上海市徐汇中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷
上海市徐汇区高一上学期期中考试数学试卷含答案
上海市徐汇区高一上学期期中考试数学试卷一、填空题（共12小题）.1．集合M＝{x∈R|x≤2020}，有下列四个式子：①π∈M；②{π}⊆M；③π⊆M；④{π}∈M，其中正确的是（填序号）．2．将化为有理数指数幂的形式为．3．陈述句“x＞1或y＞1”的否定形式是．4．若0＜a＜1，s＜0，则a s1（填符号“＞，≥，＜，≤，”）．5．已知集合A＝{x，y}，B＝{2x，2x2}，且A＝B，则集合A＝．6．已知集合P＝{x|﹣2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}，若x∈P是x∈S的必要条件，则实数m 的取值范围为．7．关于x的不等式|2x﹣a|+a＜6的解集是（﹣1，3），则实数a＝．8．如果直角三角形的周长为2，则此直角三角形面积的最大值是．9．若实数a，b，m满足2a＝72b＝m，且＝2，则m的值为．10．已知正数x，y满足4x+9y＝xy且x+y＜m2﹣24m有解，则实数m的取值范围是．11．不等式（ax+3）（x2﹣b）≤0对x∈（﹣∞，0）恒成立，其中a，b∈Z，则a+b＝．12．已知实数a＞b＞c，且满足：a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，则s＝b+c的取值范围是．二、选择题13．已知a1a2b1b2≠0，陈述句P：关于x的一元一次不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0有相同的解集；陈述句，则P是Q（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件14．设lg2＝a，lg3＝b，则log1225的值是（）A．B．C．D．15．若a，b为非零实数，则以下不等式中恒成立的个数是（）①；②；③；④．A．4B．3C．2D．116．已知，集合M＝{x|f（x）＝0}＝{x1，x2，…，x7}⊆Z，且c1≤c2≤c3≤c4，则c4﹣c1不可能的值是（）A．4B．9C．16D．64三、解答题17．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2﹣ax+a﹣1＝0}，C＝{x|x2+2（m+1）x+m2﹣5＝0}．（1）若A∪B＝A，求实数a的值；（2）若A∩C＝C，求实数m的取值范围．18．经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足P＝3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该批产品P万件还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？19．（1）设集合P＝{n|n＝3k+1，k∈N}，集合Q＝{n|n＝3m﹣2，m∈N}，求证：P⊂Q；（2）已知a＞0，b＞0，c＞0，当函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为6时，求证：++≥12．20．（16分）（1）关于x的不等式（a2﹣16）x2﹣（a﹣4）x﹣1≥0的解集为∅，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式；（3）设（1）中a的整数值构成集合A，（2）中不等式的解集是B，若A∩B中有且只有三个元素，求实数m的取值范围．21．（18分）已知集合A＝{a1，a2，…，a n}（0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i+a j与a j﹣a i两数中至少有一个属于A．（1）分别判断数集{0，1，3，4}与{0，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（2）证明：a1＝0，且na n＝2（a1+a2+…+a n）；（3）当n＝5时，若a2＝3，求集合A．参考答案一、填空题1．集合M＝{x∈R|x≤2020}，有下列四个式子：①π∈M；②{π}⊆M；③π⊆M；④{π}∈M，其中正确的是①②（填序号）．解：因为π≈3.14，所以元素π∈M，集合{π}⊆M，故①②正确，③④错误．故答案为：①②．2．将化为有理数指数幂的形式为．解：∵a＞0，∴＝＝＝．故答案为：．3．陈述句“x＞1或y＞1”的否定形式是x≤1且y≤1．解：命题为全称命题，则“x＞1或y＞1”的否定形式为x≤1且y≤1，故答案为：x≤1且y≤1．4．若0＜a＜1，s＜0，则a s＞1（填符号“＞，≥，＜，≤，”）．解：∵0＜a＜1时，函数y＝a x为减函数，∴当s＜0时，a s＞a0＝1，故答案为：＞．5．已知集合A＝{x，y}，B＝{2x，2x2}，且A＝B，则集合A＝．解：显然x≠0，由A＝B得，解得．故答案为：{，1}．6．已知集合P＝{x|﹣2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}，若x∈P是x∈S的必要条件，则实数m 的取值范围为[0，3]．解：∵P＝{x|﹣2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}，若x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P，∴，解得0≤m≤3，∴m的取值范围是[0，3]．故答案为：[0，3]．7．关于x的不等式|2x﹣a|+a＜6的解集是（﹣1，3），则实数a＝2．解：∵|2x﹣a|+a＜6，∴a﹣6＜2x﹣a＜6﹣a，即a﹣3＜x＜3，∵不等式|2x﹣a|+a＜6的解集是（﹣1，3），∴a﹣3＝﹣1，解得a＝2．故答案为：2．8．如果直角三角形的周长为2，则此直角三角形面积的最大值是3﹣2（当且仅当时取等号）．解：设直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，则直角三角形的面积S＝ab．由已知，得a+b+c＝2，∴a+b+＝2，∴2＝a+b+≥2+＝（2+），∴≤＝2﹣，∴ab≤（2﹣）2＝6﹣4，∴S＝ab≤3﹣2，当且仅当a＝b＝2﹣时，S取最大值3﹣2．故答案为：3﹣2（当且仅当时取等号）．9．若实数a，b，m满足2a＝72b＝m，且＝2，则m的值为7．解：∵2a＝72b＝m，∴a＝log2m，2b＝log7m，∴b＝＝＝log49m，∴+＝2，∴log m2+log m49＝2，∴log m98＝2，∴m2＝98，∴m＝7．故答案为：7．10．已知正数x，y满足4x+9y＝xy且x+y＜m2﹣24m有解，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（25，+∞）．解：∵正数x，y满足4x+9y＝xy，∴+＝1，∴x+y＝（x+y）（+）＝++13≥2+13＝25，当且仅当＝，即x＝15，y＝10时取等号，∴x+y的最小值为25，∵x+y＜m2﹣24m有解，∴25＜m2﹣24m，即m2﹣24m﹣25＞0，解得m＞25或m＜﹣1，∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（25，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（25，+∞）．11．不等式（ax+3）（x2﹣b）≤0对x∈（﹣∞，0）恒成立，其中a，b∈Z，则a+b＝10或4．解：当b≤0时，由（ax+3）（x2﹣b）≤0对x∈（﹣∞，0）恒成立，可得ax+3＜0对x∈（﹣∞，0）恒成立，则a不存在；当b＞0时，由（ax+3）（x2﹣b）≤0对x∈（﹣∞，0）恒成立，令f（x）＝ax+3，g（x）＝x2﹣b，又g（x）的大致图象如图所示，所以，又a，b∈Z，所以或，所以a+b＝4或a+b＝10．故答案为：4或10．12．已知实数a＞b＞c，且满足：a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，则s＝b+c的取值范围是．解：∵a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，∴b+c＝1﹣a，bc＝[（b+c）2﹣（b2+c2）]＝a2﹣a﹣1，∵bc＜，∴a2﹣a﹣1＜，∴3a2﹣2a﹣5＜0，即，∴＜1﹣a＜2，∴＜b+c＜2，下面精确a的下限，假设a＜1，由a＞b＞c，由﹣＜b＜a＜1，﹣＜c＜a＜1，所以a2＜1，b2＜1，c2＜1，因此a2+b2+c2＜3，矛盾，故a＞1，所以b+c＝1﹣a＜0，综上可得＜b+c＜0，故答案为：．二、选择题13．已知a1a2b1b2≠0，陈述句P：关于x的一元一次不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0有相同的解集；陈述句，则P是Q（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件解：∵若＝时，如取a1＝b1＝1，a2＝b2＝﹣1，关于x的不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0即不等式x+1＞0与﹣x﹣1＞0的解集不相同，∴“＝”不能推出“关于x的不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0的解集相同”，反之，“关于x的不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0的解集相同”⇒“＝”，∴P是Q的充分非必要条件．故选：A．14．设lg2＝a，lg3＝b，则log1225的值是（）A．B．C．D．解：由lg2＝a，lg3＝b，得log1225＝＝．故选：D．15．若a，b为非零实数，则以下不等式中恒成立的个数是（）①；②；③；④．A．4B．3C．2D．1解：a，b为非零实数，①∵（a﹣b）2≥0，展开可得；②∵（a﹣b）2≥0，展开可得a2+b2≥2ab，∴2（a2+b2）≥（a+b）2，∴；③取a＝b＝﹣1，则不成立；④取ab＜0，则不成立．综上可得：成立的只有①②．故选：C．16．已知，集合M＝{x|f（x）＝0}＝{x1，x2，…，x7}⊆Z，且c1≤c2≤c3≤c4，则c4﹣c1不可能的值是（）A．4B．9C．16D．64解：∵集合M＝{x|f（x）＝0}＝{x1，x2，…，x7}⊆Z，则函数f（x）有7个解，且全是整数，又∵x2﹣4x+m＝0 中两个解满足x1+x2＝4，x1•x2＝m，∴可知解为2和2，3和1，4和0，5和﹣1，6和﹣2，7和﹣3，8和﹣4，9和﹣5，10和﹣6，..．∴m＝4，3，0，﹣5，﹣12，﹣21，﹣32，﹣45，﹣60..．∵c1≤c2≤c3≤c4，∴C4＝4，则C1＝﹣5，或﹣12，或﹣21，或﹣32，或﹣45，或﹣60，..．则c4﹣c1不可能的值是4，故选：A．三、解答题17．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2﹣ax+a﹣1＝0}，C＝{x|x2+2（m+1）x+m2﹣5＝0}．（1）若A∪B＝A，求实数a的值；（2）若A∩C＝C，求实数m的取值范围．解：（1）由x2﹣3x+2＝0得x＝1或2，所以A＝{1，2}，由x2﹣ax+a﹣1＝0得x＝1或a﹣1，所以1∈B，a﹣1∈B，因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以a﹣1＝1或2，所以a＝2或3；（2）因为A∩C＝C，所以C⊆A，当C＝∅时，Δ＝4（m+1）2﹣4（m2﹣5）＜0，解得m＜﹣3，当C＝{1}时，，无解，当C＝{2}时，，解得m＝﹣3，当C＝{1，2}时，，无解，综上，实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3]．18．经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足P＝3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该批产品P万件还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解：（Ⅰ）由题意知，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣将代入化简得：（0≤x≤a）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）当a≥1时，x∈（0，1）时y'＞0，所以函数在（0，1）上单调递增x∈（1，a）时y'＜0，所以函数在（1，a）上单调递减促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当a＜1时，因为函数在（0，1）上单调递增在[0，a]上单调递增，所以x＝a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当a＜1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（注：当a≥1时，也可：，当且仅当时，上式取等号）19．（1）设集合P＝{n|n＝3k+1，k∈N}，集合Q＝{n|n＝3m﹣2，m∈N}，求证：P⊂Q；（2）已知a＞0，b＞0，c＞0，当函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为6时，求证：++≥12．【解答】证明：（1）先证P⊆Q，任取n∈P，存在m＝k+1∈N，使得n＝3k+1＝3（k+1）﹣2＝3m﹣2∈Q，∵P⊆Q，又∵﹣2∈Q，﹣2∉P，∴P⊂Q，即得证．（2）证明：∵f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）+（b﹣x）|+c＝a+b+c＝6，∴＝，当且仅当a＝b＝c＝2时取等号，故．20．（16分）（1）关于x的不等式（a2﹣16）x2﹣（a﹣4）x﹣1≥0的解集为∅，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式；（3）设（1）中a的整数值构成集合A，（2）中不等式的解集是B，若A∩B中有且只有三个元素，求实数m的取值范围．解：（1）当a＝4时，﹣1≥0无解，满足题意，当a＝﹣4时，8x﹣1≥0有解，舍去，当a≠±4时，解得，综上，实数a的取值范围是；（2）由得，即（x+2）[（m﹣1）x﹣（3m+2）]≥0且x≠﹣2，当m＝1时，，解集为x∈（﹣∞，﹣2），当m＞1时，，且x≠﹣2，解集为，当m＜1时，且x≠﹣2，当0＜m＜1时，解集为，当m＝0时，解集为∅，当m＜0时，解集为，综上，当m＝1时，解集为x∈（﹣∞，﹣2），当m＞1时，解集为，当0＜m＜1时，解集为，当m＝0时，解集为∅，当m＜0时，解集为；（3）由（1）得A＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，当A∩B中有且只有三个元素，显然0≤m≤1不可能，当m＞1时，因为，不合题意，舍去，当m＜0时，，因为A∩B中有且只有三个元素，所以，，解得，综上，实数m的取值范围是．21．（18分）已知集合A＝{a1，a2，…，a n}（0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i+a j与a j﹣a i两数中至少有一个属于A．（1）分别判断数集{0，1，3，4}与{0，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（2）证明：a1＝0，且na n＝2（a1+a2+…+a n）；（3）当n＝5时，若a2＝3，求集合A．【解答】（1）解：因为0+1，0+3，0+4，1+3，4﹣1，4﹣3都属于数集{0，1，3，4}，所以数集{0，1，3，4}具有性质P，因为2+3和3﹣2均不属于数集{0，2，3，6}，所以数集{0，2，3，6}不具有性质P；（2）证明：令i＝j＝n，因为a i+a j与a j﹣a i两数中至少有一个属于A，所以a n+a n不属于A，所以a n﹣a n属于集合A，即0∈A，所以a1＝0，令j＝n，i＞1，因为a i+a j，与a j﹣a i两数中至少有一个属于A，所以a i+a j不属于A，所以a j﹣a i属于集合A，令i＝n﹣1，则a n﹣a n﹣1是集合A中的某一项，若a n﹣a n﹣1＝a2，符合题意，若a n﹣a n﹣1＝a3，则a n﹣a3＝a n﹣1，所以a n﹣a2＞a n﹣a3＝a n﹣1，矛盾，同理a n﹣a n﹣1等于其他项均矛盾，所以a n﹣a n﹣1＝a2，同理，令i＝n﹣2，n﹣3，⋯，2，可得a n＝a i+a n+1﹣i，倒序相加得，即na n＝2（a1+a2+a+⋯+a n）；（3）解：当n＝5时，令j＝5，当i≥2时，a i+a5＞a5，因为集合A具有性质P，所以a5﹣a i∈A，所以a5﹣a i∈A，i＝1，2，3，4，5，所以a5﹣a1＞a5﹣a2＞a5﹣a3＞a5﹣a4＞a5﹣a5＝0，所以a5﹣a1＝a5，a5﹣a2＝a4，a5﹣a3＝a3，所以a2+a4＝a5，a5＝2a3，所以a2+a4＝2a3，即0＜a4﹣a3＝a3﹣a2＜a3，又因为a3+a4＞a2+a4＝a5，所以a3+a4∉A，所以a4﹣a3∈A，所以a4﹣a3＝a2＝a2﹣a1，所以a5﹣a4＝a2＝a2﹣a1，所以a5﹣a4＝a4﹣a3＝a3﹣a2＝a2﹣a1＝a2，即a1，a2，a3，a4，a5是首项为0，公差为a2＝3的等差数列，所以A＝{0，3，6，9，12}．。
2020-2021学年上海市徐汇区高一(上)期末数学试卷(附详解)
2020-2021学年上海市徐汇区高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共16.0分）1. 若a 为实数，则“a <1”是“1a >1”的( ) A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2. 下列函数中，在R 上既是奇函数又是减函数的是( )A. y =1xB. y =ln 1−x 1+xC. y =−x|x|D. y =3−x3. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=52lg E1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k =1,2).已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10−10.14. 若函数f(x)的图象上存在关于直线y =x 对称的不同两点，则称f(x)具有性质P ，已知a ，b 为常数，函数g(x)=2x +a x ，ℎ(x)=bxx 2+1，对于命题：①存在a ∈R +，使得g(x)具有性质P ；②存在b ∈R +，使得ℎ(x)具有性质P ，下列判断正确的是( ) A. ①和②均为真命题B. ①和②均为假命C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题二、单空题（本大题共12小题，共36.0分） 5. 设全集U =R ，已知集合A ={x|4−x <2x +1}，则A −= ______ ．6. 已知函数f(x)=√2−x 的定义域为M ，g(x)=3x −2的值域为N ，则M ∩N =______．7. 设f(x)=2√x−1，g(x)=√x−1x ，则f(x)⋅g(x)=______． 8. 设集合M ={x|x 2≤1}，N ={b}，若M ∪N =M ，则实数b 的取值范围为______．9. 已知a >0，化简√a 23⋅(1a )52⋅a 56=______．10. 幂函数f(x)=(m 2−m −1)x m 2+m−3在(0,+∞)上为减函数，则m = ．11. 已知lg2=a ，lg3=b ，用字母a 和b 表示log 512=______．12. 已知a ，b ∈R ，且a −3b +6=0，则2a +18b 的最小值为 ．13. 习近平在庆祝改革开放40周年大会上的讲话中说“我们始终坚持以经济建设为中心，不断解放和发展社会生产力，我们国内生产总值由1978年初的3679亿元增长到2017的年末的82.7万亿元”，现请你计算出年平均增长率______(结果精确到0.1%)．14. 已知函数f(x)={(1−2a)x +3a,x <12x−1,x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是 ． 15. 下列四个命题中正确的是______．①已知定义在R 上的偶函数y =f(1+x)，则f(1+x)=f(1−x)；②若函数y =f(x)，x ∈D ，值域为A(A ≠D)，且存在反函数，则函数y =f(x)，x ∈D 与函数x =f −1(y)，y ∈A 是两个不同的函数；③已知函数f(x)=1x−3.5，x ∈N ∗，既无最大值，也无最小值；④函数f(x)=(2|x|−1)2−5(2|x|−1)+6的所有零点构成的集合共有4个子集．