2020届高考数学二轮复习专题6解析几何第3讲解析几何的综合问题课件理
2020版高考数学第2部分 专题5 解析几何 第3讲 圆锥曲线中的综合问题教案 理
第3讲圆锥曲线中的综合问题求圆锥曲线中的最值范围问题(5年2考)考向1 构造不等式求最值或范围［高考解读］以直线与圆锥曲线的位置关系为载体，融函数与方程，均值不等式、导数于一体,重在考查学生的数学建模、数学运算能力和逻辑推理及等价转化能力.（2019·全国卷Ⅱ）已知点A(－2，0）,B（2,0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为－错误!.记M的轨迹为曲线C.(1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x 轴,垂足为E，连接QE并延长交C于点G。
①证明：△PQG是直角三角形；②求△PQG面积的最大值．切入点：(1)由k AM·k BM＝－错误!求C的方程，并注意x的范围．(2)①证明k PQ·k PG＝－1即可；②建立面积函数，借助不等式求解．［解］（1）由题设得错误!·错误!＝－错误!，化简得错误!＋错误!＝1（｜x｜≠2）,所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左、右顶点．（2）①设直线PQ的斜率为k,则其方程为y＝kx(k＞0）．由错误!得x＝±错误!。
记u＝错误!，则P（u，uk)，Q(－u,－uk），E(u，0)．于是直线QG的斜率为错误!，方程为y＝错误!(x－u）．由错误!得（2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0.设G（x G,y G），则－u和x G是方程①的解,故x G＝错误!，由此得y G ＝错误!。
从而直线PG的斜率为错误!＝－错误!。
所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形．②由①得|PQ|＝2u错误!，|PG｜＝错误!,所以△PQG的面积S＝错误!|PQ｜|PG|＝错误!＝错误!。
设t＝k＋错误!，则由k＞0得t≥2，当且仅当k＝1时取等号．因为S＝错误!在[2，＋∞）单调递减，所以当t＝2，即k＝1时，S 取得最大值，最大值为错误!.因此，△PQG面积的最大值为错误!。
高考数学二轮复习 回扣6 解析几何课件 理
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(3)过抛物线 y2＝2px(p＞0)焦点 F 的直线 l 交抛物线于 C(x1， y1)、D(x2，y2)，则①焦半径|CF|＝x1＋p2；②弦长|CD|＝x1＋x2 ＋p；③x1x2＝p42，y1y2＝－p2. [回扣问题 9] 已知倾斜角为 60°的直线 l 通过抛物线 x2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于 A，B 两点，则弦 AB 的长为 ________. 答案 16
(1) 点 P(x0 ， y0) 到 直 线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的 距 离 为 d ＝ |Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|；
(2)两平行线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0 间的距 离为 d＝ |CA1－2＋CB22| .
[回扣问题 4] 已知直线 3x＋4y－3＝0 与直线 6x＋my＋14＝
6.解析几何 1.直线的倾斜角 α 与斜率 k
(1)倾斜角 α 的范围为[0，π). (2)直线的斜率 ①定义：k＝tan α(α≠90°)；倾斜角为 90°的直线没有斜率； ②斜率公式：经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率 为 k＝yx11－－yx22(x1≠x2)；③直线的方向向量 a＝(1，k). [回扣问题 1] 直线 xsin α－y＋1＝0 的倾斜角的取值范围是
F2，过焦点 F1 的直线交椭圆于 A，B 两点，则△ABF2 的周 长为( )
A.10
B.2
C.16
D.20
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9
(2)已知双曲线x42－2y12 ＝1 上的一点 P 到双曲线的一个焦点的
距离为 6，则点 P 到另一个焦点的距离为________.
(3)已知抛物线 C：y2＝x 的焦点为 F，点 A(x0，y0)是 C 上一
高考理科数学大二轮复习课件专题六解析几何
双曲线中参数范围求解
参数范围求解方法
在解决与双曲线相关的问题时，经常需要求 解参数的范围。可以通过分析双曲线的性质 、结合题目给出的条件，列出关于参数的不 等式或方程，进而求解参数的范围。
注意事项
在求解参数范围时，需要注意参数的取值范 围是否符合双曲线的定义和性质，以及是否 满足题目的要求。同时，还需要注意参数的 实际意义和应用背景，避免求解出不符合实 际情况的参数范围。
焦点弦和准线应用
焦点弦定义
过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点，这两 点之间的线段称为焦点弦。
焦点弦性质
对于同一抛物线，所有焦点弦的中点都在抛物线 的准线上。
准线应用
利用准线和焦点弦的性质，可以解决与抛物线相 关的距离、角度等问题。
抛物线中参数范围求解
参数方程
抛物线的参数方程为 $left{begin{array}{l}x=2pt^2y=2pt end{array}right.$（$t$为参数），表 示抛物线上任意一点的坐标。
直线解，即判别式$Delta > 0$。
直线与圆相切
直线方程与圆方程联立后，有唯一实数解，即判别式 $Delta = 0$。
直线与圆相离
直线方程与圆方程联立后，无实数解，即判别式$Delta < 0$。
注意
以上内容仅供参考，具体解析几何的知识点和解题方法可 能因教材和考试要求而有所不同。在复习过程中，请务必 以教材和考试要求为准。
点的坐标
在平面直角坐标系中，任意一点P都可以用一对有序实数(x,y)来表示，这一对有序实数称 为点P的坐标。
坐标平面内的点与有序实数对的一一对应关系
在平面直角坐标系中，每一个点都有唯一的一个坐标与之对应；反过来，对于任意一个坐 标(x,y)，在坐标平面内都有唯一的一个点与之对应。
2020版高考数学二轮复习第2部分专题6解析几何第3讲导数的综合应用课件理
[解](1)由题设，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝
1 x
－1，令f′(x)
＝0，解得x＝1.
当0＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．
(2)证明：由(1)知，f(x)在x＝1处取得最大值， 最大值为f(1)＝0. 所以当x≠1时，ln x＜x－1. 故当x∈(1，＋∞)时，ln x＜x－1，ln1x＜1x－1， 即1＜xl－n x1＜x.
提醒：拆分函数时，ex和ln x尽量分到两个不同的函数中． (4)放缩法：若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进 行放缩，再重新构造函数．
[一题多解](与ex，ln x有关的不等式证明问题)已知函数f(x)＝1－ ln x＋a2x2－ax(a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若a＝0且x∈(0,1)，求证：fexx＋x2－1x＜1.
(2016·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝ln x－x＋1. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)证明当x∈(1，＋∞)时，1＜xl－n x1＜x； (3)设c>1，证明当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x＞cx.
切入点：(1)当x＞1时，1＜xl－n x1＜x⇔ln x＜x－1＜xln x；(2)构造 函数g(x)＝1＋(c－1)x－cx，借助(2)的讨论求解．
[解](1)a＝0时，f(x)在(0，＋∞)上递减； a＞0时，f(x)在0，1a上递减， 在1a，＋∞上递增； a＜0时，f(x)在0，－21a上递减， 在－21a，＋∞上递增．
(2)法一：(最值法)若a＝0且x∈(0,1)， 欲证fexx＋x2－1x＜1， 只需证1－elxn x＋x2－1x＜1， 即证x(1－ln x)＜(1＋x－x3)ex. 设函数g(x)＝x(1－ln x)，则g′(x)＝－ln x.
2020高考数学(理)二轮专题复习课件：第一部分 专题六 解析几何 1-6-2
解析： 通解：设 AB 的方程为 y＝k(x－1)
联立方程组yy＝2＝k4xx－1 得 ky2－4y－4k＝0， A(x1，y1)，B(x2，y2)，(y1＞0，y2＜0) ∴y1y2＝－4，又∵|AF|＝3|BF|，∴|y1|＝3|y2|
∴y22＝43，∴34＝4x2，x2＝31，B13，－
设 B(a,0)，M(x0，y0)，则直线 BM 的方程为 y＝ 3(x－a)． 从而 y0＝ 3(x0－a)，∴x0－a＝ y03.
又|BM|2＝(x0－a)2＋y20＝43y20＝4a2， ∴y0＝ 3a，∴x0＝2a. 又点(2a， 3a)在双曲线上，∴4aa22－3ba22＝1， ∴ba22＝1， ∴e＝ac＝ 1＋ba22＝ 2.
(3)x1x2＝p42，y1y2＝－p2； (4)以抛物线上的点为圆心，焦半径为半径的圆必与准线相切， 以抛物线焦点弦为直径的圆，必与准线相切．
6．斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 则所得弦长|P1P2|＝ 1＋k2|x2－x1|或|P1P2|＝ 1＋k12|y2－y1|.
