施密特正交化)

施密特正交化

在线性代数中，如果内积空间上的一组向量能够张成一个子空间，那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。Gram －Schmidt 正交化提供了一种方法，能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个正交基，并可进一步求出对应的标准正交基。

这种正交化方法以J?rgen Pedersen Gram 和Erhard Schmidt 命名，然而比他们更早的拉普拉斯（Laplace ）和柯西（Cauchy ）已经发现了这一方法。在李群分解中，这种方法被推广为岩泽分解（Iwasawa decomposition ）。

在数值计算中，Gram －Schmidt 正交化是数值不稳定的，计算中累积的舍

入误差会使最终结果的正交性变得很差。因此在实际应用中通常使用豪斯霍尔德变换或Givens 旋转进行正交化。

记法

：维数为n 的内积空间

：中的元素，可以是向量、函数，等等

：与的内积

：、张成的子空间

：在上的投影

基本思想

图1 v 在V2 上投影，构造V 3 上的正交基β

Gram-Schmidt 正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基础上构造

一个新的正交基。

设。V k 是V n 上的k 维子空间，其标准正交基为，且v 不在V k 上。由投影原理知，v 与其在V k 上的投影之差

是正交于子空间V k的，亦即β正交于V k的正交基ηi。因此只要将β单位化，即

那么{η1,..., ηk+1 }就是V k 在v 上扩展的子空间span{v, η1 ,..., ηk}的标准正交基。

根据上述分析，对于向量组{v1,...,v m}张成的空间V n，只要从其中一个向量（不妨设为v1 ）所张成的一维子空间span{v 1 }开始（注意到{v1}就是span{v 1}的正交基），重复上述扩展构造正交基的过程，就能够得到V n 的一组正交基。这就是Gram-Schmidt 正交化。

算法

首先需要确定扩展正交基的顺序，不妨设为。Gram-Schmidt 正交化的过程如下：

这样就得到上的一组正交基，以及相应的标准正交基。

例

考察如下欧几里得空间R n 中向量的集合，欧氏空间上内积的定义为 = b T a：

下面作Gram －Schmidt 正交化，以得到一组正交向量：

下面验证向量β1 与β2 的正交性：

将这些向量单位化：

于是{η1,η2}就是span{ v 1, v2 }的一组标准正交基。

不同的形式

随着内积空间上内积的定义以及构成内积空间的元素的不同，Gram-Schmidt 正交化也表现出不同的形式。

例如，在实向量空间上，内积定义为：

在复向量空间上，内积定义为：

函数之间的内积则定义为：

与之对应，相应的Gram －Schmidt 正交化就具有不同的形式。

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