相似三角形知识点梳理
相似三角形知识点梳理
相似三角形知识点梳理知识点1 有关相似形的概念(1) 形状一样的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2) 假如两个边数一样的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数) ．知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质〔1〕定义：在四条线段 d c b a , , , 中，假如 ba和的比等于 d c和的比，那么这四条线段 d c b a , , , 叫做成比例线段，简称比例线段．知识点 4 相似三角形的概念〔1〕定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽” 表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数) ．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为 1 的相似三角形．〔2〕三角形相似的断定方法1、平行法：〔图上〕平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线) 相交，所构成的三角形与原三角形相似.2、断定定理 1：简述为：两角对应相等，两三角形相似． AA3、断定定理 2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． SAS4、断定定理 3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似． SSS5、断定定理 4：直角三角形中，“HL”全等与相似的比拟：知识点 5 相似三角形的性质(1) 相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2) 相似三角形周长的比等于相似比．(3) 相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．(4) 相似三角形面积的比等于相似比的平方知识点 7 等积式证明题常用方法归纳：(1) 总体思路: “等积” 变“比例”，“比例” 找“相似”(2) 找相似：通过“横找”“竖看” 寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，可以组成三角形，并且有可能是相似的，那么可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.(3) 找中间比：假设没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上) ，那么需要进展“转移” (或“交换” ) ，常用的“交换” 方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.即：找相似找不到，找中间比。
初中相似三角形知识点归纳
初中相似三角形知识点归纳分享借鉴.初中相似三角形知识点11.相似三角形定义:对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形.2.相似三角形的表示方法:用符号∽ 表示,读作相似于 .3.相似三角形的相似比:相似三角形的对应边的比叫做相似比.4.相似三角形的预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所截成的三角形与原三角形相似.从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的对应边相等的条件改为对应边成比例就可得到相似三角形的判定定理,这就是我们数学中的用类比的方法,在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法.6.直角三角形相似:(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似.(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的`斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.7.相似三角形的性质定理:(1)相似三角形的对应角相等.(2)相似三角形的对应边成比例.(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.(4)相似三角形的周长比等于相似比.(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.8. 相似三角形的传递性如果△ABC∽△A1B1C1,△A1B1C1∽△A2B2C2,那么△ABC∽A2B2C2初中相似三角形知识点21.相似三角形的定义对应角相等.对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.如果三边分别对应A,B,C和a,b,c:那么:A/a=B/b=C/c即三边边长对应比例相同.2.相似三角形判定对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似(AA)判定定理2:如果两个三角形的两组对应边成比例,并且对应的夹角相等,那么这两个三角形相似(SAS)判定定理3:如果两个三角形的三组对应边成比例,那么这两个三角形相似(SSS)判定定理4:两三角形三边对应平行,则两三角形相似.判定定理5:两个直角三角形中,斜边与直角边对应成比例,那么两三角形相似.其他判定:由角度比转化为线段比:h1/h2=Sabc3.相似三角形性质(1)相似三角形的对应角相等.(2)相似三角形的对应边成比例.(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.(4)相似三角形的周长比等于相似比.(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.初中相似三角形知识点3一.平行线分线段成比例定理及其推论:1.定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.2.推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.3.推论的逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条线段平行于三角形的第三边.二.相似预备定理:平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.三.相似三角形:1.