《离散数学》(上)试卷(A卷)及参考答案
离散数学试题（A卷答案）
离散数学试题（A 卷答案）一、（10分）求(P ↓Q )→(P ∧⌝(Q ∨⌝R ))的主析取范式 解：(P ↓Q )→(P ∧⌝(Q ∨⌝R ))⇔⌝(⌝( P ∨Q ))∨(P ∧⌝Q ∧R ))⇔(P ∨Q )∨(P ∧⌝Q ∧R ))⇔(P ∨Q ∨P )∧(P ∨Q ∨⌝Q )∧(P ∨Q ∨R ) ⇔(P ∨Q )∧(P ∨Q ∨R )⇔(P ∨Q ∨(R ∧⌝R ))∧(P ∨Q ∨R ) ⇔(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨⌝R )∧(P ∨Q ∨R ) ⇔0M ∧1M⇔2m ∨3m ∨4m ∨5m ∨6m ∨7m二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。
乙说：王教授不是上海人，是苏州人。
丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。
王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。
试判断王教授是哪里人？解 设设P ：王教授是苏州人；Q ：王教授是上海人；R ：王教授是杭州人。
则根据题意应有： 甲：⌝P ∧Q 乙：⌝Q ∧P 丙：⌝Q ∧⌝R王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。
所以，丙至少说对了一半。
因此，可得甲或乙必有一人全错了。
又因为，若甲全错了，则有⌝Q ∧P ，因此，乙全对。
同理，乙全错则甲全对。
所以丙必是一对一错。
故王教授的话符号化为：((⌝P ∧Q )∧((Q ∧⌝R )∨(⌝Q ∧R )))∨((⌝Q ∧P )∧(⌝Q ∧R ))⇔(⌝P ∧Q ∧Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧Q ∧⌝Q ∧R )∨(⌝Q ∧P ∧⌝Q ∧R ) ⇔(⌝P ∧Q ∧⌝R )∨(P ∧⌝Q ∧R ) ⇔⌝P ∧Q ∧⌝R ⇔T因此，王教授是上海人。
三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。
证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则由定理4.19知，tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。
离散数学试卷06-07(上)A
合肥学院2007至2008学年第二学期《离散数学》课程考试（ A ）卷计算机 系 06 级 网络工程 专业 学号 姓名一、选择题：(每小题2分，计22分)1.前提,,p q q r r ⌝∨⌝∨⌝的结论是（A.qB.p ⌝C. p q ∨D p q ⌝→2.集合A={1，2，3，4}，下列关系R 中不是等价关系的是（ ） A. {1,1,2,2,3,3}R =〈〉〈〉〈〉；B.{1,1,2,2,3,3,3,2,2,3}R =〈〉〈〉〈〉〈〉〈〉；C.{1,1,2,2,3,3,1,4}R =〈〉〈〉〈〉〈〉；D.{1,2,2,1,1,3,3,1,2,3,3,2}A R I =〈〉〈〉〈〉〈〉〈〉〈〉⋃。
. 3.下列语句中哪个是命题（ ）A.我正在说谎。
B. 5x y + 。
C.地球之外还存在有智慧的动物。
D.请勿践踏草地！ 4．设F(x)：x 是火车，G(x)：y 是汽车，H(x,y)：x 比y 快。
命题“某些汽车比所有的火车慢”的符号化公式是（ ）.(()(()(,)))A y G y x F x H x y ∃→∀∧ .(()(()(,)B y G y x F x H x y ∃∧∀→ .(()(()(,)))C x y G y F x H x y ∀∃→∧ .(()(()(,)D y G y x F x H x y ∃→∀→ 5．利用谓词的约束变元的更名规则和自由变元的代人规则，可将公式(()(,))(,)x P x Q x y R x y ∀→∧改写为（ ）。
.(()(,))(,)A x P y Q x y R z s ∀→∧ .(()(,))(,)B z P z Q z s R x s ∀→∧ .(()(,))(,)C x P s Q x s R x s ∀→∧ .(()(,))(,)D z P s Q z s R z s ∀→∧6.下列公式中正确的等价式是（ ）。
.()()A xA x x A x ∃⇔∃⌝ .()()B xA x x A x ⌝∀⇔∃⌝.(,)(,)C x yA x y y xA x y ∀∃⇔∃∀.(()())(()())D x A x B x x A x B x ∀∧⇔∀∨7．设{},(())A B P P A =∅=，以下不正确的式子是（ ）。
11级离散数学试题(A)参考答案
2011级离散数学(A)参考答案一、填空题（每小题2分，共30分）1. 设():M x x 为人， ():F x x 不吃饭。
将命题“没有不吃饭的人”符号化为：))()((x F x M x ⌝→∀ 或 ))()(((x F x m x ∧∃⌝ 。
2. 设A={1, 2, 3, 4} ，则 A 的全部2元子集共有 6 个。
3. 设p ：明天是周一，q ：明天是周三，r ：我有课。
则命题“如果明天是周一或周三，我就有课”的符号化形式为 r q p →∨)( 。
4. 已知命题公式A 含有2个命题变项，其成真赋值为00、10、11，则其主析取范式为 320m m m ∨∨ 。
5. 设p ：北京比大连人口多，q ：2+2=4，r ：乌鸦是白色的。
则命题公式)()(r p r q ⌝→→∨的真值为 1 。
6. 集合}3,2,1{=A 上的关系}3,2,3,1,2,1{><><><=R ，则=-1R { <2,1>,<3,1>,<3,2> }。
7. 画出下图的补图 。
8.设A={1,2,3}，B={a,b,c}，A 1={1}，f={<1,a>,<2,a>,<3,b>}，则=-))((11A f f { 1,2 }。
9. 设无向图的度数序列为：1，2，2，3，4。
则该无向图的边数m= 6 。
10. 3阶有向完全图的2条边的非同构的生成子图有 4 个。
11. 设〈≤,A 〉为偏序集，A B ⊆。
若y x B y x 与,,∈∀都是可比的，则称B是A 中的一条链，B 中的元素个数称为链的长度。
在偏序集〈{1,2,…,9}，整除〉中，{1,2,4,8}是长为 4 的链。
12. 下面运算表中的单位元是 b 。
13. 写出模4加法群G=<Z 4,⊕ >的运算表14. 模4加法群中， 2-3= 2 。
离散数学期末考试试卷a答案及评分细则
