(参考资料)二元函数的微分中值定理及罗比达法则
(整理)第六节 洛必达法则
第一节洛必达法则在上一章中我们研究了导数的概念以及它们的计算方法,本章将利用导数来研究函数在区间上的某些特性,并利用这些特性解决一些实际问题一. 微分学中值定理[拉格朗日中值定理]如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那末在(a,b)内至少有一点c，使即成立。
这个定理的特殊情形，即：的情形，称为罗尔定理。
[ 罗尔定理]若在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且，那末在(a,b)内至少有一点c，使成立。
下面我们在学习一条通过拉格朗日中值定理推广得来的定理——柯西中值定理[柯西中值定理]如果函数，在闭区间[a ，b]上连续，在开区间(a ，b)内可导，且≠0，那末在(a ，b)内至少有一点c ，使成立。
在求函数的极限时，常会遇到两个函数)(x f 、)(x F 都是无穷小或都是无穷大时，求它们比值的极限，此时极限)()(limx F x f 可能存在，也可能不存在．通常把这种极限叫做未定式，并分别简称为00型或∞∞型。
例如，xx x sin lim 0→就是00型的未定式；而极限x x x ln lim +∞→就是∞∞型的未定式．我们容易知道，对于未定式的极限求法，是不能应用"商的极限等于极限的商"这个法则来求解的，那么我们该如何求这类问题的极限呢？ 计算未定式的极限往往需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算. 这种变形没有一般方法，需视具体问题而定，属于特定的方法. 本节将用导数作为工具，给出计算未定式极限的一般方法，即洛必达法则. 本节的几个定理所给出的求极限的方法统称为洛必达法则.一、00型未定式定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x（3）)()(lim0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)(lim 0x F x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.例1计算极限0e 1lim x x x →-.解 该极限属于“00”型不定式，于是由洛必达法则，得0e 1limx x x→-0e lim 11xx →==. 例2计算极限0sin lim sin x axbx →．解 该极限属于“0”型不定式，于是由洛必达法则，得00sin cos lim lim sin cos x x ax a ax a bx b bx b→→==．注 若(),()f x g x ''仍满足定理的条件，则可以继续应用洛必达法则，即()()()lim lim lim ()()()x a x a x a f x f x f x g x g x g x →→→'''==='''． 例3 计算极限33221216lim 248x x x x x x →-+--+．解 由洛必达法则，得33221216lim 248x x x x x x →-+--+222312lim 344x x x x →-=--263lim 642x x x →==-． 例4 计算极限arctan 2lim 1x xxπ→+∞-．解 arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2211lim 1x x x →+∞-+=-22lim 11x x x →+∞==+． 二、∞∞型未定式定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则注：上述关于0x x →时未定式∞∞∞∞型同样适用．例5 计算极限ln lim(0)x xx αα→+∞>．解 此极限满足洛必达法则，于是得11ln 1lim lim lim 0x x x x x x x x ααααα-→+∞→+∞→+∞===． 例6 计算极限lim (0)nx x x n e →+∞>．解 所求问题是∞∞型未定式，连续n 次施行洛必达法则，有lim e n x x x →+∞1lim e n x x nx -→+∞=2(1)lim e n xx n n x -→+∞-= !lim 0e x x n →+∞===．例7 计算极限20tan lim sin x x xx x →-．解 20tan lim sin x x x x x →-30tan limx x xx →-=（利用等价无穷小量代换sin x x ） 22222000sec 1tan 1tan 1lim lim lim(3333x x x x x x x x x →→→-====． 使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则；（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．习题4-61.用洛必达法则求下列极限：（1）πππ--→x x x )sin(lim； （2）x xx 2tan 3tan lim 0→；（3）)0(ln lim >+∞→n xxn x ； （4）为常数）、n m x x n n m m x ,0(lim ≠--→αααα； （5）20)1ln(lim xx x +→； （6）x arc x x cot )11ln(lim ++∞→； （7）xx xe e x x x sin 2lim 0----→； （8）x x x 2tan ln 7tan ln lim 0+→．4. 洛必达法则在使用洛必塔法则时应注意以下几点：①洛必塔法则只适用于00型或∞∞型的极限. ②如果(x )g )( lim ''x f 仍是00型或∞∞型,则可继续使用洛必塔法则.③如果(x )g )( lim ''x f 不存在且不是∞,并不表明g(x ))( lim x f 不存在,只表明洛必塔法则失效,这时应用其他方法求解.第二节函数的极值 一、函数单调性的判定法函数的单调性也就是函数的增减性，怎样才能判断函数的增减性呢？我们知道若函数在某区间上单调增(或减)，则在此区间内函数图形上切线的斜率均为正(或负),也就是函数的导数在此区间上均取正值(或负值).因此我们可通过判定函数导数的正负来判定函数的增减性. 判定方法[定理] 设函数()y f x =在],[b a 上连续，在),(b a 内可导.（１）如果在),(b a 内0)(>'x f ，那么函数()y f x =在],[b a 上单调增加； （２）如果在),(b a 内0)(<'x f ，那么函数()y f x =在],[b a 上单调减少. 证明 （1）由于函数)(x f 满足拉格朗日中值定理条件，故在],[b a 上任取两点21,x x （不妨设21x x <），必有),,(21x x ∈ξ使))(()()(12a b f x f x f -'=-ξ如果0)(>'x f ，必有0)(>'ξf ，于是0)()(12>-x f x f ，即 ).()(21x f x f < 这表明函数()y f x =在],[b a 上单调增加.同理可证，如果0)(<'x f ，函数()y f x =在],[b a 上单调减少.注：（1）在上面定理的证明过程中易于看到，闭区间],[b a 若改为开区间),(b a 或无限区间，该定理结论同样成立． （2）有的可导函数在某区间内的个别点处，导数等于零，但函数在该区间内仍旧是单调增加（或单调减少.例如，幂函数3x y =的导数23x y ='，当0=x 时，.0='y 但它在),(+∞-∞内是单调增加的，如图所示．(图4-2)图4-2[例1]讨论函数ln y x =的单调性. 解 ln y x =的定义域为(0,)+∞. 因为10[(0,)]y x x'=>∈+∞，所以ln y x =在其定义域(0,)+∞内单调增加. [ 例2]：确定函数的增减区间.解：此函数的定义域为(－∞,＋∞) 因为：，所以可以判出：当x ＞0时，＞0，故它的单调增区间为(0,＋∞)； 当x ＜0时，＜0，故它的单调减区间为(-∞,0)；注：此判定方法若反过来讲，则是不正确的。
3.1微分中值定理与洛必达法则
二、洛必达法则：
1、未定式：在求函数极限 lim f (x) 时，我们会遇到 g(x)
lim f (x) 0 （或为 ）、 limg(x) 0 （或为 ），
这时由于 lim f (x) 可能存在也可能不存在，我们将 g(x)
这种“ 0 ”型或“ ”型成为未定式.