定义:对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形.2.性质:(1)相似三角形的对应角相等;(2)相似三角形的对应线段(边.高.中线.角平分线)成比例;(3)相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.说明:①等高三角形的面积比等于底之比,等底三角形的面积比等于高之比;②要注意两个图形元素的对应.3. 判定定理:(1)两角对应相等,两三角形相似;(2)两边对应成比例,且夹角相等,两三角形相似;(3)三边对应成比例,两三角形相似;(4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角对应成比例,那么这两个直角三角形相似.四.三角形相似的证题思路:五.利用相似三角形证明线段成比例的一般步骤:一定:先确定四条线段在哪两个可能相似的三角形中;二找:再找出两个三角形相似所需的条件;三证:根据分析,写出证明过程.如果这两个三角形不相似,只能采用其他方法,如找中间比或引平行线等. 六.相似与全等:全等三角形是相似比为1的相似三角形,即全等三角形是相似三角形的特例,它们之间的区别与联系:1.共同点它们的对应角相等,不同点是边长的大小,全等三角形的对应边相等,而相似三角形的对应的边成比例.2.判定方法不同,相似三角形只求形状相同的,大小不一定相等,所以改对应边相等成对应边成比例.初中相似三角形知识点。
相似三角形的知识点总结
相似三角形的知识点总结相似三角形是几何学中的重要概念，它在实际生活中有着广泛的应用。
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。
在相似三角形中，对应角度相等，对应边的比例相等。
相似三角形的知识点包括相似比例、相似条件、相似性质以及相似定理等。
下面将逐一介绍这些知识点。
1. 相似比例：相似三角形的对应边的比例相等。
即若两个三角形ABC和DEF相似，则有AB/DE = AC/DF = BC/EF。
2. 相似条件：两个三角形相似的条件有三种情况：a) 两个三角形的对应角度相等；b) 两个三角形的两个对应角度相等，且两个对应边的比例相等；c) 两个三角形的一个对应角度相等，且两个对应边的比例相等。
3. 相似性质：相似三角形具有以下性质：a) 相似三角形的对应角度相等；b) 相似三角形的对应边的比例相等；c) 相似三角形的对应角的平分线相交于一点；d) 相似三角形的内角平分线相交于一点。
4. 相似定理：相似三角形的定理有多个，其中一些重要的定理包括：a) AA相似定理：若两个三角形的两个对应角度相等，则两个三角形相似；b) SSS相似定理：若两个三角形的对应边的比例相等，则两个三角形相似；c) SAS相似定理：若两个三角形的一个对应角度相等，且两个对应边的比例相等，则两个三角形相似；d) 勾股定理的相似定理：若两个直角三角形的两条直角边分别成比例，则两个三角形相似。
相似三角形的知识点对于解决实际问题非常重要。
例如，在测量高楼的高度时，我们可以利用相似三角形的性质，通过测量阴影的长度和角度，计算出高楼的高度。
又如，在地图上测量两地的距离时，我们可以利用相似三角形的性质，通过测量地图上两地的距离和角度，计算出实际距离。
相似三角形是几何学中的重要概念，它在解决实际问题中有着广泛的应用。
通过掌握相似三角形的知识点，我们可以更好地理解几何学中的相似性质，从而应用于实际生活中的测量和计算中。
初中相似三角形知识点
初中相似三角形知识点一、相似三角形的定义相似三角形是指两个三角形的对应角相等，且对应边长成比例的三角形。
也就是说，如果三角形ABC与三角形DEF相似，那么角A等于角D，角B等于角E，角C等于角F，并且边AB与边DE、边BC与边EF、边CA与边DF之间的长度成同一比例。
二、相似三角形的标记在标记相似三角形时，我们通常使用一个字母来表示一个三角形，例如三角形ABC。
如果两个三角形相似，我们可以用一个比例系数（通常用字母k表示）来标记它们的对应边。
例如，如果AB/DE = BC/EF = AC/DF = k，那么我们说三角形ABC与三角形DEF相似，并且边长比例为k。
三、相似三角形的性质1. 角的对应性：相似三角形的对应角相等。
2. 边的成比例性：相似三角形的对应边成比例。
3. 面积的比例：相似三角形的面积比等于边长比的平方。
即，如果三角形ABC与三角形DEF相似，且边长比为k，则三角形ABC的面积与三角形DEF的面积之比为k^2。
4. 周长的比例：相似三角形的周长比也等于它们边长的比例。
四、相似三角形的判定1. 三角形相似判定定理：如果两个三角形的两组对应角分别相等，那么这两个三角形相似。
2. 边角边（SAS）判定定理：如果两个三角形有两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形相似。
3. 边边边（SSS）判定定理：如果两个三角形的所有对应边分别成比例，那么这两个三角形相似。
五、相似三角形的应用相似三角形的概念在解决实际问题中非常有用，例如在测量、建筑、设计和其他领域。
通过使用相似三角形的性质，我们可以解决涉及长度、面积和角度的问题，尤其是在没有直接测量工具的情况下。
六、练习题1. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB = 6cm, BC = 8cm, AC = 10cm，DE = 3cm，求EF的长度。
2. 如果三角形PQR的面积是24平方厘米，并且与三角形ABC相似，且三角形ABC的面积是144平方厘米，求三角形PQR的边长。
相似三角形知识点大总结
相似三角形知识点大总结知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． （3）a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad = 知识点2 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 基本性质：①bc ad d c b a =⇔=::；②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式。
（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b d a c=⇔=．（4）合、分比性质：a c abc db d b d±±=⇔=．（注意：合分比性质和等分比性质不同）注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc d c b a b a ccd a a b d c b a 等等．（5）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ，那么b a n f d b m ec a =++++++++ ． 注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
