第三章 静磁场

当研究介质中的磁场时，必须考虑介质的磁化对场的影响。自由电流产生磁场，磁场作用于介质产生磁化电流，又激发磁场，场再作用于介质……也必须象静电学问题一样，求解反映场与介质相互作用的微分方程（在一定边界条件下求解）。
我们先引入静磁场的矢势，导出矢势满足的微分方程，然后再讨论磁标势及其微分方程，最后讨论磁多极展开。
由此看出：矢势 沿任一闭合回路的环量，等于通过以该回路为边界的任一曲面的磁感通量。
4. 与 的对应关系规范条件
（1） 的任意性
由 可唯一地确定 ， 。但由 不能唯一地确定 ，因为如果 ，则 。即在 上加任意的标量函数 的梯度 ，仍与 对应同一 。矢势 的任意性是由于矢势 的环量有意义，而每点的 本身没有直接的物理意义。
，
考虑电流管
为外场穿过 所围面积的磁通量
其中 为电流圈磁矩。 为线圈处外磁场。此式也是小区域内电流分布与外磁场相互作用能的最初级近似。它是相互作用能，而不是势能，不能引入势函数。磁场需要外部电源供给能量，而电场则不需要。
2、电流与磁场的相互作用能
对于电场有
两者相差一个负号，是否意味着磁偶极子受外磁场作用将会倾向于与外磁场反向呢？事实并非如此。以上推导过程中我们没有考虑电流 的变化以及外场的变化（产生外场的电流），此时的作用能没有不考虑位置变化（场的变化）。
在时间 内感应电动势所作的功为
电源为了抵抗此感应电动势，保持 和 不变，必须提供能量
才能保证 和 不变。在此条件下， 和 分别独立存在时的磁能不变（不考虑自感的影响），因此总磁场能量的改变等于相互作用磁能的改变 。
在上面的推导中没有考虑自感的情况，即电流环自己产生的磁场通量未发生变化，即其电流未变化。
三、静电场电标势与静磁场磁标势的对比
可把磁标势法中磁场的有关公式与静电场比较来理解（见教材109页），这样就可把分离变量法等求解静电势的方法用来求解磁标势。
四、例题
求磁化矢量为 的均匀磁化铁球产生的磁场
解：
铁球内外为两均匀区域。在铁球外没有磁荷。在铁球内由于均匀磁化， ，
，
因此磁荷只分布在铁球表面上。球外磁势和球内磁势都满足拉普拉斯方程，
三、矢势的边值关系
在静磁场的边值关系中，是用标势 来表示的。我们在静磁场中，要用矢势 来描述。由第一章我们知道，在两种介质的分界面上，磁场的边值关系为
由 与 ，可得， ,点乘 ，积分后得出 ，
1、切向
在分界面两侧取一狭长回路，计算 对此狭长回路的积分。当回路短边长度趋于零时，
另一方面，由于回路面积趋于零，有
因此
即对外电源对线圈所做的功等于磁能的增量而不是其减小量，这是自然规律。
3、磁场中的势函数
电场中可以引入势，即相应有势能。磁场不可以引入势能，磁场不是保守场。如果定义力学中的势函数（数学上引入的，没有物理意义） 使作功等于势函数的减小，应有
磁偶极子在外场中的势函数为
这与电偶极子在外场中的能量 完全对应。
授课主要内容
备
注
第三章静磁场
本章考虑静磁场的相关问题，此时静电场与静磁场不耦合，可以分开研究。所谓静磁场（准确地说，应该为稳恒磁场），即恒定电流所激发的不随时间变化的磁场。
恒定电流，也就是空间各点电流密度 不随时间变化。这时，可以有 存在，电源及导体表面有电荷存在，但都不随时间变化。由 可知，此时电场 也是存在的，若无电场，则无法维持导体内的电流，但 、 也不随时间变化。由 ，可知，尽管存在 、 ，但它们不随时间变化，不会激发 。因此，对恒定电流激发的磁场，电场与磁场不发生直接联系，不互相激发，可分开处理。
若电流分布为体分布 ， 。
二、磁偶极子的场与标势
由磁偶极子的势 可计算出磁偶极子的场，
（其中， ， ）
由于
所以
如果定义 为磁偶极子的磁标势。
则 ，
总之，一个小范围内的电流分布在远处产生的磁场的最初级近似为磁偶极近似，
矢势的最初级近似 。
磁场的最初级近似 。
三、小区域电流在外场中的能量
1、电流分布 在外场中的相互作用能
五、静磁场的矢势与静电场的标势
静电场
静磁场
无旋场
无源场
可引入标势
可引入矢势
再由
（有源场）
（有旋场）
满足的微分方程
满足的微分方程
解为
解为
能量
能量
第二节磁标势
