概率论与数理统计同济大学第1章
概率论与数理统计第一章
具有以上两个特点的随机试验称为等可能概型。 由于它是概率论发展初期的主要研究对象，所以 也称之为古典概型．
设试验E是古典概型，由于基本事件两两互不相容 n n 因此 1 = P( ) = P( {wi }) = P{wi } = nP{w i }
1 从而 P{w i } = n
i =1
i =1
则事件 A表示“某公司今年年底结算将亏损”.
AAຫໍສະໝຸດ 按差事件和对立事件的定义，显然有A B = AB
A
B
A
B
运算规律
1.交换律 A B = B A A B = B A 2.结合律 A ( B C ) = ( A B) C
A ( B C ) = ( A B) C
A B = 事件A和事件B不能同时发生
A
B
对立事件
A 称为事件A的对立事件或逆事件，记做 A
即A = A
事件 A发生 事件A不发生
A A= A A=
故在每次试验中事件A ， A 中必有一个且仅有一个发生
A也是 A 的对立事件，所以称事件A与A互逆
若事件A表示“某公司今年年底结算将不亏损”
抛硬币实验
试验者
出现正面的 频率
n
2048 4040 12000 24000 80640
出现正面的 试验次 次数 数 n
nH
1061 2048 6019 12012 39699
f n (H ) =
A
n
德摩根 蒲丰 K．皮尔逊 K．皮尔逊 罗曼诺夫斯基
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005 0.4923
( i = 1, 2, , n )
同济大学概率论与数理统计第一、第二章
A B A B A A B B
•
例8 设Ai={第i个电子元件正常工作}， i=1,2,…n.用事件之间的关系表示 n个电子元件串联或并联系统正常工作这 一事件Ｂ。 • 串联系统： Ｂ＝A1∩A2∩┅∩An
1 2 3 n
• 并联系统： Ｂ＝A1∪A2∪┅∪An
• 1. 从n个元素中任取k个，有
n n 1 n 2 n k 1 n! C k k 1 2 1 k ! n k !
k n
种不同的结果； • 2. 一件事情分几个步骤完成，则互相之间用乘法， 一件事情有若干种方法来完成，则互相之间用加 法，这就是所谓的计数原理。
概率论简明教程
什么是概率？
• 例1. 盒中装有20件产品，其中有5件次品， 不放回地一件一件抽取，问：第十次取出 最后一个次品的概率是多少？
• 例2，在半圆区域0≤y≤ 2ax x 内随机地投 入一点，求该点与原点的连线与x轴的夹角 4 不超过 /的可能性。
2
• 概率的思想在日常生活中的体现
• 每次试验中一定发生的事件称为必然事件. Ω包含所有样本点，因此每次试验中必定有Ω中的 一个样本点出现，故Ω是必然事件；而另一方面Ω 是Ω的子集； • 每次试验中一定不发生的事件称为不可能事件. φ中不包含任何样本点，因此是不可能事件； φ也是Ω的子集。 • 为讨论问题方便，将上述两个事件也当作随机事 件，作为两个极端情况。
例7 抛二枚均匀硬币， Ω={正正，正反，反正， 反反} 。 A={第一次出现正面} ={正正，正反}， B={第二次出现正面}={正正，反正}。 • A与B的和事件∶第一次或第二次出现正面，表 示为 A∪B={正正，正反，反正} 。 • A与B的积事件∶第一次且第二次都出现正面， 表示为 A∩B={正正} 。 • A与B的差事件A-B∶第一次正面第二次出现反面， 表示为 A-B={正反}.
概率论与数理统计第1章
A1A2 A3 A1 A2 A3 A1A2 A3
A1 A2 A3
例9 三人独立地去破译一份密码，已知各人能 译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至 少有一人能将密码译出的概率是多少？
P(AB)=P(B)P(A|B) (2)
P(AB)=P(BA)
P(BA)=P(A)P(B|A)
P(AB)=P(A)P(B|A) (3)
(2)和(3)式都称为乘法公式,利用它们可计算 两个事件同时发生的概率。
推广到多个事件的乘法公式:
当P(A1A2…An-1)>0时，有 P (A1A2…An） =P(A1)P(A2|A1) …P(An| A1A2…An-1)
当有了新的信息（知道B发生），人们对诸 事件发生可能性大小P(Ai | B)有了新的估计.
贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。
1.5事件的独立性
一、两事件的独立性 将一颗均匀骰子连掷两次，
设
A =“第一次掷出6点”， B =“第二次掷出6点”，
显然
P(B|A)=P(B)＝1/6
这就是说,已知事件A发生,并不影响事件B发
例如
甲、乙两人向同一目标射击，记 A={甲命中}, B={乙命中}，A与B是否独立？
由于“甲命中”并不影响“乙命中”的
概率，故认为A、B独立 .
（即一事件发生与否并不影响另一事件发生 的概率）
又如：一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai={第i件是合格品} i=1,2
若抽取是有放回的, 则A1与A2独立. 因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响.
P( A | B) P( AB) , P(B)
P(B)>0
同济大学版概率论与数理统计答案
概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号第一章 随机事件及其概率（一）一．选择题1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ]（A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ]（A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品}（B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品}（C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个}（D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品}3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ]（A ）A AB - （B ）()A B B ⋃- （C ）A B （D ）A B4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ⋃表示 [ C]（A ）二人都没射中 （B ）二人都射中（C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D]（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”；（C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示 [ A]（A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x <<（C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<<⋃≤<+∞7．在事件A ，B ，C 中，A 和B 至少有一个发生而C 不发生的事件可表示为 [ A]（A ）C A C B ； （B ）C AB ；（C ）C AB C B A BC A ； （D ）A B C .8、设随机事件,A B 满足()0P AB =，则 [ D ]（A ）,A B 互为对立事件 (B) ,A B 互不相容(C) AB 一定为不可能事件 (D) AB 不一定为不可能事件二、填空题1．若事件A ，B 满足AB φ=，则称A 与B 互不相容或互斥 。
概率论与数理统计第1章
几何概率的基本性质
⑴⑵⑶为基本性质
⑴ 对任一事件A，有0≤P(A)≤1。
⑵ P 1, P 0。
⑶ 若A1,A2,…,Am是两两互不相容的事件，则
P m Ai m PAi i1 i1 进一步，m→∞，有限可加性→可列可加性。
几何概率同样满足古典概型的⑷～⑹性质。
P(B－A) = P(B)－P(A) 。 ⑷ 任意两事件A,B，
PA B PA PB PAB 36
例3：甲袋中有2红1白3个球，乙袋中有1红2 白3个球，从甲袋中任取一球放入乙袋,再从 乙袋中任取一球放入甲袋，求试验后甲袋中 球的成分不变的概率。
进一步，如果A1,A2,…,Am是两两互斥的事件，则
P m Ai m PAi
i1 i1
21
⑷ PA PA 1
⑸ 加法公式：
PA B PA PB PAB PA B C PA PB PC PAB PAC PBC PABC
29
§1.4 概率的公理化意义 一、几何概率
引例：在一个均匀陀螺的圆周上均匀地刻上[0,3)上的
诸数字，旋转陀螺至其停止，问B＝“圆周的接触点 位
于解：区由间于[1,刻2)上度”均的匀概，率圆为周多上少各？刻度与桌面接触是等可
能的，因此所求概率应与区间的长度成正比。又概率
应在0~1之间，故如下定义是合理的：
Ω可以为一维(长度)；二维(面积)；三维(体积)。称这
样定义的概率为几何概率。
31
例1：甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘 船的码头，它们在一昼夜内到达的时刻是等可 能的。如果甲船停泊时间为1小时，乙船停泊 时间为2小时，求它们任一艘都不需要等待码 头空出的概率。 例2：把长度为a的棒任意折成三段，求它们可 以构成一个三角形的概率。
同济大学 第1章概率论与数理统计习题课解析
1. 交换律：A∪B=B∪A, A∩B=B∩A ． 2. 结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C; A∩(B∩C)=(A∩B)∩C ． 3. 分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) ;
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ．
4. 德.摩根律(对偶原则) ： 设Ai(i=1,2,…,n) 表示事件．
12. 设A、B、C是三个事件两两独立，则A、B、C相互独立的 充分必要条件是( A A．A与BC独立 C.AB与AC独立 )
B.A与 A C 独立 D. A B 与
A C 独立
13. 将一枚硬币独立抛掷两次， A1
A2 表示掷第一次出现正面，
表示掷第二次出现正面， A3 表示正、反面各一次，
同济大学第1章概率论与数理统计习题课
主要内容
事件间的关系与事件的运算
(一)事件间的关系 1. 事件的包含(子事件)：AB;
2.事件的和：A∪B
3.事件的积: AB;
4. 差事件: A-B=A-AB=AB
5. 互斥事件(互不相容事件):AB=
6. 互逆事件: AB= 且A∪B=S
•
事件的运算法则
18.(03考研) 已知甲乙两箱装有同种产品，其中甲箱中装
有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品，从甲箱 中任取3件产品放入乙箱后，求从乙箱中任取一件产品是次 品的概率。 19.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表, 其中女生的报名表分别为3份、7份和5份,随机地取一个地区 的报名表,从中先后抽出两份. (1)求先抽到的一份是女生表的概率p; (2)已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的 概率q.
