(参考资料)二元函数的微分中值定理及罗比达法则

＝Ａ，
则 ｌｉｍ ｆ（ｘ，ｙ） （ｘ， ｙ）→（ｘ０， ｙ０） ｇ（ｘ，ｙ） ＝Ａ．
为二元函数的罗比达法则， （０／０ 型）
证明：由于要讨论（ｘ０， ｙ０）点的极限， 而与（ｘ０， ｙ０）点的函数值无关，
故补充定义ｆ（ｘ０， ｙ０）＝０， ｇ（ｘ０， ｙ０）＝０；
［１］华东师大数学系．数学分析［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８２．
定理 １、若二元函数 ｆ（ｘ，ｙ）， ｇ（ｘ、ｙ）满足： （１） 在闭域 Ｄ 上连续； （２） 在 Ｄ 的内部有对 ｘ， 对 ｙ 的连续偏导数； （３） ｇ１＇（ｘ０＋ θΔ ｘ， ｙ０＋ θΔ ｙ）Δ ｘ＋ ｇ２＇（ｘ０＋ θΔ ｘ， ｙ０＋ θΔ ｙ）Δ ｙ ≠ ０； 且（ｘ０＋ Δ ｘ， ｙ０＋ Δ ｙ）， （ｘ０ ｙ０）为 Ｄ 内的点 可记 ｘ＝ｘ０＋ Δ ｘ ｙ＝ｙ０＋ Δ ｘ 则有 ｆ（ｘ， ｙ）－ｆ（ｘ０， ｙ０）＝ ｆ１＇（ｘ０＋θΔｘ， ｙ０＋θΔｙ）Δｘ＋ｆ２＇（ｘ０＋θΔｘ， ｙ０＋θΔｙ）Δｙ （１） ｇ（ｘ， ｙ）－ｇ（ｘ０， ｙ０）＝ ｇ１＇（ｘ０＋ θΔ ｘ， ｙ０＋ θΔ ｙ）Δ ｘ＋ｇ２＇（ｘ０＋ θΔ ｘ， ｙ０＋ θΔ ｙ）Δ ｙ （０＜ θ＜１）
第 １８ 卷 第 ９ 期 ２００１ 年 ９ 月
辽宁教育学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｌｉａｏｎｉｎｇ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎａｌ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ
Ｖｏｌ．１８ Ｎｏ．９ Ｓｅｐ ２００１
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ元函数的微分中值定理
及罗比达法则
称为二元函数的拉格朗日中值定理，也称为有限增量公式。
若（２）中当ｆ（ｘ， ｙ）－ｆ（ｘ０， ｙ０）＝０时 （２）式变为 ｆ１＇（ｘ０＋ θΔ ｘ， ｙ０＋ θΔ ｙ）Δ ｘ＋ｆ２＇（ｘ０＋ θΔ ｘ， ｙ０＋ θΔ ｙ）Δ ｙ＝０ （０＜ θ ＜１） （３） 称为二元函数的罗尔中值定理。
由ｆ（ｘ， ｙ）、ｇ（ｘ， ｙ）有连续的偏导数及条件（４）
得： ｌｉｍ ｆ（ｘ， ｙ） （ｘ，ｙ）→（ｘ０， ｙ０） ｇ（ｘ， ｙ） ＝ Ａ 证毕 对 ∞∞ 型的定理及证明从略。 ［参考文献］
＝ ｆ１＇（ｘ０＋
θΔ
ｘ， ｙ０＋
θΔ
ｙ）ｄｘ＋ｆ２＇（ｘ０＋
θΔ
ｘ， ｙ０＋
θΔ
ｙ）ｄｙ （０＜
θ
＜１
饢）
ｇ１＇（ｘ０＋ θΔ ｘ， ｙ０＋ θΔ ｙ）ｄｘ＋ｇ２＇（ｘ０＋ θΔ ｘ， ｙ０＋ θΔ ｙ）ｄｙ
当（ｘ， ｙ）→（ｘ０， ｙ０）时， （ｘ０＋θΔｘ， ｙ０＋θΔｙ）→（ｘ０， ｙ０）
张立新
（鞍山师范学院 数学系 ， 辽宁 鞍山 １１４０１１）
［摘 要］ 本文从二元函数柯西中值定理的证明，推出二元函数的拉格郎日中值定理，罗 尔中值定理。并利用柯西定理证明出二元函数的罗比达法则。 ［关键词］ 二元 ； 微分中值定理 ； 罗比达法则
［中图分类号］ Ｏ１７２．１ ［文献标识码］ Ａ ［文章编号］ １００３－１９１（２００１）０９－００２０－０２