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……电子科技大学英才学院2022 -2022学年第 1学期期 末 考试 A 卷离散数学 课程考试题 A 卷 〔 120分钟〕 考试形式：闭卷 考试日期 2022 年 月 日课程成绩构成：平时 分， 期中 分， 实验 分， 期末 100 分I.Multiple Choice (15%, 1.5 points each)〔A 〕 1. (p ∧q)→(p ∨q) is logically equivalent toa) T b) p ∨q c) F d) p ∧q〔A 〕 2. If P(A) is the power set of A, and A = ∅, what is |P(P(P(A)))|?a) 4 b) 24 c) 28 d) 216〔C 〕 3. Which of these statements is NOT a proposition?a) Today is Monday. ` b) 1+1=2.c) Am I right? d) Go and play with me.〔C 〕 4. Which of these propositions is not logically equivalent to the other three?a) (p → q) ∧ (r → q) b) (p ∨ r) → qc) (p ∧r) → q d) The contrapositive of ¬q → (¬p ^ ¬r)〔B 〕 5. Suppose | A | = 3 and | B | = 8. The number of 1-1 functions f : A → B isa) 24 b) P (8,3). c) 38 d) 83〔B 〕 6. Let R be a relation on the positive integers where xRy if x is a factor of y . Whichof the following lists of properties best describes the relation R ? a) symmetric, transitiveb) antisymmetric, transitive, reflexive c) antisymmetric, symmetric, reflexive d) symmetric, transitive, reflexive〔C 〕 7. Which of the following are partitions of },,,,,,,{h g f e d c b a U =?a)},,,,,{},,,{},{h g f e d c c b a a . b) },,,,,{},,{},{h g f e d c c b a c) }{},,{},,{},,,{h f e c b g d a . d) },,,,{},,{},,{h g f e d c b b a〔C 〕 8. The function f(x)=x 2log(x 3+78) is big-O of which of the following functions?a) x 2 b) x(logx)3 c) x 2logx d) xlogx〔A 〕 9.If 1010110111101101R ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦M , then R is: a) reflexive b) symmetric c) antisymmetric d) transitive.〔B 〕 10. Which of the followings is a function from Z to R ?………密………封………线………以………内………答………题………无………效……a) )1()(-±=n n f . ` b) 1)(2+=x x f . c) x x f =)( d) 21)(2-=n n fII. True or False (10%, 1 point each) 〔T 〕 1. If 1 < 0, then 5 = 6. 〔F 〕 2. (p ∧ q) ∨ r ≡ p ∧ (q ∨ r)〔F 〕 3. If A , B , and C are sets, then (A -C )-(B -C )=A -B . 〔T 〕 4. Suppose A = {a ,b ,c }, then {{a }} ⊆ P (A ).〔F 〕 5.()h x =is defined as a function with domain R and codomain R.〔T 〕 6. Suppose g : A → B and f : B → C , where f g is 1-1 and f is 1-1. g must be 1-1? 〔T 〕 7. If p and q are primes (> 2), then p + q is composite .〔F 〕 8.If the relation R is defined on the set Z where aRb means that ab > 0, then R is an equivalence relation on Z .〔T 〕 9. (A - B ) ⋃ (A - C ) = A - (B ⋂ C ).〔T 〕 10. The set{∅,{a },{∅},{a ,∅}} is the power set of some set III. Fill in the Blanks (20%, 2 points each)1. Let p and q be the propositions “I am a criminal 〞 and “I rob banks 〞. Express in simpleEnglish the proposition “if p then q 〞: If I am a criminal them I rob banks. 2. P (x ,y ) means “x + 2y = xy 〞, where x and y are integers. The truth value of ∃x ∀yP (x ,y )is False .3. T he negation of the statement “No tests are easy.〞 is some tests are easy.4. If 11{|}i A x x R x i i =∈∧-≤≤ then 1i i A +∞=is ∅.5. Suppose A = {x , y }. Then ()P A is {∅, {x}, {y},{x,y}}.6. Suppose g : A →A and f :A →A where A ={1,2,3,4},g = {(1, 4), (2,1), (3,1), (4,2)} andf ={(1,3),(2,2),(3,4),(4,2)}.Then fg ={(1,2),(2,3),(3,3),(4,2)}.7. The sum of 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... + 210 is 211 - 2 .8. The expression of gcd(45, 12) as a linear combination of 12 and 45 is 12 ⋅ 4 + 45 ⋅ (1). 