j 1
n
j ) P( B j )
概率论与数理统计同济大学第1章
1.4 电炉上安装了4个温控器.在使用过程中,只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ,电炉就断电.事件A 表示“电炉断电”.4个温控器显示的温度按递增顺序记作(),1,2,3,4,i T i =即(1)(2)T T ≤≤(3)T (4).T ≤试问,4个事件()0{}(1,2,3,4)i T t i ≥=中,哪一个恰等于A ？1.6 已知N 件产品中有M 件是不合格品,今从中随机地抽取n 件.试求,(1)n 件中恰有k 件不合格品的概率;(2)n 件中至少有一件不合格品的概率.假定k M ≤且n k N M -≤-.1.7 一个口袋里装有10只球,分别编上号码1,…,10,随机地从口袋里取3只球.试求:(1)最小号码是5的概率;(2)最大号码是5的概率.1.8一份试卷上有6道题.某位学生在解答时由于粗心随机地犯了4处不同的错误.试求,(1)这4处错误发生在最后一道题上的概率;(2)这4处错误发生在不同题上的概率;(3)至少有3道题全对的概率.1.9 在单位圆内随机地取一点Q ,试求以Q 为中点的弦长超过1的概率.1.10 在长度为T 的时间段内,有两个长短不等的信号随机地进入接收机.长信号持续时间为1()t T ≤,短信号持续时间为2()t T ≤.试求这两个信号互不干扰的概率.1.11 设,A B 是两个事件,已知()0.5,()0.7,()0.8P A P B P A B === ,试求()P A B -与()P B A -.1.12 设,,A B C 是三个事件,已知()()()0.3,()0.2,()P A P B P C P AB P BC ====()0P CA ==.试求,,A B C 中至少有一个发生的概率与,,A B C 全不发生的概率.1.13 设,A B 是两个事件,已知()0.3,()0.6,P A P B ==试在下列两种情况中分别求出()P A B 与()P A B .(1) 事件,A B 互不相容;(2)事件,A B 有包含关系.1.14 一个盒子中装有10只晶体管,其中有3只是不合格品.现在作不放回抽样：接连取2次,每次随机地取1只.试求下列事件的概率.(1)2只都是合格品;(2)1只是合格品,1只是不合格品;(3)至少有1只是合格品.1.15 某商店出售晶体管,每盒装100只,且已知每盒混有4只不合格品.商店采用“缺一赔十”的销售方式：顾客买一盒晶体管,如果随机地取1只发现是不合格品,商店要立刻把10只合格品的晶体管放在盒子中,不合格的那只晶体管不再放回.顾客在一个盒子中随机地先后取3只进行测试,试求他发现全是不合格品的概率.1.16 设,A B 是两个相互独立的事件,已知()0.3,P A =()0.65P A B = .试求()P B .1.18 设情报员能破译一份密码的概率为0.6．试问,至少要使用多少名情报员才能使破译一份密码的概率大于95％?假定各情报员能否破译这份密码是相互独立的.1.19 把一枚硬币独立的掷两次.事件i A 表示“掷第i 次时出现正面”,1,2i =;事件3A 表示“正、反面各出现一次”.试证,123,,A A A 两两独立,但不相互独立.1.20 有2n 个元件,每个元件的可靠度都是p .试求下列两个系统的可靠度.假定每个元件是否正常工作是相互独立的.