2020年高三数学综合练习试题及评分标准
哈尔滨市第三中学2020届高三数学综合题三理含解析
即OE与FD1所成的角的余弦值为 。
10. 若函数 在其定义域的一个子区间 内不是单调函数，则实数 的取值范围是（ ）
A. B。 C。 D.
【答案】D
【解析】
因 ，故由题设 在区间 内有零点，即 ，所以 且 ，即 ，应选答案D．
11。 已知两正数 ， ，满足 ，则 的最小值为（ ）
【详解】解：∵ ，
复数 的虚部是 ．
故选:C
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础的计算题。
2. 已知 ，函数 ,若 满足关于 的方程 ，则下列选项的命题中为假命题的是
A. B。
C. D。
【答案】C
【解析】
试题分析:因为, 满足关于 的方程 ，所以， ，使 取得最小值，因此， 是假命题，选C．
15。 中, ， ， ， 为 边上一动点，则 的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据三边长得出直角三角形,以 作为基底,表示出 ，即可求得模长，利用函数单调性求出最值。
【详解】 中， ， , ， ，
根据勾股定理
为 边上一动点，设 ,
，
，
则
，根据二次函数性质，当 时，取得最小值，
最小值为 。
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案填在答题卡相应的位置上.）
13。 展开式中 的系数是______。（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】
利用二项式定理得到 展开式通项,进而得到 展开式通项，令 幂指数等于 可求得 ，代入求得结果。
【详解】 展开式通项公式为 ,
展开式通项公式为 ,
考点:方程的根，二次函数的图象和性质，全称命题、存在性命题．
高2020届高三下学期综合练习1参考答案及评分标准(1)(1)
高2020届高三下学期综合练习1参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6. C 7. A 8．A 9．B 10．D 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 注：第15题第一问3分，第二问2分.11．-1012 13．3 14．答案不唯一，如2211648x y -= 15.1232；5三、解答题：本大题共6小题，共85分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为1()2cos cos )2f x x x x =⋅-……………… 2分2cos cos x x x=-112cos222x x --……………… 5分π1sin(2)62x =--， ……………… 7分所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. ……………… 8分（Ⅱ）因为π02x -≤≤，所以7πππ2666x ---≤≤． ……………… 9分所以当ππ262x -=-，即π6x =-时，()f x 取得最小值32-. ……………… 11分 当π7π266x -=-，即π2x =-时，()f x 取得最大值0． ……………… 13分 17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M ， ……………… 1分 由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，……………… 2分 所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率193929()10050P M +==.……………… 3分 （Ⅱ）由题意，X 的所有可能取值为：0，1，2. ……………… 4分因为在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人为老年人概率是151755=， ……………… 5分 所以022116(0)C (1)525P X ==⨯-=， ……………… 6分 12118(1)C (1)5525P X ==⨯⨯-=， ……………… 7分 22211(2)C ()525P X ==⨯=. ……………… 8分所以随机变量X 的分布列为：……………… 9分 故16812()0122525255E X =⨯+⨯+⨯=. ……………… 11分 （Ⅲ）答案不唯一，言之有理即可.如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：521012511011652121115⨯+⨯+⨯=++，乘坐飞机的人满意度均值为：410145702241475⨯+⨯+⨯=++， ……………… 13分因为11622155>， 所以建议甲乘坐高铁从A 市到B 市. …………… 14分 第3问仅文字说明，且有理，只得1分； 要有必要的计算数据支撑观点，共2分 从满意度来说理，且有数据支撑，得2分从人多少啥得说理，有数据支撑，得1分（因为这里有从众心理）意图数学问题的解答，应“有理有据” 18．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）由题意，三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱. 连接1A C . 设11AC AC E =I ，则E 是1A C 的中点. 连接DE . 由D ，E 分别为BC 和1A C 的中点，得1//DE A B . ……………… 2分又因为DE ⊂平面1AC D ，1A B ⊄平面1AC D ，所以1//A B 平面1AC D . ……………… 4分B 1 CDB AA 1C 1E（Ⅱ）取11B C 的中点F ，连接DF .因为△ABC 为正三角形，且D 为BC 中点， 所以AD BC ⊥.由D ，F 分别为BC 和11B C 的中点，得1//DF BB ，又因为1BB ⊥平面ABC ， 所以DF ⊥平面ABC ， 所以DF AD ⊥，DF BC ⊥.分别以DC ，DF ，DA 为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系，… 5分 则A ，1(1,2,0)C ，(1,0,0)C ，(0,0,0)D ，(1,0,0)B -，所以1(1,2,0)DC =u u u u r ，DA =u u u r ，(CA =-u u u r ，1(0,2,0)CC =u u u u r， …… 6分设平面1AC D 的法向量1111(,,)x y z =n ， 由10DA ⋅=u u u r n ，110DC ⋅=u u u u r n ，得1110,20,x y =+=⎪⎩令11y =，得1(2,1,0)=-n . ……………… 8分 设平面1AC C 的法向量2222(,,)x y z =n ， 由20CA ⋅=u u u r n ，120CC ⋅=u u u u r n ，得2220,20,x y ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩令21z =，得2=n . ……………… 9分 设二面角1C AC D --的平面角为θ，则 1212|cos |||||||θ⋅=⋅n n n n ， ……………… 10分 由图可得二面角1C AC D --为锐二面角， 所以二面角1C AC D --. ……………… 11分 （Ⅲ）结论：直线11A B 与平面1AC D 相交. ……………… 12分 证明：因为(1,0,AB =-u u u r，11//A B AB ，且11=A B AB ，所以11(1,0,A B =-u u u u r. ……………… 13分 又因为平面1AC D 的法向量1(2,1,0)=-n ，且11120A B ⋅=≠u u u u rn ，所以11A B u u u u r与1n 不垂直，所以11A B ⊄平面1AC D ，且11A B 与平面1AC D 不平行，故直线11A B 与平面1AC D 相交. ……………… 15分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，得F，直线(l y k x =-：（0k ≠）， ……………… 2分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立22(1,4y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩消去y，得2222(41)(124)0k x x k +-+-=，…… 3分显然0∆>，12x x +=， ……………… 4分则点M的横坐标122M x x x +=， ……………… 5分因为0M x =>， 所以点M 在y 轴的右侧. ……………… 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得点M的纵坐标2(41M M y k x k ==+. ……………… 7分即M .所以线段AB的垂直平分线方程为：1(y x k +=-. ……… 8分 令0x =，得D ；令0y =，得C . ……………… 10分 所以△ODC的面积222127||22(41)ODCk k S k ∆⋅=⋅⋅+， ……… 11分△CMF的面积22213(1)||||22(41)CMFk k S k ∆+⋅=⋅⋅=+. …… 12分 因为△ODC 与△CMF 的面积相等，所以22222227||3(1)||2(41)2(41)k k k k k k ⋅+⋅=++，解得4k =±.所以当△ODC 与△CMF 的面积相等时，直线l 的斜率k =. ……… 14分 20．（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）由21()e 2x f x x =+，得()e x f x x '=+, ……………… 2分 所以(0)1f =，(0)1f '=.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=. …………… 4分 （Ⅱ）由21()e 2x f x x x =-+，得()e 1x f x x '=-+， 则(0)0f '=. … …………… 5分 当0x >时，由e 10,0x x ->>，得()e 10x f x x '=-+>，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； ……………… 7分 当0x <时，由e 10,0x x -<<，得()e 10x f x x '=-+<， 所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减.综上，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞. … 9分（Ⅲ）由21()2f x x x b ++≥，得e (1)0x a x b -+-≥在x ∈R 上恒成立.设()e (1)x g x a x b =-+-， ……………… 10分 则()e (1)x g x a '=-+.由()e (1)0xg x a '=-+=，得ln(1)x a =+，（1a >-）. ……………… 11分随着x 变化，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在(,ln(1))a -∞+上单调递减，在(ln(1),)a ++∞上单调递增. 所以函数()g x 的最小值为(ln(1))(1)(1)ln(1)g a a a a b +=+-++-.由题意，得(ln(1))0g a +≥，即 1(1)ln(1)b a a a --++≤. …………… 13分设()1ln (0)h x x x x =->，则()ln 1h x x '=--.因为当10e x <<时，ln 10x -->； 当1e x >时，ln 10x --<， 所以()h x 在1(0,)e 上单调递增，在1(,)e +∞上单调递减.所以当1e x =时，max 11()()1e eh x h ==+. 所以当11e a +=，1(1)ln(1)b a a a =+-++，即11e a =-，2eb =时，b a -有最大值为11e+. …………… 15分 第（1）问：直线不化简，不扣分； 第（2）问：求导不给分；第（3）问：不给出a , b 的取值，扣1分（注：h(x)设得不好，便成了复合函数，注意这里没有超纲）21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）答案不唯一. 如{1,2,3,,100}A =L ； ……………… 3分 （Ⅱ）假设存在一个0{101,102,,200}x ∈L 使得0x A ∈, ……………… 4分 令0100x s =+，其中s ∈N 且100s ≤≤1，由题意，得100s a a A +∈， ……………… 6分 由s a 为正整数，得100100s a a a +>，这与100a 为集合A 中的最大元素矛盾， 所以任意{101,102,,200}x ∈L ，x A ∉. ……………… 8分 （Ⅲ）设集合{201,202,,205}A I L 中有(15)m m ≤≤个元素，100m a b -=， 由题意，得12100200m a a a -<<<L ≤，10011002100200m m a a a -+-+<<<<L ，由（Ⅱ），得100100m a b -=≤. 假设100b m >-，则1000b m -+>. 因为10010010055100b m m -+-+=<-≤， 由题设条件，得100100m b m a a A --++∈，因为100100100100200m b m a a --+++=≤， 所以由（Ⅱ）可得100100100m b m a a --++≤，这与100m a -为A 中不超过100的最大元素矛盾，所以100100m a m --≤， 又因为121001m a a a -<<<L ≤，i a ∈N ，所以(1100)i a i i m =-≤≤. ……………… 11分 任给集合{201,202,203,204}的1m -元子集B ，令0{1,2,100}{205}A m B =-L U U，以下证明集合0A 符合题意： 对于任意,i j 00)(1i j ≤≤≤1，则200i j +≤.若0i j A +∈，则有m i j +≤100-，所以i a i =，j a j =，从而0i j a a i j A +=+∈.故集合0A 符合题意， ……………… 13分 所以满足条件的集合A 的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同， 故满足条件的集合A 有4216=个. ……………… 14分第（2）问，说清楚101，然后逐一列举，最多可以给到满分。
昌平区2020年高三年级第二次统一练习数学试卷参考答案与评分标准
昌平区 2020 年高三年级第二次统一练习数学试卷参考答案及评分标准2020.6一、选择题（共10 小题，每小题 4 分，共 40 分）题号（ 1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（ 9）（10）答案B D C A BＣＡA C B二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25分）（11）5（ 12） S n n24n（13） 5（ 14）12 2（ 15）①②；3（注：第 14 题第一空 3 分 ,第二空 2 分；第 15 题全部选对得 5 分，不选或有错选得0分，其他得 3 分.）三、解答题共 6 小题，共85 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（16）（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）在 ABC 中，由正弦定理，因为3a cos B bsin A ，所以 3 sin Acos B sin Bsin A.⋯⋯⋯⋯⋯ ..2分因为 sin A0 ，所以 3 cos B sin B.所以 tan B 3.⋯⋯⋯⋯⋯ ..4分因为0Bπ，π⋯⋯⋯⋯⋯ ..6 分所以B.3（Ⅱ）因为 b2， c2a，由余弦定理 b2a2c22ac cos B 可得4a24a22a2a1.⋯⋯⋯⋯⋯ ..8分2所以 a 23,c43.⋯⋯⋯⋯⋯ ..12分33所以 S ABC 1acsin B1 2 3 433 2 3 .⋯⋯⋯⋯⋯ ..14 分223323（17）（本小题满分 14 分）解 1；选择①因为 PA平面 ABCD ，所以 PA AD，PA CD .⋯⋯⋯⋯⋯ ..1 分因为 PA AD CD 2 ，所以 PD2 2 .因为 PC2 3 ，所以 CD2PD 2PC2.所以 CD PD .⋯⋯⋯⋯⋯ .4分因为 PAI PD P ，所以 CD平面 PAD .⋯⋯⋯⋯⋯ .6分所以 CD AD .因为 CD BC ，所以 AD// BC.⋯⋯⋯⋯⋯ .7分所以四边形 ABCD 是直角梯形.解 2；选择②因为 PA平面 ABCD ，所以 PA AD，PA CD .⋯⋯⋯⋯⋯ ..1分因为 PA AD CD 2 ，zP所以 PD2 2 .因为 PC2 3 ，E所以CD2PD 2PC2.所以 CD PD .⋯⋯⋯⋯⋯.4因为 PAI PD P ，所以 CD平面PAD .所以 CD AD.因为 BC // 平面 PAD ， BC 所以 BC// AD.A Dy 分MB Cx⋯⋯⋯⋯⋯ .6 分平面 ABCD ，平面 PAD I 平面 ABCD =AD ，所以四边形ABCD 是直角梯形.⋯⋯⋯⋯⋯.7分过A作 AD的垂线交 BC于点 M .因为 PA 平面 ABCD ，所以 PA AM , PA AD .⋯⋯⋯⋯⋯.8分如图建立空间直角坐标系 A xyz .⋯⋯⋯⋯⋯.9分则 A(0,0,0), C (2,2,0), D (0,2,0), P(0,0,2) . 因为 E 为 PB 中点， 所以 E(1,1,1).uuur2uuuruuur1 (2,2,(0,2, 2) .⋯⋯⋯⋯⋯ .10 分所以 AE(1,,1),PC 2), PD2r设平面 PCD 的法向量为 n ( x, y, z) ，则 r uuur 0, 2x 2 y 2z 0,n PC r uuur 即 2y 2z 0. ⋯⋯⋯⋯⋯ .11分n PD 0.令 y1,则 z 1, x0 .r (0,1,1)于是 n .⋯⋯⋯⋯⋯ .12 分设直线 AE 与平面 PCD 所成的角为，r uuurr uuur 11 1 1所以 sinn AE2 2.| cos n, AE | ruuur36| n || AE |22所以直线 AE 与平面 PCD 所成角的正弦值为2 .⋯⋯⋯⋯⋯ .14分6(18)（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）因为 (0.05+0.1+0.18+ a0.320.1 0.03 0.02)1 1 ，所以 a0.2 .⋯⋯⋯⋯⋯ .2分因为 0.2 1 100=20 ，所以居家自主学习和锻炼身体总时间该天在 [5,6) 的学生有 20 人.⋯⋯.3 分所以从该校高三年级中随机抽取一名学生， 这名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间在 [5,6) 的概率为20 =0.2 . ⋯⋯⋯⋯⋯ .5分100（Ⅱ）由图中数据可知该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[2,3) 和 [8,9) 的人分别有5人和 3 人.⋯⋯⋯⋯⋯.6 分所以 X 的所有可能取值为0,1,2,3.⋯⋯⋯⋯⋯.7 分P( X 0) C 53 5P( X1) C 52C 31 15,C 3，C 3282888P( X 2) C 51C 32 153)C 331⋯⋯⋯⋯⋯.9 分C 3 ， P(XC 3 .565688所以 X 的分布列为X0123P51515128285656所以 X 的期望E(X)051152 15319.⋯⋯⋯⋯ .11 分282856568（ III ）样本中的100 名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在[5,6) .⋯14分(19) （本小题满分15 分）c5,a5,a5解：（Ⅰ）由题意得2b4,解得b2,⋯⋯⋯⋯⋯ .3 分a2b2c2 ,c 1.即椭圆的方程为x2y21．⋯⋯⋯⋯⋯ .5分54（Ⅱ）法一由题意，直线l 的斜率存在.当 k 0时，直线l的方程为y1.代入椭圆方程有x 15. 2则 C (15,1), D (15,1) . 22所以 k AC 216216. 15, k AD15151522所以 k AC kAD6612 .⋯⋯⋯⋯⋯ .8分15155当 k0时，则直线 l 的方程为y kx1．y kx1,由x2y2，得 (4 5k 2 ) x210kx150 .⋯⋯⋯⋯⋯.9 分15 4设C( x1 , y1 ) ， D ( x2 , y2 ) ，则 x 1 x 210k2, x 1 x215 ．⋯⋯⋯⋯ 10 分4 5k 4 5k 2又 A(0, 2) ，所以 k AC y 1 2y 2 2⋯⋯⋯⋯⋯ .11分，k ADx 2 .x 1因为 k ACk AD y 12 y 22 (kx 1 3)( kx 2 3)x 1gx 1x 2x 2k 2 x 1x 2 3k (x 1 x 2 ) 923k ( x 1 x 2 ) 9x 1 x 2kx 1x 23k(10k 2 ) 930k 236 45k 2 12k24 5k k 21515. 54 5k 2即直线 AC 的斜率与直线 AD 的斜率乘积为定值．⋯⋯⋯⋯⋯ .1 5 分法二设直线 l 的斜率为 k ，则直线 l 的方程为 y kx 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯ .6 分y kx 1,由 x 2 y 2 ，得 (45k 2) x 2 10kx 150 .⋯⋯⋯⋯⋯ .7分154设 C( x 1 , y 1 ) ， D ( x 2 , y 2 ) ，则 xx10k , x x15 ．⋯⋯⋯⋯⋯ .9 分1 24 5k 2 1 2 4 5k 2又 A(0, 2) ，所以 k ACy 1 2，k AD y 2 2 .⋯⋯⋯⋯⋯ .11分x 1 x 2因为 k ACy 1 2 y 2 2 (kx 1 3)( kx 23)k AD x 1 gx 2 x 1x 2k 2 x 1x 2 3k (x 1 x 2 ) 9k 23k ( x 1 x 2 ) 9x 1 x 2x 1x 23k(10k 2 ) 92 30k 2 36 45k 212k 245k k1515.54 5k 2即直线 AC 的斜率与直线AD 的斜率乘积为定值．⋯⋯⋯⋯⋯ .15 分(20)（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）当 a 1时， f (x) 1 x3x 1.3因为 f'( x) x2 1，⋯⋯⋯⋯⋯ .1分所以 f'(0)1.⋯⋯⋯⋯⋯ .2 分所以曲线 y f (x) 在点 (0，1) 处的切线方程为 x y 10 .⋯⋯⋯⋯⋯.4分（ II ）定义域为R .因为 f '( x)x2a, a R .①当 a0 时，f'(x)0恒成立 .所以函数 y f(x) 在(-,+) 上单调递增.⋯⋯⋯⋯⋯.5 分②当 a0 时，f'(x)0恒成立 .所以函数 y f( x) 在(-,+) 上单调递增.⋯⋯⋯⋯⋯.6 分③当 a0 时，令f '(x)0 ，则 x a 或 x a .⋯⋯⋯⋯⋯ .7 分所以当 f '(x)0 时， x a 或 x a ；当 f '(x)0时，a x a .⋯⋯⋯⋯⋯ .8分所以函数 y f ( x) 在 (, a ) 和（ a，) 上单调递增，在 (a, a ) 上单调递减.⋯⋯⋯⋯⋯.9 分综上可知，当 a0 时，函数y f (x) 在(-,+ ) 上单调递增；当 a0 时，函数y f ( x) 在 (, a ) 和（a，) 上单调递增，在( a , a ) 上单调递减.（III ）法一：由（Ⅱ）可知，（ 1）当a0 时，函数y f (x) 在(-,+ ) 上单调递增；所以当 x(0,2)时， f min (x) f (0) a.因为 |1 a | =(1 a)a1，所以 f ( x)|1 a | .⋯⋯⋯⋯⋯.10分（ 2）当a0 时，函数y f ( x) 在 (, a ) 和（ a，) 上单调递增，在( a , a ) 上单调递减.①当 0 a 1，即0 a1时，|1 a | 0.