9.There are 5! permutations of the seven letters A,B ,C ,D ,E ,F have A immediately to the left of E .10. The two's complement of -13 is 1 0011 . IV. Answer the Questions (32%, 4points each)：1. Determine whether the following argument is valid:………密………封………线………以………内………答………题………无………效……p→rq→rq∨⌝r________∴⌝pAns: Not valid: p true, q true, r true2.Suppose you wish to prove a theor em of the form “if p then q〞.(a) If you give a direct proof, what do you assume and what do you prove?(b) If you give an indirect proof, what do you assume and what do you prove?(c) If you give a proof by contradiction, what do you assume and what do you prove? Ans: (a) Assume p, prove q.(b) Assume ⌝q, prove ⌝p.(c) Assume p∧⌝q, show that this leads to a contradiction.3.Prove that A B A B⋂=⋃by giving a proof using logical equivalence.Ans:()()()() A B x x A Bx x A Bx x A Bx x A x Bx x A x Bx x A x Bx x A x Bx x A B A B ⋂={|∈⋂}={|∉⋂}={|⌝∈⋂}={|⌝∈∧∈}={|⌝∈∨⌝∈}={|∉∨∉}={|∈∨∈}={|∈⋃}=⋃4.Suppose f:R→R where f(x) =⎣x/2⎦.(a) If S={x| 1 ≤x≤ 6}, find f(S).(b) If T={3,4,5}, find f-1(T). Ans: (a) {0,1,2,3}(b) [6,12).e the definition of big-oh to prove that5264473n nn+--is O(n3).………密………封………线………以………内………答………题………无………效……Ans: 5555322226446410573763n n n n n n n n n n +-+≤==--, if n ≥ 2. 6. Solve the linear congruence 5x ≡ 3 (mod 11).Ans: 5 + 11k .7. Use the Principle of Mathematical Induction to prove that 1311392732n n+-++++...+= for alln ≥ 0.Ans: P (0):13112-= , which is true since 1 = 1. P (k ) → P (k + 1):111211313123311333222k k k k k k ++++++--+⋅-++...+=+==.8．Encrypt the message NEED HELP by translating the letters into numbers, applying the encryption function f(p ) = (3p + 7) mod 26, and then translating the numbers back into letters.Ans: Encrypted form: UTTQ CTOA.V. (6%) Without using the truth table, show that the following are tautologiesa) [⌝p ∧(p ∨q)]→q b) [p ∧(p →q)]→qAns:a) ⌝p ∧(p ∨q)≡(⌝p ∧p)∨(⌝p ∧ q)≡flase[⌝p ∧(p ∨q)]→q ≡ false →q ≡⌝false ∨q ≡true ∨q ≡true (3points)b)[p ∧(p →q)]→q ≡(⌝[p ∧(⌝p ∨q)])∨q ≡(⌝p ∨(p ∧⌝q))∨q ≡((⌝p ∨p)∧(⌝p ∨⌝q))∨q ≡⌝p ∨⌝q ∨q ≡true (3points)VI. (6%) Devise an algorithm which will find the minimum of n integers. What is the worst case time………密………封………线………以………内………答………题………无………效……complexity of this algorithm?a) procedure min(a1, a2, …, an: integers)(4points)v := a1 {largest element so far}for i := 2 to n {go thru rest of elems}if ai < v then v := ai {found smaller?}{at this poi nt v’s value is the same as the smallest integer in the list}return vb) the worst case time complexity of this algorithm is O(n). (2points)VII.(5%) Give the definition of a transitive relation, and Prove or disprove that the union of two transitive relations is transitive.Ans: A relation R on a set A is called transitive if only if (a,b)∈R and (b,c)∈R ,then (a,c) ∈R ,for a,b,c ∈A. (2points)The union of two transitive relations may be not transitive. A counter-example:A={1,2,3}, R1= {<1,1>, <2,3>}, R2={<1,2><3,3> }R1∪R2={<1.1>, <2,3><1,2><3,3>}, which is not transitive. (3points)VIII.