⎪⎪⎬⎫⋅∇=∇=∂∂⋅∇=∇=∂∂⋅∇=∇=∂∂z z y y x x f f z f

f f y f f f x

f

e e e )()()( （1.2.7） ④

f ∇与标量场的等值面（线）处处正交：0d =⋅∇l f 。

3. ∇算符

改写梯度表达式

f z y x

z f y f x f f z y x z y x ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∇e e e e e e )(

定义

z

y x z y x ∂∂

+∂∂+∂∂=∇e e e （1.2.8）

称为这个一阶微分矢量算符为∇算符（读作del ）。这是它在直角坐标系中的具体形式为。在使用中应掌握∇算符的特点：

① 在不同坐标系中，∇算符有不同的表达形式；

②∇ 算符与其它算符（如微分、积分算符）一样，单独存在没有任何意义； ③ ∇算符的矢量特性。∇算符不是一个真实矢量，但在对其右端的场函数进行有意义的运算中，必须视为矢量，并赋予它矢量的一般特性：2∇=∇⋅∇，0=∇⨯∇；

④ ∇算符的微分特性。下面举算例说明：

()()()()z y x fg z

fg y fg x fg e e e ∂∂

+∂∂+∂∂=∇ z y x z f g z g f y f g y

g f x f g x g f e e e ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=z y x z y x z f y f x f g z g y g x g f e e e e e e

f g g f ∇+∇=

比较微分公式

()()()f g g f f g g f fg g f fg C C C C d d d d d d d +=+=+=

可见进行梯度运算，只需先按微分公式运算，再将d 换成∇算符即可。此例可作为梯

度的基本运算公式。

1.2.4 梯度运算基本关系

（1） 对于相对坐标标量函数f (r -r ')，有

f f ∇'-=∇ （1.2.9）

其中：f ∇表示对场点r 求f (r -r ')的梯度，f ∇'表示对源点r '求f (r -r ')的梯度。 （2） 对于相对位置矢量R = r -r '的模R = |r -r '|，有

R R

R e R

==∇ （1.2.10） 231R

R R R e R

-=-=∇ （R ≠ 0） （1.2.11） 证：在直角坐标系中

z y x z z y y x x e e e R )()()('-+'-+'-=

1/2222])()()[(z z y y x x R '-+'-+'-=

则

R x x R x x z z y y x x x

z z y y x x x R )()(221])()()[(])()()[(2

1

2221/2222'-='-⋅='-+'-+'-∂∂

⋅'-+'-+'-=∂∂- 同理有 R y y y R )('-=∂∂ ， R

z z z R )('-=∂∂ 于是

R z y x z y x R

z z y y x x R z

R

y R x R R e R e e e e e e =='-+'-+'-=∂∂+∂∂+∂∂=

∇])()()[(1