16. 若关于x 的方程(4x +5x )−|5x −4x |=m 在(0,+∞)内恰有三个相异实根，则实数m的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共48.0分）17. 设函数f(x)=x+1x−2(x >3)．(1)指出f(x)在(3,+∞)上的单调性，并证明你的结论；(2)若f(x)−a <0在(3,+∞)上有解，求a 的取值范围．18. 已知集合A ={x|(12)x 2−x−6<1}，B ={x||x +a −2|<2}，若A ∩B =⌀．(1)求实数a 的取值范围；(2)求y =f(a)=2⋅32a −16⋅3a 的最值．)2(x>0)．19.已知函数f(x)=(x+1x(1)求函数f(x)的反函数f−1(x)；(2)若x≥2时，不等式(x−1)f−1(x)>a(a−√x)恒成立，求实数a的范围．20.研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x(单位：分钟)之间的变化曲线如图所示，当x∈[0,16]时，曲线是二次函数图象的一部分；当x∈[16,40]时，曲线是函数y=80+log0.8(x+a)图象的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”．(1)求函数y=f(x)的解析式；(2)在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？(精确到1分钟)21.已知常数a∈R，函数f(x)=log2(1x+a)．(1)若a=3，求不等式f(x)>0的解集；(2)若函数y=f(x)−log2[(a−4)x+2a−5]至少有一个零点在(−12,12)内，求实数a的取值范围；(3)若a>0，且存在t∈[12,1]，使函数在区间[t,t+1]上的最大值与最小值之差不超过1，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由1a >1得0<a <1，则“a <1”是“1a >1”的必要不充分条件，故选：B ．求出不等式1a >1的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键． 2.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y =1x ，为反比例函数，在其定义域上不是减函数，不符合题意；对于B ，y =ln 1−x 1+x ，有1−x 1+x >0，解可得−1<x <1，即函数的定义域为(−1,1)，不是R 上的奇函数，不符合题意；对于C ，y =−x|x|={−x 2,x ≥0x 2,x <0，在R 上既是奇函数又是减函数，符合题意； 对于D ，y =3−x =(13)x ，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；故选：C ．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性以及单调性的判定方法．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查对数的运算，是基础题．把已知数值代入m 2−m 1=52lg E1E 2，化简后利用对数的运算性质求解．【解答】解：设太阳的星等是m 1=−26.7，天狼星的星等是m 2=−1.45，太阳的亮度是E 1，天狼星的亮度是E 2，由题意可得：−1.45−(−26.7)=52lg E1E 2， ∴lg E 1E 2=50.55=10.1，则E1E 2=1010.1． 故选：A ．4.【答案】C【解析】解：关于直线y =x 对称的两点一定在直线y =−x +m 上，所以若函数f(x)具有性质P ，则函数f(x)与直线y =−x +m 有两个不同交点．①令g(x)=2x +2x =−x +m ，化简得3x 2−mx +a =0，若有两个交点，则△=m 2−12a >0，可取m =4，a =1，故存在a ∈R +，使得g(x)具有性质P ，即①为真命题；②令ℎ(x)=bx x 2+1=−x +m ，化简得x 3−mx 2+bx −1=0，即x 2(x −m)+b(x −m b )=0，因为b ∈R +，所以该式子不可能有两个根，故不存在b ∈R +，使得ℎ(x)具有性质P ，即②为假命题．故选：C ．关于直线y =x 对称的两点一定在直线y =−x +m 上，所以若函数f(x)具有性质P ，则函数f(x)与直线y =−x +m 有两个不同交点，然后联立函数与直线方程，求解方程根的个数问题即可．本题考查了函数的新定义问题，考查了学生转化与化归的能力，属于中档题．5.【答案】{x|x ≤1}【解析】解：∵全集U =R ，集合A ={x|4−x <2x +1}={x|x >1}，∴A −={x|x ≤1}．故答案为：{x|x ≤1}．先求出集合A ，由此能求出A −．本题考查补集的求法，考查补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】(−2,2)【解析】解：要使函数有意义，则2−x>0，得x<2，即函数的定义域为M=(−∞,2)，∵3x>0，∴3x−2>−2，即函数g(x)的值域为N=(−2,+∞)，则M∩N=(−2,2)，故答案为：(−2,2)．分别求出函数的定义域和值域，然后利用集合的交集定义进行计算即可．本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出函数的定义域和值域是解决本题的关键，是基础题．7.【答案】x，x∈(1,+∞)【解析】解：∵f(x)=2√x−1，g(x)=√x−1x，∴f(x)的定义域是(1,+∞)，g(x)的定义域是[1,+∞)，∴f(x)⋅g(x)=x，x∈(1,+∞)，故答案为：x，x∈(1,+∞)．根据f(x)，g(x)的解析式求出f(x)⋅g(x)的解析式即可．本题考查了求函数的解析式问题，考查函数的定义域，是一道基础题．8.【答案】[−1,1]【解析】解：M={x|x2≤1}={x|−1≤x≤1}，∵M∪N=M，∴N⊆M，∵N={b}，∴−1≤b≤1．故答案为：[−1,1]．求出集合M，将条件M∪N=M转化为N⊆M，利用集合关系即可得到结论．本题主要考查集合与集合之间的关系，比较基础．9.【答案】a−1【解析】解：原式=a23⋅a−52⋅a56=a23−52+56=a−1，故答案为：a−1．利用有理数指数幂的运算性质求解．本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，是基础题．10.【答案】−1【解析】【分析】本题考查幂函数的定义和单调性，属于基础题．根据幂函数的定义列出方程求出m的值；将m的值代入f(x)检验函数的单调性即可．【解答】解：由题有m2−m−1=1，则m=2或m=−1．当m=2时，f(x)=x3在(0,+∞)上为增函数，不合题意，舍去；当m=−1时，f(x)=x−3在(0,+∞)上为减函数，满足要求．故答案为−1．11.【答案】2a+b1−a【解析】解：log512=lg12lg5=2lg2+lg31−lg2=2a+b1−a．故答案为2a+b1−a．利用换底公式和对数的运算性质即可算出．熟练掌握对数的换底公式和对数的运算性质是解题的关键．12.【答案】14【解析】【分析】本题考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．化简所求表达式，利用基本不等式转化求解即可．【解答】解：a ，b ∈R ，且a −3b +6=0，可得：3b =a +6，则2a +18b =2a +12a+6=2a +126⋅2a≥2√2a ⋅1262a =14，当且仅当2a =12a+6，即a =−3时取等号．2a +18b 的最小值为：14．故答案为：14．13.【答案】14.5%【解析】解：∵国内生产总值由1978年初的3679亿元增长到2017的年末的82.7万亿元， ∴年平均增长率为√82700367940−1≈0.1450=14.5%．故答案为：14.5%．由已知条件可得，年平均增长率为√82700367940−1，即可求解．本题主要考查函数函数的实际应用，掌握年平均增长率的计算公式是解本题的关键，属于基础题．14.【答案】[0,12)【解析】【分析】本题考查了分段函数的值域问题，属于中档题．根据分段函数的表达式，得到不等式组{1−2a >01−2a +3a ≥1，求解即可． 【解答】解：当x ≥1时，f(x)=2x−1≥1，当x <1时，f(x)=(1−2a)x +3a ，∵函数f(x)={(1−2a)x +3a,x <12x−1,x ≥1的值域为R ， ∴当x <1时，f(x)=(1−2a)x +3a 的值域必须包含(−∞,1)，即满足：{1−2a >01−2a +3a ≥1，解得0≤a <12， 故答案为：[0,12).15.【答案】①②【解析】解：①已知定义在R 上是偶函数y =f(1+x)，设F(x)=f(1+x)，可得F(−x)=F(x)，则f(1+x)=f(1−x)，故①正确；②若函数y =f(x)，x ∈D ，值域为A(A ≠D)，且存在反函数，则函数y =f(x)，x ∈D 与函数x =f −1(y)，y ∈A ，即y =f −1(x)，x ∈A ，由于A ≠D ，故函数y =f(x)，x ∈D 与函数x =f −1(y)，y ∈A 是两个不同的函数，故②正确；③已知函数f(x)=1x−3.5，x ∈N ∗，由f(x)在[1,3.5)单调递减，在(3.5,+∞)单调递减， 可得x =3时，f(x)取得最小值−2，故③错误；④函数f(x)=(2|x|−1)2−5(2|x|−1)+6，由f(x)=0，可得2|x|−1=2或3，解得x =±log 23或x =±2，f(x)的所有零点构成的集合中共有四个元素，共有16个子集，故④错误．故答案为：①②．由偶函数的定义可判断①；由互为反函数的定义可判断②；由f(x)的单调性可判断③；由f(x)=0的解的个数和集合的子集个数可判断④．本题以命题为载体，考查函数的奇偶性和互为反函数的定义，以及函数的单调性和函数零点的求法，考查运算能力和推理能力，属于基础题．16.【答案】(6,4110√5)【解析】解：当x ≥2√55时，5x −4x ≥0， ∵方程(4x +5x )−|5x −4x |=m ，∴(4x +5x )−(5x −4x )=m ，即−x +9x =m ；∴m ≤4110√5．当0<x <2√55时，5x −4x <0，∵方程(4x +5x )−|5x −4x |=m ， ∴(4x +5x )+(5x −4x )=m ， 即9x +1x =m ； ∵9x +1x ≥6；∴当m <6时，方程9x +1x =m 无解；当m =6时，方程9x +1x =m 有且只有一个解； 当6<m <10时，方程9x +1x =m 在(0,1)上有两个解； 当m =10时，方程9x +1x =m 的解为1，19； 综上所述，实数m 的取值范围为(6,4110√5). 故答案为：(6,4110√5).分类讨论以去掉绝对值号，从而利用基本不等式确定各自方程的根的个数，从而解得． 本题考查了绝对值方程的解法与应用，同时考查了基本不等式的应用及转化思想的应用．17.【答案】解：(1)f(x)在(3,+∞)上单调递减，∵f(x)=x+1x−2=1+3x−2证明：任取3<x 1<x 2，f(x 1)−f(x 2)=(1+3x1−2)−(1+3x 2−2)=3(x 2−x 1)(x 1−2)(x 2−2)，∵3<x 1<x 2，∴x 2−x 1>0，x 1−2>0，x 2−2>0， ∴f(x 1)>f(x 2)，∴f(x)在(3,+∞)上单调递减． (2)∵f(x)=1+3x−2(x >3)， ∴f(x)∈(1,4)，∵f(x)−a <0在(3,+∞)上有解， ∴a >(f(x))min ，∴a 的取值范围是{a|a >1}．【解析】(1)根据解析式可得f(x)在(3,+∞)上为减函数，用定义证明即可； (2)若f(x)−a <0在(3,+∞)上有解，则a >(f(x))min 即可．本题考查了函数单调性的证明，以及函数取值范围问题，考查了函数的基本性质及应用，属于基础题．18.【答案】解：(1)由(12)x2−x−6<1，得x 2−x −6>0，解得x >3，或x <−2 ∴A =(−∞,−2)∪(3,+∞)；由|x +a −2|<2，得−2<x +a −2<2，得−a <x <4−a ， ∴B =(−a,4−a)．∵A ∩B =⌀，∴{−a ≥−24−a ≤3，解得1≤a ≤2，∴实数a 的取值范围是[1,2]；(2)y =f(a)=2⋅32a −16⋅3a =2⋅(3a )2−16⋅3a ， 令t =3a ，∵a ∈[1,2]，∴t ∈[3,9]，则函数化为g(t)=2t 2−16t =2(t −4)2−32， 当t =4时，g(t)有最小值，即原函数有最小值为−32； 当t =9时，g(t)有最大值，即原函数有最大值为18．【解析】(1)求解指数不等式化简A ，求解绝对值的不等式化简B ，再由A ∩B =⌀，得关于A 的不等式组，即可求得a 的范围； (2)利用换元法及配方法求y =f(a)的最值．本题考查指数不等式与绝对值不等式的解法，考查交集及其运算，训练了利用换元法及配方法求函数的最值，是中档题．19.【答案】解：(1)∵y =(x+1x)2=(1+1x )2(x >0).∴y >1(2分)由原式有：x+1x=√y ，∴x +1=√yx∴x =√y−1分)∴f −1(x)=√x−1，x ∈(1,+∞)(2分)(2)∵(x −1)f −1(x)>a(a −√x)∴(x−1)1√x−1>a(a−√x)(x>0)∴(√x+1)(√x−1)1√x−1>a(a−√x)∴√x+1>a2−a√x∴(a+1)√x>a2−1(2分)①当a+1>0即a>−1时√x>a−1对x≥2恒成立−1<a<√2+1②当a+1<0即a<−1时√x<a−1对x≥2恒成立∴a>√2+1此时无解(3分)综上−1<a<√2+1.(1分)a∈(−1,1+√2)．【解析】(1)从条件中函数式f(x)=(x+1x)2=y，(x>0)中反解出x，再将x，y互换即得f(x)的反函数f−1(x)．(2)利用(1)的结论，将不等式(x−1)f−1(x)>a(a−√x)化成(a+1)√x>a2−1，下面对a分类讨论：①当a+1>0；②当a+1<0.分别求出求实数a的取值范围，最后求它们的并集即可．本小题主要考查反函数、函数恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力．求反函数，一般应分以下步骤：(1)由已知解析式y=f(x)反求出x=Ф(y)；(2)交换x=Ф(y)中x、y的位置；(3)求出反函数的定义域(一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域)．20.【答案】解：(1)当x∈(0,16]时，设f(x)=b(x−12)2+84(b<0)，∵f(16)=b(16−12)2+84=80，∴b=−14，∴f(x)=−14(x−12)2+84．当x∈(16,40]时，f(x)=log0.8(x+a)+80，由f(16)=log0.8(16+a)+80=80，解得a=−15，∴f(x)=log0.8(x−15)+80．综上，f(x)={−14(x−12)2+84,x∈(0,16]log0.8(x−15)+80,x∈(16,40]；(2)当x∈(0,16]时，令f(x)=−14(x−12)2+84<68，得x∈[0,4]，当x∈(16,40]时，令f(x)=log0.8(x−15)+80<68，得x≥15+0.8−12≈29.6，∴x∈[30,40]，故学生处于“欠佳听课状态”的时间长为4−0+40−30=14分钟．【解析】(1)当x∈(0,16]时，设f(x)=b(x−12)2+84(b<0)，代入点的坐标求解b，当x∈(16,40]时，直接在给出的函数模型中代入点的坐标求解a，则分段函数解析式可求；(2)分别求解二次不等式得到x的范围，即可求得学生处于“欠佳听课状态”的时长．本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用待定系数法求函数解析式，考查不等式的解法，是中档题．21.【答案】解：(1)f(x)>0⇒1x +3>1解得：x<−12或x>0，即x∈(−∞,−12)∪(0,+∞)；(2)因为f(x)−log2[(a−4)x+2a−5]=0在(−12,12)上有解，所以(a−4)x2+(a−5)x−1=0在(−12,12)上有解，且1x+a>0，当a=4时，x=−1，不符合题意；当a≠4时，x=−1或x=1a−4，{a−4+a>0−12<1a−4<12⇒{2a−4>01a−4>−121a−4<12，解得a>6，所以a∈(6,+∞)；(3)由a>0，t∈[12,1]，x∈[t,t+1]则1x+a>0恒成立，又f(x)=log2(1x+a)在[t,t+1]上单调递减，所以f(x)max=f(t)，f(x)min=f(t+1)，所以f(t)−f(t+1)≤1，即存在t∈[12,1]使(at+1)(t+1)t[a(t+1)+1]≤2成立，由(at+1)(t+1) t[a(t+1)+1]≤2可得a≥1−tt+t2，即a≥1t −2t+1在t∈[12,1]有解，令g(t)=1t−2t+1，任取12≤t1<t2≤1，则g(t1)−g(t2)=(1t1−2t1+1)−(1t2−2t2+1)=t1+t2+1−t1t2t1t2(t1+1)(t2+1)，由12≤t1<t2≤1，所以g(t1)−g(t2)>0，即g(t1)>g(t2)，所以g(t)在[12,1]单调递减，所以g(t)min=g(1)=0，所以a≥0，又因为a>0，所以a>0，故实数a的取值范围为：(0,+∞)．【解析】(1)a=3，然后根据对数函数的单调性进行求解即可．(2)f(x)−log2[(a−4)x+2a−5]=0在(−12,12)上有解，化简为(a−4)x2+(a−5)x−1=0，对a=4和a≠4讨论即可．(3)化为存在t∈[12,1]使得f(x)max−f(x)min≤1在x∈[t,t+1]成立，然后计算即可．本题考查了分类讨论思想和数形结合思想，属于难题．。
2024-2025学年上海市徐汇区南洋中学高一(上)期中数学试卷(含答案)
2024-2025学年上海市徐汇区南洋中学高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设甲是乙的充分而不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要而不充分条件，则丁是甲的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.如图，U 是全集，A 、B 、C 是它的子集，则阴影部分表示对集合是( )A. (A ∩B)∩CB. (A ∩∁U B)∩CC. (A ∩B)∩∁U CD. (A ∪∁U B)∩C3.如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( )A. 1a <1bB. ab <b 2C. −ab <−a 2D. −1a <−1b 4.设集合A ={x||x−a|=1}，B ={1,−3,b}，若A ⊆B ，则对应的实数对(a,b)有( )A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对二、填空题：本题共12小题，共40分。
5.A ={x|−1≤x ≤3}，B ={x|x <−2或x ≥2}，则A ∩B = ______．6.用反证法证明：若梯形的对角线不相等，则该梯形不是等腰梯形，应假设______．7.不等式|x−1|<2的解集为______．8.不等式(1−2x)(x +1)>0的解集是______．9.方程x 2+(m−3)x +m =0有两个实根，则实数m 的取值范围是______．10.已知log 189=a ，18b =5，则18a−b 2的值为______．11.使不等式|x−5|+|x−3|≥2中等号成立的x 的取值范围是______．12.已知集合A ={2,(a +1)2,a 2+3a +3}，且1∈A ，则实数a 的值为______．13.不等式(a−2)x 2+2(a−2)x−4<0对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是______．14.若集合A ={1,2}，B ={1,2,3,4,5,6}，若集合M 满足A ⊂M ⊆B ，则这样的集合M 的个数是______．15.设α，β是方程lg 2x−lgx−3=0的两根，则log αβ+log βα= ______．16.记min{x,y,z}表示x ，y ，z 中最小的数.设a >0，b >0，则min{a,1b ,1a +3b}的最大值为______．三、解答题：本题共5小题，共44分。
上海市上海中学2020-2021学年第一学期高一数学期中考试卷
4. l本题满分 IO 分）已知关寸;x的方程竺二二已二过尘主).