当用矢势表示磁场时，要求解矢势，应解微分方程的边值问题，但矢量的边值问题比标量的边值问题要复杂得多。另外，对铁磁质 不成立，得不出上节的微分方程。矢势法就不能用了。
，
球外磁势必随着距离增大而减小，因此它的展开式只含有 的负幂次项，
，
球内磁势当 时有限，故只含 的正幂次项
。
铁球表面边界条件为当 （ 为铁球半径）时，
（或 ）
设球外为真空
由边界条件
，
球内磁势当 时有限，故只含 的正幂次项
。
比较 的系数，得
，
，
代入
铁球外的磁场是磁偶极子产生的场，磁矩为
为铁球的体积。这是我们预期的结果。
本节以磁场的散度旋度作为基本定律，从微分方程出发，引入矢势 。由 的方程获得特解 ，由 的旋度求 ，从而得出毕奥——萨伐尔定律。即
与第一章毕奥——萨伐尔定律 相同。
如果全空间中电流分布 给定，就可计算出磁场分布。但问题是，在许多问题中 不是事先给定的（若事先给定，直接利用毕奥——萨伐尔定律即可），而要由电流和磁场的相互作用决定。因而，要在一定边界条件下解矢势的微分方程。
1、矢势的零级近似
由于是恒定电流，因而电流分布必可分解为许多闭合流管，对任一流管
，即
这是与电多极展开不同之处，电势多极展开的零级近似是点电荷的电势——电荷分布区域全部电荷集中在坐标原点时在远处产生的电势。磁多级展开不存在零阶项是因为没有与点电荷对应的项——磁单极项。没有自由磁荷，没有传导磁流。对应于静电中电荷电量为零，在空间中的电势为 。
2、矢势的一级近似
恒定电流可以分成许多闭合电流管，我们就一个电流管计算上式。若线圈电流为 ，则有
由于 为线圈上各点的坐标，因此 （ 表示对带撇的变量微分）。利用全微分绕闭合回路的线积分等于零，得
因此
则
其中 ，是电流体系的磁偶极矩。电流分布是一个小线圈，则 ， 是线圈的面积矢量， ， 为线圈法线方向单位向量， 与电流方向满足右手螺旋关系。
2.某一电流分布与外磁场的相互作用能
设空间存在一电流分布 ，及外磁场，它所对应的矢势为 （ 是由另外的电流分布 产生的，而不是 产生的势 ），则空间中总的电流分布为 ，总的矢势为 。
磁场总能量
当减去各自单独存在时磁场的固有能，其相互作用能为
由于
因而
故 与外磁场 相互作用能为
由于其矢量性，处理矢势要远比标势麻烦。
（2）规范条件
我们知道，想要描述一个场（矢量场），需要知道它的散度与旋度。为了减小 的任意性，我们对 加上限制条件， 。
此规范条件是否一定能够得到满足？
如果有一个 ，它满足 ，但不满足 ，而是满足 ，
则我们可取
满足
则
而
因此是能够找到满足 的 的，对 所加的条件 称为规范条件。
注意的是，不是静磁场，也可以引入矢势。
对于永磁体，它的磁场都是由分子电流激发的没有任何自由电流，因此永磁体的磁场甚至在全空间（包括磁铁内部）都可以用标势来描述。
二、磁标势满足的微分方程
在 的单连通区域中，磁场的基本方程是
注意，第三式是 与 之间普遍成立的关系，不管对什么介质都成立，而 只对均匀、各向同性的介质，磁场较弱时才成立。因此，以下的讨论即使对铁磁质（ 与 之间是非单值的关系）也是适用的。
在某些条件下可引入磁标势，磁标势法的优点是与静电Hale Waihona Puke Baidu的求解非常相似，而且可用于 不成立的铁磁质。
一、磁标势的引入
对静电场，由 ，可引入电势 ， 。类似地，对静磁场，当区域中无自由电流分布 时，由 ，可引入磁标势 ， 。
仅由麦氏方程的微分形式（ ）看，一个区域，只要没有自由电流分布，就可以引入 ，但从麦氏方程的积分形式看问题就不这么简单了，
，
因此 （ ）。
2、法向
规范条件 （类似于 ， ）的边值关系为
（ ）。
这两个边值关系合起来即
，
即两种介质的分界面上矢势 是连续的。
四、静磁场的能量
1.静磁场的能量
在第一章我们已得到，电磁场的总能量
因而静磁场总能量为
由 得
其中利用了公式
所以静磁场总能量为
(在无穷远处 , , ，所以 )
积分只对 的区域进行即可，与静电场的能量表达式类似，不能把 看成能量密度，因为把 对 存在的区域积分得到的能量却是全空间的磁场能量。
由