(1)每n 个元件串联成一个子系统,再把这两个子系统并联;(2)每两个元件并联成一个子系统,再把这n 个子系统串联.次命中的概率;(2)至少有4次命中的概率;(3)至多有4次命中的概率.1.24 某厂生产的钢琴中有70％可以直接出厂,剩下的钢琴经调试后,其中80％可以出厂,20％被定为不合格品不能出厂.现该厂生产了(2)n 架钢琴,假定各架钢琴的质量是相互独立的,试求：(1)任意一架钢琴能出厂的概率;(2)恰有两架钢琴不能出厂的概率;(3)全部钢琴都能出厂的概率.1.25 某年级有甲、乙、丙三个班级,各班人数分别占年级总人数的1/4,1/3,5/12,已知甲、乙、丙三个班级中集邮人数分别占该班1/2,1/4,1/5,试求：(1)从该年级中随机地选取一个人,此人为集邮者的概率;(2)从该年级中随机地选取一个人,发现此人为集邮者,此人属于乙班的概率. 1弹而坠毁的概率为0.1,被击中2弹而坠毁的概率为0.5,被击中3弹必定坠毁.(1)试求飞机坠毁的概率;(2)已知飞机坠毁,试求它在坠毁前只有命中1弹的概率.1.27 已知甲袋中装有a只红球,b只白球;乙袋中装有c只红球,d只白球．试求下列事件的概率:(1)合并两只口袋,从中随机地取一只球,该球是红球;(2)随机地取一只袋,再从该袋中随机地取一只球,该球是红球;(3)从甲袋中随机地取出一只球放人乙袋,再从乙袋中随机地取出一只球,该球是红球.1.30 一个盒子装有6只乒乓球,其中4只是新球.第一次比赛时随机地从盒子中取出2只乒乓球,使用后放回盒子．第二次比赛时又随机地从盒子中取出2只乒乓球.(1)试求第二次取出的球全是新球的概率;(2)已知第二次取出的球全是新球,试求第一次比赛时取的球恰含一个新球的概率.。
概率论与数理统计 1章共64页文档
n
Ai是指事A件 1， An同时发生的事件。
i1
可列多个事件的积事件
是指一列 A1， 事An件 ， 全都发生的事件Ai ，记 i1
例4：设Ａ、Ｂ、Ｃ为任意三个事件，写出下列事件的
表达式： 1)恰有二个事件发生。 2) 三个事件同时发生。 3)至少有一个事件发生。
也可这样定义：
不能再分解的事件称为简单事件或称为基本事件。 由基本事件组合而成的事件称为复合事件。
注意：基本事件是相对的，不是绝对的。
例2：在下列试验中，试用集合表示下列事件。 1)、投掷一颗匀质正六面体的骰子，出现偶数点的事件。 解：{出现偶数点}={2，4，6}。
{出现偶数点}是一个复合事件。它可分解为更简单的事件， {出现偶数点} ={出现２点}∪{出现４点}∪{出现６点} 但上述三事件不能再分解为更简单的事件，是基本事件。
这些试验具有如下特点：
1）试验可以在相同的条件下重复进行。
2）试验可能出现的所有结果种类已知
3）在未试验之前，不知道下次试验出现的结果，但试 验结果必是所有可能结果中的某一个。
具有这些特点的试验称为随机试验。
说明：
1)从随机试验中观察到的现象称为随机现象。 2)随机试验今后简称为试验。
3)在随机试验的重复实施中呈现出的不变性质，
1)、交换律 A∪B=B∪A AB=BA
称为统计规律性。
概率论的研究对象就是随机现象的统计规律性
§1.2 随机事件
样本空间：随机试验所有可能结果的集合称为样本 空间。常用Ω表示。
样本点：样本空间的元素称为样本点，常用ω表示。
例1：
试验１：投掷一枚匀质的硬币，观察哪一面向上。规 定带有国徽图案的是正面。
同济大学概率统计第1章
三、随机事件
1.