(l)若方程在区间[-1,1]上有实根，求实数a的取值范围；
{e[ a (2)若方程有两个空妇'.'且
点， 10J求实数 的最大值．
-- . l
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} 5. (本题满分12分）设n是正整数，集合A={a/a=(t"片，... t,. ),tk E{0,1},k=I,2,…，n'
·"
C的值．
2. (本题满分 10 分消吓列不等式：
2
少lx-11 >(豆）
'·2x2 -3x-5 (2) 3x2 -13x+4
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3. (本匙满分JO分）为f倡导“节舫减排 ， 绿色生态”，朵企业采用新工艺，把企业生
4产0．0中吨:排:>，f放o展O的多二为�t6壬化0h0碳o吨 "转，化H为处种 理成可本利y用的(兀化）T与产月品处，已理知缸 该仰（单吨位�）旬�乏 月✓�的向_o、o的 处函理数迅关砐少 系可为
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值范围是．
二、选择题（每题 4 分，共 16 分）
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伲叶L忙 (C) 2✓2-1
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2. 用反一一 证．法．．一证明： ” 已知 a,be�, a2 +b2 =0, 求证： a=b=O"时，应假设（
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2020-2021学年上海市某校高一(上)期中数学试卷
2020-2021学年上海市某校高一（上）期中数学试卷一、填空题：（每小题3分，满分36分）1. 当a <b 时，化简√(a −b)2=________． 【答案】 b −a 【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值 【解析】根据a −b 的符号，去绝对值求出答案即可． 【解答】a <b 即a −b <0，故√(a −b)2=|a −b|＝b −a ，2. 已知全集U ＝{0, 1, 2, 3, 4}，集合A ＝{x|x 2−3x +2≤0, x ∈Z}，则A ¯=________． 【答案】 {0, 3, 4} 【考点】 补集及其运算 【解析】可求出集合A ，然后进行补集的运算即可． 【解答】∵ 全集U ＝{0, 1, 2, 3, 4}，A ＝{x|1≤x ≤2, x ∈Z}＝{1, 2}， ∴ A ¯={0,3,4}．3. 已知a >1，比较大小√a √a ________1log 312+2log 122．【答案】 >【考点】对数值大小的比较 【解析】根据a >1及指数函数的单调性可得出√a √a >1，根据对数的运算即可得出1log 312+2log 122=1，然后即可得出答案． 【解答】∵ a >1，∴ √a √a =a 34>a 0=1，1log 312+2log 122=log 33log 312+log 124=log 123+log 124＝1，∴ √a √a >1log 312+2log 122．4. 命题“设a ，b ∈R ，若a +b <4，则a <2或b ≤2”是________命题．（填“真”或“假”） 【答案】 真【考点】四种命题的真假关系 【解析】根据不等式的性质即可直接判断． 【解答】设a ，b ∈R ，若a +b <4，则a ，b 至少有一个小于等于2，故若a +b <4，则a <2或b ≤2是真命题，5. 已知x >0，y >0，且2x +5y =20，则lg x +lg y 的最大值为________． 【答案】 1【考点】 基本不等式 对数的运算性质【解析】利用基本不等式先求出xy 的范围，再根据对数的运算性质进行化简即可求得最大值，注意等号成立的条件． 【解答】解：∵ x >0，y >0，且2x +5y =20， ∴ 2x +5y =20≥2√10xy ，即xy ≤10， 当且仅当2x =5y ，即x =5，y =2时取等号． ∴ lg x +lg y =lg xy ≤lg 10=1，即最大值为1． 故答案为：1．6. 设不等式|x −a|<b 的解集为{x|−1<x <2}，当m >0时，用根式表示m ab ＝________． 【答案】√m 34【考点】绝对值不等式的解法与证明 【解析】先根据|x −a|<b 的解集为{x|−1<x <2}，求出a ，b 的值，再用根式表示m ab 即可． 【解答】由|x −a|<b ，得−b +a <x <a +b ， ∵ |x −a|<b 的解集为{x|−1<x <2}， ∴ −b +a ＝−1且a +b ＝2，∴ a =12，b =32， ∴ 当m >0时，m ab =√m 34．7. 已知关于x 的不等式kx 2−kx +1≥0的解集为R ，则实数k 的取值范围是________．【答案】 [0, 4] 【考点】一元二次不等式的应用 【解析】根据题意讨论k ＝0和k ≠0时，求出不等式解集为R 时实数k 的取值范围． 【解答】k ＝0时，不等式为1≥0，解集为R ，满足题意； k ≠0时，应满足{k >0△=(−k)2−4k ×1≤0 ，解得0<k ≤4；综上知，实数k 的取值范围是[0, 4]．8. 测量地震级别的里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A −lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，常数A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，而此次地震的里氏震级恰好为6级，那么里氏9级地震的最大的振幅是里氏5级地震最大振幅的________倍．【答案】 10000 【考点】对数的运算性质 【解析】根据题意中的假设，可得M ＝lg A −lg A 0＝lg 1000−lg A 0＝6；设9级地震的最大的振幅是x ，5级地震最大振幅是y ，9＝lg x +3，5＝lg y +3，由此知9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的10000倍． 【解答】根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此次地震的里氏震级恰好为6级，则M ＝lg A −lg A 0＝lg 1000−lg A 0＝3−lg A 0＝6，解得：lg A 0＝−3， 设9级地震的最大的振幅是x ，5级地震最大振幅是y ， 9＝lg x +3，5＝lg y +3，解得x ＝106，y ＝102， ∴ xy =106102=10000．9. 若关于x 的不等式组{(2x −3)(x +1)≤0x >a 没有整数解，则实数a 的取值范围是________．【答案】 a ≥1 【考点】其他不等式的解法 【解析】先求出不等式(2x −3)(x +1)≤0的解集，然后确定不等式组的解集，进而确可求a 的范围． 【解答】由(2x −3)(x +1)≤0可得−1≤x ≤32，其中有整数−1，0，1，因为不等式组{(2x −3)(x +1)≤0x >a 没有整数解，故不等式组的解集a <x ≤32且其范围内没有整数，故a ≥1．10. 已知M =m 2+1m−1，其中m >1，则M 的最小值为________．【答案】2√2+2 【考点】基本不等式及其应用 【解析】 M =m 2+1m−1=(m −1)+2m−1+2，根据基本不等式即可求出．【解答】 ∵ m >1 ∴ M =m 2+1m−1=(m−1)2+2(m−1)+2m−1=(m −1)+2m−1+2≥2√2+2，当且仅当m −1=2m−1时，即m ＝1+√2时取等号， 故M 的最小值为2√2+2，11. 定义：对于非空集合A ，若元素x ∈A ，则必有(m −x)∈A ，则称集合A 为“m 和集合”．已知集合B ＝{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，则集合B 所有子集中，是“8和集合”的集合有________个．【答案】 15【考点】元素与集合关系的判断 【解析】考察子集的概念以及对数学新概念的理解，由x ∈A 及(m −x)∈A 可以得到两个数之和为m 的元素必须同时出现在集合A 中． 【解答】①含有1个元素的“8和集合”：{4}；②含有2个元素的“8和集合”：{1, 7}，{2, 6}，{3, 5}；③含有3个元素的“8和集合”：{1, 4, 7}，{2, 4, 6}，{3, 4, 5}；④含有4个元素的“8和集合”：{1, 7, 2, 6}，{1, 7, 3, 5}，{2, 6, 3, 5}；⑤含有5个元素的“8和集合”：{1, 7, 2, 6, 4}，{1, 7, 3, 5, 4}，{2, 6, 3, 5, 4}； ⑥含有6个元素的“8和集合”：{1, 7, 2, 6, 3, 5}； ⑦含有7个元素的“8和集合”：{1, 7, 2, 6, 3, 5, 4}．12. 研究问题：“已知关于x 的不等式ax 2−bx +c >0的解集为(1, 2)，则关于x 的不等式cx2−bx+a>0有如下解法：由ax2−bx+c>0⇒a−b(1x )+c(1x)2>0，令y=1x，则y∈(12,1)，所以不等式cx2−bx+a>0的解集为(12,1)．参考上述解法，已知关于x的不等式kx+a +x+bx+c<0的解集为(−2, −1)∪(2, 3)，则关于x的不等式kxax−1+bx−1cx−1<0的解集________(−12,−13)∪(12,1)．【答案】(−12,−13)∪(12,1)【考点】类比推理【解析】先明白题目所给解答的方法：ax2−bx+c>0化为a−b(1x )+c(1x)2>0，类推为cx2−bx+a>0，解答不等式；然后依照所给定义解答题目即可．【解答】关于x的不等式ka+x +b+xc+x<0的解集为(−2, −1)∪(2, 3)，用−1x 替换x，不等式可以化为：k(−1x)+a+(−1x)+b(−1x)+c=kxax−1+bx−1cx−1<0可得−1x∈(−2,−1)∪(2,3)可得12<x<1−12<x<−13二、选择题：（每小题4分，满分16分）如果a<b<0，那么下列不等式中正确的是（）A.ab <1 B.a2>ab C.1b2<1a2D.−1a<1b【答案】B【考点】不等式的概念不等式的基本性质【解析】由不等式的性质逐一判断即可．【解答】若a<b<0，则ab>1，故A错误；若a<b<0，则a2>ab，故B正确；若a<b<0，则a+b<0，a−b<0，所以1b2−1a2=a2−b2a2b2=(a+b)(a−b)a2b2>0，即1b2>1a2，故C错误；若a<b<0，则−1a >0>1b，故D错误．下列表示图中的阴影部分的是（）A.(A∪C)∩(B∪C)B.(A∪B)∩(A∪C)C.(A∪B)∩(B∪C)D.(A∪B)∩C【答案】A【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】由韦恩图分析阴影部分表示的集合，关键是要分析阴影部分的性质，先用自然语言将其描述出来，再根据集合运算的定义，将共转化为集合语言，再去利用集合运算的方法，对其进行变形和化简．【解答】图中阴影部分表示元素满足：是C中的元素，或者是A与B的公共元素故可以表示为C∪(A∩B)也可以表示为：(A∪C)∩(B∪C)已知a，s，t都是正实数，且a≠1，下列运算一定正确的是（）A.a s+a t＝a s+tB.a s a t＝a s+tC.log a s+log a t＝log a(s+t)D.log a s⋅log a t＝log a(st)【答案】B【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值对数的运算性质【解析】根据指数幂的运算性质以及对数的运算性质判断即可．【解答】根据指数幂的运算性质得：A错误，B正确；根据对数的运算性质得：C，D错误；已知a1，a2，b1，b2，c1，c2均为非零实数，则“a1a2=b1b2=c1c2”是“关于x的方程a1x2+b1x+c1＝0与a2x2+b2x+c2＝0解集相同”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】 A【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】根据方程的性质，我们可以判断“a 1a 2=b 1b 2=c1c 2”⇒“关于x 的方程a 1x 2+b 1x +c 1=0与a 2x 2+b 2x +c 2=0解集相同”；根据方程的解集可能为空集，可判断“M ＝N ”⇒“a 1a 2=b 1b 2=c1c 2”的真假，进而得到答案．【解答】∵ “a 1a 2=b 1b 2=c 1c 2”时，对应项系数成比例，对应方程的解集相同，即“a 1a 2=b 1b 2=c1c 2”是“M＝N ”的充分条件但当“M ＝N ＝⌀”时，不等式a 1x 2+b 1x +c 1＝0和a 2x 2+b 2x +c 2＝0可能是不同的方程，则“a 1a 2=b 1b 2=c1c 2”不一定成立即“a 1a 2=b 1b 2=c1c 2”是“M ＝N ”的不必要条件，故“a 1a 2=b 1b 2=c1c 2”是“M ＝N ”的充分不必要条件．三、解答题（共5大题，满分48分）解不等式组{|4x +1|>21x≥3 ．【答案】 由题意可得，{4x +1>21−3xx ≥0 或−4x +1<−2，即{x >14x <−340<x ≤13 ，解得，14<x ≤13． 故不等式的解集(14,13]．【考点】其他不等式的解法 【解析】由已知结合绝对值不等式及分式不等式分别求解即可． 【解答】由题意可得，{4x +1>21−3x x ≥0 或−4x +1<−2，即{x >14x <−340<x ≤13，解得，14<x≤13．故不等式的解集(14,13 ]．艺术中心要用木料制作如图所示的框架，框架下部是边长分别为x，y（单位：米）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8平方米，问：总用料最省时，用料为多少米？此时x，y分别为多少米？（最后结果精确到0.01）【答案】故当x为2.343m，y为2.828m时，用料最省．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】根据三角形和矩形面积公式得出x和y的关系式，确保有意义求出x的范围得到定义域；根据解析式进而表示出框架用料长度为根据均值不等式求得l的最小值，求得此时的x和y．【解答】由题意得：x⋅y+12x⋅12x=8(x>0, y>0)，∴y=8x −x4，∵y>0，即8x −x4>0，∴0<x<4√2，设框架用料长度为l，则l＝2x+2y+√2x=( 32+√2)x+16x≥2√16(32+√2)=4√6+4√2，当且仅当(32+√2)x=16x，即x＝8−4√2时，取等号，已知p：关于x的一元二次方程x2−2√3x+|m−2|＝0有两个不相等的实数根．q：关于x的一元二次方程x2−mx+|a+1|+|a−3|＝0对于任意实数a都没有实数根．（1）若p成立，求实数m的取值范围；（2）若p和q中有且只有一个成立，求实数m的取值范围．【答案】若命题p成立，即关于x的一元二次方程x2−2√3x+|m−2|＝0有两个不相等的实数根，故△＝12−4|m−2|>0，求得−1<m<5．由q：关于x的一元二次方程x2−mx+|a+1|+|a−3|＝0对于任意实数a都没有实数根，恒成立，可得△′＝m2−4(|a+1|+|a−3|)<0，即|a+1|+|a−3|>m24∴4>m2恒成立，−4<m<4．4若p成立而q不成立，则4≤m<5，若q成立而p不成立，则−4<m≤−1．综上，当p和q中有且只有一个成立时，则4≤m<5，或−4<m≤−1．【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系【解析】（1）由题意利用判别式大于零，求得m的范围．（2）求出命题q正确时，m的范围，再分别求得p成立而q不成立、q成立而p不成立时，m的范围，综合可得结论．【解答】若命题p成立，即关于x的一元二次方程x2−2√3x+|m−2|＝0有两个不相等的实数根，故△＝12−4|m−2|>0，求得−1<m<5．