如果 环链着电流，则就有电流流过曲面 ，此时 ，因而 。就不能引入磁标势，必须是一个区域中所有回路都未环链着电流，那么在这个区域中 沿任一环路的积分 ，才可以在这个区域中得出任一点处 ，才可在这个区域中引入磁标势。这个区域中所有回路都不环链着电流，意味着区域内不仅没有电流分布，而且是单连通的。
例如，有一个电流圈，除此电流圈外空间中无电流分布，如果你只把电流圈抠出，在所剩区域中确实无电流分布，但却不是单连通区域——因为在这区域中存在环链电流的闭合回路，必须在空间中挖出以线圈为边界的一个壳层。这样，所剩下的空间区域才是单连通的——区域中任何回路都不环链着电流。由第0章，我们知道，在单连通区域，如果某一矢量 的旋度为零 ，则矢量 可表示为某个标量的梯度， ， 称为矢量场 的标量势。
若考虑外场变化的情况，设外场是由另一带有电流 的线圈 产生。
则相互作用能可以写为
其中 为线圈 上的电流产生的磁场对线圈 的通量。当线圈运动时，若要保持电流 和 不变，则磁能的改变为
但是由于磁通量的变化，在线圈中产生感应电动势，它对电流做功，就会改变电流 和 的值。为了保持 和 不变，必须由电源提供能量，以抵抗感应电动势所做的功。在线圈 和 上的感应电动势为
是一个什么量？由电场关系式 ，可假想有“磁荷密度” 。如何理解 ？两个离得很近的等量异号电荷形成电偶极子，若把分子电流看成磁偶极子可把它假想为一对磁荷形成，于是 满足磁标势的微分方程
需要注意的是，磁荷是假想的，它只是 的代名词。没有自由磁荷，这是由于磁荷都是分子电流的磁偶极矩假想而来的，到目前为止，实验上还没有发现以磁单极子形式存在的自由磁荷。
第一节矢势及其微分方程
一、矢势的引入
1.静磁场的基本方程
恒定电流的磁场的基本方程是
，（此处 为自由电流密度 ）
。
再加上描写介质性质的方程（例如 ，均匀各向同性的线性介质）。
2.矢势
由于磁场是无源场 ，因此 可表示另一矢量 的旋度，
，
称为磁场的矢势。
3.矢势的物理意义
为讨论 的物理意义，对曲面S（其边界为闭曲线L），求 的通量
球内磁场是
铁球内外的 和 。 线总是闭合的，而 线则不然。 线从右半球面的正磁荷发出，止于左半球的负磁荷。在铁球内部， 和 反向，说明磁铁内部的 和 是有很大的差异。
代表磁铁内的总宏观磁场，即在物理小体积内对微观磁场的平均值，而 仅为一辅助场量。
静电场
静磁场
无旋场
无源场
（由此，历史上人们错误地认为 与 相对应）
我们知道电荷体系与静电场的相互作用能就是电荷体系在静电场的势能，但在静磁场的势函数与相互作用能并不相等。
磁偶极子在外场中的所受的力为
现在体系包括有相互作用的三个方面：外电源、电磁场、以及两个线圈上的电流。必须把这三个方面包括在内，才能应用能量守恒定律。电源为抵抗感应电动势必须提供两部分能量，一部分用来改变磁场的相互作用能，继而增加磁场的总能量，一部分对线圈作功。从下面可以看出，这两部分是相等的。下面设线圈移动时场对它作功 。能量守恒要求：
可得 ，因此 。
式中 为电流分布区域中的点（源点）的坐标， 为观察点（场点）的坐标，
这样得到的 是否满足规范条件
回忆第一章§2为证明 满足 ，曾引入 （那里是对真空证明的，因而 ）。第一章中已证明 ,因而我们这里的 也满足 ，因此 是矢势微分方程的解。第一章是从毕奥——萨伐尔定律出发，得出磁场的旋度、散度（微分方程）。
二、矢势的微分方程（只对 与 有线性关系时成立）
1、微分方程
对均匀各向同性介质，外场不太强时（保证线性），有
把此式及 ，代入 ，有
而 ，考虑到 满足规范条件 有
，
即 。（ 为自由电流密度）称为矢势的微分方程。
2、矢势的微分方程的解
的每一直角分量 满足泊松方程 。
把它与静电势满足的微分方程及解类比 ，
第三节磁多极矩
类似于静电的情况，我们讨论分布在小区域 中的恒定电流所激发的磁场在远处的展开式。与电多极矩对应，引入磁多极矩概念，并讨论这种电流分布在外场中的能量问题。
一、矢势的多级展开式
给定电流分布在空间中激发的磁场的矢势为
，
对于小区域内，场点离该区域较远，我们可以把矢势作多级展开。区域内某点 为坐标原点，把 的级数展开式代入上式可得