精讲精练：全等三角形证明判定方法分类总结-培优(可编辑修改word版)

.DC⎪⎩ E【知识要点】全等三角形（一）SSS∠A = 50︒, BC = 9cm , CE = 5cm ，求∠EDF 的度数及 CF 的长．1. 全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形．2. 全等图形的性质：（1） 全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等 （2） 全等图形的面积相等3. 全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形（1） 表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于” 如∆ABC 与∆DEF 全等，记作∆ABC ≌ ∆DEF（2） 符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等． （3） 两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．（4） 证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．4. 全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS”．例 3．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证： ∠BAE = ∠CADABEC ⎧AB = DEA如图，在∆ABC 和∆DEF 中⎨BC = EF⎪AC = DF BC ED例 4．如图 AB=DE ，BC=EF ，AD=CF ，求证：（1） ∆ABC ≌ ∆DEF（2）AB//DE ，BC//EFAF∴∆ABC ≌ ∆DEFB【典型例题】FA例 1．如图， ∆ABC ≌ ∆ADC ，点 B 与点D 是对应点，∠BAC = 26︒ ， 且 ∠B = 20︒ ， S ∆ABC = 1， 求 ∠CAD , ∠D , ∠ACD 的度数及∆ACD 的面积．BC例2． 如 图 ， ∆ABC ≌ ∆DEF ，.EBEAC例 5．如图，在∆ABC 中∠C = 90︒, D 、E 分别为 AC 、AB 上的点，且 BE=BC ，DE=DC ， 3． 如 图 ， ∆ABC ≌ ∆BAD ， A 和 B 以 及 C 和 D 分 别 是 对 应 点 ， 如 果求证：（1） DE ⊥ AB ；∠C = 60︒, ∠ABD = 35︒ ，则∠BAD 的度数为（）D C（2）BD 平分∠ABC（角平分线的相关证明及性质）AA 、85︒ C 、60︒B 、35︒ D 、80︒AD4．如图， ∆ABC ≌ ∆DEF ，AD=8，BE=2，则 AE 等于（ ） BA 、6B 、5C 、4D 、3C 第 3 题图CEB【巩固练习】1．下面给出四个结论：①若两个图形是全等图形，则它们形状一定相同；②若AF第 4 题图DBC第 5 题图第 6 题图两个图形的形状相同，则它们一定是全等图形；③若两个图形的面积相等，则它们一定是全等图形；④若两个图形是全等图形，则它们的大小一定相同，其中正确的是（ ）A 、①④B 、①②C 、②③D 、 ③④2．如图， ∆ABD ≌ ∆CDB ，且 AB 和 CD 是对应边，下面四个结论中不正确的是（）5.如图，要使∆ACD ≌ ∆BCE ，则下列条件能满足的是（ ） A 、AC=BC ，AD=CE ，BD=BE B 、AD=BD ，AC=CE ，BE=BD C 、DC=EC ，AC=BC ，BE=ADD 、AD=BE ，AC=DC ，BC=EC6. 如图， ∆ABE ≌ ∆DCF ， 点 A 和点 D 、点 E 和点 F 分别是对应点， 则AB=， ∠A =，AE=，CE= ，AB// ，若 AE ⊥ BC ，则 DF 与 BC 的关系是．7． 如 图 ， ∆ABC ≌ ∆AED ， 若 ∠B = 40︒, ∠EAB = 30︒, ∠C = 45︒,则∠BAC = A 、 ∆ABD 和∆CDB 的面积相等 AD， ∠D =， ∠DAC =．DB 、 ∆ABD 和∆CDB 的周长相等 BCC 、∠A + ∠ABD = ∠C + ∠CBD BAD FED 、AD//BC 且 AD=BCBD E C第 9 题题图8 BE=CD ， A 第E=8AD 题，图则 ∆ABE ∆ACD ， 所以 ∠AEB =第 7 题图DE， ∠BAE = ， ∠BAD =．9. 如图， ∆ABC ≌ ∆DEF ， ∠C = 90︒ ，则下列说法错误的是（）A 、7cmB 、5cmC 、8cmD 、无法确定A 、∠C 与∠F 互余C 、∠A 与∠E 互余B 、∠C 与∠F 互补D 、∠B 与∠D 互余10．如图， ∆ACF ≌ ∆DBE ， ∠E = 30︒, ∠ACF = 110︒, AD = 9cm , CD = 2.5cm ，求∠D 的度数及 BC 的长．2. 如图， ∆ABC ≌ ∆DCE ， ∠A = 48︒, ∠E = 62︒ ，点 B 、C 、E 在同一直线上，E则∠ACD 的度数为（）ABCDA 、 48︒B 、38︒C 、110︒D 、62︒3. 如图， ∆ABC ≌ ∆DEF ，AF=2cm,CF=5cm ，则 AD=．11．如图，在∆ABC 与∆ABD 中，AC=BD ，AD=BC ，求证： ∆ABC ≌ ∆ABD4．如图， ∆ABE ≌ ∆ACD ， ∠A = 100︒, ∠B = 25︒，求∠BDC 的度数．D CAABBC全等三角形（一）作业1．如图， ∆ABC ≌ ∆CDA ，AC=7cm ，AB=5cm.，则 AD 的长是（）5. 如图，已知，AB=DE ，BC=EF ，AF=CD ，求证：AB//CDAFCF6. 如图，已知 AB=EF ，BC=DE ，AD=CF ，求证：① ∆ABC ≌ ∆FED②AB//EFEFAB7. 如图，已知 AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证： ∠BAD = ∠CAEABECDCAE⎨ ⎩全等三角形（二） AD=AE ，∠1=∠2，由此你能得出哪些结论？给出证明.【知识要点】定义：SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”， 几何表示AD【例 3】 如图已知：AE=AF ，AB=AC ，∠A=60°，∠B=24°，求∠BOE 的度数.BEBCEFO如图，在 ∆ABC 和 ∆DEF 中，⎧AB = DEAC⎪∠B = ∠E ⎪BC = EF【典型例题】∴∆ABC ≌ ∆DEF (SAS )【例 4】 如图，B ，C ，D 在同一条直线上，△ABC，△ADE 是等边三角形， 求证：①CE=AC+DC ； ②∠ECD=60°.E【例 1】 已知：如图，AB=AC ，AD=AE ，求证：BE=CD.ABCD【例 5】如图，已知△ABC、△BDE 均为等边三角形。