由q：关于x的一元二次方程x2−mx+|a+1|+|a−3|＝0对于任意实数a都没有实数根，恒成立，可得△′＝m2−4(|a+1|+|a−3|)<0，即|a+1|+|a−3|>m24∴4>m2恒成立，−4<m<4．4若p成立而q不成立，则4≤m<5，若q成立而p不成立，则−4<m≤−1．综上，当p和q中有且只有一个成立时，则4≤m<5，或−4<m≤−1．已知有限集A＝(a1, a2,……,a n)(n≥2, n∈N)，如果中A元素a i(i＝1, 2,…,n)满足a1+a2+...+a n＝a1×a2×……×a n，就称A为“完美集”．（1）如果方程：x2−bx+5＝0的解集是一个“完美集”，求log√5b的值．（2）利用反证法证明：若a1，a2是两个不同的正数，且{a1, a2}是“完美集”，则a1，a2至少有一个大于2．【答案】设x1，x2为方程x2−bx+5＝0的两根，∵x2−bx+5＝0的解集是一个“完美集”，∴x1+x2＝b，x1x2＝5且x1+x2＝x1x2，∴b＝5，∴logb=2．√5证明：假设0<a1≤2且0<a2≤2，由a1，a2是两个不同的正数，且{a1, a2}是“完美集”，)2，∴a1+a2>4或a1+a2<0，可知a1+a2=a1a2<(a1+a22∴由0<a1≤2且0<a2≤2，可得a1+a2≤4与a1+a2>4或a1+a2<0矛盾，因此假设不成立，原命题成立．【考点】反证法与放缩法【解析】（1）设x1，x2为方程x2−bx+5＝0的两根，然后根据条件得到x1+x2＝b，x1x2＝5且x1+x2＝x1x2，再求出b即可得到log√5b的值；（2）假设0<a1≤2且0<a2≤2，然后根据条件得到a1+a2>4或a1+a2<0，得到矛盾结论，从而证明原命题成立．【解答】设x1，x2为方程x2−bx+5＝0的两根，∵x2−bx+5＝0的解集是一个“完美集”，∴x1+x2＝b，x1x2＝5且x1+x2＝x1x2，∴b＝5，∴logb=2．√5证明：假设0<a1≤2且0<a2≤2，由a1，a2是两个不同的正数，且{a1, a2}是“完美集”，)2，∴a1+a2>4或a1+a2<0，可知a1+a2=a1a2<(a1+a22∴由0<a1≤2且0<a2≤2，可得a1+a2≤4与a1+a2>4或a1+a2<0矛盾，因此假设不成立，原命题成立．已知一元二次函数f(x)＝ax2+bx+c(a>0, c>0)的图象与x轴有两个不同的公共点，其中一个公共点的坐标为(c, 0)，且当0<x<c时，恒有f(x)>0．时，求出不等式f(x)<0的解；（1）当a＝1，c=12（2）求出不等式f(x)<0的解（用a，c表示）；（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a的取值范围；（4）若不等式m2−2km+1+b+ac≥0对所有k∈[−1, 1]恒成立，求实数m的取值范围．试卷第11页，总12页【答案】当a ＝1，c =12时，f(x)=x 2+bx +12，f(x)的图象与x 轴有两个不同交点，∵ f(12)=0，设另一个根为x 2，则12x 2=12，∴ x 2＝1，则 f(x)<0的解集为 (12,1)． f(x)的图象与x 轴有两个交点， ∵ f(c)＝0，设另一个根为x 2，则cx 2=c a∴ x 2=1a，又当0<x <c 时，恒有f(x)>0，则1a>c ， ∴ f(x)<0的解集为(c,1a )⋯由（2）的f(x)的图象与坐标轴的交点分别为(c,0),(1a ,0),(0,c) 这三交点为顶点的三角形的面积为S =12(1a −c)c =8， ∴ a =c16+c 2≤2√16c=18故a ∈(0,18]． ∵ f(c)＝0，∴ ac 2+bc +c ＝0，又∵ c >0，∴ ac +b +1＝0，要使m 2−2km ≥0，对所有k ∈[−1, 1]恒成立，则 当m >0时，m ≥(2k)max ＝2 当m <0时，m ≤(2k)min ＝−2当m ＝0时，02≥2k ⋅0，对所有k ∈[−1, 1]恒成立 从而实数m 的取值范围为 m ≤−2或m ＝0或m ≥2． 【考点】二次函数的图象 二次函数的性质 【解析】（1）当a ＝1，c =12时，f(x)=x 2+bx +12，f(x)的图象与x 轴有两个不同交点，由此能求出 f(x)<0的解集．（2）f(x)的图象与x 轴有两个交点，由f(c)＝0，设另一个根为x 2，由此能求出f(x)<0的解集．（3）由（2）的f(x)的图象与坐标轴的交点分别为(c,0),(1a ,0),(0,c)，这三交点为顶点的三角形的面积为S =12(1a −c)c =8，由此能求出a 的取值范围．（4）由f(c)＝0，知ac 2+bc +c ＝0，由c >0，知ac +b +1＝0，由此能求出实数m 的取值范围． 【解答】当a ＝1，c =12时，f(x)=x 2+bx +12，试卷第12页，总12页f(x)的图象与x 轴有两个不同交点，∵ f(12)=0，设另一个根为x 2，则12x 2=12，∴ x 2＝1，则 f(x)<0的解集为 (12,1)． f(x)的图象与x 轴有两个交点， ∵ f(c)＝0，设另一个根为x 2，则cx 2=c a∴ x 2=1a，又当0<x <c 时，恒有f(x)>0，则1a >c ， ∴ f(x)<0的解集为(c,1a )⋯由（2）的f(x)的图象与坐标轴的交点分别为(c,0),(1a,0),(0,c)这三交点为顶点的三角形的面积为S =12(1a −c)c =8， ∴ a =c 16+c≤2√16c=18故a ∈(0,18]．∵ f(c)＝0，∴ ac 2+bc +c ＝0， 又∵ c >0，∴ ac +b +1＝0，要使m 2−2km ≥0，对所有k ∈[−1, 1]恒成立，则 当m >0时，m ≥(2k)max ＝2 当m <0时，m ≤(2k)min ＝−2当m ＝0时，02≥2k ⋅0，对所有k ∈[−1, 1]恒成立 从而实数m 的取值范围为 m ≤−2或m ＝0或m ≥2．。
2020-2021学年上海市徐汇区南洋模范中学高三(上)期中数学试卷
2020-2021学年上海市徐汇区南洋模范中学高三（上）期中数学试卷试题数：21.满分：01.（填空题.4分）已知集合A={x|-2＜x＜1}.B={x|-1＜x＜3}.则A∪B=___ ．2.（填空题.4分）已知直线l的一个法向量是n⃗=(1，−√3) .则此直线的倾斜角的大小为___ ．3.（填空题.4分）设函数f（x）=log2（2x+1）.则不等式2f（x）≤f-1（log25）的解为___ ．4.（填空题.4分）公差不为零的等差数列{a n}中.a1、a2、a5成等比数列.且该数列的前10项和为100.则数列{a n}的通项公式为a n=___5.（填空题.4分）已知实数x、y满足关系式5x+12y-60=0.则√(x−1)2+(y−2)2的最小值为___6.（填空题.4分）将函数y=cos2x-sin2x的图象向左平移m个单位后.所得图象关于原点对称.则正实数m的最小值为___ ．7.（填空题.5分）若y=4- √−x2+2x+3最小值为a.最大值为b.则limn→∞a n−2b n3a n−4b n=___ ．8.（填空题.5分）已知点G是△ABC的重心.内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c.且a 5GA⃗⃗⃗⃗⃗ +b7GB⃗⃗⃗⃗⃗ +c8GC⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ .则角B的大小是___ ．9.（填空题.5分）已知函数f(x)={log2x，0＜x＜2(23)x+59，x≥2．若函数g（x）=f（x）-k有两个不同的零点.则实数k的取值范围是___ ．10.（填空题.5分）已知椭圆x24+y23=1 .过右焦点F作直线l交椭圆于P、Q两点.P在第二象限.Q（x Q.y Q）.Q′（x′Q.y′Q）都在椭圆上.且y Q+y′Q=0.FQ′⊥PQ.则直线l的方程为___ ．11.（填空题.5分）已知多边形A0A1A2-A n-1A n的顶点都在抛物线F：x2=4y上.若A0的横坐标为x0，k Ai A j 为A i A j所在直线的斜率（0≤i.j≤n.i.j∈N.n∈N*）.则k A0A1−k A1A2+k A2A3−⋯+(−1)n−1k An−1A n +(−1)n k An A0=___ ．12.（填空题.5分）已知等差数列{a n}中a1=d=1.b n=tana n•tana n+1（n∈N*）.则数列{b n}的前n 项和S n=___ ．13.（单选题.5分）下列不等式恒成立的是（）A.a2+b2≤2abB.a2+b2≥-2abC.a+b≥-2 √|ab|D.a+b≤2 √|ab |14.（单选题.5分）函数y= {2x ，x ≥0−x 2，x ＜0 的反函数是（ ）A.y= {x2，x ≥0√−x ，x ＜0 B.y= {x2，x ≥0−√−x ，x ＜0 C.y= {2x ，x ≥0√−x ，x ＜0D.y= {2x ，x ≥0−√−x ，x ＜0 15.（单选题.5分）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点.则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ • AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是（ ） A.（-2.6） B.（-6.2） C.（-2.4） D.（-4.6）16.（单选题.5分）已知函数f （x ）=x 2•sinx .各项均不相等的数列{x n }满足|x i |≤ π2（i=1.2.3.….n ）．令F （n ）=（x 1+x 2+…+x n ）•[f （x 1）+f （x 2）+…f （x n ）]（n∈N *）．给出下列三个命题：（1）存在不少于3项的数列{x n }.使得F （n ）=0；（2）若数列{x n }的通项公式为 x n =(−12)n(n ∈N ∗) .则F （2k ）＞0对k∈N *恒成立； （3）若数列{x n }是等差数列.则F （n ）≥0对n∈N *恒成立． 其中真命题的序号是（ ） A.（1）（2） B.（1）（3） C.（2）（3） D.（1）（2）（3）17.（问答题.0分）已知函数f(x)=Asin(x+π4)， x∈R .且f(512π)=32．（1）求A的值．（2）若f(θ)+f(−θ)=32， θ∈(0，π2) .求f(34π−θ)．18.（问答题.0分）已知函数f（x）=|2x-a|+a．（1）当a=2时.求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x-1|.当x∈R时.f（x）+g（x）≥3.求实数a的取值范围．19.（问答题.0分）已知函数y=f（x）.x∈[a.b]的图象为曲线C.两端点A（a.f（a））、B（b.f（b））.点M（x0.y0）为线段AB上一点.其中x0=a+λb1+λ . y0=f(a)+λf(b)1+λ.λ＞0.点P、Q均在曲线C上.且点P的横坐标等于x0.点Q的纵坐标为y0．（1）设f（x）=sinx. x∈[0，2π3] .λ=3.求点P、Q的坐标；（2）设f(x)=1x . x∈[12，2] .求△MPQ的面积的最大值及相应λ的值；（3）设f（x）=-x2+2x.x∈[a.b].求证：点P始终在M点的上方．20.（问答题.0分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点为F（1.0）.且点P（1. 32）在椭圆C上；（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C1：x2a2+y2b2−53=1上异于其顶点的任意一点Q作圆O：x2+y2= 43的两条切线.切点分别为M、N（M、N不在坐标轴上）.若直线MN在x轴.y轴上的截距分别为m、n.证明：1 3m2+1n2为定值；（3）若P1、P2是椭圆C2：x2a2+3y2b2=1上不同两点.P1P2⊥x轴.圆E过P1、P2.且椭圆C2上任意一点都不在圆E内.则称圆E为该椭圆的一个内切圆.试问：椭圆C2是否存在过焦点F的内切圆？若存在.求出圆心E的坐标；若不存在.请说明理由．21.（问答题.0分）已知项数为m（m∈N*.m≥2）的数列{a n}满足条件：① a n∈N*（n=1.2.….m）∈N∗（n=1.2.….m）.则称{b n}为数列② a1＜a2＜…＜a m.若数列{b n}满足b n= (a1+a2+⋯+a m)−a nm−1{a n}的“关联数列”．（1）数列1.5.9.13.17是否存在“关联数列”？若存在.写出其“关联数列”.若不存在.请说明理由；（2）若数列{a n}存在“关联数列”{b n}.证明：a n+1-a n≥m-1（n=1.2.….m-1）；（3）已知数列{a n}存在“关联数列”{b n}.且a1=1.a m=2049.求数列{a n}项数的最小值与最大值．2020-2021学年上海市徐汇区南洋模范中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.4分）已知集合A={x|-2＜x＜1}.B={x|-1＜x＜3}.则A∪B=___ ．【正确答案】：[1]{x|-2＜x＜3}．【解析】：利用并集定义直接求解．【解答】：解：∵集合A={x|-2＜x＜1}.B={x|-1＜x＜3}.∴A∪B={x|-2＜x＜3}．故答案为：{x|-2＜x＜3}．【点评】：本题考查并集的求法.考查并集定义等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．2.（填空题.4分）已知直线l的一个法向量是n⃗=(1，−√3) .则此直线的倾斜角的大小为___ ．【正确答案】：[1] π6【解析】：设直线的方向向量为m⃗⃗ =（a.b）.直线的倾斜角为α．利用m⃗⃗ •n⃗ =0.即可得出．【解答】：解：设直线的方向向量为m⃗⃗ =（a.b）.直线的倾斜角为α．则m⃗⃗ •n⃗ =a- √3 b=0.∴ b a =√33=tanα.∴α= π6.故答案为：π6．【点评】：本题考查了直线的方向向量与法向量、向量垂直与数量积的关系.考查了计算能力.属于基础题．3.（填空题.4分）设函数f（x）=log2（2x+1）.则不等式2f（x）≤f-1（log25）的解为___ ．【正确答案】：[1]（-∞.0]【解析】：先根据函数的定义域求出x的范围.然后代入解析式.解对数不等式.转化成指数不等式进行求解.即可求出x的取值范围【解答】：解：f-1（x）=log2（2x-1）.x∈（0.+∞）．由2f（x）≤f-1（log25）.2log2（2x+1）≤log2（2log25 -1）=log24.∴log2（2x+1）≤1∴0＜2x+1≤2.∴0＜2x≤1.⇒x≤0；综上.x≤0；故答案为：（-∞.0]．【点评】：本题主要考查了反函数的求解.以及对数函数图象与性质的综合应用.同时考查转化与划归的思想.计算能力.属于中档题4.（填空题.4分）公差不为零的等差数列{a n}中.a1、a2、a5成等比数列.且该数列的前10项和为100.则数列{a n}的通项公式为a n=___【正确答案】：[1]2n-1（n∈N*）【解析】：设等差数列{a n}的公差为d（d≠0）.由已知列关于首项与公差的方程组.求解得到首项与公差.代入等差数列的通项公式即可．【解答】：解：设等差数列{a n}的公差为d（d≠0）.由题意. {(a1+d)2=a1(a1+4d)10a1+10×9×d2=100.解得{a1=1d=2．∴数列{a n}的通项公式为a n=2n-1（n∈N*）．故答案为：2n-1（n∈N*）．【点评】：本题考查等差数列的通项公式与前n项和.考查等比数列的性质.是基础题．5.（填空题.4分）已知实数x、y满足关系式5x+12y-60=0.则√(x−1)2+(y−2)2的最小值为___【正确答案】：[1] 3113【解析】：√(x−1)2+(y−2)2的最小值是点（1.2）到直线5x+12y-60=0的距离.由此能求出结果．【解答】：解：∵实数x、y满足关系式5x+12y-60=0.∴ √(x−1)2+(y−2)2的最小值是点（1.2）到直线5x+12y-60=0的距离.∴实数x、y满足关系式5x+12y-60=0.则√(x−1)2+(y−2)2的最小值为：d=√25+144 = 3113．故答案为：3113．【点评】：本题考查代数式的最小值的求法.