随机事件：一个随机试验的样本空间的子集，简称为事件， 常用大写字母A，B，C……表示。 2. 基本事件：仅含一个样本点的随机事件 。 例1: 事件A={出现点数不大4},A={1,2,3,4} 事件B={出现偶数点},B={2,4,6} 例2: 事件C={次品件数不少于空间和随机事件
确定性现象：在确定的试验条件下必然会发生 的现象
在101325Ｐa的大气压下， 将纯净水加热到100℃时必然沸腾
垂直上抛一重物，该重物会 垂直下落
随机现象：在大量重复试验中结果呈现某种规律性的 现象。这种规律性称为统计规律性。
掷一颗骰子，可能出现1，2，3，4，5，6点。
Ω
A B
记作
A⊂ B
B⊃A
例如
抛掷两颗骰子，观察出现的点数 B={出现奇数点}
A={出现1点}
A⊂ B
相等事件
A ⑵如果 ⊂ B 且 B ⊂ A ，即 A = B ，那么称事件A与事件B相等。
B ⊃ A且 A ⊃ B
Ω
B A
⇔
A=B
例1：在投掷一颗骰子的试验中， 事件A“出现2点”，事件B“出现偶 数点”，事件c是“出现2或4或6 点”，则
§1.2事件关系和运算
例７：两门火炮同时向一架飞机射击,事件A=｛击落飞机},Bi={击中第i个发 动机},i=1,2, C={击中驾驶员},“击落飞机”等价于“击中驾驶员” 或者
“击中两个发动机”.
试建立A,B1,B2,C之间的联系.
包含
⑴如果 A ⊂ B（或） B ⊃ A ，那么称事件B包含事件A，它的含义是：事 件A发生必定导致事件B发生。事件A是事件B的子事件。
几何概型
假定样本空间Ω是某个区域（可以是一维、二维和三维的）每个 样本点等可能的出现，我们规定事件A的概率为：
同济大学版概率论与数理统计修改版答案
概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第一章 随机事件及其概率（一）一．选择题1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ]（A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ]（A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品}（B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品}（C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个}（D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品}3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ]（A ）A AB - （B ）()A B B ⋃- （C ）AB （D ）AB4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ⋃表示 [ C]（A ）二人都没射中 （B ）二人都射中（C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D]（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”；（C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示 [ A]（A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x <<（C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<<⋃≤<+∞7．在事件A ，B ，C 中，A 和B 至少有一个发生而C 不发生的事件可表示为 [ A]（A ）C A C B ； （B ）C AB ；（C ）C AB C B A BC A ； （D ）A B C .8、设随机事件,A B 满足()0P AB =，则 [ D ]（A ）,A B 互为对立事件 (B) ,A B 互不相容(C) AB 一定为不可能事件 (D) AB 不一定为不可能事件二、填空题1．若事件A ，B 满足AB φ=，则称A 与B 互不相容或互斥 。
概率论与数理统计第一章教案(20201111184011).docx
第一随机事件一、随机象在自然界和人社会生活中普遍存在着两象：一是在一定条件下必然出的象，称确定性象。
例如： (1)一物体从高度h（米）垂直下落，t （秒）后必然落到地面，且当高度h一定，可由公式h 1 gt 2得到，t2h / g（秒）。
2(2)异性荷相互吸引，同性荷相互排斥。
⋯另一是在一定条件下我事先无法准确知其果的象，称随机象。
例如：(1) 在相同条件下抛同一枚硬，我无法事先知将出正面是反面。
(2)将来某日某种股票的价格是多少。
⋯概率就是以数量化方法来研究随机象及其律性的一数学学科。
二、随机了随机象的律性行研究 , 就需要随机象行重复察，我把随机象的察称随机，并称， E 。
例如，察某射手固定目行射；抛一枚硬三次 , 察出正面的次数；某市 120 急救一昼夜接到的呼叫次数等均随机。