0
二、洛必达法则：
设函数 f (x) 和 g(x) 满足下列条件：
3.1微分中值定理与罗必塔法则 一. 微分中值定理
1.罗尔中值定理 设 (1) f (x) C([a, b]) ; (2) f (x) 在 (a, b) 内可导 ;
(3) f (a) f (b) ,
则至少存在一点 (a, b) , 使得 f ( ) 0 .
y y f (x)
A
B
Oa
bx
x x
x
x
设 f (x) x5 5x 1, 则 f (x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且
由介值定理知存在 x0 (0,1), 使
f (x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根
2) 唯一性 .
假设另有
f (x)在以
x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
至少存在一点
即 f (x) 0 至少有三个实根.
f (x) 是四次多项式, f (x) 是三次多项式,
f (x) 0 至多有三个实根.
综上所述, f (x) 0 仅有三个实根 , 分别在 (a, b), (b, c), (c, d)中.
例2. 证明方程
有且仅有一个小于1 的
正实根 .
证: 1) 存在性 .
如何利用罗尔定理 来证明？
证 令 (x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a)
4.1 微分中值定理及洛必塔法则
练习二 下列函数在指定的区间上是否满 足拉格朗日定理的条件？如满足，就求出定理 足拉格朗日定理的条件？如满足， 中的 ξ . 3 3 ξ =± (1) f ( x ) = 2 x , [ − 1,1] 3
(2) f ( x ) = arctan x, [0,1]
3 2
ξ=
4
π
−1
(3) f ( x ) = x − 5 x +x − 2, [ − 1,0]
练习三
利用洛必达法则求下列极限
(1) (2) (3) (4)
(1 + x )α − 1 lim (α 为任意实数) = α x →0 x ln x lim 2 = ∞ x →1 ( x − 1) x − sin x 1 lim = 3 x →0 x 6 2 x3 − 6 x + 4 lim 3 =6 2 x →1 x − 2 x + x
f ′( x) = A( 或 ∞) . (3) lim x → x g ′( x )
0
f ( x) f ′( x) = lim = A( 或 ∞)． 则 lim x→ x g ( x) x → x g ′( x )
0 0
例4 解
ln cot x 求 xlim ． →0 + ln x
当 x → 0+ 时，有 ln cot x → ∞ 和 ∞ 型未定式. ln x → −∞ ，这是 型未定式.由罗必达法 ∞ 则 1 tanx ⋅ (− 2 ) ln cot x x sin x = − lim = lim lim x →0 1 x →0 + cos x sin x x →0 + ln x x 2x = − lim = −1 + x → 0 sin 2 x
微分中值定理和洛必达法则证明及应用浅析
微分中值定理和洛必达法则证明及应用浅析一、微分中值定理的证明和应用1.拉格朗日中值定理的证明：拉格朗日中值定理表述如下：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
拉格朗日中值定理是根据泰勒展开式推导而来。
设函数f(x)在区间[a,b]上满足条件，则对于任意的x∈(a,b)，都可以将f(x)展开成泰勒级数，即：f(x)=f(a)+f'(c)(x-a)其中c∈(a,b)。
因此，当x在(a,b)范围内变化时，根据泰勒展开式可知，存在至少一个c使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
2.拉格朗日中值定理的应用：拉格朗日中值定理常用于证明函数的性质以及求解函数的近似值，如用于证明介值定理、判定函数单调性、证明零点存在等。
它也可以用于求解极值问题，通过求解函数的导数等于零的方程，找到函数的极值点。
此外，拉格朗日中值定理还可以用于证明柯西中值定理。
3.柯西中值定理的证明：柯西中值定理是微分中值定理的推广，它表述如下：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，并且g'(x)≠0，则存在至少一点c∈(a,b)使得[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(c)/g'(c)。
柯西中值定理的证明可以通过构造辅助函数来实现。
设辅助函数h(x)=[f(b)-f(a)][g(x)-g(a)]-[g(b)-g(a)][f(x)-f(a)]，然后根据辅助函数的性质，利用拉格朗日中值定理证明存在一些c，使得h'(c)=0。
进而，可以得到[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(c)/g'(c)。
4.柯西中值定理的应用：柯西中值定理常用于证明函数之间的关系以及求解函数的极值问题。
例如，可以用柯西中值定理来证明洛必达法则，即如果两个函数f(x)和g(x)在x->a时都趋于零，且g'(x)≠0，则f'(x)/g'(x)在x->a时也趋于零。
中值定理与洛必达
例题讨论
例1： 验证罗尔定理对函数 f (x) = sin x 在 [ 0，π ] 上的正确性，并求出 ξ 。
证： f(x ) sx i在 n [0 ， ]连 ,在 (0 续 ,)可
f(0 ) f() 0满足罗尔定理条件，
f(x)cox,s f() c o,s
要f( 使 ) co 0 s ,有 (0,), 2 ∴ 罗尔定理成立。
辅助函数 φ (x) , 且要满足 a b ,
注意，弦ABy的f 方a 程 ： fb fa x a
若 x 取 fx y ， b a
f (x) 为曲线AB上纵坐标，
y 为弦AB上的纵坐标。 ∵曲线AB与弦AB交于A、B点，此处它们的
拉格朗日中值定理：
若函数 f (x)（1）在 [ a, b ] 上连续，
（2）在（a, b）内可导，
则在（a, b）内至少存在一点 ξ ，使得： f ( b ) f ( a ) f () b ( a )①
几何意义：
y
B
式 ① 可写成:
ffbfa②
ba
A
O
而右端正是AB弦的斜率 .