考查点到直线的距离等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．6.（填空题.4分）将函数y=cos2x-sin2x的图象向左平移m个单位后.所得图象关于原点对称.则正实数m的最小值为___ ．【正确答案】：[1] π8【解析】：由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.三角函数的图象的对称性.求得正实数m的最小值．【解答】：解：将函数y=cos2x-sin2x= √2 cos（2x+ π4）的图象向左平移m个单位后.所得函数y= √2 cos（2x+2m+ π4）的图象关于原点对称.则2m+ π4=kπ+ π2.k∈Z.即 m= kπ2+ π8.则正实数m的最小值为π8.故答案为：π8．【点评】：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.三角函数的图象的对称性.属于中档题．7.（填空题.5分）若y=4- √−x2+2x+3最小值为a.最大值为b.则limn→∞a n−2b n3a n−4b n=___ ．【正确答案】：[1] 12【解析】：先求函数的定义.求出函数的最大值a和最小值b.代入求极限．【解答】：解：y=4- √−x2+2x+3 .定义域为[-1.3]当x=1时.y取最小值为2.当x=3或-1时.y取最大值为4.故a=2.b=4；lim n→∞a n−2b n3a n−4b n= limn→∞2n−2•4n3•2n−4•4n= limn→∞(12)n−23•(12)n−4= 12．故答案为：12．【点评】：本题考查求函数的定义域.根据定义域求函数的最值及求极限.属于中档题． 8.（填空题.5分）已知点G 是△ABC 的重心.内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c.且a 5GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +b 7GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +c8GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ .则角B 的大小是___ ． 【正确答案】：[1] π3【解析】：点G 是△ABC 的重心.可得： GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ .由题意 a 5GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +b 7GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +c8GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ .可得a=5.b=7.c=8.根据余弦定理可得角B 的大小．【解答】：解：由题意：点G 是△ABC 的重心.可得： GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ . ∵ a5GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +b7GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +c8GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ . ∴可得a=5.b=7.c=8. 由余弦定理可得：cosB= a 2+c 2−b 22ac=25+64−4980=12 .∵0＜B ＜π. ∴B= π3． 故答案为 π3【点评】：本题考查重心的性质.是基础题.解题时要认真审题． 9.（填空题.5分）已知函数 f (x )={log 2x ，0＜x ＜2(23)x +59，x ≥2．若函数g （x ）=f （x ）-k 有两个不同的零点.则实数k 的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1] (59，1)【解析】：由题意可得函数f （x ）的图象与直线y=k 有二个不同的交点.结合图象求出实数k 的取值范围．【解答】：解：由题意可得函数f （x ）的图象与直线y=k 有二个不同的交点.如图所示： 故实数k 的取值范围是 (59，1) . 故答案为 (59，1) ．【点评】：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系.体现了化归与转化、数形结合的数学思想.属于中档题．10.（填空题.5分）已知椭圆x24+y23=1 .过右焦点F作直线l交椭圆于P、Q两点.P在第二象限.Q（x Q.y Q）.Q′（x′Q.y′Q）都在椭圆上.且y Q+y′Q=0.FQ′⊥PQ.则直线l的方程为___ ．【正确答案】：[1]x+y-1=0【解析】：求出椭圆的右焦点坐标.利用已知条件求出直线的斜率.然后求解直线方程．【解答】：解：椭圆C：x 24+y23=1的右焦点为F（1.0）.直线l经过椭圆右焦点F.交椭圆C于P、Q两点（点P在第二象限）.若y Q+y′Q=0.则点Q与点Q′关于x轴对称.又FQ′⊥PQ.可知直线l的斜率为-1.所以直线l的方程是：y=-（x-1）.即x+y-1=0．故答案为：x+y-1=0．【点评】：本题考查椭圆的简单性质的应用直线与直线的对称关系的应用.直线方程的求法.是基础题．11.（填空题.5分）已知多边形A0A1A2-A n-1A n的顶点都在抛物线F：x2=4y上.若A0的横坐标为x0，k Ai A j 为A i A j所在直线的斜率（0≤i.j≤n.i.j∈N.n∈N*）.则k A0A1−k A1A2+k A2A3−⋯+(−1)n−1k An−1A n +(−1)n k An A0=___ ．【正确答案】：[1] {12x 0，n 为偶数，0，n 为奇数【解析】：求得A 0（x 0.x 024）.可设A 1.A 2.…A n 的坐标分别为（x 1.x 124 ）.（x 2. x 224）.….（x n . x n 24）.再由直线的斜率公式和平方差公式.化简所求式子.并讨论n 为偶数和奇数时.化简整理可得所求．【解答】：解：由题意可得A 0（x 0. x 024）. 可设A 1.A 2.…A n 的坐标分别为（x 1. x 124 ）.（x 2. x 224 ）.….（x n . x n 24 ）.则 k A 0A 1−k A 1A 2+k A 2A 3−⋯+(−1)n−1k A n−1A n +(−1)n k A n A 0 = x 024−x 124x 0−x 1-x 124−x 224x 1−x 2+…+（-1）n-1•x n−124−x n 24x n−1−x n+（-1）n •x n 24−x 024x n −x 0=x 0+x 14 - x 1+x 24 +…+（-1）n-1• x n−1+x n 4 +（-1）n • x n +x 04. 当n 为偶数时. k A 0A 1−k A 1A 2+k A 2A 3−⋯+(−1)n−1k A n−1A n +(−1)n k A n A 0 =x 0+x 14 - x 1+x 24 +…- x n−1+x n 4 + x n +x04 = x 04+ x 04= 12x 0；当n 为奇数时. k A 0A 1−k A 1A 2+k A 2A 3−⋯+(−1)n−1k A n−1A n +(−1)n k A n A 0 =x 0+x 14 - x 1+x 24 +…+ x n−1+x n 4 - x n +x 04 = x04 - x04 =0．故答案为： {12x 0，n 为偶数，0，n 为奇数．【点评】：本题考查抛物线的方程和运用.以及直线的斜率公式和数列的求和.考查分类讨论思想、方程思想和运算能力、推理能力.属于中档题．12.（填空题.5分）已知等差数列{a n }中a 1=d=1.b n =tana n •tana n+1（n∈N *）.则数列{b n }的前n 项和S n =___ ． 【正确答案】：[1]tan (n+1)tan1-1-n 【解析】：求出a n =n.则b n =tann•tan （n+1）.利用两角差的正切公式可得b n =.由累加法即可求得数列{b n }的前n 项和S n ．【解答】：解：由已知可得a n =n.则b n =tann•tan （n+1）. 由tan1=tan[（n+1）-n]= tan (n+1)−tann1+tan (n+1)tann .可得b n =tann•tan （n+1）= 1tan1 [tan （n+1）-tann]-1. 所以S n =b 1+b 2+…+b n = 1tan1[（tan2-tan1）+（tan3-tan2）+…+tan （n+1）-tann]-n = 1tan1[tan （n+1）-tan1]-n =tan (n+1)tan1-1-n ． 故答案为： tan (n+1)tan1-1-n ．【点评】：本题主要考查等差数列的通项公式.数列的前n 项和的求法.属于中档题． 13.（单选题.5分）下列不等式恒成立的是（ ） A.a 2+b 2≤2ab B.a 2+b 2≥-2ab C.a+b≥-2 √|ab| D.a+b≤2 √|ab | 【正确答案】：B【解析】：对于A 和B.分别根据完全平方差和完全平方和公式即可得解； 对于C 和D.举出反例即可得解．【解答】：解：对于A.由（a-b ）2≥0.知a 2+b 2≥2ab .即A 错误； 对于B.由（a+b ）2≥0.知a 2+b 2≥-2ab.即B 正确；对于C.当a=0.b=-1时.a+b=-1.-2 √|ab| =0.此时a+b ＜-2 √|ab| .即C 错误； 对于D.当a=0.b=1时.a+b=1.2 √|ab| =0.此时a+b ＞-2 √|ab| .即D 错误. 故选：B ．【点评】：本题考查不等式的性质.属于基础题． 14.（单选题.5分）函数y= {2x ，x ≥0−x 2，x ＜0 的反函数是（ ）A.y= {x2，x ≥0√−x ，x ＜0 B.y= {x2，x ≥0−√−x ，x ＜0 C.y= {2x ，x ≥0√−x ，x ＜0D.y= {2x ，x ≥0−√−x ，x ＜0 【正确答案】：B【解析】：利用反函数的求法、分段函数的性质即可得出．【解答】：解：∵y= {2x ，x ≥0−x 2，x ＜0 .x≥0时.由y=2x.解得x= 12y .把x 与y 互换可得：y= 12 x ； x ＜0.由y=-x 2.解得x=- √−y .把x 与y 互换可得：y= −√−x ．∴函数y= {2x ，x ≥0−x 2，x ＜0 的反函数是y= {x 2，x ≥0−√−x ，x ＜0．故选：B ．【点评】：本题考查了反函数的求法、分段函数的性质.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．15.（单选题.5分）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点.则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ • AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是（ ） A.（-2.6） B.（-6.2） C.（-2.4） D.（-4.6） 【正确答案】：A【解析】：画出图形.结合向量的数量积转化判断求解即可．【解答】：解：画出图形如图.AP ⃗⃗⃗⃗⃗ • AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = |AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ＜AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞ .它的几何意义是AB 的长度与 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 向量的投影的乘积.显然.P 在C 处时.取得最大值. |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠CAB =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3 .可得 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ • AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = |AP⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ＜AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞ =2×3=6.最大值为6.在F 处取得最小值. AP ⃗⃗⃗⃗⃗ • AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = |AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ＜AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞ =-2× 2×12 =-2.最小值为-2. P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点. 所以 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ • AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是（-2.6）． 故选：A ．【点评】：本题考查向量的数量积的应用.向量在几何中的应用.是中档题． 16.（单选题.5分）已知函数f （x ）=x 2•sinx .各项均不相等的数列{x n }满足|x i |≤ π2（i=1.2.3.….n ）．令F （n ）=（x 1+x 2+…+x n ）•[f （x 1）+f （x 2）+…f （x n ）]（n∈N *）．给出下列三个命题：（1）存在不少于3项的数列{x n }.使得F （n ）=0； （2）若数列{x n }的通项公式为 x n =(−12)n (n∈N ∗) .则F （2k ）＞0对k∈N *恒成立；（3）若数列{x n }是等差数列.则F （n ）≥0对n∈N *恒成立． 其中真命题的序号是（ ） A.（1）（2） B.（1）（3） C.（2）（3） D.（1）（2）（3） 【正确答案】：D【解析】：由题意.f （x ）=x 2sinx 是奇函数.只需考查0＜x≤1时的性质.此时y=x 2.y=sinx 都是增函数.得f （x ）=x 2sinx 在[0.1]上是增函数；即x 1+x 2≠0时.（x 1+x 2）（f （x 1）+f （x 2））＞0；对于（1）.取 −π2 ≤x 1=-x3 ≤π2 .x 2=0.即可判断； 对于（2）.运用等比数列的求和公式和性质.即可判断；对于（3）.运用等差数列的求和公式和性质.结合函数f （x ）的单调性.即可判断．【解答】：解：由题意得f （x ）=x 2sinx 是奇函数. 当0＜x≤ π2 时.y=x 2.y=sinx 都是增函数. ∴f （x ）=x 2sinx 在[0. π2 ]上递增.∴f（x）=x2sinx在[- π2 . π2]上是增函数；若x1+x2＜0.则x1＜-x2.∴f（x1）＜f（-x2）.即f（x1）＜-f（x2）.∴f（x1）+f（x2）＜0；同理若x1+x2＞0.可得f（x1）+f（x2）＞0；∴x1+x2≠0时.（x1+x2）（f（x1）+f（x2））＞0．对于（1）.取−π2≤x1=-x3≤π2.x2=0.则F（3）=（x1+x2+x3）•[f（x1）+f（x2）+f（x3）]=0.因此（1）正确；对于（2）.∵ x n=(−12)n(n∈N∗) .∴x1+x2+…+x n=−12[1−(−12)n]1−(−12)＜0.又f（2k-1）+f（2k）= (−12)2(2k−1)sin(−12)2k−1+ (−12)2•2ksin(−12)2k= (14)2k[−4sin(12)2k−1+sin(12)2k]＜0.