随机具有下列特点：(1)可重复性；可以在相同的条件下重复行；(2)可察性；果可察 , 所有可能的果是明确的；(3)不确定性：每次出的果事先不能准确知。
三、本空尽管一个随机将要出的果是不确定的 , 但其所有可能果是明确的 , 我把随机的每一种可能的果称一个本点 , e（或）；它的全体称本空 , S ( 或 ).例如：(1) 在抛一枚硬察其出正面或反面的中有两个本点：正面、反面 . 本空S={ 正面，反面 } 或 S { e1 , e2 }( e1正面， e2反面 ) 。
(2)在将一枚硬抛三次，察正面 H、反面 T 出情况的中，有 8 个本点，本空： S { HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH ,TTT }。
(3)在抛一枚骰子，察其出的点数的中，有 6 个本点： 1 点，2 点，3 点，4 点，5 点，6 点，本空可 S {1 ，2，3，4，5，6} 。
(4)察某交台在一天内收到的呼叫次数，其本点有无多个：i 次，i =0,1,2,3，⋯，本空可S {0，1，2，3，⋯}。
(5)在一批灯泡中任意抽取一个，其寿命，其本点也有无多个( 且不可数) ：t小，本空可S { t | 0t}=[0,+] 。
《概率论与数理统计》第1章
事件的运算法则
对于任意三个事件Ａ，Ｂ，Ｃ，满足下列运算： 对于任意三个事件Ａ，Ｂ，Ｃ，满足下列运算： Ａ，Ｂ，Ｃ，满足下列运算 （１） 交换律
AU B = B U A；
AB = BA
（２） 结合律 ( AUB) UC = AU(BUC) , （３） 分配律
( AB)C = A(BC)
随机事件的频率与概率
概率的统计定义 古典概型 概率的性质 概率的计算
概率的统计定义
设事件Ａ 设事件Ａ在ｎ次试验中出现了ｒ次，则比值 r/n 次试验中出现了ｒ 称为事件Ａ 称为事件Ａ在ｎ次试验中出现的频率。而在同一组条件 次试验中出现的频率。 下所作的大量重复试验中，事件Ａ出现的频率总是在区 下所作的大量重复试验中，事件Ａ 间[0,1]上的一个确定的常数ｐ附近摆动，并且稳定于 [0,1]上的一个确定的常数ｐ附近摆动， 上的一个确定的常数 ｐ，则 称为事件Ａ的概率。 ｐ，则ｐ称为事件Ａ的概率。
事件Ａ与事件Ｂ的积，就是指Ａ、Ｂ都 事件Ａ与事件Ｂ的积，就是指Ａ、Ｂ都 Ａ、Ｂ 发生。 发生。 表示为：ＡＢ ：ＡＢ或 表示为：ＡＢ或 A I B 例如抛骰子时： 例如抛骰子时： Ａ＝“出现２点或４ Ａ＝“出现２点或４点” ， Ｂ＝“出现２点或６ Ｂ＝“出现２点或６点” ； ＡＢ＝“出现两点” 则ＡＢ＝“出现两点”
概
率
论
——研究和揭示随机现象数量规律性 的一门数学学科
第一章 随机事件与概率
随机事件 随机事件的频率与概率 古典概型与几何概型 条件概率 事件的独立性
随机事件
现象——现象分为确定性现象和随机现象。 现象分为确定性现象和随机现象。 ★ 现象 现象分为确定性现象和随机现象
随机现象——在个别试验中，其结果呈不确定性， 在个别试验中，其结果呈不确定性， 随机现象 在个别试验中 在大量重复试验中，结果又具有统计规律性。 在大量重复试验中，结果又具有统计规律性。 * 随机现象的结果是偶然性的，但在随机试验下 随机现象的结果是偶然性的， 呈必然性
同济大学《概率论与数理统计》PPT课件
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
四、随机事件之间的关系与运算
第1章 随机事件与概率 10
（1）事件的包含
若事件 A 的发生必然导致事件 B 的发生, 则称事件A 包含在事件 B 中. 记作 A B .
BA
A B
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
3
某快餐店一天内接到的订单量；
4
航班起飞延误的时间；
5
一支正常交易的A股股票每天的涨跌幅。
二、样本空间
第1章 随机事件与概率 6
一个随机试验，每一个可能出现的结果称为一个样本点，记为
全体样本点的集合称为样本空间, 记为 , 也即样本空间是随机试验的一切可能结果组成
的集合, 集合中的元素就是样本点. 样本空间可以是有限集, 可数集, 一个区间（或若干区间的并集）.
01 在相同的条件下试验可以重复进行;
OPTION
02 每次试验的结果不止一个, 但是试验之前可以明确;
OPTION
03 每次试验将要发生什么样的结果是事先无法预知的.
OPTION
一、随机试验
例1
随机试验的例子
第1章 随机事件与概率 5
1 抛掷一枚均匀的硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上；
2
抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数；
（互斥）.
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2、随机事件之间的运算
第1章 随机事件与概率 12
（1）事件的并
事件 A 或 B至少有一个发生时, 称事件 A 与事件B 的并事件发生, 记为 A U B .