a
ξ1
ξ2 b x
在上述条件下，曲线AB上至少有一点ξ， 使 ( ξ, f (ξ)) 处的切线平行于 AB 弦。
显然，罗尔定理 是 L — 定理 的特殊情况 ：
弦 AB 平行于 x 轴。
y
y
B
A
O a ξ1
ξ2 b x O a ξ1
ξ2 b x
证：（1）分析： 希望能用罗尔定理来证，
这样就要使两端点函数值相等，为此引进
若 f(x ) 设 ( 2 n 1 ) x 2 n 4 x 1 ， 证明f方 (x)程 0在 [1,0]中至少有
微积分中的微分中值定理和洛必达法则
微积分中的微分中值定理和洛必达法则微积分是数学的一个分支，它主要研究函数的极限、导数和积分，以及它们之间的关系。
微分中值定理和洛必达法则是微积分学的两个重要的定理，它们在计算函数的极限值和导数时非常有用。
下面，我们将介绍微分中值定理和洛必达法则的定义和应用。
一、微分中值定理微分中值定理是微积分学中的一个重要定理，它表述了函数在某个区间上的导数至少在一个点等于该区间两个端点的函数值之差除以区间的长度。
这个定理有两个不同的版本，分别是拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理又称为有限增量定理，它表明，如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，则在(a,b)至少存在一个点c，使得$$ f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$其中，a<b。
该定理的证明需要使用罗尔中值定理，因为罗尔定理可以将f(x)的在a和b处的导数相等的情况排除掉。
2. 柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的加强版，它表明，如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，且g'(x)≠0，则在(a,b)内至少存在一个点c，使得$$ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)} $$其中，a<b。
该定理的证明需要使用拉格朗日中值定理，因为拉格朗日定理只能刻画单个函数的增量，而柯西定理刻画的是两个函数的比值所对应的增量。
二、洛必达法则洛必达法则是微积分学中的重要工具之一，它用于计算一些不定形式的极限，可以有效地避免不必要的推导和繁琐的计算。
它的基本思想是将一个复杂的极限转化为一个简单的比值的形式，然后计算这个比值的极限。
下面，我们介绍一下洛必达法则的具体应用方法：1. 分子分母都趋于无穷或者零如果一条极限式子的分子和分母都趋于正无穷或负无穷或者都趋于零，那么我们就可以利用洛必达法则计算它的极限。
第一部分微分中值定理洛必达法则教学-PPT精选
通常称为未定式，分别记为 0 和 。
0
下面介绍利用导数求未定式极限的一个简单而 有效的方法——罗必达法则。
1、 0 型未定式：
0
定理：若函数 f(x)和g(x) 满足下列条件：
(1 ) lim f(x ) 0 ,lig m (x ) 0 ;
[0, x]上满足拉格朗日定理的条件，因此有
f ( x ) f ( 0 ) f () x ( 0 ) ( 0 , x )
即 ln(1x) x
1
由于 0x ， 所以
x x x
1x 1
即
x ln1(x)x
1x
二、罗必达法则
如果当 x x0(或 x )时，两个函数f(x)和g(x) 的极限都为零或都趋于无穷大，极限
第一节 微分中值定理 洛必达法则
一、微分学中值定理 二、罗必达法则
一、微分学中值定理
1、罗尔定理 定理1 （罗尔定理）如果函数 y f(x)满足下
列条件： （1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间（a,b)内可导； （3）f(a)=f(b)。
则在开区间（a,b)内至少存在一点 ，使得
f()0
lim2x3
xlnx
1
x
例9 求 lim lnsin3x
x0 ln sin x
解
limlns
in3x lims
1 .3c in3x
o3sx
x0 lnsinx x0
1 .coxs
sinx
3lim co3xs.lim six n x 0 coxsx 0si3 nx
x x 0
第一节 微分中值定理与洛必达法则_高等数学_[共6页]
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第三章导数的应用– 59 –第三章 导数的应用在上一章中，我们已经研究了导数与微分的概念及运算。
本章在介绍微分中值定理的基础上引出求极限的新方法—洛必达法则，并以导数为工具进一步研究函数以及曲线的某些性态，以及利用这些知识解决一些实际问题。
本章要求：了解罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论，会用拉格朗日定理证明简单的不等式；掌握洛必达法则，会用它求未定式极限；了解驻点、极值点、极值、凹凸、拐点等概念；掌握用一阶导数求函数单调区间、极值与极值点的方法，了解可导函数极值存在的必要条件；知道极值点与驻点的区别与联系；会利用函数的增减性证明简单的不等式；会用二阶导数求曲线的凹凸区间，会求曲线的拐点；会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线；掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法，以几何问题、经济问题为主。
第一节 微分中值定理与洛必达法则一、微分中值定理微分中值定理在微积分理论中占有重要地位，它们是应用导数研究函数性态的理论基础。
微分中值定理主要包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西定理。
1．罗尔定理定理1 若函数()f x 满足下列条件：（1）在闭区间[]a b ，上连续；（2）在开区间()a b ，内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即()()f a f b =；那么在区间()a b ，内至少存在一点ξ，使得()0f ξ′=。
罗尔定理的几何意义：如图3-1所示，函数()y f x =在[]a b ，上连续，在()a b ，内可导说明了函数()y f x =的图形是一条光滑的连续曲线，且除端点外处处都有不垂直于x 轴的切线，()()f a f b =说明两端点的纵坐标相等，定理的结论表示，曲线图3-1高等数学– 60 – 上至少存在一点（曲线的最高点或最低点），该点处的切线是水平的。
【例1】验证函数()f x =在区间[03]，上满足罗尔定理，并求出ξ的值。
解函数()f x =在区间[03]，上显然满足罗尔定理的前两个条件，且(0)0f =，(3)0f =，即第三个条件也成立，因此函数()f x =在区间[03]，上满足罗尔定理。
中值定理与洛必达
05 中值定理与洛必达的扩展
CHAPTER
中值定理的推广形式
广义中值定理
在更广泛的函数空间中，如连续函数、可微 函数等，中值定理的适用范围得到了扩展。
边界中值定理
在函数的边界上，存在某些中值定理的形式，这些 定理描述了函数在边界上的性质。
高阶中值定理
对于高阶可导函数，存在高阶中值定理，这 些定理揭示了函数的高阶导数与零点的关系 。
柯西中值定理的证明
总结词
详细描述
通过构造辅助函数和运用拉格朗日中值定理， 证明柯西中值定理。
首先，我们构造一个辅助函数$F(x)$和 $G(x)$，满足在开区间$(a, b)$上可导，并 且满足一定的连续性条件。然后，我们利用 拉格朗日中值定理，知道存在至少一个点 $c$满足$frac{F'(c)}{G'(c)}=frac{F(b)F(a)}{G(b)-G(a)}$。这就证明了柯西中值定 理。
04
洛必达法则的求导方法