∴F（2k）＞0对k∈N*恒成立.故（2）正确；对于（3）.如x1+x2+…+x n=0.F（n）=0时.若数列{x n}是等差数列.则x1+x2+…+x n＞0.则x1+x n＞0.f（x1）＞f（x n）.可得x2+x n-1＞0.….f（x2）＞f（x n-1）.…相加即可得到F（n）＞0.同理x1+x2+…+x n＜0.即有f（x1）+f（x2）+…f（x n）＜0.即F（n）＞0.则（3）正确．故选：D．【点评】：本题通过命题真假的判定.考查了新定义的函数的性质以及应用问题.函数的单调性与奇偶性问题.等差与等比数列的性质与应用问题.是综合题．17.（问答题.0分）已知函数f(x)=Asin(x+π4)， x∈R .且f(512π)=32．（1）求A的值．（2）若f(θ)+f(−θ)=32， θ∈(0，π2) .求f(34π−θ)．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用三角函数的解析式求出A的值．（2）利用三角函数关系式的恒等变换.求出cosθ的值.进一步求出sinθ的值.进一步求出结果．【解答】：解：（1）函数f(x)=Asin(x+π4)， x∈R .且f(512π)=32．所以：Asin（2π3）= 32.解得：A= √3．（2）f（θ）+f（-θ）= 32.则：√3[sin(θ+π4)+sin(−θ+π4)]=32.解得：cosθ=√64.由于：θ∈(0，π2) .则：sinθ=√104.所以：f(3π4−θ)=√3sin(3π4−θ+π4) = √3sinθ = √304【点评】：本题考查的知识要点：三角函数解析式的求法及三角函数的值得应用．18.（问答题.0分）已知函数f（x）=|2x-a|+a．（1）当a=2时.求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x-1|.当x∈R时.f（x）+g（x）≥3.求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）当a=2时.由已知得|2x-2|+2≤6.由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x-1|+|2x-a|+a≥3.得|x- 12 |+|x- a2|≥ 3−a2.由此能求出a的取值范围．【解答】：解：（1）当a=2时.f（x）=|2x-2|+2. ∵f（x）≤6.∴|2x-2|+2≤6.|2x-2|≤4.|x-1|≤2.∴-2≤x-1≤2.解得-1≤x≤3.∴不等式f（x）≤6的解集为{x|-1≤x≤3}．（2）不等式f （x ）+g （x ）≥3可化为|2x-1|+|2x-a|≥3-a. 即 |x −12|+|x −a2|≥3−a2. 当a≥3时.原不等式成立．当a ＜3时.由绝对值三角不等式可得 |x −12|+|x −a2|≥12|a −1| .∴ 12|a −1|≥3−a2＞0 . 平方得（a-1）2≥（3-a ）2. 解得2≤a ＜3.∴实数a 的取值范围是[2.+∞）．【点评】：本题考查含绝对值不等式的解法.考查实数的取值范围的求法.是中档题.解题时要认真审题.注意不等式性质的合理运用．19.（问答题.0分）已知函数y=f （x ）.x∈[a .b]的图象为曲线C.两端点A （a.f （a ））、B （b.f （b ））.点M （x 0.y 0）为线段AB 上一点.其中 x 0=a+λb1+λ. y 0=f (a )+λf (b )1+λ.λ＞0.点P 、Q 均在曲线C 上.且点P 的横坐标等于x 0.点Q 的纵坐标为y 0． （1）设f （x ）=sinx. x ∈[0，2π3] .λ=3.求点P 、Q 的坐标；（2）设 f (x )=1x . x ∈[12，2] .求△MPQ 的面积的最大值及相应λ的值； （3）设f （x ）=-x 2+2x.x∈[a .b].求证：点P 始终在M 点的上方．【正确答案】：【解析】：（1）设f （x ）=sinx. x ∈[0，2π3] .λ=3.则a=0.b= 2π3 .x 0= 0+3×2π31+3 = π2 .y 0= sin0+3sin 2π31+3=3√38 .sin π2 =1.sinx= 3√38 .x=arcsin 3√38 .∴P （ π2 .1）.Q （arcsin 3√38. 3√38 ）． （2）设 f (x )=1x. x ∈[12，2] 时.a= 12 .b=2.x 0= 12+2λ1+λ .y 0= 2+12λ1+λ.|MP|=y 0- 1x 0.|MQ|=x 0- 1y 0 .∴S Rt△MPQ = 12 ×|MP|×|MQ|= 12 ×（y 0- 1x 0 ）（x 0- 1y 0 ）= 12 （x 0y 0+ 1x 0y 0-2）.再用换元法和基本不等式.函数单调性可得． （3）根据凸函数的性质可得．【解答】：解（1）设f （x ）=sinx. x ∈[0，2π3] .λ=3.则a=0.b= 2π3 .x 0= 0+3×2π31+3 = π2.y 0=sin0+3sin2π31+3 =3√38. sin π2 =1.sinx=3√38 .x=arcsin 3√38. ∴P （ π2 .1）.Q （arcsin 3√38. 3√38 ）． （2）设 f (x )=1x. x ∈[12，2] 时.a= 12 .b=2.x 0= 12+2λ1+λ .y 0= 2+12λ1+λ . |MP|=y 0- 1x 0.|MQ|=x 0- 1y 0.∴S Rt△MPQ = 12 ×|MP|×|MQ|= 12 ×（y 0- 1x 0）（x 0- 1y 0）= 12 （x 0y 0+ 1x0y 0-2） ∵x 0y 0= 12+2λ1+λ × 2+12λ1+λ = λ2+174λ+1λ2+2λ+1 =1+94λ+1λ+2 ≤1+942√λ•1λ+2= 2516 （当且仅当λ=1时取等）.令t=x 0y 0∈（1. 2516 ].∴S Rt△MPQ = 12 （t+ 1t -2）. ∵y= 12( t+ 1t -2）在 （1. 2516 ]上是递增函数. ∴t= 2516 时.y 取最大值 12 （ 2516 + 12516-2）= 81800 .∴λ=1时.△MPQ 的面积去最大值81800． （3）设f （x ）=-x 2+2x.x∈[a .b].∵f （x ）为[a.b]上的凸函数. ∴根据凸函数的性质得f （x 0）＞y 0. 点P 始终在M 点的上方．【点评】：本题考查了函数与方程的综合运用.属难题． 20.（问答题.0分）已知椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 的右焦点为F （1.0）.且点P （1. 32）在椭圆C 上；（1）求椭圆C 的标准方程； （2）过椭圆C 1： x 2a 2+y 2b 2−53=1上异于其顶点的任意一点Q 作圆O ：x 2+y 2= 43的两条切线.切点分别为M 、N （M 、N 不在坐标轴上）.若直线MN 在x 轴.y 轴上的截距分别为m 、n.证明：13m 2+1n 2为定值； （3）若P 1、P 2是椭圆C 2： x 2a 2+3y 2b 2=1 上不同两点.P 1P 2⊥x 轴.圆E 过P 1、P 2.且椭圆C 2上任意一点都不在圆E 内.则称圆E 为该椭圆的一个内切圆.试问：椭圆C 2是否存在过焦点F 的内切圆？若存在.求出圆心E 的坐标；若不存在.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由焦点坐标确定出c 的值.根据椭圆的性质列出a 与b 的方程.再将P 点坐标代入椭圆方程列出关于a 与b 的方程.联立求出a 与b 的值.确定出椭圆方程即可．（2）由题意：确定出C 1的方程.设点P （x 1.y 1）.M （x 2.y 2）.N （x 3.y 3）.根据M.N 不在坐标轴上.得到直线PM 与直线OM 斜率乘积为-1.确定出直线PM 的方程.同理可得直线PN 的方程.进而确定出直线MN 方程.求出直线MN 与x 轴.y 轴截距m 与n.即可确定出所求式子的值为定值． （3）依题意可得符合要求的圆E.即为过点F.P 1.P 2的三角形的外接圆．所以圆心在x 轴上．根据题意写出圆E 的方程．由于圆的存在必须要符合.椭圆上的点到圆E 距离的最小值是|P 1E|.结合图形可得圆心E 在线段P 1P 2上.半径最小．又由于点F 已知.即可求得结论．【解答】：解：（1）∵椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 的右焦点为F （1.0）.且点P （1. 32 ）在椭圆C 上；∴ {c =11a 2+94b 2=1a 2=b 2+c 2.解得a=2.b= √3 . ∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1 ．（2）由题意：C 1： x 24 + 3y 24 =1.设点P （x 1.y 1）.M （x 2.y 2）.N （x 3.y 3）. ∵M .N 不在坐标轴上.∴k PM =-1k OM=- x 2y 2.∴直线PM 的方程为y-y 2=- x 2y 2（x-x 2）. 化简得：x 2x+y 2y= 43. ① .同理可得直线PN 的方程为x 3x+y 3y= 43 . ② . 把P 点的坐标代入 ① 、 ② 得 {x 2x 1+y 2y 1=43x 3x 1+y 3y 1=43. ∴直线MN 的方程为x 1x+y 1y= 43 . 令y=0.得m= 43x 1.令x=0得n= 43y 1.∴x 1= 43m .y 1= 43n .又点P在椭圆C1上.∴（43m ）2+3（43n）2=4.则13m2 + 1n2= 34为定值．（3）由椭圆的对称性.可以设P1（m.n）.P2（m.-n）.点E在x轴上.设点E（t.0）. 则圆E的方程为：（x-t）2+y2=（m-t）2+n2.由内切圆定义知道.椭圆上的点到点E距离的最小值是|P1E|.设点M（x.y）是椭圆C上任意一点.则|ME|2=（x-t）2+y2= 34x2−2tx+t2+1 .当x=m时.|ME|2最小.∴m=- −2t3=4t3. ③ .又圆E过点F.∴（- √3−t）2=（m-t）2+n2. ④点P1在椭圆上.∴ n2=1−m24. ⑤由③ ④ ⑤ .解得：t=- √32或t=- √3 .又t=- √3时.m=- 4√33＜-2.不合题意.综上：椭圆C存在符合条件的内切圆.点E的坐标是（- √32.0）．【点评】：本题考查了直线与圆锥曲线的综合问题.椭圆的标准方程.韦达定理.以及椭圆的简单性质.熟练掌握椭圆的简单性质是解本题的关键．21.（问答题.0分）已知项数为m（m∈N*.m≥2）的数列{a n}满足条件：① a n∈N*（n=1.2.….m）② a1＜a2＜…＜a m.若数列{b n}满足b n= (a1+a2+⋯+a m)−a nm−1∈N∗（n=1.2.….m）.则称{b n}为数列{a n}的“关联数列”．（1）数列1.5.9.13.17是否存在“关联数列”？若存在.写出其“关联数列”.若不存在.请说明理由；（2）若数列{a n}存在“关联数列”{b n}.证明：a n+1-a n≥m-1（n=1.2.….m-1）；（3）已知数列{a n}存在“关联数列”{b n}.且a1=1.a m=2049.求数列{a n}项数的最小值与最大值．【正确答案】：【解析】：（1）求出b1=11.b2=10.b3=9.b4=8.b5=7.均为正整数.从而1.5.9.13.17存在“关联数列”.且其“关联数列”为11.10.9.8.7．（2）由数列{a n}存在“关联数列”{b n}.得到a n+1-a n＞0.（1≤n≤m-1）.且b n，b n+1∈N∗ .从而b n-b n+1=a n+1−a nm−1∈N *.由此能证明a n+1-a n ≥m -1（n=1.2.….m-1）．（3）a 1=1.a m =2049.其中.m≥2.当m=2时.数列1.2049存在“关联数列”：2049.1.从而m 的最小值为2．由a n+1-a n ≥m -1.（n=1.2.….m-1）.得a n -1=（a m -a m-1）+（a m-1-a m-2）+…+（a 2-a 1）≥ (m −1)+(m −1)+⋯+(m −1)⏟m−1个=（m-1）2.推导出m≤46.（m∈N *）.由数列{a n }存在“关联数列”{b n }知.m-1取2.22.23.….211.从而m 取3.5.9.17.33.65.….2049.由此能求出m 的最大值为33．【解答】：解：（1）解：∵ b 1=(1+5+9+13+17)−15−1=11 . b 2=(1+5+9+13+17)55−1=10.b 3=(1+5+9+13+17)−95−1 =9. b 4=(1+5+9+13+17)−135−1=8.b 5=(1+5+9+13+17)−175−1=7.均为正整数.∴1.5.9.13.17存在“关联数列”. 且其“关联数列”为11.10.9.8.7．（2）证明：∵数列{a n }存在“关联数列”{b n }. ∴a n+1-a n ＞0.（1≤n≤m -1）.且 b n ，b n+1∈N ∗ . ∴b n -b n+1= (a 1+a 2+⋯+a m )−a nm−1-(a 1+a 2+a 3+⋯+a m )−a n+1m−1=a n+1−a nm−1∈N *. ∴a n+1−a nm−1≥1.∴a n+1-a n ≥m -1（n=1.2.….m-1）． （3）解： ① ∵a 1=1.a m =2049.其中.m≥2. 当m=2时.a 1=1.a 2=2049.有b 1=(1+2049)−12−1=2049.b 2=(1+2049)−20192−1=1均为正整数.即当m=2时.数列1.2049存在“关联数列”：2049.1. ∴m 的最小值为2．② 一方面.由（2）知：a n+1-a n ≥m -1.（n=1.2.….m-1）.∴a n -1=（a m -a m-1）+（a m-1-a m-2）+…+（a 2-a 1）≥ (m −1)+(m −1)+⋯+(m −1)⏟m−1个=（m-1）2.∴（m-1）2≤2048.∴m≤46.（m∈N *）. 另一方面.由数列{a n }存在“关联数列”{b n }知. b 1-b m =(a 1+a 2+⋯+a m )−a 1m−1−(a 1+a 2+⋯+a m )−a mm−1=a m −a 1m−1=2048m−1 ∈N *.∴m -1是2048的正约数.m-1取2.22.23.….211. 即m 取3.5.9.17.33.65.….2049. 综上所述.m 的最大值为33.当m=33时.可取a n =64n-63.（n=1.2.….33）.有：b n= (a1+a2+⋯+a m)−a nm−1 = (1+65+129+⋯+2049)−(64n−63)33−1=1059-2n∈N*符合条件.∴m的最大值为33．【点评】：本题考查关联数列的判断.考查数列不等式的证明.考查实数的最大值的求法.考查推理论证能力与运算求解能力.属于中档题．。
上海市徐汇中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题
上海市徐汇中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
()22240x a x a +-+=有两个不相等的实数根.
(1)若命题①为真，求a 的取值范围；
(2)若命题①、②中至多有一个命题为真，求a 的取值范围.
19．如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其它各面用钢筋网围成．
（1）现有可围36m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
（2）若使每间虎笼面积为224m ，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
20．已知函数()|2|f x x a a =-+.
（1）当a=2时，求不等式()6f x £的解集；
（2）设函数()|21|g x x =-.当x R Î时，()()3f x g x +³，求a 的取值范围.21．已知关于x 的不等式()()2440kx k x --->，其中k ÎR ；
(1)当
1k =-，求不等式的解集A ；
(2)当k 变化时，试求不等式的解集A ；
(3)对于不等式的解集A ，满足
Z A B Ç=.