（2）事件的交（积）
概率论与数理统计第一章课后答案
第5题
必然事件是指概率为1的事件，因此 C选项正确。
习题二答案与解析
1. C 答案
2. B
01
03 02
习题二答案与解析
01
3. D
02
4. A
03
5. B
习题二答案与解析
第1题
根据概率的加法公式，两个互斥事件之和的概率等于它们概率的和，因此C选项正确。
第2题
根据概率的乘法公式，两个独立事件同时发生的概率等于它们概率的乘积，因此B选项 正确。
习题二答案与解析
01
02
第3题
第4题
根据概率的加法公式，两个对立事件 之和的概率等于1减去它们的概率之 和，因此D选项正确。
根据概率的加法公式，两个互斥且对 立事件之和的概率等于1减去它们的 概率之和，因此A选项正确。
03
第5题
根据概率的加法公式，两个独立事件 同时发生的概率等于它们概率的乘积 加上它们的概率之和减去它们同时发 生的概率，因此B选项正确。
3. C 4. B 5. C
习题一答案与解析
第1题
根据概率的基本性质，任何事件的概率都介 于0和1之间，因此A选项正确。
第2题
互斥事件是指两个事件不可能同时发生，因 此D选项正确。
习题一答案与解析
第3题
独立事件是指一个事件的发生不受另 一个事件是否发生的影响，因此C选
项正确。
第4题
不可能事件是指概率为0的事件，因 此B选项正确。
概率论与数理统计的应用领域
金融
概率论与数理统计在金融领 域中广泛应用于风险评估、 投资组合优化和金融衍生品 定价等方面。
医学
在医学领域，概率论与数理 统计用于临床试验设计、流 行病学研究、诊断和预后评 估等方面。
概率论与数理统计第一章课件
所有样本点的平均值
样本方差
描述样本点离散程度的量
无偏估计
样本统计量的值等于总体参数的真实值
t分布与F分布
t分布
用于描述小样本数据的分布情况，也 称学生t分布
F分布
用于描述两个比例的方差之间的比例 关系
04
参数估计
点估计与估计量
点估计
用样本统计量来估计未知参数的 过程。
估计量
用于估计未知参数的样本统计量。
假设检验的分类单侧检验、双侧检验。来自 单侧与双侧检验单侧检验
01
只关注参数的一个方向是否满足假设，如检验平均值是否大于
某个值。
双侧检验
02
关注参数的两个方向是否满足假设，如检验平均值是否在两个
值之间。
单侧与双侧检验的选择
03
根据实际问题需求和数据特征选择合适的检验方式。
显著性检验与P值
显著性检验
通过比较样本数据与理论分布，判断样本数据是否显著地偏离理 论分布。
P值
观察到的数据或更极端数据出现的概率，用于判断是否拒绝或接 受假设。
P值的解读
P值越小，表明数据越显著地偏离理论分布，假设越可能不成立。
第一类错误与第二类错误
1 2
第一类错误
拒绝实际上成立的假设，也称为假阳性错误。
第二类错误
接受实际上不成立的假设，也称为假阴性错误。
3
错误率控制
通过调整临界值的大小，可以控制第一类错误和 第二类错误的概率，从而实现错误率控制。
通过参数估计，还可以对生产过 程进行实时监控和预警，及时发 现并解决生产中的问题，保证生
产的稳定性和可靠性。
假设检验在医学研究中的应用
假设检验是数理统计中的一种 重要方法，在医学研究中有着
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1.4 电炉上安装了4个温控器.在使用过程中,只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ,电炉就断电.事件A 表示“电炉断电”.4个温控器显示的温度按递增顺序记作(),1,2,3,4,i T i =即(1)(2)T T ≤≤(3)T (4).T ≤试问,4个事件()0{}(1,2,3,4)i T t i ≥=中,哪一个恰等于A ？
1.6 已知N 件产品中有M 件是不合格品,今从中随机地抽取n 件.试求,(1)n 件中恰有k 件不合格品的概率;(2)n 件中至少有一件不合格品的概率.假定k M ≤且n k N M -≤-.
1.7 一个口袋里装有10只球,分别编上号码1,…,10,随机地从口袋里取3只球.试求:(1)最小号码是5的概率;(2)最大号码是5的概率.
1.8一份试卷上有6道题.某位学生在解答时由于粗心随机地犯了4处不同的错误.试求,(1)这4处错误发生在最后一道题上的概率;(2)这4处错误发生在不同题上的概率;(3)至少有3道题全对的概率.