所以当 x(0,2) 时，函数 y f ( x) 在 (0, a ) 上单调递减，（ a，2)上单调递增，f min (x) f ( a )1( a )3a a + a3 a( 2a +1) 0 3所以 f ( x)|1a | .⋯⋯⋯⋯⋯ .1 1 分②当 1 a 2 ，即1 a 4 时，|1 a | =1 a 0 .由上可知 fmin ( x) f (a)a(21)，a3因为 a(2 a 1)(1a)2a2a a 1 ，33设 g (x)2x x1,(1x4) . 2x3因为 g '(x)2x0，所以 g( x) 在 (1,4) 上单调递增.所以 g( x)g (1)10 .3所以 a(2 a 1)(1a)2a2a a1033所以 f ( x)|1 a |.⋯⋯⋯⋯⋯ .13 分③当 a2，即a4时，|1 a | =1a0 .所以当 x(0,2)时， f min ( x) f (2)81 a .a3所以 f (x)|1 a | .综上可知，当x(0,2)时， f (x)|1 a |.⋯⋯⋯⋯⋯ .14 分（III ）法二：因为 f ( x) (|1 a |) f ( x) |1 a |，①当 a 1 时，因为 x (0,2) ，所以所以ax x .f ( x)|1 a | =f ( x) 1 a 1 x3ax 1 1 x3x 1 .⋯⋯⋯⋯⋯10分33②当 a 1 时，f ( x)|1a | = f ( x)a1 1 x3ax2a11 x3a(2x)133因为 x(0,2)，所以 a(2x)(2x) .所以 f ( x)|1 a |1x3a(2 x)11x3(2x)11x3x 1 .. 11分1 x3333设 g( x)x 1.3因为 g '( x)x2 1( x1)( x1) ，所以当 g '( x)0 时，x1或 x1，当 g '( x)0 时， 1 x 1.⋯⋯⋯⋯⋯ .12分所以 g(x) 在 (0,1) 上单调递减，在(1,2) 上单调递增.⋯⋯⋯⋯⋯ 13分所以 g( x)g(1)10.min3所以当 x(0,2) 时， f ( x)|1 a | .⋯⋯⋯⋯⋯ .14分(21)（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）数列⑴不是{ a n } 的完全数列；数列⑵是{ a n } 的完全数列．⋯⋯⋯⋯⋯.2分理由如下：数列⑴： 3,5,7,9,11 中，因为3+9=5+7=12，所以数列⑴不是{ a } 的完全数列；数列⑵： 2,4,8,16 中，所有项的和都不相等，数列⑵是{ a n } 的完全数列． ⋯ .4 分（Ⅱ）假设数列{ b k } 长度为 m ≥ 7 ，不妨设 m= 7 ，各项为 b 1 b 2 b 3L b 7 ．考虑数列 { b k } 的长度为 2,3,L ,7 的所有子列，一共有27 1 7 120 个．记数列 { b k } 的长度为 2,3,L ,7 的所有子列中， 各个子列的所有项之和的最小值为a ，最大值为 A . 所以 ab 1b 2 ， A b 1 b 2 25 24 23 2221 b 1 b 2 115 ．所以其中必有两个子列的所有项之和相同． 所以假设不成立．再考虑长度为 6 的子列： 12， 18， 21， 23， 24，25，满足题意 .所以子列 { b k } 的最大长度为 6．⋯⋯⋯⋯⋯ .9分（Ⅲ）数列 { a n } 的子列 { b k } 长度 m 5 ，且 { b k } 为完全数列，且各项为b 1 b 2 b 3 Lb 5 ．所以，由题意得，这 5 项中任意 i (1≤ i ≤ 5) 项之和不小于 2i 1 ．即对于任意的 1≤ i ≤ 5 ，有 b 1 b 2 Lb i ≥ 2i1 ，即 b 1 b 2i 1.L b i ≥ 1 2 4 L 2对于任意的 1≤ i ≤ 5 ， (b 1 1) (b 22) L(b i - 2i 1)≥ 0，设 c i b i 2i 1（ (i 1,2,3,4,5) ），则数列 { c i } 的前 j 项和 D j ≥ 0 ( j 1,2,3,4,5) ．下面证明： 1 1 11 1≤ 1 1 1 1 1 ．b 1 b 2 b 3 b 4b 5 2 4 8 16 1 1 1 1) (1 1 1 11 )因为(1b 1 b 2 b 3b 4 b 524816(1 1) (11) (1 1) (1 1) (1 1 )b 1 2 b 2 4 b 3 8 b 4 16 b 5 b 1 1 b 2 2 b 34 b 4 8 b 516b 12b 2 4b 38b 416b 5D 1 D 2D 1 D 3D 2D 4 D 3D 5 D 4b 12b 2 4b 38b 4 16b 511) D 2(1111) D 4(11)D 5 ≥ 0 ，D 1 (2b 2) D 3(8b 416b 5b 1 2b 24b 34b 3 8b 4 16b 5所以11111≤ 1111131 ，当且仅当b1b2b3b4b524816 16b i 2i 1( i1,2,3,4,5)时，等号成立．所以11111 的最大值为31 ．⋯⋯⋯⋯⋯ .14 分b1b2b3b4b516。
2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (63)
2020高考数学模拟试题（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合，则A∩B＝（）A．{x|﹣3≤x≤1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣3≤x＜1}D．{x|﹣1≤x≤0} 2．设复数z＝，则|z|＝（）A．B．C．D．3．在等差数列{a n}中，若a3＝5，S4＝24，则a9＝（）A．﹣5B．﹣7C．﹣9D．﹣114．已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（3，5），且a＝（）α，b＝，c＝logα，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a5．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）A．该市总有15000 户低收入家庭B．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800 户C．在该市无业人员中，低收入家庭有4350 户D．在该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有800 户6．平面内不共线的三点O，A，B，满足||＝1，||＝2，点C为线段AB的中点，若||＝，则∠AOB＝（）A．B．C．D．7．（1+2x﹣）8的展开式中x2y2项的系数是（）A．420B．﹣420C．1680D．﹣16808．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍薨．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（）A．B．C．27D．189．函数f（x）＝6|sin x|﹣的图象大致为（）A．B．C．D．10．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为A＝{（x，y）}，设点（x，y）∈A，则z＝x+2y的取值范围是（）A．[﹣2﹣，2]B．[﹣2，2]C．[﹣2，2+]D．[﹣4，2+] 11．关于函数f（x）＝|cos x|+cos|2x|有下列四个结论：①f（x）是偶函数；②π是f（x）的最小正周期；③f（x）在[π，π]上单调递增；④f（x）的值域为[﹣2，2]．上述结论中，正确的个数为（）A．1B．2C．3D．412．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，若该数列前n项和N 满足：①N＞80②N是2的整数次幂，则满足条件的最小的n为（）A．21B．91C．95D．101二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．椭圆＝1的离心率是．14．设某总体是由编号为01，02，……，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为．1818 0792 4544 1716 5809 7983 8617第1行6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238第2行15．已知点A（0，1），抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|：|MN|＝1：2，则实数a的值为．16．已知四棱锥S﹣ABCD的底面为矩形，SA⊥底面ABCD，点E在线段BC上，以AD为直径的圆过点E．若SA＝AB＝3，则△SED面积的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考试必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a﹣b）2＝c2﹣ab．（1）求角C；（2）若4c cos（A+）+b sin C＝0，且a＝1，求△ABC的面积．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC＝BC，AB＝2BC，D为线段AB上一点，且AD＝3DB，PD⊥平面ABC，PA与平面ABC所成的角为45°．（1）求证：平面PAB⊥平面PCD；（2）求二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值．19．已知椭圆C：+y2＝1，不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C相交于M，N两点．（1）若线段MN的中点坐标为（1，），求直线l的方程；（2）若直线l过点P（p，0），点Q（q，0）满足k QM+k QN＝0，求pq的值．20．某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏中，主持人给出A，B，C，D四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种食物排除的序号依次为x A x B x C x D，家长猜测的序号依次为y A y B y C y D，其中x A x B x C x D和y A y B y C y D都是1，2，3，4四个数字的一种排列．定义随机变量X＝（x A﹣y A）2+（x B﹣y B）2+（x C﹣y C）2+（x D﹣y D）2，用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度．（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．（ⅰ）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；（ⅱ）求X的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足X＜4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由．21．已知函数f（x）＝ln（ax+b）﹣x（a，b∈R，ab≠0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≤0恒成立，求e a（b﹣1）的最大值．四、（二）选考题：请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）已知点M（2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y，z均为正数．（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合，则A∩B＝（）A．{x|﹣3≤x≤1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣3≤x＜1}D．{x|﹣1≤x≤0}【解答】解：解一元二次不等式x2+2x﹣3≤0得：﹣3≤x≤1，即A＝{x|﹣3≤x≤1}，解根式不等式＜2得：0≤x＜4，即B＝{x|0≤x＜4}，即A∩B＝，故选：B．2．设复数z＝，则|z|＝（）A．B．C．D．【解答】解：z＝＝＝＝﹣﹣i，则|z|＝＝＝＝，故选：D．3．在等差数列{a n}中，若a3＝5，S4＝24，则a9＝（）A．﹣5B．﹣7C．﹣9D．﹣11【解答】解：数列{a n}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∵a3＝5，S4＝24，∴a1+2d＝5，4a1+d＝24，联立解得a1＝9，d＝﹣2，则a9＝9﹣2×8＝﹣7．故选：B．4．已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（3，5），且a＝（）α，b＝，c＝logα，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a【解答】解：∵幂函数f（x）＝xα的图象经过点（3，5），∴3α＝5，∴α＝log35∈（1，2），∴0＜a＝（）α＜1，b＝＞1，c＝logα＜logα1＝0，∴c＜a＜b．故选：A．5．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）A．该市总有15000 户低收入家庭B．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800 户C．在该市无业人员中，低收入家庭有4350 户D．在该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有800 户【解答】解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%，则该市总有低收入家庭900÷6%＝15000（户），A正确；该市从业人员中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（户），B正确；该市无业人员中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（户），C正确；该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有15000×4%＝600（户），D错误．故选：D．6．平面内不共线的三点O，A，B，满足||＝1，||＝2，点C为线段AB的中点，若||＝，则∠AOB＝（）A．B．C．D．【解答】解：延长OC到E，使得CE＝OC＝，连AE，BE，则四边形OAEB为平行四边形，∴BE＝1，∴cos∠OBE＝＝，∴∠OBE＝，∴∠AOB＝π﹣∠OBE＝π﹣＝．故选：C．7．（1+2x﹣）8的展开式中x2y2项的系数是（）A．420B．﹣420C．1680D．﹣1680【解答】解：（1+2x﹣）8的展表示8个因式（1+2x﹣）的乘积，故其中有2个因式取2x，有2个因式取﹣，其余的4个因式都取1，可得含x2y2的项．故展开式中x2y2项的系数是•22•••＝420，故选：A．8．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍薨．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（）A．B．C．27D．18【解答】解：原图为正四棱台，两底的长分别为2和6，高为2，该刍薨的体积为，故选：B．9．函数f（x）＝6|sin x|﹣的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：f（﹣x）＝f（x），则f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，排除C，f（π）＝1﹣＜0，排除B，f（）＝6﹣≈6﹣＞4，排除D，故选：A．10．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为A＝{（x，y）}，设点（x，y）∈A，则z＝x+2y的取值范围是（）A．[﹣2﹣，2]B．[﹣2，2]C．[﹣2，2+]D．[﹣4，2+]【解答】解：如图，作直线x+2y＝0，当直线上移与圆x2+（y﹣1）2＝1相切时，z＝x+2y 取最大值，此时，圆心（0，1）到直线z＝x+2y的距离等于1，即，解得z的最大值为：2+，当下移与圆x2+y2＝4相切时，x+2y取最小值，同理，即z的最小值为：﹣2，所以z∈．故选：C．11．关于函数f（x）＝|cos x|+cos|2x|有下列四个结论：①f（x）是偶函数；②π是f（x）的最小正周期；③f（x）在[π，π]上单调递增；④f（x）的值域为[﹣2，2]．上述结论中，正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：f（x）＝|cos x|+cos|2x|＝|cos x|+2cos2|x|﹣1，由cos|x|＝cos x，可得f（x）＝|cos x|+2cos2x﹣1＝2|cos x|2+|cos x|﹣1，由f（﹣x）＝2|cos（﹣x）|2+|cos（﹣x）|﹣1＝f（x），则f（x）为偶函数，故①正确；可令t＝|cos x|，可得g（t）＝2t2+t﹣1，由y＝|cos x|的最小正周期π，可得f（x）的最小正周期为π，故②正确；由y＝cos x在[﹣，0]递增，在[0，]递减，可得f（x）在[，π]递增，在[π，]递减，故③错误；由t∈[0，1]，g（t）＝2（t+）2﹣，可得g（t）在[0，1]递增，则g（t）的值域为[﹣1，2]，故④错误．故选：B．12．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，若该数列前n项和N 满足：①N＞80②N是2的整数次幂，则满足条件的最小的n为（）A．21B．91C．95D．101【解答】解：依题意，因为N满足条件①N＞80②N是2的整数次幂，所以S n＝N＝2k，（k∈N*，且k≥7）如图：第m行各项的和为2m﹣1，前m行之和＝（21﹣1）+（22﹣1）+……+（2m﹣1）＝（2+22+23+……+2m）﹣m＝2m+1﹣m﹣2，设满足条件的n在第m+1行，则前m行之和为2m+1﹣m﹣2≤2m+1，故N＝2m+1，则m+2＝1+2+4+……+2s，则满足条件的m的最小值为13，且N为第14行的第4项．所以n＝+4＝95．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．椭圆＝1的离心率是．【解答】解：由椭圆的标准方程可知，a＝2，b＝，∴c＝＝1∴e＝＝．故答案为：．14．设某总体是由编号为01，02，……，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为06．1818 0792 4544 1716 5809 7983 8617第1行6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238第2行【解答】解：由题意依次选取的样本编号为：18，07，17，16，09，（17重复，舍去）06；所以选出来的第6个个体编号为06．故答案为：06．15．已知点A（0，1），抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|：|MN|＝1：2，则实数a的值为．【解答】解：抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F（，0），准线方程为x＝﹣，可得直线AF的方程为y＝1﹣x，设M（x1，y1），N（﹣，y2），可得y2＝1﹣•（﹣）＝2，由|FM|：|MN|＝1：2，可得＝，可得y1＝，代入直线方程可得x1＝，代入抛物线方程可得＝a•，可得a＝．故答案为：．16．已知四棱锥S﹣ABCD的底面为矩形，SA⊥底面ABCD，点E在线段BC上，以AD为直径的圆过点E．若SA＝AB＝3，则△SED面积的最小值为．【解答】解：设BE＝x，EC＝y，则BC＝AD＝x+y，∵SA⊥平面ABCD，ED⊂平面ABCD，∴SA⊥ED，∵AE⊥ED，SA∩AE＝A，∴ED⊥平面SAE，∴ED⊥SE，由题意得AE＝，ED＝，在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，∴x2+3+y2+3＝（x+y）2，化简，得xy＝3，在Rt△SED中，SE＝，ED＝＝，∴S△SED＝＝，∵3x2+≥2＝36，当且仅当x＝，时，等号成立，∴＝．∴△SED面积的最小值为．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考试必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a﹣b）2＝c2﹣ab．（1）求角C；（2）若4c cos（A+）+b sin C＝0，且a＝1，求△ABC的面积．【解答】（1）由（a﹣b）2＝c2﹣ab，得a2+b2﹣c2＝ab，所以由余弦定理，得，又因为C∈（0，π），所以；（2）由，得，得﹣4c sin A+b sin C＝0，由正弦定理，得4ca＝bc．因为c≠0，所以4a＝b，又因a＝1，所以b＝4，所以△ABC的面积．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC＝BC，AB＝2BC，D为线段AB上一点，且AD＝3DB，PD⊥平面ABC，PA与平面ABC所成的角为45°．（1）求证：平面PAB⊥平面PCD；（2）求二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值．【解答】解：（1）证明：∵AC＝BC，AB＝2BC，∴，∴AB2＝AC2+BC2，∴AC⊥BC，在Rt△ABC中，由AC＝BC，得∠CAB＝30°，设BD＝1，由AD＝3BD，得AD＝3，BC＝2，AC＝2，在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AD2+AC2﹣2AD•AC cos30°＝3，∴CD＝，∴CD2+AD2＝AC2，∴CD⊥AD，∵PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴PD⊥CD，又PD∩AD＝D，∴CD⊥平面PAB，又CD⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD．（2）解：∵PD⊥平面ABC，∴PA与平面ABC所成角为∠PAD，即∠PAD＝45°，∴△PAD为等腰直角三角形，PD＝AD，由（1）得PD＝AD＝3，以D为坐标原点，分别以DC，DB，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），C（，0，0），A（0，﹣3，0），P（0，0，3），＝（0，﹣3，﹣3），＝（），则＝＝（0，0，3）是平面ACD的一个法向量，设平面PAC的一个法向量＝（x，y，z），则，取x＝，得＝（，﹣1，1），设二面角P﹣AC﹣D的平面角为θ，则cosθ＝＝，∴二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值为．19．已知椭圆C：+y2＝1，不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C相交于M，N两点．（1）若线段MN的中点坐标为（1，），求直线l的方程；（2）若直线l过点P（p，0），点Q（q，0）满足k QM+k QN＝0，求pq的值．【解答】解：（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），则，两式相减，可得，①由题意可知x1+x2＝2，y1+y2＝1，代入①可得直线MN的斜率k＝＝﹣，所以直线MN的方程y﹣＝﹣（x﹣1），即x+2y﹣2＝0，所以直线MN的方程x+2y﹣2＝0；（2）由题意可知设直线MN的方程y＝k（x﹣p），M（x1，y1），N（x2，y2），联立，整理得（1+4k2）x2﹣8k2px+4k2p2﹣4＝0，则x1+x2＝，，x1x2＝，由k QM+k QN＝0，则+＝0，即y1（x2﹣q）+y2（x1﹣q）＝0，∴k（x1﹣p）（x2﹣q）+k（x2﹣p）（x1﹣q）＝0，化简得2x1x2﹣（p+q）（x1+x2）+2pq ＝0，∴﹣﹣+2pq＝0，化简得：2pq﹣8＝0，∴pq＝4．20．