2．求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，注意数形结 合，提倡画出合理草图．
[自我挑战] 1．(2016·高考天津卷)已知双曲线x42－by22＝1(b＞0)，以原点为
圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交
于 A，B，C，D 四点，四边形 ABCD 的面积为 2b，则双曲线的方
类型一 圆锥曲线的定义、标准方程
[典例 1] (1)已知抛物线 C：y2＝x 的焦点为 F，A(x0，y0)是 C
上一点，|AF|＝45x0，则 x0＝( A )
A．1
B．2
C．4
2020版高考数学大二轮复习第二部分专题5解析几何第3讲圆锥曲线中的综合问题课件文
解析：(1)由已知得aa422＝＋bb222＋＝c12 c＝2
，解得ab22＝ ＝84 ，
∴椭圆 C 的标准方程x82＋y42＝1，
∴椭圆
C
的离心率
e＝ac＝2
2＝ 2
2 2.
(2)证明：设 P(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A(x1，－y1)， 可设 PB 的直线方程为 y＝kx＋m，
且 y1＋y2＝3m62m＋4，
故|S1－S2|＝2||y2|－|y1||＝2|y1＋y2|＝31m22|＋m|4＝3|m1|＋2 |m4 |≤2
12 ＝ 12
3，
当且仅当 m＝±233时取等号， 所以|S1－S2|的最大值为 3.
[题后悟通] 解决圆锥曲线中范围问题的方法 一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲 线的几何性质及曲线上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为 求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件， 寻找量与量之间的转化.
得|m|< 2.
|AB|＝2 1－d2＝2
1－m22＝ 2× 2－m2，
联立得x42＋y32＝1， 消去 y， y＝－x＋m，
得 7x2－8mx＋4m2－12＝0， 由题意得 Δ＝(－8m)2－4×7(4m2－12)＝336－48m2＝48(7－m2)>0，解得 m2<7，
设 C(x1，y1)，D(x2，y2)， 则 x1＋x2＝87m，x1x2＝4m27－12，
[题后悟通] 圆锥曲线中的证明问题的解决方法 解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等， 通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明． 常用的证明方法有： (1)证 A、B、C 三点共线，可证 kAB＝kAC 或A→B＝λB→C. (2)证直线 MA⊥MB，可证 kMA·kMB＝－1 或M→A·M→B＝0. (3)证|AB|＝|AC|，可证 A 点在线段 BC 的垂直平分线上.
解析几何-2020年高考数学(理)二轮专项复习
专题08 解析几何平面解析几何主要介绍用代数知识研究平面几何的方法．为此，我们要关注：将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题．在此之中，要不断地体会数形结合、函数与方程及分类讨论等数学思想与方法．要善于应用初中平面几何、高中三角函数和平面向量等知识来解决直线、圆和圆锥曲线的综合问题．§8－1 直角坐标系【知识要点】1．数轴上的基本公式设数轴的原点为O ，A ，B 为数轴上任意两点，OB ＝x 2，OA ＝x 1，称x 2－x 1叫做向量AB 的坐标或数量，即数量AB ＝x 2－x 1；数轴上两点A ，B 的距离公式是d (A ，B )＝|AB ｜＝|x 2－x 1|．2．平面直角坐标系中的基本公式设A ，B 为直角坐标平面上任意两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点之间的距离公式是.)()(||),.(212212y y x x AB B A d -+-==A ，B 两点的中点M (x ，y )的坐标公式是⋅+=+=2,22121y y y x x x 3．空间直角坐标系 在空间直角坐标系O －xyz 中，若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，A ，B 两点之间的距离公式是.)()()(||),(212212212z z y y x x AB B A d -+-+-==【复习要求】1．掌握两点间的距离公式，中点坐标公式；会建立平面直角坐标系，用坐标法(也称为解析法)解决简单的几何问题．2．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，并掌握两点间的距离公式．【例题分析】例1 解下列方程或不等式：(1)｜x－3｜＝1；(2)|x－3｜≤4；(3)1＜|x－3｜≤4．略解：(1)设直线坐标系上点A，B的坐标分别为x，3，则｜x－3｜＝1表示点A到点B的距离等于1，如图8－1－1所示，图8－1－1所以，原方程的解为x＝4或x＝2．(2)与(1)类似，如图8－1－2，图8－1－2则｜x－3｜≤4表示直线坐标系上点A到点B的距离小于或等于4，所以，原不等式的解集为{x｜－1≤x≤7}．(3)与(2)类似，解不等式1＜｜x－3｜，得解集{x|x＞4，或x＜2｝，将此与不等式|x－3｜≤4的解集{x|－1≤x≤7｝取交集，得不等式1＜|x－3｜≤4的解集为{x｜－1≤x＜2，或4＜x≤7｝．【评析】解绝对值方程或不等式时，如果未知数x的次数和系数都为1，那么可以利用绝对值的几何意义来解绝对值方程或不等式．｜x－a｜的几何意义：表示数轴(直线坐标系)上点A(x)到点B(a)的距离．例2 已知矩形ABCD及同一平面上一点P，求证：P A2＋PC2＝PB2＋PD2．解：如图8－1－3，以点A为原点，以AB为x轴，向右为正方向，以AD为y轴，向上为正方向，建立平面直角坐标系．图8－1－3设AB ＝a ，AD ＝b ，则 A (0，0)，B (a ，0)，C (a ，b )，D (0，b )，设P (x ，y )， 则22222222))()(()(b y a x y x PC PA -+-++=+＝x 2＋y 2＋(x －a )2＋(y －b )2，22222222))(())((b y x y a x PD PB -+++-=+＝x 2＋y 2＋(x －a )2＋(y －b )2，所以P A 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2．【评析】坐标法是解析几何的一个基本方法,非常重要．坐标法中要注意坐标系的建立，理论上，可以任意建立坐标系，但是坐标系的位置会影响问题解决的复杂程度，适当的坐标系可以使解题过程较为简便．例3 已知空间直角坐标系中有两点A (1，2，－1)，B (2，0，2)．(1)求A ，B 两点的距离；(2)在x 轴上求一点P ，使｜P A |＝｜PB |；(3)设M 为xOy 平面内的一点，若|MA ｜＝｜MB ｜，求M 点的轨迹方程．解：(1)由两点间的距离公式，得.14)21()02()21(||222=--+-+-=AB(2)设P (a ，0，0)为x 轴上任一点，由题意得222)10()20()1(++-+-a，即a 2－2a ＋6＝a 2－4a ＋8，解得a ＝1，所以P (1，0，0)．40)2(2++-=a(3)设M (x ，y ，0)，则有整理可得x －2y －1＝0．所以，M 点的轨迹方程为x －2y －1＝0． 【评析】由两点间的距离公式建立等量关系，体现了方程思想的应用．练习8－1一、选择题1．数轴上三点A ，B ，C 的坐标分别为3，－1，－5，则AC ＋CB 等于( )A ．－4B ．4C ．－12D ．122．若数轴上有两点A (x )，B (x 2)(其中x ∈R )，则向量的数量的最小值为( )A ．B ．0C ．D ． 3．在空间直角坐标系中，点(1，－2，3)关于yOz 平面的对称点是( )A ．(1，－2，－3)B ．(1，2，3)C ．(－1，－2，3)D ．(－1，2，3)4．已知平面直角坐标内有三点A (－2，5)，B (1，－4)，P (x ，y )，且｜AP |＝｜BP |，则实数x ，y 满足的方程为( )A ．x ＋3y －2＝0B ．x －3y ＋2＝0C ．x ＋3y ＋2＝0D ．x －3y －2＝0二、填空题5．方程｜x ＋2｜＝3的解是______；不等式｜x ＋3｜≥2的解为______．6．点A (2，3)关于点B (－4，1)的对称点为______．7．方程｜x ＋2｜－｜x －3｜＝4的解为______．8．如图8－1－4，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|DA |＝3，|DC ｜＝4，|DD 1|＝2，A 1C 的中点为M ，则点B 1的坐标是______，点M 的坐标是______，M 关于点B 1的对称点为______． ,4)0()2()10()2()1(22222+-+-=++-+-y x y x AB 214141-图8－1－4三、解答题9．求证：平行四边形ABCD满足AB2＋BC2＋CD2＋DA2＝AC2＋BD2．10．求证：以A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形．11．在平面直角坐标系中，设A(1，3)，B(4，5)，点P在x轴上，求|P A|＋｜PB｜的最小值．§8－2 直线的方程【知识要点】1．直线方程的概念如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程．．．．．．．．．．．，这条直线叫做这个方程的直线2．直线的倾斜角和斜率x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．．．．并规定，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．因此，倾斜角α 的取值范围是0°≤α ＜180°．我们把直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率．．．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直线y ＝kx ＋b 上任意两点，其中x 1≠x 2，则斜率 倾斜角为90°的直线的斜率不存在，倾斜角为α 的直线的斜率k ＝tan α (α ≠90°)．3．直线方程的几种形式点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)；斜截式：y ＝kx ＋b ；两点式：一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)．