相似三角形知识点
相似三角形知识点
相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
相似三角形的性质：
相似三角形对应角相等，对应边成比例。
相似三角形周长的比等于相似比。
相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
相似三角形的判定方法：
两角对应相等，两三角形相似（AA）。
两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）。
三边对应成比例，两三角形相似（SSS）。
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
位似图形：位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点。
相似三角形知识点归纳
相似三角形知识点归纳1.相似三角形的定义：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形是相似的。
记作△ABC∽△DEF。
2.相似三角形的判定条件：(1)AA相似判定法：如果两个三角形的两个角相等，则这两个三角形是相似的。
(2)SAS相似判定法：如果两个三角形的对应两边成比例并且夹角相等，则这两个三角形是相似的。
(3)SSS相似判定法：如果两个三角形的对应三条边成比例，则这两个三角形是相似的。
3.相似三角形的性质：(1)对应边成比例：在相似三角形中，对应边的长度之比相等。
即AB/DE=BC/EF=AC/DF。
(2)对应角相等：在相似三角形中，对应角的度数相等。
即∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
(3) 对应角的正弦值成比例：在相似三角形中，如果一个角和其对边的正弦值成比例，则另一个角和其对边的正弦值也成比例。
即sin∠A/sin∠D = sin∠B/sin∠E = sin∠C/sin∠F。
(4)图形相似：除了三角形外，相似三角形所在的图形也是相似的。
4.角平分线的性质：(1)在相似三角形中，角平分线之间的关系相等。
即角平分线所分的两个角对应的另外两个角也是相等的。
(2)在相似三角形中，角平分线和对应边长成比例。
即角平分线与对应边所分出的线段之比相等。
5.高度的性质：(1)在相似三角形中，高度之间的关系成比例。
即两个相似三角形的高度之比等于对应边长之比。
(2)在相似三角形中，高度与底边成比例。
即两个相似三角形的高度和底边之比等于对应边长之比。
6.面积的性质：(1)在相似三角形中，面积之间的关系成比例。
即两个相似三角形的面积之比等于对应边长之比的平方。
(2)在相似三角形中，面积与任意一边平方成比例。
即两个相似三角形的面积和任意一边的平方之比等于对应边长之比。
7.相似三角形的应用：(1)根据相似三角形的性质，可以通过测量一个三角形和两条边的比例，计算出另一个三角形的边长和面积。
(2)在地图上，可以利用相似三角形的性质，测量无法直接测量的远距离。
初中相似三角形知识点总结
初中相似三角形知识点总结
相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等，对应边成比例的关系。
以下是初中相似三角形的知识点总结：
1. 相似三角形的定义：两个或多个三角形的对应角相等，对应边成比例。
2. 相似三角形的性质：
- 对应角相等：两个相似三角形的对应角相等，即角A = 角D，角B = 角E，角C = 角F。
- 对应边成比例：两个相似三角形的对应边成比例，即 AB/DE = BC/EF = AC/DF。
3. 相似三角形的判定：
- AA相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
- SAS相似定理：如果两个三角形的两个边成比例，并且夹角相等，则这两个三角形相似。
4. 相似三角形的应用：
- 求比例关系：根据相似三角形的性质，可以利用已知的比例关系来求解未知的边长或角度。
- 利用相似三角形求高度：在一个相似三角形中，可以利用已知的比例关系来求解未知的高度。
5. 相似三角形的注意事项：
- 只有对应角相等和对应边成比例的三角形才是相似三角形。
- 相似三角形的比例关系可以用来计算边长，但不能用来计算面积。
相似三角形是初中数学中的重要概念，它在几何形状的比较和计算中有着广泛的应用。
理解相似三角形的性质和应用方法，对于解决与三角形相关的问题具有重要意义。
九年级数学相似三角形知识点
九年级数学相似三角形知识点九年级数学：相似三角形知识点1. 相似三角形的定义相似三角形是指两个三角形的对应角相等，且对应边成比例的三角形。
也就是说，如果两个三角形的三个角分别相等，且每组对应边的比值都相等，那么这两个三角形就是相似的。
2. 相似三角形的标记在标记相似三角形时，通常使用希腊字母来表示对应的顶点。
例如，如果三角形ABC与三角形DEF相似，我们可以标记为：△ABC ∼△DEF。
3. 相似三角形的性质- 对应角相等：∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F。
- 对应边成比例：AB/DE = BC/EF = AC/DF。
- 对应高的比值也相等：AH/DH = BH/EH = CH/FH（其中H是三角形的高所在的顶点）。
- 对应中线的比值也相等：AM/DM = BM/EM = CM/FM（其中M是三角形的中线所在的顶点）。
4. 相似三角形的判定- 三角形相似的判定定理一：如果两个三角形的两组对应角分别相等，那么这两个三角形相似。
- 三角形相似的判定定理二：如果两个三角形的三组对应边的比值都相等，那么这两个三角形相似。
- 三角形相似的判定定理三：如果两个三角形的两组对应边的比值相等，且它们之间的夹角也相等，那么这两个三角形相似。
5. 相似三角形的应用- 解决实际问题：在建筑设计、地图制作等领域，相似三角形的概念可以用来解决比例缩放问题。
- 计算面积比：相似三角形的面积比等于对应边长的平方比。
即，如果AB/DE = x，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为x²。
- 证明几何定理：在证明某些几何定理时，可以通过证明三角形相似来简化证明过程。
6. 相似三角形的计算- 使用比例关系解决实际问题时，通常需要先确定比例系数，然后利用这个系数来计算其他边长或角度。
- 在计算面积比时，应先计算出三角形的边长比，然后根据边长比计算面积比。
7. 相似三角形的证明- 在证明三角形相似时，需要明确指出所使用的判定定理，并确保所有的条件都满足。
相似三角形知识点归纳(全)