某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏中，主持人给出A，B，C，D四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种食物排除的序号依次为x A x B x C x D，家长猜测的序号依次为y A y B y C y D，其中x A x B x C x D和y A y B y C y D都是1，2，3，4四个数字的一种排列．定义随机变量X＝（x A﹣y A）2+（x B﹣y B）2+（x C﹣y C）2+（x D﹣y D）2，用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度．（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．（ⅰ）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；（ⅱ）求X的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足X＜4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由．【解答】解：（1）（i）若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，先考虑小孩的排序为x A，x B，x C，x D为1234的情况，家长的排序有＝24种等可能结果，其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，分别为：2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，4321，∴家长的排序与对应位置的数字完全不同的概率P＝．基小孩对四种食物的排序是其他情况，只需将角标A，B，C，D按照小孩的顺序调整即可，假设小孩的排序x A，x B，x C，x D为1423的情况，四种食物按1234的排列为ACDB，再研究y A y B y C y D的情况即可，其实这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的，∴他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率为．（ii）根据（i）的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，列出所有情况，分别计算每种情况下的x的值，X的分布列如下表：X02468101214161820 P（2）这位家长对小孩的饮食习惯比较了解．理由如下：假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，由（1）可知，在一轮游戏中，P（X＜4）＝P（X＝0）+P（X＝2）＝，三轮游戏结果都满足“X＜4”的概率为（）3＝，这个结果发生的可能性很小，∴这位家长对小孩饮食习惯比较了解．21．已知函数f（x）＝ln（ax+b）﹣x（a，b∈R，ab≠0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≤0恒成立，求e a（b﹣1）的最大值．【解答】解：（1）①当a＞0时，则f（x）的定义域为（﹣，+∞），＝，由f′（x）＝0，得x＝1﹣＞﹣，所以f（x）在（﹣，1﹣）单调递增，在（1﹣，+∞）单调递减，②当a＜0时，则f（x）的定义域为（﹣∞，﹣），由f′（x）＝0得x＝1﹣＞﹣，所以f（x）在（﹣∞，﹣）单调递减，（也可由符合函数单调性得出）．（2）由（1）知：当a＜0时，取x0＜且x0＜0时，f（x0）＞ln（a×+b）﹣x0＞0，与题意不合，当a＞0时，f（x）max＝f（1﹣）＝lna﹣1+≤0，即b﹣1≤a﹣alna﹣1，所以e a（b﹣1）≤（a﹣alna﹣1）e a，令h（x）＝（x﹣xlnx﹣1）e x，则h′（x）＝（x﹣xlnx﹣lnx﹣1）e x，令u（x）＝x﹣xlnx﹣lnx﹣1，则u′（x）＝﹣lnx﹣，则u″（x）＝，u′（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．则u′（x）max＝u′（1）＜0，从而u（x）在（0，+∞）单调递减，又因为u（1）＝0．所以当x∈（0，1）时，u（x）＞0，即h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，u（x）＜0，即h′（x）＜0，则h（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，所以h（x）max＝h（1）＝0．四、（二）选考题：请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）已知点M（2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（m为参数），两式相加得到m，进一步转换为．直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1，转换为直角坐标方程为．（2）将直线的方程转换为参数方程为（t为参数），代入得到（t1和t2为P、Q对应的参数），所以，，所以＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y，z均为正数．（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．【解答】解：（1）证明：∵x，y，z均为正数，∴|x+z|⋅|y+z|＝（x+z）（y+z）≥＝，当且仅当x＝y＝z时取等号．又∵0＜xy＜1，∴，∴|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）∵＝，∴．∵，，，当且仅当x＝y＝z＝1时取等号，∴，∴xy+yz+xz≥3，∴2xy⋅2yz⋅2xz＝2xy+yz+xz≥8，∴2xy⋅2yz⋅2xz的最小值为8．。
北京市2020年石景山区高三统一测试数学附答案与评分标准
17.（本小题 14 分）
2020 年，北京将实行新的高考方案.新方案规定：语文、数学和英语是考生的必考科 目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考 科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确 定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考 科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．
1 两名男生选考案相同
18.（本小题 14 分）
已知锐角 △ABC ，同时满足下列四个条件中的三个：
2020 年石景山区高三统一测试
数学
本试卷共 6 页，满分为 150 分，考试时间为 120 分钟．请务必将答案答在答题卡上， 在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项．
f
(
x)
1 x
0
x 0 ；② f (x) x2 ；③ f (x) | x2 1| ； x0
具有性质 P 的函数的个数为
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
高三数学试题第 2页（共 6页）
10. 点 M ，N 分别是棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中棱 BC,CC1 的中点，动点
1. 设集合 P {1，2，3，4} ， Q {x || x | 3, x R} ，则 P Q 等于
A. 1
B. 1, 2，3
C. 3，4
D. 3, 2, 1, 0,1, 2,3
2. 在复平面内，复数 5+6i , 3-2i 对应的点分别为 A,B.若 C 为线段 AB 的中点，则点 C 对应的复数是
2020年郑州市高三三测数学文科试题评分标准
2020年郑州市高三三测数学文科试题评分参考一、选择题二、填空题13. 8 ； 14.11； 15.6； 16.3.17- 三、解答题 17．（1）由2561,4141==a a ，得41,641143=∴==q a a q ，所以n n a )41(=.……………2分 23)41(log 324-=--=n b n n .……………………………………5分由（1），得)131231(31)13)(23(111+--=+-==+n n n n b b c n n n ，………8分 S n =13(1−14+14−17+⋯+13n−2−13n+1)=13(1−13n+1)=n3n+1.12分18．（1）因为.024.5357.5708050100)20406030(150K 22>≈⨯⨯⨯⨯-⨯=，……………2分 所以有97.5％的把握认为参与马拉松赛事与性别有关.……………3分 （2）（i ）根据分层抽样方法得，男生6438=⨯人，女生2人， 所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人.……………5分 （ii ）设抽取的6名男生分别为F E D C B A ,,,,,，2名女生为b a ,；从中抽取两人，分别记为(A,B)，),(),,(),,(),,(F A E A D A C A ,),(),,(b A a A ,(B,C),),(),,(),,(F B E B D B ,),(),,(b B a B ,),(),,(),,(),,(),,(b C a C F C E C D C ,),(),,(F D E D ,),(),,(b D a D ,),(),,(),,(b E a E F E ,),(),,(),,(b a b F a F 共28种情形，……………8分其中2男的共15种情形，……………10分 所以，所求概率2815=p .……………12分19．（1）证明：由题意222PB AB PA =+， 所以∠BAP =90°，则PA ⊥AB ，……………2分又侧面PAB ⊥底面ABCD ，面PAB ∩面ABCD =AB ，PA ⊂面PAB ， 则PA ⊥面ABCD .……………4分BD ⊂面ABCD ，则PA ⊥BD ,又因为∠BCD =120∘，ABCD 为平行四边形， 则∠ABC =60∘，又AB =AC ，则ΔABC 为等边三角形，则ABCD 为菱形，则BD ⊥AC . 又PA ∩AC =A ，则BD ⊥面PAC .……………6分 （2）由ACD P PAC M V V --=21，则M`为PB 中点， 由AB =AC =2，∠BCD =120°，得BD =2√3.……………8分 由(I )知，,21PAB D PAB M AMB P V V V ---==……………10分1112223P ABD V -==⨯=……………12分 20.⑴由题易知C 1的半径r 1=√3，C 2圆的半径r 2=2.……………2分又∵椭圆与C 1、C 2同时相切，则212,a r b r ==⎧⎪⎨==⎪⎩……………4分则C ：x 24+y 23=1.……………5分⑵①当l 斜率为0时，l 与椭圆C 相切，不符合题意.……………6分 ②l 斜率不为0时，设l ：x =my +n ， 原点到l 的距离d =√2=r 1=√3.则n 2=3m 2+3 (i )由22,1,43x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩……………7分可得：(3m 2+4)y 2+6mny +3n 2−12=0， 设A (x 1,y 1) B (x 2,y 2)，由求根公式得: y 1+y 2=−6mn3m 2+4，y 1y 2=3n 2−123m 2+4，|AB |=√m 2+1√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√m 2+1√48(3m 2−n 2+4)(3m 2+4)2，将(i )代入得|AB |=√m 2+14√33m +4=√3√2+1+12，……………9分令t =2+1则t ≥1，g (t )=3t +1t在[1，+∞)上单调递增，……………11分则t =1，即m =0时，|AB |max =√3.……………12分21.（1）依题意知f (x )的定义域为(0,+∞)，……………1分 当6=m 时，,52ln )(2x x x x f -+=∴,)1)(14(541)(xx x x x x f --=-+='……………2分 令0)(=x f ，解得41,1==x x则当0<x <14或x >1时，f ′(x )>0,f (x )单调递增，……………3分 当14<x <1时，f ′(x )<0，)(x f 单调递减．……………4分 ∴所以当1=x 时函数)(x f 取得极小值，且极小值为3)1(-=f ， 当41=x 时函数)(x f 取得极大值，且极大值为894ln )41(--=f ．…………5分 （2）由22)(x x f =，可得x m x )1(ln -=， 又x >0，所以lnx x=m −1，1ln +=∴xxm ．……………7分 令g (x )=1+lnx x(x >0)，则g ′(x )=1−lnx x 2，由g ′(x )≥0，得1≤x ≤e ；由g ′(x )≤0，得4≤≤x e ，……………8分 ∴ g (x )在区间[1,e]上是增函数，在区间]4,[e 上是减函数.∴当x =e 时函数g (x )有最大值，且最大值为g (e )=1+1e ，……………9分又,22ln 1)4(g ,1)1(g +==……………10分 ∴ 当em 1122ln 1+<≤+时，方程在区间]4,1[上有两个实数解.……………11分 ∴实数m 的取值范围为em 1122ln 1+<≤+．……………12分 22.（Ⅰ）曲线1C 的普通方程为：0sin cos sin =--θθθy x ,曲线2C 的普通方程为：13422=+y x ;………………………………………………5分 （Ⅱ）将⎩⎨⎧θ=θ+=.sin t ,cos t 1:1y x C （t 为参数）代入2C ：13422=+y x 化简整理得：(sin 2θ+3)t 2+6tcosθ−9=0, 设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，则Δ=36cos 2θ+36(sin 2θ+3)=144>0恒成立， t 1+t 2=−6cosθsin 2θ+3,t 1t 2=−9sin 2θ+3，∴|PA |+|PB |=|t 1|+|t 2|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=12sin 2θ+3,∵sin 2θ∈[0,1] ∴|PA |+|PB |∈[3,4].……………………………………………10分 23.（1）当3=m 时，1213)(-++=x x x f ，原不等式4)(>x f 等价于⎪⎩⎪⎨⎧>--<4531x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤-422131x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>>4521x x ，解得：54-<x 或无解或54>x ， 所以，4)(>x f 的解集为),54()54,(+∞--∞Y ．………………………………………5分（2）02,02,211,20<->+<-∴<<m m m m Θ．则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+≤≤-+--<+-=-++=21,)2(,211,2)2(,1,)2(121)(x x m x m x m m x x m x mx x f所以函数)(x f 在)1,(m --∞上单调递减，在]21,1[m -上单调递减，在),21(+∞上单调递增． 所以当x =12时，f(x)取得最小值，21)21()(min m f x f +==．因为对任意m x f R x 23)(,≥∈恒成立，所以mm x f 2321)(min ≥+=.又因为0>m ，所以0322≥-+m m ，解得1≥m （3-≤m 不合题意）．所以m 的最小值为1．……………………………………………10分。
2020年重庆市高三学业检测(第二次)-文科数学(含答案、评分细则)
2020年重庆市高三学业抽测（第二次）文科数学一、选择题：1. 已知集合22{|230},{|log 1}A x x x B x x =--≤=>，则=B A YA ．(2)+∞，B ．]3,2(C ．]3,1[- D. ),1[+∞- 2. 欧拉公式i cos isin xe x x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指 数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里 非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，7πi 5e 表示的复数位于复平面中的A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 在停课不停学期间，某学校组织高三年级学生参加网络数学测试，测试成绩的频率分布直方图如下图，测试成绩的分组为[10,30),[30,50),[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150],若低于70分的人数是175人，则该校高三年级的学生人数是A ．350B ．500C ．600D ．10004．已知点1(2,)8在幂函数()nf x x =的图象上，设3()3a f =，(ln π)b f =，2()2c f =， 则a ，b ，c 的大小关系为A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．a c b <<5. 已知点22(sin,cos )33P ππ落在角θ的终边上，且02θπ∈（，），则θ的值为 A ．3π B ．23π C ．53π D ．116π6. 已知:p x k ≥，2:11q x <+，若p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是A ．[1,)+∞B ．(1,)+∞C ．(,1]-∞-D ．(,1)-∞-7. 某街道招募了志愿者5人，其中1人来自社区A ，2人来自社区B ，2人来自社区C ．现从中随机选取2个志愿者参加抗击新型冠状病毒活动，则这2人来自不同社区的概率为频率 组距0.005 0.01 分) 0.0075 0.0125 0.015 10 30 50 70 90 110 130 150 0.0025(第3题图)A ．35B ．34C ．710 D ．458.已知函数()cos (0)f x x x ωωω=->, 1()2f x =, 2()2f x =-,且12||x x -最小值为2π,若将()y f x =的图象沿x 轴向左平移ϕ(0)ϕ>个单位，所得图象关于原点对 称，则实数ϕ的最小值为 A.12πB.6π C.3π D.712π 9. 设实数x 、y满足y =54y x +-的最大值为 A ．12- B ．2- C ．12 D ．210. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线C 交于M ，N 两点，若4PF MF =u u u r u u u r，则||MN =A ．32B ．3C ．92D ．911. 已知(34)2,1()log ,1a a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩对任意1x ，2(,)x ∈-∞+∞且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-，那么实数a 的取值范围是A ．(1,)+∞B ．(0,1)C ．4(,2]3D ．4(,4]312. 两球1O 和2O 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的内部，且互相外切，若球1O 与过点A的正方体的三个面相切，球2O 与过点1C 的正方体的三个面相切，则球1O 和2O 的表面积之和的最小值为A．3(2π B．4(2π C．6(2π D．12(2π 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置上．13. 设非零向量,a b r r 满足()a a b ⊥-r r r ，且||2||b a =r r，则向量a r 与b r 的夹角为________． 14. 在高台跳水运动中，某运动员相对于水面的高度h (单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系式24.9 6.510h t t =-++，则该运动员在2t =时的瞬时速度是 (/)m s ．15. 设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos sin cos sin a B C b A C c +=，则ABC △外接圆的面积是 ．16. 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，一条渐近线为l ，过点2F且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ,若12||2||MF MF =,则双曲线C 的离心率为 ． 三、解答题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．并答在答题卡相应的位置上．第17题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17.（本小题满分为12分）一奶茶店制作了一款新奶茶，为了进行合理定价先进行试销售，其单价（元）与销量（杯）的相关数据如下表：（Ⅰ）已知销量与单价具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；（Ⅱ）若该款新奶茶每杯的成本为元，试销售结束后，请利用（Ⅰ）所求的线性回归方程确定单价定为多少元时，销售的利润最大？（结果保留到整数）参考公式：线性回归方程ˆˆy bxa =+中斜率和截距最小二乘法估计计算公式： ，，参考数据：514195i ii x y ==∑，．18．（本小题满分为12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n a S +=+． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设31log ()n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12111...2nT T T +++<．x y y x y x 7.71221ni ii ni i x y nx ybx nx==-=-∑∑$$a y bx =-$521453.75i i x ==∑19.（本小题满分为12分）如图，平面平面，其中为矩形，为直角梯形，，，．（Ⅰ）求证：FD ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）若三棱锥B ADF -的体积为13， 求点A 到面BDF 的距离．（第19题图）20.（本小题满分为12分）已知函数，．(为自然对数的底数)（Ⅰ）若对于任意实数，恒成立，试确定的取值范围；（Ⅱ）当时，函数在上是否存在极值?若存在，请求出这个极值；若不存在，请说明理由．21.（本小题满分12分）已知圆22:(2)24C x y ++=与定点(2,0)M ，动圆I 过M 点且与圆C 相切，记动圆圆心I 的轨迹为曲线E ． （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）斜率为k 的直线l 过点M ,且与曲线E 交于,A B 两点，P 为直线3x =上的一点，若ABP∆为等边三角形，求直线l 的方程.ABCD ⊥ADEF ABCD ADEF AF DE ∥AF FE ⊥222AF EF DE ===()()xf x e ax a =+∈R ()ln xg x e x =e 0x ≥()0f x >a 1a =-()()()M x g x f x =-[1,]e（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如多做，则按所做的第一题计分. 22.