洛必达法则的求导方法包 括
2. 使用链式法则进行求导；
4. 使用商式法则进行求导；
1. 使用导数的定义和性质 进行求导；
3. 使用乘积法则进行求导；
5. 使用复合函数求导法则 进行求导。
03 中值定理与洛必达的应用
CHAPTER
在求解极限问ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ中的应用
01 02
极限的定义
柯西中值定理
总结词
柯西中值定理是微分学中的一个重要定 理，它说明了如果两个函数在闭区间上 连续，开区间上可导，且在该区间内函 数$f(x)$的导数不等于零，则至少存在一 点，使得两个函数在该点的导数之比等 于它们在该区间两端点处的函数值之比 。
VS
详细描述
高教社2024高等数学第五版教学课件-3.1 微分中值定理与洛必达法则
二
洛必达法则
1.未定式
当 → 0 （→ ∞ ） 若两个函数()与()都趋于零或者
()
都趋于无穷大，则极限
可能存在，也可能不存在.
()
→0
这种极限叫做未定式
通常把
0
∞
并简记为“ ”型或“ ”型．例如，
0
−
′ − ′()
显然 如果取() = 那么() − () = − ′ () = 1 从而柯西中值公
式就可以写成
() − () = ′ ()( − )
( < < ) .
这样就变成拉格朗日中值公式了，因此拉格朗日中值定理是柯西中值定理在取
′ () ≡ 0.
若 ≠ 由于() = ()，则最大值和最小值至少有一个在区间内部取
得，不妨设有一点 ∈ (, )使() = (如图3—1)．从而有
−
−
→
≥0
−
+
−
→
≤0
−′ = −
+′
=
故 ′ = 0.
→0
1
2
∞
这是1 型未定式,( )
1
2
+ ( ) =
→0
1
2
2
→0+
=
=
(
−
→0+ 2
1
)2
1
2
−
=
= .
2
,
0
0
∞
∞
本节的定理只能用于 或 型的函数的极限,对其他未定型必须先化为两种类
第三章微分中值定理罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 (洛必达法则) 第三节泰勒公式 麦克劳林
第三章 微分中值定理与导数的应用第一节 微分中值定理一、罗尔定理 1、 费马定理：设)()(0f D x U ⊂,)()(0x f x f ≤[或)()(0x f x f ≥],)(0x U x ∈，若)()(0x D x f ∈，则0)(0='x f .证明：由于0)()(0≤-x f x f ,)(0x U x ∈，那么0)()(lim )(0000≥--='-→x x x f x f x f x x ,(因00<-x x )0)()(lim )(0000≥--='+→x x x f x f x f x x ,(因00>-x x ) , 所以 0)(0='x f .2、罗尔定理：设],[)(b a C x f ∈,),()(b a D x f ∈,且)()(b f a f =，则),(b a ∈∃ξ,..t s 0)(='ξf . 证明：因],[)(b a C x f ∈,],[,b a x x M m ∈∃，..t s)}({min )(x f x f m bx a m ≤≤==, )}({max )(x f x f M bx a M ≤≤==.(1) 当M m =时,则],[,)(b a x M x f ∈≡,那么),(,0)(b a x x f ∈≡'.取 ),(2b a ba ∈+=ξ，有0)(='ξf . (2) 当M m <时, 因)()(b f a f =,),()(b a D x f ∈,① 若M a f <)(,有),(b a x M ∈, 取M x =ξ； ② 若M a f =)(,有),(b a x m ∈, 取m x =ξ；因),(b a ∈ξ,)()(ξD x f ∈,由费马定理知：0)(='ξf .3、几何意义x yO)(x f y =ξyC)(x f y =A Ba OxξyC)(x f y =A Ba Oxb曲线)(x f y =在两个端点等高，则曲线内必有一水平切线。
利用洛必达法则求解二元函数的极限
利用洛必达法则求解二元函数的极限在高等数学中，洛必达法则是一种常用的求解极限的方法。
它可以用于求解二元函数的极限。
本文将介绍洛必达法则的基本概念以及应用方法，并结合实例进行详细解析。
一、洛必达法则的基本概念洛必达法则是由法国数学家洛必达（L'Hospital）在17世纪提出的一种极限计算法则。
它适用于计算形如$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$的极限。
其基本思想是将极限转化为函数的导数的极限。
二、洛必达法则的应用方法根据洛必达法则，若要计算二元函数$\frac{f(x)}{g(x)}$在$x=a$处的极限，当 $\lim \limits_{x \to a}f(x) = 0$且$\lim \limits_{x \to a}g(x) =0$，或者 $\lim \limits_{x \to a}f(x) = \infty$且$\lim \limits_{x \to a}g(x) = \infty$时，可以进行以下步骤：1. 求出$f(x)$在$x=a$处的导数$f'(x)$和$g(x)$在$x=a$处的导数$g'(x)$；2. 计算$\lim \limits_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$；3. 若存在极限$\lim \limits_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$，则$\lim\limits_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim \limits_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$。
三、实例解析现以二元函数$\frac{x^2-1}{x-1}$为例来说明洛必达法则的应用方法。
首先，我们计算$f(x)$和$g(x)$在$x=1$处的导数：$$f'(x)=\frac{d}{dx}(x^2-1)=2x$$$$g'(x)=\frac{d}{dx}(x-1)=1$$然后，我们计算$\lim \limits_{x \to 1}\frac{f'(x)}{g'(x)}$：$$\lim \limits_{x \to 1}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim \limits_{x \to1}\frac{2x}{1}=2$$由洛必达法则的推导，我们知道在$x=1$处的极限$\lim \limits_{x \to 1}\frac{x^2-1}{x-1}$等于$\lim \limits_{x \to 1}\frac{2x}{1}$，即极限为2。
洛必达法则
1
复习
微分中值定理
一、罗尔 (Rolle) 定理 二、拉格朗日中值定理
设函数 f(x) 满足条件: 设函数 f(x) 满足条件:
(1)在闭区间a, b 上连续；(1)在闭区间a, b 上连续；
(2)在开区间(a, b)内可导； (2)在开区间(a, b)内可导；
(3) f (a) f (b),
(一)" 0 "型未定式计算法 0
定理(洛比达法则) 若f (x)和g(x)满足下列条件：
(1) lim f ( x) 0, lim g( x) 0;
x x0
x x0
(2)
在点x
的
0
某邻
域
内(点x
可
0
以
除外),
f
( x)与g( x)
存在, 且g( x) 0;
(3) lim f ( x) A(或)， xx0 g( x)
柯西定理
特例
特例
微分中值定理建立了函数在一个区间上的增量(整体
性)与该区间内某点处的导数(局部性)之间的关系,搭建了
导数与函数增量之间的桥梁,使导数成为研究函数性态
的工具.