试探究集合B 能否为有限集，若能，求出使
得集合B 中元素最少的k 的所有取值，并用例举法表示此时的集合B ，若不能，说明理由.。
徐汇中学高一期中(2021
徐汇中学高一期中数学试卷2021.04一. 填空题1. 点P 从圆心在原点O 的单位圆上点(1,0)出发，沿顺时针方向运动34π弧长，到达点Q ， 则点Q 的坐标是 2. 已知角α满足1sin cos 5αα+=，则tan cot αα+的值为 3. 已知角α终边上有一点(4,3)P -，则sin()2πα+=4. 已知12()1f x x =-，则1(3)f -=5. 若函数2sin cos y x a x =+的最大值为3，则a 的值为6. △ABC 中，cos cos b A a B =，则此三角形的形状为7. 函数31()31x x f x -=+是 函数（填奇或偶）8. 如图所示，电视塔DC ，在地面上一点A 测得电视塔尖C 的仰角是45°，再向塔底方向前进100米到达点B ，此时测 得电视塔尖C 的仰角为60°，则电视塔的高度是 米 （精确到0.1米）9. 已知3cos()cos sin()sin 5αβααβα+++=-，则cos2β= 10. 函数()sin sin()3f x x x π=+-图像的对称轴方程为11. 设12,αα∈R ，且121202020212sin 2sin(2)αα+=++，则12tan()αα+=12. 平面直角坐标系中，将函数()y f x =，x D ∈上满足*x ∈N ，*y ∈N 的点(,)P x y ，称为函数的“正格点”，若函数()sin f x mx =，x ∈R ，(1,2)m ∈与函数()lg g x x =的图像存在正格点交点，则这两个函数图像的所有交点个数为 个二. 选择题13.“tan 0x =”是“0x =”成立的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要 14. 函数sin |sin |y x x =-的值域是（ ）A. {0}B. [2,2]-C. [0,2]D. [2,0]-15. 函数()y f x =与函数()y g x =的图像如图1和图2，则函数()()y f x g x =⋅的图像可 能是（ ）A. B. C. D.16. 已知函数()cos(sin )f x x =，()sin(cos )g x x =，则下列说法正确的是（ ） A. ()f x 与()g x 的定义域都是[1,1]- B. ()f x 为奇函数，()g x 为偶函数C. ()f x 的值域为[cos1,1]，()g x 的值域为[sin1,sin1]-D. ()f x 与()g x 都不是周期函数三. 解答题 17. 已知1tan()42πα+=. （1）求tan α的值；（2）求2sin cos sin cos αααα-+的值.18. 已知函数2()23sin cos 2sin 1f x x x x =+-. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 在[0,]2x π∈上的值域.19. △ABC 中，60A =︒，3a =. （1）若2b =，求c ； （2）求三角形面积的最大值.20. 某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面花坛是由以点O 为圆心的两个同心圆弧AD 、弧BC 以及两条线段AB 和CD 围成的封闭图形，花坛设计周长为30米，其中大圆弧AD 所在圆的半径为10米，设小圆弧BC 所在圆的半径为x 米（010x <<），圆心角为θ弧度.（1）求θ关于x 的函数关系式；（2）在装饰花坛边缘时，两条直线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米，设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，当x 为何值时，y 取得最大值？21. 某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+（0ω>，||2πϕ<）在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：x 23π-3π103πx ωϕ+0 2π π32π 2πsin()x ωϕ+0 10 1-0 ()f x3（1）请填写上表的空格处，并画出函数()f x 图像或者写出函数()f x 的解析式（注意： 二者选做其一；二者都做，错误之处都要扣分）；（2）将函数()f x 的图像向右平移23π个单位，再所得图像上各点的横坐标缩小为原来 的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，求123log [()]2y g x =-的单调递增区间； （3）在（2）的条件下，若23()()()13F x g x a g x =+⋅-在(0,2021)x π∈上恰有奇数个 零点，求实数a 与零点个数n 的值.参考答案一. 填空题1. 2. 2512- 3. 45- 4. 16 5. 5 6. 等腰三角形 7. 奇 8. 236.6 9. 725- 10. 23x k ππ=+，k ∈Z 11. 1 12. 5二. 选择题13. B 14. D 15. A 16. C三. 解答题17.（1）13-；（2）52-. 18.（1）T π=；（2）[1,2]-.19.（1）1；（2. 20.（1）10210x x θ+=+；（2）当1x =时，花坛的面积与装饰总费用的比最大，最大值为310.21.（1）1())23f x x π=+；（2）()g x x =，5[2,2]26k k ππππ++（k ∈Z ）；（3）2a =-，3031n =.。
上海市徐汇中学2021-2022学年高三上学期期中考试数学试题含答案
11.三行三列的方阵
a11 a21
a12 a22
a13 a23
中有
9
个数
aij
(i
1，2，3；j
1，2，3)
，从中任取三个数，
a31 a32 a33
则至少有两个数位于同行或同列的概率是_______． (结果用分数表示)
12.若数列{an}满足“对任意正整数
n，
an
a 2
n+ 2
a n+1 恒成立”，则称数列{an}为“差
7. 在无穷等比数列 an中, a1
3，a2
1，,则
lim
n
a1
a3
a2n1
____________.
8.
x2 设 F1、F2 分别为双曲线 a2
y2 b2
1a＞0，b＞0 的左右焦点,若在双曲线右支上存在点 P
满足
PF1
PF2
3 5
F1F2
,则该双曲线的渐近线方程是_______________._.
（1）arctan 2 5 ；（2）2 2 5
D
5
A
18.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，
C B
第 2 小题满分 8 分．
在△ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ，且 2 cos 2A+4 cos(B C) 3 0 .
7. 在无穷等比数列 an中, a1
3，a2
1，,则
lim
n
a1
a3
a2n1
____________.
33 2
8.
x2 设 F1、F2 分别双曲线 a2
2021-2022学年上海市徐汇区高一年级上册学期期中数学试题【含答案】
2021-2022学年上海市徐汇区高一上学期期中数学试题一、填空题1．已知_____．x y <=【答案】y x-【分析】根据根式与指数幂的互化即可求出结果.【详解】，x y <．∴y x =-故答案为：．y x -2．满足的集合有_________个{}{},,,a M a b c d ⊆⊂≠M 【答案】7【分析】由，可知集合中必有元素，由，可知中还有元素，{}a M ⊆M a {},,,M a b c d ⊂≠M b ，，中的个，个，或个，进而分析集合的个数.c d 012M 【详解】由，知集合中必有元素，{}{},,,a M a b c d ⊆⊂≠M a 且中还有元素，，，中的个，个，或个，M b c d 012当中有一个元素时，有个，M M {}a 1当中有两个元素时，有，，个，M M {},a b {},a c {},a d 3当中有三个元素时，有，，个，M M {},,a b c {},,a b d {},,a c d 3综上，集合个数有.M 1337++=故答案为：73．设全集为，集合是的子集，用交、并、补运算符号表示图中阴影部分集合为U ,A B U _________．【答案】()U A B 【分析】根据图，得到集合关系即可.Venn 【详解】由图可知元素属于但不属于，Venn A B 即阴影部分对应的集合为，()U A B 故答案为：()U A B 4．函数的图像不经过第_________象限121y x =---【答案】二【分析】根据反比例函数的图象变换，作图判断即可.【详解】解：该函数图像由向右平移1个单位，向下平移一个单位所得，如下图：1y x =-所以不经过第二象限．故答案为：二.5．设①②④⑤上述各式中“都,R,x y ∈0,0;x y ≠≠220;x y +>0;=0;xy ≠220;x y +≠,x y 不为零”的充分条件是 _________．【答案】①④【分析】根据给定条件，利用充分条件的定义直接判断作答.【详解】，则都不为零，①是；0,0x y ≠≠,x y ，取，不等式成立，即不是都不为零的充分条件，220x y +>1,0x y ==220x y +>220x y +>,x y ②不是；，则不是都不为零的充分条件，③不是；=0x y ==0=,x y ，则，即是都不为零的充分条件，④是；0xy ≠0,0x y ≠≠0xy ≠,x y ，取，不等式成立，即不是都不为零的充分条件，220x y +≠1,0x y ==220x y +≠220x y +≠,x y⑤不是，所以都不为零的充分条件是①④.,x y 故答案为：①④6．已知，则的大小关系为 _________．,,a b a b a b m n a ba b-+≠==-+,m n 【答案】##m n ≤n m≥【分析】利用绝对值三角不等式变形，再借助媒介数比较大小作答.【详解】，则，当且仅当或时取等号，||||a b ≠1a b a b m a ba b--=≤=--0a b <≤0a b >≥，当且仅当或仅只一个为0时取等号，1a b a b n a ba b++=≥=++0ab >,a b 显然当或时，，0a b <≤0a b >≥1m n ==所以的大小关系为．,m n m n ≤故答案为：m n≤7．若、是方程的两个根，则__________.lg a lg b 22410x x -+=2(lg )a b =【答案】2【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得，，再由lg lg 2a b +=1lg lg 2a b ⋅=，运算求得结果．()()222lg lg lg lg lg 4lg lg a a b a b a b b ⎛⎫=-=+-⋅ ⎪⎝⎭【详解】、是方程的两个根，，lg a lg b 22410x x -+=1680∆=->，，lg lg 2a b ∴+=1lg lg 2a b ⋅=，()()2221lg lg lg lg lg 4lg lg 4422a a b a b a b b ⎛⎫∴=-=+-⋅=-⨯= ⎪⎝⎭故答案为：2.8．集合，且为单元素集，则实数的取值范围是(){}(){},|1,,|A x y y ax B x y y x ==+==A B ⋂a _________．【答案】或1a ≥1a ≤-【分析】由为单元素集可知集合表示的图像仅有一个交点，由此求解实数的取值范围A B ⋂,A B a 即可.【详解】由可知集合表示经过定点的直线，1y ax =+A ()0,1由可知集合表示表示第一、二象限的角平分线（含原点），y x=B 因为为单元素集，所以与的图像仅有一个交点，A B ⋂1y ax =+y x=即直线与两条射线中的一条相交或经过原点，1y ax =+y x=所以或，1a ≥1a ≤-故答案为：或1a ≥1a ≤-9．设关于的不等式的解集为，且，则实数m 的取值范围是x 244x x m x -+≤+A 0,2A A ∈∉____．【答案】[)4,2--【分析】根据列不等式，由此求得的取值范围.0,2A A ∈∉m 【详解】由于关于的不等式的解集为，且，x 244x x m x -+≤+A 0,2A A ∈∉所以①，446m m ⎧≤⎪⎨->⎪⎩其中；或，即或.444m m ≤⇔-≤≤46m ->⇔46m -<-46m ->2m <-10m >所以①的解集为，[)4,2--也即的取值范围是.m [)4,2--故答案为：[)4,2--10．已知全集为，集合，，集合R {}22|190D x x ax a =-+-={}2|22,N B y y x x y *==-++∈，且集合满足，则实数的值是_________．|Z C x y x ⎧⎫⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭D ,R D B D C ≠∅= a 【答案】2-【分析】根据集合交集、并集、补集的性质，结合列举法、二次函数的性质、分式不等式的解法进行求解即可.【详解】因为()222213y x x x =-++=--+所以集合，{}{}2|22,N 1,2,3B y y x x y *==-++∈=由20121xx x -≥⇒-<≤+所以集合，{}|Z =0,1,2C x y x ⎧⎫⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭集合且集合满足，{}22|190,D x x ax a =-+-=D ,R D B D C ≠∅= 所以，所以3D ∈293190a a -+-=解得或，5a =2a =-经检验，不符合，舍去，满足题意，即．5a =R D C = 2a =-2a =-故答案为：2-11．已知a >0，b >0，若不等式－－≤0恒成立，则m 的最大值为____________．3m a b +3a 1b 【答案】16【分析】问题转化为恒成立，利用基本不等式求得的最小值，31(3)m a b a b ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭ 31(3)a b a b ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭故答案为：【详解】对恒成立， 3131(3)3m m a b a b a b a b ⎛⎫+⇒+⋅+ ⎪+⎝⎭ 0,0a b >>，等号成立当且仅当，3133(3)1010616b a a b a b a b ⎛⎫+⋅+=+++= ⎪⎝⎭ a b =，∴16m ≤故答案为：1612．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所示，为线段上的点，且为的中点，以为直径作半圆，C AB ,,AC a BC b O ==AB AB 过点作的垂线交半圆于，连结，过点作的垂线，垂足为，若不添加辅C AB D ,,OD AD BD C OD E 助线，则该图形可以完成的所有无字证明为_________．（填写序号）①②)0,02a ba b +≥＞＞；()22+20,0;a b ab a b ≥＞＞③()20,011a b a b≥+＞＞()0,02a ba b +≥＞＞【答案】①③【分析】先明确2a b+的比例式，结合不等关系，即可证明①③选项；由于在该图中没有相应的线段与之对应，22a b +可判断②④选项.【详解】由题意可知，,2+=+===a b AB a b OA OB OD 由 可知，即，Rt Rt ACD DCB ∽CD ACBC CD =2CD AC BC ab =⋅=所以；在中，，即CD =Rt OCD △OD CD >0,0)2a ba b +>>>当时，点重合， ，此时，所以①正确；OD AB ⊥,O C a b =0,0)2a ba b +=>>在中，可得即，Rt OCD △Rt Rt DEC DCO ∽ CD DEDO CD =2CD DE OD =⋅所以，222112CD ab ab DE a bOD a b a b ====+++由于，所以，CD DE >111a b >+当时，,此时，所以③正确；a b =CD DE =111a b =+由于在该图中没有相应的线段与之对应，故②④中的不等式无法通过这种几何方法来证明，22a b +故答案为：①③．二、单选题13．下列说法中，真命题的个数是（ ）①“”是“且”的必要非充分条件；a c b d +>+a b >c d >②“”的充要条件是“”；A B A ⋃=B A ⊆③空集是任何集合的真子集A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断①②，利用空集的意义判断③作答.【详解】①当且时，由不等式性质得，但是当成立时，a b >c d >a c b d +>+a c b d +>+且不一定成立，如，满足，a b >c d >4,5,3,1a b c d ====a c b d +>+所以“”是“且”的必要非充分条件，①正确；a cb d +>+a b >cd >②因为，所以“”的充要条件是“”，②正确；A B A B A =⇔⊆ A B A ⋃=B A ⊆③因为空集是任何非空集合的真子集，所以③错误，所以真命题的个数是2．故选：C14．图中C 1、C 2、C 3为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以y x α=α是（ ）A ．、、B ．、、C ．、、D ．、、1231-1-312121-31-123【答案】D【分析】根据幂函数在第一象限内的图象性质，结合选项即可得出指数的可能取值．y x α=α【详解】由幂函数在第一象限内的图象，结合幂函数的性质，y x α=可得：图中C 1对应的，C 2对应的，C 3对应的，0α<01α<<1α>结合选项知，指数的值依次可以是．α11,,32-故选：D.15．设都是正数，且，则下列等式正确的是（ ）,,a b c 82025a b c==A ．B ．C ．D ．1243c b a =-111c a b =+121a cb =-122b c a =+【答案】A【分析】根据给定条件，利用指数式、对数式互化，再利用对数换底公式及对数运算求解作答.【详解】因为都是正数，设，则，,,a b c 820251a b c M ===>82025log ,log ,log a M b M c M===即有，显然，111log 8,log 20,log 25M M M a b c ===4log 25log 82log 203M M M +=所以，即，A 正确；1423c a b +=1243c b a =-，B 不正确；11132log 8log 20log 25log 05M M M M a b c +-=+-=≠，C 不正确；12132()log 8log 202log 25log 0125M M M M a c b --=+-=≠，D 不正确.2212log 252log 8log 20log 20000M M M M c a b +-=+-=≠故选：A16．已知a ，b ，，若关于x 不等式的解集为，R c ∈01a c x b x x ≤++≤-[]{}()123321,0x x x x x x ⋃>>>则（ ）A ．不存在有序数组，使得(,,)a b c 211x x -=B ．存在唯一有序数组，使得(,,)a b c 211x x -=C ．有且只有两组有序数组，使得(,,)a b c 211x x -=D ．存在无穷多组有序数组，使得(,,)a b c 211x x -=【答案】D【分析】根据，不等式转化为一元二次不等式的解的问题，利用两个一元二次不等式解集有1>0x 交集的结论，得出两个不等式解集的形式，从而再结合一元二次方程的根与系数关系确定结论．【详解】由题意不等式的解集为，20x bx a c x ≤++≤-[]{}()123321,0x x x x x x ⋃>>>即的解集是，22x bx a x bx a c x ⎧++≥⎨++≤-⎩[]{}123,x x x ⋃则不等式的解是或，不等式的解集是，20x bx a ++≥{|x 2x x ≤3x x ≥}2x bx a c x ++≤-13{|}x x x x ≤≤设，，，1x m =21x m =+3x n =(1)m n +<所以，，0c n -=n c =和是方程的两根，1m +n 20x bx a ++=则，，11b m n m c -=++=++(1)a m n mc c =+=+又，22(1)m bm a m m m c mc c c m ++=+---++=-所以是的一根，m 2x bx a c x ++=-所以存在无数对，使得．