【选修4-4：坐标系与参数方程】(本小题满分10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 2sin 8cos ρθθ=．（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点的直角坐标为(2,0)，直线和曲线交于、两点，求的值．23.【选修4-5：不等式选讲】(本小题满分10分）已知2()2f x x a =+.（Ⅰ）当2a =时，求不等式()15f x x +-≥的解集；（Ⅱ）若对于任意实数x ，不等式23()2x f x a +-<成立，求实数a 的取值范围.xOy l t O x C l C M l C A B 11||||MA MB +文科数学参考答案及评分意见一、选择题：15:;610:;1112:DCBCD BDAAC DD :::．二、填空题：13. 14．13.1- 15．π416三、解答题：17．解：（Ⅰ）由表中数据，计算，1(120110907060)905y =++++=， (2)分则5152221419559.59032453.7559.5i ii ii x y nx ybxnx==--⨯⨯===--⨯-∑∑$，$90329.5394a y bx =-=+⨯=$， 所以关于的线性相关方程为$32394y x =-+．.......................................6分（Ⅱ）设定价为元，则利润函数为(32394)(7.7)y x x =-+-，其中，..............8分 则232640.43033.8y x x =-+-，所以640.4102(32)x =-≈⨯-（元），........................11分为使得销售的利润最大，确定单价应该定为元．.......................................12分 18．解：（Ⅰ）因为121n n a S +=+，所以2n ≥，121n n a S -=+，..........................2分 两式相减化简得13n n a a +=(2)n ≥，...................................................4分 又11a =，所以23a =，213a a =符合上式，所以{}n a 是以1为首项，以3为公比的等比数列，所以13n n a -=．........................6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知31log ()n n n b a a +=g 13log 3321n nn -=⨯=-，所以2(121)2n n n T n +-==，.....8分3π1(8.599.51010.5)9.55x =⨯++++=y x x 7.7x ≥10所以22212111111111......1...121223(1)n T T T n n n+++=+++<++++⋅⋅-....................10分 11111111...222231n n n=+-+-++-=-<-．........................................12分19．解：（Ⅰ）证明：作DHAF ⊥于H ，∵，， ∴，∴，...............2分∵，∴，∴，∴，即，................4分∵面面，为两个面的交线，∴面．.....................6分 （Ⅱ）因为平面平面，，所以平面，，所以，又AD DF ==.............9分∴，2BDF S =V ，设点A 到面BDF 的距离为h ,则11332h =⨯，3h =．..12分 20．解：（Ⅰ）∵对于任意实数，恒成立， ∴若，则为任意实数时，恒成立；....................................1分若，恒成立，即在上恒成立，......................2分设，则，.....................................3分 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 所以当时，取得最大值，，所以的取值范围为，综上，对于任意实数，恒成立的实数的取值范围为．...............5分AF FE ⊥222AF EF DE ===1HF DH==45HDF ∠=︒2AF =1AH=45ADH ∠=︒90ADF ∠=︒DFAD ⊥ABCD ⊥ADEF AD FD ⊥ABCD ABCD ⊥ADEFAB AD⊥AB ⊥ADEF111||1||333B ADF ADF V S AB AB -∆=⨯⨯=⨯⨯=1AB=BD =0x ≥()0f x >0x =()0xf x e=>0x >()0xf x e ax =+>xe a x >-0x >()x e Q x x =-22(1)()x x xxe e x e Q x x x--⋅'=-=(0,1)x ∈()0Q x '>()Q x (0,1)(1,)x ∈+∞()0Q x '<()Q x (1,)+∞1x =()Q x max ()(1)Q x Q e ==-a (,)e -+∞0x ≥()0f x >a (,)e -+∞（Ⅱ）依题意，，所以，....................................6分设，则，.......................................8分 当，，故在上单调增函数， 因此在上的最小值为，即，.................10分 又，所以在上，，所以在上是增函数，即在上不存在极值．.............12分 21．解：（Ⅰ）设圆的半径为，题意可知，点满足：，，所以，，由椭圆定义知点的轨迹是以为焦点的椭圆，.................................3分 所以故轨迹方程为：． .................................................5分（Ⅱ）直线的方程为，联立 消去得. 直线恒过定点，在椭圆内部，所以恒成立，设，，则有， ..................7分 ()ln xx M x e x e x =-+1()ln 1(ln 1)1x x x x e M x e x e x e x x'=+-+=+-⋅+1()ln 1h x x x =+-22111()x h x x x x-'=-+=[1,]x e ∈()0h x '≥()h x [1,]e()h x [1,]e (1)0h=1()ln 1(1)0h x x h x=+-≥=0x e >[1,]e 1()(ln 1)10xM x x e x'=+-⋅+>()M x [1,]e ()()()M x g x f x =-[1,]e I r I ||IC r =||IM r =||||IC IM+=I ,C M 2a c ==b =E 22162x y +=l (2)y k x =-2212(62)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩y ()222231601212k x k x k +--+=(2)y k x =-(2,0)0∆>11(,)A x y 22(,)B x y 21221231k x x k +=+212212631k k x x -⋅=+21221)|||31k AB x x k +=-==+设的中点为，则，，直线的斜率为（由题意知0k ≠），又P 为直线上的一点，所以 ,......................................9分 当为等边三角形时，,解得，即直线的方程为或．.......................12分22．解：（Ⅰ）将222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩中参数消去得20x y --=，............................2分 将代入2sin 8cos ρθθ=，得28y x =，∴直线和曲线的直角坐标方程分别为20x y --=和28y x =．........................5分 （ii ）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，得2320t --=， 设、两点对应的参数为、，则，，且12t t +=1232t t =-，∴16，.............................. ..........8分 ∴12=．..............................10分 23.解:（Ⅰ）当时，()|1||24||1|5f x x x x +-=++-≥，则得； .................................................2分AB 00(,)Q x y 202631k x k =+02231k y k =-+PQ 1k-3x =3P x =2023(1)|||31P k PQ x x k +=-=+ABP ∆||||2PQ AB =223(1)31k k +=+1k =±l 20x y --=20x y +-=t cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩l C l C A B 1t 2t 1||||MA t =2||||MB t =1212||||||8t t t t +=-==1212121212||||||11111||||||||||||t t t t MA MB t t t t t t +-+=+===2a =22415x x x <-⎧⎨---+≥⎩83x ≤-得； ..................................................3分 得， ....................................................4 分 所以的解集为....................................5分（Ⅱ）对于任意实数，不等式成立，即恒成立，又因为，................................7分 要使原不等式恒成立，则只需， 由得所以实数的取值范围是. ...................................................10分212415x x x -≤≤⎧⎨+-+≥⎩01x ≤≤12415x x x >⎧⎨++-≥⎩1x >()15f x x +-≥8(,][0,)3-∞-+∞U x 23()2x f x a +-<22322x x a a +-+<2222322323x x a x x a a +-+≤+--=-232a a -<2232a a a -<-<13a <<a (1,3)。
2020届高三毕业班第一次综合质量检测数学(理)试题—附答案
5.
已知函数
f
(
x)
1
x x
2
sin x ，则函数 y
f (x) 的图像大致为
A．
B．
C．
D．
6．从区间 0，1随机抽取 2n 个数 x1, x2 ,, xn , y1, y2 ,, yn ，组成坐标平面上的 n 个点
(x1, y1 ) ，(x2 , y2 ) ，… (xn , yn ) ，其中到原点距离小于1的点有 m 个，用随机模拟的
A．20100
B．20200
C．40200
D．40400
12．在棱长为 4 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E, F 分别为 AA1, BC 的中点，点 M 在
棱 B1C1 上， B1M
1 4
B1C1
，若平面
FEM
交
A1B1 于点 N
，四棱锥 N
BDD1B1 的五
个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 半径为
A(3, 0, 0) ， B(0, 3, 0) ， S(0, 3 , 3 3 ) ， C(1,0,0) ， 22
上．
（1）求曲线 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程． （2）求△PAB 面积的最大值．
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f (x) | 2x t | ，若 f (x) 1的解集为 (1,0) ． （1）求 t 并解不等式 f (x) x 2 ； （2）已知： a,b R ，若 f (x) 2a b | 2x 2 | ，对一切实数 x 都成立， 求证： a 2b 1 ．
3
2
根据所给数据用事件发生的频率来估计相应事件发生的概率，估计该顾客支付的平均费用
2020年高中数学综合测评新人教B版必修3
综合测评(时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．①某高校为了解学生家庭经济收入情况，从来自城镇的150名学生和来自农村的450名学生中抽取100名学生的样本；②某车间主任从100件产品中抽取10件样本进行产品质量检验．Ⅰ.简单随机抽样法；Ⅱ.分层抽样法． 上述两问题和两方法配对正确的是( ) A ．①配Ⅰ，②配Ⅱ B ．①配Ⅱ，②配Ⅰ C ．①配Ⅰ，②配Ⅰ D ．①配Ⅱ，②配Ⅱ答案：B2．在区间[－2,3]上随机选取一个数x ，则x ≤1的概率为( ) A ．45 B ．35 C ．25D ．15解析：P ＝1＋23＋2＝35，故选B ．答案：B3．(2017·全国卷Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量(单位：kg)分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数解析：刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差，故选B ． 答案：B4．(2017·天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为19，则输出N 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：第一次循环：N ＝19－1＝18；第二次循环：N ＝6；第三次循环：N ＝2，此时2<3，跳出循环，故输出的值N ＝2.答案：C5．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形面积和的25，且样本容量为140，则中间一组的频数为( )A ．28B ．40C ．56D ．60解析：设中间一个长方形的面积为x ，则其他8个小长方形面积之和为52x ，则x ＋52x ＝1，所以x ＝27，所以中间一组的频数为27×140＝40，故选B ．答案：B6．下边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是( )A ．45B ．25C ．910D ．710解析：∵x 甲＝90×3＋80×2＋8＋9＋1＋25＝90，x 乙＝80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x ＋95＝442＋x5，欲使甲的平均成绩超过乙的平均成绩，x 的值为0,1,2,3,4,5,6,7，其概率P ＝810＝45. 答案：A7．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．右面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红(朱)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实，化简，得勾2＋股2＝弦2.设勾股形中勾股比为1∶3，若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为( )A ．866B ．500C ．300D ．134解析：设正方形的边长为2a ，则S 矩＝4a 2，S 黄＝(3a －a )2＝(3－1)2a 2， 由题意得3－12a24a2＝m1 000，得m ≈134. ∴落在黄色图形内的图钉数大约为134. 答案：D8．下面的茎叶图表示柜台记录的一天的销售额情况(单位：元)，则销售额中的中位数是( )A ．30.5B ．31C ．31.5D ．32解析：由茎叶图可知中位数是31，故选B ． 答案：B9．如果一组数x 1，x 2，…，x n 的平均数是x ，方差是s 2，则另一组数据3x 1＋2，3x 2＋2，…，3x n ＋2的平均数和方差分别是( )A ． 3 x ，s 2B ． 3 x ＋2，s 2C ． 3 x ＋2，3s 2D ． 3 x ＋2，3s 2＋26s ＋2解析：∵x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为x ， ∴x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n ＝n x .∴3x 1＋2＋3x 2＋2＋…＋3x n ＋2＝3n x ＋n 2，∴其平均数为3n x ＋n 2n＝3x ＋2，由方差的性质可知，其方差为3s 2.答案：C10．若框图所给的程序运行的结果S ＝90，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是( )A ．k <7B ．k <8C ．k <9D ．k <10解析：第一次循环：S ＝10，k ＝9；第二次循环：S ＝90，k ＝8，此时跳出循环，故选C ． 答案：C11．已知x ，y 的取值如下表所示：x 0 1 3 4 y2.24.34.86.7从散点图分析，y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ，则a 的值为( ) A ．2.8 B ．2.6 C ．3.6D ．3.2解析：x ＝0＋1＋3＋44＝2，y ＝2.2＋4.3＋4.8＋6.74＝4.5，a ^＝y －0.95x ＝4.5－0.95×2＝2.6.答案：B12．为了了解学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在某学校进行了如下的随机调查：向被调查者提出两个问题：(1)你的学号是奇数吗？(2)在过路口的时候你是否闯过红灯？要求被调查者背对调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第(1)个问题；否则就回答第(2)个问题．被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需要回答“是”或“不是”，因为只有被调查者本人知道回答了哪个问题，所以都如实做了回答．结果被调查的600人(学号从1到600)中有180人回答了“是”，由此可以估计在这600人中闯过红灯的人数是( )A ．30B ．60C ．120D ．150解析：抛掷一枚硬币出现正面和反面的概率都是0.5，因此600个被调查的学生中大约有300个人回答了第一个问题，300个人回答了第二个问题．又因为学号是奇数和偶数的概率相等，都是0.5，故300个回答第一个问题的学生中大约有150人回答了“是”．所以300个回答第二个问题的学生中有180－150＝30个回答了“是”，即曾经闯过红灯． 故在这600个人中闯过红灯的人数大约是60. 答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．若一组样本数据4,3,9,10，a 的平均数为8，则该组数据的方差是________． 解析：由题意可知15(4＋3＋9＋10＋a )＝8，∴a ＝14，∴s 2＝15(42＋52＋12＋22＋62)＝825.答案：82514．某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．(1)直方图中的a ＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________． 解析：(1)由题意得(0.2＋0.8＋1.5＋2.0＋2.5＋a )×0.1＝1，得a ＝3.(2)消费金额在区间[0.5,0.9]内的频率为1－(1.5＋2.5)×0.1＝0.6，其频数为10 000×0.6＝6 000.答案：(1)3 (2)6 00015．如图，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M (图中白色部分)．若在此三角形内随机取一点P ，则点P 落在区域M 内的概率为________．解析：P ＝2－π×12212×2×2＝2－π22＝1－π4.答案：1－π416．若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运行后输出的结果是________．解析：由题意得S ＝0，i ＝1；S ＝1，i ＝2；S ＝4，i ＝3；S ＝11，i ＝4；S ＝26，i ＝5；S ＝57，i ＝6，此时S >n ，所以输出的结果为6.答案：6三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(2019·全国卷Ⅱ)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.y 的分组 [－0.20,0) [0,0.20) [0.20,0.40[0.40,0.60[0.60,0.80))) 企业数22453147(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．(精确到0.01)附：74≈8.602.解：(1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为14＋7100＝0.21.产值负增长的企业频率为2100＝0.02. 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.(2)y ＝1100(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30，s 2＝1100 i ＝15n i (y i －y )2＝1100[(－0.40)2×2＋(－0.20)2×24＋02×53＋0.202×14＋0.402×7]＝0.029 6，s ＝0.029 6＝0.02×74≈0.17.所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30,0.17.18．(12分)某市用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到频率分布直方图：(1)如果w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w 至少定为多少？(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w ＝3时，估计该市居民该月的人均水费．解：(1)由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间[0.5,1]，(1,1.5]，(1.5,2]，(2,2.5]，(2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.依题意，w 至少定为3.(2)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝10.5.19．(12分)某企业有甲、乙两个研发小组．为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a ，b )，(a ，b －)，(a ，b )，(a －，b )，(a －，b －)，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b －)，(a －，b )，(a ，b －)，(a －，b －)，(a ，b )，(a ，b －)，(a －，b )，(a ，b )．其中a ，a －分别表示甲组研发成功和失败；b ，b －分别表示乙组研发成功和失败． (1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率． 解：(1)甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1. 其平均数为x －甲＝1015＝23；方差为s 2甲＝115⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－232×5＝29.乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1. 其平均数为x －乙＝915＝35；方差为s 2乙＝115⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－352×9＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－352×6＝625.因为x －甲>x －乙，s 2甲<s 2乙，所以甲组的研发水平优于乙组． (2)记E ＝{恰有一组研发成功}．在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a ，b －)，(a －，b )，(a ，b －)，(a －，b )，(a ，b －)，(a ，b －)，(a －，b )，共7个，故事件E 发生的频率为715.将频率视为概率，即得所求概率为P (E )＝715.20．(12分)(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．解：(1)需求量不超过300瓶，即最高气温低于25 ℃，从表中可知有54天， ∴所求概率为P ＝5490＝35.(2)Y 的可能值列表如下：[20,25)：Y ＝300×6＋150×2－450×4＝300； 不低于25 ℃：Y ＝450×(6－4)＝900， ∴Y 大于0的概率为36＋25＋7＋490＝0.8.21．(12分)某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：m ，n 均不小于25”的概率；(2)若选取的是3月1日至3月5日的两组数据，请根据3月2日至3月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^.参考公式：回归直线的方程是y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑n i ＝1x 2i －n x －2，a ^＝y －－b x －解：(1)m ，n 的所有取值情况有：(23,25)，(23,30)，(23,26)，(23,16)，(25,30)，(25,26)，(25,16)，(30,26)，(30,16)，(26,16)，即基本事件总数为10.设“m ，n 均不小于25”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(25,30)，(25,26)，(30,26)． 所以P (A )＝310，故事件A 的概率为310.(2)由数据，求得x －＝13×(11＋13＋12)＝12，y －＝13×(25＋30＋26)＝27,3x －y －＝972.∑3i ＝1x i y i ＝11×25＋13×30＋12×26＝977，∑3i ＝1x 2i ＝112＋132＋122＝434,3x －2＝432. 由公式，求得b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑n i ＝1x 2i －n x －2＝977－972434－432＝52，a ^＝y －－b ^x －＝27－52×12＝－3.所以y 关于x 的线性回归方程为y ＝52x －3.22．(12分)从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；(2)求频率分布直方图中的a ，b 的值；(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组．(只需写出结论)解：(1)根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6＋2＋2＝10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1－10100＝0.9. 从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.(2)课外阅读时间落在组[4,6)的有17人，频率为0.17，所以a ＝频率组距＝0.172＝0.085. 课外阅读时间落在组[8,10)的有25人，频率为0.25，所以b ＝频率组距＝0.252＝0.125. (3)学生课外阅读时间的平均数为：1100(1×6＋3×8＋5×17＋7×22＋9×25＋11×12＋13×6＋15×2＋17×2)＝7.68，所以样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组．。
2020高三期末理数参考答案及评分细则
1 2019-2020学年第一学期期末质量检测理科数学评分细则与参考答案说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 24y x =-； 14. 0.88； 15. p =2，（2分）k =（3分）; 16. 1818.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分) 解：（1）2222sin a c b ac C +=+………………………………………… …………2分………… …………4分分 ABC ∆的面积sin 22S bc A ==,又4A =，所以bc = …………………… …8分 由正弦定理sinA sin sin a b cB C==，sin sin ,sin sin a B a C b c A A == 所以22222sin sin 52sin sin 2sin cos sin sin 88884a B C bc a a a A πππππ=====， ………… …10分 所以28a =，a = …………………… ……………………………… ……………………12分 18．(12分）解：(1) 由题意又AB=2，所以AE ⊥BE ，又平面PEB平面ABED EB =,且平面PEB ⊥平面ABED ,所以AE ⊥平面PEB ， …………2分。
山东省青岛市2020年高三年级统一质量检测数学参考答案及评分标准
青岛市2020年高三年级统一质量检测数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
B C A D C B A B 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9．AC 10．BCD 11．ABD 12．CD三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。
13．22m -≤≤；14．25-；15．10x y -+=；16．（1）28y x =；（2）2．四、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）解：（1）方案一：选条件①．因为数列1{}n S a +为等比数列所以2211131()()()S a S a S a +=++，即2121123(2)2(2)a a a a a a +=++设等比数列{}n a 的公比为q ，因为11a =所以22(2)2(2)q q q +=++，解得2q =或0q =（舍）所以1112n n n a a q --==*(N )n ∈（2）由（1）得12n n a -=*(N )n ∈所以212311111()log log (2)22n n n b a a n n n n ++===-⋅++所以1111111111[(1(()()()]232435112n T n n n n =-+-+-++-+--++ 13113111()()42122122n n n n ==--++-+++32342(1)(2)n n n +=-++方案二：（1）选条件②．因为点1(,)n n S a +在直线1y x =+上所以11n n a S +=+*(N )n ∈，所以11n n a S -=+(2)n ≥两式相减得1n n n a a a +-=，+1=2n n a a (2)n ≥因为11a =，211112a S a =+=+=，21=2a a 适合上式所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列所以1112n n n a a q --==*(N )n ∈（2）同方案一的（2）方案三：（1）选条件③．当2n ≥时，因为1121222n n n n a a a na -++++= *(N )n ∈ （ⅰ）所以12121222(1)n n n na a a n a ---+++=- 所以121212222(1)n n n n a a a n a --+++=- （ⅱ）（ⅰ）-（ⅱ）得122(1)n n n a na n a +=--，即+1=2n n a a (2)n ≥当1n =时，122a a =，21=2a a 适合上式所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列所以1112n n n a a q --==*(N )n ∈（2）同方案一的（2）18．（本小题满分12分）解：（1）因为cos 2cos sin a C a C c A =-，所以由正弦定理可得：sin cos 2sin cos sin sin A C A C C A=-因为(0,)A π∈，sin 0A ≠所以cos 2cos sin C C C=-所以22cos sin cos sin C C C C -=-，即(cos sin )(cos sin 1)0C C C C -+-=所以cos sin 0C C -=或cos sin 10C C +-=即cos sin C C =或cos sin 10C C +-=①若cos sin C C =，则4C π=②若cos sin 10C C +-=，则2sin(42C π+=因为5444C πππ<+<，所以344C ππ+=，即2C π=综上，4C π=或2C π=(2)因为ABC ∆为锐角三角形，所以4C π=因为222221442cos 2(24c a b ab a b ab π==+-=+-≥-=-即72(2ab ≤=+（当且仅当a b =等号成立）所以1122sin sin 72(236(1)22444S ab C ab π===≤⨯+=即ABC ∆面积S 的最大值是1)+19．（本小题满分12分）解：（1） 底面ABCD 和侧面11B BCC 都是矩形，∴CD BC ⊥，1CC BC ⊥∵C CC CD =1 ，∴⊥BC 平面11D DCC ∵1D E ⊂平面11D DCC ，∴1BC D E ⊥，∵1D E CD ⊥，BC CD C = ，∴1D E ⊥底面ABCD1D E ⊂平面11CC D D ，∴平面11CC D D ⊥底面ABCD ．（2）取AB 的中点FE 是CD 的中点，底面ABCD 是矩形，EF CD∴⊥以E 为原点，以1EF EC ED 、、所在直线分别为x y z ,,轴，建立空间直角坐标系E xyz -如图所示.设1(0)ED a a =>，则(0,0,0)E ，(1,1,0)B ，1(0,0,)D a ，(0,1,0)C ，1(0,2,)C a 设平面1BED 的法向量1111(,,)n x y z = ，(1,1,0)EB = ，1(0,0,)ED a =.由11100n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得：11100x y az +=⎧⎨=⎩，令11x =可得111,0y z =-=，∴1(1,1,0)n =- 设平面11BCC B 的法向量2222(,,)n x y z = ，(1,0,0)CB = ，1(0,1,)CC a = .由22100n CB n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得，22200x y az =⎧⎨+=⎩，令21z =可得2y a =-，∴2(0,,1)n a =- 由于平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的平面角为3π，所以121212|cos ,|cos 3||||n n n n n n π⋅<>===⋅ 解得1a =．∴平面11BCC B 的法向量2(0,1,1)n =- ，由于(1,1,0)A -，(0,1,0)C ，(0,1,0)D -，1(0,0,1)D ，所以111(1,2,0)(0,1,1)(1,1,1)CA CA AA CA DD =+=+=-+=- ，设直线1CA 和平面11BCC B 所成的角为θ，则12126sin ||3||||CA n CA n θ⋅===⋅ A B C D 1A 1B 1C 1DE x y z F20．（本小题满分12分）解：（1）由频率分布直方图的性质可得：0.050.351a b c ++++=，即0.6a b c ++= ,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，所以0.2b =又23c b =，解之得：0.3,0.1c a ==所以7.50.18.50.39.50.3510.50.211.50.059.3x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=即抗疲劳次数的平均数9.3x =万次（2）由甲地试验结果的频率分布直方图可得：抗疲劳次数超过9万次的零件数为100(0.350.20.05)60⨯++=件，不超过9万次的件数为1006040-=件，由乙地试验结果的分布表可得：抗疲劳次数超过9万次的零件数为4125975++=，不超过9万次的零件数为25件，所以22⨯列联表为质量不优秀质量优秀总计甲地4060100乙地2575100总计65135200（说明：填对5个数据得1分，用去尾法）所以2200(40752560)200 5.128 5.0246513510010039k ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为零件质量优秀与否与气候条件有关即有97.5%的把握认为零件质量优秀与否与气候条件有关（3）在甲地实验条件下，随机抽取一件产品为特优件的频率为0.25以频率为概率，所以任意抽取一件产品为特优件的概率14p =则ξ的取值可能为0,1,2,3,4所以04043181(0)((44256P C ξ===131********(1)(()4425664P C ξ====2224315427(2)()()44256128P C ξ====313431123(3)()()4425664P C ξ====4044311(4)()()44256P C ξ===所以ξ的分布列为ξ01234P 812562764271283641256ξ的数学期望8110854121()012341256256256256256E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=21．（本小题满分12分）解：（1） 椭圆E 的离心率为12，12c e a ∴== 四边形1122A B A B的面积为1222a b ∴⨯⨯=又222a b c =+解之得：2,1a b c ===∴椭圆E 的方程为：22143x y +=（2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则1F MN ∆的周长48a ==，1111(||||||)42F MN S F M F N MN r r ∆=++=，即114F MN r S ∆=当l x ⊥轴时，l 的方程为：1x =，||3MN =1121113||||4424F MN r S MN F F ∆==⨯⨯=当l 与x 轴不垂直时，设:(1)l y k x =-(0)k ≠由22222(1)(43)690143y k x k y ky k x y =-⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩212122269,4343k k y y y y k k ∴+=-=-++112121221211221111||||||||||||222F MN F F M F F N S S S F F y F F y F F y y ∆∆∆=+=⋅+⋅=⋅-1211||222F F =⨯⨯=114F MNr S ∆==令243k t +=，则3t >，r ===3t > ，1103t ∴<<，304r ∴<<综上可知：304r <≤22．（本小题满分12分）解：（1）由题()xf x e ax '=-因为函数()f x 有两个极值点1x ，2x 所以方程()0xf x e ax '=-=有两个不相等的根12,x x 设()()xg x f x e ax '==-，则()xg x e a '=-①当0a ≤时，()0xg x e a '=->，所以()g x 在R 上单调递增，至多有一个零点，不符合题意②0a >时，由()0x g x e a '=-=得ln x a =.当(,ln )x a ∈-∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增.所以min ()(ln )ln 0g x g a a a a ==-<，即a e >，令()2ln a a a ϕ=-(0)a >，则22()1a a a a ϕ-'=-=，当(0,2)a ∈时，()0a ϕ'<，()a ϕ为减函数；当(2,)a ∈+∞时，()0a ϕ'>，()a ϕ为增函数；∴min ()(2)22ln 22(1ln 2)0a ϕϕ==-=->()0a ϕ∴>，即2ln a a >，从而ln 2a a a <<，2a e a >∴2()0a g a e a =->，又因为(0)10g =>，所以()g x 在区间(0,ln )a 和(ln ,)a a 上各有一个零点，符合题意，综上，实数a 的取值范围为(,)e +∞.（2）不妨设12x x <，则1(,ln )x a ∈-∞，2(ln ,)x a ∈+∞，所以12ln x a x <<设()()(2ln )p x g x g a x =--2ln [(2ln )]x a x e ax e a a x -=----22x x e a e ax -=--+则2()2x xp x e a e a -'=+-2220a a a ≥-=-=（当且仅当2x x e a e -=，即ln x a =时，等号成立）.所以函数()p x 在R 上单调递增.由2ln x a >，可得2()(ln )0p x p a >=，即22()(2ln )0g x g a x -->，又因为12,x x 为函数()g x 的两个零点，所以12()()g x g x =，所以12()(2ln )g x g a x >-，又2ln x a >，所以22ln ln a x a -<，又函数()g x 在(,ln )a -∞上单调递减，所以122ln x a x <-，即122ln x x a +<.。
黑龙江省大庆实验中学2020届高三5月模拟测试理科数学试题(含答案)
大庆实验中学2020届高三综合训练（一）数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知集合M ＝{x |﹣1＜x ＜3}，N ＝{x |y ＝lg （x 2﹣1）}，则M ∩N ＝（ ） A ．{x |﹣1＜x ＜3}B ．{x |﹣1＜x ＜1}C ．{x |1＜x ＜3}D ．{x |﹣1＜x ≤1}2．已知复数z 满足z •（1+2i ）＝|3﹣4i |（i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知a ＝0.40.3，b ＝0.30.3，c ＝0.30.4，则（ ） A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a4．现有甲、乙两台机床同时生产直径为40mm 的零件，各抽测10件进行测量，其结果如图，不通过计算从图中数据的变化不能反映和比较的数字特征是（ ） A ．极差 B ．方差 C ．平均数 D ．中位数 5．给出如下四个命题：①若“p 或q ”为假命题，则,p q 均为假命题；②命题“若2x ≥且3y ≥，则5x y +≥”的否命题为“若2x <且3y <，则5x y +<”； ③若,a b 是实数，则“2a >”是“24a >”的必要不充分条件； ④命题“若,x y =则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.其中正确命题的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．06．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b cos C ﹣c cos B ＝2c •cos C ，则角C 的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．7．已知平面向量，，均为单位向量，若，则的最大值是（ ）A ．B ．3C ．D ．8．我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的精美图案．如图所示的窗棂图案，是将边长为2R 的正方形的内切圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R 为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．若在正方形内随机取一点，则该点在窗棂图案上阴影内的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．9．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f （x ）＝2﹣|x +2|．若对任意的x ∈[﹣1，2]，f （x +a ）＞f （x ）成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，2）B ．（0，2）∪（﹣∞，﹣6）C ．（﹣2，0）D ．（﹣2，0）∪（6，+∞）10．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，P为C上一点，且PF⊥x 轴，过点A的直线l与线段PF交于点M（异于P，F），与y轴交于点N，直线MB与y轴交于点H，若（O为坐标原点），则C的离心率为（）A．2B．3C．4D．511．已知函数，在区间[0，π]上有且仅有2个零点，对于下列4个结论：①在区间（0，π）上存在x1，x2，满足f（x1）﹣f（x2）＝2；②f（x）在区间（0，π）有且仅有1个最大值点；③f（x）在区间上单调递增；④ω的取值范围是，其中所有正确结论的编号是（）A．①③B．①③④C．②③D．①④12．设函数恰有两个极值点，则实数t的取值范围是（）A．∪（1，+∞）B．∪[1，+∞）C．D．[1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．二项式（﹣）5的展开式中x﹣2的系数是．14．在今年的疫情防控期间，某省派出5个医疗队去支援武汉市的4个重灾区，每个重灾区至少分配一个医疗队，则不同的分配方案共有种．（用数字填写答案）15．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线于点M（M在第一象限），MN ⊥l，垂足为N，直线NF交y轴于点D，则|MD|＝．16．在四面体ABCD中，CA＝CB，DA＝DB，AB＝6，CD＝8，AB⊂平面α，l⊥平面α，E，F分别为线段AD，BC的中点，当四面体以AB为轴旋转时，直线EF与直线l夹角的余弦值的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知S n是公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，S3＝6，a3是a1与a9的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列，数列{b n}的前2n项和为P2n，若，求正整数n的最小值．18.（12分）19．（12分）已知椭圆与抛物线D：y2＝﹣4x有共同的焦点F，且两曲线的公共点到F的距离是它到直线x＝﹣4（点F在此直线右侧）的距离的一半．（1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，直线l过点F且与椭圆交于A，B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形OAMB．是否存在直线l，使点M落在椭圆C或抛物线D上？