1.9 在单位圆内随机地取一点Q ,试求以Q 为中点的弦长超过1的概率.
1.10 在长度为T 的时间段内,有两个长短不等的信号随机地进入接收机.长信号持续时间为1()t T ≤,短信号持续时间为2()t T ≤.试求这两个信号互不干扰的概率.
1.11 设,A B 是两个事件,已知()0.5,()0.7,()0.8P A P B P A B === ,试求()P A B -与()P B A -.
1.12 设,,A B C 是三个事件,已知()()()0.3,()0.2,()P A P B P C P AB P BC ====()0P CA ==.试求,,A B C 中至少有一个发生的概率与,,A B C 全不发生的概率.
1.13 设,A B 是两个事件,已知()0.3,()0.6,P A P B ==试在下列两种情况中分别求出()P A B 与()P A B .(1) 事件,A B 互不相容;(2)事件,A B 有包含关系.
1.14 一个盒子中装有10只晶体管,其中有3只是不合格品.现在作不放回抽样：接连取2次,每次随机地取1只.试求下列事件的概率.(1)2只都是合格品;(2)1只是合格品,1只是不合格品;(3)至少有1只是合格品.
1.15 某商店出售晶体管,每盒装100只,且已知每盒混有4只不合格品.商店采用“缺一赔十”的销售方式：顾客买一盒晶体管,如果随机地取1只发现是不合格品,商店要立刻把10只合格品的晶体管放在盒子中,不合格的那只晶体管不再放回.顾客在一个盒子中随机地先后取3只进行测试,试求他发现全是不合格品的概率.
1.16 设,A B 是两个相互独立的事件,已知()0.3,P A =()0.65P A B = .试求()P B .
1.18 设情报员能破译一份密码的概率为0.6．试问,至少要使用多少名情报员才能使破译一份密码的概率大于95％?假定各情报员能否破译这份密码是相互独立的.
1.19 把一枚硬币独立的掷两次.事件i A 表示“掷第i 次时出现正面”,1,2i =;事件3A 表示“正、反面各出现一次”.试证,123,,A A A 两两独立,但不相互独立.
1.20 有2n 个元件,每个元件的可靠度都是p .试求下列两个系统的可靠度.假定每个元件是否正常工作是相互独立的.(1)每n 个元件串联成一个子系统,再把这两个子系统并联;(2)每两个元件并联成一个子系统,再把这n 个子系统串联.
次命中的概率;(2)至少有4次命中的概率;(3)至多有4次命中的概率.
1.24 某厂生产的钢琴中有70％可以直接出厂,剩下的钢琴经调试后,其中80％可以出厂,20％被定为不合格品不能出厂.现该厂生产了(2)
n 架钢琴,假定各架钢琴的质量是相互独立的,试求：(1)任意一架钢琴能出厂的概率;(2)恰有两架钢琴不能出厂的概率;(3)全部钢琴都能出厂的概率.
1.25 某年级有甲、乙、丙三个班级,各班人数分别占年级总人数的1/4,1/3,5/12,已知甲、乙、丙三个班级中集邮人数分别占该班1/2,1/4,1/5,试求：(1)从该年级中随机地选取一个人,此人为集邮者的概率;(2)从该年级中随机地选取一个人,发现此人为集邮者,此人属于乙班的概率. 1弹而坠毁的概率为0.1,被击中2弹而坠毁的概率为0.5,被击中3弹必定坠毁.(1)试求飞机坠毁的概率;(2)已知飞机坠毁,试求它在坠毁前只有命中1弹的概率.
1.27 已知甲袋中装有a只红球,b只白球;乙袋中装有c只红球,d只白球．试求下列事件的概率:(1)合并两只口袋,从中随机地取一只球,该球是红球;(2)随机地取一只袋,再从该袋中随机地取一只球,该球是红球;(3)从甲袋中随机地取出一只球放人乙袋,再从乙袋中随机地取出一只球,该球是红球.
1.30 一个盒子装有6只乒乓球,其中4只是新球.第一次比赛时随机地从盒子中取出2只乒乓球,使用后放回盒子．第二次比赛时又随机地从盒子中取出2只乒乓球.(1)试求第二次取出的球全是新球的概率;(2)已知第二次取出的球全是新球,试求第一次比赛时取的球恰含一个新球的概率.。