(,,)a b c 211x x -=故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查分式不等式的解集问题，解题关键是转化一元二次不等式的解集，从而结合一元二次方程根与系数关系得出结论．三、解答题17．已知且21,0,abc a b c =++=0c >(1)求证：a b +≤-(2)求的最小值，并求此时与的值.c a b 【答案】(1)证明见解析(2)，此时c a b ==【分析】（1）将已知等式变形可得，，即可判断，，利用基本不210ab c =>0a b c +=-<a<00b <等式即可证得结论．（2）由（1）中结论及可得，计算可得的取值范围，从而得解．21ab c =12c c -- c 【详解】（1）证明：因为，，，21abc =0a b c ++=0c >所以，，210ab c =>0a b c +=-<所以，，a<00b <所以时等号成立，()()a b -+- a b =所以a b +-（2）解：由（1）得，12c c --因为，所以0c >c 当且仅当a b a b -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩a b ==所以，此时c a b ==18．本市某区大力开展民心工程，近几年来对全区的老房子进行平坡（“平改坡”是指在建筑结2m a 构许可条件下，将多层住宅平屋面改建成坡屋顶，并对外墙面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为），且每年平改坡面积的百分比相等.若改造到面积的一半时，所用时间需10年..（1）求每年平改坡的百分比；（2）问到今年为止，该平改坡工程已进行了多少年？【答案】（1）；（2）工程已经进行了5年6.70%【分析】（1）设出每年平改坡的百分比，根据改造到面积的一半时，所用时间需年列方程，解方10程求得每年平改坡的百分比.（2得该平改坡工程已进行的时间.【详解】（1）设每年平改坡的百分比为，则，即，解得()01x x <<()10112a x a-=110112x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭110112x ⎛⎫=-≈⎪⎝⎭0.0670 6.70%=（2）设到今年为止，该工程已经进行了年，则，即，解得所n ()1na x -=11021122n ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5n =以.到今年为止，该工程已经进行了年.5【点睛】本小题主要考查实际生活中的数学应用问题，考查指数方程的解法，属于基础题.19．（1）在中，角所对的边分别是，求证：中至少有一个角大于或等于ABC ,,A B C ,,a b c ,,A BC ；60︒（2）已知为不全相等的正数，且，求．1abc =,,a b c 111a b c ++＜【答案】（1） 证明见解析；（2）证明见解析 ．【分析】（1）根据已知条件，结合反证法，即可求解．（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．【详解】证明：（1）假设结论不成立，即，，，060A <<︒060B <<︒060C <<︒则，这与相矛盾，所以假设不成立，180A B C ++<︒=180A B C ++︒所以中至少有一个角大于或等于；,,A B C 60︒（2）因为都是正数，且，,,a b c 1abc =所以111111a b b c a c +≥=+≥=+≥=以上三个不等式相加，得，11122a b c ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭又因为为不全相等的正数，所以取不到等号，,,a b c．111a b c ++＜20．已知函数f （x ）＝（m +1）x 2﹣mx +m ﹣1（m ∈R ）．(1)若不等式的解集是空集，求m 的取值范围；()0f x <(2)当m ＞﹣2时，解不等式f （x ）≥m ；(3)若不等式的解集为D ，若[﹣1，1]⊆D ，求m 的取值范围．()0f x ≥【答案】(1)的取值范围为；m ⎫+∞⎪⎭(2)当，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当1m =-[1,)+∞1m >-1,[1,)1m ⎛⎤-∞-+∞ ⎥+⎝⎦ 时，不等式的解集为；21m -<<-11,1m ⎡⎤-⎢+⎣⎦(3)．⎫+∞⎪⎪⎭【分析】（1）分和两种情况求解即可，10m +=10m +≠（2）分三种情况解不等式，1,1,21m m m =->--<<-（3）由条件知对任意的，不等式恒成立，即恒成立，[1,1]x ∈-()2110m x mx m +-+-≥2211x m x x -+≥-+然后求出的最大值即可2211x y x x -+=-+【详解】（1）当时，即，则由，得，不合题意，10m +=1m =-()20f x x =-<2x <当，即时，由不等式的解集为得10m +≠1m ≠-()0f x <∅，解得210Δ4(1)(1)0m m m m +>⎧⎨=-+-≤⎩m ≥所以的取值范围为；m ⎫+∞⎪⎭（2）因为，所以，即，()f x m ≥()2110m x mx +--≥[(1)1](1)0m x x ++-≥当，即时，解得，所以不等式的解集为，10m +=1m =-1x ≥[1,)+∞当，即时，，10m +>1m >-1()(1)01x x m +-≥+因为，所以不等式的解集为，101m -<+1,[1,)1m ⎛⎤-∞-+∞ ⎥+⎝⎦ 当，即时，，10+<m 21m -<<-1()(1)01x x m +-≤+因为 ，所以，所以，21m -<<-110m -<+<111m ->+所以不等式的解集为，11,1m ⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦综上，当，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当1m =-[1,)+∞1m >-1,[1,)1m ⎛⎤-∞-+∞ ⎥+⎝⎦ 时，不等式的解集为；21m -<<-11,1m ⎡⎤-⎢+⎣⎦（3）因为不等式的解集为，且，()0f x ≥D []1,1D -⊆所以对任意的，不等式恒成立，[1,1]x ∈-()2110m x mx m +-+-≥即，22(1)1m x x x -+≥-+因为22131()024x x x -+=-+>所以恒成立，22212111x x m x x x x -+-≥=-+-+-+令，则，，2t x =-[1,3]t ∈2x t =-所以，2222131(2)(2)1333x t t x x tt t t t t -===-+---+-++-由基本不等式可得，即时取等号，3y tt =+≥=3t t =t 所以当时，取最大值，最大值为，2x =221x x x --+1-+=所以的取值范围为.m ⎫+∞⎪⎪⎭21．已知集合，对于的一个子集，若存在不大于的正整数，使得{}()*1,2,3,,2N A n n =∈ A S n m 对中的任意一对元素，都有，则称具有性质．S 12,s s 12s s m -≠S P (1)当时，试判断集合和是否具有性质？并说10n ={}|9B x A x =∈>{}|31,N *C x A x k k =∈=-∈P 明理由；(2)当时，若集合具有性质，1000n =S P ①判断集合是否一定具有性质？并说明理由；{}2021|T x x S =-∈P ②求集合中元素个数的最大值．S 【答案】(1)不具有性质，具有性质，理由见解析B PC P (2)①具有性质，理由见解析 ；②T P 1333【分析】（1）当时，集合，，根据性10n ={}1,2,3,,19,20A = {}{}|910,11,12,,19,20B x A x =∈= ＞质的定义可知其不具有性质；，令，利用性质的定义P P {}|31,N *C x A x k k =∈=-∈110m =<P 可验证；（2）当时，则，1000n ={}1,2,3,,1999,2000A = ①根据，任取，其中，可得，利用性{}2021|T x x S =-∈02001t x T =-∈0x S ∈0120012000x ≤-≤质的定义即可验证；P ②设集合有个元素，由①得，任取一个元素，则与中必有一个不超S q ,12000x S x ∈≤≤x 2001x -过，从而得到集合与集合中必有一个至少存在一半元素不超过，然后利用性质的定1000S T 1000P 义进行分析即可求出，即，解此不等式即可得出答案.20002q q q r +≤+≤20002q q +≤【详解】（1）当时，集合，10n ={}1,2,3,,19,20A = 不具有性质，{}{}|910,11,12,,19,20B x A x =∈= ＞P 因为对任意不大于的正整数，都可以找到该集合中的两个元素与，使得10m 110b =210b m =+成立，12b b m-=集合具有性质，{}|31,N *C x A x k k =∈=-∈P 因为可取，对于该集合中任一元素，110,m =<()11221231,31,N *c k c k k k =-=-∈都有；121231c c k k -=-≠（2）当时，则，1000n ={}1,2,3,,1999,2000A = ①若集合具有性质，那么集合一定具有性质，S P {}2021|T x x S =-∈P 首先因为，任取，其中，{}2021|T x x S =-∈02001t x T =-∈0x S ∈因为，所以，S A ⊆{}01,2,3,,2000x ∈ 从而，即，所以，0120012000x ≤-≤t A ∈T A ⊆由具有性质，可得存在不大于的正整数，S P 1000m 使得对中任意一对元素，都有，S 12,s s 12s s m -≠对于上述正整数，从集合中任取一对元素，其中m {}2021|T x x S =-∈11222001,2001t x t x =-=-，则有，12,x x S ∈1212t t s s m -=-≠所以集合具有性质；{}2021|T x x S =-∈P ②设集合有个元素，由①得，若集合具有性质，那么集合一定具有性质S q S P {}2021|T x x S =-∈，P 任取一个元素，则与中必有一个不超过，,12000x S x ∈≤≤x 2001x -1000所以集合与集合中必有一个至少存在一半元素不超过，S T 1000不妨设中有个元素不超过，分别记为，S ,N *2q r r r ⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭100012,,,r b b b 由集合具有性质，得存在正整数，使得对中任意两个元素S P 1000m ≤S ，都有，所以都不是中的元素，12,s s 12s s m -≠12,,,r b m b m b m +++ S 又，故都是中的元素，100010002000r b m +≤+=12,,,r b m b m b m +++ A 即集合中至少有个元素不在子集中，A r S 因此，所以，解得，20002q q q r +≤+≤20002q q +≤1333q ≤当时，取，{}1,2,,665,666,1334,,1999,2000S = 667m =易得集合中的任意两个元素，都有，S 12,s s 12667s s -≠即集合具有性质，此时集合中有个元素，S P S 1333因此集合中元素个数的最大值为．S 1333【点睛】本题考查集合之间包含关系的判断方法，以及元素与集合之间的关系等基础知识，是新定义问题，在解题时注意对新概念的理解与把握是解题的关键，此题对学生的抽象思维能力要求较高，特别是对数的分析.。
2024-2025学年上海市徐汇区高一上学期期中数学质量检测试题
2024-2025学年上海市徐汇区高一上学期期中数学质量检测试题（说明：本试卷满分160分，考试时间120分钟，本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据．）考试说明：试卷最后的附加题为非必答题，分值10分一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分）1. 在实数范围内，的四次方根是______．16812. 已知，则的值为______．{}{0,0,x ⊂x 3. 比较下列两数的大小关系，______的大小（填、或符号）4000.25000.3><=4. 关于的不等式的解集为．若，，则的取值范围是______．x 1ax x a -≤-A 3A ∈4A ∉a 5. 函数的值域是R ，则a 的取值范围是________()2lg 1y ax ax =++6. 已知，，则方程不同解的个数为()32x f x x +=-()()(),0,0f x x g x f x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩()33g x x =-______．7. 在区间上恰有一个x 满足方程，则的取值范围为______．[]22-,2210mx x --=m 8. 已知是常数，命题：存在实数，使得．若是假命题，则的a p x 12220xxa -⋅+-<p a 取值范围是______．9. 函数取到最小值时，实数x 的取值范围是______．()()311kk y k x k==⋅+-⋅∑10. 已知的最大值为______．0x >11. 已知，记集合，()2)R (f x x ax b a b =++∈、(){}0A x f x =≤．若，则a 的取值范围为_____．()(){}10|B x f f x =+≤A B =≠∅12. 已知，．函数的图像是一个中()111124f x x x x =+++--()2321021x x g x -⋅-=+()y f x =心对称图形．若函数与函数的图像交点分别为，，…，()y f x =()y g x =()11,x y ()12,x y （为正整数），则_____．注：(),m m x y m ()1mi i i x y =+=∑．()()()()11221miim m i x y x y xy x y =+=++++++∑ 二、选择题（本大题满分18分，前2题每题4分，后2题每题5分，每题有且仅有一个正确选项）13. 在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的210x +=所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（ ）A. ②③ B. ①③C. ②④D. ①②④14. 已知幂函数是奇函数，且在上是增函数，则满足条件()232321m m y m m x+-=-+(0,)+∞的不同有（ ）m A .1个B. 2个C. 3个D. 4个15. 已知互不相等的正数a 、b 、c 满足，则下列不等式中可能成立的是（ 222a c bc +=）．A. B. C. D. a b c >>b a c>>b c a>>c a b>>16. 对任意，表示不超过的最大整数，下列性质错误的是（ ）R x ∈[]x x A. 存在，使得R x ∈[][]552x x =+B. 任意，使得R x ∈[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦C. 任意、，满足，则x R y ∈[][]x y =1x y -<D. 任意、，都有x R y ∈[][][]+≤+x y x y 三、解答题（本大题满分78分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤．17. 解下列关于的不等式：x （1）．()5577log 35log 6x x +≤-（2）．()()3377356x x +≤-18. 已知函数是偶函数.()()4log 41x f x kx =++()x ∈R （1）求的值；k （2）若方程有解，求的取值范围.()0f x m -=m 19. 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中（）的成员S S %x 0100x <<自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而()30,0<30=18002+80,30<<100x f x x x x ≤⎧⎪⎨-⎪⎩公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为50分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：x （1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？x （2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；并求出的最小值.S ()g x ()g x 20. 问题：正实数a 、b 满足，求的最小值．其中一种解法是：1a b +=12a b +，当且仅当且时，即()12122123b a a b ab a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+⎪⎝⎭2b a a b =1a b +=且的最小值是．学习上述解法并解决1a =-2b =12a b +3+下列问题：（1）已知a 、b 是正实数，且，求的最小值．1a b +=1422a b b +++（2）①已知实数a 、b 、x 、y ，满足，求证．22221x y a b -=()222a b x y -≤-②求代数式的最小值，并求出使得M 最小的m 的值．M =21. 已知函数的定义域为，现有下面两种对变换的操作：y =f (x )R y =f (x )变换：，其中．ϕ()()()y f x y f x f x t =→=--0t >变换：，其中．ω()()()y f x y f x t f x =→=+-0t >（1）若，，对进行变换后得到函数，解方程．()3x f x =1t =y =f (x )ϕy =g (x )()2g x =（2）若，对进行变换后得到函数，解不等()2f x x =y =f (x )ω()y h x =式．()()f x h x ≥（3）若函数在上是严格增函数，对函数先作变换，再作变换，y =f (x )(),0∞-y =f (x )ϕω得到函数，对函数先作变换，再作变换，得到函数．对任()1y h x =y =f (x )ωϕ()2y h x =意，若恒成立，证明：函数在上是严格增函数，0t >()()12h x h x =y =f (x )R 【附加题】22. 已知函数在R 上连续，且()y f x =恒成立，则在()()()()()()12120f x f x f x f x f x f x ++=⋅+++⋅+>()f x =上至少有几个不同的解？[)0,999。
上海市徐汇区高一(上)期中数学试卷
4.【答案】B
【解析】解：当方程①有实根，且②无实根时， △ 1 = 푎12−4 ≥ 0， △ 2 = 푎22−8 < 0
即푎12 ≥ 4，푎22< 8 ，
，
∵ 푎1，푎2，푎3成等比数列，
∴ 푎22 = 푎 푎 即푎3 = 푎푎2211，3，
则푎32 =
(푎22)2 =
푎1
能推出方程③无实根的是( )
A. 方程①有实根，且②有实根 C. 方程①无实根，且②有实根
B. 方程①有实根，且②无实根 D. 方程①无实根，且②无实根
二、填空题（本大题共 12 小题，共 36.0 分）
5. 设全集푈 = 푅.若集合훢 = {1,2，3，4}，훣 = {푥|2 ≤ 푥 ≤ 3}，则훢 ∩ ∁ 훣 =
푈
______．
푥 − 2 6. 函数푓(푥) = 푥 − 1的定义域为______．
7. 函数푓(푥) = −푥2 +2푥的单调递增区间为______．
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8. 已知集合퐴 = {푥||푥−1| ≤ 2,푥 ∈ 푍}，则集合 A 的非空子集个数为______个．
9. 命题“若푎 + 푏 ≤ 5，则푎 ≠ 3或푏 ≤ 3”为______命题(填“真”或“假”)．
A. 充分非必要 C. 充要
B. 必要非充分 D. 既非充分也非必要
3. 下列函数是奇函数且在[1, + ∞)上单调递增的是( )
A.
푦
=
1 푥
B. 푦 = 푥2
C.
푦
=푥
+
2 푥
D. 푦 = 푥−1푥
4.
记方程①：푥2