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由．20．（12分）为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委给出所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定．数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X都在[70，100）内，在以组距为5画分数的频率分布直方图（设“”）时，发现Y满足，n∈N*，5n≤X＜5（n+1）．（1）试确定n的所有取值，并求k；（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的参赛者无缘获奖也不能参加附加赛；分数在[95，100）的参赛者评为一等奖；分数在[90，95）的同学评为二等奖，但通过附加赛有的概率提升为一等奖；分数在[85，90）的同学评为三等奖，但通过附加赛有的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级）．已知学生A和B均参加了本次比赛，且学生A在第一阶段评为二等奖．（i）求学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级的概率；（ii）已知学生A和B都获奖，记A，B两位同学最终获得一等奖的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．21.已知函数2()23()x x f x e ax a e a R −=−+∈，其中 2.71828...e =为自然对数的底数． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当(0,)x ∈+∞时，222e ()3e 10()x x x a a x af x −−+−−+>恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为x 2﹣2x +y 2＝0．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．（1）写出曲线C 的极坐标方程，并求出直线l 与曲线C 的交点M ，N 的极坐标； （2）设P 是椭圆上的动点，求△PMN 面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲] 23．已知f （x ）＝x 2+2|x ﹣1|． （1）解关于x 的不等式：；（2）若f （x ）的最小值为M ，且a +b +c ＝M （a ，b ，c ∈R +），求证：．大庆实验中学2020届高三综合训练（一）数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．解：N ＝{x |x 2﹣1＞0}＝{x |x ＞1或x ＜﹣1}，M ＝{x |﹣1＜x ＜3}， ∴M ∩N ＝{x |1＜x ＜3}． 故选：C ．2．解：由z •（1+2i ）＝|3﹣4i |＝5， 得，∴在复平面内复数z 对应的点的坐标为（1，﹣2），位于第四象限， 故选：D ．3．解析：0.30.3＞0.30.4，即b ＞c ＞0，而，即a ＞b ，∴a ＞b ＞c ， 故选：B ． 4．C由于极差反映了最大值与最小值差的关系，方差反映数据的波动幅度大小关系，平均数反映所有数据的平均值的关系，中位数反映中间一位或两位平均值的大小关系，因此由图可知，不通过计算不能比较平均数大小关系. 故选C . 5．【答案】B对于①，若 “p 或q ”为假命题，则p ，q 均为假命题，故①正确；对于②，命题“若x ≥2且y ≥3，则x +y ≥5”的否命题为“若x ＜2或y ＜3，则x +y ＜5”，故②错；对于③，因为2a <−时24a >，所以若a ，b 是实数，则“a ＞2”是“a 2＞4”的充分不必要条件，故③错； 对于④，命题“若x y =，则sin sin x y =”为真命题，则其的逆否命题为真命题，故④正确． 故选：B ．6．【分析】由已知利用正弦定理，两角差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式可得sin （B ﹣C ）＝sin2C ，在锐角三角形中可求B ＝3C ，可得，且，从而解得C 的取值范围．【解答】解：∵b cos C ﹣c cos B ＝2c •cos C ，∴由正弦定理可得：sin B cos C ﹣sin C cos B ＝2sin C cos C ， ∴sin （B ﹣C ）＝sin2C ， ∴B ﹣C ＝2C ， ∴B ＝3C ，∴，且，∴．故选：A．7．解：∵平面向量，，均为单位向量，（+）2＝+2•+＝3，故||＝；∴＝•+﹣（+）•＝﹣（）≤+|+|•|﹣|＝+；当且仅当与反向时取等号．故选：C．8．解：连接A、B、O，得等边三角形OAB，则阴影部分的面积为S阴影＝12×（×πR2﹣×R2×sin60°）＝（2π﹣3）R2，故所求概率为．故选：B．9．解析：依题意作出f（x）的图象，y＝f（x+a）的图象可以看成是y＝f（x）的图象向左（a＞0时）或向右（a ＜0时）平移|a|个单位而得，当a＞0时，y＝f（x）的图象至少向左平移6个单位（不含6个单位）才能满足f（x+a）＞f（x）成立，当a＜0时，y＝f（x）的图象向右平移至多2个单位（不含2个单位）才能满足f（x+a）＞f（x）成立（对任意的x∈[﹣1，2]），故x∈（﹣2，0）∪（6，+∞），故选：D．10．解：不妨设P在第二象项，|FM|＝m，H（0，h）（h＞0），由知N（0，﹣2h），由△AFM～△AON，得（1），由△BOH～△BFM，得（2）（1），（2）两式相乘得，即c＝3a，离心率为3．故选：B．11．解析：∵x∈[0，π]，∴，令，则由题意，在上只能有两解和∴，（*）因为在上必有，故在（0，π）上存在x1，x2满足f（x1）﹣f（x2）＝2；①成立；对应的x（显然在[0，π]上）一定是最大值点，因对应的x值有可能在[0，π]上，故②结论错误；解（*）得，所以④成立；当时，，由于，故，此时y＝sin z是增函数，从而f（x）在上单调递增．综上，①③④成立，故选：B．12．解：求导得有两个零点等价于函数φ（x）＝e x﹣（2x+1）t有一个不等于1的零点，分离参数得，令，，h（x）在递减，在递增，显然在取得最小值，作h（x）的图象，并作y＝t的图象，注意到h（0）＝1，，（原定义域x＞0，这里为方便讨论，考虑h（0）），当t≥1时，直线y＝t与只有一个交点即φ（x）只有一个零点（该零点值大于1）；当时在两侧附近同号，不是极值点；当时函数φ（x）＝e x﹣（2x+1）t有两个不同零点（其中一个零点等于1），但此时在x＝1两侧附近同号，使得x＝1不是极值点不合．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．解：展开式通项，依题意，，得r＝3，所以：x﹣2的系数是．故答案为：﹣80．14．解：根据题意，将5个医疗队分派到4个重灾区，每个重灾区至少分配一个医疗队，则其中有一个重灾区安排两个医疗队，剩下3个重灾区各安排一个医疗队，分2步进行分析：先选出一个重灾区分配有两个医疗队，有C41种分配法，再为剩下的3个重灾区各分配一个医疗队，有种分配法，所以不同的分配方案数共有．故答案为：240．15．解：设准线l与x轴交于E．易知F（1，0），EF＝2，由抛物线定义知|MN|＝|MF|，由于∠NMF＝60°，所以△NMF为等边三角形，∠NFE＝60°，所以三角形边长为|NM|＝＝2|FE|＝4，又OD是△FEN的中位线，MD就是该等边三角形的高，，故答案为：2．16．解：∵在四面体ABCD中，CA＝CB，DA＝DB，AB＝6，CD＝8，AB⊂平面α，l⊥平面α，E，F分别为线段AD，BC的中点，∴AB⊥CD，又GE∥CD，GF∥AB，∴GE⊥GF，得EF＝5．当四面体绕AB旋转时，由GF∥AB，即EF绕GF旋转，故EF与直线l所成角的范围为[90°﹣∠GFE，90°]，∴直线EF与直线l夹角的余弦值的取值范围是．故答案为：[0，]．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必做题：60分．17．【分析】（1）设出等差数列的公差为d，且不为0，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得，再由数列的裂项相消求和，计算可得P2n，解不等式可得所求最小值．【解答】解：（1）公差d不为零的等差数列{a n}，由a3是a1与a9的等比中项，可得，即a1（a1+8d）＝（a1+2d）2，化为a1＝d，又S 3＝3a 1+3d ＝6，可得a 1＝d ＝1，所以数列{a n }是以1为首项和公差的等差数列， 故综上；（2）由（1）可知， 所以＝，所以，故n 的最小值为505． (2)法二：所以当n 为奇数时+11111+=21212123n n b b n n n n −++−+++－112123n n =+−+－ ()()()21234212+++11111155743411=141n n nP b bb b b b n n n −=+++=−+−++−+−+−++ 所以，故n 的最小值为505． 18.19．解：（1）由题意知F（﹣1，0），因而c＝1，即a2＝b2+1，又两曲线在第二象限内的交点Q（x Q，y Q）到F的距离是它到直线x＝﹣4的距离的一半，即4+x Q＝2（﹣x Q+1），得，则，代入到椭圆方程，得．由，解得a2＝4，b2＝3，∴所求椭圆的方程为．（2）当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k（x+1），由，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），则2122834kx xk−+=+，，由于OABM为平行四边形，得，故，若点M在椭圆C上，则，代入得，解得k无解；若点M在抛物线D上，则，代入得，解得k无解．当直线斜率不存在时，易知存在点M（﹣2，0）在椭圆C上．故不存在直线l，使点M落在抛物线D上，存在直线l，使点M（﹣2，0）落在椭圆C上．20．解：（1）根据题意，X在[70，100）内，按组距为5可分成6个小区间，分别是[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100），∵70≤X＜100，由5n≤X＜5（n+1），n∈N*，∴n＝14，15，16，17，18，19，每个小区间对应的频率值分别是P＝5Y＝．，解得k＝，∴n的对值是14，15，16，17，18，19，k＝．（2）（i）由于参赛学生很多，可以把频率视为概率，由（1）知，学生B的分数属于区间[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100）的概率分别是：，我们用符号A ij（或B ij）表示学生A（或B）在第一轮获奖等级为i，通过附加赛最终获奖等级为j，其中j≤i（i，j＝1，2，3），记W＝“学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级”，则P（W）＝P（B1+B21+B22A22+B32A22）＝P（B1）+P（B21）+P（B22）P（A22）+P（B32）P（A22）＝+＝．（ii）学生A最终获得一等奖的概率是P（A21）＝，学生B最终获得一等奖的概率是P（）＝，P （ξ＝0）＝（1﹣）（1﹣）＝， P （ξ＝1）＝， P （ξ＝2）＝， ∴ξ的分布列为：E ξ＝＝．21. （1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）令()()221210x g x e x a x ax a =−−−+−+只需在()0,x ∈+∞使()min 0g x >即可，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最值，从而确定a 的范围即可．解：（1）由题意可知，()22223'23x x x x x e ae a f x e a a e e −−−=−−= ()()3x x x e a e a e−+=， 当0a =时，()'0xf x e =>，此时()f x 在R 上单调递增； 当0a >时，令()'0f x =，解得()ln 3x a =，当()(),ln 3x a ∈−∞时，()'0f x <，()f x 单调递减；当()()ln 3,x a ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增；当0a <时，令()'0f x =，解得()ln x a =−，当()(),ln x a ∈−∞−时，()'0f x <，()f x 单调递减；当()()ln ,x a ∈−+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增；综上，当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()(),ln 3x a ∈−∞时，()f x 单调递减， ()()ln 3,x a ∈+∞时单调递增；当0a <时，()(),ln x a ∈−∞−时，()f x 单调递减， ()()ln ,x a ∈−+∞时单调递增．（2）由()()222310x x ex a a e x a f x −−+−−+>， 可得，()2212100x e x a x ax a −−−+−+>，令()()221210x g x e x a x ax a =−−−+−+，只需在()0,x ∈+∞使()min 0g x >即可，()()()()'1222x x x g x e x a e x a e x a =−−+−+=−−，①当0a ≤时，0x a −>，当0ln2x <<时，()'0g x <，当ln2x >时，()'0g x >，所以()g x 在()0,ln2上是减函数，在()ln2,+∞上是增函数，只需()()22ln22ln22ln 22ln280g a a =−+−−++>， 解得ln24ln22a −<<+，所以ln240a −<≤；②当0ln2a <<时，()g x 在()0,a 上是增函数，在(),ln2a 上是减函数，在()ln2,+∞上是增函数，则()()2000g ln g ⎧>⎪⎨≥⎪⎩，解得0ln2a <<， ③当ln2a =时，()'0g x ≥，()g x 在()0,+∞上是增函数，而()209ln2ln 20g =−−>成立， ④当ln2a >时，()g x 在()0,ln2上是增函数，在()ln2,a 上是减函数，在(),a +∞上是增函数，则()()2100090a g a e g a a ⎧=−>⎪⎨=−−≥⎪⎩，解得ln2ln10a <<． 综上，a 的取值范围为()ln24,ln10−.（二）选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．解：（1）曲线C 的方程为x 2﹣2x +y 2＝0．转换为极坐标方程为：ρ＝2cos θ．联立，得M （0，0），．（2）易知|MN |＝1，直线．设点P （2cos α，sin α），则点P 到直线l 的距离．∴（其中）． ∴△PMN 面积的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．解：（1）当x＜0时，等价于x2+2|x﹣1|＞﹣2，该不等式恒成立，……（1分）当0＜x≤1时，f（x）＞等价于x2﹣2x＞0，该不等式解集为ϕ，……（2分）当x＞1时，等价于x2+2x﹣2＞2，解得，………（3分）综上，x＜0或，所以不等式的解集为．…………………（5分）证明：（2），易得f（x）的最小值为1，即a+b+c＝M＝1……………………………（7分）因为a，b，c∈R+，所以，，，所以≥2a+2b+2c＝2，……………………（9分）当且仅当时等号成立．…………………………………………（10分）。
2020年3月湖北武汉市2020届高三质检 文科数学试题
武汉市2020届高中毕业生学习质量检测文科数学参考答案及评分细则一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C A C B C B C A D A B二、填空题13．12+−=e x y 14．[)∞+−，1 15．1 16．14.9 三、解答题17．（1）由已知得⎪⎩⎪⎨⎧=−++=−15)1(14121131a q a q q a a q a 解之得：11=a ，2=q ……4分（2）由（1）知12−=n n a ，由100+>n a n 得0100>−−n a n ，即010021>−−−n n 设10021−−=−n b n n )(∗∈N n ，则需0>n b ，12)1002()10012(111−=−−−−−−=−−−+n n n n n n n b b ，显然1=n 时，n n b b =+1，2≥n 时，n n b b >+1，……8分即L L <<<<<=n b b b b b 4321，而7430b =−<，8200b =>，即7≤n 时0<n b ；当8>n 时，0>n b ，故n 的取值范围是：8≥n ……12分18．（1）取DC 的中点H ，AB 的中点M ，连接QH 、在正方体1111D C B A ABCD −中，Q 为11D C 的中点，则CD QH ⊥，则⊥QH 面ABCD ，所以AC QH ⊥，…… 2分在正方形ABCD 中，H 、L 分别为CD 、BC 的中点，所以HL BD //，而BD AC ⊥，则AC HL ⊥,……4分又H HL QH =I ，所以⊥AC 面QHL ，所以QL AC ⊥．……6分连接ML 、MP ，显然ML PQ //且ML PQ =，故四边形PQLM 为平行四边形， 则PQL PML S S ΔΔ=，由DML DAM MBL DCL ABCD S S S S S ΔΔΔΔ=−−−正方形221111132()222228a a a a a a =−⋅⋅−⋅⋅= 所以23131388D PQL D PML P DML V V V a a a −−−===××=………………12分19.（1）50350249649949149850650450151050110x +++++++++== ……3分 08.58.25)9035)3()10()2()5(12(1012222222222≈=++++−+−+−+−++=s ……6分 （2）)08.506,92.495(),(=+−s x s x ，设从这10袋中任取2袋白糖，其中恰有一袋的重量不在),s x s x +−（为事件A，分析知从10袋中任取两袋，总的结果数有45种，……8分恰有一袋重量落在区间)08.506,92.495(的结果有16种，……10分 由古典概型公式得16()45m P A n ==……12分20．（1）)0(22>=p px y 的焦点)0,2(p F ，而)32,2(=，则)32,22(+p P ，……2分 又点P 在抛物线px y 22=上，所以)22(2)32(2+=p p ，即01242=−+p p ， 而0>p ，故2=p ，则抛物线的方程为x y 42=． ……4分 （2）设),(00y x M ，),(11y x N ，),(22y x L ，则1214x y =，2224x y =，直线MN 的斜率为01202101010144y y y y y y x x y y k MN +=−−=−−=， 则MN l ：)4(420010y x y y y y −+=−，即10104y y y y x y ++=①；同理ML l ：20204y y y y x y ++=②； 将)2,3(−A 、)6,3(−B 分别代入①、②两式得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=−++=−20201010126122y y y y y y y y ， 消去0y 得1221=y y ，……9分 易知直线214y y k NL +=，则直线NL 的方程为4(421211y x y y y y −+=−，整理得2121214y y y y x y y y +++=，即2121124y y x y y y +++=，即)3(421++=x y y y ， 因此直线NL 是否恒过定点)0,3(−．……12分21.（1）x x x f sin )(=，2sin cos )(x x x x x f −=′，设x x x x m sin cos )(−=， ),0(π∈x 时，0sin )(<−=′x x x m ，所以)(x m 在),0(π递减，则()(0)0m x m <=， 故0)(<′x f ，所以)(x f 在),0(π递减；……4分（2）观察知)(x g 为偶函数，故只需求[)+∞∈,0x 时)(x g 的最小值，由x x x g sin 2)(π−=′， 当)2,0(π∈x 时，设x x x n sin 2)(π−=，则x x n cos 2)(π−=′，显然)(x n ′递增，而02)0(<−=′πn ，02)2(>=′πn ， 由零点存在定理，存在唯一的2,0(0π∈x ，使得0)(0=′x n ， (6)当),0(0x x ∈时，0)(<′x n ，)(x n 递减， 当)2,(0πx x ∈时，0)(>′x n ，)(x n 递增，而0)0(=n ，02(=πn ，故)2,0(π∈x 时，0)(<x n ， 即)2,0(π∈x 时，0)(<′x g ，则)(x g 递减；……9分 又当),2(+∞∈πx 时，x x sin 2ππ>>，0)(>′x g ，)(x g 递增；……11分 所以4)2()(2min ππ==g x g ……12分22．（1）由⎩⎨⎧==θθsin 4cos 5y x ，消去参数θ可得1162522=+y x ……2分 将⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入03cos 42=+−θρρ得03422=+−+x y x ． ……5分 （2）2C 的圆心为)0,2(M ， 则20cos 20cos9)0sin 4()2cos 5(2222+−=−+−=θθθθMP ， ……7分 由1cos 1≤≤−θ知，当1cos =θ时，9920209min 2=−+−=MP ，故3min =MP ， ……9分 从而2min =PQ ． ……10分23．（1）在4=a 时，8342≥−+−x x ，当3≥x 时，8342≥−+−x x ，解之得5≥x ；当32≤<x 时，8342≥−+−x x ，解之得9≥x ；此时x 无解；当2≤x 时，8324≥−+−x x ，解之得31−≤x ； 综上[)+∞⎥⎦⎤⎜⎝⎛−∞−∈,531,U x ……5分 （2）①当2≥a 时有21a a ≥−，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤−+−−<<−−≥+−=2,12312,11,123)(a x a x a x a x a x a x x f 在2a x =时，12)2()(min −==a a f x f ，则只需2122a a ≥−，而2≥a ，则φ∈a ； ……7分②当2<a 时有21a a <−，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−≤−+−<<−−≥+−=1,12321,12,123)(a x a x a x a x a x a x x f 在2a x =时，2112)2()(min a a a f x f −=−==，则只需2212a a ≥−， 即022≤−+a a ，所以12≤≤−a ，而2<a ，故所求a 范围为：12≤≤−a ．综合以上可知：12≤≤−a ． ……10分武汉市2020届高中毕业生学习质量检测。