5
第二节 洛必达法则
6
第二节 洛必达法则
确定未定式的极限是求极限的主要类型．常见的
未定式主要有： 在同一极限过程下
由无穷小的商和无穷大的商形成的
f(a)= f,(b)
ba
中值定理之间关系
f ( ) Leabharlann 0在柯西定理中, 若取 g(x)= x, 则得到拉格朗日定理。
因此，柯西定理可以看成是拉格朗日定理的推广。
在拉格朗日定理中, 若取 f(a)= f,(b) 则得到罗尔
微分中值定理和洛必达法则证明及应用浅析
微分中值定理和洛必达法则证明及应用浅析对于微分学，我们在高中就开始接触到导数的知识点，微分学同时也是大学数学的重要内容。
其中微分中值定理是微分学中的重要定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理等。
本文主要介绍这几个主要的微分中值定理和洛必达法则，并加以证明。
关于微分中值定理的证明费马引理在证明微分中值定理前，我们首先引进费马引理，对于费马定理通过证明函数的每一个极值都是驻点（函数的导数在该点为零），该定理给出了一个求出可微函数的最大值和最小值的方法。
定义：函数f（某）在点ξ的某邻域U（ξ）内有定义，并且在ξ处可导，如果对于任意的某∈U（ξ），都有f（某）<=f（ξ）（或f （某）>=f（某）），那么f（ξ）=0。
证明：设f（某）在ξ处最大，故不论Δ某是正数还是负数，我们总会得到：罗尔定理定义：如果R上的函数f（某）满足以下条件：1）在闭区间[a，b]上连续，2）在开区间（a，b）内可导，3）f（a）=f（b），则至少存在一个ξ∈（a，b），使得f（ξ）=0。
证明：因为函数f（某）在[a，b]上连续，在（a，b）上可导，且f （a）=f（b）。
所以存在最大值与最小值，不妨设为M与m，分两种情况讨论：拉格朗日中值定理拉格朗日的几何意义在于：若连续曲线y=f（某）在A（a，f（a）），B（b，f（b））两点间的每一点处都有不垂直于某轴的切线，则曲线在A，B间至少存在1点P（c，f（c）），使得该曲线在P点的切线与割线AB平行。
定义：设函数f（某）满足条件：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）可导；则至少存在一点ε∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f（ε）（b-a）证明：已知f（某）在[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，我们可以构造辅助函数：證明洛必达法则求极限是高等数学中最重要的内容之一，也是高等数学的基础部分，因此熟练掌握求极限的方法对学好高等数学具洛必达法则有重要的意义。
中值定理与洛必达法则与导数的应用
中值定理与洛必达法则与导数的应用中值定理（Intermediate Value Theorem）是微积分中的一个基本定理，它表明如果一个函数在一条闭区间上是连续的，并且在这个区间的两个端点上函数值分别为正和负，那么在这个区间内，一定存在至少一个点，它对应的函数值为零。
具体来说，设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，并且有$f(a)\cdot f(b) < 0$，那么在开区间$(a,b)$内，至少存在一个点$c$，使得$f(c)=0$。
这个定理的直观意义是，如果我们有一条曲线从$y=f(a)$到$y=f(b)$，并且这条曲线穿过$x$轴，那么在曲线上一定存在一个点$c$，使得$y=f(c)=0$。
这个定理在数学的多个领域中都有重要的应用，包括方程求解、函数图像的研究等。
洛必达法则（L'Hôpital's Rule）是微积分中用于计算极限的一种重要方法。
它是由17世纪法国数学家洛必达（Guillaume François Antoine, marquis de l'Hôpital）提出的。
洛必达法则提供了一种简单有效的方法来处理特定形式的极限。
具体来说，如果我们要计算一个形如$\lim\limits_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}$的极限，其中$f(a)=g(a)=0$或$f(a)=g(a)=\infty$，那么洛必达法则告诉我们可以对$\frac{f(x)}{g(x)}$求导数，然后再计算导数的极限。
也就是说，这个极限等于$\lim\limits_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$，前提是这个极限存在。
洛必达法则的应用广泛。
它可以用于计算各种不定型的极限，如$\frac{0}{0}$、$\frac{\infty}{\infty}$、$0 \cdot \infty$等，以及一些特殊的函数极限，如$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$、$\lim\limits_{x \to \infty} (1+\frac{1}{x})^x$等。
中值定理和洛必达法则
(ln x)
x 1
lim
x 1
1 x
1，
故此极限属于 0 型 .由洛必达法则Ⅰ得 0
ln x
(ln x)
lim
x 1
x
1
lim
x 1
x
1
1.