求证：BD ＋CD=AD 。

ABCABCD【例 2】 如图，已知：点 D 、E 在 BC 上，且 BD=CE ，.DECEED【巩固练习】A1.在△ABC和△A'B'C'中，若AB= A'B'，AC= A'C'，还要加一个角的条件，使△ABC≌△A'B'C'，那么你加的条件是（）DA.∠A=∠A'B.∠B=∠B'C.∠C=∠C'D.∠A=∠B'2.下列各组条件中，能判断△ABC≌△DEF的是（）A．AB=DE，BC=EF；CA=CD B.CA=CD；∠C=∠F；AC=EFC．CA=CD；∠B=∠E D.AB=DE；BC=EF，两个三角形周长相等3．阅读理解题：如图：已知 AC，BD 相交于 O，OA=OB，OC=OD.那么△AOD与△BOC全等吗？请说明理由.△ABC与△BAD全等吗？请说明理由.B5.如图，AE 是∠BAC的平分线，AB=AC（1）若D 是AE 上任意一点，则△ABD≌△ACD，说明理由.（2）若D 是AE 反向延长线上一点，结论还成立吗？请说明理由.小明的解答：OA=OBOD=OC∠1 =∠2≌△BOC而△BAD=△AOD+△ADB所以△ABC≌△BAD（1）你认为小明的解答有无错误；6.如图，已知 AB=AC，EB=EC，请说明 BD=CD 的理由（2）如有错误给出正确解答； AB C4．如图，点 C 是 AB 中点，CD∥BE，且 CD=BE，试探究 AD 与 CE 的关系。