4．两条直线相交、平行与重合的条件设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则(1)l 1与l 2相交A 1B 2－A 2B 1≠0或 (2)l 1与l 2平行(3)l 1与l 2重合 当直线l 1与l 2的斜率存在时，设斜率分别为k 1，k 2，截距分别为b 1，b 2，则l 1与l 2相交k 1≠k 2；l 1∥l 2k 1＝k 2，b 1≠b 2；l 1与l 2重合k 1＝k 2，b 1＝b 2．5．两条直线垂直的条件设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1⊥l 2A 1A 2＋B 1 B 2＝0． 当直线l 1与l 2的斜率存在时，设斜率分别为k 1，k 2，则l 1⊥l 2k 1k 2＝－1．⋅--=1212x x yy k );,(2121121121y y x x x x x x y y y y =/=/--=--⇔)0(222121=/=/B A B B A A ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=/=/=≠-≠-=-).0(;00,0222212121211221211221C B A C C B B A A C A C A B C C B B A B A 或或而⇔⎪⎩⎪⎨⎧=/==≠===).0();0(,,222212*********C B A C C B B A A C C B B A A 或λλλλ⇔⇔⇔⇔⇔6．点到直线的距离点P (x 1，y 1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d 的计算公式【复习要求】1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式：点斜式、两点式及一般式，体会斜截式与一次函数的关系．2．掌握两条直线平行与垂直的条件，点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系，能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．【例题分析】例1(1)直线的斜率是______，倾斜角为______；(2)设A (2，3)，B (－3，2)，C (－1，－1)，过点C 且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交，则斜率k 的取值范围为______．略解：(1)直线可以化简为 所以此直线的斜率为，倾斜角 (2)如图8－2－1，设直线AC 的倾斜角为α ，图8－2－1因为此直线的斜率为，所以 设直线BC 的倾斜角为β ，因为此直线的斜率为 ⋅+++=2211||B A C By Ax d 082=-+y x 082=-+y x ，22822+-=x y 22-;22tan arc π-=α341213=++=AC k ;34tan =α,231312-=+-+=BC k所以 因为直线l 与线段AB 相交，所以直线l 的倾斜角θ 满足α ≤θ ≤β ，由正切函数图象，得tan θ ≥tan α 或tan θ≤tan β，故l 斜率k 的取值范围为．【评析】(1)求直线的斜率常用方法有三种：①已知直线的倾斜角α，当α≠90°时，k ＝tan α； ②已知直线上两点的坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，当x 1≠x 2时，k ＝； ③已知直线的方程Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，k ＝． (2)已知直线的斜率k 求倾斜角α 时，要注意当k >0时，α ＝arctan k ；当k <0时，α ＝π－arctan |k |．例2 根据下列条件求直线方程：(1)过点A (2，3)，且在两坐标轴上截距相等；(2)过点P (－2，1)，且点Q (－1，－2)到直线的距离为1．解：(1)设所求直线方程为y －3＝k (x －2)，或x ＝2(舍)，令y ＝0，得x ＝2－(k ≠0)；令x ＝0，得y ＝3－2k ， 由题意，得2－＝3－2k ，解得k ＝或k ＝－1， 所以，所求直线方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0；(2)设所求直线方程为y －1＝k (x ＋2)或x ＝－2，当直线为y －1＝k (x ＋2)，即kx —y ＋(2k ＋1)＝0时，由点Q (－1，－2)到直线的距离为1，得＝1，解得， ⋅-=23tan β]23,[],34[-∞+∞∈ k 1212x x y y --BA -k3k 3231|122|2++++-k k k 34-=k所以，直线，即4x ＋3y ＋5＝0符合题意； 当直线为x ＝－2时，检验知其符合题意．所以，所求直线方程为4x ＋3y ＋5＝0或x ＝－2．【评析】求直线方程，应从条件出发，合理选择直线方程的形式，并注意每种形式的适应条件．特别地，在解题过程中要注意“无斜率”，“零截距”的情况．例3 已知直线l 1：(m －2)x ＋(m ＋2)y ＋1＝0，l 2：(m 2－4)x —my －3＝0，(1)若l 1∥l 2，求实数m 的值；(2)若l 1⊥l 2，求实数m 的值．解法一：(1)因为l 1∥l 2，所以(m －2)(－m )＝(m ＋2)(m 2－4)，解得m ＝2或m ＝－1或m ＝－4，验证知两直线不重合，所以m ＝2或m ＝－1或m ＝－4时，l 1∥l 2；(2)因为l 1⊥l 2，所以(m －2)(m 2－4)＋(－m )(m ＋2)＝0，解得m ＝－2或m ＝1或m ＝4．解法二：当l 1斜率不存在，即m ＝－2时，代入直线方程，知l 1⊥l 2；当l 2斜率不存在，即m ＝0时，代入直线方程，知l 1与l 2既不平行又不垂直； 当l 1，l 2斜率存在，即m ≠0，m ≠－2时，可求l 1，l 2，如的斜率分别为k 1＝－，k 2＝，截距b 1＝－，b 2＝， 若l 1∥l 2，由k 1＝k 2，b 1≠b 2，解得m ＝2或m ＝－1或m ＝－4，若l 1⊥l 2，由k 1k 2＝－1，解得m ＝1或m ＝4综上，(1)当m ＝2或m ＝－1或m ＝－4时，l 1∥l 2；(2)当m ＝－2或m ＝1或m ＝4时，l 1⊥l 2．【评析】两条直线平行与垂直的充要条件有几个，但各有利弊．简洁的(如解法一)相互之间易混淆，好记的要注意使用条件(如解法二，易丢“无斜率”的情况)，解题过程中要注03534=---y x 22－+m m m m 42-21+m m3-意正确使用．例4 已知直线l 过两直线l 1：3x －y －1＝0与l 2：x ＋y －3＝0的交点，且点A (3，3)和B (5，2)到l 的距离相等，求直线l 的方程．【分析】所求直线l 有两种情况：一是l 与AB 平行；二是点A ，B 在l 的两侧，此时l 过线段AB 的中点．解：解方程组得交点(1，2)，由题意，当①l 与AB 平行；或②l 过A ，B 的中点时．可以使得点A ，B 到l 的距离相等． ①当l ∥AB 时，因为，此时，即x ＋2y －5＝0； ②当l 过AB 的中点时，因为AB 的中点坐标为所以 即l ：x －6y ＋11＝0．综上，所求的直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或l ：x －6y ＋11＝0．例5 已知直线l 1：y ＝kx ＋2k 与l 2：x ＋y ＝5的交点在第一象限，求实数k 的取值范围． 解法一：解方程组，得交点 由题意，得，解得 解法二：如图8－2－2，由l 1：y ＝k (x ＋2)，知l 1过定点P (－2，0)，⎩⎨⎧=-+=--03013y x y x 215323-=--=AB k )1(212:--=-x y l ),25,4(M ,1412252:--=--x y l ⎩⎨⎧=++=52y x k kx y ),1255,125(+--+-k k k k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-->+-012550125k k k k ⋅<<250k图8－2－2由l 2：x ＋y ＝5，知l 2坐标轴相交于点A (0，5)，B (5，0)，因为 由题意，得 【评析】在例4，例5中，要充分利用平面几何知识解决问题，体会数形结合的思想与方法；要会联立两个曲线(直线)的方程，解方程得到曲线的交点，体会方程思想．例6 如图8－2－3，过点P (4，4)的直线l 与直线l 1：y ＝4x 相交于点A (在第一象限)，与x 轴正半轴相交于点B ，求△ABO 面积的最小值．图8－2－3解：设B (a ，0)，则 将y ＝4x 代入直线l 的方程，得点A 的坐标为 则△ABO 的面积 所以当a ＝6时，△ABO 的面积S 取到最小值24．练习8－2一、选择题1．若直线l 的倾斜角的正弦为，则l 的斜率k 是( ) ,0,252005==+-=BP AP k k ⋅<<250k ),4(4044:---=-x a y l ),3)(34,3(>--a a a a a ,121)611(3234212+--=-⨯⨯=a a a a S 53A ．B ．C ．或D ．或 2．点P (a ＋b ，ab )在第二象限内，则bx ＋ay －ab ＝0直线不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．“”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的( )A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 4．若直线与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则l 的倾角的取值范围( )A ．B ．C ．D ． 二、填空题5．已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1∥l 2，则a ＝_______．6．已知点A (3，0)，B (0，4)，则过点B 且与A 的距离为3的直线方程为_______．7．若点P (3，4)，Q (a ，b )关于直线x －y －1＝0对称，则a ＋2b ＝_______．8．若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )，(ab ≠0)共线，则的值等于_______． 三、解答题9．已知点P 在直线2x ＋3y －2＝0上，点A (1，3)，B (－1，－5)．(1)求｜P A ｜的最小值；(2)若|P A |＝|PB |，求点P 坐标．10．若直线l 夹在两条直线l 1：x －3y ＋10＝0与l 2：2x ＋y －8＝0之间的线段恰好被点P (0，1)平分，求直线l 的方程． 