《相似三角形》知识点归纳知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质（1）定义： 在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：adc b =． ②()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即512AC BC AB AC == 简记为：51-长短＝＝全长 注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形 ②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 （3）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a ccd a a b d c b a 等等．（4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b n mf e d c b a ， 那么ban f d b m e c a =++++++++ ． 知识点3 比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE =====或或或或等. 特别在三角形中：由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或 知识点4 相似三角形的概念（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．（2）三角形相似的判定方法1、平行法：（图上）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.2、判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似． AA3、判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．SAS4、判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似．SSS5、判定定理4：直角三角形中，“HL ” 全等与相似的比较：三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS)、(HL ）两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例“HL ”FE D CB A E BD（3）射影定理：如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则 ∽ ＝＝＞ AD 2=BD ·DC ，∽ ＝＝＞ AB 2=BD ·BC ，∽ ＝＝＞ AC 2=CD ·BC .知识点5 相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例． (2)相似三角形周长的比等于相似比．(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．知识点6 相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
相似三角形知识点总结
相似三角形第一节图形的相似1.概念：我们把形状相同的图形叫做相似图形。
两个图形相似，我们可以把其中一个图形看作由另一个图形放大或缩小得到的。
例如：放映电影时，投在屏幕上的画面就是胶片上的图形的放大。
2.相似多边形的特征正三角形都是相似的，它们的对应角相等，对应边成比例。
则相似的正多边形对应角相等，对应边成比例。
性质：相似多边形对应角相等，对应边成比例。
（对应边的比相等）反过来，如果两个多边形满足对应角相等，对应边成的比相等，那么这两个多边形相似。
我们把相似多边形对应边的比称为相似比。
思考：相似比为1时，两个图形有什么关系？第二节相似三角形的判定1.平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等。
2.判定三角形相似的定理A.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
B.如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
C.如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
D.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
E.若两个直角三角形满足一个锐角对应相等，或两组直角边的比相等，则这两个直角三角形相似。
3.相似三角形的应用举例利用三角形相似，我们可以解决一些不能直接测量的物体的长度问题。
第三节相似三角形的周长与面积相似三角形周长的比等于相似比。
相似多边形周长的比等于相似比。
相似三角形对应高的比等于相似比。
相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似多边形面积的比等于相似比的平方。
第四节位似概念：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。
相似三角形知识点
相似三角形知识点知识点1有关相似形的概念（1）形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形（2）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比（相似系数）.知识点2比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段a,b的长度分别为m,n,那么就说这两条线段的比是 - m，或写b n成a : b m: n .注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段a,b,c,d中，如果a和b的比等于c和d的比，那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段.注：①比例线段是有顺序的，如果说a是b,c,d的第四比例项，那么应得比例式为：- -.②c aa c在比例式（a：b c：d）中，a、d叫比例外项，b、c叫比例内项，a、c叫比例前项，b、d叫比例后b d项，d叫第四比例项，如果b=c,即a： b b：d那么b叫做a、d的比例中项，此时有b2ad。