FEDC21AB全等三角形（二）作业F1. 如图，已知 AB=AC ，AD=AE ，BF=CF ，求证： ∆BDF ≌ ∆CEF 。

ABC2. 如图，△ABC，△BDF 为等腰直角三角形。

求证：（1）CF=AD ；（2）CE⊥AD。

ACBDE5. 如图，已知 AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC ，AD=AE ， B求证：（1）BE=DC ，（2）BE⊥DC.ADPQCE6、已知，如图 A 、F 、C 、D 四点在一直线上，AF=CD ，AB//DE ，且 AB=DE ，求证：（1）△ABC ≌△DEF （2）∠CBF=∠FEC3. 如图，AB=AC ，AD=AE ，BE 和 CD 相交于点 O ，AO 的延长线交 BC 于点 F 。

求证：BF=FC 。

AB F C4. 已知：如图 1，AD∥BC，AE=CF ，AD=BC ，E 、F 在直线 AC 上，求证：DE∥BF。

DEODEF7、已知:如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:BD=CE8、如图，正方形 ABCD 的边 CD 在正方形 ECGF 的边 CE 上，连接 BE、DG，（1）观察猜想 BE 与DG 之间的大小关系，并证明你的结论。

（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过程，若不存在，说明理由。

9、已知:如图,AD 是 BC 上的中线 ,且 DF=DE．求证:BE∥CF．（2）求∠AFN大小。

NA C BD C11、已知如图，F 在正方形 ABCD 的边BC 边上，E 在AB的延长线上，FB＝EB，AF 交CE 于G，求∠AGC的度数.A B E12、如图，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF 是正方形，连接AF、BD.(1)观察图形，猜想 AF 与BD 之间有怎样的关系，并证明你的猜想；(2)若将正方形 CDEF 绕点 C 按顺时针方向旋转，使正方形 CDEF 的一边落在△ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.A10、已知 C 为 AB 上一点,△ACN 和△BCM 是正三角形.求证：（1）AM=BNF MDEDE C BGF1 2P 3 4 全等三角形（三）ASA【知识要点】AASA 公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． 如图，在∆ABC 与∆DEF 中∠A = ∠D AB = DE ∠B = ∠EBCD【例 4】已知如图， ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4 ，点 P 在 AB 上，可以得出 PC=PD 吗？试∴ ∆ABC ≅ ∆DEF ( A SA )证明之．B E FASA 公理推论（AAS 公理）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等． DC【典型例题】【例 1】下列条件不可推得∆ABC 和∆A ' B 'C '全等的条件是（ ）A 、 AB=A 'B ' ， ∠A = ∠A ' ， ∠C = ∠C '【例 5】如图， ∠1 = ∠2 = ∠3 ，AC=AE ，求证：DE=BCB 、AB= A ' B ' ，AC=A ' C ' ，BC= B ' C'C 、AB= A' B ' ，AC=A ' C ' ， ∠B = ∠B 'D 、 AB= A ' B ' ， ∠A = ∠A ' ， ∠B = ∠B '【例 2】 已 知 如 图， ∠A = ∠D , AB = DE , AB // DE ，求证：BC=EFADFA2 14EO 3BDC【例 3】如图，AB=AC ， ∠B = ∠C ，求证：AD=AE.1B 2'【例 6】如图， ∠A = ∠D , ∠1 = ∠2 ，AC ，BD 相交于 O ，∆AOE ≅ ∆COF求证：①AB=CD ②OA=ODA DO1 2BC【巩固练习】1. 如图，AB//CD ，AF//DE ，BE=CF ，求证：AB=CDB 5．如图，AB//CD ，AD//BC ，求证：AB=CDADC2．如图，AD//BC ，O 为 AC 中点，过点 O 的直线分别交 AD ，BC 于点 M ，N ，求证：AM=CNAB BC6．已知，如图 AB=DB ， ∠C = ∠E , ∠1 = ∠2 ，求证：AC=DEONDM A DC 3. 