(6%) Give an argument using rules of inference to show that the conclusion follows from the hypotheses. List all the steps in your argument.Hypotheses: All computer scientists like Star Trek. Sarah does not like Star Trek. Therefore, Sarah is not a computer scientist.Solution:Hypotheses: ∀x(ComputerScientist(x) →Likes(x, StarTrek))¬Likes(Sarah, StarTrek)Conclusion: ¬ComputerScientist(Sarah)Step 1: ∀x(ComputerScientist(x) →Likes(x, StarTrek)) (Hypothesis)Step 2: ComputerScientist(Sarah) →Likes(Sarah, StarTrek) (Univ. Inst. Step 1)Step 3: ¬Likes(Sarah, StarTrek) (Hypothesis)Step 4: ¬ComputerScientist(Sarah) (Modus Toll. St. 2+3)The argument is sound.Grading rubric: -3 points for making wrong assumptions.-2 points for not being able to complete the proof.-1 to -3 points for illegal usage of inference rules.。
离散数学样卷及答案A
a
c e d
2分 2分
b
R 的仅具有反自反性
4、已知集合 A={1,2,3,4,5,6}，B={2,3,5}，R 是 A 上的整除关系 (1)作出偏序关系 R 的哈斯图 (2)令 B={2,3,5}，求 B 的最大，最小元，极大、极小元。 解(1)偏序关系 R 的哈斯图为
6 3
4 2 1
5
3分
(2) B 无最大元和最小元； 极大元：2，3，5，极小元：2，3，5 5、设 G 为群,a,b,c ∈ G,证明: abc = bca = cab 证明: (abc) 设 abc = t
证：设该树的顶点数为 n，则边数为 n-1。 由握手定理知 ∑ d (vi ) = 2m = 2(n − 1) ，
i =1 n
设该树中度数大于 2 的顶点数为 x，则
2(n − 1) = ∑ d (vi ) ≥ 2 * 1 + 2 * (n − 2 − x) + 3 x = 2n − 2 + x
i =1 n
2、设论域 D={a,b}，与公式 xA（x）等价的命题公式是（
3、在布尔代数 L 中，表达式(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)的等价式是(
4、设 A={a,b,c,d}，A 上的等价关系 R={<a,b>,<b,a>,<c,d>,<d,c>}∪IA，则对应于 R 的 A A．{{a},{b,c},{d}} C．{{a},{b},{c},{d}} 5、下列式子正确的是（ A ） B．A－（B∪C）=（A－B）∪C D．~（A∩B） ⊆ A A． （A－B）－C=A－（B∪C） C．~（A－B）=~（B－A） B．{{a,b},{c},{d}} D．{{a,b},{c,d}}
离散数学试卷及答案
离散数学试题与答案试卷一一、填空 20% （每小题2分）1．设 }7|{)},5()(|{<∈=<∈=+x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶数） 则 =⋃B A 。
2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 。
3．设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则)()))(((S R P R Q P ⌝∨→⌝∧→∨⌝的真值= 。
4．公式P R S R P ⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为 。
5．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ∀→∃ 在I 下真值为 。
6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为则 R 2 = 。
7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为则 R= 。
8．图的补图为 。
9．设A={a ，b ，c ，d} ，A 上二元运算如下：A BC* a b c d a b c da b c d b c d a c d a b d a b c那么代数系统<A ，*>的幺元是 ，有逆元的元素为 ，它们的逆元分别为 。
10．下图所示的偏序集中，是格的为 。
二、选择 20% （每小题 2分）1、下列是真命题的有（ ） A ． }}{{}{a a ⊆；B ．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ；C ． }},{{ΦΦ∈Φ；D ． }}{{}{Φ∈Φ。
2、下列集合中相等的有（ ）A ．{4，3}Φ⋃；B ．{Φ，3，4}；C ．{4，Φ，3，3}；D ． {3，4}。
3、设A={1，2，3}，则A 上的二元关系有（ ）个。
A ． 23 ； B ． 32 ； C ． 332⨯； D ． 223⨯。
4、设R ，S 是集合A 上的关系，则下列说法正确的是（ ） A ．若R ，S 是自反的， 则S R 是自反的； B ．若R ，S 是反自反的， 则S R 是反自反的； C ．若R ，S 是对称的， 则S R 是对称的； D ．若R ，S 是传递的， 则S R 是传递的。
《离散数学》试题含答案