若（１）中当 ｇ（ｘ， ｙ）＝ｘ＋ｙ 时
则 ｇ（ｘ， ｙ）－ｇ（ｘ０， ｙ０）＝ Δ ｘ＋ Δ ｙ ｇ１＇（ｘ０＋ θΔ ｘ， ｙ０＋ θΔ ｙ）Δ ｘ＋ｇ２＇（ｘ０＋ θΔ ｘ， ｙ０＋ θΔ ｙ）Δ ｙ＝ Δ ｘ＋ Δ ｙ （１）式变为：ｆ（ｘ， ｙ）－ｆ（ｘ０， ｙ０）＝ ｆ１＇（ｘ０＋ θΔ ｘ， ｙ０＋ θΔ ｙ）Δ ｘ＋ｆ２＇（ｘ０＋ θΔ ｘ， ｙ０＋ θΔ ｙ）Δ ｙ （０＜θ＜１饢） （２）
称为二元函数的柯西中值定理 证明： 设Ｇ（ｔ）＝ｇ（ｘ０＋ｔΔｘ， ｙ０＋ｔΔｙ）－ｇ（ｘ０， ｙ０） 若 Ｇ（１）－Ｇ（０）＝ｇ（ｘ０＋ Δ ｘ， ｙ０＋ Δ ｙ）－ｇ（ｘ０， ｙ０）＝０ 则Ｇ（ｔ）在［０、１］上满足一元函数的罗尔定理的条件 存在 ０＜ θ ＜１ 使： Ｇ＇（θ）＝ ０ 即： ｇ１＇（ｘ０＋ θΔ ｘ， ｙ０＋ θΔ ｙ）Δ ｘ＋ ｇ２＇（ｘ０＋ θΔ ｘ， ｙ０＋ θΔ ｙ）Δ ｙ＝ ０ 与条件（３）矛盾． 故 ｇ（ｘ０＋ Δ ｘ， ｙ０＋ Δ ｙ）－ｇ（ｘ０， ｙ０）≠ ０ 作辅助函数 Ｆ（ｔ）＝ｆ（ｘ０＋ｔΔｘ， ｙ０＋ｔΔｙ）－ｇ（ｘ０， ｙ０） － ｇｆ（（ｘｘ，， ｙｙ））－－ｇｆ（（ｘｘ００，， ｙｙ００）） ［ｇ（ｘ０＋ｔΔｘ， ｙ０＋ｔΔｙ）－ｇ（ｘ０， ｙ０）］ 显然， Ｆ（ｔ）在［０，１］上满足一元函数罗尔定理的条件 故存在 ０＜ θ ＜１，使 Ｆ＇（θ）＝ ０ 而 Ｆ＇（ｔ）＝ ｆ１＇（ｘ０＋ｔ Δ ｘ， ｙ０＋ｔ Δ ｙ）Δ ｘ＋ｆ２＇（ｘ０＋ｔ Δ ｘ， ｙ０＋ｔ Δ ｙ）Δ ｙ － ｇｆ（（ｘｘ，， ｙｙ））－－ｇ（ｆｘ（０ｘ，０ ，ｙ ０ｙ）０） ［ｇ１＇（ｘ０＋ｔΔｘ， ｙ０＋ｔΔｙ）Δｘ－ｇ２＇（ｘ０＋ｔΔｘ， ｙ０＋ｔΔｙ）Δｙ］
定理２，若二元函数ｆ（ｘ， ｙ）、ｇ（ｘ， ｙ）满足
（１）在区域 Ｄ 内有定义，（ｘ０， ｙ０）为 Ｄ 的一个聚点； （２）在 Ｄ 内有关于 ｘ， ｙ 的连续偏导数；
且ｇ１＇（ｘ， ｙ）ｄｘ＋ｇ２＇（ｘ， ｙ）ｄｙ≡０；
（３） ｌｉｍ
ｆ（ｘ，ｙ）＝０， ｌｉｍ ｇ（ｘ，ｙ）＝０；
（ｘ， ｙ）→（ｘ ， ｙ ）
（ｘ， ｙ）→（ｘ ， ｙ ）
０ ０
００
（４） ｌｉｍ ｆ ′（ｘ，ｙ）ｄｘ＋ｆ ′（ｘ，ｙ）ｄｙ
１
２
（ｘ， ｙ）→（ｘ０， ｙ０） ｇ１′（ｘ，ｙ）ｄｘ＋ｇ２′（ｘ，ｙ）ｄｙ
在Ｄ内取异于（ｘ ，ｙ ）的点（ｘ，ｙ）． ００
由条件（２） ｇ１＇（ｘ， ｙ）ｄｘ＋ｇ２＇（ｘ， ｙ）ｄｙ在Ｄ内连续且不恒为零，
在ｇ１＇（ｘ， ｙ）ｄｘ＋ｇ２＇（ｘ， ｙ）ｄｙ的非零域内应用二元函数的柯西定理，有
ｆ（ｘ， ｙ） ＝ ｆ（ｘ， ｙ）－ｆ（ｘ０， ｙ０） ｇ（ｘ， ｙ） ｇ（ｘ， ｙ）－ｇ（ｘ０， ｙ０）
［收稿日期］２ ０ ０ １ － ０ ６ － １ ８ ［作者简介］张立新（１９６７－）， 女 ， 黑龙江庆安人，鞍山师范学院小教系，讲师。
张立新 ：二元函数的微分中值定理及罗必塔法则
２１
则Ｆ＇（θ）＝０
即有 ｆ（ｘ， ｙ）－ｆ（ｘ０， ｙ０） ＝ ｆ１＇（ｘ０＋ θΔ ｘ， ｙ０＋ θΔ ｙ）Δ ｘ＋ｆ２＇（ｘ０＋ θΔ ｘ， ｙ０＋ θΔ ｙ）Δ ｙ ｇ（ｘ， ｙ）－ｇ（ｘ０， ｙ０） ｇ１＇（ｘ０＋ θΔ ｘ， ｙ０＋ θΔ ｙ）Δ ｘ＋ｇ２＇（ｘ０＋ θΔ ｘ， ｙ０＋ θΔ ｙ）Δ ｙ （０＜ θ ＜１饢） 证毕