求证：两个全等三角形 ABC 与 A' B ' C ' 的角平分线 AD 、A ' D ' 相等AA 'CBDCE'BD '4. 如图，AB ，CD 相交于 O ，E ，F 分别在 AD ，BC 上，若∆EOD ≅ ∆FOB ，求证：.AAEFD 13 42 CF 12 CDD F全等三角形（三）作业1．已知，如图，∠A =∠D, ∠1 =∠2, AF =CD ，求证：AB=DEE 4．已知如图，在∆ABC 中，AD 平分∠BAC, AD ⊥BC ，求证：∆ACD ≅∆ABDBA D CA5．已知如图，∠ACB =∠DBC, ∠DCA =∠ABD, AC = 10cm ，求 BD 的长2.如图，已知∠AED =∠ADE, ∠BAE =∠CAD ，求证：BE=CDABE DC3.已知如图，AB=AD，∠B =∠D, ∠BAD =∠CAE ，求证：AC=AE（要求写出完整的过程）ADCB6、如图△ABC 中，∠B＝∠C，D，E，F 分别在 AB,BC,AC 上，且BD=CE,∠DEF=∠BC 求证：ED=EF AEDBA BE C7、 (1)如图１，以△ABC 的边 AB 、AC 为边分别向外作正方形 ABDE 和正方形ACFG ，连结EG ，试判断△ABC 与△AEG 面积之间的关系，并说明理由．(2)园林小路，曲径通幽，如图２所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是 a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和是 b 平方米，这条小路一共占地多少平方米？EDFBC（图１）8、已知：如图 , AD 为 CE 的垂直平分线 , EF∥BC.求证：△EDN ≌△CDN ≌△EMN．9、 已知：如图 , AB=AC , AD=AE , 求证：△OBD ≌△OCE10、已知：如图 , AB=CD , AD=BC ,O 为 BD 中点 , 过 O 作直线分别与 DA 、BC 的延长线交于 E 、F ．求证：OE=OF11、如图在△ABC 和△DBC 中 , ∠1=∠2 , ∠3=∠4 , P 是 BC 上任意一点．求证： PA=PD.12、已知 ：如图 , 四边形 ABCD 中 , AD∥BC , F 是 AB 的中点 , DF 交 CB 延长线 于 E , CE=CD ． 求证：∠ADE=∠EDC．13、已知：如图 , OA=OE , OB=OF , 直线 FA 与 BE 交于 C , AB 和 EF 交于 O ,求证：∠1=∠2．GAFDA1 2EPFD DFGED 110O全等三角形（四）强化训练1、如图，△ ABC 是等边三角形，点D 、E 、F 分别是线段AB 、BC 、CA 上4、已知：如图，△ABC 中，∠ABC = 45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ．的点，（1）若AD =BE =CF ，问△ DEF 是等边三角形吗？试证明你的结论；（2）若△ DEF 是等边三角形，问AD =BE =CF 成立吗？试证明你的结论．A （ 1）求证：CE =1BF ；2BF =AC ；（ 2）求证：AB E CB H C2、如图所示，已知∠1=∠2，EF⊥AD 于 P，交 BC 延长线于 M，求证：2∠M=（∠ACB-∠B）5、如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB =110 ，∠BOC =．将△BOC绕点C 按顺时针方向旋转60 得△ADC ，连接OD ．（1）求证：△COD 是等边三角形；（2）当=150 时，试判断△AOD 的形状，并说明理BD C M由；A（3）探究：当为多少度时，△AOD 是等腰三角形？3、△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D 为BC 中点，E、F 分别在 AC、AB 上，且DE⊥DF，试判断 DE、DF 的数量关系，并说明理由．CE B CA F BAD MECAM∠DBC=30° =>∠BDC=∠BCD=1/2(180°-30°)=75°，即∠EDC=75° ∠DEC=∠DBC+∠BCA=30°+45°=75° ∴∠EDC=∠DEC =>CD=CE过 A 作AF⊥BC 于 F ，过 D 作 DG⊥BC 于 G ，则 DG=AF=1/2BC=1/2BD ， 在 Rt△BDG 中，DG=1/2BD =>7、过等腰直角三角形直角顶点 A 作直线 AM 平行于斜边 BC ，在 AM 上取点D ，使 BD=BC ，且 DB 与 AC 所在直线交于 E ，求证：CD=CE 。