2020江苏高考数学三轮综合试卷3套(PDF版含答案及附加题)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂，则实数a 的值为 ．2．若复数z 满足()1234zi i +=-+（i 是虚数单位），则复数z 的实部是 ． 3．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ．4．如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为 ．5．从0、2中选一个数字，从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中无重复的个数为 ．6．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的一条渐近线的倾斜角为45º，且过点（3，1），则双曲线的焦距等于 ．7．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，记圆柱、球的表面积分别为S 1、S 2，则S 1：S 2＝ ． 8．已知函数221()log (1)1x a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是 ． 9．已知函数f （x ）＝sin （2x ＋φ）（0≤φ＜π）图象的一条对称轴是直线x ＝π6，则f （2φ）的值为 ． 10．已知{}n a 是首项为2，公比为()1q q >的等比数列，且{}n a 的前n 项和为n S ，若2n S +也为等比数列，则q = ．11．如图，在平面四边形ABCD 中，π2CAD ∠=，2AD =，4AB BC CA ===，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，则AE AF ⋅=u u u r u u u r．12．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：kx －y ＋5k ＝0与圆C ：x 2＋y 2－10x ＝0交于点A ，B ，M 为弦AB 的中点，则点M 的横坐标的取值范围是 ．13．己知△ABC 的面积为2＋1，AC ＝23，且43tan A tan B+＝1，则tanA 的值为 ．14．己知函数2ln 20()504x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，，的图象上有且仅有两个不同的点关于直线y ＝﹣2的对称点在kx ﹣y ﹣3＝0的图象上，则实数k 的取值范围是 ．AFEDCB（第11题图）7 7 9 0 8 94 8 1 0 35 甲 乙 （第4题图）（第3题图）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为棱PD的中点，PA⊥平面ABCD．（1）求证：PB //平而AEC；（2）若四边形ABCD是矩形且PA＝AD，求证：AE⊥平面PCD．16．（本小题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB＝45．（1）若c＝2a，求sin Bsin C的值；（2）若C﹣B＝4，求sinA的值．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x （x∈N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10（a－3x500)万元（a＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？如图，己知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>过点（1，32），离心率为12，A，B分别是椭圆C的左，右顶点，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线线l与椭圆相交于M，N两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）记△AFM，△BFN的而积分别为S1，S2，若1265SS=，求k的值；（3）己知直线AM、BN的斜率分k1，k2，求21kk的值．己知函数2()ln 2x f x a x ax =-+．（1）当a ＝1时，求()f x 在x ＝1处的切线方程：（2）当a ＞0时，讨论()f x 的单调性；（3）若()f x 有两个极值点1x ，2x （1x ≠2x ），且不等式1212()()()f x f x x x λ+<+恒成立，求实数λ的取值范围． 已知无穷数列{}n a 的前n 项中的最大项为n A ，最小项为n B ，设n n n B A b +=．（1）若21n a n =-，求数列{}n b 的通项公式；（2）若nnn a 212-=，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （3）若数列{}n b 是等差数列，求证：数列{}n a 是等差数列．21．已知a b c d ∈，，，R ，矩阵20a b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的逆矩阵111c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ．若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线21y x =+，求曲线C 的方程．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A ，B 的极坐标分别为()π42，，()5π224，，曲线C 的方程为r ρ=（0r >）．（1）求直线AB 的直角坐标方程；（2）若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求r 的值． 22．（本小题满分10分）某高校的综合评价面试中，考生都要经过三个独立项目A ，B ，C 的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录取．若甲、乙、丙三人通过A ，B ，C 每个项目测试的概率都是12．（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录取的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望．23．（本小题满分10分）如图，F 是抛物线y 2＝2px （p > 0）的焦点，过点F 且与坐标轴不垂直的直线交抛物线于两点，交抛物线的准线于点H ，其中．过点H 作y 轴的垂线交抛物线于点P ，直线PF 交抛物线于点Q ．（1）求p 的值；（2）求四边形APBQ 的而积S 的最小值．盐城中学2020届高三年级第二学期阶段检测数学试题（教师版）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂，则实数a 的值为 ．【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意．2．若复数z 满足()1234z i i +=-+（i 是虚数单位），则复数z 的实部是 ． 【答案】1【详解】因为复数z 满足（1+2i ）z =−3+4i ，所以（1−2i ）（1+2i ）z =（−3+4i ）（1−2i ）， 即5z =5+10i ，所以z =1+2i ，实部为1． 故答案为：1．3．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ．【答案】8【解析】由伪代码可得3,2;5,4;7,8I S I S I S ======，因为76>，所以结束循环，输出8.S=4．如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为 ． 4．6.85．从0、2中选一个数字，从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中无重复的个数为 ． 答案：30 考点：计数原理解析：若从0、2中选一个数字是0，则组成三位数有12个，若从0、2中选一个数字是2，则组成三位数有18个，故一共有30个．6．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的一条渐近线的倾斜角为45º，且过点（3，1），则双曲线的焦距等于 ． 答案：8考点：双曲线及其性质解析：由题意知：221911ba ab ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得228a b ==，故216c =，∴焦距2c ＝8．7．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，记圆柱、球的表面积分别为S 1、S 2，则S 1：S 2＝ ． 答案：3：2考点：圆柱、球的表面积解析：设球的半径为R ，则S 1：S 2＝2(222)RR R ππ+⋅：24R π＝3：2．8．已知函数221()log (1)1x ax f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是 ． 【答案】2【解析】∵0(0)223f =+=，∴[(0)](3)log 2a f f f ==7 7 9 0 8 9 4 8 1 0 3 5 甲 乙 （第4题图）（第3题图）∵[(0)]2f f =，∴log 22a =，解得a．9．已知函数f （x ）＝sin （2x ＋φ）（0≤φ＜π）图象的一条对称轴是直线x ＝π6，则f （2φ）的值为 ． 9．1210．已知{}n a 是首项为2，公比为()1q q >的等比数列，且{}n a 的前n 项和为n S，若q = ．【答案】2 【详解】已知{}n a 是首项为2，公比为()1q q >的等比数列．所以()1122221111nnn na q qq Sqq q q---===+----． 222112n n q q S q=++-+--{}2n S +也为等比数列．所以2201q+=-，即2q =． 故答案为：211．如图，在平面四边形ABCD 中，π2CAD ∠=，2AD =，4AB BC CA ===，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，则AE AF ⋅=u u u r u u u r．【答案】612．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：kx －y ＋5k ＝0与圆C ：x 2＋y 2－10x ＝0交于点A ，B ，M 为弦AB 的中点，则点M 的横坐标的取值范围是 ．12．解析：因为直线l ：kx －y ＋5k ＝0过定点P （－5，0），且CM ⊥MP ，所以点M 在以CP 为直径的圆上．设点M （x ，y ），则x 2＋y 2＝25．联立⎩⎨⎧x 2＋y 2＝25x 2＋y 2－10x ＝0，解得x ＝52．又因为点M 在圆C 内，所以点M 的横坐标的取值范围为（52，5]．13．己知△ABC的面积为＋1，AC ＝2，且43tan A tan B+＝1，则tanA 的值为 ．答案：1考点：三角恒等变换、正弦定理解析：∵43tan A tan B+＝1，∴4cos A 3cos B1sin A sin B+=，∴4cosAsinB ＋3cosBsinA ＝sinAsinB ，∴3sinC ＝sinB （sinA ﹣cosA ），故3cb＝sinA ﹣cosA ， ∵△ABC＋1，则1)sin A c b =，代入上式得：21)sin A cos A sin Ab =-，∵b ＝AC ＝，∴21sin A sin A cos A 2=-，即221tan A tan A 2tan A 1-=+， AFEDCB（第11题图）解得tan A 21=-．14．己知函数2ln 20()504x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，，的图象上有且仅有两个不同的点关于直线y ＝﹣2的对称点在kx ﹣y ﹣3＝0的图象上，则实数k 的取值范围是 ． 答案：（-∞，34）U （1，+∞） 考点：函数与方程解析：直线kx ﹣y ﹣3＝0关于直线y ＝﹣2的对称直线为y ＝﹣1﹣kx ， 故可将题意转化为直线y ＝﹣1﹣kx 与函数()y f x =有且仅有两个交点，当x ＝0时，显然不符合题意，当x ≠0时，参变分离得：1()f x kx--=，即方程1ln 201504x x xk x x x ⎧--+>⎪⎪=⎨⎪---<⎪⎩，，有两个不相等的实数根，通过数形结合即可求得实数k 的取值范围是k ＞1或k ＜34，即（-∞，34）U （1，+∞）． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E 为棱PD 的中点，PA ⊥平面ABCD ． （1）求证：PB //平而AEC ；（2）若四边形ABCD 是矩形且PA ＝AD ，求证：AE ⊥平面PCD ． 证明：（1）连接BD 交AC 于O ，因为ABCD 是平行四边形，所以O 是BD 的中点， 因为E 为PD 的中点，所以OE //PB又因为PB ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，所以PB //平面AEC ………………6分 （2）因为PA AD =且E 是PD 的中点，所以AE PD ⊥又因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥ 因为四边形ABCD 是矩形，所以CD ⊥AD ，因为,PA AD ⊂平面PAD 且PA AD A =I所以CD ⊥平面PAD 又因为AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥,PD CD ⊂平面PDC 且PD CD D =I ，所以AE ⊥平面PCD ………………14分16．（本小题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cosB ＝45．（1）若c ＝2a ，求sin Bsin C的值； （2）若C ﹣B ＝4π，求sinA 的值． 解：（1）解法1：在△ABC 中，因为cos B ＝45，所以a 2＋c 2－b 22ac ＝45．………………2分因为c ＝2a ，所以(c2)2＋c 2－b 22c ×c 2＝45，即b 2c 2＝920，所以b c ＝3510．………………4分又由正弦定理得sin B sin C ＝b c ，所以sin B sin C ＝3510．………………6分 解法2：因为cos B ＝45，B ∈（0，π），所以sin B ＝1－cos 2B ＝35．………………2分因为c ＝2a ，由正弦定理得sin C ＝2sin A ，所以sin C ＝2sin （B ＋C ）＝65cos C ＋85sin C ，即－sin C ＝2cos C ．………………4分又因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，sin C ＞0，解得sin C ＝255，所以sin B sin C ＝3510．………………6分（2）因为cos B ＝45，所以cos2B ＝2cos 2B －1＝725．………………8分又0＜B ＜π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝35，所以sin2B ＝2sin B cos B ＝2×35×45＝2425．………………10分因为C －B ＝π4，即C ＝B ＋π4，所以A ＝π－（B ＋C ）＝3π4－2B ，所以sin A ＝sin （3π4－2B ）＝sin 3π4cos2B －cos 3π4sin2B ＝31250．………………14分17．（本小题满分14分）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x （x ∈N *）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10（a －3x500)万元（a ＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0．2x %．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？17．（1）由题意得，10（1000－x ）（1＋0．2x %）≥10×1000，………………2分 即x 2－500x ≤0，又x ＞0，故0＜x ≤500．………………4分 即最多调整500名员工从事第三产业．………………5分 （2）从事第三产业的员工创造的年总利润为10（a －3x500）x 万元， 从事原来产业的员工的年总利润为10（1000－x ）（1＋1500x ）万元， 则10（a －3x 500）x ≤10（1000－x ）（1＋1500x ），………………8分故ax －3x 2500≤1000＋2x －x －1500x 2， 故ax ≤2x 2500＋1000＋x ， 即a ≤2x 500＋1000x ＋1恒成立．………………10分因2x 500＋1000x≥22x 500·1000x＝4， 当且仅当2x 500＝1000x，即x ＝500时等号成立，故a ≤5，………………12分 又a ＞0，故0＜a ≤5．故a 的取值范围为（0，5]．………………14分 18．（本小题满分16分）如图，己知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点（1，32），离心率为12，A ，B 分别是椭圆C 的左，右顶点，过右焦点F 且斜率为k （k ＞0）的直线线l 与椭圆相交于M ，N 两点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）记△AFM ，△BFN 的而积分别为S 1，S 2，若1265S S =，求k 的值； （3）己知直线AM 、BN 的斜率分k 1，k 2，求21k k 的值．解：（1）设椭圆的焦距为2c ．312Q 椭圆过点（，），离心率为12∴229141a b +=，12c a =解得2,a b == 则椭圆的方程为22143x y +=．………………4分(2) 设点1122(,),(,)M x y N x yQ 1265s s = ∴12162152AF y BF y ⨯⨯=⨯⨯，整理可得M N 3|y |6|y |5= 即2||||5M N y y =，25FM NF ∴=u u u u r u u u r代入坐标，可得121221(1)525x x y y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即1212725525x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，又Q 点,M N 在椭圆C 上22222222722()()555143143x y x y ⎧--⎪+=⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，解得2254x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线l的斜率8514k ==--………………10分（3）Q 直线l 的方程为(1)y k x =-由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(34)84120k x k x k +-+-= 221212228412,3443k k x x x x k k -∴+=⋅=++ 又22221211221111212121212(2)(1)(2)22(2)(1)(2)222y k x y x k x x x x x x y k y x k x x x x x x x -+-++--====-----++ 222222222222222222412812182()234343434128462()2434343k k k x x x k k k k k k x x x k k k ---+---++++==------+++++ 222222463()4334643k x k k x k --++==--++ 213k k ∴=………………16分 19．（本小题满分16分）己知函数2()ln 2x f x a x ax =-+．（1）当a ＝1时，求()f x 在x ＝1处的切线方程： （2）当a ＞0时，讨论()f x 的单调性；（3）若()f x 有两个极值点1x ，2x （1x ≠2x ），且不等式1212()()()f x f x x x λ+<+恒成立，求实数λ的取值范围．解：（1）当1a =时，()2ln 2x f x x x =-+，()112f =- ()1'1f x x x=-+，()'11f =所以()f x 在1x =处的切线方程为112y x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，即2230x y --= ………………2分（2）()f x 定义域为()0,+∞，()2'a x ax af x a x x x-+=-+=①若04a <<时，240a a -<，()'0f x >，所以()f x 单调递增区间为()0,+∞，无减区间；…………4分②若4a =，则()()22244'x x x f x x x--+==当02x <<时，()'0f x >；当2x >时，()'0f x >所以()f x 单调递增区间为()0,+∞，无减区间；………………6分③若4a >时，由()2'0x ax a f x x-+==，得x =x =当0x <<x >()'0f x >x <<时，()'0f x < 所以()f x单调递增区间为⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递减区间为⎝⎭………………8分 （3）由（1）知，4a >，且1212x x ax x a +=⎧⎨=⎩，不等式1212()()()f x f x x x λ+<+恒成立等价于1212()()()()f x f x f x f x λ++>=恒成立又221211122211()()(ln )(ln )22f x f x a x x x a x x x +=-++-+221212121(ln ln )()()2a x x a x x x x =+-+++2121212121ln ()[()2]2a x x a x x x x x x =-+++-221ln (2)2a a a a a =-+- 21ln 2a a a a =--所以1212()()1ln 12f x f x a a x x +=--+，令1ln 12y a a =--（4a >），则11'02y a =-<， 所以1ln 12y a a =--在(4,)+∞上单调递减， 所以2ln 23y <-，所以2ln23λ≥-………………16分20．（本小题满分16分） 已知无穷数列{}n a 的前n 项中的最大项为n A ，最小项为n B ，设n n n B A b +=．（1）若21n a n =-，求数列{}n b 的通项公式；（2）若nnn a 212-=，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （3）若数列{}n b 是等差数列，求证：数列{}n a 是等差数列．解：（1）由12-=n a n 得{}n a 是递增数列，所以,1,121==-==a B n a A n n n所以.2n B A b n n n=+=………………2分（2）由n nn a 212-=得-+=-++11212n n n n a a ,2232121+-=-n nnn 当1=n ，01>-+n n a a ，即;21a a <当2≥n ，01<-+n n a a ，即>>>432a a a ┈又,167,85,43,21141321a a a a a a <=>=== 所以,45,45,1321===b b b 当4≥n 时，,21243nn n b -+= 所以,27,49,1321===s s s当4≥n 时，令,22)1(43212431nn n n bkn b n k n b +-+-+=-+=- 则,3,2==b k 即nn n n n n n b 23221243212431+-++=-+=- 所以)232212()213211()21129()3(432715443n n n n s n n +-++⋅⋅⋅+-+-+-+=-n n n 23229)3(43273+-+-+= .23243819nn n +-+=综上所述，27,49,1321===s s s ，当4≥n 时，.23243819nn n n s +-+=…………8分（3）设数列{}n b 的公差为d ，则d B B A A b b n n n n n n =-+-=-+++111，由题意n n n n B B A A ≤≥++11,n n A A d >>+1,0，对任意*∈N n 都成立，即n n n n a A a A =>+=+11，所以{}n a 是递增数列。
2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅲ)(含解析版)
【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算,以及等差数列求和公式的应用,考查计算求解能力,属于基础题目.