43-4343-433434-21=m 3:-=kx y l )3π,6π[)2π,3π()2π,6π(]2π,6π[ba 11+211．已知点P到两个定点M(－1，0)、N(1，0)距离的比为，点N到直线PM的距离为1．求直线PN的方程．§8－3 简单的线性规划问题【知识要点】1．二元一次不等式(组)所表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面区域中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(开半平面)，且不含边界线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域包括边界线(闭半平面)．(2)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是指各个不等式组所表示的平面区域的公共部分．(3)可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧任取一点，一般地取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正(或负)来判断Ax＋By＋C＞0(或Ax＋By＋C＜0)所表示的区域．当C≠0时，常把原点(0，0)作为特殊点．(4)也可以利用如下结论判断区域在直线哪一侧：①y＞kx＋b表示直线上方的半平面区域；y＜kx＋b表示直线下方的半平面区域．②当B＞0时，Ax＋By＋C＞0表示直线上方区域，Ax＋By＋C＜0表示直线下方区域．2．简单线性规划(1)基本概念目标函数：关于x，y的要求最大值或最小值的函数，如z＝x＋y，z＝x2＋y2等．约束条件：目标函数中的变量所满足的不等式组．线性目标函数：目标函数是关于变量的一次函数．线性约束条件：约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)．线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题．最优解：使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解．可行解：满足线性约束条件的解(x ，y )叫可行解．可行域：由所有可行解组成的集合叫可行域．(2)用图解法解决线性规划问题的一般步骤：①分析并将已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数，求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解．【复习要求】1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．2．能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．【例题分析】例1 (1)若点(3，1)在直线3x －2y ＋a ＝0的上方，则实数a 的取值范围是______；(2)若点(3，1)和(－4，6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围是______． 解：(1)将直线化为 由题意，得，解得a ＜－7． (2)由题意，将两点代入直线方程的左侧所得符号相反，则(3×3－2＋a )[3×(－4)－12＋a ]＜0，即(a ＋7)(a －24)＜0，所以，实数a 的取值范围是(－7，24)．例2 (1)如图8－3－1，写出能表示图中阴影部分的不等式组；,223a x y +=23231a +⨯>图8－3－1(2)如果函数y ＝ax 2＋bx ＋a 的图象与x 轴有两个交点，试在aOb 坐标平面内画出点(a ，b )表示的平面区域．略解：(1) (2)由题意，得b 2－4a 2＞0，即(2a ＋b )(2a －b )＜0，所以或，点(a ，b )表示的平面区域如图8－3－2．图8－3－2【评析】除了掌握二元一次不等式表示平面区域外，还应关注给定平面区域如何用不等式表示这个逆问题．例3 已知x ，y 满足求：(1)z 1＝x ＋y 的最大值；(2)z 2＝x －y 的最大值；(3)z 3＝x 2＋y 2的最小值；，02210⎪⎩⎪⎨⎧≥+-->≤y x y x ⎩⎨⎧<->+0202b a b a ⎩⎨⎧>-<+0202b a ba ⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+.033,042,022y x y x y x(4)的取值范围(x ≠1)． 略解：如图8－3－3，作出已知不等式组表示的平面区域．图8－3－3易求得M (2，3)，A (1，0)，B (0，2)．(1)作直线x ＋y ＝0，通过平移，知在M 点，z 1有最大值5；(2)作直线x －y ＝0，通过平移，知在A 点，z 2有最大值1；(3)作圆x 2＋y 2＝r 2，显然当圆与直线2x ＋y －2＝0相切时，r 2有最小值，即z 3有最小值 (4)可看作(1，0)与(x ，y )两点连线的斜率，所以z 4的取值范围是(－∞，－2]∪[3，＋∞)．【评析】对于非线性目标函数在线性约束条件下的最值问题，要充分挖掘其目标函数z 的几何意义．z 的几何意义常见的有：直线的截距、斜率、圆的半径等．例4 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件则z ＝10x ＋10y 的最大值是( )(A)80 (B)85 (C)90 (D)95略解：由题意，根据已知不等式组及可得到点(x ，y )的可行域．14-=x yz 2)52(;541-x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x ⎩⎨⎧≥≥00y x如图8－3－4．图8－3－4作直线x ＋y ＝0，通过平移，知在M 点，z ＝10x ＋10y 有最大值，易得 又由题意，知x ，y ∈N ，作适当调整，知可行域内点(5，4)可使z 取最大值，所以，z max ＝10×5＋10×4＝90，选C ．【评析】实际问题中，要关注是否需要整数解．例5 某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克．今预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大?解：设此工厂每日需甲种原料x 吨，乙种原料y 吨，则可得产品z ＝90x ＋100y (千克)．由题意，得上述不等式组表示的平面区域如图8－3－5所示，阴影部分(含边界)即为可行域．图8－3－5作直线l ：90x ＋100y ＝0，并作平行于直线l的一组直线与可行域相交，其中有一条直),29,211(M ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,2045,1232.0,0，2000400500，600015001000y x y x y x y x y x yx线经过可行域上的M 点，且与直线l 的距离最大，此时目标函数达到最大值．这里M 点是直线2x ＋3y ＝12和5x ＋4y ＝20的交点，容易解得M ，此时z 取到最大值 答：当每天提供甲原料吨，乙原料吨时，每日最多可生产440千克产品． 例6 设函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4．(1)在平面直角坐标系aOb 中，画出点(a ，b )所表示的区域；(2)试利用(1)所得的区域，求f (－2)的取值范围．解：(1)∵f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，∴即如图8－3－6，在平面直角坐标系aOb 中，作出满足上述不等式组的区域，阴影部分(含边界)即为可行域．图8－3－6(2)目标函数f (－2)＝4a －2b ．在平面直角坐标系aOb 中，作直线l ：4a －2b ＝0，并作平行于直线l 的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的B 点，且与直线l 的距离最大，此时目标函数达到最大值．这里B 点是直线a －b ＝2和a ＋b ＝4的交点，容易解得B (3，1)，此时f (－2)取到最大值4×3－2×1＝10．)720,712(71290⨯.440720100=⨯+712720⎩⎨⎧≤+≤≤-≤.42,21b a b a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+≤-≥-.4,2,2,1b a b a b a ba同理，其中有一条直线经过可行域上的C 点，此时目标函数达到最小值．这里C 点是直线a －b ＝1和a ＋b ＝2的交点，容易解得 此时f (－2)取到最小值 所以5≤f (－2)≤10． 【评析】线性规划知识是解决“与二元一次不等式组有关的最值(或范围)问题”的常见方法之一．练习8－3一、选择题1．原点(0，0)和点(1，1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是 ( )A ．a ＜0或a ＞2B ．a ＝0或a ＝2C ．0＜a ＜2D ．0≤a ≤22．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值是( )A ．－1B ．1C ．2D ．－23．已知x 和y 是正整数，且满足约束条件则z ＝2x ＋3y 的最小值是( )A ．24B ．14C ．13D ．11.54．根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O 沿正东偏北α 方向行走－段时间后，再向正北方向行走一段时间，但α 的大小以及何时改变方向不定．如图8－3－7．假定机器人行走速度为10米/分钟，设机器人行走2分钟时的可能落点区域为S ，则S 可以用不等式组表示为( )图8－3－7),21,23(C .5212234=⨯-⨯⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+.72,2,10x y x y x )2π0(≤≤αA ．B ．C ．D ．二、填空题 5．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是______．6．若实数x 、y 满足，则的取值范围是______． 7．点P (x ，y )在直线4x ＋3y ＝0上，且满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点距离的取值范围是______．8．若当实数x ，y 满足时，z ＝x ＋3y 的最小值为－6，则实数a 等于______．三、解答题9．如果点P 在平面区域内，点Q (2，2)，求|PQ |的最小值．