（3）黄金分割：把线段AB分成两条线段AC,BC（AC BC），且使AC是AB和BC的比例中项，即.;■ 5 i AC2AB BC,叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC AB -20.618 AB •即AC 匹壬」简记为：长=短=卫」AB AC 2 简全长2注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1）基本性质：2① a : b c : d ad bc :② a : b b : c b aC .注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如ad bc，除了可化为a: b c: d，还可化为a: c b: d , c: d a : b , b : d a : c , b: a d : c , c: ad : b , d : c b : a , d : b c: a .——，佼换内项）c da c d E,（交换外项）(2) 更比性质（交换比例的内项或外项）：b d b ad b（同时交换内外项）c a(3) 反比性质（把比的前项、后项交换）： a c b db d a c(4) a c a b c合、分比性质：一d注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立•如：a£ ab da b c c c 等等 •dda ba c em Z1 , r小、 a c e m a（5 ）等比性质：如果(b d f n 0），那么一b d fnb d fn b注：①此性质的证明运用了 “设 k 法”（即引入新的参数 k ) 这样可以减少未知数的个数， 这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法•②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零.③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立•如:a ce a 2c 3e a 2c 3e a;其中 b 2d 3f 0 b b d f b 2d 3f b 2d 3f知识点4比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理 ：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例.AD AE 亠 BD EC 亠 AD AE 由DE// BC 可得： 或 或 DB EC AD EA AB AC注：① 重要结论：平行于三角形的一边 ，并且和其它两边相交的直线 ，所截的三角形的三边 与原三角形三边 对应成比 例•② 三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理： 如果一条直线截三角形的两边 （或两边的延长线）所得的对应线段 成比例•那么这条直线平行于三角形的第三边 •此定理给出了一种证明两直线平行方法，即：利用比例式证平行线.③ 平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线 ，但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比 •注：平行线分线段成比例定理的推论:线段也相等。
九年级相似三角形知识点总结
相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。
3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1比：选用同一长度单位量得两条线段。
a、b 的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a：b＝m：n（或n mb a =）（2）比例性质1.基本性质:bc ad dcb a =⇔=（两外项的积等于两内项积）2.反比性质：cd a b d c b a =⇒=(把比的前项、后项交换)3.更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项同时交换内外项4.合比性质：dd c b b a d c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变FE D CB A 知识点三：黄金分割1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果ACBCAB AC =，即AC 2=AB×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。
其中AB AC 215-=≈0.618AB 。
知识点四：平行线分线段成比例定理1．平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.用符号语言表示：AD∥BE∥CF,,,AB DE BC EF AB DEBC EF AC DF AC DF∴===.2．平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等.用符号语言表示：AD BE CF AB BC DE DF ⎫⇒=⎬=⎭.重心定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心.重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.知识点五：相似三角形1、相似三角形1）定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
九年级相似三角形知识点总结
九年级相似三角形知识点总结
相似三角形是指具有完全相同形状但大小不同的三角形。
其主要知识点总结如下：
1. 相似三角形的定义：若两个三角形的对应角相等，则它们是相似的。
2. 相似三角形的判定：若两个三角形的对应边成比例，则它们是相似的。
3. 相似三角形的性质：
- 对应角相等：对应的角度是相等的。
- 对应边成比例：对应边的长度之比是相等的。
- 对应的高线成比例：对应的高线的长度之比是相等的。
- 对应的面积成比例：对应的面积的大小之比是相等的。
4. 相似三角形的性质推理：
- 两个三角形中，如果两边成比例，则其对应的夹角也相等。
- 两个三角形中，如果两角相等，则其对应的边成比例。
- 如果两个三角形中，对应的角度和边成比例，则这两个三
角形是相似的。
5. 相似三角形的应用：
- 利用相似三角形的性质可以求解两个图形的边或角度之比。
- 利用相似三角形的性质可以求解两个图形的面积之比。
- 利用相似三角形的性质可以进行图形的放大或缩小。
这些是九年级相似三角形的主要知识点总结，掌握了这些知识，可以更好地理解和应用相似三角形的相关概念和性质。
相似三角形基本知识点归纳