中值定理和洛必达法则
例4
解
属于 0 型，用洛必达法则Ⅰ得 0
原式 lim (ex cos x) lim ex sin x .
x0
x2
x0 2x
x
x2
lim
x0
3x2
1. 3
注意:
计算极限时，也可以将洛必达法则 I 和等价无穷小结合起来使用，以便简化计算. 该题用了两次等价无穷小代换，用了一次洛必达法则Ⅰ.
中值定理和洛必达法则
例6
解
原式 lim 1 e x0 x
2e2x ex 3x 1
lim
x0
x2
2e2x ex 3x 1
注意:
根据洛必达法则Ⅰ，求导后的结果可以是有限数A，也可以是， 或 .
中值定理和洛必达法则
例5
解
属于 0 型，先将分母中的sin x用等价无穷小进行代换，原式变为lim x
0
x0
tan x x3
，然后
再使用洛必达法则Ⅰ进行求解，有
原式
1 sec2
lim
x0
3x2
x
lim
x0
tan2 3x2
经济数学
中值定理和洛必达法则
1.1 中值定理
引例
在区间 a ，b内可导函数y f (x)的图像如图3 1所示，它
是一条光滑的曲线.这条曲线的两个端点A、B的纵坐标相等，即
高等数学第一节 微分中值定理 洛必达法则
2 1. 2
2020/4/30
例 14 计算l i m 1x2 . x x
解 所求极限为 “ ” 型若. 不断运用法则，则有
1x2
( 1x2)
lim
lim
lim
x
x x
x (x)
x 1 x2
l i m (x)
1x2
lim
.
( x 1x2 ) x x
解 显然, f (x) 在区间 [1, 2]，[2, 3] 上都满
足罗尔定理，所以至少有 x1 (1, 2)，x2 (2, 3)， 使 f (x1) = 0， f (x2) = 0， 即方程 f (x) = 0 至少
有两个实根，又因为 f (x) = 0 是一个一元二次方程， 最多有两个实根，所以方程 f (x) = 0 有且仅有两个 实根，且分别在区间(1, 2) 和 (2, 3)内.
”型未定型，我们连续 n
x l ie x m x n x l in m e x n 1 x x l in ( m n e 1 x ) x n 2 x l ie n x m ! 0 .
2020/4/30
三、其他类型未定型极限的计算
未定型的类型虽然很多， 但是
“0
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理 洛必达法则
一、微分中值定理 二、洛必达法则 三、其他类型未定型极限的计算
2020/4/30
一、微分中值定理
罗尔定理 如果函数 y = f (x) 在闭区间[a, b] 上连续，在开区间 (a, b)内可导， 且在区间端点处 的函数值相等，即 f (a) = f (b) ，那么至少存在一点
exco xs exsixn
二元函数的中值定理、罗比达法则及应用
二元函数的中值定理、罗比达法则及应用
王春鸽
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2016(000)017
【摘要】本文根据一元函数的柯西中值定理、罗比达法则给出二元函数的柯西中值定理、罗比达法则,并利用罗比达法则求二元函数的未定式极限.
【总页数】1页(P115-115)
【作者】王春鸽
【作者单位】长江大学文理学院,湖北荆州434000
【正文语种】中文
【中图分类】O172.1
【相关文献】
1.带Dini导数的罗比达法则和达布定理
2.二元函数的微分中值定理及罗比达法则
3.微分中值定理和洛必达法则证明及应用浅析
4.二元函数的柯西中值定理及罗必达法则
5.拉格朗日中值定理与洛必达法则巧解高考压轴题
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二元函数洛必达法则
二元函数洛必达法则洛必达法则是数学中非常重要的一种方法，可用于求解在特定情况下数学函数的导数和极限。
这种方法特别适用于涉及到不定式的情况下，因为在这种情况下，使用传统的微积分方法可能会导致复杂的计算。
对于一元函数，洛必达法则可以很容易地应用，但对于二元函数，这一过程略微复杂一些。
二元函数的洛必达法则是一种数学工具，用于解决函数在其一个或多个自变量趋于某个上下限时的极限问题。
具体来说，假设有一个函数$f(x,y)$，并且$x$和$y$都可以趋近于某个常数$c$。
这时，我们可以使用二元函数洛必达法则来计算这个函数的极限。
二元函数洛必达法则可以这样表述：如果在$(x,y)$趋近于$(c,c)$时，函数$f(x,y)$和$g(x,y)$的导数都趋近于 $0$ 或者 $+\infty$，那么这个函数在$(c,c)$处的极限，就等于$f(x,y)$和$g(x,y)$分别在$(c,c)$处的导数的极限的比例。