10．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100％和50％()，可能的最大亏损率分别为30％和10％( ⎩⎨⎧≤≤≤≤200200y x ⎩⎨⎧≥+≤+2040022y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+0040022y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+202020y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+20202x y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤>≤+-2001x x y x x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-a x y x y x 005⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≥+-0102022y x y x y x %100⨯=投资额盈利额盈利率投资额亏损额亏损率=)，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投多少万元，才能使可能的盈利最大?11．设a ，b ∈R ，且b (a ＋b ＋1)＜0，b (a ＋b －1)＜0．(1)在平面直角坐标系aOb 中，画出点(a ，b )所表示的区域； (2)试利用(1)所得的区域，指出a 的取值范围．§8－4 圆的方程【知识要点】1．圆的方程(1)标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，其中点(a ，b )为圆心，r 为半径． (2)一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，其中圆心为，半径为2．点和圆的位置关系设圆的半径为r ，点到圆的圆心距离为d ，则 d ＞r 点在圆外； d ＝r 点在圆上； d ＜r 点在圆内． 3．直线与圆的位置关系(1)代数法：联立直线与圆的方程，解方程组，消去字母y ，得关于x 的一元二次方程，则%100⨯)2,2(ED --21.422F E D -+⇔⇔⇔＞0方程组有两解直线和圆相交； ＝0方程组有一解直线和圆相切；＜0方程组无解直线和圆相离．(2)几何法(重点)：计算圆心到直线的距离d ，设圆的半径为r ，则 d ＜r 直线和圆相交； d ＝r 直线和圆相切； d ＞r 直线和圆相离． 4．圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R ，r (R ≥r )，两圆的圆心距为d (d ＞0)，则 d ＞R ＋r 两圆相离； d ＝R ＋r 两圆外切； R －r ＜d ＜R ＋r 两圆相交； d ＝R －r 两圆内切； d ＜R －r 两圆内含． 【复习要求】1．掌握圆的标准方程与一般方程，能根据条件，求出圆的方程．2．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系，解决一些简单问题． 【例题分析】例1根据下列条件，求圆的方程： (1)一条直径的端点是A (3，2)，B (－4，1)；(2)经过两点A (1，－1)和B (－1，1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上； (3)经过两点A (4，2)和B (－1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2．【分析】求圆的方程，可以用待定系数法．若已知条件与圆心、半径有关，则设圆的标准方程，如第(2)问．若已知条件与圆心、半径关系不大，则设圆的一般方程，如第(3)问．∆⇔⇔∆⇔⇔∆⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔解：(1)由题意圆心为AB 的中点M ，即， 因为所以圆的半径所以，所求圆的方程为 (2)方法一：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，则，解得所以，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4．方法二：由圆的几何性质可知，圆心一定在弦AB 的垂直平分线上．易得AB 的垂直平分线为y ＝x ．由题意，解方程组，得圆心C 为(1，1)，于是，半径r ＝｜AC |＝2，所以，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4． (3)设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 因为圆过点A ，B ，所以 4D ＋2E ＋F ＋20＝0，① －D ＋3E ＋F ＋10＝0，②在圆的方程中，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0， 设圆在x 轴上的截距为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－D ． 在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0， 设圆在y 轴上的截距为y 1，y 2，则y 1＋y 2＝－E ．)212,243(+-)23,21(-M ,50)12()43(||22=-++=AB ⋅==250||21AB r ⋅=-++225)23()21(22y x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+--=--+-=-+222222)1()1()1()1(02r b a r b a b a ⎪⎩⎪⎨⎧===2,11r b a ⎩⎨⎧=-+=02y x xy由题意，得－D ＋(－E )＝2，③解①②③，得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12， 所以，所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0．【评析】①以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为一直径端点的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0．②求圆的方程时，要注意挖掘题中圆的几何意义(如第(2)问)；③待定系数法求圆的方程时，要恰当选择的圆的方程(如第(3)问)，这样有时能大大减少运算量．例2 (1)点P (a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上，求过点P 的圆的切线方程；(2)若点P (a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内，判断直线ax ＋by ＝r 2与圆C 的位置关系． 解：(1)方法一：因为切线l 与半径OP 垂直，又可求出直线OP 的斜率，所以可得切线l 的斜率，再由点斜式得到切线方程．但要注意斜率是否存在(详细过程略)．方法二：设Q (x ，y )为所求切线上任一点，则，即(x －a ，y －b )·(a ，b )＝0． 整理得ax ＋by ＝a 2＋b 2，又因为P 在圆上，所以a 2＋b 2＝r 2， 故所求的切线方程为ax ＋by ＝r 2． (2)由已知，得a 2＋b 2＜r 2，则圆心O (0，0)到直线ax ＋by ＝r 2的距离所以此直线与圆C 相离．【评析】随着点P (a ，b )与圆C ：x 2＋y 2＝r 2的位置关系的变化，直线l ：ax ＋by ＝r 2与圆C 的位置关系也在变化．①当点P 在圆C 上时，直线l 与圆C 相切；②当点P 在圆C 内时，直线l 与圆C 相离；③当点P 在圆外时，直线l 与圆C 相交．例3 已知点A (a ，3)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4． (1)设a ＝3，求过点A 且与圆C 相切的直线方程；(2)设a ＝4，直线l 过点A 且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(3)设a ＝2，直线l 1过点A ，求l 1被圆C 截得的线段的最短长度，并求此时l 1的方程． 解：(1)如图8－4－1，此时A (3，3)，0=⋅.||22222r rr ba r d =>+=3图8－4－1设切线为y －3＝k (x －3)或x ＝3， 验证知x ＝3符合题意；当切线为y －3＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋3＝0时，圆心(1，2)到切线的距离解得所以，切线方程为3x ＋4y －21＝0或x ＝3． (2)如图8－4－2，此时A (4，3)，图8－4－2设直线l 为y －3＝k (x －4)或x ＝4(舍)， 设弦PQ 的中点为M ，则｜CP |＝r ＝2，所以，即圆心到直线l 的距离为1，,21|332|2=++--=k k k d ,43-=k ,3||=PM ,1||||||22=-=PM CP CM于是，解得k ＝0或， 所以，直线l 的方程为或y ＝3． (3)如图8－4－3，此时A (2，3)，设所截得的线段为DE ，圆心到直线l 1的距离为d ，图8－4－3则，即 因为直线l 1过点A ，所以圆心到直线l 1的距离为d ≤|CA｜＝故当d ＝时，， 此时AC ⊥l 1，因为 所以＝－1，故直线l 1方程为y －3＝－(x －2)，即x ＋y －5＝0．【评析】(1)用点斜式设直线方程时，要注意斜率是否存在；(2)涉及直线与圆的位置关系问题时，用与圆有关的几何意义解题较为方便，常见的有：①比较圆心到直线的距离与半径的大小；②如图8－4－2，在由弦心距、半径及弦组成的Rt △CMP 中，有｜CM |2＋｜MP |2＝｜CP ｜2，CM ⊥MP 等；③如图8－4－1，由切线段、半径组成的Rt △AB C ．例4 已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：mx ＋y ＋m ＝0．求证：不论m 取何值，直线l 与圆C 恒交于两点．11|342|2=++--=k k k d 43x y 43=222|)|21(r d DE =+,42||2d DE -=,2222||min =DE ,11223=--=AC k 1l k【分析】要证明直线l 与圆C 恒交于两点，可以用圆心到直线的距离小于半径，也可以联立直线和圆的方程，消去y 后用判别式大于零去证明，但此题这两种方法计算量都很大．