《离散数学》试题含答案⼀、填空题1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ .2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________.3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________.4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_________________________________________________________________________________________.5.设G是完全⼆叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________.6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B＝_________________________;A－B＝_____________________ .7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________,________________________, _______________________________.8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________.9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则R1?R2 =________________________,R2?R1 =____________________________, R12=________________________.10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________.11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B =__________________________ , B-A = __________________________ ,A∩B = __________________________ , .13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为__________________________________________________________________.14. 设⼀阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____.15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
离散数学试题及答案
离散数学考试试题（A卷及答案）一、（10分）某项工作需要派A、B、C和D 4个人中的2个人去完成，按下面3个条件，有几种派法？如何派？(1)若A去，则C和D中要去1个人；(2)B和C不能都去；(3)若C去，则D留下。
解设A：A去工作；B：B去工作；C：C去工作；D：D去工作。
则根据题意应有：A→C⊕D，⌝(B ∧C)，C→⌝D必须同时成立。
因此(A→C⊕D)∧⌝(B∧C)∧(C→⌝D)⇔(⌝A∨(C∧⌝ D)∨(⌝C∧D))∧(⌝B∨⌝C)∧(⌝C∨⌝D)⇔(⌝A∨(C∧⌝ D)∨(⌝C∧D))∧((⌝B∧⌝C)∨(⌝B∧⌝D)∨⌝C∨(⌝C∧⌝D))⇔(⌝A∧⌝B∧⌝C)∨(⌝A∧⌝B∧⌝D)∨(⌝A∧⌝C)∨(⌝A∧⌝C∧⌝D)∨(C∧⌝ D∧⌝B∧⌝C)∨(C∧⌝ D∧⌝B∧⌝D)∨(C∧⌝ D∧⌝C)∨(C∧⌝ D∧⌝C∧⌝D)∨(⌝C∧D∧⌝B∧⌝C)∨(⌝C∧D∧⌝B∧⌝D)∨(⌝C∧D∧⌝C)∨(⌝C∧D∧⌝C∧⌝D)⇔F∨F∨(⌝A∧⌝C)∨F∨F∨(C∧⌝ D∧⌝B)∨F∨F∨(⌝C∧D∧⌝B)∨F∨(⌝C∧D)∨F⇔(⌝A∧⌝C)∨(⌝B∧C∧⌝ D)∨(⌝C∧D∧⌝B)∨(⌝C∧D)⇔(⌝A∧⌝C)∨(⌝B∧C∧⌝ D)∨(⌝C∧D)⇔T故有三种派法：B∧D，A∧C，A∧D。
二、（15分）在谓词逻辑中构造下面推理的证明：某学术会议的每个成员都是专家并且是工人，有些成员是青年人，所以，有些成员是青年专家。
解：论域：所有人的集合。
S(x)：x是专家；W(x)：x是工人；Y(x)：x是青年人；则推理化形式为：∀x(S(x)∧W(x))，∃x Y(x)∃x(S(x)∧Y(x))下面给出证明：(1)∃x Y(x) P(2)Y(c) T(1)，ES(3)∀x(S(x)∧W(x)) P(4)S( c)∧W( c) T(3)，US(5)S( c) T(4)，I(6)S( c)∧Y(c) T(2)(5)，I(7)∃x S((x)∧Y(x)) T(6) ，EG三、（10分）设A、B和C是三个集合，则A⊂B⇒⌝(B⊂A)。
离散数学考试试题(A卷及答案)
离散数学考试试题(A 卷及答案)一、 (10 分)判断下列公式的类型(永真式、永假式、可满足式)？1)((P Q)∧Q)一 ((Q∨R)∧Q) 2)((Q P)∨P)∧ (P∨R)3)((P∨Q)R)((P∧Q)∨R)解： 1)永真式； 2) 永假式； 3)可满足式。
二、 (8 分) 个体域为{1， 2}，求x3y (x+y=4)的真值。
解：x3y (x+y=4) 一 x ((x+1=4)∨(x+2=4))一((1+1=4)∨(1+2=4))∧((2+1=4)∨(2+1=4))一(0∨0)∧(0∨1)一1∧1一0三、 (8 分) 已知集合 A 和 B 且|A|=n， |B|=m，求 A 到 B 的二元关系数是多少？ A 到 B 的函数数是多少？解：因为|P(A×B) |=2|A×B|=2|A| |B|=2mn，所以 A 到 B 的二元关系有 2mn 个。
因为|BA|= |B| |A|=mn，所以 A 到 B 的函数 mn 个。
四、 (10 分) 已知 A={1,2,3,4,5}和 R={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>}，求 r(R) 、s(R)和 t(R)。
解： r(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>} s(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<3,2>,<4,3>,<4,5>}t(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<1,1>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<1,4>}五、 (10 分) 75 个儿童到公园游乐场，他们在那里可以骑旋转木马，坐滑行铁道，乘宇宙飞船，已知其中20 人这三种东西都乘过，其中 55 人至少乘坐过其中的两种。
离散数学试卷(A)
离散数学试卷(A)一、单项选择题(每小题2分。
共20分)在每小题的四个备选答案中只有一个正确的答案。
请将正确答案的序号写在题干的括号内。
1.设集合A={2,{a},3,4}，B = {{a},3,4,1}，E 为全集，则下列命题正确的是( ).A.{2}∈AB.{a}⊆AC.∅⊆{{a}}⊆B ⊆ED.{{a},1,3,4}⊂ B.2.除非613≥ ，否则79≤。