形式化表述为：$$\lim_{(x,y)\to(c,c)}\frac{f(x,y)}{g(x,y)}=\lim_{(x,y)\to(c,c)}\frac{\frac{\p artial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}}{\frac{\partial g}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y}}$$这个公式可以用于处理许多二元函数的求导和极限问题。
但是，我们需要注意一些细节，以免出现错误的结果。
下面，我们将对这些细节进行详细讨论。
1. $(x,y)\to(c,c)$的限制条件在使用二元函数洛必达法则之前，我们需要确保自变量在趋近于目标值时遵循与单变量函数相似的限制条件。
也就是说，当$x$和$y$趋近于某个常数$c$时，我们需要保证它们趋近于$c$的速度是相同的。
所以，在使用二元函数洛必达法则时，我们必须注意两个变量是否以相同的速度趋近于目标值。
二元函数洛必达
二元函数洛必达二元函数洛必达是微积分的一种方法。
所谓洛必达，是指利用极限定义的方式，计算某些函数极限的方法。
二元函数洛必达，就是在二元函数中，利用极限定义计算其在某个点处的极限。
在二元函数中，我们常常需要求某个函数在某个点处的极限。
比如，对于函数f(x,y)，我们想要求它在某一点(x0,y0)处的极限。
在单变量函数的情况下，我们可以使用单变量函数的洛必达法则计算其极限。
但是，在二元函数的情况下，不能简单地沿用单变量函数的洛必达法则。
需要使用二元函数的洛必达法则，才能正确地求解其极限。
二元函数的洛必达法则可以分为以下两种情况：情况一：分母趋近于0，分子趋近于0或者有界在这种情况下，我们可以将函数f(x,y)化简为分式形式，然后对分子和分母分别求导。
如果分母在点(x0,y0)处的导数不为0，且分子和分母在该点处有极限，那么我们就可以使用“导数的极限等于函数的极限”这个结论，得到函数f(x,y)在点(x0,y0)处的极限。
具体来说，设函数f(x,y)在点(x0,y0)处有极限L，那么有以下两种情况：情况一.1：如果在(x0,y0)的邻域内，同时满足f(x,y)≠0和g(x,y)≠0，且g(x,y)在点(x0,y0)处有极限0，那么有：lim (f(x,y))/(g(x,y)) = L(x,y)→(x0,y0)当且仅当下列极限存在或为∞时，上式才成立：g(x,y)在(x0,y0)的一个去心邻域内可导，并且g'(x0,y0)≠0当值为无穷大时，必须指出是正无穷大还是负无穷大。
总之，二元函数洛必达法则是计算二元函数极限的一种重要方法。
在实际应用中，我们需要根据实际情况，选择适当的洛必达法则来计算函数的极限。
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在Ｄ内取异于（ｘ ，ｙ ）的点（ｘ，ｙ）． ００
由条件（２） ｇ１＇（ｘ， ｙ）ｄｘ＋ｇ２＇（ｘ， ｙ）ｄｙ在Ｄ内连续且不恒为零，
在ｇ１＇（ｘ， ｙ）ｄｘ＋ｇ２＇（ｘ， ｙ）ｄｙ的非零域内应用二元函数的柯西定理，有
ｆ（ｘ， ｙ） ＝ ｆ（ｘ， ｙ）－ｆ（ｘ０， ｙ０） ｇ（ｘ， ｙ） ｇ（ｘ， ｙ）－ｇ（ｘ０， ｙ０）
［１］华东师大数学系．数学分析［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８２．
（ｘ， ｙ）→（ｘ ， ｙ ）
（ｘ， ｙ）→（ｘ ， ｙ ）
０ ０
００
（４） ｌｉｍ ｆ ′（ｘ，ｙ）ｄｘ＋ｆ ′（ｘ，ｙ）ｄｙ
１
２
（ｘ， ｙ）→（ｘ０， ｙ０） ｇ１′（ｘ，ｙ）ｄｘ＋ｇ２′（ｘ，ｙ）ｄｙ
＝ ｆ１＇（ｘ０＋
θΔ
ｘ， ｙ０＋
θΔ
ｙ）ｄｘ＋ｆ２＇（ｘ０＋
θΔ
ｘ， ｙ０＋
θΔ
ｙ）ｄｙ （０＜
θ
＜１
饢）
ｇ１＇（ｘ０＋ θΔ ｘ， ｙ０＋ θΔ ｙ）ｄｘ＋ｇ２＇（ｘ０＋ θΔ ｘ， ｙ０＋ θΔ ｙ）ｄｙ
当（ｘ， ｙ）→（ｘ０， ｙ０）时， （ｘ０＋θΔｘ， ｙ０＋θΔｙ）→（ｘ０， ｙ０）
定理２，若二元函数ｆ（ｘ， ｙ）、ｇ（ｘ， ｙ）满足
（１）在区域 Ｄ 内有定义，（ｘ０， ｙ０）为 Ｄ 的一个聚点； （２）在 Ｄ 内有关于 ｘ， ｙ 的连续偏导数；
且ｇ１＇（ｘ， ｙ）ｄｘ＋ｇ２＇（ｘ， ｙ）ｄｙ≡０；
（３） ｌｉｍ
ｆ（ｘ，ｙ）＝０， ｌｉｍ ｇ（ｘ，ｙ）＝０；
＝Ａ，
则 ｌｉｍ ｆ（ｘ，ｙ） （ｘ， ｙ）→（ｘ０， ｙ０） ｇ（ｘ，ｙ） ＝Ａ．
为二元函数的罗比达法则， （０／０ 型）
证明：由于要讨论（ｘ０，ห้องสมุดไป่ตู้ｙ０）点的极限， 而与（ｘ０， ｙ０）点的函数值无关，
故补充定义ｆ（ｘ０， ｙ０）＝０， ｇ（ｘ０， ｙ０）＝０；