如果能说明直线l 恒过圆内一定点，那么直线l 与圆C 显然有两个交点．解：因为直线l ：mx ＋y ＋m ＝0可化为y ＝－m (x ＋1)， 所以直线l 恒过点A (－1，0)，又圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25的圆心为(1，2)，半径为5， 且点A 到圆C 的圆心的距离等于 所以点A 为圆C 内一点，则直线l 恒过圆内一点A ， 所以直线l 与圆C 恒交于两点．例5 四边形ABCD 的顶点A (4，3)，B (0，5)，C (－3，－4)，D O 为坐标原点． (1)此四边形是否有外接圆，若有，求出外接圆的方程，若没有，请说明理由； (2)记△ABC 的外接圆为W ，过W 上的点E (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)作圆W 的切线l ，设l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点P 、Q ，求△OPQ 面积的最小值．【分析】判断四点是否共圆，初中的方法是证明一组对角之和为180°，此题此法不易做．如何用所学知识解决问题是此题的关键，如果想到三点共圆，那么可以求出过三点的圆的方程，然后再判断第四点是否在圆上，问题就迎刃而解．解：(1)设△ABC 的外接圆为W ，圆心M (a ，b )，半径为r (r ＞0)． 则W 为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2．由题意，得，解得，所以W ：x 2＋y 2＝25． 将点D 的坐标代入W 的方程，适合． 所以点D 在△ABC 的外接圆W 上，故四边形ABCD 有外接圆，且外接圆的方程为x 2＋y 2＝25． (2)设切线l 的斜率为k ，直线ME (即OE )的斜率为k 1，,522)2()11(22<=-+--).1,62(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--+--=-+-=-+-222222222)4()3()5()0()3()4(r b a r b a r b a ⎪⎩⎪⎨⎧===500r b a∵圆的切线l 垂直于过切点的半径，∴∴切线，整理得而，∵点E (x 0，y 0)在圆W 上，即，∴切线l ：x 0x ＋y 0y ＝25．在l 的方程中，令x ＝0，得，同理 ∴△OPQ 的面积 ∵，(其中x 0＞0，y 0＞0)∴当且仅当时，等号成立． 即当时，△OPQ 的面积有最小值25． 练习8－4一、选择题1．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3 B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝92．圆x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0截直线x －y －5＝0所得的弦长等于( ) A ．B ．C ．1D ．53．若直线与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则( ) ,11k k -= ,,00001y xk x y k -=∴=)(:0000x x y xy y l --=-202000y x y y x x +=+252020=+y x )25,0(,2500y Q y y ∴=).0,25(0x P ,26252525210000y x y x S OPQ ==⋅⋅∆002020225y x y x ≥=+.2525625262500=≥=∆y x S OPQ 22500==y x )225225(，E 62251=+bya xA ．a 2＋b 2≤1B ．a 2＋b 2≥1C ．D ．4．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于点(1，2)对称的圆的方程为( ) A ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝5 B ．(x －4)2＋(y －4)2＝5 C ．(x ＋4)2＋(y ＋4)2＝5 D ．(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝5二、填空题5．由点P (－1，4)向圆x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0所引的切线长是______． 6．若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为______．7．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为的点共有______个． 8．若不等式x 2＋2x ＋a ≥－y 2－2y 对任意的实数x 、y 都成立，则实数a 的取值范围是______． 三、解答题9．已知直线l ：x －y ＋2＝0与圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点． (1)当a ＝－2时，求弦AB 的垂直平分线方程； (2)当l 被圆C 截得弦长为时，求a 的值．10．已知圆满足以下三个条件：①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为．求该圆的方程．11．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：mx ＋y ＋m ＝0．求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度，以及此时l 的方程．11122≤+b a 11122≥+b a )0(33≥=x x y 23255§8－5 曲线与方程【知识要点】1．轨迹方程一般地，一条曲线可以看成动点运动的轨迹，曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程．2．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果曲线C 与方程F (x ，y )＝0之间有如下关系： (1)曲线C 上点的坐标都是方程F (x ，y )＝0的解； (2)以方程F (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．那么，曲线C 叫做方程F (x ，y )＝0的曲线，方程F (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程． 3．曲线的交点已知两条曲线C 1和C 2的方程分别是F (x ，y )＝0，G (x ，y )＝0，那么求两条曲线C 1和C 2的交点坐标，只要求方程组的实数解就可以得到．【复习要求】1．了解曲线与方程的对应关系，体会数形结合的思想、方程思想． 2．会求简单的轨迹方程；能根据方程研究曲线的简单性质． 【例题分析】例1 已知点A (－1，0)，B (2，0)，动点P 到点A 的距离与它到点B 的距离之比为2，求动点P 的轨迹方程．解：设P (x ，y )，则，即 化简得x 2＋y 2－6x ＋5＝0，所以动点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－6x ＋5＝0．⎩⎨⎧==0),(0),(y x G y x F 2||||=PB PA ,2)2()1(2222=+-++yx y x。
高三二轮复习解析几何课件
2
24
它与
y
轴的交点为
ห้องสมุดไป่ตู้
F
0,
x02 4
由于 2
x0
2, 因此 1
x0 2
1
①当 1 t
0 时， 1
t
1 2
1 ，存在 2
x0
(2, 2), 使得
x0 2
t
1 ， 2
即 l 与直线 PA 平行，故当 1 t 0 时不符合题意
相交，交点分别为 D,E，且△QAB 与△PDE 的面积之比是常数？若存在， 求 t 的值；若不存在，说明理由.
解：（1）由 MA 2 x,1 y, MB 2 x,1 y
MA MB 2x2 2 2 y2 ,OM OA OB = x, y0,2 2y ，
（1）直译法：将原题中由文字语言明确给出动
点所满足的等量关系直接翻译成由动点坐标表示的 等量关系式.
（2）代入法：所求动点与已知动点有着相互关 系，可用所求动点坐标（x , y）表示出已知动点的 坐标，然后代入已知的曲线方程.
（3）参数法：通过一个（或多个）中间变量的
引入，使所求点的坐标之间的关系更容易确立，消 去参数得坐标的直接关系便是普通方程.
（2）圆锥曲线
主要考查圆锥曲线的概念和性质，直线与圆锥 曲线的位置关系等，考查方式大致有以下三类：考 查圆锥曲线的概念与性质；求圆锥曲线的方程和求 轨迹；关于直线与圆锥曲线的位置关系。
考查的主要问题：
（1）几何特征问题； （2）运用圆锥曲线定义解决的问题； （3）求曲线方程问题； （4）最值范围问题； （5）探索性问题.
高三数学(理)二轮复习专题六 解析几何6.2课件
1.判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法 (1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于 x，y 的方程组，消去 y(或 x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标； (2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数． 2．依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程组并消元转化为一元 方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为 0，若为 0，则方程为一次方程； 若不为 0，则将方程解的个数转化为判别式与 0 的大小关系求解.
33p，－p2，∴
33p2－－p22＝2，解得
p＝2
6，
∴抛物线 C 的方程为 x2＝2py＝4 6y，故选 D.
答案： D
3．已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2，其焦距为 2c，
点 Qc，a2在椭圆的内部，点 P 是椭圆 C 上的动点，且|PF1|＋|PQ|<5|F1F2|恒成立， 则椭圆的离心率的取值范围是( )
知
kPF＝0－4－－0
＝ 2a
42a＝1，所以
2a＝4，解得 a＝2
2，所以双曲线的方程为
x82－y82＝1，故选 B.
(2)如图，不妨设点 M 位于第一象限内，抛物线 C 的准线交 x 轴于点 A，过 点 M 作准线的垂线，垂足为点 B，交 y 轴于点 P，∴PM∥OF.由题意知，F(2,0)， |FO|＝|AO|＝2.