令r: 613≥，s ：79≤，可符号化为（ ）.A.s r →B. r s →⌝C. s r →⌝D. r s →3.使命题公式()p q q ∧→为假的赋值是（ ）A.10B.01C.00D.114. ()r q p ↔→的合取范式是（ ）A.()()()r q p r q r p ⌝∨∨⌝∧∨⌝∧∨；B. ()()()r q p r q q p ⌝∨∨⌝∧∨⌝∧∨C. ()()()r q p r q q p ⌝∨∨⌝∧∨∧∨；D. ()()()r q p r q r p ⌝∨∨⌝∧∨∧∨；5．判断下列各式中，不是合式公式的是 ( )A.S R Q ∧→B.()()S R P →↔C.()()()P Q Q P →→→⌝D.()K RS →6. 下列语句中是命题的只有（ ）A ．1+1=10B ．x+y=10C ．sinx+siny<0D ．x mod 3=2 7．设A={1，2，3，4，5}，下面集合等于A 的是( )A ．{1，2，3，4} B.{}252≤x x x 是整数，且C ．{}5≤x x x 是正整数，且D ．{}5≤x x x 是正有理数，且8．设f 和g 都是x 上的双射函数，则()1-g f ( ) A.11--g f B. ()1-f gC. 11--f gD. 1-g f9.下面等值式不正确的是：( C )A.A A A ⇔∨ ;B. ()B A B A ⌝∨⌝⇔∧⌝ ;C. ()B B A A ⇔∧∨;D. B A B A ∨⌝⇔→;10.R 代表实数集合，针对给定的函数集合f ，下面函数f: R R →属于双射的是：（ ）A. ()x x f 2=B. ()x x f sin =C. ()23x x x f -=D. ()x x f x +=2二、判断题（每题2分，共10分)11. A 是合式公式，但()B A ∨不一定就是合式公式( )12. q p →为真当且仅当p 与q 同时为真或同时为假（ ）13.设i i m M 与是命题变项1p ，2p ，。
离散数学试卷及参考答案A
考试时间：90分钟满分：100分一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列关于集合的描述，正确的是（）A. 集合是具有相同性质的一组对象的集合B. 集合是具有不同性质的一组对象的集合C. 集合是具有相同性质的一组数字的集合D. 集合是具有不同性质的一组数字的集合2. 下列关于关系的描述，正确的是（）A. 关系是集合中元素之间的对应关系B. 关系是集合中元素之间的相等关系C. 关系是集合中元素之间的包含关系D. 关系是集合中元素之间的顺序关系3. 下列关于函数的描述，正确的是（）A. 函数是集合中元素之间的对应关系B. 函数是集合中元素之间的相等关系C. 函数是集合中元素之间的包含关系D. 函数是集合中元素之间的顺序关系4. 下列关于图的描述，正确的是（）A. 图是由顶点和边组成的数学结构B. 图是由顶点和边组成的几何结构C. 图是由顶点和边组成的物理结构D. 图是由顶点和边组成的化学结构5. 下列关于图的类型的描述，正确的是（）A. 无向图是顶点之间没有方向的图B. 有向图是顶点之间有方向的图C. 无向图是顶点之间有方向的图D. 有向图是顶点之间没有方向的图6. 下列关于图的性质的描述，正确的是（）A. 图的顶点数等于边的数量B. 图的边数等于顶点的数量C. 图的顶点数可能大于边的数量D. 图的边数可能大于顶点的数量7. 下列关于图的路径的描述，正确的是（）A. 路径是图中顶点之间的连续序列B. 路径是图中边之间的连续序列C. 路径是图中顶点和边之间的连续序列D. 路径是图中顶点和边之间的任意序列8. 下列关于图的连通性的描述，正确的是（）A. 图是连通的，当且仅当任意两个顶点之间都有路径B. 图是连通的，当且仅当任意两个顶点之间都没有路径C. 图是连通的，当且仅当任意两个顶点之间都有至少一条边D. 图是连通的，当且仅当任意两个顶点之间都没有至少一条边9. 下列关于图的树的描述，正确的是（）A. 树是连通且无环的图B. 树是连通且有环的图C. 树是连通且可能有环的图D. 树是连通且可能有环的图10. 下列关于图的颜色的描述，正确的是（）A. 图的颜色是顶点之间的颜色关系B. 图的颜色是边之间的颜色关系C. 图的颜色是顶点和边之间的颜色关系D. 图的颜色是顶点和边之间的任意颜色关系二、填空题（每题2分，共20分）11. 集合是______的一组对象的集合。
《离散数学》模拟试卷A及答案
《离散数学》模拟试卷A 及答案一、选择1．设集合A={a ，b ，c ，d ，e}，偏序关系R 的哈斯图下图所示，假设A 的子集B={c ，d ，e}，则元素c 为B 的 （ ）A ．下界B ．最大下界C ．最小上界D ．以上答案都不对2．已知│A │=15，│B │=10，│A ∪B │=20，则│A ∩B │= （ ） A ．10 B ．5 C ．20 D ．133．下图中哪个是欧拉图 （ ）A B C D4．下列式子中正确的是 （ ）A ．∅=0B ．∅∈∅C ．∅∈{a ，b}D ．∅∈{∅}5．在下图所示的哈斯图中的偏序集不是格的是 （ ）dbeac6．下图中是一个从X 到Y 的映射f ，其中X={a ，b ，c ，d ，e}，Y={1，2，3，4}，则映射f 是 （ ）A 双射B 满射C 入射D 以上都不是7．已知集合A={∅，1，2}，则A 的幂集合ρ(A)=________ 8．设K6是有6个点的完全图，则K6共有____________条边。
9．设A ，B 是两集合，其中A={a ，b ，c}，B={a ，b}，则A-B=_______________，A ⋂B=_______________________________________10． 设A={a ，b}，B ＝｛1，2，3｝，则A ⨯B=二、计算或证明题1． 利用推理规则证明：┒（P ∧┒Q ），┒Q ∨R ，┒R ┒P （10分）2． 利用推理规则证明：（∀x ）（┒A （x ）→B （x ）），（∀x ）┒B （x ）（∃x ）A （x ）（10分）3． 如果关系R 和S 为X 上的等价关系，证明：R ⋂S 也是X 上的等价关系。
（10分）4． 设集合A={a ，b ，c ，d}，A 上的关系R={<a ，a>，<a ，b>，<b ，a>，<c ，d>，<b ，c>}（10分） 求：1）画出R 的关系图，并用作图法分别求出R 的自反闭包和对称闭包。
离散数学试卷及参考答案
济南大学继续教育学院离散数学试卷（A）学年：学期:年级：专业：学习形式：层次：（本试题满分100分，时间90分钟）一、选择（每题2分，共18分）1.设简单图G所有结点的度之和为12，则G一定有 ( ) 条边。
A． 3B． 4C． 5D． 62.设G是一棵树，则G 的生成树有 ( B ) 棵A． 0B． 1C． 2D．不能确定3. 若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是( )。
A. (1,2,2,3,4,5)B. (1,2,3,4,5,5)C. (1,1,1,2,3)D. (2,3,3,4,5,6).4. 命题∀xG(x)取真值1的充分必要条件是( )。