［收稿日期］２ ０ ０ １ － ０ ６ － １ ８ ［作者简介］张立新（１９６７－）， 女 ， 黑龙江庆安人，鞍山师范学院小教系，讲师。
张立新 ：二元函数的微分中值定理及罗必塔法则
２１
则Ｆ＇（θ）＝０
即有 ｆ（ｘ， ｙ）－ｆ（ｘ０， ｙ０） ＝ ｆ１＇（ｘ０＋ θΔ ｘ， ｙ０＋ θΔ ｙ）Δ ｘ＋ｆ２＇（ｘ０＋ θΔ ｘ， ｙ０＋ θΔ ｙ）Δ ｙ ｇ（ｘ， ｙ）－ｇ（ｘ０， ｙ０） ｇ１＇（ｘ０＋ θΔ ｘ， ｙ０＋ θΔ ｙ）Δ ｘ＋ｇ２＇（ｘ０＋ θΔ ｘ， ｙ０＋ θΔ ｙ）Δ ｙ （０＜ θ ＜１饢） 证毕
张立新
（鞍山师范学院 数学系 ， 辽宁 鞍山 １１４０１１）
［摘 要］ 本文从二元函数柯西中值定理的证明，推出二元函数的拉格郎日中值定理，罗 尔中值定理。并利用柯西定理证明出二元函数的罗比达法则。 ［关键词］ 二元 ； 微分中值定理 ； 罗比达法则
［中图分类号］ Ｏ１７２．１ ［文献标识码］ Ａ ［文章编号］ １００３－１９１（２００１）０９－００２０－０２
若（１）中当 ｇ（ｘ， ｙ）＝ｘ＋ｙ 时
则 ｇ（ｘ， ｙ）－ｇ（ｘ０， ｙ０）＝ Δ ｘ＋ Δ ｙ ｇ１＇（ｘ０＋ θΔ ｘ， ｙ０＋ θΔ ｙ）Δ ｘ＋ｇ２＇（ｘ０＋ θΔ ｘ， ｙ０＋ θΔ ｙ）Δ ｙ＝ Δ ｘ＋ Δ ｙ （１）式变为：ｆ（ｘ， ｙ）－ｆ（ｘ０， ｙ０）＝ ｆ１＇（ｘ０＋ θΔ ｘ， ｙ０＋ θΔ ｙ）Δ ｘ＋ｆ２＇（ｘ０＋ θΔ ｘ， ｙ０＋ θΔ ｙ）Δ ｙ （０＜θ＜１饢） （２）
定理 １、若二元函数 ｆ（ｘ，ｙ）， ｇ（ｘ、ｙ）满足： （１） 在闭域 Ｄ 上连续； （２） 在 Ｄ 的内部有对 ｘ， 对 ｙ 的连续偏导数； （３） ｇ１＇（ｘ０＋ θΔ ｘ， ｙ０＋ θΔ ｙ）Δ ｘ＋ ｇ２＇（ｘ０＋ θΔ ｘ， ｙ０＋ θΔ ｙ）Δ ｙ ≠ ０； 且（ｘ０＋ Δ ｘ， ｙ０＋ Δ ｙ）， （ｘ０ ｙ０）为 Ｄ 内的点 可记 ｘ＝ｘ０＋ Δ ｘ ｙ＝ｙ０＋ Δ ｘ 则有 ｆ（ｘ， ｙ）－ｆ（ｘ０， ｙ０）＝ ｆ１＇（ｘ０＋θΔｘ， ｙ０＋θΔｙ）Δｘ＋ｆ２＇（ｘ０＋θΔｘ， ｙ０＋θΔｙ）Δｙ （１） ｇ（ｘ， ｙ）－ｇ（ｘ０， ｙ０）＝ ｇ１＇（ｘ０＋ θΔ ｘ， ｙ０＋ θΔ ｙ）Δ ｘ＋ｇ２＇（ｘ０＋ θΔ ｘ， ｙ０＋ θΔ ｙ）Δ ｙ （０＜ θ＜１）
称为二元函数的拉格朗日中值定理，也称为有限增量公式。
若（２）中当ｆ（ｘ， ｙ）－ｆ（ｘ０， ｙ０）＝０时 （２）式变为 ｆ１＇（ｘ０＋ θΔ ｘ， ｙ０＋ θΔ ｙ）Δ ｘ＋ｆ２＇（ｘ０＋ θΔ ｘ， ｙ０＋ θΔ ｙ）Δ ｙ＝０ （０＜ θ ＜１） （３） 称为二元函数的罗尔中值定理。
第 １８ 卷 第 ９ 期 ２００１ 年 ９ 月
辽宁教育学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｌｉａｏｎｉｎｇ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎａｌ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ
Ｖｏｌ．１８ Ｎｏ．９ Ｓｅｐ ２００１
二元函数的微分中值定理
及罗比达法则
由ｆ（ｘ， ｙ）、ｇ（ｘ， ｙ）有连续的偏导数及条件（４）
得： ｌｉｍ ｆ（ｘ， ｙ） （ｘ，ｙ）→（ｘ０， ｙ０） ｇ（ｘ， ｙ） ＝ Ａ 证毕 对 ∞∞ 型的定理及证明从略。 ［参考文献］
称为二元函数的柯西中值定理 证明： 设Ｇ（ｔ）＝ｇ（ｘ０＋ｔΔｘ， ｙ０＋ｔΔｙ）－ｇ（ｘ０， ｙ０） 若 Ｇ（１）－Ｇ（０）＝ｇ（ｘ０＋ Δ ｘ， ｙ０＋ Δ ｙ）－ｇ（ｘ０， ｙ０）＝０ 则Ｇ（ｔ）在［０、１］上满足一元函数的罗尔定理的条件 存在 ０＜ θ ＜１ 使： Ｇ＇（θ）＝ ０ 即： ｇ１＇（ｘ０＋ θΔ ｘ， ｙ０＋ θΔ ｙ）Δ ｘ＋ ｇ２＇（ｘ０＋ θΔ ｘ， ｙ０＋ θΔ ｙ）Δ ｙ＝ ０ 与条件（３）矛盾． 故 ｇ（ｘ０＋ Δ ｘ， ｙ０＋ Δ ｙ）－ｇ（ｘ０， ｙ０）≠ ０ 作辅助函数 Ｆ（ｔ）＝ｆ（ｘ０＋ｔΔｘ， ｙ０＋ｔΔｙ）－ｇ（ｘ０， ｙ０） － ｇｆ（（ｘｘ，， ｙｙ））－－ｇｆ（（ｘｘ００，， ｙｙ００）） ［ｇ（ｘ０＋ｔΔｘ， ｙ０＋ｔΔｙ）－ｇ（ｘ０， ｙ０）］ 显然， Ｆ（ｔ）在［０，１］上满足一元函数罗尔定理的条件 故存在 ０＜ θ ＜１，使 Ｆ＇（θ）＝ ０ 而 Ｆ＇（ｔ）＝ ｆ１＇（ｘ０＋ｔ Δ ｘ， ｙ０＋ｔ Δ ｙ）Δ ｘ＋ｆ２＇（ｘ０＋ｔ Δ ｘ， ｙ０＋ｔ Δ ｙ）Δ ｙ － ｇｆ（（ｘｘ，， ｙｙ））－－ｇ（ｆｘ（０ｘ，０ ，ｙ ０ｙ）０） ［ｇ１＇（ｘ０＋ｔΔｘ， ｙ０＋ｔΔｙ）Δｘ－ｇ２＇（ｘ０＋ｔΔｘ， ｙ０＋ｔΔｙ）Δｙ］