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)．
因为
4|OF| ＝ |AF| ＋ |BF| ， 所 以
4×
p 2
＝
y1
＋
p 2
＋
y2
2020届高考数学(理)二轮专题复习： 专题六 解析几何 1-6-1 Word版含答案.doc
限时规范训练十五 直线与圆限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2017·山东省实验中学二诊)设a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 所对的边，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直解析：选C.由题意可得直线sin A ·x ＋ay －c ＝0的斜率k 1＝－sin Aa，bx －sin B ·y ＋sin C＝0的斜率k 2＝bsin B ，故k 1k 2＝－sin A a ·bsin B＝－1，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与直线bx －sin B ·y ＋sin C ＝0垂直，故选C.2．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34解析：选D.点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，故可设反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，∵反射光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，∴圆心(－3,2)到直线的距离d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，化简得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－43或－34.3．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( )A.95 B ．1 C.45D.135解析：选 C.圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45. 4．两个圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线的条数为( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选 B.C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝4.圆心距d ＝|C 1C 2|＝＋2＋＋2＝13.|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2，∴两圆C 1与C 2相交，有两条公切线，故选B.5．圆C ：x 2＋y 2－4x ＋8y －5＝0被抛物线y 2＝4x 的准线截得的弦长为( ) A ．6 B ．8 C ．10D ．12解析：选B.依题意，圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋4)2＝25，圆心为(2，－4)，半径为5，抛物线y 2＝4x 的准线为x ＝－1，故弦长为252－＋2＝8，故选B.6．(2017·吉林长春三模)直线kx －3y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －3)2＝10相交所得弦长的最小值为( )A ．2 5 B. 5 C ．210D.10解析：选A.由题意易知直线kx －3y ＋3＝0恒过圆内的定点(0,1)，则圆心(1,3)到定点(0,1)的距离为5，当圆心到直线kx －3y ＋3＝0的距离最大时(即圆心(1,3)到定点(0,1)的距离)，所得弦长最小，因此最短弦长为2×10－5＝2 5.故选A.7．若两直线l 1：3x ＋4y ＋a ＝0与l 2：3x ＋4y ＋b ＝0都与圆x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋1＝0相切，则|a －b |＝( )A. 5 B ．2 5 C ．10D ．20解析：选D.由题意知直线l 1与l 2平行，且它们间的距离等于d ＝|a －b |5；又直线l 1，l 2均与题中的圆相切，因此它们间的距离等于该圆的直径4，即有|a －b |5＝4，即|a －b |＝20，故选D.8．(2017·山东潍坊模拟)圆C ：(x －1)2＋y 2＝25，过点P (2，－1)作圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )A ．1013B ．921C ．1023D ．911解析：选C.因为圆的方程为(x －1)2＋y 2＝25，所以圆心坐标为C (1,0)，半径r ＝5，因为P (2，－1)是该圆内一点，所以经过P 点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦．因为|PC |＝－2＋－2＝2，所以与PC 垂直的弦长为225－2＝223.因此所求四边形的面积S ＝12×10×223＝1023.9．已知P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，PA 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的一条切线，A 是切点，若线段PA 长度最小值为2，则k 的值为( )A ．3B.212C ．2 2D ．2解析：选D.圆C ：x 2＋(y －1)2＝1，圆心C (0,1)，半径r ＝1，圆心到直线的最小距离d ＝5k 2＋1＝22＋12，解得k ＝2或k ＝－2(舍去)，故选D.10．(2017·河北石家庄二检)若圆(x －5)2＋(y －1)2＝r 2(r ＞0)上有且仅有两点到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离等于1，则实数r 的取值范围为( )A ．[4,6]B ．(4,6)C ．[5,7]D ．(5,7)解析：选B.因为圆心(5,1)到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离为|20＋3＋2|5＝5，又圆上有且仅有两点到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离为1，则4＜r ＜6，故选B.11．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：x (y －mx －m )＝0有三个不同的公共点，则实数m 的取值范围是( )A ．(0，3)B ．(－3，0)∪(0，3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33 解析：选D.由x (y －mx －m )＝0可知x ＝0，y ＝m (x ＋1)，当直线y ＝m (x ＋1)与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切时，m ＝±33，当m ＝0时，只有两个公共点，因此m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33，故选D. 12．已知两点M (－1,0)，N (1,0)，若直线y ＝k (x －2)上存在点P ，使得PM ⊥PN ，则实数k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 D ．[－5,5]解析：选B.因为直线y ＝k (x －2)上存在点P ，使PM ⊥PN ，即以MN 为直径的圆x 2＋y 2＝1与y ＝k (x －2)相交或相切，即|－2k |k 2＋1≤1且k ≠0，解得k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎦⎥⎤0，33. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．圆心在直线x ＝2上的圆与y 轴交于A (0，－4)，B (0，－2)两点，则该圆的标准方程是________．解析：根据题意，设圆的方程为(x －2)2＋(y －a )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋－4－a 2＝r 2，－2＋－2－a2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，r 2＝5，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝514．与直线x －y －4＝0和圆A ：x 2＋y 2＋2x －2y ＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．解析：如图，易知所求圆C 的圆心在直线y ＝－x 上，故设其坐标为C (c ，－c )半径为r ，又其直径为圆A 的圆心A (－1,1)到直线x －y－4＝0的距离减去圆A 的半径2，即2r ＝62－2＝22⇒r ＝2，即圆心C 到直线x －y －4＝0的距离等于2， 故有|2c －4|2＝2⇒c ＝3或c ＝1，当c ＝3时圆C 在直线x －y －4＝0下方，不符合题意，故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.答案：(x －1)2＋(y ＋1)2＝215．(2017·山东威海模拟)抛物线y 2＝12x 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，△FPM 的外接圆的方程为________．解析：据题意知，△PMF 为等边三角形，PF ＝PM ，∴PM ⊥抛物线的准线，F (3,0)．设M (－3，m )，则P (9，m )，等边三角形边长为MP ＝2MA ＝2×6＝12，如图．在直角△APF 中，PF ＝12，FQ ＝23FA ＝23×PF 2－PA 2＝23×122－62＝43，外心Q 的坐标为(3，±43)，则△FPM的外接圆的半径为FQ ＝4 3.∴△FPM 的外接圆的方程为(x －3)2＋(y ±43)2＝48. 答案：(x －3)2＋(y ±43)2＝4816．(2017·山东青岛模拟)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．解析：圆C ：(x －4)2＋y 2＝1，如图，直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需保证圆心C 到y ＝kx －2的距离小于等于2即可，∴|4k －2|1＋k2≤2⇒0≤k ≤43. ∴k max ＝43.答案：43。
福建省2020届高考数学文二轮专题总复习 专题6 第3课时 圆锥曲线课件 精品
2.易错易漏 (1)未能准确理解和应用圆锥曲线的定义解决 问题； (2)忽视几何性质在解题中的作用，导致运算 量增大； (3)对含参数问题的讨论不完整，未能根据圆 锥曲线的对称性、几何性质进行有效的分类； (4)对于综合问题未能进行有效的转化与化 归．
3．归纳总结 数形结合、函数与方程、整体与化归等是本 节学习中常用的数学思想．常用的解题方法有待 定系数法、整体消元法、换元法等．对于圆锥曲 线中的求轨迹问题，主要有定义法、参数法、相 关点法，涉及圆锥曲线的焦半径、离心率、准线、 焦点的内容要灵活应用定义来处理．
)．
又因为右焦点F2 1, 0，
uuuuv 所以F2 M
(3，6 x0
y0 2
),
uuuuv F2 N
(3，2 x0
y0 2
)，
uuuuuvuuuuv 所以F1M gF2 N
9
6 。 x02 4
①y1 y2
p2，x1x2
p2 ； 4
②
AB
x1
x2
p
2p
sin 2
(通径长为2 p)；
③SVAOB
p2
2 sin
；
④ 1 1 2； | AF | | BF | p
⑤以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
题型一 圆锥曲线的定义和标准方程
【例1】(2010 泉州高三质检)已知椭 圆C的中心在原点，焦点在x轴上，
【解析】因为点P到直线x 1的距离等于它到
点1, 0的距离，所以由抛物线的定义知，
点P的轨迹为抛物线，其方程为y2 4x.
5.(2011g大连模拟)已知双曲线 x2 y2 1(a，b 0) a2 b2
的右焦点F，若过F 且倾斜角为60的直线l与双曲 线的右支有且只有1个交点，则此双曲线的离心率 e的范围是 ________．
解析几何全册课件
易错点和难点的 避免：认真审题、 仔细计算、规范 答题，避免粗心 大意和盲目做题
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解析几何全册课件大纲
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目录
Contents
01 添 加 目 录 项 标 题 02 解 析 几 何 概 述 03 平 面 解 析 几 何 04 空 间 解 析 几 何 05 解 析 几 何 中 的 变 换 06 解 析 几 何 中 的 重 要 定 理 和 公 式
01
添加章节标题
02
解析几何概述
空间直线方程
空间直线方程的定义 空间直线方程的表示方法 空间直线方程的性质 空间直线方程的应用
空间平面方程
空间平面方程的定义 空间平面方程的表示方法 空间平面方程的性质 空间平面方程的应用
球面和旋转曲面
球面：定义、性质、方程 旋转曲面：定义、性质、方程 球面和旋转曲面的应用：几何、物理、工程等领域 球面和旋转曲面的实例：球、圆柱、圆锥、球面镜等
的应用
空间曲线和 曲面方程： 描述空间中 曲线和曲面 的形状和位
置
空间解析几 何在实际生 活中的应用： 如建筑设计、 机械制造等
领域
变换中的重要定理和公式
旋转变换：旋转角度、旋转中心、旋转 矩阵
投影变换：投影矩阵、投影向量
平移变换：平移向量、平移矩阵
反射变换：反射向量、反射矩阵
缩放变换：缩放因子、缩放矩阵
05
解析几何中的变换
平移变换
定义：将图形 沿某个方向移 动一定距离的
变换
性质：保持图 形的形状和大
小不变
应用：在解析 几何中，平移 变换常用于求 解方程、证明
定理等
例子：平移变 换可以将一个 图形移动到另 一个位置，例 如将直线y=x 平移到y=x+1
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∴
→ PM
→ ·PN
＝(x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)][y2－(m＋1)]＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋
y1y2－(m＋1)(y1＋y2)＋(m＋1)2.