A.对任意x，G(x)都取真值1.B.有一个x0，使G(x0)取真值1.C.有某些x，使G(x0)取真值1.D.以上答案都不对.5.设集合A={2,{a},3,4}，B = {{a},3,4,1}，E为全集，则下列命题正确的是( )。
A. {2}∈AB. {a}⊆AC. ∅⊆{{a}}⊆B⊆ED. {{a},1,3,4}⊂B.6. 下列关于集合的表示中正确的为( )。
A.{a}∈{a,b,c}B. {a}⊆{a,b,c}C. ∅∈{a,b,c}D. {a,b}∈{a,b,c}7.下列式子正确的是 ( )。
A． p →q = q →pB． p →q = ⌝q ∨ pC． p →q，q →s ⇒ p →sD． p ↔q = (p → q) ∨ (q→ p)8.下列语句中，( )是命题。
A.请把门关上B.地球外的星球上也有人C. x + 5 > 6D. 下午有会吗？9．设G、H是一阶逻辑公式，P是一个谓词，G＝∃xP(x), H＝∀xP(x),则一阶逻辑公式G→H是( )。
A. 恒真的第 1 页共 13 页。
离散数学试题与参考答案
《离散数学》试题及答案一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 命题公式Q Q P →∨)(为 ( )(A) 矛盾式 (B) 可满足式 (C) 重言式 (D) 合取范式2．设P 表示“天下大雨”， Q 表示“他在室内运动”，则命题“除非天下大雨，否则他不在室内运动”符号化为（ ）。
(A)． P Q →； (B)．P Q ∧； (C)．P Q ⌝→⌝； (D)．P Q ⌝∨．3.设集合A ={{1,2,3}, {4,5}, {6,7,8}}，则下式为真的是( )(A) 1∈A (B) {1,2, 3}⊆A(C) {{4,5}}⊂A (D) ∅∈A4. 设A ＝{1,2},B ={a ,b ,c },C ={c ,d }, 则A ×(B ⋂C )= ( )(A) {<1,c >,<2,c >} (B) {<c ,1>,<2,c >} (C) {<c ,1><c ,2>,} (D) {<1,c >,<c ,2>}5. 设G 如右图：那么G 不是( ). (A)哈密顿图； (B)完全图；(C)欧拉图； (D) 平面图.二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共206. 设集合A ={∅,{a }}，则A 的幂集P (A )=7. 设集合A ={1,2,3,4 }, B ={6,8,12}, A 到B 的关系R ＝},,2,{B y A x x y y x ∈∈=><,那么R －1＝8. 在“同学，老乡，亲戚，朋友”四个关系中_______是等价关系.9. 写出一个不含“→”的逻辑联结词的完备集 .10.设X ＝{a ,b ,c }，R 是X 上的二元关系，其关系矩阵为 M R ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001001101，那么R 的关系图为三、证明题（共30分）11. （10分）已知A 、B 、C 是三个集合，证明A ∩(B ∪C)=(A ∩B)∪(A ∩C)12. （10分）构造证明：(P →(Q →S))∧(⌝R ∨P)∧Q ⇒R →S13.（10分）证明（0,1）与[0,1)，[0,1)与[0,1]等势。
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安徽大学20 09 — 20 10 学年第 1 学期 《 离散数学 》考试试卷（A 卷）（时间120分钟）院/系 专业 姓名 学号一、单项选择题（每小题2分，共20分）1. 设:P 天没下雪，:Q 我去镇上，则命题“天正在下雪，我没去镇上”可符号化为（ D ）A.Q P ⌝→⌝；B. P Q ⌝→⌝；C.Q P ⌝∧；D. Q P ⌝∧⌝。
2.下列命题是重言式的是（ C ）A.)()(P Q Q P →∧→；B. )()(Q P P Q P ↔↔↔∧；C. )(Q P Q P →→∧；D. Q P R Q P ∧⌝∧⌝∨→))((。
3. 设解释R 如下：论域D 为实数集，a=0, f(x,y)=x-y, A(x,y):x<y.下列公式在R 下为真的是( )A.(∀x)(∀y)(∀z)(A(x,y)→A(f(x,z),f(y,z)))B.(∀x)A(f(a,x),a)C.(∀x)(∀y)（A(f(x,y),x))D.(∀x)(∀y)(A(x,y)→A(f(x,a),a))4. 对任意集合,,A B C ，下列结论正确的是（ B ）A. C A C B B A ∉⇒∉∧∉][；B. C A C B B A ∈⇒⊆∧∈][；C. C A C B B A ∉⇒∉∧∈][；D. C A C B B A ∈⇒∈∧⊆][。
5. 9．关于{,,}X a b c =到{1,2,3}Y =的函数{,1,,1,,3}f a b c =<><><>，下列结论不正确的是（ ）A 、1({3}){}f c -=； B 、1(3)f c -=； C 、({}){3}f c =； D 、()3f c =。
6. 设I 为整数集合，则I 上的二元关系}4|||,{=-><=y x y x R 具有（ B ）A.自反性和对称性；B.反自反性和对称性；C.反自反性和传递性；D.反对称性和传递性。
7. 设R %为非空集合A 上的关系R的逆关系，则下列结论不成立的是（ D ）A.若R 为偏序，则R %为偏序；B.若R 为拟序，则R %为拟序；C.若R 为线序，则R %为线序；D.若R 为良序，则R %为良序。
8. 设1π和2π是非空集合A 的划分，则下列结论正确的是（ B ）A. 1π细分21ππ•；B. 1π细分21ππ+；C. 非空集合A 的划分12ππI 细分1π；D. 1π细分非空集合A 的划分12ππU 。
9. 设X={a,b,c},I x 是X 上恒等关系，要使I x ∪{〈a,b 〉，〈b,c 〉，〈c,a 〉，〈b,a 〉}∪R 为X 上的等价关系，R 应取( D )A. ｛〈c,a 〉，〈a,c 〉｝B.{〈c,b 〉，〈b,a 〉}C. {〈c,a 〉，〈b,a 〉}D.{〈a,c 〉，〈c,b 〉}10. 设N 和R 分别为自然数和实数集合，则下列集合中与其他集合的基数不同的集合是（ D ）A.R ；B.N N ；C.()N ρ；D.n N （n N ∈）。
二、判断题（每小题2分，共10分。
对的打√，错的打×）1. （ ）命题联结词{⌝，∧，∨}是最小联结词组。
2. （ ）（P ∧Q ）∧⌝P 为矛盾式。
3. （ ）（（⌝P ∨Q ）∧（Q →R ））→（P →R ）为重言式。
4.（ ）A 、B 、C 是任意集合，如果A C U =A B U ，一定有B=C 。
5. （ ）若集合A 上的二元关系R 是对称的，R 的绝对补R 一定是对称的。
6. （ ）R 是A 上的二元关系，R 是自反的，当且仅当r(R)=R 。
7. （ ）集合A 上的等价关系确定了A 的一个划分。