18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次
空气质量等级
[0,200]
(200,400]
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 , ,则A∩B中元素的个数为（）
A.2B.3C.4D.5
【答案】B
【解析】
【分析】
采用列举法列举出 中元素的即可.
【详解】由题意, ,故 中元素的个数为3.
故选：B
【点晴】本题主要考查集合 交集运算,考查学生对交集定义的理解,是一道容易题.
【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球,球与圆锥内切时的轴截面如图所示,
其中 ,且点M为BC边上的中点,
设内切圆的圆心为 ,
由于 ,故 ,
设内切圆半径为 ,则：
,
解得： ,其体积： .
故答案为： .
【点睛】与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接．解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.
2.若 ,则z=（）
A. 1–iB. 1+iC. –iD.i
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用除法运算求得 ,再利用共轭复数的概念得到 即可.
【详解】因为 ,所以 .
天津市2020〖京教版〗高三数学复习试卷参考答案及评分标准
天津市2020年〖京教版〗高三数学复习试卷参考答案及评分标准一、选择题（本题满分30分，每小题6分）那，为常数b ，a 其中，b y x =+22，a n m =+22满足y ，x ，n ，m 如果实数 1.么mx +ny的最大值为答：[B]A. 2b a +B. abC. 222b a + D. 222b a +解 由柯西不等式ab y x n m ny mx =++≤+))(()(22222；或三角换元即可得到ab ny mx ≤+，当2a n m ==，2by x ==时，ab ny mx =+. 选B.2. 设)(x f y =为指数函数x a y =. 在P (1,1)，Q (1,2)，M (2,3)，⎪⎭⎫⎝⎛41,21N 四点中，函数)(x f y =与其反函数)(1x f y -=的图像的公共点只可能是点 答：[D]A. PB. QC. MD. N 解 取161=a ，把坐标代入检验，4116121=⎪⎭⎫ ⎝⎛ ，而2116141=⎪⎭⎫⎝⎛，∴公共点只可能是 点N .选D.3. 在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么z y x ++的值为答：[A] A. 1 B. 21 2 0.5 1xC. 3D. 4解 第一、二行后两个数分别为2.5，3与1.25，1.5；第三、四、五列中的5.0=x ，165=y ，163=z ，则1=++z y x . 选A. 4. 如果111C B A ∆的三个内角的余弦值分别是222C B A ∆的三个内角的正弦值，那么答：[B]A. 111C B A ∆与222C B A ∆都是锐角三角形B. 111C B A ∆是锐角三角形，222C B A ∆是钝角三角形C. 111C B A ∆是钝角三角形，222C B A ∆是锐角三角形D. 111C B A ∆与222C B A ∆都是钝角三角形解 两个三角形的内角不能有直角；111C B A ∆的内角余弦都大于零，所以是锐角三角形；若222C B A ∆是锐角三角形，则不妨设cos 1A =sin 2A =cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-12A π， cos 1B =sin 2B =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-22A π，cos 1C =sin 2C =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-12C π.则212A A -=π，212B B -=π，212C C -=π，即 )(23222111C B A C B A ++-=++π，矛盾. 选B. 5. 设a ，b 是夹角为30°的异面直线，则满足条件“α⊆a ，β⊆b ，且βα⊥”的平面α，β 答： [D]A. 不存在B. 有且只有一对C. 有且只有两对D. 有无数对解 任作a 的平面α，可以作无数个. 在b 上任取一点M ，过M 作α的垂线. b 与垂线确定的平面β垂直于α. 选D. 二、填空题（本题满分50分，每小题10分）6. 设集合[]{}{}222<==-=x x B x x x A 和，其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数，则{}3,1-=B A .解 ∵2<x ，[]x 的值可取1,0,1,2--.当[x ]=2-，则02=x 无解；当[x ]=1-，则12=x ，∴x =1-； 当[x ]=0，则22=x 无解； 当[x ]=1，则32=x ，∴3=x . 所以31或-=x .7. 同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是21691=P (结果要求写成既约 分数）.解考虑对立事件，216916513=⎪⎭⎫⎝⎛-=P .8. 已知点O 在ABC ∆内部，022=++OC OB OA .OCB ABC ∆∆与的面积之比为5：1.解 由图，ABC ∆与OCB ∆的底边相同，高是5：1.故面积比是5：1.9. 与圆0422=-+x y x 外切，且与y圆圆心的轨迹方程为)0(82>=x x y 或)0(0<=x y .解 由圆锥曲线的定义，圆心可以是以(2,0)为焦点、2-=x 为准线的抛物线上的点；若切点是原点，则圆心在x 轴负半轴上.所以轨迹方程为)0(82>=x x y ，或)0(0<=x y .10. 在ABC ∆中，若tan A tan B =tan A tan C +tanctan B ，则 222c b a += 3 .解 切割化弦，已知等式即CB CB C A C A B A B A cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin +=，亦即C B A C B A cos )sin(sin sin sin +=，即C C B A 2sin cos sin sin =1，即1cos 2=c C ab .所以，122222=-+c c b a ，故3222=+cb a . 三、解答题（本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分） 11. 已知函数c bx x x f ++-=22)(在1=x 时有最大值1，n m <<0，并且[]n m x ,∈时，)(x f 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡m n 1,1. 试求m ，n 的值.解 由题 1)1(2)(2+--=x x f ， ……5分1)(≤∴x f ，11≤∴m，即1≥m ，[]n m x f ,)(在∴上单调减， m m m f 11)1(2)(2=+--=∴且nn n f 11)1(2)(2=+--=. ……10分 m ∴，n 是方程xx x f 11)1(2)(2=+--=的两个解，方程即 )122)(1(2---x x x =0，.231-，231+，1为解方程，得解 n m <≤∴1分51…… . 231+=n ，1=∴m ， 。
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门头沟区2020年高三综合练习评分标准数学 2020.3一、选择题（本大题共10个小题,每小题4分,共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.复数2(1)i i +的模为 （ ） A.12B. 1C. 2D. 222.集合2{2,},{230}A x x x R B x x x =>∈=-->，则A B =I （ ）A. (3,)+∞B. (,1)(3,)-∞-+∞UC. (2,)+∞D. (2,3)3.已知双曲线22:194x y C -=，则C 的渐近线方程为 （ ）A ．94y x =±B ．49y x =±C ．32y x =±D ．23y x =±4. 若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且130S =，3421a a +=，则7S 的值为 A. 21 B. 63 C. 13 D. 845.某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长 为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形， 则该几何体中最长的棱长为236 解：由题意可知，此几何体如图所示，底面为一个直角3三角形，高为1，6. 设向量,a b r r 满足 2,1b a ==r r ，且b r 与a r 的夹角为θ。
则“b a -=r r ”是“3πθ=”的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件解：412313b a a b a b πθ-=⇔+-⋅=⇔⋅=⇔=r r r r r r 选C 【利用向量几何运算更易】7. 已知函数2(0)()ln (0)xx f x x x ⎧≤=⎨>⎩，且关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围A. [0,)+∞B. (1,)+∞C. (0,)+∞D. [,1)-∞ 解：()0()f x x a f x a x +-=⇔=-作图可得：B 8. 若函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间[0,]a 上单调递增，则a 的最大值为A.2π B. 3πC. 512πD. 712π解：()sin(2)3g x x π=-，()g a 为最大值，a 的最大值523212a a πππ-=⇒=，选C9. 已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则21PM PF -的最小值为B. 1)2C. 解：设(,)P x y 是抛物线上任一点，抛物线的焦点为(1,0)F ，2222(2)4441PMx y x x PF x x x-++===+≥-10. 一辆邮车从A 地往B 地运送邮件，沿途共有n 地，依次记为12,,n A A A L （1A 为A 地，n A 为B 地）。
从1A 地出发时，装上发往后面1n -地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各1 件，记该邮车到达12,,n A A A L 各地装卸完毕后剩余的邮件数记为(1,2,,)k a k n =L 。
则k a 的表达式为A. (1)k n k -+B. (1)k n k --C. ()n n k -D. ()k n k -二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分. ） 11. 在二项式26(2)x +的展开式中，8x 的系数为 。
60解：26122166()222,60rrr r r rr T x x r C C --+==⇒=12. 在ABC ∆中，21,3AB BC C π==∠=，则AC = 。
1 解：由余弦定理得：1AC =13.在党中央的正确指导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制。
下图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图如下：根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，通过比较，把你得到最重要的两个结论写在答案纸指定的空白处。
① 。
② 。
开放性试题，如甲省比乙省的新增人数的平均数低；甲省比乙省的方差要大；从2月10日开始两个省的新增人数都在下降；2月10日两个省的新增人数在一周内都达到了最大值；等等。
至少有一个数据信息能涉及到平均数或方差，并且给出的两个数据信息都是正确，给满分5分；若两个结论都没有涉及到平均数或方差，两个数据信息都正确也要扣2分。
14. 已知两点(1,0),(1,0)A B -，若直线0x y a -+=上存在点(,)P x y 满足0AP BP ⋅=u u u r u u u r则实数a 满足的取值范围是 。
解：设(,)P x y ，则2201AP BP x y ⋅=⇔+=u u u r u u u r ，1[2,2]2a d a =≤⇒∈- 15. 集合{(,),0},{(,)1}A x y x y a a B x y xy x y =+=>=+=+， 若A B I 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为 ②③ ①a 的值可以为2； ②a 的值可以为2； ③a 的值可以为22+；本题给出的结论中，有多个符合要求，全部选对得5分，不选或有选错得0分，其它得3分。
xyO解：（1）若01a <≤时，不可能构成正八边形； (2) 若12a <<时，设正八边形边长为l ，如图10cos 4512221222l ll l a +=⇒=-⇒=+= （3）若2a =时，不合题意；（4）若2a >时，此时正八边形边长为2，故12122a =++=+，如图2 11 12 131415 601甲省比乙省的新增人数的平均数低；甲省比乙省的方差要大；等②③13.开放性试题，如甲省比乙省的新增人数的平均数低；甲省比乙省的方差要大；从2月10日开始两个省的新增人数都在下降；2月10日两个省的新增人数在一周内都达到了最大值；等等。
至少有一个数据信息能涉及到平均数或方差，并且给出的两个数据信息都是正确，给满分5分；若两个结论都没有涉及到平均数或方差，两个数据信息都正确也要扣2分。
三、解答题：（本大题共6小题，满分85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明） 16.（本小题满分为13分）已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><满足下列3个条件中的2个条件：①函数()f x 的周期为π； ②6x π=是函数()f x 的对称轴；③()04f π=且在区间(,)62ππ上单调（Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）若[0,]3x π∈，求函数()f x 的值域。
[2,2]-xO 图1xO图2解：（Ⅰ）由①可得，22ππωω=⇒=………1分由②得：,6226k k k Z πωπππωϕπϕπ+=+⇒=+-∈………2分由③得，,44220322633m m m ZT πωπωϕπϕππππππωω+=⇒=-∈≥-=⇒≥⇒<≤………………4分若①②成立，则2,,()sin(2)66f x x ππωϕ===+……………5分若①③成立，则,42m m m Z πωπϕππ=-=-∈，不合题意…………6分 若②③成立，则12()66,,264k m m k m k Z ππωπωππω+-=-⇒=--≥∈与③中的03ω<≤矛盾，所以②③不成立…………………………8分 所以，只有①②成立，()sin(2)6f x x π=+………………………………9分（Ⅱ）由题意得，5102()136662x x f x ππππ≤≤⇒≤+≤⇒≤≤……12分 所以，函数()f x 的值域为1[,1]2………………………………………13分17.（本题满分15分）在四棱锥P ABCD -的底面ABCD 中，//,BC AD CD AD ⊥，PO ABCD ⊥平面，是的中点，且222PO AD BC CD ====（Ⅰ）求证：//AB POC 平面； （Ⅱ）求二面角O PC D --的余弦值；（Ⅲ）线段PC 上是否存在点E ，使得AB DE ⊥， 若存在指出点E 的位置，若不存在，请说明理由。
解: （Ⅰ）连结OC ，,//BC AO BC AD = 则四边形ABCO 为平行四边形………1分O AD A////AB OC AB POC AB POC OC POC ⎧⎪⊄⇒⎨⎪⊂⎩平面平面平面…4分 （Ⅱ）PO ABCD ⊥平面，CD ADOD BC CD ⊥⎧⇒⎨==⎩四边形OBCD 为正方形 所以，,,OB OD OP 两两垂直，建立如图所示坐标系，………………6分 则(1,1,0),(0,0,2),(0,1,0),(1,0,0)C P D B ，设平面PCD 法向量为1(,,)n x y z =u r ，则1110(0,2,1)0n CD n n PD ⎧⋅=⎪⇒=⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u r u u u r，……………………8分 连结BD ，可得,BD OC ⊥又BD PO ⊥ 所以，BD POC ⊥平面，平面POC 的法向量2(1,1,0)n BD ==-u u r u u u r（其它方法求法向量也可）……10分设二面角O PC D --的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅==u r u u r u r u u r g 11分 （Ⅲ）线段PC 上存在点E 使得AB DE ⊥……………………12分方法一：设(,,),(,,2)(1,1,2)(,,22)E x y z PE PC x y z E λλλλλ=⇒-=-⇒-u u u r u u u r(,1,22)DE λλλ=--u u u r ，(1,1,0)AB =u u u r ，102AB DE AB DE λ⊥⇒⋅=⇒=u u u r u u u r …14分所以，点E 为线段PC 的中点……………15分 方法二：设E 是线段PC 的中点，BD OC M =I ，//EM PO EM ABCD ⇒⊥平面OC BDOC BED OC ED OC EM ⊥⎧⇒⊥⇒⊥⎨⊥⎩平面 //AB OC ，所以AB ED ⊥…………15分18.（本小题满分13分）十八大以来，党中央提出要在2020年实现全面脱贫，为了实现这一目标，国家对“新农合”（新型农村合作医疗）推出了新政，各级财政提高了对“新农合”的补助标准。
提高了各项报销的比例，其中门诊报销比例如下：A表1：新农合门诊报销比例根据以往的数据统计，李村一个结算年度门诊就诊人次情况如下：表2：李村一个结算年度门诊就诊情况统计表如果一个结算年度每人次到村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三甲医院门诊平均费用分别为50元、100元、200元、500元。