∵x1＋x2＝6，x1x2＝1， ∴y1y2＝(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝1－6＋1＝－4，y1＋y2＝(x1－1)＋(x2 －1)＝6－2＝4. ∴P→M·P→N＝1－6m＋m2－4－4(m＋1)＋(m＋1)2 ＝2(m2－4m－3)＝2(m－2)2－14≥－14， 当且仅当m＝2时，即点P的坐标为(2,3)时，P→M·P→N的最小值为－14.
【分析】(1)设P(x，y)(y≠0)，则kAP＝
y x＋2
，kBP＝
y x－2
，由直线AP，BP的斜率
之积kAPkBP＝－34，能求出动点P的轨迹方程．
(2)设C(x，y)，D(x0,0)，依题意|AD|＝|CD|，从而|x0＋2|＝ x0－x2＋y2，进而2(x
＋2)x0＝x2＋y2－4，由C(x，y)在椭圆上，能求出点D横坐标x0的取值范围． 【解析】(1)设P(x，y)(y≠0)，则kAP＝x＋y 2，kBP＝x－y 2，
(1)求p的值及抛物线的准线方程； (2)求SS12的最小值及此时点G点坐标．
【解析】(1)∵抛物线y2＝2px的焦点为F(1,0)，∴p2＝1，解得p＝2. 抛物线的准线方程为x＝－1. (2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，重心G(xG，yG)． 令yA＝2t，t≠0则xA＝t2. 由于直线AB过F， 故直线AB的方程为x＝t2－2t 1y＋1. 代入y2＝4x，化简得y2－2t2－t 1y－4＝0. ∴2tyB＝－4，即yB＝－2t ，∴Bt12，－2t .
专题讲练
专题6 解析几何
第3讲 解析几何的综合问题
考点
求曲线方程
最值问题 范围问题 探索性与存在 性问题
新课标卷考题统计
2019年 2018年
2017年
卷Ⅱ，21
卷Ⅱ，20 卷Ⅲ，20
卷Ⅱ，21
卷Ⅲ，20
考纲解读
主要考查直线与椭圆、 双曲线、抛物线的位置 关系，主要有求曲线方 程、最值问题、范围问 题、探索性与存在性问 题、证明问题． 题型主要为解答题.
1．应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式， 由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．
2．“相关点法”的基本步骤： (1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)． (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式yx11＝＝gfxx，，yy，. (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．
令m＝t2－2，则m＞0.
SS12＝2－m2＋m4m＋3＝2－m＋1m3 ＋4≥2－2
m1·m3 ＋4＝1＋ 23，
当m＝ 3时，SS12取得最小值为1＋ 23，此时G(2,0)．
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法： 一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性 质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某 个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
【解析】(1)由题设得x＋y 2·x－y 2＝－12， 化简得x42＋y22＝1(|x|≠2)． ∴C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点． (2)(i)证明：设直线PQ的方程为y＝kx(k＞0)．
y＝kx， 联立x42＋y22＝1，
化简得x＝±
2 1＋2k2.
令u＝ 1＋2 2k2，则P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u,0)．
已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直 线与抛物线相交于M，N两点，其中|MN|＝8.
(1)求抛物线C的方程； (2)设直线l为抛物线C的切线且l∥MN，P为l上一点，求P→M·P→N的最小值． 【解析】(1)由题意可知Fp2，0，则该直线方程为y＝x－p2， 代入y2＝2px(p>0)，得x2－3px＋p42＝0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1＋x2＝3p. ∵|MN|＝8，∴x1＋x2＋p＝8， 即3p＋p＝8，解得p＝2.∴抛物线的方程为y2＝4x.
＋by22
＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为
A，离心率为12.已知A是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，F到抛物线的准线l的距离为12.
(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；
(2)设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A)，直线BQ
与x轴相交于点D.若△APD的面积为 26，求直线AP的方程．
将y＝k(x－1)代入x22＋y2＝1， 化简得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0. ∴x1＋x2＝2k42k＋2 1，x1x2＝22kk22－ ＋21. ∴2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝2k21＋1(4k3－4k－12k3＋8k3＋4k)＝0.∴kMA＋kMB＝0. ∴MA，MB的倾斜角互补，即∠OMA＝∠OMB. 综上，∠OMA＝∠OMB.
2．(2019年新课标Ⅱ)已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M(x)求C的方程，并说明C是什么曲线； (2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E， 连接QE并延长交C于点G. (i)证明：△PQG是直角三角形； (ii)求△PQG面积的最大值．
栏 目 导 航
01
真题感悟
02
热点题型
03
精题强化
01
真题感悟
1．(2018年新课标Ⅰ)设椭圆C：
x2 2
＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于
A，B两点，点M的坐标为(2,0)．
(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
(2)设O为坐标原点，求证：∠OMA＝∠OMB.
【解析】(1)∵c＝ 2－1＝1，∴F(1,0)． ∵l与x轴垂直，∴x＝1.
由kAP·kBP＝－34，得x＋y 2·x－y 2＝－34， 化简整理得，动点P的轨迹方程为x42＋y32＝1(y≠0)．
(2)设C(x，y)，D(x0,0)，依题意|AD|＝|CD|， 即|x0＋2|＝ x0－x2＋y2， 平方并移项整理得2(x＋2)x0＝x2＋y2－4. C(x，y)在轨迹上，则x42＋y32＝1(y≠0)， 即y2＝3－34x2且x≠±2. 所以2(x＋2)x0＝14x2－1，x0＝18(x－2)． 因为－2＜x＜2，所以－12<x0<0，即点D横坐标x0的取值范围为－12，0.
x＝1，
x＝1， x＝1，
联立x22＋y2＝1，
解得y＝
2 2
或y＝－
2 2.
∴A1， 22或A1，－ 22. ∴直线AM的方程为y＝－ 22x＋ 2，或y＝ 22x－ 2.
(2)证明：当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°； 当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线， ∴∠OMA＝∠OMB. 当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)，k≠0.A(x1，y1)，B(x2， y2)，则x1＜ 2，x2＜ 2. 由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k，得kMA＋kMB＝x1y－1 2＋x2y－2 2＝2kx1x2x－1－32kxx1＋2－x22＋4k.
又xG＝13(xA＋xB＋xC)，yG＝13(yA＋yB＋yC)，重心在x轴上， ∴2t－2t ＋yC＝0. ∴C1t －t2，21t －t，G2t4－32t2t2＋2，0. ∴直线AC的方程为y－2t＝2t(x－t2)，得Q(t2－1,0)． ∵Q在焦点F的右侧，∴t2＞2.
1 ∴SS12＝122||QFGG||··||yyAC||＝2tt44－－1t2＝2－tt24－－21.
1．曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或 轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上． 那么，这条曲线叫作方程的曲线，这个方程叫作曲线的方程．
2．求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系． (2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)． (3)列式——列出动点P所满足的关系式． (4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程 式，并化简． (5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程． 3．两曲线的交点 由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解， 即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有 几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．
∴PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形．
(ii)由(i)得|PQ|＝2u 1＋k2，|PG|＝2uk2＋1k＋2 k2， ∴S△PQG＝12|PQ|·|PG|＝1＋8k2k12＋2k＋2 k2＝1＋821k＋1k＋kk2. 设t＝k＋1k，由k>0得t≥2，当且仅当k＝1时取等号． ∵S△PQG＝1＋8t2t2在[2，＋∞)单调递减， ∴当t＝2，即k＝1时，S△PQG取得最大值196.
(2)设直线l的方程为y＝x＋b，代入y2＝4x，
得x2＋(2b－4)x＋b2＝0.
∵直线l为抛物线C的切线，∴Δ＝0，解得b＝1.
∴直线l的方程为y＝x＋1.
由(1)可知x1＋x2＝6，x1x2＝1. 设P(m，m＋1)，则P→M＝(x1－m，y1－(m＋1))， P→N＝(x2－m，y2－(m＋1))，
∴直线QE的斜率为2k，方程为y＝2k(x－u)．
联立xy42＝＋2ky22x＝－1u，，
化简得(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0.①