8. （ ）有理数集是可数的。
9. （ ）若函数f ，g 为单射的则其复合函数也为单射的。
10. （ ）R 是集合A 上的关系，R 有传递性的充要条件是RoR ⊆R 。
二、填空题（每小空2分，共20分）1．设)(x R ：x 是实数，)(x Q ：x 是有理数，)(x Z ：x 是整数，则“有理数都是实数，但实数并非都是有理数”符号化为： ； “有理数都是实数但并非都是整数”符号化为： 。
3. 设集合A ＝{a,b,c},B={a,b}, 那么 ρ(B)－ρ(A)= ____ __ 。
ρ(B-A) = ____ __ 2. 设}5,4,3,2,1,0{=A ，则定义在集合A 上二元关系}2(|,{<∧=∃><=k ky x k y x R 的关系矩阵为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
=)(R t M ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
6. 设]1,0[=U ，]1,21[=A ，13(,)44B =，则()A B x ψ=U ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，()A B x ψ⊕=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
设N 为自然数集合，Q 为有理数集合，R 为实数集合，则|NXQ| |N| ，|R-Q| |Q| （填=，>，<）三、解答题（每小题10分，共20分）1. 求))(()(R Q P R Q P ⌝∧⌝→⌝∧∧→的主析取范式和主合取范式。
A=上的偏序关系R={ }。
3. 给定集合{1,2,3,4,5,6,7}（1）给出了偏序集合,A R <>的哈斯图(2)求出A 的最小元素和最大元素，如果不存在，则指出不存在。
（3）求出A 的极小元素和极大元素；(4) 令}4,3,2{=B ，}5,4,3{=C ，分别求出B 和C 的最大、最小、极大、极小元及其上界、下界、最小上界和最大下界。
四、证明题（每小题10分，共30分）1. 设I 为整数集合，函数:f I I I I ⨯→⨯定义为：(,),f x y x y x y <>=<+->， 证明：f 是单射的但不是满射的。
2. 设R是集合{1,2,3,4,5}A=上的关系{(1,1),(1,3),(2,2),(2,5),(3,1),(3,3),(4,4),(5,2),(5,5)}R=（1）画出R的关系图;（2）证明R是等价关系；（3）写出R的所有等价类。
2. 用推理规则证明：))()(())()(())()((xPxRxQxRxxQxPx⌝→→⌝→∀⇒→∀。
3. 设R 为实数集合，Q 为整数集合，证明：c Q R =-||。
安徽大学20 07 —20 08 学年第 1 学期《 离散数学 》考试试题（A 卷）参考答案及评分标准一、单项选择题（每小题2分，共20分）1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.C ；6.B ；7.D ；8.B ；9.D ； 10.D 。
二、填空题（每小空2分，共20分）1.},4,2,0,2,4{]0[2ΛΛ--=, },5,3,1,1,3{]1[2ΛΛ--=；2.⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡10000010*******0001011111；3.162，15；4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0101010111010101)(R t M ； 5.双，满，单；6. ⎩⎨⎧=01)(x A ψ 时当时当210121<≤≤≤x x 。
三、解答题（每小题10分，共30分）1. ))(()(R Q P R Q P ⌝∧⌝→⌝∧∧→)()(R Q P R Q P ⌝∧⌝∨∧∧∨⌝⇔ 2分 )()()()(R P Q P R P Q P ⌝∨∧⌝∨∧∨⌝∧∨⌝⇔ 4分 )()()(R Q P R Q P R Q P ⌝∨⌝∨∧∨⌝∨∧⌝∨∨⇔)()()(R Q P R Q P R Q P ∨⌝∨⌝∧⌝∨∨⌝∧∨∨⌝∧ )6,5,4,3,2,1(π⇔(主合取范式) 8分 )7,0(∑⇔（主析取范式） 10分2. {(1,1),(1,3),(2,2),(2,5),(3,1),(3,3),(4,4),(5,2),(5,5)}R =.(1) R 的关系图4分 (2) 因为 R 满足自反、对称和传递性，所以R 是等价关系；3分 (3) 等价类：{1, 3}, {2, 5}, {4}。
3分3. （1）,A R <>的有向图为2分（2）A 的最小元素不存在，最大元素是1； 4分 （3）A 的极小元为：4，5；极大元为；1 6分 （4）B 最大元素不存在，最小元素为：4，极大元为：2，3，极小元为：4，上界为：1，下界为：4，上确界为1，下确界为：4； 8分C 的最大元素为：3，最小元素不存在，极大元为：3，极小元为：4，5，上界为：1，3，下界不存在，上确界为3，下确界不存在。
10分四、证明题（每小题10分，共30分）1. （1）1122,,,x y x y I I∀<><>∈⨯，若),(),(2211><=><y x f y x f ，即>-+>=<-+<22221111,,y x y x y x y x ，则⎩⎨⎧-=-+=+22112211y x y x y x y x ， 3分易得21x x =且21y y =，因此1122,,x y x y <>=<>，所以f 是单射函数。
5分 （2）取,0,1p q I I <>=<>∈⨯，对,x y ∀<>，若>=<><q p y x f ,),(，则有01x y p x y q +==⎧⎨-==⎩，易得1/21/2x y =⎧⎨=-⎩，但,1/2,1/2x y I I <>=<->∉⨯， 8分 所以对于,p q I I <>∈⨯，不存在,x y I I <>∈⨯，使得>=<><q p y x f ,),(，所以f 不是满射的。
10分2. 根据CP 规则，上式等价于))()(())()(())()((x P x R x Q x R x x Q x P x ⌝→⇒⌝→∀∧→∀ 2分而))()(())()((x Q x R x x Q x P x ⌝→∀∧→∀)))()(())()(((x Q x R x Q x P x ⌝→∧→∀⇔ 10Q 4分 )))()(())()(((x Q x R x P x Q x ⌝→∧⌝→⌝∀⇔ 245,E E 6分 ))()(())()((x Q x R x P x Q ⌝→∧⌝→⌝⇒ 1Q 8分 )()(x P x R ⌝→⇒ 6I 10分 所以，))()(())()(())()((x P x R x Q x R x x Q x P x ⌝→→⌝→∀⇒→∀3. 设R Q R f →-:，()f x x =，则f 是从Q R -到R 的单射函数，所以c R Q R =≤-||||。