相似三角形知识点归纳1.相似多边形：如果两个边数的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比．2.成比例线段：在四条线段a,b,c,d 中，如果d c b a ::=，那么这四条线段a,b,c,d 叫做成比例线段，简称比例线段．3.比例的基本性质：cb ad dcb a =⇔=（內项之积等于外项之积）； 4.三角形相似的判定方法①定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．②平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．用数学语言表述是：BC DE // ， ∴ ADE ∆∽ABC ∆．③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．④判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． ⑥判定直角三角形相似的方法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注：相似三角形常见的图形①.称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”如上图） ②.其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC ③.称为“垂直型”④.∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。
几种基本图形的具体应用： （1）若DE ∥BC 则△ADE ∽△ABC（2） 若CD 为Rt △ABC 斜边上的高（双直角图形） 则Rt △ABC ∽Rt △ACD ∽Rt △CBD ；（3）当ABAEAC AD 或AD ·AB=AC ·AE 时，△ADE ∽△ACB ．5.相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．A BCDE12AABB C C DD E E12412B BEACD12。
相似三角形知识点梳理
相似三角形知识点梳理
相似三角形是指具有相同形状但不一定相同大小的三角形。
以下是相似三角形的相关
知识点梳理：
1. 相似三角形的定义：两个三角形中对应角度相等且对应边的比值相等的三角形是相
似三角形。
2. 相似三角形的性质：
- 对应角度相等：相似三角形的对应角度是相等的。
- 对应边长比值相等：相似三角形的对应边长比值是相等的。
- 对应边长比值等于相似比例：相似三角形的对应边长比值等于它们的相似比例。
3. 相似三角形的判定条件：
- AA判定法（角-角）：如果两个三角形中有两个角相等，则这两个三角形是相似的。
- SSS判定法（边-边-边）：如果两个三角形中所有对应边的比值相等，则这两个三
角形是相似的。
- SAS判定法（边-角-边）：如果两个三角形中有一个对应角相等，并且对应边的比
值相等，则这两个三角形是相似的。
4. 相似三角形的比例关系：
- 边长比例关系：如果两个三角形是相似的,则对应边的比值等于它们的相似比例。
- 高线比例关系：两个相似三角形的高线与其对应边的比值等于它们的相似比例。
- 面积比例关系：两个相似三角形的面积比等于它们的相似比例的平方。
5. 相似三角形的尺影定理：在两个相似三角形中，对应边的长度比等于对应角的正弦值比。
6. 相似三角形的应用：
- 测量不可测量的对象的长度、高度或距离；
- 解决三角形内的几何问题，如角度、边长和面积；
- 应用于比例问题和实际生活中的几何模型。
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相似三角形知识点知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d cb =．②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即12AC BC AB AC ==简记为：12长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 基本性质：①bc ad d c b a =⇔=::；②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb db a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b da c=⇔=．（4）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc d c b a b a ccd a a b d c b a 等等．（5）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ΛΛ，那么b an f d b m e c a =++++++++ΛΛ．注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． 知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或注：①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
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相似三角形知识点汇总
重点、难点分析：
1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点．
2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。
一、重要定理
（比例的有关性质）：
二、有关知识点： 1.相似三角形定义：
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比：
相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。
5.相似三角形的判定定理：
6.直角三角形相似：
(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理： (1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8. 相似三角形的传递性
如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2
反比性质：c
d
a b = 更比性质：d
b
c a a c b
d ==或 合比性质：d
d
c b b a ±=± ⇒=⇔=bc a
d d c b a （比例基本定理）
相似三角形判定的基本模型
A字型 X字型反A字型反8字型母子型旋转型双垂直三垂直相似三角形判定的变化模型
C
B E
D
A。